Ecuación de Laplace. Introducción. Las ecuaciones ... - Tecnun
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<strong>Introducción</strong>.<br />
<strong>Ecuación</strong> <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong>.<br />
<strong>Las</strong> <strong>ecuaciones</strong> elípticas se obtienen, en general, cuando se estudian procesos<br />
estacionarios. La ecuación <strong>de</strong> este tipo que aparece más frecuentemente es la<br />
ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong>, cuya expresión general es:<br />
Δ u = 0<br />
don<strong>de</strong> Δ representa el operador Laplaciano.<br />
Por ejemplo, si se consi<strong>de</strong>ra un campo térmico estacionario, puesto que,<br />
como la ecuación <strong>de</strong> conducción <strong>de</strong>l calor es<br />
ut = Δu<br />
y, en este caso, la distribución <strong>de</strong> temperatura no varía con el tiempo, ésta<br />
satisface la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong>.<br />
Si se consi<strong>de</strong>ra la presencia <strong>de</strong> fuentes <strong>de</strong> calor externas, se obtiene la<br />
ecuación<br />
Δ u = A<br />
don<strong>de</strong> A representa la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> las fuentes térmicas. La ecuación no homogénea<br />
<strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> se suele llamar ecuación <strong>de</strong> Poisson.<br />
Otra clase <strong>de</strong> problemas en los que la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> juega un papel<br />
importante es el relacionado con los campos vectoriales que <strong>de</strong>rivan <strong>de</strong> un potencial<br />
(electro-magnético, gravitatorio, etc.). En estos casos, si en la región don<strong>de</strong> se<br />
quiere obtener el potencial no hay fuentes <strong>de</strong> campo, éste verifica la ecuación <strong>de</strong><br />
<strong>Laplace</strong>. Si por el contrario, existe una cierta <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> éstas, el potencial verifica<br />
la correspondiente ecuación <strong>de</strong> Poisson.<br />
Así pués la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>de</strong>scribe siempre procesos estacionarios en<br />
los que el tiempo no es una <strong>de</strong> las variables in<strong>de</strong>pendientes. Esto significa, que el<br />
tipo <strong>de</strong> problemas que se consi<strong>de</strong>ra para esta ecuación no va a incluir condiciones<br />
iniciales, lo que provocará que la estructura <strong>de</strong> las soluciones que encontraremos<br />
sea distinta a la que presentan las <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> ondas y difusión tratadas en los<br />
dos temas prece<strong>de</strong>ntes. Consi<strong>de</strong>raremos solamente problemas <strong>de</strong>finidos en un<br />
cierto dominio Ω con ciertas condiciones <strong>de</strong> contorno dadas sobre su frontera que<br />
po<strong>de</strong>mos agrupar en tres clases:<br />
Condiciones <strong>de</strong> Dirichlet: El problema <strong>de</strong> Dirichlet para la ecuación <strong>de</strong><br />
<strong>Laplace</strong> en un recinto, consiste en encontrar las soluciones que toman un valor<br />
prefijado en la frontera:<br />
u = f<br />
∂Ω<br />
Condiciones <strong>de</strong> Neumann: El problema <strong>de</strong> Neumann para la ecuación <strong>de</strong><br />
<strong>Laplace</strong> en un recinto, es el <strong>de</strong> encontrar las soluciones tales que su <strong>de</strong>rivada según<br />
la normal exterior a la frontera toma un valor prefijado:<br />
∂u<br />
= f<br />
∂n<br />
∂Ω<br />
CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA<br />
Paseo <strong>de</strong> Manuel Lardizábal 13. 20018 Donostia-San Sebastián. Tel.: 943 219 877 Fax: 943 311 442 www.tecnun.es informacion@tecnun.es
El problema <strong>de</strong> Robin para la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> en un recinto, es <strong>de</strong><br />
carácter mixto, pues consiste en encontrar las soluciones que en la frontera<br />
verifican:<br />
⎛ ∂u⎞<br />
⎜u<br />
+ h ⋅ ⎟ = f,<br />
don<strong>de</strong> h ∈ R<br />
⎝ ∂n⎠<br />
∂Ω<br />
En este capítulo nos centraremos, esencialmente, en los problemas <strong>de</strong><br />
Dirichlet para las <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> y Poisson, aunque los métodos que se<br />
utilizarán para su resolución serán también válidos para otras <strong>ecuaciones</strong><br />
diferenciales en <strong>de</strong>rivadas parciales en las que <strong>de</strong> nuevo el operador Laplaciano<br />
juega un papel importante, como son, por ejemplo la ecuación <strong>de</strong> Schrödinger:<br />
2<br />
ih h<br />
ut<br />
= − Δu<br />
+ Vu<br />
2 • π<br />
2<br />
8π<br />
m<br />
que es esencial en la <strong>de</strong>scripción mecanocuántica <strong>de</strong> diferentes sistemas físicos y<br />
en la ecuación <strong>de</strong> Helmotz:<br />
Δ u + λu<br />
= 0<br />
que aparece al separar variables en la ecuación <strong>de</strong> ondas y <strong>de</strong> difusión, cuando se<br />
consi<strong>de</strong>ran dominios bidimensionales.<br />
FUNCIONES ARMÓNICAS: PRINCIPIO DE MAXIMO.UNICIDAD Y<br />
ESTABILIDAD DEL PROBLEMA DE DIRICHLET.<br />
( 2)<br />
Definición. Una función u se dice armónica en una región Ω si u ∈ C ( Ω)<br />
y,<br />
a<strong>de</strong>más verifica: Δ u = 0<br />
Empezamos este apartado enunciando una propiedad <strong>de</strong> las funciones<br />
armónicas que nos permitirá, posteriormente, establecer la unicidad y estabilidad<br />
<strong>de</strong> la solución para el problema <strong>de</strong> Dirichlet:<br />
Δ u = 0<br />
u = f<br />
∂Ω<br />
Definición. Principio <strong>de</strong> máximo.<br />
Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que,<br />
a<strong>de</strong>más, es continua en Ω = Ω ∪ ∂Ω<br />
. Entonces, u alcanza su valor máximo en ∂Ω.<br />
Principio <strong>de</strong> mínimo.<br />
Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que<br />
a<strong>de</strong>más es continua en Ω = Ω∪∂ Ω.<br />
Entonces, u alcanza su valor mínimo en ∂Ω.<br />
Proposición. La solución <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> Dirichlet para la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> en<br />
un recinto bidimensional Ω, si existe, es única.<br />
DEMOSTRACIÓN. Sean u 1yu2 dos soluciones <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> Dirichlet. Se tendrá<br />
entonces:<br />
Δu1 = Δu2<br />
= 0<br />
= u = f<br />
u1 ∂Ω<br />
2 ∂Ω<br />
1yu Ahora bien, si u 2 son armónicas en Ω también lo es la función w = u1<br />
− u2<br />
puesto que el operador Laplaciano es lineal. En estas condiciones, obviamente se
tiene w = 0 , lo que nos permite afirmar, en virtud <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong>l máximo y <strong>de</strong>l<br />
∂Ω<br />
mínimo que w=0 en Ω y, por tanto:<br />
u 1 = u2<br />
lo que establece la unicidad.<br />
Proposición. La solución <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> Dirichlet para la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> en<br />
un recinto acotado bidimensional Ω, si existe, es estable.<br />
DEMOSTRACIÓN: Sean v1 y v2<br />
funciones armónicas en un recinto Ω y tales que:<br />
v = f<br />
1 ∂Ω<br />
1<br />
v 2 ∂Ω<br />
= f2<br />
Consi<strong>de</strong>remos la función w = v<br />
verifica:<br />
− v<br />
w = f −<br />
∂Ω<br />
1 f2<br />
1 2<br />
Entonces, si consi<strong>de</strong>ramos la norma <strong>de</strong>l supremo<br />
f máx<br />
1 − f2<br />
= f ( x,<br />
y)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
( x,<br />
y)<br />
1 −<br />
∈∂Ω<br />
2<br />
según el principio <strong>de</strong>l máximo y <strong>de</strong>l mínimo se tendrá:<br />
máx w(<br />
x,<br />
y)<br />
≤ f<br />
( x,<br />
y)<br />
1 − f2<br />
; mín w(<br />
x,<br />
y)<br />
≥ − f<br />
( x,<br />
y)<br />
1 − f<br />
∈Ω<br />
∈Ω<br />
2<br />
que es también armónica en Ω y a<strong>de</strong>más<br />
es <strong>de</strong>cir:<br />
w( x,<br />
y)<br />
≤ f1<br />
− f2<br />
, ( x,<br />
y)<br />
∈ Ω<br />
Por tanto:<br />
v1 ( x,<br />
y)<br />
− v2(<br />
x,<br />
y)<br />
≤ f1<br />
− f2<br />
, ( x,<br />
y)<br />
∈ Ω<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> sigue la estabilidad, pues ha quedado <strong>de</strong>mostrado que pequeñas<br />
variaciones en las condiciones, producen variaciones también pequeñas en la<br />
solución.<br />
Establecidos estos resultados sobre la unicidad y estabilidad <strong>de</strong> solución al<br />
problema <strong>de</strong> Dirichlet, daremos a continuación una propiedad <strong>de</strong> las funciones<br />
armónicas que se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong> la proposición anterior y que nos será <strong>de</strong> gran utilidad<br />
cuando en los apartados posteriores, se abor<strong>de</strong>n cuestiones <strong>de</strong> convergencia<br />
encaminadas a <strong>de</strong>mostrar la existencia <strong>de</strong> esta solución.<br />
Propiedad. Sea ( un ) n∈<br />
N una sucesión <strong>de</strong> funciones armónicas en un recinto Ω y<br />
fn n ∈ N , funciones tales que:<br />
continuas en Ω . Sean ( )<br />
u n = f<br />
∂Ω<br />
n<br />
En estas condiciones, si<br />
fn → f uniformemente en ∂Ω<br />
entonces<br />
un → u uniformemente en ∂Ω<br />
DEMOSTRACIÓN. Por hipótesis fn → f uniformemente en ∂Ω. Por <strong>de</strong>finición, esto<br />
significa que:<br />
+<br />
Dado ε ∈R<br />
, ∃N<br />
∈ Ntalque<br />
sin,<br />
m > N,<br />
fn<br />
− fm<br />
< ε<br />
De la proposición <strong>de</strong> estabilidad, <strong>de</strong>ducimos entonces que para n,m > N,<br />
u<br />
n − um<br />
< ε
luego la sucesión ( un ) n∈<br />
N<br />
ECUACIÓN DE LAPLACE EN UN CÍRCULO<br />
Resolución mediante separación <strong>de</strong> variables.<br />
es una sucesión <strong>de</strong> Cauchy y, por tanto, convergente.<br />
Consi<strong>de</strong>remos el problema <strong>de</strong> Dirichlet para la ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> en un círculo <strong>de</strong><br />
centro el origen (lo que no resta generalidad a los resultado que se obtengan) y<br />
radio a.La formulación matemática <strong>de</strong> este problema es:<br />
Δu = 0;<br />
0 ≤ r < a ; 0 ≤ θ < 2 ⋅ π<br />
u( a , θ)<br />
= f(<br />
θ)<br />
don<strong>de</strong> es necesario añadir una condición <strong>de</strong> regularidad en el origen que está<br />
contenido en el dominio que se consi<strong>de</strong>ra; así pues:<br />
lim<br />
r →0<br />
u(<br />
r,<br />
θ)<br />
<<br />
∞<br />
Por otra parte, para utilizar el procedimiento <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> variables es<br />
necesario utilizar coor<strong>de</strong>nadas polares, en las que el Laplaciano tiene por<br />
expresión:<br />
1 1<br />
Δu = urr<br />
+ ⋅ ur<br />
+ ⋅ uθθ<br />
r 2<br />
r<br />
A<strong>de</strong>más, el uso <strong>de</strong> estas coor<strong>de</strong>nadas exige que la solución verifique las condiciones<br />
adicionales:<br />
u( r,<br />
0)<br />
= u(<br />
r,<br />
2π)<br />
uθ ( r,<br />
0)<br />
= uθ(<br />
r,<br />
2π)<br />
pues los valores θ = 0 y θ = 2·π correspon<strong>de</strong>n a la misma parte <strong>de</strong>l dominio que<br />
estamos consi<strong>de</strong>rando (el intervalo [0,a] <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> abscisas) y la solución <strong>de</strong>be ser<br />
<strong>de</strong> clase C 2 en el círculo. Estas condiciones se <strong>de</strong>nominan condiciones <strong>de</strong><br />
periodicidad.<br />
Con todos estos datos, la formulación completa <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> Dirichlet en<br />
un círculo <strong>de</strong> radio a y centro el origen es:<br />
Δu = 0;<br />
0 ≤ r < a ; 0 < θ < 2π<br />
u<br />
( a , θ)<br />
= f(<br />
θ)<br />
; lim u(<br />
r,<br />
θ)<br />
< ∞<br />
r →0<br />
( r,<br />
0)<br />
= u(<br />
r,<br />
2π)<br />
( r,<br />
0)<br />
= u ( r,<br />
2π)<br />
u<br />
uθ<br />
θ<br />
⎫<br />
⎬0<br />
≤ r < a<br />
⎭<br />
Para resolver este problema utilizamos el procedimiento <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> variables.<br />
u r,<br />
θ = Mr<br />
⋅ N θ , sustituyendo en Δu = 0 se obtiene<br />
Suponiendo como solución ( ) ( ) ( )<br />
1 1<br />
M′<br />
′ ⋅ N + ⋅ M′<br />
⋅N<br />
+ ⋅ M ⋅ N′<br />
′ = 0<br />
r<br />
2<br />
r<br />
si dividimos por ella<br />
M′<br />
′ 1 M′<br />
1 N′<br />
′<br />
+ ⋅ + ⋅ = 0<br />
M r M 2<br />
r N<br />
en <strong>de</strong>finitiva<br />
M′<br />
′ M′<br />
N′<br />
′<br />
r ⋅ + r ⋅ = − = −λ<br />
M M N<br />
2<br />
por lo que las funciones M(r) y N(θ) <strong>de</strong>ben verificar las <strong>ecuaciones</strong>
M ( r)<br />
r M(<br />
r)<br />
M(<br />
r)<br />
0<br />
2<br />
⋅ ′<br />
+ ⋅ ′ + λ ⋅ =<br />
N′′ ( θ)<br />
= λ ⋅ N(<br />
θ)<br />
Como las condiciones <strong>de</strong> frontera para la variable r no son homogéneas, utilizamos<br />
la función N(θ) para <strong>de</strong>finir el problema <strong>de</strong> autovalores necesario. Se tiene:<br />
u( r,<br />
0)<br />
= u(<br />
r,<br />
2π)<br />
⇒ M(<br />
r)<br />
⋅ [ N(<br />
0)<br />
− N(<br />
2π)<br />
] = 0 ⇒ N(<br />
0)<br />
= N(<br />
2π)<br />
uθ ( r,<br />
0)<br />
= uθ<br />
( r,<br />
2π)<br />
⇒ M(<br />
r)<br />
⋅ [ N′<br />
( 0)<br />
− N′<br />
( 2π)<br />
] = 0 ⇒ N′<br />
( 0)<br />
= N′<br />
( 2π)<br />
y por tanto, N(θ) <strong>de</strong>be ser solución <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> autovalores:<br />
N′<br />
′ ( θ)<br />
= λ ⋅ N(<br />
θ)<br />
⎫<br />
⎪<br />
N(<br />
0)<br />
= N(<br />
2π)<br />
⎬<br />
N′<br />
( 0)<br />
= N′<br />
( 2π)<br />
⎪<br />
⎭<br />
que es un problema regular periódico. <strong>Las</strong> soluciones <strong>de</strong> este problema son:<br />
N0(<br />
θ)<br />
= 1⎫<br />
( 1)<br />
⎪ 2<br />
Nn<br />
( θ)<br />
= cos(<br />
n ⋅ θ)<br />
⎬λn<br />
= −n<br />
, n ∈ N + { 0}<br />
( 2)<br />
Nn<br />
( θ)<br />
= sin(<br />
n ⋅ θ)<br />
⎪<br />
⎭<br />
Nótese que en este caso, solamente el autovalor nulo tiene asociada una única<br />
autofunción, mientras que para los restantes existen dos. Esta es una <strong>de</strong> las<br />
características que diferencian los problemas regulares <strong>de</strong> Sturm-Liouville <strong>de</strong> los<br />
periódicos.<br />
Encontrados los autovalores y las autofunciones, proseguimos con el método<br />
<strong>de</strong> separación <strong>de</strong> variables. Sustituyendo los valores <strong>de</strong> λn = −n 2 en la ecuación<br />
satisfecha por M(r) se obtiene la colección <strong>de</strong> <strong>ecuaciones</strong> ordinarias:<br />
2<br />
2<br />
∀ n ∈ N + { 0}<br />
, r Mn′<br />
′ ( r)<br />
+ rMn′<br />
( r)<br />
− n Mn<br />
( r)<br />
= 0<br />
La solución general <strong>de</strong> la ecuación correspondiente a n=0 se obtiene <strong>de</strong> forma<br />
inmediata integrando dos veces consecutivas y es:<br />
M0 ( r)<br />
= C0<br />
+ D0<br />
lnr<br />
mientras que las restantes para n∈N son <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Euler que tiene por solució:<br />
n −n<br />
∀ n ∈ N,<br />
Mn(<br />
r)<br />
= Cnr<br />
+ Dnr<br />
don<strong>de</strong> se ha escrito M n indicando que hay una solución para cada uno <strong>de</strong> los<br />
valores <strong>de</strong> n ∈ N.<br />
Entonces es claro que cada uno <strong>de</strong> los productos:<br />
n −n<br />
n −n<br />
( C + D lnr)<br />
, ( E r + F r ) ⋅ sin(<br />
n ⋅ θ)<br />
, ( C r + D r ) ⋅ cos(<br />
n ⋅ θ)<br />
0<br />
0<br />
n<br />
n<br />
es solución <strong>de</strong> la ecuación diferencial en <strong>de</strong>rivadas parciales y a<strong>de</strong>más verifica las<br />
condiciones <strong>de</strong> periodicidad. Construimos ahora la solución mediante la serie<br />
formal:<br />
u(<br />
r,<br />
θ)<br />
=<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
∞<br />
n<br />
n −n<br />
( C0<br />
+ D0<br />
lnr)<br />
+ ∑ ( Cnr<br />
+ Dnr<br />
) ⋅ cos(<br />
n ⋅ θ)<br />
n = 1<br />
+<br />
n<br />
∞<br />
n −n<br />
∑ ( Enr<br />
+ Fnr<br />
) ⋅ sin(<br />
n ⋅ θ)<br />
n = 1<br />
don<strong>de</strong> las constantes arbitrarias Cn, Dn,<br />
En,<br />
Fn(<br />
n ∈ N)<br />
se <strong>de</strong>terminan a partir <strong>de</strong> las<br />
condiciones <strong>de</strong> contorno <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />
lim<br />
r<br />
→0<br />
u(<br />
r,<br />
⎧D<br />
⎪<br />
θ)<br />
< ∞ ⇒ ⎨D<br />
⎪<br />
⎩F<br />
n<br />
0<br />
n<br />
= 0<br />
=<br />
=<br />
0,<br />
n<br />
0,<br />
n<br />
∈ N<br />
∈ N<br />
+
∞<br />
∞<br />
C0<br />
n<br />
n<br />
u( a , θ) = f(<br />
θ)<br />
= + ∑ Cna<br />
⋅ cos(<br />
n ⋅ θ)<br />
+ ∑Ena<br />
⋅ sin(<br />
n ⋅ θ)<br />
⇒<br />
2<br />
n=<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
⎧<br />
1 2π<br />
⎪ C0<br />
= f(<br />
s)<br />
ds<br />
⎪<br />
π ∫0<br />
−n<br />
⎪ a 2π<br />
−n<br />
⇒ ⎨Cn<br />
= f(<br />
s)<br />
cos(<br />
ns)<br />
ds = a c<br />
⎪ π ∫<br />
n<br />
0<br />
⎪ −n<br />
a 2π<br />
−n<br />
⎪En<br />
= f(<br />
s)<br />
sin(<br />
ns)<br />
ds = a d<br />
⎩ π ∫<br />
n<br />
0<br />
Sustituyendo estos valores en la solución se obtiene finalmente la representación<br />
formal <strong>de</strong> la solución al problema <strong>de</strong> que proporciona el método <strong>de</strong> separación <strong>de</strong><br />
variables:<br />
∑ [ ( ) ( ) ]<br />
∞ n<br />
C0<br />
⎛ r ⎞<br />
u(<br />
r,<br />
θ)<br />
= + ⎜ ⎟ ⋅ cn<br />
cos nθ<br />
+ dn<br />
sinnθ<br />
2 ⎝ a⎠<br />
n=<br />
1<br />
ECUACIÓN DE LAPLACE EN UN RECTÁNGULO.<br />
El problema <strong>de</strong> Dirichlet para las funciones armónicas en un recángulo se<br />
pue<strong>de</strong> formular matemáticamente en la forma:<br />
Δu = 0,<br />
0 < x < a ; 0 < y < b<br />
( 0,<br />
y)<br />
= f1<br />
( y)<br />
; u(<br />
a,<br />
y)<br />
= f ( y)<br />
; 0 < y < b<br />
( x,<br />
0)<br />
= f ( x)<br />
; u(<br />
x,<br />
b)<br />
= f ( x)<br />
; 0 < x < a<br />
u 2<br />
u 3<br />
4<br />
Como en este problema ninguna <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> frontera es homogénea, para<br />
abordar su resolución separando variables lo <strong>de</strong>scomponemos en dos <strong>de</strong> modo que<br />
cada uno <strong>de</strong> ellos posea condiciones homogéneas en una <strong>de</strong> las variables.<br />
1.- Condiciones <strong>de</strong> forntera homogéneas en la variable x:<br />
Δu = 0,<br />
0 < x < a ; 0 < y < b<br />
I<br />
I<br />
u<br />
I<br />
( 0,<br />
y)<br />
= 0;<br />
u ( a,<br />
y)<br />
= 0;<br />
0 < y < b<br />
( x,<br />
0)<br />
= f<br />
I<br />
( x)<br />
; u ( x,<br />
b)<br />
= f ( x)<br />
; 0 < x < a<br />
I<br />
u 3<br />
4<br />
2.- Condiciones <strong>de</strong> frontera homogéneas en la variable y:<br />
Δu = 0,<br />
0 < x < a ; 0 < y < b<br />
II<br />
II<br />
( 0,<br />
y)<br />
= f1(<br />
y)<br />
; u ( a,<br />
y)<br />
= f ( y)<br />
; 0 < y < b<br />
II<br />
( x,<br />
0)<br />
= 0;<br />
u ( x,<br />
b)<br />
= 0;<br />
0 < x < a<br />
II<br />
u 2<br />
II<br />
u<br />
Estos problemas se resuelven mediante separación <strong>de</strong> variables y, obtenida la<br />
solución <strong>de</strong> ambos es claro que la suma es la solución <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> partida.<br />
Describiremos el procedimiento para uno <strong>de</strong> los casos. El otro se trata <strong>de</strong><br />
forma absolutamente equivalente.<br />
Consi<strong>de</strong>ramos el problema 1. Suponiendo la solución en la forma<br />
u ( x,<br />
y)<br />
M(<br />
x)<br />
• N(<br />
y)<br />
I<br />
=<br />
para M(x) y N(y) se obtienen las siguientes <strong>ecuaciones</strong> diferenciales:<br />
M′′ ( x)<br />
= −λM(<br />
x)<br />
N ′′ ( y)<br />
− λN(<br />
y)<br />
= 0<br />
Exigiendo que M(x) verifique las condiciones <strong>de</strong> frontera homogéneas, esta función<br />
<strong>de</strong>be ser solución <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> Sturm-Liouville:<br />
M′′ ( x)<br />
= −λM(<br />
x)
M ( 0)<br />
= M(<br />
a ) = 0<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
2 2<br />
⎛nπ<br />
⎞ n π<br />
Mn(<br />
x)<br />
= sin⎜<br />
⋅ x⎟;<br />
λn<br />
= , n ∈ N<br />
⎝ a ⎠<br />
2<br />
a<br />
Sustituyendo los valores <strong>de</strong> λn en la ecuación que satisface N(y), resulta:<br />
2 2<br />
n π<br />
N′<br />
′ ( y)<br />
− N(<br />
y)<br />
= 0<br />
2<br />
a<br />
cuyas soluciones son:<br />
⎛nπy ⎞<br />
⎛nπy ⎞<br />
Nn ( y)<br />
= Cn<br />
⋅ cosh⎜<br />
⎟ + Dn<br />
⋅ sinh⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
⎝ a ⎠<br />
Los productos un( x,<br />
y)<br />
= Mn(<br />
x)<br />
•Nn(<br />
y),<br />
n ∈ N,<br />
son entonces soluciones <strong>de</strong> la ecuación<br />
diferencial en <strong>de</strong>rivadas parciales y a<strong>de</strong>más verifican las condiciones <strong>de</strong> contorno.<br />
Suponemos entonces como solución formal:<br />
∞<br />
∞<br />
I<br />
⎛ ⎛ nπy<br />
⎞<br />
⎛nπy ⎞⎞<br />
⎛nπ<br />
⎞<br />
u ( x,<br />
y)<br />
= ∑ un(<br />
x,<br />
y)<br />
= ∑ ⎜<br />
⎜Cn<br />
⋅ cosh⎜<br />
⎟ + Dn<br />
⋅ sinh⎜<br />
⎟ ⎟ ⋅ sin⎜<br />
⋅ x⎟<br />
⎝ ⎝ a ⎠<br />
⎝ a ⎠⎠<br />
⎝ a ⎠<br />
n=<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
Para <strong>de</strong>terminar las constantes Cn y Dn , n ∈ N , imponemos las condiciones <strong>de</strong><br />
contorno en y:<br />
I<br />
⎛nπ<br />
⎞ 2 a nπs<br />
( ) ( 1<br />
u x,<br />
0 = f<br />
)<br />
3(<br />
x)<br />
= ∑ Cn<br />
⋅ sin⎜<br />
⋅ x⎟<br />
⇒ Cn<br />
= f3(<br />
s)<br />
⋅ sin ⋅ ds = an<br />
⎝ a ⎠ a ∫0<br />
a<br />
n 1<br />
∞<br />
=<br />
⎛ ⎛ π ⎞<br />
⎛ π ⎞⎞<br />
⎛ π ⎞<br />
( ) = = ∑ ⎜ ⋅ ⎜ ⎟ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ⇒<br />
⎝ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠⎠<br />
⎝ ⎠<br />
∞<br />
I<br />
n b<br />
n b n<br />
u x,<br />
b f4(<br />
x)<br />
Cn<br />
cosh Dn<br />
sinh sin x<br />
a<br />
a a<br />
n = 1<br />
⎛nπb ⎞<br />
⎛nπb ⎞ 2 a nπs<br />
( 2)<br />
Cn ⋅ cosh⎜<br />
⎟ + Dn<br />
⋅ sinh⎜<br />
⎟ = f ⋅ ⋅ = ⇒<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ ∫ 4(<br />
s)<br />
sin ds an<br />
a<br />
a a 0<br />
a<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
⎛nπb ⎞<br />
an<br />
− an<br />
⋅ cosh⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
Dn<br />
=<br />
⎛ nπb<br />
⎞<br />
sinh⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
Finalmente, sustituyendo estos coeficientes en la serie, se obtiene la solución<br />
formal que el método <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> variables proporciona para el problema 1,<br />
cuya expresión es:<br />
⎛<br />
( ) ( ) ⎛ π ⎞<br />
⎞<br />
⎜<br />
− ⋅ ⎜ ⎟<br />
⎟<br />
( ) ⎜ ( ) ⎛ π ⎞<br />
⎛ π ⎞⎟<br />
⎛ π ⎞<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
∑ ⎜<br />
⋅ ⎜ ⎟ +<br />
⋅ ⎜ ⎟⎟<br />
⋅ ⎜ ⋅ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎜<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ π ⎞<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ ⎟<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎝ ⎠<br />
⎠<br />
∞<br />
2 1 n b<br />
an<br />
an<br />
cosh<br />
I<br />
1 n y<br />
a n y n<br />
u x,<br />
y a n cosh<br />
sinh sin x<br />
a<br />
n b<br />
a a<br />
n=<br />
1<br />
sinh<br />
a<br />
(V)<br />
don<strong>de</strong>:<br />
( ) 2 a nπs<br />
a<br />
1<br />
an = f ( s)<br />
⋅ sin ⋅ ds<br />
a ∫ 3<br />
;<br />
( 2)<br />
2<br />
nπs<br />
an = f ( s)<br />
⋅ sin ⋅ ds<br />
0 a<br />
a ∫ 4<br />
0 a<br />
<strong>Las</strong> soluciones <strong>de</strong>l problema en la variable y se han expresado en términos <strong>de</strong> los<br />
senos y cosenos hiperbólicos en lugar <strong>de</strong> utilizar las correspondientes exponenciales<br />
reales. Esto facilita, en general, la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> las constantes Cn y Dn como<br />
se acaba <strong>de</strong> comprobar.
ECUACIÓN DE POISSON EN UN RECTÁNGULO.<br />
Ahora, se consi<strong>de</strong>ra el problema:<br />
Δu = A(<br />
x,<br />
y),<br />
0 < x < a ; 0 < y < b<br />
u( x,<br />
0)<br />
= f1<br />
( x)<br />
; u(<br />
x,<br />
b)<br />
= f2(<br />
x)<br />
; 0 < x < a<br />
u( 0,<br />
y)<br />
= f3<br />
( y)<br />
; u(<br />
a,<br />
y)<br />
= f4(<br />
y)<br />
; 0 < y < b<br />
Para resolverlo por separación <strong>de</strong> variables proce<strong>de</strong>mos como en el apartado<br />
anterior, consi<strong>de</strong>rando dos problemas:<br />
1. <strong>Ecuación</strong> diferencial en <strong>de</strong>rivadas parciales homogénea y condiciones<br />
homogéneas en la variable y<br />
Δu = 0,<br />
0 < x < a ; 0 < y < b<br />
I<br />
I<br />
u<br />
I ( x,<br />
0)<br />
= u ( x,<br />
b)<br />
= 0;<br />
0 < x < a<br />
( 0,<br />
y)<br />
= f<br />
I<br />
( y)<br />
; u ( a,<br />
y)<br />
= f ( y)<br />
; 0 < y < b<br />
I<br />
u 3<br />
4<br />
Este problema es <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong>l tratado en el apartado anterior.<br />
2.- <strong>Ecuación</strong> diferencial en <strong>de</strong>rivadas parciales no homogénea y condiciones<br />
homogéneas en la variable x<br />
Δu = A(<br />
x,<br />
y),<br />
0 < x < a ; 0 < y < b<br />
II<br />
II<br />
( x,<br />
0)<br />
= f1(<br />
x)<br />
; u ( x,<br />
b)<br />
= f ( x)<br />
; 0 < x < a<br />
II ( 0,<br />
y)<br />
= u ( a,<br />
y)<br />
= 0;<br />
0 < y < b<br />
II<br />
u 2<br />
II<br />
u<br />
Obviamente, una vez resueltos estos dos problemas, la solución <strong>de</strong>l problema<br />
I II<br />
[18.20] <strong>de</strong> partida es: u( x, y) = u ( x, y) + u ( x, y)<br />
Como ha quedado dicho, el problema 1 ya ha sido estudiado en el apartado<br />
anterior. Consi<strong>de</strong>ramos, pues, el 2 que resolveremos en términos <strong>de</strong> las<br />
autofunciones <strong>de</strong>l correspondiente problema homogéneo:<br />
⎧ ⎛nπx ⎞⎫<br />
⎨sin⎜<br />
⎟⎬<br />
⎩ ⎝ a ⎠⎭n∈N<br />
Empezamos por representar u ( x,<br />
y)<br />
II<br />
mediante la serie formal:<br />
∑ ∞<br />
II<br />
⎛nπx ⎞<br />
u ( x,<br />
y)<br />
= un(<br />
y)<br />
⋅ sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
n=<br />
1<br />
A continuación <strong>de</strong>sarrollamos en serie las funciones A( x,<br />
y),<br />
f1<br />
( x),<br />
f2(<br />
x)<br />
:<br />
∑ ∞<br />
⎛nπx ⎞<br />
A(<br />
x,<br />
y)<br />
= a n(<br />
y)<br />
⋅ sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
n=<br />
1<br />
∑ ∞<br />
⎛nπx ⎞<br />
f1(<br />
x)<br />
= b n ⋅ sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
n=<br />
1<br />
∑ ∞<br />
⎛nπx ⎞<br />
f2(<br />
x)<br />
= c n ⋅ sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
n = 1<br />
don<strong>de</strong>
2 a<br />
⎛nπs⎞ ∀n<br />
∈ N,<br />
an<br />
( y)<br />
= ⋅ A(<br />
s,<br />
y)<br />
⋅ sin⎜<br />
⎟ ⋅ ds<br />
a ∫0 ⎝ a ⎠<br />
a ⎛ π ⎞<br />
∀ ∈ b =<br />
⋅ ⎜ ⎟ ⋅<br />
a ∫0 ⎝ a ⎠<br />
1<br />
n<br />
2<br />
n s<br />
n N,<br />
• f ( s)<br />
sin ds<br />
a ⎛ π ⎞<br />
∀ ∈ c = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅<br />
a ∫0 ⎝ a ⎠<br />
2<br />
n<br />
2<br />
n s<br />
n N,<br />
f ( s)<br />
sin ds<br />
Sustituyendo en la ecuación diferencial en <strong>de</strong>rivadas parciales las funciones u II y A<br />
por sus correspondientes series, se <strong>de</strong>duce que las funciones un( y)<br />
( n ∈ N)<br />
, verifican<br />
la colección <strong>de</strong> <strong>ecuaciones</strong> diferenciales ordinarias no homogéneas:<br />
2 2<br />
n π<br />
∀ n ∈ N,<br />
un′<br />
′ ( y)<br />
− ⋅ un<br />
( y)<br />
= an(<br />
y)<br />
2<br />
a<br />
Imponiendo ahora que u II satisfaga las condiciones <strong>de</strong> frontera en y, se tiene:<br />
II<br />
⎛nπx ⎞<br />
u ( x,<br />
0)<br />
= f1(<br />
x)<br />
= ∑ un(<br />
0)<br />
⋅ sin⎜<br />
⎟ ⇒ ∀n<br />
∈ N,<br />
un(<br />
0)<br />
= bn<br />
⎝ a ⎠<br />
n 1<br />
∞<br />
=<br />
II<br />
⎛nπx ⎞<br />
u ( x,<br />
b ) = f2(<br />
x)<br />
= ∑ un(<br />
b)<br />
⋅ sin⎜<br />
⎟ ⇒ ∀n<br />
∈ N,<br />
un(<br />
b)<br />
= cn<br />
⎝ a ⎠<br />
n 1<br />
∞<br />
=<br />
Puesto que las <strong>ecuaciones</strong> son <strong>de</strong> coeficientes constantes, obtendremos su solución<br />
general mediante cualquiera <strong>de</strong> los procedimientos expuestos en el tema 7. De esta<br />
solución general podremos extraer la solución particular que nos interesa,<br />
imponiendo las condiciones <strong>de</strong> contorno. Sustituyendo éstas en la serie<br />
encontraremos la solución buscada.<br />
PROBLEMA DE NEUMANN EN UN CÍRCULO<br />
Recuér<strong>de</strong>se que la expresión<br />
∂ T<br />
∂n<br />
significa<br />
n • ∇T v r<br />
Sea un círculo <strong>de</strong> radio unidad en cuyo interior está <strong>de</strong>finida una función armónica (<br />
ΔT = 0) y que cumple la condición <strong>de</strong> contorno<br />
∂T<br />
= f(<br />
θ)<br />
∂r<br />
para r = 1, siendo la función f(θ) uniforme.<br />
La ecuación <strong>de</strong> <strong>Laplace</strong> en coor<strong>de</strong>nadas polares es:<br />
2<br />
2<br />
∂ T 1 ∂T<br />
1 ∂ T<br />
+ ⋅ + ⋅ = 0<br />
2<br />
r r ∂r<br />
2 2<br />
∂<br />
r ∂θ<br />
que se verifica para 0 ≤ r < 1. Aplicando la técnica <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> variables, se<br />
<strong>de</strong>fine que<br />
T = h(r)·g(θ)<br />
Por tanto<br />
h′<br />
′ 1 h′<br />
1 g′<br />
′<br />
+ ⋅ + ⋅ = 0<br />
h r h 2<br />
r g<br />
o lo que es lo mismo
h′<br />
′ h′<br />
g′<br />
′<br />
r ⋅ + r ⋅ = − = λ<br />
h h g<br />
2<br />
Como<br />
T(r,θ) = T(r,θ + 2·π),<br />
entonces<br />
g(0) = g(2·π)<br />
y también se verificará que<br />
g'(0) = g'(2·π)<br />
Por tanto<br />
g" + λ·g = 0<br />
y con las condiciones expuestas se ha <strong>de</strong> cumplir que<br />
2<br />
λ = n con n ∈ N + 0<br />
por consiguiente<br />
g(θ) = A cos(n·θ) + B sin(n·θ)<br />
Por otro lado,<br />
2<br />
2<br />
r ⋅ h′<br />
′ + r ⋅ h′<br />
− n ⋅ h = 0<br />
que es una ecuación <strong>de</strong> Euler. Convenientemente integrada<br />
n −n<br />
h(<br />
r)<br />
= C ⋅ r + D ⋅ r<br />
como en r→ 0 <strong>de</strong>be estar acotada, entonces D = 0. Así,<br />
n<br />
h( r)<br />
= C ⋅ r<br />
Luego<br />
n<br />
n<br />
T ( r,<br />
θ) = ∑ { An<br />
⋅ r ⋅ cos(<br />
n ⋅ θ)<br />
+ Bn<br />
⋅ r ⋅ sin(<br />
n ⋅ θ)<br />
} + A 0<br />
n 1<br />
∞<br />
=<br />
imponiendo la condición <strong>de</strong> Neumann<br />
∑ { ( ) ( ) }<br />
∞<br />
∂T<br />
n −1<br />
= n ⋅r<br />
⋅ An<br />
⋅ cos n ⋅ θ + Bn<br />
⋅ sinn<br />
⋅ θ<br />
∂r<br />
n=<br />
1<br />
cuando r = 1<br />
∑ { ( ) ( ) }<br />
∞<br />
f ( θ)<br />
= n An<br />
⋅ cos n ⋅ θ + Bn<br />
⋅ sinn<br />
⋅ θ<br />
n = 1<br />
que es el <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> la función f(θ). Sin embargo ha <strong>de</strong><br />
observarse que esta función ha <strong>de</strong> ser tal que su <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> Fourier no<br />
<strong>de</strong>be tener término <strong>de</strong> la forma<br />
A0 2<br />
o lo que es lo mismo ha <strong>de</strong> verificar que<br />
∫ π<br />
f<br />
( θ) ⋅ dθ<br />
− π