El modelo hiperbólico del problema de Brazel - Nolan t U x U ...

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E L N O R D E S T E
C o m u n i c a c i o n e s C i e n t í f i c a s y T e c n o l ó g i c a s 2 0 0 4
El modelo hiperbólico
del problema de Brazel - Nolan
Leguiza, Pedro D. 1 - Camprubí, Germán E. 1 - López Molina, Juan A. 2
1. UNNE. Facultad de Agroindustrias, Departamento de Matemática.
Comandante Fernández 755, C.P 3700. Presidencia Roque Sáenz Peña argentina.
E-mail: dany@fai.unne.edu.ar. Tel./Fax: (03732) 420137
2. UPV. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos. Valencia. España
Antecedentes
Resumen: T-039
El problema de Brazel y Nolan consiste en el estudio de la evolución de la temperatura en una barra semiinfinita con
temperatura inicial y flujo de calor nuloS y sometida en su extremo izquierdo a un flujo de calor determinado por un
pulso calorífico a lo largo de un intervalo de tiempo pequeño ∆t, concretamente del orden del parámetro de relajación τ
del material. Este problema fue tratado inicialmente en [1] desde el punto de vista de la ecuación hiperbólica del calor
para tener un conocimiento más preciso de las temperaturas desarrolladas en los instantes iniciales del proceso y
prevenir las altas tensiones térmicas que pudieran originarse y con ellos las grieta s y eventual quiebra del material
utilizado.
Sin embargo, los cálculos de Brazel y Nolan contienen una formulación errónea de las condiciones de contorno del
problema, como fue observado posteriormente por Maurer y Thomson en [2], trabajo en el que pretende corregir los
errores de Brazel y Nolan,
Maurer y Thompson, para simplificar, asimilan el pulso calorífico a un flujo de intensidad constante F0 en el extremo
durante un intervalo de tiempo [0, ατ], siendo α > 0 una constante fija y con la notación previa
∆t = ατ. Teniendo en cuenta los razonamientos hechos en [3] para llegar a la ecuación:
∂T
∂t
( x,
0)
= 0
x > 0, (1)
el problema declarado por Maurer y Thompson se formularía matemáticamente en la forma
2
∂ U ∂U
= 2
∂x
α∂t
∀t∈ (0,ατ] q ( 0,t ) = F0 (3)
∀t > τ q ( 0,t ) = 0 (4)
∀x > 0 U ( x, 0 ) = 0 (5)
∀x > 0
∂U
∂t
(2)
( x, 0 ) = 0 (6)
Sin embargo, el problema que resuelven correctamente Maurer y Thompson no es el problema que ellos declaran
cualitativamente que van a resolver, sino otro distinto. En efecto, Maurer y Thompson, en vez de considerar (3) y (4),
plantean la ecuación de flujo extremo
∂T
∂q
q 0, t = −K
0,
t −τ
0,
t = F
∂x
∂t
∀t > 0 ( ) ( ) ( ) 0
con lo que se apartan del problema estipulado y entran de lleno realmente en un caso particular del problema
estudiado en [4]. La configuración de que realmente considera la condición de contorno anterior para todo t > 0 está
en que al tomar transformada de Laplace, calculan L{F0}=F0/s como corresponde a la constancia F0 del flujo para todo t
> 0.
El modelo hiperbólico para este problema es

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T
( x,
t)
q
=
⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞
+ ⎜ ⎟H
⎜t
− ⎟
⎝τ
⎠ ⎝ v ⎠
0
⎡
⎢
τα ⎛ x ⎞
H⎜
t − ⎟
⎢e
k ⎝ v ⎠⎢
⎢
⎢⎣
∫
t
x
v
e
⎛ u ⎞
−⎜
⎟
⎝ 2τ
⎠
⎛
⎜
⎜
I0⎜
⎜
⎝
−t
2τ
⎛
⎜
⎜
I0⎜
⎜
⎝
2 x
u −
v
2τ
2 x
t −
v
2τ
2
2
2
2
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ ⎥
⎟du
⎥
⎟
⎥
⎠ ⎥⎦
Los resultado del mismo problema según el modelo parabólico de Fourier serían
Discusión de resultados
T
q α
k
e
−x
q α
k
0
0
( x,
t)
= ∫ du = ∫
2
− x
t 4uα
t 4uα
πu
0 0
⎞
⎟
⎟
⎟ +
⎟
⎠
2
e
du
πu
Resumen: T-039
El problema original de Brazel y Nolan, debe formularse en forma distinta. La variante entre una y otra forma procede
de las condiciones de contorno. La formulación completa y correcta del problema consiste en hallar la función que
verifica
donde H ( t ∆t)
2
2
∂ T ∂T
∂ T
α = + τ
2
2
∂x
∂t
∂t
[ ]
∀t > 0 q( 0 , t)
F H ( t)
− H ( t − ∆t)
(8)
= 0
∀t > 0 T ( ∞,
t)
= limT
( x,
t)
= 0
x→∞
∀x > 0 T ( x,
0)
= 0
(10)
∀x > 0 q ( x,
0)
= 0
(11)
− es la función Heaviside, introducida para representar el cambio de flujo. La condición de contorno
(9) refleja el mantenimiento en el infinito de la condición inicial correspondiente a ese extremo en conformidad con la
idea de propagación del calor con velocidad finita.
Para q ( x,
0)
= 0 expresada en términos de la temperatura equivale a
∂T
∀x > 0 ( x,
0)
= 0
∂t
Por otra parte para traducir en términos de la temperatura la influencia de la nueva condición (8) formulada en principio
como una ecuación sobre el flujo, calculamos la derivada parcial de la temperatura respecto a x y teniendo en cuenta la
ecuación modificada de Fourier, en (8) se obtiene la fórmula radicalmente distinta a las anteriores
∂T
− F0
∀t > 0 ( , t)
= H ( t)
− H ( t − ∆t)
+ τδ ( t)
−τδ
( t − ∆t)
∂x
k
( )
(7)
(9)
(12)
0 (13)
donde δ ( t − ∆t)
es la distribución δ de Dirac y se ha aplicado la fórmula de derivación en el sentido de las
distribuciones de Schwartz H '( t − ∆t)
= δ ( t − ∆t)
. Para resolver esta ecuación diferencial en derivadas parciales,
tomamos transformadas de Laplace respecto a t, y luego de tediosos cálculos obtenemos

F
⎡
0v
⎛ x ⎞
T ( x,
t)
= H ⎜t
− x⎟⎢
k ⎝ v ⎠⎢⎣
+ τe
t −∆t
−
2τ
⎛
I ⎜
0⎜
⎝
Se puede observar que
no depende de ∆ t .
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∫
t
x
v
e
−u
⎛
I ⎜
⎜
⎝
2τ
0
2 2
u x ⎞
⎟ ⎛ x ⎞
− −τH
⎜t
− ∆t
− ⎟e
2
4τ
4τα
⎟
⎠ ⎝ v ⎠
2 2
u x ⎞
⎟ ⎛ x ⎞
− du − H⎜
t − ∆t
−
2
⎟
4τ
4τα
⎟
⎠ ⎝ v ⎠
t −∆t
−
2τ
⎛
I ⎜
0⎜
⎝
lim T ( x,
t)
= F
x→0
t →0
0
( t − ∆t)
2
4τ
ατ
k
2
∫
2
x ⎞⎤
− ⎟⎥
4τα
⎟
⎠
⎥
⎦
En el tratamiento clásico esta situación seduciría a resolver el problema matemático
2
∂ T ∂T
α = 2
∂x
∂t
−u
t −∆t
2τ
x e I0
v
∂T F0
∀t > 0 ( , t)
= H ( t)
− H ( t − ∆t)
∂x
k
⎛
⎜
⎜
⎝
[ ]
Resumen: T-039
2 2
u x ⎞
− ⎟du
+
2
4τ
4τα
⎟
⎠
(16)
0 (17)
∀t > 0 T ( ∞,
t)
= limT
( x,
t)
= 0
x→∞
(18)
∀x > 0 T ( x,
0)
= 0
(19)
ya que en este caso se usa la ley de Fourier ordinaria. Los cálculos son análogos y se obtienen tomando τ = 0 en todas
las fórmulas anteriores, llegando a
Se observa que
1
α ⎡ ∆t
1 −
4α
T ( x,
t)
= F0
⎢∫
e du − H ( t − ∆t)
k π
∫
⎢⎣
u
1
t + t + ∆t
1 −
u 4αu
e du
0 0
limT
( x,
t)
= 0
x→0
t →0
Veamos en una gráfica el comportamiento global de la temperatura para ambos modelos. Dibujamos la función T(x,t)
−6
2
para una barra semiinfinita de aluminio, con difusividad α = 85,
9 ⋅10
m / s , conductividad k= 202,4 W/(mºC),
tomando un tiempo de relajación τ=10 -13 s y un flujo de calor dado por un pulso de F0=10 13 W/m 2 durante un intervalo de
tiempo ∆t=0.1τ. Dibujamos la evolución de la temperatura en el origen a lo largo del tiempo (la línea punteada es la
temperatura calculada con la ecuación parabólica y la hiperbólica la de trazo continuo)
u
⎤
⎥
⎥⎦
(20)

Conclusión
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Resumen: T-039
Se observan dos cosas dignas de mención: la primera es la continuidad de la solución en (0,∞)×(0,∞). La segunda, y
esta es fundamental en las aplicaciones a la Ingeniería, es la radical diferencia de comportamiento frente al enfoque
parabólico. En el caso parabólico, la temperatura en el origen cuando el tiempo tiende a cero, es decir en el momento de
llegar el flujo, tiende a cero mientras que el caso hiperbólico se consigue una temperatura dada en general por (16) y en
nuestro ejemplo concreto es de 150ºC (más exactamente, T(0,0) =144.806ºC. teniendo en cuenta la posición del factor
F0 en ambos resultados, un flujo de 10 14 W/m 2 (diez veces superior al usado en los ejemplo) produciría una temperatura
de unos 1500ºC en el origen. Pero si además el tiempo de aplicación del flujo es pequeño en comparación con el tiempo
de relajación este comportamiento en el origen de tiempos es esencialmente el mismo respecto a los máximos
alcanzados por la temperatura en extremo de la barra a lo largo del tiempo.
Bibliografía
[1] BRAZEL, J.P., NOLAN, E.J. “NON Fourier effects in the transmission of heat. Proceedings 6 th Conference on
thermal Conductivity, Dayton, Ohio, Oct. 19-21, (1966)
[2] MAURER, M.J., THOMPSON, H.A. “Non Fourier effects at high heat flux” Journal of heat transfer. Trans. ASME,
284-286, (1973)
[3]LEGUIZA, PEDRO D, CAMPRUBÍ, GERMÁN E., LÓPEZ MOLINA, JUAN A. Estudio de la transmisión de
calor en una barra semiinfinita con temperatura inicial constante y temperatura fija en el extremo bajo la formulación
hiperbólica de la ecuación del calor”. Secretaría General de Ciencia y Técnica(UNNE). Comunicaciones Científicas y
Tecnológicas 2003. Corrientes.
[4] LEGUIZA, PEDRO D, CAMPRUBÍ, GERMÁN E., LÓPEZ MOLINA, JUAN A. “Eliminación de la paradoja de
flujo infinito de la Ecuación clásica para el caso de una barra semiinfinita” Secretaría General de Ciencia y
Técnica(UNNE). Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2003. Corrientes.