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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
UNA HERRAMIENTA PARA
APOYAR EL DESARROLLO DE
HEURÍSTICAS BASADA EN UNA
METODOLOGÍA DE RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN
PATRICIO ANDRÉS RODRÍGUEZ VALDÉS
Tesis para optar al grado de
Magister en Ciencias de la Ingeniería
Profesor Supervisor:
MIGUEL NUSSBAUM V.
Santiago de Chile, 1996

3
PONTIFICIA UNWERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
Departamento de Ciencia de la Computación
UNA HERRAMIENTA PARA APOYAR
EL DESARROLLO DE HEURÍSTICAS
BASADA EN UNA METODOLOGÍA DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN
PATRICIO ANDRÉS RODRÍGUEZ VALDÉS
Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores:
MIGUEL NUSSBAUM Y.
LUIS CONTESSE B.
SERGIO MATURANA V.
ANDRÉS WEINTRAUB P.
JUAN DE DIOS ORTUZAR S.
Para completar las exigencias del grado
de Magister en Ciencias de la Ingeniería
Santiago de Chile, 1996

A mi Madre, quien me enseñó a
perseguir mis sueños, y a mis,
hermanos que me apoyaron mucho.

AGRADECIMIENTOS
Quisiera agradecei el apoyo que tanto la Dirección de Investigación y
Postgrado de la Pontificia Universidad Católica a través del fondo de apoyo a las Tesis
de Magister y la Comisión Nacional de Investigación en Ciencia y Tecnología
(CONTCYT) a través de su beca de postgrado y el programa de cooperación
internacional dieron al desarrollo de esta tesis.
Mi especial reconocimiento a Marcos Sepúlveda, quien fue el primero en
confiar en mí y me abrió la puerta al mundo de la investigación, y a los profesores del
departamento de Ciencia de la Computación Leopoldo Bertossi y Yadran Eterovic por
apoyar mi postulación al programa de Magister.
Agradezco a mis compañeros y amigos con quienes trabaje por tanto tiempo
en el desarrollo de este proyecto : Rodrigo Baeza, Rodrigo Buzeta, Lioubov
Dombrovskaia, Robert Fischer, Lorena Oliver, Rodrigo Sandoval, Hans Schróder y
especialmente a Marcos Singer, quien lo hizo a través de la distancia. Mi
agradecimiento también para Tania Bedrax por sus interesantes comentarios, aportes y
discusiones aunque por encima de todo, le agradezco su fonna directa y honesta de ver
la vida: Gracias, Tania.
Finalmente quisiera agradecer en forma muy especial a mi profesor guía
Miguel Nussbaum, estos cuatro años que me permitieron crecer como profesional y
persona, además de aprender que hacer universidad no es sólo investigación, disciplina y
conocimiento sino que también es amistad.
Al terminar, siempre se tiene la terrible certeza de que alguien a quien se
quiere y que en algún momento de nuestras vidas fue importante quedó postergado en
algún rincón de nuestra mente. A todas esas personas mi más sincero reconocimiento y a
la vez mis más sinceras disculpas.
111

DEDICATORIA
INDICE GENERAL
AGRADECIMIENTOS...................... . .................... . ........................................ . ..............
iNDICE DE TABLAS... ............................................................... . ................................. viii
INDICE DE FIGURAS... ................................................................................................. ix
RESUMEN......... . ..... . ........................ . ....................... . ................. . .................... . ... . ........... xi
ABSTRACT.............................. .... .................... . .... . ........................................................ xii
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 1
1.1 Heurísticas ................... . ............................................................... . .................. 2
1.1.1 Búsqueda local...............................................................................6
1.1.2 Búsqueda global .......................................................................... .15
1.2 El Problema..................................................................................................22
1.3 Discusión......................................................................................................23
1.4 Hipótesis de Trabajo.....................................................................................24
U. EL PROCESO DE MODELACIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE
OPTIMIIZACIÓN COMBINATORIAL................................................................ 27
2.1 El proceso de Modelación. ........................ . ............................................ . ..... 27
Pág.
2.1.1 Entendimiento del problema........................................................ 28
2.1.2 Construcción del modelo. ............................................................ 29
2.1.3 Generación de datos..................................................................... 30
2.2 El Proceso de Resolución ............. . .......................................... . .................... 30
2.2.1 Conceptualización de la búsqueda ........... . .................... . .............. 35
2.2.2 Defmición de operadores............................................................. 38
2.2.3 Estrategia de control .................................................................... 39
2.2.4 Ajuste de parámetros ................................................................... 41

2.3 Interrelación entre los Dos Procesos .43
2.4 Requisitos de una Herramienta para el Desarrollo de Heurísticas...............45
ifi. DISEÑO DE LA HERRAMIENTA. ..................................................................... 47
3.1 La Vecindad y la Conceptualización del Problema......................................47
3.1.1 El concepto de asociación .............................................. . ............. 49
3.1.2 Álgebra de asociaciones...............................................................52
3.2 Diseño del Algoritmo de Búsqueda ............................................................. 56
3.2.1 Conceptos previos... ..................................................................... 56
3.2.2 Algoritmo de búsqueda propuesto. .... . ......................................... 61
IV. LA HERRAMIENTA DE APOYO AL DISEÑO DE HEURÍSTICAS DE
BÚSQUEDALOCAL.. ........................................................... . ..... . ....................... 66
4.1 LS-1 Un Lenguaje para Defmir Heurísticas de Búsqueda.........................66
4.1.1 Bloque de conexión con la estructura de datos.. ..... . .................... 68
4.1.2 Bloque de interrelación entre heurísticas.....................................69
4.1.3 Bloque de defmición de asociación.............................................69
4.1.4 Bloque de heurísticas contextuales . ............................................. 71
4.2 Cómo Construir un Lenguaje Gráfico a Partir de LS-1................................74
4.3 Búsqueda Paralela ........................................................ . ............................... 78
4.3.1 RedesdePetri ..............................................................................78
4.3.2 Especificación concurrente del grafo de vecindad ........... . ........... 80
4.4 Implementación de la Herramienta ............................. . ................................ 83
4.4.1 Criterios de detención. ........................................................... . ..... 85
4.4.2 Criterios de aceptación ................................................................85
4.4.3 Recorrido del grafo ................. . ......... . .......... . ............................... 86
V.APLICACIONES ............... . .......... ... .......................................................................... 87
5.1 Minimizar la Tardanza Ponderada en un Job Shop .............. . ....................... 87

5.1.1 Conceptualización del problema .88
5.1.2 Definición de operadores............................................................. 96
5.1.3 Estrategia de control .................................................................. 102
5.1.4 Resultados ........... . ................................................................. . .... 104
5.2 Industria Forestal.. ................................................................................ . ..... 111
5.2.1 Conceptualización del problema................................................ 112
5.2.2 Defmición de operadores.... ....................................................... 114
5.2.3 Estrategia de Control ................................................................. 116
5.2.4 Resultados .... . ...... . ..... . ..... .. ................... . ........ . ............................ 117
VI . CONCLUSIONES .................................................................................................. 120
6.1 Acerca de la Metodología Propuesta ................. ... ...................................... 120
6.1.1 Ventajas ..................................................................................... 120
6.1.2 Desventajas................................................................................ 120
6.2 Acerca del Concepto de Cluster y Extensiones.......................................... 121
6.2.1 Conceptos relacionados ...................................................... . ...... 121
6 .2.2 Extensiones................................................................................ 122
6.3 Conceptos de Búsqueda Introducidos ........................................................ 123
6.3.1 Combinación de heurísticas....................................................... 123
6.3.2 Equivalencia entre tipos de heurísticas...................................... 124
6.3.3 Extensiones al concepto de estado ...................... . ...................... 124
6.4 Acerca del Algoritmo de Búsqueda y la Herramienta Propuestos . ............ 125
6.4.1 Estructura de la vecindad........................................................... 125
6.4.2 Extensiones a la estructura de la vecindad ............................ . .... 127
6.4.3 Búsqueda distribuida ................................................................. 127
6.4.4 Desventajas .... . ..... . ................... . ....................................... . ......... 128
6.5 Analogías con otras Áreas de Ciencia de la Computación ..................... . ... 129
VII. TRABAJO FUTURO ................. . .......................................................... ... ............. 132

BIBLIOGRAFIA . 134
ANEXOS.. .......................... ...................................................................................... 143
ANEXO A PROPOSICIONES DEL ÁLGEBRA DE ASOCIACIONES.........144
ANEXO B : GRAMÁTICA DEL GENERADOR DE CÓDIGO ............. . ......... 154
ANEXO C HEURÍSTICAS PARA EL PROBLEMA FORESTAL.................158

INDICE DE TABLAS
Tabla 2.1: Instancia de J41 ICm .....................................................................................30
Tabla 4.1: Operadores de la defmición 4.1....................................................................70
Tabla 5.1 : Instancia deJmIr,d3IZw7,. ..... . ........................................... . .......... . ........ . .... ...89
Tabla 5.2 : Solución factible para J4Irj,4IEwj Tj.... ............ . ............................................. 91
Tabla 5.3 : Puntos de partida para el algoritmo de tabu search ................................. ...105
Tabla 5.4 : Resultados de tabu search con 100.000 iteraciones . .................................. 107
Tabla 5.5 : Tabu search versus SB-TWT......................................................................108
Tabla 5.6 : Resultados para parámetros distintos del algoritmo de tabu search. .......... 110
Tabla 5.7 : Operadores defmidos para el problema de forestal. .................................... 116
Tabla 5.8 : Resultados de las heurísticas desarrolladas para forestal. ........................... 118
Tabla 5.9 : Soluciones comparables con la obtenida en [Schilkrut 93]........................119
viii
Pág.

INDICE DE FIGURAS
Figura 1.1: Espacio de búsqueda de la heurística.............................................................3
Figura 1.2 : Búsqueda global versus búsqueda local ................................ . ........................ 5
Figura 1.3 : Espacio y superficie de búsqueda local......................................................... 6
Figura 1.4 : Algoritmo de búsqueda local. ........................................................................ 7
Figura 1.5 : Algoritmo de Tabu Search........................................................................... 11
Figura 1.6 : Aparición de ciclos durante el proceso de búsqueda . .................................. 14
Figura1.7 : Árbol de búsqueda. ...................................................................................... 15
Figura 1.8 : Algoritmos de búsqueda en árboles ............. . ............................................... 16
Figura 1.9 : Algoritmos de branch and bound y beam search ............................. . .......... 19
Figura 1.10 : Branch and bound versus beam search. .................................................... 20
Figura 2.1 : Etapas del proceso de modelación ...................................................... . ........ 27
Figura 2.2 : El proceso de modelación como un proceso de instanciación ........... . ..... . ... 31
Figura 2.3 : Etapas del proceso de resolución.. .... . .......................................................... 34
Figura 2.4 : El proceso de resolución como un proceso de instanciación....................... 34
Figura 2.5 : Desempeño de la heurística versus infonnación disponible ...................... .. 41
Figura 3.1 : Aplicación de heurísticas ................................................. . .................... . ..... . 59
Figura 3.2 : Heurísticas contextuales. ............................................................................. 60
Figura 3.3 : Algoritmos a utilizar..... .................................................................. . ............ 63
Figura 3.4 : Recorrido del grafo de heurísticas dependiendo del estado de la búsqueda.65
Figura 3.5 : Algoritmo que ejecuta cada heurística ........................................... . ............. 65
Figura 4.1: Estructura general del lenguaje....................................................................68
ix
Pág.

Figura 4.2 : Lista de bloques de asociación.....................................................................72
Figura 4.3 : Operadores de perturbación ......... . ............................................................... 73
Figura 4.4 : Diferencia entre los operadores de perturbación ......................................... 73
Figura 4.5 : Vecindad representada por un grafo............................................................ 77
Figura 4.6 : Ejemplo de vecindad representada por un grafo.......................................... 78
Figura 4.7 : Ejemplo de una red de Petri ... . ..................................................................... 80
Figura 4.8 : Representación de cada nodo para especificar una red de Petri .................. 81
Figura 4.9 : Representación de una vecindad como una red de Petri.. .... .
..... . .... .. ........... 82
Figura 4.10: Sistemas implementado y propuesto..... .... . .................................. . ...... . ..... 84
Figura 5.1 : Representación de grafo disyuntivo para JmIrj,4IEw1T ..
..... . ............. . ......... 90
Figura 5.2 : Representación de una solución factible en el grafo disyuntivo..................91
Figura 5.3 : Arcos, operaciones y grafo crítico paraf4 Ir,d3iwT. ...................... . ......... 95
Figura 5.4 : Resultado del operador del intercambio. .................................................
. ... 97
Figura 5.5 : Especificación de la heurística de tabu search para JmIrj, d»wjTj ............ 104
Figura 6.1 : Integración entre búsqueda global y local.................................................. 123
Figura 6.2 : El cálculo de la lista de candidatos como filtro de información..... ...... . .... 126

RESUMEN
Existen distintas heurísticas genéricas para la optimización de problemas
combinatoriales, las cuales pueden ser caracterizadas en dos grandes tipos : heurísticas
de búsqueda local y de búsqueda global.
En esta tesis se plantea una metodología para enfrentar la resolución de
problemas combinatoriales. Gracias a ella y a otros conceptos introducidos en este
trabajo, fue posible definir tanto un algoritmo de optimización basado en técnicas de
búsqueda local como un lenguaje declarativo, denominado LS-!, con el cual especificar
dicho algoritmo.
La definición de este lenguaje permitió desarrollar una herramienta de apoyo
que genera una implementación computacional de una heurística de optimización a
partir de la especificación en LS-1 y la estructura de datos que representa el modelo del
problema que se necesita resolver. Además de la metodología y la definición del
lenguaje se presentan dos aplicaciones : una teórica y una práctica.
La primera de ellas corresponde a la planificación de la producción de un
taller de máquinas minimizando la tardanza total ponderada de los trabajos que allí se
procesan, mientras que la segunda de ellas correspondió a la planificación del itinerario
de camiones que transportan madera en empresas del sector forestal, minimizando los
costos de operación.
En ambos casos se obtuvieron soluciones de la misma calidad que utilizando
heurísticas específicas. Los tiempos de cómputo en alcanzar la solución óptima usando
las heurísticas desarrolladas con la herramienta fueron, en el peor de los casos, a lo más
un orden de magnitud peores que el tiempo empleado por las heurísticas específicas. Lo
anterior es un resultado aceptable considerando la simplicidad de las heurísticas
desarrolladas con la herramienta.
xl

ABSTRACT
There are different generical heuristics to optimize combinatoria!
problems. These heuristics can be classified into two types: local and global search
heuristics.
This thesis develops a framework to face the problem solving process for
combinatoria! problems. This framework, along with other concepts introduced in
this work, allowed us to define an optimization algoritbm based on local search
techniques, as well as a declarative language, called LS- 1, which enables the analyst
to specifj it.
A tool which generates the computational implementation of an
optimization heuristic based on a LS-1 specification and the data structure
representing a model of the problem to be solved was also developed. This work
presents two successful app!ications of the tool: one theorical, and the other practical.
The first application corresponds to minimizing the total weighted
tardiness in a job shop environment. The second one corresponds to the truck
scheduling decisions in timber transport for minimizing the operational cost of forest
industries.
In both cases, the quality of the solution obtained by tailored heuristics
and the ones produced using the tool are quite similar. The algorithms perform very
well too, as demonstrated by the computationa! experience. Optimal so!utions were
reached, in the worst case, in a computational time one order of magnitude greater
than the time spent by tailored heuristics. This is an acceptable resu!t, considering the
simplicity of the heuristics developed using the tool.
xii

1. INTRODUCCIÓN
Los problemas de optimización en el mundo actual tienen cabida debido a la
necesidad que tienen las empresas de mejorar sus procesos productivos, administrativos
o logísticos para ser más competitivas. Para ello es necesario construir un modelo que
corresponde a una abstracción de la realidad que describe la parte del mundo que es
necesario estudiar, el proceso que se desea mejorar.
Un modelo de optimización defme el conjunto de soluciones que
representan dicha realidad a través de variables y relaciones existentes entre ellas que
definen restricciones. Sin embargo, dichas soluciones no son preferidas de igual forma,
por lo que deben compararse entre sí a través de una función objetivo. En adelante
supondremos sin perdida de generalidad, que los problemas que se están tratando de
resolver son de minimización.
forma:
Un problema de optimización puede representarse en general de la siguiente
minf(x) : x E X = flfl
1
(1.1)
El conjunto X de soluciones que define el modelo constituye el espacio de
búsqueda del problema y tratar de resolver el problema significa buscar dentro de
dicho espacio la solución que minimice la función objetivo. Si las variables de decisión
del problema son discretas, es decir, la solución es un conjunto o una secuencia de
enteros u otros objetos, se dice que el problema es de tipo combinatorial [Reeves 931.
En los problemas combinatoriales, el tamaño del espacio de búsqueda crece
exponencialmente a medida que lo hace el tamaño del problema, por lo que su
resolución óptima se complica enormemente. Muchos de ellos son problemas del tipo
NP-hard [Garey 79], lo cual sugiere que es imposible obtener una solución óptima sin el
uso de un algoritmo esencialmente enumerativo [Anderson 961.

Por lo tanto, en adelante utilizaremos el término heurística para referimos a
aquellas técnicas que buscan buenas soluciones (es decir, cercanas al óptimo) con un
costo computacional razonable aunque sin ser capaz de garantizar factibilidad u
optimalidad, e incluso en muchos casos, de establecer cuán cerca de la optimalidad está
una solución factible [Reeves 93].
1.1 Heurísticas
En la resolución de problemas de optimización definiremos como estado a
una asignación de valores a un subconjunto de las variables de decisión del problema.
La asignación otorga a cada variable x un valor en D, que corresponde al dominio de
esa variable. Dicho conjunto de estados defmen el espacio de búsqueda de la
heurística. Dentro de ese espacio podemos distinguir varios tipos de estados en base al
espacio de búsqueda del problema.
Defmición 1.1 : Estados completos e incompletos.
Sean 1 = { 1, . . .,n} el conjunto de valores para los indices de las variables del
problema y A (y) ç 1, el conjunto de variables asignadas para un estado y perteneciente al
espacio de búsqueda de la heurística X17. Un estado y se dice que es completo, si es que
A(y) = 1. Si A(y) c 1, se dice que el estado es incompleto•.
Entre cada uno de dichos estados podemos distinguir entre estados factibles
e infactibles. Los estados factibles en el caso de los estados completos, son aquellos que
satisfacen las restricciones del problema, es decir, son soluciones del problema por lo
que en adelante se usará el termino solución factible y estado completo factible
indistintamente. Para el caso de los estados incompletos, son aquellos en los cuales la
asignación parcial satisface las restricciones del problema. Por otra parte, los estados
infactibles no satisfacen alguna de las restricciones del problema, lo cual puede ocurrir
en tanto estados completos como incompletos.

La búsqueda se lleva acabo a través de la sucesiva aplicación de operadores
sobre un estado inicial con el fm de encontrar el óptimo. En consecuencia, un operador
defme cómo transformar un estado en otro.
Giacias a los operadores, el conjunto de estados defme un grafo de
búsqueda, que corresponde al grafo dirigido cuyos nodos son estados del espacio de
búsqueda de la heurística y los arcos representan la aplicación de la operación sobre el
nodo origen que produce el nodo destino del arco. Por lo tanto, existe una estrecha
relación entre estado y operador. Los operadores deben ser capaces de generar todo el
espacio de búsqueda relevante del problema, si no probablemente la heurística nunca
alcance una buena solución si los estados para llegar a ellas no son alcanzables desde
otros. Lo anterior defme la propiedad de conectividad que debe tener el grafo de
búsqueda, es decir, que exista una secuencia fmita de perturbaciones que conduzcan al
óptimo global del problema. El grafo de búsqueda conecta tanto estados completos
como incompletos, tal como puede verse en la figura 1.1.
Grifo de búsqueda definido
por los operadores
op.r(A.B)
B
-H n;
Plano de estados
complelo.
.. . otuclones factible.
Solución Inalcanzable por la
estructura del grifo de búsqueda
Figura 1.1: Espacio de búsqueda de la heurística.

Los problemas NP-hard son extremadamente dificiles tanto por el problema
de la explosión combinatorial, como también porque carecen de propiedades como la de
convexidad en los problemas cuadráticos, que permitan limitar el espacio en el cual
realizar una búsqueda o al menos saber en qué dirección se encuentra el óptimo. La
explosión combinatorial hace que el espacio de búsqueda del problema sea tan grande
que sea impráctico realizar búsqueda exhaustiva.
Si bien una heurística debe evitar recorrer exhaustivamente todo el espacio
tampoco puede limitarse solamente a una región de él, ya que el óptimo puede
encontrarse en cualquier parte. La heurística debe limitar el número de soluciones
visitadas y a la vez asegurar una amplia cobertura del espacio con el fin de tener éxito.
Eso implica viajar selectivamente a través del espacio de búsqueda descartando algunas
regiones. La estrategia de control de la heurística, entonces, es el mecanismo que
selecciona o descarta regiones del espacio de búsqueda según ciertos parámetros. Por
parámetros se entiende a aquellos valores o políticas de manejo que en las estrategias
de control dependen del problema que se está tratando y administran tanto cuánto
esfuerzo computacional invertir en la búsqueda de la solución. Por políticas de manejo
se entienden formas automáticas en que los parámetros se ajustan durante la búsqueda.
En base a los tipos de estados del espacio de la heurística definido para el
problema podemos distinguir dos tipos básicos de heurísticas. Las de búsqueda local
(local search) [Gu 93, Reeves 93, Anderson 96, Pinedo 95a] y las de búsqueda global
(global search) [Gu 94, Pinedo 95a]. En las heurísticas de búsqueda global la solución
se construye incrementalmente desde cero, es decir, el algoritmo visita sucesivamente
estados incompletos hasta llegar a un estado completo factible. En cambio, en las de
búsqueda local se comienza con un estado completo factible y la búsqueda siempre
visita estados de ese tipo. La diferencia en la forma de recorrer el espacio de búsqueda
entre ambos tipos de heurísticas se muestra en la figura 1.2.
4

Algoritmo ite búsqued. global
Algoiltmo ite búsqu.d. local
Figura 1.2 : Búsqueda global versus búsqueda local.
En general, en búsqueda local sólo se visitan estados completos factibles,
por lo que el grafo de búsqueda define un piano a los cuales pertenecen sólo estados
completos. Si se agrega una tercera dimensión a las dos ya definidas anteriormente que
corresponda a la función objetivo del problema, se creará una superficie de búsqueda
[Sepúlveda 92, Anderson 96] que es la que el algoritmo debe construir iterativamente y
visitar selectivamente (figura 1.3). Por lo tanto, dichos algoritmos trabajan con un
subconjunto del espacio de búsqueda de la heurística correspondiente al grafo definido
por los estados completos, por lo que la propiedad de conectividad debe cumplirse sólo
en parte del grafo de búsqueda.
Lo mismo puede decirse de los algoritmos búsqueda global. Si bien necesita
tanto de estados completos como incompletos y no existe una analogía clara con el
concepto de superficie de búsqueda, no requiere de los arcos que conectan estados
completos entre sí.
En las siguientes secciones detallaremos los principales algoritmos de estos
tipos que existen para enfrentar problemas NP-hard.
5

1.1.1 Búsqueda local
Figura 1.3 : Espacio de y superficie de búsqueda local.
Las heurísticas de búsqueda local ya han sido utilizadas con éxito en
problemas combinatoriales [Reeves 93, Glover 95] con un rendimiento superior a
métodos matemáticos tradicionales [Cabrera 941. Estos métodos se caracterizan por su
generalidad, el ser iterativos [Glover 89, Sepúlveda 921 y que, en general, no garantizan
la convergencia al óptimo.
Sea x' un vector solución para el problema defmido en la ecuación 1.1 y
P(m ,xk) una función de perturbación. Entonces un algoritmo de búsqueda local o de
búsqueda por vecindad (neighborhood search) es el procedimiento iterativo que se
describe en las figura 1 .4a.
2.

a) procedure Local_Search(x)
begin
:= X"':= X E S
b)
7
P(mi,)
k:= O
repeat
A
m:= argminfiy) (1) P(md)
z
Y.
P(m,xk) (2)
f (criterio_de_aceptación(z,x")) then
begin
k+l
x :z
f (J(xk+ I)< flxmei0D) then
Xk+1
Q
end
k:k+1
until criterio_de_detencfrmn N(Y)
end Local Search
Figura 1.4 : Algoritmo de búsqueda local.
La búsqueda comienza desde una solución inicial factible x 0, producida
mediante otra heurística. La función de perturbación P, toma un estado completo
factible y la transforma en otro dependiendo del vector de argumentos m (ver figura
1 .4b). Al conjunto de todos los argumentos posibles para la función P(m,xk), con xk
dado, se denomina vecindad [Glover 90b, Glover 95, Reeves 931 y se le denota como
N(xk) . Cada elemento n perteneciente a N(xk) se conoce como movida y el algoritmo
escoge la mejor movida dentro de la vecindad, la cual se determina a través de una
función de evaluaciónf(m) como se indica el paso 1 del algoritmo de la figura l.4a.
Notar que en el grafo de búsqueda la vecindad corresponden a todos aquellos puntos del
espacio que son alcanzados desde la solución actual en un solo paso.
Una vez escogida la mejor movida se ejecuta el cambio obteniéndose una
solución candidata z (ver paso 2 de la figura 1 .4a), la cual se convierte en la siguiente
solución sobre la cual se volverá a aplicar el método si se cumple un criterio de
aceptación. El algoritmo se finaliza si el criterio de detención es alcanzado el que se
7

asa principalmente en el tiempo de cómputo que se desea invertir y la mejor solución
obtenida durante la búsqueda se entrega en me30..
Los distintas implementaciones de estos métodos difieren tanto en los
criterios de aceptación o en la forma de escoger la vecindad. Tabu search y simulated
annealing, por ejemplo, difieren entre sí por el criterio de aceptación de dichos puntos
[Pinedo 95a]. Esto último influye tanto en la eficacia como en la eficiencia del
algoritmo, pues muchas veces es deseable aceptar como válido un punto que no
representa una mejora desde el punto de vista de la función objetivo, principalmente
porque eso ayuda a escapar de óptimos locales, problema que a menudo enfrentan este
tipo de algoritmos [Battiti 94, Gu 941. Los algoritmos se detallan a continuación:
a) Hill climbing
Los algoritmos hill climbing se caracterizan por el criterio de aceptación que
utilizan, pues admiten la solución candidata z si y sólo sif(z) :5f(x') [Sepúlveda 921. Eso
significa que el algoritmo sólo acepta movidas que disminuyen la función objetivo, con
lo cual el algoritmo queda atrapado en óptimos locales.
b) Simulated annealing
Otros algoritmos son los de simulated annealing [Kirkpatrick 83, Morton
93, Reeves 93, Pinedo 95a], que utilizan un criterio de aceptación probabilístico que
permite definir propiedades de convergencia basadas en la estructura de la vecindad.
Lo primera característica que distingue a estos algoritmos, es la manera en
que escogen la movida que dará origen a la solución candidata. Dicha movida se escoge
de forma totalmente aleatoria, lo que equivaldría a que 1Cm asigne valores a las
movidas extrayendo aleatoriamente valores del conjunto 1 1,. . . , IN(xk)I } no repetidos.
8

La segunda característica es el criterio de aceptación que utiliza. A la
solución candidata z se le asigna una probabilidad de ser aceptada 1 y que corresponde a
Pk = min(1,
))/T&) donde Tk es el factor de temperatura que depende de la
iteración k. Si Uk es una instancia de una variable distribuida uniformemente en [0,1] y
generada en la iteración k, entonces z se acepta si es que u < Pk.[Saab 911.
La forma en que se actualiza Tk corresponde al denominado cooling
schedule (o annealing schedule) que para asegurar la convergencia del método, debe
generar una secuencia estrictamente positiva de valores T1, T2 , . . ., Tk tales que T1 ~: T2 2:
.~
Tk y hm Tk = O [Hayek 88, van Laarhoven 921.
k-
Sim ulated annealing se comporta como un algoritmo hill climbing si es que
las soluciones candidatas son siempre mejores que las soluciones anteriores (es decir,
f(x') > ... > f(xk)) . Aunque, el algoritmo permite también soluciones peores, con
probabilidad Pk que disminuye a medida que el número de iteraciones aumenta. Con ello
se escapa de óptimos locales y se evita el problema de que la búsqueda quede estancada
en uno de dichos puntos.
Otro algoritmo no determinístico es el denominado de Evolución
Estocástica, que trata de ejecutar el mayor número de movidas en cada iteración en lugar
de la única que ejecuta simulated annealing. La distribución con la cual se comparan las
soluciones es uniforme en lugar de exponencial. No goza de la popularidad que tiene
simulated annealing. Mayores detalles se encuentran en [Saab 91].
c) Threshold accepting
Esta estrategia es una versión determinística de simulated annealing, en la
cual la solución candidata es aceptada si f(z) - f(xk) < fu, siendo i una constante no
negativa conocida como umbral [Aarts 941. Al igual que en el caso del simulated

annealing el valor de dicha variable gradualmente es disminuida hasta hacerse cero
hacia el fmal de la búsqueda.
d) Multi-start iterative improvement
Este tipo de estrategias de búsqueda local, consiste en un número de ciclos,
en cada uno de los cuales un algoritmo hill climbing comienza de una solución factible
generada aleatoriamente [Aarts 941. Cada vez que el algoritmo alcanza un óptimo local,
un nuevo ciclo comienza. El proceso continúa hasta que se alcanza un cierto criterio de
detención y el algoritmo retorna la mejor solución encontrada en alguno de los ciclos.
e) Large-step optimization
Un proceso de búsqueda de paso largo [Lourenço 951 también busca realizar
un muestreo como el que se realiza en los algoritmos de mejora iterativa con múltiples
puntos de partida. Pero, la diferencia fundamental con ese tipo de algoritmos es que
cada ciclo comienza desde la última solución aceptada en vez de una solución generada
aleatoriamente. Cada ciclo del algoritmo consiste en aplicar una "gran perturbación" a la
solución obtenida en el ciclo anterior para "saltar" a otra región del espacio de
búsqueda. El resultado del salto se post-optimiza utilizando un algoritmo de búsqueda
local y esa nueva solución se compara con la que dio inicio al ciclo, aceptándose con un
cierto criterio.
Si el criterio con que se acepta esta nueva solución es hill climbing se habla
de un método de optimización local de paso largo. Por otra parte si es simulated
annealing se habla de un método de paso largo markoviano (large-step Markov
chain). Y si el criterio puede aceptar cualquier solución, entonces se habla de una
caminata al azar con paso largo (large-step random waik).
El método de optimización local con paso largo puede verse como un
muestreo sobre los óptimos locales del problema puesto que la perturbación cambiar la
lo

egión del espacio de búsqueda en la cual el algoritmo se encuentra, mientras que el
proceso de post-optimización busca el óptimo local de dicha región. Así, el algoritmo va
visitando los óptimos de cada región hasta encontrar el óptimo global del problema.
f) Tabusearch
Otra estrategia es la conocida como tabu search [Glover 90b, Morton 93,
Reeves 93, Battiti 94, Glover 951. El algoritmo básico se muestra en la figura 1 .5a que
es una extensión que agrega estructuras de memoria al algoritmo básico de búsqueda
local que se muestra en la figura 1 .5a.
a) procedure Tabu_Search(x) - -
begin
x° :=x':=xe S
Tø
k : O
repeal
T:T-((pz)€ Ti

dependiendo del estado de la búsqueda 1 . Siempre se acepta la mejor movida obtenida de
la vecindad.
El problema de los óptimos locales se enfrenta a través de la utilización de
una memoria en donde se almacena el cambio inverso al efectuado, en cada iteración,
de forma de evitar volver a una solución ya visitada anteriormente. Dicha memoria se
conoce como lista tabú y corresponde a T en el algoritmo de la figura 1 .5a. El método
excluye de la lista de candidatos a aquellas movidas que pertenezcan a la lista tabú (ver
figura 1 .5b). Dichos cambios no se prohiben para siempre, sino que dicha prohibición se
limita a un cierto número de iteraciones (el cual se denomina largo de la lista tabú) o
también se levanta si se cumple cierto criterio de aspiración.
El criterio de aspiración de una movida es el umbral sobre el cual la
movida deja estar prohibida, el cual puede estar en base a la función objetivo. Por
ejemplo, el valor de la función objetivo hace que la movida deje de estar tabú si ésta
produce un aumento en la función objetivo superior al del estado en que esa movida se
prohibió.
El método depende de que cada movida tenga un cambio inverso o se pueda
descomponer en cambios más sencillos que si los tengan. Eso no siempre puede
lograrse. La solución a este problema es que en vez de almacenar movidas en la lista
tabú, lo que se almacena son soluciones ya visitadas. Como dicho enfoque puede tener
un costo prohibitivo en cuanto a la utilización de recursos computacionales, se utilizan
técnicas de hashing, con la cual se le asocia un número real (valor de hash) a una
solución y dos de ellas se consideran iguales si es que poseen el mismo valor de hash
[Woodruff 931.
1 Ver definición 3.14.
12

Como se mencionó al comienzo de la sección 1.1, la estrategia de control
debe administrar el esfuerzo computacional del algoritmo evitando la búsqueda
exhaustiva Esto defme un balance entre intensificar la búsqueda aquellas regiones más
promisorias del espacio y diversificada de forma de visitar regiones no exploradas.
Tabu Search propone formas de enfrentar este problema.
En [Glover 90b] se define como estrategias de diversificación a aquellas
que consisten en evitar introducir cambios en variables de la solución sobre las cuales se
realizaron muchos cambios durante la búsqueda y guiarla sobre regiones inexploradas
procurando realizar cambios sobre otras variables. Las estrategias de intensificación,
por otro lado, reconocen que las variables de la solución que han sido manipuladas más
por el sistema son en alguna medida "críticas" y sería importante concentrarse en lograr
valores adecuados para ellas. También en [Glover 90b] se define también el concepto de
oscilación estratégica, que consiste en inducir la exploración de nuevas regiones a
través de cruzar o alejarse de ciertas fronteras que normalmente circunscriben el
progreso del método. Dichas fronteras pueden representar aquellas de factibilidad e
infactibilidad de la solución o de valores de la función objetivo alrededor de la cual la
búsqueda tiende a rondar. La oscilación estratégica consiste, entonces, en el uso de
restricciones direccionales y reglas de decisión (o penalidades) que son modificadas
relativas a desviaciones de fronteras.
La oscilación estratégica pretende solucionar un problema que ha mostrado
tener el tabu search y que es la ocurrencia de ciclos. Un ciclo se produce cuando se
vuelve a una solución ya antes visitada, como se muestra en la figura 1 .6a, en la cual n
corresponde al largo del ciclo y corresponde al número de iteraciones después de las
cuales una solución antes visitada vuelve a ser encontrada.
13

a)
Inicio del ciclo
b)
la =a a
Figura 1.6 : Aparición de ciclos durante el proceso de búsqueda.
El método de eliminación de inversos [Glover 90a, Dammeyer 91,
Dammeyer 931 evita este problema eliminando de la lista tabú aquellos cambios que
sean inversos entre sí, lo que reduce el número de elementos de ella como se muestra en
la figura 1 .6b. Sin embargo, en [Battiti 941 se demuestra que dicho método no es
suficiente y que los óptimos locales se comportan como atractores sobre los cuales la
búsqueda queda atrapada. Cuando eso sucede propone que comience una fase de
perturbación aleatoria hasta salir de dicha región.
g) Genetic algorithms
El enfoque genético [Goldberg 89, Reeves 93, Bean 94, Anderson 961.
plantea que el proceso de búsqueda puede enfocarse como un proceso evolutivo. En
dicho proceso existe un conjunto de soluciones la que se denomina población. Es decir,
el algoritmo en vez de iterar con una solución como los demás algoritmos de búsqueda
local, lo hace con un conjunto de ellas. El vector solución que corresponde a la
codificación de la solución corresponde a un cromosoma, una variable específica dentro
del vector se conoce como gen y al valor asignado a dicha variable se le denomina
alelo.
Los operadores de la búsqueda genética se distinguen del resto de los
algoritmos de búsqueda local porque combinan soluciones entre sí para formar nuevas
14

seleccionando genes e intercambiando alelos entre soluciones (operación conocida
como crossover). Otros operadores perturban aleatoriamente la solución introduciendo
cambios a los cromosomas (mutación). Aplicando las operaciones antes mencionadas se
generan descendientes que se incorporan al conjunto original. De la nueva población
sólo sobreviven las mejores soluciones, que se convierten en la siguiente generación
sobre la cual se repite el método. La bondad de una solución se mide a través de una
función de adaptación (fitness) que normalmente corresponde a la función objetivo.
1.1.2 Búsqueda global
Los algoritmos de búsqueda global se caracterizan, además de los tipos de
estados que visitan por la estrategia de control que utilizan. En el grafo de soluciones
incompletas, los operadores sólo instancian variables que no pertenecen al conjunto
actual de variables asignadas. Por lo tanto, el grafo toma la forma de un árbol de
búsqueda, como se muestra en la figura 1.7.
Nivel
(Número de vanables
asignadas) (7") El número de hijos es la
-
cardinalidad del dominio de la
" vanele que se asignara en el
Figura 1.7 : Árbol de búsqueda.
El nivel de un estado dentro de un árbol define tanto el número como qué
variables han sido asignadas. En la terminología de árboles [Cormen 901 un estado se
denomina nodo. Debido a la similitud de la representación con un árbol genealógico, los
sucesores directos de un nodo se llaman hijos y los hijos de un mismo nodo se
15

denominan hermanos. Si un hijo a su vez tiene descendientes constituye un subárbol,
en caso contrario a dicho nodo se le denomina hoja. Por lo tanto, en un árbol de
búsqueda las hojas son estados completos pertenecientes al espacio de la heurística y la
raíz del árbol corresponde al estado de nivel 0, es decir, aquel estado donde no ha sido
asignada ninguna variable.
Los dos algoritmos principales 2 para recorrer árboles son los algoritmos de
la figura 1.8. El primero de ellos (figura 1 .8a) se conoce como de búsqueda en anchura
(breadthfirst search) y el segundo de ellos como búsqueda en profundidad (depthfirst
search) [Cormen 90].
a) procedure BFS(raíz, 2)
begin
Q:ø
lnserter(raíz,Q)
while (not Vacío(Q))
u := Extraer (Q)
for (w E Hijo (u))
lnsertar(w, Q)
end while
end BFS
b) procedure DFS(raíz, 1)
begin
dfs(raíz)
endDFS
procedure dfs(v)
begin
for (w E Hjo(v))
dfs(w)
enddfs
Figura 1.8 : Algoritmos de búsqueda en árboles.
Si el nivel de un nodo y es k el procedimiento HU0(v) genera un estado de
nivel k+l. En el algoritmo de la figura 1 .8a, Q es una estructura de datos denominada
cola que posee dos operaciones : Insertar(w, Q) y Extraer(w, Q) que ingresan y sacan un
2 Estos algoritmos corresponde a la forma general de recorrer grafos y un árbol es sólo
un caso particular de un grafo.

nodo w de la cola Q, respectivamente en orden ElFO (First Iii First Out). El algoritmo
de la figura 1 .8b es recursivo, sin embargo, existen implementaciones iterativas que son
más eficientes 3 .
La diferencia entre ambos algoritmos es el orden en el cual se visitan los
nodos. Si seguimos la numeración de los nodos del árbol de la figura 1.7, el algoritmo
de búsqueda en anchura los visita en el orden natural, mientras que el otro lo haría en el
orden 1,2,4,5,3,6,7. Este último algoritmo se denomina en profundidad porque primero
visita todo el subárbol de un nodo antes de visitar al correspondiente hermano. Como
para visitar a este último debe "ascender" por el árbol "retrocediendo" en la trayectoria
seguida hasta ese instante, este algoritmo se conoce también como de backrracking
[Morton 931.
Los algoritmos basados en representación de árbol se han utilizado en las
áreas de Investigación Operativa e Inteligencia Artificial con distintos propósitos. A
continuación describiremos algunos algoritmos en el contexto de estas dos áreas.
a) Investigación operativa
La naturaleza combinatorial de los problemas de planificación y la
existencia de restricciones de precedencia entre tareas, capacidad de los dispositivos y
condiciones de borde [Adler 93, Pinedo 95a] han posibilitado el desarrollo de técnicas
de Investigación Operativa que abordan esta problemática. Cada una de ellas resulta
apropiada para un cierto tipo de problemas [Pinedo 92, Nussbaum 93] y entre estas
técnicas se destacan: Reglas de Despacho [Morton 93, Pinedo 95a], Branch and Bound
[Morton 93, Pinedo 95a] y Beam Search [Morton 93, Pinedo 95a]. Una categonzación
Dichas implementaciones iterativas utilizan en vez de una cola, un stack que procesa
los nodos en orden LIFO (Las: In First Out).
17

de las heurísticas desarrolladas en el ámbito de la Investigación Operativa se encuentra
en {Zanakis 89].
Las reglas de despacho son heurísticas que permiten ordenar cada nivel del
árbol de búsqueda a través de indices que otorgan al nodo una prioridad para la
asignación. El algoritmo elige en cada nivel el nodo que tenga más alta prioridad, lo
cual equivale a que el procedimiento Hzjo(v) en el algoritmo dfs de la figura 1 .8b sólo
retorne aquel estado sucesor del siguiente nivel con la más alta prioridad defmida por el
índice.
El algoritmo de Branch and Bound como su nombre lo indica, ramiflca el
árbol de búsqueda de manera inteligente. Para ello, utiliza una estimación de la cota
inferior (lower bound) de la función objetivo en el nodo que está siendo analizado.
Gracias a esta estimación, el algoritmo visita ordenadamente de menor a mayor los
nodos según el valor de dicha estimación. Además el algoritmo establece un criterio de
poda que evita visitar el subárbol de ciertos nodos. Esos criterios pueden ser los
denominados resultados de dominio o criterios de eliminación [Morton 93, Pinedo
95a], que son ciertas propiedades matemáticas que caracterizan a la solución óptima y
que ayudan a eliminar aquellas que no lo son.
La versión BFS del algoritmo de branch and bound se muestra en la figura
1 .9a. La cola Q está priorizada, lo cual quiere decir que la función Min(Q) retorna el
nodo con el menor valor de prioridad, que en este caso es el valor de la cota inferior del
nodo. Si dos o más nodos poseen la misma prioridad se establece una regla de
desempate. Por otra parte si el criterio de poda de un nodo se cumple dicho nodo no se
ingresa en la cola. En la versión DES, por otra parte la invocación recursiva es ordenada
por la prioridad de los hijos del nodo, estableciendo también cual se invoca primero en
con una regla de desempate en caso necesario. Nuevamente no se invoca recursivamente
el procedimiento si es que el criterio de poda se cumple. En ambos algoritmos se
18

denomina subproblemas activos a aquellos nodos que no han sido podados ni sus
sucesores generados (que en la versión BES del algoritmo corresponden al conjunto Q)
a) procedure Branch&Bound(raíz, 7)
begin
Q:0
Q Q u (raíz)
while (x',---ø)
u :Min(Q)
Q:Q-{u}
f(nivel(u) = n) then x *:= u
else
for (w E Hjo(u))
begin
l:Cota_lnferior(w)
if (criterio_poda(w, 1)) then
Q:=Qu{(w,1)}
end
end while
end Branch&Bound
b) procedure Beam_Search(raiz, 1)
begin
:= ø
: Q' L) {raíz}
k O
while (k # n)
Q2: 0
for (u E Q'))
for (y E 1-4jo (u))
a := evaluación_heurística (y)
Q2 := Q2 u {(v,a)}
Q2 := Minb(Q2)
for (w E Q2))
jf (criterio_poda(w)) then
: Q, u {w}
k k+ 1
end while
end BeamSearch
Figura 1.9 : Algoritmos de branch and bound y beam search.
Los algoritmos de Beam Search (figura 1 .9b) evalúan una rama
heurísticamente con lo cual estiman el valor de la mejor hoja que cuelga de ese nodo. La
estimación se realiza asignando el resto de las variables del estado por medio de, por
ejemplo, una regla de despacho. La evaluación se aplica sobre los hijos de un conjunto
de nodos del mismo nivel, de los cuales se eligen los b mejores. En el algoritmo de la
figura 1 .9b, el procedimiento Minb(Q) retorna los b mejores valores del conjunto Q. Este
proceso puede realizarse también en dos pasos : en el primero de ellos se escogen los k
mejores nodos (con k> b) evaluados con una heurística h 1 . En el siguiente paso, los k
19

nodos se evalúan con una heurística h2 de los cuales se escogen los b mejores. Las
heurísticas h1 y h2 se diferencian por la precisión y tiempo de cómputo involucrado,
siendo h1 más "barata" que h2. Al número de nodos k escogidos en la primera etapa se le
conoce como flhter width mientras que al número b se conoce como beam width.
Luego el algoritmo genera el siguiente nivel de los b nodos escogidos
anteriormente, sobre los cuales se repite el proceso hasta que se alcance el nivel máximo
de profundidad del árbol. Lo anterior diferencia a los algoritmos de branch and bound
de los de beam search, porque mientras los primeros saltan por distintos nodos del árbol
de búsqueda cambiando incluso de nivel, los segundos siempre descienden por el árbol
sin ningún tipo de backiracking, como puede verse gráficamente en el esquema de la
figura 1.10, en la cual el árbol de la izquierda muestra el recorrido de un algoritmo de
branch and bound, mientras que el de la derecha el de uno de beam search con beam
width de 2.
1111•NI
Figura 1.10 Branch and bound versus beam search
b) Inteligencia artificial
En Inteligencia Artificial se ha desarrollado una amplia investigación en los
denominados problemas de satisfacción de restricciones (Constraint-Satisfaction
Problems, más conocidos como CSP) Kumar 92, Raghunathan 92]. Un problema de
20

satisfacción de restricciones consiste en un conjunto de variables { xj, X2,..., x}, un
conjunto de dominios {dj,d2,..., d} para dichas variables y un conjunto de restricciones
entre la variables [Kumar 921. El objetivo del problema consiste en asignar para cada
variable un valor de su dominio de forma de que todas las restricciones se satisfagan. En
CSP, los problemas se representan por medio de un grafo, donde los nodos representan
las variables y los arcos representan restricciones entre los arcos. Los problemas de
scheduling pueden ser vistos como casos especiales de CSP [Kumar 921. Es interesante
destacar, por lo tanto, la similitud de los enfoques que se utilizan tanto en esta área
como en la de Investigación Operativa.
La principal técnica de resolución de CSP es el backrracking (ver figura
1 .8b), sin embargo, dicho método en la mayoría de los casos tiene un costo prohibitivo
por su ineficiencia , puesto que se visita en forma exhaustiva el espacio de búsqueda
[Sosic 94]. Diversas técnicas se han introducido para mejorar dicha búsqueda [Kumar
92], entre las cuales se incluyen propagación de restricciones, mantenimiento de
consistencia (o backtracking inteligente) y ordenamiento de variables.
El ordenamiento de variables considera tanto heurísticas de ordenamiento
que escogen en qué orden asignar las variables y cómo priorizar los valores que cada
variable puede tomar lo cual ha demostrado un sustancial impacto en la reducción de la
complejidad de la búsqueda usando backtracking [Kumar 92]. Basta recordar del
comienzo de esta sección, que un nivel queda definido tanto por el número de variables
como por cuáles variables están asignadas. Por lo tanto, si el problema tiene n variables
existen nl maneras de definir un árbol de búsqueda y a lo más dix d2 x . . .x d nodos
dentro del árbol. El ordenamiento de variables genera el siguiente nivel dentro del árbol
de búsqueda aprovechando la estructura del problema de forma de disminuir el tamaño
del espacio de búsqueda. Algunas de estas heurísticas son : instanciar primero las
variables cuyo dominio se haya reducido por la propagación de restricciones, instanciar
21

aquellas que participan en el mayor número de restricciones o instanciar aquellas
variables que transforman el grafo que representa el problema en un árbol.
1.2 El Problema
Como ya se estableció al comienzo de este capítulo, el primer paso para
tratar de mejorar los procesos que ocurren en la empresa de hoy es el de entender la
realidad para plasmarla en un modelo. Lo anterior significa llevar un acabo un proceso
de abstracción, ojalá de forma sistemática.
Existe una metodología para enfrentar la modelación de problemas de
optimización [Murphy 891. Dicha metodología fue definida en un principio para
problemas de programación lineal, pero también puede extenderse a problemas
combinatoriales [Ghidini 93, Levys 93]. Dicho proceso puede enfrentarse con la ayuda
de un lenguaje declarativo y gráfico que abstraiga del lenguaje particular en que se desea
modelar el problema [Singer 92, Levys 93, Dombrovskaia 95]. En el caso de la
programación lineal, esto es posible dado que existe una gran cantidad de lenguajes para
modelar dichos problemas de optimización como por ejemplo gLPS [Collaud 94] y
AMPL [Fourer 931.
En el ámbito del desarrollo de heurísticas, por otra parte, no existen
lenguajes que permitan realizar esto. Un esfuerzo por automatizar programas para un
problema particular se da en [Smith 931. También, para el caso de los problemas de
transporte se han desarrollado intentos para producir programas a partir de
especificaciones [Smith 90], pero no como una metodología general para los problemas
combinatoriales. En [Solotorevsky 94] se describe un lenguaje que permite modelar
problemas de asignación de recursos y también resolverlos, aunque los mismos autores
señalan que el lenguaje especifica un modelo que debe ser resuelto y, por ejemplo, dos
motores pueden resolver esa misma especificación de manera distinta. En [Pinedo 931 se
describe un ambiente para la generación de heurísticas, específicamente orientado a
22

úsqueda global y a problemas de scheduling, pero no existe una conceptualización del
proceso de desarrollo de heurísticas.
Por lo tanto, el desarrollo de heurísticas se ve dificultado porque no existen
herramientas que apoyen el proceso de resolución.
1.3 Discusión
Sin embargo, como se mostró durante todo el subcapítulo 1.1, existen
heurísticas genéricas para problemas combinatoriales. En ese mismo subcapítulo se
mostró como el concepto de espacio de búsqueda de la heurística permite describir
los principales algoritmos para enfrentar problemas combinatoriales bajo un mismo
enfoque.
Gracias a que las heurísticas han sido puestas bajo el mismo enfoque, se
puede llevar a cabo un proceso de abstracción, similar al que existe para la modelación
para desarrollar heurísticas para problemas combinatoriales. Llevar a cabo ese proceso
de abstracción permitiría generar una metodología para enfrentar el proceso de
resolución de problemas de optimización combinatorial, lo cual quiere decir que la
definición del espacio de búsqueda de la heurística a partir del modelo del problema es
muy importante, porque sobre ella se pueden utilizar las estrategias generales
anteriormente expuestas.
Una vez que se cuente con una metodología que guíe el proceso de
resolución, se podrá construir un lenguaje que la apoye haciendo uso de técnicas de
resolución como las antes descritas. Dicho lenguaje debiera también ayudar a
conceptualizar y formalizar el conocimiento que los diseñadores tienen de la resolución
de los problemas. Al estar formalizado, dicho conocimiento se puede encapsular y
estaría disponible en forma de subrutinas que ese mismo diseñador (u otros) puede(n)
reutilizar. Si bien las heurísticas descritas por el usuario pueden conducir a puntos de no
23

mejora [Glover 891, el conocimiento que el usuario logre interactuando con su
problema, le permitirá escribir heurísticas cada vez mejores (utilizando cabalmente las
herramientas provistas) evitando dicho inconveniente.
Los resultados de aplicación de metaheurísticas de búsqueda local señalan el
éxito de una implementación particular, sin embargo, el concepto de búsqueda se
mantiene sin mayores modificaciones [Glover 95]. Dada esta gran sistematicidad, la
búsqueda local es el gran candidato sobre el cual desarrollar una metodología de
desarrollo de heurísticas (que sin embargo, debiera ser extensible a las heurísticas de
búsqueda global) y un esquema bastante promisorio para el cual construir una
herramienta que la apoye. Además la búsqueda local puede considerarse como un
procedimiento de post-optimización de soluciones producidas con otros algoritmos
[Hoon Lee 93, Gendreu 92, Pinedo 95b].
Las ventajas de la búsqueda local son que asigna todas las variables en el
espacio con lo cual se reduce el crecimiento exponencial de éste [Gu 941, problema que
si tiene el backtracking [Sosic 941. También que busca mejorar dentro la vecindad
probando mejoras. Lo anterior hace lo relativamente eficiente y con un número
polinomial de entradas. Sin embargo, la principal desventaja es que el método puede
caer en óptimos locales, pero como ya se vio eso puede ser subsanado. Dicha técnica
también se ha extendido al ámbito de los problemas de satisfacción de restricciones
[Sosic 941.
1.4 Hipótesis de Trabajo
Gracias a que se defmió en este capítulo una forma de describir dichas
técnicas, es posible definir una metodología de desarrollo de heurísticas. Sobre ella se
podrá diseñar e implementar un sistema que permita formalizar un tipo de búsqueda a
través de una especificación declarativa, es decir, crear un lenguaje que otorgue
herramientas que permitan al diseñador definir cómo realizar la búsqueda, y producir un
24

programa computacional a partir de dicha especificación para la resolución de
problemas combinatoriales.
La búsqueda local es un enfoque bastante poderoso para enfrentar los
problemas NP-hard. Ha demostrado ser una metaestrategia exitosa y además tiene la
ventaja de permitir incorporar conocimiento estructural {Anderson 961. Por lo tanto, la
herramienta propuesta será diseñada para apoyar para el desarrollo de heurísticas de
búsqueda local.
Por lo tanto, dado lo que ha señalado anteriormente, esta tesis pretende
formalizar una metodología de desarrollo de heurísticas para problemas del tipo
combinatorial y apoyarla a través de una herramienta que haga uso de un lenguaje
declarativo. Dicha herramienta posibilitará la formalización del conocimiento de
resolución a través de un lenguaje de búsqueda y a la vez, su encapsulación de forma
que esté a disposición de otros diseñadores, en forma de reutilización del código de un
programa computacional.
Se ejemplificará el uso de la metodología y cómo la herramienta definida la
apoya a través del desarrollo de una heurística para dos problemas específicos. El primer
problema es una aplicación teórica como es el caso del job-shop scheduling y el
segundo es una aplicación práctica que corresponde a un problema de la industria
forestal chilena [Schilkrut 93, Schróder 96]. Para otorgar mayor flexibilidad a la
herramienta, ésta debe permitir la interconexión con la estructura de datos que
representará el problema la cual cambia dependiendo del mismo, en vez de mantener
una representación genérica como las herramientas de apoyo a la modelación
desarrolladas en [Singer 92, Ghidini 93, Melero 941. Bajo una arquitectura como la
descrita, el lenguaje deberá ser compatible además con el ambiente de desarrollo de
algoritmos propuesto en [Pinedo 93].
25

Esta tesis esta estructurada como sigue. En el capítulo N°2 se propondrá una
metodología para el desarrollo de heurísticas mientras que en el capítulo N°3 se
discutirá el diseño de la herramienta de apoyo. En el capítulo N°4 se discutirá la
implementación de la herramienta y en el capítulo N°5 se desarrollarán heurísticas para
los problemas antes mencionados, finalizando con las conclusiones y el trabajo futuro
en los dos últimos capítulos.
26

II. EL PROCESO DE MODELACIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN COMBINATORIAL
2.1 El proceso de Modelación.
El proceso de modelación de un problema de optimización tiene como
objetivo lograr describir aquella parte del mundo, que es de interés estudiar o trabajar
con ella. La modelación es un proceso de abstracción, ya que consiste en examinar
selectivamente ciertos aspectos de la realidad. El resultado de este proceso es un modelo
que define en forma declarativa, qué se entiende por una solución al problema de
optimización que se plantea y cómo se comparan dichas soluciones entre sí, tal como se
explicó en la sección 1.1.
Como se mencionó en el capítulo N°1, existe una metodología para
enfrentar el proceso de modelación, la que consiste en seguir una serie de pasos (figura
2.1) los cuales describiremos a través de un ejemplo. En adelante en esta tesis se
utilizará la flotación para problemas de scheduling propuesta en [Lawler 931
Entendimiento del J Construcción del _________ Generación de
Problema Modelo Datos
1 __
.1
Componentes del
Definición del
Instancia del
Modelo Problema Problema
Figura 2.1 Etapas en el proceso de modelación
27

2.1.1 Entendimiento del problema
El entendimiento del problema consiste en identificar los componentes
del modelo, es decir, reconocer todos los procesos relevantes, restricciones y objetivos
que defmen el problema. Los componentes del modelo no requieren de una
especificación formal para ser descritos y toda la primera etapa del proceso de
modelación (generalmente la más complicada) consiste en su identificación.
Ejemplo 2.1: Job Shop schedulingproblem (JSSP): JmIIC
Un problema de Job Shop consiste en un conjunto de máquinas y un
conjunto de trabajos. Cada trabajo consiste en una secuencia fija de operaciones, que
debe ser ejecutada en orden preestablecido. Cada operación se lleva a cabo en una
máquina determinada, la cual sólo puede procesar una operación a la vez. Cada
operación toma una cantidad preestablecida de tiempo en realizarse (tiempo de
proceso) y sólo puede comenzar cuando la precedente, en la cadena de operaciones
del trabajo, haya terminado. El proceso de la operación en cada máquina no puede
interrumpirse. Se debe establecer cuál es el secuenciamiento de las operaciones en
cada máquina de forma de minimizar el tiempo que toma en operar el sistema, es
decir, el tiempo en el cual el último trabajo termina de procesarse (makespan) U.
Como podemos observar del ejemplo anterior, los trabajos, operaciones y
máquinas definen los componentes o entidades básicas del modelo [Dombrovskaia 951.
Dichas entidades poseen atributos ya que por ejemplo, los trabajos poseen una secuencia
de operaciones y cada operación tiene asociada una duración y una máquina en la cual
debe realizarse. Además se defme la interrelación entre los distintos componentes y la
función objetivo, es decir, cuanto es el tiempo de operación del sistema dada una
solución del problema.
28

2.1.2 Construcción del modelo.
La segunda etapa de la modelación es la construcción del modelo en la cual
todo lo anterior se formaliza en un lenguaje específico, con lo cual el problema genérico
queda defmido. La formalización en cuestión permite describir todos los problemas de
este tipo incluyendo aquel que se quiere representar para posteriormente resolver.
Ejemplo 2.2: Modelo matemático de JmPIC,,, [Adams 88, Pinedo 95a]
s. a
min Cm
y,1 ~t p,1 V(i,j) -
-
(k,j) E A (2.1)
Cmaxy,j~:P,j V(i,j) E 0 (2.2)
Y ,jY ,1 2~PiIV Y'l,jkPy V (i,l), (i,j) e E,, Vi EM (2.3)
y, -¿ 1 0 V(ij) E 0 (2.4)
Donde Cm es el makespan, J = {1, .... n} es el conjunto de trabajos, M =
(1.....m} es el conjunto de máquinas y O = {1, .... N} es el conjunto de operaciones (ij),
donde ¡ pertenece a Myj a J. A es el conjunto de pares de operaciones restringidas por
las relaciones de precedencia de las operaciones en cada trabajo y E,, el conjunto de
pares de operaciones que se programan en la máquina i, que no pueden programarse al
mismo tiempo. Finalmente, p,j es el tiempo de proceso fijo de la operación (ij) e y,1 el
tiempo en que comienza dicha operación U
En el ejemplo anterior, se representó el problema de job shop sin tener que
especificar el número de máquinas, las secuencia de operaciones o los tiempos de
procesamiento de los trabajos, con lo cual se describen todos los problemas del mismo
tipo. Como se puede ver también, la ecuación 2.1 no es más que la formalización de que
29

la relación de precedencia entre las operaciones de cada trabajo, la ecuación 2.2 defme
que el makespan es el mayor tiempo de procesamiento y la ecuación 2.3 establece que
entre dos operaciones programadas en una misma máquina, una precede a la otra.
Entonces, un secuenciamiento de operaciones que no cumple estas restricciones no es
una solución factible para un problema de job shop.
2.1.3 Generación de datos.
La última etapa del proceso de modelación corresponde a la generación de
datos en la cual se instancia el problema genérico que hasta ahora ha sido modelado en
el problema particular que se necesita representar. Con esta etapa fmaliza la defmición
del espacio de búsqueda del problema de optimización que se modeló.
Ejemplo 2.3 Instancia de un problema de Job Shop : J4IICmax con 3 trabajos y 4
máquinas [Pinedo 95a]
Tabla 2.1 Instancia de J4IICmax
Trabajo Secuencia de operaciones Tiempos de procesamiento
1 1,2,3 P1]10,P2I8,P3I4
2 2,1,4,2 P22 8, P12 3 , P42 5 , P32 6
3 1,2,4 P13 4, P23 7, P433
2.2 El Proceso de Resolución
El proceso de modelación anteriormente descrito, puede verse como un
proceso de instanciación (ver figura 2.2) a la usanza de la modelación orientada al
objeto [Rumbaugh 91, Collins 951. En la etapa de construcción del modelo se escoge un
lenguaje en el cual describir el modelo. Una vez escogido, existe un conjunto de
modelaciones alternativas que representan el mismo problema y la construcción del
Lii

modelo fmaliza cuando se escoge una, la cual defme el problema. Por último, la etapa
de generación de datos corresponde a identificar una instancia particular dentro del
conjunto de problemas definidos por el problema genérico.
:4
y
Conjunto de fcrmuIscones Initincli cje se
pwa el poblsins deles modst
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Conutrucctdn del Modso
Figura 2.2 El proceso de modelación como un proceso de instanciación.
El modelo de un problema describe el espacio de soluciones factibles. Sin
embargo, la descripción que entrega el modelo por sí sola no dice cómo encontrar la
solución óptima del problema, es decir, cómo resolverlo. Por lo tanto, es necesario
establecer una manera de buscar una buena solución para el problema a través de una
heurística.
Los diseñadores humanos, cuando encaran un problema dificil, a menudo
proceden asociando e integrando características que ellos perciben como relacionadas al
proceso de resolución. Sin embargo, la gente a menudo prefiere organizar tanto los datos
del problema como los métodos para resolverlo en una manera jerárquica. Cuando es
posible, descomponen el problema en subproblemas y resuelven esos. Cuando no lo es,
entonces una estrategia común es formar grupos de atributos de la solución tal que el
espacio de búsqueda puede ser reducido y un nivel más alto de interrelaciones puede ser
descubierto y explotado [Woodruff 941. Lo anterior motiva las siguientes defmiciones.
31

Defmición 2.1: Cluster.
Sea L{ 1 ..... d} el conjunto de índices de los dominios involucrados en el
problema, F subconjunto de L y DF el producto cartesiano de los dominios de las
variables cuyos índices pertenecen a F. Sea ço(w,y) la condición que define a un
subconjunto Q de DF y R(F,w,y) una función que asocia a cada elemento de Q, un
elemento de G. Por último, sea y un estado perteneciente al espacio de búsqueda de la
heurística Xj,. Si g = { G1.....G} define una cierta partición de dominio G, tal que:
a) GnG3 =ø, Vi:#j, coniJ E {1,...,p}
b) G1uG2u ... uG=G
Entonces, se define como cluster a la tupla e(y)=(F,R,G,g,) que
corresponde al conjunto de elementos de DF que pertenecen a Q. Al conjunto F, se le
denomina atributos de la solución. A la tupla B(y) =(F, ço) que define los atributos con la
cual se caracteriza el estado se denomina componente de la resolución U.
El concepto de cluster permite definir un conjunto de atributos de la
solución a través del conjunto de índices F. Dicho conjunto agrupa componentes del
modelo del problema defmiendo un vector. Nótese además que el dominio G no tiene
porqué ser acotado o unidimensional.
Definición 2.2 : Subcluster.
Utilizando los conceptos que ya se introdujeron en la definición 2.1,
entenderemos como subclusters de e)=(F,R,G,g, (p) a los conjuntos e(yj)={ W E Q
R(F,w,y) E G1 } conf e { 1,.. .,p} y Q(w,y)= { w e DF
(w,y,)} U.
Los vectores que pertenecen al cluster se agrupan en categorías gracias a la
partición g, del recorrido de la función R. Dichas categorías permiten establecer una
clasificación adicional de los elementos del cluster, cada una de las cuales corresponde a
32

un subcluster. La necesidad de establecer precedencia tanto entre subclusters y los
elementos que pertenecen a dichos subconj untos motiva las siguientes defmiciones.
Defmición 2.3 : Regla de precedencia de un cluster.
Se llama regla de precedencia de un cluster a H(e,y), con e(y)=
(F,R,G,g, (p) a aquella heurística que permite construir un grafo de precedencia entre los
subclusters e(yi) conf c= { 1, ..
Definición 2.4 : Regla de prioridad de un subcluster.
Se llama regla de prioridad a h(yj), con e(y)= (F,R,G,g,(P) a aquella
heurística que asigna un orden entre los elementos que pertenecen a un subcluster (yj)
dependiente del subcluster y del estado E.
Las últimas dos defmiciones permiten comparar los grupos de elementos
que los clusters definen y además diferenciarlos dentro del subcluster. Con ello se busca
defmir, en base a las propiedades estructurales del problema, índices que permitan
seleccionar eficazmente qué estados visitar en base a atributos de la solución que les
otorgan ciertas propiedades con respecto a la búsqueda.
Defmiremos proceso de resolución como el procedimiento cuyo objetivo es
construir una heurística para el problema de optimización definido. Notar que dada la
definición de heurística introducida en 1.1, el proceso involucra consideraciones de
eficiencia y eficacia del método. El proceso de resolución (figura 2.3) puede enfrentarse
en etapas, estableciendo una analogía con el proceso de modelación. Este proceso se
realiza en base a un modelo previamente existente del problema.
33

Conceptualizaclón : Definición de J Estrategia de
de la búsqueda Operadores Control
1
Iheuristica
.——r--.—--;—..—..—.-.
Componentes de la Heurística genérica
Resolución para el problema
Figura 2.3 : Etapas del proceso de resolución
Una heurística tiene asociada un espacio de búsqueda, operadores y una
estrategia de control. Por lo cual, el proceso de resolución también puede verse como un
proceso de instanciación en la cual se escoge en el espacio de las heurísticas, una entre
aquellas que se pueden definir en base a los clusters. Ello implica defmir el grafo de
búsqueda de la heurística y diseñar una estrategia de control. La estrategia de control
define parámetros que hay que ajustar, lo cual corresponde a un proceso de búsqueda en
el espacio de los parámetros. Dicho proceso se muestra en la figura 2.4.
proceso de resolución.
e- COnc.ptualeeción de la bi$queda
Espacio de las heuristicas
Espacio de los
parlm.tsos
DefInir componentes de le
resolución y clusiers Instancia de la
__, Definioión de
G.nónca
0
Heurictica
Figura 2.4 : El proceso de resolución como un proceso de instanciación.
A continuación analizaremos más en detalle cada una de las etapas del
34

2.2.1 Conceptualización de la búsqueda
Para construir un algoritmo de búsqueda, el primer paso a seguir es el de
defmir los atributos de la solución que caracterizarán los estados del espacio de
búsqueda y en qué forma. A esa etapa la denominaremos conceptualización de la
búsqueda, y corresponde a definición de los componentes de la resolución y a la
especificación de los clusters.
Ejemplo 2.4 : Componentes de resolución para JmIICm.
Para el Job Shop las variables de decisión corresponden al secuenciamiento
de las operaciones dentro de las máquinas y se han defmido como componentes de la
resolución a distintos subconjuntos de operaciones. En [van Laarhoven 92] se define el
concepto de operaciones críticas 4, que son aquellas operaciones que determinan el
makespan y que también es utilizado en otros algoritmos [Taillard 94, Lourenço 95].
Por otra parte, en [Dell'Amico 931 se define el concepto de operaciones adyacentes,
que es cuando en dos operaciones críticas el término del procesamiento de la primera
coincide con el inicio del procesamiento de la segunda. En ft4owicki 931 se define el
concepto de bloque que es la máxima secuencia de operaciones criticas que son
procesadas en la misma máquina. Por otro lado, [Adams 881 en su procedimiento de
shfting bottleneck define el concepto de máquina crítica más conocida en la literatura
como bottleneck J.
Conceptualicemos a través de las definiciones ya introducidas los
algoritmos propuestos en [Adams 88] y [van Laarhoven 921 para este problema. Para el
En la representación de grafo disyuntivo del job shop [Roy 64] las operaciones críticas
definen un camino desde el origen al nodo final cuyo largo determina el makespan. Dicho camino se
conoce como camino crítico.
35

problema del job shop los dominios relevantes del problema son los conjuntos J, My O
(ver ejemplo 2.2) que defmen L, segin la defmición 2.1, como el conjunto {1,2,3}. Sea
r, el instante en el cual la operación w comienza y d el instante en el cual dicha
operación termina de acuerdo al estado factible y.
Para [Adams 881 se defme un cluster con F=(3} que corresponde a O, el
dominio de las operaciones. La condición q(w,y) retorna verdadero sólo si la operación
w no ha sido asignada en el estado y, la función R(F,w,y) entrega la máquina en la cual
la operación w es procesada y G corresponde a M, el conjunto de máquinas. La partición
g corresponde a una máquina dentro de G, por lo que cada subcluster es el conjunto de
operaciones que se procesan en una máquina dada. Si bien, este conjunto sólo restringe
el dominio sobre el cual está definido a aquellas operaciones no asignadas, establece una
regla de precedencia entre los subclusters. Dado que cada subcluster defme un problema
de una máquina, la regla de precedencia H(e,y) corresponde a una heurística que asigna
las operaciones tratándolo como un problema 11 rj 1 L,,, y utiliza el valor final de la
función objetivo como prioridad para el subcluster. Como cada subcluster representa
una máquina, la regla de precedencia entrega una medida de cuán crítica es la máquina y
sobre todo cual de ellas debiera escogerse primero para asignarse.
En cambio, para [van Laarhoven 921 se define un cluster con el mismo
conjunto F, G y R(F,w,y) que en [Adams 88], pero con Q(w,y) = { w c= O 1 r + Pw d
O). Dicho cluster defme el conjunto de operaciones críticas. La partición g corresponde
a cada máquina por lo que un subcluster corresponde a las operaciones críticas que se
procesan en una máquina dada. Cada elemento dentro del cluster tiene igual importancia
por lo que no se defmen ni reglas de precedencia ni de prioridad.
Es muy importante destacar que estos clusters están definidos en base a
tipos distintos de estados. En [Adams 881, el cluster esta defmido sobre un estado
incompleto mientras que en [van Laarhoven 921 lo está para un estado completo.
36

En el algoritmo de shfting bottleneck [Adams 881, cada subcluster define un
subproblema y una precedencia entre ellos que es utilizada por el algoritmo para
seleccionar el siguiente subproblema a resolver. En el procedimiento de búsqueda local
de [van Laarhoven 921, los cluster permiten distinguir entre aquellas movidas que
significarán un cambio en la función objetivo del problema. Ya que las operaciones
críticas definen el makespan del problema, tratar de reordenar dichas operaciones
significará un cambio en la función objetivo que no se produciría al manipular otras
operaciones. En [Adams 881 se define también en la fase de reoptimización un segundo
cluster de la misma forma que la anterior, pero esta vez sobre las operaciones asignadas.
Por lo tanto, en ambos algoritmos se introduce una noción de preferencia
acerca de cuál es el siguiente estado dentro del espacio de búsqueda que visitar. En
shfting bottleneck se prefieren los estados de siguiente nivel 5 que consideran a las
operaciones de la máquina crítica como siguientes variables a asignar. En el algoritmo
de [van Laarhoven 921 se prefieren los estados que corresponden al resultado de una
perturbación de una operación crítica.
Entonces, de acuerdo a todo lo que se ha visto en esta sección, la
conceptualización de la búsqueda permite seleccionar eficazmente qué estados visitar en
base a atributos de la solución que les otorgan ciertas propiedades con respecto a la
búsqueda. Los clusters en el caso de la búsqueda global permiten subdividir el problema
y definir el orden en que ellos serán resueltos. Por otra parte si consideramos la
búsqueda local como un proceso de postoptimización, los cluster permiten identificar
las aquellas partes de la solución que necesitan de arreglo [Pinedo 95b].
El concepto de nivel fue introducido en la sección 1.1.2.
37

2.2.2 Definición de operadores
El siguiente paso en el proceso de resolución es la definición de
operadores. En esta etapa se define el grafo de búsqueda de la heurística, estableciendo
qué operadores aplicar sobre qué variables de la solución. Naturalmente, y como se
explicó en la sección anterior, los clusters identifican aquellos componentes de la
resolución que serán modificados o asignados a través de los operadores, dependiendo
de que tipo de heurística se trate.
Ejemplo 2.5 Operadores de perturbación para fmi Cm.
En [van Laarhoven 921 bajo el concepto de operación crítica se defme un
operador que intercambia el orden que dos operaciones se procesan en una máquina. En
[Dell'Amico 931 se maneja el mismo concepto de bloque que en [Nowicki 931, pero
restringiendo la defmición sólo a aquellos que están compuestos de operaciones
adyacentes. Con ello defme una perturbación que consiste en mover una operación ya
sea al comienzo o al final del bloque. En [Nowicki 93] se perturban todos los bloques
que pertenecen a un camino critico intercambiando las operaciones del principio y del
fmal del bloque J.
En la sección anterior, se mostró gracias a los clusters como la heurística de
shzfting bottleneck, establece cierta preferencia en la generación de los próximos estados
a visitar dentro de la búsqueda. Sin embargo, no se mencionó específicamente como
dichos estados son generados. El operador que se aplica en dicho caso es la misma
heurística que otorga la precedencia al subcluster.
Es muy importante que al defmir tanto operadores como componentes de la
resolución, ellos permitan construir perturbaciones que cumplan con la propiedad de
conectividad, como en el caso de las perturbaciones del ejemplo 2.5 [van Laarhoven 92,
Dell'Amico 93, Nowicki 931. Sin embargo, pese a lo deseable que es dicha propiedad, el
38

producir soluciones infactibles puede ayudar a salir de óptimos locales [Gendreu 941. En
el caso de las heurísticas de búsqueda local, los operadores definen la vecindad para el
problema específico que se esta tratando de resolver. La definición de las componentes
de la resolución ayuda entonces a restringir el tamaño de la vecindad, aunque también
hay criterios estadísticos con lo que se puede lograr lo mismo [Sepúlveda 921.
Para un mismo problema pueden definirse también, distintos tipos de
vecindades a partir de los mismos componentes de la resolución. Ya se vio en el
ejemplo 2.5 que en base al concepto de camino crítico podían definirse distintas
perturbaciones y por tanto distintas vecindades.
2.2.3 Estrategia de control
En etapas anteriores se defmió tanto el espacio de búsqueda como la forma
de construir una nueva solución, pero aún no se ha defmido la estrategia de control que
guiará la búsqueda.
Dicha estrategia debe elegirse de acuerdo al conocimiento de resolución
disponible que son, generalmente propiedades matemáticas acerca de la estructura del
problema. En búsqueda local, estrategias como tabu search, simulated annealing,
stochastic evolution [Saab 911 y genetic algorithms son estrategias generales que se
adecuan más cuando se tiene poca información acerca de ellos. Para heurísticas
especificas (tailored heuristics) es necesario diseñar la estrategia de control más
apropiada, como acontece con la estrategia de asignación con reoptimización propuesta
en [Adams 88]. Para búsqueda global existen estrategias generales como branch and
bound ofiltered beam search.
Ejemplo 2.6 : Estructuras de control para JmI ICmax .
En [Aarts 941 se realiza un estudio comparativo de varias estrategias de
búsqueda local (multistart iterative improvement, simulated annealing, threshold

accepting y generic algorithms) para problemas de job shop. Se demuestra que algunas
de ellas son más eficientes que otras a pesar de que utilizan los mismos operadores. En
[Applegate 911 se realiza una comparación similar, pero para heurísticas específicas
proponiendo mejoras para algoritmos basados en branch and bound y sh(fiing
bottleneck. En [van Laarhoven 92] se plantea que utilizar heurísticas contra la estructura
combmatorial del problema no produce algoritmos más eficaces, sino que más
eficientes, y el utilizar simulated annealing, compensa los largos tiempos de ejecución
requeridos al no necesitar involucrarse con la estructura del problema.
En [Anderson 961 se comprueba la eficacia de los algoritmos de búsqueda
local para problemas de scheduling, pero nuevamente las heurísticas específicas
muestran una menor desviación promedio relativa con respecto a los valores óptimos
conocidos. Sin embargo existen algoritmos principalmente basados en tabu search, que
muestran comportamientos de eficiencia muy similares a las heurísticas específicas C.
La estrategia de control debe considerar también la (in)conveniencia de
aceptar soluciones infactibles. Para el ruteo de vehículos, en [Gendreu 94] propone una
heurística basada en tabu search la cual se permite soluciones i.nfactibles, pero se
establece una estrategia de control que penaliza la violación de las restricciones en la
función objetivo, de forma de reconducir la búsqueda por soluciones factibles.
La eficiencia de las heurísticas aumenta en la medida que se incorpora en
ellas propiedades estructurales del problema, por lo cual existe un balance entre el
esfuerzo computacional que se emplea en obtener una solución y su calidad [Anderson
961. Lo anterior se puede esquematizar en la figura 2.5a basada en una similar que se
encuentra en [Zweben 921.
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Figura 2.5 Desempeño de la heurística versus infonnación disponible.
El uso de información estructural del problema hace que una heurística
específica tenga un desempeño más eficiente. Por otro lado, una heurística genérica que
quiera obtener dicha información estructural durante la búsqueda debe pagar el costo en
eficiencia que ello implica. La suma de ambas curvas se muestra en la figura 2.5b, y
como puede verse, existe un punto de equilibrio. Por lo tanto, la información estructural
del problema que se incorpora a través de los componentes de la resolución y la
adecuada elección de la estrategia de control que guíe la búsqueda repercute en el
desempeño de la misma.
2.2.4 Ajuste de parámetros
Las estrategias de control de la heurística que se han escogido para resolver
el problema defmen un conjunto de parámetros que dependen del problema que se esté
resolviendo. El ajuste de dichos parámetros, entonces es la última etapa del proceso de
resolución y consiste en calibrar los parámetros de la heurística, para su mejor
desempeño. Esto tiene que ver con el tiempo limitado que se dispone para ajustar
parámetros. Si la heurística se necesita para resolver muchas instancias de un problema
es necesario tener ciertos aspectos de la estructura de control "fijos", pero con cierta
garantía de que permiten un desempeño aceptable.
41

Es posible encontrar valores o rangos de valores entre los cuales los
parámetros pueden variar manteniendo cierto nivel de eficiencia. Para ello es necesario
realizar un estudio empírico con varias instancias del problema de forma de descubrir
rangos de valores o incluso políticas de manejo. Sin embargo, es posible realizar este
mismo esfuerzo sólo para la instancia particular que se está resolviendo.
Ejemplo 2.7 : Parámetros para distintas estrategias de control.
Para el job shop, en [Taillard 941 se establece una expresión para el largo de
las listas tabú basada en el número de máquinas y de trabajos del problema basado en
estudios empíricos, por lo que el largo de la lista tabú puede considerarse un parámetro
dependiente del problema genérico. En [Hajek 881 y en [van Laarhoven 92] se
establecen formas de descender la temperatura en el Simulated Annealing basados en las
propiedades convergencia del método, sin embargo, la temperatura inicial con la cual se
comienza la búsqueda sigue siendo un parámetro que hay que ajustar y para el cual
también puede realizarse un estudio práctico. Otro ejemplo es el ajuste de los
parámetros de la regla de despacho A TC (Ápparent Tardiness Cost) usada para
problemas de job shop, parámetros que se determinan tomando en cuenta información
sobre la instancia específica del problema [Pinedo 95a] U.
Las estrategias generales proveen sus propios parámetros para controlar la
búsqueda, por ejemplo, en tabu search el largo de la lista es un parámetro, aunque
empíricamente un largo de siete ha demostrado ser exitoso en distintos tipos de
problemas [Glover 90b]. En general, en búsqueda local el tamaño de la vecindad
también puede considerarse un parámetro si los operadores definidos son demasiado
sencillos [Sepúlveda 92]. La calidad de la solución depende de cuánto tiempo la
heurística se ejecute, que es un parámetro dependiente de la instancia del problema ya
sea en la forma explícita de máximo tiempo o de máximo número de iteraciones. En
búsqueda global un ejemplo del ajuste de parámetros es elegir la combinación de beam
42

width y filter width más adecuado para un problema en que se va a usar beam search.
Variar estos parámetros pennite controlar el tiempo de ejecución, como también
manipular la calidad de la solución debido a que el beam width tiene directa relación
con la intensificación y diversificación en la búsqueda.
Con esta etapa concluye el proceso de resolución. Los operadores, la
estrategia de control y los parámetros dependientes del problema genérico definen una
heurística genérica para el problema que se está analizando. La instancia del problema
permite definir los elementos todavía indeterminados, con lo cual se obtiene una
heurística particular.
Si el diseñador no esta satisfecho con el desempeño de la heurística, puede
utilizar otra estrategia de control que, como se vio en la sección anterior, depende del
problema. No debe desecharla a priori, porque no posee una instancia de la heurística
que resolver hasta el final esta etapa y además tiene que asegurarse que no se trata de un
problema de parámetros mal definidos. Si aún no está satisfecho, la fuente del problema
puede encontrarse en la defmición de los operadores y el proceso de resolución puede
considerarse un ciclo evolutivo. No se considera la etapa de conceptualización del
problema como parte de este ciclo, porque si el problema estuviera ahí, significa que la
resolución está mal conceptualizada, lo que equivale a recomenzar el proceso.
2.3 Interrelación entre tos Dos Procesos.
Anteriormente se planteó que los diseñadores organizan la información del
problema y de la resolución de manera jerárquica, buscando formar grupos de atributos
de la solución [Woodruff 941. Por otro parte, se afirma lo mismo con respecto de
quiénes tienen los problemas en la empresa [Dombrovskaia 951. Según dicho trabajo,
ellos entienden los problemas de una forma operacional, es decir, en términos de
objetos del dominio en el cual se mueven. Por lo tanto, tanto los componentes del
43

modelo como los de la resolución tratan de dar cuenta del mundo que define el
problema que se trata de resolver.
Como las entidades que describen ese mundo tienen jerarquías, atributos e
interrelaciones entre sí, se puede utilizar un enfoque de orientación a objetos para
representar los componentes del modelo [Singer 92, Levys 93, Melero 94,
Dombrovskaia 951. Lo mismo se puede hacer con los componentes de la resolución.
Aunque el enfoque anterior permite enfrentar la definición del espacio de
búsqueda, no existe software genérico para la optimización combinatorial debido a la
fuerte interdependencia que existe entre el método de representación y los métodos de
resolución, cosa que no ocurren en la programación lineal o no-lineal continua [Coullard
95].
Sin embargo, ambas metodologías (tanto la de modelación como la de
resolución) permiten especificar requisitos para dicha estructura de datos. Siguiendo el
análisis orientado objetos [Rumbaugh 91, Collins 951, cada componente permite
identificar objetos y clases. La interrelación entre los componentes permite identificar
asociaciones entre los objetos. La jerarquía que se da entre los componentes permite
diferenciar objetos de atributos y qué clase de objetos corresponden a subtipos de otra.
Finalmente, la semántica propia de cada componente define los métodos que le están
asociados, aparte de aquellos que le sirven de interfaz con el resto de las clases.
Todo lo anterior implica que la estructura de datos depende tanto del
problema como de la forma en que este se quiera resolver, ya que los componentes de la
resolución son también parte integral de la estructura. Utilizar orientación a objetos es
muy importante, debido a que el ocultamiento de información de este enfoque permite
construir interfaces de conexión entre la estructura de datos que representa al problema
y la estrategia de control de la heurística.
44

La importancia de este resultado es evidente dado que en [Dombrovskaia
95], se demuestra lo interrelacionado que están la orientación a objetos y el enfoque
basado en conocimiento que es la forma en la cual los expertos entienden la realidad.
Dicho enfoque es la base para construir la herramienta que apoya el proceso de
modelación de problema de programación lineal. Eso significa que se puede desarrollar,
para el proceso de resolución, una herramienta del mismo tipo ya que dicho proceso
calza de la misma forma con dichos enfoques.
2.4 Requisitos de una Herramienta para el Desarrollo de Heurísticas
Con lo que se ha discutido en secciones anteriores, entre los requisitos que
debieran considerarse para desarrollar una herramienta están
a) Apoyar el ciclo de refmamiento de la heurística que existe entre las etapas de
defmición de operadores y ajuste de parámetros, permitiendo al diseñador elegir entre
distintos mecanismos de control y modificar los parámetros.
b) Si bien el desarrollo de una heurística se puede sistematizar y abordar con una
metodología, no por ello deja de ser un proceso complejo. Producir código
computacional a partir de la especificación del diseñador de forma de que el
conocimiento que exista en ella pueda ser reutilizado por otras personas por medio de
dicho programa, no es solamente deseable sino también necesario.
c) La existencia de metaestrategias permite apoyar el desarrollo de heurísticas al estar
previamente implementadas. Ello permite reutilizar conocimiento y evita al
diseñador tener que llegar al bajo nivel de la implementación de la heurística, cosa
que ya tuvo que hacer para implementar la estructura de datos. Ello le permitiría
ahorrar una gran cantidad de esfuerzo en la implementación que puede invertir en
mejorar la heurística.
d) Dado que la estructura de datos es dependiente del problema y de la heurística, la
herramienta debe ser lo suficientemente flexible para permitir definir una interfaz con
la cual conectar la herramienta.
45

e) Aprovechar la orientación a objetos en la implementación, que tiene las ventajas que
se mencionaron en la sección anterior.
46

III. DISEÑO DE LA HERRAMIENTA.
Como se especiflcu en la introducción de esta tesis, el objetivo es diseñar
una herramienta de desarrollo de heurísticas de búsqueda local para problemas
combinatoriales. Haciendo uso de la metodología y conceptos propuestos en el capítulo
anterior se diseñará una herramienta que permita apoyarlos. Ello significa otorgar al
diseñador un lenguaje que en base a la conceptualización del problema le permita
especificar la vecindad del problema, por un lado y diseñar una estructura de control lo
suficientemente flexible para desarrollar distintos tipos de búsqueda local por otro.
En este capítulo entonces, se responderá a las preguntas de cómo buscar, y
cuál es el conocimiento que el diseñador debe especificar. Ambas preguntas están
estrechamente interrelacionadas, ya que el cómo buscar depende de la información que
se tenga disponible como también se mencionó en el capítulo anterior.
3.1 La Vecindad y la Conceptualización del Problema.
Un algoritmo de búsqueda local queda determinado si para las estructuras de
control que se mencionaron en el capítulo 1, se define tanto la vecindad como los
criterios de aceptación y detención. Por defmir la vecindad se entenderá especificar la
tupla V(x)= (P(m,x),C(x), j(m)) que implica un operador, una forma de calcular la lista
de candidatos y una forma con la cual obtener la mejor movida.
Como se introdujo en la sección 1.1.1, una movida corresponde al vector de
argumentos para la función de perturbación P(m,xk). Ello significa que el tamaño de la
vecindad 1
vector m.
V(xk) 1 queda determinado por la cantidad de combinaciones posibles para el
47

Ejemplo 3.1 : Movida.
Para el problema de job shop, en [van Laarhoven 921 se define un operador
de intercambio (swap) que cambia el orden de secuenciamiento de las operaciones
críticas. Los argumentos para el operador son dos operaciones críticas que se procesan
en la misma máquina y una movida queda defmida por el par ordenado de dichas
operaciones J.
De acuerdo al modelo del JSSP introducido en el ejemplo 2.2, se tiene para
la movida del ejemplo 3.1 que 1
V(xk) les menor o igual que N(N-l)/2 que son todas las
combinaciones posibles de movidas, con lo cual el tamaño de la vecindad 6 es 00). En
general, si el ancho del vector m es t y D i es el dominio del argumento m i del vector con
l entonces el tamaño de la vecindad es 0(N9. Ello significa que el
N = 1t' D,
tamaño de la vecindad crece en la medida que el problema lo hace y evaluar todos las
soluciones que se construyen a partir de dicha vecindad puede llegar a ser prohibitivo.
Varias estrategias pueden adoptarse para manejar este inconveniente. La
primera de ellas es construir operadores más complejos de forma de reducir el tamaño
de la vecindad [Nowicki 931. La segunda es la utilización de funciones de evaluación.
Dichas funciones se utilizan para evaluar la movida, construyendo en base a ella una
cota inferior de la función objetivo sin tener que ejecutar el cambio realmente
[Dell'Amico 931, de la misma manera que lo hacen los algoritmos de branch and bound
o bien utilizando heurísticas [Glover 90b]. Finalmente, otra alternativa es escoger un
subconjunto de la vecindad con un cierto criterio estadístico [Sepúlveda 921.
6 Recordar que una expresión g(n) se dice que es O(f('n)) si hm g( n )/f( n)
mientras que otra expresión h(n) se dice o(í(n)) si es que hm h( n )/f( n) = 0 [Gu 93].
n -+ co
48
2: O,

Las primera alternativa queda a cargo del diseñador, por lo que no se puede
hacer mucho al respecto, sin embargo, las últimas dos pueden verse como restricciones
de la vecindad. Como se definió en la sección 1.1.1, al subconj unto C(xk) de N(x)
producido con algiin criterio se le conoce como lista de candidatos.
Se definirá a continuación cómo representar y manipular las listas de
candidatos, lo cual establecerá qué conocimiento es necesario para definirlas.
3.1.1 El concepto de asociación
De acuerdo a la defmición 2.1, un componente de la resolución B(y) =(F, ,)
defme un conjunto de elementos que caracterizan un estado dentro del grafo de la
búsqueda y los operadores perturban la solución en base a dichos componentes. En el
caso de la búsqueda local, eso significa que cada argumento del vector de movida m es
un componente de la resolución.
Definición 3.1: Encabezado, andad y caracterización.
Sea c = {C3 (y)} un conjunto de q clusters definidos para el problema
con •(y)= (,R,G,g1,ço) y I(y)I= p» Sea 1{1,...,q} el conjunto de indices de los
clusters del conjunto e. Entonces, si 7 =(si, . .4v) con Jj E T denominaremos a 7
encabezado y al ancho m de dicho vector andad. Adicionalmente, se llamará al
conjunto una caracterización del problema U.
Un encabezado corresponde a una selección de clusters de la caracterización
del problema. Eso significa que la posición i-ésima dentro del encabezado tiene un
dominio, el del cluster correspondiente. Los conceptos anteriores permiten introducir la
siguiente definición.
49

Definición 3.2 Indexación y lista de argumentos.
Sean 57 un encabezado y e una caracterización de acuerdo a la definición
3.1. Sea Z) { 1,..., p} una indexación del cluster e3 en el cual ¡ € ?.'j corresponde al
subcluster e(y.i). Sea D7 el producto cartesiano de las mdexaciones asociadas a los
clusters cuyos índices pertenecen a 57, es decir, V = [[ D. Entonces al vector v€
se le denominará lista de argumentos U.
En el caso del ejemplo 3.1 y utilizando la nomenclatura del modelo defmido
en el ejemplo 2.2, podemos caracterizar este problema con único cluster
e =( (3 } , R1 (F, w,y) w, G1 =Q,gi Q, r1 + Pw d, l = 0) donde Q corresponde al conjunto
dominio de R tal como se estableció en la definición 2.1. Este cluster corresponde a las
operaciones críticas del problema. Como R1 es la identidad, un subcluster corresponde a
una operación crítica. Suponiendo que el número de dichas operaciones sea p, la
indexación del cluster según la definición 3.2 corresponde a 2)i={ 1,.. .pi }. Si se define
=( 1,1) como encabezado, entonces una lista de argumentos corresponde a un vector
que pertenezca a VIxVI. Notar que con ello se ha definido el vector m para la movida
del ejemplo 3.1.
Definición 3.3 : Asociación.
De acuerdo a la definición 3.2, sea y una lista de argumentos de andad m
sobre un encabezado 7 defmido en base a una caracterización e. Sean «v,y) una
condición que relaciona los subclusters y, con i= 1, . . .,m. Entonces se llamará
asociación a la tupla (7C0) que defme el conjunto 4(y){v E 97 1 Ø(v,y) }. Notar
que si la andad de la lista es uno la asociación .4(Ç,I), donde 1 es una condición que
siempre es verdadera, corresponde a una indexación. A este tipo de asociaciones se les
denominará asociación atómica U.
50

Es necesario recordar que gracias a la indexación, una asociación
corresponde a un conjunto de vectores de números naturales y cada coordenada del
vector corresponde a un cluster específico definido por el encabezado y el valor de dicha
coordenada refiere a un subcluster en particular.
Si bien hemos defmido una lista de argumentos para la movida del ejemplo
3.1 se debe notar que, no toda lista es una movida. Esto es porque el operador de
intercambio exige que las operaciones que se entregan como argumento se procesen en
la misma máquina. Por lo tanto, la vecindad corresponde a un subconjunto de las listas
de argumentos. Si se defme la condición $('v,y)((Máquina(v i)—Máquina(v 2)) A
(v1

Entonces, una lista de candidatos corresponde a listas de argumentos que
pertenecen a una asociación. La asociación puede ser una condición sobre los atributos o
la interrelación entre los componentes de la resolución. Por lo tanto, la lista de
candidatos C(x) queda especificada por una asociación. Para ella se especifican los
elementos establecidos en la defmición 3.3, que son los que permiten incorporar
conocimiento estructural del problema. Con ello se ha logrado una forma de definir el
concepto de lista de candidatos e identificar el conocimiento que el diseñador debe
entregar para especificarla. Sólo resta buscar una forma apropiada de manipularlas y con
ello concluir la defmición de la vecindad del problema.
3.1.2 Algebra de asociaciones.
Ya que una indexación y una asociación atómica corresponden al mismo
conjunto, se puede ver la definición de una lista de candidatos como la composición de
operaciones sobre asociaciones atómicas. Si la movida corresponde a un vector m de
ancho t, como ya se mencionó, la asociación resultante debe tener un encabezado de
andad t consistente con la defmición de argumentos del vector m. Siendo el tamaño de
la vecindad O(7), las operaciones deben además permitir descartar elementos de forma
apropiada. Para ello se introducirán las siguientes operaciones sobre asociaciones, que
defmen un álgebra de asociaciones.
Definición 3.4 : Restricción.
Sea 4(y)-(7,e, çti) una asociación de acuerdo a la defmición 3.3. Se define la
operación de restricción como p.(4) =(2 0 A2)•.
La restricción permite eliminar listas de argumentos de una cierta asociación
al introducir una nueva condición que deben satisfacer. La condición X establece una
analogía con el concepto de criterio de eliminación introducido en la sección 1.1.2.
52

asociaciones.
Los siguientes conceptos permitirán defmir la operación de producto entre
Defmición 3.5 : Concatenación y desplazamiento.
Sean j)(j, . . .,i,,) y Z—(j, .4) dos encabezados definidos sobre una
. .
caracterización del problema. Entonces, se defme la operación de concatenación de
encabezados como:
Defmición 3.6 : Ventana.
Sean w — (w i , .
. .,w)
4)•.
mi
una lista de argumentos defmida en base a un encabezado
j). Entonces siempre que t ~: p+k se defme como ventana de desplazamiento k
y tamaftop a la operación:
w,,)) (wk +1,...,wk+p)•.
La operación de concatenación de encabezados construye un encabezado
que corresponde a colocar los encabezados que recibe como argumentos uno junto al
otro, y permitirá definir cual es el encabezado del producto de dos asociaciones.
Defmición 3.7 : Producto.
Si y)=(, Ø) es una asociación de andad m y '(y)=(1,e,2) es otra
asociación de anidad n de acuerdo a la defmición 3.3. Se defme la operación de
producto entre asociaciones como x(, )=(209,, Ø('Oo,m(W))A 2(am,n(w)), donde w es
la lista de argumentos defmida por el encabezado

Sean ,=(74)' con i=l . n asociaciones de distinta andad y w una lista
de argumentos defmida en base a. La operación de producto n-aria se define como:
fJ 1.4 i®?2® ... ®?n,e,2i(0 om1 (W))A4 0 mm (w))A ... Ao (2(w))) E.
El desplazamiento introducido en la definición 3.6, permite realizar el and
lógico entre las condiciones al ampliar la lista que compone la asociación. La operación
de producto es muy importante debido a que la sucesiva aplicación de este operador es
la única forma de construir una asociación de andad t a partir asociaciones atómicas.
Definición 3.8 : Unión.
A continuación se definirán las tradicionales operaciones de conjuntos.
Sean 4(y)=(e0) y (y)=(?2) asociaciones de acuerdo a la definición
3.3. Se defme la operación de unión como u(,4,')=(7,e,çbv2). Sean ,4=q) con
i=1.....n asociaciones con igual encabezado y andad, entonces la operación de unión n-
aria se define como:
Definición 3.9 : Intersección
U
Sean y)(?,Ø) y (y)(2) asociaciones de acuerdo a la defmición
3.3. Se defme la operación de intersección como n()(7e, ØAI). Sean
con i1,.. .,n asociaciones con igual encabezado y andad, entonces la operación de
intersección n-aria se define como:
= (AØ2A ... A) a.
54

Defmición 3.10 : Diferencia
Sean (y)=(7,?,Ø) y (y)=(7e'U asociaciones de acuerdo a la definición
3.3. Se define la operación diferencia como -()=(,q
Los operadores de conjuntos permiten comparar asociaciones del mismo
encabezado entre sí. Las operaciones de unión e intersección permiten construir una
asociación cuyas listas posean o compartan ciertas características distintas. Una
asociación puede ser listas de argumentos no deseados en la asociación fmal. La
operación de diferencia en dicho caso, permite construir una asociación que no posea
dichas listas.
Por último, el concepto de asociación no tendría ninguna utilidad si no
permitiese incorporar operadores que asignen un cierto valor a cada lista de argumentos,
que son los que se defmen a continuación.
Definición 3.11: Prioridad.
Se define como evaluación al procedimiento (v) que le asocia a cada lista
de argumentos y un número real r•.
Cada subcluster, según la definición 2.4 permite defmir una regla de
prioridad. Es fácil darse cuenta entonces, que en el caso de tratarse de una asociación de
andad uno la prioridad corresponde a un caso particular de dicha regla para el
subcluster.
Finalmente la siguiente operación permite restringir una asociación por los
valores de la función de evaluación.
E.
55

Defmición 112 Restricción valuada.
Sea ,4(y)=(,e, Ø) una asociación de acuerdo a la defmición 3.3. Se defme la
operación de restricción valuada como =(7,é0 AO), donde O es una
condición sobre los valores que entrega la función de evaluación U.
Todo lo anterior, especifica una forma de manipular y evaluar las
asociaciones con lo cual concluye la defmición de la vecindad del problema, al
especificarse la tupla V(x).
Las operaciones definidas anteriormente que se utilizarán en la
implementación del lenguaje que utiliza la herramienta, poseen algunas propiedades
interesantes. La composición de la operación de restricción es conmutativa (Proposición
3.1), además dicha operación distribuye sobre la unión e intersección (Proposición 3.5).
Por otra parte las operaciones de unión e intersección son asociativas y conmutativas
(Proposición 3.2 y 3.3), mientras que el producto de asociaciones es sólo asociativo
(Proposición 3.4).
Las demostraciones de estas propiedades se encuentran en el anexo A.
3.2 Diseño del Algoritmo de Búsqueda
Teniendo ya una forma con la cual crear y manipular una lista de candidatos
es necesario defmir una estrategia de control que permita emplear dicha definición para
construir una heurística de búsqueda.
3.2.1 Conceptos previos
En el capítulo N°1, se mostraron varias estructuras de control para
heurísticas de búsqueda local. Simulated annealing, tabu search y threshold accepting
son algoritmos que se concentran en la estrategia de cómo producir el siguiente estado
56

del espacio de búsqueda e introducir mecanismos de control para conducirla. De dichas
estrategias sólo tabu search defme explícitamente los conceptos de intensificación y
diversificación. Por otra parte, los algoritmos de multi-start iterative improvement y
large-step optimization conducen un muestreo sobre el espacio de búsqueda que es
aleatorio en el primer caso y sobre los óptimos locales en el caso de la optimización
local con paso largo. Lo anterior significa que la misma heurística es aplicada
iterativamente sobre puntos distintos del espacio de búsqueda.
En los métodos de optimización local con paso largo el rendimiento del
algoritmo varía significativamente al cambiar la heurística de búsqueda local que post-
optimiza la solución [Lourenço 951. Un algoritmo de simulated annealing tiene un
mejor rendimiento que uno hill climbing, porque es capaz de lograr una mejor solución
dentro de la región que esta siendo analizada aunque con un esfuerzo computacional
mayor [Lourenço 951.
Por otro lado, en un área de la Inteligencia Artificial conocida como
Planning [Flendler 90], el objetivo es lograr un aspecto final o estado final de la
representación del mundo, la cual corresponde al dominio de aplicación. Ello se
consigue por medio de la aplicación de ciertas acciones sobre el estado actual del
dominio de aplicación a partir de un estado inicial. Como se describe en [Hendler 901, si
bien ha sufrido variaciones, el esquema básico para caracterizar acciones corresponde a
las precondiciones y los efectos de una acción. Las descripción de un estado en un
planner se realiza con fórmulas de la lógica de predicados. Los efectos de una acción se
realiza a través de añadir o eliminar fórmulas al descriptor del estado, es decir, se
especifica la regla de como cambia el mundo. Dicha actualización se produce cuando se
cumple una precondición de la acción, es decir, se realiza un cambio en el estado del
mundo cuando se hace verdadera la fórmula descrita en la precondición.
57

Las heurísticas que buscan intensificar, diversificar y el uso de restricciones
direccionales en oscilación estratégica dependen de variables que cambian dependiendo
de la historia de la búsqueda 7 [Glover 90]. Una asignación a dichas variables
corresponde a un estado de la búsqueda.
Haciendo uso de la terminología anteriormente descrita, la acción que el
sistema ejecutará para introducir la oscilación estratégica depende del estado actual de la
búsqueda, la cual debe ejecutarse si la precondición que la define se cumple. El
resultado de la acción guia la búsqueda intensificando o diversificando, pero también
debe tener como efecto el producir un nuevo estado de la búsqueda para poder continuar
ejecutando acciones. En base al estado de la búsqueda también se pueden incorporar
elementos que permitan controlar otros aspectos de la estructura de control de la
heurística. Uno de ellos es el de los parámetros de la búsqueda ya que se pueden
construir políticas de manejo que los varíen dependiendo de la historia de la búsqueda.
En el capítulo N°2 se analizó cómo el desempeño de la heurística depende
de la información estructural y como los mismos componentes de la resolución
permiten definir múltiples vecindades. Dichas vecindades pueden entonces activarse
dinámicamente dependiendo de los valores de las variables de estado de la búsqueda
para producir la intensificación, diversificación y oscilación estratégica. A dichas
vecindades las denominaremos vecindades contextuales.
El uso de la vecindad contextual permite utilizar el mismo enfoque de
búsqueda para llevar a cabo la diversificación al utilizar, por ejemplo, otro tipo de
Como se explicó en la sección 1.1.1, las estrategias de intensificación se concentran en
las variables más "manipuladas" por la heurística durante la búsqueda. Eso se conoce por la historia
de la misma, que es una memoria que se actualiza dependiendo de los estados visitados por la
heurística. Lo mismo se aplica a las estrategias de diversificación.
58

perturbación. Ello también permite implementar la intensificación utilizando una
estructura de vecindad más compleja. Si existiera un lenguaje para especificar la
vecindad, estos dos hechos permitirían desarrollar todos los conceptos anteriores en el
mismo esquema, sin necesidad de implementar estructuras de control adicionales para la
búsqueda.
Una vecindad corresponde una iteración del algoritmo de búsqueda local
que se defmió en la figura 1 .4a. Por lo tanto, es natural extender el concepto de vecindad
contextual al de heurística contextual, si se ejecuta más de una iteración. Una
heurística contextual es una heurística de búsqueda local, pero que se activa cuando se
cumple cierta precondición. Adicionalmente, a la forma en que las variables de estado
de la solución se actualizan la denominaremos efecto.
Los algoritmos de multi-start iterative improvement y large-step
optimization pueden describirse con el esquema de la figura 3.1 a. En él, se representa la
sucesiva aplicación de la heurística h sobre las solución generadas por la perturbación P.
En el caso de la mejora iterativa con múltiples comienzos, la perturbación P
simplemente ignora la solución anterior y genera otra aleatoriamente, mientras que en el
otro procedimiento constituye el "paso" del algoritmo.
x I
IP Ii P
la .dó, gsn~ p
Figura 3.1 : Aplicación de heurísticas.
59

Los algoritmos ya mencionados poseen una forma primitiva de afrontar el
proceso de oscilación estratégica. El procedimiento de búsqueda local puede verse como
un procedimiento de intensificación sobre la región del espacio que está siendo
explorada, mientras que el salto a otra región corresponde al proceso de diversificación.
Los conceptos anteriormente descritos permiten generalizar estos algoritmos
reemplazando la única heurística por un grafo de heurísticas, en el cual cada nodo
corresponde a una heurística contextual como se muestra en la figura 3.1 b. El grafo
define la precedencia con la cual las heurísticas contextuales son ejecutadas y un ciclo
corresponde a recorrer completamente el grafo. La heurística contextual corresponde a
un nodo del grafo y se muestra en la figura 3.2a, mientras que como se interrelacionan
entre sí, se muestra en la figura 3.2b.
Heurusbca
Precondiaón .
NO bJ Ç. NO

En lo que resta del capítulo se formalizará el algoritmo de búsqueda que la
herramienta implementará y la forma en que ella incorpora conocimiento estructural.
3.2.2 Algoritmo de búsqueda propuesto.
En esta sección se formalizarán los conceptos introducidos en la sección
previa, lo cual permitirá construir el algoritmo de búsqueda y establecer qué
conocimiento adicional se requiere para especificarlo completamente.
Defmición 3.13 : Heurística de búsqueda local.
Sean V(x) = (P(z,x),C(x), j(m)) la tupla que especiflca la vecindad para el
problema, 8H el criterio de detención y aH el de aceptación de la heurística.
Adicionalmente se definirá una función A(x") que calcula la caracterización del
problema ¿ = {é1(xk )} y una función que ajusta parámetros. Entonces una
heurística de búsqueda local corresponde a la tupla H(x)=(V, 5H, cxg,A,9V•.
Lo anterior quiere decir que dada una estructura de control para la búsqueda
local, la heurística queda determinada por la tupla de la definición 3.13. En adelante
consideraremos la estructura de control como la que se describió en la figura 1 .5a,
puesto que los algoritmos a), b) y c) descritos en la sección 1.1.1 corresponden a un caso
particular de un algoritmo de tabu search. Por otra parte, anteriormente se introdujo el
concepto de heurística contextual. A continuación, se definirá con mayor precisión
dicho concepto.
Definición 3.14. : Estado de la búsqueda, heurística contextual, precondición y
efecto.
Sea s un vector de variables (s1 ,. • ., s,,) que representa el estado del sistema,
al que se denominará estado de la búsqueda. Sea f'(s) es una condición que el estado s
61

debe cumplir y I(s) genera el estado s ' . Entonces se define heurística contextual
como a la tupla Hc(x,$)=(1H,2). La condición 's) se denomma precondición y la
función E(s) se conoce como efectos.
La historia del proceso es el conjunto de estados de la búsqueda visitados
por el algoritmo y corresponde a la sucesión de estados L, ={s 0, s1,..., sk} a la cual se le
denominará bitácora de la búsqueda.
Definición 3.15 : Grafo de heurísticas.
Se defme como grafo de heurística GH N,bA), al grafo dirigido y
acíclico compuesto por un conjunto de nodos N, cada uno de los cuales corresponde a
una heurística contextual H(x,$) según la definición 3.13 y un conjunto de arcos
A{(u,w) 1 U,V E N} que unen dichos nodos defmiendo la precedencia entre heurísticas
contextuales•.
La bitácora se genera por la aplicación del efecto sobre el estado actual de la
búsqueda, por lo tanto, depende del orden en que los nodos hayan sido visitados.
Defmición 3.16 : Heurísticas sucesoras.
Sean GH —(N,A) un grafo de heurística, s un estado de la búsqueda y Hc(x,$)
una heurística contextual perteneciente al conjunto de nodos Nif, entonces al conjunto
Suc(s,Hc) = {u = (VH,) E N 13 (Hc,u) E A A í'('s)) se le denominará de heurísticas
sucesoras U.
Por lo tanto, dado un grafo de heurísticas GH =(NH,AH), un estado inicial de
la búsqueda s y una solución inicial factible x, el algoritmo consiste en generar una
sucesión finita de soluciones Xk{X, x1,..., xk} a partir de la bitácora de la búsqueda
62

a) procediere Optimizar(G,xs)
begin
T 0
k : n : q:= O
so s
repeal
H:= h0
repeat
x € X
begin
f (tf()) ¡hen
begin
H(x'', x"', T, k)
s'' EWS 9)
q :q+ 1
end
Fi h € Suc(s,H)
end
unu! Suc(s',H) = Ø
n := n + 1
end
unu! ((n = mex_iteraciones_ma yores
y
end Optimizar
b) procediere Oplimizar(G.s.$)
begin
T : 0
k n := q : O
5' 5
repea!
H h,
r
yflhlO!: = 54crn.l
repea!
begin
5 E X
P,,,(s"'"')
:f (P,,(s')) ¡he,,
begin
ff(x'", x'°', T,k)
,VI = (s )
q :q+l
end
H:= h E Suc(s',H)
end
un1ilSuc(s,I-!) = 0
1! (no! ao (f'')) ¡he,,
begin
T :7''
:=
end
cisc
begin
if (x'' >
:
end
n : n + 1
end
unu! ((ti = mex iteraciones mayores
y
end Optimizar
Figura 3.3 Algoritmos a utilizar.
El algoritmo principal de búsqueda se muestra en la figura 3.3a. En ella se
muestra como se va ejecutando el grafo de heurísticas. En la figura 3.3b, en cambio, se
muestra la generalización de los algoritmos de paso largo. Cada ciclo corresponde a la
ejecución de una perturbación Pg/oba!(X) que se post-optimiza ejecutando el grafo de
heurísticas.
63

Ello significa visitar de acuerdo a la topología del grafo cada uno de sus
nodos. Cada vez que se visita un nodo de una heurística H se verifica si la precondición
f'g se cumple. Si lo hace, se ejecuta la heurística hasta que se satisface el criterio de
detención 6H y posteriormente, se ejecuta el efecto E11 de la heurística. Si la
precondición no se cumple, entonces se repite el algoritmo con el próximo nodo que
deba visitarse. A un recorrido completo del grafo se le denominará iteración mayor.
Dado a que cada heurística H, posee su propia perturbación P11(m,x), no es
posible utilizar una lista tabú basada en atributos de las movidas por lo disímiles que
pueden ser estas entre sí. Por lo tanto, el algoritmo utiliza una lista tabú global que
almacena las codificaciones de un subconjunto de las soluciones visitadas
anteriormente. Dicha codificación está basada en el concepto de hash [Woodruff 931
introducido en la sección 1.1 .1 y depende del problema que se esté analizando. La
información de la lista es compartida y actualizada por todas las heurísticas de manera
de evitar caer en ciclos.
Si el criterio de aceptación global aG del algoritmo no se cumple se vuelve
tanto a la solución del ciclo anterior como al estado de la lista tabú previo a ejecutar el
grafo. Esto último debido a que cada nodo durante el recorrido elimina y agrega
soluciones (figura 3.3b). Sin embargo, no se recupera el estado de la búsqueda. Esto es
debido a que éste puede y debe mantener información acerca del desempeño de las
heurísticas, por lo que dicha información generará una secuencia de nodos a visitar
dentro del grafo distinta a la que causó que la solución no fuera aceptada en el paso
anterior, como se muestra en la figura 3.4a y 3.4b. Finalmente la ejecución termina si es
que se satisface el criterio de detención global &
64

Sq
5qt h2
Figura 3.4 : Recorrido del grafo dependiendo del estado de la búsqueda.
procedure H(f', f°'T,k)
begin
repeal
begin
e = A(x'', x °', T,k, Iargo_lista_tabu)
T: T-{(xi) E Ti 1< k )
x N (e T)
f (aq (,f1I)) then
begin
x''
T:= Tu {(z k+ lergo_IIsta_tabu}}
if (jfr1)< flx'')) then x 1°' :
end
Q(x0, T.k. 1.rgo_llstajabu)
k := k+ 1
end
UntÉ! YH (xrI)
endH
Figura 3.5 : Algoritmo que ejecuta cada heurística.
La figura 3.5 describe el algoritmo que ejecuta cada heurística. La función A
calcula en cada iteración de la heurística la correspondiente caracterización del
problema (ver defmiciones 3.1 y 3.13). Del mismo modo, el la función 11 actualiza
parámetros u otras variables relevantes para la búsqueda El conocimiento estructural del
problema se incorpora principalmente en la función Nj.]r(x), que corresponde a la
defmición de la lista de candidatos en base a los conceptos introducidos en el
subcapitulo anterior.

IV. LA HERRAMIENTA DE APOYO AL DISEÑO DE HEURÍSTICAS
DE BÚSQUEDA LOCAL.
Gracias a todos los conceptos defmidos en el capítulo anterior, se estableció
cuál es el conocimiento que un diseñador necesita especificar para construir una
heurística basada en búsqueda local y cómo buscar.
El diseñador necesita definir el grafo de heurísticas, lo cual implica defmir
cada heurística contextual Hc(x,$)=(FJ-f,2), donde H corresponde a la heurística de
búsqueda local H(x)(V,6H,aH,A,Q). Para definir la vecindad de cada una de ellas, se
expresa el conocimiento estructural en base a asociaciones, condiciones y funciones de
evaluación sobre una caracterización del problema 8 .
Sin embargo todavía se necesita dar un par de pasos más para lograr el
objetivo de implementar una herramienta que apoye el desarrollo de heurísticas. Dicho
paso es definir cómo expresar estructuradamente el conocimiento anteriormente
descrito.
4.1 LS-! : Un Lenguaje para Definir Heurísticas de Búsqueda
El conocimiento que es necesario incorporar y los requisitos definidos en el
subcapítulo 2.4 pueden ser estructurados en dos partes:
a) Conexión con la estructura de datos defmida por el diseñador : corresponde a
establecer cuales son los métodos de la estructura de datos que representa el modelo
del problema que corresponden a la función objetivo y a la caracterización del
problema.
Ver definición 3.1.
M.

) Definición del grafo de heurísticas : Con respecto al algoritmo de la figura 3.3a, la
defmición del grafo comprende la especificación de Pgjobal(X), & y crG y la
defmición de cada nodo Hc(x,$) = ( 1) y H(x)=(V, 8H, aH A, f 2)
La especificación de dicho conocimiento se realizará a través del lenguaje de
búsqueda local (LS- 1), el cual se ha defmido en 4 bloques : el bloque de conexión con la
estructura de datos, el bloque de interrelación entre heurísticas, el bloque de defmición
de una heurística contextual y el bloque de defmición de asociación.
Cada uno de dichos bloques captura parte del conocimiento que el diseñador
necesita especificar. El bloque de conexión captura el conocimiento referente a la
interfaz con la estructura de datos del problema, mientras que los restantes bloques
jerarquizan la información necesaria para especificar el grafo de la heurística.
Cada bloque está compuesto por una serie de palabras reservadas o
primitivas que son las instrucciones que el lenguaje provee. En cada bloque existe un
orden preestablecido para la ocurrencia de dichas palabras y también dicho orden existe
entre los bloques. Ese orden defme la gramática del lenguaje cuya estructura general se
muestra en la figura 4.1. Para revisarla en mayor detalle, se recomienda consultar el
anexo B.
67

sokition
objective
______
1
Interfaz de Conexión
con la estructura de
include
hash
/
datos
domoki piecond : 'P
domei
begn,
global stop
pe,tuiD: = (III::)-
Postefec:= E
befoi:=A
after o
Ch L:
O
global accept := acJ
end dfs/bfs
Interrelaclón entre
heuristicas
stop:=5 joi7(A, ... Z)
unn(A,..., Z)
subset(A)
intersec(A..., Z)
peuImakeall
accept a
diff(a,b)
Definición de
asociación
Definición de heuristica
contextual
Figura 4.1: Estructura general del lenguaje.
E'
En la siguientes secciones se comentará el uso de las palabras reservadas en
el contexto de cada bloque.
4.1.1 Bloque de conexión con la estructura de datos.
En este bloque, las primitivas del lenguaje permiten establecer qué métodos
del objeto construido por el usuario corresponden a ciertos aspectos del conocimiento
que el diseñador debe proveer como son la función objetivo y la caracterización del
problema.
68

La palabra reservada solution establece cuál es el nombre que tendrá la
estructura de datos que representa una solución factible del problema y los archivos que
contienen esa defmición se indica con la palabra clave include. La función objetivo se
define por medio de la primitiva objective y la función de codificación de la solución
para el uso de tabu Search se especifica a través de la primitiva hash. Al mismo tiempo
la primitiva domain defme la cardinalidad de cada uno de los elementos de la
caracterización del problema.
4.1.2 Bloque de interrelación entre heurísticas.
En este bloque se especifica el grafo de la heurística y como se lleva cabo el
algoritmo de large-step generalizado que se defmió en la sección 3.2.2.
La primitiva global stop permite definir el criterio de detención global 83
de la búsqueda y también permite incorporar código para especificar, por ejemplo,
resultados de eliminación. Las primitivas perturb y global accept permiten definir
Pglobal(X) y aG respectivamente por lo que deben especificarse juntas.
Además este bloque esta compuesto por una lista de bloques de heurísticas
contextuales cada uno de los cuales define un algoritmo de búsqueda local con sus
respectivas precondiciones y efectos.
4.1.3 Bloque de definición de asociación
En este bloque las primitivas del lenguaje definen la vecindad en base a
asociaciones, condiciones y funciones de evaluación. En la defmición de la vecindad
intervienen las primitivas join, union, intersec, diff, subset, max, min y random que
se conocen como operadores de vecindad. Estos operadores pueden clasificarse en dos
tipos : operadores de lista y operadores de valuación.

Los operadores de lista están basados en el álgebra de asociaciones defmidas
en la sección 3.1.2 y permiten manipular las listas de argumentos para crear la lista de
candidatos, como se defme a continuación.
Definición 4.1: Operadores de lista.
de asociaciones. U.
En la tabla 4.1, se muestran los operadores y la equivalencia con el álgebra
Tabla 4.1: Operadoresde la defmición 4.1.
Nombre Operación Equivalencia
,4) ([]"
Reunión join(Á41 ,,. . . ,.4)
Unión union(241 ,42,.. (U1,4i
Intersección intersec(,1, 1 . .
Diferencia diff(Z,,1 1 ,.42) P1(.41 4)
Subconjunto subset(Á,,4) p2(,4)
Notar que los operadores de lista sólo restringen una asociación o amplían la
lista de argumentos que la defme. Eso significa que estos operadores sólo ven las
asociaciones con respecto a las condiciones que ellas deben satisfacer en relación a la
estructura del problema.
Es necesario entonces establecer lo mismo con respecto a la evaluación que
pueda tener una lista de argumentos, que la puede hacer más o menos atractiva como
movida o argumento de ella. Para ello se definen los operadores de valuación:
70

Defmición 4.2 : Operadores de valuación.
Se defme como operador máximo al operador max(J,k,,1) equivalente
ay f0 (.4). donde 0(v) =maxk(v) entrega verdadero si r pertenece a los k mayores
valores que entrega la función j(v). Del mismo modo, el operador mínimo
min( , k,.4) equivale a y (.4), donde 0(v) =mink(v) entrega verdadero si r pertenece a
los k menores valores. Si k(v ) es un valor aleatorio con una distribución uniforme en
[1 , ], entonces se define el operador random(k4) como max( ,- , k,4)•.
En esta sección para mayor claridad en la exposición, se simplificó un poco
la sintaxis de los operadores de lista, pues ellos son de la forma:
op_Iista(2,a in A, b in B, . . .z in Z)
Donde A, B, . . .,Z corresponden al nombre de una asociación definida
anteriormente en otro bloque de vecindad. Las variables a,b, . . ., z son listas de
argumentos pertenecientes a las asociaciones anteriores que permiten defmir la
condición A. El bloque de asociación tiene la forma:
asociación.
nombre_asoc := op_vaI(fk(op_Iista(2, a in A, b in B, . .z in Z)))
De esta manera, nombre_asoc puede ser utilizado por otro bloque de
4.1.4 Bloque de heurísticas contextuales.
Este bloque defme un nodo del grafo de heurísticas. La primitiva precond
define la precondición '?de la heurística contextual mientras que postejec defme el
efecto I. Además, en cada iteración de la heurística de búsqueda local se calcula la
caracterización del problema a través de la función A. Los métodos que implementan
71

ese cálculo deben indicarse de alguna forma, lo cual se logra utilizando la primitiva
before. Por otro lado, la primitiva after permite definir la función ) que ajusta
parámetros de la estructura de control.
El criterio de detención C5H se defme a través de la palabra reservada stop y
mientras que el criterio de aceptación aH se especiflca a través de la primitiva accept.
Dentro de este bloque se especifica una lista de bloques de asociación. Esa
lista construye la vecindad al componer varios de los operadores de lista y valuación
para construir una lista de candidatos como se muestra en la figura 4.2.
asoc_1 := op_val(f_1,k_1(op_lista(,._1,a in A, b in B, .. .z fr, Z)))
asoc_2 : op_val(f_2,k_2(op_lista(.%_2,a in A, b in 8,.. .z in Z)))
asoc_n op_val (f_ .n, k_n(op_lista(._n, a in A, b in 8,.. .z in Z)))
Figura 4.2 : Lista de bloques de asociación.
Para terminar de defmir la heurística contextual solo resta especificar la
forma de aplicar el operador de perturbación P(m,x) y escoger el siguiente estado del
espacio de búsqueda. Para ello se escoge una de las primitivas que escogen el siguiente
estado del espacio de búsqueda perturb o makeall sobre una de las asociaciones
definidas en la lista de bloques.
Defmición 4.3 : Operadores que escogen el siguiente estado.
Se defme como operador de evaluación de vecindad al procedimiento
perturb(,P, como el algoritmo de la figura 4.3a. El operador de cambio total
72

corresponde al procedimiento makeall(] , P,,1) definido en la figura 4.3b. En ambas
figuras la función C( ) que calcula la asociación 4 de acuerdo a la especificación
realizada en los bloques de asociación U.
Ambos operadores definen la función NH, que se utiliza en el algoritmo que
ejecuta cada heurística, según la figura 3.5. La diferencia entre ambos operadores se
muestra en la figura 4.4.
II-
a) procedure T)
begin
for (me ,)
begin
:= P(mx
end
return best
end N11
If(jz)

4.2 Cómo Construir un Lenguaje Gráfico a Partir de LS-1.
Como se mostró en la figura 4.2, la lista de candidatos que especificada por
una lista de bloques de asociaciones. Sin embargo para que dicha definición tenga
sentido tienen que cumplirse tres propiedades.
Propiedad 4. 1 : La especificación no debe contener deadlocks.
En un bloque que esté en la posición ¡ de la lista la asociación sólo puede
recibir como argumentos a aquellas que hayan sido definidas en los bloques] con] < i.
.
De no ser así, será imposible calcular la lista de candidatos porque existirá
un ciclo entre dos asociaciones puesto que una es argumento de la otra y viceversa.
Propiedad 4.2 : La especificación no contiene bloques irrelevantes.
Una asociación definida en un bloque i debe ser invocada como argumento
por alguna asociación defmida en un bloque], conj> iU
Si esta propiedad no se cumpliera significa que la asociación defmida en
dicho bloque es irrelevante y por lo tanto puede ser eliminada.
Propiedad 4.3:
cambio de estado.
La asociación defmida en el último bloque es el argumento al operador de
Si existen n bloques y un bloque i (i < n) es el argumento del operador de
cambio de estado todos los demás bloques] (con]t> n) son irrelevantes por la propiedad
4.1.
74

Gracias a estas propiedades, es posible definir una forma de representar
gráficamente la vecindad de la heurística contextual. Para lo cual se introducirán los
siguientes conceptos.
Definición 4.4 : Nivel de un nodo.
Un nodo intermedio se dice de nivel 1+1 si es que todo arco que lo apunta
corresponde a un nodo de niveijU
Defmición 4.5 : Nodo inicial.
Sea 4i una asociación atómica sobre una caracterización e de acuerdo a la
defmición 3.3, cuyo encabezado ? corresponde a i, con i=l, . . .,q. Se definirá como nodo
inicial al nodo representado por la tapia n = Aj. Estos nodos tienen nivel OU.
Un nodo inicial corresponde a un cluster dentro de la caracterización del
problema y corresponde a la asociación más simple a partir de las cuales se puede
aplicar operaciones de lista y de valuación.
Definición 4.6 : Nodo intermedio.
Sean L una operación de lista de argumento Á. y V una operación de
valuación de argumentosJ(v) yj. Sea k la andad de la operación de lista. Defmiremos
como nodo intermedio a un nodo representado por la tapia n'=(L,2,k, V, f(v),j)•.
Defmición 4.7 Nodo final.
Sea K una operación de cambio de estado de parámetros P y ]'(v). Se
llamará nodo final al nodo representado por la tupla t/=(K,P, 7)•.
75

Un nodo intermedio defme un bloque de asociaciones en el lenguaje,
mientras que un nodo final define la operación de cambio de estado. La especificación
gráfica corresponde a defmir un grafo de nodos iniciales, intermedios y final que
satisfaga las propiedades 4.1 a 4.3 y que calcule una asociación de la andad de la
movida.
Defmición 4.8: Grafo de vecindad.
Sea N5 = { n t ,..., n } el conjunto de nodos iniciales, N' un conjunto de nodos
intermedios y i/un nodo final. Sean pos(u, y) la posición que ocupa la operación defmida
por el nodo u como argumento de la operación y y path(u,v) un predicado que devuelve
verdadero si es que existe un camino entre el nodo u y el nodo y. Sea N=NuNu(n) y
A{(u,v)} un conjunto de arcos con u e (N3uM), y e Y y arg(v) una función que
retorna el número de arcos que inciden en un nodo y. Entonces se defme como grafo de
la vecindad al grafo acíclico y dirigido G=(N,A) que satisface que:
• ze(JVuN t) 1
(z,/) e A A _,we(NS uN 1)
: (w,d)eA.
Vn eN1 3u E NV E IV path(u,v)Apath(v,z)
• Vm=(L,2,k,V,j(v)j)eNarg(m)=kU.
Los nodos representan la aplicación de los operadores de vecindad. Cada
arco incidente representa un argumento para el operador, por lo que dependiendo de su
tipo, se puede chequear si el número de argumentos es correcto o no. Por ejemplo, un
nodo que represente una operación diff sólo tendrá dos arcos incidentes. Los arcos que
salen de este tipo de nodos representan el resultado de la operación.
En la representación gráfica, cada uno de los nodos tendrá asociado un icono
al cual el diseñador especificará los atributos que señalan las tuplas de las definiciones
4.5 a 4.7. En el caso de los nodos iniciales eso no es necesario porque son los elementos
básicos sobre los cuales construir y por lo tanto se suponen preexistentes. El arco
76

incidente hacia el nodo fmal representa la operación de perturbación y por eso solo
existe uno. La forma general del grafo que define de la vecindad puede verse en la
figura 4.5.
:
Nivel O Nivel 1 Nivel j-2 Nivel j-1 Nivel i
AsoOaaones atOmicas
Ejemplo 4.1: Grafo de vecindad.
Listad.
cda1os
Figura 4.5 : Vecindad representada por un grafo
En la figura 4.6b se muestra como se representa en un grafo la vecindad
representada en la figura 4.6a, donde A, B, C y D son asociaciones atómicas. Por
convención, colocaremos a la izquierda de las figuras las asociaciones atómicas y a la
derecha el nodo que representa la vecindad, con una letra P o M para distinguir si la
nueva solución de construye a través de una operación perturb o una makeall. Se
prescindió de especificar las funciones de restricción y valuación por motivos de
claridad de la figura (.
77

a)
asocl in(ersec(a in A, b in 8)
asoc_2 union(x in asoc_1, c in C, d ir, d)
pei?urb(asoc_2)
4.3 Búsqueda Paralela
Figura 4.6 Ejemplo de vecindad representada por un grafo
b)
El uso de la representación anterior no solamente es importante porque
permite implementar una interfaz de usuario para defmir vecindades, sino que también
permite especificar la vecindad como un sistema concurrente. Eso es sumamente
importante ya que es posible construir un sistema que genere un algoritmo de búsqueda
paralela basado en el análisis de la especificación gráfica. Un algoritmo de búsqueda
paralela utiliza más de una CPU para realizar su misión lo que puede ser especialmente
necesario en el caso de instancias de problemas de gran tamaño., o defmiciones de
clusters muy complejas.
4.3.1 Redes de Petri
Un sistema concurrente se puede especificar a través de una red de Petri
[Ghezzi 91]. Una red de ese tipo modela la ejecución de eventos o acciones que deben
realizarse cuando se cumplen ciertas condiciones. Si pensamos en que cada evento
ocurre gracias a un proceso, entonces una red de Petri permite modelar tanto el
paralelismo como el sincronismo de los procesos en un sistema. Los procesos pueden
existir tanto en un sistema monoprocesador como en uno distribuido, de ahí la
importancia de la modelación. Por lo tanto, para mostrar que la definición de la
vecindad especifica un sistema distribuido basta mostrar que puede transformarse en
una red de Petri.
78

Una red de ese tipo es un grafo que queda defmido a través de un conjunto
de lugares, de transiciones, de flechas y un estado inicial. Una transición representa, en
general, la realización de un transacción de algún tipo. Lugares y transiciones se unen
por flechas que determinan que lugares pertenecen a que transiciones. Cada lugar
almacena un número preestablecido de tokens y se denomina lugares de entrada de
una transición a aquellos nodos que poseen arcos que inciden en el que representa a la
transición. Los lugares de salida, en cambio, son aquellos nodos en los cuales incide un
arco desde la misma transición.
Una transición se habilita, es decir, puede ejecutarse, si en cada lugar de
entrada de la transición existe por lo menos un token. La transición se ejecuta
eliminando un token de cada lugar de entrada y poniendo uno en cada lugar de salida. Si
un lugar de entrada pertenece a más de una transición, entonces la red es no
determinística, puesto que más de una transición puede quedar habilitada a la vez. Para
resolver este problema es posible asociar a cada transición cierta prioridad. La prioridad
determina el orden en el cual dos transacciones son disparadas si es que están
habilitadas al mismo tiempo. Finalmente se defme un estado de la red, asignando
inicialmente tokens a cada lugar.
Ejemplo 4.2 Red de Petri.
Si se representa una transacción con cuadrados y cada lugar con círculos la
figura 4.5 representa una red de Petri donde, por ejemplo, L3 y L4 son lugares de entrada
para la transición T3, mientras que L1 y L3 son lugares de salida para la misma
transición. Notar que si L3, L4 y L5 tienen un token cada uno, quedan habilitadas tanto
T3 como T4 y la elección de cualquiera de ellas para ejecutarse es totalmente aleatoria.
El estado inicial de la red queda determinada con las fichas negras en cada lugar, cada
una de las cuales corresponde a un token I.
79

m
Figura 4.7 : Ejemplo de una red de Petri.
4.3.2 Especificación concurrente del grafo de vecindad
El grafo que representa la vecindad será transformado en una red de Petri a
través de 2 pasos. El primero de ellos tomará cada nodo del grafo de la vecindad y lo
transformará en una red de Petri básica y la interconexión entre los lugares y
transiciones de ellas determina la red completa. El segundo, corresponde a un proceso
de refinamiento, el cual permite detallar aún más los nodos que representan operaciones
de vecindad, de forma de incrementar el paralelismo y limitar el sincronismo.
El primer paso se lleva a cabo de la siguiente forma. Cada nodo del grafo de
la vecindad que represente una asociación atómica se reemplaza por la red que se
muestra en la figura 4.8a y los demás (incluyendo el nodo final de perturbación) por la
que se describe en la figura 4.8b, que posee tantos lugares de entradas como arcos
incidentes en el nodo del grafo original. Las transiciones representan la ejecución de la
operación propiamente tal y los lugares de entrada representan que los argumentos de la
operación ya han sido previamente calculados, razón por la cual las asociaciones
atómicas están siempre habilitadas.
Con esta transformación, cada arco que unía dos nodos en el grafo de la
vecindad, ahora une la transición correspondiente al primer nodo con un único lugar de
entrada del segundo. De esta manera también queda descrito el estado inicial de la red,
80

ya que en cada lugar de entrada de las asociaciones atómicas existe un token. La red
resultante no puede tener ciclos, ya que el grafo de le da origen es acíclico. La
construcción también asegura que la red es determinística, puesto que un lugar de
entrada no pertenece a más de una transición, por lo que nunca se tendrá que escoger
cuál se ejecuta primero.
Si una transición tiene más de un lugar de salida hay acceso simultáneo a la
información que dicha transición produce y competencia de recursos entre las
transiciones que quedan habilitadas. El número de tokens en cada lugar siempre es uno,
por la forma en que se defmió la red. Una transición con varios lugares de entrada puede
tener tokens en varios de ellos, pero la transición debe esperar que se terminen de
ejecutar otras para empezar a ejecutarse.
Las propiedades de las operaciones de producto, unión e intersección del
álgebra de asociaciones que se demuestran en el anexo B permiten descomponer los
nodos intermedios de k argumentos en nodos de menos argumentos con ello, se puede
comenzar el cálculo de la operación con las transiciones que primero se completen e
incrementar el paralelismo.
Figura 4.8 : Representación de cada nodo para especificar una red de Petri.
Entonces, el segundo paso de la transformación es subdividir las
transiciones que provienen de nodos intermedios del grafo de vecindad de forma de
81

incrementar el paralelismo con el cual la red puede ejecutarse. Por ejemplo, en la figura
4.8c se muestra una transición proveniente de una operación join con 3 asociaciones
como argumentos, y en la figura 4.8d como esa operación se puede descomponer. La
propiedad de asociatividad que dicha operación posee hace que dicha descomposición
también sea equivalente a la de la figura 4.8e.
Ejemplo 4.3 Descomposición de una red que representa una vecindad.
En la figura 4.9a, se puede ver como la vecindad defmida en el ejemplo 4.1
queda especificada a través de una red de Petri, utilizando la primera etapa del proceso
de transformación. Las transiciones de las asociaciones atómicas están siempre
habilitadas por la definición anterior. Como la intersección habilita la ejecución de la
unión, el proceso completo debe esperar hasta que el otro se finalice. Aplicando la
segunda etapa, como se muestra en la figura 4.9b, la unión se calcula ahora de forma
asociativa, por lo que la unión de C y D puede calcularse en forma paralela con la
intersección entre A y B y el proceso de unión total sólo debe esperar el resultado de la
intersección para completarse U.
Figura 4.9 Representación de una vecindad como una red de Petri.
Sin embargo, las mismas propiedades que permiten descomponer la red
hacen que dicha descomposición no sea única, lo cual dificulta la automatización de
dicho proceso. Una vez finalizada la descomposición, se obtiene un modelo que
82

describe la vecindad como un sistema concurrente. Cada vez que se calcula la vecindad,
el estado inicial corresponde al defmido por la transformación, donde existe un token
por cada lugar de entrada de una asociación atómica.
Finalmente, hay que destacar que si bien el modelo de defmición de
vecindad permite especificar un sistema concurrente, el cuando utilizar mecanismos de
paralelización depende de la instancia del problema que se esté resolviendo, como de la
complejidad de la defmición de las asociaciones. El calcular la vecindad mediante un
sistema distribuido tiene el overhead del intercambio de los mensajes, por lo tanto, si el
tiempo en calcular una asociación es menor que el que toma intercambiar mensajes no
vale la pena utilizar dicho sistema. Además el manejo de la consistencia entre los
distintos procesos también es un problema, por lo que el esfuerzo de paralelizar el
cálculo debe evaluarse acuciosamente.
4.4 Implementación de la Herramienta
Hasta ahora se ha defmido en este capítulo cómo establecer una
especificación estructurada del conocimiento necesario para del desarrollo de heurísticas
de búsqueda. Todavía resta procesar dicha especificación para producir automática el
programa computacional que implemente el algoritmo descrito en la figura 3.3 del
capítulo anterior.
La herramienta consiste en un compilador que toma la especificación escrita
en lenguaje LS-1 y genera a partir de ella el código computacional en algún lenguaje de
programación que implementa las heurísticas defmida por el diseñador. La aplicación se
genera compilando dicho código. La implementación de este prototipo no incorpora
capacidades de paralelización del algoritmo de búsqueda. Todo el proceso se
esquematiza en la figura 4.1Oa.
83

al
Dts&lador
Códgo Reprcnaco Acaonoa fi
Cócágo C++ y
compóoón
b)
Ot 1
I—DIbuÍ005,11
bujos
Cóg
lador
LS- 1 ______ l
CódigoC
compd.
Programado
i
Local Search ea,vhj ____
RcprcscntacI ón1
co tddProblana)
Cócigo C++
Figura 4.10 : Sistemas implementado y propuesto.
Para la implementación computacional tanto de esta herramienta como del
programa que implementa la búsqueda, se decidió utilizar el enfoque de orientación a
objetos por las razones que se explicaron en las secciones 2.3 y 2.4. Dentro de los
lenguajes que utilizan este enfoque, se decidió usar C++ porque:
a) Es un lenguaje cuya ejecución ha demostrado ser eficiente en cuanto al desempeño
comparado con otros lenguajes que no poseen orientación al objeto.
b) La existencia de distintas implementaciones de este lenguaje en distintas
arquitecturas permite, tomando los resguardos necesarios, escribir un código
computacional que sea portable. Esto quiere decir que el mismo código puede
compilarse y comportarse de la misma manera en esas distintas arquitecturas.
Lo anterior, significa que el diseñador también debe implementar la
estructura de datos que representa el problema utilizando este lenguaje.
La herramienta implementada gracias a los conceptos definidos en 4.2
también puede incorporar un ambiente gráfico como el descrito en [Pinedo 931. Para
ello bastará agregar un editor gráfico. Dicho editor es la fachada del sistema en la cual el
diseñador especifica las heurísticas a través de acciones gráficas. El editor por su parte,
provee respuesta al usuario mediante el despliegue de los dibujos que son consecuencia
84

de dichas acciones gráficas. La interrelación de los componentes antiguos del sistema
con este nuevo elemento se especifican en la figura 4.1 Ob.
El compilador esta implementado de forma tal que el diseñador puede omitir
parte de la información en la especificación. En el caso del bloque de asociaciones, el
diseñador puede omitir las condiciones para los operadores de listas. Del mismo modo,
puede omitir el uso de los operadores de valuación. El diseñador debe expresar las
condiciones y funciones de valuación en forma de código en C++.
En el caso del bloque de heurística contextual, se pueden omitir la
precondición y el efecto. Lo mismo puede hacerse con la función ? en cuyo caso el
intérprete asume que su utilizará la función objetivo para evaluar la vecindad.
La herramienta permite especificar algunos elementos de la búsqueda en
forma estándar. Dichos elementos son:
4.4.1 Criterios de detención.
Los criterios estándar utilizar para terminar el proceso de búsqueda pueden
ser para el algoritmo completo o para cada heurística contextual. En el caso del
algoritmo completo, el criterio es en base al número de iteraciones mayores que el
algoritmo ejecuta. En el caso de las heurísticas contextuales cada una de ellas termina ya
sea por el número de iteraciones que ella ejecuta, el tiempo que se lleva ejecutando o el
número de iteraciones que la heurística lleva sin encontrar una mejor solución. En
ambos casos, el usuario puede agregar condiciones en forma de código en C++.
4.4.2 Criterios de aceptación
Los criterios de aceptación que la herramienta provee en forma estándar son
Simulated annealing y hill climbing. Para el simulated annealing, se definió un cooling
schedule logarítmico, el cual ha mostrado buenos resultados tanto de convergencia
85

[Hajek 881 como de eficacia [van Laarhoven 92]. Dicho schedule se muestra en la
ecuación 4.1, donde k representa el número de la iteración actual y ro la temperatura
inicial que debe ser ajustada.
1092(1 + k)
86
(4.1)
El diseñador sólo debe especificar como parámetro inicial r0. Gracias a las
propiedades que dicho parámetro debe poseer para garantizar convergencia y que se
demuestran en [Hajek 881 se definió un a forma de corregir la estimación inicial del
diseñador automáticamente. Para ello se estima l'o en base a la diferencia en valor
absoluto entre el peor y el mejor valor encontrados hasta el momento.
4.4.3 Recorrido del grafo
Se entregan dos maneras de recorrer el grafo de heurísticas que
corresponden a la búsqueda DFS y BFS.

V. APLICACIONES
5.1 Minimizar la Tardanza Ponderada en un Job Shop
Como pudo verse en el capítulo N°2, se han propuesto muchos algoritmos
para resolver el problema del Job Shop. El makespan, que mide el tiempo en que opera
el taller, es una de las funciones más utilizadas en lo que este problema se refiere, sin
embargo, en este trabajo se utilizará la tardanza ponderada total (total weighted
tardiness) que es la suma ponderada de los tardanza de los trabajos. Recordemos que la
tardanza total ponderada [Pinedo 951 se defme como:
T1 = wmax(O,C -d i ) (5.1)
Donde C es el tiempo en el cual el trabajo j termina de procesarse, d el
tiempo donde dicho trabajo debe entregarse listo al cliente y w es la multa ($/unidad de
tiempo) por atraso. Adicionalmente los trabajos ingresarán en un determinado instante
de tiempo fijo r al sistema. Por lo tanto el problema corresponde a Jm 1 rj, d3 1 EwT.
Esta función objetivo es sumamente importante por las implicaciones
económicas que ella tiene, porque si bien el makespan minimiza el costo de operación
del taller, lo verdaderamente importante es orientar el sistema productivo a la
satisfacción del cliente. Como muchas veces no es posible entregarle a todos los
productos a tiempo, se necesita minimizar el costo del retraso en la entrega.
En lo restante de este capítulo se utilizará la flotación para el problema del
job shop introducida en el ejemplo 2.2.
87

5.1.1 Conceptuahzación del problema
a) Representación del Problema.
Para representar el problema JmIIC,,,
se utiliza el grafo disyuntivo
planteado en [Roy 641. Dicha representación consiste en defmir un grafo dirigido y
acíclico cuyos nodos corresponden a las operaciones y los arcos representan tanto la
secuencia de pasos para construir cada trabajo, como el orden en que las operaciones se
procesan en cada máquina. Resolver el problema significa encontrar una asignación de
arcos que minimice el camino más largo desde el nodo origen al nodo destino del grafo
lo que corresponde en el problema original al makespan.
Para representar JmIr1,dIwT se utilizará el mismo grafo al que se le
agregan nuevos nodos sumideros para el cálculo de la nueva función objetivo.
Definición 5.1: Grafo disjuntivo para .Jm Irj djIEwjTj
La mayor parte de la flotación fue introducida en el ejemplo 2.2.
• Sea J,, el trabajo al que pertenece la operación y, M la máquina que atiende a la
operación y y - la relación binaria que descompone al conjunto O en las cadenas de
operaciones que constituyen cada trabajo [van Laarhoven 921.
• Sea V= O u {S, S1,..., S} donde S y {Sk}k& corresponden a operaciones ficticias
que denotan el nodo fuente y los nodos sumideros del grafo.
• Sea A = {(v,w)I v,w EO AV-*W }u{(S,w)IwO,—vEO :v—*w }U{(V,Sk) VEO, Jk,
—wEO :v—w, k=1.....n}. El primer conjunto representa las operaciones
consecutivas del mismo trabajo y el largo de un arco (v,w) está dado por el tiempo de
procesamiento Pv de la operación y. El segundo conjunto corresponde a los arcos que
unen el nodo origen con la primera operación en la secuencia de cada trabajo y el
largo de un arco corresponde al primer instante de tiempo en que dicha operación
está disponible (release time). El tercer conjunto une la última operación de la
88

secuencia de cada trabajo con el nodo sumidero de dicho trabajo. El largo del arco
corresponde nuevamente al tiempo de procesamiento Pv de la operación y.
. Sea E {(v,w) 1
procesan en una misma máquina.
M=M} los arcos no dirigidos que conectan las operaciones que se
Al conjunto de arcos A se le denominará arcos conjuntivos, mientras al
conjunto E se le denominará arcos disyuntivos. Entonces el modelo de grafo disyuntivo
se define como G=(J'ÇA,E)U.
Ejemplo 5.1 : Grafo disjuntivo paraf4 Ir,dj vjT3
En la tabla 5.1 se muestran los datos para una instancia de Jm Iii,4IwT,
con 4 trabajos y 4 máquinas, en ella se encuentran el peso o prioridad que tiene cada
trabajo, el instante en que el trabajo está disponible para comenzar su procesamiento y
cuando debe estar listo. En la figura 5.1, se representa parcialmente el grafo disyuntivo
para este problema. En el dibujo, solo se representan solo los arcos no dirigidos
correspondientes a la máquina 3 U.
Tabla 5.1 : Instancia de Jmfr,,dj wTj
Trabajo w, r, d1 Secuencia de Tiempos de
Máquinas procesamiento
1 3 0 25 1,2,3,4 P111°,P213,P316,P414
2 2 7 25 2,1,3 P227,P128,P323
3 1 8 21 4,1,2 P435,P131,P237
4 1 5 26 1,4,2,3 P142,2444,2245,P346
89

=a.. 7 3
42,4 3,4 S,
Figura 5.1: Representación de grafo disyuntivo para J4Ir,d1Jw1T.
Una solución para este problema consiste en a asignar orientación a cada
arco disyuntivo que une dos operaciones que se procesan en la misma máquina, de esta
forma los arcos disyuntivos representan la precedencia que tienen en el procesamiento
los distintos trabajos.
Definición 5.2 : Fecha de inicio de una operación, fecha de términación de un
trabajo, makespan.y tardanza ponderada total
Sea G un grafo que representa una solución factible y L(u,v) el camino más
largo entre los nodos u y y de dicho grafo. Se defme la fecha de inicio de una operación
w como rL(S,w), la fecha de término de un trabajo 1 por C1 =L (S.S), mientras que el
makespan está defmido por C = max(C)U.
l5j:In
Una solución factible corresponde a una asignación de la orientación de los
arcos disyuntivos que produce un grafo acíclico, puesto que en caso contrario el camino
más largo entre dos nodos que pertenecen al ciclo, de acuerdo a la defmición 5.2, sería
infinito.
wi

Ejemplo 5.2 : Solución factible para J4 IdjIwTj.
La tabla 5.2 corresponde a una solución factible para el problema del
ejemplo 5.1. Los arcos disyuntivos para las máquinas 1 y 3 en esta solución se muestran
en la figura 5.2a U.
S5.
55
..(zi)
Tabla 5.2 : Solución factible para J4Ir,djIZwT.
Máquina Orden de procesamiento
/ .
1.3 2.3
4.4 )
« 2.4 3.4
¡55_5-
2 (2,2),(2, 1 ),(2,4),(2,3)
3 (3,1),(3,2),(3,4)
4 (4,3),(4,4),(4,1) iJ
..
( ø"®\
.. j 4.3 1.3 2.3
/_•5
s )
1.4 4.4 24 • 3.4 • s 1
Figura 5.2 : Representación de una solución factible en el grafo disyuntivo.
Como puede observarse de la figura 5 .2a, la representación de grafo genera
una serie de arcos disyuntivos redundantes. Si se eliminan dichos arcos [van Laarhoven
92, Taillard 941 entonces cada nodo del grafo tiene a lo más 2 predecesores y 2
sucesores, excepto los nodos que representan operaciones ficticias. La figura 5.2b
muestra la solución factible del ejemplo 5.2, sin arcos redundantes.
Defmición 5.3 Grafos redundantes y no redundantes,
91

Sea x una solución factible. Si E. corresponde a la asignación de arcos
disyuntivos para dicha solución que contiene arcos redundantes, mientras que E no los
posee, entonces para cada solución factible se definen 2 grafos : = ( y, A u EJ
yD =(V,AuE)U.
Es fácil darse cuenta que para cualquier solución factible x y cualquier par
de nodos u,v LD (u, y) = L D (u, y), Entonces, en ambos grafos tanto la fecha de inicio de
una operación como la terminación de un trabajo tienen el mismo valor. Por lo tanto,
para una misma solución factible en ambos grafos la función objetivo tiene el mismo
valor.
Si PJ (si existe) es la operación que pertenece al trabajo J, que precede a u,
mientras que PM (si existe) corresponde a la operación de procesada en la máquina M
justo antes de y. Entonces para cada operación w, en el grafo D se cumplen trivialmente
las siguientes identidades
r = max(rPM +pPM,rPJ +ppj ) (5.2)
L D (w,S J )=max(L D (SM W ,S J ),L D (SJ W ,S f ))+pW (5.3)
Lo anterior permite construir un algoritmo que calcula la función objetivo en
0(N) [van Laarhoven 92, Taillard 941, donde N corresponde al número de operaciones
del problema.
b) Definición de los componentes de la resolución y clusters.
Para construir una heurística de búsqueda local para este problema se debe
defmir los componentes de la resolución que caracterizarán cada solución factible del
problema. Con ello se podrán defmir los cluster que constituyen la caracterización del
problema según la definición 3.1. Para ello se introducirán nuevos conceptos:
92

Definición 5.4 : Fecha de término y tardanza relativas de una operación.
Se defme como la fecha de entrega (due time) de la operación w, con
respecto al trabajoj como d1 = d1 - L(w,S)+ p conj=1,...,n. Dado lo anterior, se
defme como tardanza de una operación w con respecto a un trabajoj como:
T =max(O,r+p—d)•.
Notar que la defmición anterior sólo tiene sentido si es que existe un camino
entre el nodo w y el nodo sumidero del trabajo j. Si ese camino no existe, entonces la
fecha de entrega y tardanza relativas no están definidas.
Lema 5.1.•
Sea x una solución factible de JmIr,4IwT1 representada por el grafo
disyuntivo no redundante D. Si T corresponde a la tardanza del trabajo j, entonces
T=max{T).
w&
Demostración:
Para cada trabajo j se puede dividir el conjunto O en dos subconjuntos
disjuntos. El conjunto P de todas las operaciones que están en el(los) camino(s) de D
que determinan Cj y PC el conjunto de las operaciones que no pertenece(n) a dicho(s)
camino(s).
i) Si WEP entonces se cumple trivialmente, gracias a las identidades 5.2, 5.3 y a la
definición 5.2 que:
L D (S,w)+L D (w,S J )=C) y r =C —L D (w,S J ) (5.4)
Aplicando las ecuaciones 5.4 y la defmición 5.4 se tiene que
93

ji) Si WEPC, entonces:
= max(O, r,, +p» - d) = max(O, C. - L D (w, S3) + p, - d. + LD (w, S. ) - pJ
= max(O, r +pw - d) = max(O, C1 -
Por lo tanto si WEP, entonces T' = T.
d.) = T1
L D (S,w)+ L 0 (w,S)

grafo formado por operaciones y arcos críticos. A cada camino que determina C se le
denominará camino crítico U.
a) b)
2 1 3 1 4 1 S
Figura 5.3 : Arcos, operaciones y grafo crítico para J4
En la figura 5.3a se muestra el grafo crítico para la solución factible del
ejemplo 5.2. El grafo crítico representa una cadena de dependencia entre las operaciones
que determina la terminación de cada trabajo. Es muy importante determinar esa cadena
de dependencia porque cambiar el orden del secuenciamiento de las máquinas no solo
afecta los trabajos a los cuales dichas operaciones pertenecen, sino que a todas las
operaciones que pertenecen a la cadena.
Se debe notar también que el grafo crítico está compuesto tanto por arcos
conjuntivos como por disyuntivos y dada la representación del problema sólo es posible
cambiar estos últimos. En la figura 5.3b se muestra el mismo grafo crítico de la figura
5.3a, pero se han destacado los arcos disyuntivos del grafo. Sobre estos arcos se
concentrará el esfuerzo de la búsqueda para producir una solución factible.
:
J3,4
95

La caracterización de este problema e' corresponde a un único cluster
defmido como el conjunto de todas los arcos disyuntivos w E E,, que pertenecen al grafo
crítico. Si se defmen los dominios relevantes del problema como O, el conjunto de
operaciones, A el conjunto de arcos conjuntivos y E,, el conjunto de arcos disyuntivos no
redundantes para una solución y dada.
Formalmente, el único cluster del problema ej(y)= (Fj,Rj,Gj,gj,(pj) está
definido por Fj={3}, que corresponde al índice del conjunto de operaciones O, R
corresponde a la función identidad y la partición gj=Q, donde:
Q(w,y) {wE E,, I,i(wy)}={w=(u,v)E E,, 1 : TJ = T,,j = Tvj > Ot r u+pu rv }
Por lo tanto, el único componente de la resolución que se utilizará para
construir heurísticas para este problema corresponde al concepto de arco crítico.
5.1.2 Definición de operadores
Las variables de decisión para una solución factible de JmPr,d3Iw1T fueron
caracterizadas por el concepto de arco crítico. Ahora corresponde defmir un operador
que aplicar sobre dichas variables.
Como se explicó anteriormente, el grafo crítico al que pertenecen estos arcos
definen una cadena de precedencia que determina la fecha de terminación de cada
trabajo y por lo tanto si este trabajo se retrasa o no. Entonces, es fácil intuir que si se
cambia un arco crítico es posible también cambiar las fechas de terminación y por lo
tanto mejorar la función objetivo del problema.
Definición 5.6 : Operador de intercambio
Sea x una solución factible para JmIr,djIwT y D el grafo disyuntivo no
redundante que la representa. Sea (u,v) un arco disyuntivo y sean PM la operación que
96

precede a u en la máquina M y SM la operación que sigue a y en la máquina M si es
que ambas operaciones existen, antes de la perturbación. Entonces se defme como
operación de intercambio la siguiente perturbación del grafo D:
E = & -{(u,v),(PMu),(v,SM)} u {(PMv),(v,u), (u,SM)}
Si Pm y/o Sm v no existen, entonces se eliminan de la operación defmida
anteriormente los arcos que la(s) involucra(n). Esta operación produce como resultado el
grafo no redundante D=(V,A LI Ej). La operación de intercambio define como invertir
un arco del grafo D (figura 5.4)U.
defmido:
Lema 5.2
antes:
después: TSMV
Figura 5.4 : Resultado del operador del intercambio.
A continuación se demostrarán las propiedades que tiene el operador antes
Aplicar la operación de intercambio sobre un arco crítico de una solución
factible x representada por el grafo no redundante D siempre produce una nueva
solución factible.
97

Demostración:
Sea (v,w) un arco crítico de D según la defmición 5.5 y sea L) ), el grafo la
resultante de invertir dicho arco.
Supongamos que D tiene un ciclo. Dado que x es una solución factible
entonces el grafo D es acíclico. Por lo tanto, el ciclo sólo pudo provenir de invertir el
arco (v,w). Entonces existe en D. un camino v,x,y,.. .,w el cual también existe en D. Por
la definición 5.1, el largo del arco (v,w) es el mismo que el de (v,x) y el ciclo mínimo en
D se produce con un camino v,x,w. En L), por lo anterior, r es al menos r + Pv+ Px lo
cual es estrictamente mayor que r + Pv.
Según la defmición 5.5, el arco (v,w) no sería critico, lo cual implica una
contradicción que se produjo al suponer que el grafo era cíclico D y y que la solución y
era infactible.
Otra manera de ver lo mismo es a través de la tardanza relativa de la
operación. Por la definición 5.5, para todo trabajoj para los cuales las operaciones y y w
son críticas d, 1 = d + p .La existencia de la secuencia de operaciones v,x,y, .. .,w que
causa el ciclo hace que d > d +
El Lema 5.2 estable que el concepto de arco crítico no sólo permite
caracterizar las variables de decisión del problema, sino que además permite generar
siempre a través de la perturbación defmida una solución factible.
Lema 5.3
Sea x una solución factible de JmIr»dwT y X el conjunto de mínimos
globales para dicho problema. Si xX 01 e YEX O,L,I es un mínimo global arbitrario,
entonces el conjunto K(y) defmido como:
98

Demostración.
K(y)={e=(v,w) E El e es crítico A (w,v)€ E,, es no vacío.
}
El lema equivale a que si K(y) es vacío entonces xEX01. Por lo tanto, se
debe analizar la defmición bajo que condiciones el conjunto es vacío.
i) E no tiene caminos críticos
Si & no tiene arcos críticos, entonces todos los arcos de ese tipo pertenecen
al conjunto A de arcos conjuntivos, por lo tanto en D se tiene que
C, =p ,, + r, = C7m .
¿ eM
En general se tiene que para todo trabajoj:
C 2: C7m (5.8)
Restándole a cada miembro de la inecuación 5.8 la fecha de entrega
respectiva y aplicando el operador max, se tiene que:
max(O,C —
d):-~.max(O,C7
m —
di )
(5.9)
Notar que la inecuación 5.8 se hace igualdad solo cuando C :5 d..
Sumando y multiplicando las inecuaciones correspondientes a cada trabajo por su
respectiva importancia, de 5.9 se obtiene
w.max(O,C -
Como 7, = w,max(O, C, -
d w 1 max(O,C7m - d.)
d ) entonces T' =Z wmax(O, C' -
una cota inferior para la tardanza total ponderada, con lo cual evidentemente XEXOI.
99
(5.10)
d, ) es

ji) Todo e=(w,v) o E, y es crítico:
Lo anterior quiere decir que todo arco (v,w) € E, que es crítico pertenece a
Sea P el conjunto de arcos críticos que pertenecen a E y sea R el conjunto de arcos
críticos que pertenecen a Ey . Gracias a los conceptos introducidos anteriormente se
sabe el conjunto R es el mismo también para E.
Sean TÇ y 7,' la tardanza de un trabajo j en las soluciones determinadas
por los conjuntos P y R respectivamente, calculada de acuerdo al lema 5.1. Debido a que
R corresponde a una solución óptima necesariamente se cumple que:
w7w.T" (5.11)
Supongamos que existe en R un arco crítico disyuntivo (u,z) que no
pertenece a P. Debido a la defmición 5.5 y al lema 5.1, dicho arco determina el tiempo
de terminación y la tardanza para cada trabajo para el cual es crítico. Sea Q el conjunto
de trabajos para los cuales dicho arco es crítico. Puesto que P c R, y por el lema 5.1 se
cumple que:
VjEJ-Q: TPTR (5.12)
Pero para los trabajos j pertenecientes a Q, existe una operación extra en el
camino crítico de dichos trabajos, de duración no negativa, por lo que + p= C y
se tiene que
VJEQ. T

101
< ) w.T' (5.14)
J 1
Lo cual contradice que R pertenezca a una solución óptima. Por lo tanto,
PR, lo que implica que x€X0 ,U
El lema 5.3 establece que la "desviación" que existe entre una solución
cualquiera y una solución óptima puede ser medida a través del conjunto K(y), lo cual
además permite establecer el siguiente teorema:
Teorema 5.1 . Conectividad del operador de intercambio de arcos críticos.
Para cada solución factible x no óptima de Jmjr,djIZwjTj es posible construir
una secuencia fmita de soluciones factibles x °,x', . . .,x ' que conduzca a partir de x a un
óptimo global del problema sólo invirtiendo arcos críticos.
Demostración: (Basada en [van Laarhoven 92]).
Sea M(y) {(v,w) eE (w,v) e y i(y)(v,w) e K,, (('w,v) e k Y } De
las definiciones anteriores y de K(y) se desprende que K(y) c M) c
1. x° = x
La secuencia se construye como sigue
2. x" se obtiene invirtiendo un arco crítico e e (y) de E , X (y), lo cual produce una
nueva solución representada por un grafo D. que es factible según el lema 5.2.
Si 1 MT, (y) 1 > 0, entonces 1 M+ (')
M ()I -1[van Laarhoven 921. Por
lo tanto usando k1 M(y)I se tiene que (y)I = O y dado que K) ç M(y)
c Mx y) entonces K. (y) = 0. Por el lema 5.3, se tiene que XkEXOPI.

102
El Teorema 5.1 establece que desde cualquier solución factible es posible
llegar a un óptimo global del problema. Esto establece la propiedad de conectividad
necesaria para definir una heurística de búsqueda tal como se señaló en el capítulo N°1.
Gracias a los resultados de convergencia asintótica en probabilidad que se muestran en
[van Laarhoven 92] es posible establecer gracias al teorema 5.1 que existe un algoritmo
que converge al óptimo global del problema.
5.1.3 Estrategia de control
Tabu search ha sido una estrategia que ha demostrado excelentes resultados
para JmIICm, tal como se demuestra en [Dell Amico 93] y [Taillard 941. Por lo tanto,
se especificó un algoritmo de este tipo para Jmr,d3JwTj.
a) Funcionalidad necesaria en la representación
Gracias a lo conceptos establecidos en la sección anterior se defmió un
objeto en C++ que implementa el grafo disyuntivo. Dicha estructura provee los métodos
necesarios para computar el cluster para el problema, calcular la función objetivo,
perturbar la solución utilizando una movida y codificar una solución tal como exige la
interfaz de conexión que defme el lenguaje LS-1.
El cluster corresponde al conjunto de arcos críticos de una solución dada, tal
como se defmió anteriormente, por lo que debiera ser calculado cada vez que una
solución se modifica. La función objetivo se calcula en 0(N) modificando levemente el
algoritmo que calcula el makespan en el grafo que representa .JmjIC,,,. El algoritmo
realiza una búsqueda dfs (ver capítulo N°1) del grafo comenzando con el nodo fuente y
actualizando el inicio de cada operación de acuerdo a las identidades 5.2 y 5.3. El
mismo algoritmo puede utilizarse para calcular las fechas de entrega relativas de cada
operación, pero esta vez comenzando de los nodos sumideros de cada trabajos y
recorriendo el grafo "hacia atrás".

Por ora parte, las solución se codifican utilizando la siguiente expresión:
103
zici (5.14)
Donde z, . . .,z corresponde a secuencia seudo-aleatoria de enteros y C3
corresponde a los tiempos de terminación de cada trabajo. Como los valores que la
expresión 5.14 arroja pueden llegar a ser muy grandes, se divide por una constante y la
codificación corresponde al resto de división [Woodruff 931. Con ello se puede asegurar
que la codificación ocupe una cantidad mínima y fija de memoria.
b) Especificación de la estructura de control
Los componentes básicos de un algoritmo de tabu search y que lenguaje
LS-1 permite defmir son la lista de candidatos y la función de evaluación de una
movida. La lista de candidatos se calcula a partir de cada uno de los elementos del
cluster y la función de evaluación corresponde a la función objetivo que se calcula a
partir de la representación disyuntiva. Adicionalmente es posible incorporar gracias a
flexibilidad que entrega el lenguaje, políticas de manejo para la lista tabú.
Es sumamente importante tomar algún criterio con respecto al tamaño de
lista de candidatos y a los elementos que pertenecen a ella, ya que evaluar
completamente la vecindad tiene un costo.
Antes de cada iteración se calcula el cluster que originará la lista de
candidatos. Del cluster se extraen solamente cinco arcos críticos cuya perturbación se
calcula de acuerdo a la función objetivo del problema. Después de cada iteración se
actualizan los largos de la lista tabú con la misma política que se utiliza en [Dell Amico
93]. Dicha política consiste en aumentar el tamaño de la lista si es que la solución
encontrada empeora (con respecto a la iteración previa), disminuirlo si la solución
encontrada empeora (con respecto a la iteración previa) y definirla en uno si el

algoritmo encontró la mejor solución (hasta ese instante). La especificación completa se
muestra en ¡a figura 5.5.
.o1ut,on GrapO .noed.
obj.otiv. :- mm $so1utxon.Get_Weighted_Tardinesa$ O
inolud. - $ #ifndef GP.APH
*include "graph.h"
#endit $
\ Función objetivo
b&.h 5 aolution.Encodefl$
Accesoacadasubcluster
dan job : $ aolution.Get_itumber Jobs(l$ ¡
da.n cr3.ticai.operation :
Numero de iteraciones mayores
Largo inicial de la lista tabu
1 Máximo tupo de ejecución, máximo número de
iteraciones, máximo de iteraciones sin mejora
1 criti.cia1_Aro. 10000 , 1000010000 1 Calcuaantes deejecutar la iteración
el clutter de arcos críticos
b.for. - Cluster - current. reedback J
Código de usuano para el
aft.r - $ delete Cluster ( manejodclalistatabú
II Setting tOe tabo list ajee,
it (curr_coet < cost_previoua_iter) 1
it (tabulenqth > min_length)
tabu_length- -;
else
it (tabu_iength < max_iength)
tabu_length++;
itcurr_coat -- mm_coatI
tsbu_length - 1;
tabuList->Reaize (total_iterationa, tabu_length(
ceatprevioua_iter - curr_coat; $
I oandidat._]i.t - reades 5 join (x: oritieal_op.ration) 1
p.rturb (moya in candidate_liat) \._.___j Definición de la lista de candidatos:
solution. Swap(Cluater->Job From(move[1J
Cluster-> Step rrom(move(1]i};
iaccspt :- $ TRUE si
•nd \_..... Se acepta siempre el mejor de la vecindad
Se escogen aleatoriamente 5 arcos críticos
Función de perturbación
104
Figura 5.5 : Especificación de la heurística de tabu search para JmIr,dw17, en
5.1.4 Resultados
LS-!.
Dado que para la tardanza ponderada no existe una batería de instancias
como si la hay para el caso del makespan, en [Pinedo 961 se define una forma de generar
ponderadores y fechas de entrega a partir de los instancias de prueba que existen para

JmJjCm. Las instancias así generadas reciben la misma denominación que las
instancias que les dan origen.
105
Para esta batería de prueba, se escogieron 18 instancias cada una de las
cuales cuenta con 10 máquinas y 10 trabajos. Los resultados obtenidos por el algoritmo
de tabu search se compararán con los resultados obtenidos por la heurística desarrollada
en [Pinedo 961.
a) Puntos de partida
Para cada instancia se generaron tres puntos de partida utilizando tres
heurísticas de búsqueda global que se detallan en [Baeza 961. Todos las heurísticas
fueron ejecutadas en una estación de trabajo DEC3000/300L.
La tabla 5.3 muestra los resultados de las tres heurísticas obtenidos para
cada instancia del problema. La primera columna corresponde a la denominación de la
instancia del problema y la segunda (titulada "mejor") corresponde al mejor valor
encontrado hasta la fecha para dicha instancia {Pinedo 961. Los siguientes pares de
columnas, encabezadas como "heu-i" y "tiempo-i" indican el valor de la tardanza
ponderada de la solución y el tiempo (en segundos) empleado por la heurística i-ésima
(con ¡ = 1,2,3) en producirla, respectivamente.
Tabla 5.3 : Puntos de partida para el algoritmo de tabu search.
Instancia mejor heu- 1 tiempo- 1 heu-2 tiempo-2 1 heu-3 tiempo-3
ABZ5 69 969 26 1338 56 1966 131
ABZ6 0 336 25 403 57 220 130
LA16 166 1249 26 1122 55 1486 129
LA17 260 687 25 1878 44 2281 126
LA18 34 917 25 1031 47 546 134
LA19 23 2360 25 1658 72 1158 137
LA20 0 811 25 797 41 1806 131
MT10 394 4692 25 IF 2678 45 3840 132

ORB1 1098 3226 26 4261 45 4154 131
ORB2 292 2412 24 1831 60 3465 127
ORB3 918 7430 25 5277 49 9238 131
ORB4 358 4294 25 4562 61 4090 132
ORB5 405 9430 24 5475 63 4654 134
ORB6 426 4732 25 3474 45 7352 132
ORB7 50 1149 25 597 70 612 130
ORB8 1023 4467 25 4089 36 6552 131
ORB9 297 3776 25 2552 38 4264 133
ORB10 424 6378 24 4716 55 5800 127
de los mejores valores.
106
Como se desprende de la tabla las soluciones se encuentran bastante lejanas
b) Resultados de la heurística implementada
Para probar la eficacia del algoritmo se ejecutó por 100.000 iteraciones. Para
cada instancia se utilizaron los tres distintos puntos de partida, ejecutándose en total 54
corridas del algoritmo utilizando la misma estación de trabajo. Los mejores resultados
obtenidos se muestran en la tabla 5.4.
Nuevamente, la primera columna de la tabla indica la instancia del
problema. La columna "punto de partida" corresponde al valor inicial con el cual el
algoritmo de tabu search comenzó la búsqueda. La columna "mejor valor" corresponde
al mejor valor conocido de la instancia (tal como aparece en la tabla 5.3) que se ha
incluido para propósitos de comparación. Finalmente, las columnas "mejor tabu search"
y "tiempo mejor" corresponden al mejor valor encontrado por el algoritmo y al tiempo
(en segundos) en cual se alcanzó, respectivamente. El tiempo empleado en encontrar el
mejor valor incluye el tiempo que toma la generación de la solución inicial.

Tabla 5.4 : Resultados de tabu search con 100.000 iteraciones.
Instancia PuntD
Partida
Mejor
Valor
Mejor
Tabu
search
Tiempo
Mejor
ABZ5 1338 69 69 1993
ABZ6 336 0 0 26
LA16 1249 166 166 731
LA17 687 260 260 90
LA18 1031 34 34 1696
LA19 1158 23 21 956
LA20 811 0 1 96
MT10 4692 394 394 5180
ORB1 4261 1098 1252 11282
ORB2 3465 292 292 1642
ORB3 7430 918 1004 22312
ORB4 4562 358 358 12133
ORBS 5475 405 482 4116
ORB6 3474 426 516 7773
ORB7 597 50 50 249
ORB8 6652 1023 1087 6489
ORB9 2552 297 344 8157
ORB10 6378 424 474 2081
Como se desprende de la tabla 5.4, en 9 de los 18 instancias se alcanza el
mejor valor conocido y en una de ellas (LA 19) este valor es superado. En el resto de las
instancias los valores son cercanos al mejor valor conocido, aunque es necesario un
mayor esfuerzo de cómputo para alcanzarlos.
Sin embargo, dado que en la práctica se tiene un tiempo limitado para
ejecutar una heurística es necesario comparar el algoritmo con otra heurística, para sacar
conclusiones acerca de la calidad de la soluciones que se producen. Dicha heurística
corresponde al algoritmo denominado SB-TWT [Pinedo 961, que consiste en aplicar los
107

conceptos de bottleneck en el job shop con la tardanza ponderada y utiliza una estrategia
de control basada en backtracking.
108
Para propósito de la comparación se corrió el algoritmo de tabu search por
sólo 10.000 iteraciones y ambas heurísticas se corrieron en una estación de trabajo
DEC3000/300L. Nuevamente los tiempos se miden en segundos, y en caso del tabu
search incluyen la generación de la solución inicial. Los mejores resultados obtenidos
para cada instancia se muestran en la tabla 5.5, que sigue la nomenclatura de las
anteriores tablas de resultados.
Tabla 5.5 Tabu search versus SB-TWT 9 .
Instancia mejor tabu tiempo SB-TWT Tiempo
search mejor
SB-TWT
ABZ5 75 317 75 142
ABZ6 0* 26 0* 8
LA16 166* 735 280 151
LA17
LA18
260*
36
92
507
264
34*
25
99
LA19 1 21* 963 1 48 83
LA20 1 98 1 56
MT1O 603 1115 548 5
ORB1 1606 495 1454 99
ORB2 324 - 807 423 67
ORB3 1098 _1576 1244 41
ORB4 820 _1664 358* 123
ORB5 516 _1221 540 130
ORB6 581 _1251 715 93
ORB7 50* 249 153 242
ORB8 1519 330 1650 130
ORB9 379 727 395 84
ORB10 588 514 589 176
Con un (*) se indica que se alcanzó el mejor valor conocido para la instancia.

109
La conclusión inmediata que se obtiene es que para obtener resultados de
una calidad similar a los que alcanza SB-TWT, el algoritmo de tabu search
implementado debe invertir un orden de magnitud más de tiempo en la búsqueda. Ese es
el costo que debe pagar por no involucrarse tanto en la estructura del problema, cosa que
si hace y explota el algoritmo SB-TWT.
Dependiendo de la solución que con que comienza, el algoritmo se demora
más o menos en acercarse al mejor valor conocido de la instancia. Los resultados
experimentales demuestran que no necesariamente los mejores puntos de partida (en
cuanto a valor de la función objetivo) producen los mejores resultados finales. De los
mejores resultados obtenidos, en 9 de ellos la heurística 2 fue la utilizada para generar el
punto de partida, mientras que la heurística 3 dio origen al punto inicial en 6
oportunidades. Los restantes puntos fueron generados por la heurística 1.
c) Ajuste de Parámetros
El algoritmo tiene dos parámetros que pueden considerarse fundamentales y
ellos son el tamaño de la vecindad y el largo inicial de las listas tabú. El ajuste de
parámetros consistió entonces en determinar que sucede con dichos factores.
De las tablas 5.4 y 5.5 se concluye que 10.000 iteraciones es un esfuerzo de
cómputo razonable que permite alcanzar soluciones del mismo orden de magnitud del
óptimo. Por lo tanto, el ajuste de parámetros se realizó con dicha base.
A partir de la especificación de la figura 5.5, se crearon 4 heurísticas
adicionales. Las primera heurística (par- 1) usó como tamaño de la lista de candidatos
10, mientras que la segunda (par-2) disminuyó el tamaño a 3. Las restantes dos tuvieron

que ver con el tamaño máximo de la lista tabú. Una (par-3) disminuyó a 10 dicho
tamaño mientras que la otra (par-4) lo aumentó a 30.
110
Cada uno de dichas heurísticas se ejecutó a partir de los 3 puntos de partida
anteriormente mencionados, comparándose los mejores resultados obtenidos para cada
una de ellas con los resultados de la tabla 5.5.
La experiencia computacional demostró que en general la variación de
parámetros en general mostró pocas mejoras. La heurística par-1 no mostró mejoras de
ningún tipo con respecto al algoritmo original. Las heurística par-2 (al igual que par-3)
sólo encontró mejores en 4 instancias y sólo en 2 de ellas en mejor tiempo. Finalmente,
la heurística que mostró mayores progresos fue par-4 que encontró mejores soluciones
en 7 de las instancias, con un mejor tiempo en 3 de ellas.
Todas estas mejoras se dieron en un grupo particular de las instancias, cuyos
resultados aparecen en la tabla 5.6. Ello significa los parámetros analizados afectan de
manera distinta a cada instancia del problema. Ajustar dichos parámetros sólo tendrá
sentido si se dispone de tiempo suficiente para hacerlo, en caso contrario, la heurística
deberá ejecutarse con un ajuste "general".
Tabla 5.6 Resultados para parámetros distintos del algoritmo de tabu search.
Instancia Original Tiempo Par-2 Tiempo Par-3 Tiempo Par-4 TiempoPa
Mejor Par-2 Par-3 r-4
MT10 603 1115 551 566 5561 961 568 1101
ORB1 1606 495 1819 321 1565 1003 1309 951
ORB2 324 807 292* 858 324 832 3221 671
ORB3 1098 1576 1009 1210 1129 1634 1295 1669
ORB4 820 1664 821 1417 546 1089 594 1314
ORB8
ORB9
ORB10
1519
3791
588 1
330
727 1
5 1 41
1366
4151
6471
1285
1386
73211
1604
417
458
2080
1227
6331
1466
352
5241
2248
1504
956

5.2 Industria Forestal
El problema de la ifldustria forestal [Schilkrut 931 puede describirse como
sigue. Existe un conjunto de nodos de origen, que corresponden a puntos de tala de
madera y nodos de destinos que corresponden a aserraderos, plantas de celulosa,
canchas de trozado o puertos de embarque. Cada nodo de origen produce una cierta
cantidad de madera durante el día, en un cierto horario, acumulando una existencia que
constituye la oferta o disponibilidad de madera de dicho punto de tala. Por otra parte, los
nodos de destino demandan madera. Se debe, entonces, satisfacer la demanda de madera
de los puntos de destino, distribuyendo la oferta de los puntos de origen. Para ello se
utilizan camiones de distintas capacidades, cada uno de los cuales es adecuado para
transportar ciertos tipos madera, que realizan viajes origen-destino para satisfacer la
demanda. Eso toma cierto tiempo que depende del par origen-destino visitado y de si el
camión viaja cargado o descargado, pero que es independiente del tipo de camión.
Cada nodo (tanto de origen como de destino) posee un horario de apertura y
cierre, un tiempo fijo de carga (o descarga) y colas en las cuales los camiones esperan
ser atendidos. Ya que cada camión tiene asociado un costo de operación que depende de
si está viajando cargado, descargado o esperando en un nodo' °, se requiere generar un
plan para cada camión que minimice el costo de la planificación diaria satisfaciendo
toda la demanda.
En la modelación anterior, una solución se considera infactible si es que un
camión es programado para llegar a un nodo después de que este ha cerrado o es
programado para viajar a un nodo hacia el cual no hay camino. Lo mismo acontece si es
que no hay existencia en el nodo de origen cuando llega el turno del camión para ser
tarifa de espera en cola.
O El tiempo que toma la carga o descarga propiamente tal, se considera dentro de la
111

atendido. En cambio, cuando un camión entra a un nodo, pero este cierra mientras el
camión espera su turno de atención el camión es atendido y la solución continúa siendo
factible.
5.2.1 Conceptualización del problema
a) Representación del problema
112
La descripción anterior plantea los componentes básicos del modelo de
forestal. Tal como se señaló en la sección 2.2, en la etapa de definición del modelo se
escoge el lenguaje con el cual describir el modelo. En [Schilkrut 93] se utilizó el
lenguaje matemático y en [Levys 93] se utilizó un lenguaje gráfico genérico para
describir el mismo modelo.
En [Schróder 96] se definió una tercera alternativa la cual corresponde a
construir un modelo procedural del problema. Eso quiere decir que basado en los
componentes del modelo se construye un programa computacional que simula la
operación del sistema en la realidad. Para propósitos de comparación, los mismos
supuestos de que se realizaron en [Schilkrut 931 para la modelación se utilizaron en la
representación implementada en [Schrder 961.
Si bien simular la realidad tiene la ventaja de hacer más entendible el
modelo y al mismo tiempo se tiene una implementación computacional con la cual
tratar de resolver el problema, también ocurre que las restricciones del problema no
aparecen explícitamente en la representación, lo que dificulta el análisis de las
propiedades estructurales del mismo. Al carecer de las herramientas de análisis que
provee una especificación declarativa, no se puede garantizar propiedades como las de
conectividad de los operadores defmidos.
Pero, por otra parte, en un modelo procedural la dependencia lógica de
variables es mucho más fuerte que en un modelo matemático, lo cual es una ventaja

cuando se defmen los operadores, ya que las variables se actualizan de forma automática
cuando se ejecuta la simulación.
b) Defmición de componentes de la resolución y clusters
113
Sea C el conjunto de camiones, O el conjunto de nodos de origen, D el
conjunto de nodos de destino y T el conjunto de tipos de madera en el problema de la
forestal. En base a esos dominios básicos defmiremos los siguientes conceptos.
Defmición 5.7 : Tarea y plan.
Se entenderá por tarea a carga que tiene que transportar un camión de un
nodo de origen a un nodo de destino de forma de satisfacer la demanda del nodo
destino. La carga de madera es de un cierto tipo y es igual a la capacidad del camión.
Por lo tanto, las actividades que el camión realiza quedan descritas por la secuencia de
tareas que realiza cada camión, la que se denominará plan del camión.
Dado que un algoritmo de búsqueda local comienza de una solución inicial
factible, ya existe un grupo de conjunto de tareas asignadas a cada camión, las cuales
son realizadas en un cierto orden. La caracterización del problema deberá terminar
formas de cambiar esa asignación de forma de introducir cambios a la función objetivo.
Sea T el conjunto de tareas que existen en el problema. El dominio relevante para este
problema será defmido como los conjuntos C, O, D y T.
Para este problema se definirán 4 clusters :
e1(y)=(FÍ,R,,G
I,g,(p) para
¡=1,.. .,4. El primer cluster corresponde a Fj={1,2,3,4}, los índices de camiones, los
nodos de origen, de destino respectivamente y los tipos de madera, R 1 asocia a cada w
un elemento del conjunto C que corresponde al camión que realiza esa tarea y gi =C, y
Q está definido como:
Qj(w,y){w EDpI ço(w,y)} = {w=(c,u,v,t) EDF I Viaje(c,u,v)}

114
Donde Viaje(c, u, y) es un predicado que indica si existe un viaje realizado
por el camión c entre el nodo de origen u y el de destino y. Cada subcluster, en este caso
corresponde al conjunto de tareas asignadas a un camión.
El segundo subcluster se defmirá de la misma forma, excepto porque la
función R2 corresponde a la función identidad, y g2 =Q. Lo último quiere decir que e2(Y)
corresponde al conjunto de tareas y en este caso cada tarea es a su vez un subcluster.
Finalmente, el tercer y cuarto cluster corresponden al conjunto de nodos de
origen y destino respectivamente. Es decir, F3{2} y F4=(3). Tanto R3 y R 4
corresponden a la función identidad y 93 y 94 al conjunto Q defmido en cada caso.
5.2.2 Definición de operadores
Para este problema se hizo un análisis intuitivo, en lugar del formal
realizado en el caso de la aplicación anterior, de los factores que pueden introducir
cambios en la función objetivo. A continuación analizaremos algunos de ellos, con el fin
de definir operadores de perturbación.
a) Espera inicial de un camión
Como se señaló anteriormente, cada camión tiene asociado un costo de
espera. Por lo tanto, si un camión comienza su operación muy temprano y debe esperar
ser atendido en un nodo de origen, es posible ahorrarse ese costo si es que se retrasa el
inicio del plan del camión.
b) Desequilibrio de tareas realizadas por cada camión
Cada camión tiene un tiempo total de espera correspondiente a la suma de
los tiempos en que espera ser atendido en cada nodo que visita. Pueden existir camiones
que tienen asignados una gran cantidad de tareas, mientras que Otros están subutilizados.
Entonces, el costo asociado a esa espera de un camión puede disminuirse si es que se

traspasan algunas de las tareas a otros, y al equilibrar el número de tareas entre los
distintos camiones se tiene más holgura para planificarlos.
c) Orden en el cual se ejecutan las tareas dentro del plan
115
Los costos de espera de un camión quedan determinados por el instante de
tiempo en que el camión llega al nodo origen y destino de la tarea. Si se llega antes o
después a esos nodos habrá un número distinto de camiones esperando ser atendidos lo
que variará el tiempo y por tanto el costo de espera. Por lo tanto, atrasar o adelantar una
tarea dentro del plan de un camión producirá cambios en la función objetivo.
d) Congestión de nodos
Tanto los nodos de origen como los de destino poseen horarios de
congestión producto de la planificación de los camiones. Para evitar ese problema,
deben escogerse alternativas para la carga o descarga de los camiones que están
planificados de forma de disminuir los tiempos y costos de espera de los camiones en
los nodos y por ende de la planificación.
En base a los factores anteriormente analizados, en {Schróder 961 se
defmieron los siguientes operadores, los cuales se muestran en la tabla 5.7. En los
operadores definidos en dicha tabla, un camión corresponde al cluster C21, una tarea
corresponde al cluster e2 y un nodo puede ser un cluster e3 O (4.

Tabla 5.7 : Operadores definidos para el problema de forestal.
Nombre Funcionalidad
retrasar_inicio plan(a) Retrasa el comienzo del plan del camión a tantos
minutos como éste espera en el primer nodo de origen
del plan.
equilibra_tareas (a, b) Si el camión a tiene más tareas que el camión b, elimina
la primera tarea del camión a y la inserta al fmal del plan
del camión b hasta que ambos tengan el mismo número
de tareas (o difieran en una unidad)
equilibra_tiempos(a, b) Si el tiempo de operación del camión a es mayor que el
del camión b traspasa tareas del camión a al b (de la
misma forma que el operador anterior) hasta que los
tiempos de operación del camión a sean menores que el
delb.
adelanta tarea camion(a,b) Adelanta un lugar el orden que ocupa la tarea b dentro
del plan del camión a.
atrasatarea_camion(a,b) Atrasa en un lugar el orden que ocupa la tarea b dentro
del plan del camión a.
descarga_nodo(x) Toma el último camión que entró al nodo x y lo asigna
al fmal de la cola en un nodo alternativo.
cambia_origen_tarea(a,b) Busca el primer origen del plan del camión a que sea
compatible con el origen b y lo reemplaza.
5.2.3 Estrategia de Control
a) Funcionalidad necesaria para la representación
Al igual que en el caso de la aplicación desarrollada anteriormente, fue
necesario implementar una codificación para cada solución factible. Un plan tiene
asociado un costo total de espera, un costo total de viaje cargado y un costo total de
viaje descargado. La codificación corresponde a la suma ponderada de esos costos, y
cada ponderador corresponde a un número generado en forma seudo-aleatoria.
b) Especificación de la estructura de control
A partir de los operadores defmidos en la tabla 5.7, se construyeron 7
heurísticas. El objetivo que persiguen dichas heurísticas corresponden a los que se
116

señalaron en la sección 5.2.2. La estructura de control en todas ellas utiliza una lista tabú
de tamaño fijo, con un criterio de aceptación probabilistico. Dichas heurísticas se
muestran en el anexo C.
5.2.4 Resultados
en [Schilkrut 931.
a) Puntos de partida
117
Las heurísticas se desarrollaron para la instancia del problema real descrito
El punto de partida para las heurísticas de búsqueda local, al igual que en el
caso de la minimización de la tardanza ponderada, fue generada gracias a una heurística
de búsqueda global. Dicha heurística que se muestra en [Baeza 961 y genera una
solución inicial en una estación de trabajo DEC3000/300L cuyo valor es de 2.613.580
en 313 segundos.
b) Resultado de las heurísticas implementadas y ajuste de parámetros
En primer lugar se ejecutaron las 7 heurísticas básicas y luego en base a
ellas, se definieron algoritmos con grafos de búsqueda de 2, 3 y 4 heurísticas
contextuales. Antes de combinar las heurísticas, se realizó un proceso de ajuste de
parámetros que calibró el esfuerzo de cómputo de la heurística y el tamaño de las
distintas listas de candidatos.
En las heurísticas con 2 nodos en el grafo se probó la reducción en la espera
inicial en combinación con las otras heurísticas. En el caso de 3 nodos se probó además
de la reducción de la espera, equilibrar los tiempos y las tareas de los camiones.
Finalmente, para 4 nodos se dejaron fijos los operadores de cambio de origen y descarga
de nodos. Todas estas formas de combinar heurísticas se deben a un estudio empírico
que incluye la topología del grafo y el recorrido de éste [Schróder 961.

118
Los mejores resultados de las distintas heurísticas desarrolladas utilizando el
lenguaje LS-1 se muestran en la tabla 5.8. Los resultados se obtuvieron en una estación
de trabajo DEC3000/300L y el tiempo se midió en segundos, incluyendo el tiempo de
generación de la solución inicial. La columna combinación grafo en el caso de las
heurísticas simples corresponde al número con el cual se designa la heurística. En el
caso de las heurísticas compuestas, corresponde a la combinación de heurísticas simples
que genera el grafo.
Tabla 5.8 Resultados de las heurísticas desarrolladas para forestal.
Heurística Combinación Mejor Tiempo
grafo Encontrado Mejor
Reducción espera 1 2.613.270 321
Equilibrio tareas 2 2.613.580 313
Equilibrio tiempos 3 2.611.820 484
Atraso de tareas 4 2.611.660 324
Adelanto de tareas 5 2.613.580 313
Descarganodos 6 2.592.110 370
Cambio origen 7 2.247.820 18487
Combinación 1 7-4-1-6 2.139.650 13663
Cbinación 2
Lc=----binación
3
7-2-1-6
7-5-4-6
2.147.610
2.437.960
19581
1320
La solución para planificación de los camiones obtenida en {Schilkrut 931,
utilizando técnicas y heurísticas de programación matemática tiene un valor de
2.469.159, simulada en el sistema implementado en [Schróder 961.
Es evidente que las primeras 6 heurísticas no producen mejoras
significativas de la solución inicial. Ello se explica por las características de la solución
que se genera mediante el algoritmo de búsqueda global. Con dicha heurística se
generan soluciones que casi no poseen tiempos de espera en los nodos de destino, por lo

que es muy dificil mejorarlas con dichos operadores, que se concentran en dicho factor.
Lo mismo aconteció con la combinación de heurísticas que incluyeron esos operadores.
Eso no sucedió con el operador de cambio de nodos de origen que si produce mejoras
significativas.
119
En la tabla 5.9 se muestran los tiempos que demoran las heurísticas que
incluyen el operador de cambio de origen en encontrar una solución comparable a la
obtenida en [Schilkrut 93]. El tiempo de cómputo se mide en segundos e incluye la el
tiempo de generación de la solución inicial.
Tabla 5.9: Soluciones comparables con la obtenida en [Schilkrut 931.
Heurística Valor Tiempo
Cambio origen 2.460.910 797
Combinación 1 2.454.590 1208
Combinación 2 2.454.590 1258
Combinación 3 2.454.590 1198

VI. CONCLUSIONES
6.1 Acerca de la Metodología Propuesta
6.1.1 Ventajas
Durante esta tesis se desarrolló una metodología con la cual enfrentar el
desarrollo de heurísticas para un problema de optimización. Ella obliga al diseñador a
conceptualizar la resolución del problema, a través del uso de la noción de
componente de la resolución que es el ingrediente principal con el cual se desarrollan las
heurísticas y del cual depende su desempeño. Con ello, el diseñador caracteriza los
estados del espacio de búsqueda de la heurística a través de los clusters, define
operadores y escoge/diseña una estrategia de control en base a ellos.
De la misma forma en que el concepto de componente del modelo permite
construir herramientas para apoyar el proceso de la modelación [Levys 93,
Dombrovskaia 951 el concepto de componente de la resolución y el de cluster permiten
construir herramientas que apoyen el proceso de resolución de un cierto tipo de
problemas y heurísticas, como se mostró anteriormente.
6.1.2 Desventajas
Si bien la metodología propuesta es la base con la cual se desarrolló una
herramienta para apoyar el desarrollo de heurísticas, todavía son necesarios mayores
estudios acerca de como emplearla. En esta tesis se mostraron ejemplos todavía
sencillos y la metodología no ha mostrado toda la potencialidad que tiene para el
desarrollo de heurísticas en modelos de problemas combinatoriales más complejos, en
los cuales el concepto de cluster puede ser explotado para subdividir los mismos.
120

6.2 Acerca del Concepto de Cluster y Extensiones
6.2.1 Conceptos relacionados
El concepto de cluster tiene su origen en el ámbito de la modelación de
problemas en el área de investigación operativa [Rogers 911. En dicho contexto, los
clusters agrupan variables de decisión y restricciones para crear un modelo agregado del
modelo original de un problema. Este modelo agregado se resuelve y los resultados se
interpretan en el modelo original a través de un proceso de desagregación. Con ello se
busca enfrentar el balance que existe entre el costo computacional de resolver el modelo
y la exactitud de la solución ya que se maneja apropiadamente el tamaño de un
problema. Sin embargo, la agregación no se lleva a efecto para subdividir el problema o
caracterizar una solución factible.
En el ámbito de los problemas combinatoriales y las heurísticas de búsqueda
local, en [Woodruff 941 se define el concepto de chunk que corresponde a un
subconjunto de las variables del problema. Dichas variables definen un conjunto de
atributos de la solución, sobre la cual se construye una valoración de la misma. Dicha
valoración se utiliza para definir el concepto de distancia" entre dos soluciones. Si dos
soluciones son cercanas, entonces pertenecen a una misma región del espacio de
búsqueda.
Si bien los algoritmos de tabu search introducen mecanismos para evitar
volver a óptimos locales, estos últimos se comportan como "atractores" y la búsqueda
queda circunscrita a la región del espacio de búsqueda dominada por dicho atractor
[Battiti 941. El algoritmo de reactive tabu search [Battiti 941 introduce una fase de
perturbación aleatoria para escapar de la influencia del atractor. La noción de distancia
En el sentido de "similaridad".
121

definida en [Woodruff 94] permite establecer un test estadístico para la dócima de que
dos soluciones pertenezcan a una misma región del espacio de búsqueda. Con ello se
puede modificar el algoritmo anteriormente descrito, como se muestra en [Woodruff
95].
122
Un chunk define además los atributos a través de los cuales una solución
puede ser codificada e incluso proporcionar la codificación a través de la función de
valoración. Sin embargo, un chunk no defme cuáles son aquellas partes de la solución
susceptibles de ser modificas o asignadas, por lo que tampoco captura el concepto
definido en esta tesis.
6.2.2 Extensiones
De acuerdo a la defmición 2.1, un cluster corresponde a la tupla
e(y)=(F,R,G,g, ç). Dado a que los resultados de la función R y la condición ço dependen
del estado y € Xh en cada iteración de una heurística dicho estado cambia, entonces, el
conjunto de elementos que pertenecen a un cluster (y a cada subcluster) varían a lo largo
de la búsqueda. Sin embargo, la defmición del cluster es esencialmente estática, porque
no varía con la búsqueda.
Sin embargo, es posible extender el concepto de cluster por ejemplo a
(v)=(F,R,G,g,ço(sk)). Ello significa que la cardinalidad del cluster aumenta o
disminuye adicionalmente a lo que lo haría dependiendo sólo del estado y €
Lo anterior trae como consecuencia que la intensificación o diversificación
de la heurística (ver capítulo N°1) puede ser administrada también por la definición de
los componentes de la resolución. La diversificación se introduce al "relajar" la
condición çp del cluster, permitiendo introducir nuevos valores. La intensificación se
obtiene a la inversa, al "endurecer" dicha condición.

123
Por lo tanto, el concepto de cluster todavía puede ser refmado y extendido
incorporando nuevos elementos a la búsqueda sin salirse de la metodología original.
6.3 Conceptos de Búsqueda Introducidos
6.3.1 Combinación de heurísticas
El concepto de estado (definición 1.1) introducido en esta tesis permitió
caracterizar los algoritmos de búsqueda global y local. Tradicionalmente las heurísticas
de búsqueda global se habían utilizado para generar una buena solución inicial factible
para el problema y las de búsqueda local para post-optimizar dicha solución como se
muestra en la figura 1.2. El concepto de grafo de búsqueda por otro parte permite
establecer una forma natural con la cual combinar técnicas de búsqueda local y
búsqueda global, como se muestra en la figura 6.1.
Figura 6.1: Integración entre búsqueda global y local.
La combinación de estas técnicas se logra con la apropiada defmición de los
operadores sobre un estado del espacio. La estrategia de control debe establecer cuando
aplicar operadores de búsqueda global y cuando los de búsqueda local.

6.3.2 Equivalencia entre tipos de heurísticas
El concepto de completidad e incompletidad de un estado permite establecer
interesantes analogías entre las heurísticas de búsqueda definidas en el capítulo N°1, al
intercambiar el rol de estados completos e incompletos.
Por ejemplo, en la figura 1.9 se muestran los algoritmos de branch and
bound y beam search. Ambos manejan un conjunto de subproblemas activos, sobre la
cual se escogerá el siguiente estado a visitar. Si se considera a ese conjunto como una
población de estados, dichas heurísticas se pueden considerar un caso particular de los
algoritmos genéticos en el cual la cota inferior o la función de evaluación es la medida
de adaptación. Las mutaciones que se aplican, escogen genes y les asignan alelos.
Tabu search también se considera un caso particular de los algoritmos
genéticos [Pinedo 95a], por lo que también es posible realizar la misma analogía
anterior. En ese caso, el conjunto de subproblemas activos se construye generando la
vecindad de cada uno de los subproblemas, la cual está constituida por los hijos de un
nodo.
Esta "dualidad" es muy importante porque permite abordar la búsqueda
global y local bajo un mismo enfoque. Eso significa que una herramienta como la
propuesta en esta tesis podría utilizarse para desarrollar tanto heurísticas de búsqueda
global como local. Además lo establecido en la sección anterior, abre la posibilidad de
asistir el desarrollo de algoritmos híbridos que combinen técnicas de búsqueda local y
global.
6.3.3 Extensiones al concepto de estado
El concepto de estado definido en esta tesis se restringió a un subconjunto
de las variables de decisión del problema. Sin embargo es posible extender dicho
concepto.
124

125
En [Gu 941 se propone que cualquier componente relacionado con un
problema de búsqueda dado forma una nueva clase de espacio de búsqueda. Para un
problema dado, se defme el espacio de variables, el espacio de valores, el espacio de
restricciones, el espacio objetivo, el espacio de los parámetros y otros espacios
constituyendo un multiespacio. Durante el proceso de búsqueda, un algoritmo de
multiespacio no solo realiza cambios en el espacio de los valores sino que trepa a través
de otros espacios y dinámicamente reconstruye las estructuras del problema que están
relacionadas a las variables, restricciones, objetivos y otras componentes de un
problema de búsqueda dado. Sólo en el último momento de la búsqueda la estructura
reconstruida es reemplazada por la estructura original, y la asignación fmal de valores
representa la solución al problema original.
Por otra parte, los estados no tienen porque limitarse variables sino que
también pueden ser heurísticas [Storer 92]. Eso quiere decir que la búsqueda no tiene
porque limitarse a encontrar la mejor solución, sino que también puede focalizarse a
encontrar la mejor combinación de heurísticas dentro de un cierto conjunto de ellas. En
[Piramuthu 941 realiza un intento similar, a través de un algoritmo de clasificación.
Todo lo anterior significa que se puede considerar dentro de un estado del
espacio de búsqueda de la heurística todo aquello que sea relevante para la resolución
del problema, lo que permite una enorme flexibilidad para el diseño de heurísticas. Las
posibilidades están, entonces limitadas sólo por la creatividad de los diseñadores.
6.4 Acerca del Algoritmo de Búsqueda y la Herramienta Propuestos.
6.4.1 Estructura de la vecindad.
En primer lugar, si bien la idea de evaluar parcialmente los elementos que
pertenecen a una movida no es original [Glover 951 si lo es la forma estándar de defmir
vecindades propuesta en esta tesis a través del álgebra introducida en el capítulo N°3.

Dicha forma es la que defme qué conocimiento estructural del problema incorporar para
especificar la vecindad y cómo representarlo. A la vez, define cómo calcular la
vecindad, lo que establece formas de implementarla.
126
El esquema de evaluación y selección parcial de los argumentos que definen
la movida permite ir calculando la vecindad llevando a cabo un proceso de filtro.
Tomando como referencia la figura 6.2, podemos ver que en la medida que se desplaza
hacia el nodo fmal del grafo (y que corresponde a la lista de candidatos) la complejidad
y costo de las funciones de valuación puede aumentar de manera que la "acuciosidad"
de la estimación de la bondad de la movida crece en la medida que ya se han descartado
un número importante de elementos. Con todo lo anterior, se reducir en forma eficaz el
tamaño de la vecindad, escogiendo al mismo tiempo elementos que produzcan mejores
movidas.
Esftzoccmptac*ona
[} Ek
Ftro cje nivel 1 FItIO de rvel 2 Fttro de nivel n-1 Filtro de rel n
NV
Lta is de
candidatos
Figura 6.2 : El cálculo de la lista de candidatos como filtro de información.
En segundo lugar, el esquema agrega versatilidad a la búsqueda. Con un
esquema como el que se propuso los tamaños de las listas de candidatos "parciales"

podrían variar dinámicamente en el transcurso de la búsqueda y tiene la ventaja también
de permitir defmir la bondad de una movida con respecto a más de un evaluador a través
de operaciones como la intersección de asociaciones.
6.4.2 Extensiones a la estructura de la vecindad.
127
La definición de la vecindad, al igual que la de cluster es estática. En cada
iteración de la heurística a la que dicha vecindad pertenece, la lista de candidatos se
calcula siempre de la misma forma. Las funciones de valuación de las asociaciones son
estáticas, es decir, a una misma lista de argumentos se le asociará el mismo valor
independientemente de la historia de la búsqueda.
Una extensión que tiene que ver más con la estructura de control del
algoritmo general que de la vecindad es la de incorporar retroalimentación a los
evaluadores de las asociaciones con respecto a las movidas que producen. De esta forma
la vecindad no sólo se alimenta "hacia adelante" con la información que recibe de los
niveles inferiores sino que además se alimentaría "hacia atrás" para ajustar tanto los
tamaños como las funciones de evaluación respecto a la región del espacio de búsqueda
que se está visitando.
6.4.3 Búsqueda distribuida
El modelo de la vecindad que se planteó en esta tesis permite construir una
especificación paralela para calcularla. El modelo de redes de Petri, adicionalmente,
entrega herramientas de análisis para dichas especificaciones.
Al grafo de heurísticas defmido en la sección 3.2.2 también se le puede
aplicar una transformación similar a la realizada al grafo de la vecindad de forma de
obtener una especificación distribuida.

128
El trabajo realizado en esta tesis es la base para construir además de un
generador de heurísticas, una plataforma de búsqueda distribuida la que incorpora todo
el conocimiento estructural del problema relevante por medio de los conceptos definidos
en esta tesis, y que actúe de forma casi trasparente frente al diseñador.
Lo anterior implicaría desarrollar un paralelismo de 2 niveles. Uno a nivel
de la vecindad de cada heurística de búsqueda global y otro a nivel del conjunto de
heurísticas que constituye el grafo.
6.4.4 Desventajas
Las secciones 6.4.1 a 6.4.3 señalan que el algoritmo general de búsqueda y
la representación de la vecindad no limitan la potencialidad del usuario en el diseño de
heurísticas. Sin embargo esta gran flexibilidad es también la gran debilidad de la
herramienta.
La flexibilidad antes mencionada actualmente se entrega al diseñador por
medio de la posibilidad de incorporar código en C++. Ello significa por una parte que el
diseñador debe tener conocimientos de programación. Por otro lado, en el código
generado se hicieron ciertos supuestos relativos al uso de procedimientos o funciones
que necesariamente el diseñador debe conocer a la hora de incorporar código en la
herramienta. Finalmente, a pesar que el código que genera la herramienta está
debidamente indentado y comentado, nunca es fácil familiarizarse con el código escrito
por otra persona.
Todo lo anterior hace que el diseñador tenga que pagar cierto costo para
utilizar todas las potencialidades que entrega la herramienta. Sin embargo, la ventaja de
tener un código probado y tener que seguir unos requisitos mínimos en la interfaz de
conexión con la estructura de datos y en el uso de procedimientos y funciones contra

tener que implementar todo desde cero, hace que invertir un poco de esfuerzo en
familiarizarse con esos requisitos valga la pena.
129
Otro inconveniente que presenta la arquitectura del sistema es que ésta
obliga a implementar una estructura de datos que represente el problema. Dicha
estructura debe, además de contener al modelo, proveer mecanismos para la defmición,
creación, actualización y eliminación de los clusters. Todo lo anterior significa que esa
estructura de datos no es "portable" para ser utilizada por otros métodos de resolución,
los cuales pueden ser otros paquetes como CPLEX.
Por otro lado, aún queda mucho por hacer en el ámbito de la interfaz
humano-computador del sistema, en la que pueden utilizarse los elementos definidos en
el capítulo N°4 relativos a la definición de vecindades y grafo de heurísticas, por lo que
muchos de estos inconvenientes pueden ser superados con el tiempo.
Con respecto al lenguaje de programación utilizado, C++ se puede
considerar un lenguaje que no es demasiado popular en el ámbito de la investigación
operativa . Ello significa que los modelos de muchos de dichos problemas no están
escritos en dicho lenguaje sino en otros como FORTRAN. Sin embargo como puede
verse, esos problemas son problemas "operativos" más que conceptuales y pueden ser
subsanados.
6.5 Analogías con otras Áreas de Ciencia de la Computación
La manipulación propuesta de los componentes de la resolución permite
realizar analogías con otros procesos de modelación, especialmente provenientes del
área de ciencia de la computación. Específicamente en el área de las bases de datos,
existe un proceso de abstracción similar al que se realiza en investigación operativa.
Dicho proceso de modelación identifica en el mundo real "objetos
distinguibles" (entidades), las características que los identifican (atributos) y las

interdependencia entre los objetos (relaciones). Todos estos elementos son el
equivalente a los componentes del modelo en el área de investigación operativa. Todos
estos componentes también pueden expresarse en un lenguaje adecuado, que en el caso
de las bases de datos corresponde a un meta-modelo gráfico denominado modelo
entidad-relación [Date 93].
130
Dicho modelo, al igual que el análisis orientado a objetos, defme cuál es la
asociación semántica de los datos. Lo que en el área de bases de datos se conoce como
modelo de datos, que define la representación de la realidad. Esto equivale a la etapa de
construcción del modelo en el área de investigación operativa.
Por otra parte, también existe un modelo para representar la información en
la base de datos, el cual corresponde al modelo relacional [Date 931. En él, cada
entidad o relación del modelo entidad-relación se traduce en una "tabla" (o relación), la
cual mantiene la información de los elementos del mundo real que respondan a la
definición de la entidad a la cual pertenece dicha tabla. Manipulando esas tablas
mediante ciertas operaciones es posible "navegar" sobre la información en la base de
datos para realizar consultas y así obtener la información requerida. Dicho conjunto de
operaciones sobre las tablas constituye un álgebra, denominada relacional [Date 93].
Todos estos modelos son los que permiten la implementación de los
sistemas administradores de bases de datos (SABD) en la práctica. La conceptualización
de la información que entrega el modelo relacional es la que permite definir un lenguaje
de consulta, es decir, una herramienta que utiliza cierto formalismo basado en el álgebra
relacional, para especificar qué y cómo buscar dentro de la base de datos. Dicho
lenguaje es el conocido como SQL, ampliamente utilizado en la actualidad en las bases
de datos relacionales. La utilización del álgebra relacional también permite garantizar
que una expresión en el lenguaje de consulta es equivalente a otra, pero más sencilla y

por tanto menos costosa de ejecutar, lo que permite "optimizar" consultas en forma
transparente al usuario.
131
En consecuencia, podemos establecer una analogía entre los conceptos
existentes en las bases de datos y los defmidos en esta tesis. El concepto de
caracterización del problema tiene como análogo el concepto de modelo de datos, ya
que define cuales son los elementos del modelo y su interrelación con respecto al
proceso de búsqueda. El concepto de asociación defmido en esta tesis tiene como
homólogo al de tabla del modelo relacional, mientras que el álgebra de asociaciones es
el equivalente del álgebra relacional.
Finalmente, el lenguaje LS-1 es el equivalente del SQL y es la forma como
se obtienen del sistema de información (que está encapsulado en la estructura de datos
que representa el problema) los datos relevantes para llevar acabo el proceso de
búsqueda.

VII. TRABAJO FUTURO
La analogía que existe entre el álgebra relacional y el álgebra de
asociaciones es muy importante ya que permitirían utilizar las técnicas de optimización
de consultas utilizadas en el área de bases de datos. Ello permitiría optimizar el código
generado por la especificación entregada por el usuario y producir programas más
rápidos.
Otra área de investigación que sería interesante analizar la constituye la
implementación de la búsqueda paralela. Los conceptos defmidos permiten construir la
especificación paralela en forma trasparente al usuario, entregándole una poderosa
herramienta de búsqueda.
La búsqueda paralela también permite definir teorías interesantes de
explorar. Se puede conceptualizar el sistema distribuido como un "ecosistema" de
procesos donde las distintas heurísticas compiten (luchan entre sí por lograr acceso a
recursos escasos como son las CPU del sistema distribuido), se adaptan (algunas de
ellas se comportan mejor o peor dependiendo de la instancia del problema), sobreviven
y mueren (tienen mejor o peor desempeño). Todo el sistema anterior (de búsqueda
paralela y que encuentra las mejores heurísticas de un conjunto dado) puede utilizarse
para la implementación de agentes inteligentes que "vivan" en la red de una empresa y
se activen cuando llega una orden para a1gin producto y rápidamente busquen en
tiempo real la mejor solución posible dado el conocimiento que se encuentre
encapsulado en las bases de heurísticas que ellas posean.
En esta tesis se propuso una metodología para enfrentar los procesos de
diversificación e intensificación en un algoritmo de búsqueda local a través de los
estados de la búsqueda y el grafo de heurísticas. Además, de acuerdo a lo expuesto en
6.3.2, esto es también extensible a heurísticas de búsqueda global.
132

133
Dicha metodología combina distintas vecindades por "alternación", es decir,
se escoge entre las heurísticas disponibles según el estado de la búsqueda alternando la
ejecución de las mismas. Sin embargo, el diseñador es quien debe decidir cuál es el
conjunto de variables que defme el estado de la búsqueda y las precondiciones y efectos
de cada heurística.
En el ámbito de machine learning se han realizado intentos que buscan
encontrar la mejor regla de despacho para un problema por medio de algoritmos de
clasificación [Piramuthu 94]. Dicho trabajo concluye que el desempeño y la regla
dependen del estado de la búsqueda. Como el estado de la búsqueda cambia
continuamente, parece natural utilizar un enfoque que adaptivamente utilice diferentes
heurísticas en varios puntos a través del tiempo. Un intento similar se realiza en
[Chaturvedi 92]. Los algoritmos de clasificación permitirían entonces, a través de un
estudio empírico, la posibilidad de descubrir cuales son las mejores estructuras de
vecindades para una instancia de un tipo de problema. Eso permitiría al sistema
descubrir cual es la más apropiada topología para un grupo de heurísticas dado, en vez
de solo conformarse con la especificación del usuario.

Ie1ii r.
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ANEXOS
143

ANEXO A: PROPOSICIONES DEL ÁLGEBRA DE ASOCIACIONES
144

Proposición 3. 1 : Conmutatividad de la composición de la operación de restricción
145
Sea 1=(7e,0) una asociación de acuerdo a la definición 3.3 y sea
PA ° p2 (.4) = p, (p (.4)) la composición de restricciones. Entonces:
Demostración:
PA, ° P2 2 ° . .. °PA,( ,4 ) = PAAA 2 A ... AA,(.4 )
Por inducción en el largo n de la composición
a) Caso atómico : (n2)
Aplicando sucesivamente la definición de composición se tiene que:
PA, °PÁ, (,1) = (5 7,e,(A22)A2I)
(3.1)
Utilizando la asociatividad de la operación and lógica y la definición 3.4 en
la ecuación 3.1 obtenemos
b) Paso inductivo:
PA, ° PA 2 (4) = (7,e4A(X1AX2)) = PAA2 2 C4 )
Hipótesis de inducción : PA, oPA 0•••°PA (.4)— PA IAAZA ... AA,,(,4)Vn

3.4 fmalmente se tiene:
Corolario.•
Demostración.•
E.
146
(p1) = P2A...A. (.4)) = P2 A...A2 ((7 e, 0 A (3.3)
Aplicando la definición 3.4 sucesivamente, esta vez sobre 3.3 se llega a:
p1 0 ... op2 (,4)=(7,e,4A2 1 A(2, A2,A ... A2)) (34)
Aplicando la conmutatividad y asociatividad del and lógico en la ecuación
pÁo ... op2 (.4)=(7,e,4A2 1 A2.,A ... A2 A2 1)p2 ^ 2
La composición de restricciones es conmutativa.
Se desprende de la proposición anterior y la conmutatividad del and lógico
Proposición 3.2 : Asociatividad de las operaciones de unión e intersección.
Demostración.
Las operaciones de unión e intersección son asociativas.
Se demostrará solamente para la unión, por inducción en el número n de
argumentos. El caso de la intersección es análogo.
a) Caso atómico : (n=3)

147
Sean 0) ¡=1,2,3 asociaciones según la definición 3.3. Aplicando
sucesivamente la definición 3.8 y la asociatividad del operador or lógico, se obtiene la
siguiente serie de ecuaciones que permite demostrar el caso atómico:
(.41 uu=(71vØ2)u(7,Ø3)
(,li
(/11 u/1)u42=(?e, 01v(v 03»
(,41 u,12)u4=,11 u(,42u/13)
b) Paso inductivo : (n=k)
La hipótesis de inducción : 41u(,42 u... (/1,u ,1)) = «,41 u ,1)...) u ,1,)
u,1,, Vn:!~k .Por demostrar : .41 u(42 u... (,4,u ,1,+i)) = ((,li u .42)...) u 4,) u ,l,,+i
Sea/Iu(,42u...(/1flu4,?+J))=,41u 9 (3.5)
Dado que E tiene largo n=k, por hipótesis de inducción se tiene que.
'='12 u(... (4u 4+)) = ((/12 u 43) u .. . u/1,) u (3.6)
Reemplazando 3.6 en 3.5 se obtiene:
,41 uÇ42u... (4u/1+1))=/11 u(((42u43)u...u4)u/1+1) (3.7)
Sea V = ((/12 u ,43) u. .
se obtiene de 3.7 la siguiente expresión
. u4) y dado que se la hipótesis se cumple para /c3,
41 uÇ42 u... 1))=/11 u(Du,4 + 1)=(,41 u)u4+ 1 (3.8)
Reemplazando la defmición de y en 3.8 se obtiene:

,li U(, 2LJ... u(((u,)u ... u,1,))u,1,,+1 (3.9)
Sea 1E =(((,4 u ,) u... u4), por lo tanto 3.9 equivale a:
Dado que 5 tiene largo n=k- 1, por hipótesis de inducción.
148
(3.10)
6=(Ç42 u ,) u ... u4,) = 42 u(,... (,4u ,1,,)) (3.11)
Reemplazando la definición equivalente de S según 3.11 en 3.10 se obtiene:
/11 u(42u... (4u4+1))=(,41 u(#u(.43 ... (,1.iu4))))u,9+1 (3.12)
Sea 9= ,4 u(4 u(,3... (.4, i u ,4))), por lo tanto la ecuación 3.12 equivale a
Puesto que 9 también satisface la hipótesis de inducción, se tiene.
(3.13)
9='1 442u(,4... (4.1u4)))=((,1 u,f) ... ) u,1)u,f,, (3.14)
Reemplazando la definición de 9 obtenida en 3.14 en 3.13 se tiene:
,41 u,42u... (.4u,+1))=((,41 u,4 )...)u%,)u , + 1
Proposición 3.3 : Conmutatividad de las operaciones de unión e intersección.
Demostración.
Las operaciones de unión e intersección son conmutativas.
Lo anterior significa que si A=(41,.. .,4,. . .,.4) es un conjunto de
asociaciones y B'° es una permutación del conjunto A. Entonces:
U I B P = ( 2' e4, vR V ... V4B ) Vp1,...,n!

149
Pero dado que la operación or lógica es asociativa y conmutativa, si se
reemplaza B i por el respectivo 4 , se tiene que aplicando las propiedades del operador or
lógico se tiene que:
U I BIP = (7 ,e , 4A v 4A v...v4A ) Vp1,...,n!
Por lo tanto, Vp=l .....ni U1 A. = U1 Bf lo cual es la definición de la
conmutatividad. La demostración de la conmutatividad de la intersección es totalmente
análoga U.
Lema 3.1:
Demostración:
La concatenación de encabezados es asociativa.
La demostración se realiza por inducción en el número de argumentos sobre
los cuales se aplica la operación de concatenación. Dado que el paso inductivo tiene la
misma forma que la que se realizó para la proposición 3.2. sólo se demostrará el caso
atómico.
a) Lado izquierdo:
Sean 9(ji,. . .,), R=(1,. . . ,6) yI=(ei,. . .,e) tres encabezados.
Por demostrar: (9)®4 =
()®4&i,...,/m,i.....4n)4(zi,...,n+n)ø4 (3.15)
Aplicando la definición 3.5 sobre la ecuación 3.15 se tiene que
= (i..... Zm+n,él, . . . , p) (/ .. .,61,eI .....4v,) (3.16)

) Lado derecho:
Si se aplica la definición 3.5 esta vez sobre la ecuación 3.17 se tiene que
(3.17)
9(R4)= (5i , ... ,lm , qi ..... 9n+p)=(5I ......ím,i,...,6,,éi (3.18)
De las ecuaciones 3.16 y 3.18 se desprende que ()®4 = (®4) que
corresponde al caso atómicoU.
Proposición 3.4.
Demostración:
El producto de asociaciones es asociativo
Por inducción en el número de argumentos. El paso inductivo se demuestra
de la misma forma que en el caso de la asociatividad de la unión y del producto, así que
se demostrará solo el caso atómico
Sean 9',. . . ,Im) , R=(1,. . . ,) y I=(é1 ,. . . 4,) tres encabezados y 41 =(57, e 0)'
,=(ze,2) y 43=(4,e,p) 3 asociaciones de acuerdo a la definición 3.3. Los vectores
que pertenecen a cada una de las asociaciones se denotarán de la misma forma que los
encabezados. Se necesita demostrar que .4 x(.42x,13) = (.41 x,42)x,13 .
a) Lado izquierdo:
Aplicando la definición 3.7, se tiene la siguiente ecuación:
41x(,42x43) (9,e,0) x(R4,e,Á(oo(w'))
150
A p(crnp(w'))) (3.19)

151
Donde w '=(wi. al vector
resultante del producto de las asociaciones '42 y 43. Entonces, debido a la definición 3.6
se tiene o(w')= (4 .....61) y o,(w')= (t .....
Sea y(w ') = 2(00,n(W' ))Ap(ap(W')), entonces volviendo a aplicar la
definición 3.7 sobre la ecuación 3.19 se obtiene
,4 x(,42x,42)= (9 ® (I(00m(W2)) A 7(CTm, n,p(W 2))) (3.20)
Donde w2=(w1,. . . ) Wm,Wm+1, .. .,Wm+n,Wm+n+1 .. .,Wm+n+p) es el vector que
pertenece a la asociación resultante del producto de las tres asociaciones y corresponde a
(1i .....;mI.....6,,ti ,...,4,).
Pero gracias a la definición 3.6, podemos ver que ?(0m, n+p(w2))=y(w'). Con
lo cual, gracias a la asociatividad de la concatenación de encabezados y que
(' . . .,4) y o,,(w')= (('.....é) de la ecuación 3.20 se tiene que:
b) Lado derecho:
'4I4,42x'13)= (52 ® ®4,é, ø(ii .....In,) A2(4, .. .,4)Ae1,. . .,4)) (3.21)
Aplicando la definición 3.7, se tiene la siguiente ecuación
(.4i x,42)x,4 (0b,n,(W 3)) A 2 (0mn(W 3))) X (4,e,q) (3.22)
Donde w3 =(wi, . . ., Wm, Wm+ 1 ..... Wn,+) (ji, . . .. .,4,).corresponde al
vector resultante del producto de las asociaciones 4 y ,42. Entonces, debido a la
definición 3.6 se tiene Uü,m(W 3)= (ji, . . ., im) y 0 m n( w 3)(i, . . . 4,).
Sea cw 3)00 m (1Y 3))A2(o m (w 3)), entonces volviendo a aplicar la
definición 3.7 sobre la ecuación 3.22 se obtiene

(1 xi)x'4: ((90 104,e, 00,m+n(W4)) A ÇL*:CYm+n,p(W 4)))
152
(3.23)
Donde w4 = (w1 ..... Wm, Wm+ 1'. . . , Wm+n, Wm+n+ 1,... Wm+n+p) es el vector que
pertenece a la asociación resultante del producto de las tres asociaciones y corresponde a
Pero, gracias a la definición 3.6, podemos ver que oO,m+n(W4))—W3). Con
lo cual, gracias a la asociatividad de la concatenación de encabezados y que
,...,,,) y Om.n(W5(i ..... )
,11x(,42x.43)= (9rR4,e,
De las ecuaciones 3.21 y 3.24 se obtiene
de la ecuación ix se tiene que:
(3.24)
Proposición 3.5 : Distribución de la operación de restricción sobre la unión e
intersección.
intersección.
Demostración:
La operación de restricción distribuye sobre las operaciones de unión e
Se demostrará el caso de la unión ya que para el caso de intersección se
demuestra de la misma manera.
Se necesita demostrar que: R (U ') = U t.
Sean '=(?,e,Øt) i=1, . . .,n asociaciones según la definición 3.3. Por las
defmiciones 3.4 y 3.8 se tiene que:

se tiene
R(U14)
v41v ... v4))=(7,e,(41 v4v ... v4)AX)
(3.25)
Utilizando la distributividad del and sobre el or lógicos en la ecuación 3.25
R(U17)=(7,e,(
1\ X)V@2 AX)v ... v( AX)) (3.26)
Usando la definición 3.8 sobre la ecuación 3.26, se logra que
(U ') = U Px('41), que es lo que se quería demostrar.R
153

ANEXO B GRAMÁTICA DEL GENERADOR DE CÓDIGO
154

parsing header _BEGIN paraxneters neigh_stop bigperturb
neighborlist neighaccept END searchtype
header solution objective include files hashfunction
domaindef
search type
bigperturb
neigh_stop
neigh_accept
1 DFS
1 Is
1
PERTURB ASSIGN body
1 GLOBAL stoperiteria
1 GLOBAL acceptbody
solution :SOLtJTION ASSIGN IDENTIFIER nextsolution
nextsolution
1 _ENCODE
objective : _OBJECTIVE ASSIGN funcobj body
include files : INCLtJDE ASSIGN body
hash_function : FlASH ASSIGN body
funcobj MAX
¡ MIN
domaindef domain
1 domaindef domain
domain : _DOMAIN IDENTIFIER DEF body
neighbor_list neighborhood
neighborhood IDENTIFIER parameters precondition
post condition before after stoperiteria
parameters
paraml±st
paramlist
param -NUMEER
precondition
post condition
param
1 param COMA pa ram list
PRECOND ASSIGN body
POSTEJEC ASSIGN body
155

efore
after
stop_cr±teria
acceptcriteria
1
1
1
BEFORE _ASSIGN body
AFTER ASSIGN body
_STOP ASSIGN body
acceptbody
accept_body : _ACCEPT next accept code
1 ACCEPT _ASSIGN body
nextaccept : HILL
SA N(JMBER nextannealing
next anriealing
candidates
1 NUMBER
1 list candidates
list : IDENTIFIER ASSIGN attributes
operator
operator opername OPEN var list CLOSE code dispatch rule
1 SUBSET OPEN variable dec CLOSE
body dispatch rule
DIFF OPEN variable COMA variable CLOSE
code dispatch rule
opername JOIN
1 UNION
1 INTERSEC
code
dispatch rule
attributes
nextattribute
1 body
sense : MIN
SORT body
1 sense nextattribute
RANDOM sense nextattribute
1 RANDOM next_attribute
NUMBER
varlist : variable dec
1 variable dec COMA varlist
156

variable dec variable
varin
vardef
variable IDENTIFIER
varin : IDENTIFIER IN IDENTIFIER
var_def : IDENTIFIER DEF IDENTIFIER
body _CODE
changes : _PERTURB OPEN var in CLOSE body code
1 M.KEALL OPEN var in CLOSE body
157

ANEXO C : HEURÍSTICAS PARA EL PROBLEMA FORESTAL
158

159
A continuación se muestran las 6 heurísticas básicas defmidas para el
problema de la forestal. En las especificaciones, camion se refiere a los subclusters de
C2l , con tarea se refiere a los subclusters de e2 y con nodo se refiere a los subclusters de
e3 y é4.Para una mayor claridad se omitieron en cada heurística las instrucciones que
definen la interfaz con la estructura de datos del problema.
a) Reducción de espera inicial
Esta heurística define una lista de candidatos con los camiones que poseen
las mayores esperas en el nodo de origen. Luego procede a atrasar la partida de los
camiones correspondientes. El criterio de aceptación es probabilístico.
reduccion espera inicial 100,10,500
lista : maz 140 join( i camion)
eort
$ priority = solution.espera inicial plan(lista[lJ);$
perturb(x in lista)
$ solution.retrasar inicio plan(x{1]); $
accept annealing 5000
b) Equilibra tareas
Selecciona aquellos camiones que tienen las mayores y menores cantidades
de tareas asignadas, luego equilibra la cantidad de tareas entre camiones del mismo tipo.
En este caso el algoritmo sólo acepta una solución si es que está es mejor la encontrada
en la iteración anterior.
equilibra tareas 100,12,500
listal := max 160 join( i camion
$ solution.num tareas camion(i)>0 $
aort
$ priority = solution.num tareas camion(listal[1]); $
lista2 :- min 160 join( j camion
$ solution . num tareas camion (j ) >0 $
sort
$ priority = solution.num tareas camion(lista2[l]); $
final := join (camiona in listal, camionb in lista2)
finail :- siibset ( tupla in final
$ finall[1]

perturb(tupla in finail)
$ solution.equilibratareas(tupla[11, tupla[2]); $
accept hill
c) Equilibra tiempos
Hace fo mismo que la heurística anterior, pero selecciona los camiones que
tengan mayores tiempos de espera totales. Se traspasan tareas entre camiones del mismo
tipo. El traspaso se detiene antes de que la estimación del tiempo total en camión de
origen sea mayor que el de destino del traspaso. Nuevamente el criterio de aceptación de
la nueva solución es probabilísitico.
equilibra tiempos de espera 10000, 10, 10000
listal := max 50 join( i cainion
$
solution. num tareas cainion (i) >0 &&
solution. total espera (i) >0
$
sort
$ priority = solution.totalespera(listal[1]); $
lista2 := min 50 join( j camion )
$
solution.num tareas camion(j)>0 &&
solution. total_espera (j ) >0
$
sort
$ priority = solution.totalespera(lista2[1]); $
final :- join (camion_a in listal, camionb in lista2)
finall := subset ( tupla in final
$ finallf1J

corresponde a los atrasos de dichas tareas en los planes de los respectivos camiones. El
criterio de aceptación es probabilístico.
atrasa tarea mas larga 120, 3, 30
lista := join( camion_a: camion, tarea_a: tarea
$
tarea a==solution. ret tarea_max_espera (camion_a) & &
solution.retmax_espera(canüona)>0
8
prturb(tup1a in lista)
$ solution.atrasa tarea camion(tuplaLl], tupla[2]); $
accept annealing 2000
e) Adelantar tareas
tareas.
161
Igual que el caso anterior, salvo que el operador de perturbación adelanta las
adelanta_tarea_mas_larga 100,3, 100
lista := join( camiona: camion, tarea_a: tarea
$
tarea_a == solution.ret tarea max espera (camiona)
&&
solution. ret max_espera (camion a) >0
$
perturb(tupla in lista)
$ solution.adelanta tarea camion(tupla[1], tupla[2]); $
accept annealing 5000
O Descongestión de nodos
En los horarios de congestión de los nodos es posible enviar al último
camión en la cola a otro nodo. Eso implica que la tarea que iba a realizar dicho camión
es reconstruida con un nodo de origen o de destino alternativo al original. La heurística
construye una lista de candidatos con los nodos que posean una alternativa para
reconstruir la tarea del último camión y el cambio consiste en aplicar la tarea alternativa.

descarganodos 300,60,20
lista := join( nodo_a: nodo
$ solution.descarganodoposible(nodoa)==TRUE $
perturb(tupla in lista)
$ solution.descarga nodo (tupla[l]); $
accept axnea1ing 40000
g) Cambio de origenes
Es posible disminuir los costos de los viajes o de la espera de los
camiones buscando nodos alternativos para satisfacer la demanda de los destinos. La
heurística selecciona un conjunto de camiones y busca nodos de origen alternativos
para planificarlos.
cambia origen tarea 20000,20000,20000
lista : join( i : camion, j: origen)
perturb(x in lista)
$ solution.cambia origen tarea(x[lj,x[2]);$
accept annealing 20000
162