sistemas formales informalmente - Funes - Universidad de los Andes

Sistemas formales informalmente 7
Cirito: ¿Teoremas? ¿Método axiomático? ¡Ciertamente eso es
puro griego para mí!
Euclides: Te lo explicaría en buen cristiano, de no ser porque Cristo
tardará aún tres siglos en nacer. De todas maneras trataré
de ser más claro. La matemática pre-griega, de la cual me
habéis dado dos ejemplos, es una actividad de orientación
totalmente práctica, ligada a problemas concretos como la
medición de la tierra, la repartición de bienes y otros similares.
Para resolverlos se han desarrollado procedimientos
adecuados. Sin embargo, antes de nosotros los griegos, no
existe la intención de formular estos procedimientos como
afirmaciones de validez general, ni la preocupación por inquirir
acerca del POR QUE ellos son correctos. La matemática
griega, en cambio, es una ciencia teórica y deductiva,
que está liberada de consideraciones prácticas y empíricas.
Para justificar una afirmación matemática no es suficiente
el hecho de que ella esté corroborada por casos particulares
sino que hay que establecerla como teorema. Es decir, hay
que demostrarla mediante la argumentación lógica a partir
de otros teoremas que a su vez hayan sido demostrados. Y
puesto que una demostración no puede ser circular o extenderse
indefinidamente, se ha de partir de ciertos primeros
principios tan claros y evidentes que se puedan asumir
sin necesidad de demostrarlos. A estos principios los llamamos
definiciones, axiomas y postulados y todos los teoremas
son deducidos lógicamente de ellos. En lo anterior
consiste, a grandes rasgos, el método axiomático. Para dar
una ilustración a éste, consideremos el comienzo del primer
libro de los “Elementos”:
El primer libro de los “Elementos” comienza enunciando
los supuestos básicos que se dividen en 3
grupos: definiciones, axiomas y postulados.
Definiciones: (citaré sólo algunas)
1. Un punto es aquello que no tiene partes.
2. Una línea es longitud sin anchura.
3. Una línea recta es una línea que reposa igualmente
sobre sus puntos.
15. Un círculo es una figura plana contenida por
una línea de forma que todos los segmentos rectos