Clase03 y 04-Diagrama de Nyquist-Estabilidad.pdf
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DIAGRAMA DE NYQUIST<br />
Sistemas Control Embebidos e Instrumentación Electrónica UNIVERSIDAD EAFIT Semestre 2010/2 2009/2 2010/2
Respuesta en frecuencia<br />
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario <strong>de</strong><br />
un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo,<br />
si es afectado por una entrada senoidal <strong>de</strong> amplitud R y frecuencia , su salida<br />
seguirá siendo senoidal <strong>de</strong> la misma frecuencia pero probablemente con<br />
otra magnitud C y fase<br />
Sistema<br />
Entrada Salida<br />
Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.<br />
Sistemas Control Embebidos e Instrumentación Electrónica UNIVERSIDAD EAFIT<br />
2010/2 2009/2<br />
t
Gráficas Polares<br />
Representación <strong>de</strong> la magnitud y ángulo <strong>de</strong> fase <strong>de</strong> en coor<strong>de</strong>nadas<br />
polares al variar el valor <strong>de</strong> <strong>de</strong> cero a infinito.<br />
La función <strong>de</strong> transferencia senoidal pue<strong>de</strong> ser vista:<br />
• En su representación <strong>de</strong> magnitud y fase:<br />
• En expresarse en términos <strong>de</strong> sus parte real e imaginaria.<br />
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2010/2 2009/2<br />
Im<br />
Re<br />
Gráfica polar<br />
<strong>de</strong> .
Gráficas Polares<br />
Ejemplo:<br />
Obtener la gráfica polar <strong>de</strong><br />
Solución. Como primer paso se cambia la variable compleja s por<br />
El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar el<br />
cálculo). Para esto se multiplica y divi<strong>de</strong> por el complejo conjugado <strong>de</strong>l<br />
<strong>de</strong>nominador <strong>de</strong><br />
y se tiene<br />
para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario evaluar<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
en diferentes frecuencias <strong>de</strong>s<strong>de</strong> hasta . Se evaluarán solo para<br />
algunas <strong>de</strong> las frecuencias.<br />
Si entonces:<br />
Si<br />
Si<br />
Si<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Si<br />
Dependiendo <strong>de</strong> la experiencia y <strong>de</strong> lo complicado <strong>de</strong> la gráfica polar, se<br />
necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.<br />
Im<br />
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Re<br />
Figura 3. Gráfica<br />
polar <strong>de</strong> .
Respuesta en frecuencia<br />
Criterio <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
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Criterio <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
Fundamentos: Transformación <strong>de</strong> contornos en el plano s<br />
Suponga que se quiere transformar una serie <strong>de</strong> valores <strong>de</strong> s en el plano s,<br />
don<strong>de</strong> todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la<br />
función<br />
-1<br />
Plano s<br />
1<br />
Plano F(s)<br />
-1 1 2<br />
Cada punto o elemento <strong>de</strong>l contorno en el plano s, tiene su representación en el plano<br />
F(s). Se evalúan todos los puntos <strong>de</strong>l contorno y se obtiene un contorno en el plano<br />
F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que el<br />
contorno <strong>de</strong>l plano s, (Transformación conforme).<br />
Ambos contornos se consi<strong>de</strong>ran que tienen un sentido positivo.<br />
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3
Respuesta en frecuencia<br />
Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra función <strong>de</strong><br />
transformación:<br />
-1<br />
Plano s<br />
1<br />
Plano F(s)<br />
En este caso la transformación es no conforme pero conserva el sentido positivo.<br />
Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno <strong>de</strong>l plano s<br />
encierra a ceros o polos la función:<br />
1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero <strong>de</strong> la función, el contorno en el plano<br />
F(s) encierra al origen en el mismo sentido <strong>de</strong>l contorno en plano s<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o polo <strong>de</strong> la función, el<br />
contorno en el plano F(s) no encierra al origen.<br />
Plano F(s)<br />
-1<br />
1<br />
Plano s<br />
3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo <strong>de</strong> la función, el contorno en el<br />
plano F(s) encierra al origen en sentido contrario.<br />
Plano F(s)<br />
-3<br />
Plano s<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo <strong>de</strong> la función, el contorno<br />
en el plano F(s) no encierra al origen.<br />
Plano F(s)<br />
-3<br />
Plano s<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Todos estos resultados son consecuencia <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong>l argumento<br />
(teorema <strong>de</strong> Cauchy).<br />
Teorema <strong>de</strong> Cauchy (Principio <strong>de</strong>l argumento). Si un contorno en el plano s<br />
ro<strong>de</strong>a Z ceros y P polos <strong>de</strong> F(s) y no pasa a través <strong>de</strong> ningún polo o cero <strong>de</strong> F(s)<br />
cuando el recorrido es en la dirección <strong>de</strong>l movimiento <strong>de</strong>l reloj a lo largo <strong>de</strong> contorno, el<br />
contorno correspondiente en el plano F(s), ro<strong>de</strong>a al origen <strong>de</strong> dicho plano,<br />
veces en la misma dirección.<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
El criterio <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
Se obtiene la estabilidad analizando las raíces <strong>de</strong> la ecuación característica:<br />
Para que el sistema sea estable, todos los ceros <strong>de</strong> F(s) <strong>de</strong>ben <strong>de</strong> estar<br />
localizados en el semiplano izquierdo <strong>de</strong>l plano s.<br />
Note que las raíces <strong>de</strong> G(s)H(s) (Función <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> Lazo Abierto)<br />
pue<strong>de</strong>n estar en el semiplano <strong>de</strong>recho. Es mucho mas facil hallar estas<br />
raíces<br />
El criterio <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong> nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en<br />
lazo abierto G(jw)H(jw) con el numero <strong>de</strong> raíces <strong>de</strong> la ecuación<br />
característica 1+G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano <strong>de</strong>recho <strong>de</strong>l<br />
plano s<br />
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El criterio <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
La ecuación característica es <strong>de</strong> la siguiente forma<br />
Se escoge un contorno en el plano s que encierre toda la parte <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>l plano y<br />
por medio <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Cauchy se <strong>de</strong>termina que ceros están <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> . Esto se<br />
logra graficando en el plano F(s) y observando el número <strong>de</strong> ro<strong>de</strong>os al origen.<br />
Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser<br />
relativamente más sencillo, entonces:<br />
Con este cambio <strong>de</strong> variables los ro<strong>de</strong>os se analizan sobre el punto<br />
<strong>de</strong>l plano F(s)<br />
m≤n<br />
A un contorno cerrado en el plano s le correspon<strong>de</strong> una curva cerrada en el plano F(s).<br />
El número y la dirección <strong>de</strong> los encierros <strong>de</strong>l origen <strong>de</strong> la curva cerrada en el plano<br />
F(s) se correlaciona con la estabilidad <strong>de</strong>l sistema.<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Contorno <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong> en el Plano s<br />
Contorno que encierra todo el semiplano Derecho <strong>de</strong>l plano s<br />
P(s)<br />
Contorno <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong>.<br />
Criterio <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
Plano s Plano P(s)<br />
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-1<br />
Gráfica polar <strong>de</strong> P(s).<br />
Un sistema <strong>de</strong> retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno .<br />
en el plano P(s) no ro<strong>de</strong>a el punto (-1 +j 0) cuando el número <strong>de</strong> polos <strong>de</strong> P(s) en la<br />
parte <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>l plano s es cero (Sistema <strong>de</strong> fase minima).<br />
Un sistema <strong>de</strong> control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el<br />
contorno el número <strong>de</strong> ro<strong>de</strong>os al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al<br />
movimiento <strong>de</strong>l reloj es igual al número <strong>de</strong> polos <strong>de</strong> P(s) con partes reales positivas.
Respuesta en frecuencia<br />
<strong>Estabilidad</strong> relativa y criterio <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
El criterio <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong> se <strong>de</strong>fine en términos <strong>de</strong>l punto . en la<br />
gráfica polar. La proximidad a ese punto <strong>de</strong>termina la estabilidad relativa <strong>de</strong> un sistema.<br />
jv<br />
-1<br />
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d<br />
El margen <strong>de</strong> ganancia se <strong>de</strong>fine como el recíproco <strong>de</strong> la ganancia .<br />
para la frecuencia en que el ángulo <strong>de</strong> fase alcanza 180°, es <strong>de</strong>cir cuando .<br />
El margen <strong>de</strong> ganancia es el factor por el cual se tendrá que multiplicar la ganancia <strong>de</strong>l<br />
sistema para que el lugar geométrico pase a través <strong>de</strong>l punto<br />
.<br />
Margen <strong>de</strong> ganancia =<br />
u
Respuesta en frecuencia<br />
.<br />
Otra medida <strong>de</strong> la estabilidad relativa es el margen <strong>de</strong> fase, que se <strong>de</strong>fine como el<br />
ángulo <strong>de</strong> fase que se <strong>de</strong>be girar el lugar geométrico para que el punto <strong>de</strong><br />
magnitud unitaria pase a través <strong>de</strong>l punto en el plano<br />
-1<br />
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jv<br />
Margen <strong>de</strong> fase (mf )<br />
u
Respuesta en frecuencia<br />
Ejemplo:<br />
Realice la gráfica <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong> y <strong>de</strong>termine el rango <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong>:<br />
Solución<br />
Para realizar el contorno primero se divi<strong>de</strong> el contorno en cuatro tramos:<br />
Contorno<br />
Plano s Tramo 1 (T1). Se evalúa la función <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la<br />
frecuencia hasta , (gráfica polar).<br />
Tramo 2 (T2). Des<strong>de</strong> la frecuencia a la<br />
frecuencia . En este caso se cambia la<br />
variable s <strong>de</strong> la función por don<strong>de</strong><br />
representa un radio <strong>de</strong> valor infinito y es una<br />
evaluación angular <strong>de</strong> 90º a -90º.<br />
Tramo 3 (T3). Se evalúa la función <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la<br />
frecuencia hasta , (espejo <strong>de</strong> la<br />
gráfica polar).<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Contorno<br />
Plano s<br />
Tramo 4 (T4). Des<strong>de</strong> la frecuencia a la<br />
frecuencia . En este caso se cambia la<br />
variable s <strong>de</strong> la función por don<strong>de</strong><br />
representa un radio <strong>de</strong> valor muy pequeño y es<br />
una evaluación angular <strong>de</strong> -90º a 90º. El tramo se<br />
diseña para ro<strong>de</strong>ar a posibles ceros o polos en el<br />
origen <strong>de</strong> la función a evaluar.<br />
T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar<br />
se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
hasta<br />
Nota. Si se tienen dudas acerca <strong>de</strong> las evaluaciones, se recomienda utilizar valores<br />
muy pequeños para aproximar y valores muy gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> para aproximar<br />
cuando<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Entonces se tiene el punto <strong>de</strong> inicio y el punto final en la gráfica polar.<br />
como a la frecuencia el valor es final<br />
es ,como se inició en el cuadrante<br />
inferior izquierdo, miremos si hay un cruce por<br />
el eje real.<br />
y esta frecuencia se evalúa en la parte real<br />
Se obtiene otro punto para la<br />
gráfica. Con ellos se dibuja <strong>de</strong><br />
manera aproximada la gráfica<br />
polar.<br />
Nota: para una mejor<br />
aproximación <strong>de</strong> la gráfica, se<br />
pue<strong>de</strong>n evaluar más frecuencias.<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 90º a -<br />
90º<br />
Contorno<br />
Plano s<br />
Radio Infinto<br />
Se <strong>de</strong>sprecia<br />
El punto en el plano s mapea al punto<br />
. en el plano F(s).<br />
El punto en el plano s mapea al punto<br />
. en elplano F(s).<br />
El punto en el plano s mapea al punto<br />
. en el plano F(s).<br />
Se evalúan todos los puntos posible hasta <strong>de</strong>ducir<br />
que el tramo 2 forma en el plano F(s)<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
tres medias vueltas <strong>de</strong> radio cero empezando en 90º con dirección antihoraria.<br />
T3. Es el espejo <strong>de</strong> la gráfica polar (tramo 1)<br />
Plano F(s), tramo 2.<br />
Plano F(s), tramo 2.<br />
T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa <strong>de</strong>s<strong>de</strong> -90º a<br />
90º<br />
muy muy pequeño relativ, gran<strong>de</strong><br />
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Respuesta en frecuencia<br />
Contorno<br />
Plano s<br />
El punto en el plano s mapea al punto<br />
en el plano F(s).<br />
El punto en el plano s mapea al punto<br />
en el plano F(s).<br />
Plano F(s)<br />
Contorno . Tramo 4.<br />
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Respuesta en frecuencia<br />
T1<br />
T2<br />
T3<br />
T4<br />
Figura. Gráfica <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong>.<br />
Criterio <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong>:<br />
Como el sistema no tiene polos inestables en<br />
lazo abierto, para que sea estable se necesita<br />
que no haya ro<strong>de</strong>os al punto -1. Entonces el<br />
rango <strong>de</strong> estabilidad es<br />
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<strong>Estabilidad</strong> Relativa – D. <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
Margen <strong>de</strong> Ganancia:<br />
Se <strong>de</strong>fine como la proximidad <strong>de</strong> la curva para encerrar al punto -1+j0. O<br />
simplemente como el reciproco <strong>de</strong> |G(jw)| cuando el ángulo <strong>de</strong> fase es -180<br />
grados.<br />
En el ejemplo para un k gran<strong>de</strong> el sistema es inestable, cuando la curva cruza<br />
por el punto el sistema es oscilatorio puro y para k pequeños el sistema es<br />
estable y mucho mejor mientras esta mas alejado <strong>de</strong>l punto -1.<br />
Si es positivo el sistema es<br />
estable.<br />
Si es negativo sistema inestable.<br />
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2010/2 2009/2
<strong>Estabilidad</strong> Relativa – D. <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong><br />
Margen <strong>de</strong> fase:<br />
Es el atraso en fase para que el sistema se haga inestable. Se halla la fase para<br />
el que |G(jw)|=1.<br />
En el ejemplo para un k gran<strong>de</strong> el sistema es inestable, cuando la curva cruza por<br />
el punto el sistema es oscilatorio puro y para k pequeños el sistema es estable y<br />
mucho mejor mientras esta mas alejado <strong>de</strong>l punto -1.<br />
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2010/2 2009/2
<strong>Estabilidad</strong> Relativa – D. <strong>de</strong> Bo<strong>de</strong><br />
Margen <strong>de</strong> Ganancia:<br />
Margen <strong>de</strong> fase:<br />
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2010/2 2009/2
ANCHO DE BANDA – D. <strong>de</strong> Bo<strong>de</strong><br />
Frecuencia en la cual la magnitud en <strong>de</strong>cibelios esta 3dBpor <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la<br />
magnitud a la frecuencia cero.<br />
Frecuencias por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l ancho <strong>de</strong> banda pasan sin sufrir atenuaciones<br />
perceptibles. Frecuencia por encima <strong>de</strong>l ancho <strong>de</strong> banda sufren una atenuacion<br />
proprocional a su alejamiento <strong>de</strong> esta frecuencia<br />
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2010/2 2009/2
ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO<br />
Para sistemas <strong>de</strong> fase minima en lazo abierto, si la respuesta en frecuencia <strong>de</strong> la<br />
funcion <strong>de</strong> transferencia G(s)H(s) presenta frecuencias en las que la ganancia es<br />
positiva a la vez que la fase tiene un valor inferiosr a -180 (-180 a -360) el<br />
sistema realimentado negativamente M(s) será inestable.<br />
Margen <strong>de</strong> Fase: Es el ángulo(en grados) que habría que restarle a la fase <strong>de</strong><br />
G(s)H(s) para volver inestable a M(s). Sobre las representaicones gráficas <strong>de</strong> la<br />
respuesta en frecuencia <strong>de</strong> G(s)H(s) , es el águlo que le falta a la fase para llegar<br />
a -180 cuando la ganacia es 1 (0dB). Si la ganancia es siempre inferior a 0db el<br />
margen <strong>de</strong> fase será infinito.<br />
Margen <strong>de</strong> Ganancia: Es el valor por el que habría que multiplcar(o los dBs que<br />
hay que sumar) a la ganancia <strong>de</strong> G(s)H(s) , para que M(s) se vuelva inestable. Es<br />
<strong>de</strong>cir para que cuando la fase sea -180 la ganancia fuese 1 (0dB). (Si ѱ(w) no<br />
corta nunca -180 el margen <strong>de</strong> ganancia será infinto ).<br />
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2010/2 2009/2
ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO<br />
Se analiza la estabilidad <strong>de</strong>l sistema realimentado negativamente M(s) a partir <strong>de</strong><br />
la respuesta en frecuencia <strong>de</strong>l sistema en lazo abierto G(s)H(s).<br />
Margen <strong>de</strong> Fase y <strong>de</strong> Ganancia: Permite <strong>de</strong>terminar el grado <strong>de</strong> estabilidad <strong>de</strong><br />
uns sitema realimentado M(s) sobre los diagramas <strong>de</strong> Bo<strong>de</strong> o <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong>. La<br />
Funcion <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> lazo abierto G(s)H(s) <strong>de</strong>be ser <strong>de</strong> fase minima.<br />
Criterio <strong>de</strong> <strong>Nyquist</strong>: Estudio <strong>de</strong> la estabilidad <strong>de</strong> un sistema realimentado M(s), a<br />
partir las raices <strong>de</strong> la ecuacion caracteristica 1+G(s)H(s)=0 y <strong>de</strong> la respuesta en<br />
frecuencia <strong>de</strong> G(s)H(s).<br />
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2010/2 2009/2
ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO<br />
Calculo analitico <strong>de</strong>l Margen <strong>de</strong> Ganancia y <strong>de</strong> Fase<br />
Sistemas Control Embebidos e Instrumentación Electrónica UNIVERSIDAD EAFIT<br />
2010/2 2009/2
ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO<br />
Calculo analitico <strong>de</strong>l Margen <strong>de</strong> Ganancia y <strong>de</strong> Fase<br />
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2010/2 2009/2
ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO<br />
Calculo grafico <strong>de</strong>l Margen <strong>de</strong> Ganancia y <strong>de</strong> Fase<br />
Sistemas Control Embebidos e Instrumentación Electrónica UNIVERSIDAD EAFIT<br />
2010/2 2009/2
BIBLIOGRAFÍA<br />
KATSUHIKO, OGATA. Ingeniería <strong>de</strong> Control<br />
Mo<strong>de</strong>rna. 2003. CAPITULO8<br />
Google<br />
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