CAPÍTULO 7 C ´ALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CAPÍTULO 7
CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES
1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO
• Calcular integrales dobles en coordenadas cartesianas
y polares, sobre dominios sencillos.
• Usar la integral doble para el cálculo de áreas.
• Calcular integrales triples en coordenadas car-
2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPÍTULO
2.1. Integrales dobles sobre dominios sencillos
Sea f(x, y) una función continua para los valores (x, y) ∈ R donde
R = (x, y) ∈ R 2 a x b, c y d =[a, b] × [c, d].
tesianas, cilíndricas y esféricas, sobre dominios
sencillos.
• Usar la integral triple para el cálculo de
volúmenes.
Para cada y0 fijamos la función definida por F (x) =f(x, y0) que es continua y por lo tanto integrable es [a, b].
La integral
b
F (x, y)dx = G(y)
es una función continua y como consecuencia integrable en [c, d].
a
Definiremos la integral doble sobre el rectángulo R =[a, b] × [c, d] de la función f(x, y) como
⎛
d
b
⎞
f(x, y)dxdy = ⎝ f(x, y)dx⎠
dy.
R
Ejemplo. Sea R =[0, 1] × [0, 2], vamos a calcular f(x, y)dxdy donde f(x, y) =xy.
R
xydxdy =
R
c
2
0
0
a
⎛ ⎞
1
⎝ xydx⎠
dy

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 207
c
a
=
=
2
0
0
2
x 2 y
2
y
dy =
2
x=1
dy
x=0
y 2
4
y=2
Teorema de Fubini: Si R =[a, b] × [c, d] se cumple que
⎛
d
b
⎞ ⎛
b
d
⎞
f(x, y)dxdy = ⎝ f(x, y)dx⎠
dy = ⎝ f(x, y)dy⎠
dx,
R
expresión válida siempre que f(x, y) sea continua en R.
El concepto de integral doble se puede extender a conjuntos que no sean necesariamente rectángulos en R 2 .Son
conjuntos acotados más generales que en algunas referencias bibliográficas se denominan conjuntos medibles
Jordan. No vamos a intentar definir e identificar matemáticamente estos conjuntos; para nuestras aplicaciones
nos bastará con saber que recintos planos D de puntos que estén limitados por una curva cerrada son conjuntos
medibles Jordan en los que tiene sentido definir la integral doble (ver Figura 7.1).
a
y=0
Figura 7.1: Conjunto medible Jordan.
Para calcular la integral de f(x, y) en el recinto D procederemos como sigue. La recta x = x0 corta a D en dos
puntos M1 y M2 de ordenadas respectivas y1(x0) e y2(x0). Cuando variamos a x b, y1(x) e y2(x) son dos
funciones continuas. Así
⎛
⎞
d
y2(x)
⎜
⎟
f(x, y)dxdy = ⎝ f(x, y)dx⎠
dy.
D
c
¿Qué ocurre si tomamos las rectas y = y0 y los puntos de corte con abscisas x1(y0) y x2(y0), siendo ambas
funciones continuas para c y d?
En el caso de que f(x, y) sea continua en D (caso para el que nos restringiremos en la práctica) se tiene por el
Teorema de Fubini que
⎛
⎞ ⎛
⎞
d
y2(x)
b
x2(y)
⎜
⎟ ⎜
⎟
f(x, y)dxdy = ⎝ f(x, y)dx⎠
dy = ⎝ f(x, y)dy⎠
dx
D
c
y1(x)
y1(x)
a
c
=1.
x1(y)

208 MATEMÁTICAS
¿Qué ocurre cuando las rectas x = x0 (o bien y = y0) cortan al dominio D en más de dos puntos? La forma de
realizar en la práctica este caso es descomponer D en dominios parciales que sí satisfagan la condición, aunque
nosotros solo trataremos los casos más sencillos.
Ejemplo. Vamos a calcular x
D
2ydxdy donde D = (x, y) ∈ R2 x2 + y2 1,y 0 (semicírculo superior
de centro el origen y radio 1)
x
D
2 ydxdy =
=
1
−1
1
−1
= 1
2
⎛
⎜
⎝
√ 1−x 2
0
⎞
x 2 ⎟
ydy⎠
dx
y= 2 2 x y √ 1−x2 x 3
2.1.1. Integrales dobles en coordenadas polares
3
2
dx =
1
y=0
−1
x=1
x5
− =
5 x=−1
2
15
(1 − x 2 )x 2
A veces, por cuestiones de facilidad en la expresión de la función o del recinto, trabajar en coordenadas polares
agiliza en gran manera los cálculos. En realidad no hay ningún problema matemático para efectuar una nueva
elección de un sistema de coordenadas (r, θ) con x = r cos θ, y = r sen θ.
Ejemplo. Vamos a calcular de nuevo la integral de f(x, y) =x 2 y en el recinto
D = (x, y) ∈ R 2 x 2 + y 2 1,y 0 ,
ahora usando coordenadas polares. Para empezar debemos fijarnos en la ventaja evidente de que la porción del
círculo unidad que indica D tiene ahora una expresión bastante más sencilla, a saber,
Luego se tiene
D = {(r, θ)| 0 r 1, 0 θ π} .
x
D
2 ydxdy =
=
=
=
=
1
r
D
3 (cos 2 θ)(sen θ)rdrdθ
r
D
4 (cos 2 θ)(sen θ)drdθ
π
r 4 (cos 2 ⎤
θ)(sen θ)dθ
⎡
⎣
0 0
1
−r
0
4 cos3 θ=π
θ
dr
3 θ=0
0
1
2r4 1
dr =
3 2
r 5
5
r=1
r=0
2
⎦ dr
= 2
15
dx

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 209
2.1.2. Cálculo de áreas usando integrales dobles
Conviene reflexionar sobre el significado geométrico de la expresión
dxdy.
D
• Dado el rectángulo R = (x, y) ∈ R2 a x b, c y d
=[a, b]×[c, d] ¿qué significado geométrico
tiene dxdy?
R
• Y si ahora ponemos R = (x, y) ∈ R2
2 2 x + y 1 ¿qué significado piensas que tiene dxdy? (Es
R
más facil que lo pienses en coordenadas polares).
• Finalmente generaliza los resultados obtenidos al caso de un recinto D.
Para ilustrar las reflexiones que te hemos propuesto anteriormente te presentamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Vamos a calcular el área del lóbulo del folium de Descartes (ver Figura 7.2) de ecuación en coordenadas
polares
3senθ cos θ
r =
sen3 θ +cos3 π
, 0 θ
θ 2 .
Figura 7.2: Folium de Descartes.
En nuestro caso se tiene que el área vendría expresada por la siguiente integral doble:
π
2
0
⎡
⎢
⎣
3senθ cos θ
sen 3 θ+cos 3 θ
0
⎤
⎥
rdr⎥
⎦ dθ =
=
π
2
0
= 1
2
r 2
2
r= 3senθ cos θ
sen3 θ+cos3 θ
r=0
dθ
π
2
9sen
0
2 θ cos2 θ
2(sen3 θ +cos3 dθ
θ) 2
π
2
0
9sen2θ cos2 θ
(sen3 θ +cos3 dθ.
θ) 2

210 MATEMÁTICAS
Observa que por la simetría del recinto se tiene
1
2
π
2
0
9sen2θ cos2 θ
(sen3 θ +cos3 dθ =
θ)
y haciendo el cambio de variable tan θ = t, dt = 1
expresiones):
2.2. Integrales triples
cos 2 θ
π
4
9sen
0
2 θ cos2 θ
(sen3 θ +cos3 dθ =
θ) 2
=
π
4
0
9sen 2 θ cos 2 θ
(sen 3 θ +cos 3 θ) dθ
dθ, obtenemos (intentando antes simplificar algo las
π
4
9sen
0
2 θ cos2 θ
cos6 θ (1 + tan3 dθ
θ) 2
π
4
9sen
0
2 θ
cos4 θ (1 + tan3 dθ
θ) 2
= 9
0
1
t2 (1 + t3 dt
) 2
1
= −3
1+t3 t=1 t=0
= 3
2 .
Procedemos de forma análoga a las integrales dobles, esta vez refiriéndonos a funciones de tres variables definidas
sobre un recinto del espacio R. Seaf(x, y, z) una función contínua para los valores (x, y, z) ∈ R donde
R = (x, y, z) ∈ R 3 a x b, c y d, e z f =[a, b] × [c, d] × [e, f].
Con las consideraciones de continuidad para f(x, y, z) y las consecuencias posteriores de integrabilidad similares
a las hechas para la integral doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo R de la función f(x, y, z)
se puede expresar como
⎡ ⎛
⎞ ⎤
f
d
b
f(x, y, z)dxdydz = ⎣ ⎝ f(x, y)dx⎠
dy⎦
dz.
R
e
El Teorema de Fubini también se cumple ahora. Es decir, podremos cambiar el orden de las diferentes integrales
sin que esto afecte al valor final de la integral triple.
Ejemplo. Sea R =[0, 1] × [0, 2] × [0, 3] y f(x, y, z) =xyz. Entonces
⎡ ⎛
3
2
1
⎞ ⎤
xyzdxdydz = ⎣ ⎝ xyzdx⎠
dy⎦
dz
R
=
=
0 0 0
⎡
⎤
3
2
x=1
2
⎣
x yz
dy⎦
dz
2 x=0
0 0
⎛
3
2
⎝
yz
2 dy
⎞
⎠ dz
0
c
0
a

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 211
=
=
3
0
z 2
2
y=2 2 y z
dz =
4 y=0
Siguiendo el procedimiento al que sometíamos a la integral doble, pasamos a continuación a introducir el concepto
de integral triple sobre conjuntos acotados más generales D ⊂ R 3 , los llamados conjuntos medibles Jordan.
z=3
z=0
= 9
2
Figura 7.3: Conjunto medible Jordan.
Consideramos ahora el plano x = x0 (paralelo al plano coordenado YZ) y supongamos además que el mencionado
plano corta a D en C(x0). En estas condiciones,supuestas las hipótesis de continuidad de la función en el
dominio y de las secciones C(x) al variar x entre [a, b], podemos calcular la integral triple de f(x, y, z) sobre D
de la siguiente forma:
Si desarrollamos el cálculo de la integral
b
f(x, y, z)dxdydz =
D
a
3
0
zdz
f(x, y, z)dydz dx
C(x)
f(x, y, z)dydz,
C(x)
suponiendo que las paralelas al eje OZ cortan a C(x) en puntos en los que las cotas alcanzadas en el mencionado
eje sean z1(x0,y0) y z2(x0,y0), se tiene entonces
⎛
⎞
y2(x) z2(x,y)
⎜
⎟
f(x, y, z)dydz = ⎝ f(x, y, z)dz⎠
dy,
C(x)
de donde finalmente tendremos que
f(x, y, z)dxdydz =
D
=
b
a
b
a
y1(x)
⎡
⎢
⎣
y2(x)
y1(x)
z1(x,y)
f(x, y, z)dydz dx
C(x)
⎛
⎞ ⎤
z2(x,y)
⎜
⎟ ⎥
⎝ f(x, y, z)dz⎠
dy⎦
dx.
z1(x,y)

212 MATEMÁTICAS
Obsérvese que también aquí se puede intercambiar el orden de las integraciones, es decir, podemos partir de
secciones de D paralelas al plano XY (C(z0)) o paralelas al plano XZ (C(y0)), sin que esto varíe nuestro
razonamiento en lo que al proceso se refiere.
Ejemplo. Vamos a calcular
x
D
2 yzdxdydz,
siendo
D = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 1, 0 z 1,x 0,y 0
(la parte del cilindro de base el círculo de centro el origen y radio 1 y de altura igual a 1, que está contenida
en el primer octante). Consideremos ahora secciones C(z0) por planos paralelos al XY , de ecuaciones z = z0,
variando z en el intervalo [0, 1]. Así obtenemos lo siguiente:
x
D
2 yzdxdydz =
=
=
=
=
=
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
⎡
⎢
⎣
⎡
⎣
1
x
C(z)
2 yzdxdy
⎛
⎜
⎝
√ 1−x 2
dz
⎞
x 2 ⎟ ⎥
yzdy⎠
dx⎦
dz
0 0
1
y= 2 2 x y z
√ 1−x2 0
1
⎡
⎣
0
1
⎡
⎣
a
0
2
y=0
(1 − x 2 )x 2 z
2
3 z x x5
−
2 3 5
z 1
dz =
15 15
z 2
2
⎤
dx⎦
dz
x=1
x=0
z=1
z=0
⎤
⎤
dy⎦
dz
⎤
⎦ dz
= 1 1 1
=
15 2 30
Se puede pensar en intercambiar el orden de las integrales simples para intentar facilitar el proceso de cálculo.
Veamos:
b
f(x, y, z)dxdydz =
f(x, y, z)dydz dx
D
=
C(x)
a
⎡ ⎛
⎞ ⎤
b
y2(x) z2(x,y)
⎢ ⎜
⎟ ⎥
⎣ ⎝ f(x, y, z)dz⎠
dy⎦
dx
=
y1(x)
πXY (D)
z1(x,y)
⎡
⎢
⎣
z2(x,y)
z1(x,y)
⎤
⎥
f(x, y, z)dz⎦
dxdy,
donde se puede observar que hemos empezado por una integral simple y después integramos el resultado sobre
πXY (D) que indica la proyección de D sobre el plano XY .
Naturalmente todo el anterior procedimiento se puede hacer análogamente integrando primero sobre x y después
integrando sobre πYZ(D) (proyección de D sobre YZ), o bien integrando primero sobre y y después sobre
πXZ(D).

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 213
Ejemplo. Vamos a calcular
S
xyzdxdydz
donde
S = (x, y, z) ∈ R 3
2 2 2
x + y + z 1,x 0,y 0,z 0
(la parte de la esfera de centro en el origen de coordenadas y radio 1 que está contenida en el primer octante).
Veamos: primero integramos sobre z y después sobre la proyección de S en el plano XY , πXY (S) que en este
caso coincidiráconS ′ = (x, y)| x2 + y2 1,x 0,y 0 . De esta forma se tiene
S
xyzdxdydz =
=
=
=
=
1
0
1
2.2.1. Integrales triples en coordenadas cilíndricas
0
S ′
⎡ √ ⎤
1−x2−y2
⎢
⎥
⎢
⎣ xyzdz⎥
⎦ dxdy
0
z= 2 xyz
2
√ 1−x2−y2 dxdy
S ′
z=0
xy(1 − x2 − y2 )
⎛
S ′
⎜
⎝
√ 1−x 2
0
x(x 2 − 1) 2
8
2
dxdy
xy(1 − x 2 − y 2 )
2
dx = 1
48
⎞
⎟
dy⎠
dx
Recordemos que las coordenadas cilíndricas (r, θ, z) de un punto en el espacio representan con (r, θ) a las coordenadas
polares de la proyección del punto en el plano XY y z el valor de la coordenada en el eje OZ. En
algunas ocasiones expresar en coordenadas cilíndricas la función y el recinto sobre el que calculamos la integral
triple tiene notables ventajas, como veremos en el ejemplo que desarrollaremos a continuación. Sólo basta tener
en cuenta que
f(x, y, z)dxdydz = ϕ(r, θ, z)rdrdθdz
D
D
Ejemplo. Vamos a calcular empleando el cambio a coordenadas cilíndricas la integral triple
x
D
2 yzdxdydz,
siendo D = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 1, 0 z 1,x 0,y 0 .
Primero de todo conviene observar la evidente ventaja que proporciona el nuevo sistema de coordenadas en la
expresión del recinto, ya que se tiene D = (r, θ, z)| 0 r 1, 0 θ π
2 , 0 z 1 , presentando las mismas
ventajas operativas para la integral triple que presentaba el paralelepípedo (el caso más simple con el que nos
podíamos encontrar). Ya solo nos queda efectuar el cambio de variable recordando que x = r cos θ, y = r sen θ.
Veamos:
x
D
2 yzdxdydz =
r
D
3 (cos 2 θ)(sen θ)zrdrdθdz

214 MATEMÁTICAS
=
=
=
=
1
2.2.2. Integrales triples en coordenadas esféricas
=
0
⎡
⎢
⎣
r
D
4 (cos 2 θ)(sen θ)zdrdθ
π
1 2
0
1
⎡
⎢
⎣
0
⎡
1
⎣ −r
0 0
4 cos3 θ
z
3
⎡
1
1
⎣
r4 3 zdr
⎤
⎦ dz
0
0
1
0
r=1 5 r z
dz =
15 r=0
r 4 (cos 2 θ)(sen θ)zdθ
1
0
θ= π
2
θ=0
⎤
dr⎦
dz
z 1
dz =
15 30
⎤ ⎤
⎥ ⎥
⎦ dr⎦
dz
Recordemos que un punto P de R 3 , está totalmente determinado por sus coordenadas esféricas (ρ, ϕ, θ) donde
ρ indica la longitud de OP, ϕ el ángulo que forma el plano determinado por OZ y P con el plano OXZ y θ el
ángulo que forma la recta OP con el eje OZ, teniéndose además las siguientes igualdades que relacionan las
coordenadas esféricas con las cartesianas rectangulares
x = ρ sen θ cos ϕ,
y = ρ sen θ sen ϕ,
z = ρ cos θ.
Al igual que sucedía con las coordenadas cilíndricas, en determinadas ocasiones, bien sea por la expresión del propio
recinto o por la propia función, nos conviene usar este sistema de coordenadas en detrimento de las cartesianas
ocilíndricas. Tendremos no obstante que tener en cuenta lo siguiente:
Ejemplo. Vamos a calcular
donde
Se tiene
S
f(x, y, z)dxdydz = g(ρ, θ, ϕ)ρ
D
D
2 sen θdρdθdϕ.
xyzdxdydz
S
S = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 1,x 0,y 0,z 0 .
xyzdxdydz =
=
(ρ sen θ cos ϕ)(ρ sen θ sen ϕ)(ρ cos θ)ρ
S
2 sen θdρdθdϕ
ρ
S
5 (sen 3 θ cos θ)(cos ϕ sen ϕ)dρdθdϕ.
Observa que la gran ventaja que presenta en este ejercicio el nuevo sistema de coordenadas es la expresión del
recinto S = (ρ, θ, ϕ)| 0 ρ 1, 0 θ π
π
2 , 0 ϕ 2 , que produce el siguiente efecto a la hora de calcular

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 215
la integral triple:
1
0
⎡
⎢
⎣
0
π
2
⎡
⎢
⎣
0
π
2
ρ
S
5 (sen 3 θ cos θ)(cos ϕ sen ϕ)dρdθdϕ =
ρ 5 (sen 3 θ cos θ)(cos ϕ sen ϕ)dθ
1
0
⎡
⎢
⎣
2.2.3. Cálculo de volúmenes usando integrales triples
0
π
2
ρ 5
4
⎤ ⎤
⎥ ⎥
⎦ dϕ⎦
dρ =
⎤
⎥
cos ϕ sen ϕdϕ⎦
dρ =
1
0
ρ5 1
dρ =
8 48 .
Al igual que usábamos las integrales dobles para calcular el área de determinados recintos planos, se puede utilizar
la expresión
para calcular el volumen de un recinto D ⊂ R 3 .
dxdydz
D
Ejemplo. Vamos a calcular el volumen de una esfera de centro el origen y radio R. Sabemos que podemos
expresar los puntos de la esfera que estén en el primer octante como
S = (ρ, θ, ϕ)| 0 ρ R, 0 θ π π
, 0 ϕ
2 2
(en coordenadas esféricas). Por simetría, el volumen que nos piden vendrá expresado por
8 dxdydz = 8 ρ
S
S
2 sen θdρdθdϕ
=
⎡ ⎡ π π
R
2
2
⎢ ⎢
8 ⎣ ⎣ ρ 2 ⎤ ⎤
⎥ ⎥
sen θdθ⎦
dϕ⎦
dρ
0
0
0
⎡ π
R
2
⎢
= 8 ⎣ ρ 2 ⎤
R
⎥
dϕ⎦
dρ =8
3. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS
0
0
0
ρ2π 4
dρ =
2 3 πR3 .
A.7.1. Calcular las siguientes integrales dobles:
(a) sen
D
2 x cos ydxdy donde D = (x, y) ∈ R2
0 x π, 0 y π

216 MATEMÁTICAS
(b)
(c)
(d)
xydxdy donde D =
D
(x, y) ∈ R2
0 x 3, 1 y 2
x
D
2ydxdy donde D = (x, y) ∈ R2
x + y 1,x 0,y 0
D
D
sen(x + y)dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 π 0 x 2 , 0 y π
A.7.2. Calcular las siguientes integrales dobles:
(a) xydxdy donde D = (x, y) ∈ R
D
2 x>0,y >0, x2
a2 + y2
b2
1
(b) (x
D
2 − y2
)dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 x 2
a2 + y2
b2
1
1
(c) (x+y) 2 dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 x 2,y 2,x+ y 3
A.7.3. Calcular
xydxdy donde D es el triángulo de vértices A(0, −1), B(1, 0) y C(0, 3).
D
A.7.4. Calcular las siguientes integrales dobles:
xy
(a) 1+x
D
2 +y2 dxdy donde D = (x, y) ∈ R2
2 2 x 1,y 1,x + y 1
1
(b) (1+x+y)
D
2 dxdy donde D = (x, y) ∈ R2
x 0,y 0,x+ y 1
(c) xy
D
x2 +4y2dxdy donde D = (x, y) ∈ R2
2 2 x 0,y 0,x + y 1
A.7.5. Calcular, usando la integral doble, la expresión del área encerrada por la elipse de ecuación
x 2
a
2 + y2
=1.
b2 A.7.6. Calcular las siguientes integrales triples:
(a) zdxdydz donde D =
D
(x, y, z) ∈ R3 x + z 1,x 0,z y2 ,y 0
(b) yzdxdydz donde D =
D
(x, y, z) ∈ R3 y x2 ,z 0,y+ z 1
(c) xyzdxdydz donde D = (x, y, z) ∈ R
D
3 x 2
a2 + y2
b2 + z2
c2
1
(d) z
D
2dxdydz donde D = (x, y, z) ∈ R3
2 2 2 x + y + z 1
A.7.7. Dadas la integrales sucesivas
⎛
1
2x
⎞
⎝ f(x, y)dy⎠
dx y
0
x
1
0
⎡ ⎛
x
⎣ ⎝
0
x+y
0
⎞
⎤
f(x, y, z)dz⎠
dy⎦
dx,
exprésarlas respectivamente como una integral doble y otra triple de f(x, y) y f(x, y, z) sobre los recintos
apropiados.
A.7.8. Calcular las integrales introducidas en el ejercicio anterior para las funciones f(x, y) =e x+y y f(x, y, z) =
e x+y+z .
A.7.9. Calcular usando la integral triple una fórmula que calcule el volumen encerrado por el elipsoide de ecuación
x2 y2 z2
+ + =1.
a2 b2 c2

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 217
4. BIBLIOGRAFÍA DEL CAPÍTULO
J. DE BURGOS Cálculo Infinitesimal, Editorial Alhambra. Capítulo 6.
R.E. LARSON, R.P. HOSTETLER y B.H. EDWARDS Calculo y Geometría Analítica,5 a ed., McGraw-Hill, Madrid,
1995. Capítulo 16.
E. LINES Principios de Análisis Matemático, Editorial Reverté SA. Capítulo 31.
J. RIVAUD Ejercicios de Análisis, Editorial Aguilar. Capítulo 9.
J. STEWART Cálculo,2 a ed. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994. Capítulo 13.
5. PREGUNTAS DE EVALUACIÓN
E.7.1. Calcular
E.7.2. Calcular
(x
D
2 + y2 )dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 x2 + y2 1
D
√ 1
x2 +y2 dxdydz donde D = (x, y, z) ∈ R3
2 2 2 x + y + z 1
E.7.3. Hallar el volumen del recinto limitado superiormente por la esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 =4,inferiormente
por el plano XY y lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 =1.

218 MATEMÁTICAS
ANOTACIONES
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