Exámenes resueltos.

Procederemos parametrizando S ′ en la forma
(x, y, z) = Φ(θ, φ), (θ, φ) ∈ Ω
y entonces la integral se calcula como una integral doble en la forma
1
I = 8
(d(Φ(θ, φ))) 2
∂Φ ∂Φ
(θ, φ) × (θ, φ)
∂θ ∂φ dθdφ
La parametrización más cómoda para S ′ es
Ω
x = a cos θsenφ
y = bsenθsenφ
z = c cos φ, θ ∈ [0, π
], φ ∈ 0,
2 π
2
Operando se obtiene
∂Φ ∂Φ
(θ, φ) × (θ, φ)
∂θ ∂φ = b2c2 cos2 θsen4φ + a2c2sen2θsen4φ + a2b2 cos2 φsen2 =
φ =
cos2 θsen2φ abc |senφ|
a2 + sen2θsen2φ b2 + cos2 φ
c2 Por otro lado,
y por ello,
I = 8
S ′
= 8abc
x 2
a
y2 z2
+ + 4 b4 c4 = cos2 θsen2φ a2 + sen2 θsen 2 φ
b 2
+ cos2 φ
c 2
2 x y2 z2
+ +
a4 b4 c4 π π
2
2 2 2 cos θsen φ
dσ = 8abc dθ
0 0 a2 + sen2θsen2φ b2 + cos2 φ
c2 3
2
|senφ| dφ =
π π
2
2 2 2 cos θsen φ
dθ
0 0 a2 + sen2θsen2φ b2 + cos2 φ
c2 3
2
senφdφ
donde se ha usado que el seno es no negativo en 0, π
. Las integrales obtenidas no pueden resolverse
2
por los métodos habituales de integración, por lo que el resultado se deja indicado.