Exámenes resueltos.

siendo C una constante arbitraria.
Así pues, las ecuaciones paramétricas de la curva buscada son:
x = r cos t
⎫
⎬
y
z
=
=
r sent
⎭
(r ctg α) t + C
t ∈ R ,
que corresponden a una familia de hélices.
2) Se trata de determinar la familia de hélices que pasa por los puntos dados.
Si la hélice pasa por (r, 0, 0), entonces debe existir un t0 ∈ R tal que:
De ambas expresiones se deduce que
Además,
x(t0) = r cos t0 = r =⇒ cos t0 = 1 ,
y(t0) = r sent0 = 0 =⇒ sen t0 = 0 .
t0 = 2nπ , n ∈ Z .
z(t0) = (r ctg α) t0 + C = 0 =⇒ C = − (r ctg α) 2nπ .
Por otra parte, si la hélice pasa por (r, 0, 2π), entonces debe existir un t1 ∈ R (t1 = t0) tal que:
con lo cual,
x(t1) = r cos t1 = r =⇒ cos t1 = 1 ,
y(t1) = r sent1 = 0 =⇒ sen t1 = 0 ,
t1 = 2mπ , m ∈ Z y m = n .
Además,
z(t1) = (r ctg α) t1 − (r ctg α) 2nπ = 2π =⇒ r ctg α =
1
m − n .
Es decir, la hélice que pasa por los dos puntos dados es:
x = r cos t
y
z
=
=
r sent
⎫
⎬
1
2nπ t − m−n m−n
⎭
t ∈ R y n, m ∈ Z (n = m).
La longitud de arco pedida viene dada por:
2mπ
r
2nπ
2
2
1
+
dt
m − n
=
⎛
⎝ r2 +
⎞
2 1
⎠ |m − n| 2 π .
m − n
Si se considera n = 0 y m = 1 entonces la longitud de arco es √ r 2 + 1 2 π.