Matemática Nivel VI - Región Educativa 11
Matemática Nivel VI - Región Educativa 11
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Tercer Ciclo de Educación General Básica para Adultos<br />
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL<br />
<strong>Matemática</strong><br />
6
<strong>Matemática</strong><br />
Tercer Ciclo de Educación<br />
General Básica para Adultos<br />
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL<br />
6
Ministro de Educación de la Nación<br />
Lic. Andrés Delich<br />
Subsecretario de Educación Básica<br />
Lic. Gustavo Iaies<br />
infopace@me.gov.ar<br />
Material elaborado por los<br />
Equipos Técnicos del Programa de<br />
Acciones Compensatorias en Educación<br />
del Ministerio de Educación.<br />
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.<br />
Hecho el depósito que marca la ley <strong>11</strong>.723. Libro de edición argentina.<br />
ISBN 950-00-0300-7. Primera Edición. Primera Reimpresión.
Índice<br />
Introducción .........................................................<br />
Perímetros, superficies y volúmenes .......................<br />
Perímetro o superficie ........................................<br />
Duplicando longitudes........................................<br />
Variación de superficie y volumen .................................<br />
Semejanza de figuras ............................................<br />
Teorema de Pitágoras ............................................<br />
¿Qué es un teorema? ..................................................<br />
Claves de Corrección .............................................<br />
Anexos .................................................................<br />
5<br />
6<br />
8<br />
14<br />
16<br />
28<br />
37<br />
46<br />
73<br />
99
Introducción<br />
Este es el último de los libros del área matemática. En la primera<br />
parte trabajará sobre las relaciones que existen entre perímetros,<br />
superficies y volúmenes. Se considerará especialmente si la equivalencia<br />
en perímetros implica equivalencia de superficies y si la<br />
equivalencia de superficies necesariamente significa equivalencia<br />
de los volúmenes de los cuerpos.<br />
En la segunda parte se desarrolla el tema semejanza entre figuras,<br />
se trata de un concepto que se utiliza corrientemente.<br />
En el apartado en el que se considera el Teorema de Pitágoras también<br />
se presentan algunas reflexiones sobre la matemática como ciencia.<br />
Finalmente se plantean actividades con el propósito de que usted<br />
pueda repasar algunos conceptos y procedimientos ya estudiados.<br />
5
6<br />
Perímetros, superficies y volúmenes<br />
Estos tres conceptos han sido trabajados en los libros anteriores.<br />
El perímetro es la longitud del borde de una figura plana. Por<br />
ejemplo, el cerco perimetral de un campo. Cuando se trata de la superficie<br />
de una figura plana nos referimos a la región del plano interior<br />
a la línea que la limita. Por ejemplo, la cantidad de vidrio necesario<br />
para poner en una ventana. Por último, el volumen es el lugar<br />
que ocupa un cuerpo en el espacio. Por ejemplo, la tierra que se<br />
necesita para completar un pozo.
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº1<br />
Dibuje un rectángulo de 3 cm de largo por 4 cm de ancho.<br />
Marque una de las diagonales de ese rectángulo y córtelo por<br />
ella. Quedan dos piezas triangulares.<br />
Haciendo coincidir un lado completo de ambas piezas arme<br />
diferentes figuras. Vaya dibujando las figuras que obtiene.<br />
¿Cuántas figuras diferentes se pueden armar?<br />
Calcule el área de todas ellas.<br />
Halle el perímetro de cada una. Si es necesario utilice la regla.<br />
Compare sus respuestas a los items d y e. ¿Qué conclusión<br />
puede obtener?<br />
Actividad Nº2<br />
En el Libro 5 usted armó un cuadrado, un paralelogramo, un<br />
rectángulo y un triángulo utilizando en cada caso las siete<br />
piezas del Tangram.<br />
¿Cuánto mide la superficie de cada una de las figuras que armó?<br />
¿Cuánto mide el perímetro de cada una?<br />
7
8<br />
Relea en el Libro 5 lo estudiado<br />
sobre perímetros y<br />
superficies.<br />
¿Perímetro o superficie?<br />
Un agricultor va a comprar un campo y le dan a elegir entre uno que<br />
mide 190 m de frente por <strong>11</strong>0 m de fondo y el otro 150 m por 140 m.<br />
El fabricante de alambrados le aconseja: “Comprá el de 190 por <strong>11</strong>0<br />
porque tiene mayor perímetro así que debe tener mayor superficie".<br />
¿Qué piensa usted acerca de ese razonamiento?<br />
Al agricultor le interesa poseer la mayor región interior, la mayor<br />
superficie, que es donde él planta y cosecha.<br />
Para calcular el perímetro de un polígono basta con sumar la longitud<br />
de sus lados. En este caso, como se trata de rectángulos tienen<br />
dos pares de lados iguales.<br />
Para calcular el perímetro, basta con multiplicar por dos cada lado y sumar<br />
los resultados. A cada uno de los lados se lo simboliza con L 1 y L 2 .<br />
Para hallar la superficie se multiplican entre sí los lados.<br />
Perímetro del rectángulo = 2 . L 1 + 2 . L 2<br />
Superficie del rectángulo = L1 . L2 Perímetro de un rectángulo = 2 . 190 m + 2 . <strong>11</strong>0 m<br />
Perímetro de un rectángulo = 600 m<br />
Superficie de este rectángulo = 190 m . <strong>11</strong>0 m<br />
Superficie de este rectángulo = 20.900 m 2<br />
Perímetro del otro rectángulo = 2 . 150 m + 2 . 140 m<br />
Perímetro del otro rectángulo = 580 m<br />
Superficie de este rectángulo = 150 m . 140 m<br />
Superficie de este rectángulo = 21.000 m 2<br />
Si se completa un cuadro con los valores de los terrenos que pretendía<br />
comparar el agricultor se obtiene:
Observe que el terreno que tiene mayor perímetro tiene menor<br />
área. Por lo tanto a mayor perímetro no le corresponde mayor<br />
área, como se podría suponer.<br />
En la actividad del Tangram usted advirtió que tanto el cuadrado<br />
como el rectángulo, el paralelogramo y el triángulo poseen la misma<br />
superficie pero varían sus perímetros.<br />
a<br />
b<br />
Medidas lineales Perímetro Superficie<br />
190 m; <strong>11</strong>0 m 600 m 20.900 m 2<br />
150 m; 140 m 580 m 21.000 m 2<br />
Actividad Nº3<br />
Dibuje en el papel cuadriculado a 1 cm que tiene en el Anexo I<br />
todos los rectángulos posibles cuyos lados sean valores enteros<br />
y su superficie mida 20 cm 2 .<br />
¿Qué relación existe entre los lados de rectángulos que tienen<br />
igual superficie? Justifique su respuesta.<br />
Complete una tabla consignando el valor de los lados, la superficie<br />
y el perímetro:<br />
Lado 1 Lado 2 Superficie Perímetro<br />
c Compare los valores de los perímetros de estos rectángulos<br />
que son equivalentes en superficie. ¿Qué conclusión obtiene?<br />
Analice ahora qué sucede si se mantiene constante el perímetro.<br />
9
10<br />
a<br />
b<br />
a<br />
Actividad Nº4<br />
Sobre papel cuadriculado dibuje todos los rectángulos posibles<br />
cuyos lados midan valores enteros y su perímetro sea 20 cm.<br />
Halle las áreas respectivas y ordénelas de menor a mayor.<br />
¿Cuál de estos rectángulos posee mayor área?<br />
Como habrá comprobado al realizar las actividades anteriores:<br />
• existen figuras que tienen la misma superficie pero distinto perímetro;<br />
• existen figuras que tienen igual perímetro pero diferente superficie.<br />
Por lo tanto se puede concluir que:<br />
• la equivalencia de perímetros no implica la equivalencia de superficies;<br />
• la equivalencia de superficies tampoco implica la equivalencia<br />
de perímetros.<br />
Actividad Nº5<br />
Halle el perímetro y la superficie de las figuras dibujadas sobre<br />
la trama cuadriculada de 1 cm.<br />
La unidad de longitud es un lado de un cuadradito, es decir 1 cm.<br />
La unidad de superficie es un cuadradito de 1 cm de lado, es<br />
decir 1 cm 2 .
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
¿Qué conclusiones puede extraer sobre la equivalencia de las<br />
superficies y los perímetros hallados?<br />
Si las tres últimas figuras fuesen las plantas (planos) en escala<br />
de tres casas, ¿cuál elegiría para que le representara menos gasto<br />
en paredes exteriores con relación a la superficie cubierta?<br />
Dibuje la figura formada por cuadrados de 1 cm 2 que posea menor<br />
área y mayor perímetro, siguiendo la secuencia de D, E y F.<br />
Actividad Nº6<br />
En una inmobiliaria se ofrecen dos terrenos con las siguientes<br />
dimensiones:<br />
Terreno A: largo 75 m y ancho 25 m<br />
Terreno B: largo 80 m y ancho 20 m<br />
El terreno A tiene mayor superficie que el B<br />
Determine el perímetro de cada terreno.<br />
¿Cuánto mide la superficie de cada uno?<br />
¿Cuál de los dos terrenos compraría usted si le informan que<br />
valen lo mismo? ¿Por qué?<br />
<strong>11</strong>
12<br />
Actividad Nº7<br />
Dos jardines tienen la misma superficie. El primero es un cuadrado<br />
de 19,8 m de lado. El segundo es un rectángulo de 29,7<br />
m de largo. Calcule el perímetro de cada uno.<br />
Duplicando longitudes<br />
Si preguntamos qué sucede con el perímetro y la superficie de un<br />
cuadrado al duplicar la medida de los lados, muchas personas afirmarán<br />
rápidamente que se duplicarán tanto el perímetro como la<br />
superficie. Analicemos los siguientes ejemplos.<br />
Un cuadrado tiene 3 cm de lado. Si se duplica la medida de su lado,<br />
¿qué sucede con el perímetro?, ¿por qué número queda multiplicada<br />
su superficie?<br />
Le sugerimos que reproduzca los siguientes gráficos en hojas cuadriculadas<br />
a 1 cm. (Anexo I)<br />
Solución gráfica:<br />
Al duplicar el lado (de 3 cm se pasó a 6 cm) el perímetro quedó<br />
duplicado (de 12 cm se pasó a 24 cm).<br />
En el mismo gráfico se observa que la superficie es de 36 cm 2 y<br />
que el cuadrado entra 4 veces en el nuevo cuadrado. Es decir que<br />
al duplicar el lado, la superficie se cuadruplicó.
También se puede hallar la solución mediante un procedimiento<br />
aritmético.<br />
Solución aritmética:<br />
Perímetro del cuadrado = 4 . Lado<br />
Perímetro del cuadrado pequeño = 4 . 3 cm = 12 cm<br />
Perímetro del cuadrado más grande = 4 . 6 cm = 24 cm<br />
Como puede observar al duplicar el lado del cuadrado, el perímetro<br />
se duplicó.<br />
Superficie del cuadrado = L 2<br />
Superficie del cuadrado menor = (3cm) 2 = 9 cm 2<br />
Superficie del cuadrado mayor = (6 cm) 2 = 36 cm 2<br />
La superficie del primer cuadrado es de 9 cm 2 y la del segundo mide<br />
36 cm 2 .<br />
Cuando se duplica el lado del cuadrado la superficie se cuadruplica.<br />
En el Libro 3 usted estudió que al variar el lado de un cuadrado su<br />
perímetro varía en la misma proporción. Por eso se dice que el perímetro<br />
está en función del lado en una relación de proporcionalidad<br />
directa.<br />
Siga analizando qué sucede con la superficie de los cuadrados al<br />
modificar la longitud del lado. Considere estas variaciones a partir<br />
de las medidas de un cuadrado de 1 cm de lado.<br />
Su superficie es de 1 cm 2<br />
Si se duplica el lado del cuadrado se observa que se cuadruplica la<br />
superficie.<br />
Si se triplica el lado del cuadrado se observa que su superficie quedó<br />
multiplicada por 9.<br />
13
14<br />
Si se cuadruplica el lado del cuadrado la superficie queda multiplicada<br />
por 16.<br />
Si se multiplica por 10 el lado del cuadrado su superficie queda<br />
multiplicada por 100.<br />
Como puede observar, no existe relación de proporcionalidad directa<br />
entre la medida del lado de un cuadrado y su superficie.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº8<br />
Aunque la relación del lado del cuadrado y la medida de su<br />
superficie no sea de proporcionalidad directa, puede afirmarse<br />
que, la superficie del cuadrado está en función del lado.<br />
Revise, si es necesario, el concepto de función en el Libro 3.<br />
¿Cómo varía la superficie del cuadrado en función de la variación<br />
del lado?<br />
¿Cómo se puede expresar la superficie de un cuadrado en<br />
función del lado?
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº9<br />
Halle la superficie de las secciones de cada una de las estructuras<br />
de acero que se muestran en las siguientes figuras.<br />
b<br />
Actividad Nº10<br />
El perímetro de un cuadrado es 36 cm.<br />
Calcule la medida de la superficie de este cuadrado.<br />
Encuentre qué altura debe tener un paralelogramo si tiene la misma<br />
medida su superficie que el cuadrado y su base mide 6 cm.<br />
Actividad Nº<strong>11</strong><br />
Halle el perímetro del rectángulo y del paralelogramo.<br />
Antes de hallar la superficie de estos cuadriláteros estime qué<br />
relación guardan entre sí ambas superficies. ¿Son iguales o<br />
diferentes? ¿Por qué?<br />
Halle la superficie. ¿Cómo resultó su estimación?<br />
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación<br />
a<br />
15
16<br />
Variación de superficie y volumen<br />
El panal de las abejas está compuesto por celdillas que puestas una<br />
a continuación de la otra forman un cubrimiento hexagonal. ¿Qué<br />
ventaja brinda esto a la abeja?<br />
Analice una celdilla: es un cuerpo parecido a un prisma cuya base<br />
exterior es un hexágono regular.<br />
¿Por qué decimos parecido a un prisma? Porque un prisma tiene<br />
sus bases planas, en cambio, el fondo de una celdilla (donde la<br />
abeja deposita la miel) está formado por tres caras congruentes simulando<br />
una copa. Cada una de estas caras es un rombo.<br />
A continuación, ilustramos el aspecto de una celdilla y su desarrollo<br />
en el plano. Para poder comprender una sorprendente curiosidad<br />
de la naturaleza, le adjuntamos el desarrollo en el Anexo II para<br />
que arme con él una celdilla.<br />
Los naturalistas se preguntaron si las medidas de los ángulos de los<br />
rombos que forman la base tendrían influencia en el mayor aprovechamiento<br />
del espacio de la colmena y la menor cantidad de material<br />
utilizado en su construcción. Es sabido que, la cera con que<br />
se construyen las celdas donde se guarda la miel es una sustancia<br />
difícil de fabricar.<br />
Al medir los ángulos de estos rombos se obtuvieron los siguientes<br />
valores: 109° 28’ y 70° 32’ .
Entonces se le encargó a un matemático el siguiente cálculo:<br />
Supuesta una vasija hexagonal que termine en tres caras rómbicas<br />
de fondo, averiguar cuáles son los ángulos de los rombos que darían<br />
el mayor aprovechamiento del espacio con el menor material.<br />
Hecho este cálculo se obtuvieron los siguientes valores: 109° 26’ y<br />
70° 34’. Se consideró entonces, que este pequeño “error" de la abeja<br />
era tan insignificante que no se le dio importancia.<br />
Años después, el famoso matemático Mac Laurin no se conformó<br />
con la pequeña discrepancia planteada entre el valor del ángulo<br />
construido por la abeja y el calculado en forma teórica por el hombre.<br />
Al resolver nuevamente el problema encontró que los ángulos<br />
que brindan mayor aprovechamiento del espacio son 109° 28’ y 70°<br />
32’, es decir ¡coinciden exactamente con las medidas de los ángulos<br />
de los rombos que forman las celdillas fabricadas por las abejas!<br />
Comprobamos una vez más que la naturaleza nos sorprende con su<br />
belleza y perfección.<br />
Adaptación del original de Rafael Rodríguez Vidal 1 realizada por P. Sadovsky y otros. 2<br />
“Maravillosa naturaleza”.<br />
La idea que destacamos en el texto anterior -mayor aprovechamiento<br />
del espacio con la menor cantidad de material- es algo que interesa<br />
especialmente a los fabricantes que deben envasar sus productos.<br />
Ellos necesitan, en general, guardar la mayor cantidad de material<br />
dentro del mínimo envoltorio.<br />
El concepto matemático que se refiere a la cantidad de material es<br />
el volumen y el del envoltorio es la superficie.<br />
Analizaremos entonces la relación entre el volumen de un cuerpo y<br />
su superficie. Para ello utilizará el Soma que construyó en el Libro 5.<br />
Con las 7 piezas del Soma arme un cubo. Si las aristas de cada cubito<br />
son de una unidad ¿cuál es la superficie total y cuál el volumen<br />
del cubo formado?<br />
1 Rafael Rodríguez Vidal; Diversiones matemáticas. Reverté, Barcelona. 1983.<br />
2 P. Sadovsky, M. Kass, M. C. Panizza y M. I. Reyna; <strong>Matemática</strong> 2. Santillana, Buenos Aires, 1989.<br />
17
18<br />
Unidad de<br />
longitud<br />
Unidad de<br />
superficie<br />
Unidad de<br />
volumen<br />
Seguramente encontró que la superficie mide 54 unidades cuadradas<br />
(54 u 2 ) y el volumen 27 unidades cúbicas (u 3 ).<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº12<br />
Construya distintos cuerpos con las siete piezas del Soma.<br />
Halle las áreas de cada uno y los volúmenes correspondientes.<br />
Compárelos y obtenga alguna conclusión respecto de las<br />
equivalencias.<br />
Actividad Nº13<br />
Arme con cubos, prismas que contengan ocho cubos iguales.<br />
Halle las áreas totales y los volúmenes.<br />
Algunas cajas donde se guardan herramientas tienen una forma<br />
de prisma rectangular, como se muestra en el dibujo:<br />
alto<br />
largo<br />
ancho
Recuerde que para calcular el volumen de un prisma hay que calcular<br />
la superficie de la base y multiplicar el resultado por la altura.<br />
Por tratarse de un rectángulo, en este caso, la superficie de la<br />
base se calcula multiplicando el largo por el ancho:<br />
Volumen del prisma rectangular = largo x ancho x alto.<br />
Hay dos cajas similares de herramientas cuyas dimensiones son:<br />
Caja I: largo = 2 dm ancho = 32 dm alto = 1 dm<br />
Caja II: largo = 16 dm ancho = 2 dm alto = 2 dm<br />
Calculemos el volumen de la primera caja:<br />
Volumen de la caja = largo x ancho x alto<br />
Volumen de la caja 1= 2 dm x 32 dm x 1 dm<br />
Volumen de la caja 1= 64 dm 3<br />
Calculemos también el volumen de la caja 2:<br />
Volumen de la caja 2= 16 dm x 2 dm x 2 dm<br />
Volumen de la caja 2= 64 dm 3<br />
Es evidente que las dos cajas son equivalentes en volumen.<br />
Veamos qué sucede con sus superficies totales.<br />
¿Cómo se determinan las superficies totales de las cajas? Basta con<br />
calcular la superficie de cada una de las caras y luego sumarlas.<br />
La caja I tiene dos caras rectangulares de 1 dm x 32 dm; dos caras<br />
rectangulares de 2 dm x 1 dm y otras dos caras rectangulares de 32 dm<br />
x 2 dm.<br />
19
20<br />
Revise el procedimiento<br />
para resolver cálculos combinados<br />
en el Libro 3.<br />
Si se expresa la superficie total como suma de todas ellas en un<br />
cálculo combinado quedará expresado:<br />
Sup (caja 1) = 2 x 1 dm x 32 dm + 2 x 2 dm x 1 dm + 2 x 32 dm x 2 dm<br />
Sup (caja 1) = 196 dm 2<br />
Para la segunda caja:<br />
Sup (caja II) = 2 x 2dm x 16dm + 2 x 2dm x 2dm + 2 x 2dm x 16dm<br />
Sup (caja II) =136 dm 2<br />
Al determinar la superficie de cada una de las cajas se observa que<br />
las superficies son distintas:<br />
Sup (caja I) = 196 dm 2<br />
Sup (caja II) = 136 dm 2<br />
Por lo tanto, así como sucede entre la superficie y el perímetro, la<br />
equivalencia entre volúmenes no implica equivalencia entre las<br />
superficies.<br />
Existen cuerpos que tienen igual volumen<br />
pero distinta superficie.<br />
Actividad Nº14<br />
Halle las áreas totales de cada uno de los siguientes cuerpos<br />
y los volúmenes correspondientes. Hay huecos donde usted<br />
no ve cubos.
Le presentamos el siguiente problema que se le atribuye al gran<br />
científico Galileo:<br />
Si se tiene una hoja de anotador con el largo distinto del ancho<br />
y se desea obtener un cilindro al cual se le agregará luego un fondo<br />
para poder llenarlo de líquido, ¿cuál de los dos cilindros posibles<br />
contendrá mayor cantidad de líquido?<br />
Vamos a suponer que el largo de la hoja es de 12,56 cm y el ancho<br />
de 6,28 cm. La hoja puede estar representada por este dibujo:<br />
Como se observa en el dibujo, con la misma hoja se pueden obtener<br />
dos cilindros distintos: uno más alto que el otro o bien uno de<br />
base mayor que la del otro.<br />
Calcularemos ahora el volumen de cada uno.<br />
Para poder hacerlo se necesita conocer el radio de la base, que no<br />
es un dato. Sin embargo se conoce la longitud de la circunferencia de<br />
la base, porque en uno de los cilindros será el ancho de la hoja y en<br />
el otro el largo. Para poder resolverlo le proponemos revisar lo estudiado<br />
en el Libro 5 sobre ecuaciones.<br />
Para llegar a calcular el volumen es preciso resolver un problema<br />
intermedio que se podría enunciar del siguiente modo:<br />
En los Libros 2 y 5 se trabajó<br />
con cálculo de volúmenes.<br />
Consúltelos si lo cree<br />
necesario.<br />
21
22<br />
¿Cuál es el radio de una circunferencia de 12,56 cm?, ¿y si la longitud<br />
de la circunferencia es de 6,28 cm?<br />
Recuerde que la longitud de la circunferencia se calcula:<br />
Long (circunf.) = 2 . . r<br />
Se conoce la longitud, no así el radio r, que es la incógnita de la siguiente<br />
ecuación:<br />
12,56 cm = 2 x 3,14 x r<br />
de donde podemos despejar el radio, dividiendo ambos miembros<br />
por 2 x 3,14<br />
________ 12,56 cm<br />
2 x 3,14<br />
=<br />
Ahora se puede simplificar en el segundo miembro 3,14 y 2. Al<br />
hacerlo se obtiene:<br />
________ 12,56 cm<br />
2 . 3,14<br />
________ 12,56 cm<br />
2 . 3,14<br />
= r<br />
__________<br />
2 x 3,14 x r<br />
2 .x 3,14<br />
= 2 cm (radio).<br />
El radio del primer cilindro es de 2 cm.<br />
Para el radio de la base del segundo cilindro procedemos de manera<br />
similar:<br />
Long (circunf.) = 2 . . r<br />
6,28 cm = 2 . 3,14 . r<br />
de donde podemos despejar el valor del radio del nuevo cilindro<br />
________ 6,28 cm<br />
= r<br />
2 . 3,14<br />
________ 6,28 cm<br />
= 1 cm (radio)<br />
2 . 3,14<br />
Luego de resolver estos problemas intermedios se puede calcular el<br />
volumen de los cilindros, y comprobar si son equivalentes al tener<br />
la misma superficie lateral.<br />
Recuerde que para calcular el volumen de un cilindro se debe multiplicar<br />
la superficie de la base por la altura. Expresado en un cálculo<br />
combinado:
Vol. (cilindro) = Sup del círculo de la base por altura<br />
Vol. (cilindro) = . r 2 . h<br />
El volumen del primer cilindro es:<br />
Vol. (cilindro) = 3,14 . 4 cm 2 . 6,28 cm<br />
Vol. (cilindro) = 78,8768 cm 3<br />
El volumen del segundo cilindro es:<br />
Vol. (cilindro) = 3,14 . 1 cm 2 . 12,56 cm<br />
Vol. (cilindro) = 39,4384 cm 3<br />
Como puede observar los cilindros tienen la misma superficie lateral<br />
y poseen diferente volumen. De los dos cilindros posibles, el<br />
primero podrá contener mayor cantidad de líquido. En la Actividad<br />
Nº 14 usted halló que hay cuerpos con la misma superficie total y<br />
distinto volumen.<br />
Por ello se puede concluir que:<br />
Existen cuerpos que tienen la misma superficie<br />
pero distinto volumen.<br />
Ya se analizó qué sucede con el perímetro y con la superficie al variar<br />
el lado de un cuadrado. Se considerará ahora si existe relación<br />
de proporcionalidad entre la arista de un cubo y su volumen.<br />
En el Anexo III encontrará desarrollos de cubos de 1 cm de arista,<br />
de 2 cm de arista, de 3 y así hasta 5 cm de arista para que pueda<br />
armarlos y comprobar los datos de la siguiente tabla.<br />
arista del cubo<br />
1 cm<br />
2 cm<br />
3 cm<br />
4 cm<br />
5 cm<br />
superficie de<br />
una cara del cubo<br />
1 cm 2<br />
4 cm 2<br />
9 cm 2<br />
16 cm 2<br />
25 cm 2<br />
superficie<br />
total del cubo<br />
6 cm 2<br />
24 cm 2<br />
36 cm 2<br />
96 cm 2<br />
150 cm 2<br />
volumen del cubo<br />
1 cm 3<br />
8 cm 3<br />
27 cm 3<br />
64 cm 3<br />
125 cm 3<br />
23
24<br />
Cada cara del cubo es un cuadrado. Al duplicar el lado de ese cuadrado<br />
la superficie se cuadruplica y en consecuencia sucede lo<br />
mismo con la superficie total del cuerpo.<br />
¿Qué sucede con el volumen al duplicar la arista? El volumen se<br />
multiplica por 8.<br />
Si se triplica la arista, se multiplica por 9 la superficie y se multiplica<br />
por 27 el volumen.<br />
Como puede observar, la variación de la arista define una variación<br />
del volumen, pero puede afirmarse que:<br />
No hay relación de proporcionalidad<br />
entre la arista y el volumen del cubo.<br />
Si se analiza qué sucede con la relación entre la superficie total y<br />
el volumen, también puede afirmarse que:<br />
aristas<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
a<br />
b<br />
No hay relación de proporcionalidad<br />
entre la superficie de un cuerpo y su volumen.<br />
Actividad Nº15<br />
Haga otra tabla con las medidas de las aristas, las superficies<br />
de cada cara y de los volúmenes.<br />
superficie de<br />
una cara<br />
1<br />
4<br />
9<br />
16<br />
25<br />
volumen<br />
1<br />
8<br />
27<br />
64<br />
125<br />
Compare esta tabla con la correspondiente de la Actividad<br />
Nº 36 del Libro 3.<br />
Si bien no hay relación de proporcionalidad directa entre la<br />
arista y el volumen del cubo, sí puede decirse que el volumen es<br />
una variable dependiente de la arista. ¿Cuál es la función que<br />
expresa esta relación?
Analice qué sucede cuando se multiplica por 10 el lado de un cuadrado<br />
o la arista de un cubo y verá qué es lo que se aplica para calcular<br />
la relación entre las unidades de superficie y de volumen. Cada<br />
decímetro tiene 10 cm, por lo tanto si se dibuja un cuadrado de<br />
un decímetro (se multiplicó por 10 la longitud del lado de un cuadrado<br />
de 1 cm) su superficie queda multiplicada por 100.<br />
Si se considera un cubo cuya arista es de 10 cm su volumen será<br />
1.000 cm 3 . Recuerde que en el SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino),<br />
las unidades de superficie y de volumen se definen a partir<br />
de las unidades de longitud.<br />
La relación que existe entre las unidades de longitud es de potencias<br />
de 10. El metro tiene 10 decímetros, 100 (10 2 ) cm, 1000 (10 3 ) mm.<br />
La relación que existe entre las unidades de superficie es de potencias<br />
de 100. El metro cuadrado tiene 100 decímetros cuadrados,<br />
10.000 cm 2 (100 2 ), 1.000.000 mm 2 (100 3 )<br />
La relación que existe entre las unidades de volumen es de potencias<br />
de 1.000. El metro cúbico tiene 1.000 decímetros cúbicos, 10 6<br />
centímetros cúbicos y 10 9 milímetros cúbicos.<br />
a<br />
Actividad Nº16<br />
Considere recipientes de base rectangular que tengan todos el<br />
mismo volumen 64 dm 3 . Las dimensiones de cada uno son:<br />
largo<br />
1 dm<br />
2 dm<br />
4 dm<br />
16 dm<br />
32 dm<br />
64 dm<br />
16 dm<br />
ancho<br />
8 dm<br />
4 dm<br />
4 dm<br />
2 dm<br />
2 dm<br />
1 dm<br />
4 dm<br />
alto<br />
8 dm<br />
8 dm<br />
4 dm<br />
2 dm<br />
1 dm<br />
1 dm<br />
1 dm<br />
volumen<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
Complete en la tabla la medida correspondiente a cada superficie<br />
total.<br />
superficie<br />
Relea en el Libro 4 el apartado<br />
Notación Científica.<br />
25
26<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
¿Cuáles son las dimensiones del recipiente que tiene la menor<br />
superficie?<br />
En la hojalatería le venden una chapa por m 2 . ¿Cuál de las dimensiones<br />
elegiría para la caja, de tal manera que tenga el<br />
menor costo posible? (Recuerde que todas las cajas tienen el<br />
mismo volumen.)<br />
Actividad Nº17<br />
Se han construido, con un mismo material, cuatro cubos macizos<br />
cuyas aristas son respectivamente de 6 cm; 8 cm; 10 cm<br />
y 12 cm. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza<br />
de modo que éstos queden en equilibrio.<br />
¿Qué cubo o cubos pondría en cada platillo? Justifique su respuesta.<br />
Actividad Nº18<br />
En una plaza hay un cantero aproximadamente cuadrado que<br />
tiene un círculo inscripto en el que se quiere plantar flores,<br />
dejando cubierto de pasto el resto de la superficie del cuadrado.<br />
Se sabe que el cuadrado tiene 400 cm de perímetro.<br />
¿Cuál es la superficie que se cubrirá con pasto?<br />
Otra persona, en vez de plantar en un solo círculo, quiere poner<br />
las flores en los cuatro círculos iguales de mayor superficie<br />
que puedan trazarse dentro del cuadrado de tal forma que<br />
ninguno se superponga.<br />
¿Qué superficie quedará cubierta de césped? Justifique su respuesta.<br />
Compárela con la obtenida en el item anterior.
a<br />
b<br />
Actividad Nº19<br />
Un campo tiene una superficie de una hectárea. ¿Cuál es su perímetro,<br />
si tiene la forma aproximadamente de un cuadrado?<br />
Otro campo está integrado por dos terrenos:<br />
• uno es un rectángulo de 40 m x 50 m;<br />
• el otro es un triángulo rectángulo isósceles.<br />
Los lados iguales son los del ángulo recto. No se conoce la<br />
longitud de estos lados, pero se sabe que uno de los lados<br />
iguales coincide con uno de los lados del rectángulo.<br />
De las dos posibilidades de formar el campo, ¿cuál encierra la<br />
mayor superficie?<br />
Le dibujamos una de las maneras posibles. Dibuje usted las otras.<br />
Actividad Nº20<br />
Una figura de cartulina, que representa una cara con sombrero,<br />
está compuesta por un trapecio isósceles y dos semicírculos<br />
construidos: uno sobre la base menor (que será la copa del<br />
sombrero) y otro sobre la mayor (que será la cara ). Los datos<br />
del trapecio son: Base mayor = 20 cm; base menor = 14 cm;<br />
altura del trapecio = 12 cm.<br />
Determine:<br />
• la superficie total que tiene la figura;<br />
• la cantidad de cinta necesaria para bordear el contorno de la<br />
figura;<br />
• el menor tamaño posible de la cartulina en la que se la dibujará.<br />
27
28<br />
Semejanza de figuras<br />
Al observar las siguientes letras notamos inmediatamente que todas<br />
ellas poseen la misma forma pero no poseen el mismo tamaño.<br />
En este caso el tamaño de la letra crece y por lo tanto decimos que<br />
la letra A se encuentra amplificada.<br />
En este segundo caso el tamaño de la letra A decrece, por lo tanto<br />
decimos que hemos efectuado una reducción.<br />
Todas las imágenes de las letras, ¿son iguales? Seguramente responderemos<br />
negativamente, dado que las letras son de diferentes<br />
tamaños. Pero, ¿se podría afirmar que son distintas las letras aes<br />
dibujadas? También responderíamos negativamente a esta última<br />
pregunta dado que las letras comparten la misma forma.<br />
¿Cómo puede ser que a las imágenes anteriores le asignemos tanto<br />
similitudes como diferencias?<br />
Las siguientes imágenes permitirán explicar esta ambigua impresión.
Tomaremos una parte de los dos dibujos para simplificar la comparación<br />
de ambas imágenes.<br />
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación<br />
29
30<br />
<br />
Como se advierte, se trata de dos triángulos: ABC y el A’B’C’. Procederemos<br />
a medir la longitud de sus lados y la amplitud de sus<br />
ángulos. Si es necesario revise en el Módulo Nº 4 cómo utilizar el<br />
transportador.<br />
Comience con los ángulos; extreme las precauciones para medir<br />
con la mayor precisión posible.<br />
Observe:<br />
como son los ángulos A y A’ = .............<br />
como son el B y el B’ = .............<br />
y como el C y el C’ = .............<br />
Siga<br />
__<br />
con los lados.<br />
___<br />
AB = ............. A’B’ = .............<br />
__<br />
___<br />
AC = ............. A’C’ = .............<br />
__<br />
___<br />
BC = ............. B’C’ = ............<br />
Observará que los lados varían. Veamos en qué forma lo hacen. Para<br />
ello analizaremos<br />
__<br />
el cociente<br />
___ __<br />
entre<br />
___<br />
la medida<br />
__<br />
de los<br />
___<br />
siguientes<br />
pares de lados: AB con A’B’, BC con B’C’ y AC con A’C’ .<br />
Analice los pares de lados que estamos considerando. Ambos tienen<br />
como extremos los vértices de ángulos iguales.
___<br />
___<br />
___<br />
A’B’ ___ __ = ___ =<br />
B’C’ ___ __ = ___ =<br />
A’C’ ___ __ = ___ =<br />
AB<br />
BC<br />
AC<br />
¿Cómo son todos los cocientes?<br />
Un error de medición pequeño, 1 o 2 milímetros, puede alejar bastante<br />
los resultados. Si tomamos la medida con total precisión obtenemos<br />
cocientes aproximadamente iguales.<br />
Que los cocientes sean iguales implica que la razón (el cociente) entre<br />
los lados originales y los de la ampliación es siempre la misma.<br />
Esto significa que la relación que existe entre un par de lados es<br />
igual a la razón que existe entre los otros pares de lados respectivos.<br />
___<br />
___<br />
En este caso si obtenemos<br />
A’B’ ___ __ = 2 significa que el lado A’B’ es el<br />
___ AB<br />
doble que el AB. Pero como los demás pares también dieron por<br />
cociente 2 o un número muy próximo a 2, significa que todos los<br />
lados del segundo triángulo son el doble de los del primero. El<br />
triángulo se duplicó.<br />
<br />
Los triángulos ABC y A’B’C’ son triángulos semejantes; el cociente<br />
entre sus lados respectivos, que en este caso resultó ser 2, nos<br />
indica cuántas veces más grande o más chica es una figura con<br />
respecto a la otra.<br />
El número que obtenemos como cociente en cualquiera de los pares<br />
de lados correspondientes se llama “razón de semejanza".<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº21<br />
Analice si existe proporcionalidad entre los lados respectivos<br />
de los triángulos considerados. Justifique su respuesta.<br />
Los dos triángulos considerados son semejantes. Defina con<br />
sus palabras cuándo dos triángulos son semejantes. Considere<br />
para ello las dos condiciones analizadas.<br />
Lo comprobado para estos triángulos, ¿se mantendrá en el resto de<br />
la figura?<br />
Relea en el Libro 2<br />
Módulo 4 el tema Razones<br />
y Proporciones.<br />
31
32<br />
Tome la medida de cualquiera de las partes del tractor grande, por<br />
ejemplo la distancia entre la rueda grande y la chica, tome la misma<br />
medida en el tractor chico y luego calcule el cociente.<br />
Puede comparar también la rueda grande de cada tractor. O la parte<br />
del tractor que le interese. Comprobará de esta manera que cada<br />
una de las piezas del segundo tractor es exactamente el doble que<br />
la misma pieza del primero.<br />
A las figuras que poseen ángulos iguales<br />
y lados directamente proporcionales<br />
se las denomina figuras semejantes.<br />
Observe la siguiente figura:<br />
Si nos alejamos del cuadrilátero lo veremos más chico.<br />
¿Serán semejantes?<br />
Según lo expresado en la definición, para ser semejantes estos dos<br />
polígonos deben tener los ángulos respectivamente iguales y los<br />
lados respectivos directamente proporcionales.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº22<br />
Mida los ángulos y compruebe si son o no iguales.<br />
Luego tome la medida de los lados y complete:<br />
___ ___ ___ ___<br />
___ AB __ = ___ = ___ BC = ___ = ___ CD = ___= ___ AD = ___ =<br />
A’B’ B’C’ C’D’ A’D’<br />
¿Cómo son los resultados?<br />
De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿son semejantes los<br />
cuadriláteros?, ¿cuál es la razón de semejanza?
La razón de semejanza que obtuvo en esta oportunidad es aproximadamente<br />
0,33, número que equivale aproximadamente a __1 .<br />
3<br />
En este caso la razón nos está indicando que el segundo triángulo<br />
es la tercera parte del primero.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº23<br />
Si la razón de semejanza entre dos figuras es 4, ¿qué puede<br />
decir de la segunda figura con respecto a la primera?<br />
Si la razón es 0,5, es decir __1<br />
2<br />
, ¿la segunda figura es una ampliación<br />
o una reducción de la primera? ¿Cuántas veces?<br />
Y si la razón es 1, ¿cómo son las figuras?<br />
La semejanza no se limita a las figuras geométricas, está presente en<br />
un gran número de situaciones cotidianas. En los mapas, en las fotografías,<br />
en los planos de propiedades o piezas de máquinas, al hacer<br />
una ampliación o reducción en una fotocopiadora, etc. Cuando se<br />
realizan trabajos aplicando escalas, se está trabajando con semejanza.<br />
Actividad Nº24<br />
En un mapa trazado a escala 1:400.000 dos ciudades se encuentran<br />
separadas por 4 cm de distancia.<br />
¿Cuál será la distancia real que separa ambas localidades?<br />
Exprese el resultado utilizando notación científica. Puede consultar<br />
el Libro 4.<br />
¿Cómo puede fabricarse la maqueta de un auto deportivo para<br />
respetar la escala 1:72?<br />
Se quiere representar dos localidades que están separadas por<br />
360 km en un mapa trazado a escala 1 cm : 2 . 10 5 m ¿Cuál<br />
será la distancia que separe a los respectivos puntos que representan<br />
a las ciudades?<br />
Le proponemos que revise<br />
el concepto de escala en el<br />
Libro 1, Módulo 3.<br />
33
34<br />
Actividad Nº25<br />
Un cliente de una casa de fotocopias discute con el dueño<br />
acerca de la eficacia con la que el comercio confeccionó el<br />
trabajo encargado. La imagen entregada debía ser reducida al<br />
50 % de su superficie. El cliente midió el ancho de la figura<br />
original, el ancho de la reducción y encontró que el primero<br />
era el doble con respecto al segundo, luego reiteró el procedimiento<br />
con el largo. Estas mediciones le sirvieron para determinar<br />
la nueva superficie. ¿Por qué está enojado el cliente?<br />
Justifique su respuesta.<br />
La semejanza de figuras llega a la industria del papel<br />
La industria papelera ha estandarizado el tamaño de las hojas. Por<br />
ejemplo, si tomamos una hoja de papel A3 y la plegamos al medio,<br />
cortando ambas hojas obtenemos un par de hojas A4.<br />
Si reiteramos el procedimiento con una hoja A4 obtendremos dos<br />
hojas de tamaño A5.<br />
Cada uno de los tamaños es de la mitad de la superficie de los anteriores.
Registremos las medidas de cada una de las hojas:<br />
A3: 297 mm x 420 mm.<br />
A4: 210 mm x 297 mm.<br />
A5: 148 mm x 210 mm.<br />
Por tratarse de rectángulos se sabe que todos los ángulos son iguales<br />
y rectos. Por ello nos ocuparemos de la razón de semejanza.<br />
Obtengamos los cocientes entre los respectivos largos y los respectivos<br />
anchos de las hojas tamaño A3 y A4.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Largo __________ de A3<br />
Largo de A4<br />
___________<br />
Ancho de A3<br />
Ancho de A4<br />
= _______ 420 mm<br />
= ˜ 1,414<br />
297 mm<br />
= _______ 297 mm<br />
= ˜<br />
1,414<br />
210 mm<br />
Podemos concluir que los tamaños de hojas de papel A3 y A4 son<br />
rectángulos semejantes, para los cuales su razón de semejanza será<br />
aproximadamente igual a 1,414.<br />
Actividad Nº26<br />
En cualquier diccionario enciclopédico busque el mapa de la<br />
República Argentina (o el de su provincia) y determine la distancia<br />
entre la capital y una localidad que haya elegido. (Le<br />
recordamos que debe tener en cuenta cuál es la escala en la<br />
cual fue hecho el mapa.)<br />
Para determinar la altura de un edificio se tienen los siguientes<br />
datos: la distancia desde el observador hasta el edificio es<br />
de 60 m. La distancia del mismo observador hasta un poste<br />
cuya altura es de 2 m es igual a 5 m. Tanto el poste como el<br />
edificio están en la misma línea de observación y el observador<br />
mira al ras del suelo.<br />
Haga el dibujo correspondiente.<br />
En una fotografía hay dos personas. Allí se ha reducido la altura<br />
de cada una a la quinta parte. Si en la foto una persona<br />
mide 36 cm y otra 36,5 cm, ¿cuál es la altura real de ambas?<br />
35
36<br />
d<br />
e<br />
Un cantero triangular tiene por lados: 4 m; 5 m; 7 m. Se quiere<br />
hacer un plano en la escala siguiente: 1:100. Dibuje el plano<br />
del cantero. ¿Cuáles serán las longitudes de los lados en<br />
ese plano?<br />
En una fotografía se presentan dos esqueletos de animales<br />
prehistóricos que vivieron en el sur de la Argentina. El esqueleto<br />
del más pequeño tiene en la foto una longitud de 6,5 cm<br />
mientras que la del más grande es de <strong>11</strong>,5 cm.<br />
Se sabe que el dinosaurio más grande medía 36 m de longitud.<br />
¿Cuál era la longitud del menor? ¿Cuál es la razón de<br />
semejanza?
Teorema de Pitágoras<br />
Para resolver muchas situaciones geométricas en las que se trabaja<br />
con polígonos se suele dividir el polígono en triángulos. Usted<br />
ya utilizó esta estrategia al demostrar que la suma de los ángulos<br />
interiores de un cuadrilátero es igual a 360° (o un ángulo de un giro).<br />
Revise en el Libro 5 los aspectos allí considerados.<br />
Los triángulos pueden ser obtusángulos, acutángulos y rectángulos.<br />
Trabajaremos sobre éstos últimos, pues presentan propiedades<br />
que resultan útiles para resolver situaciones en las que se conocen<br />
las longitudes de dos de los lados y se quiere conocer la longitud<br />
del tercero, el perímetro del triángulo o la superficie.<br />
Revise en el Libro 4 lo estudiado sobre la unicidad del triángulo -dadas<br />
las medidas de los tres lados, el triángulo que se puede formar es único-.<br />
Para dibujar un triángulo cualquiera se pueden trazar dos lados de<br />
los cuales se conocen sus medidas, dependerá del ángulo que se<br />
forme entre ellos la medida que tomará el tercer lado.<br />
37
38<br />
Actividad Nº27<br />
Dibuje diferentes triángulos rectángulos comenzando por elegir<br />
la medida de los lados que corresponden a los del ángulo<br />
recto. Propóngase elegir diferentes medidas para el tercer lado.<br />
¿Es posible?<br />
Analice las siguientes situaciones para ver cómo puede calcularse<br />
el tercer lado de un triángulo rectángulo si se conocen<br />
los otros dos.<br />
Situación 1<br />
¿Cuál es el largo de una escalera, para alcanzar un techo que<br />
está a una altura de 3 m, si el pie de la escalera está separado<br />
a 4 m de la pared?<br />
Situación 2<br />
Necesitamos instalar una antena de transmisión radial de doce<br />
metros de altura sobre una terraza. Disponemos de cinco<br />
metros de distancia entre el pie de la antena y el borde de la<br />
terraza. Es necesario sujetarla con un cable de acero que una<br />
la punta de la antena con el borde de la terraza. Es imprescindible<br />
conocer la longitud del cable dado que si añadimos dos<br />
tramos no podremos tensarlo suficientemente y si nos excedemos<br />
el corte del cable es muy trabajoso.
Situación 3<br />
Una plaza rectangular tiene 90 metros de ancho y 120 metros<br />
de largo. Si se construye un sendero que lo atraviesa diagonalmente,<br />
¿qué longitud tiene el sendero?<br />
Las tres situaciones tienen algo en común. En las tres la información<br />
y la medida que queremos hallar corresponden a<br />
lados de un triángulo rectángulo.<br />
39
40<br />
Situación 1<br />
Situación 2<br />
Situación 3
El nombre de los lados de un triángulo rectángulo son:<br />
Se llama cateto a cada uno de los lados del ángulo recto; por lo<br />
tanto ambos catetos son perpendiculares entre sí. Se denomina hipotenusa<br />
al lado opuesto al ángulo recto.<br />
Como puede observar, en todos los triángulos rectángulos cada cateto<br />
es la altura correspondiente al otro cateto, pues para hallar la<br />
altura debe trazarse una perpendicular al lado. Por ser triángulos<br />
rectángulos, ambos catetos son perpendiculares.<br />
En el problema de la Situación 1, los catetos son: la altura de la terraza<br />
(cateto menor) y la separación entre el pie de la escalera y la<br />
pared (cateto mayor). La hipotenusa es la escalera.<br />
Ya se analizó que conocidos dos lados de un triángulo rectángulo<br />
existe un único valor posible para el tercer lado.<br />
Una forma de hallar los resultados de los problemas planteados es<br />
dibujándolos y tomando la medida que se busca. Esta estrategia de<br />
solución que le proponemos utilizar tiene como dificultad poder<br />
graficar los triángulos.<br />
Relea en el Libro 4 el apartado<br />
sobre Triángulos.<br />
41
42<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº28<br />
Represente el triángulo de la Situación 1 con un triángulo<br />
rectángulo cuyos catetos son de 3 y 4 cm. ¿Qué escala se propone<br />
utilizar?<br />
Mida la hipotenusa del triángulo que dibujó. ¿Cuál es la longitud<br />
de la escalera?<br />
Si compara el triángulo real y el triángulo dibujado verá que<br />
son figuras semejantes, porque tienen ángulos iguales y lados<br />
correspondientes proporcionales. ¿Cuál es en este caso la razón<br />
de semejanza?<br />
Actividad Nº29<br />
Dibuje un triángulo rectángulo que represente a la segunda<br />
situación (escala 1 cm equivalente a 1 m).<br />
Mida la hipotenusa y determine la longitud del cable de acero.<br />
Actividad Nº30<br />
Realice para la Situación 3 la misma experiencia que en los<br />
casos anteriores, pero con una escala diferente. Piense cuántos<br />
metros representa con 1 cm y luego dibuje el triángulo y<br />
determine la longitud del sendero.<br />
Explique con sus palabras cómo se calcula la longitud real del<br />
segmento dibujado que la representa si se conoce la escala<br />
con la que se está trabajando.<br />
A través de los dibujos hemos podido dar respuesta a las tres situaciones<br />
planteadas, pero este proceso es poco práctico para averiguar la<br />
medida de uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando se conocen<br />
los otros dos lados. Veamos otro modo más apropiado.
El primero de los triángulos dibujados tiene catetos de 3 y 4 cm y<br />
la hipotenusa mide 5 cm.<br />
Considere los números 3, 4 y 5 y observe que si se eleva a cada uno<br />
de ellos al cuadrado y se los suma, el resultado es igual al cuadrado<br />
del tercero.<br />
32 + 42 = 52 9 + 16 = 25<br />
¿Será casualidad?<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº31<br />
Eleve al cuadrado los catetos del triángulo de la segunda situación,<br />
sume los resultados. Eleve al cuadrado la hipotenusa ¿Dio<br />
lo mismo?<br />
Repita el cálculo con los lados de la tercera situación.<br />
Que en los tres triángulos ocurra esto puede seguir siendo casualidad.<br />
Analicemos estas situaciones gráficamente.<br />
Piense unos instantes en qué significa geométricamente elevar al<br />
cuadrado la longitud del cateto mayor. Significa averiguar la superficie<br />
de un cuadrado que tenga como lado un segmento de esa<br />
longitud. Podemos entonces proyectar un cuadrado que tiene como<br />
lado el valor del cateto.<br />
43
44<br />
Ahora apliquemos el mismo procedimiento para el cateto menor.<br />
Y ahora con la hipotenusa.<br />
Si usted suma la cantidad de cuadraditos de las dos últimas figuras<br />
y compara el resultado con la obtenida en primer lugar, notará que<br />
la cantidad de cuadraditos contenidos en los cuadrados proyectados<br />
a partir de ambos catetos reunidos equivalen a la cantidad de<br />
cuadraditos de la hipotenusa.
Hemos encontrado una propiedad fundamental en los triángulos<br />
rectángulos:<br />
En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados<br />
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.<br />
Esto se ha probado para tres triángulos rectángulos, pero esto no nos<br />
asegura que ocurra en todos. ¿En cuántos se cumplirá la propiedad?<br />
En los libros anteriores se ha insistido que en matemática no es suficiente<br />
con comprobar que cierta propiedad ocurre en uno o varios<br />
ejemplos, pues podrían estar considerándose casos particulares. Para<br />
ser válida la afirmación es necesario asegurarnos qué ocurre en general,<br />
para todos los casos posibles, o sea siempre. Para ello, como<br />
ya analizó en el Libro 5 es necesario demostrar la propiedad.<br />
Cuando se demuestra la propiedad -es decir que ocurre siempre- recibe<br />
el nombre de teorema, en este caso “Teorema de Pitágoras". Con<br />
esa denominación estamos significando que se verifica en todos los<br />
casos, que no es casualidad que lo observemos en algún ejemplo.<br />
45
46<br />
Busque en el Libro 3 de<br />
Ciencias Sociales información<br />
sobre los pueblos<br />
mencionados.<br />
¿Qué es un teorema?<br />
En las diversas civilizaciones de la Antigüedad la matemática se<br />
desarrolló a partir de diferentes problemas y se obtuvieron diferentes<br />
resultados. Algunos pueblos utilizaron una matemática más<br />
práctica, para resolver problemas particulares.<br />
Entre esas civilizaciones los egipcios y los babilonios realizaron importantes<br />
aportes al conocimiento matemático. Por ejemplo, los egipcios<br />
pudieron resolver ecuaciones sencillas, pudieron calcular el área<br />
de triángulos, rectángulos y trapecios, volúmenes de cilindros, prismas<br />
rectos, tronco de pirámide de base cuadrada, que les permitió la<br />
construcción de las pirámides. Los babilonios utilizaron un sistema<br />
de numeración posicional de base 60, nos legaron innumerables tablas<br />
numéricas, como las de cuadrados y cubos de números, podían<br />
hallar el área de triángulos y trapecios, el área del círculo con = 3,<br />
volúmenes de prismas y cilindros y casos particulares del Teorema de<br />
Pitágoras. Pero no demostraron ninguna preocupación por justificar<br />
y probar las reglas que utilizaban.<br />
Fue en Grecia donde nació la matemática tal como la conocemos<br />
hoy. Antes de los griegos, la matemática tenía como objetivo fundamental<br />
hallar procedimientos aritméticos o geométricos que permitieran<br />
solucionar situaciones de la vida práctica. Durante ese período<br />
no se buscaba la sistematización, la generalización y la abstracción<br />
que hoy tiene la matemática.<br />
Muchos historiadores señalan a Tales de Mileto como el primero en<br />
adoptar el método deductivo (siglo <strong>VI</strong> a.C.) y a Euclides (siglo III<br />
a.C.) como el padre de la ciencia matemática.<br />
La matemática trabaja con abstracciones. Actualmente se basa en<br />
cuatro pilares.<br />
1. Los conceptos primitivos.<br />
2. Los axiomas.<br />
3. Las definiciones.<br />
4. Los teoremas.
No es nuestro propósito desarrollar con profundidad cada uno de<br />
estos conceptos, sólo daremos una noción de cada uno de ellos.<br />
Los conceptos primitivos: son los elementos con los que iniciamos<br />
cada una de las ramas de la matemática; no tienen definición explícita.<br />
Por ejemplo: punto, recta y plano.<br />
Los axiomas: son las propiedades o atributos que tienen -entre<br />
otros elementos- los conceptos primitivos, y que implícitamente<br />
los definen. Por ejemplo: “Dos puntos determinan una y sólo una<br />
recta a la cual ellos pertenecen".<br />
Las definiciones: establecen nuevos elementos, deben ser precisas<br />
y determinar sólo aquello a lo que le asignamos esa denominación.<br />
Por ejemplo: “Un polígono es regular si todos sus lados y todos sus<br />
ángulos son iguales".<br />
Los teoremas: son los enunciados de propiedades o proposiciones<br />
verdaderas seguidas de sus demostraciones. Por ejemplo: el teorema<br />
de Pitágoras que en párrafos anteriores hemos enunciado.<br />
Axioma y teorema son conceptos semejantes, en ambos casos se<br />
enuncian propiedades. Pero existe una diferencia fundamental, los<br />
axiomas (que son muy pocos) no necesitan demostración, mientras<br />
que los teoremas sí.<br />
Una demostración comienza con un enunciado, en el que especificamos<br />
bajo qué condiciones se cumple determinada propiedad; y una<br />
demostración consiste en utilizar reglas lógicas que nos conduzcan, a<br />
partir del enunciado, a verificar que la propiedad se cumple siempre.<br />
Existen teoremas cuyas demostraciones son complejas, por eso en<br />
ocasiones sólo enunciamos la propiedad (y la utilizamos) sin hacer<br />
su demostración. En otros casos las demostraciones no son tan<br />
complejas y podemos realizarlas con pocos conocimientos previos,<br />
como lo hicimos al demostrar en el Libro 5 que la suma de los ángulos<br />
interiores de los cuadriláteros es de 360º.<br />
Por la importancia que tienen los axiomas, es decir las propiedades que<br />
no se demuestran y que se consideran ciertas para demostrar los teoremas,<br />
se considera que la matemática tiene una estructura axiomática.<br />
47
48<br />
¿Por qué Teorema de Pitágoras?<br />
En general los teoremas que tienen nombres de matemáticos, como<br />
este, son homenajes a ellos.<br />
En el caso de Pitágoras, él junto a sus discípulos llamados “los pitagóricos",<br />
trabajaron con los números entre otros temas. Ellos encontraron<br />
y demostraron la relación existente entre la hipotenusa<br />
y los catetos de un triángulo rectángulo. Por eso esta propiedad<br />
lleva su nombre.<br />
Luego de estas aclaraciones vamos a retomar el desarrollo de la propiedad<br />
de los lados de un triángulo rectángulo y “demostrar" el Teorema<br />
de Pitágoras. La siguiente es una de las posibles demostraciones.<br />
Al trabajar con un teorema se debe tener claro:<br />
• qué es lo que se quiere demostrar: en este caso que la suma de los<br />
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa;<br />
• qué información se tiene a partir del enunciado: en este caso se<br />
está trabajando con un triángulo rectángulo, es decir que tiene<br />
catetos (que son los lados que forman el ángulo recto) e hipotenusa .<br />
Para demostrar los teoremas, en general, se hacen figuras de análisis<br />
para interpretar el problema, pero se debe tener cuidado al hacerlas<br />
que no se esté trabajando con un caso particular, sino que<br />
sirvan para el análisis de todas las situaciones posibles.<br />
Para demostrar el Teorema de Pitágoras partiremos de dos cuadrados<br />
de igual medida. No importa su longitud pues, se debe analizar<br />
la situación general. Es decir que a lo largo de la demostración hay<br />
que estar atentos a si lo que se está afirmando se cumple efectivamente<br />
cualquiera sea la medida de los lados de los cuadrados para<br />
los infinitos cuadrados que existen. Llamaremos I a uno de los<br />
cuadrados y II al otro para diferenciarlos. Llamaremos l letra l) al<br />
lado de estos cuadrados<br />
I II<br />
P l a n S o c i a l E d u c a t i v o
En el cuadrado I determinamos un punto a una distancia cualquiera<br />
del vértice. El lado quedará dividido en dos segmentos a los que<br />
se llamará a y b.<br />
El lado del cuadrado puede ser expresado como la suma de los dos<br />
segmentos que quedaron determinados:<br />
l = a + b<br />
b a<br />
Se reitera el procedimiento en los lados restantes, conservando la<br />
medida y garantizando que los segmentos que tienen en común un<br />
vértice del cuadrado sean iguales entre sí. Si se trazan los segmentos<br />
que tienen como extremos estos puntos y que sean paralelos a<br />
los lados queda el cuadrado I dividido en dos cuadrados de diferente<br />
tamaño y dos rectángulos iguales.<br />
Como puede observar, no importa a qué distancia de uno de los extremos<br />
haya marcado el punto, pues siempre el lado del cuadrado (I) quedará<br />
igual a la suma de los dos segmentos (a y b), y se determinarán los<br />
dos cuadrados y los dos rectángulos. Si se hubiese marcado el punto justo<br />
en la mitad del segmento I, quedarían determinados cuatro cuadrados.<br />
Si es necesario revise el Libro 5 para ver que todo cuadrado es un<br />
rectángulo, por lo tanto se estaría en un caso particular de rectángulo.<br />
49
50<br />
h<br />
Si se trazan las diagonales de los rectángulos puede verse que en<br />
cada uno de ellos quedan determinados dos triángulos rectángulos.<br />
Los catetos son los segmentos a y b, y las diagonales las hipotenusas,<br />
a las que se llamarán h. Se puede considerar que a es la base<br />
de un triángulo y b su altura respectiva.<br />
h<br />
¿Cuál será la superficie del cuadrado I?<br />
El cuadrado I está formado por un cuadrado de lado a, un cuadrado<br />
de lado b, y 4 triángulos rectángulos de cateto menor a, cateto<br />
mayor b e hipotenusa h.<br />
Por lo tanto la superficie del cuadrado I es la suma de la superficie<br />
del cuadrado de lado a; más la superficie del cuadrado de lado b;<br />
más la superficie de cuatro triángulos de base a y altura b.<br />
Superficie del cuadrado I = a 2 + b 2 +<br />
4 _______ . a . b<br />
2<br />
Se trata ahora de encontrar una expresión para calcular la superficie<br />
del cuadrado II, que como sabe, es equivalente a la del cuadrado I.<br />
En el cuadrado II se dibujan triángulos rectángulos cuyos vértices coincidan<br />
con los del cuadrado y sus catetos sean respectivamente a y b.
¿Cuál será la superficie del cuadrado II?<br />
El cuadrado II está formado por un cuadrado de lado h y cuatro triángulos<br />
rectángulos de cateto menor a, de cateto mayor b e hipotenusa h.<br />
Por lo tanto la superficie del cuadrado II es la suma de la superficie<br />
del cuadrado de lado h más el cuádruple de la superficie de un<br />
triángulo de base a y altura b.<br />
Superficie del cuadrado II = h 2 + 4 .<br />
Ambos cuadrados son iguales, en consecuencia se puede afirmar<br />
que sus superficies también lo son. Por lo tanto la expresión de la<br />
superficie del primer cuadrado tiene que ser igual a la expresión de<br />
la superficie del segundo.<br />
Sup. del Cuadrado I = Sup. del Cuadrado II<br />
a2 + b2 + 4 . = h2 a ____ . b + 4 .<br />
a ____ . b<br />
2<br />
2<br />
Notará la presencia de los cuatro triángulos rectángulos en ambos<br />
cuadrados. Si se descuenta la superficie de los triángulos, se están<br />
descontando superficies iguales a ambos cuadrados; por lo tanto la<br />
superficie del cuadrado I sin los cuatro triángulos debe ser igual a<br />
la superficie del cuadrado II sin los cuatro triángulos.<br />
a 2 + b 2 = h 2<br />
a ____ . b<br />
2<br />
51
52<br />
Relea en el Libro 1 Módulo 3<br />
el tema medidas de longitud.<br />
Si analiza qué representa la expresión obtenida verá que a y b son<br />
los catetos de cualquiera de los triángulos rectángulos y h es la hipotenusa<br />
de esos mismos triángulos.<br />
La nueva distribución de las figuras evidencia que hemos demostrado<br />
que la propiedad se cumple para todos los triángulos rectángulos<br />
existentes.<br />
El Teorema de Pitágoras permite hallar el tercer lado de un triángulo<br />
rectángulo cuando los otros dos son conocidos.<br />
Por ejemplo:<br />
El tamaño de los televisores se indica según la longitud de la diagonal<br />
de su pantalla medida en pulgadas. Si un televisor tiene 16´´ (16 pulgadas)<br />
de ancho y 12 de alto, ¿cuántas pulgadas tiene su diagonal?
Si bien los bordes de la pantalla son algo redondeados, podemos<br />
tomar a la mitad de la pantalla como un triángulo rectángulo, cuyos<br />
catetos miden 12 y 16, y cuya hipotenusa queremos hallar.<br />
Por el Teorema de Pitágoras podemos escribir la ecuación<br />
x 2 = 12 2 + 16 2<br />
x 2 = 144 + 256<br />
x 2 = 400<br />
Preguntarse qué número al cuadrado es 400 equivale a preguntarse la<br />
raíz cuadrada de dicho número. Como el número 400 es positivo tendrá<br />
dos soluciones una positiva y otra negativa. En este caso, como se<br />
están considerando longitudes el resultado negativo no tiene sentido,<br />
por lo tanto se la desecha como respuesta para este problema.<br />
Calculamos la raíz cuadrada de 400.<br />
x = 400<br />
x = 20<br />
El televisor es de 20´´<br />
Al inicio de este tema se planteó que conocidos dos de los lados de un<br />
triángulo rectángulo el otro queda determinado. Usted construyó en<br />
una actividad anterior no sólo hipotenusas, dados los catetos, sino<br />
también un cateto al tener como dato el otro cateto y la hipotenusa.<br />
Al trabajar con el Teorema de Pitágoras, también se puede calcular alguno<br />
de los catetos si es que se conoce la hipotenusa. Por ejemplo:<br />
Una escalera de dos hojas tiene una longitud de 2,4 metros. Cuando<br />
está abierta, la parte que apoya sobre el suelo se separa 1,2 metros.<br />
¿A qué altura está la parte más alta de la escalera?<br />
Se traza en el gráfico la altura que corresponde al lado que queda<br />
en el suelo; luego se considera uno de los dos triángulos rectángulos<br />
que se forman al trazar la altura.<br />
53
54<br />
Revise en el Libro 5 cómo<br />
se resuelven ecuaciones.<br />
Quedaría el siguiente esquema:<br />
En este triángulo la hipotenusa es conocida: 2,4 m, pues es el largo<br />
de la escalera. Uno de los catetos también es dato, 0,6 m (por ser<br />
la mitad de la separación total). Queremos hallar el otro cateto, al<br />
que llamaremos x porque desconocemos su valor.<br />
El Teorema de Pitágoras sostiene que:<br />
“El cuadrado de la hipotenusa es igual<br />
a la suma de los cuadrados de los catetos"<br />
Para nuestro triángulo será:<br />
(2,4 m) 2 = (0,6 m) 2 + x2 5,76 m2 = 0,36 m2 + x2 5,76 m2 - 0,36 m2 = x2 5,4 m2 = x2 entonces x = 5,4 m = 2,32 m<br />
2
En este problema también se descartó el resultado negativo de la raíz<br />
porque se está calculando una longitud. La escalera alcanza una altura<br />
de 2,32 metros.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº32<br />
Tal como se señaló en el Libro 5 muchas veces, es necesario<br />
hacer una figura de análisis que nos permita visualizar la situación<br />
que se está considerando. Por ello le proponemos que<br />
al resolver los siguientes problemas comience por hacer la representación<br />
gráfica de cada uno de ellos.<br />
Para resolver los siguientes ejercicios utilice una calculadora y<br />
redondee los resultados considerando la cantidad de cifras pertinentes<br />
a cada problema. Si lo considera necesario, puede volver<br />
al Libro 4 para revisar el uso de la calculadora y redondeo.<br />
Los bomberos tienen una escalera de 16 m. Se produjo un incendio<br />
de tal magnitud que por las llamas no existen posibilidades<br />
de acercarse a más de 6 metros del pie del edificio, ¿hasta<br />
qué altura se podrá realizar el rescate con esta escalera?<br />
¿Cuántos metros debe caminar un chico para recuperar su barrilete<br />
que cayó verticalmente al suelo desde la posición señalada<br />
por el dibujo?<br />
c Se desea reforzar con dos barras de hierro soldadas el piso del<br />
baúl rectangular de un auto, para que pueda cargar un tubo<br />
de gas. Sus dimensiones son 70 cm de ancho y 90 cm de largo<br />
y las barras que queremos agregar cruzan el baúl en forma<br />
diagonal. ¿Cuál será la longitud de cada barra?<br />
55
56<br />
d<br />
e<br />
¿Cuál es el perímetro del romboide MNPQ?<br />
__<br />
NQ = 7 cm<br />
__<br />
OQ<br />
__<br />
= 4 cm<br />
MP = 6 cm<br />
Si doblamos un papel glasé -esos papeles de colores, cuadrados,<br />
de 10 cm de lado- por su diagonal, obtenemos un triángulo<br />
isósceles donde los lados iguales miden 10 cm. ¿Cuánto<br />
mide su perímetro?<br />
Cuando se trabajó sobre el teorema de Pitágoras vimos que para hallar<br />
el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se debe<br />
sumar el cuadrado de los catetos. En la situación 1 era: 5 2 = 3 2 + 4 2 .<br />
Si en lugar de hacer esta operación primero sumamos los catetos y<br />
luego los elevamos al cuadrado ¿el resultado será el mismo?<br />
Verifiquemos si 3 2 + 4 2 es igual a (3 + 4) 2 .<br />
3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25<br />
(3 + 4) 2 = 7 2 = 49<br />
Los resultados son distintos. Por lo tanto: (3 + 4) 2 = 32 + 42 /<br />
La conclusión anterior no es válida sólo para los números 3, 4 y 5. Considere<br />
otros valores y comprobará que no es lo mismo sumar y luego<br />
elevar al cuadrado que elevar al cuadrado y luego sumar las potencias.<br />
Actividad Nº33<br />
En lenguaje simbólico (Libro 5) exprese la propiedad anterior<br />
generalizando para cualquier par de números y cualquier<br />
exponente.
En los párrafos anteriores vimos que (a + b) 2 = a2 + b2 . Analicemos<br />
a qué es igual (a + b) 2 /<br />
.<br />
Puede aprovecharse el gráfico que utilizamos anteriormente.<br />
La superficie de este cuadrado la obtenemos con (a + b) 2 , pero observando<br />
los cuadriláteros en que quedó dividido el cuadrado podemos<br />
decir que el área del cuadrado es equivalente a la suma de las áreas<br />
de los dos cuadrados a x a y b x b y de los dos rectángulos a x b.<br />
Es decir que: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + a x b + a x b pero sumar dos veces<br />
el mismo rectángulo es lo mismo que multiplicar por dos a x b,<br />
con lo que nos queda:<br />
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 x a x b<br />
Al hacer este análisis no tomamos un valor en particular de a o de b.<br />
El enunciado anterior es válido para cualquier par de valores a y b.<br />
Actividad Nº34<br />
Exprese en lenguaje coloquial la propiedad del recuadro anterior.<br />
A continuación le proponemos un conjunto de actividades que le<br />
permitirán revisar algunos de los contenidos trabajados en los libros.<br />
No encontrará en los márgenes de las hojas la indicación para<br />
consultar otros materiales. En esta ocasión este trabajo lo dejamos<br />
por su cuenta. Tampoco se incluyen las claves de corrección<br />
de estas actividades. Trate de resolverlas usted solo y luego discuta<br />
las respuestas con sus compañeros y con su docente.<br />
57
58<br />
Adaptación del texto de Geometría.<br />
Su enseñanza. Estructura<br />
Modular 2. Prociencia. Conicet.<br />
Módulo I. Buenos Aires,<br />
1986. Texto original de Perelman;<br />
Problemas y experimentos<br />
recreativos, Mir, Moscú,<br />
1975.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº35<br />
Fundación de Cartago<br />
Acerca de la fundación de Cartago existe la siguiente leyenda:<br />
“Dido, hija del rey de Tiro, perdió a su esposo asesinado por el<br />
hermano de ella. Como fue perseguida huyó hacia África desembarcando<br />
con muchos tirios en su costa norte.<br />
En ese lugar le compró al rey de Numidia, Iarbas (parece que<br />
quedó prendado de la belleza de Dido), tanta tierra como podía<br />
delimitar un cuero de toro.<br />
Cuando el trato quedó cerrado la astuta reina cortó el cuero<br />
de toro en tiras muy estrechas. Gracias a ello, abarcó un territorio<br />
suficiente como para construir una fortaleza.<br />
Así, según la leyenda, se fundó el recinto fortificado de Cartago<br />
en torno al cual se edificó después la ciudad que habría<br />
de traer tantos dolores de cabeza a los romanos."<br />
Luego de la lectura del texto le proponemos que resuelva las<br />
siguientes actividades.<br />
Considere que la piel del toro está representada por una hoja de<br />
papel glasé, de diario, de cuaderno, y aplique la idea de Dido.<br />
¿Es única la respuesta que usted puede dar con respecto a la<br />
superficie delimitada por el papel que cortó? ¿Por qué?<br />
Suponga que un cuero de toro tiene una superficie rectangular<br />
de 4 m 2 y que la reina Dido lo cortó en tiras de 1 cm de ancho,<br />
de forma rectangular y las colocó una a continuación de<br />
otra para obtener así una larga tira. ¿Cuál es la longitud de<br />
esa tira? Exprésela en metros.<br />
Puede pensarse que el rey Iarbas, dándose cuenta del engaño<br />
del que lo hizo víctima Dido exigió como condición suplementaria<br />
que la piel del toro no pudiera ser cortada en varios<br />
trozos para posteriormente unirlos.<br />
¿Podría haberse acotado de esta manera un terreno propicio<br />
para fundar la ciudad? ¿Por qué? ¿Cómo?
d<br />
e<br />
Medida de<br />
la base<br />
f<br />
Cierre la tira como si fuera un hilo (desprecie el ancho de 1<br />
cm) y obtenga una poligonal cerrada de manera tal que se<br />
formen distintos rectángulos.<br />
¿Cuál es la longitud de la poligonal?<br />
Complete la siguiente tabla usando solamente múltiplos de 10<br />
para hallar el rectángulo que encierra la mayor superficie. ¿Por<br />
qué se acota el problema al usar solamente múltiplos de 10?<br />
Medida de<br />
la altura<br />
Medida del<br />
la perímetro<br />
¿Es posible encontrar una figura geométrica que encierre una<br />
mayor superficie que la hallada en el punto anterior? ¿Cuál<br />
es? Determínela.<br />
Actividad Nº36<br />
En la ciudad de Ushuaia, durante el invierno pasado, se registraron<br />
durante una semana las siguientes temperaturas máximas<br />
y mínimas:<br />
Día<br />
Lunes<br />
Martes<br />
Miércoles<br />
Jueves<br />
Viernes<br />
Sábado<br />
Domingo<br />
Temperatura<br />
mínima (°C)<br />
-10<br />
-5<br />
-6<br />
0<br />
1<br />
-2<br />
-1<br />
Temperatura<br />
máxima (°C)<br />
- 2<br />
3<br />
- 2<br />
4<br />
7<br />
6<br />
7<br />
Medida de<br />
la superficie<br />
59
60<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
¿Cuál fue la temperatura promedio (máxima y mínima) de la<br />
semana?<br />
¿Cuál fue la amplitud térmica de cada día de la semana?<br />
¿Cuál fue el día más frío y cuál el menos frío? ¿Por qué?<br />
Actividad Nº37<br />
En una determinada ciudad, la temperatura a las 10 de la mañana<br />
era de 6°C. A las 20, el termómetro marcaba 5°C menos.<br />
A las 23 horas el termómetro marcaba 8°C menos que a las 10<br />
de la mañana.<br />
¿Cuál era la temperatura a las 20 horas?<br />
¿Cuál es la temperatura a las 23 horas?<br />
¿Hace más frío a las 23 horas que a las 20? ¿Por qué?<br />
Actividad Nº38<br />
Se tienen 64 esferitas iguales de 1 cm de diámetro. Hay que colocarlas<br />
en una caja que tiene la forma de prisma recto rectangular.<br />
¿Cuáles son las posibles medidas del largo, del ancho y del alto<br />
de la caja para que quepan exactamente todas las esferitas?<br />
¿Qué dimensión elegiría usted para construir la caja de manera<br />
de usar la menor cantidad de material?
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº39<br />
Un cubo contiene exactamente a una pelota. Otro cubo, igual<br />
al anterior, contiene exactamente 27 pelotitas todas iguales.<br />
Si la pelota grande y las chicas están construidas con el mismo<br />
material, ¿cuál de los cubos pesa más? ¿Por qué?<br />
Recuerde que la fórmula que permite calcular el volumen de<br />
la esfera es V(esfera) = 4/3 π r 3 , donde la letra r representa la<br />
longitud del radio de la esfera.<br />
Suponga que la arista de cada cubo es de 27 cm y que el diámetro<br />
de cada esfera pequeña del segundo cubo tiene un diámetro<br />
de 9 cm.<br />
Actividad Nº40<br />
Calcule mentalmente<br />
Sabiendo que una buena aproximación del número es 22 __ *<br />
7<br />
La longitud de una circunferencia cuyo radio es 7 cm.<br />
La longitud de una circunferencia cuyo diámetro es de 28 cm.<br />
Las dimensiones de un terreno cuadrado cuya superficie es 81 m 2 .<br />
Las dimensiones que tendrá un tanque cisterna cúbico que<br />
tiene 1000 litros de capacidad.<br />
* Esta aproximación de π la comenzó a utilizar el célebre Arquímedes.<br />
61
62<br />
a<br />
Actividad Nº41<br />
En algunos países utilizan una rueda métrica (o rueda metro o<br />
rueda click) para medir la longitud de las canchas de fútbol,<br />
de terrenos, etcétera.<br />
La rueda se desplaza, volviendo al punto inicial tras haber recorrido<br />
justo un metro, y hace un click. (Cada click que se escucha<br />
marca que midió un metro.)<br />
¿Qué diámetro debe tener la rueda para que la longitud de su<br />
circunferencia sea de un metro?<br />
Actividad Nº42<br />
En Rusia utilizan unos carros que tienen las ruedas delanteras<br />
mucho más pequeñas que las traseras.<br />
¿A qué se debe que esas ruedas delanteras se gasten mucho<br />
más que las traseras?<br />
Actividad Nº43<br />
Usted dispone de una soga cuyos extremos están unidos y cuya<br />
longitud es de 36 metros. Arme algunos rectángulos.<br />
Escriba en una tabla los posibles valores naturales para la base<br />
y para la altura.<br />
base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 <strong>11</strong> 12 13 14 15 16 17<br />
altura 17 16
c<br />
d<br />
e<br />
Complete la siguiente tabla y responda: ¿cuál es el rectángulo<br />
que tiene la mayor superficie?<br />
base altura perímetro superficie<br />
1<br />
2<br />
17<br />
16<br />
De acuerdo con la tabla anterior, ¿en qué se parecen todos los<br />
rectángulos encontrados?<br />
Represente gráficamente en los siguientes ejes los valores hallados<br />
en el punto a.<br />
Identifique cada una de las funciones anteriores.<br />
63
64<br />
De “Diversiones <strong>Matemática</strong>s”.<br />
Juegos y comentarios al margen<br />
de la clase. Rafael Rodríguez<br />
Vidal. Reverté. Barcelona.1983<br />
Actividad Nº44<br />
Dice una vieja historia que cierto día acercóse un mozo a un<br />
vendedor de espárragos en el mercado, y así le dijo:<br />
-Ved que traigo conmigo este cordel que mide un palmo, y<br />
pregunto cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos que<br />
pueda atar con él.<br />
Pidió el aldeano cinco reales y el mozo se mostró conforme,<br />
pagó y se llevó la mercancía. A los dos días presentóse el mozo<br />
y dijo al vendedor:<br />
-Aquí vuelvo con este cordón, que mide dos palmos. Os acordaréis<br />
que por los espárragos que pude atar con el cordel de<br />
un palmo me cobrásteis cinco reales. Así que por el mazo que<br />
atemos con este cordón de dos palmos os pagaré diez reales si<br />
lo véis justo.<br />
Aceptó el aldeano, aunque concluida la venta se quedó con<br />
una cierta duda de si le habría o no engañado el comprador.<br />
¿Hubo engaño?<br />
Analice usted el problema. Si es necesario grafique la situación.<br />
Actividad Nº45<br />
La falta de proporcionalidad entre longitudes, superficies y<br />
volúmenes tiene influencia en los gráficos estadísticos. Por<br />
ejemplo, si se indica con una moneda cierta ganancia por la<br />
producción de algún producto en una provincia y en otra se<br />
quiere indicar que hay el doble de producción, el gráfico que<br />
se hace puede llevar a confusión. Quedaría así:<br />
Explique usted por qué decimos que llevaría a confusión.
Actividad Nº46<br />
De cómo los indios de la isla de Vancouver conseguían trazar<br />
las líneas destinadas a fijar la planta de una casa cuadrada,<br />
según Dirk J. Struik.<br />
“Desde un punto que había de estar en el centro de la línea<br />
frontal del edificio, tendían una cuerda hasta el medio de la<br />
línea posterior. Después de señalar con estacas esos dos puntos,<br />
partían la cuerda en dos mitades y extendían una mitad a<br />
la derecha y la otra a la izquierda de la estaca frontal.<br />
Luego, empleando otra cuerda para medir la distancia desde<br />
la estaca trasera hasta los extremos de la cuerda delantera,<br />
ajustaban esta última hasta que las distancias entre la estaca<br />
posterior y las dos esquinas frontales fuesen iguales. Así, la<br />
línea frontal queda exactamente colocada en ángulo recto<br />
con la línea del centro. Los ángulos traseros se determinaban<br />
del mismo modo."<br />
—— —— —— —— —— —— ——<br />
FP = AF + FB; AF = FB; PA = PB<br />
P<br />
A<br />
Explique las propiedades de las alturas de los triángulos.<br />
Se debe a una aplicación práctica de una propiedad de las alturas de los<br />
triángulos.<br />
De “Diversiones <strong>Matemática</strong>s”.<br />
Juegos y comentarios al margen<br />
de la clase. Rafael Rodríguez<br />
Vidal. Reverté. Barcelona.1983<br />
B<br />
65
66<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº47<br />
Ordene los siguientes recipientes de acuerdo con su capacidad:<br />
Botella de lavandina 2 l<br />
Botella de vino de (750 cm3 )<br />
Botella de gaseosa 1500 cm3 Cartón de leche 500 cm3 __<br />
3<br />
4<br />
tetrabrik<br />
Balde 1 dal<br />
Balde 8 l<br />
Actividad Nº48<br />
La piscina de un club tiene 25 m de largo por 7,5 m de ancho<br />
por 2,5 m de profundidad. ¿Cuánto tarda en llenarse si la<br />
bomba echa 120 l de agua por minuto?<br />
Si se cambia el agua cada 15 días y permanece abierta 3 meses<br />
en el verano, ¿cuántos hl de agua se consumen en la temporada?<br />
Actividad Nº49<br />
Explique con sus palabras la siguiente secuencia de gráficos de la<br />
izquierda y determine a qué fórmula de superficie es posible arribar.<br />
Exprese simbólicamente los diferentes pasos.<br />
Actividad Nº50<br />
Se desea alambrar con tres hilos una plazoleta triangular cuyos lados<br />
miden 30, 50 y 80 m. ¿Qué cantidad de alambre será necesario?<br />
Si se debe usar la misma cantidad de alambre, también dando tres<br />
vueltas, ¿qué dimensiones debería tener una plazoleta cuadrada?
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº51<br />
Queremos plastificar el piso de un salón cuyo perímetro es de 24<br />
m. Le dicimos al vendedor que nos pase el presupuesto. Cuesta<br />
$ 40 el metro cuadrado. El empleado nos dice son $1.440. Pero<br />
nosotros discutimos pues el cálculo nos dio $1.280.<br />
Explique a qué se debe la diferencia.<br />
Actividad Nº52<br />
Si se conoce cuánto mide la diagonal de una plaza cuadrada,<br />
• ¿es posible hallar su superficie?<br />
• trate de relacionar al cuadrado con los otros cuadriláteros<br />
que conoce. En especial, ¿de cuáles de ellos se usa la diagonal<br />
para hallar la superficie?<br />
Fundamente su respuesta.<br />
¿Qué relaciones es posible establecer entre las superficies de los<br />
triángulos (ABM, ABN, ABP, ABQ) y la del paralelogramo ABCD?<br />
Actividad Nº53<br />
Dibuje un trapecio cuya base menor mida 8 cm, su base mayor<br />
12 cm y su altura 6 cm. ¿Puede hallar una única solución?<br />
Las siguientes afirmaciones ¿son verdaderas o falsas?<br />
“Para definir un trapecio alcanza con conocer las medidas de sus bases y su altura."<br />
“Para definir un rectángulo basta conocer su largo y su ancho."<br />
“Para definir un cuadrado es suficiente con conocer la medida de su lado."<br />
67
68<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº54<br />
Considere un cuadrado de lado 1. Si marca los puntos medios<br />
de los lados y los une obtiene otro cuadrado cuya área es __ 1 .<br />
2<br />
Compruébelo.<br />
Cómo haría para ampliar una pileta de beber al doble del espejo<br />
de agua si le dan la siguiente información:<br />
La pileta es cuadrada; su borde es de 100 m y en cada esquina<br />
hay cuatro ombúes que no se pueden arrancar.<br />
¿Qué sucederá con el perímetro de la nueva pileta? Le damos<br />
una ayuda: en la nueva pileta, los ombúes quedan exactamente<br />
en el punto medio de cada borde de la pileta.<br />
Si la pileta tiene __ 1 m de profundidad, ¿cuánta agua conten-<br />
2<br />
drá la primera pileta? ¿Y la ampliada?
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº55<br />
El siguiente gráfico representa la distribución de los habitantes<br />
de una provincia agrupados por edades (en intervalos de<br />
10 años) y por sexo.<br />
en miles de habitantes<br />
200<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
¿A qué edad la cantidad de mujeres y de varones es la misma?<br />
¿En cuál de los intervalos de edades se da la mayor desproporción<br />
entre varones y mujeres?<br />
¿Cuál es, aproximadamente, la cantidad de mujeres que hay<br />
en la ciudad entre 41 y 50 años?<br />
varones mujeres<br />
0 a10 <strong>11</strong> a 20 21 a 30 31 a 40 41 a 50 51 a 60 61 a 70 71 a 80 más de<br />
80<br />
69
70<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº56<br />
La exportación de cereales de un país varió a través de los<br />
años según el siguiente gráfico.<br />
¿Cuál era, aproximadamente, la exportación en el año 1900?<br />
¿En que período aumentó (porcentualmente) más la exportación?<br />
¿En cuántas toneladas se incrementó la exportación entre<br />
1890 y 1980?<br />
¿Cuál es el porcentaje de incremento que calculó en el punto<br />
anterior?
Actividad Nº57<br />
Imagine que usted es un periodísta. En la editorial le solicitan<br />
que escriba un artículo periodístico sobre el consumo de tabaco<br />
en la Argentina para el sumplemento del diario del domingo.<br />
Para facilitar su tarea le indican el titular y el copete<br />
que deberá tener la nota y los gráficos que debe incluir.<br />
Escriba el artículo.<br />
Hay humo en el negocio del tabaco<br />
Cómo reacciona la industria argentina de los cigarrillos frente al estancamiento<br />
que, desde hace cinco años, afecta al consumo local.<br />
Referencias Si fuma No fuma<br />
¿USTED FUMA?<br />
Referencias: Si Fuma No Fuma<br />
41,8<br />
33,1<br />
58,2 66,9<br />
HOMBRES MUJERES<br />
Clarín, 22 de agosto de 1999.<br />
71
72<br />
P l a n S o c i a l E d u c a t i v o
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Claves de Corrección<br />
Actividad Nº1<br />
Se pueden armar dos paralelogramos, el rectángulo, dos triángulos y<br />
un romboide.<br />
El área de todas ellas es equivalente a la del rectángulo original, por<br />
lo tanto es de 12 cm 2<br />
73
74<br />
e<br />
f<br />
a<br />
El perímetro del rectángulo es de 14 cm.<br />
El de uno de los paralelogramos es de 16 cm y el del otro es de 18 cm<br />
El perímetro de los triángulos isósceles es de 18 cm en un caso y de<br />
16 cm en el otro. El perímetro del romboide es de 14 cm.<br />
Las superficies son todas equivalentes pero los perímetros no lo son.<br />
Hay figuras que tienen la misma superficie y el mismo perímetro<br />
pero distinta forma.<br />
Actividad Nº2<br />
En los cuatro casos las superficies son equivalentes, porque están<br />
armadas con las mismas piezas. Dado que el lado del cuadrado que<br />
se forma tiene 10 cm, su superficie es de 100 cm 2 , que como ya se<br />
dijo es la medida de la superficie de todas las figuras.<br />
b El perímetro del cuadrado es de 40 cm, el del rectángulo de 42,42<br />
cm, el del paralelogramo de 48,28 cm, y el del triángulo de 48,28 cm.
a<br />
c<br />
b<br />
Actividad Nº3<br />
En este caso dibujamos sólo una de los rectángulos posibles para<br />
cada medida.<br />
La relación que existe entre los lados de rectángulos que tienen<br />
igual superficie es de proporcionalidad inversa, porque al variar uno<br />
el otro necesariamente varía en la proporción inversa (doble-mitad,<br />
triple-tercio,etc). Lo que se mantiene constante es el producto entre<br />
los lados, es decir la superficie del rectángulo.<br />
lado 1 Lado 2<br />
1 cm<br />
2 cm<br />
4 cm<br />
5 cm<br />
10 cm<br />
20 cm<br />
20 cm<br />
10 cm<br />
5 cm<br />
4 cm<br />
2 cm<br />
1 cm<br />
Superficie Perímetro<br />
20 cm 2<br />
20 cm 2<br />
20 cm 2<br />
20 cm 2<br />
20 cm 2<br />
20 cm 2<br />
42 cm<br />
24 cm<br />
18 cm<br />
18 cm<br />
24 cm<br />
42 cm<br />
Los perímetros son diferentes, aunque los rectángulos tengan<br />
superficies equivalentes.<br />
75
76<br />
a<br />
b<br />
a<br />
perímetro<br />
superficie<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº4<br />
lado 1 Lado 2<br />
1 cm<br />
2 cm<br />
3 cm<br />
4 cm<br />
5cm<br />
A<br />
8 cm<br />
4 cm 2<br />
B<br />
8 cm<br />
3 cm 2<br />
9 cm<br />
8cm<br />
7 cm<br />
6 cm<br />
5 cm<br />
Superficie<br />
9 cm 2<br />
16 cm 2<br />
21 cm 2<br />
24 cm 2<br />
25 cm 2<br />
El cuadrado es el rectángulo de perímetro 20 cm y es el que posee<br />
mayor área.<br />
Actividad Nº5<br />
C D<br />
8 cm 12 cm<br />
2 cm 2<br />
9 cm 2<br />
E<br />
12 cm<br />
8 cm 2<br />
F<br />
12 cm<br />
7 cm 2<br />
El perímetro permanece constante pero el área va disminuyendo.<br />
La figura D con el mismo gasto en paredes que las otras (E y F)<br />
abarcaría una mayor superficie.<br />
La figura con menor área y mayor perímetro siguiendo esa<br />
secuencia sería<br />
Esta figura tiene 4 cm 2 de superficie y 16 cm de perímetro. Se puede<br />
observar que el perímetro no es sólo la medida del borde “externo" ,<br />
sino también el del otro borde. Piense que si tuviese que cercar este<br />
terreno tan particular debería rodear los cuatro cuadrados.
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº6<br />
El perímetro de cada terreno se calcula:<br />
Terreno A:<br />
Per (A) = 2 . largo + 2 . ancho<br />
Per (A) = 2 . 75 m + 2 . 25 m<br />
Per (A) = 150 m + 50 m<br />
Per (A) = 200 m<br />
Terreno B:<br />
Per (B) = 2 . largo + 2 . ancho<br />
Per (B) = 2 . 80 m + 2 . 20 m<br />
Per (B) = 160 m + 40 m<br />
Per (B) = 200 m<br />
Ambos terrenos tienen el mismo perímetro<br />
La superficie de cada terreno se calcula:<br />
Terreno A:<br />
Sup (A) = largo x ancho<br />
Sup (A) = 75 m x 25 m<br />
Sup (A) = 1875 m 2<br />
Terreno B:<br />
Sup (B) = largo x ancho<br />
Sup (B) = 80 m x 20 m<br />
Sup (B) = 1600 m 2<br />
Ambos terrenos tienen distinta superficie.<br />
Al considerar sólo las dimensiones es probable que usted haya<br />
elegido el primer terreno ya que ocupa mayor superficie pero el<br />
precio es el mismo. No obstante para la compra de un terreno se<br />
consideran otros aspectos. Podría suceder que los terrenos del<br />
primero se inundaran y los del segundo no. Podría tener muy difícil<br />
acceso, o estar muy alejado de centros comerciales. Depende de<br />
para qué lo quiera debería contemplar otras muchas variables.<br />
77
78<br />
Actividad Nº7<br />
Para calcular el perímetro del rectángulo es necesario conocer la<br />
medida de los lados. Sólo se tiene como dato uno de los lados. Pero<br />
se sabe que su superficie es equivalente a la de un cuadrado del que<br />
se puede calcular la superficie, por conocer la medida del lado. Si se<br />
halla la superficie del rectángulo se podrá entonces calcular el lado<br />
que falta para calcular el perímetro.<br />
Superficie del jardín cuadrado:<br />
(19,8 m ) 2 = 392,04 m 2<br />
Superficie del jardín rectangular = 392,04 m 2<br />
392,04 m 2 = 29,7 m x ? m<br />
En este caso se tiene una ecuación donde la incógnita está multiplicada<br />
por 29,7 m Por ello se dividen ambos miembros por ese valor,<br />
para poder simplificar en el segundo miembro y que el valor buscado<br />
quede despejado.<br />
392,04 m2 ______ = 29,7 ________<br />
m x X m<br />
29,7 m 29,7 m<br />
El lado desconocido del jardín rectangular se encuentra dividiendo<br />
la superficie por el lado conocido:<br />
392,04 m 2 : 29,7 m = X m<br />
392,04 m 2 : 29,7 m = 13,2 m<br />
Para calcular el perímetro de un rectángulo hay que sumar el doble<br />
de cada lado, pero es lo mismo que hallar el doble de la suma de los<br />
dos lados (que es el semiperímetro o la mitad del perímetro)<br />
Perímetro del jardín rectangular: 2 x ( 29,7 m + 13,2 m) = 85,8 m<br />
Perímetro del jardín cuadrado : 19,8 m x 4 = 79,2 m<br />
El perímetro del cuadrado se puede calcular multiplicando por 4 la<br />
medida de cada lado:<br />
Perímetro del cuadrado = 4 . l<br />
Perímetro del cuadrado = 4 . 19,8 m<br />
Perímetro del cuadrado = 79,2 m
a<br />
b<br />
a.1<br />
Actividad Nº8<br />
La superficie del cuadrado está en función del lado. Varía según el<br />
cuadrado del lado.<br />
En el Libro 3 se señaló que la función que representa esta relación es:<br />
Superficie del cuadrado = lado 2<br />
Por lo tanto la superficie del cuadrado es directamente proporcional<br />
al cuadrado del lado.<br />
Actividad Nº9<br />
Existen diversas posibilidades para calcular las superficies de las<br />
diferentes secciones de las estructuras de acero. Aquí le planteamos<br />
sólo algunas.<br />
Se tienen dos trapecios pequeños y dos más grandes.<br />
Se necesita saber cuánto mide la base menor del trapecio pequeño.<br />
Se encuentra restando a 8 cm que es la base mayor, dos veces 2 cm.<br />
Se obtiene así 4 cm.<br />
La superficie del trapecio más pequeño se calcula sumando las bases<br />
(en este caso 4cm y 8 cm), multiplicándolas por su altura (en este<br />
caso 2 cm) y dividiendo el resultado por 2.<br />
Superficie del trapecio pequeño =<br />
Superficie del trapecio pequeño =<br />
(B ________ + b) x H<br />
2<br />
_______________<br />
(8cm+4cm ) x 2 cm<br />
2<br />
Aquí se puede simplificar el 2 del numerador (porque está multiplicando)<br />
con el del denominador. Así el resultado será 12 cm 2 .<br />
Si se procede en forma similar con el otro trapecio se verá que sus bases<br />
miden 8 cm y 12 cm y que la altura también es de 2 cm. Por ello la<br />
de cada trapecio grande será de 20 cm 2 .<br />
Por estar la estructura formada por dos de los trapecios pequeños<br />
(de 12 cm 2 cada uno) y dos de los trapecios más grandes (de 20 cm 2<br />
cada uno) la estructura total tendrá 64 cm 2 .<br />
79
80<br />
a.2<br />
b<br />
Superficie total= 2 . sup. trapecio pequeño + 2 . sup. trapecio grande<br />
Superficie total= 2 x 12 cm 2 + 2 x 20 cm 2<br />
Superficie total= 24 cm 2 + 40 cm 2<br />
Superficie total= 64 cm 2<br />
Se tiene un rectángulo grande al que se le puede restar el más pequeño.<br />
Esta es más sencilla porque hay que calcular la superficie de dos<br />
rectángulos.<br />
Uno de ellos tiene 12 cm x 8 cm y el otro tiene 8 cm x 4 cm. Por lo<br />
tanto la superficie de uno será de 96 cm 2 y la del otro de 32 cm 2 , que<br />
restadas darán los 64 cm 2 .<br />
La superficie de la segunda figura se puede calcular de diferentes<br />
maneras según sean los rectángulos que se consideren.<br />
Pueden tenerse en cuenta los rectángulos.<br />
O también los rectángulos:<br />
Una tercera opción, esta vez para restar superficies es:
a<br />
Si se consideran los rectángulos de 15 cm x 5 cm y el de 4 cm x 7 cm<br />
Se tiene que la superficie del primer rectángulo es de 75 cm 2 y la del<br />
segundo es de 28 cm 2 . Por lo tanto la superficie total es de 103 cm 2<br />
Si se considera el segundo gráfico:<br />
El valor de la base del rectángulo de la izquierda se halla como diferencia<br />
entre la base de la figura (15 cm) y el lado que mide 7 cm. O<br />
sea que el rectángulo de la izquierda tendrá por superficie 40 cm 2<br />
pues 8 cm x 5 cm= 40 cm 2 .<br />
El rectángulo de la derecha tiene como base 7 cm y la altura se la puede<br />
obtener como la suma de 4 cm y 5 cm. Por lo que las dimensiones<br />
de este rectángulo son 7 cm y 9 cm. Su superficie será 63 cm 2<br />
La superficie total es entonces 40 cm 2 + 63 cm 2 = 103 cm 2 . Como ya<br />
se había obtenido con la otra descomposición de la figura.<br />
En la tercera de las opciones se puede restar a un rectángulo de 15 cm<br />
por 9 cm la superficie de un rectángulo de 4 cm por 8 cm. Por lo<br />
tanto será 135 cm 2 menos 32 cm 2 , con lo que también se halla el<br />
resultado buscado.<br />
Actividad Nº10<br />
Si el perímetro del cuadrado es de 36 cm significa que cada lado mide<br />
9 cm, porque al perímetro total (la suma de los cuatro lados iguales)<br />
se lo divide por 4 (cantidad de lados iguales). Por lo tanto la medida de<br />
su superficie será de 81 cm 2 , dado que la medida de la superficie se<br />
calcula elevando al cuadrado la medida del lado.<br />
Para calcular la medida de la superficie de un paralelogramo tiene que<br />
multiplicarse la base por su altura. Si se conoce la superficie que es de<br />
81 cm2 , y la base mide 6 cm se puede plantear una ecuación donde la<br />
incógnita será la longitud de la altura (h).<br />
Superficie del paralelogramo = base x altura<br />
81 cm2 b<br />
= 6 cm x h<br />
Basta con dividir ambos miembros por 6 cm para poder simplificar<br />
en el segundo miembro. 81 cm =<br />
y quedará: = h<br />
2<br />
_____<br />
6 cm<br />
81 cm2 _______<br />
6 cm x h<br />
6 cm<br />
_____<br />
6 cm<br />
H = 13,5 cm<br />
81
82<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº<strong>11</strong><br />
Ambas figuras tienen dos lados de 7 cm y dos lados de 5 cm. Por lo<br />
tanto el perímetro de ambas es de 24 cm.<br />
La superficie del rectángulo será mayor porque la altura del paralelogramo<br />
tiene una longitud menor que la del rectángulo.<br />
La base del paralelogramo es de 7 cm y la altura es de 4 cm según el<br />
gráfico. Por lo tanto la superficie es de 28 cm 2<br />
En el caso del rectángulo la base es de 7 cm y la altura de 5 cm, por lo<br />
tanto la superficie es de 35 cm 2<br />
Actividad Nº12
Aquí se muestran sólo algunas de las posibles construcciones.<br />
Depende de la que usted haya hecho el valor de la superficie. En<br />
todos los casos el volumen será de 27 unidades cúbicas.<br />
Actividad Nº13<br />
Todos los volúmenes son equivalentes. Si se considera como unidad<br />
al volumen de un cubo, en todos los casos el volumen será de 8<br />
unidades cúbicas (u 3 )<br />
Actividad Nº14<br />
En todos los casos la medida de la superficie total es de 52 unidades<br />
cuadradas mientras que en cada uno cambia la medida del volumen.<br />
El cuerpo A mide 23 u 3 , el cuerpo B mide 22 u 3 y el C 21 u 3 .<br />
83
84<br />
a<br />
b<br />
a<br />
largo en dm<br />
1 dm<br />
2 dm<br />
4 dm<br />
16 dm<br />
32 dm<br />
64 dm<br />
16 dm<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº15<br />
a Los valores corresponden a los cuadrados y a los cubos de los<br />
números de la primera columna.<br />
b El volumen del cubo puede calcularse elevando al cubo la medida<br />
de la arista, por lo tanto su expresión general será:<br />
V = a 3<br />
En esta función queda explícito que el volumen del cubo es directamente<br />
proporcional al cubo de la arista.<br />
Actividad Nº16<br />
ancho en dm<br />
8 dm<br />
4 dm<br />
4 dm<br />
2 dm<br />
2 dm<br />
1 dm<br />
4 dm<br />
alto en dm<br />
8 dm<br />
8 dm<br />
4 dm<br />
2 dm<br />
1 dm<br />
1 dm<br />
1 dm<br />
volumen en dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
64 dm 3<br />
superficie en dm 2<br />
160 dm 2<br />
<strong>11</strong>2 dm 2<br />
96 dm 2<br />
136 dm 2<br />
196 dm 2<br />
258 dm 2<br />
168 dm 2<br />
La caja cuyas dimensiones son 4 dm x 4 dm x 4 dm (es decir, una<br />
caja cúbica).<br />
La que permite construir un cubo porque necesitaría menor cantidad<br />
de chapa.<br />
Actividad Nº17<br />
Al ser los cubos de un mismo material y macizos el equilibrio de los<br />
pesos implica el equilibrio de los volúmenes.<br />
En todos los casos el volumen a calcular corresponde a cubos, por lo<br />
tanto habrá que elevar al cubo las aristas correspondientes (puede<br />
ayudarse con la tabla de cubos del Libro 3 o usar la calculadora).
a<br />
b<br />
Así se tiene que el cubo de 6 m de arista tiene un volumen de 216 cm 3 ,<br />
el de 8 cm tiene 512 cm 3 , el 10 cm tiene 1000 cm 3 y el de 12 cm tiene<br />
1728 cm 3 de volumen.<br />
El volumen del último cubo es de 1728 cm 3 , que equivale a la suma de<br />
216 cm 3 , 512 cm 3 y 1000 cm 3 .<br />
Habría que poner juntos los cubos cuyas aristas miden 6 cm; 8 cm y<br />
10 cm mientras que el cubo más grande habría que colocarlo en el<br />
otro platillo de la balanza para obtener el equilibrio.<br />
Actividad Nº18<br />
Para calcular la superficie cubierta con pasto hay que restarle a la superficie<br />
del cuadrado la superficie del círculo.<br />
En este caso si el perímetro del cuadrado es de 400 cm significa que<br />
cada lado de la plaza mide 100 cm. Por lo tanto la superficie del cuadrado<br />
será de 100 m 2 , o sea 10.000 cm 2 .<br />
La longitud del diámetro del círculo es igual a la longitud del lado del<br />
cuadrado, por lo tanto su radio será la mitad de 100 cm, es decir 50 cm.<br />
Conocido el radio se puede calcular la superficie del círculo multiplicando<br />
su cuadrado por el número PI. Así se obtiene que la superficie<br />
del cuadrado es de 7850 cm 2 .<br />
Como la superficie a cubrir de pasto es la diferencia entre las dos superficies<br />
calculadas, bastará con restar a los 10.000 cm 2 del cuadrado los<br />
7850 cm 2 del círculo. Por lo tanto la superficie buscada es de 2150 cm 2 .<br />
La superficie de cada círculo se puede obtener conociendo el radio.<br />
Como cada diámetro es la mitad del lado del cuadrado, sus radios<br />
serán la cuarta parte de dicho lado. O sea que cada radio tiene 25 cm.<br />
La superficie de cada círculo pequeño es de 1962.5 cm 2 , porque 25 al<br />
cuadrado es 625 y a este resultado hay que multiplicarlo por π, que<br />
se lo considera con dos decimales de aproximación, o sea 3,14.<br />
85
86<br />
a<br />
b<br />
Como hay cuatro círculos iguales bastará con multiplicar por cuatro<br />
la superficie hallada para uno de ellos. Así se obtiene que la<br />
superficie que deberían cubrir las flores es de 7850 cm 2 , que es la<br />
misma que la hallada anteriormente. Por lo tanto en cualquiera de<br />
los dos casos la superficie de pasto sería equivalente.<br />
Actividad Nº19<br />
Si la superficie es de una hectárea y el terreno tiene forma de<br />
cuadrado, entonces cada lado mide 100 m de largo. Por lo tanto su<br />
perímetro será de 400 m.<br />
Los tres campos posibles son:<br />
En cualquiera de los tres casos se tiene que calcular la superficie del<br />
rectángulo, que no variará para cualquiera de las dos posibilidades, y<br />
sumarle la superficie del triángulo.<br />
La superficie del rectángulo se obtiene multiplicando las medidas de<br />
los lados, por lo tanto será de 2.000 m 2 .<br />
A partir de ahora consideraremos las dos primeras figuras. Si usted<br />
quiere encontrar la tercera consulte con su docente.<br />
En cualquier triángulo rectángulo un lado del ángulo recto es la altura<br />
correspondiente al otro. Por lo tanto, en los triángulos isósceles<br />
que consideramos se tiene como datos un lado y su correspondiente<br />
altura. En este caso la altura y el lado del triángulo son iguales.<br />
Dado que la superficie del triángulo es<br />
Sup. del triángulo =<br />
Base _________<br />
x altura<br />
2
En el caso del triángulo rectángulo en el que uno de los lados coincide<br />
con el lado menor del rectángulo, o sea el que mide 40 m , se tendrá:<br />
Sup. del triángulo =<br />
Sup. del triángulo = 800 m2 __________<br />
40 m x 40 m<br />
2<br />
Si a este valor se le suma la superficie del rectángulo (2.000 m2) se<br />
tiene que el campo medirá 2800 m 2<br />
Si se considera el triángulo rectángulo cuyos lados iguales miden 50<br />
m entonces la superficie será:<br />
Sup. del triángulo =<br />
Sup. del triángulo = 1250 m2 __________<br />
50 m x 50 m<br />
2<br />
En este caso la superficie total del terreno será de 3.250 m 2 .<br />
Actividad Nº20<br />
Para poder analizar mejor el problema conviene hacer una figura de<br />
análisis:<br />
La superficie total será la suma de las superficies de los dos semicírculos<br />
y del trapecio. Por lo tanto hay que calcular cada una de ellas.<br />
Debe tenerse en cuenta que las bases del trapecio se corresponden<br />
con el diámetro de los círculos, o sea que hay que dividirlos por dos<br />
para calcular los radios.<br />
87
88<br />
Superficie del círculo= π . R 2<br />
Por lo tanto la superficie del semicírculo será:<br />
Superficie del semicírculo =<br />
Superficie del semicírculo 1 =<br />
Superficie del semicírculo 1 =<br />
Superficie del semicírculo 1 = 157 cm2 π . R2 ____<br />
2<br />
π . (10 cm) 2<br />
_________<br />
2<br />
π . 100 cm2 _________<br />
2<br />
Superficie del semicírculo 2 =<br />
Superficie del semicírculo 2 = 76.93 cm2 π . (7 cm) 2<br />
________<br />
2<br />
La superficie del trapecio es:<br />
Sup. del trapecio =<br />
Sup. del trapecio =<br />
Sup. del trapecio= 204 cm2 (B _______ + b ). h<br />
2<br />
__________________<br />
(20 cm +14 cm). 12 cm<br />
2<br />
Por lo tanto la superficie total de la figura es de 437.93 cm 2 .<br />
Para ver el mínimo tamaño de la cartulina en la que se la dibujará hay<br />
que considerar que entren las longitudes totales de ancho y largo. Es<br />
decir se inscribe la figura en un rectángulo:<br />
Como se puede observar el ancho será el del diámetro del círculo mayor<br />
(o sea la base mayor del trapecio) y la otra medida es la suma de la altura<br />
del trapecio y de los dos radios de los círculos. Por lo tanto el ancho será<br />
de 20 cm y el largo de la cartulina deberá ser de 29 cm.
a<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
Actividad Nº21<br />
Existe relación de proporcionalidad directa entre los lados respectivos<br />
de los triángulos considerados porque hay una constante de<br />
proporcionalidad que es la razón de semejanza.<br />
Consulte su respuesta con su docente.<br />
Actividad Nº22<br />
Cada ángulo de la primera figura tiene un ángulo respectivo en la<br />
segunda que es igual.<br />
Consulte con su docente su respuesta<br />
Los resultados dependerán de las mediciones que usted haya hecho,<br />
sin embargo si están relativamente bien medidos serán todos aproximadamente<br />
a __<br />
1 o 0,33.<br />
3<br />
Actividad Nº23<br />
La segunda figura será el cuádruple de la primera.<br />
Es una reducción, por lo tanto la segunda será la mitad de la primera<br />
figura.<br />
Si la razón es 1 significa que los lados son iguales, por lo tanto las<br />
figuras también lo son.<br />
Actividad Nº24<br />
La escala indicada expresa que por cada 1 cm dibujado la distancia<br />
real es de 400.000 cm. Por lo tanto si se tienen 4 cm se tendrán<br />
1.600.000 cm reales, que se puede expresar como 1,6 x 10 6 cm. Sin<br />
89
90<br />
b<br />
c<br />
embargo distancias tan grandes no suelen expresarse en cm sino en m<br />
o km. Si se lo expresa en metros se tendrá 1,6 x 10 4 m. Si se lo expresa<br />
en kilómetros no se justifica utilizar notación científica pues es 16<br />
km (1,6x 10 1 ).<br />
Cada una de las medidas reales deberá ser divida por 72.<br />
Por cada cm representado hay 200.000 m reales, que es lo mismo<br />
que decir 200 km, por lo tanto<br />
200 km ...............1 cm<br />
360 km ............... x<br />
Como se trata de escala es una proporcionalidad directa:<br />
X =<br />
360 km . 1 cm<br />
200 km<br />
X= 1,8 cm<br />
_____________<br />
Actividad Nº25<br />
Tal como se vio en la primera parte de este libro, al duplicar el lado<br />
de un cuadrado lo que sucede con la superficie de la figura es que se<br />
cuadruplica. Por lo tanto si se duplicara cada lado de la fotocopia la<br />
superficie de la figura estaría cuadruplicada. Y si se redujera cada lado<br />
a su mitad la superficie sería la cuarta parte, o sea un 25% de la<br />
superficie original. Recuerde que la relación de proporcionalidad<br />
que se da es inversa.<br />
El cliente solicitó el 50% de la superficie y recibió el 25% de la misma.<br />
A esto se debió su enojo.<br />
El comerciante interpretó, como siempre lo hacen en ese tipo de comercio,<br />
el 50% de los lados y de la diagonal. Como usted sabe así se<br />
obtiene el 50% del perímetro pero no el 50 % de la superficie.
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº26<br />
Consulte su respuesta con el docente.<br />
En este caso conviene hacer una figura de análisis.<br />
La distancia desde el observador hasta el edificio es de 60 m. La distancia<br />
del mismo observador hasta un poste cuya altura es de 2 m<br />
es igual a 5 m. Tanto el poste como el edificio están en la misma línea<br />
de observación y el observador mira al ras del suelo.<br />
En este caso por ser la misma línea de observación el ángulo de los<br />
triángulos que se forman es el mismo. Por lo tanto los tres ángulos<br />
respectivos de los dos triángulos son iguales ( el tercero lo es porque<br />
uno de cada uno de ellos es recto) La relación que se da entre dos de<br />
los lados tiene que tener la misma razón de semejanza que los otros<br />
dos, por lo tanto:<br />
se calculó la razón de semejanza considerando el cociente entre la<br />
distancia al edificio (60 m) y la distancia al poste (5 m). La razón es<br />
12, por lo tanto a 2 m que es la altura del árbol habrá que multiplicarla<br />
por 12. El edificio tiene una altura de 24 m.<br />
Si la fotografía redujo a la quinta parte la altura de cada persona<br />
entonces a las alturas que están representadas en las fotos hay que<br />
multiplicarlas por 5. Por lo tanto una persona tendrá 180 cm que es<br />
91
92<br />
d<br />
e<br />
a<br />
lo mismo que decir 1.80 m y la otra 182,5 cm. En general las alturas<br />
de las personas se expresan en metros y con una precisión no menor<br />
a los centímetros por lo tanto si se redondea se dirá que la persona<br />
mide 1,83 m. Si lo necesita recuerde que redondeo puede repasarlo<br />
en el Libro 4.<br />
Las longitudes de los lados del plano serán de 4, 5 y 7 cm respectivamente,<br />
pues cada cm representa 100 cm que equivale a decir que<br />
1 cm representa 1m.<br />
Por tratarse de una foto, que es una representación a escala de la<br />
realidad, las figuras que se forman, por ser semejantes, tendrán los<br />
lados respectivos directamente proporcionales. Es decir que existe<br />
una razón de semejanza que es la escala que tiene la representación.<br />
En este caso para hallarla se divide la longitud real del dinosaurio<br />
más grande (36 m = 3600 cm) por su representación en la<br />
foto (<strong>11</strong>,5 cm). La razón de semejanza es de 313.<br />
Es decir por cada centímetro se indican 3.13 m. Así la longitud del<br />
dinosaurio más pequeño es de 20.35 m, que se obtiene de multiplicar<br />
la razón de semejanza por la longitud representada en la foto.<br />
Actividad Nº27<br />
Por tratarse de triángulos rectángulos ya se conoce el valor de un<br />
ángulo. Si usted elige previamente la longitud de dos de los lados<br />
solo podrá dibujar un triángulo rectángulo, pues con estos datos el<br />
tercer lado ya queda determinado.<br />
No importa si la longitud de los lados que eligió son los dos que corresponden<br />
a los lados del ángulo recto , o es el lado opuesto y uno<br />
de los lados del ángulo recto.
a<br />
b<br />
Actividad Nº28<br />
Si hay que representar 1m dibujando una longitud de 1cm, entonces<br />
la escala que se le propone es de 1cm : 1m.<br />
La hipotenusa mide 5 cm. Por lo tanto la longitud de la escalera será de 5 m.<br />
La razón de semejanza es la escala utilizada, expresada las longitudes<br />
en las mismas unidades. En este caso: 1 cm: 100 cm, lo que equivale<br />
a decir que la razón de semejanza será 1/100, o sea 0,01.<br />
Actividad Nº29<br />
En este caso como en el anterior usted no está haciendo una figura<br />
de análisis. Está dibujando en escala para poder medir una longitud<br />
que desconoce.<br />
Los 12 m de la antena se transformarán en 12 cm en el dibujo y los<br />
5 m de distancia entre el pie de la antena y el borde de la terraza en<br />
5 cm. Por lo tanto el dibujo queda:<br />
93
94<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
La hipotenusa mide aproximadamente 13 cm. Por lo tanto la longitud<br />
del acero será de 13 m considerando que en la escala utilizada<br />
1 cm representa 1 m.<br />
Actividad Nº30<br />
El tamaño del dibujo depende de la escala que usted haya elegido.<br />
La longitud del sendero dibujada dependerá de la escala, pero la del<br />
sendero real será de 150 m.<br />
Para mayor seguridad sobre sus respuestas le sugerimos consultar la<br />
respuesta con su docente.<br />
Actividad Nº31<br />
Los catetos del triángulo miden 5 m y 12 m. Se pide calcular:<br />
c1 2 +c2 2 = x<br />
En este caso:<br />
(5m) 2 + (12 m) 2 = 25 m 2 +144 m 2 = 169 m 2<br />
Si se eleva al cuadrado la hipotenusa calculada por medición (13 m)<br />
también se obtiene 169 m 2 .<br />
Para las medidas de los bordes de la plaza y el sendero se realizará el<br />
mismo procedimiento solicitado, en este caso las medidas corresponden<br />
a 90 m y a 120 m.<br />
(90 m) 2 + (120 m) 2 = 8.100 m 2 +14.400 m 2 = 22.500 m 2 , que coincide<br />
con (150 m) 2<br />
Observe que las medidas de cada cateto se las coloca entre paréntesis<br />
porque también a la unidad hay que elevarla al cuadrado.
a<br />
b<br />
Actividad Nº32<br />
En este caso se conoce la longitud de la hipotenusa y uno de los catetos.<br />
Por ello se puede plantear una ecuación donde la incógnita<br />
sea el otro cateto.<br />
SI hipotenusa2 = cateto12 + cateto22 (16 m) 2 = (6 m) 2 + cateto22 Para despejar la incógnita hay que restar (6 m) 2 a ambos miembros<br />
para que se pueda cancelar los (6 m) 2 que están sumando con los<br />
que están restando y se mantenga la relación de igualdad.<br />
(16 m) 2 - (6 m) 2 = (6 m) 2 + cateto2 2 - (6 m) 2<br />
(16 m) 2 - (6 m) 2 = cateto2 2<br />
Con lo cual para obtener el cuadrado de un cateto tendrá que elevar<br />
al cuadrado la medida de la hipotenusa y restarle el cuadrado del<br />
otro cateto. En este caso:<br />
256 cm2 - 36 cm2 = cateto22 220 cm2 = cateto22 Por lo tanto se tiene que hallar la raíz cuadrada del número 220 porque<br />
ese será el número que elevado al cuadrado tenga por resultado<br />
220. Como usted ya sabe hay dos resultados posibles, uno positivo y<br />
el otro negativo, pero como se está trabajando con longitudes sólo<br />
se considerará el resultado positivo:<br />
Cateto2 = 220 cm2 Cateto 2= 14.83 cm<br />
Ya se analizó en el item anterior que para calcular un cateto hay que<br />
obtener la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la<br />
hipotenusa (h) y el cuadrado del otro cateto (c). En este caso será:<br />
X = h<br />
X = <br />
X = <br />
X = <br />
X = 8 m<br />
2 - c2 (17 m) 2 - (15 m) 2<br />
289 m2 - 225 m2 64 m2 95
96<br />
c En este caso se quiere calcular la longitud de la hipotenusa. Por lo<br />
tanto:<br />
h2 = c12 + c22 h2 = (70 cm) 2 + (90 cm) 2<br />
h2 = 4900 cm2 + 8100 cm2 h2 = 13000 cm2 h = 13000 cm<br />
h = <strong>11</strong>4,02 cm<br />
2<br />
d<br />
M<br />
Cada barra mide <strong>11</strong>4,02 cm<br />
__ __ __<br />
Como NQ<br />
__<br />
mide<br />
__<br />
7 cm y OQ mide 4 cm se deduce<br />
__<br />
que NO mide 3 cm.<br />
Además MO y OP miden 3 cm cada uno pues MP es cortado en partes<br />
__<br />
iguales por la diagonal mayor NQ. Entonces<br />
__<br />
utilizando el Teorema de<br />
__<br />
Pitágoras se pueden hallar los lados MN y NP<br />
___ __<br />
MN = NP = (3 cm) = <br />
2 + (3 cm) 2 18 cm2 ≈ 4,24 cm<br />
Luego también utilizando el Teorema de Pitágoras se puede calcular<br />
___ __<br />
la medida de los lados MQ y PQ.<br />
M<br />
N<br />
Q<br />
___<br />
MQ = PQ = (3 cm) = <br />
2 + (4 cm) 2 25 cm2 __<br />
= 5 cm<br />
Finalmente el perímetro del romboide MNPQ se halla así<br />
2 x (4,24 cm+ 5 cm) = 18,48 cm<br />
P<br />
P
e<br />
O también se podría hallar<br />
2 x 4,24 cm + 2 cm x 5 cm = 8,48cm + 10 cm = 18,48 cm<br />
El perímetro del romboide es aproximadamente 18,48 cm.<br />
Para calcular el perímetro es necesario conocer la medida de la<br />
diagonal del cuadrado que es la hipotenusa de un triángulo<br />
rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm. Por lo tanto<br />
habrá que calcular la raíz cuadrada de 200 cm 2 que es 14,14 cm.<br />
Actividad Nº33<br />
Cualquier par de números se los representará con las letras a y b. Se<br />
usan dos letras distintas para indicar que son dos números diferentes<br />
(aunque en algún caso particular puedan ser iguales). Si el exponente<br />
puede tomar cualquier valor deberá ser simbolizado con otra<br />
letra, por ejemplo n.<br />
Por lo tanto la expresión quedará<br />
an + bn = (a + b) n<br />
/<br />
Actividad Nº34<br />
El cuadrado de una suma de dos términos, es igual al cuadrado del<br />
primer término más el cuadrado del segundo más el doble producto<br />
del primer término por el segundo.<br />
97
ANEXO I<br />
Papel cuadriculado de 1 cm de lado<br />
<strong>Matemática</strong> 6
ANEXO I<br />
Papel cuadriculado de 1 cm de lado<br />
<strong>Matemática</strong> 6
ANEXO I<br />
Papel cuadriculado de 1 cm de lado<br />
<strong>Matemática</strong> 6
ANEXO I<br />
Papel cuadriculado de 1 cm de lado<br />
<strong>Matemática</strong> 6
ANEXO II<br />
Panal de abeja. Desarrollo.<br />
<strong>Matemática</strong> 6
ANEXO III<br />
Desarrollo de cubos.<br />
<strong>Matemática</strong> 6
ANEXO III<br />
Desarrollo de cubos.<br />
<strong>Matemática</strong> 6
Material de distribución gratuita