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Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

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Aritmética Elemental: <strong>Una</strong><br />

introducción (<strong>otra</strong> más)<br />

Sergio Plaza 1<br />

1 Depto. <strong>de</strong> <strong>Matemática</strong>, Facultad <strong>de</strong> Ciencias, Universidad <strong>de</strong> Santiago <strong>de</strong><br />

Chile, Casilla 307–Correo 2. Santiago, Chile. e–mail splaza@lauca.usach.cl,<br />

Homepage http://lauca.usach.cl/˜splaza


Versión preliminar, en progreso. Se agra<strong>de</strong>cen los comentarios,<br />

correcciones, indicaciones, ...<br />

i


Contenidos<br />

1 Divisibilidad 1<br />

1.1 Principio <strong>de</strong> Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />

1.2 Proble<strong>mas</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />

1.3 Descenso Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

1.4 Divisibilidad en los números enteros . . . . . . . . . . . . 9<br />

1.5 Algoritmo <strong>de</strong> la División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />

1.6 Máximo Común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />

1.7 Algoritmo para calcular el máximo común divisor . . . . 25<br />

1.7.1 Método <strong>de</strong> Blankinship . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />

1.7.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />

1.8 Números coprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

1.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />

1.9 Mínimo Común Múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />

1.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />

2 Números primos 37<br />

2.0.2 Algoritmo para <strong>de</strong>terminar si un número entero<br />

dado es primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />

iii


iv<br />

2.0.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />

2.1 Postulado <strong>de</strong> Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />

2.2 Números <strong>de</strong> Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />

2.3 Números <strong>de</strong> Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />

2.4 Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />

2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />

2.4.2 Algunos comentarios sobre la distribución <strong>de</strong> los<br />

números primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />

2.5 Lista <strong>de</strong> los primeros 1000 números primos . . . . . . . . 83<br />

3 Ecuaciones diofántinas 89<br />

3.1 Proble<strong>mas</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />

3.2 Curiosida<strong>de</strong>s Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />

4 Congruencias 113<br />

4.1 Número <strong>de</strong> pasos en el algoritmo <strong>de</strong> la división . . . . . . 122<br />

4.2 Pequeño Teorema <strong>de</strong> Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />

4.3 Test <strong>de</strong> Primalidad Probabilístico . . . . . . . . . . . . . 124<br />

4.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />

4.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />

4.5 Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />

4.6 Teorema <strong>de</strong> Fermat <strong>de</strong> los dos cuadrados . . . . . . . . . . 141<br />

4.6.1 Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> un Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />

4.7 Raíces Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />

4.8 Números <strong>de</strong> Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />

4.9 Teorema chino <strong>de</strong> los restos . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />

4.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156<br />

4.10 Ecuaciones <strong>de</strong> Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


4.11 Ternas Pitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />

4.11.1 Ecuación <strong>de</strong> Fermat para n = 4 . . . . . . . . . . 163<br />

4.12 Ultimo Teorema <strong>de</strong> Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br />

4.13 Teorema <strong>de</strong> Wilson y Teorema <strong>de</strong> Fermat . . . . . . . . . 173<br />

4.14 <strong>Matemática</strong>s e Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />

4.15 Función σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178<br />

4.16 La Función <strong>de</strong> Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br />

4.17 Números Perfectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190<br />

4.18 Proble<strong>mas</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<br />

5 Funciones aritméticas y sucesiones 203<br />

5.1 Función σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br />

5.2 Función φ <strong>de</strong> Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206<br />

5.3 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210<br />

5.4 Proble<strong>mas</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212<br />

6 Representaciones Numéricas y Aproximaciones 215<br />

6.1 Representación <strong>de</strong>cimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215<br />

6.2 Representación en base p, p > 1 . . . . . . . . . . . . . . 223<br />

6.2.1 Representación Binaria . . . . . . . . . . . . . . . 224<br />

6.2.2 Representación triádica . . . . . . . . . . . . . . . 225<br />

6.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228<br />

6.4 e es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232<br />

6.5 Conjunto <strong>de</strong> Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233<br />

6.5.1 Longitud <strong>de</strong>l Conjunto <strong>de</strong> Cantor . . . . . . . . . 234<br />

6.6 k–Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236<br />

6.6.1 Triángulo <strong>de</strong> Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . 238<br />

6.6.2 Triángulo <strong>de</strong> Sierpinski y expansión en base 2 . . . 240<br />

v


vi<br />

6.7 Proble<strong>mas</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241<br />

7 Fracciones continuadas 243<br />

7.1 Fracciones Continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247<br />

7.2 Aplicación <strong>de</strong> Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258<br />

7.3 Aproximaciones racionales por fracciones continuadas . . 260<br />

7.4 Fracciones Continuas y Geometría . . . . . . . . . . . . . 266<br />

7.5 Ecuaciones <strong>de</strong> Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267<br />

8 Proble<strong>mas</strong> resueltos 271<br />

8.1 Proble<strong>mas</strong> Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278<br />

9 Proble<strong>mas</strong> Clásicos No Resueltos 279


Capítulo 1<br />

Divisibilidad<br />

En lo que sigue suponemos que el lector está familiarizado con los<br />

números naturales, N, y los números enteros, Z. También asumire-<br />

mos conocidas las operatorias <strong>de</strong> suma y producto en estos conjuntos.<br />

Denotaremos muchas veces el producto <strong>de</strong> dos números a y b por ab,<br />

en vez <strong>de</strong> a·b. A<strong>de</strong>más, suponemos conocidas las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n<br />

“” en los números enteros.<br />

Como toda historia tiene un comienzo y todo libro está basado en<br />

algún principio, nosotros nos basaremos en el siguiente principio.<br />

Principio <strong>de</strong> la Buena Or<strong>de</strong>nación (P.B.O.) Todo subconjunto no<br />

vacío S <strong>de</strong> los números enteros no negativos (enteros mayores o iguales<br />

que cero) posee un menor elemento.<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, existe un elemento q en S tal que q s para<br />

todo elemento s en S.<br />

En matemáticas los principios no se <strong>de</strong>muestran, su vali<strong>de</strong>z se acepta<br />

sin discusión. Por <strong>otra</strong> parte, los teore<strong>mas</strong> <strong>de</strong>ben ser <strong>de</strong>mostrados y<br />

para <strong>de</strong>sarrollar una <strong>de</strong>mostración se pue<strong>de</strong>n usar <strong>de</strong>finiciones, resulta-<br />

1


2 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

dos previamente <strong>de</strong>mostrados y principios. En este capítulo el único<br />

principio supuesto será el P.B.O.<br />

Como aplicación <strong>de</strong>l P.B.O. veamos la irracionalidad <strong>de</strong> √ 2.<br />

Ejemplo 1.1 El número √ 2 es irracional.<br />

En efecto, Supongamos contrariamente que √ 2 es unnúmeroracional,<br />

digamos √ 2 = a/b, con ay b enteros, los cuales po<strong>de</strong>mos suponer son<br />

positivos, con b = 0. Tenemos entonces que a = b √ 2 es un entero<br />

positivo y po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir el conjunto<br />

S = {n √ 2 : con n y n √ 2 enteros positivos}.<br />

Es claro que S es no vacío pues b √ 2 ∈ S. Por el P.B.O., S tiene un<br />

menor elemento, digamos, j = k √ 2.<br />

Como √ 2−1 > 0, se sigue que j( √ 2−1) = j √ 2−j = j √ 2−k √ 2 =<br />

(j−k) √ 2 es un entero, por ser diferencia <strong>de</strong> dos enteros. Por <strong>otra</strong> parte,<br />

como 2 < 2 √ 2 vemos que 2− √ 2 < √ 2, y como j = k √ 2 se tiene que<br />

j √ 2 = 2k. De esto,<br />

(j −k) √ 2 = j √ 2−k √ 2 = 2k −k √ 2 = k(2− √ 2) < k √ 2 = j,<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> (j−k) √ 2 es un entero positivo que pertenece a S y es menor<br />

que j. Esto contradice la elección <strong>de</strong> j como el menor entero positivo<br />

en S.<br />

Comentario. Hay muchas maneras <strong>de</strong> probar que √ 2 es irracional.<br />

<strong>Una</strong> <strong>de</strong> ella, las más divulgada y más directa, es la siguiente. Igual que<br />

antes supongamos que √ 2 = a/b con a, b enteros sin factores comunes<br />

y b = 0. Elevando al cuadrado se obtiene 2b 2 = a 2 . Por lo tanto 2


Sergio Plaza 3<br />

divi<strong>de</strong> a a 2 , y se sigue que 2 divi<strong>de</strong> a a, por lo que concluímos que a<br />

<strong>de</strong>beserunnúmeropar, digamos a = 2h, don<strong>de</strong> h es unnúmeroentero,<br />

elevando al cuadrado esa igualdad nos queda a 2 = 4h 2 . Reemplazando<br />

este valor en la igualdad 2b 2 = a 2 , se obtiene b 2 = 2h 2 , <strong>de</strong> lo cual<br />

<strong>de</strong>ducimos que 2 divi<strong>de</strong> a b 2 y como antes vemos que 2 divi<strong>de</strong> a b, lo<br />

cual es una contradicción con el hecho <strong>de</strong> que a,b no tenían divisores<br />

comunes.<br />

Ejemplo 1.2 El cuadrado <strong>de</strong> un número entero es <strong>de</strong> la forma 8n,<br />

8n+1 u 8n+4.<br />

Solución. Sea z un número entero, entonces z pue<strong>de</strong> ser par o impar.<br />

Probaremos que en cada uno <strong>de</strong> estos casos se tiene lo pedido.<br />

Primer caso z par.<br />

Sea z = 2k con k un número entero. Luego z 2 = 4k 2 . Para k 2 hay<br />

dos posibilida<strong>de</strong>s, que sea par o impar.<br />

1. Si k 2 es par entonces k 2 = 2p, don<strong>de</strong> p es un entero, y por lo<br />

tanto z 2 = 4k 2 = 8p, cumpliéndose lo pedido.<br />

2. Si k 2 es impar entonces k 2 = 2q + 1, don<strong>de</strong> q es un número<br />

entero. Luego z 2 = 4k 2 = 4(2q + 1) = 8q + 4, obteniéndose lo<br />

pedido.<br />

Segundo caso z impar.<br />

En este caso z = 2r +1, con r un número entero. Desarrollando el<br />

cuadrado <strong>de</strong>l binomio se obtiene que z 2 = 4(r 2 +r)+1 = 4r(r+1)+1.<br />

Puestoqueelproducto<strong>de</strong>dosnúmerosenterosconsecutivosessiempre<br />

par (excluyendo el caso cero) se concluye que r(r+1) = 2m para algún<br />

número entero m, obteniéndose que z 2 = 8m+1.


4 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

A continuación probaremos el siguiente resultado, que se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong>l<br />

Principio <strong>de</strong> la Buena Or<strong>de</strong>nación.<br />

Teorema 1.1 (Propiedad Arquimediana) 1 Si a y b son números en-<br />

teros positivos, entonces existe un número entero positivo n tal que<br />

na b.<br />

Demostración. Supongamos que no existe tal entero positivo n, esto<br />

significa que na < b para todo entero positivo n. Nótese que a y b<br />

son números enteros positivos dados y fijos. Construyamos el conjunto<br />

S siguiente<br />

S = {b−na : n ∈ Z,n > 0} = {b−a,b−2a,...}.<br />

1 Arquíme<strong>de</strong>s. Nació 287 AC en Siracusa, Sicilia, Italia. Falleció : 212 AC en<br />

Siracusa, Sicilia. Las mayores contribuciones <strong>de</strong> Arquíme<strong>de</strong>s fueron en geometría.<br />

Sus métodos anticipados <strong>de</strong> cálculo integral 2.000 años antes <strong>de</strong> Newton y Leibniz.<br />

Arquíme<strong>de</strong>s era un nativo <strong>de</strong> Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo<br />

enseguida a su patria. Dedicó su genio a la Geometría, Mecánica, Física e Ingeniería.<br />

Su geometría es una geometría <strong>de</strong> la medida. Efectúa cuadraturas <strong>de</strong> superficies<br />

planas y curvas. Escribió varias obras las cuales se han or<strong>de</strong>nado según la época<br />

en que fueron escritas: 1. Esfera y cilindro. 2. Medida <strong>de</strong>l círculo. 3. Gnoi<strong>de</strong>s y<br />

esferoi<strong>de</strong>s. 4. Espirales. 5. Equilibrio <strong>de</strong> los planos y sus centros <strong>de</strong> gravedad. 6.<br />

Cuadratura <strong>de</strong> la parábola. 7. El arenario. 8. Cuerpos flotantes. 9. Los le<strong>mas</strong>. 10.<br />

El método. Arquíme<strong>de</strong>s <strong>de</strong>mostró que la superficie <strong>de</strong> una esfera es cuatro veces la<br />

<strong>de</strong> uno <strong>de</strong> sus círculos máximos. Calculó áreas <strong>de</strong> zonas esféricas y el volumen <strong>de</strong><br />

segmentos <strong>de</strong> una esfera. Demostró que “El área <strong>de</strong> un casquete esférico es igual a la<br />

superficie <strong>de</strong> un círculo que tiene por radio la recta que une el centro <strong>de</strong>l casquete con<br />

punto <strong>de</strong> la circunferencia basal”. El problema al cual le atribuía gran importancia<br />

era el <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que “El volumen <strong>de</strong> una esfera inscrita en un cilindro es igual a<br />

2/3 <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong>l cilindro”. Como postrer homenaje se colocó una esfera inscrita<br />

en un cilindro. Asimismo <strong>de</strong>mostró Arquíme<strong>de</strong>s que la superficie <strong>de</strong> esta esfera era<br />

también los 2/3 <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong>l cilindro.


Sergio Plaza 5<br />

Como hemos supuesto que b − na > 0 para todo entero positivo n,<br />

se tiene que S es un conjunto no vacío <strong>de</strong> números enteros positivos.<br />

Aplicando el Principio <strong>de</strong> Buena Or<strong>de</strong>nación se obtiene que S posee un<br />

menorelemento. Luegoexiste m0 ∈ Z talque b−m0a b−naparatodo<br />

n entero positivo. De esta última <strong>de</strong>sigualdad se obtiene que n m0<br />

para todo n entero positivo, lo cual evi<strong>de</strong>ntemente es falso, pues basta<br />

tomar n = m0+1 > m0. Esta contradicción se obtuvo por la suposición<br />

<strong>de</strong> que na < b para todo entero positivo n. Por lo tanto el teorema ha<br />

sido probado.<br />

1.1 Principio <strong>de</strong> Inducción<br />

Aunque el Principio <strong>de</strong> Inducción (P.I.) es llamado así, es <strong>de</strong> hecho un<br />

teorema, el cual pasamos a enunciar y probar.<br />

Teorema 1.2 (Principio <strong>de</strong> Inducción) Sea P(n) una propiedad <strong>de</strong><br />

enteros no negativos n. Suponga que<br />

(a) P(0) ( o P(1)) es verda<strong>de</strong>ra, y<br />

(b) P(n+1) es verda<strong>de</strong>ra si P(n) lo es, para todo n 0 (n 1).<br />

Entonces P(n) es verda<strong>de</strong>ra para todos los enteros no negativos (po-<br />

sitivos).<br />

Demostración. Haremos la prueba por contradicción.<br />

Supongamos que P(n) es falsa para algún entero no negativo n.<br />

Por el P.B.O., existe un menor entero no negativo n tal que P(n) es<br />

falsa, pero P(m) es verda<strong>de</strong>ra para todo entero no negativo m, con<br />

0 m < n. Como P(0) es verda<strong>de</strong>ra por (a), se sigue que n > 0.


6 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Luego, P(n − 1) es verda<strong>de</strong>ra, pues 0 n − 1 < n. Des<strong>de</strong> (b) se<br />

sigue entonces que P(n) es verda<strong>de</strong>ra, lo cual nos da la contradicción<br />

<strong>de</strong>seada.<br />

Teorema 1.3 (Principio<strong>de</strong>InducciónCompleta) Sea P(n) unapropiedad<br />

<strong>de</strong> enteros no negativos n. Supongamos que para cualquier entero no<br />

negativo n, la propiedad P(n) es verda<strong>de</strong>ra cuando P(m) es verda<strong>de</strong>ra<br />

para todo entero no negativo m menor que n. Entonces P(n) es ver-<br />

da<strong>de</strong>ra para todo n 0.<br />

Demostración. La afirmación es equivalente a su contrapositiva, esto<br />

es, para cualquier n, si P(n) es falsa entonces P(m) es falsa para<br />

algún entero no negativo m, con m < n. Luego el conjunto <strong>de</strong> todos<br />

los enteros no negativos para P(n) es falsa no tiene un menor elemento,<br />

y por el P.B.O., este conjunto <strong>de</strong>be ser vacío.<br />

1.2 Proble<strong>mas</strong><br />

Problema 1.1 Para todo n 1, pruebe lo siguiente por inducción<br />

matemática<br />

Problema 1.2<br />

Problema 1.3<br />

Problema 1.4<br />

Problema 1.5<br />

1 1 1 1 1<br />

+ + +···+ 2−<br />

12 22 32 n2 n .


Sergio Plaza 7<br />

Problema 1.6<br />

Problema 1.7<br />

Problema 1.8<br />

Problema 1.9<br />

Problema 1.10<br />

Problema 1.11<br />

Problema 1.12<br />

Aquí voy, 14 <strong>de</strong> Mayo <strong>de</strong><br />

2009<br />

1.3 Descenso Infinito<br />

En el siglo XVII, el gran matemático francés Pierre <strong>de</strong> Fermat introdujo<br />

un método <strong>de</strong> prueba, el cual llamó el método “<strong>de</strong>scenso infinito”, sobre<br />

el que afirmó usó en todos sus <strong>de</strong>scubrimientos en Teoría <strong>de</strong> Números.<br />

Este método está basado en la siguiente afirmación obvia: “una sucesión<br />

<strong>de</strong>creciente <strong>de</strong> números naturales no pue<strong>de</strong> continuar in<strong>de</strong>finidamente”.<br />

Con esto Fermat fue capáz <strong>de</strong> establecer algunos <strong>de</strong> sus resultados<br />

más relevantes referentes a propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los números enteros.<br />

Supongamos, como en el caso con inducción matemática, que son<br />

dadas una cantidad infinita <strong>de</strong> afirmaciones P1,P2,P3,..., una para<br />

cada número entero positivo n, y que <strong>de</strong>seamos probar que todas ellas<br />

son verda<strong>de</strong>ras. Eso pue<strong>de</strong> ser hecho mostrando que cada afirmación


8 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

falsa es precedida por <strong>otra</strong> afirmación falsa. Más precisamente, supon-<br />

gamos que cualquier afirmación dada Pn es falsa, entonces <strong>otra</strong> afir-<br />

mación Pm pue<strong>de</strong> ser encontrada, con m < n, la cual también es falsa.<br />

Note que asumimos sólo que m es algún valor menor que n, y no nece-<br />

sariamente el entero inmediatamente menor. Como n fue arbitrario,<br />

la plaicación repetida <strong>de</strong> este argumento nos lleva a otro valor k < m<br />

para el cual Pk es falsa, y así sucesivamente “ad infinitum”. Pero esto<br />

es imposible, pues existe sólo una cantidad finita <strong>de</strong> números enteros<br />

positivos menores que n, y concluímos por reducción al absurdo que las<br />

afirmaciones <strong>de</strong>ben ser verda<strong>de</strong>ras.<br />

El método <strong>de</strong> <strong>de</strong>scenso infinito es simplemente <strong>otra</strong> forma <strong>de</strong>l Princi-<br />

pio <strong>de</strong> Inducción, este último bien podría llamarse “Método <strong>de</strong> Ascenso<br />

Infinito”. Ambos métodos <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostración son equivalentes al P.B.O.<br />

Si po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>mostrar, sin restricciones, que cada afirmación falsa es<br />

precedida por <strong>otra</strong> afirmación falsa, entonce se sigue a priori que es<br />

imposible que la primera afirmación sea falsa. La segunda afirmación<br />

<strong>de</strong>be ser también verda<strong>de</strong>ra, pues su falsedad <strong>de</strong>bería implicar la <strong>de</strong> la<br />

primera. De modo análogo, la tercera afirmación <strong>de</strong>be ser precedida por<br />

afirmaciones verda<strong>de</strong>ras, y así sucesivamente ad infinitum.<br />

Invirtiendo la lógica hemos ganado una ventaja. La transición <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

n a n+1, que es la parte importante <strong>de</strong> una prueba por inducción, es<br />

reemplazada por una transición <strong>de</strong>s<strong>de</strong> n a algún valor menor, pero no<br />

necesariamente n−1, locualpermitehacerpruebassintantarestricción.<br />

A<strong>de</strong>más en una prueba por <strong>de</strong>scenso infinito. ??????<br />

Ejemplo 1.3 Prueba <strong>de</strong> la irracionalidad <strong>de</strong> √ 2 usando el método <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>scenso infinito. Por reducción al absurdo. Supongamosque existe una<br />

fracción positiva a/b tal que (a/b) 2 = 2, es <strong>de</strong>cir, a 2 = 2b 2 . De esto se


Sergio Plaza 9<br />

sigue que a 2 es par y en consecuencia a <strong>de</strong>be ser par. Luego, po<strong>de</strong>mos<br />

escribir a = 2c, y tenemos 4c 2 = a 2 = 2b 2 , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> b 2 = 2c 2 . Pero<br />

claramente, b es menor que a, y hemos encontrado <strong>otra</strong> fracción b/c,<br />

igual a √ 2, pero que tiene <strong>de</strong>nominador menor. Esto es el inicio <strong>de</strong>l<br />

<strong>de</strong>scenso infinito, lo cual nos lleva a una contradicción.<br />

Observación 1.1 Existe <strong>otra</strong> prueba interesante en la cual la relación<br />

la relación hipotética a 2 = 2b 2 pue<strong>de</strong> ser escrita en la forma equivalente<br />

(2b − a) 2 = 2(a − b) 2 , luego (2b − a)|(a − b) es <strong>otra</strong> fracción igual a<br />

a/b y que tiene un <strong>de</strong>nominador menor. La contradicción se sigue por<br />

el <strong>de</strong>scenso infinito o asumiendo <strong>de</strong> inicio que a/b está en su forma<br />

simplificada.<br />

1.4 Divisibilidad en los números enteros<br />

Definición 1.1 Dados dos enteros a,b ∈ Z, con a = 0. Decimos que<br />

a divi<strong>de</strong> a b si existe un número entero c tal que b = c·a. Si a divi<strong>de</strong><br />

a b lo <strong>de</strong>notaremos por el símbolo a|b. Al número entero a lo llamamos<br />

un divisor <strong>de</strong> b. También <strong>de</strong>cimos que b es un múltiplo <strong>de</strong> a, o bien<br />

que aes un factor <strong>de</strong> b. Si a no divi<strong>de</strong> a b usamos la notación a |/ b.<br />

Ejemplo 1.4 Claramente 3|27, pues existe el número 9, tal que 27 =<br />

3·9, es <strong>de</strong>cir, 3 es un factor <strong>de</strong> 27 ó 3 es un divisor <strong>de</strong> 27.<br />

Ejemplo 1.5 Para todo número entero n, se cumple que n|0. Esto es<br />

inmediato <strong>de</strong> la propiedad <strong>de</strong> que todo número entero, incluido el cero,<br />

multiplicado por cero es igual a cero.<br />

A continuación enumeramos algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la división que<br />

aplicaremos muchas veces en este texto.


10 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Teorema 1.4 (Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la divisibilidad)<br />

i) Si a|b y b|a, entonces a = ±b.<br />

ii) Si a|b y c|d, entonces ac|bd.<br />

iii) Si a|b y b|c, entonces a|c.<br />

iv) Si a|b, a|c y u,v ∈ Z, entonces a|(bu+cv).<br />

Demostración. Probaremos solamente la propiedad iv) y <strong>de</strong>jaremos<br />

las restantes como ejercicios para el lector.<br />

Si a|b y a|c entonces existen números enteros k1 y k2 tales que<br />

b = k1a y c = k2a. Luego bu+cv es <strong>de</strong> la forma<br />

bu+cv = k1au+k2av = (k1u+k2v)a,<br />

lo cual significa que a|(bu+cv).<br />

Nota 1.1 <strong>Una</strong> factorización algebraica útil en Teoría <strong>de</strong> Números es la<br />

siguiente.<br />

que<br />

Para todo par números <strong>de</strong> a,b y para todo n número natural se tiene<br />

a n −b n = (a−b)(a n−1 +a n−2 b+a n−3 b 2 +···+ab n−2 +b n−1 ).<br />

Esta factorización resulta directamente <strong>de</strong> dividir el polinomio a n −<br />

b n por a − b. Veamos un ejemplo <strong>de</strong> la utilidad <strong>de</strong> esta fórmula <strong>de</strong><br />

factorización.<br />

Ejemplo 1.6 Pruebe que para cualquier número natural n, 17 divi<strong>de</strong><br />

a 2 n ·3 2n −1.


Sergio Plaza 11<br />

Solución. Debemos mostrar que 2 n ·3 2n −1 pue<strong>de</strong> ser escrito como un<br />

múltiplo <strong>de</strong> 17. Tenemos<br />

2 n ·3 2n −1 = 2·3 2 n −1<br />

= 18 n −1<br />

= (18−1)(18 n−1 +18 n−2 +···+18+1)<br />

= 17·N<br />

don<strong>de</strong> N = 18 n−1 +18 n−2 +···+1. Luego, 17| 2 n ·3 2n −1 .<br />

Problema 1.1 Pruebe que si a,b,c son enteros que no son divisibles<br />

por 5 entonces a 2 +b 2 −c 2 tampoco es divisible por cinco.<br />

Solución. Este problema pue<strong>de</strong> abordarse directamente haciendo una<br />

tabla. La i<strong>de</strong>a es utilizar el hecho que al dividir por 5 cada uno <strong>de</strong><br />

ellos se tiene un resto no nulo, es <strong>de</strong>cir, a = 5k1 + r1, b = 5k2 + r2,<br />

c = 5k3 + r3, con los restos 0 < ri 4. Por lo tanto, calculando<br />

a 2 + b 2 − c 2 se obtiene la expresión a 2 + b 2 − c 2 = 5l + r 2 1 + r2 2 − r2 3 .<br />

Luego basta con examinar la expresión r 2 1 +r2 2 −r2 3<br />

con la condición <strong>de</strong><br />

que los restos son números 0 < ri 4. Como no son muchos, po<strong>de</strong>mos<br />

intentar calcular todos los posibles valores <strong>de</strong> r 2 1 +r2 2 −r2 3 .<br />

r 2 1 r 2 1 r 2 1 r 2 1 +r2 2 −r2 3<br />

1 1 1 1<br />

4 4 4 4<br />

9 9 9 9<br />

16 16 16 16<br />

Experimentando con esta tabla <strong>de</strong> valores se pue<strong>de</strong> calcular todos los<br />

casos y <strong>de</strong>ducir que la expresión r2 1 +r2 2−r2 3 en la última columna nunca


12 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

es cero ni tampoco un múltiplo <strong>de</strong> 5. Con ellos se ha probado lo que se<br />

pi<strong>de</strong>. <strong>Una</strong> vez logrado esta etapa <strong>de</strong> experimentación numérica se pue<strong>de</strong><br />

tratar <strong>de</strong> encontrar una <strong>de</strong>mostración formal que solamente tiene por<br />

objetivo abstraer lo que numéricamente se ha corroborado.<br />

1.5 Algoritmo <strong>de</strong> la División<br />

Ejemplo 1.7 Vimos que 3|27, pero 3 no divi<strong>de</strong> a 20. Sin embargo el<br />

número 20 se pue<strong>de</strong> escribir como 20 = 3 · 6 + 2. Esta propiedad es<br />

generalizable a un par <strong>de</strong> números enteros arbitrarios como lo indica el<br />

resultado siguiente.<br />

Este algoritmo es <strong>de</strong>bido a Eucli<strong>de</strong>s 2 .<br />

Teorema 1.5 Sean a,b ∈ Z, con a > 0. Entonces existen dos números<br />

enteros q y r, únicos, tales que<br />

b = qa+r, con 0 r < a (1.1)<br />

2 Nació 365 AC en Alejandría, Egipto. Falleció: Alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l 300 AC. Muy poco<br />

se sabe con certeza <strong>de</strong> su vida. Probablemente, fue llamado a Alejandría en el año 300<br />

AC. Sin duda que la gran reputación <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s se <strong>de</strong>be a su famosa obra titulada<br />

“Los Elementos Geométricos”, conocida simplemente por “Los Elementos”. Tal es la<br />

importancia <strong>de</strong> esta obra que se ha usado como texto <strong>de</strong> estudios por cerca <strong>de</strong> 2000<br />

años, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones <strong>de</strong> importancia, salvo pequeñas<br />

modificaciones. Los Elementos están constituidos por trece libros. A aquellos se ha<br />

agregado un XIV libro que compren<strong>de</strong> un trabajo <strong>de</strong> Hipsicles <strong>de</strong>l siglo II <strong>de</strong> nuestra<br />

era, y aún un XV libro con un trabajo <strong>de</strong> menor importancia. Esta obra <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s<br />

es el coronamiento <strong>de</strong>las investigaciones realizadas por los geometras <strong>de</strong>Atenas, como<br />

así mismo <strong>de</strong> los anteriores. Eucli<strong>de</strong>s no hace sino volver a tomar con más perfección<br />

los ensayos anteriores; hace una selección <strong>de</strong> las proposiciones fundamentales y las<br />

or<strong>de</strong>na convenientemente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista lógico. La forma que emplea es la<br />

lógica <strong>de</strong>ductiva.


Sergio Plaza 13<br />

Al número r en (1.1) se le llama el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> b por a.<br />

Demostración. Primero mostraremos que tales números q,r ∈ Z ex-<br />

isten. Para ellos consi<strong>de</strong>ramos el conjunto<br />

S = {b−as 0 : s ∈ Z}.<br />

Es fácil ver que S es un subconjunto no vacío <strong>de</strong> N∪{0}. Se sigue<br />

<strong>de</strong>l P.B.O. que S tiene un primer elemento.<br />

Sea r el menor elemento <strong>de</strong> S, y sea q ∈ Z tal que b−aq = r. Es<br />

claro que r 0, por lo tanto resta mostrar que r < a. Supongamos<br />

contrariamenteque r a. Entonces b−a(q+1) = (b−aq)−a = r−a 0<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> b−a(q+1) ∈ S. Por <strong>otra</strong> parte es claro que b−a(q+1) < r,<br />

lo que contradice el hecho <strong>de</strong> que r es el menor elemento <strong>de</strong> S.<br />

Ahora pasamos a probar la unicidad <strong>de</strong> los números q,r ∈ Z para<br />

los cuales se tiene b = qa + r, con 0 r < a. Supongamos que<br />

b = aq1 +r1 = aq2 +r2, <strong>de</strong> esto se sigue que |r1 −r2| = a|q1 −q2|. Si<br />

q1 = q2, entonces se tiene que a|q1−q2| a, mientras que |r1−r2| < a,<br />

lo cual es una contradicción. Por lo tanto q1 = q2 y <strong>de</strong> esto se sigue que<br />

r1 = r2, lo que completa la prueba <strong>de</strong>l teorema.<br />

Este teorema nos dice que si a > 0, entonces a|b si sólo si el resto <strong>de</strong><br />

la división <strong>de</strong> b por a es cero.<br />

Ejemplo 1.8 Sabemos que un año no bisiesto tiene 365 días. Si el<br />

primero <strong>de</strong> Enero <strong>de</strong> un año fue día Domingo ¿Cuántos Domingos tiene<br />

ese año? ¿Cuántos Lunes tiene ese año? ¿Cuántos Martes tiene ese<br />

año?


14 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Solución. Aquí utilizamos la división por 7, que correspon<strong>de</strong> a los siete<br />

días <strong>de</strong> la semana. No es díficil <strong>de</strong> ver que 365 = 52·7+1. Esto significa<br />

que el 30 <strong>de</strong> Diciembre <strong>de</strong> ese año es un día Domingo y por lo tanto el<br />

31 <strong>de</strong> Diciembre es un día Lunes. Por lo tanto po<strong>de</strong>mos respon<strong>de</strong>r la<br />

preguntaenformamás general, hayexactamente 52días<strong>de</strong>cadasemana<br />

excepto el Lunes que hay uno más, es <strong>de</strong>cir 53 días Lunes.<br />

1.5.1 Ejercicios<br />

Problema 1.13 <strong>Una</strong> máquinafabrica alternadamente un perno<strong>de</strong> pre-<br />

cisión cada 14 minutos y una tuerca cada 5 minutos. Si la máquina tra-<br />

baja 24 horas qué conviene más ¿que la máquina comience fabricando<br />

una tuerca o qué comience fabricando un perno?<br />

Problema 1.14 Sean a,b enteros positivos tales que ab +1 divi<strong>de</strong> a<br />

a 2 +b 2 . Pruebe que a2 +b 2<br />

ab+1<br />

es el cuadrado <strong>de</strong> un número entero.<br />

Problema 1.15 Sean a,b,c,d enteros. Pruebe que el producto<br />

es divisible por 12.<br />

(a−b)·(a−c)·(a−d)·(b−c)(b−d)(c−d)<br />

Problema 1.16 Sean x,y enteros positivos tales que xy divi<strong>de</strong>d a<br />

x 2 +y 2 +1. Pruebe que x2 +y 2 +1<br />

xy = 3<br />

Problema 1.17 (R.K. Guy, R.J. Nowakowki)<br />

a) Encuentre infinitos pares <strong>de</strong> enteros a y b, con 1 < a < b, tal<br />

que ab divi<strong>de</strong> a a 2 +b 2 −1.<br />

b) Sean a,b como en (a) ¿Cuáles son los posiblesvalores <strong>de</strong> a2 +b 2 +1<br />

ab ?


Sergio Plaza 15<br />

Problema 1.18 Pruebe que para cada entero n 2, se tiene que n<br />

no divi<strong>de</strong> a 2 n −1.<br />

Problema 1.19 Sea k 2 unentero, ysean n1,n2,...,nk 1 enteros<br />

con la propiedad<br />

n2|2 n1 , n3|2 n2 −1,..., nk|2 nk−1 −1, n1|2 nk −1.<br />

Pruebe que n1 = n2 = ··· = nk = 1.<br />

Problema 1.20 Sean m,n enteros positivos tales que mn+1 es di-<br />

visible por 24. Pruebe que m+n es divisible por 24.<br />

Problema 1.21 Sea f(x) = x 3 + 17. Pruebe que para cada entero<br />

n 2, existe un entero positivo para el cual f(x) es divisible por 3 n<br />

pero no lo es por 3 n+1 .<br />

Problema 1.22 Pruebe que para cada entero no negativo n,<br />

n<br />

<br />

2n+1<br />

es divisible por 5<br />

k=0<br />

2k +1<br />

Problema 1.23 Sea n un entero positivo. Pruebe que las siguientes<br />

afirmaciones son equivalentes.<br />

1. n no es divisible por 4.<br />

2. Existen a,b ∈ Z tal que a 2 +b 2 +1 es divisible por n.<br />

Problema 1.24 Muestre que existen infinitos números enteros com-<br />

2 3k<br />

puestos n tal que 3 n−1 −2 n−1 es divisible por n.


16 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 1.25 Sean a,b y c enteros tales que a + b + c divi<strong>de</strong> a<br />

a 2 +b 2 +c 2 . Pruebe que existen infinitos enteros positivos n tales que<br />

a+b+c divi<strong>de</strong> a a n +b n +c n .<br />

Problema 1.26 Pruebe que para cada n ∈ N se tiene que 7 divi<strong>de</strong> a<br />

3 n + n 3 si y sólo si 7 divi<strong>de</strong> a 3 n n 3 +1.<br />

Problema 1.27 Determine todos los enteros n > 1 tal que<br />

es un entero.<br />

2 n +1<br />

n<br />

Problema 1.28 Encuentretodoslostriples<strong>de</strong>enterospositivos (a,c,b),<br />

tal que (2 c −1) divi<strong>de</strong> a 2 a +2 b +1.<br />

Problema 1.29 Encuentre todos los enteros a,b,c con 1 < a < b < c<br />

tales que (a−1)(b−1)(c−1) es un divisor <strong>de</strong> abc−1.<br />

Problema 1.30 Determine todos los triples enteros positivos (a,m,n)<br />

tales que a m +1 divi<strong>de</strong>d a (a+1) n .<br />

Problema 1.31 Encuentre todos los n ∈ N tal que 2 n−1 |n!.<br />

Problema 1.32 Encuentre todos los enteros positivos n tales que 2 n<br />

divi<strong>de</strong> a 3 n −1.<br />

Problema 1.33 Determine todos los pares (a,b) <strong>de</strong> enteros para los<br />

cuales a 2 +b 2 +3 es divisible por ab.<br />

Problema 1.34 Encuentreelmenorenteropositivo n talque 2 1989 |(m n −<br />

1) para todo entero positivo impar m > 1.


Sergio Plaza 17<br />

Problema 1.35 (Shaulesh Shiradi) Si a,b,c son enteros positivos tales<br />

que<br />

a < a 2 +b 2 −abc c.<br />

Pruebe que a 2 +b 2 −abc es un cuadrado perfecto.<br />

Nota: Si a 2 +b 2 −abc = c entonces a2 +b 2<br />

ab+1<br />

= c ∈ N.<br />

Problema 1.36 Sean a y b enteros positivos tales que a|b 2 , b 2 |a 3 ,<br />

a 3 |b 4 , b 4 |a 5 ,... Pruebe que a = b.<br />

Problema 1.37 Sean m,n enteros positivos, tales que<br />

A = (m+3)n +1<br />

3m<br />

es un entero. Pruebe que A es impar.<br />

Problema 1.38 Pruebe que si 3 d 2 n+1 , entonces d no divi<strong>de</strong> a<br />

(a 2n +1) para todo entero positivo a.<br />

Problema 1.39 Si n 6 es un entero compuesto, pruebe que n|(n−<br />

1)!.<br />

Problema 1.40 Pruebe que existen infinitos enteros positivos n tales<br />

que n 2 +1 divi<strong>de</strong> a n!.<br />

Problema 1.41 Sea a y b enteros con la propiedad que para cada<br />

entero no negativo (es <strong>de</strong>cir, mayor o igual que cero) n, el número<br />

2 n a+b es el cuadrado <strong>de</strong> un entero. Pruebe que a = 0.


18 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 1.42 Para cada entero positivo n, pruebe que<br />

no es un cuadrado perfecto.<br />

(n+1)(n+2)···(n+10)<br />

Problema 1.43 Determinetodoslosnúmeros N <strong>de</strong>3dígitos, quetiene<br />

la propiedad que N es divisible por 11, y N<br />

es igual a la suma <strong>de</strong> los<br />

11<br />

cuadrados <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> N .<br />

Problema 1.44 Pruebe que 1980 19811982<br />

1981 1981 .<br />

Problema 1.45 Sean m,n enteros positivos.<br />

1. Pruebe que n!|(m+1)(m+2)···(m+n).<br />

2. Pruebe que (3m)!(4n)!<br />

(m!) 3 es un entero.<br />

(n!) 4<br />

+1982 19801980<br />

es divisible por<br />

Problema 1.46 Sean n1,...,nk enterospositivos. Pruebeque n1!n2!···nk!<br />

divi<strong>de</strong> a (n1 +n2 +···+nk)!<br />

Problema 1.47 Pruebeque 2 n |(n+1)(n+2)···(2n) paracada n ∈ N.<br />

Problema 1.48 Encuentretodoslosenterospositivos d talesque d|(n 2 +<br />

1) y d|((n+1) 2 +1) para algún entero n.<br />

Problema 1.49 Encuentre, con <strong>de</strong>mostración, todos los valores <strong>de</strong> n<br />

tal que n2 +1<br />

n+2<br />

Problema 1.50<br />

Problema 1.51<br />

es un entero.


Sergio Plaza 19<br />

Problema 1.52<br />

Problema 1.53<br />

Problema 1.54<br />

Problema 1.55<br />

Problema 1.56<br />

Problema 1.57<br />

Problema 1.58<br />

1.6 Máximo Común divisor<br />

El máximo común divisor entre dos números enteros a, b es un número<br />

entero positivo d, que <strong>de</strong>notamos por d = mcd(a,b), el cual satisface<br />

las siguientes propieda<strong>de</strong>s.<br />

1. d > 0, d|a y d|b.<br />

2. Si c ∈ Z es tal que c|a y c|b entonces c d.<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, el máximo común divisor mcd(a,b) es un número<br />

que divi<strong>de</strong> a a y divi<strong>de</strong> a b, y si existe otro número que divi<strong>de</strong> a a<br />

y a b entonces necesariamente tal número es menor o igual a d. Por<br />

ejemplo se tiene que mcd(n,0) = 0 para todo n número entero.<br />

Ejemplo 1.9 mcd(45,78) = 3, pues los divisores <strong>de</strong> 45 son: 1, 3,5, 9,<br />

15, y 45, y los divisores <strong>de</strong> 78 son: 1,2,6,13, 26, 39, y 78. Observando<br />

los divisores <strong>de</strong> ambos números vemos que el mayor divisor común a<br />

ellos es 3.


20 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 1.10 <strong>de</strong>maneraanálogaaljemploanteriorsetieneque mcd(12,21) =<br />

3 y mcd(943,414) = 23.<br />

Dos preguntas surgen inmediatamente <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> máximo<br />

común divisor:<br />

1. ¿Existe siempre el máximo común divisor <strong>de</strong> un par <strong>de</strong> números<br />

dados?<br />

2. ¿Es posible construir un algoritmo para calcularlo?<br />

La respuesta a ambas preguntas es afirmativa. La respuesta a la<br />

primera está basada en el P.B.O.<br />

Conrespectoalasegundapregunta, unamanera<strong>de</strong>calcular mcd(a,b)<br />

es encontrar todos los divisores <strong>de</strong> a y <strong>de</strong> b y elegir el mayor divisor<br />

común a ambos números. Este método resulta ser muy engorroso para<br />

números gran<strong>de</strong>s.<br />

Un método más eficaz es <strong>de</strong>scrito en el séptimo libro <strong>de</strong> la obra <strong>de</strong><br />

Eucli<strong>de</strong>s, “Los Elementos”. Este algoritmo para el cálculo <strong>de</strong> mcd(a,b)<br />

se basa en el siguiente resultado.<br />

Lema 1.1 Si b = qa+r, entonces mcd(a,b) = mcd(a,r).<br />

Demostración. Es inmediata <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> máximo común di-<br />

visor. Sean k = mcd(a,b)) y ℓ = mcd(a,r) los máximos comunes<br />

divisores <strong>de</strong> a,b y <strong>de</strong> a,r, respectivamente.<br />

Despejando r se tiene que r = b−qa. Como k|a y k|b, se obtiene,<br />

por propiedad iv) <strong>de</strong> la división, que k también divi<strong>de</strong> a r y luego,<br />

por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> ℓ, k ℓ. A<strong>de</strong>más ℓ es también un divisor <strong>de</strong> b y,


Sergio Plaza 21<br />

por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> k, ℓ k. Por lo tanto no queda <strong>otra</strong> alternativa que<br />

k = ℓ.<br />

Para calcular mcd(a,b) proce<strong>de</strong>mos <strong>de</strong> la siguiente manera. Apli-<br />

cando el algoritmo <strong>de</strong> la división sucesivamente obtenemos la siguiente<br />

ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong> igualda<strong>de</strong>s:<br />

b = q1 ·a+r1, 0 r1 < a,<br />

a = q2 ·r1 +r2, 0 r2 < r1,<br />

r1 = q3 ·r2 +r3, 0 r3 < r2,<br />

.<br />

rn−2 = qn ·rn−1 +rn, 0 rn < rn−1<br />

rn−1 = qn+1 ·rn +rn+1, rn+1 = 0.<br />

(1.2)<br />

Detenemos el proceso al encontrar el primer resto nulo. Esto siempre<br />

suce<strong>de</strong>, puesto que el resto <strong>de</strong> una etapa es estrictamente menos que el<br />

resto <strong>de</strong> la etapa anterior y r1, el primer resto, es estrictamente menor<br />

que a. Aplicando el Lema 1.1 se obtiene que<br />

mcd(a,b) = mcd(a,r1) = mcd(r1,r2) = ··· = mcd(rn−1,rn) = mcd(rn,0) = rn.<br />

Ejemplo 1.11 Calculemos mcd(414,943). Tenemos<br />

943 = 2·414+115<br />

414 = 3·115+69<br />

115 = 1·69+46<br />

69 = 1·46+23<br />

46 = 2·23


22 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

En este ejemplo, a = 414, b = 943 y los correspondientes restos son<br />

r1 = 115, r2 = 69, r3 = 46, r4 = 23 y r5 = 0. Luego mcd(414,943) =<br />

23.<br />

Ejemplo 1.12 Calculemos mcd(5486,3254). Tenemos<br />

Luego,mcd(5486,3254) = 2.<br />

5486 = 1·3254+2234<br />

3254 = 1·2234+1020<br />

2234 = 2·1020+194<br />

1020 = 5·194+50<br />

194 = 3·50+44<br />

50 = 1·44+6<br />

44 = 7·6+2<br />

6 = 3·2+0<br />

Este algoritmo muestra también que para un par <strong>de</strong> números enteros<br />

a y b existen números enteros α y β tales que<br />

mcd(a,b) = αa+βb. (1.3)<br />

Esta ecuación es llamada representación <strong>de</strong> Bézout 3 para el máximo<br />

común divisor.<br />

En el ejemplo 1.11 anterior se obtienen α y β eliminado consecuti-<br />

vamente los restos r1,r2,...,rn, empezando por la penúltima igualdad<br />

1783.<br />

3 EtienneBèzout, nacióenNemours, Francia1730ymurióenBasses-Loges, Francia


Sergio Plaza 23<br />

23 = 69−1·46<br />

es <strong>de</strong>cir, α = 16 y β = −7.<br />

= 2·69−115<br />

= 2·(141−3·115)−115<br />

= 2·414−7·115<br />

= 2·414−7·(943−2·414)<br />

= 16·414−7·943,<br />

Este ejemplo muestra cómo proce<strong>de</strong>r para el caso en que a y b son<br />

dos enteros cualesquiera, es <strong>de</strong>cir, se empieza por la última igualdad <strong>de</strong><br />

la <strong>de</strong> ca<strong>de</strong>na en (1.2) y se continúa imitando lo realizado en el ejemplo.<br />

A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> la existencia <strong>de</strong>l máximo común divisor <strong>de</strong> dos enteros<br />

a,b ∈ Z, tenemosunarepresentación<strong>de</strong>Bèzout, estoes, si d = mcd(a,b),<br />

entonces existen enteros m,n ∈ Z tal que d = ma+nb.<br />

Teorema 1.6 (Lema <strong>de</strong> Bèzout) Sean a,b ∈ Z. Si d = mcd(a,b) ,<br />

entonces d tiene una presentación <strong>de</strong> Bèzout para d, en otars palabras,<br />

existen enteros m,n ∈ Z tales que d = ma+nb.<br />

Demostración. Consi<strong>de</strong>re el conjunto D = {am + bn : a,b ∈ Z}.<br />

Claramente, D es un conjunto no vacío <strong>de</strong> números enteros. Notemos<br />

que si c ∈ D entonces también −c ∈ D. En consecuencia, D contiene<br />

enteros positivos. Sea d el menor entero positivo en D; afirmamos que<br />

d = mcd(m,n). Para <strong>de</strong>mostrar esto existen dos cosas a probar.<br />

Afirmación 1. d es un divisor común <strong>de</strong> m y n.<br />

Enefecto, porsimetríabastaprobarque d|m. Escribamos m = rd+s<br />

con 0 s < d; tenemos que d = am + bn, luego s = rd − m =<br />

r(am+bn)−m = (ra−1)m+bn ∈ D.


24 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

La minimalidad <strong>de</strong> d implica que s = 0, luego d|m.<br />

Afirmación 2. Si e es un divisor común <strong>de</strong> m y n, entonces e|d.<br />

En efecto, supongamos que e|m y e|n. Como d = am + bn se<br />

concluye que e|d.<br />

Laexistencia <strong>de</strong>la representación <strong>de</strong>Bèzout para d es inmediata pues<br />

d ∈ D.<br />

Note que la clave <strong>de</strong> la prueba es la existencia <strong>de</strong> una división con<br />

resto.<br />

El lema <strong>de</strong> Bèzout pue<strong>de</strong> ser usado para dar una generalización im-<br />

portante <strong>de</strong> la propiedad: p|ab ⇒ p|a o p|b <strong>de</strong> los primos p.<br />

Teorema 1.7 Si m|ab y mcd(m,b) = 1, entonces m|a.<br />

Demostración. Escribamos ab = mn, por el lema <strong>de</strong> Bèzout, existen<br />

x,y ∈ Z tal que mx + by = 1. Multiplicando esta igualdad por a,<br />

obtenemos a = max+aby = max+mny = m(ax+ny), esto es, m|a.<br />

Un ejercicio interesante consiste en probar que el máximo común di-<br />

visor d = mcd(a,b) también es <strong>de</strong>terminado por las condiciones<br />

1. d > 0, d|a y d|b.<br />

2. Si c|a y c|b entonces c|d.<br />

Para probar que estas condiciones (que no usan el concepto <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n)<br />

son equivalentes a la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> mcd(a,b) dada anteriormente, se<br />

aplica la propiedad (1.3) <strong>de</strong>l máximo común divisor.


Sergio Plaza 25<br />

1.7 Algoritmo para calcular el máximo común<br />

divisor<br />

El algoritmo <strong>de</strong> Berlekamp para <strong>de</strong>terminar el máximo común divisor<br />

entre dos enteros, también entrega la representación <strong>de</strong> Bèzout para el<br />

máximo común divisor, esto es, d = mcd(a,b) = ax+by.<br />

1. haga a1 ← a,a2 ← b;x1 ← 1,x2 ← 0;y1 ← 0,y2 ← 1.<br />

<br />

2. haga q ← ( [x] <strong>de</strong>nota la parte entera <strong>de</strong> x, es <strong>de</strong>cir, [x] es<br />

a1<br />

a2<br />

el mayor entero menor o igual que x)<br />

3. haga a3 ← a1 −qa2;x3 ← x1 +qx2;y3 ← y1 +qy2.<br />

4. haga a1 ← a2,a2 ← a3;x1 ← x2,x2 ← x3; y1 ← y2,y2 ← y3.<br />

5. Si a2 > 0 vaya a 2.<br />

6. Si ax1 −by1 > 0 retorne como resultado (d,x,y) = (a1,x1,−y1),<br />

en otro caso retorne como resultado (d,x,y) = (a1 −x1,y1).<br />

Ejemplo 1.13 Números <strong>de</strong> Fibonaci. <strong>Una</strong>manera<strong>de</strong>generarnúmeros<br />

<strong>de</strong> Fibonaci 4 es <strong>de</strong>finir la sucesión <strong>de</strong> números construidos por la recu-<br />

rrencia f0 = 0, f1 = 1 y fn+1 = fn +fn−1, para n 1. Así po<strong>de</strong>mos<br />

4 Nació en 1170 probablemente en Pisa, Italia. Falleció en 1250 probablemente en<br />

Pisa. Leonardo Pisano es más conocido por su apodo Fibonacci. Jugó un rol muy<br />

importante al revivir las matemáticas antiguas y realizó importantes contribuciones<br />

propias. Fibonacci nació en Italia pero fue educado en Africa <strong>de</strong>l Norte don<strong>de</strong> su<br />

padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando a su padre, así<br />

conoció las enormes ventajas <strong>de</strong> los siste<strong>mas</strong> matemáticos usados en esos países. En<br />

su libro ”Liber Abaci, publicado en el 1202 <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> retornar a Italia, esta basado<br />

en trozos <strong>de</strong> aritmética y álgebra que Fibonacci acumuló durante sus viajes. En<br />

Liber Abaci Fibonaci introduce el sistema <strong>de</strong>cimal Hindú–Arábico y usa los números<br />

arábicos <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> Europa. Un problema en Liber Abaci permite la introducción <strong>de</strong>


26 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

formar los siguientes números 17 primeros números <strong>de</strong> Fibonaci<br />

fn : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,<br />

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...,<br />

Notemos la siguiente curiosidad que se extrae examinando directa-<br />

mente los números fn. Se tiene que 3|6 y f3|f6; 4|8 y f4|f8; 3|9 y<br />

f3|f9; 5|10 y f5|f10; 6|12 y f6|f12,....<br />

Po<strong>de</strong>mos conjeturar que “si k|n entonces fk|fn”.<br />

Tratemos<strong>de</strong><strong>de</strong>mostrarestaafirmación, queenunprincipioaso<strong>mas</strong>ólo<br />

por simple observación. Para ellos establecemos el siguiente resultado.<br />

Teorema 1.8 Sean fn, con n 1 los números <strong>de</strong> Fibonaci como<br />

fueron generados arriba. Si k|n entonces fk|fn.<br />

Demostración. Primero probemos la siguiente i<strong>de</strong>ntidad<br />

fs+t = fs−1ft +fsft+1.<br />

Después, tomando s = n y t = kn, reemplazando en la i<strong>de</strong>ntidad<br />

nos queda<br />

fn+kn = f (k+1)n = fn−1fkn +fnfkn+1.<br />

los números <strong>de</strong> Fibonacci y la serie <strong>de</strong> Fibonacci por las cuales es recordado hoy en<br />

día. El Diario Trimestral <strong>de</strong> Fibonacci es un mo<strong>de</strong>rno periódico científico <strong>de</strong>dicado al<br />

estudio <strong>de</strong> las matemáticas que llevan estas series. Otro libro <strong>de</strong> Fibonacci <strong>de</strong> mayor<br />

importancia es “Prácticas <strong>de</strong> Geometría” publicado en el año 1220. Este contiene<br />

una extensa colección <strong>de</strong> proble<strong>mas</strong> <strong>de</strong> geometría y <strong>de</strong> trigonometría. También en<br />

su “Liber Quadratorum” publicado en el año 1225 aproximó las raíces cúbicas obte-<br />

niendo una respuesta que en la notación <strong>de</strong>cimal es correcta en 9 dígitos. En el libro<br />

“Mis Prácticas <strong>de</strong> Geometría, publicado el año 1220 entrega una compilación <strong>de</strong> la<br />

geometría al mismo tiempo que introduce algo <strong>de</strong> trigonometría.


Sergio Plaza 27<br />

De aquí, si fn|fkn entonces fn|f (k+1)n. Como trivialmente se tiene<br />

que fn|fn·1y el resultado se sigue por inducción.<br />

1.7.1 Método <strong>de</strong> Blankinship<br />

Este método fué <strong>de</strong>scubierto por W.A Blankinship y permite obtener<br />

los enteros s y t en el Lema <strong>de</strong> Bézout y al mismo tiempo produce<br />

mcd(a,b).<br />

Dados dos enteros a > b > 0, comenzamos con el arreglo<br />

<br />

a 1 0<br />

b 0 1<br />

continuamos sumando múltiples <strong>de</strong> una fila a <strong>otra</strong> fila, eligiendo alter-<br />

nadamente la fila, hasta obtener un arreglo <strong>de</strong> la forma<br />

<br />

0 x1 x2<br />

d y1 y2<br />

<br />

d y1 y2<br />

0 x1 x2<br />

Entonces d = mcd(a,b) = y1a+y2b.<br />

Ejemplo 1.14 Consi<strong>de</strong>remos a = 35 y b = 15. Tenemos entonces el<br />

arreglo<br />

<br />

35 1 0<br />

15 0 1


28 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Notemos que 35 = 15 · 2 + 5, luego 35 + 15 · (−2) = 5. Ahora,<br />

multiplicando la fila 2 por -2 y sumando a la fila 1, obtenemos<br />

<br />

5 1 −2<br />

15 0 1<br />

Ahora, 15 = 5·3, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> 15+5(−3) = 0, luego multiplicando la<br />

fila 1 por −3 y sumándola a la fila 2 obtenemos<br />

<br />

5 1 −2<br />

0 −3 1<br />

Luego, mcd(35,15) = 5 y 5 = 1·35+(−2)·15.<br />

Ejemplo 1.15 Sean a = 1876 y b = 365. Tenemos el arreglo<br />

<br />

1876 1 0<br />

365 0 1<br />

Como 1876 = 365·5+51, multiplicando la fila 2 por -5 y sumándola<br />

a la fila 1, obtenemos<br />

<br />

51 1 −5<br />

365 0 0<br />

Ahora, 365 = 51 · 7 + 8, luego multiplicando la fila 1 por −7 y<br />

sumándola a la fila 2, obtenemos<br />

<br />

51 1 −5<br />

8 −7 36


Sergio Plaza 29<br />

Como 51 = 8·6+3, multiplicando la fila 2 por −6 y sumándola a<br />

la fila 1 nos queda<br />

<br />

3 43 −221<br />

8 −7 36<br />

Ahora, como 8 = 3·2+2, sumamos −2 veces la fila 1 a la fila 2, y<br />

obtenemos<br />

<br />

3 43 −221<br />

2 −93 478<br />

Como 3 = 2·1+1, sumamos −1 veces la fila 2 a la fila 1 y obtenemos<br />

<br />

1 136 −699<br />

2 −93 478<br />

Finalmente, como 2 = 1 · 2, si multiplicamos la fila 1 por −2 y la<br />

sumamos a la fila 2, obtenemos<br />

<br />

1 136 −699<br />

0 −365 1876<br />

Por lo tanto, mcd(1876,365) = 1 y 1 = 136·1876+(−699)·365.<br />

Notemos que al momento <strong>de</strong> producir un cero en la columna 1, no<br />

es necesario calcular los otros elementos <strong>de</strong> esa fila, pues nos interesan<br />

los coeficientes en que aparece d = mcd(a,b), por ejemplo, en el último<br />

ejemplo, noes necesario calcular los coeficientes 136(−2)−93 y (−699)·<br />

(−2)+478.


30 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Examinemos un poco el algoritmo <strong>de</strong> Blankinship. Note que esta-<br />

mos viendo lo que ocurre en la primera columna, y esto correspon<strong>de</strong><br />

exactamente a lo que hacemos en el algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s.<br />

Tenemos<br />

y a = 1·a+a·b, b = 0·a+1·b<br />

<br />

a 1 0<br />

b 0 1<br />

Veamos un paso intermedio cualesquiera, en este caso tenemos un<br />

arreglo <strong>de</strong> la forma<br />

a1 x1 x2<br />

b1 y1 y2<br />

y a1 = a1a+x2b, b1 = y1a+y2b, y el resultado se sigue <strong>de</strong> esto.<br />

1.7.2 Ejercicios<br />

Problema 1.59 Determine el máximo común divisor <strong>de</strong> los elementos<br />

<strong>de</strong>l conjunto {n 13 −n : n ∈ Z}.<br />

Problema 1.60 Sean a, m y n enterospositivos. Pruebeque mcd(a m −<br />

1,a n −1) = x mcd(m,n)−1 .<br />

Problema 1.61 Suponga que n tiene al menos dos representaciones<br />

distintas como suma <strong>de</strong> dos cuadrados, es <strong>de</strong>cir, n = 5 2 +t 2 = u 2 +v 2 ,<br />

don<strong>de</strong> s t 0, u v 0 y s > u. Muestre que mcd(su−tv,n) es<br />

un divisor propio <strong>de</strong> n.


Sergio Plaza 31<br />

Problema 1.62 Pruebe que<br />

mcd(m,n)<br />

n<br />

<br />

n<br />

es un entero para todo par <strong>de</strong> enteros positivos (m,n) con n m 1.<br />

Problema 1.63 (Teorema <strong>de</strong> los cuatro números). Sean a,b,c y d<br />

enteros positivos tales que ab = cd. Entonces existen enteros positivos<br />

p, q, r y s tales que<br />

m<br />

a = pq, b = rs, c = pt y d = su.<br />

Problema 1.64 (Kiran S. Kedlaya) Sean x, y, z enteros positivos.<br />

Pruebe que (xy +1)(yz +1)(zx+1) es un cuadrado perfecto si y sólo<br />

si xy +1, yz +1, zx+1 son todos cuadrados perfectos.<br />

Problema 1.65 Encuentrelostriples (a,b,c) <strong>de</strong>enterospositivos, tales<br />

que a, b, c están en progresión aritmética y ab+1, bc+1 y ca+1<br />

son cuadrados perfectos.<br />

Problema 1.66 Sean a,b,c,d ∈ N. Pruebe cada una <strong>de</strong> los siguientes<br />

afirmaciones.<br />

1. Si a|bc y (mcd(a,b) = 1, entonces a|c.<br />

<br />

a b<br />

2. (a;b) = d si y sólo si ; = 1.<br />

d d<br />

3. mcd(ac,bc) = d = c·mcd(a,b)<br />

4. mcd(a,bc) = mcd(a,mcd(a,b)c)


32 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

5. mcd(a 2 ,b 2 ) = (mcd(a,b)) 2 .<br />

Problema 1.67 Todos los dígitos <strong>de</strong> un número N con 1998 dígitos<br />

son 1. Encuentre el máximo común divisor <strong>de</strong> N y 1111.<br />

Problema 1.68<br />

Problema 1.69<br />

Problema 1.70<br />

Problema 1.71<br />

Problema 1.72<br />

1.8 Números coprimos<br />

Definición 1.2 Diremos que los números enteros no nulos a y b son<br />

coprimos (relativamente primos) si no poseen divisores comunes dife-<br />

rentes <strong>de</strong> 1. En <strong>otra</strong>s palabras, a y b son coprimos si mcd(a,b) = 1.<br />

Ejemplo 1.16 Los números 18 y 35 son coprimos, mientras que 18 y<br />

15 no lo son, puesto que 3 es un divisor común.<br />

En particular, por la representación <strong>de</strong> Bèzout (1.3), si a y b son<br />

coprimos entonces existen dos números enteros α y β tales que<br />

aα+bβ = 1.<br />

Ahora probaremos un resultado frecuentemente empleado, y que apli-<br />

caremos en la próxima sección.


Sergio Plaza 33<br />

Lema 1.2 Si d = mcd(a,b) es el máximo común divisor <strong>de</strong> a y b, en-<br />

tonces existen enteros r, s tales que a = rd y b = sd, con mcd(r,s) =<br />

1.<br />

Demostración. Por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> máximo común divisor, se tiene que<br />

d es un divisor positivo <strong>de</strong> a y b. Luego es posible encontrar un par<br />

<strong>de</strong> números r,s tal quea = rd y b = sd. Si r, s no son coprimos,<br />

entonces tienen un divisor común t > 1, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> td es un divisor<br />

común <strong>de</strong> a y <strong>de</strong> b. Ahora, como td > d, se obtiene una contradicción<br />

con la hipótesis <strong>de</strong> que d es el máximo común divisor <strong>de</strong> a y <strong>de</strong> b.<br />

Se pue<strong>de</strong> enumerar una gran cantidad <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s para este tipo<br />

<strong>de</strong> números. Mencionamos solamente algunas y <strong>de</strong>jamos como ejercicios<br />

sus <strong>de</strong>mostraciones.<br />

Teorema 1.9 Sean a,b dos números coprimos, y c ∈ Z.<br />

1. Si c|a y d|b, entonces mcd(c,d) = 1.<br />

2. Si a|bc, entonces a|c.<br />

3. Si a|c y b|c, entonces ab|c.<br />

4. Si mcd(a,c) = 1, entonces mcd(a,bc) = 1.<br />

Ejemplo 1.17 Las expresiones 2x + 3y y 9x + 5y son divisibles por<br />

17 para los mismos valores enteros x e y.<br />

Solución. Llamemos w = 2x+3y y z = 9x+5y alasexpresionesdadas.<br />

Se tiene que 4w +z = 17(x+y). Luego 17 divi<strong>de</strong> a 4w +z. A<strong>de</strong>más,<br />

si 17|4w, entonces 17|w, puesto que mcd(17,4) = 1. Finalmente, es<br />

claro <strong>de</strong> la igualdad anterior que 17|w si y solamente si 17|z.


34 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 1.18 Sean a y b números naturales tales que su máximo<br />

común divisor es d. Entonces hay exactamente d números <strong>de</strong>l conjunto<br />

S = {a,2a,3a,...,(b−1)a,ba} que son divisibles por b.<br />

Solución. Sea d = mcd(a,b), entonces d|a y d|b, es <strong>de</strong>cir, existen<br />

enteros r y s tales que a = rd y b = sd, con mcd(r,s) = 1. Luego el<br />

conjunto S pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribirse como sigue<br />

S = {rd, 2rd, 3rd,..., (b−1)rd, brd} = {krd : k = 1,2,...,b}.<br />

Al dividir cada número <strong>de</strong>l conjunto S por b = sd, se obtiene resto<br />

cero si y solamente si s divi<strong>de</strong> a k, pues mcd(r,s) = 1. Como b = sd,<br />

esto suce<strong>de</strong> exactamente d veces.<br />

1.8.1 Ejercicios<br />

Problema 1.73 Pruebe que entre cualesquiera diez enteros positivos y<br />

consecutivos al menos uno es coprimo con el producto <strong>de</strong> los otros.<br />

1.9 Mínimo Común Múltiplo<br />

Introducimos ahora el concepto <strong>de</strong> mínimo común múltiplo para dos en-<br />

teros a y b. Este númeroes el menor entero positivo que es un múltiplo<br />

común <strong>de</strong> a y b, y lo <strong>de</strong>notamos por mcm(a,b) = [a,b]. Por ejemplo,<br />

[9,12] = 36, pues los múltiplos <strong>de</strong> 9 son: 9, 18, 27, 36, 45, 54, ... y los<br />

múltiplos <strong>de</strong> 12 son: 12,, 24, 36, 48, 60,..., y el menor múltiplo común<br />

<strong>de</strong> ambos números es 36. De manera análoga, se ve que [25,9] = 225 y<br />

[−49,14] = 98. Cuando calculamos a c<br />

b + d<br />

primero buscamos el mínimo<br />

común múltiplo entre by d, enseguida proce<strong>de</strong>mos a realizar la suma.


Sergio Plaza 35<br />

<strong>Una</strong> forma relativamente fácil para calcular el mínimo común múltiplo<br />

para a y b es dada por la fórmula<br />

mcm(a,b) =<br />

|ab|<br />

mcd(a,b) .<br />

En los ejemplos anteriores, tenemos [9,12] = |9·12|<br />

mcd(9,12)<br />

[25,9] = |25·9|<br />

mcd(25,9)<br />

98.<br />

ma.<br />

= 225<br />

1<br />

= 225 y [−49,14] = |−49·14|<br />

mcd(−49,14)<br />

= 108<br />

3<br />

= 36,<br />

= 686<br />

7 =<br />

Como una aplicación <strong>de</strong> ambos conceptos, veamos el siguiente proble-<br />

Ejemplo 1.19 El número 739ABC es divisible por 7, 8 y 9 ¿Qué val-<br />

ores pue<strong>de</strong>n tomar A,B y C?<br />

Solución. Recuer<strong>de</strong> que dos números naturales a y b son coprimos si<br />

su máximo divisor común es 1. Si a, b y c son coprimos dos a dos,<br />

es <strong>de</strong>cir, cada par distintos <strong>de</strong> ellos son coprimos, entonces su mínimo<br />

múltiplo común, mcm(a,b,c), es igual a su producto abc.<br />

Ahoracomo 739ABC esdivisiblepor7, 8y9, <strong>de</strong>bemoselegir 739ABC<br />

<strong>de</strong> modo sea un múltiplo <strong>de</strong> 7, 8 y 9, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong>bemos elegir 739ABC<br />

que es divisible por mcm(7,8,9) = 504. Ahora 739000 <strong>de</strong>ja un resto<br />

igual a 136 cuando es dividido por 504. Luego, los números 739ABC<br />

que andamos buscando <strong>de</strong>ben ser <strong>de</strong> la forma 739−136+k·504, don<strong>de</strong><br />

k es un entero. Vemos que k sólo pue<strong>de</strong> tomar los valores 1 o 2. Si<br />

k = 1, obtenemos el número 739368 que es una solución para A = 3,<br />

B = 6, C = 8, por <strong>otra</strong> parte si k = 2 obtenemos el número 739872<br />

que es <strong>otra</strong> solución con A = 8, B = 7 y C = 2.


36 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

1.9.1 Ejercicios<br />

Problema 1.74 Para todo a,b ∈ Z, se tiene mcd(a,b)·mcm(a,b) =<br />

ab.<br />

Problema 1.75 Para cada entero a, <strong>de</strong>muestre lo siguiente<br />

1. mcd(2a+1,9a+4) = 1;<br />

2. mcd(5a+2,7a+3) = 1;<br />

3. Si a es impar, entonces mcd(3a,a3+2) = 1.<br />

Problema 1.76 Pruebe que n divi<strong>de</strong>d a 1 5 +3 5 +5 5 +···+(2n−1) 5 .<br />

Problema 1.77<br />

Problema 1.78<br />

Problema 1.79<br />

Problema 1.80<br />

Problema 1.81<br />

Problema 1.82


Capítulo 2<br />

Números primos<br />

Diremos que un número entero p > 1 es un número primo (o simple-<br />

mente primo) si sus únicos divisores son 1, −1, p y −p. Si un número<br />

a > 1 no es primo diremos que a es un número compuesto.<br />

Teorema 2.1 Un entero 2 es compuesto si y sólo si existen enteros<br />

a y b tales que n = a·b, y 1 < a < n, 1 < b < n.<br />

Demostración. Sea n 2 un entero. Si n es compuesto, entonces<br />

existe un entero positivo a tal que a = 1, a = n y a|n. Esto significa<br />

que n = a·b para algún entero b. Como a y n son positivos, se sigue<br />

que b también es positivo. Luego 0 1 y b 1. A<strong>de</strong>más, también<br />

se tiene que a n y b n. Como a = 1 y a = n, se tiene que<br />

1 < a < n. Si b = 1, entonces a = n, lo cual es imposible, por lo<br />

tanto b = 1. Si b = n, entonces a = 1, lo cual es imposible. Luego,<br />

1 < b < n.<br />

La recíproca es obvia.<br />

Trabajaremos sólo con los primos positivos. Los primeros primos son<br />

2,3,5,7,... y los primeros compuestos son 4,6,8,9,.... Nótese que el<br />

37


38 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

número 1 no es primo ni compuesto.<br />

Teorema 2.2 Si n > 1 es un entero compuesto, entonces n tiene un<br />

factor primo p, con p √ n.<br />

Demostración. Sea n > 1 un entero compuesto. Entonces n = a·b,<br />

con 1 < a < n y 1 < b < n. Afirmamos que uno <strong>de</strong> ellos a o b es<br />

menor o igual que √ n. Si no, es <strong>de</strong>cir, a > √ n y b > √ n, entonces<br />

n = a ·b > √ n· √ n = n, esto es, n > n, lo que es una contradicción.<br />

Por lo anterior, tenemos a √ n o b √ n. Supongamos que a √ n.<br />

Como a > 1, <strong>de</strong>l lema anterior, existe un primo p tal que p|a. Como<br />

a|n, se sigue que p|n y como p|a, se tiene también que p a √ n.<br />

Teorema 2.3 Si n > 1, entonces existe un primo p tal que p|n.<br />

Demostración. Supongamosporelcontrarioqueexisteunentero n0 ><br />

1 que no posee divisores primos. Sea A = {n ∈ N;n > 1 tal que n no<br />

posee divisores primos}. Por lo que estamos asumiendo A = φ, pues<br />

n0 ∈ A. Por el P.B.O. existe un menor elemento para A, llamemos este<br />

m, es <strong>de</strong>cir, m ∈ A y m n para todo n ∈ A.<br />

Ahora m > 1 y no tiene divisores primos. Luego m no pue<strong>de</strong> ser<br />

primo, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> m es compuesto, por lo tanto por el lema anterior,<br />

po<strong>de</strong>mos escribir<br />

m = ab, 1 < a < m, 1 < b < m<br />

Como 1 < a < m, se sigue que a no permite a A. Por lo tanto a<br />

tiene un divisor primo p. Ahora, como p|a y a|m se sigue que p|m.<br />

Esto no tiene divisores primos. Esta contradicción prueba el resultado.


Sergio Plaza 39<br />

Examinaremosunapropieda<strong>de</strong>lemental <strong>de</strong>losprimosquees<strong>de</strong>mucha<br />

utilidad.<br />

Teorema 2.4 Si p es un primo y p|ab, entonces p|a o p|b, es <strong>de</strong>cir,<br />

si un número primo divi<strong>de</strong> al producto <strong>de</strong> dos números, entonces necesa-<br />

riamente él <strong>de</strong>be dividir a uno <strong>de</strong> ellos (o a ambos).<br />

Demostración. Si p|a no hay nada más que hacer. Si p no divi<strong>de</strong> a a<br />

entonces mcd(p,a) = 1, puesto que p no posee ningún divisor aparte<br />

<strong>de</strong> 1 y p, es <strong>de</strong>cir, a y p son coprimos. Aplicando la propiedad 2) <strong>de</strong><br />

la coprimalidad se obtiene que necesariamente p|b.<br />

Ahora estamos en condiciones <strong>de</strong> <strong>de</strong>scribir el resultado quizás más<br />

importante <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> números:<br />

Teorema 2.5 (Teorema Fundamental <strong>de</strong> la Aritmética [T.F.A.]) Sea<br />

n > 1 un número entero. Entonces existen primos p1,p2,...,pr, con<br />

p1 < p2 < ··· < pr, y números enteros positivos α1,α2,...,αr, tales<br />

que<br />

n = p α1<br />

1 ·pα2<br />

2 ···pαr<br />

r . (2.1)<br />

A<strong>de</strong>más, esta presentación 2.1, llamada <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong><br />

n, es única.<br />

Demostración. La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>l T.F.A está basada en el P.B.O.<br />

Daremos un esbozo <strong>de</strong> ella.<br />

Como n > 1, entonces hay solamente dos posibilida<strong>de</strong>s para n:<br />

1. es primo., en este caso no hay nada más que hacer, es <strong>de</strong>cir, p1 =<br />

n, α1 = 1 y r = 1.<br />

2. n es compuesto.


40 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Caso 1) En este caso no hay nada más que hacer, es <strong>de</strong>cir, p1 = n,<br />

α1 = 1 y r = 1.<br />

Caso 2) En este caso se tenemos que n posee divisores distintos <strong>de</strong> 1<br />

y n. Llamamos p1 al menor <strong>de</strong> los divisores <strong>de</strong> n, el cual existe por el<br />

P.B.O., puesto que el conjunto S <strong>de</strong>finido por S = {c : c|n, c > 1} es<br />

un conjunto no vacío <strong>de</strong> enteros positivos.<br />

Afirmación. p1 es primo.<br />

Si p1 no es primo, entonces p1 posee a un divisor c > 1, con c < p1.<br />

Como c|p1 y p1|n, sesigueque c|n (propiedadiii)<strong>de</strong>ladivisión), locual<br />

contradice la minimalidad <strong>de</strong> p1, quedando <strong>de</strong>mostrada la afirmación.<br />

Ahora bien, por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> divisor existe un número entero n1 > 1<br />

tal que n = n1 · p1. Para n1 tenemos dos posibilida<strong>de</strong>s, estas on las<br />

ya <strong>de</strong>scritas en 1. y 2. arriba. Aplicando el argumento anterior a n1,<br />

se obtenemos que existe p2 tal que p2|n2, con p2 el menor divisor <strong>de</strong><br />

n2. Imitando lo hecho para p1 obtenemos que p2 también es primo.<br />

Luego n = n2 ·p2 ·p1, con n2 < n1 < n. Continuando <strong>de</strong> esta forma,<br />

obtenemos queparaalgún r, el número nr esprimo, puesor<strong>de</strong>nandolos<br />

rj obtenidos en cada etapa tenemos que nr < nr−1 < ··· < n2 < n1 < n<br />

y nr no pue<strong>de</strong> ser menor que 1. Esto completa la prueba <strong>de</strong>l teorema.<br />

Ejemplo 2.1 Claramente, si nose imponela condición p1 < p2 < ··· <<br />

pr, tal representación no es única. Por ejemplo, el número 12 posee las<br />

<strong>de</strong>scomposiciones siguientes 12 = 2 2 ·3 = 2·3·2 = 3·2 2 , pero sólo la<br />

primera <strong>de</strong> éstas cumple la condición p1 = 2 < p2 = 3.<br />

Paralosnúmeros112y165, sus<strong>de</strong>scomposicionesprimariasson 112 =<br />

2 4 ·7 y 165 = 3·5·11.


Sergio Plaza 41<br />

son<br />

Varias preguntas se pue<strong>de</strong>n plantear para los primos. Algunas <strong>de</strong> ellas<br />

1. ¿Es la cantidad <strong>de</strong> primos infinita?<br />

2. ¿Existe algún algoritmo para encontrar todos los números primos?<br />

La respuesta a la primera pregunta pue<strong>de</strong> ser encontrada en el libro<br />

IX <strong>de</strong> los Elementos <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s. El argumento <strong>de</strong>scrito allí es <strong>de</strong> una<br />

simplicidad asombrosa.<br />

Eucli<strong>de</strong>s, en Libro IX, proposición 20 (<strong>de</strong> la versión en inglés) formuló<br />

su teorema sobre la infinitud <strong>de</strong> los primos <strong>de</strong> la forma siguiente.<br />

“los números primos son más que cualquier multitud <strong>de</strong> números pri-<br />

mos asignados.”<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, dada cualquier lista <strong>de</strong> números primos existe un<br />

número primo que no está en dicha lista. Note que Eucli<strong>de</strong>s cuidadosa-<br />

mente evita la noción <strong>de</strong> conjuntos infinitos, <strong>de</strong> hecho proble<strong>mas</strong> con<br />

infinitos, recuer<strong>de</strong> la paradoja <strong>de</strong> Zenón, por ejemplo, llevó a los griegos<br />

sólo a admitir cantida<strong>de</strong>s finitas en matemática. Por ejemplo, lineas en<br />

geometría no eran infinitas, pero podían ser prolongadas tanto como se<br />

<strong>de</strong>seara. Los conjuntos infinitos ganaron su propio lugar en matemática<br />

<strong>de</strong>bido a trabajos <strong>de</strong> G. Cantor 1<br />

Teorema 2.6 (Eucli<strong>de</strong>s) La cantidad <strong>de</strong> números primos es infinita.<br />

Demostración. Para <strong>de</strong>mostrar este teorema Euli<strong>de</strong>s supuso que hay<br />

una cantidad finita <strong>de</strong> números primos y logró mostrar que existe otro<br />

1 Georg Cantor, nació en SanPetersburgen 1845 yMurió en Halle en 1918. Se <strong>de</strong>be<br />

a él entre <strong>otra</strong>s, la noción <strong>de</strong> numerabilidad, los racionales son numerables mientras<br />

que los irracionales no lo son.


42 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

primomásaparte<strong>de</strong>los yaconsi<strong>de</strong>rados. Examinamos estaconstrucción<br />

<strong>de</strong>talladamente.<br />

Supongamos que p1,p2,...,pn son todos los primos posibles. Defi-<br />

namos el númeroentero q como q = p1·p2···pn+1. Puesto que q > pi<br />

para todo i = 1,2,...,n, se tiene que q no es primo, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong>be ser<br />

compuesto. Por el T.F.A. se obtiene que q posee un divisor primo p,<br />

el cual <strong>de</strong>be ser uno <strong>de</strong> los números p1,p2,...,pn. Por <strong>otra</strong> parte, es<br />

claro que p|(p1 · p2···pn). Luego, por la propiedad iv) <strong>de</strong> la división,<br />

p <strong>de</strong>be dividir al número q −p1 · p2···pn = 1 y, por lo tanto, p = 1,<br />

lo cual contradice la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> primo. En resumen, se ha probado la<br />

infinitud <strong>de</strong> los números primos.<br />

Es interesante notar que si comenzamos con p = 2, el primer primo,<br />

la construcción anterior genera los siguiente números:<br />

q1 = 2+1 = 3<br />

q2 = 2·3+1 = 7<br />

q3 = 2·3·5+1 = 31<br />

q4 = 2·3·5·7+1 = 211<br />

q5 = 2·3·5·7·11+1 = 2311,<br />

los cuales son primos. Sin embargo, q6 = 2·3·5·7·11·13+1 = 30031 =<br />

59 · 509, q7 = 510511 = 19 · 97 · 277, q8 = 9699691 = 67 · 104473<br />

no lo son. Uno <strong>de</strong> los proble<strong>mas</strong> no resueltos en teoría <strong>de</strong> números es<br />

<strong>de</strong>terminarsiexisteunacantidad infinita<strong>de</strong>primosquesepuedagenerar<br />

con el algoritmo anterior. Se conocen muy pocas maneras, y en general<br />

difíciles <strong>de</strong> obtener, <strong>de</strong> generar primos. En resumen, la respuesta a la<br />

segundapreguntaplanteada noseconoce yes probablequetal algoritmo<br />

no exista.


Sergio Plaza 43<br />

<strong>Una</strong> variación <strong>de</strong>l argumento <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s es el siguiente<br />

n1 = 2<br />

n2 = n1 +1 = 3<br />

n3 = n2 ·n1 +1 = 7<br />

n4 = n3 ·n2 ·n1 +1 = 43<br />

.<br />

nk = nk−1 ·nk−2···n1 +1<br />

Problema 2.1 . Probar que dos números cualesquiera seleccionados<br />

<strong>de</strong>l algoritmo anterior son coprimos, es <strong>de</strong>cir, mcd(ni,nj) = 1 para<br />

i = j.<br />

Laconstrucción anterior produceinfinitos números nk coprimos entre<br />

si y, ya que ellos no poseen ningún factor primo común, obtenemos <strong>otra</strong><br />

<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que hay una cantidad infinita <strong>de</strong> primos.<br />

A continuación daremos <strong>otra</strong>s pruebas <strong>de</strong> la infinitud <strong>de</strong> los números<br />

primo.<br />

Prueba <strong>de</strong> Hermite. Para n = 1,2,..., sea qn elmenorprimodivisor<br />

<strong>de</strong> n!+1. Se tiene que qn > n, luego existen infinitos primos.<br />

Otra prueba. Se <strong>de</strong>finen los números <strong>de</strong> Fermat como sigue: Fn =<br />

2 2n<br />

+ 1 es el n–ésimo número <strong>de</strong> Fermat. Afirmamos que si m < n,<br />

entonces Fm|(Fn−2). Enefecto, Fn = 22n−1 aqui hay algo malesdi-<br />

visible por 22m+1−1 = (22m−1)Fm. Luego mcd(Fm,Fn)|(Fn,Fn−2) =<br />

2, pero los números <strong>de</strong> Fermat son impares, luego ellos son coprimos.<br />

Prueba <strong>de</strong> Stieltjes, 1890. Supongamos que existe sólo una cantidad<br />

finita <strong>de</strong> primos, <strong>de</strong>notemos por D su producto. Sea D = m · n una<br />

factorización <strong>de</strong> D con m,n ∈ N. Entonces para cualquier primo p,


44 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

tenemos que p|m o p|n, pero no a ambos; luego p no divi<strong>de</strong> a m+n,<br />

y por lo tanto m+n no pue<strong>de</strong> tener divisores primos. Contradicción.<br />

Observación. Si en la <strong>de</strong>mostración anterior tomamos la factorización<br />

D = D · 1, entonces tenemos la prueba <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la infinitud <strong>de</strong><br />

primos.<br />

Prueba <strong>de</strong> Euler 1849. Esta prueba usa la función φ <strong>de</strong> Euler que<br />

estudiaremos en un capítulo más a<strong>de</strong>lante. Supongamos que existe sólo<br />

una cantidad finita <strong>de</strong> primos, y sea D su producto. Entonces<br />

φ(D) = <br />

p primo<br />

(p−1) 2·4··· > 2,<br />

luego, <strong>de</strong>be haber un entero a en {2,...,D} coprimo con D. Este<br />

entero a no pue<strong>de</strong> tener ningún divisor primo, y por lo tanto <strong>de</strong>be ser<br />

igual a 1, lo que contradice el hecho que a 2.<br />

Observación. Si tomamos a = D−1, básicamente tenemos la prueba<br />

<strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s con N −1 en vez <strong>de</strong> la original con D −N +1.<br />

Comoyahemosvisto, losprimerosprimosson 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ....<br />

Denotemos por p1 al primer primo, p2 al segundo primo, p3 al tercero<br />

y así sucesivamente. En <strong>otra</strong>s palabras, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, y<br />

pn será el n–ésimo primo. Luego, por notación, pn < pn+1. El mayor<br />

número primo conocido hasta 1979 era 2 21.701 −1.<br />

Teorema 2.7 Si pn <strong>de</strong>nota el n–ésimo primo, entonces pn < 22n .<br />

2 2n<br />

Este resultado prueba que al menos hay (n+1) primos menores que<br />

.<br />

Demostración. Colocarla


Sergio Plaza 45<br />

La <strong>de</strong>mostración es una clara y sencilla aplicación <strong>de</strong>l Principio <strong>de</strong><br />

Inducción <strong>Matemática</strong> y la <strong>de</strong>jamos para el apéndice.<br />

Teorema 2.8 Existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma 4n−1.<br />

Demostración. Supongamos que existen sólo una cantidad finita <strong>de</strong><br />

primos <strong>de</strong> la forma 4n − 1, y sean estos p1 = 3,p2 = 7, ..., pn, y<br />

formemos el número N = 4p1p2···pn −1. Este número no pue<strong>de</strong> ser<br />

primo, pues N = pj y por lo que asumimos los pj, para j = 1,2,...,n<br />

son todos los primos <strong>de</strong> la forma 4n−1. Luego N <strong>de</strong>betener un divisor<br />

primo. Si todos ellos son <strong>de</strong> la forma 4n+1, entonces N <strong>de</strong>be tener tal<br />

forma, pues (4n+1)(4m+1) = 4(4mn+n+m)+1, pero N no tiene<br />

esa forma, así al menos uno <strong>de</strong> los divisores primos <strong>de</strong> N , digamos p,<br />

<strong>de</strong>dbe tener la forma 4n−1. Como p|4p1p2···pn−1, este primo <strong>de</strong>be<br />

ser diferente <strong>de</strong> los primos pj, esto contradice el hecho que existe sólo<br />

una cantidad finita <strong>de</strong> primos <strong>de</strong> la forma 4n−1.<br />

Observación. La misma i<strong>de</strong>a no funciona para primos <strong>de</strong> la forma<br />

4n+1, p1 = 5, p2 = 13, p3 = 17,..., pues números <strong>de</strong> la forma 4n+1,<br />

pues por ejemplo, 4·5+1 = 21 = 3·7.<br />

Teorema 2.9 Hay infinitos números primos <strong>de</strong> la forma 4n+3.<br />

Demostración. La prueba <strong>de</strong> este resultado es una inmediata variante<br />

<strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>l resultado Completarla.<br />

Entre las conjeturas acerca <strong>de</strong> la distribución <strong>de</strong> los números primos<br />

que aún permanecen sin respuesta mencionamos<br />

Problema 2.1 Para cada n ∈ N, ¿hay siempre un número primo entre<br />

n y 2n, para n > 1?


46 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 2.2 ¿Hay infinitos primos <strong>de</strong> la forma n 2 +1?<br />

Verfiquemos esta conjetura para unos pocos números<br />

n n 2 +1<br />

1 2 primo<br />

2 5 primo<br />

3 10 compuesto<br />

4 17 primo<br />

5 26 compuesto<br />

6 37 primo<br />

.<br />

.<br />

Problema 2.3 ¿Hay siempre un primo entre n 2 y (n+1) 2 para todo<br />

n 1? <strong>Una</strong> verificación con algunos pocos números es dada a seguir<br />

n n 2 (n+1) 2 primos entre n 2 y (n+1) 2<br />

1 1 4 2 y 3<br />

2 4 9 5 y 7<br />

3 9 16 11 y 13<br />

4 16 25 17, 19, y 23<br />

.<br />

.<br />

.<br />

2.0.2 Algoritmo para <strong>de</strong>terminar si un número entero<br />

dado es primo<br />

1. input N; if N=1 print ‘N es una unidad’ y termine;<br />

2. if 2|N print ‘p=2’ y termine;<br />

3. put q:=3;<br />

4. if q|N print ‘p=q’ y termine;<br />

.<br />

.


Sergio Plaza 47<br />

5. put q:=q+2; if q> √ N print ‘p=N’ y termine;<br />

<strong>de</strong> otro modo go to paso 3.<br />

Primero que nada notemos que este es un algoritmo pues termina. No<br />

pue<strong>de</strong>formarseuncicloconelpaso3parasiempre, yaqueeventualmente<br />

q va a ser mayor que √ N , y el programa termina con el paso 4.<br />

El algoritmo <strong>de</strong>termina el menor factor primo <strong>de</strong> un número dado N ,<br />

en la práctica, la condición q > √ N es reemplazada por <strong>otra</strong> como<br />

la siguiente q > √ N + 0.1 esto para evitar el problema <strong>de</strong> error <strong>de</strong><br />

redon<strong>de</strong>o que pue<strong>de</strong>n ocurrir, por ejemplo cuando N = p 2 . Si N no es<br />

divisible por ningún entero entre 2 y N−1 entonces N es primo. En el<br />

peor <strong>de</strong> los casos, es <strong>de</strong>cir, cuando N es primo, este método requiere <strong>de</strong><br />

√ N<br />

2 divisiones, lo cual es bastante mejor que las N −1 divisiones que<br />

se requieren para <strong>de</strong>terminar el mismo resultado cuando dividimos por<br />

2,3,4,...,N − 1. Un problema interesante se encontrar un algoritmo<br />

queseaaltamenteeficiente para<strong>de</strong>terminarsiunnúmeroenteroesprimo<br />

o no. Por ejemplo, po<strong>de</strong>mos verificar que nuestro algoritmo no es nada<br />

eficiente cuandoqueremos<strong>de</strong>terminarsi el número 2 6.972.593 −1 esprimo<br />

o no. Este número es enorme y era el mayor primoconocido hasta el año<br />

2000. A estas alturas probablemente, ya se conozca uno mucho mayor.<br />

<strong>Una</strong> pregunta natural es la siguiente ¿Cómo po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cidir cuando<br />

un número natural dado n, posiblemente muy gran<strong>de</strong>, es un número<br />

primo? Si n es compuesto entonces n = ab para algunos números<br />

naturales a y b con ninguno <strong>de</strong> ellos iguales a 1; y bien a = b = √ n<br />

o uno <strong>de</strong> ellos a o b es menor que √ n. Luego, para mostrar que n<br />

es un número primo necesitamos mostrar que no tiene divisores primos<br />

menores o iguales que √ n.


48 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 2.2 97 es un número primo. Para verlo primero calcule-<br />

mos √ 97 = 9,8488578..., y basta entonces consi<strong>de</strong>rar sólo los primos<br />

menores o iguales que 9, los cuales son 2, 3, 5, 7, y como ninguno <strong>de</strong><br />

ellos divi<strong>de</strong> a divi<strong>de</strong> a 97, concluimos que 97 es primo.<br />

Ejemplo 2.3 Los primos menores que 100 son<br />

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,<br />

79, 83, 89, 97,<br />

esto es fácil <strong>de</strong> verificar, pues sólo necesitamos chequear la divisibilidad<br />

<strong>de</strong> ellos por los primos 2, 3, 5 y 7.<br />

Ejemplo 2.4 Sea n un número entero mayor que 1. Entonces 4 n +n 4<br />

no es primo.<br />

En efecto, si n es par la expresión z = 4 n + n 4 es divisible por 2,<br />

luego noes primo. Supongamosque n = 2k+1, con k unentero k 1.<br />

Entonces z = (2 2k+1 ) 2 + (n 2 ) 2 . Sumando 2n 2 · 2 2k+1 se completa el<br />

cuadrado <strong>de</strong>l binomio, es <strong>de</strong>cir,<br />

z +2n 2 ·2 2k+1 = (2 2k+1 +n 2 ) 2 .<br />

Despejando z en esta igualdad se obtiene que<br />

z =<br />

=<br />

=<br />

<br />

2 2k+1 +n 2 2<br />

−2 2(k+1) n 2<br />

<br />

2 2k+1 +n 2 2 <br />

− 2 k+1 2 n<br />

<br />

<br />

2 2k+1 +n 2 −n 2 −2 k+1 n<br />

<br />

· 2 2k+1 +n 2 +2 k+1 <br />

n .<br />

Para finalizar basta con probar que las expresiones entre paréntesis<br />

<strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha en la última igualdad son mayores que 1. Claramente<br />

la segunda expresión es mayor que uno. Examinaremos la primera <strong>de</strong>


Sergio Plaza 49<br />

ellas. Supongamos que 2 2k+1 + n 2 − 2 k+1 n = 1. Entonces se obtiene<br />

que n−2 k 2 +2 2k = 1, lo cual se cumple solamente si k = 0, lo cual,<br />

a su vez, no está permitido por hipótesis.<br />

Ejemplo 2.5 Sea n = p e1<br />

1 pe2<br />

2 ···pek<br />

k la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong> un<br />

número natural n, entonces el número <strong>de</strong> divisores <strong>de</strong> n, incluyendo a<br />

1 y n mismo, es igual a (e1 +1)(e2 +1)···(ek +1).<br />

Enefecto, notemos quecadadivisor<strong>de</strong> n es<strong>de</strong>laforma p f1<br />

1 pf2<br />

2 ···pfk<br />

k ,<br />

don<strong>de</strong> todos los f1,f2,...,fk son números naturales y satisfacen<br />

0 f1 e1<br />

0 f2 e2<br />

.<br />

0 fk ek.<br />

En particular, 1 = p 0 1 p0 1 ···p0 k con f1 = 0, f2 = 0,...,fk = 0, y<br />

n es el divisor <strong>de</strong> n con f1 = e1, f2 = e2, ..., fk = ek. Luego el<br />

número <strong>de</strong> divisores <strong>de</strong> n es igual al número <strong>de</strong> elecciones <strong>de</strong> f1 multi-<br />

plicado por el número <strong>de</strong> elecciones <strong>de</strong> f2... multiplicado por el número<br />

<strong>de</strong> elecciones <strong>de</strong> fk. Ahora el conjunto <strong>de</strong> elecciones posibles para f1<br />

es {0,1,2,...,e1}, y existen e1 + 1 posibilida<strong>de</strong>s para elegir a f1, el<br />

conjunto <strong>de</strong> elecciones posibles para f2 es {0,1,2,...,e2}, y existen<br />

e2 + 1 posibilida<strong>de</strong>s para elegir a f2, y así sucesivamente, el conjunto<br />

<strong>de</strong> elecciones posibles para fk es {0,1,2,...,ek}, y existen ek+1 posi-<br />

bilida<strong>de</strong>s para elegir a fk. Por lo tanto el número <strong>de</strong> divisores <strong>de</strong> n es<br />

(e1 +1)(e2 +1)···(ek +1).<br />

Ejemplo 2.6 Pruebequeunnúmeronatural n esuncuadradoperfecto<br />

si y sólo si tiene un número impar <strong>de</strong> divisores.


50 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

En efecto, sea n = p e1<br />

1 pe2<br />

2 ···pek<br />

k la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong> n.<br />

Ahora es claro que n es un cuadrado perfecto si y sólo si todos los<br />

exponentes e1,...,ek son pares, en cuyo caso el producto (e1+1)(e2+<br />

1)···(ek + 1) es un producto <strong>de</strong> números impares, y por lo tanto es<br />

un número impar. Sin embargo por el resultado anterior, el número <strong>de</strong><br />

divisores <strong>de</strong> n es igual a (e1+1)(e2+1)···(ek+1). Por lo tanto, n es<br />

un cuadrado perfecto si y sólo si el número <strong>de</strong> divisores <strong>de</strong> n es impar.<br />

Ejemplo 2.7 Para todo número natural n 2, se tiene que<br />

no es número entero.<br />

1+ 1 1 1<br />

+ +···+<br />

2 3 n<br />

Enefecto, <strong>de</strong>notemospor A(n) elconjunto<strong>de</strong>losprimeros n números<br />

naturales, es <strong>de</strong>cir,<br />

A(n) = {1,2,3,...,n} .<br />

Po<strong>de</strong>mos suponer que n es un número que se encuentra entre 2 ℓ y<br />

2 ℓ+1 para algún ℓ > 1, es <strong>de</strong>cir, n = 2 ℓ +k, con 0 k < 2 ℓ . Luego los<br />

números <strong>de</strong>la forma 2 m , con m 1, están en dicho conjunto, y a<strong>de</strong>más<br />

ellos son divisores <strong>de</strong> un números z si y sólo si en la <strong>de</strong>scomposición<br />

primaria <strong>de</strong> z aparece 2 ℓ .<br />

Para sumar la expresión pedida se necesita calcular el mínimo común<br />

múltiplo <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l conjunto A(n). Este mínimo común<br />

múltiplo es el menor entero divisible por todo elemento <strong>de</strong> A(n), luego,<br />

por el T.F.A., ese número <strong>de</strong>be tener la forma 2 ℓ b, con b impar.<br />

Sumando obtenemos<br />

1+ 1 1 1<br />

+ +···+<br />

2 3 n<br />

a<br />

= .<br />

2ℓb


Sergio Plaza 51<br />

Basta con probar que a no es divisible por 2. Reescribiendo esta<br />

igualdad y multiplicándola por 2 ℓ b, se tiene<br />

2 ℓ b+ 2ℓ b<br />

2 + 2ℓ b<br />

3 +···+ 2ℓ b<br />

2 ℓ + 2ℓ b<br />

2 ℓ +1 + 2ℓ b<br />

2 ℓ +2 +···+ 2ℓ b<br />

2 ℓ +k<br />

= a.<br />

Puesto que 2 ℓ b es divisible por todos los números <strong>de</strong> A(n), todas<br />

las fracciones en el lado izquierdo <strong>de</strong> la última igualdad son números<br />

enteros. A<strong>de</strong>más, son números pares, pues la máxima potencia <strong>de</strong> 2 que<br />

pue<strong>de</strong> aparecer en la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong> cualquier número <strong>de</strong>l<br />

conjunto A(n) (que son los <strong>de</strong>nominadores <strong>de</strong> tales fracciones) es ℓ.<br />

Luego a <strong>de</strong>be ser impar.<br />

Ejemplo 2.8 Encuentre el valor mínimo <strong>de</strong> la expresión z dado por<br />

z = p q<br />

+<br />

q p ,<br />

don<strong>de</strong> p y q son números enteros positivos.<br />

Solución. Débido a que la expresión z es simétrica en p y q, po<strong>de</strong>mos<br />

suponer, sin pérdida <strong>de</strong> generalidad, que p q.<br />

Aplicando el T.F.A. sabemos que existe un número entero k 1 tal<br />

que q = kp + r, don<strong>de</strong> r es un número entero con 0 r < p. Por<br />

tanto z pue<strong>de</strong> escribirse como sigue<br />

z = k + r p<br />

+<br />

p q .<br />

Claramente, el valor mínimo <strong>de</strong> z se obtiene cuando k = 1 y r = 0.<br />

Luego q = 1·p+0 = p y entonces el mínimo <strong>de</strong> z se obtiene cuando<br />

p = q y tal valor es 2.


52 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 2.9 Sean p y q enteros positivos. Si 2 p + 1 = q 2 , pruebe<br />

que p = q = 3.<br />

Solución. Notemos que encontrando q se obtiene inmediatamente p<br />

y que la igualdad pue<strong>de</strong> ser escrita como 2 p = (q − 1)(q + 1). Esto<br />

significa que q − 1 divi<strong>de</strong> a 2 p . Aplicando el Teorema Fundamental<br />

<strong>de</strong> la Aritmética (T.F.A) se obtiene que necesariamente q − 1 es una<br />

potencia <strong>de</strong> 2. En resumen, se tiene que q −1 = 2 n , con n p, y por<br />

lo tanto la igualdad se transforma en<br />

2 p = 2 n ·(2 n +2) = 2 n ·2(2 n−1 +1) = 2 n+1 ·(2 n−1 +1).<br />

De esta igualdad se <strong>de</strong>duce que (2 n−1 +1) <strong>de</strong>be ser una potencia <strong>de</strong> 2<br />

(por T.F.A), y esto suce<strong>de</strong> si y solamente si n = 1. Por lo tanto q = 3<br />

y p = 3.<br />

Consi<strong>de</strong>remos la lista <strong>de</strong> los primeros números primos<br />

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,<br />

83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,<br />

173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ...<br />

Observemos que<br />

(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103),<br />

(107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193), (197,199), ...<br />

son pares <strong>de</strong> números primos que satisfacen que su diferencia, en valor<br />

absoluto, es igual a 2. Tales números primos son llamados primos geme-<br />

los, formalmente dos primos p y q son gemelos si |p − q| = 2. <strong>Una</strong><br />

pregunta natural se refiere a la existencia <strong>de</strong> una cantidad infinita o no


Sergio Plaza 53<br />

<strong>de</strong> primos gemelos. También nos po<strong>de</strong>mos preguntar acerca <strong>de</strong> su dis-<br />

tribución entre los números enteros positivos, por ejemplo, vemos que<br />

entre 1 y 99 hay 8 pares <strong>de</strong> primos gemelos, y entre 100 y 199 hay 7<br />

pares <strong>de</strong> números gemelos, ahora, si consi<strong>de</strong>ramos los primos entre 200<br />

y 299 tenemos<br />

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257,263, 269, 271, 277, 281, 283, 293<br />

y formando las parejas <strong>de</strong> números primos gemelos, obtenemos<br />

(227,229), (239,241), (269,271)(281,283),<br />

es <strong>de</strong>cir, hay 4 parejas <strong>de</strong> primos gemelos. <strong>Una</strong> buena i<strong>de</strong>a es seguir<br />

buscando este tipo <strong>de</strong> pares <strong>de</strong> números primos y tratar <strong>de</strong> compren<strong>de</strong>r<br />

algo más sobre ellas.<br />

¿Cuántos números primos terminan con el dígito 7? Por ejemplo,<br />

7, 17, 37, 47, 97, 107, 127, 137, 157, 167, 197, ...<br />

Se pue<strong>de</strong> calcular que <strong>de</strong> los 664579 primos menores que 10.000.000 el<br />

número <strong>de</strong> ellos que terminan con el dígito 1, 3, 7 y 9, respectivamente<br />

son: 1663104, 166230, 166211 y 166032.<br />

Enporcentajeestoscorrespon<strong>de</strong>nal24,99%, 25,01%, 25,01%y24,98%,<br />

respectivamente ¿qué nos sugiere este tipo <strong>de</strong> estimaciones?<br />

Ejemplo 2.10 Dado un entero positivo n, sea <strong>de</strong> p(n) el producto <strong>de</strong><br />

los dígitos no ceros <strong>de</strong> n, si n tiene un sólo dígito entonces p(n) es<br />

igual a ese dígito. Sea s = p(1)+p(2)+···+p(999) ¿Cuál es el mayor<br />

factor primo <strong>de</strong> s?<br />

Solución. Notemos que los dígitos no cero <strong>de</strong> un entero positivo son<br />

los que importan, por ejemplo p(108) = p(180) = p(810) = p(800) =


54 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

p(811) = p(81) = p(18) = p(8) = 8.<br />

Obtenemos todos los números <strong>de</strong> 3 dígitos 001 a 999 <strong>de</strong>sarrollando<br />

(0+1+2+···+9) 3 −0,<br />

sustraemos el cero para eliminar el número 000(= 0). Luego,<br />

(10+1+···+9) 3 −0 = 001+002+···+999.<br />

Para obtener el valor p(n), para un número n, basta sustituir los<br />

posibles ceros en su representación <strong>de</strong>cimal por 1, así<br />

p(1)+p(2)+···+p(n) = 1·1·1+1·1·2+···+999<br />

=(1+1+2+···+9) 3 −1<br />

= 46 3 −1.<br />

En la sumaanterior, 111 se repite varias veces, unapara001, unapara<br />

011, una para 100, una para 101, una para 110,.... Cómo 46 3 − 1 =<br />

3 3 ·5·7·103, el número primo buscado es 103.<br />

Recor<strong>de</strong>mos que si α ∈ R, entonces la parte entera <strong>de</strong> α, es [α] ∈ Z,<br />

y correspon<strong>de</strong> al mayor entero menor o igual que α, esto es, [α] = m<br />

es el único entero satisfaciendo m α < m+1.<br />

Observación. Sean α,β ∈ R.<br />

(i) Tenemos α−1 < [α] α y 0 α−[α] < 1.<br />

(ii) Si α 0, entonces [α] cuenta el número <strong>de</strong> enteros positivos que<br />

no exce<strong>de</strong>n a α. En <strong>otra</strong>s palabras<br />

[α] = <br />

1nα<br />

1.


Sergio Plaza 55<br />

(iii) Para cada n ∈ Z, tenemos [α+n] = [α]+n.<br />

(iv) Tenemos [α]+[β] [α+β] [α]+[β]+1.<br />

(v) Si α ∈ Z, entonces [α]+[−α] = 0.<br />

vi Si α ∈ Z, entonces [α]+[−α] = −1.<br />

(vii) El número −[−α] es el menor entero no menor que α.<br />

(viii) Si n ∈ N, entonces [[α]/n] = [α/n].<br />

(ix) El número [α + 1/2] es uno <strong>de</strong> los enteros más próximo a α.<br />

A<strong>de</strong>más, si esos dos enteros ambos difieren <strong>de</strong> α por el mismo<br />

valor, entoces [α+1/2] es el mayor <strong>de</strong> esos números.<br />

(x) Si α > 0 y n ∈ N, entonces [α/n] es el número <strong>de</strong> enteros<br />

positivos no excediendo a α y los cuales son múltiplos <strong>de</strong> n.<br />

Sea p un primo. Para cualquier entero positivo n, un problema<br />

interesante es encontrar el mayor entero k tal que p k |n!.<br />

Teorema 2.10 Sean n ∈ N y p un primo. Entonces el mayor entero<br />

k tal que p k |n! es dado por<br />

k = <br />

j1<br />

<br />

n<br />

pj <br />

.<br />

Demostración. Sean m ∈ N con 1 m n. Si p r |m y p r+1 divi<strong>de</strong><br />

a m, queremos contar una contribución <strong>de</strong> r.


56 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, contamos una contribución <strong>de</strong> 1 para cada j ∈ N<br />

tal que p j |m. Luego,<br />

k =<br />

2.0.3 Ejercicios<br />

n<br />

m=1<br />

<br />

j 1<br />

p j |m<br />

1 = <br />

j1<br />

n<br />

m 1<br />

p j |m<br />

Problema 2.4 Conjetura <strong>de</strong> Goldbach. 2<br />

1 = <br />

j1<br />

<br />

n<br />

pj <br />

.<br />

Goldbachpropusosuconjetura, basadosolamenteenevi<strong>de</strong>nciasempíricas,<br />

esta establece que cada número par mayor 2 que pue<strong>de</strong> ser representado<br />

como suma <strong>de</strong> dos primos. Por ejemplo,<br />

4 = 2+2<br />

6 = 3+3<br />

8 = 3+5<br />

10 = 3+7 = 5+5<br />

12 = 5+7<br />

14 = 3+11 = 7+7<br />

16 = 3+13<br />

18 = 5+13<br />

20 = 3+17<br />

22 = 3+19 = 5+17<br />

24 = 5+19<br />

2 Es conjetura fué formulada por el empleado civil <strong>de</strong>l gobierno Ruso, Christian<br />

Goldbach, en 1742 en una carta al gran matemático suizo Leonhard Euler


Sergio Plaza 57<br />

26 = 3+23<br />

28 = 5+23<br />

30 = 7+23<br />

Febrero 1 <strong>de</strong> 2005. Se ha verificado computacionalmente la conjetura<br />

<strong>de</strong> Goldbach hasta n = 2˙10 17 .<br />

La conjetura <strong>de</strong> Goldbach es equivalente a que cada entero mayor que<br />

5 es la suma <strong>de</strong> tres primos.<br />

Es interesante la respuesta <strong>de</strong> Euler a la carta <strong>de</strong> Goldbach.<br />

“Que cada número par es una suma <strong>de</strong> dos primos, lo consi<strong>de</strong>ro un<br />

teorema enteramente cierto en el espíritu <strong>de</strong> que yo no soy capáz <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>mostrarlo”.<br />

Algunos progresos se han hecho sobre este problema. Por ejemplo,<br />

se ha probado que cada entero par es la suma <strong>de</strong> a lo más seis primos<br />

(Goldbach sugiere dos) y en 1966 Chen probó que cada entero par sufi-<br />

cientemente gran<strong>de</strong> es la suma <strong>de</strong> un primo más <strong>de</strong> dos factores primos.<br />

Vinogradov en 1937 mostró que cada entero impar suficientemente<br />

gran<strong>de</strong> pue<strong>de</strong> ser escrito como la suma <strong>de</strong> a lo más tres primos, y luego<br />

cadaentero suficientemente gran<strong>de</strong>es lasuma<strong>de</strong>alomáscuatroprimos.<br />

Un resultado <strong>de</strong>l trabajo <strong>de</strong> Vinogradov es que conocemos la conjetura<br />

<strong>de</strong> Goldbach vale para “casi todo” entero par.<br />

Problema 2.5 ¿Es cada número <strong>de</strong> la forma 4n+2 (n > 1) la suma<br />

<strong>de</strong> dos primos <strong>de</strong> la forma 4n+1? (Euler).<br />

Problema 2.6 ¿Pue<strong>de</strong> cada número par ser expresado como la diferen-<br />

cia <strong>de</strong> dos primos? Por ejemplo,<br />

2 = 5−3


58 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

4 = 7−3<br />

6 = 11−5<br />

8 = 13−5<br />

10 = 17−7<br />

.<br />

Problema 2.7 ¿Pue<strong>de</strong> un número par ser expresado como la diferencia<br />

<strong>de</strong> dos primos <strong>de</strong> infinitas maneras? Por ejemplo,<br />

2 = 5−3 = 7−5 = 19−17 = 31−29 = ···<br />

Problema 2.8 ¿Existen infinitos primos gemelos? Los primos gemelos<br />

son aquellos primos p y q tales que |p−q| = 2, es <strong>de</strong>cir, primos p tales<br />

que p+2 también es primo. Por ejemplo, (11,13),(17,19),(29,31),...<br />

son pares <strong>de</strong> primos gemelos.<br />

Problema 2.9 Sean k, ,m y n números enteros positivos tales que<br />

m +k + 1 es un primo mayor que n+1. Sea cs = s(s+1). Pruebe<br />

que el producto<br />

(cm+1 −ck)·(cm+2 −ck)···(cm+n −ck)<br />

es divisible por el producto c1 ·c2···cn.<br />

Problema 2.10 ¿Existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma n 2 +1?<br />

Por ejemplo, 5 = 2 2 +1, 17 = 4 4 +1,...<br />

Problema 2.11 ¿Existe unentero positivo n que n tiene exactamente<br />

200 divisores primos y 2 n +1 es divisible por n?


Sergio Plaza 59<br />

Problema 2.12 Pruebe que todos los números <strong>de</strong> forma 22k + 1 son<br />

mutuamente coprimos<br />

Problema 2.13 Sean n ∈ N y α ∈ R un número no negativo.<br />

Pruebe que<br />

n−1 <br />

<br />

α+ k<br />

<br />

= [nα] (i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Hermite).<br />

n<br />

k=0<br />

<br />

200<br />

Problema 2.14 Encuentre el mayor factor primo <strong>de</strong> .<br />

100<br />

Problema 2.15 Suponga que n ∈ N, y que p > √ <br />

2n es un primo tal<br />

2n<br />

que p divi<strong>de</strong> a . Pruebe que p<br />

n<br />

2 <br />

2n<br />

no divi<strong>de</strong> a .<br />

n<br />

Problema 2.16<br />

Problema 2.17<br />

2.1 Postulado <strong>de</strong> Bertrand<br />

Teorema 2.11 (Postulado<strong>de</strong>Bertrand,probadoporChebyschef) Para<br />

cada entero positivo n > 1 existe un primo p tal que n < p < 2n.<br />

Probaremos primero el siguiente resultado.<br />

Teorema 2.12 Sea n 2 un entero, entonces<br />

<br />

p < 4 n ,<br />

pn<br />

don<strong>de</strong> el producto <strong>de</strong>l lado izquierdo tiene un factor por cada primo p <br />

n.


60 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Demostración. Por inducción sobre n. Para n = 2, tenemos el único<br />

primo p = 2, y es obvio que 2 < 4 2 . Supongamos que el resultado vale<br />

para todo etero menor que n. Si n es para, entonces no es primo, luego<br />

por inducción<br />

<br />

<br />

pn<br />

pn−1<br />

p < 4 n−1 < 4 n<br />

y el pasoinductivoen este caso estrivial. Supongamosque n = 25+1 es<br />

impar, es <strong>de</strong>cir, s = n−1<br />

. Como<br />

2<br />

<br />

<br />

n<br />

es un divisor <strong>de</strong> ,<br />

s+1


Sergio Plaza 61<br />

Supongamos que no existen primos entre n y2n. <br />

2n<br />

Consi<strong>de</strong>remos la factorización primaria para , es <strong>de</strong>cir,<br />

n<br />

<br />

2n<br />

=<br />

n<br />

<br />

p sp ,<br />

don<strong>de</strong> sp es el exponente y <strong>de</strong>l factor primo p en esta factorización.<br />

Ningún primo mayor que n pue<strong>de</strong> ser encontrado en esta factorización.<br />

pn<br />

En efecto, para ello, usamos el siguiente lema.<br />

Lema 2.1 Sea n 3 un entero y p un primo. Sea s el mayor exponente<br />

tal que ps <br />

2n<br />

| . Entonces<br />

n<br />

1. p s 2n<br />

2. Si √ 2n < p entonces s 1<br />

3. Si 2n/3 < p n, entonces s = 0.<br />

Por la parte c) <strong>de</strong>l lema, po<strong>de</strong>mos escribir<br />

<br />

2n<br />

=<br />

n<br />

<br />

p2n/3<br />

p sp<br />

y tenemos p sp 2n y que sp = 1 para p > √ 2n. Luego<br />

<br />

2n<br />

<br />

n<br />

<br />

p √ 2n<br />

p sp · <br />

p2n/3<br />

√<br />

2n<br />

Ahora, no tenemos <strong>mas</strong> que −1 factores en el primer factor <strong>de</strong>l<br />

n<br />

producto <strong>de</strong>l lado <strong>de</strong>recho. Luego


62 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

<br />

2n<br />

n<br />

√<br />

2n<br />

< (2n) 2 −1 ·4 2n/3<br />

Por <strong>otra</strong> parte, si n es par, se tiene que<br />

n<br />

n/2<br />

(prueba a cargo <strong>de</strong>l lector). Luego<br />

<br />

2n<br />

n<br />

22n<br />

2n<br />

Combinando (1) y (2), obtenemos<br />

<br />

= 4n<br />

2n<br />

2n<br />

2<br />

4 n/3 √<br />

n/2<br />

< (2n)<br />

Tomando logaritmo a ambos lados <strong>de</strong> esta <strong>de</strong>sigualdad, nos queda<br />

esto es,<br />

2n<br />

3<br />

ln(2) <<br />

n<br />

2 ln(2n)<br />

(2)<br />

√ 8nln(2)−3ln(2n) < 0 (3)<br />

Reemplazando n = 2 2k−3 para algún k.<br />

(1)


Sergio Plaza 63<br />

Tenemos entonces 2 k ln(2)−3(2k −2)ln(2) < 0 o 2 k < 3(2k −2) lo<br />

cual es verda<strong>de</strong>ro para k 4. Luego (3) no es verda<strong>de</strong>ro para n = 2 7 =<br />

128.<br />

Usando cálculo, se pue<strong>de</strong> ver que (3) no es verda<strong>de</strong>ra para todo n <br />

128. Luego, no es verda<strong>de</strong>ra para todo n 128. Luego, hemos probado<br />

el postulado <strong>de</strong> Bertrand para n 128. Para n 128, se pue<strong>de</strong> hacer<br />

por impección <strong>de</strong>recta <strong>de</strong> esos pocos casos.<br />

2.2 Números <strong>de</strong> Fermat<br />

Recuer<strong>de</strong> que los números <strong>de</strong> Fermat, Fn, son <strong>de</strong>finidos por<br />

para n 0.<br />

Fn = 2 2n<br />

+1<br />

Los primeros cinco números <strong>de</strong> Fermat son<br />

F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537<br />

ellos son primos. Esto llevó a Fermat a conjeturar que cada número Fn<br />

es primo para todo n 0.<br />

Cerca <strong>de</strong> 100 años más tar<strong>de</strong>, en 1732, Euler probó que esta conjetura<br />

era falsa, para ello mostró que<br />

F5 = 2 32 +1 = 4294967297 = 641·6700417.<br />

Los números <strong>de</strong> Fermat que son primos son llamados primos <strong>de</strong> Fer-<br />

mat, y hasta hoy día no se sabe si existen infinitos primos <strong>de</strong> Fermat.


64 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

No se han encontrado primos <strong>de</strong> Fermat más alla <strong>de</strong> F4. Sin embargo<br />

el mayor número <strong>de</strong> Fermat conocido es F234711, y fué <strong>de</strong>scubierto por<br />

W. Keller en 1984.<br />

La siguiente <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>l hecho que F5 es compuesto no se usa<br />

ninguna división y es <strong>de</strong>bida a G. Bennet.<br />

Afirmación. F5 es compuesto.<br />

En efecto, primero notemos que<br />

Ahora,<br />

F5 = 2 25<br />

+1<br />

= 2 32 +1<br />

Luego 641|F5.<br />

= 2 4 ·2 28 +1<br />

= 16·2 28 +1<br />

= (641−625)2 28 +1<br />

= (641−5 4 )2 28 +1<br />

= 641·2 28 −(5·2 7 ) 4 +1<br />

641 = 5·2 7 +1.<br />

= 641·2 28 −(641−1) 4 +1<br />

= 641·2 28 −(641 4 −4·641 3 +6·641 2 −4·641+1)+1<br />

= 641(2 28 −641 3 +4·641 2 −6·641+4)<br />

= 641×6700417<br />

= 4294967297.


Sergio Plaza 65<br />

Quizás, una <strong>de</strong> las más importantes propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los números <strong>de</strong><br />

Fermat, es la conexión encontrada porGauss en 1796 entre los primos <strong>de</strong><br />

Fermat y la construcción con regla (sin marcas) y compás <strong>de</strong> polígonos<br />

regulares.<br />

Teorema 2.13 Un polígono regular con n lados es constructible us-<br />

ando solamente una regla y compás si y sólo si<br />

n = 2 r ·F1 ·F2···Fk,<br />

don<strong>de</strong> r 0 y F1,F2,...,Fk son distintos primos <strong>de</strong> Fermat.<br />

Los antiguos Griegos sabían como construir polígonos regulares, usan-<br />

dosolamentereglaycompás, conlados 2 k , 3·2 k , 5·2 k y 15·2 k = 2 k ·3·5.<br />

También sabían como construir polígonos regulares con 3, 4, 5, 6, 8,<br />

10, 12, 15 y 16 lados, pero no sabían como construir un polígono<br />

regular con 17 lados. La construcción <strong>de</strong> un polígono con 17 lados fué<br />

hecha por Gauss cuando tenía 19 años, y según cuenta la historia, esto<br />

lo llevó a <strong>de</strong>dicar el resto <strong>de</strong> su vida a la matemática.<br />

Damos a seguir una relación <strong>de</strong> recurrencia que satisfacen los números<br />

<strong>de</strong> Fermat y usamos esto para probar algunos resultados interesantes.<br />

Teorema 2.14 Para cada entero n 0, se tiene<br />

Demostración. Como F0 = 2 20<br />

Fn+1 = F0 ·F1 ·F2···Fn +2.<br />

−1 = 1, tenemos<br />

F0 ·F1 ·F2 ·F3···Fn = 1·F0 ·F1 ·F2 ·F3···Fn


66 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

= (2 20<br />

= (2 22<br />

= (2 23<br />

.<br />

= (2 2n<br />

−1)(2 20<br />

+1)(2 21<br />

−1)(2 22<br />

+1)(2 23<br />

+1)···(2 2n<br />

−1)(2 23<br />

+1)···(2 2n<br />

.<br />

−1)(2 2n<br />

= 2 2n+1<br />

−1<br />

= 2 2n+1<br />

+1−2<br />

= Fn+1 −2.<br />

+1)<br />

+1)(2 22<br />

)(2 23<br />

+1)···(2 2n<br />

+1)<br />

+1)<br />

+1)<br />

Teorema 2.15 Dos números <strong>de</strong> Fermat distintos Fm y Fn, con m ><br />

n, son coprimos.<br />

Demostración. Sean Fm y Fn dos números <strong>de</strong> Fermat distintos, con<br />

m > n. Supongamos que d > 0 es un divisor <strong>de</strong> Fm y Fn, entonces d<br />

divi<strong>de</strong>d a<br />

2 = Fm −F0 ·F1···Fn···Fm−1.<br />

Por lo tanto d = 1 o d = 2, pero Fm y Fn son impares, luego<br />

<strong>de</strong>bemos tener que d = 1. Lo que completa la prueab <strong>de</strong>l teorema.<br />

Damos a continuación una prueba elemetal sobre la infinitud <strong>de</strong> los<br />

primos <strong>de</strong>bida a G. Polya.<br />

Teorema 2.16 Existen infinitos primos.<br />

Demostración. (G. Polya) Existen infinitos números <strong>de</strong> Fermat dis-<br />

tintos, cada uno <strong>de</strong> ellos es divisible por un primo impar, y como dos<br />

números <strong>de</strong> Fermat distintos son coprimos, esos primos impares <strong>de</strong>ben<br />

ser todos distintos. Luego, existen infinitos primos.


Sergio Plaza 67<br />

Teorema 2.17 Para cada entero n 0, el entero positivo<br />

N = 2 2n<br />

−1<br />

es divisible por al menos n primos diferentes.<br />

Demostración. Para cada n 0, tenemos<br />

2 2n<br />

−1 = 2 2n<br />

+1−2<br />

= Fn −2<br />

= F0 ·F1 ·F2 ·F3···Fn−1,<br />

y como todos los Fk son coprimos, el resultado se sigue.<br />

2.3 Números <strong>de</strong> Mersenne<br />

Denotemos por Mn = 2 n −1, los números <strong>de</strong> Mersenne.<br />

Teorema 2.18 Si d|n, entonces Md|Mn.<br />

Demostración. Escribamos n = dr entonces la i<strong>de</strong>ntidad<br />

x dr −1 = (x d −1)(x r d−1+x d−2 +···+x r +1)<br />

nos muestra que para x = 2, se tiene que Md = 2 d −1|2 dr −1 = Mn.<br />

Corolario 2.1 Si Mn es primo, entonces n es primo.<br />

Demostración. Por el teorema anterior si n es compuesto entonces<br />

Mn. Supongamos por lo tanto que n = a·b con 1 < a,b < n.<br />

Entonces Ma|Mb por el teorema anterior, Ma > 1 pues a > 1, y<br />

Ma < Mn pues a < n.


68 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

2.4 Números Triangulares<br />

Un entero positivo n es un número triangular si es <strong>de</strong> la forma<br />

n =<br />

k(k +1)<br />

2<br />

don<strong>de</strong> k ∈ N. Luego, el m–ésimo número triangular es<br />

y<br />

tm = m(m+1)<br />

2<br />

Notemos que para cada m ∈ N, se tiene<br />

<br />

m+1<br />

tm = 1+2+···+m = ,<br />

2<br />

tm+1 = tm +(m+1)<br />

(tn)n∈N = {1,3,6,10,..., n(n+1)<br />

,...}.<br />

2<br />

El nombre <strong>de</strong> números triangulares se <strong>de</strong>be al hecho po<strong>de</strong>mos colo-<br />

carlos como sigue, formando triángulo equiláteros<br />

La siguiente caracterización <strong>de</strong> los números triangulares entre los<br />

números naturales es débida a Plutarco (cerca 100 D.C.).<br />

,<br />

.


Sergio Plaza 69<br />

Teorema 2.19 Un número n ∈ N es triangular si y sólo si 8n+1 es<br />

un cuadrado perfecto.<br />

Demostración. Supongamos que n es un número triangular, es <strong>de</strong>cir,<br />

n = tk para algún k ∈ N. Luego,<br />

que es un cuadrado perfecto.<br />

8n+1 = 8tk +1<br />

= 8· k(k+1)<br />

+1<br />

2<br />

= 4k 2 +4k +1<br />

= (2k +1) 2<br />

Recíprocamente, si n ∈ N es tal que 8n + 1 = k 2 es un cuadrado<br />

perfecto. Tenemos entonces que k <strong>de</strong>be ser impar y k 3. Luego<br />

k−1<br />

2<br />

∈ N. Tomamos m = k−1<br />

2 y tenemos<br />

tm = tk−1<br />

2<br />

=<br />

k−1<br />

2<br />

<br />

k−1<br />

2 +1<br />

=<br />

2<br />

k2 −1<br />

= n,<br />

8<br />

esto es, n es un número triangular, más precisamente n es el k−1<br />

2<br />

–ésimo término en la sucesión <strong>de</strong> los números triangulares.<br />

Teorema 2.20 Entre los números <strong>de</strong> Fermat Fn, no hay cuadrados,<br />

no hay cubos, y no hay números triangulares, excepto F0 = 3 = 2·3<br />

2 .<br />

Teorema 2.21 Si n ∈ N es un cuadrado perfecto, entonces se tiene<br />

a) Si n es par, entonces n es divisible por 4.<br />

b) Si n es impar, entonces n es <strong>de</strong> la forma 8k + 1, con k ∈ N,<br />

esto es, cuando n es dividido por 8 <strong>de</strong>ja resto 1.<br />

Demostración. Sea m ∈ N tal que n = m 2 .


70 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

a) Si m = 2k es par, entonces n = m 2 = 4k 2 es divisible por 4.<br />

b) Si m = 2l−1 esimpar,entonces n = m 2 = (2l−1) 2 = 4l 2 −4l+1 =<br />

4(l −1)l +1.<br />

Comoelproducto (l−1)l <strong>de</strong>dosnúmerosnaturalesconsecutivos siempre<br />

es par, se tiene que (l−1)l = 2k, y nos queda n = 4·2k+1 = 8k+1.<br />

Ejemplo 2.11 Enlasucesión<strong>de</strong>números 11,111,1111,...,111...1111,...<br />

no aparece ningún cuadrado perfecto.<br />

En efecto, tenemos que 11 = 8+3 y n = 111...1111 = 111...1000+<br />

111 = 8l+8·13+7 = 8k+7 para n 111, esto significa que ninguno <strong>de</strong><br />

los números en la sucesión es <strong>de</strong> la forma 8k +1, que es una condición<br />

necesaria para ser un cuadrado perfecto.<br />

Ejemplo 2.12 a) n = 12 es divisible por 4, pero no es cuadrado<br />

perfecto.<br />

b) n = 17 = 2·8+1, es <strong>de</strong> la forma 8k+1 pero no es un cuadrado<br />

perfecto.<br />

Números naturales que son diferencia <strong>de</strong> dos cuadrados, es <strong>de</strong>cir, n =<br />

x 2 −y 2 , con x ∈ N, y ∈ N∪{0}. Note por ejemplo que n = 2 y n = 6<br />

no pue<strong>de</strong>n ser escritos como diferencia <strong>de</strong> dos cuadrados como arriba.<br />

Tenemos el siguiente resulado<br />

Teorema 2.22 Sea n ∈ N, entonces n = x 2 − y 2 para x ∈ N e<br />

y ∈ N∪{0} si y sólo si n no es <strong>de</strong> la forma 4k +2,k ∈ N∪{0}.<br />

Demostración. Supongamos que n = x 2 −y 2 , con x ∈ N,y ∈ N∪{0}.<br />

Para probar que n no es <strong>de</strong> la forma 4k+2, con k ∈ N∪{0}, po<strong>de</strong>mos


Sergio Plaza 71<br />

suponer que n es par (si n es impar esto es inmediato). De esto se<br />

sigue que x e y ambos son pares o ambos son impares. Si x = 2k e<br />

y = 2l, tenemos que n = x 2 − y 2 = (2k) 2 − (2l) 2 = 4(k 2 − l 2 ) que<br />

no es <strong>de</strong> la forma 4m + 2. Si x = 2k − 1 e y = 2l − 1, tenemos<br />

n = x 2 −y 2 = (2k −1) 2 −(2l −1) 2 es <strong>de</strong> la forma 4m+2.<br />

Recíprocamente, supongamos que n no es <strong>de</strong> la forma 4m+2, esto<br />

implica que n es impar o divisible por 4.<br />

Si n es impar, entonces n±1 es par y por lo tanto n−1<br />

,<br />

2<br />

n+1<br />

∈<br />

2<br />

2− <br />

n−1 2 1<br />

2 =<br />

4 ((n+1)2 −(n−1) 2 ) = n, esto es<br />

N∪{0}. Ahora, n+1<br />

2<br />

<br />

n+1<br />

n =<br />

2<br />

2<br />

<br />

n−1<br />

−<br />

2<br />

es una posible <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> n como diferencia <strong>de</strong> dos cuadrados.<br />

Si n = 4k, entonces n = (k +1) 2 −(k −1) 2 , es <strong>de</strong>cir,<br />

n =<br />

2<br />

<br />

n<br />

4 +1<br />

2 <br />

n<br />

−<br />

4 −1<br />

2 Observación. Po<strong>de</strong>mos escribir N como<br />

N = {4k : k ∈ N}∪{4k+1 : k ∈ N∪{0}}···∪{4k+2 : k ∈ ∪{0}}∪{4k+3 : k ∈ N∪{0}}<br />

y vemos que <strong>de</strong> estos, solamente los números <strong>de</strong>l conjunto {4k+2 : k ∈<br />

N∪{0}} no pue<strong>de</strong>n ser escritos como diferencia <strong>de</strong> dos cuadrados.


72 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

2.4.1 Ejercicios<br />

Problema 2.18 (Teorema <strong>de</strong> Wolstenholme) Sea p 5 un primo. En-<br />

tonces p 2 divi<strong>de</strong> al numerador <strong>de</strong> la fracción resultante <strong>de</strong>l número<br />

1+ 1 1 1<br />

+ +···+<br />

2 3 p−1 .<br />

Problema 2.19 Sean p1, p2, ..., pn primos distintos mayores que 3.<br />

Pruebe que<br />

2 p1·p2···pn +1<br />

tiene al menos 4 n divisores ¿Qué ocurre si algún pi es igual a 2 o 3?<br />

Problema 2.20 Sea p un primo y n 1 un entero tal que n divi<strong>de</strong><br />

a p−1 y p divi<strong>de</strong> a n 3 −1. Pruebe que 4p+3 es el cuadrado <strong>de</strong> un<br />

número entero. Ilustre el resultado con algunos ejemplos.<br />

Problema 2.21 Sea p un primo con p > 5, y sea S = {p−n 2 : n ∈<br />

N, n 2 < p}. Pruebe que S contiene dos elementos a y b tales que<br />

1 < a < b y a|b.<br />

Problema 2.22 Suponga que 2 n + 1 es un primo impar para algún<br />

entero positivo n. Pruebe que n <strong>de</strong>be ser una potencia <strong>de</strong> 2.<br />

Problema 2.23 Sea p un primo mayor que 3. Pruebe que 7 p −6 p −1<br />

es divisible por 43.<br />

Problema 2.24 Suponga que 4 n +2 n +1 es primo para algún entero<br />

positivo n. Muestre que n <strong>de</strong>be ser una potencia <strong>de</strong> 3.


Sergio Plaza 73<br />

Problema 2.25 Para cada entero positivo n > 1, sea p(n) el mayor<br />

divisor primo <strong>de</strong> n. Pruebe que existen infinitos enteros positivos n<br />

con p(n) < p(n+1) < p(n+2).<br />

Problema 2.26 Determine todos los pares (n,p) <strong>de</strong> enteros no nega-<br />

tivos tales que<br />

1. p es primo,<br />

2. n < 2p, y<br />

3. (p−1) n +1 es divisible por n p−1 .<br />

Problema 2.27 Encuentre todos los números naturales n tal que el<br />

número n(n+1)(n+2)(n+3) tiene exactamente tres divisores primos.<br />

Problema 2.28 El siguiente resultado es débido a Dirichlet. Para<br />

a,b,c ∈ N, con mcd(a,b) = 1, existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma<br />

ak +b.<br />

Usando este resultado pruebe que existen infinitos primos que termi-<br />

nan con el dígito 9.<br />

Por ejemplo: 19, 29, 59, 79, 89, 139, 149, ....<br />

Problema 2.29 Usando el teorema <strong>de</strong> Dirichlet (problema anterior)<br />

pruebe que existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma 2pk+1, don<strong>de</strong> p es un<br />

primo impar.<br />

Problema 2.30 Sean b, m y n enteros positivos, con b > 1 y m = n.<br />

Si b m −1 y b n −1 tienen los mismos factores primos. Pruebe que b+1<br />

<strong>de</strong>be ser una potencia <strong>de</strong> 2.


74 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 2.31 Pruebe que existen infinitos pares or<strong>de</strong>nados (a,b) <strong>de</strong><br />

enteros tal que para cada entero positivo t, el número at + b es un<br />

número triangular si y sólo si t es un número triangular.<br />

Problema 2.32 Muestre que existen dos cuadrados consecutivos tales<br />

que entre ellos existen al menos 1000 primos.<br />

Problema 2.33 ¿Existen infinitos primos <strong>de</strong> Fermat, es <strong>de</strong>cir, primos<br />

<strong>de</strong> la forma? Fn = 2 2n<br />

primos, pero F5 nos lo es (Euler probó esto).<br />

+ 1? Se sabe que F0, F1, F2,, F3, F4 son<br />

Problema 2.34 ¿Existeninfinitosprimos<strong>de</strong>Mersenne,es<strong>de</strong>cir,primos<br />

<strong>de</strong> la forma 2 p −1, con p primo?<br />

Problema 2.35 ¿Existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma 2p+1, don<strong>de</strong> p<br />

es primo? Por ejemplo,<br />

7 = 2·3+1, p = 3 primo<br />

11 = 2·5+1, p = 5 primo<br />

23 = 2·11+1, p = 11 primo<br />

.<br />

Problema 2.36 ¿Existealmenosunprimoentrecadapar<strong>de</strong>cuadrados<br />

consecutivos?<br />

n = 1, 1 2 = 1 3 2 2 = 4<br />

n = 2, 2 2 = 4 5,7 3 2 = 9<br />

n = 3, 3 2 = 9 11,13 4 2 = 16<br />

.


Sergio Plaza 75<br />

Problema 2.37 ¿Existen infinitos primos p para los cuales 2 p−1 es<br />

divisible por p 2 ?<br />

Problema 2.38 ¿Existen infinitos primos p para los cuales (p−1)!+1<br />

es divisible por p 2 ?<br />

Problema 2.39<br />

Problema 2.40<br />

Problema 2.41<br />

Problema 2.42<br />

Problema 2.43<br />

Problema 2.44<br />

Problema 2.45<br />

Problema 2.46 Sea f(n) = σ(n)−n, don<strong>de</strong> σ(n) <strong>de</strong>nota la suma <strong>de</strong><br />

los divisores <strong>de</strong> n. Por ejemplo, f(1) = 0, f(2) = 1 + 2 − 2 = 1,<br />

f(3) = 1+3−3 = 1, f(4) = 1+2+4−4 = 3, f(5) = 1+5−5 = 1,<br />

f(6) = 1+2+3+6−6 = 6, f(7) = 1, f(8) = 1+2+4+8−8 = 7, ....<br />

Note que si n es primo entonces f(n) = 1, pues los divisores <strong>de</strong> n<br />

son 1 y n.<br />

Para n = 8, tenemos f(8) = 7, f(7) = 1 y f(1) = 1, si n = 9,<br />

f(9) = 1 + 3 + 9 − 9 = 4, f(4) = 3, f(3) = 1, y f(1) = 1. Para<br />

n = 10, f(10) = 1+2+5−5 = 3, f(3) = 1 y f(1) = 1. Caso n = 12,<br />

f(12) = 1 + 3 + 4 + 6 + 12 − 12 = 14, f(14) = 1 + 7 + 14 − 14 = 8,<br />

f(8) = 7, f(7) = 1 y f(1) = 1. Haga más ejemplos y formule una


76 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

conjetura respecto al cálculo , n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))),... (Si su<br />

conjetura es la siguiente, n,f(n)), f(f(n)), f(f(f(n))),... se vuelve<br />

periódica. Entonces a ella no se le conoce si es verda<strong>de</strong>ra o falsa. Por<br />

ejemplo, f(95) = 25, f(25) = 6, f(6) = 6, f(6) = 6,...<br />

Problema 2.47 Sea an = 6 n + 8 n . Calcule el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong><br />

a83 por 49.<br />

Problema 2.48 Si 30x0y03 es divisible por 13 encuentre x e y.<br />

Problema 2.49 Pruebe que su 9|(a 3 +b 3 +c 3 ) entonces 3|(abc), para<br />

enteros positivos a,b,c.<br />

Problema 2.50 Encuentre el último dígito <strong>de</strong> 3 100 .<br />

Problema 2.51 Pruebe que si 7|(a 2 +b 2 ) entonces 7|a y 7|b.<br />

Problema 2.52 Pruebeque para todo n, se tiene que n 9 −6n 7 +9n 5 −<br />

4n 3 es divisible por 8640.<br />

Problema 2.53 Pruebe que para cada entero positivo n se tiene que<br />

(n+1)·(n+2)···2n es divisible por 2 n .<br />

Problema 2.54 Determine los últimos dígitos <strong>de</strong> los números en la<br />

sucesión 23 23 23 , 23 (2323 ) ,...<br />

Problema 2.55 Pruebequetres númerosenteros positivos n,n+2,n+<br />

4 no pue<strong>de</strong>n simultáneamente primos, salvo si n = 3.<br />

Problema 2.56 Sea p > 3 un primo.<br />

1. Explique porqué p = 6k +1 o p = 6k −1 para algún k ∈ N.


Sergio Plaza 77<br />

2. Use (a) para probar que 24|(p 2 −1).<br />

Problema 2.57 Pruebe que 24|n(n 2 − 1) para cada entero positivo<br />

impar n.<br />

Problema 2.58 Sean a,b,c ∈ N.<br />

1. Pruebe que si 3|(a 2 +b 2 ), entonces 3|ab.<br />

2. Pruebe que si 9|(a 3 +b 3 +c 3 ), entonces 3|abc.<br />

Problema 2.59 Pruebeque 2 n |(n+1)(n+2)···(2n) paracada n ∈ N.<br />

Problema 2.60 Pruebe que si p es primo entonces<br />

para 1 i p−1.<br />

⎛<br />

⎝ p<br />

Use esto para probar que<br />

i<br />

⎞<br />

⎠ ≡ 0 (mod p)<br />

(1+x) p ≡ 1+x p<br />

(mod p)<br />

Problema 2.61 Sea p 3 un primo y sea k =<br />

Pruebe que<br />

es divisible por p 2 .<br />

<br />

p p p<br />

+ +···+<br />

1 2 k<br />

<br />

2p<br />

3


78 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 2.2 Si a y b son enteros positivos coprimos, pruebe que<br />

mcd(a+b,a 2 +ab+b 2 ) = 1.<br />

Problema 2.62 Muestre que si q1,q2,···,qn son primos, entonces ex-<br />

iste unprimo q, con q ∈ {q1,···,qn}. (Indicación. Consi<strong>de</strong>reel número<br />

N = q1 ·q2···qn +1. Por un lema anterior existe un primo q, tal que<br />

q|N . Pruebe entonces que q ∈ {q1,q2,···,qn}).<br />

Problema 2.63 Pruebe que, para cada primo impar, existen infinitos<br />

primos <strong>de</strong> la forma 2kp+1.<br />

Problema 2.64 Sean p y q números primos, tales que n = p · q =<br />

243449 y φ(n) = 241536. Encuentre los primos p y q.<br />

Problema 2.65 Pruebeque un número<strong>de</strong> la forma 2 n +1, con n > 1,<br />

pue<strong>de</strong> ser primo sólo si n es una potencia <strong>de</strong> 2.<br />

Problema 2.66 Pruebeque un número<strong>de</strong> la forma 2 n −1, con n > 1,<br />

pue<strong>de</strong> ser primo sólo si n es primo.<br />

Indicación. 2 m−1 divi<strong>de</strong> a 2 n −1 cuando m divi<strong>de</strong> a n.<br />

Problema 2.67 Pruebe que existen infinitos primos en la progresión<br />

aritmética infinita 2,5,11,14,17,...<br />

Problema 2.68 Sea p un número primo<br />

<br />

p<br />

1. Pruebe que es divisible por p para k = 1,2,...,p−1.<br />

k<br />

2. Pruebe que 2 p −2 es divisible por p.<br />

Problema 2.69


Sergio Plaza 79<br />

Problema 2.70<br />

Problema 2.71<br />

Problema 2.72<br />

Curiosidad Numérica<br />

La siguiente tabla correspon<strong>de</strong> a los coeficientes <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l<br />

binomio <strong>de</strong> Newton<br />

1<br />

1 1<br />

1 2 1<br />

1 3 3 1<br />

1 4 6 4 1<br />

1 5 10 10 5 1<br />

1 6 15 20 15 6 1<br />

1 7 21 35 35 21 7 1<br />

1 8 28 56 70 56 28 8 1<br />

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1<br />

1 10 43 120 210 252 210 120 43 10<br />

1 11 53 163 330 462 462 330 163 53 11<br />

En esta tabla hemos consi<strong>de</strong>rado los coeficientes <strong>de</strong>l binomio <strong>de</strong> New-<br />

ton módulo 2.<br />

Si el lector tiene paciencia agregue más filas y columnas y vera apare-<br />

cer una conocida forma fractal llamada triángulo <strong>de</strong> Sierpinski.


80 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

1<br />

1 1<br />

1 0 1<br />

1 1 1 1<br />

1 0 0 0 1<br />

1 1 0 0 1 1<br />

1 0 1 0 1 0 1<br />

1 1 1 1 1 1 1 1<br />

1 0 0 0 0 0 0 0 1<br />

1 1 0 0 0 0 0 0 1 1<br />

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1<br />

1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1<br />

2.4.2 Algunos comentarios sobre la distribución <strong>de</strong> los<br />

números primos.<br />

<strong>Una</strong> <strong>de</strong> las peculiarida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los primos es la aparente ausencia <strong>de</strong><br />

un patrón. Por ejemplo, hay exactamente nueve primos entre los 100<br />

números comprendidos entre 9.999.900 y 10.000.000. Sin embargo, hay<br />

solamente dos primos entre 10.000.000 y 10.000.100. ( encontrarlos!).<br />

Por otro lado hay 25 primos entre 1 y 100. Esta falta <strong>de</strong> regularidad<br />

en la distribución <strong>de</strong> los números primos ha sido constante fuente <strong>de</strong><br />

discusión en la disciplina, que ha llevado al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> una amplia<br />

variedad <strong>de</strong> ra<strong>mas</strong> <strong>de</strong> la matemática. Este aparente <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n ya había<br />

tomado la atención <strong>de</strong> Gauss (1777–1855 3 ).<br />

3 C.F. Gauss: Nació el 30 <strong>de</strong> Abril 1777 en Brunswick, Alemania. Falleció el 23<br />

<strong>de</strong> Febrero 1855 en Göttingen, Hanover. Cuando Gauss tenía diez años <strong>de</strong> edad, su


Sergio Plaza 81<br />

maestro solicitó a la clase que encontrará la suma <strong>de</strong> todos los números comprendidos<br />

entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún<br />

tiempo, quedóasombradocuandoGauss, levantóenseguidalamanoydiolarespuesta<br />

correcta. Gauss reveló<br />

que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta <strong>de</strong> que el niño<br />

era una promesa en las matemáticas. Hijo <strong>de</strong> un humil<strong>de</strong> albañil, Gauss dio señales<br />

dio señales <strong>de</strong> ser un genio antes <strong>de</strong> que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió<br />

a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que <strong>de</strong>scubrió un<br />

error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela<br />

primaria antes <strong>de</strong> que<br />

cumpliera los siete años. Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos <strong>de</strong>la<br />

geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la geometría no<br />

euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio <strong>de</strong> Newton. El<br />

genio y la precocidad <strong>de</strong> Gauss llamaron la atención <strong>de</strong>l duque <strong>de</strong> Brunswick, quien<br />

dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secun-<br />

daria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los<br />

idio<strong>mas</strong>, pensaba que haría <strong>de</strong> la filología la obra <strong>de</strong> su vida, pero las matemáticas<br />

resultaron ser una atracción irresistible. Cuando estudiaba en Gotinga, <strong>de</strong>scubrió que<br />

podría construirse un polígono regular <strong>de</strong> diecisiete lados usando sólo la regla y el<br />

compás. Enseñó lapruebaasu profesor, quiénse <strong>de</strong>mostró untantoescéptico y le dijo<br />

que lo que sugería era imposible; pero Gauss <strong>de</strong>mostró que tenía la razón. El profesor,<br />

no pudiendo negar lo evi<strong>de</strong>nte, afirmó que también él procedió <strong>de</strong> la misma manera.<br />

Sin embargo, se reconoció el mérito <strong>de</strong> Gauss, y la fecha <strong>de</strong> su <strong>de</strong>scubrimiento, 30<br />

<strong>de</strong> Marzo <strong>de</strong> 1796, fue importante en la historia <strong>de</strong> las matemáticas. Posteriormente,<br />

Gauss encontró la fórmula para construir los <strong>de</strong>más polígonos regulares con la regla<br />

y el compás. Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doc-<br />

torado en la Universidad <strong>de</strong> Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema<br />

que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geo<strong>de</strong>sta e inventor.<br />

Hablaba con facilidad varios idio<strong>mas</strong>, e inclusive dominó el ruso a la edad <strong>de</strong> sesenta<br />

años. En 1807 fue nombrado director <strong>de</strong>l observatorio y profesor <strong>de</strong> astronomía en la<br />

Universidad <strong>de</strong> Gotinga. A principios <strong>de</strong>l siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones<br />

aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido <strong>de</strong> su teoría <strong>de</strong> números, comprendiendo<br />

las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición <strong>de</strong> una con-<br />

vergencia <strong>de</strong> una serie infinita. Estudió la teoría <strong>de</strong> los errores y <strong>de</strong>dujo la curva


82 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

La i<strong>de</strong>a genial fueno consi<strong>de</strong>rar los primos <strong>de</strong> a unosi noque tomarlos<br />

<strong>de</strong> montones. Llamemos por π(n) la cantidad <strong>de</strong> primos menor o igual<br />

que n . Esta cantidad se pue<strong>de</strong> calcular para varios valores <strong>de</strong> n. A<br />

continuación damos algunos valores para π(n).<br />

El cociente n/π(n) representa la proporción <strong>de</strong> números hasta n que<br />

son primos. Examinando con <strong>de</strong>tención esta razón. Vemos que por<br />

cada potencia <strong>de</strong> 10 la razón aumenta en 2,3. Este número es mágico<br />

para los matemáticos, pues se parece a ln(10), y por lo tanto, n/π(n)<br />

se <strong>de</strong>bería parecer ln(n) o lo que es equivalente, π(n) se aproxima<br />

n/ln(n). Más precisamente, po<strong>de</strong>mos enunciar el famoso Teorema <strong>de</strong><br />

los Números Primos que afirma que<br />

π(n)<br />

lim = 1.<br />

n→∞ n/ln(n)<br />

normal <strong>de</strong> la probabilidad, llamada también curva <strong>de</strong> Gauss, que todavía se usa en<br />

los cálculos estadísticos. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su<br />

casa y el observatorio, a una distancia <strong>de</strong> unos dos kilómetros. Inventó también un<br />

magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber, proyectó y construyó<br />

un observatorio no magnético. Tanto Gauss como Riemann, que fue discípulo suyo,<br />

pensaban en una<br />

teoría electromagnética quesería muy semejante a la ley universal <strong>de</strong> la gravitación,<br />

<strong>de</strong> Newton. Empero, la teoría <strong>de</strong>l electromagnetismo fue i<strong>de</strong>ada más tar<strong>de</strong>, en 1873,<br />

por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En<br />

1840, las investigaciones <strong>de</strong>Gausssobrelaópticatuvieronespecial importancia<strong>de</strong>bido<br />

a sus <strong>de</strong>ducciones por lo que toca a los siste<strong>mas</strong> <strong>de</strong> lentes. A la edad <strong>de</strong> setenta y<br />

siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita<br />

con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, <strong>de</strong> un polígono <strong>de</strong> diecisiete lados.<br />

Durante su vida, se reconoció que era el matemático más gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> los siglos XVIII<br />

y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la<br />

solución <strong>de</strong> proble<strong>mas</strong> complicadísimos <strong>de</strong> las ciencias físicas y naturales.


Sergio Plaza 83<br />

n π(n) n/π(n)<br />

10 4 2,5<br />

100 25 4,0<br />

1000 168 6,0<br />

10.000 1.229 8,1<br />

100.000 9.592 10,4<br />

1.000.000 78.498 12,7<br />

10.000.000 664.579 15,0<br />

100.000.000 5.761.455 17,4<br />

1.000.000.000 50.847.534 19,7<br />

10.000.000.000 455.052.512 22,0<br />

Esto quiere <strong>de</strong>cir que para n suficientemente gran<strong>de</strong> la cantidad <strong>de</strong><br />

primos menor o igual que n es aproximadamente n/ln(n).<br />

Ejercicio 2.1 Utilizando unacalculadora ouncomputador, calcular los<br />

valores<strong>de</strong> n/ln(n) para n = 10 k paravalores<strong>de</strong> k = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10<br />

y compararlos con los valores exactos dados por la segunda columna <strong>de</strong><br />

la tabla para π(n).<br />

2.5 Lista <strong>de</strong> los primeros 1000 números primos<br />

Los primeros 1000 primos, el primo número 1000 es 7919. Para <strong>mas</strong> in-<br />

formaciónsobrenúmerosprimosconsultarlapáginasiguientehttp://www.utm.edu/research/primes<br />

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29<br />

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71<br />

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113<br />

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173


84 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229<br />

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281<br />

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349<br />

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409<br />

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463<br />

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541<br />

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601<br />

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659<br />

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733<br />

739 743 751 757 761 769 773 787 797 809<br />

811 821 823 827 829 839 853 857 859 863<br />

877 881 883 887 907 911 919 929 937 941<br />

947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013<br />

1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069<br />

1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151<br />

1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223<br />

1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291<br />

1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373<br />

1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451<br />

1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511<br />

1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583<br />

1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657<br />

1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733<br />

1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811<br />

1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889<br />

1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987<br />

1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053<br />

2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129


Sergio Plaza 85<br />

2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213<br />

2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287<br />

2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357<br />

2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423<br />

2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531<br />

2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617<br />

2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687<br />

2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741<br />

2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819<br />

2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903<br />

2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999<br />

3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079<br />

3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181<br />

3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257<br />

3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331<br />

3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413<br />

3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511<br />

3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571<br />

3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643<br />

3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727<br />

3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821<br />

3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907<br />

3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989<br />

4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057<br />

4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139<br />

4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231<br />

4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297<br />

4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409


86 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493<br />

4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583<br />

4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657<br />

4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751<br />

4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831<br />

4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937<br />

4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003<br />

5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087<br />

5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179<br />

5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279<br />

5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387<br />

5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443<br />

5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521<br />

5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639<br />

5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693<br />

5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791<br />

5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857<br />

5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939<br />

5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053<br />

6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133<br />

6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221<br />

6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301<br />

6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367<br />

6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473<br />

6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571<br />

6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673<br />

6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761<br />

6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833


Sergio Plaza 87<br />

6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917<br />

6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997<br />

7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103<br />

7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207<br />

7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297<br />

7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411<br />

7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499<br />

7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561<br />

7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643<br />

7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723<br />

7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829<br />

7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919


88 Teoría <strong>de</strong> Números


Capítulo 3<br />

Ecuaciones diofántinas<br />

<strong>Una</strong>ecuación con coeficientes enteros enunaomásincognitas es llamada<br />

diofántina (en honor a Diofanto 1 quien fue el primero en estudiar este<br />

tipo <strong>de</strong> ecuaciones). En particular, nos interesa examinar la ecuación<br />

diofántina, llamada ecuación diofántina lineal en dos incógnitas,<br />

ax+by = c, (3.1)<br />

don<strong>de</strong> a, b y c son enteros dados, con a y b no simultáneamente<br />

nulos. Un par <strong>de</strong> números x0, y0 es una solución <strong>de</strong> la ecuación (3.1) si<br />

y sólo si ax0 +by0 = c.<br />

Ejemplo 3.1 Consi<strong>de</strong>remoslaecuacióndiofántina 3x+6y = 18. Clara-<br />

mente x0 = 4 e y0 = 1 es una solución, puesto que 3·4+6·1 = 18.<br />

También los pares (−6,6) y (10,−2) son soluciones. Este ejemplo<br />

muestraqueunaecuacióndiofántinalinealnonecesariamenteposeesolu-<br />

ciones únicas.<br />

1 Diofantus, nació alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l año 200 y falleció alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l año 284. Su libro<br />

“Aritmética” inspiró a Fermat en sus investigaciones.<br />

89


90 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 3.2 Pue<strong>de</strong>suce<strong>de</strong>rqueunaecuacióndiofantinanoposeaninguna<br />

solución en Z. Por ejemplo, la ecuación diofántina 2x − 8y = 13<br />

no pue<strong>de</strong> tener soluciones en los números enteros, puesto que el lado<br />

izquierdo <strong>de</strong> la ecuación es siempre par y el lado <strong>de</strong>recho es impar.<br />

Ejemplo 3.3 La ecuación 9x + 100y = 1 tiene soluciones x,y en los<br />

enteros.<br />

En efecto, como mcd(9,100) = 1, existen enteros x,y tales que 9x+<br />

100y = 1 (representación <strong>de</strong> Bèzout <strong>de</strong>l máximo común divisor <strong>de</strong> dos<br />

enteros). Por ejemplo, 9(−11)+100·1 = 1) o 9·89+100(−8) = 1. De<br />

hecho, la ecuación diafantina 9x + 100y = 1 tiene infinitas soluciones<br />

enteras x e y como muestra el siguiente resultado.<br />

En el siguiente teorema formulamos un criterio <strong>de</strong> solubilidad para las<br />

ecuaciones diofantinas <strong>de</strong>l tipo (3.1).<br />

Teorema 3.1 Sean a,b,c ∈ Z. Consi<strong>de</strong>re la ecuación diofantina (3.1)<br />

ax+by = c.<br />

(a) Si mcd(a,b) |/ c, entonces no esisten soluciones enteras x,y <strong>de</strong><br />

(3.1).<br />

(b) Si mcd(a,b)|c, entonces existen infinitas soluciones <strong>de</strong> (3.1). A<strong>de</strong>más,<br />

todas ellas son <strong>de</strong> la forma<br />

b<br />

x =<br />

mcd(a,b) k +x0,<br />

a<br />

y = −<br />

mcd(a,b) k+y0,<br />

don<strong>de</strong> (x0,y0) es una solución particular y k ∈ Z.


Sergio Plaza 91<br />

Demostración. Consi<strong>de</strong>remos la ecuación diofantina<br />

ax+by = c.<br />

Caso 1. Supongamos que mcd(a,b) |/ c. Si x,y son soluciones <strong>de</strong> la<br />

ecuación diofantina, entonces<br />

mcd(a,b)|(ax+by) = c,<br />

y esto es una contradicción. Por lo tanto no existen soluciones enteras<br />

para la ecuación (3.1).<br />

Caso 2. Supongamos que mcd(a,b)|c. Entonces existe algún k ∈ Z<br />

tal que c = kmcd(a,b). Por <strong>otra</strong> parte existen enteros m y n tales<br />

que<br />

am+bn = mcd(a,b),<br />

luego, amk+bnk = mcd(a,b)k = c. Por lo tanto, x = km, y = kn es<br />

una solución <strong>de</strong> la ecuación (3.1).<br />

Ahora, sea (x0, y0) una solución particular <strong>de</strong> la ecuación diofantina<br />

(3.1). Entonces, <strong>de</strong>notando por d = mcd(a,b), tenemos<br />

<br />

b<br />

a<br />

d k+x0<br />

<br />

+b − a<br />

d k+y0<br />

<br />

= ax0 +bx0 = c.<br />

Esto prueba que x = b<br />

d k +x0, y = − a<br />

d k +y0 es una solución <strong>de</strong> la<br />

ecuación (3.1) para cada k ∈ Z.<br />

Nos resta mostrar que cada solución tiene la forma x = b<br />

k + x0,<br />

d<br />

y = − a<br />

d k+y0, con x0,y0 unasolución particular y k ∈ Z. Supongamos


92 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

paraelloque x,y esunasolución. Entonces<strong>de</strong> ax+by = c y ax0+by0 =<br />

c tenemos que<br />

Luego,<br />

esto es,<br />

a(x−x0)+b(y −y0) = c−c = 0.<br />

a b<br />

(x−x0)+<br />

d d (y −y0) = 0,<br />

a<br />

d (x−x0) = − b<br />

(y −y0).<br />

d<br />

Ahora, como a<br />

divi<strong>de</strong> el lado izquierdo <strong>de</strong> la última igualdad, <strong>de</strong>be<br />

d<br />

dividir también el lado <strong>de</strong>recho. Por <strong>otra</strong> parte, como mcd <br />

a b<br />

d , d = 1,<br />

se <strong>de</strong>be tener que a<br />

d |(y−y0), esto se traduce en que y−y0 = k a<br />

d para<br />

algún k ∈ Z es <strong>de</strong>cir, y = y0 + k a<br />

d . Ahora, reemplazando y − y0 en<br />

la igualdad a<br />

d (x−x0) = − b<br />

d (y −y0) nos queda a<br />

d (x−x0) = − b a<br />

·k<br />

d d ,<br />

esto es, x = − b<br />

d k+x0. Lo que completa la prueba <strong>de</strong>l teorema.<br />

Otra forma <strong>de</strong> formular el mismo teorema es la siguiente.<br />

Teorema 3.2 Denotemos por d = mcd(a,b). Entonces la ecuación<br />

diofántica (3.1) posee una solución si y sólo si d|c. A<strong>de</strong>más, si x0 e<br />

y0 es una solución particular <strong>de</strong> la ecuación entonces todas las <strong>otra</strong>s<br />

soluciones x e y están dadas por<br />

x = x0 +αt, y = y0 −βt,<br />

para t un entero arbitrario, don<strong>de</strong> b = αd y a = βd.


Sergio Plaza 93<br />

Observación. <strong>Una</strong> consecuencia inmediata <strong>de</strong> este teorema es el caso<br />

particular en que los coeficientes a y b <strong>de</strong> la ecuación son coprimos.<br />

En tal caso se obtiene que si x0 e y0 es una solución particular <strong>de</strong> la<br />

ecuación, entonces todas las soluciones x e y están dadas por<br />

para todo t ∈ Z.<br />

x = x0 +bt, y = y0 −at,<br />

Ejemplo 3.4 La ecuación 6x + 9y = 21 tiene infinitas soluciones en-<br />

teras.<br />

En efecto, como mcd(6,9) = 3 y 3|21, por la primera parte <strong>de</strong>l<br />

teorema (3.1) existen infinitas soluciones para la ecuación propuesta.<br />

Por <strong>otra</strong> parte, una solución particular es x0 = 8, y0 = −3, pues<br />

6 · 8 + 9(−3) = 48 − 27 = 21, y la solución general es dada por x =<br />

9<br />

k+8 = 3k +8 e y = −6 k−3 = −2k −3, con k ∈ Z. Por ejemplo,<br />

3 3<br />

para k = 1 obtenemos la solución x = 11, y = −5 y para k = 2<br />

obtenemos la soluci’on x = 14 e y = −7.<br />

Ejemplo 3.5 Estudiemos la ecuación diofantina 172x+20y = 1000.<br />

Como mcd(172,20) = 4 y como 4 divi<strong>de</strong> a 1000, el teorema (3.1)<br />

garantiza que la ecuación posee solución en los números enteros.<br />

A<strong>de</strong>más se tiene que<br />

1000 = 500·172+(−4250)·20.<br />

Por lo tanto, x0 = 500 e y0 = −4250 es una solución <strong>de</strong> la ecuación,<br />

y todas las soluciones son <strong>de</strong> la forma x = 500+5t e y = −4250−43t,<br />

con t ∈ Z.


94 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 3.6 ⎛ Sean m y n enteros positivos, con m n. Entonces<br />

mcd(m,n)<br />

⎝<br />

m<br />

m<br />

⎞<br />

⎠ es un número entero.<br />

n<br />

Solución. Usaremos la ecuación <strong>de</strong> Bézout <strong>de</strong> un modo bastante ele-<br />

gante. Sea S el conjunto <strong>de</strong> los enteros x tales que<br />

⎛<br />

x<br />

⎝<br />

m<br />

m<br />

⎞<br />

⎠<br />

n<br />

sea un número entero. Notemos que m pertenece a S, pués los<br />

números binomiales son números enteros. También n pertenece a S,<br />

ya que<br />

⎛<br />

n<br />

⎝<br />

m<br />

m<br />

n<br />

⎞<br />

⎠ = n m!<br />

m(m−n)!n!<br />

=<br />

⎛<br />

⎝ m−1<br />

⎞<br />

⎠.<br />

n−1<br />

Ahora, si x e y pertenecen a S, entonces para cualquier par <strong>de</strong><br />

enteros u y v se tiene que ux+vy también pertenece a S. En efecto,<br />

tenemos que<br />

ux+vy<br />

m<br />

⎛<br />

⎝ m<br />

n<br />

⎞<br />

⎠ = u· x<br />

m<br />

⎛<br />

⎝ m<br />

n<br />

⎞<br />

⎠+v · y<br />

m<br />

⎛<br />

⎝ m<br />

quees unentero porlacondición <strong>de</strong>que x e y pertenecen a S. Comoel<br />

máximo común divisor <strong>de</strong> m y n pue<strong>de</strong> ser escrito en la forma mu+nv<br />

para algún par <strong>de</strong> enteros u y v, se sigue por lo anterior que mcd(m,n)<br />

pertenece a S.<br />

Ejemplo 3.7 Cuando Juana sea un año más joven que Beatriz será<br />

cuando Juana tenga la mitad <strong>de</strong> la edad que tendrá Beatriz cuando<br />

Juana tenga el doble <strong>de</strong> la edad <strong>de</strong> Beatriz ahora, Beatriz tendrá tres<br />

veces la edad que Juana tenía cuando Beatriz tenía la edad que Juana<br />

n<br />

⎞<br />


Sergio Plaza 95<br />

tiene ahora. <strong>Una</strong>es adolescente y las eda<strong>de</strong>s son en años completos ¿Qué<br />

edad tienen ellas?<br />

Solución. Sea x la edad <strong>de</strong> Juana ahora e y, la edad <strong>de</strong> Beatriz ahora.<br />

Representemos las eda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Juana y Beatriz en tiempo, por xi e yi.<br />

respectivamente. Reescribamos la información dada, incluyendo estas<br />

elecciones <strong>de</strong> variables.<br />

“Cuando Juana sea x1 un año más joven que Beatriz será y2 cuando<br />

Juanatenga x2 lamitad <strong>de</strong>laedad y3 quetendráBeatriz cuandoJuana<br />

tenga x3 el doble <strong>de</strong> la edad y <strong>de</strong> Beatriz ahora, Beatriz tendrá y1 tres<br />

veces la edad x4 que Juana tenía cuando Beatriz tenía y4 la edad x<br />

que Juana tiene ahora”.<br />

Se tienen así las siguientes ecuaciones x1 = y2 −1, x2 = 1<br />

3 y3, x3 =<br />

2y, y1 = 3x4, y4 = x.<br />

Sean a,b,c,d tales que x1 = x+a, x2 = x+b, x3 = x+c, x4 = x+d;<br />

<strong>de</strong> modo que y1 = y + a, y2 = y + b, y3 = y + c, y4 = y + d. Las<br />

ecuaciones <strong>de</strong> anteriores transforman entonces en x + a = y + b − 1,<br />

x+b = 1<br />

2 (y +c), x+c = 2y, y +a = 3(x+d), y +d = x.<br />

Reor<strong>de</strong>nando estas ecuaciones (y multiplicando por un factor apro-<br />

piado), obtenemos x+a−b = y −1, x+b− 1<br />

2<br />

c = 1<br />

2<br />

y, 1<br />

2<br />

1 x+ 2c = y,<br />

3x−a+3d = y, 3x−3d = 3y. Sumando estas ecuaciones encontramos<br />

que se cancelan a, b, c y d, obteniéndose<br />

8 1<br />

x = 61<br />

2 2 y,<br />

esto es 13y−17x = 2. Puesto que x e y pue<strong>de</strong>n solamente ser enteros,<br />

esta ecuación es un ejemplo <strong>de</strong> ecuación diofántina lineal.<br />

Un método para resolver tal ecuación consiste en aplicar primero el


96 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor d <strong>de</strong> 13<br />

y 17, que es por cierto 1. Siguiendo el algoritmo en reversa, po<strong>de</strong>mos<br />

expresar d en términos <strong>de</strong> 13 y 17 como<br />

1 = 13−12<br />

= 13−3·4<br />

= 13−3(17−3)<br />

= 4·13−3·17.<br />

Luego 2 = 8·13−6·17 = 8·13+13·17t−13·17 = 13(8+17t)−17(6+13t).<br />

Así, obtenemos la solución x = 6+13t, y = 8+17t para algún entero<br />

t. Ahora, dado que una <strong>de</strong> las chicas tiene menos <strong>de</strong> 20 años, <strong>de</strong>be ser<br />

t = 1, luego x = 19 e y = 25. Por lo tanto, Juana tiene 19 y Beatriz<br />

25.<br />

Ejemplo 3.8 La ecuación diofantina 6x + 9y = 5 no tiene solución,<br />

pues mcd(6,9) = 3 y 3 no divi<strong>de</strong> a 5.<br />

Ejemplo 3.9 Resuelva 3x+3y +5z = 10.<br />

Solución. Primero factorizando el factor mcd(3,3) = 3 <strong>de</strong> las dos<br />

primeros coeficientes <strong>de</strong> la ecuación, y obtenemos<br />

<br />

3 3<br />

3 x+<br />

3 3 y<br />

<br />

+5z = 0.<br />

Ahora hacemos w = x+y y la ecuación se transforma en 3w+5z =<br />

10. Como mcd(3,5) = 1 y 1|10, la ecuación 3w + 5z = 10 tiene<br />

infinitas soluciones. Por simple impección vemos que w0 = 5 y z0 = −1<br />

es una solución particular <strong>de</strong> esta última ecuación. Luego su solución<br />

general es w = 5s+5 y z = −3s−1.


Sergio Plaza 97<br />

Ahora <strong>de</strong>bemos encontrar x e y. Tenemos x + y = w, es <strong>de</strong>cir,<br />

x + y = 5s + 5. Como mcd(1,1) = 1 y 1|(5s + 5) la ecuación tiene<br />

infinitas soluciones. Como x = 5 e y = 5s es una solución particular,<br />

se sigue que la solución general es dada por x = t + 5 e y = 5s − t.<br />

Juntandoloanterior, la solución general <strong>de</strong>la ecuación 3x+3y+5z = 10<br />

es<br />

x = t+5, y = 5s−t, z = −3s−1,<br />

con t, s ∈ Z. Por ejemplo, tomando t = 2 y s = −1 tenemos la<br />

solución x = 7, y = −7 y z = 2.<br />

Ejemplo 3.10 Uncomerciante gastó cincuentayseismil pesosentelas,<br />

unasacuatromilcientodiez, <strong>otra</strong>satresmilnovecientos setenta¿Cuántos<br />

<strong>de</strong> cada cual ha comprado?<br />

Solución. Sean x e y el número <strong>de</strong> telas a $ 4.110 y 4 3.970, respec-<br />

tivamente. Entonces, tenemos la ecuación diofantina<br />

4110x+3970y = 56000,<br />

esto es, 411x+397y = 5600. Nótese que 411−397 = 14. Luego<br />

411·400−397·400 = 5600.<br />

Por lo tanto, la ecuación diofántina <strong>de</strong>be satisfacer z = 400 − 397t<br />

y = −400 + 411t, para algún entero t. Para tener x e y ambos<br />

positivos, se necesita que t = 1. Así x = 3 e y = 11. De modo que el<br />

comerciante compró 3 telas a $ 4110 cada una y 11 telas a $ 3970 cada<br />

una.


98 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 3.11 Se cuenta <strong>de</strong> una chica llamada Margot que al pregun-<br />

tarle su edad así respondió “Los dos tercios <strong>de</strong> su cuadrado como un<br />

cubo pue<strong>de</strong>n ser mirados” ¿A que número Margot se refirió?<br />

Solución. Sea x la edad, y 3 el cubo. Ambos x e y <strong>de</strong>ben ser enteros.<br />

Entonces<br />

2<br />

3 x2 = y 3 ,<br />

o equivalentemente 2x 2 = 3y 3 . Puesto que 2 divi<strong>de</strong> el lado izquierdo,<br />

<strong>de</strong>be entonces dividir el lado <strong>de</strong>recho. Luego 2|y, y en consecuencia 8<br />

divi<strong>de</strong> el lado <strong>de</strong>recho. Por lo tanto 2|x.<br />

Ahora, como 3 divi<strong>de</strong> al lado <strong>de</strong>recho <strong>de</strong> la última ecuación, también<br />

divi<strong>de</strong> el lado izquierdo, es <strong>de</strong>cir, 3|x. Luego 9 divi<strong>de</strong> el lado izquierdo,<br />

y en consecuencia también el lado <strong>de</strong>recho. Se concluye que 3|y. Por lo<br />

tanto 81 divi<strong>de</strong> el lado <strong>de</strong>recho. Luego 9|x.<br />

Así, tenemos que mcm(2,9) = 18|x y mcm(2,3) = 6|y.<br />

Pongamos x = 18α e y = 6β. Sustituyendo en la ecuación 2x 2 =<br />

3y 3 , obtenemos<br />

2·18 2 α 2 = 3·6 3 β 3 .<br />

Supongamos ahora que, dado un primo p, se tiene que p i es la mayor<br />

potencia <strong>de</strong> p que divi<strong>de</strong> el lado izquierdo. Entonces i <strong>de</strong>be ser un<br />

múltiplo <strong>de</strong> 2. A<strong>de</strong>más, siendo p i la potencia <strong>de</strong> p que divi<strong>de</strong> el lado<br />

<strong>de</strong>recho, i <strong>de</strong>be ser un múltiplo <strong>de</strong> 3. Por lo tanto i es un múltiplo<br />

<strong>de</strong> 6. Se tiene entonces que i = 0 para cualquier primo p o i es a lo<br />

menos 6 para algún primo p. Si i es a lo menos 6 para algún primo p<br />

entonces a lo menos 93|α, en cuyo caso α 2 3 = 8 y x 8·18 = 144.<br />

De acuerdo a standards <strong>de</strong> hoy en día, Margot no sería una chica, sino


Sergio Plaza 99<br />

una candidata al libro <strong>de</strong> records Guiness. Entonces α = 1 y x = 18.<br />

De modo que Margot tiene 18 años.<br />

Ejemplo 3.12 Pili mira por sobre el hombro <strong>de</strong> Willy mientras éste<br />

hace unos cálculos. “No hay nada equivocado en eso”, ella <strong>de</strong>clara,<br />

“444888 es en verdad uno menos que el cuadrado <strong>de</strong> 667”. Pregunta<br />

Willy, “¿tu piensas que es el único número <strong>de</strong> 6 cifras que es uno menos<br />

que un cuadrado, tal que su segunda mitad es justo el doble <strong>de</strong> la<br />

primera?” “No, hay otro”, respon<strong>de</strong> Pili, “pero veamos si tu pue<strong>de</strong>s<br />

encontrarlo” ¿Está Pili en lo correcto?<br />

Solución. Representemos el número en la forma 1002(100x+10y+z).<br />

Entonces<br />

1002(100x +10y +z) = n 2 −1<br />

para cierto entero n. Luego 1002|(n −1)(n+1) y 10 5 n 2 < 10 6 .<br />

Luego 316 < n < 1000. Como 1002 = 2 · 3 · 167, cada uno <strong>de</strong> esos<br />

números 2, 3 y 167 divi<strong>de</strong> a lo menos uno <strong>de</strong> entre n−1 y n+1.<br />

Puesto que 2|((n + 1) − (n − 1), se sigue que 2 <strong>de</strong>be dividir ambos<br />

n−1 y n+1. Luego 2·167 = 334 divi<strong>de</strong> a uno <strong>de</strong> entre n−1 y n+1.<br />

Por lo tanto n = 334k +1 o n = 334k −1 para algún entero k tal<br />

que 316 < n < 1000. Luego 3 <strong>de</strong>be dividir a 333, 667, 335y 669. Pero<br />

3|(n−1) o 3|(n+1), <strong>de</strong> modo que 3|n, así es que n no es igual ni a<br />

333 ni a 669. Si n = 667, entonces n 2 2 − 1 = 444888. Si n = 335,<br />

entonces (n−1)(n+1) = 334·336 = 1002·112 = 112224. Por lo tanto<br />

el otro número anunciado por Pili es 112224, que es uno menos que el<br />

cuadrado <strong>de</strong> 335.<br />

Ejemplo 3.13 Willy vació el mone<strong>de</strong>ro <strong>de</strong> Pili sobre la mesa “Tienes<br />

aquí 56 monedas <strong>de</strong> $100, $50 y $10 ¿Sabes cuánto tienes en total?”


100 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

“Sí, me faltan $30 para tener mil pesos”. Determine cuánto dinero tiene<br />

Pili en su mone<strong>de</strong>ro.<br />

Solución. Sean x,y,z las cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> monedas <strong>de</strong> $100, $50 y $10<br />

pesos, respectivamente. Entonces 10x+5y +z = 97 y x+y+z = 56.<br />

Restando estas ecuaciones se elimina z, y obtenemos 9x + 4y = 41.<br />

Observe que 9·1−4·2 = 1, luego 9·41−4·82 = 41. Por lo tanto, para<br />

resolver la ecuación diofántina 9x+4y = 41 necesitamos que x = 41−4t<br />

e y = −82+9t, para algún entero t. Ahora, como x > 0 e y > 0, se<br />

<strong>de</strong>be tener que t = 10. Por lo tanto x = 1 e y = 8, <strong>de</strong> tal manera que<br />

z = 56−8−1 = 47. En consecuencia, el mone<strong>de</strong>ro <strong>de</strong> Pili contiene una<br />

moneda <strong>de</strong> $100, ocho <strong>de</strong> $50 y cuarenta y siete <strong>de</strong> monedas <strong>de</strong> $10.<br />

Ejemplo 3.14 “Tú y Bella fotografiadas la semana pasada, ¿eh?” dijo<br />

Jenny, mirando el retrato sobre el escritorio. “Muy bonita ¿Qué edad<br />

tiene ella ahora?” Mimí pensó un momento. “Si tú divi<strong>de</strong>s tu edad<br />

por la mía y restas el resultado <strong>de</strong> tu edad dividida por la <strong>de</strong> ella, tu<br />

obtendrás un séptimo <strong>de</strong> tu edad” ¿Qué edad tenía Mimi?<br />

Solución. Sea m la edad <strong>de</strong> Mimi, b la <strong>de</strong>dad <strong>de</strong> Bella y j la edad <strong>de</strong><br />

Jenny. Entonces<br />

j j 1<br />

− =<br />

b m 7 j.<br />

Como j = 0, se tiene que 1 1<br />

b − m<br />

1<br />

mb<br />

= 7 , esto es, m−b = 7 . Luego<br />

7|m o 7|b. A<strong>de</strong>más, como m > 0 y b > 0 se sigue que 1<br />

7mb > 0,<br />

luego m > b. Supongamos que b = 7k para algún entero k. Entonces<br />

b = m−km = (1−k)m.<br />

Como b > 0, se tiene que k = 0, en cuyo caso b = m, lo que es<br />

imposible, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> concluímos que 7|b, luego m = 7k, para algún<br />

entero k. Por lo tanto, 7k = b+kb = (k+1)b. Ahora m > 0, luego k


Sergio Plaza 101<br />

y en consecuencia k +1 son positivos. De modo que b = 7k<br />

k+1 . Por lo<br />

tanto (k +1)|7k; como mcd(k +1,k) = 1, se tiene que (k +1)|7, <strong>de</strong><br />

modo que k +1 es igual a 1 o 7. Como k +1 no pue<strong>de</strong> ser 1, porque<br />

entonces k = 0 y b = m, lo que es imposible. Luego k +1 = 7, esto<br />

es, k = b = 6 y m = 7k = 42. De tal manera que Mimi tiene 42 años<br />

y Bella tiene 6 años. No hay suficiente información para <strong>de</strong>terminar la<br />

edad <strong>de</strong> Jenny. Ella podría tener 42 años u 84 años–un múltiplo <strong>de</strong> 6 y<br />

42.<br />

Ejemplo 3.15 Dadounnúmero<strong>de</strong>cuatrodígitos, intercambieelprimero<br />

conelsegundoyelterceroconelcuarto. Asíustedobtendrácuatroveces<br />

el número original ¿Cuál es el número?<br />

Solución. Sea el número 1000w+100x+10y+z. Entonces 4(1000w+<br />

100x + 10y + z) = 1000x + 100w + 10z + y. Reor<strong>de</strong>nando, tenemos<br />

3900w −200x = 2z −13y, esto es, 1300w −200x = 2z −13y.<br />

Ahor, 0 y 9 y 0 z 9, luego 2·0−13·9 2z−13y 2·9−13·0,<br />

esto es, −117 2z −3y 18.<br />

Ahora 100|(1300w −200x). Luego 100|(2z −13y), esto implica que<br />

2z −13y = 0 o 2z −13y = −100.<br />

Supongamos que 2z − 13y = 0. Entonces 13w − 2x = 0, luego<br />

w = 2t, x = 13t para algún entero t tal que 0 < w 9 (w es el dígito<br />

<strong>de</strong> más a la izquierda, luego <strong>de</strong>be ser necesariamente distinto <strong>de</strong> cero) y<br />

0 x 9, lo que es imposible. Por lo tanto, 2z−13y = −100, luego se<br />

tiene que 1300w −200x = −100, simplificando nos queda 13w −2x =<br />

−1.<br />

Observemoa que 13·1−2·7 = −1, luego w = 1+13t y x = 7+2t<br />

para algún entero t. La única posibilidad es t = 0, luego w = 1 y<br />

x = 7. Notemos que 13·8−2·2 = 100, esto es, 2·2−13·8 = −100.


102 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Por lo tanto, para satisfacer la ecuación diofántina 2z − 13y = −100,<br />

<strong>de</strong>bemos tener y = 8+2s y z = 2+13s, para algún entero s, tal que<br />

0 y 9 y 0 z 9. La única posibilidad es s = 0.<br />

En consecuencia, el número pedido es 1782.<br />

Ejemplo 3.16 “Cambia mi último dígito por y, mi primero por cinco.<br />

Entonces el cuadrado <strong>de</strong> un tercio <strong>de</strong> un noveno <strong>de</strong> mi tú encontrarás.<br />

En unos segundos tu verás, <strong>de</strong> eso estoy seguro. Claramente mis tres<br />

dígitos ¿Cuáles crees tu que son?”<br />

Solución. Sea n el número y sea y su segundo dígito. Entonces<br />

<br />

1 1<br />

·<br />

3 9 n<br />

2 = 509+10y.<br />

El lado izquierdo <strong>de</strong>be ser en efecto el cuadrado <strong>de</strong> un entero, por<br />

consiguiente el lado <strong>de</strong>recho <strong>de</strong>be ser 529, esto es, y = 2. De manera<br />

que n = 621, cuyo segundo dígito <strong>de</strong> hecho es 2.<br />

3.1 Proble<strong>mas</strong><br />

Problema 3.1 Paralassiguientesecuacionesdiofantinas, <strong>de</strong>termineto-<br />

dassussolucionesenenteros, ylistelassolucionesenlosenterospositivos<br />

1. 18x+5y = 48,<br />

2. 54x+21y = 906,<br />

3. 123x+360y = 99,<br />

4. 158x−57y = 7.


Sergio Plaza 103<br />

Problema 3.2 Pruebe que si d = mcd(a,b), entonces mcd <br />

a b<br />

d , d =<br />

1.<br />

Problema 3.1 Para todo a,b,k,m ∈ Z se tiene<br />

1. a y b soncoprimossiysólosiexisten u,v ∈ Z tales que au+bv =<br />

1;<br />

2. mcd(a,b) = mcd(b,a) = mcd(|a|,|b|);<br />

3. mcd(ka,kb) = |k|mcd(a,b);<br />

4. mcd(a,0) = |a| y mcd(a,1) = 1;<br />

5. Si mcd(a,m) = mcd(b,m) = 1, entonces mcd(ab,m) = 1;<br />

6. Si mcd(a,b) = 1, entonces mcd(a k ,b ℓ ) = 1 para todo k,ℓ ∈ N.<br />

Problema 3.2 Generaliceelprimerproblema, es<strong>de</strong>cir, si a1,a2,...,ak,<br />

con k 2, son enteros positivos tales que mcd(a1,a2,...,ak) = d. De-<br />

muestre que<br />

1. Existen enteros x1,x2,...,xk tales que x1a1+x2a2+···+xkak =<br />

d.<br />

2. Si d = 1, muestre que existe un entero positivo m0 tal que todo<br />

entero m m0 pue<strong>de</strong> ser escrito en la forma y1a1 +y2a2 +···+<br />

ynan, con y1,y2,...,yn 0.<br />

Problema 3.3 Consi<strong>de</strong>re los números que aparecen en la prueba <strong>de</strong><br />

Eucli<strong>de</strong>s sobre la infinidad <strong>de</strong> números primos, es <strong>de</strong>cir,


104 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

2+1 = 3<br />

2·3+1 = 7<br />

2·3·7+1 = 31<br />

2·3·7·31+1 = 211<br />

2·3·7·31·211+1 = 2311<br />

son todos coprimos a pares ¿son primos?<br />

Problema 3.4 A la fecha son conocidos 3 primos <strong>de</strong> la forma n n +1,<br />

ellos son 1 1 +1 = 2, 2 2 +1 = 5, 4 4 +1 = 257. Mostrar que si existen<br />

otros entonces ellos <strong>de</strong>ben tener más <strong>de</strong> 300.000 dígitos. No resuelto a<br />

la fecha. ¿Existen otros?<br />

Problema 3.5 ¿Hayunacantidadinfinita<strong>de</strong>primos<strong>de</strong>laforma n!+1?<br />

No resuelto a la fecha. Por ejemplo, 2!+1 = 3, 3!+1 = 7, 4!+1 = 25,<br />

no es primo, 5!+1 = 121, no es primo. Encuentre algunos otros primos<br />

<strong>de</strong> la forma indicada.<br />

Problema 3.6 La siguiente sucesión <strong>de</strong> números es llamada repunid<br />

(repite unidad)<br />

11, 111, 1111, 11111, ..., 11...1, ...<br />

Para n fijo, ¿cuántos primos hay en esta sucesión entre 11 y 11...1?<br />

¿Es posible probar que en la sucesión repunid hay infinitos números<br />

primos?<br />

.


Sergio Plaza 105<br />

Problema 3.7 Encuentretodoslostriángulospitagóricoscuyoperímetro<br />

es igual a su área.<br />

Problema 3.8 Pruebe que la longitud <strong>de</strong>l radio <strong>de</strong>l círculo inscrito en<br />

un triángulo pitagórico es siempre un número entero.<br />

Problema 3.9 Muestre que en cualquier triángulo pitagórico, uno <strong>de</strong><br />

los lados es divisible por 3, uno divisible por 4, y uno divisible por 5.<br />

Problema 3.10 La ecuación 3 n + 4 n = 5 n , n ∈ N tiene como única<br />

solución n = 2.<br />

Problema 3.11 Muestre que la única terna pitagórica formada por en-<br />

teros consecutivos es (3,4,5)<br />

Problema 3.12 ¿Esposibleconstruirunacajacuyosladosydiagonales<br />

son todos números enteros? No resuelto a la fecha.<br />

Problema 3.13 Examine los siguientes ejemplos y haga su propia con-<br />

jetura.<br />

1·8+1 = 9 = 3 2<br />

3·8+1 = 25 = 5 2<br />

6·8+1 = 49 = 7 2<br />

10·8+1 = 81 = 9 2<br />

15·8+1 = 121 = 11 2<br />

21·8+1 = 169 = 13 2<br />

Note que los números 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... no son otros que los<br />

números triangulares.


106 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 3.14 Pruebe geométricamente que la suma <strong>de</strong> dos números<br />

triangulares consecutivos es un cuadrado. Por ejemplo, 1+3 = 4 = 2 2 ,<br />

3+6 = 9 = 3 2 , 6+10 = 16 = 4 2 , 10+15 = 25 = 5 2 , 15+21 = 36 =<br />

6 2 , ...<br />

Problema 3.15 Consi<strong>de</strong>re lo siguiente<br />

5 = 1 2 +2 2<br />

13 = 2 2 +3 2<br />

41 = 4 2 +5 2<br />

Estos son números primos que son suma <strong>de</strong> cuadrados <strong>de</strong> dos enteros<br />

consecutivos.<br />

Determine otros primos con esta propiedad. No se sabe a la fecha<br />

si la cantidad <strong>de</strong> números primos que satisfacen lo anterior es finita o<br />

infinita.<br />

Problema 3.16 Encuentre todos los números primos p,q tales que pq<br />

divi<strong>de</strong> a (5 p −2 p )(5 q −2 q ).<br />

Problema 3.17 Sean p,q númerosprimos. Si q divi<strong>de</strong> 2 p +3 p , pruebe<br />

que q > p o q = 5.<br />

Problema 3.18 Demuestre que la fracción 21n+4<br />

14n+3<br />

todo número natural n.<br />

es irreducible para<br />

Problema 3.19 Sean x,y,z enteros tales que x 3 +y 3 −z 3 es múltiplo<br />

<strong>de</strong> 7. Pruebe que uno <strong>de</strong> esos números es múltiplo <strong>de</strong> 7.<br />

Problema 3.20 Determine el número <strong>de</strong> cuadrados perfectos que hay<br />

entre 40.000 y 640.000 que son múltiplos simultáneamente <strong>de</strong> 3, 4 y 5.


Sergio Plaza 107<br />

Problema 3.21 Pruebe que un entero <strong>de</strong> la forma 4 a (8b + 7), con a<br />

y b enteros no negativos, no pue<strong>de</strong> ser una suma <strong>de</strong> tres cuadrados.<br />

Problema 3.22 Demostrar que un número natural es divisible po 2 n ,<br />

para n = 1,2,3,... si y sólo si el número formado por sus últimos n<br />

dígitos es divisible por 2 n .<br />

Problema 3.23 ¿Cuáleseltamaño<strong>de</strong>lsubconjuntomayor S <strong>de</strong> {1,2,...,50}<br />

tal que ningún para <strong>de</strong> elementos distintos <strong>de</strong> S tenga una suma divis-<br />

ible por 7?<br />

Problema 3.24 Demostrar que un entero que consiste <strong>de</strong> 3n dígitos<br />

idénticos es divisible por 3 n .<br />

Problema 3.25 Si 32ab427 es un múltiplo <strong>de</strong> 99, hallar los dígitos a<br />

y b.<br />

Problema 3.26 1. Encontrar todos los números enteros positivos n<br />

para los cuales 2 n −1 es divisible por 7.<br />

2. Demostrar que no existen números enteros positivos n para los<br />

cuales 2 n +1 es divisible por 7.<br />

Problema 3.27 Sea k unenteropositivotalque k(k+1)<br />

3 esuncuadrado<br />

perfecto. Demuestre que k<br />

3 y k +1. son cuadrados perfectos.<br />

Problema 3.28 Un número triangular es un número entero positivo<br />

<strong>de</strong> la forma 1 + 2 + ··· + n, con n ∈ N. Por ejemplo, 3, 6, 10, 15,<br />

21, 28, 36, y 45, son números triangulares. Estos números pue<strong>de</strong>n ser<br />

or<strong>de</strong>nados como se muestra a seguir, y es claro <strong>de</strong>s<strong>de</strong> esa configuración<br />

a que se <strong>de</strong>be su curioso nombre


108 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

1<br />

2 3<br />

1<br />

2 3<br />

4 5 6<br />

1<br />

2 3<br />

4 5 6<br />

7 8 9 10


Sergio Plaza 109<br />

.<br />

Tabla <strong>de</strong> números triangulares<br />

Pruebe que los dígitos 2, 4, 7, y 9 no pue<strong>de</strong>n ser el último dígito <strong>de</strong><br />

un número triangular.<br />

3.2 Curiosida<strong>de</strong>s Numéricas<br />

1. Veamos la siguiente curiosidad<br />

1 1+3 1+3+5 1+3+5+7<br />

= = = = ···<br />

3 5+7 7+9+11 9+11+13+15<br />

Esta fue <strong>de</strong>scubierta por Galileo (1615)<br />

2. Consi<strong>de</strong>re la tabla<br />

1 =1<br />

3 5 =8<br />

7 9 11 =27<br />

13 15 17 19 =64<br />

21 23 25 27 29 =125<br />

Observe que sumando los elementos <strong>de</strong> cada fila se obtiene el cubo<br />

<strong>de</strong> un número natural ¿Pue<strong>de</strong> probar esto?<br />

.


110 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

3. Conjetura <strong>de</strong> los números capicúas. Dado un número natu-<br />

ral, sume a este sus dígitos escritos en forma reversa. Repita el<br />

proceso con el resultado. Continué <strong>de</strong> esa forma hasta obtener<br />

un número capicúa, es <strong>de</strong>cir, uno que se lee igual <strong>de</strong> <strong>de</strong>recha a<br />

izquierda y viceversa. Por ejemplo, 95+59=154, 154+451=605,<br />

605+506=1111 que es capicúa, 72+27=99 que nos resultó capicúa<br />

<strong>de</strong>inmediato. Laafirmación es queeste procedimientosiemprenos<br />

conduce a un número capicúa. <strong>Una</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> esta hecho<br />

no es conocida a la fecha.<br />

4. Primos Gemelos. Los primos gemelos son pares <strong>de</strong> primos <strong>de</strong> la<br />

forma n, n + 2. Por ejemplo, 3,5, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31,...<br />

Conjetura. Existen infinitos primos gemelos.<br />

5. Consi<strong>de</strong>re la tabla<br />

1+2 = 3<br />

4+5+6 = 7+8<br />

9+10+11+12 = 13+14+15<br />

16+17+18+19+20 = 21+22+23+24<br />

6. Consi<strong>de</strong>re la siguiente distribución <strong>de</strong> los números <strong>de</strong>l 1 al 24,<br />

Descubra la regla general <strong>de</strong> la formación <strong>de</strong> esa distribución y si<br />

es posible haga una prueba.<br />

7. Números <strong>de</strong> Fermat. El n–ésimo número <strong>de</strong> Fermat, Fn, es<br />

<strong>de</strong>finido por Fn = 2 2n<br />

+1.<br />

Conjetura. Sólo un número finito <strong>de</strong> números <strong>de</strong> Fermat son<br />

primos. <strong>Una</strong> conjetura más fuerte es que los únicos números <strong>de</strong>


Sergio Plaza 111<br />

Fermat primos son F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, y<br />

F4 = 65537.<br />

8. Conjetura <strong>de</strong> Goldbach. Cada entero par mayor que 4 pue<strong>de</strong><br />

ser escrito como la suma <strong>de</strong> dos primos impares.<br />

Por ejemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7,<br />

14 = 3 + 11 = 7 + 7, 16 = 3 + 13, 18 = 5 + 13, 20 = 3 + 17,<br />

22 = 3+19, 24 = 5+19, 26 = 3+23, 28 = 5+23, 30 = 7+23,...<br />

9. Conjetura <strong>de</strong> Catalán. Lasúnicas torres<strong>de</strong>primosconsecutivos<br />

son 8 = 2 3 y 9 = 3 2 .<br />

Langevin y Tij<strong>de</strong>man mostraron que cualquier contraejemplo <strong>de</strong>be<br />

ser menor que eeee730 , luego en teoría <strong>de</strong>bería ser verificable en un<br />

computador.<br />

10. Problema <strong>de</strong> Callatz o problema 3x + 1. Consi<strong>de</strong>remos la<br />

función f : N → N dada por<br />

⎧<br />

x<br />

⎪⎨ 2 si x es par<br />

f(x) =<br />

⎪⎩<br />

3x+1 si x es impar<br />

Conjetura. para cada entero positivo n existe un entero d tal<br />

que f ◦d (n) = 1, don<strong>de</strong> f ◦d = f ◦··· ◦f es la composición <strong>de</strong> f<br />

consigo misma d–veces.<br />

Por ejemplo,


112 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

n = 2,2 f<br />

−→ 1,d = 1<br />

n = 3,3 f<br />

−→ 10 f<br />

−→ 5 f<br />

−→ 16 f<br />

−→ 8 f<br />

−→ 4 f<br />

−→ 2 f<br />

−→ 1,d = 7<br />

n = 4,4 f<br />

−→ 2 f<br />

−→ 1d = 2<br />

n = 5,5 f<br />

−→ 16 f<br />

−→ 8 f<br />

−→ 4 f<br />

−→ 2 f<br />

−→ 1,d = 5


Capítulo 4<br />

Congruencias<br />

Cálculo con congruencias ocurren a diario en nuestro vivir cotidiano.<br />

Los principales ejemplos son la “aritmética <strong>de</strong>l reloj” sumamos las ho-<br />

ras sobre un reloj tomando congruencias módulo 12 (o módulo 24, si<br />

reemplazamos xpm por x+12).<br />

Definición 4.1 Sean m ∈ N, y a,b ∈ Z. Decimos que a es con-<br />

gruente con b módulo m si a−b es múltiplo <strong>de</strong> m. Si esto suce<strong>de</strong> lo<br />

<strong>de</strong>notaremos por el símbolo a ≡ b (mod m), es <strong>de</strong>cir, a ≡ b (mod m)<br />

si y sólo si m|(a−b).<br />

Ejemplo 4.1 11 ≡ 1 (mod 5), puesto que 11−1 = 10 es múltiplo <strong>de</strong><br />

5.<br />

Ejemplo 4.2 23 ≡ 2 (mod 7), puesto que 23−2 = 21 es múltiplo <strong>de</strong><br />

7, es <strong>de</strong>cir, 7|(23−2).<br />

Es inmediato <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> congruencia que ella es refleja,<br />

es <strong>de</strong>cir, para todo número entero a se tiene que a ≡ a (mod m).<br />

113


114 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

A<strong>de</strong>más claro que es simétrica, puesto que a ≡ b (mod m) si y sólo si<br />

b ≡ a (mod m).<br />

A continuación daremos algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las congruencias. Sus<br />

<strong>de</strong>mostraciones son directas <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la divisibilidad y las<br />

<strong>de</strong>jamos <strong>de</strong> ejercicio para el lector.<br />

Teorema 4.1 (Propieda<strong>de</strong>s básicas <strong>de</strong> la congruencia)<br />

1. Si a ≡ 0 (mod m), entonces m|a.<br />

2. Si a ≡ b (mod m), entonces a y b <strong>de</strong>jan el mismo resto en la<br />

división por m.<br />

3. Si a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m), entonces a ≡ c (mod m)<br />

(transitividad).<br />

4. Si a ≡ b (mod m), entonces (a+c) ≡ (b+c) (mod m) y (a·c) ≡<br />

(b·c) (mod m).<br />

5. Si a ≡ b (mod m), entonces b k ≡ a k (mod m) para todo entero<br />

positivo k.<br />

6. Si p es primo y a · b ≡ 0 (mod p), entonces a ≡ 0 (mod p) o<br />

b ≡ 0 (mod p).<br />

Esimportanteobservarqueparaunnúmerofijononulo, m, yparaun<br />

entero z cualquiera, se <strong>de</strong>be satisfacer una y sólo una <strong>de</strong> las siguientes<br />

congruencias<br />

z ≡ 0(mod m), z ≡ 1(mod m), z ≡ 2(mod m),..., z ≡ (m−1)(mod m).


Sergio Plaza 115<br />

Este hecho es consecuencia directa <strong>de</strong>l Algoritmo <strong>de</strong> la División y es<br />

<strong>otra</strong> forma <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir que cualquier número entero, al dividirlo por m,<br />

<strong>de</strong>ja resto 0, 1 , 2 ..., (m−1). En particular, si elegimos m = 2 esto<br />

nos asegura que todo número entero es par si z ≡ 0 (mod 2) o impar si<br />

z ≡ 1 (mod 2).<br />

Ejemplo 4.3 Consi<strong>de</strong>remos la congruencia módulo 3, es <strong>de</strong>cir, m = 3.<br />

Entonces cualquier número entero a es <strong>de</strong> la forma a = 3k, <strong>de</strong> la forma<br />

a = 3k +1 o <strong>de</strong> la forma a = 3k +2. Notemos que a ≡ 2 (mod 3) es<br />

lo mismo que <strong>de</strong>cir a ≡ −1 (mod 3).<br />

Ejemplo 4.4 Pruebe que existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma 3n−1.<br />

Solución. Por ejemplo, n = 1, 3n−1 = 2 primo, n = 2, 3n−1 = 5<br />

primo, n = 3, 3n − 1 = 8 compuesto, n = 4, 3n − 1 = 11 primo,<br />

n = 5, 3n−1 = 14 compuesto, n = 6, 3n−1 = 17 primo.<br />

Vemos entonces que existen primos <strong>de</strong> la forma 3n−1. Supongamos<br />

que existe sólo una cantidad finita <strong>de</strong> primos <strong>de</strong> la forma 3n − 1, y<br />

sean estos p1,p2,...,pr. Definamos el número N = 3p1 ·p2···pr −1,<br />

entonces pi no divi<strong>de</strong> a N para i = 1,2,...r. En efecto, tenemos que<br />

N +1 = 3·p1p2···pr, luego pi|(N +1) y si pi|N , entonces pi divi<strong>de</strong> a<br />

la diferencia (N +1)−N = 1, es <strong>de</strong>cir, pi|1, esto es una contradicción.<br />

Por <strong>otra</strong> parte, tenemos que N > 1, luego N tiene un factor primo.<br />

Afirmamos que N tiene un factor primo p, con p ≡ 2 (mod 3). En<br />

efecto, como N no es divisible por 3, cada factor primo p <strong>de</strong> N <strong>de</strong>be<br />

ser tal que p ≡ 1 (mod p) o p ≡ 2 (mod p). Si todos los factores primos<br />

<strong>de</strong> N fueran congruente a 1 (mod 3), tendríamos que N ≡ 1 (mod 3),<br />

y es una contradicción, por lo tanto N <strong>de</strong>be tener un factor primo p,<br />

con p ≡ 2 (mod 3), y como p = pi, este es un primo que no está en<br />

nuestra lista.


116 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Luego, paracualquierlista<strong>de</strong>primos p ≡ 2(mod 3),po<strong>de</strong>mosmostrar<br />

que <strong>de</strong>be existir un primo congruente a 2 (mod 3), el cual no está en<br />

nuestra lista, lo cual muestra que existen infinitos primos <strong>de</strong> la forma<br />

3n−1.<br />

Ejemplo 4.5 Sea p un primo impar tal que p = x 2 +2y 2 . Pruebe que<br />

p ≡ 1 (mod 8) o p ≡ 3 (mod 8).<br />

Solución. Si x es par, entonces p = x 2 +2y 2 es par, contradiciendo el<br />

hecho que p es un impar.<br />

Luego, x <strong>de</strong>beser impar, luego x ≡ 1 (mod 8), pues x tiene la forma<br />

x = 2n−1, así x 2 = 4n 2 −2n+1. Ahora si n es par, n = 2a, luego<br />

x 2 = 4(2a) 2 −2(2a)+1 = 16a 2 −4a+1 y si a es par a = 2 nos queda<br />

x 2 = 16·4·t 2 −4·2t+1 ≡ 1 (mod 8)<br />

La prueba para las restantes alternativas es análoga.<br />

Si y también es impar, entonces p = x 2 +2y 2 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod 8). Si<br />

y es par entonces y ≡ 0,2,4,6 (mod 8), luego y 2 ≡ 0,4 (mod 8). En<br />

cada caso, tenemos que 2y 2 ≡ 0 (mod 8), por lo tanto p = x 2 +2y 2 ≡<br />

1+0 = 1 (mod 8).<br />

Ejemplo 4.6 Determinar para cuáles números primos p se cumple que<br />

2 p +p 2 es primo.<br />

Solución. Notemos que p = 2 y p = 3 producen los números 8 y 17,<br />

compuesto en el primer caso y primo en el segundo. Basta consi<strong>de</strong>rar<br />

entonces primos p > 2.<br />

Consi<strong>de</strong>remos congruencia módulo 3. Sabemos que p <strong>de</strong>be satisfacer<br />

una y sólo una <strong>de</strong> las congruencias siguientes


Sergio Plaza 117<br />

p ≡ 0 (mod 3), p ≡ 1 (mod 3), p ≡ −1 (mod 3).<br />

Claramente, el primer caso sólo se pue<strong>de</strong> dar si p = 3, puesto que <strong>de</strong><br />

<strong>otra</strong> manera p sería un número compuesto.<br />

Aplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> congruencia en cualquiera <strong>de</strong> los dos<br />

casos restantes se obtiene que p 2 ≡ 1 (mod 3).<br />

Por otro lado, como 2 ≡ −1 (mod 3) se obtiene 2 p ≡ (−1) p (mod 3).<br />

A<strong>de</strong>más p es impar, luego 2 p ≡ −1 (mod 3).<br />

En resumen, 2 p ≡ −1 (mod 3) y p 2 ≡ 1 (mod 3). Aplicando las<br />

propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las congruencias con respecto a la suma se obtiene fi-<br />

nalmente que 2 p +p 2 ≡ 0 (mod 3). Pero entonces 2 p +p 2 es siempre<br />

divisible por 3 si p > 3. Luego el único primo p que resuelve el pro-<br />

blema es p = 3.<br />

Ejemplo 4.7 (Reglas <strong>de</strong> divisibilidad). Veamos como se establecen<br />

las reglas clásicas <strong>de</strong> divisibilidad usando el concepto <strong>de</strong> congruencia.<br />

1. Divisibilidad por 2. Cada número natural n pue<strong>de</strong> ser escrito<br />

en la forma 10q +r, don<strong>de</strong> r es el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> n por<br />

10, es <strong>de</strong>cir, r es el último dígito <strong>de</strong> n. Ahora, como 2|10 se<br />

sigue 2|n si y sólo si 2|r. En <strong>otra</strong>s palabras, 2|n si y sólo si n<br />

termina en 0, 2, 4, 6 u 8.<br />

2. Divisibilidad por 3. Supongamos que la representación <strong>de</strong>ci-<br />

mal <strong>de</strong> n es dada por n = akak−1···a0, es <strong>de</strong>cir, n = ak10 k +<br />

ak−110 k−1 + ··· + a110 + a0. Ahora, como 10 ≡ 1 (mod 3), se<br />

sigue que 10 m ≡ 1 (mod 3) para todo número natural m. Por lo<br />

tanto,


118 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

n = ak10 k +ak−110 k−1 +···+a110+a0<br />

≡ ak +ak−1 +···+a1 +a0 (mod 3).<br />

Luego, 3|n si y sólo si 3|(ak + ak−1 + ··· + a1 + a0). En <strong>otra</strong>s<br />

palabra 3 divi<strong>de</strong> a un número natural n si y sólo si divi<strong>de</strong> a la<br />

suma <strong>de</strong> sus dígitos.<br />

3. Divisibilidad por 4. Cada número natural n pue<strong>de</strong> ser escrito<br />

en la forma n = 100q + r, don<strong>de</strong> r es el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong><br />

n por 100. Ahora, como 4|100 se tiene que 4|n si y sólo si 4|r,<br />

don<strong>de</strong> r consiste <strong>de</strong> al menos dos dígitos <strong>de</strong> n.<br />

4. Divisibilidad por 5. Cada número natural n pue<strong>de</strong> ser escrito<br />

en la forma n = 10q +r, don<strong>de</strong> r es el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> n<br />

por 10. Ahora, como 5|10 se tiene que 5|n si y sólo si 5|r, don<strong>de</strong><br />

r es el último dígito <strong>de</strong> n. En <strong>otra</strong>s palabras 5|n si y sólo si n<br />

termina en 0 o en 5.<br />

5. Divisibilidad por 6. Como el mínimo común múltiplo <strong>de</strong> 2 y 3<br />

es 6, se sigue que para verificar si n es divisible por 6 verificamos<br />

si es divisible por 2 y por 3.<br />

6. Divisibilidad por 8. Cada número natural n pue<strong>de</strong> ser escrito<br />

en la forma n = 1000q+r, don<strong>de</strong> r es el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> n<br />

por 1000. Ahora, como 8|1000 se tiene que 8|n si y sólo si 8|r,<br />

don<strong>de</strong> r consiste <strong>de</strong> al menos tres dígitos <strong>de</strong> n.<br />

7. Divisibilidad por 9. Supongamos que la representación <strong>de</strong>ci-<br />

mal <strong>de</strong> n es dada por n = akak−1···a0, es <strong>de</strong>cir, n = ak10 k +


Sergio Plaza 119<br />

ak−110 k−1 +···+a110+a0. Ahora como 10 ≡ 1 (mod 9), se sigue<br />

que 10 m ≡ 1 (mod 9) para todo número natural m. Por lo tanto,<br />

n = ak10 k +ak−110 k−1 +···+a110+a0<br />

≡ ak +ak−1 +···+a1 +a0 (mod 9).<br />

Luego, 9|n si y sólo si 9|(ak + ak−1 + ··· + a1 + a0). En <strong>otra</strong>s<br />

palabra 9 divi<strong>de</strong> a un número natural n si y sólo si divi<strong>de</strong> a la<br />

suma <strong>de</strong> sus dígitos.<br />

Ejemplo 4.8 Dado un número A <strong>de</strong> tres dígitos, se lo multiplica por<br />

143. Ahora, multiplicando por 7 las tres últi<strong>mas</strong> cifras <strong>de</strong>l número así<br />

obtenido, se obtiene un número cuyas últi<strong>mas</strong> tres cifras coinci<strong>de</strong>n con<br />

A ¿Cuál es el número A?<br />

Solución. Sean A = abc = 100a + 10b +c y 143 = 100 +4·10 + 3,<br />

escritos en notación <strong>de</strong>cimal. Entonces<br />

143A = 10000a+1000·4a+100·3a+1000b+100·4b+10·3b+<br />

100c+10·4c+3c<br />

= a·10 4 +(4a+b)10 3 +(3a+4b+c)10 2 +(3b+4c)10+3c.<br />

Ahora multiplicamos por 7 y luego reducimos módulo 1000, obte-<br />

niendo<br />

7·143A ≡ (21a+28b+7c)·10 2 +(21b+28c)·10+21c (mod 1000)<br />

= (2·10+1)a10 2 +(2·10+8)b·10 2 +7c·10 2 +<br />

(2·10+1)b·10+(2·10+8)c·10+2·10c+c<br />

≡ a·10 2 +8b·10 2 +7c·10 2 +2b·10 2 +b·10+2c·10 2 +


120 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

8c·10+2c·10+c (mod 1000)<br />

= (a+8b·7c+2b+2c)·10 2 +(b+8+2c)·10+c<br />

= (a+10b+9c)·10 2 +(b+10c)·10+c<br />

= a·10 2 +b·10 3 +9c·10 2 +b·10+c·10 2 +c<br />

≡ a·10 2 +b·10+c (mod 1000)<br />

= A.<br />

Esto concluye el problema.<br />

Ejemplo 4.9 Los enteros <strong>de</strong> dos dígitos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el 19 hasta el 92 se<br />

escriben consecutivamente para obteniendóse el número entero N =<br />

192021222324...89909192 ¿Cuál es la potencia mayor <strong>de</strong> 3 que divi<strong>de</strong><br />

a este número?<br />

Solución. Por la regla <strong>de</strong> los nueves este número es divisible por 9 si y<br />

sólo si<br />

19+20+21+···+92 = 37 2 ·3<br />

lo es. Por lo tanto, el número es divisible por 3 pero no por 9.<br />

Ejemplo 4.10 Encuentre el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> 6 1987 por 37.<br />

Solución. Tenemos que 6 2 ≡ −1 (mod 37). Luego,<br />

6 1987 = 6·6 1986<br />

= 6·(6 2 ) 993<br />

≡ 6·(−1) 993 (mod 37)<br />

≡ −6 (mod 37)<br />

≡ 31 (mod 37).


Sergio Plaza 121<br />

Por lo tanto, el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> 61987 por 37 es 31.<br />

Ejemplo 4.11 Encuentre el resto cuando 12233 · 455679 + 87653 3 es<br />

dividido por 4.<br />

Solución. Tenemosque 12233 = 12200+32+1 ≡ 1 (mod 4), 455679 =<br />

455600 + 76 + 3 ≡ 3 (mod 4), 87653 = 87600 + 52 + 1 ≡ 1 (mod 4).<br />

Luego, 12233 ·455679 +87653 3 ≡ 1·3+1 ≡ 0 (mod 4). Por lo tanto<br />

12233·45679+87653 3 es divisible por 4.<br />

Ejemplo 4.12 Para cada número entero positivo n el número 3 2n+1 +<br />

2 n+2 es divisible por 7.<br />

Solución. Observemos que 3 2n+1 ≡ 3·9 n ≡ 3·2 n (mod 7) y 2 n+2 =<br />

4·2 n , luego 3 2n+1 +2 n+2 = (3+4)·2 n = 7·2 n ≡ 0 (mod 7), lo que<br />

termina la prueba.<br />

Ejemplo 4.13 Pruebeel siguiente resultado débido a Euler. El número<br />

<strong>de</strong> Fermat F5 es divisible por 641, es <strong>de</strong>cir, 641|(2 32 +1).<br />

Solución. Observemos que 641 = 2 7 ·5+1 = 2 4 +5 4 . Luego, 2 7 ·5 ≡<br />

−1 (mod 641) y 5 4 ≡ −2 4 (mod 641). Ahora, 2 7 ·5 ≡ −1 (mod 641)<br />

nos da que 5 4 · 2 28 = (5 · 2 7 ) 4 ≡ (−1) 4 ≡ 1 (mod 641). Esta última<br />

congruencia y 5 4 ≡ −2 4 (mod 641) nos da −2 4 ·2 28 ≡ 1 (mod 641), es<br />

<strong>de</strong>cir, 2 32 +1 ≡ 0 (mod 641), dicho <strong>de</strong> <strong>otra</strong> forma 641|(2 32 +1) = F5.<br />

Ejemplo 4.14 Pruebeoencuentre uncontraejemplo paralas siguientes<br />

afirmaciones.<br />

1. Si a ≡ b (mod d) y d|n, entonces a ≡ b (mod n).<br />

2. Si a ≡ b (mod n) y d|n entonces a ≡ b (mod d).


122 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Solución. La primera afirmación es falsa, por ejemplo, tomemos a =<br />

0, b = 1, d = 1 y n = 2. Entonces d|n y a ≡ b (mod d), pero<br />

a = b (mod n).<br />

La segunda es verda<strong>de</strong>ra. En efecto, supongamos que a ≡ b (mod n)<br />

y que d|n, entonces a − b ≡ n · m y n = cd, con c,m ∈ Z. Luego,<br />

a−b = n·m = d(cm), <strong>de</strong> don<strong>de</strong> a ≡ b (mod d).<br />

4.1 Número <strong>de</strong> pasos en el algoritmo <strong>de</strong> la di-<br />

visión<br />

Si<strong>de</strong>seamoscalcular mcd(3073531,304313) porelalgoritmo<strong>de</strong>división,<br />

vemos que tendremos que hacer muchos pasos y nos gustaría saber <strong>de</strong><br />

antemano más o menos cuántos pasos <strong>de</strong>beríamos hacer para obtener el<br />

resultado.<br />

Teorema 4.2 Sean a y b enteros positivos. El algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s<br />

para calcular mcd(a,b) toma a lo más 2([log 2(b)]+1) pasos (es <strong>de</strong>cir,<br />

divisiones).<br />

Demostración. Sea s = [log 2(b)]+1. Sea n el número <strong>de</strong> pasos que<br />

<strong>de</strong>bemos dar en el algoritmo <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s para obtener<br />

mcd(a,b) = rn.<br />

Queremos probar que n 25. Supongamos que n 25+1. Primero<br />

mostramos que rj+2 < rj/2 para j ∈ {1,2,...,n−2}. Si rj+1 rj/2,<br />

entonces rj+2 < rj+1 rj/2. Si rj+1 > rj/2, entonces rj = rj+1qj+1+<br />

rj+2, don<strong>de</strong> qj+1 = 1. Luego, ,en este caso, rj+2 = rj −rj+1 < rj/2.<br />

Por lo tanto, en cualquier caso, tenemos que rj+2 < rj/2. Deducimos<br />

entonces que


Sergio Plaza 123<br />

1 rn < rn−2<br />

2<br />

< rn−4<br />

4 < ··· < rn−25 2<br />

5 r1<br />

b<br />

=<br />

25 Por lo tanto, s < log 2(b). Esto contradice el hecho que s = [log 2(b)+<br />

1] > log 2(b).<br />

4.2 Pequeño Teorema <strong>de</strong> Fermat<br />

Enunciamos a seguir dos teore<strong>mas</strong> acerca <strong>de</strong> los números primos que<br />

son útiles <strong>de</strong> recordar. Sus <strong>de</strong>mostraciones son más complicadas y las<br />

omitiremos por ahora. En el ¿¿capítulo 3?? daremos una sencilla <strong>de</strong>-<br />

mostración <strong>de</strong>l primero <strong>de</strong> ellos.<br />

Teorema 4.3 (Pequeño Teorema <strong>de</strong> Fermat) Dados dos entero a y<br />

p, con a > 0 y p primo. Entonces<br />

a p ≡ a (mod p).<br />

Otra versión <strong>de</strong> este teorema es la siguiente<br />

Teorema 4.4 (Pequeño Teorema <strong>de</strong> Fermat, <strong>otra</strong> versión ). Si n es<br />

un número entero y pes un número primo entonces p|(n p −n).<br />

Corolario 4.1 Dados números naturales k y n, y dado un primo p,<br />

si k ≡ 1 (mod p−1). Entonces p|(n k −n).<br />

El pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat pue<strong>de</strong> ser usado para <strong>de</strong>terminar si un<br />

número entero dado N es compuesto como sigue:<br />

2 5


124 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Paso 1. Chequear N para factores primos pequeos (este paso no es<br />

necesario, pero es razonable <strong>de</strong> hacer).<br />

Paso 2. Escriba N en base 2, digamos N =<br />

para cada j y k = [logN/log2]+1.<br />

Paso 3. Calcule 2 2j<br />

(mod N ).<br />

Paso 4. Calcule m ∈ {0,1,...,N −1}<br />

tal que<br />

k<br />

εj2 j , con εj ∈ {0,1}<br />

j=0<br />

m = Π k εj2j j=02 ≡ 2 N (mod N)<br />

Paso 5. Si m = 2, entonces N es compuesto. Si no el algoritmo no<br />

concluye nada.<br />

Comentario. Elalgoritmofuncionabienparaestablecerquela“mayoría”<strong>de</strong><br />

los números son compuestos, es <strong>de</strong>cir, para la mayoría <strong>de</strong> los números<br />

compuestos, m = 2. Si m = 2, entones po<strong>de</strong>mos chequear si 3 N ≡ 3<br />

(mod N ). Note que el algoritmo toma sobre el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> log(N) pa-<br />

sos, luego el algoritmo es un algoritmo <strong>de</strong> tiempo que es un polinomial<br />

(este corre en tiempo que es un polinomio en la longitud <strong>de</strong> la entrada<br />

(input)). No existe algoritmo <strong>de</strong> tiempo polinomial que <strong>de</strong>termina con-<br />

clusivamente cuando un entero arbitrario es compuesto.<br />

4.3 Test <strong>de</strong> Primalidad Probabilístico<br />

Deacuerdoalpequeñoteorema<strong>de</strong>Fermat, si p esprimoy 1 a p−1,<br />

entonces<br />

a p−1 ≡ 1 (mod p)


Sergio Plaza 125<br />

La recíproca también vale en el siguiente sentido.<br />

Teorema 4.5 Si m 2 y para todo entero a tal que 1 a m−1<br />

se tiene a m−1 ≡ 1 (mod m). Entonces m <strong>de</strong>be ser primo.<br />

Demostración. Si la hipótesis vale, entonces para todo a con 1 a <br />

m−1, se tiene que a posee un inverso módulo m, es <strong>de</strong>cir, a m−2 es<br />

un inverso para a módulo m. A<strong>de</strong>más, tenemos que 1 a m − 1<br />

y mcd(a,m) = 1. Ahora si m no es primo, entonces m = a · b, con<br />

1 < a < m y 1 < b < m, y tenemos que mcd(a,m) = a > 1, lo cual es<br />

una contradicción. Luego m <strong>de</strong>be ser primo.<br />

Observación. Sea m > 0. Si ab ≡ 1 (mod m), entonces mcd(a,m) =<br />

1 y mcd(a,m) = 1 y mcd(b,m) = 1. En efecto, si ab ≡ 1 (mod m),<br />

entonces m(ab −1). Luego, ab−1 = m ·t para algún t. De esto, se<br />

sigue que<br />

ab+m(−t) = 1<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> obtenemos que mcd(a,m) = 1 y mcd(b,m) = 1.<br />

Si usamos el teorema anterior para chequear si p es primo, <strong>de</strong>bemos<br />

chequear que a p−1 ≡ 1 (mod p) para a = 1,2,···,p − 1. Esto es un<br />

trabajo no trivial (por su extensión). Supongamos que tenemos 2 m−1 ≡<br />

1 (mod m) para algún m > 2 ¿Debe ser m primo? El menor entero<br />

compuesto m que satisface 2 m−1 ≡ 1 (mod m) es m = 341 = 11·31.<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, 2 341−1 ≡ (mod 341), pero 341 no es primo. La<br />

moral <strong>de</strong>l asunto, es que aún cuando 2 m−1 ≡ 1 (mod m), el número m<br />

no es necesariamente primo. Por <strong>otra</strong> parte, tomando m = 63(= 21·3),<br />

tenemos 2 6 = 64 ≡ 1 (mod 63).


126 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Luego, elevandoaladécimapotencialacongruencia 2 6 ≡ 1(mod 63),<br />

obtenemos<br />

2 60 ≡ 1 (mod 63)<br />

Multiplicando por 2 2 esta última congruencia, obtenemos<br />

2 62 ≡ 4 (mod 63)<br />

y como 4 = 1 (mod 63) se sigue que<br />

2 62 = 1 (mod 63).<br />

Por lo tanto 63 no es primo. Note que para saber esto no necesitamos<br />

<strong>de</strong>scomponer 63.<br />

Reiteremos lo que acabamos <strong>de</strong> concluir. Si 2 m−1 no es congruente a<br />

1 (mod m), entonces m no es primo.<br />

Aceptemos los siguientes hechos. Existen 455052511 primos impares<br />

p 10 10 , todos los cuales satisfacen 2 p−1 ≡ 1 (mod p). Existen sólo<br />

14884 números compuestos 2 < m 10 10 que satisfacen 2 m−1 ≡<br />

1 (mod m).<br />

Luego, si 2 < m 10 10 y m satisface 2 m−1 ≡ 1 (mod m), entonces<br />

la probabilidad <strong>de</strong> m ser primo es<br />

455052511<br />

455052511 +14884<br />

≈ 0.999672928


Sergio Plaza 127<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, si encontramos que 2 m−1 ≡ 1 (mod m), entonces<br />

es seguro que m es primo, al menos cuando m 10 10 .<br />

Este tipo <strong>de</strong> algoritmo es mucho más eficiente si la cantidad <strong>de</strong> primos<br />

que estamos consi<strong>de</strong>rando es menor, por ejemplo se sabe que el número<br />

<strong>de</strong> primos menor o igual que 10 6 es 78498, y que la cantidad <strong>de</strong> números<br />

compuestos m 10 6 tales que 2 m−1 ≡ 1 (mod m) es 245.<br />

La cantidad <strong>de</strong> números compuestos m 10 6 tales que 2 m−1 ≡<br />

1 (mod m) y 3 m−1 ≡ 1 (mod m) es 66.<br />

La cantidad <strong>de</strong> números compuestos m 10 6 tales que a m−1 ≡<br />

1 (mod m) para a ∈ {2,3,5,7,11,13,17,19,31,37,41} es 0.<br />

De lo anterior, tenemos el siguiente resultado.<br />

Si m 10 6 y a m−1 ≡ 1(mod m) para a ∈ {2,3,5,7,11,13,17,31,37,41}<br />

entonces m es primo.<br />

Si m > 10 6 y a m−1 ≡ 1(mod m) para a ∈ {2,3,5,7,11,13,17,19,31,37,41}<br />

es altamente probable pero no es seguro, que m es primo.<br />

Ejercicios.<br />

Problema 4.1 Verifique que 3 90 ≡ 1 (mod 91), pero 91 = 7·13 no es<br />

primo.<br />

Problema 4.2 Para m = 1105 = 221 · 5 (no primo) se verifica que<br />

2 m−1 ≡ 1 (mod m) y m m−1 ≡ 1 (mod m). Compruebeesta afirmación.<br />

4.4 Ejemplos<br />

Ejemplo 4.15 Usaremos este teorema para probar que 3 divi<strong>de</strong> a (a+<br />

b) 3 −a 3 −b 3 . Tenemos que (a+b) 3 ≡ (a+b) (mod 3), a 3 ≡ a (mod 3),<br />

y b 3 ≡ b (mod 3). Luego,<br />

(a+b) 3 −a 3 −b 3 ≡ a+b−a−b (mod 3)


128 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

es <strong>de</strong>cir, 3|((a+b) 3 −a 3 −b 3 ).<br />

≡ 0 (mod 3),<br />

Ejemplo 4.16 Determinar todos los enteros positivos n paralos cuales<br />

la expresión 2 n +1 es divisible por 3.<br />

Solución. Consi<strong>de</strong>remos congruencia módulo 3.<br />

Tenemos 2 ≡ −1 (mod 3), luego 2 n ≡ (−1) n (mod 3) y por lo tanto<br />

2 n +1 ≡ [(−1) n +1] (mod 3). Luego, si n esimpar, 2 n +1 ≡ 0(mod 3),<br />

es <strong>de</strong>cir, 2 n + 1 es divisible por 3 para todo n impar. A<strong>de</strong>más, si n<br />

es par se obtiene que 2 n +1 ≡ 2 (mod 3). Luego 2 n +1 no es nunca<br />

divisible por 3 si n es par.<br />

Ejemplo 4.17 Calcule 50 250 (mod 83).<br />

Solución. Usando un programa <strong>de</strong> cálculo numérico obtenemos que<br />

50 250 = 55271478752604445602472651921922557255142402332392200864151<br />

70220907898754023953317101764802222264464998750268125535<br />

78470207686332597244588393792241731716785579919815063<br />

4765625000000000000000000000000000000000000000000000<br />

0000000000000000000000000000000000000000000000000000<br />

0000000000000000000000000000000000000000000000000000<br />

0000000000000000000000000000000000000000000000000000<br />

0000000000000000000000000000000000000000000000000<br />

Ahora usaremos el pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat, es <strong>de</strong>cir, si p es un<br />

número primo y p no divi<strong>de</strong> a a entonces a p−1 ≡ 1 (mod p). Tenemos<br />

que 83 no divi<strong>de</strong> a 50, luego tomando p = 17, por el peque no teorema<br />

<strong>de</strong> Fermat, 50 82 ≡ 1 (mod 17). Ahora, como 3·82 = 246 tenemos<br />

50 250 = 50 246 ·50 4 = 50 82 3 ·2500 2 ≡ 1 3 ·10 2 = 100 = 17 (mod 83).


Sergio Plaza 129<br />

Ejemplo 4.18 Resolvamoslaecuaciónencongruencia 16x ≡ 25(mod 41).<br />

Solución. La i<strong>de</strong>a sería multiplicar ambos lados <strong>de</strong> la ecuación 16x ≡<br />

25 (mod 41) por el recíproco <strong>de</strong> 16 (mod 41). <strong>Una</strong> manera simple <strong>de</strong><br />

encontrar tal número es usar el teorema <strong>de</strong> Fermat, para ello notemos<br />

que 16 40 ≡ 1 (mod 41). Luego,<br />

nos da que<br />

que es una solución buscada.<br />

16 39 ·16x ≡ 16 39 ·25 (mod 41)<br />

x ≡ 16 39 ·25 (mod 41)<br />

Ejemplo 4.19 No existe un entero n > 1 que divi<strong>de</strong> a 3 n −2 n .<br />

Solución. Supongamos que existe algún entero n > 1 que divi<strong>de</strong> a<br />

3 n − 2 n , es <strong>de</strong>cir, 3 n − 2 n ≡ 0 (mod n). Es fácil verificar que 2 ni 3<br />

divi<strong>de</strong>n a n. Consi<strong>de</strong>remos el menor factor primo p <strong>de</strong> n, el cual existe<br />

pues n > 1. Usando ahora el pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat, tenemos ¿¿<br />

??. Como 3 n ≡ 2 n (mod n) se sigue que 3 mp ≡ 2 mp (mod p), <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />

3 m ≡ 2 m (mod p). Sea d = mcd(m,p−1), tenemos que en particular<br />

d divi<strong>de</strong> a n. Por lo tanto, como p es el menor factor primo <strong>de</strong> n<br />

<strong>de</strong>ducimos que d = 1. Luego existen entero positivos x e y tales que<br />

mx = (p−1)y+1 . Usando nuevamente el pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat,<br />

junto con el hecho que 3 m ≡ 2 m (mod p), obtenemos 3 ≡ 3 (p−1)y+1 =<br />

3 mx ≡ 2 mx = 2 (p−1)y+1 ≡ 2 (mod p), lo cual es imposible.<br />

Ejemplo 4.20 Muestre que 7|(2222 5555 +5555 2222 ).<br />

Solución. Por el pequeño Teorema <strong>de</strong> Fermat, para cualquier número<br />

natural n se tiene que n 7 ≡ n (mod 7). Luego, para números naturales<br />

q y r se tiene que


130 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

n 7q+r ≡ (n 7 ) q ·n r (mod 7)<br />

≡ n q ·n r (mod 7)<br />

= n q+r (mod 7).<br />

A continuación usaremos este resultado varias veces. Pero antes, ob-<br />

serve que<br />

Luego<br />

2222 ≡ 3 (mod 7) y 5555 ≡ −3 (mod 7)<br />

2222 5555 +5555 2222 ≡ 3 5555 +(−3) 2222 (mod 7)<br />

≡ 3 793·7+4 +(−3) 317·7+3 (mod 7)<br />

≡ 3 113+6 +(−3) 45+5 (mod 7)<br />

≡ 3 17+0 +(−3) 7+1 (mod 7)<br />

≡ 3 2+3 +(−3) 1+1 (mod 7)<br />

≡ 3 2 (3 3 +1) (mod 7)<br />

≡ 28·3 2 (mod 7)<br />

≡ 0 (mod 7).<br />

De don<strong>de</strong> concluimos que 7 divi<strong>de</strong> a 2222 5555 +5555 2222 .<br />

Solución alternativa. <strong>Una</strong> manera más astuta <strong>de</strong> usar el pequeño<br />

teorema <strong>de</strong> Fermat es la siguiente. Puesto que n 7 − n = n(n 6 − 1),<br />

<strong>de</strong>l pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat sigue que si n es un número natural y


Sergio Plaza 131<br />

n ≡ 0 (mod 7), entonces n 6 ≡ 1 (mod 7). Por lo tanto, para números<br />

naturales n, q y r, si n ≡ 0 (mod 7), entonces<br />

n 6q+r ≡ (n 6 ) q ·n r (mod 7)<br />

≡ 1 q ·n r (mod 7)<br />

≡ n r (mod 7.<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, si n ≡ 0 (mod 7), entonces po<strong>de</strong>mos reducir la<br />

potencia <strong>de</strong> n módulo 6. Luego<br />

2222 5555 +5555 2222 ≡ 3 55555 +(−3) 2222 (mod 7)<br />

Luego 7|(2222 5555 +5555 2222 ).<br />

≡ 3 5 +(−3) 2 (mod 7)<br />

≡ 3 2 (3 3 +1) (mod 7)<br />

≡ 28·3 2 (mod 7)<br />

≡ 0 (mod 7)<br />

Ejemplo 4.21 Muestre que existen infinitos enteros positivos n tales<br />

que 2 n +27 es divisible por 7.<br />

Solución. Para n = 3, se tiene que 2 3 +27 = 35 es divisible por 7.<br />

Observemos que 2 1 ≡ 2, 2 2 ≡ 4, 2 3 ≡ 1, 2 4 ≡ 2, 2 5 ≡ 4, y 2 6 ≡ 1<br />

(mod 7). Luego 2 3k ≡ 1 (mod 7) para todo entero positivo k. Por lo<br />

tanto 2 3k +27 = 1+27 ≡ 0 (mod 7) para todo entero positivo k.<br />

Ejemplo 4.22 Para todo k = 0, 1, 2,... al dividir 2 k −5 por 7 nunca<br />

se obtiene resto igual a 1.


132 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Solución. Tenemos 2 1 ≡ 2, 2 2 ≡ 4, 2 3 ≡ 1 (mod 7) y este ciclo se<br />

repite. Luego 2 k −5 pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>jar resto 3, 4 o 6 en la división por 7.<br />

Ejemplo 4.23 Muestre que n 31 − n es divisible por 56786730, para<br />

todos número natural n.<br />

Solución. La <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong>l número dado como producto <strong>de</strong> pri-<br />

mos es 56786730 = 2·3·5·7·11·13·31·61.<br />

Aplicaremos el corolario <strong>de</strong>l pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat.<br />

Usaremos este resultado varias veces para k = 61 y p igual a cada<br />

uno <strong>de</strong> los primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 31 y 61. Tenemos<br />

61 ≡ 1 (mod 1). Luego 2|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 2). Luego 3|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 4). Luego 5|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 6). Luego 7|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 10). Luego 11|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 12). Luego 13|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 30). Luego 31|(n 61 −n).<br />

61 ≡ 1 (mod 61). Luego 61|(n 61 −n).<br />

Por lo tanto mcm(2,3,5,7,11,13,31,61) = 2·3·5·7·11·13·31·61<br />

divi<strong>de</strong> n 61 −n para todos los números naturales n.<br />

Ejemplo 4.24 ¿Cuál es el dígito final <strong>de</strong> ((((((((((7 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ?<br />

(7 ocurre 10 veces como potencia)<br />

Solución. El dígito final <strong>de</strong> un número escrito en forma <strong>de</strong>cimal es<br />

su resto módulo 10 (mod 10). Ahora, tenemos 7 2 ≡ −1 (mod 10).<br />

Luego 7 7 = (7 2 ) 3 · 7 ≡ −7 (mod 10), y (7 7 ) 7 ≡ (−7) 7 ≡ −(7) 7 ≡<br />

−(−7) = 7 (mod 10). Procediendo <strong>de</strong> esta forma, vemos que ((7 7 ) 7 ) 7 ≡<br />

7 (mod 10), en general, (···(((7 7 ) 7 ) 7 )···) 7 ≡ ±7 (mod 10), don<strong>de</strong> el


Sergio Plaza 133<br />

signo es + si tenemos una cantidad par <strong>de</strong> 7 que aparecen como poten-<br />

cias, y el signo es − si una cantidad impar <strong>de</strong> 7 aparece como potencias<br />

en la fórmula. Como en nuestro caso 7 aparece 10 veces como potencia<br />

concluimos que el dígito final en la expresión es 7.<br />

Ejemplo 4.25 Consi<strong>de</strong>remos la sucesión <strong>de</strong> números 3, 15, 24, 48,...,<br />

que consiste <strong>de</strong> los múltiplos <strong>de</strong> 3 que son iguales a un cuadrado perfecto<br />

menos 1 ¿Cuál es el resto cuando el término 1994 <strong>de</strong> esta sucesión se<br />

divi<strong>de</strong> por 1000?<br />

Solución. Deseamos 3|(n 2 −1), es <strong>de</strong>cir, 3|(n−1)(n+1). Como 3 es<br />

primo, obtenemos que n = 3k + 1 o n = 3k − 1, con k = 1, 2, 3,...<br />

La sucesión 3k +1, con k = 1, 2, 3,... produce los términos n 2 −1 =<br />

(3k + 1) 2 − 1 que son los términos en los lugares pares <strong>de</strong> la sucesión<br />

3, 15, 24, 48,... La sucesión 3k − 1, con k = 1, 2, ... produce los<br />

términos n 2 −1 = (3k−1) 2 −1 quesonlostérminosenloslugaresimpares<br />

<strong>de</strong> la sucesión 3, 15, 24, 48,... Debemos encontrar el término 997 <strong>de</strong> la<br />

sucesión 3k+1, con k = 1, 2,.... Este término es (3·997+1) 2 −1 ≡<br />

(3 · (−3) + 1) 2 − 1 ≡ 64 − 1 ≡ 63 (mod 1000). Por lo tanto, el resto<br />

buscado es 63.<br />

Ejemplo 4.26 ¿Cuál es el último dígito <strong>de</strong> 7 777777<br />

Solución. Llamamos a una expresión como la anterior una torre <strong>de</strong><br />

sietes. En nuestro caso la torre <strong>de</strong> sietes tiene 7 sietes. Ahora como<br />

7 4 = (7 2 ) 2 ≡ (−1) 2 = 1 (mod 10), <strong>de</strong> don<strong>de</strong> (mod 10) tenemos que<br />

7 k ⎧<br />

1k ≡ 0 (mod 4)<br />

⎪⎨ 7k ≡ 1 (mod 4)<br />

=<br />

−1k ≡ 2 (mod 4)<br />

⎪⎩<br />

−7k ≡ 3 (mod 4)<br />

?


134 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

don<strong>de</strong> k es un número natural. Por lo tanto, para <strong>de</strong>terminar el último<br />

dígito <strong>de</strong> la torre <strong>de</strong> 7 sietes, necesitamos <strong>de</strong>terminar que una torre <strong>de</strong><br />

6 sietes es congruente mod 4. Ahora, como 7 ≡ −1 (mod 4), tenemos<br />

(mod 4)<br />

7 m ⎧<br />

⎨ 1 si m es par<br />

≡<br />

⎩ −1 si m es impar,<br />

don<strong>de</strong> m es un número natural. <strong>Una</strong> torre <strong>de</strong> 5 sietes es ciertamente<br />

impar. Luego, una torre <strong>de</strong> 6 sietes es congruente a −1 (mod 4) (−1 ≡<br />

3 (mod 4)). Por lo tanto, una torre <strong>de</strong> 7 sietes es congruente a −7<br />

módulo 10 (y −7 ≡ 3 (mod 10)). Así que una torre <strong>de</strong> 7 sietes <strong>de</strong>be<br />

terminar en un 3.<br />

Ejemplo 4.27 Calcule los dos últimos dígitos <strong>de</strong> 7 73 .<br />

Solución. Tenemos<br />

7 2 = 49<br />

7 4 = 2401 ≡ 1 (mod 100)<br />

Luego 7 72 = (7 4 ) 18 ≡ 1 (mod 100), por lo tanto 7 73 ≡ 7 (mod 100),<br />

y los dos últimos dígitos <strong>de</strong> 7 73 son 01.<br />

El mismo problema para 3 73 es un poco más interesante;<br />

3 2 = 9<br />

3 4 = 81<br />

3 8 = 6561 ≡ 61 (mod 100)<br />

3 16 ≡ 61 2 = 3721 ≡ 21 (mod 100)<br />

3 3 2 ≡ 21 2 = 441 ≡ 41 (mod 100)<br />

3 64 ≡ 41 2 = 1681 ≡ 81 (mod 100)


Sergio Plaza 135<br />

luego 3 73 = 3 64 · 3 8 · 3 ≡ 81 · 61 · 3 ≡ 23 (mod 100) y los dos últimos<br />

dígitos <strong>de</strong> 3 73 son 23.<br />

Ejemplo 4.28 Cuando 4444 4444 esescritoennotación<strong>de</strong>cimal, lasuma<br />

<strong>de</strong> sus dígitos es A. Sea B la suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> A. Encuentre la<br />

suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B.<br />

Solución. Primero notemos que como 4444 < 10000 = 10 4 se tiene<br />

que 4444 4444 < 10 4×4444 = 10 17776 , porlotanto lacantidad <strong>de</strong>dígitos <strong>de</strong><br />

4444 4444 nopue<strong>de</strong>ser mayor que17776, y enconsecuencia lasuma<strong>de</strong>los<br />

dígitos<strong>de</strong> 4444 4444 , quees A, nopue<strong>de</strong>sermayorque 17776·9 = 159984<br />

(pues cada dígito es a lo más un 9). De entre los números menores que<br />

159984, el número con la mayor suma <strong>de</strong> sus dígitos es 99999. Luego<br />

B, no pue<strong>de</strong> ser mayor que 45. De entre los número naturales menores<br />

o iguales que 45, el número con mayor suma <strong>de</strong> sus dígitos es 39. Por lo<br />

tanto la suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B no pue<strong>de</strong> ser mayor que 12.<br />

Ahora usaremos el siguiente hecho ya <strong>de</strong>mostrado sobre la disibilidad<br />

por 9<br />

“para cualquier número natural N , se tiene que<br />

N ≡ suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> N (mod 9)”.<br />

Usandoestovemos que 4444 4444 escongruentealasuma<strong>de</strong>los dígitos<br />

<strong>de</strong> A (mod 9). Usando <strong>otra</strong> vez ese resultado, vemos que A es congru-<br />

ente a la suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B (mod 9). Usando el resultado una<br />

vez más tenemos que B es congruente a la suma <strong>de</strong> sus dígitos módulo<br />

9, esto es<br />

4444 4444 ≡ A (mod 9)<br />

≡ B (mod 9)<br />

≡ (suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B) (mod 9).


136 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ahora<strong>de</strong>terminaremosaquenúmeroescongruente 4444 4444 (mod 9).<br />

4444 4444 ≡ (4+4+4+4) 4444 (mod 9)<br />

≡ 16 4444 (mod 9)<br />

≡ (−2) 4444 (mod 9)<br />

≡ (−2) 31481+1 (mod 9)<br />

≡ ((−2) 3 ) 1481 ·(−2) (mod 9)<br />

≡ (−8) 1481 ·(−2) (mod 9)<br />

≡ 1 1481 ·(−2) (mod 9)<br />

≡ 1·(−2) (mod 9)<br />

≡ 7 (mod 9).<br />

Por lo tanto, juntando los hechos anteriores vemos que<br />

(suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B) ≡ 7 (mod 9)<br />

y la suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B es un número natural menor o igual que<br />

12. Luego la suma <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> B es igual a 7.<br />

Ejemplo 4.29 Calcule (m −1)! (mod m) para 2 m 9. Formule<br />

una conjetura.<br />

Solución. Tenemos 2! ≡ 2(mod 3), 3! ≡ 2(mod 4), 4! ≡ 4(mod 5),...,<br />

8! ≡ 0 (mod 9).<br />

Conjetura. (m−1)! ≡ −1 (mod m) si y sólo si m es primo. A<strong>de</strong>más,<br />

(m−1)! ≡ 0 (mod m) para todo m compuesto, excepto m = 4.


Sergio Plaza 137<br />

Ejemplo 4.30 Hallar los cuadrados <strong>de</strong> los números enteros positivos<br />

(mod 13).<br />

Solución. Observemosprimeroquesólonecesitamoscalcularloscuadra-<br />

dos <strong>de</strong> los enteros hasta 6, porque r 2 ≡ (13 − r) 2 (mod 13). Calcu-<br />

lando los cuadrados <strong>de</strong> los enteros no negativos hasta el 6, obtenemos<br />

0 2 ≡ 1 2 ≡ 1, 2 2 ≡ 4, 3 2 ≡ 9, 4 2 ≡ 3, 5 2 ≡ 12, 6 2 ≡ 10 (mod 13).<br />

Por lo tanto los cuadrados (mod 13) son 0, 1, 4, 9, 3, 12 y 10.<br />

Ejemplo 4.31 La ecuación x 2 +5y 2 = 2 no tiene soluciones enteras.<br />

Solución. Si x 2 = 2+5y 2 , entonces x 2 ≡ 2 (mod 5). Pero 2 no es un<br />

cuadrado (mod 5).<br />

Ejemplo 4.32 Calcular el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> 3 100 por 101.<br />

Solución. Por ejemplo, usando un computador, obtenemos<br />

3 100 = 515377520732011331036461129765621272702107522001<br />

y<br />

3100 = 0.5102747730 ×1046<br />

101<br />

no es muy revelador para solucionar nuestro problema. Por <strong>otra</strong> parte,<br />

si usamos aritmética modular, es <strong>de</strong>cir, congruencias, os cálculos los<br />

po<strong>de</strong>mos hacer fácilmente.<br />

Escribiendo 100 como suma <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> 2, esto es 100 = 64 +<br />

32+4 = 2 6 +2 5 +2 2 , tenemos 3 100 = 3 64 ·3 32 ·3 4 . Ahora, 3 4 = 81 ≡<br />

−20 (mod 101), es <strong>de</strong>cir, 3 4 ≡ −20 (mod 101). Elevando al cuadrado<br />

ambos lados <strong>de</strong> la congruencia, tenemos 3 8 ≡ 20 2 ≡ −4 (mod 101).<br />

Repitiendo el proceso nos queda 3 16 ≡ 4 2 = 16 (mod 101), 332 ≡ 162 ≡<br />

−47(mod 101). Por lotanto 3 100 ≡ 364·332·34 ≡ (−13)·(−47)(−20) ≡<br />

(−13)(31) ≡ 1 (mod 101). Simple y lo pudimos hacer con cálculos<br />

sencillos.


138 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 4.33 ¿Existen enteros positivos x,y tal que x 3 = 2 y +15?<br />

Solución. No. Los cubos (mod 7) son 0, 1, and 6. Ahora bien, cada<br />

potencia <strong>de</strong> 2 es congruente a 1, 2, o 4 (mod 7). Así pues, 2 y +15 ≡<br />

2,3,5 (mod 7). Esto es imposible.<br />

El siguiente teorema caracteriza los números primos.<br />

Teorema 4.6 (Wilson) Sea a un números entero mayor que 1. En-<br />

tonces a es un primo si y sólo si (a−1)! ≡ −1 (mod a).<br />

Demostración. Ponerla.<br />

4.4.1 Ejercicios<br />

Problema 4.3 Pruebe que entre cualesquiera diez enteros positivos y<br />

consecutivos al menos uno es coprimo con el producto <strong>de</strong> los otros.<br />

Problema 4.4 Pruebe que para cada r 1, existen infinitos primos<br />

p con p ≡ 1 (mod 2 r ).<br />

Problema 4.5 Calcule 2 100000 (mod 77) <strong>de</strong> dos for<strong>mas</strong>: primero, us-<br />

ando el teorema <strong>de</strong> Euler, y segundo, usando el teorema <strong>de</strong> Fermat y el<br />

teorema chino <strong>de</strong> los restos.<br />

Problema 4.6 Encuentre los dos últimos dígitos <strong>de</strong> 9999(= 9 (999 ) ).<br />

Problema 4.7 Sea y un número <strong>de</strong> 3 dígitos, el cual cuando es elevado<br />

a la potencia 89 da un número cuyos 3 últimos dígitos es 247. Encuentre<br />

y.<br />

Problema 4.8 ¿El número [(44+ √ 1996 100 )] es par o impar?


Sergio Plaza 139<br />

Problema 4.9 Un número <strong>de</strong> 1996 dígitos comienza con 6. Cualquier<br />

número formado por dos dígitos consecutivos <strong>de</strong> tal número es divisible<br />

por 17 o 23 ¿Cuál es el último dígito <strong>de</strong>l número?<br />

Problema 4.10 ¿En cuántos ceros termina la expansión <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong><br />

2003!?<br />

Problema 4.11<br />

Problema 4.12<br />

Problema 4.13<br />

Problema 4.14<br />

Problema 4.15<br />

Problema 4.16<br />

Problema 4.17<br />

Problema 4.18<br />

4.5 Factorización<br />

Teorema 4.7 Sea n un entero impar. Entonces existe una correspon-<br />

<strong>de</strong>ncia uno–a–uno<br />

{factorización} ↔ {expresión <strong>de</strong> n como la diferencia <strong>de</strong> dos cuadrados}.


140 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Demostración. Si escribimos n = ab, entonces como n es impar se<br />

<strong>de</strong>be tener que a y b son impares. Luego, a+b y a−b son números<br />

pares, por lo tanto a+b<br />

2 y a−b<br />

2 son números enteros. Ahora,<br />

<br />

a+b<br />

n =<br />

2<br />

2<br />

<br />

a−b<br />

−<br />

2<br />

expresa a n como diferencia <strong>de</strong> dos cuadrados <strong>de</strong> números enteros.<br />

Recíprocamente, supongamos que n es escrito como la diferencia <strong>de</strong><br />

dos cuadrados <strong>de</strong> números enteros, es <strong>de</strong>cir, n = s 2 −t 2 , don<strong>de</strong> s y t<br />

son números enteros. Tenemos entonces que<br />

es una factorización <strong>de</strong> n.<br />

n = (s−t)(s+t)<br />

Ejemplo 4.34 Factoricemos 4819. La i<strong>de</strong>a es tratar <strong>de</strong> escribir 4819 <strong>de</strong><br />

la forma 4819 = s 2 −t 2 , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> t 2 = s 2 −4819. Hacemos crecer el<br />

valor <strong>de</strong> s <strong>de</strong> modo a obtener un cuadrado perfecto. Como √ 4819 ≈<br />

69.4 y como 4819 = s 2 −t 2 , se <strong>de</strong>be tener que s es mayor o igual que<br />

70 (entero inmediatamente mayor o igual que 69.4). Por <strong>otra</strong> parte la<br />

factorización con el mayor factor posible es 4819 = 1 · 4819, usando<br />

la prueba <strong>de</strong>l teorema anterior, proce<strong>de</strong>mos con s <strong>de</strong> la forma s =<br />

4819+1<br />

2 = 2410. Luego, sólo necesitamos tratar con 70 s 2410.<br />

Primero tratamos con, 70 2 − 4819 = 4900 − 4819 = 81 = 9 2 . Por lo<br />

tanto, tomando s = 70 y t = 9 obtenemos s +t = 79, s−t = 61 y<br />

79·61 = 4819.<br />

2


Sergio Plaza 141<br />

4.6 Teorema <strong>de</strong> Fermat <strong>de</strong> los dos cuadrados<br />

Un teorema bien conocido primero establecido por Girard, y proba-<br />

blemente primero probado por Fermat (la primera prueba conocida es<br />

<strong>de</strong><strong>de</strong>bida a Euler) concerniente a primos que son suma <strong>de</strong> dos cuadros,<br />

tales como 5 = 1 2 +2 2 y 29 = 2 2 +5 2 . La siguiente caracterización <strong>de</strong><br />

tales primos es una consecuencia simple <strong>de</strong> la noción <strong>de</strong> congruencia, la<br />

recíproca es también verda<strong>de</strong>ra, pero mucho más díficil <strong>de</strong> probar.<br />

Teorema 4.8 Si un número primo p es la suma <strong>de</strong> dos cuadrados <strong>de</strong><br />

enteros, entonces p ≡ 1 (mod 4) o p = 2.<br />

Demostración. Dado un número entero n, se tiene n ≡ 0 (mod 4),<br />

n ≡ 1 (mod 4), n ≡ 2 (mod 4) y n ≡ 3 (mod 4). Luego para n 2 se<br />

tiene n 2 ≡ 0 (mod 4) o n 2 ≡ 1 (mod 4).<br />

Supongamos ahora que p = a 2 + b 2 . Como a 2 , b 2 ≡ 0,1(mod 4),<br />

vemos que a 2 + b 2 <strong>de</strong>be ser congruente módulo 4 a 0 = 0 + 0, 1 =<br />

1+0 = 0+1 o 2 = 1+1, esto es p ≡ 0, 1, 2 (mod 4). Como ningún<br />

primo es congruente a 0 (mod 4) y como 2 es el único primo congruente<br />

a 2 (mod 4), se sigue que p = 2 o p ≡ 1 (mod 4). Lo que completa la<br />

prueba<br />

Para la recíproca, necesitamos conocer cuándo −1 es un cuadrado<br />

(mod p) para p primo. Por ejemplo −1 no es un cuadrado mod 3, 7,<br />

u 11, y 2 2 ≡ −1 (mod 5), 5 2 ≡ −1 (mod 13). Tenemos el siguiente<br />

resultado general.<br />

Teorema 4.9 Sea p un primo impar; entonces la congruencia a 2 ≡<br />

−1 (modp) tiene una solución si y sólo si p ≡ 1 (mod 4).<br />

Para la prueba necesitamos <strong>de</strong> algunos resultados auxiliares.


142 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Teorema 4.10 (Teorema <strong>de</strong> Wilson). Para p > 1, se tiene (p−1)! ≡<br />

−1 (mod p) si y sólo si p es primo.<br />

Note que el Teorema <strong>de</strong> Wilson nos da un test <strong>de</strong> primalidad; <strong>de</strong>safor-<br />

tunadamente, la única manera conocida para calcular (n − 1)! es vía<br />

n−2 multiplicaciones.<br />

<br />

p−1<br />

Teorema 4.11 Sea p un primo impar y sea a = !, entonces<br />

2<br />

a2 ≡ (−1) (p+1)/2 (mod p). En particular, a ≡ ±1 (mod p) si p ≡<br />

3 (mod 4), y a 2 ≡ 1 (mod p) si p ≡ 1 (mod 4).<br />

Demostración. Del Teorema <strong>de</strong> Wilson (p−1)! ≡ −1 (mod p); si en<br />

el producto (p−1)! reemplazamos los elementos p+1<br />

2<br />

por sus negativos − p+1<br />

2<br />

≡ p−1<br />

2<br />

, − p+3<br />

2<br />

, p+3<br />

2 ,...,p−1<br />

p−3<br />

≡ ,...,−(p − 1) ≡<br />

2<br />

1 (mod p), entonces hemos introducido exactamente p−1<br />

factores<br />

2<br />

−1; luego (p−1)! ≡ (−1) (p−1)/2a2 <br />

p−1<br />

(mod p) con a = !.<br />

2<br />

Prueba <strong>de</strong>l teorema 4.9. Si p ≡ 1 (mod 4), entonces hemos cons-<br />

truido una solución a la congruencia a 2 = −1 (mod p). Supongamos<br />

recíprocamente queesta congruencia es soluble. Elevando ambos lados a<br />

la potencia p−1<br />

nos da que 1 ≡ a<br />

2<br />

p−1 ≡ (−1) (p−1)/2 (mod p), y como<br />

1 = −1 (mod p) para p primo impar, se <strong>de</strong>be tener que (−1) p−1/2 = 1,<br />

luego p ≡ 1 (mod 4).<br />

El siguiente resultado es <strong>de</strong>bido a Birkhoff, re<strong>de</strong>scubierto por Aubry,<br />

y posteriormente conocido como Teorema <strong>de</strong> Thue.<br />

Teorema 4.12 (Birkhoff–Aubry-Thue). Dado un entero a no divis-<br />

ible por p, entonces existen x,y ∈ Z con 0 < |x|,|y| < √ p tales que<br />

ay ≡ x (mod p).


Sergio Plaza 143<br />

Demostración. Sea f el menor entero mayor que √ p, consi<strong>de</strong>remos<br />

u + av (mod p), con 0 u,v < f . Hay f 2 > p <strong>de</strong> tales expresiones,<br />

pero sólo p posibles resultados, luego <strong>de</strong><strong>de</strong>n existir u, u ′ , v y v ′ tales<br />

que u + av ≡ u ′ + av ′ (mod p). Sea x = u − u ′ , y v ′ − v, entonces<br />

x = ay (mod p) y a<strong>de</strong>más, −f < x,y < f .<br />

Ahora po<strong>de</strong>mos probar el siguiente resultado.<br />

Teorema 4.13 (Girard–Fermat–Euler) Cada primo p ≡ 1 (mod 4) es<br />

una suma <strong>de</strong> dos cuadrados enteros.<br />

Demostración. Como p ≡ 1 (mod 4), existe a ∈ Z tal que a 2 ≡<br />

−1 (mod 4). Por el Teorema 4.12, existen enteros x e y tales que<br />

ay ≡ x (mod p) y 0 < x,y < √ p. Elevando al cuadrado esta última<br />

congruenciaobtenemos −y 2 ≡ x 2 (mod p),estoes, x 2 +y 2 ≡ 0(mod p).<br />

Como 0 < x 2 ,y 2 < p, se sigue que 0 < x 2 +y 2 < 2p, y como x 2 +y 2 es<br />

divisible por p, se <strong>de</strong>be tener que x 2 +y 2 = p, como queríamos probar.<br />

Corolario 4.2 Si p es un primo, entonces √ p es irracional.<br />

Demostración. Para p = 2 ya hicimos la prueba.<br />

Supongamos que p > 2 es primo y que √ p es racional, entonces<br />

p = r 2 /s 2 , con r,s ∈ N. Po<strong>de</strong>mos asumir, sin perdida <strong>de</strong> generalidad,<br />

que r y s son coprimos (si no lo son simplifique primero). Luego<br />

ps 2 = r 2 . Luego p|r 2 , y como p es primo se sigue que p|r, digamos<br />

r = pt. De esto se sigue que ps 2 = p 2 t 2 , y entonces s 2 = pt 2 , lo cual<br />

significa que p|s 2 , y por lo tanto p|s, pues p es primo. Esto es una<br />

contradicción pues mcd(r,s) = 1


144 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Teorema 4.14 (Lucas). Sean m,n enteros no negativos y sea p un<br />

primo. Sean<br />

y<br />

m = mkp k +mk−1p k−1 +···+m1p+m0<br />

n = nkp k +nk−1p k−1 +···+n1p+n0<br />

las expansiones en base p <strong>de</strong> m y n, respectivamente. Entonces<br />

<br />

m<br />

=<br />

n<br />

<br />

mk mk−1<br />

nk<br />

nk−1<br />

<br />

···<br />

<br />

m1 m0<br />

Demostración. Tenemos la siguiente i<strong>de</strong>ntidad<br />

n1<br />

n0<br />

(1+x) pk<br />

= 1+x pk<br />

(mod p)<br />

cuya prueba es inmediata. De esto se sigue que<br />

(1+x) m = (1+x) mkp k +mk−1p k−1 +···+m1p+m0<br />

<br />

(mod p).<br />

mkpk mk−1pk−1 = (1+x) (1+x) ···(1+x) m1p m0 (1+x)<br />

≡ (1+x pk<br />

) mk p<br />

(1+x k−1<br />

) mk−1 p m1 m0 ···(1+x ) (1+x) (mod p).<br />

Por expansión en base p, los coeficientes <strong>de</strong> xn en ambos lados es<br />

<br />

m mk mk−1 m1 m0<br />

= ··· (mod p).<br />

n<br />

nk<br />

nk−1<br />

Corolario 4.3 Dado un entero no negativo n, sea A(n) el número<br />

<strong>de</strong> factores <strong>de</strong> 2 en n!, y sea B(n) el número <strong>de</strong> 1 en la expansión<br />

binaria <strong>de</strong> n. Entonces el número <strong>de</strong> entradas impares en la n–ésima<br />

fila <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> Pascal, o equivalentemente el número <strong>de</strong> coeficientes<br />

impares en la expansión <strong>de</strong> (1+x) n es 2B(n). A<strong>de</strong>más, A(n)+B(n) =<br />

n para todo n ∈ N.<br />

n1<br />

n0


Sergio Plaza 145<br />

4.6.1 Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> un Elemento<br />

Sii mcd(a,m) = 1, entonces existe un entero positivo n tal que a n ≡<br />

1 (mod m). Denotamos por ordm(a), al menor entero positivo n para<br />

el cual se tiene a n ≡ 1 (mod m).<br />

Teorema 4.15 Si mcd(a,m) = 1, entonces a n ≡ 1 (mod m) si y sólo<br />

si ordm(a)|n. A<strong>de</strong>más, a n0 ≡ a n1 (mod m) si y sólo si ordm(a)|(n0−<br />

n1).<br />

Demostración. Sea d = ordm(a). Es claro que si d|n entonces a n ≡<br />

1 (mod m). Por el algoritmo <strong>de</strong> la división, existen enteros q y r tales<br />

que n = qd+r, con 0 r < d. Luego a n ≡ (a d ) q a r ≡ a r ≡ 1(mod m).<br />

Pero r < d, luego r = 0 y por lo tanto d|n.<br />

La prueba <strong>de</strong> la parte restante <strong>de</strong>l teorema es inmediata.<br />

Observación. En particular, por el teorema <strong>de</strong> Euler, se tiene que<br />

ordm(a)|φ(m).<br />

Ejemplo 4.35 El or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 2 (mod 101) es 100.<br />

En efecto, sea d = ord101(2). Entonces d|φ(101), esto es, d|100.<br />

Ahora, si d < 100 entonces d divi<strong>de</strong> a 100/2 o a 100/5, esto es, d<br />

pier<strong>de</strong> al menos un factor primo. Sin embargo,<br />

y<br />

2 50 ≡ 1024 5 ≡ 14 5<br />

≡ 196·196·14<br />

≡ (−6)(−6)·14<br />

≡ −1 (mod 101)<br />

2 20 ≡ 1024 2 ≡ 14 2 ≡ −6 (mod 101)


146 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Por lo tanto d = 100.<br />

Ejemplo 4.36 Si p es un primo, entonces cada divisor primo <strong>de</strong> 2 p −1<br />

es mayor que p.<br />

Enefecto, sea q unprimotalque q|(2 p −1). Entonces 2 p ≡ 1(mod q),<br />

luego ordq(2)|p. Pero ordq(2) = 1, por lo tanto ordq(2) = p. Ahora,<br />

por el pequeño teorema <strong>de</strong> Fermat, ordq(2)|(q−1), <strong>de</strong> don<strong>de</strong> p q−1,<br />

en consecuencia q > p. De hecho, para p > 2, q <strong>de</strong>be ser <strong>de</strong> la forma<br />

2kp + 1. De lo anterior, ordq(2)|(q − 1), es <strong>de</strong>cir, p|(q − 1), lo cual<br />

implica que q = mp+1. Como q <strong>de</strong>be ser impar, m <strong>de</strong>be ser par.<br />

Ejemplo 4.37 Sea p un primo que es coprimo con 10, y sea n un<br />

entero con 0 < n < p. Sea d = ordp(10). Entonces<br />

a) La longitud <strong>de</strong>l periódo <strong>de</strong> la expansión <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> n/p es d.<br />

b) Si d es par, entonces el período <strong>de</strong> la expansión <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> n/p<br />

cuya suma es 10 d/2 − 1¿¿?? Falta algo. Por ejemplo, 1/7 =<br />

0.142857, luego d = 6 y 142+857 = 999 = 10 3 −1.<br />

En efecto,<br />

a) Sea m la longitud <strong>de</strong>l período <strong>de</strong> la expansión <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> n/p, y<br />

sea n/p = 0.a1a2···am. Entonces 10 m np = a1a2···am·a1a2···am,<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />

(10 m −1)n<br />

p<br />

= a1a2···am<br />

es un número entero. Como mcd(n,p) = 1 se tiene que p <strong>de</strong>be<br />

dividir a 10 m −1, luego d|m. Recíprocamente, p|(10 d −1), luego<br />

(10 d − 1)n/p es un entero, con a lo más d dígitos. Si dividimos


Sergio Plaza 147<br />

este entero por 10 d −1, entonces obtenemos un número racional,<br />

cuya expansión <strong>de</strong>cimal tiene a lo más d dígitos. Por lo tanto,<br />

m = d.<br />

a) Sea d = 2k. Si n/p = 0.a1a2···akak+1.<br />

Ahora, p divi<strong>de</strong> a 10 d −1 = 10 2k −1 = (10 k −1)(10 k +1). Sin<br />

embargo, p no pue<strong>de</strong> dividir a 10 k −1, pues el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 10 es 2k,<br />

luego p|(10 k +1). De esto,<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />

(10 k +1)n<br />

p<br />

10 k n<br />

p<br />

= a1a2···akak+1···a2k,<br />

= a1a2···ak +0.a1···ak +0.ak+1···a2k<br />

esunentero. Estopue<strong>de</strong>ocurrirsiysólosi a1a2···ak+ak+1···a2k<br />

es un número que consiste sólo <strong>de</strong> nueves, y luego igual a 10 k −1.<br />

4.7 Raíces Primitivas<br />

Definición 4.2 Si el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> un elemento a módulo m es φ(m), <strong>de</strong>-<br />

cimos que a es una raíz primitiva módulo m.<br />

Demostremos antes que nada el siguiente resultado.<br />

Lema 4.1 2 2·3n−1<br />

≡ 1+3 n (mod 3 n +1), para todo n 1.<br />

Demostración. Claramente el resultado es verda<strong>de</strong>ro para n = 1.<br />

Asumamos que es verda<strong>de</strong>ro para algún n = k. Entonces 2 2·3k−1<br />

1+3 k +3k+1m para algún entero m, luego 22·3k = 1+3 k+1 +3k+2M para algún entero M (obtenido elevando al cubo).<br />

Por lo tanto, 2 2·3k<br />

<strong>de</strong>l lema está completa.<br />

≡ 1+3 k+1 (mod 3 k+2 ). Por inducción la prueba<br />

=


148 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Corolario 4.4 Si 2 n ≡ −1 (mod 3 k ), entonces 3 k−1 |n.<br />

Demostración. La congruencia 2 n ≡ −1 (mod 3 k ) implica que 2 2n ≡<br />

1 (mod 3 k ), luego φ(3 k )|2n, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> 3 k−1 |n.<br />

Ejemplo 4.38 2 es una raíz primitiva mod 3 n para todo n 1.<br />

En efecto, es claro que la afirmación es verda<strong>de</strong>ra para n = 1. Su-<br />

pongamos, por inducción, que el resultado vale para n = k, esto es,<br />

2 φ(3k ) ≡ 2 2·3 k−1<br />

≡ 1 (mod 3 k ).<br />

Sea d = ord 3 k+1 (2). Entonces 2 d ≡ 1 (mod 3 k+1 ), luego 2 d ≡ 1 o<br />

d|2·3 k . De esto <strong>de</strong>ducimos que d es 2·3 k−1 o bien 2·3 k .<br />

Tenemos 2 2·3k−1<br />

≡ 1+3 k = 1 (mod 3 k+1 ), luego el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 2 módulo<br />

3 k+1 es 2·3 k , y <strong>otra</strong> vez por inducción el resultado se sigue.<br />

Teorema 4.16 Si m tiene una raíz primitiva, entonces tiene φ(φ(m))<br />

raíces primitivas distintas (mod m).<br />

Teorema 4.17 Un entero positivo m tiene una raíz primitiva si y sólo<br />

si m es uno <strong>de</strong> los números siguientes 2, 4, p k o 2p k , don<strong>de</strong> p es un<br />

primo impar.<br />

Teorema 4.18 Si g es una raíz primitiva <strong>de</strong> m, entonces g m ≡<br />

1 (mod m) si y sólo si φ(m)|n. A<strong>de</strong>más, g n0 ≡ g n1 (mod m) si y<br />

sólo si φ(m)|(n0 −n1).<br />

Teorema 4.19 Si g es una raíz primitiva <strong>de</strong> m, entonces las poten-<br />

cias 1, g, g 2 ,..., g φ(m)−1 representan cada entero coprimo a m uni-<br />

camente módulo m. En particular, si m > 2, entoncecs g φ(m)/2 ≡<br />

−1 (mod m).


Sergio Plaza 149<br />

Demostración. Es claro que cada potencia g i es coprimo con m, y<br />

existen φ(m) enteros coprimos con m. Ahora, si g i ≡ g j (mod m),<br />

entonces g i−j ≡ 1 (mod m) y tenemos en este caso que φ(m)|(i −j).<br />

Luego cada una <strong>de</strong> las potencias son distintas módulo m. Luego, cada<br />

entero coprimo con m es alguna potencia g i módulo m.<br />

A<strong>de</strong>más, existe un único i, con 0 i φ(m) − 1, tal que g i ≡<br />

−1 (mod m), esto implica que g 2i ≡ 1 (mod m), <strong>de</strong> don<strong>de</strong> 2i = φ(m)<br />

o equivalentemente, i = φ(m)/2.<br />

Teorema 4.20 Sea m un entero positivo. Entonces las únicas solu-<br />

ciones <strong>de</strong> la congruencia x 2 ≡ 1 (mod m) son x ≡ ±1 (mod m) si y<br />

sólo si m tiene una raíz primitiva.<br />

4.8 Números <strong>de</strong> Fermat<br />

Estos son números <strong>de</strong> la forma Fn = 2 2n<br />

+ 1. Por ejemplo, F1 = 5,<br />

F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, los cuales son todos primos. El propio<br />

Fermat afirmó que los números Fn son todos primos. Sin embargo,<br />

Euler probó que F5 = 2 25<br />

+ 1 = 2 32 + 1 es divisible por 641, pues<br />

F5 = 2 32 + 1 = 641 · 6700417. Para ver que F5 es divisible por 641,<br />

notemosque 641 = 2 4 +5 4 y 641 = 2 7 ·5+1. Porlotanto, 2 7 ·5 = 641−1<br />

y <strong>de</strong> aquí se tiene que 2 28 · 5 4 = (641 − 1) 4 = 641 · N + 1 con N un<br />

entero. Por <strong>otra</strong> parte, 5 4 = 641−2 4 , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> obtenemos que<br />

2 28 ·(641−2 4 ) = 641·N +1<br />

2 28 ·641−2 28 ·2 4 = 641·N +1<br />

2 32 +1 = 641·(2 28 −N),<br />

es <strong>de</strong>cir, 641|(2 32 +1) como <strong>de</strong>seábamos probar


150 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Despuéssehan<strong>de</strong>scompuesto, porejemplo, F6 = 274177·67280421310721,<br />

y F7 = 59649589127497217 ·5704689200685129054721, y no se han en-<br />

contrado otros primos entre los números <strong>de</strong> Fermat.<br />

Ejemplo 4.39 Sean F0, F1,...,Fk,,... los números <strong>de</strong>Fermat, es <strong>de</strong>-<br />

cir, Fn = 2 2n<br />

para todo n > 0.<br />

+1. Tenemos que<br />

F0 ·F1···Fn−1 = Fn −2<br />

Solución. Tenemos que F0 = 3 y F1 = 5, luego F0 = F1 − 2, y el<br />

resultado vale para n = 1. Ahora, supongamos por Inducción que<br />

Luego<br />

F0F1···Fn−1 = Fn −2.<br />

F0F1···Fn−1Fn = (Fn −2)Fn.<br />

Como (Fn − 2)Fn = (22·2n − 1)(22n + 1) = 22·2n − 1 = 2n+1 − 1 =<br />

2 n+1 +1−2 = Fn+1 −2 el resultado se sigue por inducción.<br />

Ejemplo 4.40 Si m = n, entonces mcd(Fm,Fn) = 1.<br />

Solución. Sin perdida <strong>de</strong> generalidad, supongamos que m < n.<br />

Supongamos que p es primo y p|Fm y p|Fn. Ahora<br />

Fn −2 = F0F1···Fn−1.


Sergio Plaza 151<br />

Y p|F0F1···Fn−1, pues m < n implica que Fm ocurre como un<br />

factor <strong>de</strong>l producto F0F1···Fm−1. Luego, p|2, y por lo tanto p = 2,<br />

locualesimposiblepuestodoslos Fj sonimpares. Porlotantonoexiste<br />

ningún primo que divi<strong>de</strong> a Fm y a Fn a la vez, así mcd(Fm,Fn) = 1.<br />

4.9 Teorema chino <strong>de</strong> los restos<br />

Tanto en teoría y práctica se presentan proble<strong>mas</strong> <strong>de</strong> encontrar un<br />

número que tiene resto prescrito cuando es dividido por dos o más<br />

módulos. Tales proble<strong>mas</strong> aparecen en adivinanzas chinas antiguas y<br />

su solución es conocida como teorema chino <strong>de</strong> los restos. <strong>Una</strong> <strong>de</strong> esas<br />

adivinanzas típicas es la <strong>de</strong> la canasta con huevos que pue<strong>de</strong> ser enun-<br />

ciada así. “Hay una cierta cantidad <strong>de</strong> huevos en una canasta. Esa<br />

cantidad es tal que si extraemos los huevos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la canasta en grupos<br />

<strong>de</strong> 2, 3, 4, 5 y 6 siempre sobra uno, pero si los extraemos en grupos <strong>de</strong><br />

7 huevos al final no queda ninguno en la canasta”. Nos estamos pregun-<br />

tando por un entero positivo n tal que n ≡ 1 (mod 2), n ≡ 1 (mod 3),<br />

n ≡ 1 (mod 4), n ≡ 1 (mod 5),, n ≡ 1 (mod 6) y n ≡ 0 (mod 7).<br />

Veamos primero como se soluciona una congruencia lineal, para <strong>de</strong>s-<br />

pués estudiar la solución <strong>de</strong> un sistema <strong>de</strong> congruencias lineales. <strong>Una</strong><br />

congruencia lineal la po<strong>de</strong>mos expresar en la forma<br />

ax ≡ b (mod m).<br />

Por ejemplo, 2x ≡ 1 (mod 7). En este caso vemos que x = 4 es<br />

una solución. Por <strong>otra</strong> parte 2x ≡ 1 (mod 6) no tiene solución, pues<br />

la ecuación 2x ≡ 1 (mod 6) significa que buscamos un número entero


152 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

positivo x tal que al dividir 2x por 6 obtenemos resto 1, por <strong>otra</strong> parte,<br />

al dividir un número entero positivo n por 6 obtenemos como restos 0,<br />

1, 2, 3, 4 y 5. Luego los posibles restos para la división <strong>de</strong> 2n por 6 son<br />

0, 2 y 4. Consecuentemente no hay enteros positivos (ni negativos) que<br />

satisfacen la congruencia 2x ≡ 1 (mod 6).<br />

<strong>Una</strong> diferencia inmediata entre la congruencia 2x ≡ 1 (mod 7) y<br />

2x ≡ 1 (mod 6) es que mcd(2,7) = 1 y mcd(2,6) = 2, es <strong>de</strong>cir, 2 y 7<br />

son coprimos, pero 2 y 6 no lo son.<br />

Ejemplo 4.41 ¿Existe un entero x tal que 7x ≡ 1 (mod 17)? ¿ lo<br />

mismo para 6x ≡ 1 (mod 15)?<br />

Solución. Tenemos 7·5 = 35 ≡ 1 (mod 17). Afirmamos que no existe<br />

solución para 6x ≡ 1 (mod 15). En efecto, si existe un tal x, entonces<br />

6x−1, y <strong>de</strong>be ser divisible por 15; en particular <strong>de</strong>be ser divisible por<br />

3, y entonces −1 <strong>de</strong>be ser divisible por 3, esto es una contradicción, lo<br />

cual prueba nuestra afirmación.<br />

Antes <strong>de</strong> enunciar el resultado que establece bajo qué condiciones una<br />

congruencia lineal ax ≡ b (mod m) tiene solución, veamos un principio<br />

lógico, que parece <strong>de</strong><strong>mas</strong>iado elemental para ser enunciado, pero que es<br />

<strong>de</strong> gran utilidad en algunas <strong>de</strong>mostraciones<br />

“si m objetos son colocados en m cajas, <strong>de</strong> modo que no haya dos<br />

objetos en una misma caja, entonces existe al menos un objeto en cada<br />

caja”.<br />

Volvamos a la congruencia ax ≡ b (mod m). Tomamos los m objetos<br />

como los distintos números<br />

0, a,2a,3a,...,(m−1)a


Sergio Plaza 153<br />

que correspon<strong>de</strong>n a los posibles restos <strong>de</strong> dividir ax por m.<br />

El problema que po<strong>de</strong>mos tener aquí es que un par <strong>de</strong> esos números<br />

sean congruentes (mod m), esto es<br />

ax ≡ ay (mod m)<br />

tiene solución en {0,a,2a,...,(m−1)a}.<br />

Si mcd(a,m) = 1, es <strong>de</strong>cir, a y m son coprimos, po<strong>de</strong>mos usar<br />

la ley <strong>de</strong> cancelación en la congruencia ax ≡ ay (mod m) obteniendo<br />

que x ≡ y (mod m). Por lo tanto, por el principio lógico enunciado, los<br />

números 0, a, 2a, 3a, ... , (m−1)a <strong>de</strong>ben ser congruente en algún or-<br />

<strong>de</strong>n a los números 0, 1, 2,...,m−1. En particular, existe exactamente<br />

un x ∈ {0,1,...,m−1} para el cual ax ≡ b (mod m). Formalizando<br />

la discusión anterior, tenemos el siguiente.<br />

Teorema 4.21 La congruencia lineal ax ≡ b (mod m) tiene solución<br />

si a y m son coprimos. Si este es el caso, entonces existe una única<br />

solución (mod m).<br />

Recor<strong>de</strong>mos que en un conjunto numérico, el inverso multiplicativo <strong>de</strong><br />

unnúmeronocero a, esunnúmero x talque ax = 1. Enelconjunto<strong>de</strong><br />

los enteros tenemos que la ecuación ax = 1 tiene solución para a = 1<br />

y a = −1, solamente, con x = 1 y x = −1, respectivamente. Nos<br />

po<strong>de</strong>mos preguntar que ocurre en aritmética modular, es <strong>de</strong>cir, cuándo<br />

la congruencia lineal ax ≡ 1 (mod m) tiene solución.<br />

Por lo que vimos antes, esa congruencia tiene solución si y sólo si a<br />

y m son coprimos. Esto es, si a y m son coprimos, entonces en el<br />

conjunto {0,1,...,m − 1} con el producto, (mod m), cada elemento<br />

distinto <strong>de</strong> cero tiene un inverso multiplicativo.


154 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Retornemos al problema <strong>de</strong> siste<strong>mas</strong> <strong>de</strong> congruencias lineales. Ten-<br />

emos el siguiente.<br />

Teorema 4.22 (teoremachino<strong>de</strong>losrestos). Un sistema <strong>de</strong> congruen-<br />

cias lineales x ≡ c1 (mod m1),...,x ≡ ck (mod mk), en el cual los<br />

módulos m1,...,mk son coprimos a pares (es <strong>de</strong>cir, mcd(mi,mj) = 1<br />

cuando i = j) tiene solución. A<strong>de</strong>más, la solución es única (mod m1 ·<br />

m2···mk.<br />

Demostración. Probemos primero la unicidad <strong>de</strong> la solución, bajo<br />

el supuesto que exista. Si tenemos dos soluciones x e y, entonces<br />

x ≡ y (mod mi) para cada i = 1,...,k, y por lo tanto, dado que los<br />

mi son coprimos dos a dos, se tiene que x ≡ y (mod m1 ·m2···mk), y<br />

por lo visto anteriormente, en este caso existe sólo una solución.<br />

Veamos ahora el problema <strong>de</strong> la existencia <strong>de</strong> una tal solución.<br />

Para cada i = 1,2,...,k sea Mi el producto <strong>de</strong> todos los módulos,<br />

excepto mi, es <strong>de</strong>cir, Mi = m1 ·m2···mi−1 ·mi+1···mk .<br />

Es claro que Mi y mi son coprimos, luego la congruencia lineal<br />

tiene solución.<br />

aiMi ≡ 1 (mod mi)<br />

Consi<strong>de</strong>remos el número x dado por<br />

x = a1M1c1 +a2M2c2 +···+akMkck.<br />

Como Mj ≡ 0 (mod mi) cuando i = j, vemos que<br />

x ≡ aiMici = ci (mod mi)


Sergio Plaza 155<br />

para cada i = 1,2,...,k. Por lo tanto x es la solución buscada. Esto<br />

completa la prueba <strong>de</strong>l teorema.<br />

Busquemos la solución al problema <strong>de</strong> los huevos en la canasta, tene-<br />

mos que resolver el sistema <strong>de</strong> congruencias lineales<br />

x ≡ 0 (mod 7)<br />

x ≡ 1 (mod 2)<br />

x ≡ 1 (mod 3)<br />

x ≡ 1 (mod 4)<br />

x ≡ 1 (mod 5)<br />

x ≡ 1 (mod 6)<br />

es <strong>de</strong>cir, x es divisible por 7 y <strong>de</strong>ja resto 1 cuando se lo divi<strong>de</strong> por 2, 3,<br />

4, 5 y 6. De esto último vemos que x exce<strong>de</strong> en 1 a un múltiplo <strong>de</strong> 60.<br />

Luego el problema se reduce a resolver<br />

x ≡ 1 (mod 60)<br />

x ≡ 0 (mod 7).<br />

Como 7 y 60 son coprimos, c1 = 1 y c2 = 0 ¿¿?? <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la con-<br />

strucción <strong>de</strong> la prueba <strong>de</strong>l tenemos que <strong>de</strong>finir<br />

x = a1M1c1 +a2M2c2<br />

lo cual se reduce a x ≡ a1M1c1 (mod 420) y c1 = 1, M1 = 7, es<br />

<strong>de</strong>cir, x = 7a1 ≡ 1 (mod 1)(mod 60). Realizando los cálculos (vía<br />

calculadora) obtenemos que a1 = 43, luego x = 301 (mod 420). Por


156 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

lo tanto el menor número <strong>de</strong> huevos que <strong>de</strong>be haber en la canasta para<br />

cumplir las condiciones <strong>de</strong>l problema es <strong>de</strong> 301 huevos.<br />

4.9.1 Ejercicios<br />

Problema 4.19 Pruebe que los enteros n ≡ 7 (mod 8) no pue<strong>de</strong>n ser<br />

escritos como suma <strong>de</strong> tre cuadrados.<br />

Indicación. Escribe n = x 2 +y 2 +z 2 y consi<strong>de</strong>retodas las posibilida<strong>de</strong>s<br />

mod 8.<br />

Problema 4.20 ¿Cuales son los posibles valores <strong>de</strong> a s 3 (mod 9)?<br />

¿Cuáles son los posibles valores <strong>de</strong> 5 3 +t 3 (mod 9)? Pruebe que existen<br />

infinitos enteros que no pue<strong>de</strong>n ser escritos como suma <strong>de</strong> dos cubos<br />

¿Existen enteros que no pue<strong>de</strong>n ser escritos como suma <strong>de</strong> tres cubos?<br />

Problema 4.21 Sea N = dndn−1···d1d0 unentero escrito ennotación<br />

<strong>de</strong>cimal. Pruebe que N ≡ d0 (mod 2), N ≡ d1d0 (mod 4) y N ≡<br />

d2d1d0 (mod 8).<br />

Problema 4.22 Suponga que p es un primo impar. Pruebe que<br />

p<br />

<br />

p p+j<br />

j=0<br />

j<br />

j<br />

≡ 2 p +1 (mod p 2 ).<br />

Problema 4.23 Sea n un entero positivo. Pruebe que n es primo si<br />

y sólo si<br />

<br />

n−1<br />

≡ (−1)<br />

k<br />

k<br />

para todo k ∈ {0,1,...,n−1}.<br />

(mod n)


Sergio Plaza 157<br />

Problema 4.24 Pruebe que para cada n 2,<br />

n términos n − 1 términos<br />

<br />

2 2···2<br />

=<br />

<br />

2 2···2<br />

( mod n)<br />

Problema 4.25 Para cada n 1, <strong>de</strong>termine los posibles valores <strong>de</strong> la<br />

sucesión<br />

Problema 4.26<br />

Problema 4.27<br />

Problema 4.28<br />

Problema 4.29<br />

Problema 4.30<br />

Problema 4.31<br />

Problema 4.32<br />

2,2 2 ,2 22<br />

,2 222<br />

,..., (mod n).<br />

4.10 Ecuaciones <strong>de</strong> Fermat<br />

Sea n un entero positivo mayor que 2. La ecuación <strong>de</strong> Fermat <strong>de</strong> grado<br />

n es<br />

x n +y n = z n . (4.1)


158 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Fermat afirmó que la ecuación (4.1) no tiene soluciones enteras posi-<br />

tivas para todo n > 2.<br />

Para n = 2, la ecuación es x 2 + y 2 = z 2 la cual tiene soluciones<br />

enteras positivas, <strong>de</strong> hecho infinitas, dadas por enteros <strong>de</strong> las ternas<br />

pitagóricas.<br />

Elúltimoteorema<strong>de</strong>Fermat establecequenoexisten enterospositivos<br />

x, y y z con<br />

si n es un entero mayor que dos.<br />

x n +y n = z n<br />

Lista <strong>de</strong> personas más importantes relacionadas con este resul-<br />

tado<br />

Eucli<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Alejandría ∼ −300<br />

Diofanto <strong>de</strong> Alejandría ∼ 250<br />

Pierre Fermat 1601–1665<br />

Leonhard Euler 1707–1783<br />

Joseph Louis Lagrange 1736–1813<br />

Sophie Germain 1776–1831<br />

Carl Friedrich Gauss 1777–1855<br />

Agustin Louis Cauchy 1789–1857<br />

Gabriel Lamé 1795–1870<br />

Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805–1859<br />

Joseph Liouville 1809–1882<br />

Ernst Eduard Kummer 1810–1893<br />

Harry Schultz Vandiver 1882–1973<br />

Gerhard Frey<br />

Kenneth A. Ribet


Sergio Plaza 159<br />

Andrew Wiles ∼ 1953–<br />

Para n = 2 existen infinitas soluciones<br />

3 2 +4 2 = 5 2 , 5 2 +12 2 = 13 2 , 8 2 +15 2 = 17 2 ,...<br />

Los triples pitagóricos. En el margen <strong>de</strong> su copia <strong>de</strong> la “Aritmetica”<br />

<strong>de</strong> Diofantos en la edici’on <strong>de</strong> Bachet, el jurista francés P. Fermat es-<br />

cribió, alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> 1637, que para n gran<strong>de</strong> no pue<strong>de</strong>n existir tales<br />

triples, agrega a<strong>de</strong>más que él tiene una “prueba maravillosa” para esa<br />

afirmación, la cual, sin embargo, siendo el margen <strong>de</strong>l libro tan pequeño<br />

nola pue<strong>de</strong>escribir ahí. Laafirmación exacta <strong>de</strong>Fermat fuela siguiente.<br />

“Cubum autem in duos cubos, ant quadrato-quadratum in duos quadrato-<br />

quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potes-<br />

tatem in duous ejus<strong>de</strong>m nominis fas et divi<strong>de</strong>re cujus rei <strong>de</strong>mostrationem<br />

mirabilem sane <strong>de</strong>texi. Hame marginis exiguitas non caparet”.<br />

Todos los otros resultados que Fermat enunció en esta forma fueron<br />

probados hace mucho tiempo, sólo este, el último permaneció casi 360<br />

años sin resolverse, fue en 1994 que A. Wiles obtuvo una prueba para el<br />

“ultimo teorema <strong>de</strong> Fermat”.<br />

En el problema 8 el Libro II <strong>de</strong> la traducción <strong>de</strong> Clau<strong>de</strong> Bachet <strong>de</strong><br />

la Aritmética <strong>de</strong> Diofanto se pregunta sobre una regla para escribir un<br />

cuadrado como la suma <strong>de</strong> dos cuadrados. La ecuación resultante z 2 =<br />

x 2 + y 2 es la <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Pitágoras, el cual establece que en cada<br />

triángulo rectángulo el cuadrado sobre la hipotenusa es la suma <strong>de</strong> los<br />

cuadrados sobre los otros dos lados (en general, llamados catetos).<br />

Como vimos en el caso n = 2, las soluciones <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> Fermat<br />

son conocidas, y son llamadas ternas pitagóricas, las que estudiamos


160 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

ahora.<br />

4.11 Ternas Pitagóricas<br />

<strong>Una</strong> terna (x,y,z) <strong>de</strong> números enteros positivos es llamada pitagórica si<br />

x 2 +y 2 = z 2 . Por ejemplo, (3,4,5) es una terna pitagórica, pues 3 2 +<br />

4 2 = 5 2 . <strong>Una</strong> terna pitagórica pue<strong>de</strong> ser interpretada geométricamente<br />

como los lados <strong>de</strong> un triángulo rectángulo como en la figura.<br />

Figura<br />

Un problema interesante es saber si existen <strong>otra</strong>s ternas pitagóricas<br />

aparte <strong>de</strong> la ya mencionada.<br />

Si (x,y,z) es unaterna pitagórica y d = mcd(x,y) entonces d 2 |(x 2 +<br />

y 2 ) <strong>de</strong> don<strong>de</strong> d|z, por lo tanto existen enteros no nulos a, b, c con<br />

mcd(a,b) = 1 tales que (x,y,z) = (da,db,dc). Ahora como x 2 +<br />

y 2 = z 2 si y sólo si a 2 + b 2 = c 2 , basta encontrar ternas pitagóricas<br />

(a,b,c) tales que mcd(a,b) = 1, esto implica que mcd(a,c) = 1 y<br />

mcd(b,c) = 1. La ternas pitagóricas (x,y,z), tales que mcd(x,z) = 1<br />

y mcd(y,z) = 1 son llamadas ternas pitagóricas primitivas.<br />

Tenemos que si k ∈ Z entonces k 2 ≡ 0 (mod 4) o k 2 ≡ 1 (mod 4),<br />

pues si k es par entonces k = 2ℓ, luego k 2 ≡ 4ℓ 2 , es <strong>de</strong>cir, k 2 es


Sergio Plaza 161<br />

divisiblepor4, así k 2 ≡ 0(mod 4), por<strong>otra</strong>partesi k esimparentonces<br />

k = 2n+1, luego k 2 = 4n 2 +4n+1 = 4(n 2 +n)+1 ≡ 1 (mod 4).<br />

Aplicando esto a nuestro problema vemos que si a y b son impares<br />

entonces a 2 ≡ 1 (mod 4) y b 2 ≡ 1(mod 4) luego a 2 +b 2 ≡ 2(mod 4) lo<br />

cual es imposible, pues a 2 +b 2 = c 2 y tendríamos que c 2 ≡ 2 (mod 4).<br />

Ahora como mcd(a,b) = 1, es <strong>de</strong>cir a y b son coprimos y no pue<strong>de</strong>n<br />

ser ambos impares, concluimos que hay dos casos a consi<strong>de</strong>rar: a impar<br />

y b par, a pary b impar. Porlasimetría<strong>de</strong>laecuación y<strong>de</strong>largumento<br />

a seguir, sólo basta analizar uno <strong>de</strong> los casos. Elegimos el primero, es<br />

<strong>de</strong>cir, a impar y b par. Como a es impar se sigue que a 2 también es<br />

impar, luego a 2 +b 2 esimpar, porlotanto c 2 esimparyenconsecuencia<br />

c <strong>de</strong>be ser impar.<br />

Des<strong>de</strong> a 2 + b 2 = c 2 se sigue que b 2 = (c − a)(c + a) y como a y<br />

c son impares, tenemos que c − a y c + a son pares. A<strong>de</strong>más, como<br />

mcd(c−a,c+a) = 2 y como b es par se tiene que b 2 es divisible por<br />

4, y po<strong>de</strong>mos escribir<br />

2 b<br />

=<br />

4<br />

c−a<br />

·<br />

2<br />

c+a<br />

2<br />

y como mcd(c−a,c+a) = 2 se tiene que mcd <br />

c−a c+a<br />

2 , 2 = 1, es <strong>de</strong>cir,<br />

c−a<br />

2 y c+a<br />

2 son coprimos.<br />

Como c−a c+a<br />

2 · 2 = cuadrado perfecto, y mcd <br />

c−a c+a<br />

2 , 2 = 1 <strong>de</strong>bemos<br />

tener que c−a<br />

2 y c+a<br />

c+a<br />

2 son cuadrados perfectos, es <strong>de</strong>cir, 2 = u2 y<br />

c−a<br />

2 = w2 , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> c+a = 2u2 y c − a = 2v2 . Sumando estas dos<br />

ecuaciones nos queda 2c = 2(u 2 + v 2 ), y <strong>de</strong> ahí c = u 2 + v 2 <strong>de</strong> aquí<br />

u2 +v2 +a = 2u2 luego a = u2 −v2 . Ahora, como <br />

b 2 (c−a)<br />

4 = 2<br />

2<br />

obtenemos <br />

b 2 2v<br />

2 = 2<br />

2<br />

b = 2uv (pues son positivos).<br />

(c+a)<br />

2<br />

· 2u2<br />

2 = v2 u 2 , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> b 2 = 4u 2 v 2 , por lo tanto


162 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Concluimos entonces que la terna pitagórica viene dada por (a,b,c) =<br />

(u 2 −v 2 ,2uv,u 2 +v 2 ), con u,v enteros positivos y u > v.<br />

Por ejemplo, tomando u = 2 y v = 1 obtenemos la terna (u 2 −<br />

v 2 ,2uv,u 2 +v 2 ) = (3,4,5). Ahora, si elegimos u = 3 y v = 2, obten-<br />

emos (u 2 − v 2 ,2uv,u 2 + v 2 ) = (5,12,13). Con la elección u = 7 y<br />

v = 5, obtenemos (u 2 −v 2 ,2uv,u 2 +v 2 ) = (24,70,74).<br />

En particular, si elegimos u = 2n y v = 1, obtenemos la terna<br />

pitagórica (4n 2 −1,4n,4n 2 +1), y dando valores a n ∈ N obtenemos<br />

infinitasternas pitagóricas. Por ejemplo, para n = 1 obtenemos laterna<br />

pitagórica clásica (3,4,5), para n = 2, obtenemos la terna (15,16,17),<br />

para n = 3, tenemos la terna (35,12,37) y para n = 4 tenemos la<br />

terna (63,16,65). E lector pue<strong>de</strong> calcular, usando la fórmula arriba<br />

<strong>otra</strong>s ternas pitagóricas.<br />

Apliquemos la i<strong>de</strong>a anterior para estudiar la ecuación x 2 +y 2 = 2z 2<br />

con x,y enteros, x = y.<br />

Observemos primero que como 2z 2 es par, x e y <strong>de</strong>ben tener la<br />

misma paridad (ambos pares o ambas impares). Luego, existen enteros<br />

a y b tales que x = a+b, y = a−b. Para ello basta tomar a = x+y<br />

2<br />

y b = x−y<br />

2 , los cuales son enteros pues x + y y x − y son pares.<br />

Reemplazandoenlaecuación original nosqueda(a+b) 2 +(a−b) 2 = 2z 2 ,<br />

y <strong>de</strong>sarrollando obtenemos 2(a 2 + b 2 ) = 2z 2 , es <strong>de</strong>cir, nos queda la<br />

ecuación a 2 + b 2 = z 2 , y por lo tanto <strong>de</strong>bemos encontrar solución a<br />

esta última ecuación, y como vimos estas vienen dadas por las ternas<br />

pitagóricas (a,b,z) = ((u 2 −v 2 )d,2duv,(u 2 +v 2 )d), don<strong>de</strong> u,v,d son<br />

enteros, con u = v, y mcd(u,v) = 1, y u y v con paridad distinta.


Sergio Plaza 163<br />

Ahora como x = a+b e y = a−b nos queda<br />

⎧<br />

⎪⎨<br />

⎪⎩<br />

x = (du 2 −dv 2 )+2duv = d(u 2 +2uv −v 2 )<br />

y = (du 2 −dv 2 )−2duv = d(u 2 −2uv −v 2 )<br />

z = d(u 2 +v 2 )<br />

4.11.1 Ecuación <strong>de</strong> Fermat para n = 4<br />

Veamos ahora el caso n = 4.<br />

Supongamos primero que n es un múltiplo <strong>de</strong> 4, es <strong>de</strong>cir, n = 4k<br />

para algún entero positivo k. Si existiesen enteros positivos no nulos,<br />

x, y, z tales<br />

x n +y n = z n<br />

po<strong>de</strong>mos escribir esto en la forma (x k ) 4 + (y k ) 4 = (z 2k ) 2 , es <strong>de</strong>cir,<br />

x k +y k = z 2k es entonces una solución <strong>de</strong> la ecuación<br />

u 4 +v 4 = w 2 . (4.2)<br />

En conclusión para mostrar que x n +y n = z n . Con n = 4k, no tiene<br />

soluciones enteras positivas no nulas, basta <strong>de</strong>mostrar que la ecuación<br />

u 4 +v 4 = w 2 no tiene soluciones enteras positivas no nulas.<br />

Supongamos que (4.2) tiene una solución entera positiva (a,b,c).<br />

Po<strong>de</strong>mos elegir (a,b,c) <strong>de</strong> modo que no existe <strong>otra</strong> solución (ã, ˜ b,˜c)<br />

<strong>de</strong> (4.2) con ˜c < c. Si a y b son coprimos, entonces existen enteros<br />

positivos u y v tales que a 2 = u 2 − v 2 , b 2 = 2uv y c = u 2 + u 2 .<br />

Como a 2 + v 2 = u 2 , existen enteros positivos p y q, coprimos, tales<br />

que a = p 2 −q 2 , v = 2pq y u = p 2 +q 2 .<br />

De esto, se sigue que b 2 = 2uv = 4pq(p 2 + q 2 ). Como p y q son<br />

coprimos, sesigueque p, q soncoprimoscon p 2 +q 2 . Como 4pq(q 2 +q 2 )


164 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

es un cuadrado, se sigue que p, q y p 2 +q 2 <strong>de</strong>ben ser cuadrados, así<br />

p = r 2 y p 2 +q 2 = t 2 , para algunos enteros r,s,t enteros positivos no<br />

nulos. De lo anterior tenemos que r 4 +s 4 = t 2 , con c = u 2 +v 2 > u =<br />

p 2 +q 2 = t 2 > t. Esto contradice el hecho que c fue elegido <strong>de</strong> modo<br />

que cualquier <strong>otra</strong> solución (ã, ˜ b,˜c) <strong>de</strong> (4.2) <strong>de</strong>be satisfacer c < ˜c.<br />

Usandolacaracterización completa<strong>de</strong>lostriángulospitagóricos, po<strong>de</strong>-<br />

mos dar una prueba <strong>de</strong>l último Teorema <strong>de</strong> Fermat en el caso especial<br />

n = 4.<br />

Sin embargo, preferimos dar unas pequeãs vueltas por <strong>otra</strong> ruta la<br />

cual también nos lleva al mismo objetivo, y también a una propiedad<br />

notable acerca <strong>de</strong> triángulos rectágulos.<br />

Teorema 4.23 El área <strong>de</strong> un triángulo pitágorico no pue<strong>de</strong> ser un<br />

cuadrado.<br />

Demostración. La prueba consiste en mostrar que, si el área <strong>de</strong> un<br />

tal triángulo es un cuadrado, entonces existe un triángulo menor con la<br />

misma propiedad, y así sucesivamente ad infinitum, lo cual es imposible.<br />

Supongamos que existen enteros positivos a, b, c tales que<br />

a 2 +b 2 = c 2<br />

y para el cual el área <strong>de</strong>l triángulo, ab/2 es un cuadrado. No existe<br />

perdida <strong>de</strong> generalidad en suponer que el triángulo dado es primitivo,<br />

luego, a, b y c tienen la forma<br />

a = m 2 −n 2 , b = 2mn, c = m 2 +n 2 ,<br />

don<strong>de</strong> m y n son coprimos <strong>de</strong> paridad opuesta. Intercambiando a<br />

y b, si es necesario, po<strong>de</strong>mos suponer que a es impar. Ahora, el área<br />

<strong>de</strong>l triángulo es mn(m − n)(m + n). Pero la única manera que un


Sergio Plaza 165<br />

producto <strong>de</strong> números coprimos sea un cuadrado es que cada una <strong>de</strong> ellos<br />

sea un cuadrado. (Esto se sigue directamente <strong>de</strong>l T.F.A.). Por lo tanto<br />

(m−n)(m+n) es un cuadrado, el cual llamamos p 2 , luego<br />

p 2 +n 2 = m 2 ,<br />

don<strong>de</strong> p y m son impares y n es par (recuer<strong>de</strong> que a = p 2 es impar).<br />

Elnuevotriánguloconlados p, m y m estambiénprimitivo, ypo<strong>de</strong>mos<br />

escribir<br />

p = m 2 1 −n 2 1, n = 2m1n1, m = m 2 1 +n 2 1,<br />

don<strong>de</strong> m1 y n1 son coprimos y <strong>de</strong> paridad opuesta. Pero n es un<br />

cuadrado, y por lo tanto m1 o bien n1 <strong>de</strong>be ser un cuadrado impar<br />

mientras que el otro <strong>de</strong>be ser el doble <strong>de</strong> un cuadrado. Finalmente, m<br />

es también uncuadrado, digamos m = u 2 y entonces la tercera ecuación<br />

arriba es<br />

m 2 1 +n2 1 = u2 .<br />

Luego, m1, n1, y u son los lados <strong>de</strong> un triángulo pitagórico cuya<br />

área 1<br />

2 m1n1 es un cuadrado perfecto cuya hipotenusa es menor que la<br />

hipotenusa <strong>de</strong>l triángulo original, pues<br />

u = √ m < m < m 2 < m 2 +n 2 = c.<br />

Esto completa la prueba por <strong>de</strong>scenso infinito.<br />

Usandolacaracterización completa<strong>de</strong>lostriángulospitagóricos, po<strong>de</strong>-<br />

mos dar una prueba <strong>de</strong>l último Teorema <strong>de</strong> Fermat en el caso especial<br />

n = 4.


166 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Sin embargo, preferimos dar unas pequeñas vueltas por <strong>otra</strong> ruta la<br />

cual también nos lleva al mismo objetivo, y también a una propiedad<br />

notable acerca <strong>de</strong> triángulos rectágulos.<br />

Teorema 4.24 El área <strong>de</strong> un triángulo pitágorico no pue<strong>de</strong> ser un<br />

cuadrado.<br />

Demostración. La prueba consiste en mostrar que, si el área <strong>de</strong> un<br />

tal triángulo es un cuadrado, entonces existe un triángulo menor con la<br />

misma propiedad, y así sucesivamente ad infinitum, lo cual es imposible.<br />

Supongamos que existen enteros positivos a,b,c tales que<br />

a 2 +b 2 = c 2<br />

y para el cual el área <strong>de</strong>l triángulo, ab/2 es un cuadrado. No existe<br />

perdida <strong>de</strong> generalidad en suponer que el triángulo dado es primitivo,<br />

luego, a,b,c tienen la forma<br />

a = m 2 −n 2 , b = 2mn, c = m 2 +n 2<br />

don<strong>de</strong> m y n son coprimos <strong>de</strong> paridad opuesta. Intercambiando a y<br />

b, si es necesario, po<strong>de</strong>mos suponer que a es impar. Ahora, el área<br />

<strong>de</strong>l triángulo es mn(m − n)(m + n), y es fácil ver otros tres. Pero la<br />

única manera que un producto <strong>de</strong> números coprimos sea un cuadrado es<br />

que cada una <strong>de</strong> ellos sea un cuadrado. (Esto se sigue directamente <strong>de</strong>l<br />

T.F.A). Por lo tanto (m−n)(m+n) es un cuadrado, el cual llamamos<br />

p 2 , luego<br />

p 2 +n 2 = m 2


Sergio Plaza 167<br />

don<strong>de</strong> p y m son impares y n es par (recuer<strong>de</strong> que a = p 2 es impar).<br />

Elnuevotriánguloconlados p,m, y m estambién primitivo, ypo<strong>de</strong>mos<br />

escribir<br />

p = m 2 1 −n2 1 , n = 2m1n1, m = m 2 1 +n2 1<br />

don<strong>de</strong> m1 y n1 son coprimos y <strong>de</strong> paridad opuesta. Pero n es un<br />

cuadrado, y por lo tanto m1 o bien n1 <strong>de</strong>be ser un cuadrado impar<br />

mientras que el otro <strong>de</strong>be ser el doble <strong>de</strong> un cuadrado. Finalmente, m<br />

es también uncuadrado, digamos m = u 2 y entonces la tercera ecuación<br />

arriba es<br />

m 2 1 +n 2 1 = u 2 .<br />

Luego, m1, n1, y u son los lados <strong>de</strong> un triángulo pitagóricocuya<br />

área m1n1/2 es un cuadrado perfecto cuya hipotenusa es menor que la<br />

hipotenusa <strong>de</strong>l triángulo original, pues<br />

u = √ m < m < m 2 < m 2 +n 2 = c.<br />

Esto completa la prueba por <strong>de</strong>scenso infinito.<br />

Corolario 4.5 La ecuación<br />

a 4 −b 4 = c 2<br />

no tiene soluciones enteras positivas a,b,c.<br />

Demostración. Si la ecuación tiene soluciones enteras positivas a, b,<br />

c entonces a 4 − b 4 , 2a 2 b 2 , a 4 + b 4 forman los lados <strong>de</strong> un triángulo<br />

rectángulo, pues


168 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

y el área <strong>de</strong>l triangulo <strong>de</strong>be ser<br />

(a 4 −b 4 ) 2 +(2a 2 b 2 ) 2 = (a 4 +b 4 ) 2<br />

1<br />

2 2a2 b 2 (a 4 −b 4 ) = a 2 b 2 (a 4 −b 4 ) = a 2 b 2 c 2<br />

que es un cuadrado. Ahora, como el área <strong>de</strong> ningún triángulo Pitagórico<br />

pue<strong>de</strong> ser un cuadrado, tenemos una contradicción, y el corolario está<br />

<strong>de</strong>mostrado.<br />

La misma técnica usada para resolver x 2 +y 2 = x 2 pue<strong>de</strong> ser usada<br />

para resolver ecuaciones <strong>de</strong>l tipo x 2 + ay 2 = x 2 , para ello escriba la<br />

ecuación en la forma ay 2 = (z −x)(z +x).<br />

Ecuaciones como la siguiente x 2 + y 2 = 2z 2 no pue<strong>de</strong>n reducirse al<br />

tipo anterior, pues no po<strong>de</strong>mos escribirla como diferencia <strong>de</strong> cuadrados.<br />

Logrange, observó que en este caso multiplicación por 2 permite escribir<br />

(2z) 2 = 2x 2 +2y 2 = (x+y) 2 +(x−y) 2<br />

luego nos queda (2z−x−y)(2z+x+y) = (x−y) 2 , y ahora proce<strong>de</strong>-<br />

mos a solucionar la ecuación exactamente como lo hicimos para triples<br />

pitagóricos.<br />

Veamos comopo<strong>de</strong>mostratar ecuaciones <strong>de</strong>ltipo AX 2 +BY 2 = CZ 2 ,<br />

teniendo al menos una solución. Multiplicando por A −1 vemos que es<br />

suficiente consi<strong>de</strong>rar ecuaciones <strong>de</strong>l tipo x 2 +ay 2 = bz 2 . Supongamos<br />

que (x,y,z) es una solución <strong>de</strong> esta ecuación. Entonces


Sergio Plaza 169<br />

(bzZ) 2 = bz 2 Z 2 +abz 2 Z 2<br />

= (x 2 +ay 2 )X 2 +(ax 2 +a 2 y 2 )Y 2<br />

= (xX +yY) 2 +a(yX −xY) 2<br />

Luego, a(yX − xY) 2 = (bzZ) 2 − (xX + ayY) 2 es una diferencia <strong>de</strong><br />

cuadrados, y proce<strong>de</strong>mos como lo hicimos para triángulos pitagóricos.<br />

4.12 Ultimo Teorema <strong>de</strong> Fermat<br />

Teorema 4.25 ( Último teorema <strong>de</strong> Fermat) La ecuación xn +y n = z n<br />

no tiene soluciones enteras no ceros si n 3.<br />

Se cree que Fermat tenía una prueba <strong>de</strong> este resultado para n = 4 y<br />

que erroneamente creyó que su argumento podía ser generalizado para<br />

el caso general. Por más <strong>de</strong> tres siglos y medio un gran número <strong>de</strong><br />

matemáticos trataron, infructuosamente <strong>de</strong> probar éste teorema, y du-<br />

rante estas investigaciones para tener que dar una prueba muchos con-<br />

ceptos nuevos y teorías fueon creadas. En los inicios <strong>de</strong> los 90 (siglo<br />

pasado), la conjetura <strong>de</strong> Fermat, como pasó a llamarse este resultado,<br />

fué verificado para todo n continendo un factor primo impar menor que<br />

10 6 , usando computadoras. En junio <strong>de</strong> 1993, Andrew Wiles anunció<br />

que tenía una prueba <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Fermat, pero su prueba original<br />

contenía algunas lagunas; esas fueron corregidas un ao <strong>de</strong>spués por An-<br />

drew Wiles y Richard Taylor. La conjetura <strong>de</strong> Fermat fué finalmente<br />

probada y pasó a ser un teorema. La prueba es muy larga y usa resul-<br />

tados profundos <strong>de</strong> geometría algebraica.<br />

Daremos la prueba <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Fermat para n = 4. De hecho<br />

probaremos un resultado un poco más fuerte.


170 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Teorema 4.26 La ecuación x 4 +y 4 = x 2 no tiene soluciones enteras<br />

no ceros.<br />

Demostración. Supongamos lo contrario, entonces existen soluciones<br />

enteras x,y,x. Como cualquier cambio <strong>de</strong> signo <strong>de</strong> esas soluciones<br />

no altera el resultado, po<strong>de</strong>mos suponer que x,y,z son enteros posi-<br />

tivos. Po<strong>de</strong>mos suponer también que z es el menor posible. Vamos<br />

a obtener una contradicción probando que existe <strong>otra</strong> solución entera<br />

positiva (x1,y1z1) con z1 < z.<br />

Supongamos que mcd(x,y) > 1, entonces existe un primo p dividi-<br />

endo a ambos x e y. Se sigue entonces que p4 |(x4 +y4 ), esto es, p4 |z2 luego p2 4 4 <br />

x y z<br />

|z. De esto, se tiene que p + p = p2 2 , y hemos encontrado<br />

una solución con z1 = z<br />

< z. Esto contradice lo que asumimos<br />

p2 sobre la elección original <strong>de</strong> (x,y,z), por lo tanto se <strong>de</strong>be tener que<br />

mcd(x,y) = 1. De esto se sigue que mcd(x 2 ,y 2 ) = 1, luego (x 2 ,y 2 ,z)<br />

es un triple pitagórico primitivo. Po<strong>de</strong>mos asumir que x 2 es impar e y 2<br />

es par, luego existen enteros positivos coprimos u y v tales que<br />

x 2 = u 2 −v 2 , y 2 = 2uv, x = u 2 +v 2 .<br />

En particular, (x,v,u) es un triple pitagórico primitivo con x impar.<br />

Por lo tanto, existen enteros positivos coprimos s y t tales que<br />

x = s 2 −t 2 , v = 2st, us 2 +t 2<br />

Como mcd(s,t) = 1 se sigue <strong>de</strong> la última igualdad que u,s, y t son<br />

coprimos a pares. Pero y2 uv<br />

2 = 2<br />

= ust, luego el producto ust es<br />

un cuadrado perfecto, y esto implica que u,s, y t son todos cuadrados


Sergio Plaza 171<br />

perfectos. Luego existen enteros positivos a,b y c tales que s = a 2 ,t =<br />

b 2 y u = c 2 . Como u = s 2 + t 2 , se sigue que a 4 + b 4 = c 2 , es <strong>de</strong>cir,<br />

(a,b,c) es una solución positiva <strong>de</strong> la ecuación original. Esto contradice<br />

lo asumidosobre la minimalidad <strong>de</strong> z, pues c = √ y u 2 < u 2 +v 2 = z.<br />

Esto completa la prueba <strong>de</strong>l teorema.<br />

Corolario 4.6 La ecuación x 4 + y 4 = z 4 no tiene soluciones enteras<br />

no ceros.<br />

Demostración. Si (x,y,z) es una tal solución, entonces (x,y,z 2 ) es<br />

una solución <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong>l teorema anterior. Esto es una con-<br />

tradicción.


172 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Último teorema <strong>de</strong> Fermat para n = 4. La solución <strong>de</strong> x 2 +y 2 = z 2<br />

es la clave para <strong>de</strong>mostar que la ecuación diofantina<br />

x 4 +y 4 = z 4 ,<br />

tiene sólo solicones triviales, es <strong>de</strong>cir, aquellas con x = 0 o y = 0.<br />

Para ello basta probar que la ecuación<br />

x 4 +y 4 = z 2<br />

tiene sólo soluciones triviales, esto es, si x 4 + y 4 no pue<strong>de</strong> ser un<br />

cuadrado, entonces tampoco pue<strong>de</strong> ser una cuarta potencia.<br />

Teorema 4.27 La ecuación <strong>de</strong> Fermat<br />

x 4 +y 4 = z 2<br />

no tiene soluciones enteras con x·y ·z = 0<br />

Lapruebaquedaremoses<strong>de</strong>bidaaEuler,sinembargoFermatpropuso<br />

algo similar.<br />

Demostración. Primero que nada, para el caso n par basta consi<strong>de</strong>-<br />

rar el caso x, y, z enteros positivos. Po<strong>de</strong>mos suponer, y <strong>de</strong> hecho<br />

lo hacemos, que los enteros x, y y Z son coprimos a pares, si no es<br />

así, cancelamos los divisores comunes. Seguimos un poco la solución<br />

<strong>de</strong> la ecuación pitágorica, tenemos que z <strong>de</strong>be ser impar, pues si z es<br />

par, entonces x e y <strong>de</strong>be ser impares y tenemos una contradicción (ver<br />

<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> ternas pitagóricas).


Sergio Plaza 173<br />

Supongamos que x es impar e y es par (esto basta por la simetría<br />

<strong>de</strong> la ecuación). Escribamos x 4 +y 4 = z 2 como y 4 = (z −x 2 )(z +x 2 ),<br />

como cualquier divisor común d <strong>de</strong> z−x2 y z+x2 divi<strong>de</strong> su suma y su<br />

diferencia, se obtiene que d = 2. Luego R = 1<br />

2 (z−x2 ) y S = 1<br />

2 (z+x2 )<br />

son coprimos, y RS = 1<br />

4 y2 . Como R y S no son ambos pares, bien<br />

R es impar (y entonces R y 4S son coprimos) o bien S es impar (y<br />

entonces 4R y S son coprimos). En el primer caso, R·4S = y 4 es una<br />

cuarta potencia, luego 2R = z − x 2 = 2a 4 y 4S = 2(z +x 2 ) = (2b) 4 ,<br />

esto es, z +x 2 = 8b 4 para enteros positivos a, b, en el segundo caso,<br />

4R···S = y 4 , y entonces z − x 2 = 8a 4 y z + x 2 = 2b 4 . La primera<br />

posibilidad nos lleva a 4b 4 − a 4 = x 2 , la cual es imposible mod 4,<br />

pues la ecuación nos da −a 4 ≡ x 2 (mod 4) con a y x impar, pero<br />

los cuadrados <strong>de</strong> números impares son congruentes mod 4 a 1, luego la<br />

congruencia es −1 ≡ 1 mod 4 que es imposible. Por lo tanto estamos<br />

en el segundo caso y obtenemos b 4 −4a 4 = x 2 .<br />

Ahora escribiendo 4a 4 = (b 2 −x)(b 2 +x), como x y b son impares,<br />

tenemos que mcd(b 2 − x,b 2 + x) = 2 y b 2 − x = 2r 4 , b 2 + x = 2s 4 .<br />

Sumando estas ecuaciones obtenemos b 2 = r 4 +s 4 , esto es, hemos en-<br />

contrado una nueva solución (b,r,s) a nuestra ecuación z 2 = x 4 +y 4 ,<br />

como 0 < b < x < z, esto significa que para cada solución (x,y,z) en<br />

losnúmerosenterospositivosexiste<strong>otra</strong>solución conun z máspequeño.<br />

Esto es imposible y por y por <strong>de</strong>scenso infinito la prueba está completa.<br />

4.13 Teorema <strong>de</strong> Wilson y Teorema <strong>de</strong> Fermat<br />

Lema 4.2 Sea p un primo y sea 0 < k < p. Entonces k 2 ≡ 1 (mod p)<br />

si y sólo si k = 1 o k = p−1.


174 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Demostración. Si k = 1, entonces k 2 ≡ 1 (mod p). Si k = p − 1,<br />

entonces k 2 = p 2 −2p+1 ≡ 1 (mod p).<br />

Recíprocamente, supongamos que k 2 ≡ 1 (mod p). Entonces p|(k 2 −<br />

1) = (k−1)(k+1), ycomo p esprimo,,setieneque p|(k−1) o p|(k+1).<br />

El único número en {1,2,...,p−1} que satisface p|(k −1) es 1, y el<br />

único número en {1,2,...,p−1} que satisface p|(k +1) es p−1.<br />

Teorema 4.28 (Wilson) Sea p > 1. Entonces p es primo si y sólo si<br />

(p−1)! ≡ −1 (mod p).<br />

Demostración. Supongamos que p es primo. Si k ∈ {1,...,p − 1},<br />

entonces k es coprimo con p. Luego existen enteros a y b tales que<br />

ak+bp = 1, estoes, ak ≡ 1(mod p). Reduciendo a (mod p), po<strong>de</strong>mos<br />

asumir que a ∈ {1,...,p−1}.<br />

Luego, cada elemento <strong>de</strong> {1,...,p−1} tiene un recíproco mod p en<br />

este conjunto. El lema anterior muestra que sólo 1 y p − 1 son sus<br />

propios recíprocos. Tenemos así que los elementos 2,...,p − 2 <strong>de</strong>ben<br />

ser pareados en pares {x,x −1 }. Se sigue que su producto es 1. Luego,<br />

(p−1)! = 1·2···(p−2)(p−1)<br />

= 1·1·(p−1)<br />

= p−1<br />

≡ −1 (mod p)<br />

Ahora, suponga que (p−1)! ≡ −1 (mod p).<br />

Tenemos que mostrar que p es primo. Comenzamos reescribiendo la<br />

ecuación como (p−1)!+1 = kp.


Sergio Plaza 175<br />

Supongamos que p = ab, con 1 a,b p. Si a = p, la factorización<br />

es trivial, luego a < p. Entonces a|(p−1)!, pues a ∈ {1,...,p−1} y<br />

a|p, luego (p−1)!+1 = kp muestra que a|1. Por lo tanto, a = 1. Esto<br />

prueba que la única factorización <strong>de</strong> p es la trivial, consecuentemente<br />

p es primo.<br />

Ejemplo 4.42 El teorema <strong>de</strong>d Wilson implica que el producto <strong>de</strong> cua-<br />

lesquiera 10 enteros consecutivos, ninguno divisible por 11, son iguales<br />

a −1 (mod 11), pues cualesquiera 10 enteros consecutivos se reducen<br />

mod 11 a {1,2,...,10}.<br />

Por ejemplo,<br />

12·13···20·21 ≡ −1 (mod 11).<br />

Teorema 4.29 (Fermat) Sea p un primo. Suponga que p no divi<strong>de</strong><br />

a a, entonces<br />

a p−1 ≡ 1 (mod p).<br />

Demostración. La i<strong>de</strong>a es mostrar que los enteros<br />

a,2a,...,(p−1)a<br />

se reducen mod p a 1,...,p − 1, y entonces aplicar el teorema <strong>de</strong><br />

Wilson.<br />

Hay p − 1 números en el conjunto {a,2a,...,(p − 1)a}. Luego, lo<br />

que necesitamos probar que ellos son distintos (mod p). Supongamos<br />

que 1 j,k p−1, y<br />

aj = ak (mod p).


176 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Esto significa que p|(aj −ak) = a(j −k), luego p|a o p|(j −k). El<br />

primer caso es <strong>de</strong>scartado por hipótesis, se tiene que p|(j − k). Pero<br />

como 1 j,k p−1, se tiene p|(j −k) sólo si j = k.<br />

Luego, {a,2a,...,(p − 1)a} son p − 1 números distintos (mod p).<br />

Si reducimos (mod p), obtenemos los números {1,...,p−1}.<br />

Luego,<br />

a·2a···(p−1)a = 1·2···(p−1) = (p−1)! ≡ −1 (mod p).<br />

Por <strong>otra</strong> parte, aplicando el teorema <strong>de</strong> Wilson <strong>otra</strong> vez, tenemos que<br />

a·2a···(p−1)a = a p−1 (p−1)! ≡ −a p−1 (mod p),<br />

esto es, −a p−1 ≡ −1 (mod p), es <strong>de</strong>cir, a p−1 ≡ 1 (mod p).<br />

Corolario 4.7 Si p es primo, entonces a p ≡ a (mod p) para todo a.<br />

Demostración. Si p|a, entonces a p ≡ a (mod p) y a ≡ 0 (mod p),<br />

luego a p ≡ a (mod p). Si p nodivi<strong>de</strong>a a, entonces a p−1 ≡ 1(mod p).<br />

Multiplicando por a esta congruencia, obtenemos a p ≡ a (mod p).<br />

Ejemplo 4.43 Calcule 50 250 (mod 83).<br />

Reducimos módulo 17. Como 83 no divi<strong>de</strong> a 80, por el teorema <strong>de</strong><br />

Fermat<br />

Ahora, 3·82 = 246, luego<br />

50 82 ≡ 1 (mod 17).<br />

50 250 = 50 246 ·50 4


Sergio Plaza 177<br />

= (50 82 ) 3 ·2500 2<br />

= 1 3 ·10 2<br />

= 100<br />

= 17 (mod 83).<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, si está tratando <strong>de</strong> reducir a k (mod p), don<strong>de</strong> p<br />

no divi<strong>de</strong> a a, saque tantos factores a p−1 como sea posible, y entonces<br />

reduzca el resto a mano.<br />

4.14 <strong>Matemática</strong>s e Historia<br />

En Chile se <strong>de</strong>claró la In<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia el 18 <strong>de</strong> Septiembre <strong>de</strong> 1810 ¿Qué<br />

día <strong>de</strong> la semana fué? 1 Similarmente po<strong>de</strong>mos preguntarnos por <strong>otra</strong>s<br />

fechas memorables, por ejemplo, el 12 <strong>de</strong> Octubre <strong>de</strong> 1492.<br />

Un año normal tiene 365 días y un año bisiesto tiene 366 días. Los<br />

años bisiestos son aquellos no seculares divisibles por cuatro, por ejem-<br />

plo, 1812, 1816, 1820,... Los años seculares son bisiestos si son divisibles<br />

por cuatrocientos, por ejemplo, 1600, 2000,... El año 1.500 si fue bisiesto<br />

pues es anterior a la reforma que se hizo <strong>de</strong>l calendario en 1582, durante<br />

el papado <strong>de</strong> Gregorio XIII, don<strong>de</strong> se introdujo un cambio en el calen-<br />

dario que <strong>de</strong>splaza todo el calendario 10 días.<br />

Para calcular el día es necesario saber algo <strong>de</strong> congruencias en teoría<br />

<strong>de</strong> números.<br />

Examinemos la fecha 12 <strong>de</strong> Octubre <strong>de</strong> 1492. La observación impor-<br />

tante es que si a una fecha le agregamos un número <strong>de</strong> días múltiplo <strong>de</strong><br />

7 el día <strong>de</strong> la semana no cambia.<br />

1 El día 18 <strong>de</strong> Septiembre fue un Martes


178 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Del 12 <strong>de</strong> Octubre <strong>de</strong> 1492 al 12 <strong>de</strong> Octubre <strong>de</strong> 2005 hay entonces 513<br />

años. La cantidad <strong>de</strong> años bisiestos hasta ahora <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 1492 (el cual fue<br />

bisiesto) es<br />

2004−1492<br />

4<br />

= 128<br />

Nótese que el año 1492 no se cuenta pues el 12 <strong>de</strong> Octubre es posterior<br />

al 29 <strong>de</strong> Febrero. A<strong>de</strong>más, <strong>de</strong>bemos <strong>de</strong>scontar los tres años seculares que<br />

no son bisiestos, es <strong>de</strong>cir, 1700, 1800, 1900.<br />

Por lo tanto el número <strong>de</strong> días es N = 513·365+128 = 187373.<br />

Ahora, parai<strong>de</strong>ntificareldía<strong>de</strong>lasemana<strong>de</strong>bemoscalcular N módulo<br />

7. Aplicando el algoritmo <strong>de</strong> la división se obtiene N = 187373 =<br />

26767·7+4, es <strong>de</strong>cir, 187373 ≡ 4 (mod 7).<br />

De acuerdo al calendario <strong>de</strong> 2005, el 12 <strong>de</strong> Octubre es un Miercóles.<br />

Por lo tanto <strong>de</strong>l 12 <strong>de</strong> Octubre <strong>de</strong> 1492 al 12 <strong>de</strong> Octubre <strong>de</strong> 2005 han<br />

transcurrido 7 · k + 4 días. El día buscado correspon<strong>de</strong> al día 7 · k.<br />

Por lo tanto, <strong>de</strong> América sería un Martes. Tomando en cuenta que<br />

1492 es anterior al cambio ya mencionado, po<strong>de</strong>mos asegurar que Colón<br />

<strong>de</strong>scubrió América un día Viernes??.<br />

4.15 Función σ<br />

Denotemos por σ(n) la suma <strong>de</strong> los divisores positivos <strong>de</strong> n.<br />

Teorema 4.30 Si n = p ε1<br />

1 pε2<br />

2 ···pεk<br />

k<br />

n. Entonces<br />

σ(n) = pε1+1<br />

1 −1<br />

p1 −1<br />

pε2+1 2 −1<br />

·<br />

p2 −1<br />

es la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong><br />

··· pεk+1<br />

k −1<br />

pk −1 .


Sergio Plaza 179<br />

Demostración. Es claro que cada divisor positivo <strong>de</strong> n tiene la forma<br />

p α1<br />

1 ···pαk<br />

k , con 0 αi εi para i = 1,2,...,k, y cada uno <strong>de</strong> esos<br />

números es un divisor <strong>de</strong> n. Por lo tanto<br />

σ(n) =<br />

=<br />

ε1<br />

···<br />

α1=0<br />

ε1<br />

α1=0<br />

p α1<br />

1 ·<br />

= pε1+1<br />

1 −1<br />

p1 −1<br />

εk<br />

αk=0<br />

ε2<br />

α2=0<br />

p α1<br />

1 ···pαk<br />

k<br />

p α2<br />

2 ···<br />

· pε2+1<br />

2 −1<br />

p2 −1<br />

Teorema 4.31 Si mcd(m,n) = 1, entonces<br />

εk<br />

αk=0<br />

σ(m·n) = σ(m)·σ(n),<br />

es <strong>de</strong>cir, σ es una función multiplicativa.<br />

p αk<br />

k<br />

··· pεk+1<br />

k −1<br />

pk −1 .<br />

Demostración: Inmediata <strong>de</strong>l teorema anterior, pues mcd(m,n) = 1<br />

significa que m y n no tienen factores comunes.<br />

Ejemplo 4.44 Definamos g : N −→ N por g(n) = 1 si n no es di-<br />

visible por el cubo <strong>de</strong> un primo y g(n) = 0 en otro caso ¿Cuáles son<br />

los valores <strong>de</strong> g(1), g(3), g(4), g(27) y g(28)? Pruebe que g es<br />

multiplicativa.<br />

Solución. Tenemos que<br />

⎧<br />

⎨ 1 si para todo primo p, p<br />

g(n) =<br />

⎩<br />

3 |/ n<br />

0 otro caso.<br />

Ahora, es claro que g(1) = g(2) = g(4) = 1, g(27) = g(3 3 ) = 0, y<br />

g(28) = g(2 2 ·7 1 ) = 1.


180 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Debemos probar g(m·n) = g(m)·g(n) si mcd(mn) = 1.<br />

Si m o n es divisible por el cubo <strong>de</strong> un primo, entonces también lo<br />

es m · n. Ahora, si m · n es divisible por p 3 , entonces sólo uno <strong>de</strong><br />

esos números m y n pue<strong>de</strong> ser divisible por p, pues ellos son coprimos.<br />

Este hecho prueba que bien m o n <strong>de</strong>be ser divisible por p 3 .<br />

Esto muestra que m·n es divisible por el cubo <strong>de</strong> un primo si y sólo<br />

si uno <strong>de</strong> ellos m o n es divisible por el cubo <strong>de</strong> un primo.<br />

Caso m · n no es divisible por el cubo <strong>de</strong> un primo, tenemos que<br />

g(m·n) = 1 y g(n) = 1, g(m) = 1. Caso m·n es divisible por el cubo<br />

<strong>de</strong> un primo, entonces g(m ·n) = 0 y uno <strong>de</strong> ellos m o n es divisible<br />

por el cubo <strong>de</strong> un primo, luego g(m) = 0 o g(n) = 0 (posiblemente<br />

ambos) y tenemos g(m·n) = g(n)·g(m) = 0.<br />

4.16 La Función <strong>de</strong> Möbius<br />

Definición 4.3 La función <strong>de</strong> Möbius es la función aritmética µ :<br />

N −→ N <strong>de</strong>finida por µ(1) = 1 y para n > 1<br />

⎧<br />

⎨ (−1)<br />

µ(n) =<br />

⎩<br />

k si n = p1···pk, con pi primos distintos<br />

0 otro caso.<br />

Ejemplo 4.45 µ(6) = 1, pues 6 = 2 · 3 (k = 2), µ(30) = 1, pues<br />

30 = 2·3·5 (k = 3), µ(12) = 0 ya que 12 = 2 2 ·3, µ(250) = 0, pues<br />

250 = 5 3 ·2.<br />

Definición 4.4 Si f es una función aritmética, la suma <strong>de</strong> divisores<br />

<strong>de</strong> f es<br />

[D(f)](n) = <br />

f(d).<br />

d|n


Sergio Plaza 181<br />

Ejemplo 4.46 Sea f : N −→ N <strong>de</strong>finida por f(n) = n 2 . Entonces<br />

Así, por ejemplo,<br />

Lema 4.3<br />

[D(f)](n) = <br />

d 2 .<br />

[D(f)](12) = <br />

d 2 = 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +6 2 +12 2 = 210.<br />

d|12<br />

d|n<br />

[D(µ)](n) = <br />

⎧<br />

⎨ 1 si n = 1<br />

µ(d) =<br />

⎩ 0 otro caso.<br />

Demostración. La fórmula para n = 1 es trivial.<br />

d|n<br />

Supongamos que n > 1 y sea<br />

n = p r1<br />

1 pr2<br />

2 ···prk<br />

k<br />

la factorización <strong>de</strong> n en factores primos distintos. Veamos cuales son los<br />

términos nocero enla suma <br />

d|n µ(d). Des<strong>de</strong>la <strong>de</strong>finición<strong>de</strong> µ, vemos<br />

que esos términos correspon<strong>de</strong>n a los productos <strong>de</strong> potencias simples <strong>de</strong><br />

p1,...,p2 y d = 1. (Por ejemplo, µ(p1p3p7) y µ(p2p8) daran origen a


182 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

términos no cero en la suma <br />

d|n µ(d), pero µ(p2 3 ·p8) = 0). Luego<br />

<br />

µ(d) = 1+(µ(p1)+···+µ(pk))+(µ(p1p3)+···<br />

d|n<br />

+µ(pk−1pk))+···+µ(p1p2···pk)<br />

<br />

k k<br />

= 1+ (−1)+ (−1)<br />

1 2<br />

2 <br />

k<br />

+···+ (−1)<br />

k<br />

k<br />

= (1−1) k<br />

= 0.<br />

Ejemplo 4.47 Supongamos que n = 24. Los divisores <strong>de</strong> 24 son<br />

1,2,3,4,6,8,12,24. Luego,<br />

<br />

µ(d) = µ(1)+µ(2)+µ(3)+µ(4)+µ(6)+µ(12)+µ(24)<br />

d|24<br />

= 1+(−1)+(−1)+0+1+0+0<br />

= 0.<br />

Definición 4.5 Si f y g son funciones aritméticas, su producto <strong>de</strong><br />

Dirichlet es<br />

(f ∗g)(n) = <br />

f(d)g<br />

d|n<br />

<br />

n<br />

<br />

.<br />

d<br />

Ejemplo 4.48 (f∗g)(12) = f(1)g(12)+f(2)g(6)+f(3)g(4)+f(4)g(3)+<br />

f(6)g(2) +f(12)g(1).<br />

Definamos las funciones aritméticas I,e : N −→ N por I(n) = 1 para<br />

todo n ∈ N, y


Sergio Plaza 183<br />

⎧<br />

⎨ 1 si n = 1<br />

e(n) =<br />

⎩ 0 otro caso.<br />

Teorema 4.32 (Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l producto <strong>de</strong> Dirichlet.) Sean f,g y<br />

h funciones aritméticas. Entonces<br />

1. f ∗g = g∗f<br />

2. (f ∗g)∗h = f ∗(g ∗h)<br />

3. f ∗e = f = e∗f<br />

4. f ∗I = Df = I ∗f<br />

5. µ∗I = e.<br />

Demostración. Para lapropiedad1notemos quelos divisores aparecen<br />

a pares, d y n<br />

<br />

. Luego si d,<br />

d n<br />

<br />

es un par <strong>de</strong> divisores <strong>de</strong> n, entonces<br />

d<br />

n<br />

también lo es<br />

d ,d<br />

<br />

. Esto significa que los mismos términos ocurren<br />

en las su<strong>mas</strong><br />

y<br />

(f ∗g)(n) = <br />

f(d)g<br />

d|n<br />

(g ∗f)(n) = <br />

f<br />

Luego esas suman son iguales.<br />

d|n<br />

<br />

d<br />

n<br />

<br />

d<br />

g(n).<br />

n<br />

La propiedad 2, es fácil pero fastidiosa <strong>de</strong> verificar y se <strong>de</strong>ja a cargo<br />

<strong>de</strong>l lector.


184 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Para ver la propiedad 3, notemos que<br />

(f ∗e)(n) = <br />

n<br />

<br />

f(d)e = f(n)e(1) = f(n)<br />

d<br />

d|n<br />

<br />

n<br />

<br />

pues e = 0, excepto cuando<br />

d<br />

n<br />

= 1, es <strong>de</strong>cir, d = n.<br />

d<br />

Para la propiedad 4, tenemos<br />

(f ∗I)(n) = <br />

f(d)I<br />

d|n<br />

<br />

n<br />

<br />

d<br />

= <br />

f(d) = [D(f)](n).<br />

Para la propiedad 5, comenzamos con n = 1. Tenemos<br />

d|n<br />

(µ∗I)(1) = µ(1)I(1) = 1·1 = 1 = e(1).<br />

Supongamos que n > 1. Entonces<br />

(µ∗I)(n) = [D(µ)](n) = 0 = e(n).<br />

Por lo tanto la fórmula vale para todo n.<br />

Teorema 4.33 (fórmula <strong>de</strong> inversión <strong>de</strong> Möbius) Si f es una función<br />

aritmética, entonces f = µ∗[D(f)].<br />

Demostración. Tenemos<br />

µ∗[D(f)] = µ∗I ∗[D(f)] = e∗f = f .<br />

Lema 4.4 [D(φ)](n) = <br />

φ(n) = n.<br />

d|n


Sergio Plaza 185<br />

Demostración. Sea n un entero positivo construyamos las fracciones<br />

1<br />

n<br />

, 2<br />

n<br />

n−1 n<br />

,..., ,<br />

n n .<br />

Reducimos todas ellas. Consi<strong>de</strong>remos una fracción típica reducida a<br />

b .<br />

Tenemos que d|n, puesprovino <strong>de</strong>unafracción cuyo <strong>de</strong>nominadorera<br />

n, a < d, pues la fracción original es menor que 1, y mcd(a,d) = 1,<br />

pues la fracción está reducida.<br />

Note que (yendo en la <strong>otra</strong> dirección) si a<br />

es un fracción con numera-<br />

b<br />

dor y <strong>de</strong>nominador positivo, la cual satisface d|n, a < d y mcd(a,d) =<br />

1, entonces es una <strong>de</strong> las fracciones reducidas. Pues si dk = n para<br />

algún k, y entonces a ka ka<br />

= = , y la fracción es una <strong>de</strong>las fracciones<br />

b kd n<br />

originales.<br />

Nos po<strong>de</strong>mos preguntar ¿cuántas <strong>de</strong> las fracciones reducidas tienen a<br />

d como <strong>de</strong>nominador? Cómo el numerador a es un número positivo<br />

coprimo con d, vemos que existen φ(d) <strong>de</strong> tales fracciones. Sumando<br />

sobre todo los d que divi<strong>de</strong>n a n, obtenemos <br />

d|nφ(d). Pero como<br />

cada fracción reducida tiene alguno <strong>de</strong> tales d como <strong>de</strong>nominador, esta<br />

suma toma en cuenta todas tales fracciones, y existen n <strong>de</strong> ellas. Por<br />

lo tanto <br />

d|nφ(d) = n.<br />

Ejemplo 4.49 Supongamos que n = 6. Entonces<br />

<br />

φ(d) = φ(1)+φ(2)+φ(3)+φ(6) = 1+1+2+2 = 6.<br />

d|6<br />

Lema 4.5 Sea n 1, entonces<br />

φ(n) = <br />

d|n<br />

µ(d) n<br />

d .


186 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Demostración Por la fórmula <strong>de</strong> inversión <strong>de</strong> Möbius<br />

φ(n) = (µ∗[D(φ)](n) = <br />

µ(d)[D(φ)]<br />

d|n<br />

Ejemplo 4.50 Para n = 6, φ(6) = 2. Ahora<br />

<br />

d|6<br />

µ(d) 6<br />

d<br />

Teorema 4.34 Para n 1,<br />

<br />

n<br />

<br />

d<br />

= <br />

d|n<br />

µ(d) n<br />

d .<br />

6 6 6 6<br />

= µ(1)· +µ(2)· +µ(3)· +µ(6)·<br />

1 2 3 6<br />

= 1·6+(−1)·3+(−1)·2+1·1 = 2<br />

φ(n) = n <br />

p|n<br />

p primo<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

.<br />

p<br />

(Por convención, el producto vacío – el producto sin términos, es igual<br />

a 1).<br />

Demostración. Para n = 1, el resultado es inmediato por convención.<br />

Si n > 1, sean p1, p2,...,pk los factores primos distintos <strong>de</strong> n.<br />

Entonces,<br />

<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

p<br />

p|n<br />

p primo<br />

=<br />

<br />

1− 1<br />

p1<br />

= 1− <br />

j<br />

<br />

1− 1<br />

1<br />

pj<br />

+ <br />

i=j<br />

p2<br />

<br />

··· 1− 1<br />

<br />

pk<br />

1<br />

pipj<br />

−···+ (−1)k<br />

p1p2···pk<br />

Cada término es ±1/d, don<strong>de</strong> d es 1 (primer término) o un producto<br />

<strong>de</strong> primos distintos. Los (−1) i cada uno <strong>de</strong> esos términos alternan <strong>de</strong><br />

(1)


Sergio Plaza 187<br />

signo <strong>de</strong> acuerdo al número <strong>de</strong> p –lo cual exactamente lo que hace la<br />

función <strong>de</strong> Möbius. Luego, la expresión (1) es<br />

<br />

d|n<br />

µ(d)<br />

d<br />

Esta suma pue<strong>de</strong> ser tomada sobre todos los divisores, pues µ(d) = 0<br />

si d tiene factores primos repetidos. Ahora, multiplicando (2) por n,<br />

obtenemos<br />

n <br />

p|n<br />

p primo<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

p<br />

= <br />

d|n<br />

(2)<br />

µ(d) n<br />

d<br />

= φ(n).<br />

Ejemplo 4.51 Para 40 = 23 <br />

·5 setieneque φ(40) = 40<br />

16. Para 81 = 3 4 , tenemos φ(81) = 81−<br />

si p es primo y k 1, entonces<br />

pues<br />

φ(p k ) = p k −p k−1<br />

<br />

1− 1<br />

3<br />

φ(p k ) = p k<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

= p<br />

p<br />

k −p k−1 .<br />

1− 1<br />

2<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

=<br />

5<br />

<br />

= 54. Más general,<br />

Definición 4.6 <strong>Una</strong> función aritmética f es multiplicativa si<br />

cuando mcd(m,n) = 1.<br />

f(m·n) = f(m)·f(n)


188 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Lema 4.6 φ es multiplicativa.<br />

Demostración. Supongamos que mcd(m,n) = 1. Ahora,<br />

y<br />

φ(m)φ(n)<br />

m·n<br />

=<br />

φ(m) = m <br />

p|m<br />

p primo<br />

φ(n) = n <br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

<br />

p|m<br />

p primo<br />

q|n<br />

q primo<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

p<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

.<br />

q<br />

⎞⎛<br />

<br />

1− 1<br />

⎟⎜<br />

⎟⎜<br />

⎟⎜<br />

p ⎠⎝<br />

<br />

q|n<br />

q primo<br />

⎞<br />

<br />

1− 1<br />

⎟<br />

q ⎠ .<br />

Como mcd(m,n) = 1, esos dos productos no tienen factores primos<br />

comunes.<br />

A<strong>de</strong>más, losprimosqueaparececenenesosproductossonexactamente<br />

los factores primos <strong>de</strong> m·n. Luego<br />

Por lo tanto,<br />

φ(m)φ(n)<br />

m·n<br />

= <br />

r|m · n<br />

r primo<br />

φ(m)φ(n) = m·n <br />

r|m · n<br />

r primo<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

.<br />

r<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

.<br />

r


Sergio Plaza 189<br />

Teorema 4.35 Si n 3, entonces φ(n) es par.<br />

Demostración. Si n tiene k factoresprimosimpares,entonces 2 k |φ(n).<br />

Para ver esto, observemos primero que<br />

es par si 2 k 4.<br />

φ(2 k ) = 2 k −2 k−1 ,<br />

Supongamos que n tiene k factores primos impares. Entonces<br />

φ(n) = n <br />

p|n<br />

p primo<br />

= n <br />

=<br />

p|n<br />

p primo<br />

n<br />

<br />

p|n<br />

p primo<br />

p<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

p<br />

<br />

p−1<br />

p<br />

<br />

p|n<br />

p primo<br />

(p−1).<br />

El <strong>de</strong>nominador<strong>de</strong>la fracción es el producto<strong>de</strong>los primos quedivi<strong>de</strong>n<br />

a n, luego la fracción es <strong>de</strong> hecho un entero. El segundo término tiene<br />

al menos un factor par para cada primo impar que divi<strong>de</strong> a n. Luego,<br />

el segundo término –y por lo tanto– φ(n) –es divisible por 2 k .<br />

Ejemplo 4.52 La <strong>de</strong>scomposción primaria <strong>de</strong> 7623 es 7623 = 3 2 · 7 ·<br />

11 2 , la cual tiene 3 factores primos impares, luego φ(7623) <strong>de</strong>be ser<br />

divisible por 8. De hecho, φ(7623) = 3960 = 8495. ¿¿??


190 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

4.17 Números Perfectos.<br />

Un número entero positivo es perfecto si es igual a la suma <strong>de</strong> sus divi-<br />

sores propios. Más precisamente, tenemos la siguiente <strong>de</strong>finición.<br />

Definición 4.7 Un número entero n > 0 es perfecto si σ(n) = 2n.<br />

Es <strong>de</strong>cir, n es perfecto si es igual a la suma <strong>de</strong> sus divisores propios.<br />

Ejemplo 4.53 6 es perfecto pues 6= 1 + 2 + 3; 28 es perfecto, pues 28<br />

= 1 + 2 + 4 + 7 + 14; también son perfectos los números 496 y 8128.<br />

Problema 4.1 (no resuelto a la fecha)Nosesabesiexisten números<br />

perfectos impares, o si existen infinitos números perfectos pares.<br />

El n–ésimo número <strong>de</strong> Mersenne, Mn, es <strong>de</strong>finido por Mn = 2 n −1.<br />

La existencia <strong>de</strong> infinitos números perfectos pares está relacionada<br />

a la existencia <strong>de</strong> infinitos primos <strong>de</strong> Mersenne a través <strong>de</strong>l siguiente<br />

resultado<br />

Teorema 4.36 (Eucli<strong>de</strong>s) Un número entero positivo n es perfecto si<br />

y sólo si n = 2 k−1 (2 k −1), don<strong>de</strong> 2 k −1 es un primo <strong>de</strong> Mersenne.<br />

Demostración. Supongamos que 2 k − 1 es primo <strong>de</strong> Mersenne, en-<br />

tonces n = 2 k−1 (2 k −1) es par. Cómo 2 k −1, es un primo impar, es


Sergio Plaza 191<br />

coprimo con 2 k−1 . Luego<br />

Por lo tanto n es perfecto.<br />

σ(n) = σ(2 k−1 (2 k −1))<br />

= σ(2 k−1 )σ(2 k −1)<br />

= 2k −1<br />

2−1 · (2k −1) 2 −1<br />

(2k −1)−1<br />

= (2 k −1)((2 k −1)+1)<br />

= (2 k −1)2 k<br />

= 2·2 k−1 (2 k −1)<br />

= 2n.<br />

Recíprocamente, supongamos que n es un número perfecto par. Que-<br />

remos mostrar que n = 2 k−1 (2 k − 1), don<strong>de</strong> 2 k − 1 es un primo <strong>de</strong><br />

Mersenne.<br />

Como n es par, po<strong>de</strong>mos escribir n = 2 i m, don<strong>de</strong> i 1 y m es<br />

impar. Entonces<br />

2 i+1 m = 2n<br />

= σ(n)<br />

= σ(2 i m)<br />

= σ(2 i )σ(m)<br />

= (2 i+1 −1)σ(m).


192 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Como 2 i+1 divi<strong>de</strong> al lado izquierdo <strong>de</strong> estas igualda<strong>de</strong>ds, <strong>de</strong>be di-<br />

vidir el lado <strong>de</strong>recho. Pero 2 i+1 −1 es impar, luego <strong>de</strong>bemos tener que<br />

2 i+1 |σ(m).<br />

Afirmamos que 2 i+1 es la mayor potencia <strong>de</strong> 2 que divi<strong>de</strong> a σ(m).<br />

Pues si 2 i+2 |σ(m), entonces<br />

2 i+1 m = (2 i+1 −1)σ(m) = (2 i+1 −1)2 i+2 k.<br />

Luego, m = (2 i+1 − 1)2 ˜ K , lo cual contradice el hecho que m es<br />

impar.<br />

Como 2 i+1 es la mayor potencia <strong>de</strong> 2 que divi<strong>de</strong> a m, po<strong>de</strong>mos<br />

escribir σ(m) = 2 i+1 s, don<strong>de</strong> s es impar. Luego<br />

luego m = (2 i+1 −1)s.<br />

2 i+1 m(2 i+1 −1)σ(m) = (2 i+1 −1)2 i+1 s,<br />

Tenemos que mostrar que s = 1. Para hacer esto, comenzamos con<br />

m = (2 i+1 −1)s. Sumando s a ambos lados <strong>de</strong> esta igualdad nos queda<br />

m+s = 2 i+1 s = σ(m).<br />

Luego m es divisible por 1, por si mismo, y por s (pues m = (2 i+1 −<br />

1)s). Si s = m, entonces<br />

n = 2 i m = 2 i (2 i+1 −1)s = 2 i (2 i+1 −1)m,<br />

luego, 1 = 2 i+1 −1, esto implica que i = 0, lo que es una contradicción.<br />

A<strong>de</strong>más, si s > 1, entonces 1 , s y m son tres divisores distintos <strong>de</strong><br />

m, luego<br />

σ(m) m+s+1.


Sergio Plaza 193<br />

Esto contradice el hecho que σ(m) = m+s. Por lo tanto, s = 1.<br />

Tenemos así que n = 2 i (2 i+1 − 1). Ahora <strong>de</strong>bemos mostrar que<br />

2 i+1 −1 es primo. Como 1 y 2 i+1 −1 son factores distintos <strong>de</strong> 2 i+1 −1,<br />

tenemos<br />

2 i+1 = σ(m) = σ(2 i+1 −1) 1+(2 i+1 −1) = 2 i+1 .<br />

Por lo tanto, σ(2 i+1 −1) = 2 i+1 , esto significa que 1 y 2 i+1 −1 son<br />

los únicos divisores <strong>de</strong> 2 i+1 , es <strong>de</strong>cir, 2 i+1 −1 es primo.<br />

Ejemplo 4.54 Para i = 1, 2 2 −1 = 3 es primo, por lo tanto 2 1 (2 2 −<br />

1) = 2 · 3 = 6 es perfecto. Para i = 2, el primer primo, se tiene que<br />

2 3 − 1 = 7 es primo, luego 2 2 (2 3 − 1) = 28 es perfecto. Para i = 3,<br />

el segundo primo se tiene que 2 4 − 1 = 15 no es primo. Para n = 4,<br />

se tiene que 2 5 −1 = 31 es primo, luego 2 4 (2 5 −1) = 496 es perfecto.<br />

Para n = 6, tenemos 2 7 −1 = 127 es primo, luego, 2 6 (2 7 −1) = 8128<br />

es perfecto. El lector, pue<strong>de</strong> hacer otros ejemplos.<br />

Por el teorema 4.36 tenemos que encontrar números perfectos pares es<br />

equivalente aencontrar primos<strong>de</strong>Mersenne, es <strong>de</strong>cir, primos<strong>de</strong>la forma<br />

2 n −1. Por <strong>otra</strong> parte, se tiene que si 2 n −1 es primo entonces n es<br />

primo. Luego para buscar primos <strong>de</strong> Mersenne, necesitamos ver si para<br />

n primo, el número 2 n − 1 es primo. Vamos a mostrar un resultado<br />

que simplifica el problema <strong>de</strong> verificar si 2 n −1 es primo cuando n es<br />

primro. Primero, mostramos el siguiente resultado.<br />

Lema 4.7 Sean a y b enteros positivos. Entonces<br />

mcd(2 a −1,2 b −1) = 2 mcd(a,b) −1.


194 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Demostración. Sin perdida <strong>de</strong> generalidad po<strong>de</strong>mos suponer que a <br />

b. Comoelmáximocomúndivisor<strong>de</strong>dosnúmerosnocambiasirestamos<br />

el menor al mayor, tenemos<br />

mcd(2 a −1,2 b −1) = mcd((2 a −1)−(2 b −1),2 b −1)<br />

= mcd(2 a −2 b ,2 b −1)<br />

= mcd(2 b (2 a−b −1),2 b −1).<br />

Como 2 b −1 es impar no tiene factores comunes con 2 b en el primer<br />

factor.<br />

Luego,<br />

mcd(2 b (2 a−b −1),2 b −1) = mcd(2 a−b −1,2 b −1).<br />

Siguiendoesteproceso, vemosquelosexponentesconvergena mcd(a,b).<br />

Cuando el algoritmo termina, obtenemos<br />

mcd(2 mcd(a,b) −1,0) = 2 mcd(a,b) −1.<br />

Ejemplo 4.55 Como mcd(42,54) = 6, se tiene que<br />

mcd(2 42 −1,2 54 −1) = 2 6 −1 = 63.<br />

Estoesciertamentenoobvio, enespecialsicalculamos 2 42 −1 y 2 54 −1<br />

cuyosvaloresson 2 42 −1 = 4398046511103, 2 54 −1 = 18014398509481983.


Sergio Plaza 195<br />

Teorema 4.37 Sea p un primo impar. Entonces cada factor <strong>de</strong> 2 p −1<br />

tiene la forma 2kp+1 para algún k 0.<br />

Demostración. Basta probar que el resultado es válido para factores<br />

primos <strong>de</strong> 2 p −1. En efecto,<br />

(2ap+1)(2bp+1) = (2abp+a+b)p+1,<br />

es <strong>de</strong>cir, el producto <strong>de</strong> números <strong>de</strong> la forma 2kp + 1 tiene la misma<br />

forma.<br />

Supongamos entonces que q es un factor primo<strong>de</strong> 2 p −1. El pequeño<br />

teorema <strong>de</strong> Fermat nos da que q|(2 p −1). Por el lema 4.7, tenemos que<br />

mcd(2 p −1,2 q−1 −1) = 2 mcd(p,q−1) −1.<br />

Ahora, q|(2 p −1) y q|(2 q−1 −1) implican que q|(2 mcd(p,q−1) −1). En<br />

particular, 2 mcd(p,q−1) −1 > 1, pues es divisible por el primo q. Esto<br />

implicaque mcd(p,q−1) > 1. Ahora, p esprimo,luego mcd(p,q−1) ><br />

1 es posible sólo si mcd(p,q −1) = p. En particular p|(q −1).<br />

Escribamos q−1 = pt, esto es, q = pt+1, y tenemos que q es impar<br />

y por lo tanto q −1 es par y pt es par.<br />

Como p es impar, t <strong>de</strong>be ser par, es <strong>de</strong>cir, t = 2k para algún k.<br />

Entonces q = 2kp+1, lo que termina la prueba.<br />

Ejemplo 4.56 ¿Es 2 17 −1 = 131071 primo?<br />

Como √ 131071 ≈ 362. Si 2 17 −1 tiene un factor propio primo este<br />

<strong>de</strong>be ser menor que 362, y los factores primos <strong>de</strong>ben tener la forma<br />

2k ·17+1 = 34k +1.


196 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Luego <strong>de</strong>bemos chequear los primos menores que 362 para ver si ellos<br />

divi<strong>de</strong>n a 131071.<br />

k 34k +1<br />

1 35 no es primo<br />

2 69 no es primo<br />

3 103 103 es primo, pero no divi<strong>de</strong> a 131071<br />

4 137 137 es primo, pero no divi<strong>de</strong> a 131071<br />

5 171 no es primo<br />

6 205 no es primo<br />

7 239 239 es primo, pero no divi<strong>de</strong> 131071<br />

8 273 no es primo<br />

9 307 307 es primo, pero no divi<strong>de</strong> a 131071<br />

10 341 no es primo<br />

Luego 2 17 −1 es primo.<br />

<strong>Una</strong>conjeturaesunresultado<strong>de</strong>lquesetienecompletoconvencimiento<br />

<strong>de</strong> que es verda<strong>de</strong>ro, por múltiples razones, pero no se tiene una prueba.<br />

Por ejemplo se tiene las siguientes respecto <strong>de</strong> los números perfectos.<br />

Conjetura Existe una cantidad infinita <strong>de</strong> primos <strong>de</strong> Mersenne (equiv-<br />

alentemente, números perfectos) y una cantidad infinita <strong>de</strong> números <strong>de</strong><br />

Mersenne no primos.<br />

Conjetura No existen números perfectos impares.<br />

cambiar algunos proble<strong>mas</strong> a la correspondiente<br />

seccion o capítulo


Sergio Plaza 197<br />

4.18 Proble<strong>mas</strong><br />

Problema 4.33 Escriba un programa (simple) que ponga en evi<strong>de</strong>ncia<br />

laveracidad <strong>de</strong>lasconjeturasanteriores, es<strong>de</strong>cir, queencuentreunacan-<br />

tidad tan gran<strong>de</strong> cuanto se <strong>de</strong>see <strong>de</strong> números primos <strong>de</strong> Mersenne. En la<br />

lista que obtendrá verá también la evi<strong>de</strong>ncia para la segunda conjetura.<br />

Nota. La búsqueda <strong>de</strong> primos <strong>de</strong> Mersenne es un hobby en la cual<br />

cualquiera pue<strong>de</strong> participar. Ayuda, códigos computacionales y resul-<br />

tados pue<strong>de</strong>n ser encontrados en GIMP (The Great Internet Mersenne<br />

Primes Search)<br />

http://www.mersenne.org/prime.htm<br />

Encuentre <strong>otra</strong>s páginas web similares a la indicada, existen muchas<br />

y con bastante información.<br />

Problema 4.34 Usando la fórmula <strong>de</strong>Eucli<strong>de</strong>s encuentre más números<br />

perfectos.<br />

Problema 4.35 Pruebequenoexisteentero n > 1 quedivi<strong>de</strong>a 2 n −1.<br />

Problema 4.36 Encuentre todos los números primos p,q tales que pq<br />

divi<strong>de</strong> a (5 p −2 p )(5 q −2 q ).<br />

Problema 4.37 Sean p,q númerosprimos. Si q divi<strong>de</strong> 2 p +3 p , pruebe<br />

que q > p o q = 5.<br />

Problema 4.38 Escribamos los números en el triángulo <strong>de</strong> Pascal en<br />

la forma siguiente<br />

Note que al sumar en diagonal, en cada diagonal, se obtienen los<br />

números1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... quenoson otros quelos primeros números<br />

<strong>de</strong> Fibonacci. ¿Es posible probar este resultado en forma general?


198 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Hasta hoy no se sabe si existen números perfecto impares. Este es un<br />

problema famoso y difícil <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> números. Por ejemplo, Brent,<br />

Cohen, y Riele probaron que la cota inferior para un número perfecto<br />

impar es 10 300 si existe. Brandstein mostró que el mayor factor primo<br />

es mayor que 500000, y Sayer mostró que un número perfecto impar<br />

tiene al menos 29 factores primos, no necesariamente distintos.<br />

Problema 4.39 Recuer<strong>de</strong> que la sucesión <strong>de</strong> Fibonacci es dada por<br />

(fn)n∈N don<strong>de</strong> fn+1 = fn+fn−1y f0 = f1 = 1. Los primeros números<br />

<strong>de</strong> Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... <strong>de</strong> entre ellos<br />

vemos los siguientes primos 2, 3, 5, 13, 89,...<br />

Encuentre otros primos en la sucesión <strong>de</strong> Fibonacci. Se conjetura que<br />

existen infinitos primos en la sucesión <strong>de</strong> Fibonacci (No resuelto a la<br />

fecha).<br />

Problema 4.40 <strong>Una</strong> manera <strong>de</strong> generar los números <strong>de</strong> Fibonacci es<br />

<strong>de</strong>finir f0 = 0, f1 = 1 y fn+1 = fn +fn−1, con n 1. Así<br />

fn : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,239,377,...,<br />

Note el siguiente hecho: 3|6 y f3|f6, 4|8 y f4|f8, 3|9 y f3|f9, 5|10<br />

y f5|f10 y 6|12 y f6|f12.<br />

Po<strong>de</strong>mos conjeturar entonces que k|n implica que fk|fn.<br />

Para probarlo, <strong>de</strong>muestre primero la i<strong>de</strong>ntidad<br />

fs+t = fs−1ft +fsft+1.<br />

Después, tomando s = ny t = kn reemplazando nos queda


Sergio Plaza 199<br />

fn+kn = f (k+1)n = fn−1fkn +fnfkn+1<br />

De aquí, si fn|fk n entonces fn|f (k+1)n. Como es inmediato que<br />

fn|fn·1 el resultado se sigue por inducción.<br />

Problema 4.41 Sea f(n) = σ(n)−n,don<strong>de</strong> σ(n) <strong>de</strong>nota la suma <strong>de</strong><br />

los divisores <strong>de</strong> n. Por ejemplo, f(1) = 0, f(2) = 1 + 2 − 2 = 1,<br />

f(3) = 1+3−3 = 1, f(4) = 1+2+4−4 = 3, f(5) = 1+5−5 = 1 ,<br />

f(6) = 1+2+3+6−6= 6, f(7) = 1, f(8) = 1+2+4+8−8 = 7,...<br />

Note que si n es primo entonces f(n) = 1, pues los divisores <strong>de</strong> n<br />

son 1 y n.<br />

Para n = 8 tenemos f(8) = 7, f(7) = 1 y f(1) = 1, si n = 9,<br />

f(9) = 1 + 3 + 9 − 9 = 4, f(4) = 3, f(3) = 1, y f(1) = 1. Para<br />

n = 10, f(10) = 1 + 2 + 5 − 5 = 3, f(3) = 1 y f(1) = 1. Caso<br />

n = 12, f(12) = 1+3+4+6+12−12= 14, f(14) = 1+7+14−14 =<br />

8, f(8) = 7, f(7) = 1 y f(1) = 1. Haga más ejemplos y formule<br />

una conjetura respecto al cálculo , n,f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),... (Si<br />

su conjetura es la siguiente, n,f(n)),f(f(n)),f(f(f(n))),... se vuelve<br />

periódica. Entonces a ella no se le conoce si es verda<strong>de</strong>ra o falsa. Por<br />

ejemplo, f(95) = 25, f(25) = 6, f(6) = 6, f(6) = 6,....<br />

Problema 4.42 Sea an = 6 n + 8 n . Calcule el resto <strong>de</strong> la división <strong>de</strong><br />

a83 por 49.<br />

Problema 4.43 Si 30x0y03 es divisible por 13 encuentre x e y.<br />

Problema 4.44 Pruebe que su 9|(a 3 +b 3 +c 3 ) entonces 3|(abc), para<br />

enteros positivos a,b,c.


200 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 4.45 Encuentre el último dígito <strong>de</strong> 3 100 .<br />

Problema 4.46 Pruebe que si 7|(a 2 +b 2 ) entonces 7|a y 7|b.<br />

Problema 4.47 Pruebeque para todo n, se tiene que n 9 −6n 7 +9n 5 −<br />

4n 3 Es divisible por 8640.<br />

Problema 4.48 Pruebe que para cada entero positivo n se tiene que<br />

(n+1)·(n+2)···(2n) es divisible por 2 n .<br />

Problema 4.49 Determine los últimos dígitos <strong>de</strong> los números en la<br />

sucesión 23, 23 23 , 23 (2323 ) ,...<br />

Problema 4.50 Pruebe que si 3 d 2 n+1 , entoncecs d no divi<strong>de</strong> a<br />

(a 2n +1) para todo entero positivo a.<br />

Problema 4.51 Pruebe que si p es primo, entonces p p − 1 tiene un<br />

factor primo que es congruente a 1 módulo p.<br />

Un ejemplo menos trivial es el ISBN (international standar booknum-<br />

bers)código, porejemploellibro“TheQueenonMathematics”<strong>de</strong>lautor<br />

J. Goldmantiene el ISBN1-56881-006-7; el primerdígitocodificaen país<br />

en el cual la editorial se encuentra: 0para USA, 1 parael Reino Unido, y<br />

3 para alemania. El siguiente grupo <strong>de</strong> dígitos da información acerca <strong>de</strong><br />

la compañía editorial, por ejemplo, 0-387 es para Springer Verlag New<br />

York , 3-540 para Springer Verlag Hei<strong>de</strong>lberg. El tercer grupo <strong>de</strong> dígitos<br />

distingue los diferentes libros publicados por cada compañía editorial.<br />

Luego, po<strong>de</strong>mos explicar cada dígito en un ISBN, excepto el último<br />

dígito. El último dígito no lleva consigo ninguna información, si no que<br />

tieneporobjetivo serundígito verificadorcuandocualquier errorhasido<br />

cometido en copiar el ISBN. Veamos como opera esto, supongamos que


Sergio Plaza 201<br />

los dígitos <strong>de</strong> un ISBN son n1n2···n9, si el código tiene sólo 8 dígitos,<br />

ponga n9 = 0. Calcule la suma N = n1 +2n2 +··· +9n9 = 9<br />

jnj ,<br />

enseguida reduzca el resultado mod 11, este es el último dígito <strong>de</strong>l ISBN.<br />

j=1


202 Teoría <strong>de</strong> Números


Capítulo 5<br />

Funciones aritméticas y<br />

sucesiones<br />

Usualmente, cuando el dominio <strong>de</strong> la función es el conjunto Z o un<br />

subconjunto <strong>de</strong> éste, por ejemplo N, <strong>de</strong>cimos que la función es una<br />

función aritmética.<br />

Examinemos algunos ejemplos <strong>de</strong> tales fucniones aritméticas.<br />

5.1 Función σ<br />

Definamos la siguiente función. A cada número natural n le asociamos<br />

la suma <strong>de</strong> sus divisores positivos, es <strong>de</strong>cir,<br />

σ(n) = suma <strong>de</strong> los divisores <strong>de</strong> n.<br />

Por ejemplo, σ(1) = 1, σ(2) = 3, σ(3) = 4, σ(4) = 7, σ(5) = 6,<br />

σ(6) = 12.<br />

203


204 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Puesto que todo número natural posee una única cantidad <strong>de</strong> divi-<br />

sores, estaregla<strong>de</strong>fineunafunción. Claramente, por<strong>de</strong>finición<strong>de</strong>primo,<br />

se tiene que σ(n) = n+1 si sólo si n es primo.<br />

Teorema 5.1 Si n = p e1<br />

1 pe2<br />

2 ···pek<br />

k es la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong><br />

n, entonces<br />

σ(n) = pe1 1 −1<br />

p1 −1<br />

pe1 2 · −1<br />

p2 −1<br />

··· pek<br />

k −1<br />

pk −1 .<br />

Demostración. Es claro que cada divisor positivo <strong>de</strong> n es <strong>de</strong> la forma<br />

p f1<br />

1 pf2<br />

2 ···pfk<br />

k , don<strong>de</strong> 0 fi e1 para i = 1,...,k, y cada tal número<br />

es divisor <strong>de</strong> n. Por lo tanto,<br />

σ(n) =<br />

=<br />

e1<br />

···<br />

f1=0<br />

e1<br />

f1=0<br />

= pe1 1 −1<br />

p1 −1<br />

ek<br />

fk=0<br />

p f1<br />

1 ···<br />

p f1<br />

1 ···pfk<br />

k<br />

ek<br />

fk=0<br />

pe1 2 · −1<br />

p2 −1<br />

p fk<br />

k<br />

pek<br />

k ··· −1<br />

pk −1 .<br />

Usando este resultado po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>mostrar que la función σ es multi-<br />

plicativa, es <strong>de</strong>cir, tenemos el siguiente resultado.<br />

Teorema 5.2 La función σ : N → N es multiplicativa, en <strong>otra</strong>s pala-<br />

bras, σ(n·m) = σ(n)·σ(m), cuando mcd(m,n) = 1.<br />

Demostración. Deloanteriorsesigueinmediatamentequesi mcd(m,n) =<br />

1, entonces σ(m·n) = σ(m)σ(n), es <strong>de</strong>cir, σ es una función aritmética<br />

multiplicativa.


Sergio Plaza 205<br />

Teorema 5.3 (Euler) Si p = 2 n −1 es primo entonces<br />

tn = 1<br />

2 p(p+1) = 2n−1 (2 n −1)<br />

es un número perfecto. A<strong>de</strong>más, cada número perfecto par es <strong>de</strong> esta<br />

forma.<br />

Demostración. Se sigue <strong>de</strong> lo anterior que<br />

σ(tn) = 2n −1<br />

2−1 ··· p2 −1<br />

p−1 = (2n −1)(p+1) = p(p+1).<br />

Ahora sea a un número perfecto par. Supongamos que a = 2 n−1 u,<br />

con u > 1 impar. Tenemos entonces que 2 n u = 2a = σ(a) = 2n −1<br />

2−1 σ(u),<br />

lo que implica que σ(n) = 2n u<br />

2 n −1<br />

= u + u<br />

2 n −1 . Notando que u y u<br />

2 n −1<br />

son divisores <strong>de</strong> u, obtenemos que u es primo y u<br />

2 n −1<br />

u = 2 n −1.<br />

= 1, es <strong>de</strong>cir,<br />

Hasta hoy no se sabe si existen números perfecto impares. Este es un<br />

problema famoso y difícil <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> números. Por ejemplo, Brent,<br />

Cohen, y te Riele probaron que la cota inferior para un número perfecto<br />

impar es 10 300 si existe. Brandstein mostró que el mayor factor primo<br />

es mayor que 500000, y Sayer mostró que un número perfecto impar<br />

tiene al menos 29 factores primos, no necesariamente distintos.<br />

Ejemplo 5.1 Definamos la función θ : N −→ N por θ(n) =número <strong>de</strong><br />

primos que divi<strong>de</strong>n a n. Probar que n 2 θ(n) .<br />

Solución. Aplicando el T.F.A. se tiene que n = p α1<br />

1 ···pαk k , don<strong>de</strong> k<br />

es el número <strong>de</strong> primos que divi<strong>de</strong> a n, luego θ(n) = k. Como pi 2<br />

para todo i = 1,...,k se tiene que<br />

n = p α1<br />

1 pα2<br />

2 ···pαk<br />

k 2α1 ·2 α2 ···2 αk = 2 α1+···+αk


206 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Luego<br />

n 2 α1+α2+···+αk .<br />

Como cada αi 1, se tiene que 2 αi 2 1 , para todo i = 1,...,k.<br />

Por lo tanto,<br />

n 2 α1+···+αk 2 1+···+1 = 2 k = 2 θ(n) .<br />

5.2 Función φ <strong>de</strong> Euler<br />

A todo número n ∈ N le asociamos la cantidad <strong>de</strong> números positivos<br />

coprimos con n que no sean mayores que n. Denotamos por φ a tal<br />

función, en <strong>otra</strong>s palabras φ : N −→ N es dada por<br />

φ(n) = <br />

d|n<br />

mcd(d,n) = 1<br />

Claramente, ella <strong>de</strong>fine una función aritmética, puesto que a cada<br />

número natural se le asocia un único número que, en este caso, es<br />

también un elemento <strong>de</strong> N.<br />

Por ejemplo<br />

φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4,φ(6) = 2,...<br />

Teorema 5.4 Si n ∈ N es primo. Entonces φ(n) = n−1<br />

d.


Sergio Plaza 207<br />

Demostración. Sea n ∈ N un número primo. Entonces todo número<br />

natural menor que n es coprimo con n. De don<strong>de</strong> obtenemos que,<br />

φ(n) = n−1 si y sólo si n es primo.<br />

A continuación veremos una manera <strong>de</strong> calcular φ(n). Empecemos<br />

con φ(21). La cantidad <strong>de</strong> enteros positivos menores o iguales a 21<br />

es 21. Por otro lado, sabemos que 21 posee como divisores a 1, 3,<br />

7 y 21. Luego los múltiplos <strong>de</strong> ellos que no sobrepasan a 21 quedan<br />

<strong>de</strong>scartados. A<strong>de</strong>más la cantidad <strong>de</strong> estos múltiplos pue<strong>de</strong> ser calculada<br />

<strong>de</strong> las siguiente manera. Hay tantos múltiplos <strong>de</strong> 3 como 21/3 = 7, hay<br />

tantos múltiplos <strong>de</strong> 7 como 21/7 = 3, y así sucesivamente, es <strong>de</strong>cir,<br />

φ(21) = 21− 21<br />

3<br />

− 21<br />

7<br />

+ 21<br />

21 ,<br />

don<strong>de</strong> el último factor (que es 1) <strong>de</strong>be agregarse, puesto que 21 fue<br />

sacado dos veces.<br />

Ahora tratemos <strong>de</strong> aplicar el mismo argumento a un número natural<br />

n = p α q β , con p y q números primos. Contemos primero los múltiplos<br />

<strong>de</strong> p y q. Tenemos, los múltiplos <strong>de</strong> p son pα q β<br />

p y los múltiplos <strong>de</strong><br />

q son pα q β<br />

q . Pero los múltiplos <strong>de</strong> np son múltiplos <strong>de</strong> py <strong>de</strong> q simultáneamente,<br />

<strong>de</strong> modo que están contados dos veces, por lo tanto<br />

φ(p α q β ) = p α q β − pα q β<br />

p − pα q β<br />

= p α q β<br />

= p α q β<br />

q + pαqβ pq<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

1 1<br />

− +<br />

p q pq<br />

<br />

1− 1<br />

<br />

1−<br />

p<br />

1<br />

<br />

.<br />

q<br />

La fórmula para un número n arbitrario se obtiene a partir <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong> n.


208 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Teorema 5.5 Si n = p α1<br />

1 · p α2<br />

2 ···pαr<br />

r es la <strong>de</strong>scomposición primaria<br />

<strong>de</strong> n, entonces<br />

<br />

φ(n) = n 1− 1<br />

<br />

1−<br />

p1<br />

1<br />

<br />

··· 1−<br />

p2<br />

1<br />

<br />

.<br />

pr<br />

Ejemplo 5.2 Para n = 570, su <strong>de</strong>scomposición primaria es dada por<br />

n = 2·5·57. Aplicando el teorema 5.5, obtenemos<br />

<br />

φ(570) = 570 1− 1<br />

<br />

1−<br />

2<br />

1<br />

<br />

1−<br />

5<br />

1<br />

<br />

= 224,<br />

57<br />

es <strong>de</strong>cir, existen 224 números enteros positivos menores o iguales que<br />

570 y que son coprimos con 570.<br />

Ejemplo 5.3 Para n = 660, su <strong>de</strong>scomposición primaria es dada por<br />

n = 2 2 ·3·5·11. Aplicando el teorema 5.5, obtenemos que<br />

<br />

φ(660) = 660· 1− 1<br />

<br />

1−<br />

2<br />

1<br />

<br />

1−<br />

3<br />

1<br />

<br />

1−<br />

5<br />

1<br />

<br />

,<br />

11<br />

y calculando cada término se obtiene<br />

φ(660) = 660·<br />

1<br />

2<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

<br />

10<br />

= 160.<br />

11<br />

Para finalizar esta sección daremos la fórmula para un caso especial.<br />

El método usado en la <strong>de</strong>mostración es interesante <strong>de</strong> recordar.<br />

Teorema 5.6 Si p es un primo y k es un entero positivo, entonces<br />

φ(p k ) = p k −p k−1 .


Sergio Plaza 209<br />

Demostración. Esevi<strong>de</strong>nteque p nodivi<strong>de</strong>a n siysólosi mcd(n,p k ) =<br />

1. A<strong>de</strong>más, hay p k−1 enteros entre 1 y p k que son divisibles por p,, es-<br />

tos son p, 2p, 3p,...,p k−1 p. Luego el conjunto {1,2,...,p k } contiene<br />

exactamente p k −p k−1 enteros que son coprimos con p k .<br />

<strong>Una</strong>operaciónnaturalentrefuncionesesllamada“composición”. Esta<br />

operación se <strong>de</strong>fine <strong>de</strong> la siguiente manera. Dadas dos funciones, f y<br />

g, <strong>de</strong> tal manera que el recorrido <strong>de</strong> f esté contenido en el dominio <strong>de</strong><br />

g, entonces po<strong>de</strong>mos construir una nueva función, que se <strong>de</strong>nota por<br />

g ◦ f,, cuyo dominio es el <strong>de</strong> f , <strong>de</strong>finida por la regla <strong>de</strong> que a cada<br />

imagen mediante f se le aplica la regla <strong>de</strong> g. Más precisamente, si D<br />

es el conjunto dominio <strong>de</strong> f y a es cualquier elemento <strong>de</strong> D, entonces<br />

su imagen f(a) <strong>de</strong>be estar en el dominio <strong>de</strong> g, luego le aplicamos g a<br />

f(a), es <strong>de</strong>cir, calculamos g(f(a)).<br />

Claramente esta <strong>de</strong>finición asegura que el recorrido <strong>de</strong> g ◦ f es un<br />

subconjunto <strong>de</strong>l recorrido <strong>de</strong> g.<br />

En general, g ◦ f es diferente <strong>de</strong> f ◦ g. Más aún, es posible que<br />

la primera exista, mientras que la segunda no tenga sentido alguno.<br />

Examinemos los siguientes ejemplos.<br />

Ejemplo 5.4 Composición <strong>de</strong> σ y φ.<br />

Las funciones φ y σ <strong>de</strong>finidas arriba poseen como dominio todos<br />

los números enteros no negativos y sus recorridos son subconjuntos <strong>de</strong><br />

los números enteros. Luego po<strong>de</strong>mos formar φ ◦ σ y también σ ◦ φ.<br />

Calculemos algunos valores <strong>de</strong> ellas. Por ejemplo,<br />

(σ ◦φ)(1) = σ(φ(1)) = σ(1) = 1<br />

(σ ◦φ)(2) = σ(φ(2)) = σ(1) = 1<br />

(σ ◦φ)(3) = σ(φ(3)) = σ(2) = 3


210 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

por <strong>otra</strong> parte,<br />

(σ ◦φ)(4) = σ(φ(4)) = σ(2) = 3<br />

(σ ◦φ)(6) = σ(φ(6)) = σ(3) = 4<br />

(φ◦σ)(1) = φ(σ(1)) = φ(1) = 1<br />

(φ◦σ)(2) = φ(σ(1)) = φ(3) = 2<br />

(φ◦σ)(3) = φ(σ(3)) = φ(4) = 2<br />

(φ◦σ)(4) = φ(σ(4)) = φ(7) = 6<br />

(φ◦σ)(6) = φ(σ(6)) = φ(4) = 6<br />

Des<strong>de</strong> los cálculos anteriores, claramente vemos que φ◦σ es diferente<br />

<strong>de</strong> σ ◦φ.<br />

5.3 Sucesiones<br />

En el capítulo XXXX formalizaremos el concepto <strong>de</strong> número racional.<br />

Por ahora enten<strong>de</strong>remos por número racional una fracción con nume-<br />

rador un número entero y <strong>de</strong>nominador un número entero diferente <strong>de</strong><br />

cero.<br />

<strong>Una</strong> sucesión <strong>de</strong> números racionales es una función cuyo dominio es<br />

el conjunto <strong>de</strong> los números naturales y su recorrido un subconjunto <strong>de</strong><br />

los números racionales. Es costumbre <strong>de</strong>notar una sucesión <strong>de</strong>scribiendo<br />

el recorrido <strong>de</strong> ella <strong>de</strong> la manera siguiente (xn) n∈N o simplemente por<br />

(xn) n , es <strong>de</strong>cir, una sucesión es una función<br />

x : N −→ Q,<br />

don<strong>de</strong> xn <strong>de</strong>nota la imagen <strong>de</strong>l número natural n mediante la función<br />

x, esto es, xn = x(n).


Sergio Plaza 211<br />

Por ejemplo, (xn) n∈N , don<strong>de</strong> xn = 1/n, representa la sucesión <strong>de</strong><br />

números racionales {1,1/2,1/3,1/4,...}.<br />

Ejemplo 5.5 Progresiones aritméticas<br />

Consi<strong>de</strong>remos una sucesión (xn) n∈N , don<strong>de</strong> los elementos xn se for-<br />

man <strong>de</strong> la manera siguiente<br />

x0 = a, x1 = a+d, x2 = a+2d,..., xn = a+nd, ...<br />

es <strong>de</strong>cir, x(n) = a+nd.<br />

Decimos, en este caso, que los números x1,x2,...,xn,... se encuen-<br />

tran en progresión aritmética. Otra manera <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir esto es que la<br />

diferencia <strong>de</strong> dos términos consecutivos cualesquiera <strong>de</strong> la sucesión es<br />

constante.<br />

Ejemplo 5.6 Losnúmeros 3, 5, 7, 9,... estánenprogresiónaritmética,<br />

puesto que la diferencia <strong>de</strong> dos términos consecutivos es constante e<br />

igual a 2. En este caso se tiene que a = 3 y d = 2. En <strong>otra</strong>s palabras,<br />

x(n) = xn = 3+2n, para n = 0,1,...<br />

Ejemplo 5.7 Progresiones geométricas<br />

En el caso en que los números dados por la sucesión (xn) n∈N se rigen<br />

por la ley <strong>de</strong> formación<br />

es <strong>de</strong>cir, x(n) = ar n .<br />

x0 = a, x1 = ar, x2 = ar 2 ,...,xn = ar n ,...<br />

Decimos que los números x1,x2,...,xn,... se encuentran en pro-<br />

gresión geométrica, es <strong>de</strong>cir, si las razones xn+1/xn <strong>de</strong> dos términos<br />

consecutivos <strong>de</strong> la sucesión son iguales para todo n. A r = xn+1/xn se<br />

le llama la razón <strong>de</strong> la progresión.


212 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 5.8 Losnúmeros 3, 9, 27, 81,... estánenprogresióngeométrica,<br />

puesto que xn+1/xn = 3. En este ejemplo a = 1 y r = 3. En <strong>otra</strong>s<br />

palabras, x(n) = xn = 3 n , para n = 0,1,2,....<br />

Ejemplo 5.9 Sucesiones <strong>de</strong> Fibonacci.<br />

Consi<strong>de</strong>remos la sucesión <strong>de</strong> números enteros (fn) n∈N <strong>de</strong>finida como<br />

sigue<br />

f0 = a, f1 = b, f2 = x1 +x0, ..., fn+2 = fn+1 +fn, para n 0,<br />

es <strong>de</strong>cir, fn, el término n–ésimo, es la sucesión <strong>de</strong> Fibonacci. Cuando<br />

a = b = 1, tenemoslasucsión<strong>de</strong>Fibonacciclásica {1,1,2,3,5,8,13,...}.<br />

<strong>Una</strong> sucesión (xn) n∈N pue<strong>de</strong>tener unrecorrido finito, como en el caso<br />

xn = (−1) n . Claramente esta sucesión asocia a todo número natural<br />

par el 1 y a todo impar el −1.<br />

Las funciones aritméticas σ y φ también se pue<strong>de</strong>n interpretar como<br />

sucesiones <strong>de</strong> números enteros, don<strong>de</strong> xn = σ(n) y xn = φ(n).<br />

5.4 Proble<strong>mas</strong><br />

Problema 5.1 Pruebe que para todo entero positivo n y todo entero<br />

a > 1, se tiene que n|φ(a n −1).<br />

Problema 5.1 ¿Existen infinitos enteros n para los cuales φ(n) = n<br />

2 ?<br />

Lo mismo para φ(n) = n n<br />

y φ(n) =<br />

3 4 .<br />

Problema 5.2<br />

Problema 5.3<br />

Problema 5.4


Sergio Plaza 213<br />

Problema 5.5<br />

Problema 5.6<br />

Problema 5.7<br />

Problema 5.8<br />

Problema 5.9<br />

Problema 5.10<br />

Problema 5.11


214 Teoría <strong>de</strong> Números


Capítulo 6<br />

Representaciones<br />

Numéricas y<br />

Aproximaciones<br />

6.1 Representación <strong>de</strong>cimal<br />

Enestasecciónconstruiremosunalgoritmoparalograraproximarnúmeros<br />

reales por números racionales. Primero estudiaremos la representación<br />

<strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> un número real.<br />

Consi<strong>de</strong>remos el conjunto D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, el cual lla-<br />

maremos conjunto <strong>de</strong> dígitos.<br />

Comencemos con un número natural n. Se quiere expresar n como<br />

una suma <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> 10 y coeficientes (dígitos) en D, esto es,<br />

queremos escribir<br />

n = d0 +d1 ·10+d2 +···+dn ·10 N =<br />

215<br />

N<br />

i=0<br />

di ·10 i ,


216 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

don<strong>de</strong> los coeficientes di, con i = 0,1,...,N, son elementos en D. En<br />

elargumentoqueacontinuación explicamos aplicaremos reiteradasveces<br />

el algoritmo <strong>de</strong>ladivisiónynolomencionaremos enformaexplícita cada<br />

vez que lo utilicemos.<br />

Primero, si 0 n 9, se tiene que n = d0 · 10 0 ; basta, pues,<br />

con tomar d0 = n. Ahora bien, si 10 n < 10 2 po<strong>de</strong>mos escribir<br />

n = d1·10 1 +r1, don<strong>de</strong> d1 ∈ D y 0 r1 < 10. Por lo tanto, r1 pue<strong>de</strong><br />

ser escrito como r1 = d0 ·10 0 , con d0 = r1; luego<br />

n = d1 ·10 1 +d0 ·10 0 , con d0,d1 ∈ D.<br />

Si 10 2 n < 10 3 , tenemos que n = d2 · 10 2 + r2, con d2 ∈ D y<br />

0 r2 < 10 2 . Si 0 r2 < 10, entonces r2 = d0 ·10 0 , don<strong>de</strong> d0 = r2;<br />

tomando d1 = 0 po<strong>de</strong>mos escribir<br />

n = d0 ·10 0 +d1 ·10 1 +d2 ·10 2 , con d0,d1,d2 ∈ D.<br />

Por <strong>otra</strong> parte, si 10 r2 < 10 2 , con r2 = d1 · 10 1 + r1, don<strong>de</strong><br />

d1 ∈ D y 0 r1 < 10, luego, tomando d0 = r1, obtenemos también<br />

que 3<br />

i=0 di ·10 i , con d1,d2,d3 ∈ D.<br />

Puesto que, para todo número natural n, existe ℓ tal que 10 ℓ <br />

n < 10 ℓ+1 aplicando en método <strong>de</strong>scrito n se pue<strong>de</strong> escribir en la forma<br />

dada. En resumen, hemos probado que cada númeronatural n se pue<strong>de</strong><br />

expresar como una suma <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> 10 y coeficientes (dígitos) en<br />

D. Esta representación es llamada representación <strong>de</strong>cimal (o en base<br />

10) <strong>de</strong> n.


Sergio Plaza 217<br />

El mismo tipo <strong>de</strong> representación, mediante una suma finita, para un<br />

número real x, con 0 x < 1, ya no es posible, como se muestra en el<br />

siguiente ejemplo.<br />

Ejemplo 6.1 Consi<strong>de</strong>remos el número racional 2/3. Tenemos<br />

2<br />

3<br />

= 0.6+0.06+0.006+···<br />

=<br />

∞<br />

6·10 −j<br />

j=1<br />

= 6·<br />

∞<br />

10 −j .<br />

j=1<br />

Para ver si la suma con infinitos términos <strong>de</strong> la última igualdad repre-<br />

senta un número real, <strong>de</strong>bemos <strong>de</strong>trminar su convergencia. Más general,<br />

consi<strong>de</strong>remos una suma <strong>de</strong> la forma<br />

S = q +q 2 +q 3 +···+q j +··· =<br />

∞<br />

q j<br />

con infinitos términos, don<strong>de</strong> q ∈ R es distinto <strong>de</strong> cero. Para <strong>de</strong>termi-<br />

nar su convergencia, consi<strong>de</strong>remos la sucesión asociada a ella, es <strong>de</strong>cir, la<br />

sucesión <strong>de</strong> su<strong>mas</strong> parciales Sn = n<br />

j=1 qj , con n = 1,2,.... Multipli-<br />

cando Sn por q, obtenemos la sucesión qSn = q 2 +q 3 +···+q n +q n+1 .<br />

Restando qSn <strong>de</strong> Sn, obtenemos,<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />

que tiene como límite<br />

En conclusión<br />

Sn(1−q) = q −q n+1<br />

q<br />

1−q<br />

Sn = q(1−qn )<br />

1−q<br />

“si |q| < 1 entonces<br />

j=1<br />

cuando n → ∞ siempre y cuando |q| < 1.<br />

∞<br />

j=1<br />

q j = q<br />

1−q .”


218 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ahora, la convergencia <strong>de</strong> la serie infinita ∞<br />

j=1 6·10−j es inmediata,<br />

puesto que es una serie geométrica <strong>de</strong> razón 1/10 y su suma es 2/3.<br />

A continuación construiremos una representación <strong>de</strong>cimal para los<br />

números reales x, con 0 x < 1. Denotaremos a este conjunto por el<br />

símbolo [0,1[, y geométricamente lo representaremos por el segmento<br />

<strong>de</strong> recta<br />

1 1 5 1 4 1 3 1 2 1 7 1 9 1 8 1 6 1<br />

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, a cada punto <strong>de</strong> la recta correspon<strong>de</strong> un elemento<br />

<strong>de</strong> [0,1[. Dado x ∈ [0,1[, queremos representarlo como<br />

x =<br />

∞<br />

i=1<br />

ki ·10 −i ,<br />

don<strong>de</strong> ki ∈ D para cada i 1. Para obtener esta suma dividamos<br />

el intervalo [0,1[ en 10 partes iguales, como se muestra en la figura<br />

anterior.<br />

Sea k1 el mayor elemento en D tal que<br />

entonces<br />

k1<br />

10 x < k1 +1<br />

,<br />

10<br />

x = k1<br />

10 +r1, con 0 r1 < 1<br />

10 .<br />

Si r1 = 0 <strong>de</strong>tenemos el proceso y, tomando ki = 0 para cada i 2,<br />

se tiene lo pedido. Por <strong>otra</strong> parte, si 0 < r1 < 1/10 dividimos, a su vez,<br />

el intervalo [0,1/10[ en 10 partes iguales.


Sergio Plaza 219<br />

1 1 5 1 4 1 3 1 2 1 7 1 9 1 8 1 6 1 1 1<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10010<br />

10 10<br />

Denotemos por k2 el mayor elemento en D para el cual<br />

k2<br />

102 r2 < k2 +1<br />

102 .<br />

Si r2 = k2/10 2 <strong>de</strong>tenemos el proceso y tomamos ki = 0 para i 3,<br />

con lo cual<br />

x =<br />

∞<br />

i=1<br />

ki ·10 −i .<br />

Por el contrario si k2/10 2 < r2 < (k2 +1)/10 2 , po<strong>de</strong>mos escribir<br />

r2 = k2<br />

102 +r3, con 0 r3 < 1<br />

10<br />

Repetimos ahora el proceso con r3 y así sucesivamente. De este modo<br />

obtenemos que x pue<strong>de</strong> escribirse como<br />

x =<br />

∞<br />

i=1<br />

ki ·10 −i ,<br />

don<strong>de</strong> los coeficientes ki ∈ D, para i = 1,2,3,...<br />

Como en el Ejemplo anterior <strong>de</strong> la representación <strong>de</strong> x = 2/3, el<br />

problema se reduce a examinar si la serie <strong>de</strong>l lado <strong>de</strong>recho <strong>de</strong> esta última<br />

igualdad es convergente.<br />

Para mostrar esto notemos primero que ki/10 i 9/10 i para cada<br />

i 1. Sea qn = n<br />

i=1 ki · 10 −i una suma parcial <strong>de</strong> la serie <br />

i1 ki ·<br />

2 .


220 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

10 −i y sea Gn la correspondiente suma parcial <strong>de</strong> la serie geométrica<br />

<br />

i1 9 · 10−i . Aplicando la fórmula ¿(5.2)?, y siendo los coeficientes<br />

<strong>de</strong> la serie geométrica positivos, se obtiene que<br />

1.<br />

qn Gn <br />

∞<br />

9·10 −i = 1,<br />

i=1<br />

lo cual muestra que la sucesión (qn) n∈N es acotada superiormente por<br />

A<strong>de</strong>más la sucesión <strong>de</strong> su<strong>mas</strong> parciales (qn) n∈N es creciente, pues<br />

cada vez estamos sumando términos no negativos (mayores o iguales<br />

que cero). Aplicando la Proposición ¿5.3? se concluye que (qn) n es<br />

convergente, esto es, la serie <br />

i1 ki · 10 −i es convergente y su suma<br />

x = ∞<br />

i=1 ki ·10 −i es un número real en el intervalo [0,1].<br />

Teorema 6.1 Dado un número real x, con 0 x 1 y un número<br />

ε > 0 existe un número racional qε tal que |x−qε| < ε.<br />

Consi<strong>de</strong>remos el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> x, esto es, escribamos x =<br />

∞<br />

i=1 ki ·10 −i . Definamos para cada número natural n el número<br />

xn =<br />

n<br />

i=1<br />

ki ·10 i .<br />

Es claro que cada xn es un número racional (pues es una suma finita<br />

<strong>de</strong> números racionales). A<strong>de</strong>más |x−xn| satisface<br />

|x−xn| =<br />

∞<br />

i=n+1<br />

ki ·10 −i <br />

∞<br />

i=n+1<br />

9·10 −i = 10 −n ,


Sergio Plaza 221<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>duce que |x−xn| se aproxima a cero cuando n crece<br />

<strong>de</strong>finitivamente. Más precisamente, eligiendo n0 tal que 1/10n0 < ε y<br />

n0<br />

<strong>de</strong>finiendo q = xn0 = ki ·10−i , se obtiene lo pedido.<br />

i=1<br />

Tenemos, así que dado un número real x en el intervalo [0,1] hemos<br />

construido una sucesión <strong>de</strong> números racionales que aproxima a x.<br />

Finalmente, veremos que si tenemos un número real x 1 también<br />

po<strong>de</strong>mos construir estas aproximaciones mediante números racionales.<br />

Para ello, reduciremos el problema al caso 0 x < 1.<br />

Escribamos x = [x] + (x) para x 1. Como [x] es un número<br />

natural él se pue<strong>de</strong> representar <strong>de</strong> la forma<br />

[x] =<br />

N<br />

i=0<br />

di ·10 i ,di ∈ D,<br />

con N el menor natural tal que 10 N [x] < 10 N+1 . Por <strong>otra</strong> parte,<br />

como 0 (x) < 1, sabemos que<br />

(x) =<br />

∞<br />

kj ·10 −i , con kj ∈ D,j 1.<br />

j=1<br />

En resumen, x se pue<strong>de</strong> representar como<br />

x =<br />

N<br />

di ·10 i ∞<br />

+<br />

i=0<br />

j=1<br />

kj ·10 −j .<br />

La primera suma es la representación <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong>l número natural [x]<br />

ylasegundasuma(queunaserie)eslarepresentación<strong>de</strong>cimal<strong>de</strong>laparte<br />

fraccionaria (x) <strong>de</strong> x. Ahora, para cada número natural n <strong>de</strong>finamos<br />

xn = [x]+<br />

n<br />

i=1<br />

ki ·10 −i .


222 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Cada xn es un número racional y en forma análoga al caso anterior<br />

se <strong>de</strong>muestra que xn se aproxima cada vez más a x cuando n crece<br />

in<strong>de</strong>finidamente.<br />

Esta propiedad <strong>de</strong> los números racionales en los números reales es<br />

llamada la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> los racionales en los reales.<br />

Ejemplo 6.2 El número √ 2 = 1,,414213... se pue<strong>de</strong> escribir en la<br />

forma<br />

√ 2 = 1·10 0 + 4<br />

10<br />

+ 1<br />

10<br />

4 2 1 3<br />

+ + + + 2 103 104 105 10<br />

6 +···<br />

De este modo, utilizando la representación ¿(5.4)?, po<strong>de</strong>mos escribir<br />

cada número real positivo en su forma <strong>de</strong>cimal y obtener <strong>de</strong> este modo<br />

aproximaciones por números racionales.<br />

En general, la representación <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> un número no es única, como<br />

lo ilustra el siguiente ejemplo.<br />

Ejemplo 6.3 El número 1 pue<strong>de</strong> escribirse como<br />

1 = 0·10 0 +<br />

∞<br />

j=1<br />

9<br />

10 = 1·10−1 +<br />

∞<br />

j=2<br />

0<br />

10 j.<br />

Cuando el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> la fracción irreducible p/q no es potencia<br />

<strong>de</strong> 10, la representación <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> ésta es periódica. Por <strong>otra</strong> parte, la<br />

pérdida <strong>de</strong> unicidad en la representación <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> un número real x<br />

ocurre cuando x es <strong>de</strong> la forma p/q, con q una potencia <strong>de</strong> 10. Ob-<br />

servemos también queunnúmeroirracional tiene representación <strong>de</strong>cimal<br />

no periódica.


Sergio Plaza 223<br />

6.2 Representación en base p, p > 1<br />

En la sección anterior estudiamos la representación <strong>de</strong>cimal, esto es, en<br />

base 10 <strong>de</strong> los números reales no negativos. Ahora trataremos <strong>de</strong> imitar<br />

tal construcción tomando como base un número natural p > 1 en vez<br />

<strong>de</strong> la base 10 ya consi<strong>de</strong>rada.<br />

Como en el caso anterior, comenzamos por <strong>de</strong>finir nuestro conjunto<br />

<strong>de</strong> dígitos D = {0,1,2,...,p−1}. Primero buscamos la representación<br />

en base p para los números naturales, es <strong>de</strong>cir, dado un número natural<br />

n queremos representarlo como una suma finita <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> p y<br />

coeficientes en el conjunto D, esto es, expresar n como<br />

n =<br />

N<br />

i=0<br />

ki ·p i = k0 +k1p+···+kNp N ,<br />

don<strong>de</strong> para i = 0,1,...,N los coeficientes ki son elementos <strong>de</strong> D.<br />

Para lograrlo proce<strong>de</strong>mos en forma similar al caso <strong>de</strong> la representación<br />

<strong>de</strong>cimal y aplicamos el logaritmo <strong>de</strong> la división con p en vez <strong>de</strong> 10.<br />

Imitandolorealizadopara p = 10,bastarálogrardicharepresentación<br />

para los números reales x en intervalo [0,1[. Así, dividimos los inter-<br />

valos [0,1/p n ] (n 0) en p partes iguales. Siguiendo las mis<strong>mas</strong><br />

directrices utilizadas para el caso p = 10, se obtiene la representación<br />

requerida. Se concluye, en <strong>de</strong>finitiva, que todo real x > 1 posee la<br />

representación<br />

x =<br />

N<br />

dj ·p j ∞<br />

+<br />

j=0<br />

i=1<br />

ki ·p −i .<br />

La convergencia <strong>de</strong> la serie 6.1 en la última igualdad está garantizada,<br />

pues se compara con la serie geométrica <strong>de</strong> razón 1/p (p > 1).


224 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

6.2.1 Representación Binaria<br />

Esta representación consiste en tomar p = 2 y D = {0,1}. En este<br />

caso todo número real positivo x es representable como<br />

Ejemplo 6.4<br />

x =<br />

N<br />

di ·2 i ∞<br />

+ kj ·2 −j , con di, ki ∈ D<br />

i=0<br />

j=1<br />

137<br />

256 = 1·2−1 +0·2 −2 +0·2 −3 +0·2 −4 +1·2 −5 +0·2 −6 +0·2 −7 +1·2 −8 .<br />

Observemos que cualquier número real x en [0,1[ tiene asociado una<br />

sucesión <strong>de</strong> ceros y unos. Por ejemplo, a 137<br />

256 se le asocia k1 = 1, k2 =<br />

0, k3 = 0, k4 = 0, k5 = 1, k6 = 0, k7 = 0, k8 = 1, y kj = 0, para<br />

j 9.<br />

Adaptando para la sucesión anterior la escritura 10001001, tenemos<br />

que el símbolo 1000100 representa el número 137<br />

256 .<br />

Así, los símbolos 001 y 01011 representan los números racionales<br />

1<br />

8 = 0·2−1 +0·2 −2 +1·2 −3 ,<br />

19<br />

32 = 0·2−1 +1·2 −2 +0·2 −3 +1·2 −4 +1·2 −5 .<br />

Un númeroirracional <strong>de</strong>betener infinitos unos en su expresión binaria<br />

(<strong>de</strong><strong>otra</strong>formarepresentaríaunnúmeroracional) ysuscerosyunoscare-<br />

cer <strong>de</strong> toda periodicidad. Es así como los símbolos 01001000100001...,<br />

110111011110111110... representannúmerosirracionales. Ellectorpue<strong>de</strong><br />

intentar calcularlos.


Sergio Plaza 225<br />

Para las computadoras, calculadoras y relojes analógicos los números<br />

son objetos <strong>de</strong> diferentes longitu<strong>de</strong>s con ceros y unos. En particular,<br />

como la longitud <strong>de</strong> los símbolos que estas máquinas pue<strong>de</strong>n calcular<br />

es finita (<strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> la capacidad <strong>de</strong> cada una), concluimos que<br />

ellas trabajan solamente con números racionales. Para máquinas que<br />

procesan con 8 y 13 dígitos los resultados que generan para el número<br />

irracional √ 2 son 1,4142135 y 1,414213562373, respectivamente. Ob-<br />

viamente, por lo que ya sabemos, estos valores son sólo aproximaciones<br />

racionales <strong>de</strong> √ 2.<br />

En las representaciones <strong>de</strong> números reales expuestas en estas notas<br />

hemos supuesto que tanto la base p (p > 1) y los dígitos D utilizados<br />

son números naturales. La verdad es que esto sólo sirvió para simplificar<br />

la exposición y los cálculos. En general, po<strong>de</strong>mos construir representa-<br />

ciones <strong>de</strong>losnúmerosreales usandounabasecualquiera p, con |p| > 1 y<br />

un conjunto finito <strong>de</strong> dígitos D = {d1,d2,...,dk}. La condición |p| > 1<br />

es necesario paragarantizar la convergencia <strong>de</strong>las series geométricas que<br />

aparecen en tal caso.<br />

6.2.2 Representación triádica<br />

Esta representación consiste en tomar p = 3, y por lo tanto, el conjunto<br />

<strong>de</strong> dígitos D = {0,1,2}. En este caso todo número real positivo x es<br />

representable como<br />

Por ejemplo,<br />

x =<br />

N<br />

di ·3 i ∞<br />

+ kj ·3 −j , con di, ki ∈ D.<br />

i=0<br />

j=1<br />

38<br />

81 = 1·3−1 +2·3 −2 +2·3 −3 0·3 −4 +···+0·3 −n +···


226 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Aquí los coeficientes son k1 = 1, k2 = 2, k3 = 2 y kj = 0 para<br />

j 3.<br />

Otros ejemplos <strong>de</strong> representaciones triádicas son<br />

15 = 0·3 0 +2·3 1 +1·3 2<br />

9<br />

7 = 2·3−1 +1·3 −2<br />

√<br />

0 −1 −2 −3 −4<br />

2 = 1·3 +1·3 +0·3 +0·3 +2·3 +··· (no periódica)<br />

2<br />

9 = 0·3−1 +2·3 −3 = 1·3 −1 +2·3 −2 +2·3 −3 +···+2·3 −k +···<br />

Calcularemos en <strong>de</strong>talle el siguiente ejemplo<br />

7<br />

8 = 2·3−1 +1·3 −2 +2·3 −3 +1·3 −4 +2·3 −5 +··· ,<br />

don<strong>de</strong> los coeficientes <strong>de</strong> subíndice impar son iguales a 2 y los con<br />

subíndicepar son iguales a 1. Para probar esta última igualdad proce<strong>de</strong>-<br />

mos a partir la serie en dos series, en una que agrupan los coeficientes<br />

par y en <strong>otra</strong> los coeficientes impares. Aplicando la fórmula ¿(5.2) se<br />

tiene entonces que<br />

∞<br />

2·3 −(2j+1) ∞<br />

+ 1·3 −2j = 2<br />

∞<br />

9<br />

3<br />

−j ∞<br />

+ 9 −j = 2 9 1 7<br />

· + =<br />

3 8 8 8 .<br />

j=0<br />

j=0<br />

j=0<br />

En general, un número real x tiene una representación finita en base<br />

3, es <strong>de</strong>cir,<br />

x =<br />

N<br />

di ·3 i M<br />

+<br />

i=0<br />

j=1<br />

j=1<br />

kj ·3 −j ,<br />

si y sólo si x es <strong>de</strong> la forma m/3 n , don<strong>de</strong> n y m son enteros positivos.


Sergio Plaza 227<br />

Notemos que si el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> la fracción irreducible p/q no es<br />

una potencia <strong>de</strong> 3, la representación en base 3 <strong>de</strong> p/q es periódica. Por<br />

<strong>otra</strong> parte, números irracionales poseen representaciones en base 3 no<br />

periódicas.<br />

Ejemplo 6.5<br />

1<br />

4 = 0·3−1 +2·3 −2 +3 −3 +2·3 −4 +···<br />

Aquí los coeficientes con índice impar son cero y los coeficientes con<br />

índice par son iguales a 2.<br />

Ejemplo 6.6<br />

1<br />

7 = 0·3−1 +1·3 −2 +0·3 −3 +2·3 −4 +1·3 −5 +2·3 −6 +0·3 −7 +···<br />

El bloque formado por los coeficientes k1 = 0, k2 = 1, k3 = 0,<br />

k4 = 2, k5 = 1, k6 = 2 y k7 = 0 en la expresión anterior se repite<br />

periódicamente.<br />

Ejemplo 6.7 Al igual que en el caso en base 10, cada número real<br />

tiene una representación en la forma ¿(5.7)? y existen números para<br />

los cuales setienen al menos dos representaciones distintas. Por ejemplo:<br />

1 1 0 0 0 2 2<br />

= + + +··· = + +<br />

3 3 3 3 3 3 3 +···


228 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

6.3 Ejemplos<br />

Ejemplo 6.8 Muestre que para cualquier entero n 1, la suma <strong>de</strong>l<br />

número <strong>de</strong> dígitos <strong>de</strong> 4 n y <strong>de</strong> 25 n es un entero impar.<br />

Solución. Sean an = 4 n y bn = 25 n . Tenemos así an ·bn = 100 n =<br />

10 2n . Sean r el número <strong>de</strong> dígitos <strong>de</strong> bn. Luego, 10 r−1 an < 10 r<br />

y 10 s−1 bn < 10 s , por lo tanto 10 r+s−2 anbn < 10 r+s . Por <strong>otra</strong><br />

parte, 10 2n es unapotencia<strong>de</strong>10, luego<strong>de</strong>bemostener 10 2n = 10 r+s−1 ,<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> r +s−1 = 2n, es <strong>de</strong>cir, r +s es impar.<br />

Ejemplo 6.9 Encuentre todos los números naturales x tales que el<br />

producto <strong>de</strong> sus dígitos, en notación <strong>de</strong>cimal, es igual a x 2 −10x−22.<br />

Solución. Supongamos que x tiene la forma x = a0 +a110+a 2 102 +<br />

···+an−110 n−1 , don<strong>de</strong> 0 ak 9 y an−1 = 0.<br />

Sea P(x) el producto <strong>de</strong> los dígitos <strong>de</strong> x, entonces <strong>de</strong>bemos tener<br />

que P(x) = x 2 −10x−22. Ahora, P(x) = a0a1...an−1 9 n−1 an−1 <<br />

10 n−1 an−1 x. La <strong>de</strong>sigualdad estrictas ocurre cuando x tiene más <strong>de</strong><br />

un dígito. Luego x 2 −10x−22 x, y <strong>de</strong>ducimos que x < 13, por lo<br />

tanto x tiene un sólo dígito o x = 10, x = 11, x = 12.<br />

Si x tiene un dígito, entonces a0 = x 2 −10x−22, pero esta ecuación<br />

no tiene soluciones enteras. Si x = 10, entonces P(10) = 0, pero<br />

x 2 − 10x − 22 = −22 = 0. Si x = 11, entonces P(11) = 1, pero<br />

x 2 −10x−22 = −11 = 1.<br />

Por lo tanto x = 12 es laúnicasolución. Enefecto, 12 2 −10·12−22 =<br />

2 y P(12) = 1·2 = 2.<br />

Ejemplo 6.10 Sea A un número entero positivo, y sea A ′ un número<br />

escrito con los mismos dígitos <strong>de</strong> A arreglados en algún otro or<strong>de</strong>n.<br />

Pruebe que si A+A ′ = 10 10 , entonces A es divisible por 10.


Sergio Plaza 229<br />

Solución. Es claro que A y A ′ <strong>de</strong>ben tener 10 dígitos. Sean A =<br />

a10a9... a1 y A ′ = a ′ 10 a′ 9 ...a′ 1 , don<strong>de</strong> a′ i es algún aj. Ahora, A+A ′ =<br />

10 1 0 si y sólo si existe un j, con 0 j 9 para el cual a1 + a ′ 1 =<br />

a2 +a ′ 2 = ··· = aj +a ′ i , aj+1 +a ′ i+1 = 10aj+2 +a ′ j+2 .<br />

Existe un j, con 0 j 9 para el cual a1 + a ′ 1 = a2 + a ′ 2 =<br />

··· = aj +aj ′ , aj+1 + a ′ j+1 = 10, aj+2 +a ′ j+2 = aj+3 +a ′ j+3<br />

a10 +a ′ 10<br />

= ··· =<br />

= 9. Observemos que j = 0 implica que no existen suma <strong>de</strong><br />

la forma aj+k +a ′ j+k , k 2 y j = 0 implica que no existen suma <strong>de</strong><br />

la forma aℓ+a ′ ℓ , 1 ℓ j. Adicionando todas esas su<strong>mas</strong>, obtenemos<br />

a1 +a ′ 1 +a2 +a ′ 2 +···+a10 +a ′ 10 = 9+9(9−j).<br />

Comolos a ′ s sonpermutaciones <strong>de</strong>los as, vemos queel ladoizquierdo<br />

<strong>de</strong>la última igualdad es el númeropar 2(a1+a2+···+a10), esto implica<br />

que j <strong>de</strong>be ser impar. Pero esto implica que a1 +a ′ 1<br />

resultado se sigue.<br />

= 0, <strong>de</strong> lo cual el<br />

Ejemplo 6.11 Pruebe que cada entero positivo tiene un múltiplo en el<br />

cuál aparecen, en surepresentación <strong>de</strong>cimal, todos los dígitos 0,1,...,9.<br />

Solución. Sea n un entero positivo arbitrario con k dígitos. Sea<br />

m = 123456789 ·10 k+1<br />

Se tiene que los n números consecutivos m + 1, m + 2,...,m + n<br />

comienzan con 1234567890 y uno <strong>de</strong> ellos es divisible por n.<br />

Ejemplo 6.12 Escriba 6312 en base 2.<br />

Solución. Como 2 12 = 4096 < 6312 < 2 13 = 8192, se tiene que<br />

(6312)2 = a122 12 +a 11 2 11 +···+a12+a0.


230 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Tenemos 6312 = 2 12 + 2216. Ahora, como 2 11 = 2048 < 2216 <<br />

2 12 = 4096, se sigue que 6312 = 2 12 + 2 11 + 168, y siendo que 2 7 =<br />

128 < 168 < 2 8 = 256, se tiene que 6312 = 2 12 + 2 11 + 2 7 + 40.<br />

Ahora, 2 5 = 32 < 40 < 2 6 = 64, así 6312 = 2 12 +2 11 +2 7 +2 5 +8 =<br />

2 12 +2 11 +2 7 +2 5 +2 3 .<br />

Ejemplo 6.13<br />

137<br />

256 = 1·2−1 +0·2 −2 +0·2 −3 +0·2 −4 +1·2 −5 +0·2 −6 +0·2 −7 +1·2 −8 .<br />

Ejemplo 6.14 Dado x0, con 0 x0 < 1, sea<br />

⎧<br />

⎨ 2xn−1 si 2xn−1 < 1<br />

xn =<br />

⎩ 2xn−1 −1 si 2xn−1 1.<br />

para todo entero positivo n. Encuentre todos los x0 tales que x0 = x5<br />

(si existe alguno).<br />

Solución. Escribiendo x0 en base 2 se tiene<br />

x0 =<br />

∞<br />

k=1<br />

ak<br />

2 k, ak = 0 o 1<br />

Elalgoritmodadoenelenunciadosimplementemueveelpuntobinario<br />

una unidad a la <strong>de</strong>recha. Para que x0 sea igual a x5, necesitamos que<br />

0.a1a2a3a4a5a6a7··· = 0.a6a7a8a9a10a11a12. Esto ocurre si y sólo si x0<br />

tiene unaexpansión periódicaen base 2con a1a2a3a4a5 siendoel bloque<br />

<strong>de</strong>l período. Existen 2 5 = 32 <strong>de</strong> tales bloques. Pero si a1 = a2 = ··· =<br />

a5 = 1, entonces x0 = 1 y no es posible. Por lo tanto sólo quedan


Sergio Plaza 231<br />

2 5 −1 = 32−1 = 31 posibilida<strong>de</strong>s, y ellas son fáciles <strong>de</strong> construir. Por<br />

ejemplo<br />

a1 a2 a3 a4 a5<br />

1 0 0 0 0<br />

0 1 0 0 0<br />

etc<br />

Ejemplo 6.15 La sucesión 1, 3, 4, 9, 10, 12,... consiste <strong>de</strong> todos los<br />

enteros positivos quesonunapotencia<strong>de</strong>3osuma<strong>de</strong>distintas potencias<br />

<strong>de</strong> 3. Por ejemplo, 12 = 3 2 + 3, 10 = 3 2 + 1, 4 = 3 + 1, 1 = 3 0 ,<br />

13 = 3 2 +3+1. Encuentre el término 100 <strong>de</strong> esta sucesión.<br />

Solución. Si los términos <strong>de</strong> la sucesión son escritos en base 3, ellos son<br />

exactamente aquellos números enteros positivos cuya expansión en base<br />

3 no contienen el dígito 2. Luego, la sucesión escrita en base 3 y puesta<br />

en or<strong>de</strong>n creciente es<br />

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,...<br />

En base 2, estos números no son otros que 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,....<br />

Luego para obtener el término 1000 <strong>de</strong> la sucesión basta escribir 100 en<br />

binario, esto es, 100 = 1 · 2 6 + 1·2 5 +0·2 4 + 0·2 3 +1·2 2 +0·2 1 +<br />

0 · 2 0 = (1100100)2 y ponerlo en base 3, lo cual nos da (1100100)3 =<br />

3 6 +3 5 +3 2 = 981.<br />

Observemos que cualquier número real x, con 0 x < 1 tiene aso-<br />

ciado una sucesión <strong>de</strong> ceros y unos. Por ejemplo, a 137<br />

256<br />

se le asocia<br />

k1 = 1, k2 = 0, k3 = 0, k4 = 0, k5 = 1, k6 = 0, k7 = 0, k8 = 1, kj = 0, j 9.


232 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Adaptando para la sucesión anterior la escritura 10001001, tenemos<br />

que el símbolo 10001001 representa el número 137<br />

256 .<br />

Así, los símbolos 001 y 01011 representan los números racionales<br />

1<br />

8 = 0·2−1 +0·2 −2 +1·2 −3 ,<br />

19<br />

32 = 0·2−1 +1·2 −2 +0·2 −3 +1·2 −4 +1·2 −5<br />

Un númeroirracional <strong>de</strong>betener infinitos unos en su expresión binaria<br />

(<strong>de</strong><strong>otra</strong>formarepresentaríaunnúmeroracional) ysuscerosyunoscare-<br />

cer <strong>de</strong> toda periodicidad. Es así como los símbolos 01001000100001...,<br />

110111011110111110... representannúmerosirracionales. Ellectorpue<strong>de</strong><br />

intentar calcularlos.<br />

Ejemplo 6.16 Escriba 6312 en base 5.<br />

Solución. Tenemos que 5 5 = 3125 < 6312 < 5 6 = 15625. Luego<br />

(6312)5 = a5 · 5 5 + a4 · 5 4 + a3 · 5 3 + a 2 · 5 2 + a1···5 + a0. Tenemos<br />

6312 = 2·5 5 +62, es <strong>de</strong>cir, a5 = 2, a0 = 62, y a1 = a2 = a3 = a4 = 0.<br />

Ejemplo 6.17 Pruebe que 4.41 es un cuadrado perfecto en cualquier<br />

base p > 1.<br />

Solución. Escribiendo 4.41 en la base p tenemos<br />

4·41 = 4+ 4<br />

p<br />

6.4 e es irracional<br />

Teorema 6.2 e es irracional.<br />

<br />

1<br />

+ = 2+<br />

p2 1<br />

2 p


Sergio Plaza 233<br />

Demostración. Supongamos que e = a<br />

b<br />

y sea<br />

Entonces<br />

θ = b|e−<br />

0 < θ <<br />

∞<br />

j=1<br />

b<br />

j=0<br />

b!<br />

j! =<br />

con a y b enteros positivos,<br />

∞<br />

j=b+1<br />

b!<br />

j!<br />

1 1<br />

= 1<br />

(b+1) j b<br />

(6.1)<br />

Por otro lado, la expresión central <strong>de</strong> (6.1) es un entero. Luego, tene-<br />

mos una contradicción y e es irracional.<br />

Problema 6.1 ¿Es π e irracional? abierto.<br />

Problema 6.2 ¿Es<br />

∞<br />

n=1<br />

1<br />

irracional?. abierto.<br />

n5 Observación. Un número irracional elevado a un número irracional<br />

pue<strong>de</strong> ser racional. En efecto, consi<strong>de</strong>re x = √ 2<br />

Pero x √ √ <br />

√2<br />

2 2<br />

=<br />

√ 2<br />

= ( √ 2) 2 = 2 es racional.<br />

6.5 Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />

√ 2 el cual es irracional.<br />

Este es uno <strong>de</strong> los ejemplos más simples que sirven para ilustrar el<br />

concepto <strong>de</strong> conjunto fractal. El conjunto <strong>de</strong> Cantor es obtenido con-<br />

si<strong>de</strong>rando la representación en base 3 <strong>de</strong> los números reales x, con<br />

0 x 1, usando como conjunto <strong>de</strong> dígitos permitido para la re-<br />

presentación el conjunto D = {0,2}, es <strong>de</strong>cir, el conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />

está formado por todos los números reales x, con 0 x 1, tales que<br />

en su representación en base 3 no aparece el dígito 1. Geométricamente,


234 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

este conjunto se construye como sigue. Consi<strong>de</strong>remos un segmento <strong>de</strong><br />

recta <strong>de</strong> longitud 1. Dividimos el segmento inicial en 3 segmentos <strong>de</strong><br />

igual<br />

longitud y eliminamos el segmento central, obteniendo dos segmentos<br />

cada uno <strong>de</strong> longitud 1<br />

3 . Enseguida dividimos cada segmento resultante<br />

en la etapa anterior en 3 segmentos <strong>de</strong> igual longitud y eliminamos los<br />

segmentos central, obteniendo 4 segmentos cada uno <strong>de</strong> longitud 1<br />

9 .<br />

Repetimos el proceso <strong>de</strong> división y eliminación anterior a cada segmento<br />

resultante en la etapa anterior, y continuamos el proceso in<strong>de</strong>finida-<br />

mente.<br />

.<br />

0 1<br />

.<br />

0 1/3<br />

.<br />

0 1/9<br />

.<br />

.<br />

2/9 1/3<br />

Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />

.<br />

2/3 1<br />

.<br />

2/3 7/9<br />

.<br />

8/9 1<br />

El resultado final es un conjunto C, llamado conjunto <strong>de</strong> Cantor,<br />

el cual es no vacío y contiene tantos puntos como la recta real. Defi-<br />

namos la función Φ : {x : 0 x 1} −→ C por Φ( ∞<br />

j=1 aj2 −j ) =<br />

∞<br />

j=1 (2aj)3 −j . Es fácil verificar que Φ es una biyección, por lo tanto<br />

se tiene lo pedido. Lo que acabamos <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar no es intuitivo ni fácil<br />

<strong>de</strong> aceptar.<br />

6.5.1 Longitud <strong>de</strong>l Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />

Si en cada etapa <strong>de</strong> la construcción <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor, medimos la<br />

longitud <strong>de</strong>l conjunto resultante, obtenemos la siguiente tabla


Sergio Plaza 235<br />

Etapa Longitud<br />

0 1<br />

1<br />

2<br />

3<br />

.<br />

2<br />

3<br />

2<br />

4<br />

9 = 2<br />

3<br />

8<br />

27 = 2<br />

3<br />

.<br />

Intuitivamente el conjunto<strong>de</strong>Cantor <strong>de</strong>beríatener longitud0. Debido<br />

a su construcción el conjunto <strong>de</strong> Cantor es autosimilar, es <strong>de</strong>cir, cada<br />

parte cuando la ampliamos se ve como el conjunto original.<br />

Notemos queelconjunto<strong>de</strong>Cantores<strong>de</strong>“longitud”ceroytienetantos<br />

puntos como el segmento inicial. Esto no es fácil <strong>de</strong> aceptar ni intuitivo.<br />

La construcción anterior <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor es la clásica. Exis-<br />

ten muchas construcciones <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> Cantor, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong> división<br />

<strong>de</strong> un segmento en segmentos (no necesariamente en 3) y en propor-<br />

ciones distintas (no necesariamente 1<br />

3 ), y que nos llevan a un conjunto<br />

<strong>de</strong> Cantor. Incluso se pue<strong>de</strong>n construir conjuntos <strong>de</strong> Cantor con “lon-<br />

gitud” positiva. En la actualidad aún se trabaja y se publican trabajos<br />

profundos en matemática que tienen relación con estos conjuntos.<br />

¿Porqué le dimos el nombre <strong>de</strong> fractal al conjunto <strong>de</strong> Cantor? No<br />

sólo porque posee la propiedad <strong>de</strong> ser autosimilar, si no más bien por el<br />

hecho que el ocupa en la recta más espacio que un conjunto <strong>de</strong> puntos<br />

aislados y menos que un segmento <strong>de</strong> recta ¿Cómo po<strong>de</strong>mos asegurar<br />

tal hecho? Para esto <strong>de</strong>finiremos el siguiente concepto.<br />

3


236 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

6.6 k–Volumen<br />

Consi<strong>de</strong>remos un segmento <strong>de</strong> recta, que por simplicidad, suponemos<br />

unitario (no es ninguna restricción esta suposición). Para calcular el<br />

1−volumen <strong>de</strong>l segmento unitario proce<strong>de</strong>mos como sigue. Cubrimos<br />

nuestro segmento por segmentos pequeños <strong>de</strong> longitud, digamos ε, (ε ><br />

0 un número). Denotemos por N(ε) el número mínimo <strong>de</strong> intervalos <strong>de</strong><br />

longitud ε necesario para cubrir el segmento dado. Tenemos entonces<br />

que N(ε)·ε 1 ≈ 1, don<strong>de</strong> el símbolo ≈ significa aproximadamente igual,<br />

luego el 1–volumen <strong>de</strong>l segmento <strong>de</strong> recta unitario es igual a 1.<br />

Este concepto se extien<strong>de</strong> <strong>de</strong> modo natural al caso dimensión mayor<br />

que 1.<br />

Para calcular el 2−volumen <strong>de</strong> un cuadrado, el cual para simplificar<br />

suponemos unitario (es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong> lado 1) cubrimos éste por cuadrados<br />

pequeños <strong>de</strong> lado ε(ε > 0). Denotemos por N(ε) el número mínimo<br />

<strong>de</strong> cuadrados <strong>de</strong> lado ε, necesarios para cubrir el cuadrado, entonces<br />

N(ε)·ε 2 ≈ 1, luego el 2–volumen <strong>de</strong>l cuadrado unitario es igual a 2.<br />

Ahora consi<strong>de</strong>remos el conjunto <strong>de</strong> Cantor. Para calcular su 1 −<br />

volumen, en cada paso <strong>de</strong> la construcción calculamos el 1 − volumen<br />

<strong>de</strong> los segmentos que conforman la parte que resta en cada etapa <strong>de</strong> la<br />

construcción. Para n = 0, si tomamos ε = 1, tenemos N(ε) = 1, para<br />

n = 1, si tomamos ε = 1<br />

3 , tenemos N(ε) = 2, para n = 2, tomando<br />

ε = 1<br />

3 2 , tenemos N(ε) = 2 2 ,..., para n = k tomando ε = 1<br />

3 k , tenemos<br />

N(ε) = 2 k . Y vemos que en la etapa n <strong>de</strong> la construcción <strong>de</strong>l conjunto<br />

<strong>de</strong> Cantor, tenemos la siguiente fórmula para calcular el 1–volumen <strong>de</strong><br />

n, luego el 1–volumen <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />

lo que restó; vn = 2<br />

3<br />

es obtenido haciendo crecer n in<strong>de</strong>finidamente en la fórmula para vn,<br />

consecuentemente esigual acerocomopresentíamos intuitivamente. Por


Sergio Plaza 237<br />

<strong>otra</strong> parte, la ecuación<br />

N(ε)·ε 1 ≈<br />

k 2<br />

,<br />

3<br />

usada para calcular el 1–volumen <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor, es reem-<br />

plazada por una ecuación <strong>de</strong>l tipo<br />

N(ε)·ε s = 1<br />

y buscamos el valor <strong>de</strong> s <strong>de</strong> modo que esto ocurra. En la etapa k,<br />

tenemos la ecuación<br />

<strong>de</strong> esto,<br />

2 k<br />

<br />

1<br />

3k s = 1,<br />

2 k = 3 ks<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong>, aplicando logaritmo en base e, nos queda kln(2) = ksln(3),<br />

y por lo tanto obtenemos que s = ln(2)<br />

ln(3) . Esto nos dice que el conjunto<br />

<strong>de</strong> Cantor tiene s–volumen igual a ln(2)<br />

ln(3) = 0.63092975... lo cual nos<br />

indica que ocupa más espacio que un conjunto <strong>de</strong> puntos aislados, pero<br />

menos que un segmento <strong>de</strong> recta. Este tipo <strong>de</strong> “k–volumen” es el que<br />

<strong>de</strong>fine el carácter <strong>de</strong> fractal <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor, y <strong>de</strong> otros muchas<br />

figuras que son usadas en la literatura para ilustrar este concepto, muy<br />

<strong>de</strong> moda en el último tiempo.<br />

Nota: La <strong>de</strong>finición que dimos <strong>de</strong> conjunto fractal 1 no es enteramente<br />

correcta. Para dar la <strong>de</strong>finición correcta necesitamos <strong>de</strong> muchos otros<br />

concepto que escapan muy lejos <strong>de</strong>l objetivo <strong>de</strong> nuestro texto.<br />

1 Para una introducción a los Fractales y geometría fractal pue<strong>de</strong> verse S. Plaza<br />

“Fractales y Generación Computacional <strong>de</strong> Imágenes” , monografía 16, IMCA, Perú,<br />

2000. Este texto incluye también una pequeña historia <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong><br />

conjunto fractal.


238 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

6.6.1 Triángulo <strong>de</strong> Sierpinski<br />

Este es la segunda figura fractal <strong>de</strong> entre las más conocidas en general.<br />

Su construcción geométrica es sencilla y la <strong>de</strong>scribimos a seguir.<br />

Consi<strong>de</strong>remos una región triangular en el plano. Primero dividimos<br />

los lados <strong>de</strong>l triángulo frontera en sus puntos medios, uniéndolos for-<br />

mamos cuatro regiones triangulares, <strong>de</strong> las cuales eliminamos la región<br />

triangular central. La figura muestra esta primera etapa.<br />

etapa 1<br />

En las regiones triangulares restantes repetimos el proceso anterior, y<br />

así sucesivamente, como se muestra en las figuras siguientes<br />

etapa 2


Sergio Plaza 239<br />

etapa 3 etapa 4<br />

etapa 5 etapa 6<br />

Este proceso es convergente y la figura obtenida es conocida como<br />

triángulo <strong>de</strong> Sierpinski. El triángulo <strong>de</strong> Sierpinski tiene longitud infinita<br />

y ocupa un área cero en el plano, <strong>de</strong> hecho ocupa más espacio que<br />

una curva y menos que un plano. <strong>Una</strong> aproximación más refinada al<br />

resultado final es mostrado en la siguiente figura<br />

Triángulo <strong>de</strong> Sierpinski


240 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Un cálculo directo, muestra que en cada etapa <strong>de</strong> la construcción <strong>de</strong>l<br />

triángulo <strong>de</strong> Sierpinski, es posible calcular su área y que esta tien<strong>de</strong> a<br />

cero cuando avanzamos en la etapas <strong>de</strong> la construcción. Este cálculo es<br />

una aplicación directa <strong>de</strong> la fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un triángulo, y como<br />

los tres triángulos que aparecen en cada uno <strong>de</strong> los triángulos <strong>de</strong> una<br />

etapa para la siguiente son congruentes, basta calcular el área <strong>de</strong> uno <strong>de</strong><br />

ellos y notar que en la etapa 1 tenemos 3 triángulos, en la etapa 2 tene-<br />

mos 3 2 , en la etapa 3 tenemos 3 3 triángulos, y así sucesivamente, en la<br />

etapa n <strong>de</strong> la construcción tenemos 3 n triángulos . Ahora, si consi<strong>de</strong>r-<br />

emos las sucesivas etapas <strong>de</strong> la construcción <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> Sierpinski,<br />

vemos que en la etapa 1 necesitamos 3 triángulos para cubrir lo que<br />

restó <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> eliminar el triángulo central, en la etapa 2 necesitamos<br />

3 2 triángulos para cubrir lo que restó <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> eliminar el triángulo<br />

central en cada uno <strong>de</strong> los 3 triángulos <strong>de</strong> la etapa 1, y en general, nece-<br />

sitamos 3 n triángulos para cubrir lo que restó <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> eliminar el<br />

triángulo central en cada uno <strong>de</strong> los 3 n−1 triángulos <strong>de</strong> la etapa n−1.<br />

Razonado como lo hicimos en el caso <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor, vemos que<br />

el s–volumen <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> Sierpinski es s = ln(4)<br />

ln(3) .<br />

6.6.2 Triángulo <strong>de</strong> Sierpinski y expansión en base 2<br />

En el plano R 2 consi<strong>de</strong>ramos un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (u,v) con<br />

origen en (0,0) don<strong>de</strong> la recta <strong>de</strong> las abscisas coinci<strong>de</strong> con el eje x y<br />

la recta <strong>de</strong> las or<strong>de</strong>nadas forma un ángulo <strong>de</strong> 60 0 con el eje x. Es fácil<br />

ver que las coor<strong>de</strong>nadas en el plano (u,v) con 0 u 1 y 0 v 1<br />

representanunpuntoeneltriángulo<strong>de</strong>Sierpinskisiysólosilaexpansión<br />

en base 2 <strong>de</strong> u y <strong>de</strong> v nunca tienen un 1 en la misma posición.<br />

Otra manera interesante <strong>de</strong> obtener una imagen <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> Sier-


Sergio Plaza 241<br />

pinski, es consi<strong>de</strong>rar el triángulo<strong>de</strong>Pascal, es <strong>de</strong>cir, el triángulo formado<br />

por los coeficientes binomiales <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l binomio (x+y) n , con<br />

n = 0, 1, 2, 3,.... Enseguida marcamos <strong>de</strong> color negro cada número<br />

impar y marcamos <strong>de</strong> color blanco cada número par. Esto es hecho<br />

asignando a 0 el color blanco y a 1 el color negro, y los números en el<br />

triángulo <strong>de</strong> Pascal los consi<strong>de</strong>ramos módulo 2, es <strong>de</strong>cir, si k ∈ N en-<br />

tonces k = 1 (mod 2) si y sólo si k es impar y k = 0 (mod 2) si y sólo<br />

si k es par. La figura obtenida se ve como el triángulo <strong>de</strong> Sierpinski.<br />

6.7 Proble<strong>mas</strong><br />

Problema 6.1 Calcule<br />

1. (1034)5 +(243)5<br />

2. (54302)6 −(21543)6<br />

3. (1230)4 ·(3120)4.<br />

Problema 6.2 Determine el valor <strong>de</strong> b si<br />

1. (104)b = 8285<br />

2. (30407)b = 12551.<br />

Problema 6.3 Si b > 1 es un entero. Demuestre que (111)b|(10101)b .<br />

Problema 6.4 Sea t un número real positivo. Pruebe que existe un<br />

entero positivo n tal que la expansión <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> nt contiene al dígito<br />

7.<br />

Problema 6.5 Para cada entero positivo k, sea f1(k)=(suma <strong>de</strong> los<br />

dígitos <strong>de</strong> k 2 ). Para n 2, sea fn(k) = f1(fn−1(k)). Encuentre<br />

f1988(11).


242 Teoría <strong>de</strong> Números


Capítulo 7<br />

Fracciones continuadas<br />

Para hacer matemática, esto es, en or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> enten<strong>de</strong>r y hacer contribu-<br />

cione a esta disciplina, es necesario estudiar su historia. <strong>Matemática</strong> es<br />

constantemente construida sobre <strong>de</strong>scubrimientos pasados.<br />

Veamos por ejemplo un poco <strong>de</strong> la historia y origen <strong>de</strong> fracciones<br />

continuadas.<br />

El origen <strong>de</strong> las fracciones continuadas es difícil <strong>de</strong> establecer, esto<br />

<strong>de</strong>bido al hecho que po<strong>de</strong>mos encontrar ejemplos <strong>de</strong> esas fracciones a<br />

través <strong>de</strong> la matemática en los últimos 2000 años, pero su verda<strong>de</strong>ro<br />

fundamento nos lleva hasta fines <strong>de</strong> 1600 e inicio <strong>de</strong> 1700.<br />

El origen <strong>de</strong> fracciones continuadas es tradicionalmente puesto en el<br />

tiempo <strong>de</strong> la creación <strong>de</strong>l algoritmo <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s. El algo-<br />

ritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s, es usado para encontrar el máximo común divisor <strong>de</strong><br />

dos números. Por manipulaciones algebraicas <strong>de</strong>l algoritmo, po<strong>de</strong>mos<br />

<strong>de</strong>rivar lafracción continuada simple<strong>de</strong>unnúmeroracional p/q. Esdu-<br />

doso si Eucli<strong>de</strong>s o sus pre<strong>de</strong>cedores <strong>de</strong> hecho hayan usado este algoritmo<br />

<strong>de</strong> esa forma. Debido a su cercana relación a fracciones continuadas,<br />

la creación <strong>de</strong>l algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s significó el <strong>de</strong>sarrollo inicial <strong>de</strong><br />

243


244 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

fracciones continuadas.<br />

Por más <strong>de</strong> mil años, todo libro que usaba fracciones continuadas es-<br />

taba restricto a ejemplos específicos. El matemático indú Aryabhata<br />

(c.550 A.C.) usó fracciones continuadas para resolver una ecuación lin-<br />

eal en una in<strong>de</strong>terminada. Más que generalizar su método, su uso <strong>de</strong><br />

fracciones continuadas es sólo para ejemplos específicos.<br />

A través <strong>de</strong> los escritos matemáticos griegos y arabes, encontramos<br />

ejemplos y trazas <strong>de</strong> fracciones continuadas. Pero <strong>otra</strong> vez, su uso limi-<br />

tado a ejemplos específicos.<br />

Dos matemáticos italianos, <strong>de</strong> la cuidad <strong>de</strong> Bologna, Rafael Bombelli<br />

(B.C. 1530) y Prietro Cataldi (1548–1626) también contribuyeron al<br />

estudio <strong>de</strong> fracciones continuadas proveyendo más ejemplos. Bombelli<br />

expresó la raíz cuadrada <strong>de</strong> 13 como una fracción continuada repetida.<br />

Cataldi hizo lo mismo con la raíz cuadrada <strong>de</strong> 18. Aparte <strong>de</strong> esos ejem-<br />

plos, sin embargo, ningún matemático investigó las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> frac-<br />

ciones continuadas.<br />

Fracciones continuadas se transforman en un campo <strong>de</strong> estudio por<br />

si mis<strong>mas</strong> a través <strong>de</strong>l trabajo <strong>de</strong> Hohn Wallis (1616-1703). En su li-<br />

bro Arithmetica Infimtorum (1655), Wallis él <strong>de</strong>sarrolla y presenta la<br />

i<strong>de</strong>ntidad<br />

4<br />

π<br />

= 3×3×5×5×7×7×···<br />

2×4×4×6×6×8×8×··· .<br />

El primer presi<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> la Royal society, Lord Brounker (1620–1684)


Sergio Plaza 245<br />

transformó esta i<strong>de</strong>ntidad en<br />

4<br />

π<br />

= 1+<br />

2+<br />

2+<br />

1 2<br />

3 2<br />

5 2<br />

2+ 72<br />

2+ 92<br />

. ..<br />

Wallis tomó la iniciativa y comenzó a dar los primeros pasos para<br />

generalizar la teoría <strong>de</strong> fracciones continuadas.<br />

En su libro Opera Mathematica (1645), Wallis hace algunas contribu-<br />

ciones a la parte básica para fracciones continuadas. Explica cómo cal-<br />

cular la convergente n–ésima y <strong>de</strong>scubre algunas <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s<br />

familiares <strong>de</strong> las convergentes. Fué también en este trabajo en que el<br />

término “fracción continuada” fué usado por primera vez.<br />

El matemático y astrónomo alemán Christiaan Huggens (1629–1695)<br />

fué el primero en <strong>de</strong>mostrar una aplicación práctica <strong>de</strong> fracciones con-<br />

tinuadas. Escribió un artículo explicando como usar las convergentes <strong>de</strong><br />

una fracción continuada para encontrar la mejor aproximación racional<br />

para las razones <strong>de</strong> engranajes.<br />

Esasaproximacioneslepermitierontomarlosengranajesconelnúmero<br />

correcto <strong>de</strong> dientes. Este trabajo fue en parte motivado por su <strong>de</strong>seo <strong>de</strong><br />

construir un planetario mecánico.<br />

Mientras que los trabajos <strong>de</strong> Wallis y Huggens comenzaron el trabajo<br />

sobre fracciones continuadas, el campo <strong>de</strong> las fracciones continuadas<br />

comenzó a florecer cuando Leonard Euler (1707–1783), Johan Heinrich<br />

Lambert (1728–1777) y Joseph Louis Lagrange (1736–1813) abarcan ese<br />

tópico. Euler contribuyó mucho a la teoría mo<strong>de</strong>rna en su trabajo De<br />

Fractionlous Continious publicado en (1737). En este trabajo Euler


246 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

mostróquecada númeroracional pue<strong>de</strong>ser expresadocomo unafracción<br />

continuada simple finita. También dió una expresión para e en forma<br />

<strong>de</strong> una fracción continuada, y usa esa expresión para mostrar que e y<br />

e 2 son irracionales. También <strong>de</strong>muestra como pasar una serie a una<br />

representación en fracción continuada para la serie, y recíprocamente.<br />

Lambert generaliza el trabajo <strong>de</strong> Euler sobre e y muestra que e x<br />

y tan(x) son irracionales si x es racional. Lagrange usa fracciones<br />

continuadasparaencontrarelvalor<strong>de</strong>raícesirracionales. Probótambién<br />

que unaraíz real <strong>de</strong> unairracional cuadrática es unafracción continuada<br />

periódica.<br />

ElsigloIXXpue<strong>de</strong>,probablemente, ser<strong>de</strong>scritocomolaedad<strong>de</strong>oro<strong>de</strong><br />

las fracciones continuadas. Clau<strong>de</strong> Brezinki escribió en History of Con-<br />

tinued Fractions and Padé Approximations, “El siglo diecinueve pue<strong>de</strong><br />

ser llamado el período popular para fracciones continuadas”. Como<br />

resultado, fué un crecimiento explosivo <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>e este campo. La<br />

teoría <strong>de</strong> fracciones continuadas que significativamente <strong>de</strong>sarrollada, es-<br />

pecialmente lo concerniente a las convergentes. También fueron estudi-<br />

adas fracciones continuadas con variables complejas como términos. Al-<br />

gunos <strong>de</strong> los matemáticos más prominentes que hicieron contribuciones<br />

a este campo incluye a Jacobi, Perron, Gauss, Cauchy, and Stieljes. A<br />

comienzo <strong>de</strong>l siglo XX, la disciplina tiene gran<strong>de</strong>s avances a partir <strong>de</strong>l<br />

trabajo inicial <strong>de</strong> Wallis.<br />

A partir <strong>de</strong>l comienzo siglo XX las fracciones continuadas hacen su<br />

aparición en otro campo. Por ejemplo, las fracciones continuadas han<br />

sido usadas en algoritmos computacionales paracalcular aproximaciones<br />

a números reales, así como también para resolver ecuaciones in<strong>de</strong>termi-<br />

nadas.<br />

Aún cuando su <strong>de</strong>sarrollo inicial parece haber tomado mucho tiempo,


Sergio Plaza 247<br />

una vez que este comenzó, el campo y su análisis creció rápidamente.<br />

Aún hoy en día, fracciones continuadas continuan siendo usadas e inves-<br />

tigadas.<br />

7.1 Fracciones Continuadas<br />

Primero veamos las fracciones continuadas se usan para aproximar un<br />

númeroreal por números racionales. Comenzemos con el siguiente ejem-<br />

plo,<br />

4<br />

11<br />

= 1<br />

11<br />

4<br />

= 1<br />

2+ 3<br />

4<br />

= 1<br />

2+ 1<br />

4<br />

3<br />

=<br />

1<br />

2+ 1<br />

1+ 1<br />

3<br />

=<br />

2+<br />

1<br />

1<br />

1+ 1<br />

2+1<br />

este <strong>de</strong>sarrollo termina en un número finito <strong>de</strong> pasos. <strong>Una</strong> expresión<br />

como la anterior se llama fracción continuada finita.<br />

Definición 7.1 <strong>Una</strong> fracción continuada finita es una expresión <strong>de</strong> la<br />

forma<br />

a0 +<br />

a1 +<br />

1<br />

a2 +<br />

. .. +<br />

1<br />

1<br />

1<br />

an−1 + 1<br />

an<br />

(7.1)<br />

don<strong>de</strong> a0 es un número entero cualquiera y para i = 1,2,...,n, los ai<br />

son números enteros positivos. Denotaremos la expresión 7.1 mediante<br />

el símbolo<br />

[a0;a1,a2,...,an] o a0 +[a1,a2,...,an].


248 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Ejemplo 7.1<br />

[1;2,3,1] = 1+<br />

1<br />

2+ 1<br />

3+ 1<br />

1<br />

= 1+ 1<br />

2+ 1<br />

4<br />

= 1+ 4 13<br />

=<br />

9 9<br />

Es claro que toda fracción continuada finita [a0;a1,a2,...,an] repre-<br />

senta un número racional. Recíprocamente, se tiene el siguente resul-<br />

tado.<br />

Teorema 7.1 Todo número racional pue<strong>de</strong> ser escrito como una fracción<br />

continuada finita.<br />

Demostración. Sea a/b un número racional positivo (caso a/b sea<br />

negativo es análogo). Por el algoritmo <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s, existen<br />

números enteros positivos a1,...,an, tales que<br />

a = ba0 +r1, 0 < r1 < b<br />

b = r1a1 +r2, 0 < r2 < r1<br />

r1 = r2a2 +r3, 0 < r3 < r2<br />

.<br />

rn−2 = rn−1an−1 +rn, 0 < rn < rn−1<br />

rn−1 = rnan.<br />

Estaca<strong>de</strong>nafinita<strong>de</strong>igualda<strong>de</strong>s sepue<strong>de</strong>escribir<strong>de</strong>lafor<strong>mas</strong>iguiente<br />

a<br />

b = a0 + r1<br />

b = a0 + 1<br />

b<br />

r1


Sergio Plaza 249<br />

b<br />

r1<br />

r1<br />

r2<br />

rn−1<br />

rn<br />

= a1 + r2<br />

r1<br />

= a2 + r3<br />

.<br />

= an<br />

r2<br />

= a1 + 1<br />

r1<br />

r2<br />

= a2 + 1<br />

r2<br />

Reemplazando las expresiones rk/rk+1, obtenemos<br />

a<br />

b = a0 +<br />

a1 +<br />

en <strong>otra</strong>s palabras hemos probado que<br />

1<br />

a2 +<br />

. .. +<br />

1<br />

1<br />

r3<br />

1<br />

an−1 + 1<br />

a<br />

b = [a0;a1,a2,...,an] = a0 +[a1,a2,...,an].<br />

Ejemplo 7.2 El número racional 943<br />

, se <strong>de</strong>scompone según el al-<br />

414<br />

gorítmo <strong>de</strong> la división como<br />

943 = 2·414+115<br />

414 = 3·115+69<br />

115 = 1·69+46<br />

69 = 1·46+23<br />

46 = 2·23.<br />

an


250 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Luego su fracción continuada es<br />

943<br />

414<br />

= 2+ 115<br />

414<br />

= 2+ 1<br />

414<br />

115<br />

= 2+<br />

= 2+<br />

= 2+<br />

= 2+<br />

= 2+<br />

1<br />

3+ 69<br />

115<br />

1<br />

3+ 1<br />

3+<br />

3+<br />

3+<br />

115<br />

69<br />

1<br />

1<br />

1+ 46<br />

69<br />

1<br />

1<br />

1+ 1<br />

1+<br />

1<br />

69<br />

46<br />

1<br />

1<br />

1+ 23<br />

46


Sergio Plaza 251<br />

= 2+<br />

3+<br />

1<br />

= [2;3,1,1,2].<br />

1<br />

1+ 1<br />

1+ 1<br />

2<br />

También es inmediato el cálculo <strong>de</strong> 414/943, puesto que<br />

414 1<br />

=<br />

943<br />

943<br />

414<br />

=<br />

1<br />

[2;3,1,1,2]<br />

= [0;2,3,1,1,2].<br />

Esta representación <strong>de</strong> un número racional como fracción continuada<br />

no es única, por ejemplo, si [a0;a1,...,an] es una representación, con<br />

an 2, entonces la cola <strong>de</strong> la fracción continuada es<br />

an−2 +<br />

la cual pue<strong>de</strong> ser reescrita como<br />

an−1 +<br />

1<br />

an−1 + 1<br />

an<br />

1<br />

(an −1)+1 = an−1 +<br />

1<br />

(an −1)+ 1<br />

y por lo tanto tenemos la igualdad <strong>de</strong> las fracciones continuadas<br />

si an = 1, tenemos<br />

[a0;a1,...,an−1,an −1,1] = [a0;a1,...,an]<br />

an−1 + 1<br />

1 = an−1 +1<br />

1


252 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

y entonces [a0;a1,...,an−2,an−1 +1] = [a0;a1,...,an].<br />

Ahora sea x un número real, no es racional, el Teoremaema 1 nos<br />

dice que x no es representable por una fracción continuada finita. Sin<br />

embargo po<strong>de</strong>mos tratar <strong>de</strong> aplicar el mismo algorítmo anterior <strong>de</strong> una<br />

manera espacial, para ellos introduciremos los conceptos parte entera y<br />

parte fraccional <strong>de</strong> un número real.<br />

Definición 7.2 La parte entera, [x], <strong>de</strong> un número real x es el mayor<br />

número entero menor o igual que x. La parte fraccionaria, (x), <strong>de</strong> x<br />

es (x) = x−[x].<br />

Observemos que 0 (x) < x−[x] 1. Por <strong>otra</strong> parte, tenemos que<br />

x−[x] = 0 si y sólo si x es entero.<br />

Ejemplo 7.3<br />

<br />

943<br />

= 2 y<br />

414<br />

<br />

943<br />

=<br />

414<br />

115<br />

414 .<br />

Ahora sea x un número real no nulo. Usando lo anterior po<strong>de</strong>mos<br />

escribir x = [x]+(x−[x]) = [x]+(x). Llamemos r0 = [x] y r1 = (x),<br />

entonces 0 < r1 < 1, y po<strong>de</strong>mos escribir<br />

x = x+r1 = [x]+ 1<br />

1<br />

r1<br />

,<br />

1<br />

r1<br />

> 1.<br />

Aplicamos el proceso anterior a 1/r1 y po<strong>de</strong>mos escribir<br />

1<br />

r1<br />

<br />

1<br />

= +r2, 0 < r2 < 1<br />

r1


Sergio Plaza 253<br />

don<strong>de</strong> r2 = [1/r1]−1/r1 es la parte fraccionaria <strong>de</strong> r1. Continuando<br />

<strong>de</strong> este modo po<strong>de</strong>mos escribir<br />

x = a0 +<br />

<br />

1<br />

r1<br />

= a0 +<br />

<br />

1<br />

.<br />

r1<br />

<br />

+<br />

<br />

+<br />

1<br />

1<br />

<br />

1<br />

<br />

+r3<br />

r2<br />

1<br />

r2<br />

1<br />

<br />

+<br />

1<br />

1<br />

<br />

1<br />

<br />

+r3<br />

Este proceso termina cuando tenemos algún rℓ = 0, en cuyo caso el<br />

número es racional como vimos arriba. Si el proceso no acaba en un<br />

número finito <strong>de</strong> pasos, el número en cuestión es irracional.<br />

El algoritmo anterior asocia a cada número real x una fracción con-<br />

tinuada finita<br />

ck = [a0;a1,a2,...,ak]<br />

don<strong>de</strong> aℓ = [1/rℓ] y rℓ = [1/rℓ−1]−1/rℓ.<br />

A continuación damos algunas proposiciones básicas sobre fracciones<br />

continuadas, ¿¿su <strong>de</strong>mostración ver [3] , [4] o [5]??.<br />

Dados un número real x y un número natural k, consi<strong>de</strong>remos la<br />

fracción continuada finita, ck = [a0;a1,a2,...,ak] asociada, es <strong>de</strong>cir,<br />

r3


254 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

ck = a0 +<br />

1<br />

1<br />

a1 +<br />

1<br />

a2 +<br />

. ..ak−2 +<br />

1<br />

ak−1 + 1<br />

don<strong>de</strong><br />

1<br />

x = a0 +<br />

1<br />

a1 +<br />

1<br />

a2 +<br />

. 1<br />

..ak−2 +<br />

1<br />

ak−1 +<br />

ak +rk<br />

Asociado con ck, <strong>de</strong>finimos los siguientes números<br />

y<br />

ak<br />

(7.2)<br />

(7.3)<br />

p−2 = 0, p−1 = 1, pi = aipi−1 +pi−2, para i 2 (7.4)<br />

q−2 = 1, q−1 = 0, qi = aiqi−1 +qi−2, para i 2 (7.5)<br />

Se tiene q0 = 1, q1 = a1q0 q0,...,qi = aiqi−1 + qi−2 qi−1, es<br />

<strong>de</strong>cir, 1 = q0 q1 ··· qn ···.<br />

Teorema 7.2 Con las notaciones anteriores,<br />

1.- Dados un número real r y un número entero n 0, entonces<br />

[a0;a1...,an−1,r] = rpn−1 +pn−2<br />

.<br />

rqn−1 +qn−2


Sergio Plaza 255<br />

2.- Para cada número entero n 0, rn = pn<br />

.<br />

3.-<br />

y mcd(pn,qn) = 1.<br />

qn<br />

pn ·qn−1 −pn−1 ·qn = (−1) n−1 , n 1<br />

rn −rn−1 = (−1)n−1<br />

, n 1<br />

qn ·qn−1<br />

pnqn−2 −pn−2qn = (−1) n an, n 2<br />

rn −rn−2 = (−1)nan , n 2<br />

qn ·qn−2<br />

Ahora mostraremos que un número real, no racional, x pue<strong>de</strong> ser<br />

aproximado tanto cuanto se <strong>de</strong>see por números racionales.<br />

Teorema 7.3 Sea x un número real arbitrario. Dado un número real<br />

ε > 0 cualesquiera, existe un número racional qε tal que |x−qε| < ε.<br />

Demostración. Sabemos que<br />

y<br />

Luego<br />

x = [a0;a1,...,an,rn] = rn ·pn−1 +pn−2<br />

rn ·qn−1 +qn−2<br />

cn = [a0;a1,...,an].<br />

x−cn−1 = rn ·pn−1 +pn−2<br />

rn ·qn−1 +qn−2<br />

− pn−1<br />

qn−1


256 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

= − pn−1 ·qn−2 −pn−2qn−1<br />

qn−1(rn ·qn−1 +qn−2<br />

(−1)<br />

=<br />

n−1<br />

qn−1(rn ·qn−1 +qn−2) .<br />

Como la sucesión (qn)n∈N crece in<strong>de</strong>finidamente y rn > 0, se tiene<br />

que x−cn−1 escadavezmáspróxima<strong>de</strong>cerocuando n crecein<strong>de</strong>finida-<br />

mente. Por <strong>otra</strong> parte, es fácil ver que dado ε > 0 existe un número<br />

natural n0 tal que 1<br />

< ε. Tomamos n0 suficientemente gran<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

n0<br />

modo que |x − cn−1| < 1<br />

pedido.<br />

n0<br />

< ε y eliguiendo qε = cn−1 se tiene lo<br />

Las fracciones continuada finitas cn, son llamadas las convergentes<br />

<strong>de</strong> x.<br />

Ejemplo 7.4 Busquemos el <strong>de</strong>sarrollo en fracción continuada <strong>de</strong> √ 2.<br />

Tenemos<br />

√ 2 = 1+( √ 2−1)<br />

1<br />

= 1+<br />

1+ √ 2<br />

1<br />

= 1+<br />

1<br />

2+<br />

1+ √ 2<br />

1<br />

= 1+<br />

1<br />

2+<br />

1<br />

2+<br />

1+ √ 2<br />

.


Sergio Plaza 257<br />

Por lo tanto √ 2 = [1;2,2,2,2,2,2,...]. Esta fracción continuada es<br />

periódica infinita. Como ejercicio el lector pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollar las aproxi-<br />

maciones ck, k = 1,2,3,... para √ 2.<br />

Ejemplo 7.5 Consi<strong>de</strong>remos la ecuación cuadrática x 2 = ax+1, don<strong>de</strong><br />

a es un número entero positivo. Tenemos<br />

x = a+ 1<br />

x<br />

= a+ 1<br />

= a+<br />

.<br />

a+ 1<br />

x<br />

a+<br />

1<br />

1<br />

a+ 1<br />

a+ 1<br />

x<br />

luego x = [a;a,a,a,...]. Para a = 1 se tiene x = 1+√ 5<br />

2<br />

tanto 1+√ 5<br />

2<br />

, y por lo<br />

= [1;1,1,1,1,...]. Ahora, si escribimos las convergentes<br />

<strong>de</strong> la fracción continuada <strong>de</strong> 1+√ 5<br />

2<br />

1, 1+ 1<br />

1<br />

2 1<br />

= , 1+<br />

1<br />

1+ 1<br />

1<br />

, tenemos<br />

= 3<br />

, 1+<br />

2<br />

1<br />

1+ 1<br />

1+ 1<br />

1<br />

= 5<br />

3 ,<br />

los siguientes términos <strong>de</strong> esta sucesión son 8/5, 13/8, 21/13,....<br />

Observemos que los <strong>de</strong>nominadores <strong>de</strong> la sucesión anterior vienen dados


258 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

por la sucesión<br />

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...<br />

es <strong>de</strong>cir, vienen dados por la sucesión<br />

f0 = 1, f1 = 1 y fn+1 = fn +fn−1, n 2,<br />

la cual no es <strong>otra</strong> que la sucesión <strong>de</strong> sucesión <strong>de</strong> Fibonacci<br />

7.2 Aplicación <strong>de</strong> Gauss<br />

Al parecer Gauss fué el primero en preocuparse <strong>de</strong>l estudio <strong>de</strong> la parte<br />

fraccional en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> un número en fracción continuada, para<br />

ello consi<strong>de</strong>ró la aplicación G : [0,1[→ [0,1[ <strong>de</strong>finida por<br />

⎧<br />

0 si x = 0 ,<br />

⎪⎨<br />

G(x) =<br />

⎪⎩<br />

1<br />

(mod 1), si x = 0 .<br />

x<br />

Gráfico <strong>de</strong> G.<br />

Conestaaplicación, elalgoritmoparaencontrarlafraccióncontinuada<br />

<strong>de</strong> un número real x, se escribe como sigue<br />

<br />

1<br />

rk+1 = = G(rk)<br />

rk


Sergio Plaza 259<br />

ak+1 =<br />

1<br />

rk<br />

<br />

, k = 0,1,2,....<br />

Ahora si x0 = [a1,a2,a3,a4,...] ∈ [0,1[, entonces G(x0) = x1 =<br />

[a2,a3,a4,...], G(x1) = x2 = [a3,a4,...] y así sucesivamente. De-<br />

notemos por G ◦k la composicón <strong>de</strong> G consigo misma k veces, es <strong>de</strong>cir,<br />

G ◦k = G◦G◦···◦G, k–veces. Decimos que un punto x0 es periódico<br />

<strong>de</strong> período k 1 para G, si G ◦k (x0) = x0, cuando k = 1 <strong>de</strong>ci-<br />

mos que x0 es un punto fijo <strong>de</strong> G. Por ejemplo, x0 = [1,2,1,2,...]<br />

es periódico <strong>de</strong> período 2, pues x1 = G(x0) = [2,1,2,1,...], x2 =<br />

G(x1) = [1,2,1,2,...], esto es, G◦G(x0) = x0.<br />

Es fácil ver que existen infinitos puntos periódicos para G, para ello<br />

bastatomar unbloque<strong>de</strong>longitud m <strong>de</strong>enteros positivos k1,k2,...,km<br />

y formar el número x0 = [k1,k2,...,km,k1,k2,...,km,...]. Un cálculo<br />

sencillo muestra que si x0 es un punto periódico <strong>de</strong> G entonces es<br />

solución <strong>de</strong> una ecuación cuadrática con coeficientes enteros.<br />

Más general, se tiene<br />

Teorema 7.4 (Galois) Un número real x tiene una fracción continua-<br />

da periódica, incluyendo el primer entero n0 si y sólo si x es solución<br />

<strong>de</strong> una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. A<strong>de</strong>más, la <strong>otra</strong><br />

raíz pertenece al intervalo ]−1,0[.<br />

Ejemplo 7.6 La razón aúrea, τ = 1+√5 , es solución <strong>de</strong> la ecuación<br />

2<br />

τ2 − τ − 1 = 0 y como vimos arriba su fracción continuada es τ =<br />

1+[1,1,1,1,...] y la <strong>de</strong> 1/τ es 1/τ = [1,1,1,1,1...].<br />

Decimos que x0 es finalmente periódico, si para algún entero positivo<br />

k 2, se tiene que xk = G ◦k (x0) es periódico para G, por lo visto


260 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

arriba su fracción continuada tiene la forma<br />

x0 = [a1,a2,...,ak,n1,...,nℓ,n1,...,nℓ,...].<br />

Estos punto tienen una caracterización sencilla dada por el siguiente<br />

Teorema 7.5 (Lagrange) Un punto x0 es finalmente periódico para<br />

G si y sólo si es solución <strong>de</strong> una ecuación cuadrática con coeficientes<br />

enteros.<br />

Cuando x no es solución <strong>de</strong> ninguna ecuación cuadrática con coefi-<br />

cientes enteros, su fracción continuada pue<strong>de</strong> ser muy irregular, ver por<br />

ejemplo ¿el artículo <strong>de</strong> Carlos Tamm en este mismo número.?<br />

7.3 Aproximaciones racionales por fracciones<br />

continuadas<br />

Probaremos primero que los <strong>de</strong>nominadores <strong>de</strong> las convergentes <strong>de</strong> frac-<br />

ciones continuadas crecen.<br />

Lema 7.1 Sean a0,a1,... una sucesión <strong>de</strong> enteros, con ak > 0 para<br />

todo k 1. Definamos<br />

p0 = a0, q0 = 1<br />

p1 = a1a0 +1, q1 = a1<br />

pk = akpk−1 +pk−2, qk = akqk−1 +qk−2, k 2.<br />

Entonces qk+1 > qk para todo k > 0.


Sergio Plaza 261<br />

Demostración. Sea k > 0. Note que qk−1 es un entero positivo.<br />

Luego,<br />

qk+1 = ak+1qk +qk−1 > ak+1qk 1·qk = qk,<br />

pues ak+1 1, ya que aj son todos enteros positivos para todo j 1.<br />

Las convergentes <strong>de</strong> una fracción continuada oscilan alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l<br />

valorlímite, ylasconvergentes sonsiemprefraccionesentérminosmenores.<br />

De hecho, las convergentes con la mejor aproximación racional al valor<br />

<strong>de</strong> la fracción continuada. Establecemos esto en forma más precisa.<br />

Teorema 7.6 Sea x un número irracional, y sea ck = pk<br />

qk<br />

la k–ésima<br />

convergente en la expansión <strong>de</strong> fracción continuada <strong>de</strong> x. Supongamos<br />

que p,q ∈ Z, con q > 0, y<br />

Entonces q qk+1.<br />

|qx −p| < |qkx−pk|.<br />

Antes <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar este teorema, veamos su significado geométrico.<br />

En el plano (t,y) dibujemos la recta <strong>de</strong> pendiente x a través <strong>de</strong>l origen.<br />

Marquemoslospuntos (p,q) y (pk,qk). Lahipótesis |qx−p| < |qkx−pk|<br />

nos dice que las distancias vérticales <strong>de</strong>s<strong>de</strong> (q,p) a y = tx es menor<br />

que la distancia vertical <strong>de</strong>s<strong>de</strong> (qk,pk) para y = xt.<br />

La conclusión dice que q > qk+1. De hecho, como qk+1 > qk, q ><br />

qk¿¿?? . El <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> p/q es mayor que el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong><br />

pk/qk. En <strong>otra</strong>s palabras, la única manera que el punto (p,q) sea más<br />

próximo a la linea y = xt es que su y–coor<strong>de</strong>nada es mayor. Po<strong>de</strong>mos<br />

reformular el teorema en la forma <strong>de</strong> un corolario en el cual po<strong>de</strong>mos<br />

ver las fracciones en cuestión aproximando a x.


262 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Corolario 7.1 Sea x un número irracional, y sea ck = pk<br />

qk<br />

la k–ésima<br />

convergente en la expansión en fracción continuada <strong>de</strong> x. Supongamos<br />

que p,q ∈ Z, q > 0, y<br />

Entonces q > qk.<br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

x− <br />

q<br />

<<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

pk<br />

x−<br />

qk<br />

Demostración. Supongamos lo contrario, es <strong>de</strong>cir, q < qk. Ahora,<br />

como<br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

x− <br />

q<br />

<<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

pk<br />

x−<br />

qk<br />

<br />

<br />

<br />

.<br />

multiplicando esas dos <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s obtenemos<br />

<br />

<br />

<br />

,<br />

|qx−p| < |qkx−pk|.<br />

Del teorema 7.6 obtenemos q qk+1, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> qk q qk+1, lo<br />

cual contradice el hecho que los qj son crecientes. Por lo tanto, q > qk.<br />

Este resultado dice que la única manera que un número racional p<br />

q<br />

pue<strong>de</strong> a una fracción continuada mejor que una convergente pk<br />

es si la<br />

fracción tiene mayor <strong>de</strong>nominador que el <strong>de</strong> la convergente.<br />

Ejemplo 7.7 En la tabla siguiente se dan las convergentes <strong>de</strong> la ex-<br />

pansión en fracción continuada <strong>de</strong> π.<br />

qk


Sergio Plaza 263<br />

ak pk pk ck<br />

7 3 1 3<br />

7 22 7 22<br />

7<br />

15 333 106 333<br />

106<br />

1 355 113 35<br />

113<br />

292 103993 33102 103993<br />

33102<br />

Ahora, 103993<br />

= 3.1415926530119026040··· y vemos que<br />

33102<br />

<br />

<br />

<br />

103993<br />

33102 −π<br />

<br />

<br />

<br />

≈ 0.57789063··· ×10−9 .<br />

El teorema 7.6 dicequeunafracción p<br />

q<br />

a π que 103993<br />

sólo si q > 33102.<br />

33102<br />

pue<strong>de</strong>ser mayor aproximación<br />

El próximo resultado es una especie <strong>de</strong> recíproco a los dos resultados<br />

anteriores.<br />

Éste dice que si un número racional aproxima a un número<br />

irracional x “suficientemente bien”, entonces el número racional <strong>de</strong>be<br />

ser una convergente en la expansión en fracción continuada <strong>de</strong> x.<br />

Teorema 7.7 Sea x un número irracional, y sea p<br />

un número racional,<br />

q<br />

con mcd(p,q) = 1, y q > 0. Supongamos que<br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

x− <br />

1<br />

q<br />

< .<br />

2q2 Entonces p<br />

es una convergente en la expansión en fracción continuada<br />

q<br />

para x.<br />

Demostración. Como qk k para k 0, la sucesión (qn)n∈N es una<br />

sucesión <strong>de</strong> enteros positivos estrictamente creciente.


264 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Por lo tanto para algún k, se tiene que qk q qk+1. Como<br />

q < qk+1, <strong>de</strong>l teorema anterior obtenemos<br />

<br />

<br />

|qkx−pk| |qx −p| = q<br />

p<br />

x− <br />

q<br />

1 1<br />

< q =<br />

2q2 2q .<br />

<br />

pk<br />

Luego <br />

x− <br />

1<br />

qk<br />

< .<br />

2qqk<br />

Supongamos que p<br />

no es una convergente en la expansión en fracción<br />

q<br />

continuada para x. En particular, p pk<br />

= , luego qpk = pqk y |qpk −<br />

q qk<br />

pqk| es un entero positivo.<br />

Como |qpk −pqk| 1, se tiene<br />

1<br />

qqk<br />

1<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> <<br />

qqk<br />

1<br />

2qqk<br />

<strong>de</strong>sigualdad obtenemos<br />

|qpk −pqk|<br />

qqk<br />

=<br />

<br />

<<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

pk<br />

qk<br />

pk<br />

qk<br />

1<br />

2qqk<br />

<br />

<br />

= <br />

<br />

pk<br />

qk<br />

−x+x− p<br />

<br />

<br />

<br />

q<br />

<br />

<br />

−x<br />

+<br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

x− <br />

q<br />

+ 1<br />

2q 2<br />

+ 1<br />

, restando<br />

2q2 1<br />

2qqk<br />

< 1<br />

2q 2,<br />

1<br />

2qqk<br />

− p<br />

<br />

<br />

<br />

q<br />

a ambos lados <strong>de</strong> esta<br />

luego q < qk. Pero hemos supuesto que qk q. Esto es una con-<br />

tradicción.


Sergio Plaza 265<br />

Por lo tanto, p<br />

q<br />

tinuada para x.<br />

es una convergente en la expansión en fracción con-<br />

Ejemplo 7.8 La fracción 355<br />

es la mejor aproximación a π por una<br />

113<br />

fracción que tiene <strong>de</strong>nominador menor que 1000.<br />

En efecto, supongamos que p<br />

es una fracción irreducible con q <<br />

q<br />

1000. Supongamos a<strong>de</strong>más que<br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

π − <br />

q<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

355<br />

π − <br />

113<br />

.<br />

En <strong>otra</strong>s palabras, supongamos que p<br />

es al menos una buena aproxi-<br />

q<br />

mación como 355<br />

113 a π. Como q < 1000, se tiene 2q2 < 2000000, luego<br />

<br />

1<br />

1<br />

><br />

2q2 2000000 = 5×10−7 . Pero<br />

Luego<br />

1<br />

2q 2 > 5×10−7 ><br />

<br />

<br />

355<br />

π − <br />

113<br />

≈ 2.6676418 ×10−7 .<br />

<br />

<br />

<br />

355<br />

π − <br />

113<br />

><br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

π − <br />

q<br />

.<br />

Las hipótesis <strong>de</strong>l teorema son satisfechas, luego p/q <strong>de</strong>be ser una<br />

convergente en la expansión en fracción continuada para x. Por lo que<br />

supusimos, ella aproxima π al menos tan bien como 355<br />

. Por <strong>otra</strong><br />

113<br />

parte, las <strong>otra</strong>s convergentes 3, 22<br />

7<br />

, 333<br />

106<br />

con <strong>de</strong>nominadores menores<br />

que 1000 son aproximaciones a π más pobres que la aproximación 355<br />

113 .<br />

Luego la única posibilidad es p<br />

q<br />

= 355<br />

113 .


266 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

7.4 Fracciones Continuas y Geometría<br />

Como una aplicación <strong>de</strong> las fracciones continuas, vamos a probar que<br />

√ 2 es irracional. Consi<strong>de</strong>remos la figura siguiente,<br />

en la figura, AD y AE son segmentos <strong>de</strong> una secante a través <strong>de</strong>l cículo<br />

con centro en C. AB es tangente al arco con centro en C. Por lo tanto<br />

tenemos AB 2 = AE ·AD <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />

AB AE<br />

=<br />

AD AB ,<br />

BC = AB ,<br />

AE = AD +DE = AD +2BC ,<br />

De estas igualda<strong>de</strong>s se obtiene que<br />

BC<br />

AD<br />

= AB<br />

AD<br />

= AE<br />

AB<br />

= AD +2BC<br />

AB<br />

= AD +2AB<br />

AB<br />

= 2+ AD<br />

AB<br />

Ahoradadouncuadradounitarioyarcos <strong>de</strong>círculos comoenlafigura,<br />

tenemos, AC 2 = AB 2 +BC 2 = 1 2 +1 2 = 2. Por lo tanto, AC = √ 2.


Sergio Plaza 267<br />

Luego,<br />

por lo tanto,<br />

√ 2 = AC<br />

BC<br />

= 1+<br />

= CD+AD<br />

BC<br />

1<br />

2+ AD<br />

AB<br />

AC<br />

BC =<br />

√<br />

2<br />

1<br />

= 1+<br />

= 1+ AD<br />

BC<br />

1<br />

2+ 1<br />

AB<br />

AD<br />

= 1+ 1<br />

= 1+<br />

BC<br />

AD<br />

2+<br />

1<br />

1<br />

2+ AD<br />

AB<br />

repitiendo el proceso anterior con AD/AB, se ve que la fracción con-<br />

tinua anterior no termina en un número finito <strong>de</strong> paso, por lo tanto, el<br />

número √ 2 no pue<strong>de</strong> ser racional.<br />

7.5 Ecuaciones <strong>de</strong> Pell<br />

Observemos que si P es un número entero que no sea un cuadrado<br />

perfecto entonces<br />

√ P = [a1;a2,...,an,2a1,a2,...,2a1,a2,...]<br />

para algún número natural n.<br />

<strong>Una</strong> ecuación <strong>de</strong> Pell es una ecuación cuadrática <strong>de</strong> la forma<br />

x 2 −Py 2 = 1 (7.6)<br />

don<strong>de</strong> P es un número natural. Ya estudiamos ecuaciones lineales <strong>de</strong><br />

este tipo (ecuaciones Diofánticas).<br />

Proposición 7.1 Existen soluciones enteras x e y para la ecuación<br />

<strong>de</strong> Pell.


268 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Demostración. Tenemos que<br />

√ P = [a1;a2,...,an,2a1,a2,...],<br />

para algún número natural n, es <strong>de</strong>cir,<br />

√ P = a1 +<br />

a2 +<br />

a3 +<br />

. ..an−1 +<br />

1<br />

1<br />

an +<br />

1<br />

1<br />

1<br />

a1 +a1 +<br />

1<br />

= a1 +<br />

1<br />

a2 +<br />

1<br />

a3 +<br />

. 1<br />

..an−1 +<br />

1<br />

an +<br />

a1 + √ P<br />

escribiendo, an+1 = a1 + √ P , se tiene<br />

cn = rn+1/sn+1 = √ P = an+1 ·rn +rn−1<br />

an+1 ·sn +sn−1<br />

1<br />

a2 + 1<br />

. ..<br />

reemplazando el valor <strong>de</strong> an+1 = a1 + √ P en esta última ecuación<br />

obtenemos,<br />

esto es,<br />

√ P<br />

<br />

√ P = (a1 + √ P)rn +rn−1<br />

(a1 + √ P)sn +sn−1<br />

(a1 + √ P)sn +sn−1<br />

<br />

= (a1 + √ P)rn +rn−1


Sergio Plaza 269<br />

√<br />

sn P(a1 + √ √ √<br />

P)+sn−1 P = a1rn +rn P +rn−1<br />

√ √ √ √<br />

P +sn P +sn−1 P = a1rn +rn−1 +rn P<br />

snP +(a1sn +sn−1) √ √<br />

P = a1rn +rn−1 +rn P (7.7)<br />

a1sn<br />

como √ P es irracional, <strong>de</strong> la ecuación (3.14) se tienen las ecuaciones<br />

snP = a1rn +rn−1<br />

rn = a1sn +sn−1 .<br />

De estas últi<strong>mas</strong> se <strong>de</strong>rivan las siguientes ecuaciones para rn−1 y sn−1<br />

rn−1 = snP −a1rn<br />

(7.8)<br />

sn−1 = rn −a1sn . (7.9)<br />

Por <strong>otra</strong> parte, sabemos quernsn−1−snrn−1 = (−1) n y reemplazando<br />

los valores <strong>de</strong> rn−1 y sn−1 dados por las ecuaciones (3.15) y (3.16) en<br />

esta última igualdad se tiene que<br />

rn(rn −a1sn)−sn(snP −a1rn) = (−1) n<br />

r 2 na1rnsn −s 2 nP +a1snrn = (−1) n<br />

r 2 n −Ps 2 n = (−1) n<br />

es <strong>de</strong>cir, u = rn y v = sn son soluciones <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> la ecuación<br />

x 2 − Py 2 = (−1) n . Por lo anterior, para encontrar soluciones enteras<br />

<strong>de</strong> la ecuación x 2 − Py 2 = (−1) n , buscamos la expansión en fracción<br />

continua <strong>de</strong> √ P y formamos la tabla <strong>de</strong> las convergentes. Si n es el<br />

número <strong>de</strong> término en la expansión en fracción continua <strong>de</strong> √ P antes<br />

que vuelva a aparecer por primera vez el término 2a1, llamando x e y<br />

al numerador y <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> la n-ésima convergente <strong>de</strong> la expansión<br />

en fracción continua <strong>de</strong> √ P , se tiene que ellos son números enteros que<br />

satifacen la ecuación x 2 − Py 2 = (−1) n . Por lo tanto, <strong>de</strong> lo anterior


270 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

tenemos que si n es par, entonces x e y son soluciones <strong>de</strong> la ecuación<br />

(3.13).<br />

A<strong>de</strong>más si n es impar, tomamos x = r2n e y = s2n en la expansión<br />

anterior y tenemos que ellos son soluciones <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> Pell, pues<br />

paratodo n ∈ N , elnúmero 2n espary (r2n) 2 −P(s2n) 2 = (−1) 2n = 1.


Capítulo 8<br />

Proble<strong>mas</strong> resueltos<br />

Problema 8.1 Pruebe que la ecuación<br />

tiene infinitas soluciones.<br />

Solución.<br />

x 3 +1991y 3 = z 4<br />

<strong>de</strong> lo cual se obtiene que x = 1992.<br />

Entonces el trío x0 = 1992, y0 = 1992, z0 = 1992 es una solución<br />

<strong>de</strong> la ecuación.<br />

Claramente, si k es un número entero positivo y u0, v0, w0, es<br />

un trío solución <strong>de</strong> la ecuación, entonces el trío k 4 u0, k 4 v0, k 3 w0 es<br />

también una solución. Como k es arbitrario, se ha encontrado una<br />

infinidad <strong>de</strong> ellas.<br />

Problema 8.2 Sean p y q enteros positivos. Demuestre que 2 p +1 =<br />

q 2 implica que p = q = 3.<br />

271


272 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Solución. Notemos que encontrando q se obtiene inmediatamente p<br />

y que la igualdad pue<strong>de</strong> ser escrita como 2 p = (q − 1)(q + 1). Esto<br />

significa que (q −1) divi<strong>de</strong> a 2 p . Aplicando el Teorema Fundamental<br />

<strong>de</strong> la Aritmética (R.F.A) se obtiene que necesariamente (q −1) es una<br />

potencia <strong>de</strong> 2. En resumen, se tiene que (q−1) = 2 n , con n p, y por<br />

lo tanto la igualdad se transforma en<br />

2 p = 2 n ·(2 n +2) = 2 n ·2(2 n−1 +1) = 2 n+1 ·(2 n−1 +1).<br />

De esta igualdad se <strong>de</strong>duce que (2 n−1 +1) <strong>de</strong>be ser una potencia <strong>de</strong> 2<br />

(por T.F.A), y esto suce<strong>de</strong> su y solamente si n = 1. Por lo tanto q = 3<br />

y p = 3.<br />

Problema 8.3 Sea n un número entero mayor que 1. Demuestre que<br />

4 n +n 4 no es primo.<br />

Solución. Si n es par la expresión z = 4 n +n 4 es divisible por 2, luego<br />

no es primo. Supongamos que n = 2k + 1, con k un entero k 1.<br />

Entonces z = (2 2k+1 ) 2 + (n 2 ) 2 . Sumando 2n 2 · 2 2k+1 se completa el<br />

cuadrado <strong>de</strong>l binomio, es <strong>de</strong>cir,<br />

z +2n 2 ·2 2k+1 = (2 2k+1 +n 2 ) 2 .<br />

Despejando z en esta igualdad se obtiene que<br />

z =<br />

=<br />

=<br />

<br />

2 2k+1 +n 2 2<br />

−2 2(k+1) n 2<br />

<br />

2 2k+1 +n 2 2 <br />

− 2 k+1 2 n<br />

<br />

<br />

2 2k+1 +n 2 −n 2 −2 k+1 n<br />

<br />

· 2 2k+1 +n 2 +2 k+1 <br />

n


Sergio Plaza 273<br />

Para finalizar basta con probar que las expresiones entre paréntesis<br />

<strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha en la última igualdad son mayores que 1. Claramente<br />

la segunda expresión es mayor que uno. Examinaremos la primera <strong>de</strong><br />

ellas. Supongamos que 2 2k+1 + n 2 − 2 k+1 n = 1. Entonces se obtiene<br />

que n−2 k 2 +2 2k = 1, lo cual se cumple solamente si k = 0, lo cual,<br />

a su vez, no está permitido por hipótesis.<br />

Problema 8.4 Determine todos los números enteros positivos que son<br />

soluciones <strong>de</strong> la ecuación x 3 −y 3 = 602.<br />

Solución. Algebraicamente se tiene la <strong>de</strong>scomposición<br />

x 3 −y 3 = (x−y)(x 2 +xy +y 2 ).<br />

A<strong>de</strong>más x−y < x 2 +xy+y 2 si x,y son enteros positivos. Notemos<br />

que la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong> 602 = 2 · 7 · 43. Se <strong>de</strong>be resolver,<br />

entonces,<br />

x−y = A<br />

x 2 +xy +y 2 = B,<br />

don<strong>de</strong> A < B. Experimentando con los pares (A,B) posible (1,602),<br />

(2,301), (7,86) y (14,43), se obtiene que el único que produce solu-<br />

ciones enteras es (2,301), a saber x = 1 e y = 9.<br />

Problema 8.5 El producto <strong>de</strong> ciertos tres números pares consecutivos<br />

estádadopor 88xxxxx2, don<strong>de</strong>cada x representaundígito. Determine<br />

los dígitos faltantes.


274 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Solución. Se tiene que 88 · 10 6 < (n − 2)n(n + 2) = n 3 − 4n < n 3 .<br />

Como 440 3 < 88·10 6 < 450 3 = 91.125.000, el número n es superior o<br />

igual a 442.<br />

Tres números pares consecutivos terminan en una <strong>de</strong> las cinco for<strong>mas</strong><br />

posibles: 0, 2, 4; o 2, 4, 6; o 6, 8, 0; u 8, 0, 2; y la única forma en<br />

que el último dígito <strong>de</strong>l producto sea 2 es 4, 6, 8. Resulta entonces que<br />

los números son 444, 446, 448,cuyo producto es 88714752. Los dígitos<br />

faltantes son, por tanto, 7, 1, 4, 7 y 5.<br />

Problema 8.6 Determinar para cuáles números primos p se cumple<br />

que 2 p +p 2 es primo.<br />

Solución. Notemos que p = 2 y p = 3 producen los números 8 y 17,<br />

compuesto en el primer caso y primo en el segundo. Basta consi<strong>de</strong>rar<br />

entonces primos p > 2.<br />

Consi<strong>de</strong>remos congruencia módulo 3. Sabemos que p <strong>de</strong>be satisfacer<br />

una y sólo una <strong>de</strong> las congruencias siguientes<br />

p ≡ 0 (mod 3), p ≡ 1 (mod 3), p ≡ −1 (mod 3).<br />

Claramente, el primer caso sólo se pue<strong>de</strong> dar si p = 3, puesto que <strong>de</strong><br />

<strong>otra</strong> manera p sería un número compuesto.<br />

Aplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> congruencia en cualquiera <strong>de</strong> los dos<br />

casos restantes se obtiene que p 2 ≡ 1 (mod 3).<br />

Por otro lado, como 2 ≡ −1 (mod 3) se obtiene 2 p ≡ (−1) p (mod 3).<br />

A<strong>de</strong>más p es impar, luego 2 p ≡ −1 (mod 3).<br />

En resumen, 2 p ≡ −1 (mod 3) y p 2 ≡ 1 (mod 3). Aplicando las<br />

propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las congruencias con respecto a la suma se obtiene final-<br />

mente que


Sergio Plaza 275<br />

2 p +p 2 ≡ 0 (mod 3).<br />

Pero entonces 2 p +p 2 es siempre divisible por 3 si p > 3. Luego<br />

el único caso es p = 3.<br />

Problema 8.7 Determinartodoslosenteros positivos n paraloscuales<br />

la expresión 2 n +1 es divisible por 3.<br />

Solución. Consi<strong>de</strong>remoscongruenciamódulo3. Entonces, 2 ≡ −1(mod 3)<br />

implica que 2 n ≡ (−1) n (mod 3), luego 2 n +1 ≡ [(−1) n +1] (mod 3)<br />

Luego, si n es impar, 2 n + 1 ≡ 0 (mod 3), es <strong>de</strong>cir, 2 n + 1 es<br />

divisible por 3 para todo n impar. A<strong>de</strong>más, si n es par se obtiene que<br />

2 n +1 ≡ 2 (mod 3). Luego 2 n +1 no es nunca divisible por 3 si n es<br />

par.<br />

Problema 8.8 Sean a y b números naturales tales que su máximo<br />

común divisor es d. Probar que hay exactamente d números <strong>de</strong>l con-<br />

junto {a,2a,3a,...,(b−1)a,ba} que son divisibles por b.<br />

Solución. Si d = mcd(a,b) entonces d|a y d|b, es <strong>de</strong>cir, existen<br />

enteros r,s tales que a = rd y b = sd, con mcd(r,s) = 1. Luego el<br />

conjunto en cuestión pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribirse como sigue<br />

{rd,2rd,3rd,···,(b−1)rd,brd} = {krd : k = 1,2,···,b}.<br />

Al dividir cada número <strong>de</strong>l conjunto por b = sd, se obtiene resto<br />

cero si y solamente si s divi<strong>de</strong> a k (notar que mcd(r,s) = 1). Como<br />

b = sd, esto suce<strong>de</strong> exactamente d veces.


276 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 8.9 <strong>Una</strong> sucesión <strong>de</strong> números a1,a2,a3,... es formada <strong>de</strong><br />

acuerdo a la siguiente regla a1 = 19, a2 = 77, y<br />

an = 1−an−1<br />

, para n > 2.<br />

an−2<br />

Calcule el término a1992 <strong>de</strong> esta sucesión.<br />

Solución. Como a1 = 0 y a2 = 0, setieneque a1+a2 = 1. Calculemos<br />

los primos términos <strong>de</strong> la sucesión<br />

a3 = 1−a2<br />

a1<br />

a4 = 1−a3<br />

a2<br />

a5 = 1−a1<br />

a2<br />

a6 = a1,a7 = a2<br />

.<br />

= (a1 +a2 −1)<br />

a1a2<br />

Como cada término sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los dos inmediatamente anteri-<br />

ores, se sigue que ella se repite en ciclos <strong>de</strong> cinco términos. Ahora, como<br />

1992 ≡ 2 (mod 5), se tiene que a1992 = a2 = 77.<br />

Problema 8.10 Pruebe que, para todo número natural n 2,<br />

no es número entero.<br />

1+ 1 1 1<br />

+ +·+<br />

2 3 n<br />

Solución. Denotemos por A(n) el conjunto <strong>de</strong> los primeros n números<br />

naturales, es <strong>de</strong>cir,


Sergio Plaza 277<br />

A(n) = {1,2,3,...,n}<br />

Po<strong>de</strong>mos suponer que n es un número que se encuentra entre 2 ℓ y<br />

2 ℓ+1 para algún ℓ > 1, es <strong>de</strong>cir, n = 2 ℓ +k, con 0 k < 2 ℓ . Luego los<br />

números <strong>de</strong>la forma 2 m , con m 1, están en dicho conjunto, y a<strong>de</strong>más<br />

ellos son divisores <strong>de</strong> un números z si y sólo si en la <strong>de</strong>scomposición<br />

primaria <strong>de</strong> z aparecer 2 ℓ .<br />

Para sumar la expresión pedida se necesita calcular el mínimo común<br />

múltiplo <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l conjunto A(n). Este mínimo común<br />

múltiplo es el menor entero divisible por todo elemento <strong>de</strong> A(n), luego,<br />

por el T.F.A., él <strong>de</strong>be tener la forma 2 e llb, con b impar.<br />

Sumando obtenemos que<br />

1+ 1 1 1 a<br />

+ +···+ =<br />

2 3 n 2ℓb Basta con probar que a no es divisible por 2. Reescribiendo esta<br />

igualdad y multiplicándola por 2 ℓ b, se tiene que<br />

2 ℓ b+ 2ℓ b<br />

2 + 2ℓ b<br />

3 +···+ 2ℓ b<br />

2 ℓ + 2ℓ b<br />

2 ℓ +1 + 2ℓ b<br />

2 ℓ +2 +···+ 2ℓ b<br />

2 ℓ +k<br />

= a.<br />

Puesto que 2 ℓ b es divisible por todos los números <strong>de</strong> A(n), todas<br />

las fracciones en el lado izquierdo <strong>de</strong> la última igualdad son números<br />

enteros. A<strong>de</strong>más, son números pares, pues la máxima potencia <strong>de</strong> 2 que<br />

pue<strong>de</strong> aparecer en la <strong>de</strong>scomposición primaria <strong>de</strong> cualquier número <strong>de</strong>l<br />

conjunto A(n) (que son los <strong>de</strong>nominadores <strong>de</strong> tales fracciones) es ℓ.<br />

Luego a <strong>de</strong>be ser impar.


278 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

8.1 Proble<strong>mas</strong> Propuestos<br />

1. Determine todas las soluciones enteras <strong>de</strong> la ecuación<br />

con a,b números enteros.<br />

2. Demuestre que la fracción<br />

x 2 +15 a = 2 b .<br />

21n+4<br />

14n+3<br />

es irreducible para todo número natural n.<br />

3. Sean x,y,z enteros tales que x 3 +y 3 −z 3 es múltiplo <strong>de</strong>7. Pruebe<br />

que uno <strong>de</strong> esos números es múltiplo <strong>de</strong> 7<br />

4. Determine el número <strong>de</strong> cuadrados perfectos que hay entre 40.000<br />

y 640.000 que son múltiplos simultáneamente <strong>de</strong> 3, 4 y 5.<br />

5. Un entero <strong>de</strong> la forma 4 a (8b+7), con a y b enteros no negativos,<br />

no pue<strong>de</strong> ser una suma <strong>de</strong> tres cuadrados.<br />

6. Encontrar todos los números enteros positivos n para los cuales<br />

2 n −1 es divisible por 7.<br />

7. Demostrar que no existen números enteros positivos n para los<br />

cuales 2 n +1 es divisible por 7<br />

8. Sea k un entero positivo tal que k(k+1)<br />

3 es un cuadrado perfecto.<br />

Demuestre que k<br />

3<br />

y (k+1) son cuadrados perfectos.


Capítulo 9<br />

Proble<strong>mas</strong> Clásicos No<br />

Resueltos<br />

Problema 9.1 ¿Existen números perfectos impares?<br />

Problema 9.2 Sea f(n) = σ(n)−n. Defina la sucesión f0(n) = n y<br />

fk+1(n) = f(fk(n)) para k = 1,2,... ¿permanece está sucesión acotada<br />

para cada n? (Poulet).<br />

Problema 9.3 x n 1 +xn 2 +··· + xn n−1 = xn n<br />

(Euler)<br />

Problema 9.4 ¿Es π e irracional?<br />

Problema 9.5 ¿Para que valores <strong>de</strong> k es x 2 +k = y 3 ?<br />

Problema 9.6<br />

Problema 9.7<br />

Problema 9.8<br />

279<br />

soluble para cada n > 2?


280 Teoría <strong>de</strong> Números<br />

Problema 9.9<br />

Problema 9.10<br />

Problema 9.11<br />

Problema 9.12<br />

Problema 9.13


Referencias<br />

[1] O.Barriga, V.Cortés, S.Plaza, G.Riera.<strong>Matemática</strong>s y Olimpíadas.<br />

Soc. <strong>de</strong> <strong>Matemática</strong> <strong>de</strong> Chile, 1994.<br />

[2] R. M. Corless, G. W. Frank, J. G. Monroe. Chaos and Continued<br />

Fractions. Physica D 46 (1990), 241–253.<br />

[3] A. Y. Khintchin. Continued Fractions. Noordhoff, Groningen, 1963.<br />

[4] G. H. Hardy, E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Num-<br />

bers. Oxford Univ. Press, 1971.<br />

[5] W. B. Jones, W. J. Thron. Continued Fractions: Analytic Theory<br />

and Applications. Addison–Wesley, Reading, 1980.<br />

281

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