Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

6 Teoría de Números
Luego, P(n − 1) es verdadera, pues 0 n − 1 < n. Desde (b) se
sigue entonces que P(n) es verdadera, lo cual nos da la contradicción
deseada.
Teorema 1.3 (PrincipiodeInducciónCompleta) Sea P(n) unapropiedad
de enteros no negativos n. Supongamos que para cualquier entero no
negativo n, la propiedad P(n) es verdadera cuando P(m) es verdadera
para todo entero no negativo m menor que n. Entonces P(n) es ver-
dadera para todo n 0.
Demostración. La afirmación es equivalente a su contrapositiva, esto
es, para cualquier n, si P(n) es falsa entonces P(m) es falsa para
algún entero no negativo m, con m < n. Luego el conjunto de todos
los enteros no negativos para P(n) es falsa no tiene un menor elemento,
y por el P.B.O., este conjunto debe ser vacío.
1.2 Problemas
Problema 1.1 Para todo n 1, pruebe lo siguiente por inducción
matemática
Problema 1.2
Problema 1.3
Problema 1.4
Problema 1.5
1 1 1 1 1
+ + +···+ 2−
12 22 32 n2 n .