Problemas Seminario 5 con algunas soluciones - OCW Usal

SEMINARIO V.
Álgebra lineal y Geometría I
Daniel Hernández Serrano
Darío Sánchez Gómez
Departamento de MATEM ÁTICAS
3. Espacio dual. Subespacio incidente. Ecuaciones paramétricas e implícitas.
3.1. Ecuaciones paramétricas e implícitas.
31. Se consideran los siguientes subespacios de R 3 generados por:
E1 = 〈(1, 0, 1), (0, 1, 0)〉 , E2 = 〈(1, 3, 2)〉
Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de dichos subespacios.
32. Se consideran los siguientes subespacios de R 4 generados por:
E1 = 〈(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)〉 , E2 = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)〉
Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de dichos subespacios.
3.2. Espacio dual. Subespacio incidente.
33. Comprueba que {ē1 = (0, 1, 1), ē2 = (1, 0, 0), ē3 = (2, −1, 0), } es una base de R 3 y calcula su base
dual.
34. Sean las formas lineales de R 3 :
¯ω1(x, y, z) = x + 2y + 3z, ¯ω2(x, y, z) = x + 6y + 8z y ¯ω3(x, y, z) = x + 10y + 14z.
Demuestra que {¯ωi} 3 i=1 forma una base de (R3 ) ∗ . Calcula las coordendas de la forma lineal
ω(x, y, z) = 3x + 4y + 10z en dicha base.
35. Dados los siguientes subespacios de R 4 :
V = 〈(1, −1, 2, 1)〉 , V ′ = 〈(1, −1, 2, 1), (2, 0, −1, −1)〉 y V ′′ = 〈(1, −1, 2, 1), (2, 0, −1, −1), (3, 3, 1, 0)〉
Calcula una base de cada uno de los incidentes y analiza si la forma lineal ω(x1, x2, x3, x4) =
2x1 − x2 − 3x3 + 3x4, pertenece a alguno de esos incidentes.
36. Sea {e1, e2, e3} una base de un R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Sea la aplicación
lineal T : E ∗ → E definida por:
T (ω1) = e1 − e2, T (ω2) = 2e1 + e2 + e3, T (ω3) = 3e2 + e3.
Calcula bases de ker T , Im T , (ker T ) ◦ y (Im T ) ◦ .
37. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su base
dual.
a) Dados los subespacios V =< e1 − e2, 2e1 − e3 > y V ′ =< 2e2 + e3, e1 + e2 + e3 >, calcula una
base de (V ∩ V ′ ) ◦ y las ecuaciones implícitas y paramétricas de V ∩ V ′ .
b) Demuestra que las formas lineales {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3} definidas por
¯ω1(e) = x + y + z, ¯ω2(e) = y − 2z, ¯ω3(e) = x + y
para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3, forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base
{ē1, ē2, ē3} de E cuya base dual sea {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3}.
c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1, ē2, ē3} y el incidente del
subespacio < u > en función de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3}.
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Álgebra Lineal y Geometría I. Grado en Físicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez 13
ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO V.
32. Se consideran los siguientes subespacios de R 4 generados por:
E1 = 〈(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)〉 , E2 = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)〉
Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de dichos subespacios.
Solución:
Ecuaciones de E1 = 〈(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)〉 ⊂ R 4 .
En primer lugar observemos que los vectores u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 2, 3, 0) no son proporcionales,
luego forman base de E1. Teniendo en cuenta que todo vector de E1 se expresa de modo
único como combinación lineal de u y v se tiene que un vector e = (x, y, z, t) ∈ R 4 pertenece
a E1 si y sólo si e = λu + µv (donde λ, µ ∈ R). Escribir esta relación en coordenadas es dar la
ecuación paramétrico-vectorial de E1:
(x, y, z, t) = λ(1, 0, 1, 0) + µ(1, 2, 3, 0) .
Las ecuaciones paramétricas de E1 son por tanto:
x = λ + µ
y = 2µ
z = λ + 3µ
t = 0
Daremos ahora las ecuaciones implícitas de E1 de dos formas, en primer lugar usando la teoría
del rango. Recordemos que un vector e de R4 está en E1 si e = λu + µv, o equivalentemente,
si e es combinación lineal de u y v, y por lo tanto (como u y v son base de E1) si rg(e, u, v) =
rg(u, v) = 2. En coordenadas:
⎛
⎞
x y z t
rg ⎝1 0 1 0⎠
= 2 .
1 2 3 0
Luego fijado un menor de orden 2 no nulo (que nos da la dimensión de E1), por ejemplo
1
0
1 2
= 0, esta condición equivale a la anulación de dos menores de orden 3:
x
1
1
y
0
2
z
1
= 0
3
x
1
1
y
0
2
t
0
= 0
0
que son las ecuaciones implícitas de E1, y que simplificando resultan:
x + y − z = 0 t = 0 .
Calculemos ahora utilizando el subespacio incidente a E1. La dimensión de ◦
E1 es 2 (la fórmula
◦
de la dimensión dice que dimR E1 = dimR R4 − dimR E1), y se tiene:
E ◦ 1 : = {ω = (α, β, γ, δ) ∈ R 4,∗ | ω(u) = 0 y ω(v) = 0} =
= {(α, β, γ, δ) | α + γ = 0, , α + 2β + 3γ = 0} = 〈(1, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1)〉 = 〈θ1, θ2〉
Por reflexividad tenemos que E1 = ( ◦ ◦, 4
E1 luego un vector e = (x, y, z, t) ∈ R yace en E1 si
y sólo si:
θ1(x, y, z, t) = 0 y θ2(x, y, z, t) = 0 ,
es decir, si y sólo si:
x + y − z = 0 y t = 0 .
Ecuaciones de E2 = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)〉 = 〈u1, u2, u3〉 ⊂ R 4 . Es fácil comprobar
que rg(u1, u2, u3) = 3 y por lo tanto estos vectores forman base de E2. Se tiene entonces que
un vector cualquiera e = (x, y, z, t) de E2 es de la forma:
(x, y, z, t) = α(1, 1, 0, 0) + β(1, 0, 1, 0) + γ(1, 1, 1, 1) , con α, β, γ ∈ R .

14 Álgebra Lineal y Geometría I. Grado en Físicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez
En consecuencia las ecuaciones paramétricas de E2 son:
◦
x = α + β + γ
y = α + γ
z = β + γ
t = γ
Como dimR E2 = dimR R4 − dimR E2 = 4 − 3 = 1, entonces E2 viene descrito por una ecuación
implícita, que se deduce directamente de las ecuaciones paramétricas anteriores:
x − y − z + t = 0 .
37. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su base
dual.
a) Dados los subespacios V =< e1 − e2, 2e1 − e3 > y V ′ =< 2e2 + e3, e1 + e2 + e3 >, calcula una
base de (V ∩ V ′ ) ◦ y las ecuaciones implícitas y paramétricas de V ∩ V ′ .
b) Demuestra que las formas lineales {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3} definidas por
¯ω1(e) = x + y + z, ¯ω2(e) = y − 2z, ¯ω3(e) = x + y
para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3, forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base
{ē1, ē2, ē3} de E cuya base dual sea {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3}.
c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1, ē2, ē3} y el incidente del
subespacio < u > en función de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3}.
Solución:
a) Se tiene que {v1 = (1, −1, 0), v2 = (2, 0, −1)} y {v ′ 1 = (0, 2, 1), v ′ 2 = (1, 1, 1)} son bases de V
y V ′ respectivamente (pues no son proporcionales). Dado que nos piden calcular también las
ecuaciones paramétricas, calculemos una base de V ∩ V ′ . Teniendo en cuenta que los vectores
{v1, v2, v ′ 1} forma base de V + V ′ (pues det(v1, v2, v ′ 1) = 0) y la fórmula de la dimensión:
dimR(V + V ′ ) = dimRV + dimRV ′ − dimR(V ∩ V ′ ) ,
se deduce que dimR(V ∩ V ′ ) = 1, y dado que v ′ 2 − v ′ 1 = v1 se tiene que:
V ∩ V ′ = 〈v1〉 = 〈(1, −1, 0)〉 .
En consecuencia, todo vector u = (x, y, z) de V ∩ V ′ se escribe como u = λv1 (con λ ∈ R) y
las ecuaciones paramétricas de V ∩ V ′ son:
Por otra parte tenemos que:
x = λ , y = −λ , z = 0 .
dimR(V ∩ V ′ ) ◦ = dimRR 3 − dimR(V ∩ V ′ ) = 3 − 1 = 2 ,
luego dos será el número de ecuaciones implícitas que definen V ∩V ′ , y como de las ecuaciones
(paramétricas) anteriores se deduce que:
x + y = 0 , z = 0
se concluye que estas son precisamente las ecuaciones implícitas de V ∩ V ′ .
Por último, dadas las ecuaciones implícitas se sigue que {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de
(V ∩ V ′ ) ◦ .
b) Las coordenadas de la formas ¯ω1, ¯ω2 y ¯ω3 en la base {ω1, ω2, ω3} son:
¯ω1 = (1, 1, 1) , ¯ω2 = (0, 1, −2) , ¯ω3 = (1, 1, 0) .
Como la dimensión del espacio dual E ∗ es 3 y det(ω1, ω2, ω3) = 0 se sigue que dichas formas
lineales forma base de E ∗ .
Para calcular una base {ē1, ē2, ē3} de E dual de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3} observemos en primer lugar que
ya tenemos la matriz de cambio de base de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3} a {ω1, ω2, ω3}:
E ∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} → E∗ ⎛ ⎞
1 0 1
{ω1,ω2,ω3} C = ⎝1 1 1⎠
.
1 −2 0

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El morfismo E∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} → E∗ {ω1,ω2,ω3}
(morfismo transpuesto) E {e1,e2,e3} → E {ē1,ē2,ē3} (por reflexividad E∗∗ E y donde {ē1, ē2, ē3}
es la base dual de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3} que buscamos) cuya matriz asociada es Ct .
Por definición de matriz asociada respecto de una pareja de bases, las columnas de la matriz
Ct expresan los vectores ei en función de los ēj, que es justo lo contrario a lo que nos
pide el ejercicio. Por lo tanto nos interesa conocer la matriz de E {ē1,ē2,ē3} → E {e1,e2,e3}, que
precisamente es:
Se concluye entonces que:
(C t ) −1 =
induce un morfismo entre los espacios vectoriales duales
⎛
−2 −1
⎞
3
⎝ 2 1 −2⎠
.
1 0 −1
ē1 = (−2, 2, 1) , ē2 = (−1, 1, 0) , ē3 = (3, −2, −1)
es la base dual de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3}.
c) Las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 = (1, −1, 1) en la base {ē1, ē2, ē3} son:
E {e1,e2,e3} → E {ē1,ē2,ē3}
u = (1, −1, 1) ↦→ C t ⎛ ⎞
1
⎛
1 1
⎞
1
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
· ⎝−1⎠
= ⎝0
1 −2⎠
· ⎝−1⎠
= ⎝−3⎠
.
1 1 1 0 1 0
Se tiene así que u = ē1 − 3ē2, luego:
◦
〈u〉 = {¯ω ∈ E ∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} | ¯ω(u) = 0} = {¯ω = (α, β, γ) ∈ E∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} | α − 3β = 0} =
= 〈(3, 1, 0), (0, 0, 1)〉 = 〈3¯ω1 + ¯ω2, ¯ω3〉 .