ESTUDIO ELÁSTICO PLÁSTICO DE MECÁNICA DE LA FRACTURA ...

8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA
Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007
ESTUDIO ELÁSTICO PLÁSTICO DE MECÁNICA DE LA FRACTURA MEDIANTE
LA MODELACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
Yépez Castillo H., Franco Rodríguez R.
Pontificia Universidad Católica del Perú, Sección Ingeniería Mecánica, Av. Universitaria 1801, San Miguel,
Lima 32 Perú.
hyepez@pucp.edu.pe, rofranco@pucp.edu.pe
RESUMEN
La mecánica de fractura ha utilizado especímenes para abordar el estudio del fenómeno de la fisura a lo largo de su
historia y uno de los más conocidos es el “Compact Tension” C(T), el cual en la actualidad se encuentra
estandarizado por ASTM para la determinación experimental de la tenacidad a la fractura de materiales metálicos. En
el presente artículo se realizó la modelación de C(T) con el objetivo de determinar la factibilidad del estudio de la
fractura elasto-plástica mediante el uso de un software de elementos finitos, cuyos resultados fueron comparados con
otros valores calculados a partir de métodos propuestos por diferentes autores logrando constatar la factibilidad del
análisis mediante este método.
PALABRAS CLAVES: Fractura elasto-plástica, “Compact Tension”, elementos finitos.

INTRODUCCIÓN
En 1968, J.R. Rice desarrolló un parámetro que describe el comportamiento de una fisura desde un enfoque
energético en materiales no lineales. El parámetro de Rice es una integral bidimensional de contorno independiente
de la trayectoria definida en las regiones cercanas a la cabeza de la fisura que en la actualidad es conocida como J -
Integral [1].
El estándar ASTM E1820-06 “Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness”[2] contempla al
espécimen C(T) dentro de los procedimientos descritos para llevar a cabo ensayos para determinar la tenacidad a la
fractura en metales. El espécimen C(T) es una plancha plana con una sola muesca en uno de sus bordes y prefisurada
por fatiga, cuyas dimensiones se encuentran estandarizadas por la norma ASTM. La Figura 1-a muestra una de las
dos posibles configuraciones geométricas de C(T) para evaluar la J -Integral bajo el estándar E1820-06.y en la
Figura 1-b es posible apreciar un esquema de cómo se lleva acabo el ensayo de fractura, donde los pines alojados
dentro de los orificios de la probeta son cargados mediante el desplazamiento vertical de las mordazas (clevis).
Clevis
Pin
a) b)
Espécimen C(T)
Figura 1. a) Espécimen “Compact Tension”. b) Esquema de un ensayo de fractura con un espécimen C(T).
ASTM propone calcular las componentes elástica y plástica de forma separada, para posteriormente sumarlas y
obtener una J -Integral total:
J = J + J
(1)
donde la componente elástica J el es calculada mediante el factor de intensidad de tensiones K :
J el
total
el
pl
2 ( − )
2 1 ν
K
= (2)
E
donde E es el módulo de elasticidad y ν el coeficiente de Poisson del material. El factor K para un modo de
fractura I del C(T) está definido por la siguiente expresión:
P
K = f ( a / W )
(3)
B B W
N

donde P es la carga a la cual está sometido el espécimen, B es el espesor, B N es el espesor nominal, W es la
longitud característica y a la longitud de la fisura. El factor f ( a / W ) es adimensional, cuya expresión para C(T) es:
2 + ( a / W )
2
3
4
f ( a / W ) = ( 0.
886 + 4.
64 ( a / W ) −13.
32 ( a / W ) + 14.
72 ( a / W ) − 5.
60 ( a / W ) )
3/
2
(4)
( 1 − ( a / W ))
La componente plástica J pl está definida mediante la siguiente expresión:
J
pl
η Apl
=
B ( W − a)
N
donde A pl es el área plástica bajo la curva de carga vs desplazamiento y η es un factor adimensional, que para el
espécimen C(T) es igual a:
η = 2 + 0.
522((
W − a)
/ W )
(6)
El autor L.T. Anderson [3] describe una propuesta para calcular la J -Integral bajo condiciones elasto-plásticas. Las
componentes elásticas y plásticas al igual que el método anterior son calculadas de forma separada, en este caso J el
es evaluada según la siguiente expresión:
2
K I
J el = (7)
E`
2
donde E ` es igual a E para un estado plano de esfuerzos e igual a E /( 1 −ν
) para un estado plano de
deformación. La J pl para el espécimen C(T) (ver Figura 2) está expresado de la siguiente forma:
J = α ε σ b h ( P / P )
(8)
pl
P
P
o
o
1
W
a b
n+
1
o
Figura 2. Espécimen C(T).
donde b es la diferencia entre la longitud característica y la longitud total de la fisura, h 1 es factor geométrico que
está en función de a , W y n . La carga aplicada es P y P o es una carga referencial que tiene la siguiente
expresión:
P = 1.
455η
B bσ
(9)
o
donde B es el espesor del espécimen y η es un factor geométrico que es expresado de la siguiente manera:
o
(5)

2
η = ( 2 a / b)
+ ( 4 a / b)
+ 2 − (( 2 a / b)
+ 1)
(10)
Los parámetros restantes son definidos mediante la expresión de Ramberg-Osgood, la cual interpreta de forma
coherente la curva esfuerzo-deformación de un material:
ε
ε
o
=
n
σ ⎛ σ ⎞
+ α ⎜ ⎟
σ ⎜ ⎟
o ⎝ σ o ⎠
donde σ y ε son esfuerzo y deformación unitaria, respectivamente. σ o es un esfuerzo referencial, usualmente igual
al esfuerzo de fluencia y ε o es igual a o E / σ . El parámetro α es una constante y n es el exponente de
endurecimiento.
DEFINICIÓN DEL MODELO
Las dimensiones definidas del modelo C(T) son proporcionadas por la Figura 3, donde la longitud total de la fisura
es igual a 25mm. Con respecto a las propiedades del material se definió que el módulo de elasticidad del espécimen
sea igual a 2.1x10 11 N/m 2 y el coeficiente de Poisson igual a 0.28; además se cuenta con la curva esfuerzo –
deformación (zona plástica) del material, la cual es presentada en la Figura 4.
37.5
18
10
5
20
5 25
Ø 9.4
50
62.5
Figura 3. Configuración geométrica del espécimen C(T).
Esfuerzo (MPa)
900
850
800
750
700
650
600
Esfuerzo-Deformación
25
60
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Deformación unitaria
Figura 4. Curva esfuerzo vs deformación del material del espécimen.
(11)

La información que se obtiene de un ensayo convencional es la separación que experimentan las superficies de la
fisura, medida desde la boca de la muesca, al ser sometida a la carga vertical producto del desplazamiento de los
pines. Por ello un parámetro importante durante la modelación es el desplazamiento, conocido como “Load line
displacement”, medido entre los puntos marcados en color rojo según se muestran en el espécimen en la Figura 5.
Figura 5. Espécimen C(T) y ubicación de las marcas desde las cuales se evaluará el “Load line displacement”
El modelo analizado en el software es la mitad de la configuración geométrica original, debido a que el espécimen
C(T) tiene un plano de simetría que posibilita un ahorro computacional, haciendo del análisis un proceso más ágil.
La discretización del sólido en elementos finitos es mostrada en la Figura 6, donde el tipo de elemento para
conformar la malla es el PLANE 2D de 8 nodos, cuya aplicación es recomendada para el análisis estructural y de
fractura [4]. La Figura 6 además de mostrar el modelo enmallado, permite apreciar las cinco trayectorias J que se
generaron en busca de la precisión de los resultados de la modelación. El análisis es de tipo no-lineal y se efectúa
bajo un estado plano de deformación.
Figura 6. Espécimen C(T) discretizado con diferentes trayectorias para evaluar la J - Integral.
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
El desplazamiento vertical de los pines genera una serie de esfuerzos sobre la configuración del espécimen, por
ejemplo en la Figura 7 es posible apreciar una gama de esfuerzos producto de un desplazamiento vertical del pin
igual a 0.5mm. Los colores azul y celeste representan las zonas donde se generaron los menores esfuerzos, los
colores verde y amarillo indican esfuerzos de mediana intensidad, y los colores rojo y naranja representan las zonas
donde se genera una mayor concentración de esfuerzos. Cabe resaltar que los alrededores de la cabeza de fisura
constituyen una zona de gran concentración de esfuerzos.

Figura 7. Resultados de la modelación para un desplazamiento vertical de los pines igual a 0.5mm.
La fuerza resultante del pin sobre el espécimen es registrada durante 20 segundos (40 iteraciones) que es justamente
el tiempo que le toma a un pin desplazarse 0.5mm en la dirección vertical. Los datos recopilados son plasmados en
una curva de carga vs desplazamiento (Load vs Load line displacement) como lo ilustra la Figura 8-a. La curva de
carga vs desplazamiento es de mucha utilidad para la obtención de resultados bajo las expresiones propuestas por
ASTM, ya que la ecuación (5) necesita el área plástica bajo esta curva, entonces con la finalidad de generar valores a
partir de las expresiones de ASTM, se elaboró la curva de Área plástica vs Desplazamiento que es ilustrada en la
Figura 8-b.
"Load" (kN)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
"Load line displacement" (mm)
Área plástica (Nm)
30
25
20
15
10
5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
"Load line displacement" (mm)
a) b)
Figura 7. a) Carga vs Desplazamiento (Load vs Load line displacement).b) Área plástica vs Desplazamiento.
Para generar resultados a partir del planteamiento de Anderson, fue necesario someter la curva de esfuerzo vs
deformación del material (ver Fig. 4) bajo la expresión de Ramberg-Osgood (ecuación (11)) con el objetivo de
obtener los valores de α y n necesarios para la ecuación (8).
Los resultados obtenidos de las cinco diferentes trayectorias J son comparados con los valores calculados a partir de
las expresiones proporcionadas por la norma ASTM (Figura 9-a) y la bibliografía de L.T. Anderson (Figura 9-b). Es
posible apreciar en estas figuras que las curvas J -Integral de la modelación se confunden entre ellas y con las curvas
de las referencias. Al igual que las curvas de las Figuras a y b, la Tabla 1 permite comparar los resultados obtenidos
por los tres métodos.

J-Integral (N/mm)
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
ASTM
J 1
J 2
J 3
J 4
J 5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
"Load line displacement" (mm)
J-Integral (N/mm)
200
180
Anderson
J 1
160
J 2
140
J 3
120
100
80
60
40
20
0
J 4
J 5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
"Load line displacement" (mm)
a) b)
Figura 9. Valores de J - Integral de la modelación comparados con los valores de a) ASTM y b) Anderson.
Tabla 1. Valores de J - Integral obtenidos mediante diferentes métodos.
Load line
displacement
(mm)
ASTM
J -Integral (N/mm)
Anderson Cosmos/M (3 era )
0 0 0 0
0.088 3.139 3.22 2.918
0.175 11.86 11.75 11.204
0.260 24.88 24.31 24.059
0.345 41.34 40.36 40.652
0.430 60.94 60.73 59.555
0.516 81.82 82.74 79.876
0.602 104.57 105.16 100.813
0.689 128.65 125.4 123.391
0.777 153.69 144.85 147.535
0.866 179.70 161.27 173.199
Los resultados obtenidos de J -Integral son muy similares y manifiestan la misma tendencia que los resultados
calculados a partir de las expresiones de las referencias [2] y [3], permitiendo concluir que es factible el análisis de
un problema de fractura elasto-plástica en un espécimen C(T) mediante la modelación con software basado en el
método de elementos finitos.
REFERENCIAS
[1] Saxena, Ashok. “Nonlinear fracture mechanics for engineers”.July 1997
[2] E1820-06e1 “Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness”. American Society for Testing of
Materials. 2006.
[3] Anderson, T. L. “Fracture Mechanics. Fundamentals and Applications ”. CRC Press. 2005.
[4] Cosmos/M. Online Manual (PDF). Structural Research and Analysis Corporation. California. EEUU. 2002.