Matemáticas - uno internacional

Bimestre 1
Matemáticas
3
Contenidos curriculares

Sistema UNO ha sido desarrollado por un equipo multidisciplinario de cincuenta
expertos en educación de doce países de toda Iberoamérica (México, Brasil, España,
Argentina, Colombia, Chile, Guatemala, Perú, Venezuela, entre otros).
Hace ya diez años que Grupo Santillana trabaja en este proyecto investigando, piloteando, diseñando,
recorriendo y escuchando a miles de alumnos, maestros y directivos en toda la región.
El resultado es Sistema UNO, una nueva propuesta de trabajo con la escuela, regida
por parámetros propios del siglo XXI y orientada por una vocación compartida de vanguardia,
de nuevas prácticas, de calidad, de mejora profunda… en definitiva, de una educación mejor.
Bimestre 1
Matemáticas 3
Contenidos curriculares
El libro SE es pieza fundamental
de Sistema UNO. En él
se articulan todos y cada uno
de los programas y proyectos
establecidos. Esta obra se
integra a toda la propuesta del
Sistema UNO para orientar
nuestro trabajo hacia el futuro.
DESARROLLO DE LA OBRA
Dirección General de Contenidos
Antonio Moreno Paniagua
Dirección Editorial Sistema UNO
Ángela Ortiz
Dirección Editorial
Wilebaldo Nava Reyes
Gerencia de Arte y Diseño
Humberto Ayala Santiago
Coordinación Editorial Sistema UNO
Ernesto A. Núñez Mejía
Coordinación Editorial
Ma. del Pilar Vergara Ríos
Coordinación de Diseño Sistema UNO
Gil G. Reyes Ortiz
Coordinación de Diseño
Carlos A. Vela Turcott
Edición Sistema UNO
Ana Laura Deceano Estrada
Carlos Javier Orozco Hurtado
Edición
Rubén García Madero, Laura Milena Valencia
Escobar, Lidya Arana Lagos, Zoraida Reyes
González, Leticia Martínez Ruiz
Asistencia Editorial
Óscar Cerón Rodríguez, Natalia Herrera
López y Eleazar Roldán Estrada
D. R. © 2012 Ésta es una obra colectiva creada por Sistemas Educativos de
Enseñanza S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240,
delegación Benito Juárez, México, D. F., para Sistema UNO, de Grupo Santillana,
para todos los países de Iberoamérica (Brasil, España, Argentina, Colombia, Chile,
Perú, Uruguay, Paraguay, Bolivia, Ecuador, Venezuela, Panamá, Nicaragua, Costa
Rica, Honduras, Guatemala, El Salvador, R. Dominicana, Puerto Rico y Portugal),
en español, inglés y portugués.
I N T E R N A T I O N A L
DERECHOS
Realización Sistema UNO
Ma. Itzel Morales Gómez
Corrección de Estilo
Pablo MIjares, Ramona Enciso, Enrique Paz
y Patricia Elizabeth Wocker
Diseño de Interiores
Beatriz Alatriste del Castillo
y Stephanie Iraís Landa Cruz
Colaboradores
María Trigueros Gaisman, María Dolores
Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister,
Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel
Jinich Charney, Mercedes Cortés Lascurain,
Karla Ayala Sánchez, Francisco Javier
Mendoza Aguirre y José Ezequiel Soto
Sánchez
Diagramación
ITA - Interactive Tecnologies & Advertising
Iconografía
Miguel Bucio Trejo
Fotografía de portada
Shutterstock
SE Contenidos curriculares se deriva de la serie
original Horizontes publicada por Editorial
Santillana, cuyo desarrollo de los aprendizajes
esperados ha sido aprobado por la Secretaría
de Educación Pública.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. Núm. 3616
Impreso en México / Printed in Mexico
La presentación y disposición en conjunto y de cada página
de UNO. 3.º Secundaria, Bimestre 1. SE son propiedad del editor. Queda
estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra
por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado,
sin autorización escrita del editor.

Bloque
1
Índice
Bimestre 1 4
1. Factorización de expresiones 6
2. Propiedades de los cuadriláteros 14
3. Circunferencias y rectas 20
4. Circunferencias y ángulos 26
5. Circunferencias y arcos 32
6. Razón de cambio 38
7. Estudios estadísticos 48
Taller de Matemáticas 56
4
Mandala Ondas tibetano de agua
budista
3

Bloque 1
Como resultado del estudio de este bloque temático
se espera que:
1. Transformes expresiones algebraicas en otras equivalentes
al efectuar cálculos.
2. Apliques los criterios de congruencia de triángulos
en la justificación de propiedades de figuras geométricas.
3. Resuelvas problemas que implican relacionar ángulos
inscritos y centrales de una circunferencia.
4. Resuelvas problemas que implican determinar una
razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla
gráficamente.
Ondas de agua
Al caer una gota o un objeto pequeño en el agua se generan ondas
parecidas a coronas circulares.
5

Inicio
Bloque 1
6
Secuencia
1
1) El largo y el ancho
de cada alberca. Las
expresiones algebraicas
para expresar cada una son
arquitecto (x)(x); profesor
(x 1 12)(x − 12); dueño del
club, primera propuesta
(x 1 10)(x 1 5); dueño del
club, segunda propuesta
(x 1 8)(x 1 8).
2) Cada término de la
primera expresión por cada
término de la segunda
expresión, en caso de que
sean dos expresiones.
3) Sí.
página
6
Factorización
de expresiones
Conocimientos y habilidades
1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x 1 a) 2 ; (x 1 a)(x 1 b);
(x 1 a)(x 2 a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2 1 2ax 1 a 2 ; ax 2 1 bx; x 2 1 bx 1 c;
x 2 2 a 2 .
El club acuático
Para el club acuático Las Sirenas se está diseñando una alberca. Originalmente, el
arquitecto encargado de la obra tenía la idea de que fuera de fondo cuadrado y que
midiera x metros por lado. El profesor de natación opinó que era mejor que el fondo
fuera rectangular porque una alberca cuadrada resultaba muy corta para sus clases,
así que sugirió, para no elevar el costo, que se le agregaran 12 metros de largo y se le
quitaran 12 metros de ancho. Según el profesor, si se añade a un lado lo mismo que se
le quita al otro, tanto el área del fondo de la alberca como la cantidad de material que
se utilice serán los mismos.
El dueño del club opinó que no hacía falta reducir la longitud de ninguna de las dimensiones,
y sugirió una alberca de fondo rectangular con 10 metros más de largo y
5 metros más de ancho que la propuesta por el arquitecto; o bien, que si la idea era
únicamente hacerla más grande, a la misma alberca del arquitecto le aumentaran
8 metros a cada lado.
¿Cómo podrías comparar los fondos de las albercas? ¿Cuál sería la más conveniente
para que, de todas las propuestas, el área de la alberca sea la más grande?
¿Pueden tener la misma área los fondos de las albercas sugeridas por el profesor
y el arquitecto?
Si esto no es posible, ¿cómo le explicarías su error al profesor?
Preguntas para andar
¿Cuáles son los datos y las expresiones algebraicas que necesitas para encontrar
el área de las albercas propuestas para el club? 1)
¿Cómo se multiplican dos expresiones algebraicas? 2)
Si el área de una figura está dada por una expresión algebraica, ¿puedes
expresar sus dimensiones también de manera algebraica? 3)

Organizados en equipos de 4 o 5 integrantes, elaborarán un plano como los que
hacen los arquitectos en donde se muestre el diseño de las instalaciones del club
acuático Las Sirenas. Sólo se representará la base, es decir, no se debe considerar
en esta representación la altura de los espacios: será un diseño del “suelo”
del club. En el plano deberán especificarse claramente todas las dimensiones
de cada una (ancho, largo, radio, etc.). Para que el plano sea comprensible y
se pueda disponer de las áreas donde irán las instalaciones del club, se tomará
como referencia una medida base, que se representará con la variable x, y será
el punto de partida para determinar todas las dimensiones. Lo que importa no es
qué tan grande o pequeña sea x, sino que permita comparar las dimensiones de
cada instalación y tomar decisiones respecto del conjunto, a fin de que quede
proporcionado.
En los equipos formados tendrán en cuenta los siguientes datos.
El club tendrá 6 instalaciones: un jacuzzi, una alberca cubierta, una alberca al
aire libre, un salón de baile, una zona de vestidores y un salón para aparatos. A
continuación encontrarán el área de cada instalación expresada en términos de
nuestra medida de referencia x.
El jacuzzi será redondo y su área medirá x 2 metros cuadrados.
La alberca cubierta será rectangular y su área será de (x 2 2 64) metros
cuadrados.
La alberca al aire libre es la que está por definirse en la situación inicial.
Deberán elegir entre las opciones que proponen el arquitecto, el dueño y el
profesor.
El salón de baile será cuadrado, con un área de x 2 1 6x 1 9.
La zona de vestidores será rectangular, y tendrá un área de x 2 1 13x 1 40.
El salón para aparatos será también rectangular con un área de x 2 1 12x.
Deberán encontrar expresiones algebraicas para las dimensiones de cada instalación
y asignar un valor a x, de manera que puedan hacer el plano en cartulina.
El diseño de la alberca
1. Antes de iniciar con la elaboración del croquis, resuelve las siguientes situaciones
en el cuaderno.
El fondo de la alberca que propone el arquitecto tiene de ancho x metros y de largo
x metros; utiliza este dato para escribir una expresión algebraica que represente el
ancho y el largo del fondo de las siguientes albercas:
La alberca que propone el profesor. Ancho x 1 12; largo x 2 12
La primera alberca que propone el dueño.
La segunda alberca que propone el dueño.
A partir de las dimensiones encontradas, representa el área del fondo de la alberca
original como un producto de expresiones algebraicas. A x
Encuentra ahora un producto de expresiones que represente el área del fondo
de la alberca que propone el profesor de natación.
Compara los productos de los dos planteamientos anteriores. ¿Tienen ambas
albercas la misma área del fondo? Si no es así, ¿cómo le explicarías esto al
profesor? Las albercas no tienen la misma área del fondo. El área de la alberca del
arquitecto es mayor que la propuesta por el profesor.
2
Ancho x 1 5; largo x 1 1
Ancho x 1 8; largo x 1 8
(x 1 12)(x 2 12) x2 2 144
1) Ver Solucionario
página
6
Planeación
Desarrollo
7

Desarrollo
8
1) Que se trata de una
expresión de la forma
(a 1 b)(a 1 b)
(a 1 b) 2 . El resultado
de elevar un binomio
al cuadrado es igual al
cuadrado del primer término,
más el doble producto
del primer término por el
segundo, más el cuadrado
del segundo término.
2) No representan la
misma área.
3) La primera propuesta está
determinada por
(x 1 10)(x 1 5) x 2 1 15x
1 50. La segunda propuesta
está determinada por (x 1 8)
(x 1 8) x 2 1 16x 1 64.
página
7
En segundo grado trabajaste con productos de expresiones algebraicas. Recuerda
lo que aprendiste y escribe los siguientes productos de otra manera.
(2x + 2)(2x + 2) 4x21
8x 1 4
( p 3)( p 3) p2
1 6p 1 9
( x 3 y)( x 3 y)
Observa con atención las tres multiplicaciones anteriores y contesta.
¿Qué tienen en común los tres resultados? Tienen tres términos.
En cada multiplicación llama a al primer término del binomio y b al segundo;
expresa cada uno de los resultados en términos de a y b. a2 1 2ab 1 b2 ¿Qué observas? ¿A qué conclusión puedes llegar?
Resuelve los siguientes productos.
(x 1 7) (x 1 3) x2 1 10x 1 21
(2x 1 2) (2x 1 1) 4x2 1 6x 1 2
(x 1 1) (x 2 5) x2 2 4x 2 5
Observa con atención las tres multiplicaciones anteriores; para resolver cada una
tuviste que seguir varios pasos. Analiza los resultados obtenidos y contesta.
¿Qué tienen en común los tres resultados? Son trinomios.
Para cada multiplicación llama a y b a los elementos del primer factor; a y c a
los elementos del segundo factor, y expresa cada resultado en términos de a,
b y c.
x 2 1 6xy 1 9y 2
(a 1 b)(a 1 c) a 2 1 (b 1 c)a 1 bc
¿Qué observas? ¿A qué conclusión puedes llegar? A que el producto de
binomios con término común es igual al cuadrado del término común, más la suma de
los no comunes por el común, más el producto de los no comunes.
Retoma la situación de la alberca y, en el cuaderno, realiza lo siguiente.
Desarrolla el producto con el que representaste el área de la base de la alberca
propuesta por el arquitecto. (x)(x) x
Desarrolla el producto con el que representaste el área de la base de la alberca
que propone el profesor.
Compara los dos resultados obtenidos. ¿Representan la misma área?
Escribe y desarrolla un producto de expresiones que describa el área de las dos
albercas que propone el dueño.
2
(x 1 12)(x 2 12) x2 2 144
2)
3)
Ya sabes cómo multiplicar expresiones algebraicas, pero en algunas ocasiones conviene
conocer los productos de expresiones algebraicas que aparecen muy a menudo, a
fin de emplearlos para desarrollarlas, o para factorizarlas en una expresión que facilite
su utilización. En las actividades anteriores pudiste concluir lo siguiente:
(x 1 y) 2 x 2 1 2xy 1 y 2
(x 1 a) (x 1 b) x 2 1 (a 1 b)x 1 ab
(x 1 a) (x 2 a) x 2 2 a 2
Estos productos, entre otros, son comúnmente llamados productos notables, y se
definen así porque son invariables y su desarrollo lo puedes determinar por simple
observación.
1)

¿Cómo vamos?
2. Trabajen en equipo para analizar y organizar la información con la que
cuentan hasta este momento.
¿Qué datos tienen sobre cada una de las instalaciones del club? 1)
¿Qué datos necesitan para responder a las preguntas? 2)
Cada miembro del equipo debe proponer cómo utilizar la información que
tienen para encontrar las respuestas a las preguntas. Respuesta Libre (R. L.)
3. Realiza las siguientes actividades.
Desarrolla las operaciones utilizando los productos notables que aprendiste
en esta secuencia.
(x 1 5) 2
(x 1 5)(x 2 5)
(3x 1 z)(3x 1 z)
(m 1 11)(m 1 2)
(5m 1 2) 2
x 2 1 10x 1 25
Observa la figura de la derecha: es un cartón de forma rectangular al
que se le cortaron cuadrados de ancho x en las esquinas, para doblar
las orillas y formar una caja. Escribe una expresión en términos de
x que represente el volumen de la caja.
V (x)(8 2 2x)(20 2 2x)
El ingreso de la tienda
x 2 2 25
9x 2 1 6xz 1 z 2
m 2 113m 1 22
25m 2 1 20m 1 4
El ingreso de una tienda se define al multiplicar el precio de cada artículo por la cantidad
de piezas vendidas. Si sabemos que en un mes se venden a piezas de un artículo,
el ingreso es de a 2 – 2a. ¿Cuál será el precio del artículo?
El ingreso es el producto de dos cantidades. Para conocer cada una debemos descomponer
el producto en los factores que lo conforman. En este caso sabemos que la
cantidad es a y el ingreso es a 2 – 2a, entonces los factores que lo conforman son:
2
precio 3 cantidad ingreso precio 3 a a 2a
Encuentra el precio del artículo en términos de la variable a. Da diferentes valores a
la variable y encuentra los precios y los ingresos correspondientes. 4)
Factorizar es descomponer un producto en los factores que lo conforman; es muy útil
para obtener información de una situación problemática como la anterior y también
en situaciones problemáticas más complejas. Es importante tener siempre presente
que sólo puede factorizarse una expresión en el producto de varios factores y que no
todas las expresiones algebraicas se pueden factorizar.
página
7
1) El área de cada una de
las instalaciones.
2) Las dimensiones de
cada una.
página
7
4) Respuesta Modelo (R.M)
El precio está dado por
la expresión precio
a 2 2 2a a 2 2
a
Algunos valores para a:
a 3 4 5 6 7
Precio 1 2 3 4 5
Desarrollo
9

Desarrollo
10
página
8
Albert Einstein.
propiedad distributiva.
Es una propiedad
de los números que
se usa para multiplicar
un número por un
polinomio, indica que
se debe multiplicar dicho
número por cada
uno de los términos
del polinomio de la
siguiente manera:
a(b + c) = ab + ac.
1) x 2 1 2xy 1 y 2 . Extraemos
la raíz cuadrada del primer
y tercer términos de la
expresión: xy; el segundo
término de la expresión debe
ser el doble producto de las
raíces que extrajimos. Así,
el binomio que elevaremos
al cuadrado quedará
determinado como (x 1 y) 2 .
4. Observa los productos notables con los que has trabajado hasta ahora. Analizarlos
desde otro punto de vista te permite escribir las sumas que obtuviste como
resultado en términos de la multiplicación de los factores. Analicemos algunos.
El primero x 2 1 2xy 1 y 2 (x 1 y) 2 se trata del resultado de elevar un binomio al
cuadrado, por tanto, los factores que lo conforman son un binomio multiplicado por
sí mismo.
Explica cómo puedes encontrar los factores que forman el producto:
x 2 1 2xy 1 y 2 . ¿Cómo definirías cada elemento del binomio? 1)
Encuentra los factores cuyo producto conforma la siguiente expresión:
x 2 1 8x 1 16.
¿De qué forma consideras que deben ser estos factores? (binomios, monomios,
etcétera).
¿Qué característica debe tener el primer término de cada factor?
¿Qué característica debe tener el segundo término de cada factor?
¿Qué relación deben tener entre sí ambos factores?
Elige los signos correctos para cada factor y encuentra el resultado.
Encuentra dos binomios cuyo producto sea 25 2 x 2 .
Albert Einstein (1879-1955) nacido en Ulm,
Alemania, tenía sólo 26 años cuando publicó
dos trabajos que contribuyeron a darle un
giro a la física y a la tecnología del siglo XX.
Pero, ¿sabías que a los 12 años se especializó
en álgebra abstracta, sin tutor ni guía?
Consideremos ahora este caso, observa la expresión
ax 2 + bx, buscamos expresarla en términos
de factores que se estén multiplicando entre sí. De
cuando estudiaste las propiedades de los números
reales, recordarás la propiedad distributiva de la
multiplicación, cuando utilizamos letras para representar
números variables, como en este caso
x, estamos representando números reales y por lo
tanto, podemos aplicar sus propiedades.
Utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación
para expresar ax 2 + bx como el producto
de sus factores.
Encuentra los factores que al multiplicarse entre sí conforman la expresión:
2a 1 2b.
¿Cuántos factores crees encontrar? 2 factores.
¿De qué forma crees que sea cada uno de ellos? (Monomios, binomios,
etcétera.) Un monomio y un polinomio.
Anota la expresión como producto de sus factores. 2 (a 1 b)
Pongamos por caso una caja con base rectangular con volumen V x 3 2 64x.
Encuentra una expresión que represente cada una de sus dimensiones en términos
de la variable x. 2)
2) x (x-8) (x+8)
que podría ser
ancho, alto y largo,
respectivamente.
Recuerda que si el volumen se calcula como V (ancho)(largo)(alto) debes encontrar
una factorización que sea el producto de tres factores.

A trabajar el diseño de la alberca
5. Según los cuatro casos de factorización, contesta lo siguiente.
Encuentra cuál se puede aplicar para cada una de las cuatro opciones de la alberca
(la original, la del profesor y las dos del dueño). 1)
Escribe el área de cada alberca de las dos maneras: como un producto notable y
de manera factorizada. 2)
Ahora ya puedes responder a las preguntas que se plantearon originalmente. ¿Cuál
de las albercas sería la más conveniente para el club? 3)
¿Cómo vamos?
6. Reúnanse en equipos y contesten.
Para el proyecto del diseño del club, analicen la información que tienen hasta
ahora y respondan: ¿creen que necesitarán efectuar productos? Sí.
¿Piensan que para el diseño de las instalaciones necesiten factorizar expresiones?
Sí, ya que tenemos que encontrar las dimensiones de las instalaciones a partir del área.
¿Hay un tamaño único para cada espacio que cumpla los requisitos o puede
haber distintas expresiones para las dimensiones de cada espacio?
No hay un tamaño único.
El juego de memoria
7. Organícense en el salón para jugar memoria.
Corten dos cartulinas tamaño carta en 9 partes iguales cada una.
En nueve de los papelitos recortados escriban con plumón las expresiones:
2
1. x 1 x 1
1
4
2. 4x 2 2
6. x 1
4
x 1
3
2 4
2 9
7. x 4 2 y 4
2. 7.
8. 6.
3. 1.5x 2 1 1.5x
4. z 2 1 9z 1 20
5. 81 2 y 2
3.
8. 9y 2 1 6xy 1 x 2
4. 1.
9. a 2 5. 1 7a 1 10 9.
En los otros nueve papelitos escriban con plumón las expresiones:
1. (3y 1 x) 2
2. x 1
1
2
2
c m
3. (9 – y) (9 1 y)
4. 1.5x(x 1 1)
5. (z 1 5)(z 1 4)
2 2 6. (x 1 y)(x 2 y)(x 1 y )
7. x 1
1
x 1
3
c
2
mc 2
m
8. (2x 2 3) (2x 1 3)
9. (a 1 5) (a 1 2)
Revuelvan los papelitos y colóquenlos boca abajo sobre una mesa. Sólo cuatro
personas participarán en cada ronda y jugarán como en el tradicional juego de
memoria, sólo que las tarjetas pares no tendrán expresiones iguales, sino tarjetas
equivalentes. Es decir, un par lo forman una expresión algebraica y su correcta
factorización.
4)
página
8
1) La original (x)(x) x 2 ; la
del profesor (x 2 a)(x 1 a);
la primera del dueño
(x 1 a)(x 1 b); la segunda
del dueño (x 1 a) 2 .
2) La original (x)(x) x 2 ; la
del profesor
(x 1 12)(x 2 12) x 2 2 144;
la primera del dueño
(x 1 10)(x 1 5)
x 2 1 15x 1 50; la segunda
del dueño
(x 1 8) 2 x 2 1 16x 1 64.
3) La que tendrá el área
más grande es la segunda
propuesta del dueño del club.
4) Junto a cada expresión se
anota el número de la que le
corresponde del listado de
abajo.
Desarrollo
11

Desarrollo
12
página
8
8. Realiza las siguientes actividades.
Encuentra cuál de las tres opciones es el resultado de cada producto.
x
1
x
3
c
2
mc 2
m
2
1. x 12x
+
3
4
2
2. x 1
3x
+
3
2 4
2
3. x 1
4
+
3
x
2 4
x
1
x
1
c -
4
mc 4
m
2
1. x 1
1
x +
3
2 8
2
2. x 1
1
16
2
3. x 2
1
16
3 ax(2ab 5 bxy)
2 2
1. 6axb 115
abxy 2. 2a xb 15abx
y
2 2
3. 6a bx 115abx
y
2 2 Encuentra las dimensiones de un rectángulo que tiene 4x 2 25 cm de
área.
¿Cuántas horas trabajé el día de hoy si después de d días trabajé d 2 ancho 2x 2 5; largo 2x 1 5
2 3d
horas? d 2 3
Ancho x 1 7;
2 Encuentra las dimensiones de un rectángulo que tiene x 1 15x 1 56. largo x 1 8
Calcula los siguientes productos:
(x 1 a) 2 x
(x 1 a)(x 1 b)
(x 1 a)(x 2 a)
2 1 2ax 1 a2 x2 1 (a 1 b) x 1 ab
x2 2 a2 Factoriza las expresiones:
x 2 1 2ax 1 a 2
ax 2 1 bx 2
x 2 1 bx 1 c
x 2 2 a 2
(x 1 a) 2
x2 (a 1 b)
2 2
b b 4c
b b 4c
fx pfx p
2 2
(x 1 a)(x 2 a)
La factorización como herramienta útil
La factorización es muy útil e importante cuando se tienen expresiones algebraicas
complejas. Descomponer una expresión en los factores que la conforman, como lo
viste en esta secuencia didáctica, consiste en reescribirla únicamente en términos de
un producto de expresiones.
Muchas expresiones se forman del producto de más de dos factores, por ello, no hay
una única forma de factorizar una expresión.
4 2
Por ejemplo, observa la siguiente expresión:
x
-
x
; vamos a factorizarla de distintas
4 16
maneras:

x 4 2
2
x x2
4 16 4 (x 2 2 1 2
4 )
x
4 (x 2 1 2 )(x 1 1 2 ) 1 4 (x 2 ) (x 2 1 2 )(x 1 1 2 )
1
(x) (x)
4 (x 2 1 2 )(x 1 1 2 )
x 4 2
2
x
4 16 2 x ( 2 2 x 2 x
4)( 2 1 x 4) [ x 2 (x 2 1 2)][ x 2 (x 1 1 2)] ( x 2)( x 2 2)(x 1 1 2)(x 1 2)
¿Cuál es la correcta? Depende de la situación problemática. Debemos considerar que
la factorización es una herramienta de la que podemos echar mano cada vez
que lo requiramos, ya sea para ayudarnos a encontrar información o para simplificar el
trabajo. En ocasiones es difícil encontrar todos los factores al mismo tiempo, entonces
es conveniente factorizar una y otra vez las expresiones hasta llegar a un producto de
muchos factores. Por ejemplo, considera la expresión x 3 2 x; la primera factorización
que viene a la mente es x 3 2 x x(x 2 2 1). Esta expresión ya está factorizada, tenemos
aquí dos factores que se multiplican; si observamos el segundo factor, éste a su vez
puede factorizarse de la siguiente manera: (x 2 2 1) (x 1 1)(x 2 1), de ese modo, la
expresión original se factorizaría así: x 3 2 x x(x 1 1)(x 2 1), y con esto tenemos dos
factorizaciones distintas para una expresión. Dependiendo de la situación problemática
en la que se trabaje, se decidirá hasta qué punto se factorice; generalmente es conveniente
factorizar las expresiones al máximo para simplificar el trabajo.
Presentación de nuestro trabajo
página
9. Concluyan su diseño del club y preséntenlo al grupo y al profesor.
9
Para cada instalación del club, descompongan en factores las expresiones que representan
el área. 1)
Después de una correcta factorización, hagan el diagrama de cada instalación, utilizando
cada factor como una dimensión de la figura. R. L.
Asignen a la variable x un valor que les parezca que brinda un tamaño adecuado
a las instalaciones. Pueden probar varios valores para encontrar el que les parezca
más adecuado. R. L.
Una vez que tengan las dimensiones para un valor específico de x, elijan una escala
para representar el diseño en las cartulinas. R. L.
Especifiquen para cada espacio las medidas en términos de x y en términos del
valor que eligieron para x. R. L.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su Archivo de evidencias. Para saber
cómo funciona el Archivo de evidencias, revisa la Plataforma de Sistema UNO
en www.sistemauno.com.
¿Cómo nos fue?
En esta secuencia didáctica aprendiste dos conceptos muy importantes y que,
como ya te diste cuenta, son inversos entre sí:
Tres productos desarrollados, con los que podrás resolver más fácilmente
ciertas multiplicaciones de expresiones algebraicas.
Cuatro maneras de simplificar expresiones, al descomponerlas en los factores
que las conforman.
¿Qué tan útil te parece que es conocer los productos simplificados y los métodos
de factorización? R. M. Ayudan a poder escribir como producto una expresión algebraica.
¿Qué tan fácil te pareció elegir cuál utilizar en las actividades y en los casos
de la alberca y del club? R. L.
¿Cómo fue la organización de tu equipo para el proyecto? R. L.
1) Jacuzzi: (x)(x); alberca
cubierta: (x 1 8)(x 2 8);
salón de baile: (x 1 3)(x 1 3);
vestidores: (x 1 5)(x 1 10);
salón de aparatos: (x)(x 1
12); alberca al aire libre:
(x 1 8)(x 1 8).
El egipcio Caleb Gattegno
(1911-1988),
en 1961, presentó el
geoplano en la primera
publicación conjunta
de la Comisión
Internacional para la
Mejora de la Enseñanza
de las Matemáticas.
El geoplano
original consistía en
una plancha de madera
con pivotes o
clavos que formaban
una cuadrícula en la
que, con gomas elásticas,
se representan
diferentes figuras
geométricas, como el
siguiente trapecio.
a 2
¿Cuáles expresiones
algebraicas representan
al área del trapecio
del geoplano?
¿Cuántas obtuviste?
¿Son equivalentes?
¿Por qué?
Fuente: http://
en.wikipedia.org/wiki/
Caleb_Gattegno
Desarrollo
Cierre
13

Inicio
Planeación
Bloque 1
14
Secuencia
2
1) Los dos segmentos son
de igual medida, pero las
flechas hacen que parezcan
de distinto tamano.
2) Las áreas verde y azul
son de igual tamano.
Porque los triángulos P y
S son congruentes y los
triángulos T y H también son
congruentes.
3) En la medición directa de
sus longitudes.
4) La relación que hay entre
los triángulos que se forman.
5) Los cuadriláteros son
figuras de cuatro lados
rectos, la suma de sus
ángulos interiores es 360°,
en algunos cuadriláteros
las diagonales se cortan
en el punto medio, en los
rombos y en los cuadrados
las diagonales son
perpendiculares.
Algunos cuadriláteros tienen
un par de lados paralelos y
otros tienen dos pares.
Propiedades de
los cuadriláteros
Conocimientos y habilidades
1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cua-
driláteros.
Ilusiones ópticas. ¿Pueden engañarte?
En geometría tendemos a creer que muchas cosas son verdaderas sólo por lo que
percibimos visualmente. Sin embargo, existen herramientas exactas que nos ayudan a
comprobar nuestras afirmaciones.
1. Observa las imágenes y responde.
Si comparas los dos segmentos azules, ¿cuál es más largo? Explica por qué. 1)
En la segunda imagen, GAXR es un cuadrilátero. Si comparas el área verde con la
azul, ¿qué puedes concluir? Explica por qué. 2)
Preguntas para andar
Para conocer la relación entre los dos segmentos respecto de su longitud,
¿en qué te puedes apoyar? 3)
En el segundo caso, ¿qué información necesitas para saber cuál es la relación
entre el área azul y la verde? 4)
¿Qué propiedades tienen los cuadriláteros y cómo puedes justificarlas con
base en lo que has aprendido sobre congruencia de triángulos? 5)
Al finalizar esta secuencia, entregarás a tu profesor una tabla con la clasificación
de los cuadriláteros y sus propiedades. Para ello, deberás fijar criterios que te
permitan clasificarlos, así como establecer semejanzas y diferencias.
A lo largo de las actividades, aprenderás diversas propiedades de los cuadriláteros
que te ayudarán a su clasificación. Al elegir cada propiedad, deberás
justificarla basándote en los conocimientos aprendidos en grados escolares
anteriores.
P
S
T
H

Los cuadriláteros y sus propiedades
Arturo, Pilar y Jorge encontraron tres maneras de resolver el
primer problema de la actividad inicial.
Arturo: Se ve que el segmento de abajo es más largo; me guío
por la forma de las flechas.
Pilar: Pues usé mi regla y medí. Los dos segmentos miden lo mismo.
Jorge: Comparé los dos segmentos con mi compás y los dos
miden lo mismo.
¿Qué estrategias utilizarías para comparar los dos segmentos
y tomar tu decisión? 1)
¿Cuál de las estrategias presentadas por Arturo, Pilar y Jorge consideras que da la
mejor respuesta? Explica por qué. 2)
2. Pasemos al segundo problema. Debes determinar si el cuadrilátero GULJ tiene
mayor, menor o igual área que el cuadrilátero LDXM y explicar los motivos de tu
afirmación. Recuerda que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados rectos.
¿Qué información acerca de este cuadrilátero necesitas saber para conocer cuál
es la relación entre las áreas con color? El tipo de cuadrilátero que es.
Arturo, Pilar y Jorge tienen diferentes respuestas. ¿Con cuál coincide la tuya?
R. M. La respuesta de Jorge es la correcta.
Arturo comenta que el área azul es menor que el área verde. Se ve a simple vista.
Pilar dice que ella midió con la regla y encontró que las dos áreas miden lo mismo
aplicando la fórmula para calcular el área (base 3 altura).
Jorge no puede saber la relación entre las áreas, a menos que tenga más información
sobre el tipo de cuadrilátero que es GAXR y conozca la relación que hay
entre las rectas JD y RX y el cuadrilátero.
Dado que Jorge solicitó más información, su profesor le presentó las siguientes
figuras que corresponden al mismo problema del cuadrilátero. ¿Cambiarías tu respuesta?
Explica por qué. R. M. No cambiaría la respuesta puesto que en estos cuadriláteros
también es necesario conocer la relación entre las rectas JD y RX.
Además hay otro dato: GAXR es un paralelogramo.
página
10
¿Qué relación hay entre GA, JD y RX ? Son segmentos paralelos.
¿Qué relación hay entre GR, UM y AX ? Son segmentos paralelos.
¿Qué relación tiene RA con el cuadrilátero? Es una de sus diagonales.
Comenta tus respuestas con el profesor y tus compañeros.
¿Sabías que los triángulos tienen la
propiedad de ser indeformables y que
por ello se les usa en la industria para
dar consistencia a las estructuras de
edificios, puentes, aviones, y torres,
entre otras cosas? Con dos triángulos
congruentes se forman cuadriláteros
en estas estructuras, ¿qué tipo de
cuadrilátero piensas que se forma?
¿Cuáles propiedades de las vistas en
esta secuencia, satisface este tipo de
cuadrilátero?
1) R. M. Medir directamente
los dos segmentos.
2) R. M. La estrategia de
Jorge. Porque es más
precisa, la observación
directa no es un instrumento
de medición, y al medir con
la regla se puede tener un
margen de error.
Desarrollo
15

Desarrollo
16
Si tienes acceso a Internet, ahí encontrarás
programas de geometría dinámica que te
permitirán hacer tus construcciones. Podrás
explorar gran cantidad de ejemplos de
cuadriláteros y formular conjeturas sobre las
propiedades de las clases especiales de estos
polígonos.
Puedes pedir apoyo a tu profesor de matemáticas
o de computación, si nunca has
usado geometría dinámica.
Si no cuentas con una computadora, realiza
construcciones usando un geoplano hecho
con madera, clavos y ligas. Pregunta a tu
profesor tus dudas al respecto.
Para continuar resolviendo la situación problemática, Arturo investigó que hay varias
clases de cuadriláteros, como los que se muestran a continuación:
¿Cuál crees que sea una característica que tienen en
común cuadrados, rectángulos, rombos, romboides y
trapecios? Que se pueden dividir en triángulos congruentes.
3. Para caracterizar los diferentes tipos especiales de
cuadriláteros, concéntrate en las relaciones entre lados,
ángulos internos y diagonales. A continuación
encontrarás las diferentes propiedades que se pueden
establecer. Completa la tabla.
Propiedades Trapecio Romboide Rectángulo Cuadrado Rombo
Par de lados opuestos paralelos
Par de lados opuestos congruentes
Par de ángulos opuestos congruentes
Los ángulos adyacentes a un lado
oblicuo son suplementarios
Las diagonales se intersecan en el
punto medio
Las diagonales son congruentes
Las diagonales son perpendiculares
Las diagonales son bisectrices de los
ángulos
Todos los lados son congruentes
ü ü ü ü ü
ü
ü
ü
Reúnete con otro compañero e intercambien sus resultados.
ü
ü ü
ü
ü
ü
ü ü ü
Un cuadrilátero es un paralelogramo si los lados opuestos son paralelos.
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü
ü

Para entender mejor las propiedades de un paralelogramo, traza en tu cuaderno
dos cuadriláteros que sean paralelogramos y dos que no lo sean. Responde en tu
cuaderno.
Señala en cada caso su altura. ¿Cuántas alturas tiene un paralelogramo? 1)
Describe un procedimiento para construir un paralelogramo si se tienen dos
lados consecutivos. 2)
Escribe dos características que consideres que tienen los paralelogramos. 3)
Ahora hazlo usando dobleces. Toma una hoja de papel, traza dos cuadriláteros que
sean paralelogramos y dos que no lo sean. Recórtalos y dóblalos por sus diagonales.
¿Cuántas diagonales tiene? ¿Se intersecan? ¿En dónde?
Jorge concluyó que un paralelogramo cualquiera ABCD cumple con las siguientes propiedades:
Los lados opuestos son congruentes.
Los ángulos opuestos son congruentes.
Las diagonales se intersecan en el punto
medio.
En los paralelogramos que construiste, ¿se
cumplen esas tres propiedades? ¿Se cumplirán para todos los paralelogramos? En grupo
y con el profesor, comenten sus conclusiones usando diferentes estrategias.
En matemáticas, cualquier afirmación (conjetura, propiedad, descubrimiento) debemos
explicarla y justificarla basándonos en conocimientos (definiciones, propiedades, teoremas)
matemáticos conocidos o demostrados previamente. Este procedimiento se conoce
como demostración.
4. Completa las argumentaciones en la tabla para demostrar las propiedades del
paralelogramo. Recuerda: el signo ≅ que se lee es congruente con, establece la
relación de que dos ángulos miden lo mismo, o que dos segmentos o dos figuras
son iguales.
DAC
DCA CAB
AC AC
DABC D ADC Por el criterio de ALA
Son ángulos alternos internos formados entre la transversal AC y las paralelas
AD y CB.
Todo segmento es congruente consigo mismo.
Como los dos triángulos son congruentes, entonces podemos afirmar que AB D C
y B C AD . Es decir, que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
Ésta es la primera propiedad de los paralelogramos.
Asimismo, de la congruencia entre los triángulos ABC y CDA se deduce que
CDA ABC. De la congruencia entre los triángulos ABD y CDB se concluye que
DAB BCD.
Con lo anterior se demuestra que los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.
Ésta es la segunda propiedad de los paralelogramos.
página
11
congruencia. En geometría
la congruencia
es una relación que
se establece entre
dos lados, dos ángulos
o dos figuras. Es
decir, si dos ángulos
son congruentes es
porque tienen la misma
medida. Asimismo,
dos figuras son
congruentes si son
iguales en tamaño y
forma; las dos deben
coincidir cuando se
superpone una sobre
la otra. Y dos segmentos
son congruentes
si tienen la misma
longitud.
bisectriz. Recta que
divide a un ángulo
dado en dos ángulos
iguales.
Son ángulos alternos internos formados entre la transversal AC y las paralelas CD y AB.
1) Con el compás se toma la
medida de uno de los lados
y se traza un segmento
paralelo a éste, con igual
longitud, cuidando que uno
de sus extremos coincida
con uno de los extremos del
otro lado. Después se sigue
el mismo procedimiento
para el segundo lado.
2) Dos alturas.
3) Tienen dos pares de lados
paralelos. Sus diagonales se
cortan en el punto medio.
Desarrollo
17

Desarrollo
18
AB DC
BAC ACD
Para demostrar la tercera propiedad, sea O el punto en el que se intersecan las diagonales
AC y BD. ¿Qué relación tienen los triángulos ABO y OCD? Completa la tabla.
Son lados opuestos de un paralelogramo.
ABD BDC
Son ángulos alternos internos formados por la transversal DB y las paralelas AB y CD.
DABO D DCO
Por el criterio de ALA (ángulo, lado, ángulo).
página
12
1) Sus diagonales son
perpendiculares y se cortan
en el punto medio.
2) Como las diagonales son
perpendiculares, entonces
los ángulos que se forman
al cortarse son rectos.
En un paralelogramo, las
diagonales se cortan en el
punto medio, por tanto se
forman cuatro triángulos
congruentes por el
criterio LAL. Esto implica
que los cuatro lados
del paralelogramo son
congruentes, por tanto se
trata de un rombo.
3) No se puede afirmar
que es un rombo, pues se
puede tratar de un papalote
(figura siguiente).
Son ángulos alternos internos formados por la transversal AC y las paralelas AB y CD.
Como viste, los dos triángulos son congruentes, entonces podemos afirmar que
AO OC y que D O OB . Esta es la tercera propiedad de los paralelogramos.
5. En grupo y con el profesor, comenten sus respuestas y lo que significa la demostración
anterior. ¿Las tres propiedades las cumplen los rectángulos y los trapecios?
Expliquen por qué. Los rectángulos sí cumplen las tres propiedades porque son
paralelogramos. Los trapecios no las cumplen porque no son
paralelogramos.
Respecto de los rombos, Pilar se dio cuenta de que son paralelogramos con todos
los lados congruentes. Reúnete con dos compañeros y tomen cuatro trozos de papel
y popotes o palillos de igual longitud. Ahora construyan rombos. ¿Qué relaciones
se pueden establecer entre sus diagonales? 1)
¿Cómo podrías demostrar, usando los criterios de congruencia de triángulos, que
“si un paralelogramo tiene sus diagonales perpendiculares, entonces se trata de un
rombo”? 2)
Diseña junto con tu compañero una manera de argumentar geométricamente
esta propiedad del rombo y analicen: si un cuadrilátero tiene sus diagonales
perpendiculares, ¿se puede afirmar que es un rombo? 3)
6. Retomemos la situación problemática inicial de las áreas.
Si sabes que GAXR es un paralelogramo:
¿Qué relación hay entre GA y RX y entre GR y AX ?
¿Qué relación hay entre los triángulos RGA y AXR? Son congruentes.
¿Qué relación hay entre el área del triángulo RGA y el triángulo AXR?
Las áreas son iguales.
Otra información importante es que UM es paralelo a GR y que JD es paralelo a
GA.
¿Qué relación hay entre los triángulos ADL y LUA y entre los triángulos RJL y
LMR? Son congruentes, respectivamente.
¿Cómo son las áreas entre triángulos congruentes? Las áreas son iguales.
Con los argumentos anteriores, ¿qué puedes concluir de las áreas de los paralelogramos
GULJ y DLMX? Son iguales.
¿Cómo vamos?
Son lados opuestos paralelos,
respectivamente.
7. Decide cuáles son las características que te permitirán organizar mejor la
información de los cuadriláteros de tu tabla. Considera relaciones de congruencia
y paralelismo.

8. Resuelve las actividades en el cuaderno.
Investiga qué propiedades tienen los rectángulos y los cuadrados en relación
con sus ángulos, lados y diagonales. Elige dos y construye una explicación
matemática para cada propiedad. 1)
Observa las indicaciones en el cuadrado ABCD y demuestra que I es el punto
medio de BC . 2)
Las siguientes figuras se trazaron a mano. En cada caso, completa las medidas
e indica qué tipo de cuadrilátero es. Argumenta tu respuesta valiéndote de
lo que aprendiste en la secuencia.
4cm
4cm
75o
50o 70o
4cm
75o
6cm
30o
75o
70o 60o
5cm 75o
50o
4cm
Observa las figuras y, tomando como referencia la
información que se da en cada una, indica el tipo
de cuadrilátero y los criterios de congruencia de
triángulos utilizados para justificar tu resultado. 3)
Resuelve el siguiente problema: sea ABCD un
cuadrilátero cualquiera, ¿qué condiciones debe
cumplir para poder obtener triángulos congruentes
al trazar las diagonales? Que sea un paralelogramo.
¿Qué tipo de cuadrilátero es aquel que al trazar
sus diagonales queda dividido en triángulos
congruentes dos a dos? Un paralelogramo.
Presentación de nuestro trabajo
9. Presenta tu trabajo al profesor y a tus compañeros.
Comenta con tus compañeros los criterios que utilizaste para hacer la tabla. Asimismo,
explica la razón por la que elegiste la propiedad que justificaste geométricamente
utilizando tus conocimientos sobre congruencia de triángulos.
Analicen conjuntamente el proceso seguido en algunas de las justificaciones.
Conserva tu trabajo e intégralo a tu Archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
R. L.
¿Qué aprendiste en esta secuencia sobre las propiedades de los cuadriláteros
y su relación con los criterios de congruencia de triángulos?
¿Realizaste las actividades propuestas por el profesor durante la secuencia?
¿Investigaste sobre otras propiedades de los cuadriláteros especiales?
¿Respetaste las ideas de tus compañeros y propusiste las tuyas para llegar a
acuerdos conjuntos?
3.5cm
3.5cm
página
13
1) Los rectángulos y los
cuadrados tienen cuatro
ángulos rectos, es decir,
sus ángulos opuestos son
congruentes. Tienen dos
pares de lados paralelos.
Sus diagonales se cortan en
el punto medio.
2) Se debe demostrar que
BI es congruente con IC.
Para ello basta justificar
que el triángulo BOI es
congruente con el triángulo
COI. Como ADCB es un
cuadrado, entonces es un
paralelogramo, por tanto
sus diagonales se cortan en
el punto medio, de ahí que
BO es congruente con CO,
entonces el triángulo BOC
es isósceles, por tanto, el
ángulo B es congruente con
el ángulo C. Luego, OI es un
lado común a ambos
triángulos y es
perpendicular, entonces
los dos triángulos tienen un
ángulo recto. Por tanto, los
dos triángulos tienen dos
ángulos correspondientes
iguales y el tercer ángulo
también es congruente. Por
el criterio LAL, los triángulos
BOI y COI son congruentes,
esto implica que BI y CI son
iguales, por tanto I es el
punto medio de BC.
3) El cuadrilátero ABCD
es un romboide. Por
LAL, el triángulo DOC
es congruente con el
triángulo AOB, por tanto,
AB es congruente con DC.
Por LAL, el triángulo COB
es congruente con el
triángulo DOA, por tanto,
AD es congruente con BC.
Luego, el triángulo DAB es
congruente con el triángulo
BCD, por tanto, el ángulo
A es congruente con el
ángulo C y el ángulo B es
congruente con el ángulo D.
Por consiguiente se trata de
un romboide.
Desarrollo
Cierre
19

Planeación Inicio
Bloque 1
20
8.5 cm
Secuencia
3
6.9 cm
cicloide. Es una
curva plana que se
obtiene al hacerse
rodar un círculo, sin
que resbale, sobre
una recta. La marca
dejada por un punto
perteneciente a la
circunferencia de este
círculo es la cicloide.
hipotrocoide. Es la
curva que traza un
punto situado a una
distancia c del centro
de un círculo que
rueda, tangencialmente
sin resbalarse,
dentro de un círculo
fijo más grande.
epitrocoide. Es la
curva que traza un
punto situado a una
distancia c del centro
de un círculo que
rueda, tangencialmente,
sin resbalarse,
por fuera de un
círculo fijo.
Circunferencias y rectas
Conocimientos y habilidades
1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre
circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
Las latas de atún
Don Fernando ha pensado en dos formas de empaquetar los atunes enlatados “Perla
del Pacífico” a fin de transportarlos. La primera consiste en usar una caja para cada
lata y la segunda, en colocar varias latas en una caja.
El diámetro de cada lata es de 6.9 cm y la altura, de 8.5 cm. Ubica y escribe estos datos
en la imagen de la izquierda. La idea es no desperdiciar material y que las latas no se
maltraten en el traslado. Las opciones presentadas por la oficina de mercadeo de la
empresa son cajas cuyas bases miden:
15 cm 6.9 cm 8 cm 8 cm 6.9 cm 6.9 cm 6 cm 6 cm
Uno de los diseñadores asegura que la mejor opción es aquella donde la base de la lata
sea tangente a los lados de la caja. ¿Qué significa esto?
1. En el cuaderno haz un modelo plano, visto desde arriba, de las bases de las cajas
como rectángulos. Después, responde: Ver Solucionario
¿Cuántas latas caben en cada propuesta? Explica tu respuesta.
¿Qué figura geométrica utilizaste para representar las latas en tu dibujo?
¿Cómo quedan acomodadas las latas en cada propuesta?
Preguntas para andar
Nuestro trabajo
Ver Solucionario
¿De qué manera deben quedar acomodadas las latas para aprovechar lo mejor
posible el espacio disponible en cada una de las cajas propuestas?
Cuando se trazan una recta y una circunferencia, o dos circunferencias,
¿qué relaciones se pueden establecer entre ellas?
¿Qué diferencia hay entre recta secante y recta tangente a una
circunferencia? La recta secante toca a la circunferencia en dos puntos y la recta
tangente sólo la toca en un punto.
En equipo construirán dos de las siguientes tres figuras geométricas: cicloide,
hipotrocoide y epitrocoide.
Indagarán cómo son esas curvas, cómo se pueden construir y qué materiales
necesitarán.
Al finalizar, explicarán a todo su grupo cómo se construyen las curvas elegidas y
qué aplicación les encontraron.

Latas empacadas
2. Retomemos el problema del empaque de las latas. En los siguientes cuadrados,
hechos a escala, ubica el centro y traza a partir de ahí una circunferencia, también
a escala, que represente a cada lata de atún.
Caso 1
Caso 2
4 cm
3 cm
3.45 cm
Analiza caso por caso. Para cada uno de los cuadrados, contesta las siguientes
preguntas en el cuaderno.
¿Qué relación hay entre la circunferencia y los lados del cuadrado? ¿Se intersecan
o no? 1)
Elije un lado del cuadrado. ¿En cuántos puntos interseca ese lado a la circunferencia?
Toma otro lado. ¿Varía en número de puntos de intersección? 2)
Coloca un punto sobre uno de los lados del cuadrado, de tal manera que la distancia
de ese punto al centro de la circunferencia sea la más corta.
Después del análisis anterior, ¿cómo encontraste la menor distancia que hay entre
el centro de la circunferencia y el lado elegido del cuadrado? Coméntalo con otro
compañero. R. M. Trazando varios segmentos del centro de la circunferencia a un lado del cuadrado.
Lo que acabas de ver son las posibles relaciones que se pueden establecer entre una
circunferencia y un segmento. Esto es, no se tocan, se tocan en un único punto o se
tocan en dos puntos.
Ahora, analiza qué pasa si en lugar de un segmento (lado del cuadro) tenemos una
recta.
¿Cambian las relaciones entre la recta y la circunferencia? No cambian.
¿Sigue siendo útil tu procedimiento para calcular la menor distancia entre la
recta y el centro de la circunferencia? R. L.
3. Lean en pareja la siguiente información y contrástenla con su procedimiento
para calcular la menor distancia.
La distancia más corta de un punto a una recta es la línea
perpendicular del punto a la recta.
Caso 3
En el cuaderno, construyan una circunferencia y una
recta, de tal manera que se intersequen en un punto,
en ningún punto y en más de un punto. 3)
¿Cómo garantizan que se interseca en un único punto? Asegurando que la recta
y el radio de la circunferencia en el punto de intersección sean perpendiculares.
página
15
Caso 1
1) La circunferencia queda
dentro del cuadrado. No se
intersecan.
2) En ningún punto. En
ningún punto se intersecan.
Caso 2
1) La circunferencia corta al
cuadrado. Sí se intersecan.
2) En dos puntos. No varía.
Caso 3
1) La circunferencia toca los
lados del cuadrado. Sí se
intersecan.
2) En un punto. No varía.
página
15
3)
Desarrollo
21

Desarrollo
22
En geometría plana, las relaciones que se pueden establecer entre una recta y una
circunferencia se conocen como “posiciones relativas entre una recta y una circunferencia”
y tienen nombres específicos. Estos nombres (como se muestra en las figuras
siguientes) están determinados en función de la distancia (d ) del centro de la circunferencia
a la recta () con respecto al radio (R). Completa la tabla.
La recta y la circunferencia son Exteriores Tangentes Secantes
¿En cuántos puntos la recta toca (interseca)
a la circunferencia?
¿Cómo es la distancia (d ) en comparación
con el radio (R)?
geometría plana. Es
aquella parte de la
geometría que estudia
los elementos que
estén en dos dimensiones,
sus características
y propiedades,
es decir, aquellos
elementos geométricos
que estén contenidos
en un plano.
Por ejemplo, puntos,
polígonos, rectas,
ángulos, segmentos,
relaciones entre
puntos, bisectrices,
etcétera.
R
Q
Reúnete con un compañero y revisen sus conclusiones. Con esta información,
construyan una definición para cada una de las posiciones relativas entre la recta
y la circunferencia.
Una recta es exterior a una circunferencia si no la toca en ningún punto.
Una recta es tangente a una circunferencia si la toca en un solo punto.
Una recta es secante a una circunferencia si la toca en dos puntos.
Comparen sus definiciones con las de otros compañeros y coméntenlas con el profesor.
Construyan cada una de las definiciones entre todo el grupo.
Ahora, con la información que ya tienen, pueden argumentar cuál es la mejor opción
para empaquetar las latas de atún, de tal manera que no se desperdicie material y que
las latas no se maltraten al transportarlas.
Rectas tangentes
En ningún punto En un punto. En dos puntos.
Mayor
Igual
Menor
4. Con regla y compás, construye una recta tangente a la circunferencia de la izquierda
que pase por el punto P.
¿Cómo garantizas que, en efecto, la recta construida es tangente a la circunferencia
dada en el punto P ? Porque es perpendicular al radio OP.
Traza el radio que va del centro O al punto P. ¿Cuánto mide el ángulo que se forma
entre el radio y la recta tangente? 90°
Selecciona otro punto sobre la circunferencia y construye la tangente. ¿Qué procedimiento
seguiste para construirla? Se traza un radio y después se traza una recta,
perpendicular al radio, en el punto de intersección del radio y la circunferencia.

Escribe una conclusión en relación con lo obtenido en la actividad anterior.
La recta tangente a una circunferencia en un punto P es perpendicular al radio OP, donde O es
el centro de la circunferencia.
Lee la siguiente información y compárala con tu conclusión: toda recta tangente a
una circunferencia es perpendicular al radio. Al punto de intersección entre la recta,
el radio y la circunferencia se le conoce como punto de tangencia.
Comenta con tus compañeros y el profesor cuántas rectas tangentes puede tener una
circunferencia.
En la circunferencia anterior selecciona otro punto: Q. Traza una secante que pase
por el punto P y el punto Q.
¿Cuánto mide el ángulo que se forma entre el radio OP y la secante? 57°
¿Qué relación debe haber entre los puntos P y Q para que el ángulo en-
tre el radio y la secante en el punto de tangencia se aproxime a 90 grados?
Q debe ser igual a P.
Comenta tus respuestas con el profesor y los demás compañeros.
5. Con regla y compás construye las tangentes a una circunferencia desde un punto
exterior. Sigue las instrucciones.
Dibuja una circunferencia y etiqueta su centro con O.
Ubica un punto exterior a la circunferencia y llámalo N.
Une los puntos O y N con un segmento y encuentra el punto medio:
M.
Dibuja una circunferencia con centro en M y radio MN.
Une los puntos donde se intersecan las dos circunferencias, C y D,
con N.
Basándote en la figura, realiza las mediciones. Contesta en el cuaderno
lo siguiente:
página
16
¿Qué relación tiene la recta que contiene a los puntos N y C con la
circunferencia de centro O ? Arguméntalo. La recta es tangente en el punto C.
Traza los radios OC y OD. Ver figura. Porque es perpendicular al radio OC.
¿Cuánto mide el ángulo OCN ? ¿Y el ángulo ODN ? 90o
¿Qué relación tiene la recta que contiene a los puntos N y D con la circunferencia
de centro O ? Arguméntalo. La recta es tangente. Porque es perpendicular al radio OD.
El segmento NC es congruente con el segmento ND. ¿Por qué? Porque los triángulos OCN y ODN son congruentes.
6. Reúnete con otro compañero, analicen la siguiente afirmación y decidan si es
verdadera o falsa. Arguméntenlo.
Los segmentos tangentes desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes
y forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto y el centro de la
circunferencia. Es verdadero, porque los triángulos que se forman son congruentes.
Comenten sus resultados con el profesor y los demás compañeros.
página
16
Desarrollo
23

Desarrollo
24
7. Reúnete con tu equipo y repartan tareas. Por ejemplo, cada miembro del
equipo puede averiguar sobre una de las curvas. Con esta información podrán
decidir las dos curvas que van a construir. En cada caso observen
cuántas circunferencias y cuántas rectas se utilizan, qué relación hay entre
las rectas y la circunferencia, y qué relación hay entre las circunferencias.
Para hacer las construcciones pueden utilizar materiales como cartón y herramientas
como geometría dinámica o un espirógrafo.
Pueden revisar http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/
espirografo.htm.
8. Realiza las siguientes actividades.
En las siguientes figuras, el punto A es el punto de tangencia.
En la figura 1, AP AQ , ¿cuánto mide el ángulo Q ? 45°
En la figura 2, se sabe que mQ : mA 5 1:3. mQ significa la medida
del ángulo Q. ¿Cuánto mide el ángulo Q ?
En la siguiente figura, identifica las posiciones relativas entre las rectas (L1, L2
y L3) y las circunferencias (C1, C2 y C3).
Completa la tabla.
Recta L1
Recta L2
Recta L3
30°
Tangente Secante Exterior
C2 C1 C1
C3 C2 C2
C1, C2, C3

Posiciones relativas
de dos circunferencias
Para la siguiente actividad, necesitarás hojas en blanco,
regla, compás y transportador.
Las posiciones entre dos circunferencias pueden ser exteriores,
secantes, tangentes exteriores, tangentes interiores,
interiores y concéntricas.
9. De acuerdo con las instrucciones del profesor, cada
pareja deberá trazar dos circunferencias en dos posiciones
relativas diferentes entre ellas. En cada caso,
analicen la distancia entre los centros de las circunferencias
y la longitud de los radios.
Intercambien sus figuras y conclusiones con las parejas
que coinciden en las posiciones asignadas.
Presenten, a todo el grupo, la manera como se pueden construir
las diferentes posiciones y las conclusiones obtenidas.
Con la información anterior, elaboren en su cuaderno
una tabla como la siguiente y complétenla conjuntamente
con apoyo del profesor. R. M.
Circunferencias Figura
Exteriores
Secantes
Tangentes exteriores
Tangentes interiores
Interiores
Concéntricas
Presentación de nuestro trabajo
¿Cuántos puntos
de intersección hay entre
las circunferencias?
10. Presenten su construcción en una cartulina o en papel bond.
Expliquen a sus compañeros los pasos a seguir para realizar los trazos.
Compartan con sus compañeros y su profesor las dificultades a las que se enfrentaron
y la manera en que las superaron.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su Archivo de evidencias.
¿Cuáles son las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia? ¿Y
entre circunferencias? 7)
¿Qué diferencia hay entre recta secante y recta tangente a una circunferencia? 8)
Al interactuar con los demás equipos, ¿qué nuevas ideas surgieron para
construir las curvas elegidas?
página
17
Si quieres aprender más sobre tangencia entre
rectas y circunferencias, te sugerimos consultar
las siguientes páginas:
Aquí encontrarás, paso a paso, cómo construir
rectas tangentes y tienes la posibilidad
de hacer tus construcciones con figuras que
puedes transformar y mover.
www.educacionplastica.net/tangen.htm
En la siguiente página encontrarás información
complementaria al tema visto y podrás
explorar dinámicamente posiciones relativas
de una recta y una circunferencia.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_
didacticos/rectas_angulos_circunferencia/
UD1JLR.htm
¿Cómo es la distancia entre
los centros en relación
con los radios?
1) Ninguno Mayor que la suma de los radios
2) Dos Menor que la suma de los radios
3) Uno Igual a la suma de los radios
4) Uno Menor que la suma de los radios
5) Ninguno Menor que la suma de los radios
6) Ninguno
Menor que la suma de los radios
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) La recta puede ser
exterior a la circunferencia,
secante o tangente.
8) La recta secante toca
a la circunferencia en dos
puntos y la recta tangente
sólo la toca en un punto y es
perpendicular al radio, en el
que uno de sus extremos es
el punto de tangencia.
Cierre Desarrollo
25

Inicio
Planeación
Bloque 1
26
Secuencia
4
Ángulo de un tiro penal.
página
18
1) Encontrando el centro
de la circunferencia que
contiene a los tres vértices
del triángulo que se forma.
2) Se formaría una
circunferencia. En los
dos casos se forma una
circunferencia.
3) El ángulo central es aquél
cuyo vértice es el centro
de la circunferencia. Un
ángulo inscrito es aquél
cuyo vértice es un punto
de la circunferencia. Es la
1/2 de la medida del ángulo
central.
Circunferencias
y ángulos
Conocimientos y habilidades
1.4. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos
abarcan el mismo arco.
Tiro a gol
Preguntas para andar
Los jugadores de futbol practican el tiro penal una y otra vez.
Para que un jugador meta el balón entre los postes de la
portería, debe lanzar un tiro desde el punto penal, cuidando
de que el ángulo no sea mayor a 37º, como se muestra en la
fotografía.
Si el tiro a gol pudiera lanzarse desde cualquier punto de la
cancha, pero cuidando de que el ángulo en donde está el balón
y los dos postes de la portería siempre fuera de 37°, ¿qué
figura formarían todos esos posibles puntos de tiro?
Una circunferencia
¿Cómo podrías trazar esa figura que se forma y que contiene todos los puntos
de tiro a la portería cuyo ángulo es de 37°? 1)
Si vas a fotografiar a un grupo de amigos y los tomas desde distintos puntos
para captar varios ángulos diferentes, pero siempre al grupo completo, ¿qué
figura formarán los puntos en donde te detienes a tomar cada foto? ¿En qué
se parece esto al problema del tiro a gol? 2)
¿Sabes qué es un ángulo central? ¿Y un ángulo inscrito en un círculo? ¿Qué
relación tiene su medida con la medida del ángulo central que corta un
mismo arco sobre la circunferencia? 3)
En parejas van a construir una maqueta, en donde se muestre la relación que
existe entre el ángulo inscrito y el ángulo central que abarcan un mismo arco
sobre una circunferencia.
Podrán usar una base de madera, de corcho o de cartón; clavos, estambre o
cuerda.
Debe verse la forma en que la medida del ángulo central está relacionada
con la medida del ángulo inscrito, por lo que estarán indicados los 360°
alrededor del círculo. Por otra parte, se debe poder modificar el ángulo con
facilidad y observar la relación numérica entre ambos ángulos.

Ángulo inscrito y ángulo central
1. Trabajen en parejas para realizar la actividad.
Dibujen en el cuaderno un círculo con centro O y diámetro AC, como
el que se muestra a la derecha. Marquen un punto B sobre la circunferencia,
ya sea arriba o abajo del diámetro. Tracen los segmentos AB y
BO. Observen los ángulos BAC y BOC. ¿La medida del ángulo BAC es
mayor, menor o igual que la del ángulo BOC ? Es menor
Midan los ángulos BAC y BOC y anoten sus resultados en el primer
renglón de la tabla. Marquen un segundo punto B sobre la circunferencia.
Vuelvan a medir los ángulos BAC y BOC y anoten sus resultados
en la tabla. Repitan este proceso dos veces más.
BAC BOC
50°
13°
28°
44°
¿Qué relación existe entre la medida del ángulo BAC y el ángulo BOC ? ¿Se cumple
esa relación sin importar en dónde esté ubicado el punto B ? Coloquen el
punto B sobre la circunferencia, pero debajo del diámetro. ¿Se sigue cumplien-
do la misma relación? 1)
Observen que el ángulo BOC es un ángulo exterior al triángulo BOA. ¿Conocen
alguna relación entre el ángulo exterior y los ángulos interiores de un triángulo?
¿Qué tipo de triángulo es el triángulo BOA? ¿Cómo son sus ángulos entre sí?
La medida del ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos
opuestos. Es un triángulo isósceles. Los ángulos adyacentes a los lados iguales son iguales.
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y coméntenlas con el profesor.
Ahora tracen otro círculo en su cuaderno y marquen los segmentos AB, AD, BO
y DO, como se muestra en la figura de la derecha.
Estimen cuánto mide el ángulo BAD y el ángulo BOD. ¿Cuál es mayor? ¿Qué
relación creen que existe entre ambos ángulos?
Es mayor el ángulo BOD. La medida del ángulo BAD = 1 de la medida del ángulo BOD .
2
Midan los ángulos BAD y BOD y anoten sus resultados en el primer renglón de
la tabla. Marquen sobre la circunferencia otros puntos B y D diferentes a los anteriores
y midan otra vez los mismos ángulos, anotando en el segundo renglón
de la tabla sus resultados. Repitan este proceso dos veces más.
BAD BOD
52°
21°
100°
26°
56°
88°
104°
¿Qué relación encontraron entre la medida del ángulo BAD y la del ángulo BOD ?
42°
La medida del ángulo BAD = 1 2 de la medida del ángulo BOD.
página
18
B 1
B 4
B 3
1) La medida del ángulo
BAC es la mitad de la
medida del ángulo BOC.
Se cumple la relación
sin importar la ubicación
del punto B. Sí, se sigue
cumpliendo la relación.
B 2
Desarrollo
D
B
27

Desarrollo
28
A
O
1) El ángulo BAD mide 22°
y el ángulo BOD, 88°. El
ángulo BOD mide el doble
de lo que mide el ángulo
BAD.
2) El ángulo BAD es un
ángulo inscrito y el ángulo
BOD es un ángulo central,
ambos abarcan el mismo
arco.
Cuando el vértice de un ángulo trazado dentro de un círculo está sobre la circunferencia
se llama ángulo inscrito, a diferencia del ángulo central, que tiene su vértice en el
centro del círculo. En la figura de la actividad anterior, BAD es un ángulo inscrito y BOD
es un ángulo central.
El ángulo BAD corta la circunferencia en los puntos B y D, para formar el arco
BD. Un arco es un fragmento de la circunferencia. El ángulo BOD también
corta la circunferencia y forma un arco. ¿Qué relación tienen entre sí los arcos
que forman el ángulo BAD y el ángulo BOD en la circunferencia anterior?
¿Cómo podemos estar seguros de que siempre se cumple la relación que encontraron
entre el ángulo inscrito y el ángulo central cuando éstos abarcan el
mismo arco? Con una demostración geométrica.
Para la siguiente actividad, tomen en cuenta las definiciones de ángulo inscrito y ángulo
central que ya estudiaron.
D
Son el mismo arco.
En la siguiente circunferencia que se muestra, considerando las longitudes de los
lados del triángulo BOA, ¿qué clase de triángulo es? Isósceles.
Midan el ángulo BAC. 22°
¿Cuánto mide el ángulo ABO ? ¿Por qué? 22°, porque en un
B
C
triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales.
¿Cómo pueden calcular la medida del ángulo BOA? La suma de
los ángulos interiores de un triángulo es 180°, por lo que 180° − 44° = 136°
¿Cuánto mide entonces el ángulo BOC ? 44°
¿Qué relación encontraron entre el ángulo BAO y el ángulo BOC ?
Observen que el ángulo BOC es el ángulo exterior al triángulo BOA.
La medida del ángulo BAO es la mitad de la medida del ángulo BOC.
Midan el ángulo DAC y repitan el procedimiento anterior.
Calculen las medidas de los ángulos ADO, DOA y DOC.
22°, 136°, 44°
¿Cómo saben que el ángulo OAD mide lo mismo que el ángulo ODA?
Porque el triángulo AOD es isósceles.
Calculen el valor del ángulo BAD y del ángulo BOD. ¿Qué relación hay entre ellos?
1)
¿Qué clase de ángulo es BAD ? ¿Y el ángulo BOD ? 2)
Si ahora generalizamos y decimos que la medida del ángulo BAO es x, podemos
encontrar el valor de los ángulos ABO, BOA y BOC en términos de x. ¿Cuánto
medirían estos ángulos? m∠ABO 5 x, m∠BOA 5 180 2x, m∠BOA 5 2x
Si decimos que la medida del ángulo DAO es y, ¿cuánto miden los ángulos ADO,
DOA y DOC ? m∠ADO 5 y, m∠DOA 5 180 2y, m∠DOC 5 2y
Comparen sus respuestas con sus compañeros y coméntenlas con el profesor para
obtener una conclusión.

En la siguiente actividad podrán reafirmar lo aprendido acerca de los ángulos inscrito
y central.
Trabajen con la figura de la derecha.
El ángulo BOD mide 80°. El
¿Cuánto mide el ángulo BOD? ¿Y el ángulo BAD ? ángulo BAD mide 40°.
¿Se confirma la relación que existe entre el ángulo inscrito y el ángulo central
que cortan el mismo arco? Sí.
¿Qué sucedería si el punto A estuviera “detrás” del punto O, es decir, si
el punto O se ubicara en el interior del ángulo BAD ?
Se sigue conservando la relación.
En la segunda figura, el ángulo BAD es un ángulo inscrito que corta en la circunferencia
un arco BD igual al que corta el ángulo central BOD. ¿Se sigue cumpliendo
la relación que se encontró anteriormente entre estos ángulos? Sigan los
pasos correspondientes para averiguarlo.
Observen el segmento AO. Considerando la longitud de los lados del
triángulo BAO, ¿de qué clase de triángulo se trata? ¿Cómo lo saben?
¿Qué ángulos son iguales? Se trata de un triángulo isósceles porque tiene dos
lados de igual magnitud, que son radios de la circunferencia. Los ángulos iguales
son BAO y ABO.
Suponiendo que el ángulo BAD mide 42° y el ángulo DAO mide 14°,
¿cuánto mide el ángulo BAO ? ¿Y el ángulo ABO ? ¿Cómo lo saben?
El ángulo BAO mide 56°. El ángulo ABO mide 56°. Son los ángulos iguales del
triángulo isósceles.
¿Cuánto suman los tres ángulos de cualquier triángulo? ¿Cuánto mide el án-
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un
gulo AOB ? triángulo es 180°. El ángulo AOB mide 68°.
Ahora fíjense en el triángulo ADO. Considerando la longitud de sus lados,
¿de qué clase de triángulo se trata? ¿Qué ángulos son iguales? ¿Cuánto
mide el ángulo ADO ? De un triángulo isósceles. Son iguales los ángulos ADO y
DAO. Miden 14°.
Si conocen las medidas de los ángulos DAO y ADO, ¿cuánto mide el ángulo AOD ?
El ángulo AOD mide 180° − 28° = 152°.
Si conocen la medida del ángulo AOD y ya encontraron previamente la medida
del ángulo AOB, ¿cómo pueden calcular la medida del ángulo BOD ?
152° – 68° = 84°
¿Qué relación existe entre la medida del ángulo inscrito BAD y el ángulo
central BOD ? La medida del ángulo BAD es ½ de la medida del ángulo BOD.
Comparen sus respuestas y coméntenlas con el profesor.
¿Cómo vamos?
Cuando hagan su maqueta, es importante que se puedan construir diferentes
ángulos y que quede clara la relación que existe entre el ángulo central y el án-
gulo inscrito. Usen su ingenio y creatividad. El material didáctico que están elaborando
les puede servir a sus compañeros para entender mejor estos conceptos
matemáticos.
14°
42° 56°
68°
152°
En el suelo de la calle
“Paseo de la fama” de
Hollywood (California,
Estados Unidos de
América), hay más
de dos mil estrellas
de cinco puntas, con
los nombres escritos
de celebridades de
la industria del entretenimiento.
En cada
estrella, ¿cuánto piensas
que deberán medir
los ángulos entre
picos consecutivos?
¿Cuánto mide el ángulo
interior de cada
punta? ¿Qué relación
se cumple entre estos
ángulos?
Desarrollo
29

Desarrollo
30
3. Realiza las siguientes actividades.
La relación entre ángulos
2. Realiza la activida de manera individual.
Si el ángulo ADB mide 26º, ¿cuánto miden los án-
gulos ACB y AOB?
26°
página
20
Construye un círculo y marca cuatro puntos: A, B, C y D. Conecta los puntos con
segmentos, como se muestra en la primera figura de la izquierda, y contesta en el
cuaderno.
Mide los ángulos ABD y ACD. ¿Qué observas?
Mide los ángulos BAC y BDC. ¿Qué observas?
Repite los pasos anteriores en otro círculo, como se muestra en la segunda
figura, y mide nuevamente los ángulos. ¿Vuelves a llegar a la
misma conclusión?
¿En dónde están ubicados los vértices de los ángulos ABD, ACD, BDC y BAC?
Entonces, ¿cómo se llaman estos ángulos?
Con líneas punteadas, traza los segmentos AO y OD.
¿Cómo se llama el ángulo AOD? Mídelo. ¿Qué relación tiene este ángulo con los
ángulos ABD y ACD?
¿Cuál es la relación que existe entre los ángulos ABD y ACD? ¿En qué se parecen?
¿En qué son diferentes?
¿En que se parecen los ángulos ABD, ACD y AOD
¿De qué manera puedes demostrar algebraicamente lo que has comprobado
numéricamente?
Verifica tus respuestas con tus compañeros. En caso de diferencias consulten al
profesor.
¿Cómo vamos?
Cuando hagan su presentación al grupo, demuestren algebraicamente la relación
que existe entre dos ángulos inscritos que abarcan el mismo arco en
una circunferencia.
El ángulo ACB mide 26° y el
ángulo AOB mide 52°.
52°
26°
Ver Solucionario
Si el ángulo ABC mide 45º, ¿cuánto mide el ángulo
AOC? El ángulo AOC mide 90°.
45°
90°

El mejor ángulo de visión
4. Analicemos la situación inicial.
Considera que AB es la portería (A y B son los postes), y los puntos
C, D y E son puntos en la cancha de futbol desde donde se tira a
gol; la medida de los ángulos C, D y E es de 37°.
¿Qué tienen en común estos tres puntos?
Son puntos de una misma circunferencia.
Si trazaras más triángulos que tuvieran en común el lado AB,
¿qué figura formarían los puntos C, D, E y todos los demás vértices
de ángulos que midieran 37° hacia los postes de la portería?
Formarían una circunferencia.
¿Qué función cumple el segmento AB en esa figura?
Es una cuerda.
En la figura, ¿dónde se ubican los vértices de los ángulos? En la circunferencia.
Entonces, ¿qué nombre reciben esos ángulos? Ángulos inscritos.
¿Cuál es la medida de cada ángulo? 37°
¿Cómo explicas esto?
Cada uno de los ángulos de 37° del problema anterior recibe el nombre de ángulo de
visión de la portería, y, como sus vértices están sobre la misma circunferencia y abarcan
el mismo arco, son iguales. Esto significa que el ángulo de visión es el mismo para
cada uno de los puntos que están en la circunferencia. El ángulo de visión se puede
aumentar, siempre y cuando su vértice esté sobre otra circunferencia de radio menor.
Traza dos circunferencias, una de mayor radio que la otra, pero con la misma cuerda
(portería) y observa que el ángulo de visión es mayor en la circunferencia de radio
menor.
Presentación de nuestro trabajo
5. Presenten su maqueta ante el grupo y digan por qué la hicieron de esa manera.
Asegúrense de que todas las maquetas puedan entenderlas sus demás com-
pañeros.
Comenten cuáles fueron los conceptos que aprendieron en esta secuencia.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su Archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
Miden lo mismo porque abarcan el mismo arco.
R. L.
¿Cuál fue la mayor dificultad a la que te enfrentaste al resolver las actividades
propuestas en la secuencia? ¿Cómo la resolviste?
¿Puedes explicar con tus palabras los conceptos aprendidos?
¿Pudiste demostrar algebraicamente la relación que existe entre cualquier
ángulo inscrito y el ángulo central que corta el mismo arco sobre la
circunferencia?
página
21
Desarrollo
Cierre
31

Inicio
Planeación
Bloque 1
32
Secuencia
5
1) Área 5 300(π30 2 )/360 5
2 356.14 km 2
2) R. M. Los puntos de
salida de cada corredor
deben ser distintos. Éstos se
deben marcar en los carriles
de manera que la distancia
de cada punto de salida a la
meta sea la misma.
sector circular.
Fracción de un
círculo limitado por
dos radios y un arco
de circunferencia.
Circunferencias y arcos
Conocimientos y habilidades
1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y
de la corona.
Preguntas para andar
El faro y su luz
En una orilla del Golfo de México se construyó un
faro que proyecta un rayo de luz como el que se
muestra en la imagen. El alcance máximo de la luz
del faro es de 30 km.
¿Cuánto mide el ángulo que barre el faro al girar
e iluminar el mar? 300°
¿Cuál es el área de la superficie del agua que
puede ser cubierta por la luz del faro? 1)
Supón que el barco de la imagen viaja en línea
recta y es iluminado por la luz del faro en
41.1 km de su ruta (desde A hasta B), ¿cuál es
la distancia más corta del barco al faro?, ¿cuánto
mide el arco AB ? Área 5 300(π302 )/360 5
2 356.14 km2 La longitud del segmento
perpendicular del faro al
segmento AB.
¿Cómo puedes calcular la longitud de un arco si conoces la medida del án-
C 5 2Aπr/360°, donde A es la
gulo central y el radio del círculo?
medida del ángulo central.
¿Cómo puedes calcular el área de un sector circular si conoces la medida
Área 5 Bπr2/360°, donde B es la medida
del ángulo central y el radio del círculo?
del ángulo central y r la medida del radio.
¿Qué tendrías que tomar en cuenta en el diseño de una pista de atletismo
para que todos los corredores, sin importar en qué carril estén, corrieran la
misma distancia? 2)
En equipos de tres integrantes van a hacer el diseño a escala de una pista de
atletismo alrededor de una cancha de futbol. La pista contará con 6 carriles.
Podrán trazar su diseño en un cartel, ya sea de cartulina, papel bond o
ilustración.
Necesitarán un juego de geometría y lápices de colores a su elección.
Al finalizar, deberán presentar su diseño ante el grupo y compararlo con los
diseños de los demás equipos.

Longitud de arco
1. Analicemos el problema del faro: la figura de la derecha representa el alcance
de su luz. Remarca con rojo el ángulo de barrido de luz sobre el mar y contesta
las preguntas.
¿Cuál es la medida del ángulo de luz? ¿Por qué?
300° porque la circunferencia completa mide 360°.
Calcula el área de la sección de la circunferencia que es cubierta por la luz y
El área de todo el círculo cuyo radio es 30 km es (3.1416)(30)
explica tu procedimiento.
2 2 827.43 km2 . El área de
la sección de la circunferencia es (2 827.43 km2 )(300)/360 2356.19 km2 .
Recordarás que el perímetro de un círculo es la medida de la longitud de su circunferencia.
En la circunferencia, un arco es el segmento determinado por dos puntos de la
misma. Como en la circunferencia dos puntos determinan dos arcos, si dichos arcos no
son congruentes, éstos reciben los nombres de arco menor y arco mayor.
Toma en cuenta la información anterior y contesta las preguntas.
Remarca con rojo el semicírculo superior.
Si conoces la medida de la circunferencia de un círculo, ¿cómo calcularías la
longitud de arco del semicírculo? Dividiendo la longitud de la circunferencia entre 2.
¿Cómo se mide la longitud de arco de un cuarto de círculo? ¿Y la longitud de
arco de un sexto de círculo? ¿Y la de un octavo? ¿En qué unidades se mide la
longitud de arco? Dividiendo la longitud de la circunferencia (2πr) entre 4, 6 y 8,
respectivamente. Se mide en las unidades del diámetro o en las del radio.
En los siguientes círculos, indica la medida de cada uno de los ángulos centrales.
¿Cómo se relaciona la medida de los ángulos centrales con la medida de la longitud
de arco correspondiente a cada uno de dichos ángulos? Si C es la longitud de arco de la circunferencia y A la
medida del ángulo central, entonces C/2πr A/360°, donde r es la longitud de la circunferencia.
¿Cuánto mide el ángulo central de un círculo completo? 360°
¿Qué sucede si el círculo no está dividido en una fracción simple y se te pide
que encuentres la longitud de arco para 19°? C 2Aπr/360°; donde A 19°
Escribe cómo puedes aprovechar el concepto de proporción y la regla de tres
para encontrar la longitud de arco de cualquier ángulo.
C/2πr A/360°; C 2Aπr/360°
Presenta tus respuestas al profesor y compártelas con tus compañeros.
página
22
360° 180° 90° 60° 45°
Desarrollo
33

34
20° 120°
40°
40°
20°
30°
80° 30°
40°
100°
40°
70°
70°
2. Realiza las siguientes actividades.
Calcula el perímetro del círculo y la longitud del arco menor AB. Después,
remárcalo con rojo. Perímetro del círculo: 2πr = 2(3.14)8 = 50.24 cm. Longitud
del arco AB = 2(110)(3.14)(8)/360° = 15.35 cm
Remarca con rojo el arco menor AB.
Si el ángulo inscrito mide 30°, ¿cuánto mide el ángulo central que cubre el
arco AB ? 60°
Si el radio del círculo mide 12 cm, ¿cuál es la longitud del arco AB ?
Longitud del arco AB 2(60)
(3.14)(12)/360° 12.56 cm
Si MN es el diámetro y PQM140°, entonces:
PQN 40°
En el triángulo PQM, ¿cómo son PQ y QM entre sí ? ¿Qué tipo de triángulo es
PQM ? Son de igual magnitud. Es un triángulo isósceles.
En el triángulo PQN, ¿cómo son PQ y QN entre sí ? ¿Qué tipo de triángulo es
el triángulo PQN ? Son de igual magnitud. Es un triángulo isósceles.
QMP 20° y QPM
20°
QNP 70° y QPN
70°
MPN
90°
Remarca con rojo los arcos MP y NP. ¿Cuál es la medida de cada uno?
Longitud del arco MP 2(140)πr/360 879.2r/360 2.44r
Longitud del arco NP 2(40)πr/360 251.2r/360 0.6977r
Si la recta FG es perpendicular al diámetro CD, y CAE 80° y DCB 20°,
¿cuáles son las medidas de los otros ángulos?
EAD 100°
ADE 40° y AED 40°
DEC 70°
AEC 30°
BCE 50°

¿Cómo vamos?
3. Reúnete con tus compañeros de equipo y empiecen a trabajar en el diseño
de su pista.
Definan su escala. Consideren que cada carril deberá tener un ancho de
1.22 metros, y las líneas que se pintan para separar los carriles, un ancho
de 5 cm.
El carril interior, es decir, el que colinda con la cancha de futbol, deberá tener
una longitud total de 400 metros, que deberán contar con dos tramos rectos
paralelos y dos tramos semicirculares.
La longitud de los otros carriles será mayor. Deberán indicar las longitudes
exactas de cada uno de los 6 carriles, especificando la longitud de sus tramos
rectos y curvos.
Señalen los diferentes puntos de salida que tendrá cada carril, según la posición
de la meta final, que debe ser la misma para correr distancias de 100,
200, 400, 800 y 1 500 metros. R. L.
Coronas y sectores circulares
4. Ya estudiaste los ángulos inscritos y centrales y los arcos en una circunferencia,
ahora analiza las siguientes situaciones y contesta en el cuaderno.
Una alberca circular cuyo radio mide 6 metros va a estar rodeada de un pasillo de
1 metro de ancho.
¿Cuál es el área de la superficie que abarca la alberca? 1)
¿Cuál es el área de la superficie que abarca la alberca junto con el pasillo que
la rodea? Área de la alberca junto con el pasillo πr
Con los resultados anteriores, ¿cómo puedes calcular el área del pasillo?
A la superficie que hay entre dos circunferencias de distinto tamaño, pero con el
mismo centro, se le llama corona.
2 (3.14)(72 ) 153.86 m2 Restando al área de la alberca, junto con el pasillo, el área de la alberca:
153.86 113.04 40.82 m2 En el cumpleaños de Laura, sus amigas le trajeron un pastel como el que se muestra.
Entre todas calcularon el área de la superficie del pastel que no tenía betún, y también
calcularon el área de la superficie del pastel cubierta de betún que forma una
corona. Se sorprendieron cuando encontraron que ambas cantidades eran iguales. Si
el radio del círculo sin betún medía 10 cm, ¿cuál es el radio del pastel? 10 cm
Escribe una fórmula para calcular el área de la corona que se forma entre dos circunferencias
de radios R y r, respectivamente. Área de la corona: π(R 2 − r 2 )
Ahora calcula el área de una pizza cuyo diámetro es de 30 cm. ¿Cómo la calculaste?
¿Cuál sería el área de cada rebanada de la pizza si ésta se divide en 6 partes
iguales? Área: πr 2 Área (3.14)(15
/6
2 ) 706.5 cm2 A la fracción de un círculo limitada por dos radios y un arco de la circunferencia se le
conoce como sector circular.
Discute con tus compañeros y con el profesor cómo se puede encontrar el área
de un sector circular. Por ejemplo, ¿cuál sería el área de un sector circular que tiene
un radio de 15 cm si su ángulo central mide 25°? ¿Y si su ángulo central es de 360°?
¿Cómo pueden encontrar el área de un sector circular para cualquier ángulo central
si lo único que conocen es el radio del círculo? ¿Cómo pueden aprovechar el concepto
de proporción y la regla de tres para resolver este problema?
Área del sector circular (25°)π15 2 /360 49.06 cm 2
Área (360°)π15 2 /360 706.5 cm 2
Área del sector circular: Bπr 2 /360°
página
23
1) Área de la alberca πr 2
(3.14)(6 2 ) = 113.04 m 2
Desarrollo
35

36
página
23
1) La longitud de cada lado
curvo es de 100 m.
P 2πr; r = P/2π;
r 200/2(3.14) 31.84 m
2) r = 31.84 1.22
33.06 m; longitud de arco:
2(180°)π(33.06)/360° =
103.80 m
3) 103.80 100 3.8 m
¿Cómo vamos?
Pista de atletismo.
5. Para su proyecto, primero calculen lo siguiente: si la pista de atletismo sólo
tuviera un carril con una longitud total de 400 metros y quieren que los tramos
rectos midan 100 metros, ¿cuál sería la longitud de cada tramo curvo
cercano a la cancha de futbol? Para lograr esa distancia, ¿cuál debería ser
el radio de esos semicírculos? 1)
Consideren que el ancho del carril es de 1.22 metros, de modo que también
tienen que calcular el radio de los semicírculos que forman el borde derecho o
exterior de la pista (las carreras se llevan a cabo en sentido contrario al movimiento
de las manecillas del reloj). ¿Cuál va a ser la longitud de arco del borde
derecho o exterior de las secciones curvas de la pista? 2)
Al agregar un segundo carril a la pista, ¿qué deben tomar en cuenta para calcular
el radio y la longitud de arco del borde derecho o exterior de ese segundo
carril? ¿Qué tanto varió la longitud de arco del segundo carril con respecto del
primero? ¿Cuál de los bordes del carril eligieron para calcular esa diferencia? 3)
Investiguen en Internet cuáles son las reglas oficiales para el diseño
de una pista de atletismo y cómo se mide su longitud total. ¿Eligen
el borde izquierdo o derecho del carril? ¿O eligen algún otro punto del ancho
del carril? Si los carriles son de diferente longitud, ¿qué se debe hacer para
que todos los atletas corran la misma distancia, por ejemplo, 400 metros?
Para completar su proyecto, agreguen más carriles hasta que tengan un total de
seis. Indiquen los puntos de salida de cada carril para una competencia
de 400 metros. R. L.
Granja escolar
6. En una granja escolar, hay un corral de forma cuadrada (AEFC) cuyos lados miden
14 metros. También hay una vaca amarrada en una de las esquinas.
Si la cuerda mide 8 metros de longitud y la vaca
está amarrada en el punto A, como se muestra en
la figura de la izquierda, ¿cuál es el área de la superficie
en que puede pastar?
Área del círculo: π(8 2 ) 200.96 m 2 ; Área del
círculo entre 4: 200.96/4 = 50.24; Área verde:
200.96 − 50.24 = 150.72 m 2

¿Qué sucede si la cuerda es más larga que el lado del corral?
Calcula el área de la superficie en que puede pastar la vaca si la cuerda que
la ata mide 16 metros y la longitud de cada lado del corral mide solamente 14
metros. Área del círculo: π(162 ) = 803.84 m2 La vaca tiene más área para pastar.
;
¿Qué sucede si la granja no es cuadrada sino hexagonal, octagonal o triangular?
Encuentra el área de la superficie en la que puede pastar la vaca si la cuerda que
la ata tiene la misma longitud que uno de los lados de la granja y cada lado de la
granja mide 14 metros.
Área:
A 240°π(14
Área:
2 ) / 360° 410.5 cm2 A 300°π(142 )/360° 513.12 cm2 Comparte tus estrategias y respuestas con los demás compañeros.
Presentación de nuestro trabajo
7. Por equipos, presenten al grupo y al profesor los planos y cálculos que hicieron
para diseñar su pista de atletismo.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su Archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
Área: A 225°π(142 )/360° 384.84 cm2 ¿Cuál fue la mayor dificultad a la que te enfrentaste al resolver las actividades
propuestas? ¿Cómo la resolviste? R. L.
Menciona tres situaciones en donde tengas que calcular la longitud de arco,
el área de un sector circular y el área de una corona.
R. M. Al calcular el área de la corona en un CD, cuando se calcula la longitud de arco
de una mesa semicircular, etcétera.
Área de un cuarto de círculo:
803.84/4 200.96 m 2 ;
Área verde grande: 602.88
m 2 ; Áreas verdes
pequeñas: π(2 2 )/4 3.14
m 2 ; 2(3.14) 6.28 m 2 . Área
total en la que puede pastar
la vaca: 602.88 6.28 m 2
609.16 m 2 .
El área aumenta cuando
el número de lados de
la granja es menor que
el número de lados del
cuadrado y viceversa.
Cierre
37

Inicio
Bloque 1
38
Secuencia
6
1) Si aumenta al doble, la
distancia se duplica; si
es al triple, la distancia
recorrida se triplica.
Razón de cambio
Conocimientos y habilidades
1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla
con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
Recorrido en bicicleta
Marta es una universitaria a la que le gusta andar en bicicleta. El lunes y martes de la
semana anterior recorrió el mismo camino con su bicicleta. La gráfica siguiente muestra,
para cada día, el trayecto que hizo en relación con la distancia y el tiempo. A partir
de la gráfica, ¿cómo podrías averiguar qué día viajó Marta a mayor velocidad?
¿Cuál es la distancia del recorrido completo? 20 km
¿Qué día tardó Marta menos tiempo en hacer el recorrido completo? Lunes
¿Qué sucede con la distancia en cada caso cuando el tiempo aumenta, por
ejemplo, al doble o al triple? 1)
¿Qué significa que un objeto avanza siempre a la misma velocidad?
Que recorre distancias iguales en tiempos iguales.

Junto con un compañero elaborarán un informe en el que se muestre un análisis
de cómo cambia la distancia recorrida por un maratonista con respecto al tiempo
a medida que avanza en su carrera.
Deberán suponer que el maratonista va a velocidad constante, pero que ésta
cambia en distintos tramos del recorrido.
A lo largo de las siguientes actividades se les darán indicaciones
que deberán seguir para elaborar tablas, gráficas y expresiones
algebraicas para representar el recorrido del maratonista.
Marta y su recorrido
1. Observa nuevamente la gráfica de la página anterior que
representa el recorrido que hizo Marta en dos días.
¿Cuánto tardó Marta en realizar el recorrido completo de 20 kilómetros
en cada día? Lunes: 40 minutos; martes: 50 minutos
¿Qué distancia llevaba recorrida en cada trayecto a los 20 minutos?
Lunes: 10 km; martes 8 km
Lunes: 2.5 km;
¿Cuánto avanzó en cada caso al transcurrir 5 minutos? martes: 2 km
Completa la tabla según la información de la gráfica.
Tiempo
(minutos)
Tabla 1
Distancia recorrida
(kilómetros)
Lunes Martes
0 0 0
5 2.5 2
10
15
20
25
30
35
40
45
50
5 4
7.5 6
10 8
12.5 10
15 12
17.5 14
20 16
18
20
¿Cuánto avanzó Marta el lunes en los primeros 5 minutos? 2.5 km
¿Y el martes? 2 km
¿Cuánto avanzó el lunes del minuto 15 al 20? 2.5 km ¿Y del 20 al 40? 5 km
¿Y el martes? El martes 15 a 20: 2 km y de 20 a 40: 4 km.
¿Sabías que en la actualidad existen tarjetas
telefónicas de prepago que reducen
los costos por llamada a nivel nacional e
internacional? A continuación, se presenta,
para varias tarjetas, una tabla con las
razones de costo por minuto para llamar
a Estados Unidos de América. ¿Cuál es la
tarjeta más conveniente para hacerlo?
Tarjeta
Golden
Charro
My friend
Continental
Costo
(Pesos)
Tiempo
aire
60.4 3h 28 min
121 6h 56 min
217 13h 53 min
543 34h 43 min
1087 69h 26 min
60.4 3h 12 min
121 6h 24 min
242 12h 49 min
604 32h
1207 64h 6 min
60.4 3h
121 6h
242 12h
604 30h
1207 60h
60.4 112 min
121 3h 44 min
242 7h 29 min
604 18h 43 min
1207 37h 27 min
39
Planeación

Desarrollo
40
página
24
Con base en la tabla anterior y la gráfica, completa la siguiente tabla con la distancia
recorrida cada 5 minutos en cada uno de los dos días.
Periodo en minutos
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
Tabla 2
Distancia recorrida en kilómetros
en cada periodo de tiempo
Lunes Martes
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
Para el lunes, ¿cuánto aumenta la distancia recorrida cada vez que el tiempo
aumenta 5 minutos? 2.5 km
¿Y para el martes? 2 km
Elabora en el cuaderno otra tabla como la anterior en la que muestres la distan-
Ver
cia recorrida cada vez que el tiempo aumenta 10 minutos en cada día. Solucionario.
¿Qué diferencias encuentras entre las tablas de periodos de 5 y 10 minutos?
¿Qué semejanzas? Los datos de la segunda tabla son el doble de la tabla 2.
2. Observa nuevamente la gráfica y responde.
Para el lunes, ¿cuánto aumenta la distancia recorrida por Marta cada vez que el
Aumenta medio
Y el martes 2/5
tiempo aumenta un minuto? kilómetro el lunes.
¿Y para el martes? de kilómetro.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
En la tabla 1 puedes observar que, en cada día, cada vez que el tiempo aumenta,
la distancia recorrida también aumenta en la misma proporción, es decir, si el
tiempo incrementa al doble, la distancia también. ¿Qué significa esto?
Que el tiempo es directamente proporcional a la distancia.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

En la tabla 2 puedes observar que, en cada día, la distancia que recorre Marta
cada vez que el tiempo aumenta 5 minutos, siempre es la misma. ¿Sucede lo
mismo cada vez que el tiempo aumenta 10 minutos? ¿Por qué?
Sí. Si aumentamos el tiempo, la distancia también aumenta en la misma proporción.
¿De qué manera puedes saber en qué día la velocidad de Marta fue mayor si
consideras la distancia que la bicicleta avanzó en 5 minutos?
R. M. Comparando la razón de cambio ente la distancia y el tiempo para los días en cuestión.
Y si consideras la distancia recorrida cada 10 minutos, ¿de qué manera sabes
qué día Marta avanzó a una mayor velocidad? De la misma, pues es proporcional.
Expresa la velocidad que Marta tuvo el día lunes como una relación entre la manera
en que aumentó la distancia a medida que el tiempo transcurrió de los 15 a los 20
minutos de recorrido:
Velocidad =
cambio en la distancia
cambio en el tiempo
=
10 km 3 7.5 km
20 min 15 min = 5 min =
2.5 km 0.5 km/min.
Ahora expresa, de manera similar, la velocidad de Marta el día martes:
Velocidad =
cambio en la distancia
cambio en el tiempo
= 8 min 6min=
20 min 15 min
Calcula la velocidad del lunes y del martes utilizando el tiempo transcurrido entre
los 35 y los 40 minutos:
Velocidad =
Velocidad =
cambio en la distancia
cambio en el tiempo
cambio en la distancia
cambio en el tiempo
=
20 km 17.5 km
=
2.5 km
=
0.5 km/min
40 min 35 min 5 min
18 km 15 km
= =
40 min 35 min
2 km
5 min
¿Cuál de los dos días avanzó Marta a una mayor velocidad?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y coméntenlas con el profesor.
3. Observa la gráfica y las tablas que completaste anteriormente. A partir de estos
datos, escribe una ecuación que represente la relación entre el tiempo y la
distancia para cada recorrido. Utiliza t para representar el tiempo y d para
la distancia.
Lunes: d 0.5 t
Martes: d 0.4 t
2 km
0.4 km/min.
5 min
0.4 km/min
El lunes
Compara tus resultados con los de algún compañero. ¿Cómo encontró cada
uno las ecuaciones? ¿Utilizaron el mismo procedimiento?
R. L.
Desarrollo
41

42
pendiente. En la
ecuación de cualquier
recta, por ejemplo
y = mx + b, al
coeficiente de x (es
decir m) se le llama
pendiente de la recta.
Este número nos indica
qué tan inclinada
está la recta.
ordenada al origen.
En la ecuación de
cualquier recta, por
ejemplo y = mx + b,
a la constante b se
le llama ordenada al
origen. Este número
nos indica en qué
punto cruza la recta
con el eje y.
razón de cambio. La
razón de cambio es
aquello que nos indica
la manera en que
cambia una de las
variables (por ejemplo
la distancia) al cambiar
la otra variable (el
tiempo). Por ejemplo,
si cada 5 minutos
avanzo 10 kilómetros,
la razón de cambio
de la distancia con
respecto al tiempo es
de 10/5 = 2.
página
24
Recuerda que en las ecuaciones de la forma y 5 mx 1 b, m se llama pendiente y
b se llama ordenada al origen. En este caso, tenemos dos ecuaciones de la forma
d mt. Identifica la pendiente y la ordenada al origen en tus ecuaciones.
Observa que en este contexto el valor de la pendiente en cada ecuación corresponde a
la velocidad de Marta en la bicicleta.
¿Qué significaría que la pendiente entre el minuto 35 y el minuto 40 fuera mayor?
Que Marta va a mayor velocidad.
Las rectas que se muestran al inicio, las cuales representan el recorrido de Marta en
cada día, son las gráficas de las ecuaciones.
En esta situación, ¿cuál es el significado de la razón de cambio en las líneas rectas?
La pendiente de la recta.
Observa nuevamente las rectas de los dos recorridos.
¿Cuál de las dos líneas rectas tiene una mayor pendiente?
¿Cómo se relaciona la pendiente con los valores que aparecen en las tablas que
completaste? Con la relación d mt
Compara tus respuestas con las de otros compañeros.
4. Para su informe, investiguen cuántos kilómetros se corren en total en un
maratón y cuánto tarda una persona promedio en completarlo. Para esto,
elijan a un corredor: hombre o mujer. R. L.
Dividan el recorrido total en al menos 5 segmentos de distinta longitud y
asignen, de la manera que deseen, un tiempo determinado en el que su maratonista
recorrerá cada uno. Por ejemplo, pueden suponer que en un segmento
el maratonista disminuye la velocidad debido a que la calle tiene una subida
pronunciada, pero en otro segmento se recupera. R. L.
La pendiente como razón de cambio
En situaciones como la del recorrido de Marta con la bicicleta, en las que una variable
está relacionada con otra de manera lineal, la razón de cambio, es decir, el número que
indica la manera en que cambia una de las variables (la distancia) cuando la otra cambia
(el tiempo), es siempre el mismo. Esto quiere decir, en el ejemplo, que Marta en la
bicicleta viajó a la misma velocidad durante todo el recorrido (cada uno de los días).
La pendiente indica la razón de cambio de las ordenadas (y) respecto a las abscisas
(x):
cambio en y
Razón de cambiocambio en x
La del lunes

¿Cómo se puede calcular la pendiente de una recta cuando se tienen dos puntos?
Realizando el cociente de las diferencias de las ordenadas respecto a las abscisas.
Esto nos dice que por cada unidad que aumenta la x, la y aumenta 2 unidades.
Si utilizáramos el punto (0, 2) tendríamos: razón de cambio m
6 2
4
2
2
0 2
¿Cuál es la pendiente de la siguiente recta?
Razón de cambio m −3
Observa que el valor de m en este caso es un número negativo. Compara esta
recta con la anterior cuya pendiente fue positiva. ¿En qué son diferentes las rectas?
En la inclinación que tienen.
Traza una recta con pendiente negativa en tu cuaderno.
página
24
Desarrollo
43

Desarrollo
44
Larga distancia
Tomás realiza llamadas telefónicas a Estados Unidos de América por medio de una
compañía de teléfonos que cobra cierta cantidad por cada minuto de llamada, además
de $5 de cuota por llamada. En febrero, Tomás realizó una llamada de 10 minutos de
duración que le costó $17.50.
Si aumentara un minuto la duración de la llamada, ¿cuánto costaría? $18.75
¿Cuál es la razón de cambio del costo de la llamada respecto a su duración,
es decir, cómo cambia el costo a medida que varía el tiempo? $1.25
Para responder las preguntas anteriores, considera que el costo total por llamada incluye
$5 fijos que se cobran en cada llamada. Debido a que esta cantidad es fija, no afecta
a la razón de cambio que refleja la relación entre el cambio en el costo y el cambio en
el tiempo. Podemos calcular la razón de la siguiente manera, tomando en cuenta el
aumento en el costo a partir del minuto 0 y del pago de $5:
cambio en el costo ($)
Razón de cambio
cambio en el tiempo
17.505 1.25 pesos/min
10min
La razón de cambio nos indica el aumento en el costo de la llamada por cada minuto.
¿Cuánto costaría la llamada si durara 11 minutos? ¿Y una llamada de 8 minutos?
Una llamada de 11 min: $18.75 y una de 8 min: $15.00.
5. Realiza una gráfica en la que muestres cómo cambia el costo de la llamada según
su duración.

En abril, Tomás realizó una llamada de 12 minutos por la que pagó $78. Si suponemos
que la cuota fija por llamada sigue siendo de $5, ¿cuánto es el costo por
minuto? Calcula la razón de cambio:
cambio en el número pesos 78 5 6.08
Razón de cambio
cambio en el tiempo
pesos/min Desarrollo
12
En abril, ¿cuál sería el costo de una llamada de 20 minutos de duración? ¿Y de
5 minutos? Una llamada de 20 minutos cuesta $126.66 y una de 5 minutos, $35.41.
En un plano cartesiano, en tu cuaderno, realiza una gráfica mostrando la relación
entre la duración de la llamada y el costo en el mes de abril. ¿En qué mes
es más caro el minuto de llamada? ¿Cómo se ve esto en la gráfica? En abril es
más caro. La inclinación de la recta que representa el costo del mes de abril es mayor.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y coméntalas con el profesor.
Viaje en automóvil
La siguiente gráfica muestra la relación entre la distancia y el tiempo de recorrido de
un automóvil.
¿Qué tan lejos estuvo el automóvil del punto de partida?
¿Cuánto tiempo le tomó hacer el viaje completo?
Recorrido en automóvil
40 minutos
¿Cuál es la distancia total recorrida por el automóvil? 48 km
A 24 km
En la gráfica hay tres segmentos de recta con inclinaciones diferentes. ¿Qué te
dice esto con respecto a la velocidad del automóvil? Comenta con el profesor y con
tus compañeros. Que la velocidad cambió. De 0 a 15 min fue de 1.3 km/min; de 15 a 26
min, de 0.9 km/min; de 26 a 40 min, de 0.56 km/min.
página
25
45

46
6. Calcula la pendiente de cada uno de los segmentos de recta. Para hacerlo, determina
la razón de cambio de la posición y con respecto al tiempo x. Puedes
utilizar el punto inicial y el punto final de cada segmento para calcular los cambios
en x y en y.
René Descartes inventó las coordenadas cartesianas un
día en que estaba acostado contemplando absorto los
“ires y venires” de una mosca que volaba por el techo
de su cuarto.
En esa época Descartes se interesaba especialmente
en el estudio de las curvas y la manera de describirlas
matemáticamente. El vuelo de la mosca por el techo se
podía describir por medio de una curva en un plano. Los
puntos de la curva eran las posiciones que iba ocupando
la mosca en su andar.
Para describir la curva matemáticamente, pensó Descartes,
bastaría con tener una manera de especificar la posición
de cada punto en el plano y esto se logra fijando en
el plano dos ejes perpendiculares entre sí (por ejemplo,
eje x y eje y). Cada punto queda especificado por un par
de coordenadas (x, y), cuyo valor es la distancia perpendicular
del punto a cada uno de los ejes. De esta manera,
la descripción de la curva resulta dada por la relación
de los puntos por los que pasó la mosca definidos por la
distancia, en cada instante, de la mosca a cada uno de
los ejes del plano.
1) V
página
25
20 km
0.23 km/min
85 km
8. Realiza las siguientes actividades.
cambio en y
Pendiente 1
cambio en x
Pendiente 2
Pendiente 3
0.36
−1.71
1.33
¿Cuál segmento de recta tiene una mayor inclinación?
El último
¿En qué parte del recorrido el automóvil viajó a
una mayor velocidad? En el último tramo de regreso.
Seguramente, en el caso de la pendiente 3 obtuviste
un número negativo. Esto indica que el automóvil
regresó a su punto de origen. La velocidad, sin embargo,
sigue siendo positiva, es decir, el signo negativo
nos indica únicamente que el automóvil avanzó
de regreso hacia el origen.
7. Calcula, para el caso del maratonista que elegiste, la razón de cambio para
cada uno de los tramos que definiste en el recorrido. ¿Cuál es la velocidad
en cada caso? R. L.
Traza una gráfica que muestre la relación entre el tiempo y la distancia a medida
que el maratonista realiza la carrera. ¿Cuál es la pendiente en cada caso? R. L.
¿Qué has aprendido hasta ahora sobre la razón de cambio y la pendiente?
R. M. Que la pendiente es una razón de cambio. Indica cómo cambia y respecto de x.
Un atleta recorrió 20 kilómetros en 85 minutos a una velocidad constante.
Expresa su velocidad como una razón de cambio. 1)
Realiza en el cuaderno una gráfica que relacione la distancia recorrida con el
tiempo transcurrido. Ver Solucionario.
Encuentra la pendiente de las rectas de la siguiente página. Utiliza dos puntos
cualesquiera en cada recta para calcular la razón entre el cambio en y
y el cambio en x.

Pendiente: m 1
Pendiente: m 0.5
Escribe la ecuación que corresponde a cada recta del ejercicio anterior.
La gráfica 1 tiene por ecuación: y x 6; la gráfica 2 tiene por ecuación: y 0.5x 3
Presentación de nuestro trabajo
9. Intercambien con otra pareja del grupo las gráficas y cálculos realizados para los
maratonistas y compárenlas.
¿Hubo respuestas diferentes? ¿A qué se deben las diferencias? R. M. Sí. Porque cada equipo tomó casos diferentes.
¿Qué procedimientos utilizaron para calcular la velocidad de los maratonistas en los
diferentes tramos? R. L.
¿Cuál fue la máxima velocidad de cada maratonista? ¿Y la mínima? R. L.
Cuando se dice “velocidad como razón de cambio”, ¿qué variables son las que
cambian? La distancia recorrida y el tiempo en que se recorrió.
En una discusión con todo el grupo, comenten los resultados que obtuvieron las
distintas parejas en sus proyectos. R. L.
1) La razón de cambio entre
Conserven su trabajo e intégrenlo en su Archivo de evidencias.
dos magnitudes determina
la forma como cambia una
magnitud respecto de otra.
Gráficamente representa la
pendiente de una recta.
A lo largo de las actividades aprendiste el significado de la razón de cambio entre
dos magnitudes que se relacionan de manera lineal. 1)
Explica qué significa la razón de cambio entre dos magnitudes y qué relación
tiene con la gráfica que las representa.
Explica qué significa la frase “pendiente como razón de cambio”. 2)
Si tienes una recta pero no tienes su ecuación, ¿cómo puedes calcular su
pendiente? 3)
¿Cómo calificas tu desempeño al trabajar en pareja? R. L.
¿Se te dificultó la comprensión del tema? Si tienes dudas plantéalas al profesor
y discútanlo en grupo. R. L.
página
25
m y1 y 2) La pendiente indica la
forma como cambia el valor
de las ordenadas respecto
de las abscisas
3) Tomando dos puntos
sobre la recta y usando sus
coordenadas, la pendiente
está determinada por la
expresión
2
y y 1 2
Cierre
47

Inicio
Planeación
Bloque 1
48
Secuencia
7
1) R. M. El peso de las
mochilas de una cierta
cantidad de estudiantes de
una escuela en particular.
2) R. M. Por medio de un
cuestionario.
3) R. M. La edad y altura de
los estudiantes, el peso de
sus mochilas. Las tablas que
conocemos hasta ahora.
4) R. M. El promedio y la
moda.
estudio estadístico. Un
estudio es estadístico
cuando es posible
realizar un análisis de
los resultados obtenidos
en términos de su
representatividad.
Estudios estadísticos
Conocimientos y habilidades
1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de
organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
Las mochilas y la salud
En años recientes, se han realizado estudios diversos acerca de los problemas de salud
que presentan los estudiantes por cargar demasiado peso y adoptar posturas inadecuadas;
la consecuencia de ambas prácticas se manifiesta, sobre todo, en frecuentes
dolores de espalda. Dado que los niños y jóvenes están en edad de crecimiento, el peso
que cargan, por ejemplo en las mochilas, no debe exceder el 10% de su peso corporal,
ya que una cifra mayor podría derivar en serios daños a la columna vertebral, como
deformaciones estructurales permanentes.
Fuente: Estudio descriptivo sobre el uso de la Mochila Escolar I. Prof. Ramón Cruz del Moral,
María Luisa Zagalaz Sánchez e Inmaculada Rodríguez Marín, España. Tomado de: http://www.
scribd.com/doc/12479415/El-Uso-de-La-Mochila-Escolar
Si quisieras realizar un estudio sobre este tema, ¿qué información tendrías que
recabar? 1)
Preguntas para andar
¿Cómo recopilarías la información que vas a analizar? Podrías preguntarte,
por ejemplo, a quiénes estudiarías y cuál sería el propósito del estudio. 2)
¿Qué tipo de datos se obtendrían? ¿Cómo los organizarías? ¿Qué tablas
o gráficas serían las más convenientes para presentar y analizar la
información? 3)
¿Qué medidas de tendencia central (promedio, mediana, moda) serían útiles
para presentar información significativa? 4)
Nuestro trabajo
Reunidos en equipos de cuatro o cinco integrantes, realizarán un estudio estadístico
sobre un tema de su elección.
A lo largo de las actividades siguientes, encontrarán una guía para llevar a
cabo el estudio estadístico que hayan elegido.
Una vez que tengan las conclusiones, cada equipo presentará su estudio,
con las tablas y gráficas de los datos recabados y los resultados obtenidos.

El estudio estadístico que se presenta a continuación muestra que el exceso de peso en las mochilas es
un problema de salud pública entre los escolares de educación básica porque acarrea consecuencias
irreversibles en la columna vertebral. La finalidad de este estudio es que las autoridades educativas,
y en especial los maestros de Educación Física, adquieran los suficientes conocimientos en lo que al
cuidado de la espalda se refiere, para que comiencen a transmitirlos a sus alumnos.
Cómo realizar un estudio estadístico
1. Reunidos en equipos, analicen cómo se realizó el estudio y contesten las preguntas
que se plantean.
I. Obtención de la información
Para la recolección de datos, se decidió obtener información respecto de:
Uso de mochila o carrito. Grado escolar.
Edad. Peso corporal.
Sexo. Peso de la mochila.
Además de estos datos, se agregó una pregunta que debían contestar todos los
estudiantes entrevistados:
¿Te suele doler la espalda?
Las mediciones de peso se realizaron sólo a los alumnos y alumnas que transportaban
su material escolar en mochila y se tomaron a la misma hora y con la misma
báscula. La pregunta sobre el dolor de espalda se formuló antes de pesarlos.
Escriban otras dos preguntas con las que podrían obtener más información de los
entrevistados sobre este tema. R. M. ¿Cargas tu mochila en el trayecto casa-escuela-casa?
II. Determinación de la muestra
A veces es difícil trabajar con todos los datos de lo que queremos estudiar estadísticamente;
a esa totalidad de datos se le llama población; entonces se recurre a una parte de
casos, personas u objetos que se estudian, esta parte de la población se llama muestra.
Para realizar el estudio estadístico sobre el uso de la mochila escolar, se determinó una
muestra a partir de la participación voluntaria de los alumnos de cada ciclo escolar de
una escuela primaria y de primero y segundo de secundaria de otra escuela. De esta
manera, la muestra quedó conformada como se indica en la siguiente tabla:
Ciclo Población Muestra
Primer ciclo de primaria (1.º y 2.º grados) 66 56
Segundo ciclo de primaria (3.º y 4.º grados) 57 50
Tercer ciclo de primaria (5.º y 6.º grados) 59 51
1.º y 2.º grados de secundaria 69 59
Totales 251 216
Desarrollo
49

Desarrollo
50
página
26
muestreo aleatorio.
Los elementos de la
muestra son seleccionados
por procedimientos
al azar o con
probabilidades conocidas
de selección. Por
lo tanto, es imposible
determinar el grado de
representatividad de
la muestra.
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26
Ahora pueden contestar las siguientes preguntas en equipo y escribir las respuestas
en el cuaderno. Ver Solucionario
¿Qué otra información les interesaría obtener con este estudio?
¿Cuáles son las variables consideradas? ¿Cuáles de estas variables son cualitativas
y cuáles son cuantitativas? ¿En qué unidades se expresarán los datos de las
variables cuantitativas?
¿Qué porcentaje de los estudiantes de cada ciclo representa la muestra?
Si el porcentaje de la población de cada ciclo que participa en la muestra fuera
de 2%, ¿se obtendría la misma información? ¿Piensan que el tamaño de la muestra
puede influir en los resultados obtenidos? ¿Por qué?
Una muestra en estadística
Existen estudios que son imposibles de realizar a toda una población. Por ejemplo,
si se quisiera saber el total de habitantes mexicanos que cuentan con Internet en
su casa, resultaría poco eficaz, dado su tamaño, someter a estudio a la población
completa. En ese caso, se utiliza una muestra, es decir, una parte de los individuos
que la conforman. Para que los resultados del estudio se puedan extender a
todos los habitantes, la muestra debe ser representativa de la población, tanto en
cantidad como en características. Se sugiere que las muestras consideren al menos
10% de la población. En cuanto a los elementos de una muestra, una manera sencilla
de seleccionarlos es realizar un muestreo aleatorio. Se determina un porcentaje
y después se eligen al azar los elementos de la población.
En el México independiente, en 1821, la Junta de Gobierno ordenó realizar
la estadística del nuevo país. El poeta y naturalista Juan José Martínez
de Lejarza fue el único que presentó un serio estudio geográfico, demográfico,
político y económico sobre Michoacán y sus regiones. Estableció,
así, un valioso precedente para la elaboración de estadísticas estatales.
2. Por equipo, decidan el tema que quieren investigar. Pueden organizar una
encuesta o partir de estadísticas ya elaboradas. También deben decidir si
estudiarán toda una población o seleccionarán una muestra. R. L.
Una vez que hayan decidido el estudio que llevarán a cabo, analicen y discutan
los datos que necesitan saber para elaborar sus preguntas y la forma en que
recopilarán la información. También deben decidir qué fuentes habrán de consultar.
Por ejemplo, en el estudio sobre el peso de las mochilas, es útil realizar
las mediciones tanto del peso corporal como de las mochilas; además, obtener
ciertos datos de cada uno de los alumnos considerados en el estudio. R. L.
Comenten con sus compañeros y con su maestro el tema que planean desarrollar,
las variables que están tomando en consideración y la manera en que
realizarán el estudio. R. L.
Analicen y discutan, con respeto, los comentarios expresados por sus compañeros
y el maestro.

Organización y presentación de la información
En cuanto al estudio del peso de las mochilas, una vez recopilada la información de
la población, primero se clasificaron las respuestas según lo que fueran a usar: mochila
o carrito. Luego, en cada una se formaron grupos dependiendo del grado escolar que
cursaban. La información obtenida se organizó en tablas y gráficas.
Tabla 1. Uso de mochila o de carrito (por ciclos)
Grado
Usan mochila
(Núm. de alumnos)
Usan carrito
(Núm. de alumnos)
Primer ciclo
de primaria
18 38
Segundo ciclo
de primaria
19 31
Tercer ciclo
de primaria
36 15
1.º y 2.º grado
de secundaria
59 0
Total 132 84
¿Cuáles son las variables que se consideraron para organizar la información que
se muestra en la tabla? El tipo de mochila que utilizan los estudiantes.
Una vez que se clasificaron las respuestas de los alumnos en dos grupos, los que
usan mochila y los que usan carrito, se analizaron los datos de los primeros. En este
análisis se obtuvieron el peso corporal mínimo, el peso de la mochila y el promedio
de cada uno de ellos, como se muestra en la siguiente tabla:
Tabla 2. Peso mínimo, máximo y promedio del peso corporal
y del peso de las mochilas
Peso Peso mínimo Peso máximo Promedio
Peso corporal (kg) 18.0 78.5 44.515
Peso de la mochila (kg) 1.0 10.0 5.239
¿Qué información proporciona la tabla? ¿Cómo creen que se obtuvieron estos
datos? El peso mínimo y máximo de niños y de mochilas. El promedio de esos pesos.
Se obtuvieron sumando el peso mínimo y máximo (niños y mochilas) entre el número
de alumnos que usan mochila.
3. Identifiquen cuáles son las variables de su estudio. Analicen qué variables
se pueden relacionar o cruzar y determinen cuál será la información que deben
obtener. Analicen los datos a partir de las relaciones que determinaron
y organicen la información en tablas.
página
26
Desarrollo
51

Desarrollo
52
4. Como ya se mencionó, para presentar el estudio también deben elaborarse gráficas.
Analicen las que se presentan a continuación, les servirán de guía para crear las suyas.
Con los datos del peso corporal y el peso de la mochila de cada alumno, se calculó el
porcentaje que representa el peso de la mochila con respecto al peso corporal de cada
alumno y, a partir de dichos cálculos, se realizó esta gráfica:
Gráfica 1. Número de alumnos que usan mochilas cuyo peso es igual,
superior o inferior a 10% del peso corporal
Fuente: Estudio descriptivo sobre el uso de la Mochila Escolar I. Prof. Ramón Cruz del Moral,
María Luisa Zagalaz Sánchez e Inmaculada Rodríguez Marín, España.
Si de cada alumno tienes los datos de su peso corporal y del peso de su mochila,
¿cómo calcularían el porcentaje que representa el peso de la mochila en relación
con su peso corporal? % = peso de la mochila 100/peso corporal
Una vez calculado el porcentaje que representa el peso de la mochila con respecto
al peso corporal, ¿cómo clasificarían los datos?
En mayores de 10% y en menores de 10%
Gráfica 2. Número de alumnos por ciclo escolar que usan mochilas cuyo peso es
igual, superior o inferior a 10% del peso corporal
Fuente: Estudio descriptivo sobre el uso de la Mochila Escolar I. Prof. Ramón Cruz del
Moral, María Luisa Zagalaz Sánchez e Inmaculada Rodríguez Marín, España.
Obtenido el porcentaje del peso de la mochila con respecto al peso de cada
alumno, ¿cómo clasificarían estos datos para obtener información acerca de
este porcentaje en relación con los alumnos de cada ciclo escolar?
Por ciclo escolar.
¿Qué gráfica les convendría utilizar para representar esta información?
Una gráfica de barras.

Con respecto a las respuestas que dieron los
alumnos en relación con el dolor de espalda:
¿Cómo utilizarían los datos que obtuvieron
para contabilizar la cantidad de alumnos
que les suele doler o no la espalda?
Graficándolos para tener una idea más
precisa del fenómeno.
Si se desea visualizar de manera general
la cantidad de alumnos que padecen
dolor de espalda, ¿qué tipo de
gráfica consideran más conveniente,
de barras o circular? ¿Por qué?
Una gráfica de barras, porque una circular
podría confundirnos pues los porcentajes
son semejantes.
Se contabilizó, por una parte, la cantidad de niños y niñas que padecen o no este dolor,
y, por otra, la cantidad de niños que lo padecen o no, pero esta vez por ciclo escolar. La
información se organizó en tablas como las siguientes:
Tabla 3: Relación entre el dolor de espalda y el sexo del alumno
Les duele la espalda No les duele la espalda
Número de niños 27 43
Número de niñas 36 26
Tabla 4: Relación entre el dolor de espalda y el ciclo de estudios
Les duele la espalda No les duele la espalda
1.º ciclo de primaria 0 18
2.º ciclo de primaria 11 8
3.º ciclo de primaria 18 18
1.º y 2.º grados de secundaria 34 25
Gráfica 3. ¿Te suele doler la espalda?
5. Representen los datos de las tablas 3 y 4 mediante diferentes tipos de gráficas y
decidan cuál es la que mejor describe la información. Argumenten su respuesta.
Ver Solucionario.
Fuente: Estudio descriptivo sobre el uso de la Mochila
Escolar I. Prof. Ramón Cruz del Moral, María Luisa Zagalaz
Sánchez e Inmaculada Rodríguez Marín, España.
página
27
Desarrollo
53

Desarrollo
54
Las variables en estadística
En un estudio estadístico se debe partir de la identificación de las variables de estudio.
Por ejemplo, en el caso del peso de las mochilas, las variables consideradas son
el ciclo escolar o grado, el sexo, el peso corporal y el peso de las mochilas. El sexo
y el ciclo escolar son variables cualitativas, es decir, expresan cualidades o características,
y el peso corporal y el de las mochilas son variables cuantitativas, ya que se
pueden expresar con cantidades numéricas. Para analizar la información obtenida
se relacionan los datos entre las diferentes variables. Por ejemplo, una vez identificados
los datos de los alumnos que llevan sus materiales en mochilas, se pueden relacionar
con el peso de las mochilas por sexo o por ciclo escolar. Al relacionar los datos entre las
variables, se obtiene nueva información acerca de lo que se estudia; por ejemplo, si se
relacionan dos variables, se puede organizar dicha información en tablas y luego decidir
qué gráfica conviene utilizar para representar la información obtenida.
Para elaborar las tablas y gráficas de tu investigación estadística, puedes utilizar una hoja de cálculo. A continuación
se presentan las indicaciones para hacer una gráfica:
Abre una hoja de cálculo. Aparecerá una hoja blanca dividida en filas y columnas. Las columnas se
indican con las letras del alfabeto (A, B, C, D...) y las filas, con números naturales (1, 2, 3...).
Escribe los datos de la tabla en la hoja de cálculo, de tal manera que resulte una gráfica de barras
comparativa entre hombres y mujeres.
Si el texto que escribes se sale de la casilla, márcala ubicando el cursor en su interior y dando doble
clic con el ratón. Luego, en la etiqueta de Herramientas, da doble clic en Alineación y espaciado, y
marca dando clic en Ajustar texto. Automáticamente el texto quedará dentro de la casilla.

Para las gráficas:
Mantén apretado el botón izquierdo del ratón y selecciona las filas y columnas de la tabla.
Selecciona el icono Gráfica de barras en la barra de Menú o elige Insertar gráfico. Selecciona la
gráfica que quieras crear, por ejemplo, la de Gráfica de columnas.
En Herramientas de gráficos, selecciona Diseño. En esta sección puedes elegir una de las formas
que quieras que tenga tu gráfica. Todas tienen una caja para que escribas el título de la gráfica.
Da clic en Guardar gráfico.
Si quieres pegar tu gráfica en un archivo de texto, selecciónalo y da clic en copiar.
En tu documento de texto, ubica el cursor y da clic en pegar.
6. Decidan qué tipo de gráficas van a utilizar para representar la información
obtenida en su estudio.
Si tienen dudas sobre algún conocimiento estadístico que necesiten para su
estudio, revisen el libro de texto de Matemáticas de primero o segundo grado. R. L.
Con base en las tablas y gráficas que han creado, redacten un informe que
contenga los resultados de su estudio. R. L.
Presentación de nuestro trabajo
7. Cada uno de los equipos haga la presentación del estudio que realizaron. Expliquen
a los demás compañeros los siguientes aspectos de su estudio:
¿Cómo definieron lo que investigaron? ¿Por qué se decidieron por ese tema? R. L.
¿De dónde obtuvieron los datos que analizaron? ¿Cuál es la población a la que se
dirigió el estudio? ¿Cuántas preguntas realizaron? R. L.
¿Qué tipo de datos obtuvieron? ¿Cómo los organizaron y clasificaron? ¿Qué tipo de
tablas o gráficas decidieron utilizar para organizar y presentar la información? ¿Por
qué se decidieron por ese tipo de gráficas? R. L.
Comenten con los demás compañeros y con el maestro los resultados o conclusiones
a que llegaron, así como las dificultades a que se enfrentaron. R. L.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su Archivo de evidencias.
Escribe los pasos a seguir para realizar un estudio estadístico. 1)
¿Qué utilidad tiene la información obtenida mediante un estudio estadístico? R. L.
¿En qué parte del estudio tuviste dificultades? ¿En la determinación del tema
a estudiar, en la manera de obtener los datos, en la formulación de las preguntas,
en la organización o en el análisis de la información, o en la obtención
de los resultados? R. L.
¿Qué conocimientos estadísticos aprendidos en años anteriores utilizaste en
el estudio? R. M. La media aritmética, la moda, la mediana.
¿En qué casos de tu vida cotidiana o de tu comunidad crees que sería de
utilidad realizar un estudio estadístico? R. M. Para conocer datos relacionados
con la contaminación de mi comunidad.
Has concluido los temas del primer bloque. Te sugerimos que revises, con el profesor,
tu Archivo de evidencias para ver tu avance.
página
27
1) R. M. Establecer el tema
que se va a investigar,
determinar el tipo de datos
que queremos obtener, el
medio por el cual vamos
a obtener información, y
analizar los datos.
Desarrollo
Cierre
55

56
Taller de
Matemáticas
Alberto Coto.
Cálculo mental
La habilidad del cálculo mental en las operaciones aritméticas se refiere al conjunto
de procedimientos que, analizando las cantidades que intervienen, se articulan sin
recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados.
La principal diferencia entre el cálculo algorítmico y el cálculo mental no es que el primero
sea escrito y el segundo no se apoye en el uso de papel y lápiz. Dicha diferencia
radica más bien en que el cálculo algorítmico utiliza siempre la misma técnica para una
operación dada, cualesquiera que sean los números. En cambio, en el trabajo del cálculo
mental se espera la aplicación de una variedad de procedimientos, basados en las
propiedades del sistema decimal y de las operaciones. Hacer uso de diversas estrategias
para resolver una operación, posibilita el análisis de las relaciones involucradas en
las mismas.
La persona que logra desarrollar diversas estrategias de cálculo mental puede superar
en eficiencia a aquellas que siempre recurren a la misma técnica para resolver una
operación. El cálculo mental permite controlar resultados en diversos ámbitos de
la vida: comercial, social y escolar, entre otros. Así, por ejemplo, si quieres saber cuánto
te falta para comprar un teléfono de $2 345 si tienes $499, puedes restar 500 a
2 345 y después aumentar 1 al resultado.
Actualmente, uno de los mayores exponentes del cálculo mental es el español Alberto
Coto, quien entre otros logros tiene el calcular la suma de 100 dígitos en menos de 20
segundos y multiplicar dos números de ocho dígitos en menos de un minuto.
Para saber más sobre este fabuloso calculista, puedes consultar la siguiente dirección
electrónica:
www.albertocoto.com/index.php/es/sobrealbertocoto/titulos
En este taller podrás describir algunas estrategias del cálculo mental, como la compensación
y el redondeo, que te permitirán prescindir en algunos casos de papel y lápiz o
de la calculadora.

1. Reúnete con un compañero para realizar la siguiente actividad.
Calculen las sumas 2 396 1 400 y 149 1 38. 2396 + 400 = 2796 y 149 + 38 = 187
Traten de encontrar al menos dos maneras diferentes de calcularlas.
R. M. Para el 149 + 38 = 149 + 40 − 2 = 189 − 2 = 187
Comparen sus estrategias con el resto del grupo para determinar cuáles permiten
encontrar los resultados correctos. R. L.
2. Continúa trabajando con el mismo compañero de la actividad anterior para describir
qué se hizo en cada uno de los siguientes procedimientos al calcular las
sumas anteriores.
Suma: 2396 + 400
Procedimiento 1 2 396
1 400
2 796
Procedimiento 2 2 396 1 400
Suma: 149 1 38
23 1 4 5 27
2 396 1 400 5 2 796
Procedimiento 1 149
1 38
187
Procedimiento 2 149 1 38
Procedimiento 3
150 1 38 5 188
188 21 5 187
149 1 38 5 150 1 37 5 187
Procedimiento 4 149 1 38 5
140 1 30 1 8 1 9 5 187
Descripción
R. M. Es el procedimiento que utilizamos
para sumar.
Descripción
R. M. Sólo se suman las centenas con
las centenas.
Descripción
R. M. Es el procedimiento que utilizamos
para sumar.
Descripción
R. M. Redondeamos el primer sumando a
la decena más cercana y le sumamos 38, al
resultado le restamos 1 pues aumentamos al
primer sumando una unidad para redondearlo.
Descripción
R. M. Sumamos una unidad al primer
sumando y restamos una al segundo.
Descripción
R. M. Descomponemos el número en
decenas y unidades y realizamos la suma.
57

58
compensación. Es el
método para calcular
mentalmente en el
que se ajustan los
números de una
operación matemática
y se toma en cuenta
que si a uno se le
suma una determinada
cantidad, ésta
se debe restar en el
resultado.
93 2 36 5 93 2 33 23
93 2 36 5 97 2 40
93 2 36 5 93 2 40 1 4
3. Contesten las preguntas.
¿En los cuatro procedimientos de la suma 149 1 38 se obtiene el resultado correcto?
Sí.
Consideren el procedimiento 2 de la suma 149 1 38 y contesten:
¿Qué se hizo al poner la suma de 149 1 38 como 150 1 38?
Se redondeó el minuendo a la decena más cercana.
¿Por qué al final se resta 1 al resultado de 150 1 38? Porque para redondear se aumentó
una unidad al minuendo, por tanto debemos restar esa cantidad para no alterar el resultado.
Ahora tomen encuenta el procedimiento 3 de la misma suma:
¿En cuánto se transforma el 149? ¿Y el 38? En 150. En 37.
¿Qué se debe hacer con el segundo sumando si al primero se le suma 1 para
mantener la suma correcta? Restarle una unidad.
En estos dos procedimientos se utiliza la compensación para calcular la suma. De esta
manera, al 149 se le suma 1 y se convierte en 150 en el procedimiento 2, para sumarlo
más fácilmente con 38, pero al resultado se le resta el 1 que se sumó al principio.
¿Cómo se utiliza la compensación en el procedimiento 2?
Sumando una unidad al primer sumando y restándosela al resultado final.
Ahora descubran lo que se hace para calcular la diferencia de 93 − 36.
93 2 36 5 93 2 33 23
93 2 36 5 97 2 40
93 2 36 5 93 2 40 1 4
¿Cuál es el resultado de 93 236? 57
¿En todos los casos anteriores se obtiene la diferencia correcta de 93 2 36?
Sí
Completen los procedimientos anteriores.
En el primer procedimiento, primero se resta 33 que es un número que termina
igual que el minuendo para obtener un resultado con decenas completas, es
decir 6 decenas y después a este resultado se le resta 3 unidades para completar
los 36 que hay que restar.
En el segundo, se aumenta 4 unidades tanto al minuendo como al sustraendo
para restar decenas completas.
En el tercero, se aumenta 4 unidades al sustraendo para restar decenas completas
y después se aumenta lo mismo al resultado.
Descomponer el sustraendo en dos sumandos, de tal manera que uno de ellos tenga
la misma cifra en las unidades que el minuendo para restar solamente las decenas, es
la estrategia utilizada en el primer procedimiento; redondear el sustraendo para restar
solamente las decenas, es la estrategia usada en el segundo; y la compensación es
utilizada en el tercero.

Selecciona uno de los procedimientos anteriores y calcula las diferencias.
48 2 16 5 32
75 2 28 5
82 2 44 5 38
92 2 56 5
Aplica alguna de las estrategias para sumar o restar.
634 1 999 5 1633 274 2 99 5 175
356 1 999 5 1 355 805 2 99 5 706
2 567 1 9 999 5 12 566 2 385 2 999 5 1 386
3 407 1 9 999 5 13 406 8 946 2 999 5 7 947
23 856 1 99 999 5 123 855
36 483 2 9 999 5 26 484
Comparen sus estrategias y resultados en el grupo para verificar su validez.
4. Ahora trabajarán algunas estrategias para calcular mentalmente ciertos productos.
Organízate con un compañero diferente para realizar lo siguiente.
Recuerden la manera corta de multiplicar un número natural por 10, 100 y
1 000. Anoten su conclusión. Aumentando al número en cuestión la cantidad de ceros,
por ejemplo 4 × 100 = 400
Relacionen las columnas. Tracen, con diferentes colores, una línea de la operación
al resultado correcto y de éste a la operación alternativa correspondiente.
Operación Resultado Operación alternativa
35 4 360 (52 100) 252
45 8 5 148 35 2 2
25 9 930 (25 10) 225
52 99 140 (48 10) 4 2
48 5 225 45 2 2 2
62 15 240 (62 10) 1 (62 5) o (62 1 31) 10
Completen las afirmaciones que permiten calcular mentalmente los productos
anteriores.
Para multiplicar por 4 una cantidad, se puede multiplicar esa cantidad primero
por 2 y después el resultado multiplicarlo por 2 , porque
4 5 2 2.
Para multiplicar una cantidad por 8, se puede multiplicar consecutivamente tres
veces por 2 , porque 8 5 2 2 2.
Una manera de multiplicar una cantidad por 9 es multiplicarla primero por
10 y a ese producto restarle esa cantidad, porque 9a 5 10a 2 1a, donde
a es esa cantidad.
Una manera de multiplicar una cantidad por 99 es multiplicarla primero por
100 y a ese producto restarle la cantidad inicial, porque 99k 5 100k 21k,
donde k es dicha cantidad.
47
36
59

60
Otra manera de multiplicar cualquier cantidad por 5 es aumentarle un Cero
a esa cantidad y sacarle la mitad, o sacarle la Mitad y aumentarle un cero,
porque 55
10
.
2
Otra manera de multiplicar una cantidad por 15 es sumarle su
mentar un cero a este resultado, porque 15 5 10 1 5.
Mitad y au-
Comparen sus resultados y estrategias con otras dos parejas para validarlos.
A partir del análisis de los productos anteriores se pueden realizar las siguientes afirmaciones:
Para multiplicar por 50 una cantidad, se pueden agregar dos ceros a esa cantidad
y obtener su mitad.
Para multiplicar por 500 una cantidad, se pueden agregar tres ceros a esa cantidad
y sacarle su mitad.
¿Qué podrías hacer para multiplicar una cantidad por 0.5 o por 0.05? Discútanlo
con su profesor.
La división es la operación inversa de la multiplicación. Con base en lo anterior,
traten de calcular los siguientes cocientes sin realizar la división escrita ni usando
calculadora.
84 4 4 5
60 4 4 5
480 4 4 5
600 4 4 5
2 600 4 4 5
8 464 4 4 5
96 4 8 5
200 4 8 5
680 4 8 5
3 600 4 8 5
8 240 4 8 5
640 4 5 5
230 4 5 5
21
15
120
150
650
2116
12
25
85
450
1030
128
46
5. Ahora realicen lo siguiente.
190 4 5 5
310 4 5 5
720 4 5 5
200 4 50 5
400 4 50 5
700 4 50 5
900 4 50 5
1 200 4 50 5
100 4 25 5
200 4 25 5
300 4 25 5
400 4 25 5
600 4 25 5
Comprueben sus resultados con calculadora.
Comenten en grupo cómo resolvieron estas divisiones.
Anoten la forma para resolver las divisiones anteriores mediante el cálculo mental:
Para dividir una cantidad entre 4, se puede Dividir entre 2 dos veces.
Para dividir una cantidad entre 8, se puede Dividir entre 2 tres veces.
Para dividir una cantidad entre 5, se puede dividir primero entre diez y el
resultado multiplicarlo por dos.
38
62
144
4
8
14
18
24
4
8
12
18
24

Para dividir una cantidad entre 50, se puede dividir primero esa cantidad entre
cien y el resultado multiplicarlo por dos
Para dividir una cantidad entre 25, se puede dividir primero esa cantidad entre
cincuenta y el resultado multiplicarlo por dos
Lo anterior permite afirmar que:
Para dividir una cantidad entre 4, basta obtener la mitad de su mitad.
Para dividir una cantidad entre 8, se puede obtener la mitad de la mitad de su
mitad.
El cálculo mental y el redondeo son habilidades que permiten
calcular resultados aproximados en distintos contextos.
6. Analiza las siguientes situaciones.
A continuación se muestra la nota de una compra hecha
en una tienda de autoservicio.
Crema corporal 99.00
Champú 49.90
Tenis 199.00
Grabadora 1 999.99
Pantalón 495.00
Balón 201.99
¿Cuál crees que sea el total de la compra, menos de $2 000.00, entre
$2 000.00 y $3 000.00 o más de $3 000.00? R. M. Entre $2 000.00 y $3 000.00.
Redondea los precios de los productos.
Crema corporal 100
Champú 50
Tenis 200
Grabadora 2000
Pantalón 500
Balón 200
Entonces, ¿el total de la compra es menos de $2 000.00, entre $2 000.00 y
$3 000.00 o más de $3 000.00? Más de $3 000.00
Escribe un problema en el que la calculadora sea la herramienta más eficaz para
hacer las operaciones que se requieran, otro en el que el cálculo mental sea lo mejor
y uno más en que el cálculo escrito resulte más sencillo. R. L.
Compara tus problemas con los de tus compañeros y coméntenlos con el profesor.
Comenten en el grupo en qué otras situaciones podrían utilizar las estrategias de
cálculo mental que se trabajaron en este taller.
61

Bimestre 1
Matemáticas 3
Contenidos curriculares