Cap´ıtulo 1 Aplicaciones de la integral
Cap´ıtulo 1 Aplicaciones de la integral
Cap´ıtulo 1 Aplicaciones de la integral
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Capítulo 1<br />
<strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong><br />
Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcu<strong>la</strong>r <strong>integral</strong>es, sin<br />
p<strong>la</strong>ntearnos <strong>la</strong> utilidad que éstas pue<strong>de</strong>n tener. Sin embargo, <strong>la</strong> <strong>integral</strong><br />
<strong>de</strong>finida es un método rápido para calcu<strong>la</strong>r áreas, volúmenes, longitu<strong>de</strong>s,<br />
etc., lejos <strong>de</strong> los procesos lentos y <strong>la</strong>boriosos que empleaban los griegos.<br />
En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, <strong>la</strong><br />
electricidad.<br />
Ahora vamos a ilustrar <strong>la</strong>s distintas aplicaciones que tiene el cálculo<br />
<strong>integral</strong><br />
1. Cálculo <strong>de</strong> áreas p<strong>la</strong>nas<br />
Tal cómo hemos visto antes, <strong>la</strong> <strong>integral</strong> <strong>de</strong>finida es una generalización<br />
<strong>de</strong>l proceso <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong> áreas. Ahora bien, el área <strong>de</strong> un recinto es siempre<br />
positiva, mientras que <strong>la</strong> <strong>integral</strong> pue<strong>de</strong> ser positiva, negativa o nu<strong>la</strong>. Por<br />
tanto, en <strong>la</strong> aplicación <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> al cálculo <strong>de</strong> áreas, <strong>de</strong>be tenerse en<br />
cuenta el signo <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los recintos limitados por el eje OX, y tomar<br />
el valor absoluto <strong>de</strong> los mismos. Su suma es el área.<br />
Ejemplo 1 :<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong> curva y = x 2 , el eje OX y <strong>la</strong>s<br />
rectas x = 2 y x = 4.<br />
1
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 2<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong> curva y = x 3 − 3x 2 − x + 3 y<br />
el eje OXen el intervalo [1, 3].<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>limitada por <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> y = cos x y el eje OX, en el<br />
intervalo [0, 2π].<br />
Con escasas modificaciones po<strong>de</strong>mos exten<strong>de</strong>r <strong>la</strong> aplicación <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong><br />
<strong>de</strong>finida para cubrir no sólo el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región bajo una curva, sino el <strong>de</strong><br />
una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos el siguiente<br />
resultado :<br />
Teorema (Área <strong>de</strong> una región entre dos curvas): Si f y g son<br />
funciones continuas en [a,b] y se verifica que g(x) f(x) ∀x ∈ [a,b],<br />
entonces el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> f y g, y <strong>la</strong>s rectas<br />
verticales x = a y x = b, es :<br />
Observaciones:<br />
A =<br />
b<br />
[f(x) − g(x)] dx ν<br />
a<br />
Es importante darse cuenta <strong>de</strong> que <strong>la</strong> vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong>l área<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> sólo <strong>de</strong> que f y g sean continuas y <strong>de</strong> que g(x) f(x).<br />
Las gráficas <strong>de</strong> f y g pue<strong>de</strong>n estar situadas <strong>de</strong> cualquier manera respecto<br />
<strong>de</strong>l ejeOX.<br />
Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) f(x) y otras<br />
veces que f(x) g(x), entonces el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región comprendida entre f y<br />
g sobre el intervalo [a,b], viene dado por <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong>:<br />
A =<br />
b<br />
a<br />
| f(x) − g(x) | dx ,<br />
En <strong>la</strong> práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más<br />
fácil dibujar <strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> f y g, calcu<strong>la</strong>ndo los puntos <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong><br />
ambas, y sumar una o más <strong>integral</strong>es para obtener el área <strong>de</strong>seada.<br />
Ejemplo 2:<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por f(x) = x 2 y g(x) = √ x.<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por f(x) = x 2 y g(x) = x 3 .
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 3<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por f(x) = x 2 ,g(x) = −x + 2, y el<br />
ejeOX.<br />
[0, 1].<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por f(x) = x 2 + 2,g(x) = −x en<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada porf(x) = 3x 3 − x 2 − 10x y g(x) =<br />
2x − x 2<br />
Observación: Algunas veces es más conveniente calcu<strong>la</strong>r el área inte-<br />
grando respecto a <strong>la</strong> variable yen vez <strong>de</strong> <strong>la</strong> variablex. ,<br />
Ejemplo 3: Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> y 2 =<br />
3 − x e y = x − 1.<br />
2. Cálculo <strong>de</strong> volúmenes<br />
Al introducir <strong>la</strong> integración, vimos que el área es so<strong>la</strong>mente una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
muchas aplicaciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> <strong>de</strong>finida. Otra aplicación importante <strong>la</strong><br />
tenemos en su uso para calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido tridimensional.<br />
Si una región <strong>de</strong> un p<strong>la</strong>no se gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje E <strong>de</strong> ese mismo<br />
p<strong>la</strong>no, se obtiene una región tridimensional l<strong>la</strong>mada sólido <strong>de</strong> revolución<br />
generado por <strong>la</strong> región p<strong>la</strong>na alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> lo que se conoce como eje <strong>de</strong><br />
revolución. Este tipo <strong>de</strong> sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería<br />
y en procesos <strong>de</strong> producción. Son ejemplos <strong>de</strong> sólidos <strong>de</strong> revolución: ejes,<br />
embudos, pi<strong>la</strong>res, botel<strong>la</strong>s y émbolos.<br />
Existen distintas fórmu<strong>la</strong>s para el volumen <strong>de</strong> revolución, según se tome<br />
un eje <strong>de</strong> giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible<br />
hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> cuerpos que no son <strong>de</strong> revolución.<br />
2.1. Volúmenes <strong>de</strong> revolución: El Método <strong>de</strong> los discos<br />
Si giramos una región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje obtenemos un sólido<br />
<strong>de</strong> revolución. El más simple <strong>de</strong> ellos es el cilindro circu<strong>la</strong>r recto o disco,<br />
que se forma al girar un rectángulo alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje adyacente a uno <strong>de</strong><br />
los <strong>la</strong>dos <strong>de</strong>l rectángulo. El volumen <strong>de</strong> este disco <strong>de</strong> radio R y <strong>de</strong> anchura<br />
ω es:<br />
Volumen <strong>de</strong>l disco = πR 2 ω<br />
Para ver cómo usar el volumen <strong>de</strong>l disco para calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 4<br />
un sólido <strong>de</strong> revolución general, consi<strong>de</strong>remos una función continua f(x)<br />
<strong>de</strong>finida en el intervalo [a,b], cuya gráfica <strong>de</strong>termina con <strong>la</strong>s rectas x = a,<br />
x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX,<br />
obtenemos un sólido <strong>de</strong> revolución.<br />
Se trata <strong>de</strong> hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> este cuerpo engendrado por R. Para ello<br />
hay que seguir un proceso simi<strong>la</strong>r al realizado en <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>integral</strong><br />
<strong>de</strong>finida.<br />
Elegimos una partición regu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> [a,b]:<br />
a = x0 < x1 < ...... < xn−1 < xn = b<br />
Estas divisiones <strong>de</strong>terminan en el sólido n discos cuya suma se aproxima<br />
al volumen <strong>de</strong>l mismo. Teniendo en cuenta que el volumen <strong>de</strong> un disco es<br />
πR 2 ω, <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> Riemann asociada a <strong>la</strong> partición, y que da un volumen<br />
aproximado <strong>de</strong>l sólido es:<br />
siendo:<br />
n<br />
i=1<br />
π f 2 (ci) (xi − xi−1)<br />
ci ∈ (xi−1 , xi)<br />
ω = xi − xi−1,<strong>la</strong> altura (anchura) <strong>de</strong> los cilindros parciales<br />
R = f(ci)el radio <strong>de</strong> los cilindros parciales<br />
Si el número <strong>de</strong> cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada<br />
vez más al volumen <strong>de</strong>l sólido; es <strong>de</strong>cir:<br />
V = Lim<br />
n→∞<br />
n<br />
i=1<br />
π f 2 (ci) (xi − xi−1)<br />
Por tanto, recordando <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>integral</strong> <strong>de</strong>finida <strong>de</strong> Riemann se<br />
obtiene que:<br />
V =<br />
b<br />
π f 2 (x) dx<br />
a
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 5<br />
A<strong>de</strong>más, si se toma el eje <strong>de</strong> revolución verticalmente, se obtiene una<br />
fórmu<strong>la</strong> simi<strong>la</strong>r :<br />
Ejemplo 4:<br />
V =<br />
d<br />
c<br />
π f 2 (y) dy<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio r.<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l elipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> revolución engendrado por una elipse<br />
al girar alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un cono circu<strong>la</strong>r recto <strong>de</strong> radio r y altura h.<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen engendrado por <strong>la</strong> revolución entorno al eje OX <strong>de</strong>l<br />
recinto limitado por <strong>la</strong> curva y = senx, entre 0 y π.<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido generado al hacer girar <strong>la</strong> región limitada<br />
por <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f(x) = √ 3x − x 2 y el eje x (0 x 3 ), entorno <strong>de</strong>l eje<br />
x.<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido generado al hacer girar <strong>la</strong> región limitada<br />
por <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f(x) = 2 − x 2 y g(x) = 1, en torno a <strong>la</strong> recta y = 1.<br />
2.2. Volúmenes <strong>de</strong> revolución: El Método <strong>de</strong> <strong>la</strong>s aran<strong>de</strong><strong>la</strong>s<br />
El método <strong>de</strong> los discos pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>rse fácilmente para incluir sólidos<br />
<strong>de</strong> revolución con un agujero, reemp<strong>la</strong>zando el disco representativo por una<br />
aran<strong>de</strong><strong>la</strong> representativa. La aran<strong>de</strong><strong>la</strong> se obtiene girando un rectángulo al-<br />
re<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje. Si R y r son los radios externos e internos <strong>de</strong> <strong>la</strong> aran<strong>de</strong><strong>la</strong>,<br />
y ω es <strong>la</strong> anchura <strong>de</strong> <strong>la</strong> aran<strong>de</strong><strong>la</strong>, entonces el volumen viene dado por:<br />
Volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> aran<strong>de</strong><strong>la</strong> = π (R 2 − r 2 )ω<br />
Entonces, generalizando <strong>de</strong> forma análoga a como se hizo en el método<br />
<strong>de</strong> los discos, si tenemos dos funciones continuas f(x) y g(x) <strong>de</strong>finidas en<br />
un intervalo cerrado [a,b], con 0 g(x) f(x), y <strong>la</strong>s rectas x = a y<br />
x = b, el volumen engendrado se calcu<strong>la</strong> restando los sólidos <strong>de</strong> revolución<br />
engendrados por los recintos <strong>de</strong> ambas funciones, es <strong>de</strong>cir:<br />
V =<br />
b<br />
π f 2 (x) − g 2 (x) dx<br />
a
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 6<br />
Si <strong>la</strong>s funciones se cortan, habrá que calcu<strong>la</strong>r los volúmenes <strong>de</strong> los sólidos<br />
engendrados en cada uno <strong>de</strong> los subintervalos don<strong>de</strong> se pue<strong>de</strong> aplicar el<br />
método anterior.<br />
Ejemplo 5:<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido formado al girar <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong>s<br />
gráficas <strong>de</strong> y = x 2 e y = √ x, alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> figura engendrada al girar <strong>la</strong> superficie compren-<br />
dida entre <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y 2 = x, y <strong>la</strong> circunferencia y 2 = 2x − x 2 .<br />
Hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido formado al girar <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong>s<br />
gráficas <strong>de</strong> y = x 2 + 1 , y = 0 , x = 0 y x = 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY .<br />
Un mecánico perfora un agujero a través <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> una esfera <strong>de</strong><br />
metal <strong>de</strong> 5 cm <strong>de</strong> radio, teniendo el agujero un radio <strong>de</strong> 3 cm. ¿Cuál es el<br />
volumen <strong>de</strong>l anillo resultante ?.<br />
2.3. Método <strong>de</strong> secciones conocidas<br />
En este apartado veremos cómo se calcu<strong>la</strong> el volumen <strong>de</strong> algunos cuerpos<br />
geométricos cuando conocemos el área <strong>de</strong> <strong>la</strong>s bases <strong>de</strong> los cilindros parciales<br />
en que hemos dividido el sólido. Con el método <strong>de</strong> discos, po<strong>de</strong>mos ha-<br />
l<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido que tenga una sección circu<strong>la</strong>r cuya área sea<br />
∆A = πR 2 . Po<strong>de</strong>mos generalizar este método a sólidos <strong>de</strong> cualquier forma<br />
siempre y cuando sepamos <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> una sección arbitraria,<br />
como cuadrados, rectángulos, triángulos, semicírculos y trapecios.<br />
Consi<strong>de</strong>remos un sólido que tiene <strong>la</strong> propiedad <strong>de</strong> que <strong>la</strong> sección trans-<br />
versal a una recta dada tiene área conocida. Esto equivale a <strong>de</strong>cir intuiti-<br />
vamente que en cada corte que hacemos, conocemos el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> sección<br />
correspondiente.<br />
En particu<strong>la</strong>r, supongamos que <strong>la</strong> recta es el eje OX y que el área <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> sección transversal está dada por <strong>la</strong> función A(x), <strong>de</strong>finida y continua en<br />
[a,b]. La sección A(x) está producida por el p<strong>la</strong>no α perpendicu<strong>la</strong>r a OX.<br />
Siguiendo un proceso simi<strong>la</strong>r al realizado en <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong><br />
<strong>de</strong> Riemann:<br />
Elegimos una partición regu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> [a,b]:
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 7<br />
a = x0 < x1 < ...... < xn−1 < xn = b<br />
Estas divisiones <strong>de</strong>terminan en el sólido n secciones o rodajas cuya suma<br />
se aproxima al volumen <strong>de</strong>l mismo. Teniendo en cuenta que el volumen <strong>de</strong><br />
un cilindro es πR 2 ω, <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> Riemann asociada a <strong>la</strong> partición, y que da<br />
un volumen aproximado <strong>de</strong>l sólido es:<br />
siendo:<br />
n<br />
i=1<br />
A(ci) (xi − xi−1)<br />
Siendo ci un punto intermedio <strong>de</strong>l intervalo [xi−1,xi]<br />
ω = xi − xi−1,<strong>la</strong> altura <strong>de</strong> los cilindros parciales<br />
πR 2 = A(ci)el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> base <strong>de</strong> los cilindros parciales<br />
Si el número <strong>de</strong> cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada<br />
vez más al volumen <strong>de</strong>l sólido; es <strong>de</strong>cir:<br />
V = Lim<br />
n→∞<br />
n<br />
i=1<br />
A(ci) (xi − xi−1)<br />
Por tanto, recordando <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>integral</strong> <strong>de</strong>finida <strong>de</strong> Riemann se<br />
obtiene que:<br />
V =<br />
b<br />
a<br />
A(x) dx<br />
Para hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido por el método <strong>de</strong> <strong>la</strong>s secciones, se<br />
proce<strong>de</strong> como se indica a continuación :<br />
Esbozar <strong>la</strong> figura, incluyendo un eje perpendicu<strong>la</strong>r a <strong>la</strong>s secciones <strong>de</strong> área<br />
conocida (es <strong>de</strong>cir, un eje OX).<br />
Escoger una sección perpendicu<strong>la</strong>r al eje OX.<br />
Expresar el área A(x) <strong>de</strong> <strong>la</strong> base <strong>de</strong> <strong>la</strong> sección en términos <strong>de</strong> su posición<br />
x sobre el eje OX.<br />
Integrar entre los límites apropiados.<br />
Ejemplo 6:
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 8<br />
Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido cuya base es el área limitada por <strong>la</strong>s<br />
rectas f(x) = 1 − x<br />
2 , g(x) = −1 + x<br />
2 , x = 0 , y cuya sección perpendicu<strong>la</strong>r<br />
al eje X es un triángulo equilátero.<br />
Hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base cuadrada, don<strong>de</strong><br />
h es <strong>la</strong> altura <strong>de</strong> <strong>la</strong> pirámi<strong>de</strong>, y B es el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> base.<br />
Hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> un cono <strong>de</strong> base B, y altura h.<br />
2.4. Volúmenes <strong>de</strong> revolución: Método <strong>de</strong> capas<br />
En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo <strong>de</strong> un<br />
volumen <strong>de</strong> un sólido <strong>de</strong> revolución, un método que emplea capas cilíndricas.<br />
Para introducir el método <strong>de</strong> capas, consi<strong>de</strong>ramos un rectángulo re-<br />
presentativo, don<strong>de</strong>:<br />
ω = anchura <strong>de</strong>l rectángulo (espesor).<br />
h = altura <strong>de</strong>l rectángulo.<br />
p = distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l rectángulo al eje <strong>de</strong>l giro (radio medio).<br />
Cuando este rectángulo gira en torno al eje <strong>de</strong> revolución, engendra una<br />
capa cilíndrica (o tubo) <strong>de</strong> anchura ω. Para calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> esta capa<br />
consi<strong>de</strong>ramos dos cilindros. El radio <strong>de</strong>l mayor correspon<strong>de</strong> al radio externo<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> capa, y el radio <strong>de</strong>l menor al radio interno <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa. Puesto que p<br />
es el radio medio <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa, sabemos que el radio externo es p + (ω/2), y<br />
el radio interno es p − (ω/2). Por tanto, el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa, viene dado<br />
por <strong>la</strong> diferencia:<br />
V olumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa = volumen <strong>de</strong>l cilindro − volumen <strong>de</strong>l agujero =<br />
= π p + ω<br />
2 <br />
ω 2<br />
h − π p − h =<br />
2<br />
2<br />
= 2πphω = 2π · (radio medio) · (altura) · (espesor)<br />
Usamos esta fórmu<strong>la</strong> para calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido <strong>de</strong> revolución<br />
como sigue. Suponemos que <strong>la</strong> región p<strong>la</strong>na gira sobre una recta y engendra<br />
así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo <strong>de</strong> anchura ∆y parale<strong>la</strong>mente<br />
al eje <strong>de</strong> revolución, entonces al hacer girar <strong>la</strong> región p<strong>la</strong>na en torno al eje<br />
<strong>de</strong> revolución, el rectángulo genera una capa <strong>de</strong> volumen:<br />
∆ V = 2π [p(y)h(y) ] ∆y
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 9<br />
Si aproximamos el volumen <strong>de</strong>l sólido por n <strong>de</strong> tales capas <strong>de</strong> anchura<br />
∆y, altura h(yi), y radio medio p(yi), tenemos:<br />
Volumen <strong>de</strong>l sólido ≈ n<br />
i=1<br />
2π [p(yi)h(yi)] ∆y = 2π n<br />
Tomando el límite cuando n → ∞, tenemos que:<br />
= Lim<br />
n→∞<br />
2π n<br />
i=1<br />
Volumen <strong>de</strong>l sólido<br />
i=1<br />
[p(yi)h(yi)] ∆y = 2π d<br />
c [p(y)h(y)] dy<br />
[p(yi)h(yi)] ∆y<br />
Por tanto, po<strong>de</strong>mos enunciar el método <strong>de</strong> capas <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente forma:<br />
Para calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido <strong>de</strong> revolución con el método <strong>de</strong><br />
capas, se usa una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos siguientes opciones:<br />
Eje horizontal <strong>de</strong> revolución: V = 2π d<br />
p(y)h(y) dy<br />
c<br />
Eje vertical <strong>de</strong> revolución: V = 2π b<br />
p(x)h(x) dx<br />
a<br />
Para hal<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> un sólido por el método <strong>de</strong> capas, se proce<strong>de</strong><br />
como se indica a continuación :<br />
Esbozar <strong>la</strong> región p<strong>la</strong>na que va a ser girada, hal<strong>la</strong>ndo los puntos <strong>de</strong><br />
intersección <strong>de</strong> <strong>la</strong>s curvas que <strong>la</strong> limitan.<br />
Sobre el dibujo hal<strong>la</strong>r un rectángulo paralelo al eje <strong>de</strong> revolución.<br />
Teniendo como base el boceto, escribir el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa.<br />
Integrar entre los límites apropiados.<br />
Ejemplo 7:<br />
Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido <strong>de</strong> revolución generado al girar <strong>la</strong> región<br />
limitada por y = x − x 3 y el eje x (0 x 1), alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje y.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido <strong>de</strong> revolución generado al girar <strong>la</strong> región<br />
limitada por y = 1<br />
(x 2 +1) 2 y el eje x (0 x 1), alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje y.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido generado al girar, en torno a <strong>la</strong> recta<br />
x = 2, <strong>la</strong> región limitada por <strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> y = x 3 + x + 1, y = 1, y x = 1.<br />
Observación: Los método <strong>de</strong> discos y <strong>de</strong> capas se distinguen porque en<br />
el <strong>de</strong> discos el rectángulo representativo es siempre perpendicu<strong>la</strong>r al eje <strong>de</strong><br />
giro, mientras que en el <strong>de</strong> capas es paralelo. ,
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 10<br />
Con frecuencia uno <strong>de</strong> los dos métodos es preferible al otro. Los próximos<br />
ejemplos ilustran cuando uno es preferible al otro.<br />
Ejemplo 8:<br />
Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido generado al girar <strong>la</strong> región acotada por<br />
<strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> y = x 2 + 1, y = 0,x = 0 y x = 1 entorno al eje y.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l sólido generado al girar <strong>la</strong> región acotada por<br />
<strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> y = 1 − x2,<br />
con −4 x 4 entorno al eje x.<br />
16<br />
3. Longitud <strong>de</strong> un arco<br />
En este apartado vamos a ver como po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> arco<br />
<strong>de</strong> una curva p<strong>la</strong>na aplicando <strong>integral</strong>es. Lo que haremos será aproximar un<br />
arco (un trozo <strong>de</strong> curva) por segmentos rectos cuyas longitu<strong>de</strong>s vienen dadas<br />
por <strong>la</strong> conocida fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong> ña distancia<br />
d = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2<br />
Veamos antes <strong>de</strong> realizar el <strong>de</strong>sarrollo unas <strong>de</strong>finiciones previas:<br />
Definición: Si un trozo <strong>de</strong> curva tiene una longitud <strong>de</strong> arco finita, <strong>de</strong>-<br />
cimos que es rectificable. -<br />
Veremos en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> para <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> arco, que una<br />
condición suficiente para que <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> una función f sea rectificable<br />
entre (a,f(a) ) y (b,f(b) ) es que f ′ sea continua en [a,b].<br />
Definición: Decimos que una función f<strong>de</strong>finida en [a,b] es continuamente <strong>de</strong>rivable<br />
o <strong>de</strong>rivable con continuidad en [a,b], si f ′ es continua en [a,b]. A su gráfica<br />
en dicho intervalo se le l<strong>la</strong>ma curva suave. -<br />
Veamos ahora como po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> un arco.<br />
Sea f una función continua y <strong>de</strong>rivable con continuidad en el intervalo<br />
[a,b], y <strong>de</strong>notemos por ℓ <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> su gráfica en este intervalo. Aproxi-<br />
mamos <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f por n segmentos cuyos extremos están <strong>de</strong>terminados<br />
por <strong>la</strong> partición P <strong>de</strong> [a,b]:<br />
a = x0 < x1 < ...... < xn−1 < xn = b
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 11<br />
Haciendo ∆xi = xi − xi−1 , e ∆yi = yi − yi−1 , aproximamos <strong>la</strong> longitud<br />
<strong>de</strong>l arco por:<br />
ℓ ≈<br />
n<br />
i=1<br />
(∆xi) 2 + (∆yi) 2 =<br />
n<br />
i=1<br />
<br />
1 +<br />
∆yi<br />
∆xi<br />
Tomando el límite cuando n → ∞ ( ∆ → 0 ), tenemos que:<br />
ℓ = Lim<br />
n→∞<br />
n<br />
i=1<br />
(∆xi) 2 + (∆yi) 2 = Lim<br />
n→∞<br />
n<br />
i=1<br />
<br />
1 +<br />
2<br />
(∆xi)<br />
∆yi<br />
∆xi<br />
Por existir f ′ (x) ∀x ∈ (xi,xi−1), el teorema <strong>de</strong>l valor medio garantiza<br />
<strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> un ci ∈ (xi,xi−1) tal que:<br />
f(xi) − f(xi−1) = f ′ (ci) · (xi − xi−1) ⇒ f ′ (ci) = ∆yi<br />
∆xi<br />
A<strong>de</strong>más, como f ′ es continua en [a,b], sabemos que 1 + [f ′ (ci)] 2 tam-<br />
bién es continua ( y, por tanto, integrable) en [a,b], y tenemos:<br />
ℓ = Lim<br />
n→∞<br />
n<br />
i=1<br />
1 + [f ′ (ci)] 2 (∆xi) =<br />
L<strong>la</strong>mamos a ℓ longitud <strong>de</strong> arco <strong>de</strong> f entre ay b.<br />
b<br />
a<br />
2<br />
1 + [f ′ (x)] 2 dx<br />
Definición: Si <strong>la</strong> función y = f(x) representa una curva suave en el<br />
intervalo [a,b], <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> arco <strong>de</strong> f entre ay b viene dada por:<br />
ℓ =<br />
b<br />
a<br />
1 + [f ′ (x)] 2 dx −<br />
Análogamente, para una curva suave <strong>de</strong> ecuación x = g(y), <strong>la</strong> longitud<br />
<strong>de</strong> arco <strong>de</strong> g entre c y d viene dada por:<br />
ℓ =<br />
d<br />
c<br />
1 + [g ′ (y)] 2 dy −<br />
(∆xi)
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 12<br />
Ejemplo 9:<br />
Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> arco <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica f(x) = x3<br />
6<br />
+ 1<br />
2x<br />
sobre [1 , 2]. 2<br />
Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> arco <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica (y − 1) 3 = x 2 sobre [0, 8].<br />
Hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva f(x) = x 3 /2 sobre [0, 1].<br />
15. Área <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> revolución<br />
Con anterioridad, hemos usado <strong>la</strong> integración para calcu<strong>la</strong>r el volumen<br />
<strong>de</strong> un sólido <strong>de</strong> revolución. Ahora buscamos un procedimiento para calcu<strong>la</strong>r<br />
el área <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> revolución.<br />
Definición: Si se gira <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> una función continua alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong><br />
una recta, <strong>la</strong> superficie resultante se conoce como superficie <strong>de</strong> revolución.<br />
-<br />
Para calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> revolución, usamos <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie <strong>la</strong>teral <strong>de</strong> un tronco <strong>de</strong> cono circu<strong>la</strong>r recto.<br />
Consi<strong>de</strong>remos el segmento don<strong>de</strong>:<br />
L =longitud <strong>de</strong>l segmento<br />
r1 =radio en el extremo izquierdo <strong>de</strong>l segmento<br />
r2 =radio en el extremo <strong>de</strong>recho <strong>de</strong>l segmento<br />
Cuando se gira el segmento alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> su eje <strong>de</strong> revolución, se forma<br />
un tronco <strong>de</strong> cono circu<strong>la</strong>r recto, con:<br />
S = 2πrLÁrea <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie <strong>la</strong>teral <strong>de</strong>l tronco<br />
r = 1<br />
2 (r1 + r2)Radio medio <strong>de</strong>l tronco<br />
Ahora, supongamos que se gira <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> una función f, cuya <strong>de</strong>ri-<br />
vada es continua en el intervalo [a,b], alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje X, para formar una<br />
superficie <strong>de</strong> revolución. Sea P una partición <strong>de</strong> [a,b], con subintervalos <strong>de</strong><br />
anchura ∆xi. Entonces el segmento <strong>de</strong> longitud<br />
genera un tronco <strong>de</strong> cono.<br />
∆Li =<br />
<br />
∆x 2 i + ∆y2 i<br />
Por el teorema <strong>de</strong>l valor intermedio, existe un punto di tal que ri =<br />
f(di) es el radio medio <strong>de</strong> este tronco. Finalmente, el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie<br />
<strong>la</strong>teral ∆Si <strong>de</strong>l tronco viene dada por:
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 13<br />
∆Si = 2π ri ∆Li = 2π f(di)<br />
<br />
∆x 2 i + ∆y2 i<br />
= 2π f(di)<br />
<br />
1 +<br />
Por el teorema <strong>de</strong>l valor medio, existe un punto ci ∈ (xi−1,xi) tal que:<br />
Por tanto:<br />
f ′ (ci) = f(xi) − f(xi−1)<br />
xi − xi−1<br />
<br />
∆Si = 2π f(di)<br />
= ∆yi<br />
∆xi<br />
1 + (f ′ (ci)) 2 ∆xi<br />
y el área total <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie pue<strong>de</strong> aproximarse por:<br />
S ≈ 2π<br />
n<br />
i=1<br />
<br />
f(di)<br />
1 + (f ′ (ci)) 2 ∆xi<br />
Tomando el límite cuando n → ∞, se pue<strong>de</strong> probar que:<br />
S = 2π<br />
b<br />
a<br />
<br />
f(x)<br />
1 + (f ′ (x)) 2 dx<br />
De manera simi<strong>la</strong>r, si se gira <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> fen torno al eje y, el área S<br />
viene dada por<br />
S = 2π<br />
b<br />
a<br />
<br />
x<br />
1 + (f ′ (x)) 2 dx<br />
En ambas fórmu<strong>la</strong>s <strong>de</strong> S, po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar los productos 2πf(x) y 2πx<br />
como <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia que <strong>de</strong>scribe el punto (x,y) <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica<br />
<strong>de</strong> f cuando se gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje xo <strong>de</strong>l eje y. En un caso el radio es<br />
r = f(x) y en otro el radio es r = x. A<strong>de</strong>más, ajustando r apropiadamente,<br />
po<strong>de</strong>mos generalizar esta fórmu<strong>la</strong> para incluir áreas <strong>de</strong> superficies con ejes<br />
<strong>de</strong> revolución horizontales o verticales cualesquiera, como se indica en <strong>la</strong><br />
siguiente <strong>de</strong>finición:<br />
∆yi<br />
∆xi<br />
2<br />
∆xi
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 14<br />
Definición: Si y = f(x) tiene <strong>de</strong>rivada continua en el intervalo [a,b],<br />
entonces el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> revolución S formada al girar <strong>la</strong> gráfica<br />
<strong>de</strong> f alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje horizontal o vertical es:<br />
S = 2π<br />
b<br />
a<br />
r(x)<br />
<br />
1 + (f ′ (x)) 2 dx<br />
r(x)es <strong>la</strong> distancia entre <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f y el eje <strong>de</strong> revolución correspon-<br />
diente. -<br />
Observación: Si x = g(y) en el intervalo [c,d], entonces el área <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
superficie es<br />
S = 2π<br />
d<br />
c<br />
r(y)<br />
<br />
1 + (f ′ (y)) 2 dy<br />
don<strong>de</strong> r(y) es <strong>la</strong> distancia entre <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> g y el eje <strong>de</strong> revolución corres-<br />
pondiente. ,<br />
Ejemplo 10:<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie formada al girar <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f(x) = x 3<br />
en el intervalo [0,1] alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje x.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie formada al girar <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f(x) = x 2<br />
en el intervalo [0, √ 2] alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje y.<br />
5. Integrales impropias<br />
En este apartado vamos a ver una extensión <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> <strong>integral</strong> para<br />
incluir algunos casos interesantes que no son permitidos por <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong><br />
<strong>integral</strong>.<br />
La <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>integral</strong> <strong>de</strong>finida b<br />
f(x)dx requiere que el intervalo<br />
a<br />
[a,b] sea finito. A<strong>de</strong>más, el teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo, con el que he-<br />
mos estado evaluando <strong>integral</strong>es, exige que f sea continua en [a,b]. En esta<br />
sección discutiremos un proceso <strong>de</strong> límite para calcu<strong>la</strong>r <strong>integral</strong>es que incum-<br />
p<strong>la</strong>n estos requisitos, bien sea, porque uno o ambos límites <strong>de</strong> integración<br />
son infinitos, o porque ftiene en [a,b] un número finito <strong>de</strong> discontinuida<strong>de</strong>s<br />
infinitas. Las <strong>integral</strong>es que se enmarcan en uno <strong>de</strong> estos dos supuestos se<br />
l<strong>la</strong>man <strong>integral</strong>es impropias.
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 15<br />
Por tanto, <strong>la</strong>s <strong>integral</strong>es ∞<br />
1<br />
dx<br />
x y ∞<br />
−∞<br />
dx<br />
x 2 +1<br />
son impropias porque uno<br />
o ambos límites <strong>de</strong> integración son infinitos. Análogamente, <strong>la</strong>s <strong>integral</strong>es<br />
5<br />
1<br />
√dx y x−1 2<br />
−2<br />
dx<br />
(x+1) 2 son impropias porque los integrandos tienen disconti-<br />
nuida<strong>de</strong>s infinitas en algunos puntos <strong>de</strong>l intervalo <strong>de</strong> integración.<br />
Para hacerse una i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> cómo po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r una <strong>integral</strong> impropia,<br />
considérese <strong>la</strong> <strong>integral</strong>:<br />
b<br />
1<br />
dx 1<br />
= 1 −<br />
x2 b<br />
Por tanto, tomando el límite cuando b → ∞, resulta que:<br />
∞<br />
1<br />
dx<br />
= Lim<br />
x2 b→∞<br />
b<br />
1<br />
dx<br />
x 2<br />
<br />
= Lim<br />
b→∞<br />
<br />
1 − 1<br />
<br />
b<br />
= 1<br />
y po<strong>de</strong>mos interpretar <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia como el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región no<br />
acotada entre <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> <strong>la</strong> función y el eje x.<br />
Definición (<strong>de</strong> <strong>integral</strong>es impropias con límites <strong>de</strong> integración infinitos):<br />
Si fes continua en [a, ∞), entonces:<br />
∞<br />
a<br />
f(x)dx = Lim<br />
b→∞<br />
Si fes continua en (−∞,b], entonces:<br />
b<br />
−∞<br />
f(x)dx = Lim<br />
a→−∞<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx<br />
f(x)dx<br />
Si fes continua en (−∞, ∞), entonces:<br />
∞<br />
−∞ f(x)dx = c<br />
−∞ f(x)dx + ∞<br />
c f(x)dx con c ∈R.<br />
En cada caso, si el límite existe, se dice que <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia converge ;<br />
<strong>de</strong> lo contrario, <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia diverge. Esto significa que en el tercer<br />
caso <strong>la</strong> <strong>integral</strong> diverge si una cualquiera <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos <strong>integral</strong>es diverge. -<br />
a) ∞<br />
1<br />
Ejemplo 11: Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s siguientes <strong>integral</strong>es impropias:<br />
dx<br />
x b) ∞<br />
0<br />
dx<br />
x2 +1 c) ∞<br />
d) ∞<br />
0 senx dx e) ∞<br />
−∞<br />
0 e −x dx<br />
ex 1+e2x dx f) ∞<br />
−∞<br />
dx<br />
x 2 +1<br />
Definición (<strong>de</strong> <strong>integral</strong>es impropias con una discontinuidad infinita):
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 16<br />
Si fes continua en [a,b) y tiene una discontinuidad en b entonces:<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx = Lim<br />
c→b −<br />
c<br />
a<br />
f(x)dx<br />
Si fes continua en (a,b] y tiene una discontinuidad en a entonces:<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx = Lim<br />
c→a +<br />
b<br />
c<br />
f(x)dx<br />
Si fes continua en [a,b], excepto en un c <strong>de</strong> (a,b)entonces:<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx =<br />
c<br />
a<br />
f(x)dx +<br />
b<br />
c<br />
f(x)dx<br />
En cada caso, si el límite existe, se dice que <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia converge ;<br />
<strong>de</strong> lo contrario, <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia diverge. Esto significa que en el tercer<br />
caso <strong>la</strong> <strong>integral</strong> diverge si una cualquiera <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos <strong>integral</strong>es diverge. -<br />
a) 1<br />
0<br />
Ejemplo 12: Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s siguientes <strong>integral</strong>es impropias:<br />
dx<br />
3√ b) x 2<br />
−1<br />
dx<br />
x3 c) ∞<br />
0<br />
√ dx d) x(x+1) 1<br />
0<br />
Lx dx<br />
5.1. Criterios <strong>de</strong> convergencia para <strong>integral</strong>es impropias<br />
En este apartado, al igual que ocurría con <strong>la</strong>s series numéricas, vamos<br />
a dar una serie <strong>de</strong> criterios que nos van a permitir estudiar <strong>la</strong> convergen-<br />
cia <strong>de</strong> <strong>integral</strong>es impropias sin necesidad <strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r<strong>la</strong>, con sólo comparar<strong>la</strong><br />
con otras <strong>integral</strong>es impropias cuyo carácter conozcamos <strong>de</strong> antemano. El<br />
siguiente teorema, nos va a proporcionar conocer <strong>la</strong> convergencia o diver-<br />
gencia <strong>de</strong> una buena cantidad <strong>de</strong> <strong>integral</strong>es impropias.<br />
Teorema (p-<strong>integral</strong>es):<br />
Para a > 0 <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia ∞<br />
a<br />
Las <strong>integral</strong>es b<br />
a<br />
1<br />
(b−x) p dx e b<br />
a<br />
<br />
1<br />
xp <br />
dx<br />
<br />
1<br />
(x−a) p dx<br />
Ejemplo 13: Estudiar el carácter <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> ∞<br />
−3<br />
<br />
converge si p > 1<br />
diverge si p 1<br />
convergen si p < 1<br />
divergen si p 1<br />
dx<br />
√ x+3<br />
Teorema: Sea f una función continua y no negativa, entonces cada uno<br />
<strong>de</strong> los tipos básicos <strong>de</strong> <strong>integral</strong>es impropias bien convergen a un número real<br />
c o bien divergen a ∞. ν<br />
ν
Javier Martínez <strong>de</strong>l Castillo <strong>Aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> 17<br />
a<br />
Teorema (criterio <strong>de</strong> comparación estándar) :<br />
Sean f y g funciones continuas, y supongamos que 0 f(x) g(x) ∀x <br />
Si ∞<br />
a g(x) dx converge ⇒ Si<br />
∞<br />
f(x) dx converge<br />
a ∞<br />
a f(x) dx diverge ⇒ ∞<br />
g(x) dx diverge<br />
a<br />
Se obtienen resultados análogos para todos los tipos básicos <strong>de</strong> <strong>integral</strong>es<br />
impropias <strong>de</strong> funciones no negativas.<br />
Si <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia <strong>de</strong> <strong>la</strong> función mayor converge, entonces también<br />
converge <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> función menor.<br />
Si <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia <strong>de</strong> <strong>la</strong> función menor diverge, entonces también<br />
diverge <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> función mayor. ν<br />
Ejemplo 14: Estudiar el carácter <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> ∞<br />
4<br />
dx<br />
x 2 +10x+23<br />
Teorema (comparación paso al límite): Sean f y g funciones con-<br />
tinuas positivas para x a. Entonces, si<br />
entonces ∞<br />
a f(x)dx y ∞<br />
Lim<br />
x→∞<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
= c > 0<br />
a g(x)dx tienen el mismo carácter. ν<br />
Ejemplo 15: Estudiar el carácter <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong> ∞<br />
1<br />
x 3 −2x 2 +x−1<br />
2x 4 +3x+2 dx<br />
Teorema (convergencia absoluta): Sea f una función continua. Si<br />
una <strong>integral</strong> impropia <strong>de</strong> |f(x)| converge, entonces <strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia <strong>de</strong><br />
f(x) con los mismos límites, también converge. En este caso, diremos que<br />
<strong>la</strong> <strong>integral</strong> impropia <strong>de</strong> f(x) converge absolutamente. ν