geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

22 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
P ero m i = tg a i y m i = tg cu. L u e g o , de (2 ) ,
, „ m 2— mi , os
tg di - t — ---------- ( 3 )
1 + m,2 mi
P a ra el trián gulo A B C , con 6i p o r ángulo e x te rio r , tenem os
02 = a i + (180° — a a ) .
T om an do tan gen tes de am bos m iem b ro s, obtenem os (A pén dice I C ,
6 y 3 )
tg a i + tg (180° — a s) = tg a i — tg a2
® 2 1 — tg a i tg (180° — 02) 1 + tg a i tg a2 ’
de donde obten em os el resultado buscado :
, , mi — m2 , , \
tg 62 = -z— r----------. (4)
1 + mi mi
C om paran do (3 ) y (4 ) , vem os que solam ente difieren en el signo ,
lo cual era de esperarse , y a que di y 62 son ángulos su p lem en tario s.
P a ra calcu lar un ángulo especificado es esencial saber si se debe usar
la fórm ula (3 ) o la (4 ) , es d e c ir , debem os tener la seguridad de que
estam os calculan do un ángulo p a rticu la r o su su p lem en to. E sto se
resuelve m u y sencillam ente si observam os q u e , en ambos resultados , el
n um erador se obtien e restando la pendiente in icia l de la pendiente fin a l.
D e acuerdo con esto tenem os el siguiente
T eo rem a 5 . U n ángulo especificado 6 form ado por dos rectas está
dado por la fórm ula
1 s\ 1H2 m i , -j / ¡» \
tg e = 7 7 --------- , m i ms ^ - 1 , (5 )
1 + m i irn
en donde m i es la pendiente in icia l y 012 la pendiente fin al correspon­
diente al ángulo 6 .
NOTA. Si mi m? = — 1. tg 6 no está definida por la fórmula (5) . Este
caso será considerado más adelante en el corolario 2.
D e l teorem a 5 podem os deducir las condiciones de paralelism o y
p erpen dicularidad de dos r e c ta s , conocidas sus p e n d ien tes.
E n efecto , según vim o s en el A rtícu lo 8 , si dos rectas son parale­
las , el ángulo form ado por ellas es 0° ó 180° . E n cualquiera de los
dos c a s o s , la fórm ula (5 ) se reduce a
_ m 2 — mi
1 + m i m¡ '
de d o n d e , m¡ — m i ; es d e c ir , las pendientes son ig u a le s .