Matemática Nivel IV - Región Educativa 11
Matemática Nivel IV - Región Educativa 11
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Tercer Ciclo de Educación General Básica para Adultos<br />
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL<br />
<strong>Matemática</strong><br />
4
<strong>Matemática</strong><br />
Tercer Ciclo de Educación<br />
General Básica para Adultos<br />
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL<br />
4
Ministro de Educación de la Nación<br />
Prof. Dr. Hugo Oscar Juri<br />
Secretario de Educación Básica<br />
Lic. Andrés Delich<br />
Subsecretario de Educación Básica<br />
Lic. Gustavo Iaies<br />
infopace@me.gov.ar<br />
Material elaborado por los<br />
Equipos Técnicos del Programa de<br />
Acciones Compensatorias en Educación<br />
del Ministerio de Educación.<br />
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.<br />
Hecho el depósito que marca la ley <strong>11</strong>.723. Libro de edición argentina.<br />
ISBN 950-00-0295-7. Primera Edición. Primera Reimpresión.
Índice<br />
Introducción ..........................................................<br />
Números racionales .................................................<br />
Fracciones equivalentes .....................................<br />
Comparación de fracciones .................................<br />
Operaciones con fracciones ..........................................<br />
Suma y resta de fracciones con igual denominados ....<br />
Suma y resta de fracciones con distinto denominador....<br />
Multiplicación de fracciones ................................<br />
División de fracciones .......................................<br />
Potenciación con base fraccionaria ........................<br />
Cálculos con expresiones decimales ............................<br />
Radicación .............................................................<br />
Cálculo aproximado .................................................<br />
Notación científica ..................................................<br />
Geometría: Triángulos .............................................<br />
Propiedad de los lados .......................................<br />
Angulos interiores ............................................<br />
Alturas ..........................................................<br />
Introducción a la estadística .....................................<br />
Universo o población .................................................<br />
Instrumentos ............................................................<br />
Variables estadísticas ..................................................<br />
Frecuencias .............................................................<br />
Diagramas ...............................................................<br />
Parámetros estadísticos ...............................................<br />
Claves de corrección ................................................<br />
Anexo ...................................................................<br />
5<br />
6<br />
14<br />
22<br />
26<br />
26<br />
27<br />
34<br />
40<br />
43<br />
46<br />
49<br />
55<br />
58<br />
65<br />
66<br />
68<br />
70<br />
72<br />
75<br />
80<br />
80<br />
83<br />
88<br />
93<br />
103<br />
121
Introducción<br />
En el Libro anterior se mencionó que los números pueden ser usados<br />
para contar o para medir. De acuerdo con cada situación se utilizan<br />
diferentes tipos de números: naturales, enteros o racionales. Usted<br />
ya ha estudiado el conjunto de los números naturales y el de los<br />
enteros y cómo se opera con ellos. En la primera parte de este Libro<br />
analizará las operaciones que se realizan con los números racionales.<br />
En la segunda parte continuará con geometría. Se trabaja sobre el<br />
triángulo y algunas de sus propiedades. En la parte final del Libro<br />
encontrará un anexo con el material que utilizará en este tema.<br />
Por último comenzará a estudiar aspectos generales de estadística.<br />
Actualmente, los medios de comunicación utilizan esta rama de la<br />
matemática para presentar gran parte de la información que desarrollan.<br />
Aquí se propone el estudio de los conceptos básicos para la lectura<br />
y comprensión de diversos cuadros y diagramas de uso corriente.<br />
5
6<br />
Números racionales<br />
Los números racionales pueden escribirse como fracción o en su<br />
expresión decimal. Comenzaremos a trabajar con los números racionales<br />
en su expresión fraccionaria.<br />
Observe la pared representada en el dibujo. Las cerámicas utilizadas<br />
para revestirla fueron colocadas prolijamente en filas hasta cierta<br />
altura. ¿Cuántas filas de cerámica revisten la pared?¿Cuántas cerámicas<br />
hay en cada fila? ¿Cuántas cerámicas hay en total?<br />
Si la tortuga tiene que recorrer desde A hasta B ¿qué parte del camino<br />
recorrió la tortuga?<br />
Estas últimas preguntas ¿pueden ser contestadas con un número entero?<br />
No, para contestar a estas preguntas es preciso utilizar fracciones;<br />
• Hay 5 cerámicas y<br />
1<br />
2 por cada fila<br />
1234<br />
• Hay 38 cerámicas y en total<br />
• La tortuga recorrió del camino.
5 1 , 38 1 y 3 son números racionales expresados con fracciones.<br />
2 2 4<br />
Para escribir una fracción se utilizan dos números enteros, por lo<br />
tanto, el numerador y el denominador pueden ser números positivos,<br />
negativos o el cero; la única restricción es que el denominador<br />
no puede ser cero.<br />
Generalizando<br />
a b<br />
3<br />
4<br />
Numerador<br />
Denominador<br />
Recuerde que cuando se quiere generalizar, por ejemplo la definición<br />
de fracción, debemos reemplazar los números por letras. De<br />
esta manera se indica que no nos referimos a un caso particular;<br />
3<br />
(por ejemplo 4 ) ya que si afirmáramos que la manera de escribir<br />
fracciones es 3 estaríamos diciendo que la única forma de escribir<br />
4<br />
una fracción es con un 3 y con un 4.<br />
Llamaremos “a" y “b" a los números que forman la fracción. De este<br />
modo referirnos de un modo general, a cualquier número "a" o<br />
cualquier número “b".<br />
Es el ............................ e indica ...........................<br />
Es el ............................ e indica ...........................<br />
Una fracción tiene la forma a<br />
b<br />
donde a y b son números enteros y b ≠ 0<br />
a es el numerador y b el denominador de la fracción<br />
En la vida cotidiana utilizamos frecuentemente expresiones fraccionarias.<br />
Por ejemplo para indicar los ingredientes de una receta de cocina:<br />
J Ingredientes<br />
2 litros de leche<br />
1<br />
4<br />
pan de manteca<br />
2 tazas y 1<br />
2 de harina<br />
1<br />
4 kilogramo de azúcar<br />
Revise en el Módulo<br />
2, Libro 1 para repasar<br />
este tema si no lo<br />
recuerda.<br />
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación<br />
7
8<br />
También se utilizan fracciones en situaciones como las siguientes:<br />
3<br />
Tres de las cuatro personas de la cola son hombres; es decir 4<br />
partes<br />
de quienes están en la cola son hombres.<br />
Cuatro de los diez autos son blancos; es decir<br />
4<br />
10<br />
de los autos son<br />
blancos.<br />
Es muy frecuente referir la información en relación con un total de<br />
100. Así, por ejemplo, se dice “20 de cada 100 personas de un barrio<br />
tienen auto propio". En fracciones esto se expresa como<br />
20<br />
100<br />
.<br />
También suele decirse “el 20 % de...", que es una expresión equivalente.<br />
En síntesis, cuando se utiliza la expresión "tanto por ciento"<br />
-que se representa con el número seguido del símbolo %- significa que<br />
la información está referida a una fracción con denominador 100.
a<br />
b<br />
Actividad Nº1<br />
Para representar las siguientes fracciones se han utilizado diferentes<br />
figuras: barras, círculos, cuadrados, que representan la unidad.<br />
Las partes en que se dividió cada figura indican el denominador<br />
(cuartos, medios, tercios, etc.). El numerador está expresado<br />
en las partes sombreadas.<br />
Complete el numerador, el denominador o ambos y los sombreados<br />
correspondientes, para indicar la fracción representada.<br />
Represente en la recta numérica los números que haya obtenido<br />
en la primera columna.<br />
0 1<br />
9
10<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
¿Entre qué números enteros están todas las fracciones de la<br />
primera columna?<br />
En todos estos casos ¿cómo es el numerador con respecto al<br />
denominador?<br />
En la primera columna todos los números son menores que 1.<br />
Los de la segunda columna ¿son mayores, menores o iguales a<br />
1? ¿Cómo son en estos casos el numerador y el denominador?<br />
Observe las fracciones que quedaron escritas en la tercera columna.<br />
¿Cómo son el numerador y el denominador? ¿Estas<br />
fracciones son menores, mayores o iguales a 1?<br />
Antes de continuar consulte las Claves de Corrección.<br />
De acuerdo con las respuestas de la Actividad Nº1, las fracciones de<br />
la segunda columna son mayores que 1. Esto también lo podemos<br />
observar si representamos dichos números en la recta numérica.<br />
Para representar de manera más sencilla estos números podemos<br />
pensar a cada uno de ellos como un número entero más una fracción<br />
de una unidad, tal como en los gráficos anteriores.<br />
<strong>11</strong> 3<br />
Por ejemplo el primero de los números es 8 , que es 1 entero más 8<br />
de la unidad, por lo que en la recta este número está entre 1 y 2.<br />
Para ubicarlo con precisión dividimos el segmento que está entre 1<br />
y 2 en 8 partes iguales (octavos) y marcamos la tercera de ellas.
Un caso particular de fracciones<br />
Consideremos unidades iguales y que cada una de ellas esté dividida<br />
en 4 partes iguales, es decir en cuartos. Considere 8 de esas partes,<br />
es decir 8<br />
4<br />
. Resulta entonces que se han considerado dos enteros<br />
para obtener los<br />
8<br />
es decir<br />
8<br />
4 4 = 2<br />
Considere otro caso. Cada una de las tres unidades son iguales y están<br />
divididas en tercios, en total hay nueve tercios. Entonces:<br />
9<br />
3 = 3<br />
Si cada unidad, todas iguales entre sí, está dividida en medios, tener<br />
ocho mitades de enteros iguales equivale a tener 4 enteros. Entonces<br />
8<br />
2 = 4.<br />
Como se observa en los ejemplos anteriores, hay fracciones que<br />
equivalen a números enteros, o lo que es lo mismo: todo número<br />
entero puede expresarse como una fracción.<br />
Actividad Nº2<br />
¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denominador<br />
para que una fracción positiva sea:<br />
• menor que 1<br />
• mayor que 1<br />
• igual a 1<br />
• equivalente a un número entero<br />
<strong>11</strong>
12<br />
En la foto hay 2 manzanas enteras más otra media manzana o sea<br />
5 ó 2 1<br />
2 2<br />
Las fracciones mayores que uno (como 5<br />
2<br />
) pueden escribirse también<br />
separando las unidades que contienen:<br />
2 1 es una expresión mixta.<br />
2<br />
Es muy común expresar cantidades de esta manera:<br />
( 2<br />
1<br />
4 )<br />
“La película duró 2 horas y cuarto" ó<br />
“Un kilo y medio de pan” 1 1<br />
2<br />
( )<br />
Hasta aquí se ha trabajado con números fraccionarios positivos, pero<br />
hemos dicho que el numerador y el denominador son números enteros,<br />
por lo tanto uno o ambos pueden ser negativos. Recuerde que la<br />
única restricción es que el denominador no sea cero.<br />
Si el numerador es positivo (+) y el denominador (-) ¿cuál es el signo<br />
de la fracción? ¿Y si ambos números son negativos? Tenga presente<br />
la regla de signos estudiada en el Libro anterior.<br />
Por ejemplo:<br />
Si el numerador es 3 y el denominador es -4 deberíamos escribir<br />
3<br />
-4 .<br />
Si el numerador es -2 y el denominador -5 deberíamos escribir -2 .<br />
-5<br />
En lugar de escribir el signo de cada uno de los números que forman<br />
la fracción se coloca un signo negativo a la altura de la línea de fracción,<br />
si es que sólo uno de los dos números es negativo. No se colocan<br />
los signos negativos de cada número si ambos lo son. Es decir:
En lugar de escribir 3 escribimos -<br />
-4<br />
No escribimos -2 sino 2 porque ambos son negativos y al dividir un<br />
-5 5<br />
negativo por un negativo la fracción resulta positiva.<br />
En la recta numérica, del mismo modo que en los enteros, las fracciones<br />
negativas se colocan a la izquierda del cero.<br />
Por ejemplo:<br />
-2 3 está entre -2 y -3<br />
4<br />
-<br />
1<br />
2<br />
está entre 0 y -1<br />
Los números enteros más cercanos a -2 3<br />
4<br />
son -2 y -3.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº3<br />
8<br />
3<br />
7<br />
2<br />
entre ........ y ........<br />
entre ........ y ........<br />
2<br />
5<br />
7<br />
2<br />
3<br />
4<br />
entre ........ y ........<br />
entre ........ y ........<br />
-2<br />
3<br />
4<br />
- 5<br />
4<br />
12 5<br />
entre ........ y ........<br />
entre ........ y ........<br />
-<br />
1<br />
2<br />
-4 -3 -2 -1 0<br />
Calcule mentalmente cuáles son los enteros más próximos<br />
entre los que están las siguientes fracciones.<br />
-<br />
¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denominador<br />
de una fracción negativa para que sea:<br />
• menor que -1<br />
• mayor que -1<br />
• igual a -1<br />
• equivalente a un entero negativo<br />
13
14<br />
Fracciones equivalentes<br />
Piense en algún amigo o familiar que tenga uno o varios sobrenombres.<br />
Usted puede referirse a esa persona de diferentes formas.<br />
Lo mismo sucede con los números. Un mismo número puede ser<br />
expresado de diferentes maneras, pero siempre es el mismo número,<br />
porque las expresiones son equivalentes.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº4<br />
Todas las tiras dibujadas representan la unidad. Todas ellas<br />
son iguales.<br />
Sombree las partes que correspondan para representar la<br />
fracción indicada en cada caso.<br />
Compare las partes del entero que sombreó. En cada caso<br />
¿cómo son entre sí?<br />
Represente las cuatro fracciones en la recta numérica. Primero<br />
trate de deducir qué ocurrirá.<br />
Antes de continuar consulte las Claves de Corrección.
Tal como habrá observado en la actividad anterior, es posible escribir<br />
con números distintos, fracciones que representan la misma cantidad.<br />
Las fracciones 3 , 6 , 9 , representan el mismo número racio-<br />
4 8 12<br />
nal. Tienen diferente escritura, pero representan la misma cantidad.<br />
Es decir son fracciones equivalentes.<br />
12<br />
16<br />
Se puede escribir:<br />
En síntesis<br />
3<br />
4<br />
=<br />
6<br />
8<br />
3<br />
4<br />
6 9<br />
8 12 12<br />
= = =<br />
16<br />
Las fracciones que corresponden a un mismo punto de<br />
la recta numérica son fracciones equivalentes. Este<br />
punto de la recta representa un número racional.<br />
Este número puede expresarse a través de cualquiera de<br />
las fracciones equivalentes o en su expresión decimal.<br />
En el ejemplo se presentaron fracciones equivalentes. Pero ¿cuál es<br />
el procedimiento para obtener una fracción equivalente a otra?<br />
Ser equivalentes, es decir representar el mismo número, implica<br />
que si se modifica el numerador de una fracción dada (aumentándolo<br />
o disminuyéndolo) se debe modificar también el denominador<br />
de manera proporcional.<br />
Por ejemplo:<br />
Si al numerador y al denominador de la fracción 3 la multiplicamos<br />
4<br />
por 2<br />
x2<br />
x2<br />
obtenemos 6 que es equivalente a 3 .<br />
8<br />
4<br />
15
16<br />
Si se multiplica por 4 tendríamos:<br />
3<br />
4<br />
x4<br />
= 12<br />
16<br />
x4<br />
obtenemos 12que<br />
es equivalente a 3 .<br />
16<br />
4<br />
También podríamos haber elegido como factor el número 5,<br />
3<br />
4<br />
x5<br />
= 15<br />
20<br />
x5<br />
obtenemos 15 que es equivalente a 3 .<br />
20<br />
4<br />
Podríamos haber elegido 25 como factor:<br />
3<br />
4<br />
x25<br />
= 75<br />
100<br />
x25<br />
obtenemos<br />
75<br />
que es equivalente a<br />
3<br />
100<br />
4<br />
. Como decimal<br />
se expresa 0,75. En porcentaje: 75%.<br />
El proceso de hallar fracciones equivalentes a una dada, multiplicando<br />
numerador y denominador por un mismo número se llama<br />
amplificación.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº5<br />
Escriba las fracciones equivalentes a cada una de las que se<br />
presentan a continuación, respetando el numerador o denominador<br />
indicado. (Piense por qué número multiplicar o dividir<br />
alguna de las fracciones para obtener lo que quiere.)<br />
2<br />
3<br />
4<br />
8<br />
6<br />
4<br />
= 4 =<br />
12<br />
= =<br />
9 30<br />
= 2 = 1 7<br />
80<br />
= =<br />
= 12 = 3<br />
=<br />
15<br />
=<br />
100<br />
Para cada una de las fracciones usted escribió otras cuatro<br />
equivalentes. ¿Son las únicas?<br />
¿Cuántas fracciones equivalentes tiene una fracción dada?
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº6<br />
Trate de hallar mentalmente 5 fracciones equivalentes para<br />
cada una de las que se presentan aquí:<br />
2<br />
3 =<br />
5<br />
4 =<br />
3<br />
2 =<br />
5<br />
10 =<br />
Actividad Nº7<br />
Para cada uno de los siguientes pares de fracciones halle otro<br />
par de fracciones que sean equivalentes a las dadas, pero que<br />
tengan el mismo denominador.<br />
3<br />
2<br />
1<br />
y 3<br />
3<br />
4<br />
5<br />
y 6<br />
8<br />
5<br />
1<br />
y 2<br />
Las fracciones equivalentes no sólo pueden hallarse por amplificación.<br />
Cuando el numerador y el denominador pueden dividirse por<br />
un mismo número también se obtienen fracciones equivalentes.<br />
En la fracción<br />
24<br />
36<br />
tanto el 24 como el 36 pueden dividirse por un<br />
mismo número, por ejemplo, por 2, entonces:<br />
:2<br />
24<br />
36 12 =<br />
18<br />
:2<br />
obtenemos 12que<br />
es equivalente a 24.<br />
18<br />
36<br />
17
18<br />
Pero el 24 y el 36 también son divisibles, es decir que se pueden dividir<br />
exactamente, por 3<br />
a<br />
b<br />
: 3<br />
24 =<br />
36<br />
: 3<br />
8<br />
12<br />
Actividad Nº8<br />
24<br />
36 =<br />
:<br />
:<br />
Actividad Nº9<br />
obtenemos 8 que también es equivalente a 24.<br />
12<br />
36<br />
Además del 2 y el 3 existen otros tres divisores comunes a 24<br />
y 36. Encuéntrelos y obtenga las fracciones equivalentes correspondientes.<br />
24<br />
36 =<br />
:<br />
¿Cuántas fracciones equivalentes a 24<br />
36<br />
pueden obtenerse dividiendo<br />
el numerador y el denominador por un mismo número?<br />
Exprese cómo pueden hallarse fracciones equivalentes por<br />
amplificación y por simplificación.<br />
Veamos más ejemplos de simplificación.<br />
:<br />
24<br />
36 =<br />
:<br />
El proceso por el cual hallamos fracciones equivalentes a una dada,<br />
dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número,<br />
se llama simplificación.<br />
La fracción 12<br />
20<br />
puede ser simplificada pues el numerador y el denominador<br />
son divisibles por un mismo número. En este caso por 2 o<br />
por 4. Conviene, en estos casos dividir por el mayor de los números.<br />
:
12<br />
20<br />
Si no hubiéramos advertido que el mayor número por el cual era<br />
posible dividir el numerador y el denominador era 4 y hubiésemos<br />
dividido por 2, la fracción así obtenida 6<br />
10<br />
puede volver a dividirse<br />
por 2 obteniendo de igual forma la fracción 3 .<br />
5<br />
La fracción 8<br />
24<br />
también admite la posibilidad de ser simplificada por<br />
distintos números. Por 2, por 4 y por 8. Como ya se señaló conviene<br />
simplificar por el mayor de todos. En este caso por 8:<br />
Igual que en el ejemplo anterior puede no haberse advertido que<br />
esta fracción se puede simplificar por 8. Suponga que sólo advierte<br />
que se puede simplificar por 2.<br />
La fracción equivalente obtenida admite la posibilidad de volver a<br />
ser simplificada, por ejemplo por 4.<br />
Al simplificar por 2 y luego por 4 obtenemos el mismo resultado<br />
que simplificando directamente por 8.<br />
Cuando una fracción puede ser simplificada por diferentes números,<br />
si no lo hacemos por el mayor de ellos, la fracción obtenida<br />
admite la posibilidad de ser nuevamente simplificada.<br />
Cuando ya no es posible seguir simplificando, la fracción obtenida<br />
se la denomina fracción irreducible.<br />
3<br />
5<br />
1<br />
3<br />
8<br />
24<br />
8<br />
24<br />
4<br />
12<br />
= 12 : 4<br />
= 8 : 8<br />
3<br />
20 : 4<br />
=<br />
5<br />
entonces<br />
1<br />
24 : 8<br />
=<br />
3<br />
entonces<br />
= 4<br />
12<br />
8 : 2<br />
24 : 2 =<br />
= 4 : 4<br />
12 : 4 =<br />
1<br />
3<br />
12<br />
20 = 3 5<br />
8<br />
24 = 1 3<br />
es la fracción equivalente irreducible de<br />
es la fracción equivalente irreducible de<br />
12<br />
20 824<br />
19
20<br />
Muchas personas realizan la simplificación tachando el numerador<br />
y el denominador de la fracción y escribiendo en su lugar el resultado<br />
de la división de numerador y denominador por un mismo<br />
número. Por ejemplo, si tenemos la fracción 120 y no advertimos<br />
100<br />
que puede simplificarse por 20, pero sí por 10 y luego por 2, procedemos<br />
de la siguiente manera:<br />
12<br />
120 12<br />
100<br />
=<br />
20<br />
10<br />
6<br />
12 6<br />
10 5<br />
5<br />
(dividiendo numerador<br />
y denominador por 10)<br />
= (dividiendo por 2)<br />
entonces<br />
120 6<br />
100<br />
=<br />
5<br />
Obtener las fracciones irreducibles es útil para operar con fracciones.<br />
Al simplificar se podrán expresar las mismas cantidades dadas<br />
con números menores en los numeradores y los denominadores, lo<br />
que facilitará la resolución de operaciones.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº10<br />
Indique si son o no equivalentes los siguientes pares de fracciones:<br />
8<br />
5<br />
y 24<br />
15<br />
30<br />
20<br />
Explique cómo hizo para reconocer cuáles eran equivalentes<br />
y cuáles no.<br />
Actividad Nº<strong>11</strong><br />
y<br />
3<br />
2<br />
Escriba la fracción irreducible equivalente a:<br />
100<br />
75 =<br />
12<br />
18 =<br />
36<br />
12 =<br />
1 3<br />
y 4<br />
15<br />
8<br />
20 =<br />
120<br />
30 =<br />
15<br />
25 =<br />
18<br />
15<br />
y<br />
6<br />
5<br />
6 4<br />
y<br />
18<br />
8
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº12<br />
Escriba tres fracciones irreducibles que tengan:<br />
Numerador 5<br />
Denominador 3<br />
Numerador 1<br />
Al iniciar el tema se señaló que una fracción con denominador 100<br />
suele expresarse como porcentaje: 20 = 20%.<br />
100<br />
En la vida cotidiana utilizamos muchas veces equivalencias entre<br />
fracciones y porcentajes. Observe algunos ejemplos.<br />
Si se considera 1,<br />
por amplificación puede obtenerse 25<br />
4<br />
multipli-<br />
100<br />
cando numerador y denominador por 25.<br />
1<br />
4<br />
= 25<br />
100<br />
que es lo mismo que escribir 25%. Por ello “la<br />
cuarta parte equivales a 25%.<br />
1<br />
2<br />
= 50<br />
100<br />
1<br />
10<br />
= 10<br />
100<br />
que es lo mismo que escribir 50%. Así “la mitad”<br />
es el 50%.<br />
que es lo mismo que escribir 10%. La “décima<br />
parte” es el 10%.<br />
También es frecuente utilizar expresiones decimales que equivalen<br />
a fracciones irreducibles.<br />
Por ejemplo:<br />
Compré 1 metro de tela equivale a compré 0,5 m de tela.<br />
2<br />
Poner 3 kg de harina equivale a poner 0,75 kg de harina.<br />
4<br />
21
22<br />
1<br />
2<br />
Actividad Nº13<br />
Calcule mentalmente a qué porcentajes equivalen las siguientes<br />
fracciones (recuerde que debe encontrar fracciones equivalentes<br />
con denominador 100).<br />
3<br />
4 =<br />
1<br />
5 =<br />
9<br />
10 =<br />
Comparación de fracciones<br />
En las situaciones anteriores se puede observar que para comparar<br />
fracciones es necesario referirse al mismo entero.<br />
Al comparar dos números fraccionarios no siempre resulta sencillo<br />
decir cuál de ellos es mayor. Trabajaremos en las próximas actividades<br />
sobre distintas situaciones posibles:
• una de las fracciones es negativa y la otra positiva;<br />
• ambas son positivas y tienen igual denominador;<br />
• ambas son positivas y tienen numeradores iguales;<br />
• ambas son positivas y tienen distintos numeradores y denominadores;<br />
• ambas son negativas.<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº14<br />
Una de ellas es negativa y la otra positiva.<br />
Por ejemplo - 6 5 y 1 3<br />
Si se compara un número positivo y un número negativo,<br />
¿cuál estará siempre más a la izquierda? ¿por qué?<br />
Si un número es negativo y el otro positivo ¿cuál es el menor?<br />
¿por qué?<br />
Actividad Nº15<br />
Ambas son positivas y tienen igual denominador.<br />
Por ejemplo<br />
5<br />
12 y 3 12<br />
Marque ambos números en la recta.<br />
Complete con o =<br />
3<br />
12 ....... 5 12<br />
Exprese cómo reconocer cuál es la menor de las fracciones positivas<br />
si éstas tienen igual denominador. Justifique la respuesta.<br />
23
24<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº16<br />
Ambas fracciones son positivas y tienen distinto denominador<br />
pero los numeradores son iguales.<br />
Ejemplo 1:<br />
Ejemplo 2:<br />
2<br />
3 y 2 5<br />
Represente las fracciones en la recta numérica o en gráficos<br />
(cómo le resulte más fácil) para determinar en cada uno de los<br />
ejemplos cuál es la fracción menor.<br />
¿Cuál es la fracción menor si las dos son positivas y tienen<br />
igual numerador? ¿por qué?<br />
Actividad Nº17<br />
Ambas fracciones son positivas y tiene distintos denominadores<br />
y numeradores.<br />
Para analizar este caso comparemos dos pares.<br />
2<br />
5 con 3 4<br />
3<br />
4 y 3 2<br />
1<br />
2 con 3 10<br />
Marque en la recta ambos pares de fracciones.<br />
Complete con o =<br />
2<br />
5 ....... 3 4<br />
1<br />
2 ....... 3 10<br />
Para determinar el menor ¿es suficiente comparar los numeradores<br />
o los denominadores como en los casos anteriores? ¿Por qué?<br />
¿Se pueden obtener fracciones equivalentes a las dadas pero<br />
que tengan ambas el mismo denominador?<br />
¿Cuál es el menor denominador común que pueden tener las<br />
fracciones 2<br />
5<br />
?<br />
Escriba las fracciones equivalentes a las dadas, con igual<br />
denominador y exprese cuál de ellas es mayor.<br />
y 3 e<br />
4<br />
f
g<br />
h<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Realice el proceso análogo para comparar<br />
- 3<br />
4<br />
y -<br />
2<br />
4<br />
Actividad Nº19<br />
1<br />
2 con 3 10<br />
Exprese cómo reconocer la mayor de las fracciones si tienen<br />
distintos numerador y denominador y son positivas.<br />
Actividad Nº18<br />
Ambas fracciones son negativas.<br />
Establezca cuál es la mayor. Fundamente su respuesta.<br />
- 2<br />
3<br />
y -<br />
- 2<br />
3<br />
y -<br />
2<br />
4<br />
3<br />
5<br />
En una balanza de platillos hay: en uno de los platos<br />
7<br />
4 de kilogramo<br />
y en el otro 3<br />
2<br />
de kilogramos. ¿Cuál de los dos platillos<br />
pesa más?<br />
Una tuerca mide 3 de pulgadas otra 5 de pulgada. ¿Cuál es<br />
4<br />
8<br />
más grande?<br />
En los siguientes pares de fracciones coloque según<br />
corresponda.<br />
5<br />
3 ....... 4 3<br />
3<br />
10 ....... 4 15<br />
4<br />
9 ....... 2 5<br />
1<br />
4 ....... - 5<br />
2<br />
7<br />
2 ....... 21 6<br />
18 8 ....... 9 4<br />
6<br />
10 ....... 9 8<br />
15<br />
3 ....... - -<br />
-<strong>11</strong><br />
4<br />
Repase el tema Comparación<br />
de números negativos<br />
que ya estudió en el Libro 3.<br />
25
26<br />
5<br />
8<br />
Operaciones con fracciones<br />
Hemos dicho que al comparar fracciones es preciso analizar si se<br />
refieren al mismo entero. A modo de ejemplo, no es lo mismo la<br />
mitad de la población de la provincia de La Rioja que la de la provincia<br />
de Buenos Aires. Del mismo modo habrá que considerar que<br />
para operar con fracciones éstas deben estar referidas al mismo entero,<br />
pues no se puede operar si se refieren a diferentes enteros.<br />
Suma y resta de fracciones<br />
con igual denominador<br />
La barra de chocolate de la figura está dividida en 8 partes de<br />
aproximadamente el mismo tamaño. Si primero se come 2 partes,<br />
es decir, aproximadamente 2<br />
8<br />
del chocolate y más tarde se come<br />
otras tres, es decir aproximadamente 3 de la barra. ¿Qué parte del<br />
8<br />
total se comió?<br />
Si primero comió 2 y luego 3 porciones, en total comió 5 porciones;<br />
o lo que es lo mismo 5 .<br />
8<br />
2 3<br />
8 8<br />
+<br />
=<br />
5<br />
8
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº20<br />
¿Por qué en la suma anterior se mantiene el denominador 8?<br />
Escriba un enunciado sobre cómo se suman y restan fracciones<br />
de igual denominador.<br />
Para sumar o restar fracciones de igual denominador ..........................<br />
........................................................................................................<br />
Realice las siguientes operaciones.<br />
1 2<br />
5<br />
+ = .......<br />
5<br />
7 + 3 = .......<br />
12 12<br />
Suma y resta de fracciones<br />
con distinto denominador<br />
2 1<br />
3<br />
- = .......<br />
3<br />
<strong>11</strong> 3<br />
+ 7 = .......<br />
3<br />
Ya se analizó cómo se suman o restan fracciones con igual denominador.<br />
Este procedimiento ¿se puede aplicar para la suma o resta<br />
de fracciones con diferente denominador?<br />
Analice el siguiente ejemplo:<br />
Compré 1 kg de pan y luego 1 kg más. ¿Cuánto compré en total?<br />
2<br />
4<br />
Es evidente que compré 3<br />
4<br />
kg. Fácilmente se puede considerar que<br />
el 1 kg de la primera compra equivale a 2 . Como ahora se tiene una<br />
2<br />
4<br />
fracción con igual denominador que la segunda (<br />
1<br />
4<br />
) se pueden sumar<br />
sin dificultad.<br />
Para analizar en general la suma de fracciones de distinto denominador,<br />
realice la siguiente actividad.<br />
27
28<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº21<br />
Se quiere sumar 2 + 1 + 5<br />
3 4 6<br />
. Para ello:<br />
Halle series de fracciones equivalentes a las dadas. Como son<br />
irreducibles en todos los casos deberá obtenerlas por amplificación.<br />
A modo de ejemplo está resuelta la primera serie.<br />
2 = 4 = 6 = 8 = = = = =<br />
3 6 9 12<br />
= = = = = = = =<br />
= = = = = = = =<br />
10 12<br />
15 18 14<br />
21 16<br />
24 18<br />
27<br />
1<br />
4<br />
5<br />
6<br />
Cada una de las fracciones dadas ¿cuántas equivalentes tiene?<br />
Recuerde que usted sólo halló algunas.<br />
c Compare las fracciones equivalentes a 2;<br />
1;<br />
y 5<br />
3 4 6<br />
. ¿Es posible<br />
expresar cada una de las fracciones dadas en otras tres fracciones<br />
que tengan entre sí el mismo denominador?<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Si se continúa colocando fracciones equivalentes ¿se hallarían<br />
más fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador<br />
(denominador común)?<br />
¿Cuántas fracciones equivalentes a 2<br />
3<br />
; y tienen denominador<br />
común?<br />
1 5<br />
4 6<br />
¿Cuál es el resultado de 2<br />
3<br />
+ + ? 1 5<br />
4 6<br />
Usted ya ha resuelto sumas de fracciones con igual denominador.<br />
Realizar la actividad anterior le permitió comprobar que es posible<br />
reemplazar cada fracción por otra equivalente y hallar la suma utilizando<br />
las equivalentes que tengan entre sí igual denominador.<br />
Analice la siguiente suma: 3+<br />
4 1 6<br />
Para las fracciones 3 y 1 es posible hallar infinitas fracciones que<br />
4 6<br />
tengan denominadores comunes, pero es conveniente utilizar el<br />
menor de ellos, pues es más sencillo operar con números menores.
3<br />
4<br />
= 6 = 9 = 12 1 = 2 = 3 = 4<br />
8 12<br />
16 6 12 18 24<br />
En este caso el menor denominador común es 12.<br />
Si se convierten ambas fracciones en equivalentes de denominador<br />
12 se obtiene que:<br />
3 = 3 . 3 = 9 y 1 = 1 . 2=<br />
2<br />
4 4 . 3 12<br />
6 6 . 2 12<br />
Entonces sumar 3+<br />
es equivalente a sumar + y por tener igual<br />
4<br />
denominador se procede sumando los numeradores.<br />
+ = + =<br />
Por lo tanto + =<br />
Considere ahora la suma + .<br />
1 9 2<br />
6<br />
12 12<br />
3 1 9<br />
4 6 12 2 12 <strong>11</strong><br />
12<br />
3 1 <strong>11</strong><br />
4 6 12<br />
2 3<br />
3 4<br />
Se ahorra tiempo si en lugar de escribir todas las fracciones equivalentes<br />
se trata de hallar directamente el menor denominador común<br />
en todas las fracciones equivalentes.<br />
Si en las fracciones 2 y 3<br />
3 4<br />
los denominadores son 3 y 4. Los números<br />
que se obtienen de multiplicar a cada uno de ellos por 2, 3, 4... etc, serán:<br />
3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 ... para 3<br />
4 - 8 – 12 – 16 ... para 4<br />
A estos números se los llama múltiplos de 3 (0, 3, 6, 9, 12... ) y<br />
múltiplos de 4 (0, 4, 8, 12, 16...)<br />
El menor múltiplo común de los números 3 y 4 es, como se puede<br />
observar en las series, el 12.<br />
Preguntarse por el menor de los múltiplos comunes es preguntarse<br />
cuál es el menor de los números que puede dividirse por 3 y por 4<br />
obteniendo como resto 0. La respuesta es el menor denominador<br />
común de las fracciones dadas.<br />
Hallado el 12 como el menor denominador común, pueden buscarse<br />
las fracciones equivalentes.<br />
A 2<br />
3<br />
hay que expresarlo con denominador 12, es decir hay que preguntarse<br />
¿por qué número multiplico a 3 (denominador) para lle-<br />
29
30<br />
gar a 12? La respuesta es 4. Por este mismo número hay que multiplicar<br />
a 2 (numerador) si se quiere obtener una fracción equivalente.<br />
2 =<br />
8<br />
3 12<br />
Del mismo modo se procede con el fracción 3 . Como 3 es el núme-<br />
4<br />
ro por el que hay que multiplicar a 4 para obtener 12 se tiene:<br />
Así<br />
2<br />
+ 3 = 8<br />
3 4 12<br />
+ = = 1<br />
9 12 17 5<br />
12 2<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº22<br />
¿Cuál es el denominador común para los denominadores 3, 10<br />
y 6? Piense en el menor de todos los posibles denominadores<br />
comunes.<br />
Complete sobre la línea de puntos las conversiones a las fracciones<br />
equivalentes:<br />
3 = 3 . = 9<br />
4<br />
= 9.<br />
3 .<br />
= 5<br />
10<br />
= 5 . =<br />
10 .<br />
6 6 .<br />
Reemplace cada fracción por la equivalente que halló y resuelva:<br />
+ 9 - 5 = + - =<br />
10 6<br />
2<br />
3<br />
12 8 =<br />
Considere estas tres fracciones:<br />
2<br />
+<br />
9<br />
3 -<br />
5<br />
10 6<br />
2<br />
3<br />
x 4<br />
x 4<br />
x 3<br />
3 =<br />
9<br />
4 12<br />
x 3<br />
En síntesis:<br />
;<br />
;<br />
3<br />
4<br />
12 9 =<br />
Para sumar o restar fracciones de igual denominador,<br />
se suman o restan los numeradores a + c = a+c.<br />
b b b<br />
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador,<br />
se reemplazan las fracciones dadas por fracciones equivalentes<br />
que tengan denominador común, y luego se suman o restan.
Uso de la calculadora para operar con fracciones<br />
Las calculadoras científicas, en su gran mayoría, tienen una<br />
tecla que permite introducir fracciones y operar con ellas.<br />
Generalmente la tecla tiene el símbolo que con las letras a, b<br />
y c dispuestas en esa posición representan una expresión<br />
fraccionaria mixta, "a" representa la parte entera y b / c la parte<br />
fraccionaria.<br />
Su uso es muy variado, depende de la marca y el modelo de la<br />
calculadora, pero no es difícil de utilizar. Consulte con su docente<br />
sobre el uso de su calculadora.<br />
Un modelo muy difundido se usa del siguiente modo:<br />
Suponga que quiere sumar 3 + 7 -<br />
5 10<br />
Para introducir la primera fracción aprieta 3, luego la tecla<br />
y a continuación el 5, aparecerá en el visor:<br />
1 12<br />
Aprieta la tecla “+"<br />
Introduce la segunda fracción de igual modo que la primera.<br />
Aprieta “–" en el visor aparecerá<br />
Introduce la tercera fracción<br />
Y por último aprieta “=" y el resultado es<br />
3 5<br />
1 3 10<br />
1 13 60<br />
Ésta es la forma en que la calculadora indica el número mixto<br />
1 13 .<br />
60<br />
Como verá, se muestran tres posiciones separadas por /. En el<br />
primer lugar a la izquierda aparece el entero; en el segundo<br />
lugar el numerador y en el tercero el denominador.<br />
Entero/ numerador/ denominador/<br />
a/ b c<br />
a / b c<br />
31
32<br />
Inv<br />
Si a usted le interesa obtener el resultado escrito como fracción<br />
y no como número mixto tiene que apretar la secuencia<br />
de teclas Inv y a/ aparecerá en el visor<br />
b c<br />
Es decir que el resultado de 3 + 7 - es<br />
5 10 1 73<br />
12 60<br />
Esta es la forma más común de operar con las calculadoras<br />
científicas, pero no la única. Si la suya tiene otra forma de<br />
operar con las fracciones consulte con el docente, quien lo<br />
ayudará a utilizar correctamente la calculadora.<br />
Suma de fracciones y enteros<br />
73 60<br />
Suponga que necesita sumar 1<br />
4<br />
+ 2 (una fracción y un entero).<br />
Todo número entero puede expresarse como una fracción,<br />
2 = 2 = 4 = 6 = 8 = ...<br />
1 2 3 4<br />
De todas las fracciones equivalentes a 2, conviene utilizar la que<br />
tiene denominador 4 (ya que queremos sumar 2 con 1 ), o sea 8 , lue-<br />
4 4<br />
go sumar 1 + 2 = 1 + 8 = 9<br />
4 4 4 4<br />
También puede realizar este cálculo mentalmente, 2 + 1,<br />
pensando,<br />
4<br />
por ejemplo, cuántos cuartos son equivalentes a 2. La respuesta es<br />
8 más 1, total 9 .<br />
4
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº23<br />
Resuelva mentalmente los cálculos que figuran a continuación.<br />
En primer lugar, estime el resultado, diciendo más que ...<br />
o algo menos que... Luego resuélvalos por escrito y finalmente<br />
verifique con la calculadora.<br />
1 + 3 =<br />
4<br />
2 - 1<br />
3<br />
=<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
+ 1 =<br />
2<br />
- 1 =<br />
4<br />
- 1 =<br />
8<br />
1 + 1 -1 =<br />
4 4<br />
Actividad Nº24<br />
Haga las siguientes sumas y restas. Exprese el resultado como<br />
fracción irreducible. Verifique con la calculadora.<br />
5 - 1 + <strong>11</strong> =<br />
12 12 12<br />
5<br />
3<br />
- 5<br />
6<br />
=<br />
3 + 1 - 7 =<br />
10 5 15<br />
2 - <strong>11</strong> + 1 =<br />
2 4<br />
15 - 5 - 1 =<br />
9 6 3<br />
3 + 1 - 7 =<br />
4 24<br />
33
34<br />
Multiplicación de fracciones<br />
Para analizar la multiplicación entre fracciones es necesario considerar<br />
el significado de la multiplicación entre fracciones.<br />
Multiplicación de una fracción por un entero<br />
1. El esmalte sintético viene en latas de 1 litro; si compra 3 latas<br />
de 1<br />
4<br />
4<br />
¿cuánta pintura compró?<br />
3 latas de 1 litro cada una 1<br />
4<br />
+ + = 3 x<br />
4 1 1<br />
4 4<br />
2. ¿Cuántos litros de vino hay sobre la mesa si se han colocado 4<br />
botellas de 3<br />
4<br />
litros cada una?<br />
4 botellas de 3 litros cada una 3 + 3 + 3<br />
4<br />
+ 3<br />
4<br />
= 4 x<br />
3<br />
4 4 4 4<br />
Cuando utilizamos la expresión “de”<br />
lo que se quiere hallar es el producto.<br />
Si tenemos tres latas de 1 litro cada una, juntas equivalen a 3 litros<br />
4<br />
4<br />
1 + 1 + 1 = 3x 1 = 3<br />
4 4 4 4 4<br />
Compramos<br />
3<br />
4<br />
l de pintura.<br />
1<br />
4
Cada botella contiene 3 litros de vino cada una, dos botellas equi-<br />
4<br />
valen a 1 1 litros, las cuatro hacen un total de 3 litros.<br />
2<br />
3 + 3 + 3<br />
4<br />
+ 3<br />
4 4<br />
= 4 x 3<br />
4 4<br />
= 12<br />
4<br />
= 3<br />
Hay 3 litros de vino.<br />
Para multiplicar una fracción por un número entero,<br />
se debe multiplicar el numerador por el entero.<br />
De igual modo se debe proceder si lo que se busca es una fracción<br />
de un entero:<br />
“La cuarta parte de un grupo de 8 amigos son solteros, ¿cuántos<br />
solteros hay en el grupo?"<br />
La cuarta parte de 8 1 . 8 = 8<br />
4 4<br />
= 2<br />
“Cinco octavos de los cuarenta días de vacaciones fueron soleados,<br />
¿cuántos días de sol hubo en estas vacaciones?"<br />
Cinco octavos de 40 5 . 40 = 200 = 25<br />
8 8<br />
“Las tres quintas partes de un poste de doce metros están pintadas<br />
de azul, ¿cuántos metros del poste están pintados de azul?"<br />
Tres quintos de 12 3 . 12 =<br />
5<br />
36<br />
5<br />
35
36<br />
Para facilitar las cuentas se puede simplificar antes de operar y así<br />
trabajar con números menores. Por ejemplo:<br />
1<br />
4 . 3 = 1 . 3<br />
4 1<br />
= 3<br />
3<br />
5<br />
aquí no se puede simplificar<br />
Como se puede observar es posible simplificar un numerador con<br />
el denominador de otra fracción, pero esta simplificación sólo puede<br />
hacerse en la multiplicación.<br />
Multiplicación de dos fracciones<br />
La mitad (<br />
1<br />
2<br />
) de una lata de pintura se secó. De la mitad que quedó<br />
se usaron las 3 partes para pintar el portón. ¿Cuánta pintura,<br />
4<br />
del total de la lata, se usó para pintar el portón. ( 3 de 1 )<br />
4 2<br />
Para saber la cantidad de pintura que se usó en el portón es necesario<br />
calcular 3 de 1 , es decir 3 . 1<br />
4 2 4 2<br />
Para hallar la respuesta nos ayudaremos con los siguientes gráficos:<br />
1 4<br />
1 2<br />
. 12 =<br />
El rectángulo es la lata,<br />
la dividimos por la<br />
mitad<br />
Ahora dividimos a<br />
cada mitad en 4 (para<br />
obtener “cuartos”<br />
de esa mitad.<br />
. 2 = 1 . 1<br />
2<br />
=<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
De la mitad sombreada<br />
tomamos 3 de las 4<br />
partes 3 de 1<br />
4 2<br />
3<br />
4 de<br />
1<br />
2
Como la pregunta que queremos contestar es qué parte de la lata se<br />
usó para pintar el portón, debemos observar la parte de la lata que<br />
quedó sombreada. Vemos que 3 de 1 es 3 , o lo que es lo mismo<br />
4 2 8<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº25<br />
Un campo está sembrado en sus 4 partes, en 1 de esos 4 tie-<br />
5 2 5<br />
nen sembrado trigo. ¿Qué fracción del campo está sembrada<br />
con trigo?<br />
1<br />
2<br />
de 4 del campo<br />
5<br />
Recuerde que 4 del campo se encuentran sembrados y de es-<br />
5<br />
ta porción del campo la mitad está sembrada con trigo.<br />
Queremos saber, del total del campo, qué fracción es la que<br />
corresponde al trigo.<br />
Para resolver el problema siga los pasos siguientes:<br />
El rectángulo representa el campo. Horizontalmente divídalo<br />
en quintos.<br />
Sombree cuatro quintos ( 4).<br />
5<br />
Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto por<br />
la mitad.<br />
Remarque una de las mitades que sombreó.<br />
3<br />
4<br />
x<br />
1<br />
=<br />
2<br />
El campo quedó “cuadriculado". Cada cuadro ¿qué fracción<br />
del campo es?<br />
¿Cuántos cuadros son los que corresponden a 1 de 4 ?<br />
2 5<br />
Antes de continuar verifique con la clave de corrección.<br />
3<br />
8<br />
1 2<br />
.<br />
4<br />
5<br />
37
38<br />
En el gráfico vemos que<br />
1<br />
2<br />
x 4 =<br />
5<br />
Si simplificamos el resultado 4<br />
10<br />
dividiendo numerador y denominador<br />
por 2 se obtiene 2<br />
5<br />
En este caso se podría simplificar antes de hacer la cuenta:<br />
1<br />
2<br />
1<br />
.<br />
2<br />
4<br />
5<br />
=<br />
2<br />
5<br />
o<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
10<br />
Recuerde que puede hacerlo porque es una multiplicación.<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº26<br />
.<br />
2<br />
4<br />
5<br />
=<br />
2 =<br />
5<br />
2<br />
1 . 4<br />
2 . 5<br />
Explique cómo se obtienen el numerador y el denominador<br />
en una multiplicación de fracciones.<br />
Generalice, en forma simbólica, la definición de multiplicación<br />
de fracciones.<br />
Actividad Nº27<br />
La sociedad de fomento del barrio tiene 420 miembros. Las dos<br />
terceras partes de ellos son hombres ¿cuántos hombres hay?<br />
Halle el producto de 8 , con el resultado de: 2 – 1 . Escriba el<br />
5<br />
2<br />
cálculo combinado que expresen estas operaciones.<br />
1<br />
50<br />
de los litros del combustible de una moto es aceite. ¿Qué<br />
fracción del total de la mezcla es aceite?<br />
Las 3 partes de los 180 encuestados respondieron sí ¿Cuán-<br />
4<br />
tos contestaron afirmativamente?<br />
e<br />
La tercera parte de los televidentes comenzaron a ver un partido<br />
de fútbol, pero sólo las 3 partes de ellos lo terminaron de ver.<br />
4<br />
¿Qué fracción del total de televidentes vio el final del partido?<br />
1<br />
=<br />
2<br />
5
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
a<br />
Actividad Nº28<br />
Resuelva mentalmente los siguientes problemas. Luego verifique<br />
sus respuestas haciendo las cuentas. Puede hacerlo con<br />
calculadora.<br />
Un cajón de gaseosas tiene 12 botellas; si se consumen tres<br />
cuartas partes ¿cuántas botellas se tomaron?<br />
Calcule el 50 % de $ 380.<br />
Aproximadamente 1<br />
10<br />
(10 %) de la población argentina está en<br />
edad escolar. Suponiendo la población en 36.000.000 ¿cuántos<br />
argentinos deberían ir a la escuela?<br />
Las 3 partes de los profesionales de un equipo de fútbol tienen<br />
4<br />
más de 21 años. Si en el equipo hay 20 profesionales ¿cuántos<br />
son los mayores de edad?<br />
Actividad Nº29<br />
Obtenga el producto de las siguientes multiplicaciones. No olvide<br />
simplificar el resultado cuando sea posible.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
2<br />
5 15 . =<br />
4<br />
7<br />
8<br />
15<br />
2<br />
. 4 =<br />
3<br />
4<br />
5 1 3<br />
. . =<br />
12 . 15 =<br />
5 2<br />
e) - 7 . (- 4 )=<br />
8 3<br />
f)<br />
g)<br />
5<br />
12 4 5 4 . .<br />
3<br />
=<br />
20 3<br />
9<br />
4 1 . .<br />
5<br />
=<br />
h) - 3 16<br />
8<br />
.<br />
3<br />
=<br />
i)<br />
j)<br />
k)<br />
l)<br />
15<br />
8<br />
. 2 . 1<br />
5 30<br />
=<br />
2<br />
5<br />
3<br />
4<br />
3<br />
7<br />
. 5 =<br />
2<br />
. 4 =<br />
3<br />
. 7 =<br />
3<br />
39
40<br />
Recuerde que cuando un número es negativo, si es el primero<br />
que aparece en un cálculo, no es necesario encerrarlo entre<br />
paréntesis. Pero cuando aparece en medio de una cuenta debe<br />
colocarse el paréntesis para no confundir su signo negativo<br />
con la operación de restar.<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
¿Cómo son entre sí las fracciones que multiplicó en los tres<br />
últimos casos? (ejercicios j, k, l)<br />
Las fracciones que tienen estas características se llaman fracciones<br />
inversas multiplicativas.<br />
Exprese la condición que debe cumplir una fracción para que<br />
sea la inversa de otra.<br />
Halle la fracción inversa de cada una de las siguientes<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2<br />
Observe los resultados de las tres últimas multiplicaciones.<br />
¿Siempre que se multipliquen fracciones inversas se podrán<br />
simplificar? ¿Cuál será siempre el resultado?<br />
División de fracciones<br />
Con un kilo y medio (1 1 = 3 ) de galletitas ¿cuántos paquetitos de<br />
2 2<br />
1<br />
4<br />
se pueden llenar?<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
7<br />
8<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4
Con un 1 kg podemos llenar 4 paquetes y con el medio restante<br />
otros 2, en total 6.<br />
Repartir 1 kilo y 1 ( 3 kilo) en paquetes de 1 es equivalente a dividir<br />
2 2<br />
4<br />
en grupos de<br />
1<br />
4<br />
kilo.<br />
Por el análisis anterior vemos que 3:<br />
= 6 y también que . 4 es<br />
2<br />
igual a 6.<br />
1 3<br />
4<br />
2<br />
Tenemos entonces que<br />
(Observe que 4 es el inverso de 1<br />
4<br />
.)<br />
Analice estos ejemplos:<br />
Con una damajuana de 4 1 litros (4 1 =<br />
9<br />
) podemos llenar 9 bo-<br />
2 2 2<br />
tellas de 1 litro, entonces 9 : 1 =9. También es el mismo resulta-<br />
2<br />
2<br />
do que 9<br />
2<br />
2<br />
x 2.<br />
Tenemos entonces que<br />
3<br />
2<br />
9<br />
2<br />
: 1 = 6<br />
4<br />
(Observe que 2 es el inverso de 1 .)<br />
2<br />
: 1 =<br />
9<br />
2 2<br />
x 2<br />
Uno de los tamaños en que se vende café es<br />
1<br />
8<br />
de kilogramo; si dividimos<br />
2 kg en paquetes de 1 ¿cuántos paquetes obtenemos?<br />
8<br />
Por cada kg se obtienen 8 paquetes con 2 kg obtenemos 16 paquetes,<br />
entonces 2 : 1 = 16 que también es el mismo resultado de 2 . 8.<br />
8<br />
O sea que<br />
2 : 1 = 2 x 8<br />
8<br />
(Observe que 1 es el inverso de 8.)<br />
8<br />
Observando los tres últimos ejemplos verá que la división entre dos<br />
fracciones da el mismo resultado que multiplicar la primera fracción<br />
por la inversa de la segunda. Aunque no lo justifiquemos éste<br />
es el procedimiento para dividir fracciones.<br />
41
42<br />
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción<br />
pon la inversa de la segunda fracción.<br />
Simbólicamente<br />
a<br />
:<br />
c<br />
=<br />
a d a . d<br />
. = .<br />
b d b c b . c<br />
Ejemplos:<br />
3<br />
5<br />
6<br />
5<br />
7<br />
4<br />
:<br />
2 3 3<br />
3<br />
=<br />
5<br />
.<br />
2<br />
=<br />
Al multiplicar fracciones negativas y positivas recuerde la regla de<br />
los signos estudiada en el Libro 3.<br />
Por ejemplo:<br />
2 x (- 3 )= - 6 que simplificada es -<br />
3 4 12<br />
También se podría haber simplificado<br />
si se hubiera simplificado antes<br />
3<br />
-<br />
1<br />
. (-<br />
9<br />
3 ) =<br />
3<br />
2 2<br />
1<br />
a) 1<br />
3 :<br />
4<br />
3 =<br />
9<br />
10<br />
2 6<br />
15 5 15<br />
: = .<br />
2<br />
= 9<br />
: 2 =<br />
7 1<br />
4 .<br />
2<br />
=<br />
7<br />
8<br />
1 1<br />
2<br />
3 . (-<br />
3<br />
4 )= -<br />
1<br />
2<br />
1 2<br />
-<br />
3<br />
:<br />
1<br />
= -<br />
3<br />
5 4 5<br />
x 4= -<br />
12<br />
5<br />
-<br />
1<br />
: (-<br />
2<br />
) = - 1<br />
3<br />
x (- 9<br />
9 3 2<br />
) =<br />
9<br />
6<br />
Actividad Nº30<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
si simplificamos obtenemos<br />
Resuelva y exprese el resultado como fracción irreducible<br />
8<br />
15: =<br />
4 b)<br />
5<br />
c) 12<br />
5 :<br />
4<br />
5 =<br />
d)<br />
2<br />
:<br />
1<br />
5 5 =<br />
e) -<br />
12<br />
5 :<br />
4<br />
5 =<br />
f) -<br />
2<br />
: (-<br />
1<br />
5 5 ) =<br />
3<br />
2<br />
21<br />
15: =<br />
7 g)<br />
5<br />
g)<br />
-<br />
2<br />
5 : 8 =
Potenciación con base fraccionaria<br />
En el Libro anterior se trabajó con potenciaciones cuyas bases eran<br />
números enteros.<br />
Para hallar la potencia de un número se multiplica el número que está<br />
en la base por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente.<br />
Por ejemplo<br />
4 3 = 4 . 4 . 4 (4 elevado a la tercera, o al cubo, es igual a 4 . 4 . 4)<br />
Si la base en lugar de ser entera es una fracción, el concepto de potenciación<br />
no varía:<br />
Como multiplicar fracciones es multiplicar los numeradores y los<br />
denominadores entre sí, tenemos que:<br />
y como 3.3.3= 3 3 y 4.4.4= 4 3 resulta que:<br />
En síntesis:<br />
Cuando una fracción está elevada a una cierta potencia el resultado<br />
se halla elevando numerador y denominador a dicha potencia.<br />
En el ejemplo anterior quedó indicada esta cuenta, como 3 3 =27 y 4 3 = 64,<br />
por lo tanto; la respuesta es:<br />
Con un razonamiento semejante comprobaríamos que:<br />
Otro ejemplo:<br />
( ) 3 3 = 3<br />
4 4 3 4 3 . .<br />
4<br />
( ) 3 3 = 3<br />
4 4 3 4 3 . .<br />
4<br />
=<br />
3 . 3 . 3<br />
4 . 4 . 4<br />
( ) 3<br />
3 = 3 = 3 . 3 . 3 =<br />
4 4 4 . 4 . 4<br />
3 4 3 . .<br />
4<br />
( ) 3 3<br />
4<br />
= 33 43 3 3<br />
( ) 3 3 = = 27<br />
4 4 64 3<br />
2 2<br />
( ) 2 2 = = 4<br />
5 5 25 2<br />
1 4<br />
( ) 4 1 = = 1<br />
2 2 16 4<br />
3 3<br />
4 3<br />
43
44<br />
El paso intermedio no es necesario escribirlo. Por ejemplo: ( ) 2 2 = 4<br />
3 9<br />
Para hallar el resultado mentalmente elevamos el dos al cuadrado,<br />
que es 4 y el 3 al cuadrado que es 9. Por eso la respuesta es 4<br />
9<br />
En todos los ejemplos las bases eran positivas. Veamos qué ocurre<br />
si la base es negativa.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº31<br />
Resuelva:<br />
(- ) 3 1 =<br />
2<br />
(- ) 4 1 =<br />
2<br />
Relea (si lo necesita) el libro anterior ¿Qué signo tiene la potencia<br />
cuando la base es negativa? ¿De qué depende el signo<br />
del resultado?<br />
Al igual que en las potencias de base entera, si la base es negativa<br />
(-) el signo del resultado podrá ser positivo o negativo.<br />
Será positivo (+) si el exponente es par y será negativo (-) si es impar.<br />
Por ejemplo:<br />
(- ) 4 3 = 81<br />
2 16<br />
resultado positivo por ser el exponente par (4);<br />
(- ) 3 3 = - 27<br />
2 8<br />
la potencia resulta negativa por ser el exponente impar (3).<br />
Actividad Nº32<br />
( ) 2<br />
Resuelva :<br />
a) 2 =<br />
5<br />
( ) 4<br />
b) 1 =<br />
3<br />
( ) 3<br />
c) 2 =<br />
3<br />
(- ) 4<br />
d) 1 =<br />
2<br />
( ) 3<br />
e) 4 =<br />
5<br />
(- ) 3<br />
f) 3 =<br />
4<br />
( ) 4<br />
(- )<br />
h) 3 =<br />
2<br />
5<br />
g) 1 =<br />
2
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
a<br />
b<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº33<br />
Encuentre el o los números faltantes en las siguientes igualdades:<br />
( ) 3<br />
= 8<br />
3 27<br />
( ) ... 3 = 9<br />
5 25<br />
( ) ... 10 =<br />
3 9<br />
( ) 3<br />
= 64<br />
3<br />
( ) 2<br />
= 100<br />
49<br />
Cuando el exponente es 2 decimos, “.... al cuadrado"; cuando es 3<br />
se lee “... al cubo".<br />
Actividad Nº34<br />
Resuelva las siguientes operaciones combinadas. Recuerde que para<br />
empezar hay que separar en términos. Tiene un caso resuelto.<br />
<br />
<br />
<br />
. - ( ) 2<br />
+ (1 - ) 3<br />
1<br />
=<br />
4 5 3 3<br />
2 2 2<br />
simplificando el resultado –<br />
: + ( ) 2 3 =<br />
4 5 3<br />
8 2<br />
3<br />
4 8 .<br />
9<br />
- 5<br />
3<br />
: = 20 3<br />
c - . (- ) + (- ) 2<br />
2<br />
=<br />
5 3 3 3<br />
10 5 2<br />
(2 - ) : + ( ) 3<br />
3 =<br />
4 5 1<br />
8 2<br />
2 ( 8<br />
3 9<br />
- ) : = 5 .<br />
20<br />
3 3<br />
- .(- ) + (1- ) 2<br />
9 3 3 + 7 =<br />
10 5 2 8<br />
2<br />
g (- 3 ) : 5 + 9 ( + ) =<br />
4 2 10 1 4 3 2<br />
3 h (- 2 ) : 2 + 2 : - . =<br />
3 9 3 8 15<br />
9 13 26 3<br />
i (2+ - ) 3<br />
+ (- ) 2<br />
2 1 5 =<br />
3 6 3<br />
- + (- )<br />
7<br />
4<br />
3<br />
5<br />
=<br />
8 9 1<br />
4 2<br />
5 - - = -<br />
8 9 1 14<br />
4 8 8<br />
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación<br />
En cálculos de potenciación<br />
elevar al cuadrado y<br />
al cubo es lo más común,<br />
por lo que es conveniente<br />
que recuerde los cuadrados<br />
y los cubos de los primeros<br />
números. Revea la<br />
Actividad Nº 36 del Libro 3<br />
en la que se calcularon estas<br />
potencias.
46<br />
el peso del pan<br />
Puede consultar el Libro 1,<br />
Módulo Nº1 dónde se desarrolla<br />
este tema con mayor<br />
detenimiento.<br />
Cálculos con expresiones decimales<br />
Los números racionales pueden expresarse en forma de fracción<br />
o en su expresión decimal. El uso de una u otra depende de la situación<br />
a la que se esté haciendo referencia.<br />
Actividad Nº35<br />
¿Qué tipo de expresión utilizaría en cada una de las siguientes<br />
situaciones?<br />
el saldo de una cuenta bancaria<br />
la duración de un partido de fútbol<br />
el importe de una factura de luz<br />
Situación Fracción Decimal<br />
Un número racional admite escrituras distintas; no significa que<br />
sean números distintos.<br />
1<br />
1<br />
= 1,5 porque<br />
1 5<br />
2<br />
2<br />
= 10<br />
3 = 0,75 porque 3 es equivalente a 75<br />
4<br />
4<br />
100<br />
0,5 = 1<br />
2<br />
Habitualmente con los números decimales se realizan operaciones<br />
de suma, resta, multiplicación y división. Para recordar estas operaciones<br />
analice las situaciones siguientes.<br />
Para festejar el cumpleaños de su hijo, María compra: 7 docenas de<br />
sandwiches a $ 3,50 la docena; 12 gaseosas a $ 1,80 cada una; una<br />
torta a $ 10,50 (cuesta $ 8,40 el kg.). Además contrató una animadora<br />
por 1,5 horas (una hora y media) a $ 12,50 la hora.<br />
¿Cuánto gastó? Si pagó con $ 100, ¿cuánto le sobró?
Calcule:<br />
Sandwiches<br />
Gastó $ 24,5 3,5<br />
x 7<br />
24,5<br />
Total<br />
Sandwiches $ 24,50<br />
Gaseosas $ 21,60<br />
Animadora $ 18,75<br />
Torta $ 10,50<br />
$ 75,35<br />
Gaseosas<br />
Gastó $ 21,6 1,8<br />
x 12<br />
36<br />
18<br />
21,6<br />
Si pagó con $ 100 le quedan 100<br />
-<br />
75,35<br />
24,65<br />
Animadora<br />
Gastó $ 18,75 12,5<br />
x 1,5<br />
625<br />
125<br />
18,75<br />
Si queremos averiguar cuánto pesaba la torta, tenemos que dividir<br />
10,5 con 8,4 (lo que pagó y lo que cuesta cada kilo). Esta división<br />
da el mismo resultado que 105 : 84<br />
La torta pesaba 1,25 kg.<br />
Con los números decimales, los cálculos a mano se hacen<br />
mucho más lentos, es conveniente emplear una calculadora<br />
(no necesariamente científica) para ganar tiempo.<br />
Cuando la utilizamos puede suceder que nos equivoquemos y<br />
apretemos una tecla en lugar de otra; el resultado será entonces<br />
diferente al que deberíamos haber obtenido. Si usamos la<br />
calculadora de manera "mecánica" posiblemente no descubramos<br />
nuestro error.<br />
La mejor forma de utilizarla es anticipándose al resultado,<br />
pensar aproximadamente cuál debe ser el resultado. Por<br />
ejemplo:<br />
0,986 x 12,35;<br />
105 84<br />
210 1,25<br />
420<br />
00<br />
47
48<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
esta cuenta seguro que da algo menos que 13. ¿Se dio cuenta<br />
por qué? Observe los números que queremos multiplicar.<br />
El número 0,986 es muy cercano a 1 si pensamos en un 1 la<br />
cuenta a realizar es 1 x 12,35 que es 12,35; pero como el número<br />
es aun menor que 1 el resultado será menor que 12,35.<br />
Por lo tanto, si en el visor aparece un número mayor que 13<br />
seguro que se equivocó.<br />
En el ejemplo anterior podemos anticipar que la respuesta estará<br />
por debajo de 13, pero es obvio que será mayor que 10.<br />
Si el resultado que obtenemos es <strong>11</strong> (que es incorrecto), posiblemente<br />
no nos demos cuenta que cometimos un error, pero<br />
en general cuando usamos mal una calculadora los errores<br />
son muy evidentes.<br />
Aunque no siempre es fácil anticiparse con mucha precisión a<br />
un resultado, inténtelo. Si usted se acostumbra, notará que<br />
cada vez lo hace más rápido y mejor. Es un ejercicio que nos<br />
ayuda a cometer menos errores y vale tanto para cuando usamos<br />
una calculadora como para cuando hacemos las cuentas<br />
a mano.<br />
Actividad Nº36<br />
Piense en la respuesta aproximada de los siguientes cálculos y<br />
luego resuélvalos con una calculadora. Compruebe en cada caso<br />
cuán cerca estuvo del resultado correcto. Recuerde que en lugar<br />
de la coma, que no existe en las calculadoras, debe usar el punto.<br />
23,5 x 10,02 =<br />
4,36 : 2 =<br />
3,45 + 0,638 + 0,12 =<br />
2,1 x 4,024 =<br />
262,56 : 1,98 =
Radicación<br />
Si un número elevado al cuadrado da 9 ¿cuál es ese número?<br />
x 2<br />
= 9<br />
Si 8 es el cubo de un cierto número x ¿de qué número se trata?<br />
Simbólicamente x 3<br />
= 8<br />
Para resolver ambos problemas usted tuvo que pensar en un cálculo<br />
opuesto a la potenciación, ya que lo que tiene como dato es el resultado<br />
de una potenciación y lo que se busca es el número que hace de<br />
base en ese cálculo. A esta operación se la denomina radicación.<br />
En el primer caso x 2<br />
=9<br />
Se busca la “raíz cuadrada de 9", es decir, qué número o números<br />
multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado 9.<br />
En este caso hay dos resultados posibles:<br />
3 2<br />
= 9<br />
(-3) 2<br />
= 9<br />
En el segundo caso x 3<br />
= 8<br />
Se trata de hallar “la raíz cúbica de 8" porque se busca conocer que<br />
número o números multiplicado por sí mismo 3 53<br />
veces da por resultado 8.<br />
En este caso 2 3<br />
=8 tiene una única solución ya que (-2) 3<br />
= -8<br />
• Problema 1<br />
En la caja de embalaje de cerámicas para piso se informa que estas<br />
son cuadradas y tienen una superficie de 900 cm 2<br />
cada una. ¿Cuál<br />
es el ancho de cada cerámica?<br />
• Problema 2<br />
Se construye un tanque de agua con forma cúbica (igual largo, ancho y<br />
alto) de un volumen de 8 m 3<br />
¿Cuáles son las dimensiones del tanque?<br />
49
50<br />
• Analicemos el primer problema<br />
La cerámica es cuadrada, sus lados son iguales. Necesitamos conocer<br />
la medida de uno cualquiera de ellos.<br />
Llamando L a la medida de uno de los lados, recordemos que para<br />
calcular la superficie del cuadrado se multiplica lado por lado. La<br />
operación a realizar es L X L o lo que es igual L 2 porque los lados<br />
son iguales. Sabemos, además, que esta cuenta es igual a 900 cm 2 .<br />
Luego, podemos escribir la siguiente ecuación:<br />
L 2 = 900<br />
Recuerde, tal como se vio en funciones, en el Libro 3, que cuando no conocemos el valor<br />
de algo que puede tomar diferentes valores (variable) la reemplazamos por una letra.<br />
Cuando tenemos una variable formando parte de la igualdad, a dicha expresión la llamammos<br />
ecuación, y la variable se llama incógnita. Resolver la ecuación significa hallar<br />
el o los valores que puede tener la variable para que se cumpla la igualdad.<br />
Hablamos de número positivo<br />
pues la medida de la cerámica<br />
no puede ser negativa.<br />
Nos preguntamos entonces: ¿cuál es el número positivo, que elevado<br />
al cuadrado da por resultado 900?<br />
La respuesta es: 30 pues 30 2 = 900<br />
Observamos que en la ecuación L 2 = 900 conocemos el valor de la<br />
potencia: 900 y su exponente 2, pero no conocemos la base: L de<br />
dicha potencia.<br />
A la base L la definimos como la “raíz cuadrada de 900" y la indicamos:<br />
L= 2 900 pues L 2 = 900<br />
En nuestro ejemplo:<br />
30= 2 900 pues 30 2 = 900
• Analice el segundo problema<br />
Como el tanque es un cubo las dimensiones largo, ancho y alto son<br />
iguales. Por lo tanto todas las aristas también lo son. Llamaremos<br />
A al valor de esta arista.<br />
Si la fórmula para calcular el volumen V del tanque, al igual que<br />
para cualquier prisma recto es largo por ancho por altura se puede<br />
escribir:<br />
V = A x A x A o V = A 3<br />
Sabemos que el volumen del tanque es de 8 m 3 , luego: 8 = A 3<br />
En esta ecuación debemos buscar el número A que elevado al cubo<br />
dé como resultado 8.<br />
La respuesta es: 2 pues 2 3 = 8. Definimos a 2 como la “raíz cúbica de 8"<br />
Simbólicamente: 2 = 3 8 pues 2 3 = 8<br />
Podemos obtener el ancho del tanque así:<br />
A = 3 8 pues A 3 = 8<br />
Finalmente, la respuesta a nuestro problema es que el tanque mide<br />
2 m x 2 m x 2 m.<br />
Volviendo a pensar en los ejemplos dados y en la notación que utilizamos<br />
podemos definir esta nueva operación:<br />
3 8 se lee raíz tercera de ocho o raíz cúbica de ocho y lo<br />
que buscamos como respuesta es un número que cumpla con la condición<br />
de que si lo elevamos al cubo la respuesta es 8. Ese número,<br />
en este caso es 2, ya que 2 3 = 8.<br />
3 8 = 2<br />
Si en lugar de referirnos a un ejemplo generalizamos la situación,<br />
es decir, cambiamos los números por letras que representan a cualquier<br />
número, tendríamos lo siguiente:<br />
51
52<br />
n a se lee raíz enésima de un número a. Lo que se busca es un número<br />
b que al elevarlo a la potencia n, permita obtener el número a.<br />
En símbolos:<br />
Por ejemplo<br />
3 27 = 3 pues 3 3 = 27<br />
5 -32 = -2 pues (-2) 5 = -32<br />
Algunas aclaraciones más:<br />
El índice de una raíz debe ser un número natural mayor o igual a dos (n ≥ 2). Cuando es<br />
2 no es necesario escribirlo (esta es una decisión convencional). Por ejemplo 9 = 2 9<br />
en<br />
ambos casos se lee “raíz cuadrada de 9”<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
3 3 125=5 pues 5 = 125<br />
3 -8<br />
<br />
índice<br />
n<br />
a = b si b n = a<br />
signo radical<br />
n<br />
a = b<br />
radicando<br />
Actividad Nº37<br />
raíz<br />
Halle las raíces y justifique la respuesta como en el primero<br />
de los casos.<br />
5 1<br />
3<br />
<br />
27 8
e 3 0,008 =<br />
f<br />
g<br />
h<br />
5<br />
-<br />
1<br />
32<br />
¿Los resultados anteriores son únicos? ¿Por qué?<br />
¿Qué signo tienen los resultados obtenidos? ¿de qué depende?<br />
Tanto en los ejemplos como en la Actividad Nº 37 todas los índices<br />
fueron números impares. Podemos sintetizar esta situación de la<br />
siguiente manera:<br />
n Si n es impar, a<br />
es positiva, si a es positivo<br />
y es negativa si a es negativo<br />
¿Que ocurre si el índice es par? Veamos algunos ejemplos:<br />
25 = para hallar la raíz cuadrada de 25 debemos pensar qué<br />
número elevado al cuadrado da 25.<br />
5 es solución a este problema ya que 52 <br />
= 25<br />
Pero también lo es el número -5, pues (-5) 2 = (- 5) x (- 5) = 25<br />
En estos casos, cuando un número admite dos raíces, la única diferencia<br />
que hay entre ambas soluciones es el signo, por eso lo podemos<br />
indicar de esta manera:<br />
25 = 5.<br />
Si la raíz es parte de un cálculo combinado sólo consideramos la<br />
solución positiva.<br />
¿Y si el radicando es negativo? Por ejemplo -9.<br />
Ahora lo que buscamos es un número cuyo cuadrado es - 9. Y por<br />
lo visto en el Libro 3 ningún número racional elevado a un exponente<br />
par, da un número negativo.<br />
Usted posiblemente pensó<br />
en -3, y esto no es correcto.<br />
Ya que (-3) x (-3)=9 y no -9<br />
53
54<br />
En resumen:<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Si n es par y a positiva n a = ±b tiene dos soluciones;<br />
una positiva y otra negativa pues (-b) n<br />
= a y (+b) n<br />
<br />
= a.<br />
Si n es par y a negativo, no existe na. Actividad Nº38<br />
Halle las siguientes raíces. No olvide indicar la doble solución<br />
y aquellas que no tienen raíz.<br />
<br />
36 =<br />
4 =<br />
4 16 =<br />
9 =<br />
4<br />
4<br />
16 =<br />
81<br />
3 -1 =<br />
4 81<br />
=<br />
<br />
25 =<br />
4<br />
6 1<br />
=<br />
3 1000 =<br />
Actividad Nº39<br />
5<br />
1<br />
- =<br />
32<br />
<br />
0,09 =<br />
<br />
-4 =<br />
¿Cuáles son los números enteros que tienen raíz cuadrada entera<br />
entre 10 y 50?<br />
Escriba todos los números enteros entre -30 y 10 que tengan<br />
raíz cúbica entera.<br />
¿Cuáles son los números fraccionarios menores que 5 cuyo<br />
denominador sea 4, que tienen raíz cuadrada exacta?
Cálculo aproximado<br />
Si usted va a cenar con dos amigos, gastan $20, y deciden pagar<br />
en partes iguales ¿cuánto deberá pagar cada uno?<br />
Al dividir 20 por 3, el resultado no da un número entero.<br />
Tampoco es posible obtener resto cero, aun si continuamos hallando<br />
más decimales en el cociente. De todos modos para la situación que<br />
estamos planteando, es suficiente con calcular hasta los centavos.<br />
Al hacer cálculos con números racionales en su expresión decimal,<br />
puede ocurrir que el resultado o los números que debemos utilizar<br />
tengan muchas cifras decimales. En algunos caso hay números racionales,<br />
como 2 , que tiene infinitas cifras decimales.<br />
3<br />
En general no es necesario utilizar demasiadas cifras decimales, es<br />
suficiente con utilizar las primeras. Con cuántas cifras es necesario<br />
trabajar es algo que se decide en función de la precisión que se<br />
requiera o el sentido del resultado. En la situación de dividir los $ 20<br />
del gasto de la cena en 3, carece de sentido hallar decimales del orden<br />
de los milésimos o más, pues sólo se manejan centavos.<br />
Al decidir tomar sólo algunas cifras del número decimal lo que estamos<br />
haciendo es un cálculo aproximado.<br />
Decimos que es aproximado ya que si el número fuese 2,2325791 y<br />
nosotros tomamos 2,23 desechando el resto de las cifras decimales,<br />
el resultado será muy cercano al que obtendríamos usando el número<br />
completo, pero no es igual.<br />
Por ejemplo:<br />
20 3<br />
20 6,66<br />
20<br />
1,0934518 . 25,325819 = 27,692562<br />
Pero si en su lugar multiplicamos:<br />
1,09 . 25,32 obtenemos 27,5989<br />
Que no es lo mismo, pero es muy aproximado.<br />
55
56<br />
Esto no sólo ocurre con los números racionales. Existen otros que<br />
no lo son (no se pueden expresar como la razón entre dos enteros),<br />
como es el caso del número π, que se trabajó en el Módulo 5 y se<br />
utiliza para resolver situaciones tales como la longitud de un circunferencia.<br />
Todos estos números tienen infinitas cifras decimales.<br />
El número π no es 3,1; tampoco es 3,14; ni 3,14159; ni es igual a<br />
3,141592653589793238462643; pero cualquiera de estas expresiones<br />
decimales es el valor aproximado de π.<br />
Si queremos multiplicar 2.π de acuerdo a la precisión que necesitemos,<br />
reemplazaremos π por cualquiera de los valores aproximados.<br />
En el caso del número π el decimal 3,14 es uno de los reemplazos<br />
aproximados posibles.<br />
Usualmente hay dos maneras de aproximar un número:<br />
Truncamiento: se suprimen las cifras decimales a partir de determinado<br />
lugar, por ejemplo = 3,1415.<br />
Redondeo: Si queremos trabajar con 4 cifras decimales (diez milésimos),<br />
el valor de la cuarta cifra dependerá de la quinta. Si la quinta<br />
cifra es menor que 5 truncamos el número en la cuarta. Si la quinta<br />
cifra es mayor o igual a 5 aumentamos una unidad a la cuarta.<br />
Por ejemplo: en el número , como la quinta cifra es 9, el redondeo<br />
es = 3,1416.<br />
Otros ejemplos con 3 cifras decimales (milésimos)<br />
8 = 2,8284271247461.......... Por truncamiento 8<br />
= 2,828 y<br />
por redondeo también (la cuarta cifra es un 4).<br />
26<br />
= 0,2626262626....... Por truncamiento 26<br />
99<br />
= 0,262 y por re-<br />
99<br />
dondeo<br />
26<br />
99<br />
=0,263 (la cuarta cifra es un 6).
a<br />
b<br />
c<br />
d <br />
3. 24 =<br />
e<br />
f 4,375 + 23, 318 =<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº40<br />
Usando la calculadora realice las siguientes cuentas y luego<br />
escriba el valor aproximado truncado y redondeado con 2 cifras<br />
decimales (centésimos).<br />
<br />
<strong>11</strong> =<br />
38 : <strong>11</strong>0 =<br />
<br />
6 =<br />
3 2 =<br />
Lo común es que tengamos que realizar cálculos con números decimales<br />
que podemos redondear en su segunda (centésimos) o tercer<br />
cifra (milésimos); pero no siempre es así.<br />
Actividad Nº41<br />
Una pared de 14,36 metros de largo, debe ser dividida en tres partes<br />
iguales para armar tres habitaciones. Calcule la medida de cada<br />
una de esas partes (por redondeo), tenga en cuenta que la mayor<br />
precisión que podemos tomar está en el orden de los milímetros.<br />
Cinco amigos comparten un departamento; este mes los gastos<br />
por servicios son de $ 162,42. Si dividen los gastos en partes<br />
iguales ¿cuánto debe pagar cada uno? (resuélvalo por truncamiento<br />
en los centavos).<br />
Un rectángulo tiene 2,15 cm de base y 6,32 cm de altura. Calcule<br />
el área del rectángulo con una precisión del orden de los<br />
centésimos de cm por redondeo. Recuerde que el área se calcula<br />
multiplicando la base por la altura.<br />
Si la medida de un objeto muy pequeño es 0,000000000023 mm,<br />
no podremos redondear ni en la segunda, ni en la tercer, ni en la<br />
cuarta. En estos casos se trabaja con notación científica.<br />
57
58<br />
Lea en el Libro 2, Módulo<br />
Nº5, en el apartado Potenciación,<br />
cómo se escriben<br />
cantidades como suma de<br />
potencia de 10.<br />
Notación científica<br />
La circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de<br />
938.900.000 km.<br />
La masa de los océanos es de 1.350.000.000.000.000.000 toneladas.<br />
La estrella más cercana a la tierra (fuera del sol) está aproximadamente<br />
a 9.600.000.000.000 km.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº42<br />
Halle las siguientes potencias.<br />
102 = 107 =<br />
103 = 108 =<br />
104 = 109 =<br />
105 = 10 10 10<br />
=<br />
6 =<br />
Analice el resultado de las potencias anteriores. Compare la cantidad<br />
de ceros del resultado con el exponente de esa potencia de<br />
10. ¿Qué conclusión puede obtener? Justifique su respuesta.
c<br />
d<br />
e<br />
¿Cuántos ceros tiene el resultado de cada una de las siguientes<br />
operaciones? ¿Por qué?<br />
2,4 . 104 =<br />
5,13 . 102 =<br />
3,8 . 105 =<br />
0,3 . 103 =<br />
Realice las siguientes operaciones y analice los resultados.<br />
¿Qué conclusión obtiene?<br />
3,4 . 10 =<br />
3,48 . 100 =<br />
3,485 . 1000 =<br />
¿Por qué número debe multiplicar a los siguientes para obtener<br />
como resultado el menor entero?<br />
3,5 . = 35<br />
2,84 . = 284<br />
0,375 . = 375<br />
Cuando los números tienen muchas cifras perdemos la noción de<br />
la verdadera magnitud que representan. Por ello, es conveniente<br />
utilizar lo que se denomina notación científica, los ejemplos anteriores<br />
se pueden escribir así:<br />
La circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de<br />
9,39 x 10 8 km.<br />
La masa de los océanos es de 1,35 x 10 18 toneladas.<br />
La estrella más cercana está aproximadamente a 9,6 x 10 12 km.<br />
Observe los números dados y su notación científica y trate de encontrar<br />
la justificación de esta escritura.<br />
938.900.000 km = 9,39 x 10 8 km.<br />
1.350.000.000.000.000.000 toneladas = 1,35 x 10 18 toneladas.<br />
9.600.000.000.000 km = 9,6 x 10 12 km.<br />
59
60<br />
Recuerde que las potencias de 10, es decir 10 elevada a un cierto<br />
número entero y positivo, son equivalentes a 10, 100, 1.000,<br />
10.000... la cantidad de ceros coincide con el exponente:<br />
10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1.000<br />
Multiplicar 9,6 x 10 12 significa multiplicar 9,6 por la unidad seguida<br />
de 12 ceros. Si a 9,6 lo multiplicamos por 10 se obtiene 96, pero<br />
aun falta multiplicarlo <strong>11</strong> veces más por 10, por lo tanto el resultado<br />
será 9.600.000.000.000<br />
Hay números cuyo valor absoluto está muy cerca del 0. Por ejemplo:<br />
Las bacterias miden entre 0,000001 y 0,00001 m.<br />
Los virus más pequeños son icosaédricos (polígonos de 20 lados) que<br />
miden de 0,000000018 a 0,000000020 m de ancho. Los de mayor<br />
tamaño no suelen medir más de 0,000001m.<br />
Cuando se quiere expresar en notación científica números pequeños<br />
menores que 1 que tienen una gran cantidad de cifras se utilizan<br />
las potencias de 10 con exponente negativo.<br />
¿Qué significa que un número<br />
esté elevado a un exponente negativo?<br />
Por ejemplo, 3 -2 = ?<br />
Al trabajar el tema división de fracciones se explicó a qué se llama inverso<br />
multiplicativo de una fracción. Por ejemplo, el inverso multiplicativo<br />
de 3 es<br />
1<br />
; el de 5 es 2<br />
3<br />
. Relea ese apartado antes de continuar.<br />
2 5<br />
Cuando un número está elevado a un exponente negativo se halla<br />
la potencia indicada (en positivo) del inverso multiplicativo de la<br />
base. En el ejemplo dado: 3 1 1<br />
3 9<br />
-2 = ( ) 2 =<br />
Si se trata de números enteros en la base (2 -5 ; 10 -4 ) es equivalente a:<br />
2<br />
1 1<br />
2 32<br />
-5 = ( ) 5 =<br />
10-4 = ( ) 4 1<br />
10<br />
= 1<br />
10000
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº43<br />
Halle las siguientes potencias.<br />
1<br />
10 2<br />
1<br />
10 3<br />
1<br />
10 4<br />
1<br />
10 9<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
Halle<br />
10 -3 =<br />
10 -5 =<br />
10 -4 =<br />
10 -2 =<br />
Compare en los ejercicios a y b la cantidad de cifras decimales<br />
de los resultados con los respectivos valores absolutos de<br />
los exponentes. ¿Qué conclusión puede extraer? ¿Por qué?<br />
Resuelva las siguientes operaciones.<br />
0,3 . 10 -4 =<br />
3,2 . 10 -2 =<br />
3,4 . 10 -4 =<br />
6,84 . 10 -2 =<br />
¿Cuál es la primera cifra decimal significativa (distinta de 0)<br />
en cada resultado. ¿Por qué? Compare el lugar después de la<br />
coma (o el punto) que ocupa esa cifra con el exponente. Justifique<br />
su respuesta.<br />
Considere nuevamente el tamaño de los virus y las bacterias. En<br />
notación científica se expresan:<br />
• las bacterias miden aproximadamente entre 1x 10 -6 y 1x 10 -5<br />
• los virus más pequeños miden de 1,8 x 10 -8 a 2 x 10 -8 .<br />
61
62<br />
Galaxia de Andrómeda.<br />
Otra vez, intente encontrar la justificación a este tipo de escritura,<br />
observando el número dado y su notación científica. Observe que<br />
en todos los casos hay sólo una cifra entera.<br />
0,000001 = 1x 10 -6 m<br />
0,00001 m = 1x 10 -5 m<br />
0,000000018 = 1,8 x 10 -8 m<br />
0,000000020 m = 2 x 10 -8 m<br />
Resumiendo:<br />
Todo número r puede escribirse,<br />
si es conveniente, en la forma r=a x 10 n donde<br />
a es un número entre 1 y 10 y n es un entero<br />
4,5 x 1013 = 45.000.000.000.000 (si n = 13)<br />
3,23 x 10-7 n<br />
a<br />
n<br />
= 0,000000323 (si n = -7)<br />
a<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº44<br />
Escribir en notación científica los siguientes números:<br />
El diámetro de la tierra es de: 12.700 km<br />
El diámetro de un determinado tipo de virus es de 0,00000063 m.<br />
La galaxia de Andrómeda se encuentra a aproximadamente<br />
2.000.000 años luz.<br />
Un átomo de oxígeno pesa 0,0000000000000000000000266<br />
gramos.
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº45<br />
Escriba el número con todas sus cifras.<br />
Algunos protozoos miden 2 x 10 -7 milímetros<br />
Plutón se encuentra a 5,9 x 10 9 km del sol<br />
El tamaño medio de una ameba es de 2,5 x 10 -2 milímetros.<br />
Para unir la tierra con la luna habría que colocar 5,43 x 10 4<br />
montañas como el Aconcagua una encima de la otra.<br />
Actividad Nº46<br />
Ordene de menor a mayor los siguientes números.<br />
3,7 x 10-5 2,6 x 103 3,5 x 10-4 1,2 x 102 5 x 10-4 1,25 x 108 1,25 x 109 Uso de la calculadora<br />
Actualmente existe una gran variedad de calculadoras científicas<br />
que en todos los casos permiten operar con números en<br />
su notación científica o dan el resultado de ciertos cálculos en<br />
este tipo de escritura.<br />
Si queremos hacer 4.000.000 X 500.000, este cálculo da<br />
2.000.000.000.000. Como tiene 13 cifras no entra en el visor<br />
de una calculadora corriente.<br />
En las más antiguas calculadoras aparece la leyenda de error;<br />
en las actuales en cambio el resultado figura utilizando notación<br />
científica.<br />
63
64<br />
Exp<br />
Si posee una calculadora realice la operación. Según el modelo<br />
y la marca habrá obtenido alguno de los siguientes resultados:<br />
2 . 12 2 12 2 . 10 12<br />
Lo mismo ocurre con números muy pequeños. Realice con la calculadora<br />
0,000048 : 500. Obtendrá alguno de estos resultados:<br />
9.6. -08 9.6 - 08 9.6. 10 -08<br />
Muchas máquinas tienen una tecla cuya función “Exp" permite<br />
introducir y operar con números en notación científica.<br />
Para utilizar esta función se siguen los siguientes pasos:<br />
Si queremos sumar 3,2 x 10 8 + 5 x 10 7<br />
1. Se escribe 3,2 y se oprime la tecla y en el visor aparece<br />
3,200 .<br />
2. Se teclea el exponente, en este caso 8 y aparece 3,208 .<br />
3. Se oprime la tecla de suma y se introduce el segundo número<br />
de igual modo.<br />
4. Al apretar el igual aparecerá la leyenda 3,708 Exp<br />
.<br />
Si tiene dificultades con el uso de la calculadora, consulte con<br />
el docente. Tenga en cuenta que el modelo de su calculadora<br />
puede tener diferencias con lo mencionado más arriba.
Triángulos<br />
En las últimas páginas encontrará varillas de papel de diferentes<br />
tamaños; recorte las que miden 20 cm y las que miden 10 cm.<br />
Arme con esas varillas cuadriláteros como los de las figuras de la<br />
derecha.<br />
Todas las figuras que usted armó son cuadriláteros cuyos lados miden<br />
10, 20, 10 y 20 cm cada uno.<br />
Todos los cuadriláteros que usted armó tienen las mismas medidas<br />
en sus lados pero ¿son iguales?<br />
Un objeto, por ejemplo un cuadro, puede estar representado con el<br />
primero de ellos (el rectángulo). Si se presiona en uno de los vértices,<br />
el marco se moverá deformándose hasta quedar como alguno<br />
de los otros dos cuadriláteros. Es decir, los cuadriláteros pueden<br />
deformarse y adoptar diferentes formas manteniendo las mismas<br />
medidas en sus lados.<br />
¿Pasará lo mismo con los triángulos?<br />
Arme con una de las varillas de 10 cm, otra de 20 cm y una de 15<br />
cm, un triángulo como el de la figura.<br />
Para poder armar un triángulo con lados de una medida previamente<br />
establecida, como en este caso 20, 15 y 10 cm, el proceso es<br />
el siguiente:<br />
1. Tome uno de los lados, por ejemplo el de 20 cm.<br />
2. Tome ahora el de 10 cm y apóyelo en uno de los extremos de<br />
la varilla. Si mantiene unidos esos dos extremos, podrá mover<br />
el otro libremente describiendo un arco como el de la figura.<br />
3. La tercera varilla (la de 15 cm), apoyada en el otro extremo, también<br />
podrá moverla libremente. Pero hay un único punto en el que<br />
los dos extremos restantes coincidirán.<br />
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación<br />
65
66<br />
Moviendo las varillas tal como hizo con los cuadriláteros, trate de<br />
armar otro triángulo que también tenga 20, 15 y 10 cm de lado.<br />
Como habrá podido observar, el triángulo que se puede armar con<br />
esas medidas es único. No es posible “deformarlo" como en el caso<br />
de los cuadriláteros.<br />
Un triángulo queda determinado por sus tres lados.<br />
Es por esta razón que los triángulos se utilizan en aquellas construcciones<br />
donde las fuerzas y presiones a las que están sometidas<br />
podrían modificar su forma y romperse o derrumbarse.<br />
En edificios en los que la estructura no es visible igual están presentes<br />
los triángulos; en el interior de columnas y vigas los hierros están<br />
dispuestos de tal manera que forman triángulos entrelazados entre sí.<br />
Propiedad de los lados<br />
¿Es posible construir un triángulo que tenga tres segmentos cualesquiera<br />
por lados? Por ejemplo, con una varilla de 20 cm, una de<br />
10 y la otra de 8 cm.<br />
Intente armar el triángulo con las varillas de estas medidas. Recién<br />
después continúe leyendo.<br />
¿Pudo hacerlo?<br />
El gráfico muestra lo que posiblemente realizó usted con las varillas.<br />
El lado a (20 cm) ¿cómo es con respecto a la suma de los lados b (8<br />
cm) y c (10 cm)?<br />
Si coloca las varillas de 10 cm y 8 cm sobre la de 20 cm notará que<br />
faltan 2 cm para que puedan tocarse los extremos, por ello no pudo<br />
armar el triángulo.
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº47<br />
¿Puede ser uno de los lados mayor que la suma de los otros dos?<br />
¿Cómo tiene que ser cualquiera de los lados con respecto a la diferencia<br />
de los otros dos? (Si uno es de 20 cm y el otro de 8 cm,<br />
la diferencia es 12 cm.)<br />
De acuerdo con sus respuestas a las preguntas a y b, escriba en un<br />
párrafo cómo debe ser la relación entre los lados de un triángulo.<br />
Al armar el triángulo usted habrá comprobado que los lados no<br />
pueden tener cualquier medida. Pero no necesariamente los lados<br />
tienen que tener medidas diferentes entre sí. Dos o los tres lados<br />
pueden medir lo mismo.<br />
Según tengan o no lados iguales, se obtendrán los siguientes triángulos:<br />
Equilátero<br />
a=b=c<br />
Isósceles<br />
a=b<br />
Aclaración<br />
Si usted consulta diferentes textos donde se analiza la clasificación de los triángulos con<br />
respecto a los lados, es posible que encuentre en muchos de ellos que sólo hay dos clases:<br />
los isósceles y los escalenos. Estos autores consideran a los equiláteros como un caso<br />
especial de los isósceles, donde el tercer lado es igual.<br />
Escaleno<br />
a=b=c<br />
67
68<br />
Acutángulo<br />
Los tres ángulos agudos<br />
Ángulos interiores<br />
Del mismo modo que podemos clasificar a los triángulos según la<br />
medida de sus lados, podemos hacerlo según sus ángulos interiores.<br />
Rectángulo<br />
Un ángulo recto<br />
Obtusángulo<br />
Un ángulo obtuso<br />
Además de las varillas, en las últimas hojas se han incluido varios<br />
triángulos designados con un número para identificarlos. Recórtelos.<br />
Actividad Nº48<br />
Indique qué tipo de triángulo es cada uno de ellos, tanto por<br />
la medida de los lados como por sus ángulos.<br />
Triángulo 1, es.............................. y ..............................<br />
Triángulo 2, es.............................. y ..............................<br />
Triángulo 3, es.............................. y ..............................<br />
Triángulo 4, es.............................. y ..............................<br />
Triángulo 5, es.............................. y ..............................<br />
Triángulo 6, es.............................. y ..............................
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº49<br />
Para sumar los tres ángulos interiores de cada triángulo, recorte<br />
los 6 triángulos.<br />
Recorte en cada triángulo sus ángulos interiores, como lo<br />
muestra el esquema.<br />
Luego ubique los ángulos uno a continuación del otro. Debe<br />
hacer coincidir vértice con vértice y al lado de un ángulo con<br />
el lado del otro.<br />
¿Cuánto mide la suma (a + b + c) de los tres ángulos interiores<br />
de cualquiera de los triángulos?<br />
De acuerdo con su respuesta a la pregunta c, escriba en un párrafo<br />
la propiedad de los ángulos interiores de todo triángulo.<br />
Esta propiedad de los ángulos interiores es muy utilizada en diferentes<br />
situaciones en las que intervienen triángulos. Si dos de los ángulos<br />
son conocidos, el tercero puede calcularse con esta propiedad.<br />
Antes de continuar consulte las Claves.<br />
Actividad Nº50<br />
Calcule el ángulo interior restante.<br />
a) A=39º, B=93º<br />
e) C=A=56º 30'<br />
b) A=123º, C=17º<br />
f) B=C y A=80º<br />
c) B=45º 30', C=67º 20' g) ABC rectángulo en C y 50º<br />
d) B=33º, C=43º 23' h)<br />
A=B=C<br />
69
70<br />
Además de los lados y los ángulos, usted recordará que existen<br />
otros elementos en un triángulo que utilizamos, por ejemplo en<br />
fórmulas que nos permiten hallar la superficie (Módulo 5) o para<br />
hallar puntos de importancia de los triángulos. Por ejemplo:<br />
Alturas<br />
¿Cómo se determinan las alturas de un triángulo?<br />
En cada uno de estos triángulos el segmento BP es la Altura correspondiente<br />
al lado AC.<br />
El segmento BP tiene por extremos los puntos B, que es un vértice<br />
del triángulo, y el punto P, llamado “pie de altura" sobre el lado AC<br />
o su prolongación. Como en el siguiente triángulo.<br />
Del mismo modo que determinamos la altura con respecto al lado<br />
AC, se puede determinar con los otros dos lados.<br />
Altura<br />
es el segmento perpendicular a un lado<br />
que tiene un extremo en el vértice opuesto<br />
y el otro en el lado o su prolongación.
Actividad Nº51<br />
Determine la altura correspondiente al lado MN en cada triángulo.<br />
Para construir el segmento perpendicular cuyo extremo es<br />
el vértice utilice una escuadra como se muestra en la imagen.<br />
Al resolver la actividad habrá observado que la altura con respecto<br />
a uno cualquiera de los lados de un triángulo puede ser un segmento<br />
interior, exterior o coincidir con uno de los lados.<br />
Actividad Nº52<br />
Determine las tres alturas del siguiente triángulo.<br />
71
72<br />
Introducción a la estadística<br />
A través de los distintos medios de comunicación, los diarios, la<br />
radio, la televisión, el cine y las revistas es frecuente escuchar o<br />
leer frases como las siguientes:<br />
1. ”Nueve de cada diez personas leen el diario..."<br />
2. ”Se probó una vacuna que resultó efectiva en el 98 % de los casos."<br />
3. "El 55 % de los votantes se inclina por..."<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº53<br />
Exprese la primera frase como porcentaje.<br />
¿Qué significan en el lenguaje cotidiano los porcentajes señalados<br />
en la segunda y en la tercera frase?<br />
También habrá escuchado o leído expresiones como éstas:<br />
1. “De acuerdo con las estadísticas..."<br />
2. “Me baso en las estadísticas que publicó el diario..."<br />
3. “Las estadísticas prueban que..."<br />
4. “Estadísticamente esta vacuna es confiable en un 98%."<br />
5. “Es cuestión de consultar las estadísticas."<br />
6. “Según las estadísticas hoy ha sido el día más caluroso del año..."<br />
Actividad Nº54<br />
En todas las expresiones anteriores aparece la palabra estadística.<br />
Explique con sus palabras qué significa.
Estas informaciones que se refieren al porcentaje o cantidad de veces<br />
que sucede un hecho o situación se denominan estadísticas. Se<br />
dan a conocer, en general, como datos numéricos cuidadosamente<br />
obtenidos. Es habitual que los datos se ordenen y se presenten en<br />
forma de cuadros, de gráficos, diagramas, etc.<br />
La estadística es el conjunto de definiciones, reglas, leyes, métodos<br />
y cálculos que se utilizan para:<br />
a<br />
b<br />
c<br />
• recopilar (obtener la información necesaria para el estudio que<br />
se quiera realizar);<br />
• clasificar (organizar la información);<br />
• analizar (con el objeto de extraer alguna conclusión que sea válida<br />
luego de haber obtenido los datos y decidir la forma más<br />
adecuada de presentación);<br />
• presentar (en orden, con claridad y por medio de cuadros, gráficos<br />
la información que se recopiló);<br />
• inferir (interpretar los datos estadísticos y sacar conclusiones<br />
que permitan prever o predecir la marcha futura del fenómeno<br />
que se está estudiando a través de los datos disponibles).<br />
Actividad Nº55<br />
Busque en un periódico de su localidad tres artículos que incluyan<br />
gráficos estadísticos.<br />
¿Por qué los reconoce como gráficos estadísticos?<br />
¿Qué información se puede obtener a partir de ellos?<br />
¿Cuál es la fuente de la información?<br />
La estadística se ocupa del estudio de comportamientos generales no<br />
individuales. Por ejemplo:<br />
“Estadísticamente, esta vacuna es confiable en el 98% de los casos"<br />
Nada se puede afirmar sobre el efecto que tuvo en una persona o un<br />
caso en particular sino sobre un conjunto.<br />
73
74<br />
Precisamente, la información general sobre un conjunto de casos<br />
que se puede obtener mediante procedimientos estadísticos es lo<br />
que motiva la gran aplicación que hacen las empresas para la comercialización<br />
de sus productos; los políticos sobre la intención<br />
del voto de los ciudadanos; los científicos para los resultados de un<br />
medicamento o de una vacuna; los astrónomos sobre alguna conclusión,<br />
luego de miles y miles de observaciones del cielo, acerca<br />
de un nuevo tipo de estrella; los sociólogos cuando estudian algún<br />
comportamiento de una sociedad en particular; etc.<br />
Aun de forma muy sencilla, es común que se recolecte información y<br />
se la procese para tomar decisiones. Por ejemplo: el vendedor de calzado<br />
necesita conocer cuál es el número de zapatos de más venta para<br />
decidir qué cantidad de zapatos por número debe tener en stock. Es decir,<br />
sobre la base de la información de que dispone (cantidad de pares<br />
de zapatos por número que vende) puede decidir una compra futura.<br />
Con información mucho más precisa en su obtención y organización<br />
los meteorólogos pueden pronosticar el tiempo, los biólogos<br />
el comportamiento de los peces, las autoridades educativas dónde<br />
construir una nueva escuela.<br />
S O C IED A D Clarín - 29 de Julio de 1999<br />
E<br />
Estadísticas en la provincia de Buenos Aires<br />
La mayor cantidad de delitos<br />
se comete los martes<br />
Según cifras correspondientes a junio del Ministerio de Justicia y Seguridad bonaerense<br />
l sol ya se escondió. La gente sale de trabajar o<br />
vuelve a su casa, mientras los negocios empiezan a bajar<br />
las persianas con la recaudación del día en la caja.<br />
En esas horas entre las 19 y las 22, se comete la mayor<br />
cantidad de delitos en la provincia de Buenos Aires. Y<br />
más aun si se trata del anochecer del martes, según<br />
estadísticas difundidas ayer por el Ministerio de Justicia<br />
y Seguridad bonaerense.<br />
El estudio oficial se hizo durante junio. En ese mes, los<br />
bonaerenses denunciaron 25.790 delitos de todo tipo.<br />
De ellos, el 21,45 % ocurrió entre las 19 y las 22. La siguiente<br />
franja horaria en el ranking es la que va desde<br />
las 10 a las 13, cuando se produjeron 3.900 delitos (el<br />
15% del total).<br />
De acuerdo con la estadística, el martes es el día que<br />
más delitos ocurren. El promedio diario es de 850 de-<br />
nuncias, mientras que el de los martes es de 980, un<br />
15% más. En el otro extremo se ubican los domingos,<br />
cuando los hechos denunciados bajan un 50%.<br />
"Las estadísticas sirven para no operar a ciegas. Con<br />
estos números diseñamos distintas estrategias para<br />
atacar mejor el delito. Concentramos más cantidad de<br />
recursos en determinados horarios y lugares. Así la policía<br />
puede actuar con mayor eficacia", explicó a Clarín<br />
el subsecretario de Seguridad de la provincia.<br />
Por ahora en el Ministerio todavía no determinaron<br />
por qué hay más delitos los martes. El subsecretario<br />
arriesgó: "Ese día la mayoría de los negocios reciben<br />
las provisiones de mercadería después de todo el fin<br />
de semana. Entonces hay más proveedores que llevan<br />
dinero en la calle y mayor movimiento de gente<br />
que va a los bancos":
Actividad Nº56<br />
Busque en diarios o revistas dos artículos que presenten información<br />
estadística que puedan servir para tomar alguna decisión<br />
sobre el tema del que tratan. Fundamente su respuesta.<br />
Universo o población<br />
Como ya se ha señalado, la estadística brinda información general<br />
sobre un conjunto de casos. A todo conjunto que sea objeto de<br />
observación con fines estadísticos se lo llama universo o población.<br />
Los elementos del universo o población se denominan individuos.<br />
Ejemplos:<br />
1. Todas las personas que están en condiciones de votar, es decir<br />
los ciudadanos, constituyen la población de votantes.<br />
2. Todos los alumnos entre 6 y 14 años que asisten a la escuela,<br />
forman una población.<br />
3. Todos los peones de campo constituyen la población que trabaja<br />
en el campo.<br />
4. Todos los peces de una laguna constituyen la población de<br />
esa laguna.<br />
5. Todos los autos que ingresaron a reparación son la población<br />
que considera el dueño del taller para llevar una estadística.<br />
Los individuos del mismo universo o población pueden ser personas,<br />
animales, objetos, votos, cantidades de lluvia caída, nevadas,<br />
granizo, sequías, crecimiento de ríos, etc.<br />
Los censos, por ejemplo, son operativos que se realizan para obtener<br />
datos sobre la totalidad de los elementos que componen un<br />
universo de estudio. En la Argentina existe un organismo público,<br />
el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INDEC) encargado de<br />
75
Datos de Censos comparativos entre países<br />
76<br />
País<br />
Canadá<br />
Japón<br />
España<br />
Argentina<br />
Brasil<br />
Paraguay<br />
Uruguay<br />
Superficie<br />
(mil/km2)<br />
9.976<br />
372<br />
504<br />
2.766<br />
8.5<strong>11</strong><br />
406<br />
176<br />
orientar y ejercer la dirección de todas las estadísticas oficiales que<br />
ser realizan en el territorio. También coordina el Sistema<br />
Estadístico Nacional, integrado por los servicios estadísticos de los<br />
organismos nacionales, provinciales y municipales.<br />
El INDEC es el organismo encargado del censo nacional de población,<br />
que se realiza para obtener información sobra las principales<br />
características de las personas, las viviendas, etc. del país. La información<br />
que se obtiene es muy importante porque permite estimar las<br />
necesidades presentes y futuras de la población y diseñar diferentes<br />
programas sociales para atenderlas: alfabetización; urbanización;<br />
empleo, etc. Conocer la cantidad de población en cada una de las jurisdicciones<br />
del país es indispensable para establecer, entre otras<br />
cuestiones, la cantidad de diputados que cada una enviará al Congreso<br />
y los representantes a nivel provincial y municipal. La información<br />
también resulta útil en ámbitos privados. Por ejemplo, las empresas<br />
pueden estimar la demanda de bienes y servicios de acuerdo con la<br />
concentración de la población; decidir dónde instalar una fábrica en<br />
función de la disponibilidad de la mano de obra, etc.<br />
Las recomendaciones internacionales sugieren que el censo de<br />
población se realice cada diez años, procurando que coincida con los<br />
años terminados en cero. Esto facilita las comparaciones entre diferentes<br />
países ya que los censos se hacen en todos ellos. En el siguientes<br />
cuadro se pueden observar algunas de esas comparaciones.<br />
Población estimada<br />
(millones) 1998<br />
30.2<br />
125.9<br />
39.8<br />
36.1<br />
165.2<br />
5.2<br />
3.2<br />
Población urbana<br />
(%) 1995<br />
77<br />
78<br />
76<br />
88<br />
78<br />
53<br />
90<br />
Esperanza de vida<br />
al nacer (años) 1995<br />
79.1<br />
79.9<br />
77.7<br />
72.6<br />
66.6<br />
69.1<br />
72.7<br />
Tasa de alfabetización<br />
adultos (%) 1995<br />
99<br />
99<br />
97.1<br />
96.2<br />
83.3<br />
92.1<br />
97.3<br />
Líneas de teléfono<br />
c/1000 personas - 1995<br />
590<br />
487<br />
385<br />
160<br />
75<br />
31<br />
196
a<br />
b<br />
Actividad Nº57<br />
Otra de las actividades que realiza el INDEC es el Censo Nacional<br />
Agropecuario.<br />
¿Qué elementos compondrán el universo o población de este<br />
censo?<br />
¿Para qué cree usted que puede servir la información que se<br />
obtiene mediante este censo?<br />
Trabajar con todos los elementos de un universo, como en el caso<br />
de los censos, es un proceso muy costoso tanto en recursos económicos<br />
como en humanos. Lea el siguiente artículo para conocer<br />
cómo se está organizando en el país el censo del año 2000.<br />
Clarín - 5 de Agosto de 1999 S O C I E D A D<br />
A<br />
¿Cómo será<br />
Amalia Eizayaga<br />
el Censo del 2000?<br />
fines de octubre del 2000, unas 600.000 personas<br />
recorrerán todos los rincones del país en busca de los<br />
37 millones de argentinos que, según estimaciones oficiales,<br />
habitan el territorio. En el menor tiempo posible<br />
plantearán más de 100 preguntas en cada hogar que<br />
quedarán reflejadas en cerca de 150 millones de hojas.<br />
Con estos datos, el Instituto Nacional de Estadísticas y<br />
Censo (INDEC) elaborará el Censo Nacional de Población,<br />
Hogares y Viviendas del 2000 que costará 55<br />
millones de pesos.<br />
Los censistas -en su mayoría maestros que serán capacitados<br />
previamente- subirán cerros inhóspitos, recorreran<br />
en total casi cuatro millones de kilómetros<br />
cuadrados hasta llegar a los poblados perdidos y tocarán<br />
las puertas en medio de barrios residenciales o de<br />
villas de emergencia.<br />
Ese día, aún sin fecha establecida, casi no habrá actividad<br />
en el país para que la mayor parte de la gente<br />
pueda permanecer en el hogar.<br />
*En el año 2000 no se realizó el Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas.<br />
Su ejecución está prevista para el año 2001.<br />
Una de las cuestiones más novedosas que incluye el<br />
futuro censo es la búsqueda de acuerdos entre los países<br />
del Mercosur, además de Chile y Bolivia. Las autoridades<br />
regionales intentan homologar los términos y<br />
las variables estadísticas para poder comparar la información<br />
sobre la misma base.<br />
Éste es el noveno censo que se llevará adelante en el<br />
país. El primero se hizo en 1869, cuando la Argentina<br />
tenía 1,8 millones de habitantes. A 131 años de esa fecha,<br />
la población se habrá multiplicado más de 20 veces<br />
hasta llegar a los 37 millones de hoy, según el INDEC.<br />
*<br />
77
78<br />
Como habrá notado luego de leer la última parte del artículo, trabajar<br />
con todo el universo cuando éste está compuesto de muchos<br />
individuos, no siempre es factible. El proceso es muy complicado y<br />
costoso. Otras veces, no resulta necesario analizar el total de la población<br />
o la información que se busca no requiere ser tan precisa y puede<br />
ser estimada con un cierto margen de error. En esos casos no se<br />
trabaja con el total de individuos o elementos sino con una muestra.<br />
Por ejemplo, habrá escuchado muchas veces que, al finalizar una<br />
elección para presidente, gobernador o diputados, los medios comienzan<br />
a dar información sobre los resultados antes de que se hayan<br />
contado todos los votos. Esta información la obtienen mediante<br />
lo que se denomina " a boca de urna" y consiste en preguntarle<br />
a la gente, después de que lo hicieron, por quién votó. Esta pregunta<br />
no es posible hacérsela a todos los que votaron sino que se<br />
elige a algunas personas o muestra del total de votantes.<br />
¿Cómo se elige la muestra o los elementos de una prueba?<br />
La teoría dice que una muestra, para ser representativa y confiable,<br />
debe ser aleatoria. Se debe elegir al azar. La elección de los individuos<br />
no debe seguir ninguna norma prefijada. Cuanto más<br />
aleatoria sea, mejor y más confiable será la conclusión que podrá<br />
extenderse a toda la población. Para elegir al azar los individuos<br />
que se considerarán en la muestra primero es necesario caracterizar<br />
el universo de población que se quiere estudiar y establecer la<br />
cantidad de individuos que se incluirán en cada caso.<br />
Por ejemplo, una fábrica quiere conocer la aceptación que tendrá un<br />
nuevo modelo de auto que están por sacar al mercado. Primero caracteriza<br />
el universo: segmento de la población que puede llegar a<br />
comprarlo por su poder adquisitivo; se analiza cuántos son hombres<br />
y cuántas mujeres; se consideran diferentes tramos de edad a partir<br />
de los 21 años. Sobre la base de estos datos se determina a cuántas<br />
personas que reúnan determinados requisitos se entrevistarán y se<br />
elige al interior de cada caso los individuos al azar. Con estos resultados<br />
la empresa automotriz direccionalizará su campaña publicitaria.<br />
La selección representativa y confiable de la muestra es una actividad<br />
que requiere de conocimientos específicos para asegurar que
los datos que se obtienen pueden aplicarse al total de la población.<br />
Esta tarea la realizan profesionales especializados no sólo en estadística,<br />
sino especialmente en muestras. En general se los llama<br />
muestristas y en todos los casos indican el grado de confiabilidad<br />
del resultado obtenido, explicitando el porcentaje de error posible.<br />
Es habitual que esta información se presente en una "ficha técnica"<br />
que acompaña los resultados de la indagación realizada, donde se<br />
describen sintéticamente las características de la muestra, los métodos<br />
utilizados, el error posible, etc.<br />
A modo de ejemplo incluimos una ficha que formaba parte de un<br />
artículo del diario Clarín sobre los resultados electorales de 1995.<br />
a<br />
b<br />
F ICH A T É C N ICA<br />
• Empresa ejecutora: CEOP (Centro de Estudios de Opinión Pública)<br />
• Tipo de estudio: encuesta en boca de comicio.<br />
• Tipo de preguntas: cerradas, alternativas fijas y abiertas.<br />
• Alcance de la muestra: nivel nacional.<br />
• Tamaño de la muestra: submuestra especial en boca de comicio sobre un total<br />
Actividad Nº58<br />
de 2.650 casos con un error de + / - 1,94% (confiabilidad del 95.5%).<br />
• Fecha de realización: trabajo de campo: 14 de mayo de 1995.<br />
• Procesamiento y análisis:15 al 19 de mayo de 1995.<br />
Indique cuáles de las dos muestras siguientes considera usted<br />
que son representativas del conjunto total observado (población),<br />
en este caso del total de alumnos de una escuela.<br />
1. De la población de alumnos de la EGB a la cual va mi hijo se<br />
eligió un grupo de 10 alumnos de los quintos años.<br />
2. En la misma escuela, una maestra propuso poner todos los<br />
nombres de los chicos en una urna y luego sacar 10 al azar,<br />
como en los sorteos de los concursos.<br />
Busque en diarios y revistas algún relevamiento estadístico<br />
que esté acompañado de su ficha técnica. ¿Qué información<br />
proporciona?<br />
79
80<br />
Instrumentos<br />
La recolección de datos para producir información estadística se<br />
lleva a cabo utilizando diferentes métodos y utilizando diversos<br />
instrumentos. En los censos de población se utilizan planillas censales;<br />
para conocer la intención de voto se utilizan encuestas; para<br />
registrar las ausencias de los alumnos, registros especiales, etc.<br />
Cuando se recoge información el instrumento que se emplee es<br />
fundamental. Su correcta elaboración permite que sea utilizado por<br />
distintas personas sin que haya lugar a diferentes interpretaciones.<br />
También permite registrar información en el lugar adecuado y de<br />
forma tal que sea fácilmente procesable. Esto es muy importante<br />
cuando se recogen datos sobre muchos casos y en su relevamiento<br />
intervienen muchas personas.<br />
Al diseñar el instrumento también se debe considerar la forma en<br />
que la información será procesada. Cuando los casos son muchos,<br />
en general se realiza con el auxilio de computadoras, por lo que el<br />
diseñador del instrumento debe considerar la manera en que el ingreso<br />
de los datos sea más rápido y al menor costo.<br />
Variables estadísticas<br />
Los diarios publican a menudo estadísticas acerca de determinadas<br />
características de una población. Por ejemplo: el censo nacional<br />
tiene en cuenta la edad de los individuos, las condiciones de la vivienda;<br />
existen datos sobre el salario según la profesión; la cantidad<br />
de ganado de una determinada provincia; el porcentaje de intención<br />
de voto a un determinado candidato ante una futura elección;<br />
etc.<br />
La edad, el salario, la cantidad de ganado, tomarán diferentes valores<br />
para cada uno de los individuos de la muestra. Por eso se llaman<br />
variables. En estadística interesa saber cuántas veces se repiten<br />
los diferentes valores: de las edades, de los salarios, del ganado,<br />
etc. Existen variables cualitativas y variables cuantitativas.
Las variables cualitativas son las que no toman valores numéricos.<br />
Por ejemplo: la variable carrera que va a estudiar toma los<br />
“valores": matemática, física, química, música, plástica, educación<br />
física, historia, geografía, biología, literatura, etc. En estos casos<br />
estadísticamente se “cuenta" cuántas veces se repite cada uno de<br />
los posibles valores de la variable cualitativa.<br />
Todas las características comunes de los individuos de una población<br />
estudiada en las que se toman valores numéricos (valores que<br />
resultan de contar o medir) se denominan variables cuantitativas.<br />
Por ejemplo: la cantidad de hijos, cantidad de votos, etc.<br />
Existen dos clases de variables cuantitativas:<br />
• las que se asocian al conteo que se llaman variables discretas (sólo<br />
pueden tomar algunos valores enteros).<br />
• las que se asocian al proceso de medición que se llaman variables<br />
continuas (pueden tomar todos los valores de un intervalo racional).<br />
Ejemplos de variables discretas:<br />
1. Cantidad de varones que concurren a los distintos años en la EGB.<br />
2. Número de veces que salió el 5 cuando tiramos un dado 100 veces.<br />
3. Cantidad de partículas que emite una sustancia radiactiva en<br />
10 minutos.<br />
Ejemplos de variables continuas:<br />
1. Duración real de los partidos de fútbol.<br />
2. Altura promedio de los alumnos de un determinado ciclo de EGB.<br />
3. Consumo de electricidad de 10 fábricas durante un mes en la provincia<br />
de Córdoba.<br />
81
82<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº59<br />
Indique si las siguientes variables son continuas o discretas<br />
Cantidad de veces que salió cara luego de revolear la moneda<br />
10 veces.<br />
Temperatura promedio, en un día de verano elegido al azar,<br />
en la ciudad de Ushuaia.<br />
Número de bolillas blancas que se pueden extraer de un bolillero<br />
que contiene 3 rojas y 5 blancas cuando se extraen 4 bolillas.<br />
Número de hijos de una familia.<br />
Valor de las monedas que circulan en la Argentina.<br />
La edad de las personas.<br />
Actividad Nº60<br />
Si le informan que se está analizando al conjunto de estudiantes<br />
que estudian EGB a distancia, ¿cuál será el universo o<br />
población?<br />
Seleccione cuatro variables que puedan analizarse sobre esta población.<br />
Considere que por lo menos una de ellas sea cualitativa.<br />
Elabore una encuesta para recoger la información.<br />
Haga una tabla para volcar la información obtenida.
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Frecuencias<br />
En estadística se cuenta la cantidad de veces que se repite un hecho.<br />
Por ejemplo, ¿cuántos niños en el país tienen 8 años? Esta<br />
“cantidad de veces" se llama frecuencia.<br />
Analice el siguiente ejemplo:<br />
En la tabla se presentan las calificaciones de alumnos que han rendido<br />
examen. En este caso la variable es la nota. La primera columna<br />
contiene las notas ordenadas en forma creciente; la segunda,<br />
el número de alumnos que obtuvo cada calificación.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
Actividad Nº61<br />
notas cantidad de alumnos<br />
¿Cuántos alumnos fueron examinados en total?<br />
2<br />
4<br />
3<br />
4<br />
7<br />
6<br />
3<br />
5<br />
2<br />
4<br />
¿Cuántos alumnos obtuvieron 9 o 10?<br />
¿Cuántos fueron aplazados? (Cuatro se considera aprobado).<br />
¿Cuál fue la nota que obtuvo la mayor cantidad de alumnos?<br />
Los números presentados en la segunda columna se llaman frecuencias<br />
absolutas.<br />
Si observa la tabla verá que para el caso de la nota 8 la frecuencia<br />
absoluta (cantidad de alumnos que obtuvo esa nota) es 5.<br />
83
84<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº62<br />
¿Cuál es la frecuencia absoluta para la nota 10?<br />
¿Cuál es la frecuencia absoluta de los aplazados?<br />
¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta?<br />
La mayor frecuencia absoluta significa que ese valor es el que tiene<br />
la mayor cantidad de casos sobre el total de la población. En el<br />
ejemplo corresponde a la nota 5 que fue la que sacaron 7 alumnos<br />
sobre el total de los que rindieron examen. Al número que le corresponde<br />
la mayor frecuencia se lo denomina moda o valor modal.<br />
¿Cómo se puede presentar una colección de<br />
datos para que resulte cómodo su análisis?<br />
Una vez establecida la población y las variables estadísticas que se<br />
desean estudiar, se hacen las observaciones o indagaciones correspondientes<br />
utilizando el instrumento que se haya seleccionado.<br />
Los resultados así obtenidos se consignan en cuadros.<br />
Por ejemplo:<br />
Suponga que se quiere conocer la edad de los alumnos de un grupo<br />
de Educación General Básica a distancia. Se obtienen las siguientes<br />
edades de 20 alumnos ordenados alfabéticamente por apellido:<br />
20 35 23 23 48<br />
18 37 24 25 43<br />
45 31 18 19 21<br />
40 29 21 43 24<br />
Así presentados, estos datos aportan poca información a quien ha<br />
de analizar este cuadro.<br />
Si los ordenamos de menor a mayor, se obtiene:<br />
18; 18; 19; 20; 21; 32; 23; 23; 24; 24; 25; 29; 31; 35; 37; 40; 43;<br />
43; 45; 48
Aun así resulta difícil de analizar. Es conveniente en este caso agrupar<br />
los valores. Cada uno de estos grupo se denominan intervalos y<br />
se utilizan para presentar los valores mediante una tabla abreviada.<br />
edad<br />
edad frecuencia absoluta<br />
18 - 20<br />
21 - 30<br />
31 - 40<br />
41 - 50<br />
51 y más<br />
Total<br />
10-14<br />
15-19<br />
20-24<br />
25-29<br />
30-34<br />
35-39<br />
40-44<br />
45-49<br />
50-59<br />
60 y más<br />
población<br />
total de<br />
10 años y más<br />
25.987.518<br />
3.350.673<br />
2.842.009<br />
2.454.123<br />
2.304.242<br />
2.214.181<br />
2.<strong>11</strong>9.168<br />
1.963.648<br />
1.690.055<br />
2.851.271<br />
4.198.148<br />
4<br />
8<br />
4<br />
4<br />
0<br />
Los intervalos presentan siempre un valor inferior (el menor de los<br />
dos números escritos) y otro superior (el mayor de los números escritos).<br />
Estos valores se eligen dependiendo del análisis que se<br />
quiera hacer de los datos.<br />
Analice el siguiente ejemplo. En este caso se consideran datos del<br />
Censo Nacional de Población y Vivienda de 1991, con datos suministrados<br />
por el INDEC sobre población que nunca asistió a la escuela<br />
o que no completó el nivel primario.<br />
Población de 10 años y más por condición de alfabetismo según edad - Total país<br />
analfabetos<br />
(nunca asistieron a la escuela)<br />
frecuencias<br />
%<br />
absolutas<br />
955.990<br />
60.507<br />
44.080<br />
45.674<br />
52.210<br />
61.481<br />
71.338<br />
79.489<br />
75.295<br />
142.993<br />
322.923<br />
Condición de alfabetismo<br />
3.7<br />
1.8<br />
1.5<br />
1.9<br />
2.3<br />
2.8<br />
3.4<br />
4.0<br />
4.4<br />
5.0<br />
7.7<br />
Fuente: Elaboración realizada por Plan Social Educativo - Proyecto de Educación Básica para Adultos<br />
en base a datos del Censo Nacional de Población y Vivienda 1991. INDEC.<br />
nivel primario incompleto<br />
frecuencias<br />
absolutas<br />
4.223.731<br />
81.920<br />
197.824<br />
201.403<br />
234.727<br />
273.405<br />
318.837<br />
357.275<br />
364.964<br />
747.329<br />
1.446.0<strong>11</strong><br />
%<br />
16.2<br />
2.4<br />
7.0<br />
8.2<br />
10.2<br />
12.3<br />
15.0<br />
18.2<br />
21.5<br />
26.2<br />
34.4<br />
85
86<br />
Como usted puede observar se consideran las frecuencias absolutas<br />
pero también a qué porcentaje del total de la población de esa franja<br />
de edad corresponden las cifras. Si se dice solamente que 60.507<br />
personas de 10 a 14 años nunca fueron a la escuela no se puede dimensionar<br />
la magnitud del problema. Importa considerar el total de<br />
la población es de ese tramo de edad. De los 3.350.673 personas de<br />
esa edad 60.507 nunca asistieron a la escuela.<br />
Hallar la relación de esta frecuencia absoluta con respecto al total<br />
es hallar el cociente entre estos números:<br />
60.507<br />
3.350.673<br />
= 0,0180581<br />
Por redondeo se considera 0,018 que es la frecuencia relativa, que<br />
expresa la relación de casos que cumplen con una determinada<br />
condición en relación con el total de casos. Tal como aparece en el<br />
cuadro la frecuencia relativa se expresa generalmente en porcentaje.<br />
3.350.673 personas 100%<br />
60.507 personas 100 . 60.507<br />
3.350.673<br />
El porcentaje corresponde a la frecuencia relativa multiplicada por 100.<br />
Analice este otro ejemplo<br />
Se recogen los datos de la altura de los alumnos de un curso de 8º<br />
año de la EGB y se obtienen los siguientes:<br />
1,60m 1,58m 1,63m 1,65m 1,70m<br />
1,55m 1,63m 1,71m 1,71m 1,63m<br />
1,75m 1,63m 1,80m 1,59m 1,78m<br />
1,78m 1,68m 1,69m 1,64m 1,65m<br />
Organizados en intervalos queda la siguiente tabla:<br />
estatura en m<br />
(se excluye el extremo<br />
superior del intervalo)<br />
1,50m.....1,60m<br />
1,60m.....1,70m<br />
1,70m.....1,80m<br />
1,80m.....1,90m
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº63<br />
Complete las frecuencias absolutas y las relativas en la segunda<br />
y tercera columna.<br />
estatura en m<br />
(se excluye el extremo<br />
superior del intervalo)<br />
1,50m.....1,60m<br />
1,60m.....1,70m<br />
1,70m.....1,80m<br />
1,80m.....1,90m<br />
Totales<br />
Actividad Nº64<br />
cantidad de alumnos<br />
(frecuencia absoluta) (frecuencia relativa)<br />
Teniendo en cuenta la tabla de población que en 1991 no había<br />
completado la escolaridad primaria responda:<br />
¿En qué intervalo de edad es mayor la frecuencia?<br />
¿Qué porcentaje de personas entre los 35 y 39 años no completó<br />
la primaria, haya asistido o no?<br />
¿Qué porcentaje de personas entre 25 y 29 años completó la<br />
primaria?<br />
87
88<br />
Fuente: Gobierno de la Ciudad<br />
Clarín 10/8/99.<br />
Diagramas<br />
Además de tablas, frecuentemente la información se presenta<br />
utilizando diagramas o gráficos que permiten visualizar de manera<br />
rápida y sencilla los resultados obtenidos. Si revisa un periódico observará<br />
que existen muchas maneras de representar la información.<br />
Aquí le proponemos trabajar con algunas de ellos.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº65<br />
Analice el siguiente gráfico que se denomina pictograma.<br />
¿Qué instrumento se habrá utilizado para recoger la información?<br />
¿Cuál es el universo de la muestra?<br />
¿Qué zona es la que más gusta?<br />
¿De dónde obtuvo el diario la información para elaborar el<br />
pictograma?
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº66<br />
En el siguiente mapa estadístico se indica la cantidad de ganado<br />
existente en la Argentina en el año 1997.<br />
¿Cuál es el total de cabezas de ganado?<br />
¿Qué porcentaje sobre el total le corresponde a cada tipo de<br />
ganado?<br />
Mencione a las tres provincias que cuentan con mayor cantidad<br />
de cabezas de ganado.<br />
Anuario Clarín 98/99<br />
89
90<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
Actividad Nº67<br />
Observe el siguiente gráfico de líneas.<br />
¿Qué variable estadística se indica en el eje de abscisas?<br />
¿Qué se marcó en el eje de ordenadas?<br />
Piense por qué en el gráfico se comienza a ordenar la información<br />
por el año 1916.<br />
¿En qué año fue mayor el porcentaje de gente que votó?<br />
¿De dónde se obtuvo la información para elaborar el gráfico?
a<br />
b<br />
Actividad Nº68<br />
Analice el siguiente gráfico de barras.<br />
LAS LEYES Desde el 10 de diciembre de 1983 hasta 1987*<br />
Proyectos de ley presentados Leyes sancionadas<br />
1983 2<br />
469<br />
1984<br />
1985<br />
1986<br />
1987<br />
1988<br />
1989<br />
1990<br />
1991<br />
1992<br />
1993<br />
1994<br />
1995<br />
1996<br />
1997<br />
53<br />
128<br />
138<br />
<strong>11</strong>4<br />
109<br />
120<br />
132<br />
120<br />
139<br />
142<br />
187<br />
168<br />
177<br />
170<br />
991<br />
Establezca el porcentaje entre la cantidad de proyectos de ley<br />
presentados y la cantidad de leyes sancionadas en cada uno<br />
de los años del período 1983-1997.<br />
¿En qué año fue mayor la relación entre proyectos presentados<br />
y leyes sancionadas?<br />
1375<br />
1241<br />
1527<br />
1559<br />
1543<br />
15<strong>11</strong><br />
1580<br />
1482<br />
1553<br />
1801<br />
1917<br />
1917<br />
2134<br />
Clarín Anuario 98/99<br />
Fuente : Cámara de Diputados<br />
de la Nación. Dirección de información<br />
parlamentaria.<br />
91
92<br />
Actividad Nº69<br />
Se realizó una encuesta entre 208 jóvenes de 15 a 24 años residentes<br />
en la Capital Federal y el Gran Buenos Aires. Los resultados<br />
se presentan en el siguiente diagrama circular .<br />
Del total de jóvenes encuestados cuántos piensan que la sociedad<br />
argentina es:<br />
• poco democrática:<br />
• muy democrática:<br />
• nada democrática:<br />
Actividad Nº70<br />
Se ha realizado una encuesta entre adolescentes preguntándoles<br />
cuántos hermanos tienen. Los resultados fueron los siguientes:<br />
3,5,4,4,4 4,2,2,2,2, 4,2,2,7,5, 3,4,3,3,4, 3,2,4,5,4,<br />
5,2,1,3,3, 4,5,2,6,3, 3,3,2,4,4, 3,6,4,2,5, 4,4,5,3,4.
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
g<br />
h<br />
Ordene los datos en un cuadro indicando la frecuencia absoluta<br />
y la relativa.<br />
Determine los porcentajes en cada caso.<br />
¿Cuál es la variable estadística considerada y qué valores toma?<br />
¿Qué clase de variable es?<br />
¿Cuántos alumnos fueron encuestados?<br />
¿Cuántos alumnos tienen más de 4 hermanos?<br />
¿Cuántos alumnos tienen entre 2 y 3 hermanos incluidos ambos<br />
extremos?<br />
Represente la información en un diagrama de barras.<br />
Parámetros estadísticos<br />
Los parámetros estadísticos son números que se emplean para<br />
organizar y presentar la información contenida en un conjunto de<br />
datos. Su finalidad es representar a esos datos en forma breve y<br />
simple y de modo tal que se pueda apreciar, aproximadamente, de<br />
un solo golpe de vista la característica que identifica a los restantes<br />
elementos del conjunto estudiado. Si bien se pierde mucha información<br />
con esta síntesis, se gana en simplicidad, en eficacia y<br />
en operatividad. Estudiaremos los dos parámetros más usados en<br />
estadística: promedio o media aritmética y desvío estándar.<br />
93
94<br />
En el Módulo 2, Libro 1 encontrará<br />
mayor información<br />
sobre cómo se obtiene<br />
el promedio. Recupere esa<br />
información para seguir<br />
trabajando el tema.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº71<br />
Mi hijo ha traído el boletín con las siguientes calificaciones:<br />
<strong>Matemática</strong> 6<br />
Lengua 9<br />
Educación Física 10<br />
Música 4<br />
Ciencias Naturales 8<br />
Ciencias Sociales 5<br />
Mi hijo me dice que sacó un promedio de 7 puntos. ¿Significa<br />
que se eximió en todas las materias? (la eximición es con<br />
7 puntos).<br />
¿Qué significa promedio 7?<br />
I. Promedio o media aritmética<br />
Hemos oído muchas veces esta palabra. Pero, ¿cuál es su significado?<br />
¿cómo se determina un promedio?<br />
Analice las siguientes situaciones:<br />
Los jugadores del equipo Mburucuyá tienen las siguientes tallas<br />
(en cm):<br />
207; 206; 203; 204; 202; 193; 196;<br />
199; 183; 184; 187; 189; 189; 188.<br />
Para determinar la estatura promedio:<br />
1.Efectuamos la suma de todos los valores:<br />
207+ 206+ 203+ 204+ 202+ 193 +196+ 199+ 183+ 184+ 187+<br />
189+ 189+ 188= 2730
2.Dividimos esta suma por el número total de jugadores:<br />
2730 : 14 = 195 cm<br />
Este valor es el promedio de las tallas de los jugadores.<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº72<br />
Las tallas de los jugadores de un equipo de otra localidad vecina<br />
a la anterior, llamado Atlético Junior, son las siguientes:<br />
180; 210; 205; 208; 204; 209; 185; 188; 186;<br />
200; 195; 192; 193; 194; 194; 199; 198; 199; 190<br />
Determine la estatura promedio de los jugadores de Atlético<br />
Junior.<br />
Compare la estatura promedio del equipo Mburucuyá con las<br />
de este equipo. ¿Qué puede decir luego de compararlos?<br />
Para generalizar se representa a la variable con una letra,<br />
en este caso x y al número de casos que se consideran se<br />
lo llamará n.<br />
Se llama media aritmética o promedio de n números<br />
al cociente entre la suma de los números dados<br />
y la cantidad n de ellos.<br />
Se lo simboliza así x-<br />
En algunas ocasiones, cuando la cantidad de datos es grande y algunos<br />
valores se repiten, es posible hallar el promedio con los datos<br />
agrupados en intervalos. Observe el procedimiento con los datos<br />
sobre la talla de los alumnos de la actividad Nº 63.<br />
95
96<br />
Si los ordenamos de menor a mayor, se obtiene:<br />
1,55m; 1,58m; 1,59m; 1,60m; 1,63m; 1,63m; 1,63m; 1,64m; 1,65m; 1,65m;<br />
1,68m; 1,69m; 1,70m; 1,71m; 1,71m; 1,75m; 1,75m; 1,78m; 1,78m; 1,80m.<br />
El promedio para este caso se puede determinar de dos maneras:<br />
La primera ya la conoce (suma todos los valores y al resultado lo<br />
divide por el total de observaciones o determinaciones)<br />
1,55 + 1,58 + 1,59 + 1,60 + 1,63 + 1,63 + 1,63 + 1,64 + 1,65 + 1,65<br />
+ 1,68 + 1,69 + 1,70 + 1,71+ 1,71 + 1,75 + 1,75 + 1,78 + 1,78 +<br />
1,80 = 33,50<br />
33,50 m : 20<br />
Promedio = 1,675 m<br />
La segunda permite abreviar un poco los cálculos utilizando la tabla.<br />
estatura en m<br />
(se excluye el extremo<br />
superior del intervalo)<br />
1,50m.....1,60m<br />
1,60m.....1,70m<br />
1,70m.....1,80m<br />
1,80m.....1,90m<br />
Totales<br />
cantidad de alumnos<br />
(frecuencia absoluta)<br />
3<br />
9<br />
7<br />
1<br />
20<br />
1.Se busca el promedio entre los extremos de cada uno de los intervalos:<br />
(1,50 + 1,60) : 2 = 1,55<br />
(1,60 + 1,70) : 2 = 1,65<br />
(1,70 + 1,80) : 2 = 1,75<br />
(1,80 + 1,90) : 2 = 1,85<br />
2.Se multiplica cada uno de estos promedios parciales por la respectiva<br />
frecuencia absoluta; se efectúa la suma y al resultado se lo<br />
divide por el número de datos (en este caso, 20)<br />
(1,55 . 3 + 1,65 . 9 + 1,75 . 7 + 1,85 . 1 ) : 20 = 33,60 : 20 = 1,68
El promedio no coincide con el anterior. Ello se debe que no hemos<br />
trabajado con las mediciones exactas obtenidas con cada uno de<br />
los alumnos.<br />
No obstante, la aproximación será tanto mejor cuantos más datos<br />
haya agrupados. Por eso, aunque se conozcan los valores de la variable,<br />
si el número de observaciones es muy grande, resulta conveniente<br />
hacer los cálculos a partir de la tabla de datos agrupados.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº73<br />
En una clase de matemática se pidió a los alumnos que estimaran<br />
“a ojo" la longitud de la mesa que utiliza el profesor.<br />
Las respuestas fueron (en cm):<br />
200; 205; 195; 180; 190; 203; 205; 200; 197; 199;<br />
205; 200; 210; 193; 187; 200; 175; 215; 225; 200;<br />
185; 177; 193; 195; 198; 205; 190; 192; 200; 200;<br />
200; 175; 215; 224; 200; 199; 197; 200; 205; 203.<br />
Organice los datos según una tabla de frecuencias absolutas<br />
usando los intervalos siguientes:<br />
175 - 185<br />
185 - 195<br />
195 - 205<br />
205 - 215<br />
215 - 225<br />
Recuerde que el extremo inferior pertenece al intervalo mientras<br />
que el extremo superior pertenece al intervalo siguiente.<br />
Haga un diagrama.<br />
Determine el promedio de la longitud estimada de la mesa.<br />
97
98<br />
Valor obtenido<br />
Frecuencia absoluta<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº74<br />
Se ha lanzado un dado 120 veces y se han recogido los resultados<br />
obtenidos en la siguiente tabla:<br />
1<br />
18<br />
2<br />
22<br />
Haga el gráfico correspondiente.<br />
Determine el promedio de los valores hallados.<br />
Determine la frecuencia relativa y su respectivo porcentaje.<br />
¿Cómo se distribuyen los valores?<br />
II. Desvío estándar<br />
3<br />
19<br />
Actividad Nº75<br />
Los integrantes de dos equipos de una localidad han sumado<br />
a lo largo del año los siguientes puntajes (ya ordenados en<br />
forma creciente):<br />
Equipo Mburucuyá:<br />
183; 184; 187; 188; 189; 189; 193; 196; 199; 202; 203;<br />
204; 206; 207.<br />
Equipo Atlético Junior:<br />
186; 186; 190; 191; 192; 193; 195; 196; 197; 198; 200; 201;<br />
202; 203;<br />
4<br />
18<br />
5<br />
23<br />
6<br />
20
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Determine el promedio de los puntajes de cada equipo.<br />
Haga el diagrama de barras tomando intervalos de cinco en<br />
cinco, comenzando desde 180 y terminando en 210.<br />
¿Cómo han resultado los dos promedios?<br />
¿Cómo son los gráficos que ha obtenido?<br />
Como usted pudo apreciar al resolver la actividad, los promedio<br />
son iguales pero las distribuciones de los valores en cada gráfico es<br />
bastante diferente. Por lo tanto el promedio es insuficiente para<br />
analizar una serie de muestras porque nada dice si los valores son<br />
cercanos al promedio.<br />
Los puntajes de los integrantes del equipo Mburucuyá son menos<br />
parejos que los del equipo Atlético Junior ya que en el primer equipo<br />
hay puntajes más extremos.<br />
Se necesita, además del promedio (o media), otro parámetro que<br />
mida cómo están dispersos los datos con relación a ese promedio.<br />
Ese parámetro se denomina desviación estándar. Se lo abrevia así: o<br />
El desvío estándar permite estimar la variación (o dispersión), es<br />
decir, en qué medida los datos se diseminan o reparten alrededor<br />
del valor medio. Es sumamente útil en estadística ya que indica, si<br />
su valor es pequeño, que los datos obtenidos están muy cercanos al<br />
promedio. Esto significa que la población estudiada no presenta<br />
una gran dispersión.<br />
La utilización del desvío estándar es muy común cuando se hace<br />
un estudio estadístico acerca de un suceso social, biológico, matemático,<br />
físico, etc.<br />
Las estaturas correspondientes a tres equipos de fútbol A, B y C se<br />
distribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan a<br />
continuación.<br />
A B C<br />
—<br />
X 175 175 175<br />
99
100<br />
SD<br />
M+<br />
o n<br />
Equipo A Equipo B<br />
Equipo C<br />
Observe que los tres equipos tienen igual medio<br />
o promedio de estatura, pero en el equipo<br />
B los valores son más extremos que en los<br />
otros dos, la dispersión es alta.<br />
En el equipo C la mayoría de los jugadores tienen<br />
tallas cercanas al promedio, la dispersión<br />
es baja.<br />
¿Cómo calcular el desvío estándar?<br />
Con la calculadora:<br />
Si dispone de una calculadora científica deberá apretar una tecla o<br />
una secuencia de textos para que en la pantalla aparezca "SD".<br />
Después de esta operación ingrese los datos que tenga y cada vez que<br />
aparezca uno de ellos en la pantalla, deberá apretar la tecla "M+".<br />
Una vez finalizada la entrada de todos los datos, proceda de esta<br />
manera:<br />
1. Para conocer el promedio, apriete la tecla que tiene X<br />
2. Para conocer el desvío estándar, apriete la tecla que tiene o n<br />
De todas formas es aconsejable consultar el manual de uso de la calculadora<br />
ya que la forma de trabajar con ellas varía según las marcas.<br />
En síntesis, respecto del significado de la desviación estándar, se<br />
puede afirmar que cuanto mayor es la desviación estándar, más<br />
dispersos están los datos respecto del promedio o media aritmética.
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº76<br />
Los siguientes gráficos se publicaron en el diario Clarín el<br />
30/<strong>11</strong>/97. Analice la información y responda las preguntas.<br />
¿Cuál es el porcentaje de crecimiento de infectados con H<strong>IV</strong><br />
en el mundo entre los años 96 y 97?<br />
¿Cuántos pacientes pediátricos nuevos hay en el año 1997?<br />
¿Qué porcentaje de personas hay en el mundo con H<strong>IV</strong> cuya<br />
infección tiene origen desconocido?<br />
101
102<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº77<br />
Analice la información que brindan los siguientes gráficos y<br />
luego responda las preguntas.<br />
Analice los porcentajes de desempleo en enero de 1993 de<br />
Alemania Sector Occidental e Italia ¿cuál tiene mayor índice?.<br />
¿Cuántos desocupados había en Gran Bretaña en febrero de<br />
1993 en una comunidad de 50.000 personas en edad activa?<br />
(Se supone constante el porcentaje en todo el territorio).<br />
Explique por qué se hace la aclaración entre paréntesis en la<br />
pregunta anterior.
Claves de Corrección<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº1<br />
1<br />
4<br />
5<br />
8<br />
7<br />
10<br />
• •<br />
• •<br />
0 2<br />
3<br />
1<br />
Los números están entre 0 y 1.<br />
El numerador es menor que el denominador<br />
En la segunda columna todos los números fraccionarios son<br />
mayores que 1 y el numerador es mayor que el denominador.<br />
En la tercer columna el numerador y el denominador son iguales, las<br />
fracciones son equivalentes a 1.<br />
103
104<br />
8<br />
3<br />
7<br />
2<br />
a<br />
3<br />
4<br />
6<br />
8<br />
9<br />
12<br />
12<br />
16<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº2<br />
Una fracción es menor que 1 si el numerador es menor que el denominador.<br />
Es mayor que 1 si el numerador es mayor que el denominador.<br />
Será igual a 1, si numerador y denominador son iguales y a cualquier<br />
otro número entero si el numerador es múltiplo del denominador.<br />
Actividad Nº3<br />
entre 2 y 3<br />
entre 3 y 4<br />
2<br />
5<br />
7<br />
2<br />
Actividad Nº4<br />
-<br />
entre 0 y 1<br />
entre -4 y -3<br />
- 5<br />
4<br />
12 5<br />
entre -2 y -1<br />
entre 2 y 3<br />
Son iguales.<br />
La representación, en todos los casos es el mismo punto.
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº5<br />
2<br />
3<br />
4<br />
8<br />
6<br />
4<br />
= 4 = 8 6<br />
6 12<br />
= =<br />
9<br />
= 2 = 40 1<br />
4 80<br />
= =<br />
2<br />
20<br />
30<br />
7<br />
14<br />
= 12 = 3 15 150<br />
8 2<br />
= =<br />
10 100<br />
No son las únicas.<br />
Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes.<br />
Actividad Nº6<br />
La respuesta a esta actividad es muy variada, ya que las fracciones<br />
equivalentes son infinitas.<br />
Actividad Nº7<br />
Esta otra actividad, también admite infinitas respuestas. Las siguientes<br />
son algunas posibles.<br />
9 y 2<br />
6 6<br />
9<br />
12<br />
y<br />
y<br />
10<br />
12<br />
16 5<br />
10 10<br />
Actividad Nº8<br />
:4<br />
24 =<br />
36<br />
:4<br />
6<br />
9<br />
:6<br />
24 =<br />
36<br />
:6<br />
4<br />
6<br />
:12<br />
24 =<br />
36<br />
:12<br />
2<br />
3<br />
105
106<br />
a<br />
b<br />
a<br />
8<br />
5<br />
b<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
Actividad Nº9<br />
Pueden obtenerse 5.<br />
Para obtener una fracción equivalente por amplificación, se debe<br />
multiplicar el numerador y el denominador, por un mismo número.<br />
Y para obtenerlas por simplificación, se divide numerador y denominador<br />
por un mismo número.<br />
Actividad Nº10<br />
y 24 Si 30 y 3 Si 1 y 4 No 18 y 6 Si 6 y 18 No<br />
15 20 2 3 15 15 5 4 8<br />
Consulte con el docente sus respuestas. Aquí le damos sólo algunas<br />
posibles respuestas:<br />
= ó = se dividió numerador y denominador por 3<br />
= se simplificó por 10 numerador y denominador<br />
No son equivalentes porque no se puede obtener la primera ( )<br />
simplificando la Segunda ( )<br />
= se simplifica por 6 numerador y denominador ó =<br />
Para obtener 18 al 6 hay que multiplicarlo por 3; pero, entonces la<br />
2da 8 x 3 24 24 8<br />
5 x 3 15 15 5<br />
30 3<br />
20 2<br />
1<br />
3<br />
4<br />
15<br />
18 6<br />
6.3 18<br />
15 5<br />
5.3 15<br />
fracción debería tener 9 de denominador, como tiene 8 no son<br />
equivalentes.<br />
Actividad Nº<strong>11</strong><br />
100<br />
75 =<br />
12<br />
18 =<br />
36<br />
12<br />
=<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
8<br />
20 =<br />
120<br />
30 =<br />
15<br />
25<br />
=<br />
2<br />
5<br />
4<br />
3<br />
5
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº12<br />
5<br />
2<br />
; 5 3 ; 5 4 ; 5 6 ; 5 7<br />
1<br />
3 ; 2 3 ; 4 3 ; 5 3 ; 7 3<br />
1<br />
2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; 1 6<br />
Actividad Nº13<br />
3<br />
4 =<br />
1<br />
5 =<br />
9<br />
10 =<br />
75 = 75%<br />
100<br />
20 = 20%<br />
100<br />
90 = 90%<br />
100<br />
Actividad Nº14<br />
; ...<br />
; ...<br />
; ...<br />
El negativo, por que es menor.<br />
El negativo. Todos los números negativos son menores que cualquier<br />
positivo.<br />
Actividad Nº15<br />
Marque ambos números en la recta.<br />
3<br />
12 < 5 12<br />
Cuando dos fracciones tienen igual denominador, la menor es la que<br />
tiene el menor numerador.<br />
107
108<br />
a<br />
b<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
h<br />
Actividad Nº16<br />
Depende del gráfico.<br />
Es menor la que tiene mayor denominador.<br />
Actividad Nº17<br />
a 3 1<br />
10 2<br />
2<br />
5<br />
No<br />
Sí<br />
20<br />
1<br />
2<br />
< 3 4<br />
2<br />
5<br />
f 2<br />
5<br />
= 8<br />
20<br />
3<br />
4<br />
= 15<br />
20<br />
g<br />
8<br />
20<br />
< 15<br />
20<br />
También en este caso el denominador común puede ser 20.<br />
= 10<br />
20<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2 > 3 10<br />
3<br />
10 = 6 y<br />
20<br />
;<br />
6<br />
20<br />
10<br />
20<br />
Para reconocer cuál es mayor, reemplazamos ambas fracciones por<br />
equivalentes, pero que tengan el mismo denominador. Luego las<br />
comparamos a través de sus numeradores.<br />
Actividad Nº18<br />
a<br />
- 3<br />
4<br />
< -<br />
b<br />
- 2<br />
3<br />
< -<br />
c<br />
- 2<br />
3<br />
< -<br />
2<br />
4<br />
2<br />
4<br />
3<br />
5<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº19<br />
7<br />
4<br />
3<br />
4<br />
de kilogramo pesan más que 3 de kilogramo porque:<br />
2<br />
3<br />
2<br />
= 6<br />
4<br />
y 7<br />
4<br />
> 6<br />
4<br />
de pulgadas es más grande que 5 de pulgadas porque:<br />
8<br />
3<br />
4<br />
= 6<br />
8<br />
y 6<br />
8<br />
> 5<br />
8<br />
5<br />
3 > 4 3<br />
3<br />
10 > 4 15<br />
Actividad Nº20<br />
1<br />
4 > - 5<br />
2<br />
7<br />
2 =<br />
4<br />
9 > 2<br />
5<br />
6<br />
10 < 18<br />
8<br />
= 9<br />
4<br />
9<br />
15<br />
8<br />
3 < - - -<strong>11</strong><br />
4<br />
Porque sumamos porciones del mismo entero, y en este caso estaba<br />
dividido en 8 porciones iguales.<br />
Para sumar o restar fracciones de igual denominador sólo debemos<br />
sumar o restar (según corresponda) los numeradores; el denominador<br />
del resultado es el mismo que el de las fracciones dadas.<br />
1<br />
5<br />
+ 2 =<br />
5<br />
3<br />
5<br />
7 + 3<br />
12<br />
= 10<br />
12 12<br />
Actividad Nº21<br />
2<br />
3<br />
= 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9<br />
8 12 16 20 24 28 32 36<br />
= 10 = = = = = = =<br />
12 15<br />
18 20 25<br />
24 30 30<br />
36 35<br />
42 40<br />
48 45<br />
1<br />
4<br />
5<br />
6<br />
54<br />
- 1 =<br />
3<br />
21 6<br />
1<br />
3<br />
<strong>11</strong> 3<br />
+ 7 =<br />
3<br />
Infinitas.<br />
Si.<br />
Si, se podrían hallar diferentes grupos de fracciones equivalentes a<br />
las dadas.<br />
Infinitas.<br />
21<br />
12<br />
porque<br />
2<br />
3<br />
+<br />
1<br />
4<br />
+<br />
5 6<br />
=<br />
8 12<br />
+ 3 + 10<br />
12 12<br />
=<br />
21<br />
12<br />
18<br />
3<br />
109
<strong>11</strong>0<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº22<br />
30.<br />
2 = 2.10 = 20 9<br />
3<br />
= 9.3 = 27 5<br />
3.10<br />
= 5.5 = 25<br />
30 10 10.3 30 6 6.5 30<br />
2<br />
3<br />
+ 9 - 5 = 20<br />
10 6 30<br />
+ - = 27<br />
30 25<br />
30 22<br />
30<br />
Actividad Nº23<br />
1 + 3 =<br />
4<br />
2 - 1<br />
3<br />
=<br />
1 + 1 =<br />
4 2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
- 1 =<br />
4<br />
- 1 =<br />
8<br />
7<br />
4<br />
5<br />
3<br />
3<br />
4<br />
1<br />
4<br />
5<br />
8<br />
1 + 1 -1= - 2<br />
4 4 4<br />
Actividad Nº24<br />
5 1 <strong>11</strong><br />
12 12 12 15<br />
- + = =<br />
12<br />
5<br />
3<br />
- 5<br />
6<br />
=<br />
5<br />
6<br />
3 + 1 - 7 = 1<br />
10 5 15 30<br />
2 - <strong>11</strong> + 1 = -<br />
2 4<br />
13<br />
4<br />
35<br />
24<br />
5<br />
4<br />
15 - 5 - 1 = 9 = 1<br />
9 6 3 18 2<br />
3 + 1 - 7 =<br />
4 24<br />
ó 1+<br />
= -<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº26<br />
a<br />
En una multiplicación de fracciones el numerador del producto se<br />
obtiene multiplicando los numeradores de las fracciones, y el denominador,<br />
multiplicando los denominadores de las fracciones dadas.<br />
b En forma simbólica: a . c<br />
b d<br />
= a.c<br />
b.d<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
Actividad Nº25<br />
El rectángulo representa el campo. Horizontalmente<br />
divídalo en quintos.<br />
Sombree cuatro quintos (<br />
4<br />
5<br />
)<br />
Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto<br />
por la mitad.<br />
Remarque una de las mitades que sombreó.<br />
El campo quedó "cuadriculado". Cada cuadro es<br />
La<br />
1<br />
de<br />
4<br />
2 5<br />
es<br />
4<br />
10<br />
Actividad Nº27<br />
2<br />
3 420=280 .<br />
8<br />
5<br />
.<br />
(2- 1 )= 8 . = = =<br />
2 5 3 8.3 24 12<br />
2 5.2<br />
10 5<br />
1 3 3<br />
50 4 200<br />
= .<br />
3<br />
4<br />
1<br />
3<br />
3<br />
4 = .<br />
1<br />
4<br />
1<br />
10<br />
La operación “de” entre fracciones significa multiplicación, por ello:<br />
(<br />
Hay 280 hombres.<br />
180=135 Contestaron afirmativamente 135 personas<br />
.<br />
Sólo la cuarta parte de los televidentes terminaron<br />
de ver el partido.<br />
<strong>11</strong>1
<strong>11</strong>2<br />
Actividad Nº28<br />
a 9 botellas porque 3 de 12 es 3 . 12 = 9<br />
4 4<br />
b $ 190.<br />
c 3.600.000 argentinos podrían ir a la escuela.<br />
d 15 jugadores.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
b<br />
Actividad Nº29<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2<br />
5 15 . =<br />
4<br />
7<br />
8<br />
15 2<br />
. 4 =<br />
3<br />
(- ) 1<br />
16<br />
4 1 =<br />
2<br />
4<br />
5 1 . .<br />
3<br />
=<br />
1<br />
8<br />
3<br />
2<br />
7<br />
6<br />
d) 12 . 15 = 18<br />
5 2<br />
e) - 7 . (- 4 )=<br />
8 3<br />
f)<br />
5<br />
12 4 5 4 . .<br />
3<br />
=<br />
20 9<br />
3 4 1 2 g) . .<br />
5<br />
= 3<br />
7<br />
6<br />
4<br />
9<br />
h) - 3 16<br />
8<br />
.<br />
3<br />
= -2<br />
i)<br />
j)<br />
k)<br />
l)<br />
15<br />
8<br />
. 2 . 1<br />
5 30<br />
= 1<br />
40<br />
2<br />
5<br />
3<br />
4<br />
3<br />
7<br />
. 5 =<br />
2<br />
. 4 =<br />
3<br />
. 7 =<br />
3<br />
Inversas.<br />
Tienen cambiado de orden el numerador y el denominador.<br />
3<br />
4<br />
4<br />
3<br />
1<br />
2<br />
Si, el resultado será 1<br />
Actividad Nº30<br />
a)<br />
1<br />
:<br />
4<br />
3 3 =<br />
8<br />
15: =<br />
4 b)<br />
5<br />
1<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
7 8<br />
8<br />
7<br />
c) 12<br />
:<br />
4<br />
= 3 -3<br />
5 5<br />
e) -<br />
12<br />
5 :<br />
4<br />
5 =<br />
d)<br />
Actividad Nº31<br />
a 3<br />
(- 1 ) = -<br />
2<br />
2<br />
:<br />
1<br />
= 2 2<br />
5 5<br />
f) -<br />
2<br />
: (-<br />
1<br />
5 5 ) =<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 4<br />
21<br />
15: = 1<br />
7 g)<br />
5<br />
h) -<br />
2<br />
: 8 =- 1<br />
5 20
c<br />
d<br />
e<br />
Actividad Nº32<br />
( ) 4<br />
25<br />
2<br />
a) 2 =<br />
5<br />
( ) 1<br />
81<br />
4<br />
b) 1 =<br />
3<br />
( ) 3<br />
c) 2 =<br />
3<br />
(- ) 4<br />
d) 1 =<br />
2<br />
8<br />
27<br />
1<br />
16<br />
Actividad Nº33<br />
3 a ( 2 ) = 8<br />
3 27<br />
b<br />
d<br />
e<br />
f<br />
( ) 2 3 = 9<br />
5 25<br />
( ) 2 10 = 100<br />
3 9<br />
( ) 3 4 = 64<br />
3 27<br />
( ) 2 10 = 100<br />
7 49<br />
Actividad Nº34<br />
a : + ( ) 2 3 =<br />
4 5 3<br />
8 2<br />
6<br />
5<br />
+ 9 = 69<br />
4 20<br />
3 . 5 2<br />
3<br />
- 1 = 5<br />
4<br />
- : =<br />
3 4 12<br />
8 20<br />
9 3<br />
( ) 64<br />
125<br />
3<br />
e) 4 =<br />
5<br />
(- ) 27<br />
64<br />
3<br />
f) 3 = -<br />
4<br />
c - (- ) + (- ) 2<br />
2<br />
=-<br />
5 3 . 3 3 3 + 9 = 169<br />
10 5 2 50 4 100<br />
(2 - ): + ( ) 3 3 = 2 +<br />
4 5 1<br />
8 2<br />
2<br />
3<br />
( 8 - ) : =<br />
9 5 . 20<br />
3 3<br />
7<br />
90<br />
1<br />
8<br />
- (- ) + (1- ) 333<br />
200<br />
2<br />
9 .<br />
3 3 + 7 =<br />
10 5 2 8<br />
2<br />
g (- 3 ) : 5 + 9 ( + ) =<br />
4 2 10 1 4 3 2<br />
1325<br />
72<br />
393<br />
160<br />
3 h (- 2 ) : 2 + 2 : - . = -<br />
3 9 3 8 15<br />
9 13 26 3<br />
i (2+ - ) 3<br />
+ (- ) 2<br />
2 1 5 =<br />
3 6 3<br />
127<br />
12<br />
( ) 4<br />
(- )<br />
h) 3 =<br />
2<br />
5<br />
g) 1 = -<br />
2<br />
81<br />
16<br />
1<br />
32<br />
<strong>11</strong>3
<strong>11</strong>4<br />
Actividad Nº35<br />
el peso del pan<br />
el saldo de una cuenta bancaria<br />
la duración de un partido de fútbol<br />
el importe de una factura de luz<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Situación Fracción Decimal<br />
Actividad Nº36<br />
23,5 x 10,02 = 235,47<br />
4,36 : 2 = 2,18<br />
3,45 + 0,638 + 0,12 = 4,208<br />
2,1 x 4,024 = 8,4504<br />
262,56 : 1,98 = 132,60606<br />
Actividad Nº37<br />
3 3 125=5 pues 5 = 125<br />
3 3 -8=-2 pues (-2) = -8<br />
5 5 1=1<br />
pues 1 = 1<br />
= pues ( ) 3<br />
3<br />
27 3 3 =<br />
8 2 2<br />
e 3 3 0,008 = 0,2 pues 0,2 = 0,008<br />
f<br />
g<br />
h<br />
5<br />
<br />
27<br />
8<br />
= - pues (- ) 5<br />
-<br />
1 1 1<br />
32<br />
=- 1<br />
2 2 32<br />
Si, son los únicos números que elevados a la potencia<br />
correspondiente en cada caso dan por resultado el radicando.<br />
El mismo que el radicando, depende de este.<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº38<br />
<br />
36 =±6<br />
4 =±2<br />
4 16 =±2<br />
9 4<br />
4<br />
16<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
Actividad Nº39<br />
16, 25, 36 y 49<br />
- 27, - 8, -1, 0, 1 y 8<br />
16 4<br />
81<br />
=±<br />
=±<br />
, 9 4 , 4 4<br />
y<br />
1<br />
4<br />
3 -1 =-1<br />
4 81 =3<br />
25=± 4<br />
6 1<br />
=±2<br />
Actividad Nº40<br />
5<br />
2<br />
3 1000 =10<br />
a <br />
<strong>11</strong> =3,316624..... truncado 3,31 y redondeo 3,32<br />
b<br />
c<br />
e<br />
5<br />
- 1 =-<br />
32<br />
1<br />
2<br />
<br />
0,09=0,3<br />
38 : <strong>11</strong>0=0,34545445...... truncado 0,34 y redondeo 0,35<br />
<br />
6 =2,4494897... truncado 2,44 y redondeo 2,45<br />
<br />
-4 =no tiene solución<br />
d 3. 24<br />
=3. 4,89897948... = 14,696938456.... truncado 14,69 y<br />
redondeado 14,70<br />
3 2 =0,259921...... truncado 0,25 y redondeado 0,26<br />
f 4,375 + 23, 318 =27,693 truncado 27,69 y redondeado 27,69<br />
Actividad Nº41<br />
4,787 metros<br />
$ 32,48<br />
13,59 cm 2<br />
<strong>11</strong>5
<strong>11</strong>6<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
d<br />
e<br />
c<br />
d<br />
Actividad Nº42<br />
10 2 = 100<br />
10 3 = 1.000<br />
10 4 = 10.000<br />
10 5 = 100.000<br />
10 6 = 1.000.000<br />
Actividad Nº43<br />
0,3 . 10 -4 = 0,3 x 0,0001 = 0,00003<br />
3,2 . 10 -2 = 3,2 x 0,01 = 0,032<br />
3,4 . 10 4 = 3,4 x 0,0001 = 0,00034<br />
6,84 . 10 -2 = 6,84 x 0,01 = 0,0684<br />
3.3, 3 y 6.<br />
10 7 = 10.000.000<br />
10 8 = 100.000.000<br />
10 9 = 1.000.000.000<br />
10 10 = 10.000.000.000<br />
Hay tantos ceros como indica el exponente.<br />
2,4 . 10 4 = 2,4 x 10.000 = 24.000<br />
5,13 . 10 2 = 5,13 x 100 = 513<br />
3,8 . 10 5 = 380.000<br />
0.3 . 10 3 = 300<br />
3,4 . 10 = 34<br />
3,48 . 100 = 348<br />
3,485 . 1.000 = 3.485<br />
3,5 . 10<br />
2,84 . 100<br />
0,375 . 1.000<br />
1<br />
100<br />
1<br />
1.000<br />
1<br />
10.000<br />
1<br />
1.000.000<br />
b<br />
( ) 3 1 =<br />
10<br />
( ) 5 1 =<br />
10<br />
( ) 4 1 =<br />
10<br />
( ) 2 1 =<br />
10<br />
1<br />
1.000<br />
1<br />
100.000<br />
1<br />
10.000<br />
1<br />
100<br />
Hay tantos ceros como indica el exponente.
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº44<br />
12700 km = 1,27 X (10) 4 km<br />
0,00000063 m = 6,3 X (10) -7 m<br />
2.000.000 km = 2 X (10) 6 años luz<br />
0,0000000000000000000000266 gramos = 2,66 X (10) -23 g<br />
Actividad Nº45<br />
2 X (10) -7 milímetros = 0,0000002 mm<br />
5,9 X (10) 9 km = 5.900.000.000 km<br />
2,5 X (10) -2 milímetros = 0,025 mm<br />
5,43 X (10) 4 = 54.300<br />
Actividad Nº46<br />
3,7 x 10-5 3,5 x 10-4 5 x 10-4 1,2 x 102 2,6 x 103 1,25 x 108 1,25 x 109 Actividad Nº47<br />
No<br />
Mayor.<br />
Uno cualquiera de los lados de un triángulo debe ser mayor que la<br />
diferencia y menor que la suma de los otros dos.<br />
<strong>11</strong>7
<strong>11</strong>8<br />
Actividad Nº48<br />
Triángulo 1, es equilátero y acutángulo<br />
Triángulo 2, es escaleno y rectángulo<br />
Triángulo 3, es escaleno y rectángulo<br />
Triángulo 4, es isósceles y rectángulo<br />
Triángulo 5, es escaleno y obtusángulo<br />
Triángulo 6, es isósceles y obtusángulo<br />
Actividad Nº49<br />
Una vez realizados los pasos a) y b) comprobará que suman 180º<br />
"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180º"<br />
Actividad Nº50<br />
a) C=48º ^ e) B=67º ^<br />
b) B=40º ^ f) B=C=50º ^ ^<br />
c) A=67º ^ 10’<br />
g) B=40º ^<br />
d) A=103º ^ 37’<br />
h) A=B=C=60º ^ ^ ^<br />
Actividad Nº51
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº52<br />
Actividad Nº53<br />
Nueve da cada diez es lo mismo que 90 de cada 100, por lo tanto es<br />
el 90%.<br />
Al hablar de porcentajes, cuando la intención no es hacer cálculos,<br />
lo que es frecuente hacer es estimar lo que significa ese porcentaje.<br />
En este caso el 98% significa que es casi el total de efectividad (100 %),<br />
un nivel altísimo.<br />
55 %, más de la mitad de los votantes.<br />
Actividad Nº54<br />
La idea que en general está asociada a la palabra estadística, es muy<br />
cercana al concepto matemático. Si usted duda de su respuesta<br />
consúltela con su docente.<br />
Actividad Nº55<br />
Se reconocen como gráficos estadísticos porque representan la<br />
cantidad de veces o la proporción respecto del total de la población<br />
considerada de diferentes valores.<br />
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación<br />
<strong>11</strong>9
120<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
e<br />
f<br />
Actividad Nº56<br />
Comente la respuesta con su docente.<br />
Actividad Nº57<br />
En el Censo Nacional Agopecuario que realiza el INDEC se releva<br />
información sobre todas las explotaciones agropecuarias del país.<br />
Incluye el número de productores por actividad; tamaño de las<br />
explotaciones; maquinaria agrícola; instalaciones; riego; mano de<br />
obra; inversiones y el uso de la tierra.<br />
La actividad agropecuaria es muy importante para el país. Con los<br />
datos del censo es posible, entre otras cosas, realizar diagnósticos<br />
sobre la producción, diseñar estrategias para mejorar el<br />
funcionamiento del sector, orientar las inversiones futuras.<br />
Actividad Nº58<br />
El 2º, ya que se elige a diez alumnos por azar del total del alumnado<br />
de la escuela y no a 10 de 5º grado en particular. En el desarrollo de<br />
este tema se hizo referencia a la importancia de que la muestra sea<br />
tomada al azar.<br />
Consulte su respuesta con su docente.<br />
Actividad Nº59<br />
Discreta, se trata de contar. El número que podemos registrar es un<br />
número natural.<br />
Continua, porque es una medida. El número que podemos utilizar es<br />
un número racional, además de entero puede ser un valor<br />
intermedio.<br />
Discreta.<br />
Discreta.<br />
Discreta.
g<br />
Continua. Normalmente expresamos la edad sólo en años, pero la<br />
edad exacta de una persona es una medida que puede tomar<br />
cualquier valor mayor que cero y menor que... quien sabe.<br />
Actividad Nº60<br />
a La población está formada por todos los alumnos de EGB a<br />
distancia.<br />
b, c y d Si tiene dudas con las respuestas que dio consulte con su<br />
docente. Algunos ejemplos posibles son: edad, estado civil, lugar de<br />
residencia, cantidad de hijos, cantidad de años que hace que<br />
completó la primaria, si tiene empleo fijo, etc.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº61<br />
El total es de 40 alumnos.<br />
6 alumnos sacaron 9 o 10.<br />
Resultaron aplazados 9 alumnos (2 sacaron 1, 4 alumnos sacaron 2<br />
y 3 sacaron 3 puntos).<br />
La calificación 5 es la más frecuente (se repite 7 veces).<br />
Actividad Nº62<br />
La frecuencia absoluta de 10, es 4.<br />
La de los aplazos es 2, 4 y 3, para las calificaciones 1, 2 y 3<br />
respectivamente, o sea 9 en total.<br />
La mayor frecuencia absoluta es 7.<br />
121
122<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº63<br />
Actividad Nº64<br />
La frecuencia es mayor en el intervalo 60 y más años.<br />
Es de 18,4 %, porque 3,4 % no asistió nunca a la escuela y el 15 %<br />
asistió pero no completó el nivel .<br />
Completó la primaria el 87,5 %, al total de la población de esa edad<br />
(100 %) se le resta el 2,3 % que corresponde a los que nunca<br />
asistieron y el 10,2 % de los que no la terminaron.<br />
Actividad Nº65<br />
Encuesta.<br />
Extranjeros que vistan Buenos Aires.<br />
Recoleta.<br />
estatura en m<br />
(se excluye el extremo<br />
superior del intervalo)<br />
1,50m.....1,60m<br />
1,60m.....1,70m<br />
1,70m.....1,80m<br />
1,80m.....1,90m<br />
Totales<br />
Gobierno de la ciudad.<br />
Actividad Nº66<br />
El total es de 66.684.700 cabezas de ganado.<br />
Vacuno: 75,06% Ovino: 19,79% Caprino: 5,14%.<br />
3 provincias: Buenos Aires, Córdoba y Santa Fe.<br />
cantidad de alumnos<br />
(frecuencia absoluta) (frecuencia relativa)<br />
3<br />
10<br />
6<br />
1<br />
20<br />
0,15<br />
0,5<br />
0,3<br />
0,05<br />
1
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
e<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº67<br />
En el eje de las abscisas se indican los años.<br />
En el eje de las ordenadas se indica porcentaje de votantes sobre<br />
total de empadronados.<br />
Porque en 1916 se sancionó la Ley Saenz Peña que estableció el voto<br />
obligatorio, universal y secreto.<br />
El porcentaje fue mayor en el año 1958 (90.9 %).<br />
Del Centro de Estudios Unión para la Nueva Mayoría.<br />
Actividad Nº68<br />
El porcentaje de Leyes sancionadas en relación con los proyectos<br />
presentados es de 8,37%<br />
En el año 1986.<br />
Actividad Nº69<br />
Poco democrática : aproximadamente 98.<br />
Muy democrática : aproximadamente 15.<br />
Nada democrática : aproximadamente 19.<br />
Actividad Nº70<br />
a y b En la tabla además de la frecuencia absoluta y la relativa<br />
hemos agregado una columna más con el porcentaje de cada uno<br />
de los valores. Recuerde que el porcentaje se obtiene multiplicando<br />
por 100 la frecuencia relativa.<br />
cantidad de<br />
hermanos<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
Totales<br />
Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje<br />
2<br />
<strong>11</strong><br />
13<br />
15<br />
7<br />
1<br />
1<br />
50<br />
0,04<br />
0,22<br />
0,26<br />
0,3<br />
0,14<br />
0,02<br />
0,02<br />
1<br />
4%<br />
22%<br />
26%<br />
30%<br />
14%<br />
2%<br />
2%<br />
100%
124<br />
c<br />
d<br />
e<br />
f<br />
g<br />
h<br />
frecuencia<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
La variable estadística es "El número de hermanos". Los valores, en<br />
este caso, van del 1 al 7.<br />
La variable es cuantitativa discreta ( toma valores sueltos).<br />
Fueron encuestados 50 alumnos.<br />
Hay 9 alumnos que tienen más de 4 hermanos (7 tienen 5<br />
hermanos, 1 tiene 6 y 1 tiene 7).<br />
Que tienen entre 2 y 3 hermanos hay 24 alumnos (<strong>11</strong> tiene 2 y 13<br />
tienen 3 hermanos)<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
cantidad de hermanos<br />
Actividad Nº71<br />
No, pues para que el promedio sea 7 o todas las calificaciones son 7<br />
(que no es este caso), o algunas por encima y otras por debajo de 7<br />
(algunas eximidas y otras no).<br />
Significa que las materias tienen una calificación "alrededor" de 7,<br />
algunas más otras menos (como educación física y música); pero<br />
entre ellas se "compensan", lo que una tiene por encima del<br />
promedio, la otra lo tiene por debajo de ese valor.<br />
Actividad Nº72<br />
180 + 210 + 205 + 208 + 204 + 209 + 185 + 188 + 186 + 200 + 195<br />
+ 192 + +193 + 194 + 194 + 199 + 198 + 199 + 190 = 3729. Como<br />
son 19 , dividimos esta suma por 19 y obtenemos que el producto es<br />
de 196,26 cm<br />
Los promedios son muy similares, Atlético Junior tiene un promedio<br />
levemente superior.<br />
P l a n S o c i a l E d u c a t i v o
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
Actividad Nº73<br />
frecuencia<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
Longitud<br />
175-185<br />
185-195<br />
195-205<br />
205-215<br />
215-225<br />
Totales<br />
Frecuencia absoluta<br />
4<br />
7<br />
19<br />
6<br />
4<br />
40<br />
0 175,185 185,195 195,205 205,215 215,225<br />
La media si la tomamos de los datos no agrupados, que es la exacta,<br />
es de 198,4 cm. Si usted la calcula a través de la tabla, va a obtener<br />
un promedio algo distinto 199,5 cm. Esto es por el error que se<br />
comete al generalizar los datos que pertenecen al mismo intervalo.<br />
Actividad Nº74<br />
frecuencia<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
estaturas<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Valor obtenido<br />
El promedio de los valores hallados es 20 . Porque la suma de todas<br />
las frecuencias absolutas es 120 y la cantidad de valores posibles son<br />
6, o sea que habrá que dividir 120 entre 6 (120 : 6).<br />
125
126<br />
c<br />
Valor obtenido Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje<br />
d<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
18<br />
22<br />
19<br />
18<br />
23<br />
20<br />
0,15<br />
0,183<br />
0,158<br />
0,15<br />
0,192<br />
0,167<br />
Las seis caras salieron un número similar de veces, a pesar de no ser<br />
muchas las veces que se arrojo el dado.<br />
Actividad Nº75<br />
Promedio del equipo Mbrucuyá:<br />
183 + 184 + 187 +188 +189 +189 + 193 + 196 +199 + 202 +203<br />
+204 + 206 +207 = 2730. Como son 14 los puntajes, el promedio es<br />
2730 : 14 = 195.<br />
Promedio del equipo Atlético Junior:<br />
186 + 186 + 190 +191 +192 +193 + 195 + 196 +197 + 198 +200<br />
+201 + 202 +203 = 2730. Como también son 14 los puntajes, el<br />
promedio es 2730 : 14 = 195<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0 180,185 185,190 190,195 195,200 200,205 205,215<br />
Los promedios son iguales.<br />
Distintos, Atlético Junior tiene menos columnas pero más parejas,<br />
los valores del equipo de Mbrucuyá están más dispersos, es decir<br />
están más alejados del promedio.<br />
15%<br />
18,3%<br />
15,8%<br />
15%<br />
19,2%<br />
16,7%<br />
Equipo Mbrucuyá<br />
Atlético Junior
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Actividad Nº76<br />
24,33%.<br />
61.<br />
266.800 personas.<br />
Actividad Nº77<br />
Italia con 9,48% tiene mayor índice que Alemania (sector occidental)<br />
que tiene 8,3%. Los gráficos inducen a error porque las escalas<br />
en el eje de ordenadas son diferentes.<br />
5.250 personas.<br />
Si no se condsiderara constante no se podría calcular los desocupados<br />
porque no habría proprocionalidad.<br />
127
128
Anexo<br />
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132
133
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