Matemática (Libro para el Docente parte II) - Región Educativa 11

MATEMÁTICA
MÓDULOS PARA DOCENTES
*
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2 3
5 6
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0 #
12x5=60

TERMINALIDAD
DE
PRIMARIA
PARA
ADULTOS
A DISTANCIA

INDICE
Introducción
Contenidos y actividades
* Eje: Números
Números naturales
Números fraccionarios
Expresiones decimales
* Eje: Operaciones
Adición y sustracción
* Eje: Medida
1
Tiempo histórico. Tiempo cotidiano
* Actividades grupales
* Bibliografía
* Evaluación
Ministerio de Educación. Av Santa Fé 1548. Buenos Aires.
Hecho el depósito que establece la Ley 11.723.
Libro de Edición Argentina. ISBN 950-00-0372-4
Primera Edición. Primera Reimpresión.

Ministro de Educación de la Nación
Prof. Dr. Hugo Oscar Juri
Secretario de Educación Básica
Lic. Andrés Delich
Subsecretario de Educación Básica
Lic. Gustavo Iaies
infopace@me.gov.ar
Material elaborado por los
Equipos Técnicos del Programa de
Acciones Compensatorias en Educación
del Ministerio de Educación.

ÍNDICE GENERAL
Módulo 1 7
Módulo 2 25
Módulo 3 51
Módulo 4 75
Módulo 5 101
Módulo 6 123

MÓDULO 1
*
7
4
1
2 3
5 6
8 9
0 #
12x5=60

ÍNDICE
Introducción 11
Contenidos y actividades 12
Eje Números 12
Números naturales 12
Números racionales 14
Fracciones 14
Expresiones decimales 15
Eje Operaciones 16
Adición y sustracción 16
Eje Medida 19
Tiempo histórico. Tiempo cotidiano 19
Actividades grupales 19
Evaluación 20
Bibliografía 23

INTRODUCCIÓN
El Módulo Inicial (diagnóstico), se caracterizó por la integración de todos los
contenidos en el contexto significativo de “Un día en la vida de los Costa”. Se
pensó que era conveniente continuar en el Módulo 1 para alumnos con una
línea argumental integradora a partir de situaciones de la vida cotidiana. Se
trabajan contenidos de los ejes: Números, Operaciones y Medida.
Del eje Números se sistematizan los contenidos: números naturales, racionales,
fracciones (ordinarias y decimales) y expresiones decimales, a partir del
conocimiento del sistema de numeración decimal.
Del eje Operaciones se plantean la adición y la sustracción* y se propone
considerar la estimación y el cálculo aproximado.
Respecto del eje Medida se hace un reconocimiento de las medidas de tiempo
usadas más frecuentemente.
Seguramente usted habrá registrado las dificultades de los alumnos, en el
instrumento diagnóstico del Módulo Inicial. Es probable que la mayoría haya
podido leer y escribir correctamente números naturales, como también operar
mentalmente con dichos números y con las expresiones decimales. Sin
embargo, es frecuente que los adultos tengan dificultades para simbolizar las
operaciones (realizar las cuentas por escrito). Por tal motivo, en el Módulo 1
para alumnos, se privilegiaron las actividades que tienden a la comprensión del
sistema de numeración decimal (composición y descomposición de números
naturales y expresiones decimales), ya que este tema es fundamental para la
construcción de los algoritmos de las operaciones.
Los objetivos proponen que el alumno:
◆ Aplique las reglas del sistema de numeración decimal a la construcción de los algoritmos
de suma y resta.
◆ Utilice los algoritmos de adición y sustracción entre números naturales y expresiones
decimales.
◆ Resuelva situaciones de adición y sustracción.
◆ Reconozca las fracciones como partes de un entero.
◆ Resuelva situaciones utilizando las medidas de tiempo de uso común.
* En realidad, suma y resta son los nombres para el resultado de la adición y de la sustracción;
pero en el Módulo 1 para alumnos, se usan suma y resta porque el adulto está más
familiarizado con esos nombres.
11

CONTENIDOS Y ACTIVIDADES
A continuación se presenta el esquema de contenidos del Módulo 1 para
alumnos.
Números Operaciones Medida
Racionales Naturales
Fracciones Expresiones decimales
Eje Números
Números naturales
Adición Sustracción de tiempo
Situaciones problemáticas
Los números que se utilizan para contar la cantidad de elementos de un
conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de éstos ni el orden en que se
encuentran, se llaman números naturales. Se designa con N el conjunto de
estos números:
N= 0,1,2,3,4,5...
El 0 es un número natural porque indica la cantidad de elementos del
conjunto vacío.
Además de contar, los números naturales permiten indicar un orden o
posición: 1º, 2º, 3º... Es decir que el número natural surge como resultado de
un proceso de coordinación entre la cardinalidad y la ordinalidad.
El numeral es la expresión gráfica del número. Actualmente se utiliza el
sistema de numeración decimal para simbolizar los números.
Elementos Cardinal Numeral
Treinta y seis 36
En el Módulo 1 para alumnos, las actividades, desde la Nº1 hasta la Nº11,
tienen como propósito la comprensión del sistema de numeración decimal a
través del reconocimiento de sus reglas o características:
12

Sistema de numeración decimal
Cada símbolo representa
10 distinta cantidad de unisímbolos
dades, según el lugar que
ocupa.
La regla de construcción del sistema decimal puede resumirse en: “no más de
9 unidades sueltas cualquiera sea el orden de estas unidades”, ya que se van
agrupando 10 unidades en un conjunto de orden superior, de tal modo que en
las cifras del numeral 10 está representando el registro simbólico de 1 decena
(10 unidades agrupadas) y 0 unidad (no hay unidades sueltas).
Es importante destacar el carácter posicional del sistema de numeración
decimal. De la posición que ocupe una cifra en un numeral, depende el valor
relativo que ella represente, con independencia de su valor absoluto. Por ejemplo,
el numeral doscientos veintidós es el registro simbólico de:
2 2 2
dos unidades, es decir, sueltas
dos decenas, es decir, 20 unidades agrupadas
dos centenas, es decir, 20 decenas agrupadas
Sin mencionar el calificativo absoluto o relativo en la actividad Nº4, se
propone el reconocimiento de esos valores.
Desde la actividad Nº5 y hasta la Nº11, inclusive, se trabaja el agrupamiento
de a 10, con material representativo: los cuadraditos que corresponden a las
unidades, las tiras de 10 cuadraditos a la decena y los cuadrados de 100
cuadraditos a las centenas. Este material facilita el agrupamiento y el canje,
razón por la cual se sugiere utilizarlo en las instancias presenciales con aquellos
alumnos que presenten dificultades para comprender la composición y la
descomposición de números en el sistema de numeración decimal. Si el
alumno comprende las reglas del sistema, posiblemente no tendrá dificultades
para entender los algoritmos de las operaciones.
Con el fin de comprobar el nivel de comprensión del sistema de numeración
decimal, usted podrá sugerir a los alumnos que expresen de diferentes formas
un numeral, por ejemplo:
1.478 • 1.478 unidades, o
• 147 decenas + 8 unidades, o
• 14 centenas + 7 decenas + 8 unidades, o
• 1 u. de mil + 47 decenas + 8 unidades, o
• 14 centenas + 78 unidades, etc.
13
Se agrupa
de a 10
unidades

Se consideró importante que el alumno pudiera comparar el sistema de numeración
decimal, especialmente su carácter posicional, con otro sistema que
no tiene esa característica. Por tal motivo se presentó el sistema de numeración
romano, que no es posicional y sus símbolos están sujetos a otras reglas.
Números racionales
Fracciones
Seguramente, si usted tiene 4 hijos y en su casa sólo han quedado 2 alfajores,
cortará cada uno de ellos en dos partes aproximadamente iguales y les entregará
una mitad del alfajor a cada uno de sus niños. Esa mitad aproximada tiene un
símbolo que es 1 . A estas partes se las llama fracciones o quebrados.
2
Al conjunto de números formado por los números enteros y sus partes
posibles, positivas o negativas, se lo llama conjunto de números racionales y se
lo designa con la letra Q.
Q= x/x es número racional
En la vida cotidiana, para nombrar los números racionales, usamos con más
frecuencia la forma decimal que la fraccionaria. Lo hacemos cuando decimos
que compramos 1,500 kg. de mandarinas a $ 1,20 el kg. o que necesitamos
1,75m. de tela para hacer un vestido.
Las expresiones fraccionarias equivalentes o familia de fracciones, representan
todas una misma cantidad que llamamos número racional. Por ejemplo:
Fracción Fracciones Fracción Expresión
irreducible ordinarias decimal decimal
Clase o familia
de la mitad 1 = 2 = 3
=
4
=
5
=
0,5
2 4 6 8 10
En general, el alumno adulto no tiene dificultades para comprender el
significado de las fracciones de uso común, especialmente si están relacionadas
con las medidas, por ejemplo:
1 kg., 1 l. ó 3 m.
2 4 4
En la vida cotidiana se plantean permanentemente situaciones en las que
aparecen las partes de un todo. El hecho de compartir una pizza con los amigos,
requiere obtener trozos “aproximadamente iguales”. En el Módulo 1 para
alumnos, Rosa, Carlos, Berta y Jorge comen una pizza y esto da lugar a tres
actividades de reconocimiento de fracciones, la Nº21, la Nº22 y la Nº23.
14

Se sugiere trabajar con los alumnos la relación de equivalencia con fracciones
simples, tales como:
1 2 2 1 3 6
2 4 6 3 4 8
fig. 1 fig. 2 fig. 3
Es conveniente partir de elementos concretos como, por ejemplo, una tableta
de chocolate o un pan lactal cortado en rebanadas, insistiendo siempre en que
las partes son “aproximadamente iguales”. Para escribir cada fracción las partes
deberían ser “exactamente iguales”.
Posteriormente podrá utilizarse la representación gráfica (fig. 1, 2 y 3)
considerando que las equivalencias son referidas a un mismo entero.
Finalmente se simbolizará:
1 = 2 2 = 1 3 = 6
2 4 6 3 4 8
Es importante que en cada caso el alumno pueda reconocer el entero como
2 , 4 , 6 , 3 , 4 y 8 .
2 4 6 3 4 8
Expresiones decimales
Las situaciones de todos los días, obligan a reconocer las expresiones decimales
y a operar con las mismas: en las vidrieras donde se destacan los precios de
los productos, cuando se realizan las compras o cuando se viaja en colectivo se
utilizan pesos y centavos. Coherentemente, con la fundamentación del área, es
a partir del dinero (tema éste tan significativo para los adultos), que se
introduce el concepto de las expresiones decimales (actividad Nº25 en el
Módulo 1 para alumnos).
El contenido se sistematiza a partir del conocimiento del sistema de
numeración decimal. Para ello se utiliza el material representativo usado para
facilitar los canjes. Se optó por aumentar el tamaño del cuadrado que representa
la unidad con el fin de facilitar la división de la misma en diez y cien partes
iguales y, también, con el objeto de que no se confunda la unidad con la
centena, se optó por representar la unidad agrandada en el dibujo.
15

Se propone, además, la representación gráfica de fracciones tales como
1 y 10 , 3 y 30
10 100 10 100
(actividades Nº26 y Nº27), para que el alumno compare fracciones decimales
y pueda establecer la relación de equivalencia entre 8 y 80 , por ejemplo.
10 100
Al introducir los números fraccionarios, se amplió el universo de los números
ya que con los naturales no alcanza para expresar la cantidad de porciones de
pizza que comieron Carlos o Rosa (actividades Nº21, Nº22 y Nº23). Sería
conveniente que los participantes observaran, además, que cada vez que se
expresa una cantidad como 3 de pizza, se la está comparando con otra a la que
4
se llama unidad (en este ejemplo, la pizza entera 4 ).
4
Las expresiones decimales son otra forma de expresar los números fraccionarios.
Tomando como base la regla del sistema de numeración decimal, trate de
que los participantes hagan agrupamientos de a 10, para que ellos mismos
analicen qué ocurre hacia la derecha de las unidades en este gráfico:
x 10 x 10
1 centena 1 decena 1 unidad
o o o
10 decenas 10 unidades
Después de haber trabajado con los alumnos las actividades Nº27 y Nº28,
sería productivo completarlas con este gráfico del siguiente modo:
x 10 x 10 x 10 . 10 .
.
.
10
1 unidad de mil 1 centena 1 decena 1 unidad 1 décimo 1 centésimo
ó ó ó ó ó
10 centenas 10 decenas 10 unidades 0,1 unidad 0,01 unidad
ó
0,1 décimo
La comparación con los centavos ayuda a entender el valor de los centésimos
y la diferencia entre 0,50 y 0,05, ya que evidentemente no es lo mismo tener
cincuenta centavos que cinco centavos.
Eje Operaciones
Adición y sustracción
Resolver una operación significa poder transformar los elementos originales en
otros, como consecuencia de las acciones ejercidas sobre los primeros. Si a una lista
de 47 invitados se le agregan otros 16, la lista presentará 63 invitados, como resultado
de haber transformado los 47 primitivos, luego de sumarle los 16 posteriores.
16

Como ya se explicitó en el Módulo Inicial para docentes, el planteamiento de
problemas debe preceder a la enseñanza de las operaciones básicas. Dicho de
otra manera, las operaciones deben ser planteadas en forma contextualizada.
En el Módulo 1 para alumnos se plantean situaciones problemáticas aditivas
relacionándolas con los conceptos de agregar, reunir, juntar, hallar el total, y
situaciones de sustracción relacionadas con los conceptos de quitar, disminuir,
complementar, hallar la diferencia. Posteriormente, se presentan los algoritmos
de ambas operaciones.
¿Qué es un algoritmo? En principio, un algoritmo es un procedimiento.
Cotidianamente se utilizan algoritmos, pero se los aplica sin necesidad de comprender
su fundamento. Cuando se usa el televisor, la computadora, el teléfono
y tantos otros elementos electrónicos modernos, se ponen en juego una serie de
pasos lógicos. Esa secuencia lineal de acciones que deben ser ejecutadas, constituye
un algoritmo. Utilizar el teléfono, por ejemplo, responde al siguiente esquema:
descolgar el auricular, esperar el tono, marcar, etc. Por lo tanto, el
aprendizaje de un algoritmo no se reduce a las operaciones aritméticas elementales
sino que está presente en el accionar cotidiano. Generalmente, al ejecutar
estos algoritmos no se los acompaña de una reflexión, ni de una comprensión
de su funcionamiento, ya que en determinados actos, un algoritmo es una
herramienta que permite resolver problemas, como el de la comunicación, en
el ejemplo del teléfono. Para el usuario, entonces, basta con automatizar las
acciones, sin analizar el por qué de las mismas. En cambio, un técnico, necesita
comprender el funcionamiento del aparato electrónico a partir de conocimientos
científicos relacionados con la construcción del mismo.
¿Se puede enseñar a los alumnos la adición y la sustracción simplemente
como una serie ordenada de pasos? Se ha demostrado que esto es posible. Basta
con recordar nuestros propios aprendizajes. Los algoritmos se pueden aprender
como una simple secuencia de acciones que se deben ejercer sobre los números
en juego. Podría intentar enunciarles: colocar el minuendo (número mayor)
arriba del sustraendo (número menor), de manera que coincidan en columna
las unidades del mismo orden. A las unidades del minuendo se les resta las del
sustraendo; si no fuera posible se le pide 1 al compañero (las decenas), y se le
suma a las unidades que se tenía; después se restan las unidades del sustraendo.
3
Ejemplo: 4 1
5 minuendo
-
2 9 sustraendo
1 6
Sin embargo, esto es sólo el procedimiento. La naturaleza del algoritmo
matemático no es sólo instrumental sino también un proceso de construcción
racional que se apoya en aprendizajes anteriores (el sistema de numeración
decimal, los propios conceptos de adición y sustracción), a los que al mismo
tiempo favorece. La relación entre lo conceptual y lo procedimental (lo
instrumental), en el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones, se puede
sintetizar así:
17

• Los distintos pasos del algoritmo se recuerdan mejor cuando existen más
datos o claves para recuperarlo memorísticamente.
• Comprender su fundamento científico permite la reconstrucción del mismo,
si se ha olvidado alguno de sus pasos.
Por eso, en el Módulo 1 se propone a los alumnos utilizar el material representativo
para la construcción del algoritmo de la adición y del de la sustracción.
Sería conveniente que el adulto tratara de comprender el por qué de las
acciones que se van realizando secuencialmente; que pueda relacionar, por
ejemplo, “llevo 1” con el “con 10 unidades formo una decena que la agrego a
la columna de las decenas”.
Reflexionar sobre la fundamentación de los algoritmos:
• Facilita la transferencia hacia otros aprendizajes.
• Posibilita la reducción del número de errores cometidos habitualmente.
• Favorece la reconstrucción cuando no se los recuerde.
• Permite la recreación de otros procedimientos por tener estrategias adquiridas.
Si se analiza el error conocido como “el mayor menos el menor dentro de la
resta”, en él se resta el mayor menos el menor, independientemente de que
pertenezca al minuendo o al sustraendo.
3 5 2
- 2 7 8
1 2 6
El conocimiento conceptual indica que esta operación consiste en quitar a
una cantidad, otra menor y establece que todas las cantidades del sustraendo
deben ser restadas al minuendo. Si esto se comprende y se aplica, difícilmente
se incurra en un error.
En el Módulo 1 se plantea que existen muchos caminos para llegar al mismo
resultado y que, tal vez, el camino que se le propone al alumno (algoritmo
tradicional), no coincida con el utilizado por él. Si usted comprueba que esto
es así, y que el adulto ha usado otro procedimiento, convendría insistir para
que lo explicitara; también ayudarlo a que relacione el procedimiento que
utilizó con el concepto, para que la estrategia personal quede fundamentada.
La resolución de las actividades Nº16, Nº17, Nº18, Nº19 y Nº20, le permitirán
a usted comprobar qué conocimientos conceptuales ha adquirido el alumno.
18

Eje Medida
Tiempo histórico. Tiempo cotidiano
El tiempo histórico y el tiempo cotidiano se miden con diferentes unidades:
unidades mayores para períodos históricos más prolongados como la década y
el siglo; unidades menores para el tiempo cotidiano, año, mes, semana, día,
hora, minuto.
La actividad Nº14, tiene como objetivo recordar que cada siglo comienza a
partir del año 1 de la centena exacta.
El tratamiento de este tema es de utilidad para aplicarlo en el área de las
ciencias sociales, al aprendizaje de los períodos históricos y a la comprensión de
la línea del tiempo.
Respecto del tiempo cotidiano, para la resolución de situaciones en las que
intervienen horas y minutos (Ej.: actividades Nº39, Nº40, Nº41 y Nº42), se
sugiere estimular el desarrollo de estrategias espontáneas para el cálculo. Para
comparar tiempos, se podrán utilizar noticias deportivas, estimar el tiempo que
demanda una tarea, calcular los tiempos de estudio por día, por semana, etc. A
modo de ejemplo, usted podrá presentar en una instancia presencial un problema
como éste:
Un avión recorre la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B en 1 hora y 20
minutos. El vuelo de retorno lo efectúa en 80 minutos. ¿Cómo explica esto?,
teniendo en cuenta que en ambos viajes la situación climática y la ruta fueron
similares.
Actividades grupales
Se proponen algunas actividades grupales cuyos objetivos son afianzar los
contenidos tratados, especialmente los referidos al sistema de numeración
decimal y las operaciones, y para favorecer la integración grupal.
Adivinar el número
Propósito: trabajar serie numérica e intervalo numérico.
Usted piensa en un número y los alumnos deben descubrirlo; para ello, sólo
pueden preguntar (tantas veces como sea necesario): ¿es mayor que...? o ¿es
menor que...? Usted solamente puede responder sí o no.
¿Cuál es mi regla?
Propósito: afianzar la serie numérica y el cálculo mental.
Usted o un alumno, dicen varios números relacionados por una regla. Por
ejemplo: 114, 124, 134. Los alumnos deben descubrir qué regla se aplicó (en
este caso “+ 10”).
19

¿Cómo obtener el número?
Propósito: ejercitar el cálculo mental.
Se escriben en el pizarrón varios números, por ejemplo: 5; 7; 8; 1; 3; 6; 4; 9.
Después usted propone a los participantes que, empleando estos números,
formulen cálculos con sumas y restas cuyo resultado sea: 25..., 37..., etc.
EVALUACIÓN
Se proponen algunas actividades de evaluación en función de los temas
tratados y considerando diferentes niveles de complejidad. Usted podrá
seleccionar las que crea convenientes, modificarlas o implementar otras, según
las características del grupo de alumnos a su cargo.
Actividad Nº1
El número representado es 195.
a) El número representado tiene cent.+ dec.+ unid.
b) El número representado tiene dec. + unid.
c) El número representado tiene unid. en total.
d) Agréguele al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo?
20

Actividad Nº2
El número 386 está expresado de distintas maneras. Subraye las correctas.
Actividad Nº3
El kilo de queso sardo cuesta $ 12.
¿Cuánto cuesta?
1/2 kg.:
1/4 kg.:
Actividad Nº4
3C + 8D + 6U 3C + 7D + 26U
2D + 18D + 6U
1C + 1D + 76U 2C + 17D + 16U
3C + 7D + 16U
¿Qué es más barato: dos bolsitas de yerba de 1/2 kg. cada una que cuestan
$0,90 cada una o una de 1 kg. que cuesta $1,90? ¿Por qué?
Actividad Nº5
Juan corre todas las mañanas 45 minutos antes de ir a trabajar. Si comienza a
correr a las 7, ¿a qué hora finalizará?
Juan mira su reloj y piensa “aún me faltan 10 minutos para dejar de correr”.
¿A qué hora miró su reloj?
21

BIBLIOGRAFÍA
Mialaret, Gastón: La matemática ¿cómo se aprende, cómo se enseña? Madrid,
Visor, 1972.
Rico Romero, L., Castro Martínez, Encarnación, Castro Martínez, Enrique:
Números y operaciones. Madrid, Síntesis, 1989.
Gabba, Pablo: Matemática para maestros. Buenos Aires, Marymar, 1978.
Perelman, Y.: Problemas y experimentos recreativos. Moscú, 1979.
Rey, María Esther: Didáctica de la matemática. Buenos Aires, Estrada, 1994.
Brindstein, M. y Hyanfling, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993.
23

MÓDULO 2
*
7
4
1
2 3
5 6
8 9
0 #
12x5=60

Índice
Introducción
Contenidos y actividades
Geometría
Operaciones
La multiplicación
Su naturaleza
Los problemas que se resuelven con la multiplicación
Propiedades de la multiplicación
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Propiedad distributiva
Los errores más frecuentes
Tabla pitagórica
La división
Su naturaleza
Los problemas que se resuelven con la división
La propiedad distributiva de la división con respecto a la suma
Los errores más frecuentes
Estadística
Tablas de doble entrada
Promedio
Evaluación
Bibliografía

ÍNDICE
Introducción 29
Contenidos y actividades 30
Geometría 30
Operaciones 32
La multiplicación 32
Su naturaleza 32
Los problemas que se resuelven con la multiplicación 33
Propiedades de la multiplicación 34
Propiedad conmutativa 34
Propiedad asociativa 35
Propiedad distributiva 35
Los errores más frecuentes 36
La división 39
Su naturaleza 39
Los problemas que se resuelven con la división 40
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma 41
Los errores más frecuentes 41
Estadística 44
Tablas de doble entrada 44
Promedio 44
Evaluación 46
Bibilografía 49

INTRODUCCIÓN
El mundo que nos rodea está constituido no sólo por gran cantidad de objetos
de diferentes formas y diseño como por ejemplo, muebles (mesas cuadradas,
redondas, rectangulares), utensilios y herramientas (relojes prismáticos, esféricos,
cúbicos; ollas cilíndricas, prismáticas), sino también por las transformaciones
propias de ciertos objetos o cuerpos, edificios en construcción, ensanchamiento
de una calle, cambio de dirección en una avenida, etc.
En la vida cotidiana está presente, cada vez más, la geometría, que junto con
la aritmética forman un todo. ¿Cómo pensar en los conceptos geométricos de
perímetro, superficie y volumen sin relacionarlos con el concepto de medida?
¿Cómo resolver situaciones geométricas que tienen que ver con longitudes, planos
y escala sin el aporte de las operaciones y de los números? Sistemática y
paulatinamente, el hombre va tomando posesión del espacio, orientándose,
analizando formas y buscando relaciones espaciales. Intuitivamente, va adquiriendo
el conocimiento de su entorno.
Por su experiencia, los alumnos adultos poseen algunas nociones intuitivas del
conocimiento espacial; es importante capitalizar esos saberes prácticos del adulto.
Por eso, a partir de una propuesta, que se origina en la intuición para llegar
a la reflexión, se presenta la geometría en el Módulo 2 para alumnos. Intuición
y reflexión son dos formas del conocimiento geométrico que se relacionan y se
complementan. El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a partir de
la intuición, es lo que se llama la percepción espacial. En las actividades que se
proponen a los alumnos, se destacan los temas de geometría que caracterizan la
percepción espacial: el reconocimiento de formas (actividad Nº6 b: Reconocimiento
de cuerpos), de propiedades geométricas (actividad Nº6 a: Paralelismo
y perpendicularidad), transformaciones (actividad Nº2: Transformación del
plano según desde donde se observe) y de relaciones espaciales (actividad Nº5
c y actividad Nº8 a, b, c y d: Mayor, menor o igual distancia).
El Módulo 2 para alumnos, tiene como objetivos que el alumno:
◆ Se oriente en planos y croquis.
◆ Reconozca distancia entre dos puntos.
◆ Diferencie formas geométricas.
◆ Reconozca paralelismo y perpendicularidad.
◆ Reconozca ángulos: rectos, agudos, obtusos y llanos.
◆ Aplique los conocimientos del sistema de numeración decimal, y algunas propiedades
de la multiplicación y división en el uso de los algoritmos.
◆ Resuelva situaciones sencillas de promedio.
29

CONTENIDOS Y ACTIVIDADES
Se trabajan contenidos de los ejes: Geometría, Operaciones y Estadística.
Geometría Operaciones Estadística
Orientación Cuerpos
en planos geométricos Tablas de
y mapas Multipli- División doble
cación entrada
Paralelismo y Promedio
perpendicularidad
Ángulos Situaciones multiplicativas
Con respecto al eje Operaciones, a partir de situaciones significativas, se
trabaja la multiplicación como suma reiterada entre números naturales y
expresiones decimales. Se plantea la propiedad conmutativa intuitivamente
aplicada y reconocida. La división se presenta como la operación inversa de la
multiplicación y como resta reiterada.
Del eje Estadística, los contenidos que se trabajan son la tabla de doble
entrada como recurso organizador de la información y el promedio.
Los contenidos del eje Geometría que se abordan son: orientación en planos
y croquis, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, cuerpos geométricos.
Geometría
Las experiencias visuales constituyen la base sobre la cual se fundamentan las
actividades y abstracciones posteriores.
Observar es ver, notar lo común que puede haber en situaciones distintas, lo
diferente en objetos y acciones, y lo característico de cada cosa.
La observación de los alumnos puede orientarse por medio de preguntas que
refieran a aspectos fundamentales. La actividad Nº1 propone observar un
croquis y orientarse en él teniendo en cuenta las indicaciones. En la actividad
Nº2 se presenta el mismo croquis, pero variando su orientación y omitiendo las
referencias que tenía el anterior. En ambas, la observación se va guiando a través
de preguntas, para que el alumno pueda interpretar croquis y orientarse en el
entorno espacial que ese croquis representa. Toda observación debe ir acompañada
de una acción posterior. Las actividades Nº1 y Nº2, por ejemplo, comienzan
con una observación, pero inmediatamente el alumno debe actuar: señalar
o indicar lo que se le solicita.
30

La secuencia propuesta es: primero observar, luego actuar y reflexionar, pero
para que se pueda construir el espacio geométrico es imprescindible llegar a la
abstracción. Abstraer es, entre otras cosas y siempre refiriéndose a la geometría,
reconocer lo que hay de común o de diferente en algunas situaciones, simplificar
la situación real, esquematizándola como en la actividad Nº4 b, o determinar
el campo de validez de una propiedad (actividad Nº6 a).
Con este plan se trabajan, en el Módulo 2 para alumnos, desplazamientos y
recorridos en planos y cuerpos, las nociones de distancia, paralelismo y perpendicularidad,
ángulos y cuerpos.
Jean Piaget afirma que: "la representación del espacio se debe a las actividades
que realiza cada individuo, durante su experiencia diaria". En el módulo para
alumnos se trabaja desde lo intuitivo (que incluye la observación) a lo conceptual
o abstracto (que incluye la reflexión y la abstracción).
El trabajo con croquis y planos permite a los alumnos adultos ubicarse y localizar
referencias y calles, señalar recorridos, identificar distancias además del
sentido y la dirección de las calles. Se pretende que el alumno pueda leer e
interpretar un plano correctamente y al mismo tiempo, orientarse en el espacio
cercano o cotidiano.
Una posible actividad para realizar con los alumnos en los encuentros presenciales
podría ser la siguiente: a) formar tres subgrupos; b) cada subgrupo escribe
en un papel las indicaciones para ir de una casa a otra; c) se intercambian
los papeles; d) después de leer las indicaciones, cada subgrupo representa gráficamente
ese recorrido en un croquis o plano; e) vuelven a intercambiar los papeles;
f) cada grupo interpreta el croquis o plano y, en forma verbal, es expresado
por un representante de cada equipo. Lo que se expresa verbalmente, debe
coincidir con las indicaciones primeras y esto ocurre cuando el croquis o plano
responde correctamente a esas indicaciones. Es frecuente que los alumnos se
equivoquen al verbalizar los recorridos. Los errores más comunes son confundir
sentido con dirección y derecha con izquierda.
En la actividad Nº3, a partir de la lectura del plano, se incorpora la noción de
calles paralelas y calles perpendiculares. Usted podrá sugerir a los alumnos
observar el entorno para encontrar ejemplos de paralelismo y perpendicularidad
(en paredes, puertas, ventanas, bancos, escritorios, etc.).
Respecto de la noción de ángulo y su clasificación, se recomienda:
a) recurrir al plegado de papeles para obtener ángulos rectos, ángulos que son
la mitad de un recto y ángulos que son un cuarto de un recto;
b) obtener por plegado cuatro ángulos rectos y vincularlos con: la intersección
de pares de rectas de direcciones vertical, horizontal; delante, atrás; izquierda,
derecha; norte, sur; este, oeste;
c) realizar cambios de dirección en una marcha: giro completo; medio giro;
cuarto de giro;
d) representar gráficamente los desplazamientos realizados.
31

La representación gráfica, permite que se puedan expresar ideas y conocimientos;
es una forma de comunicación en la que se utilizan esquemas, construcciones
geométricas, figuras o dibujos. Es una descripción y ésta, ya sea verbal
o gráfica, obliga a quien la hace a observar, ordenar, situar en el espacio, establecer
relaciones entre el objeto que se va a representar y su representación
gráfica. Por eso, describir no es tarea fácil, también es necesario tener presente
la forma, las características y la ubicación en el espacio del objeto.
La representación gráfica también es una herramienta útil, ya que puede
ayudar a encontrar estrategias para la resolución de problemas. En geometría,
es importante tanto para expresar formas como para comprender razonamientos.
Cuando se plantean situaciones problemáticas en las que se pide calcular el
perímetro de una figura o el valor de un ángulo de la misma, es común que el
alumno, para facilitar la resolución: a) represente gráficamente la figura, b) ubique
en ella los datos que se le aportan. Esta estrategia facilita el razonamiento
correcto y la posterior resolución. Por tal motivo, en el Módulo 2 para alumnos,
se insiste en los recorridos, las distancias y la representación gráfica de las
mismas (actividad Nº4 d). En la actividad Nº6, el alumno debe encontrar el o
los planos (representación gráfica) que corresponden al desarrollo del cubo.
Se sugiere que, de ser posible, los alumnos hagan en cartulina el plano del
desarrollo de un prisma (caja de zapatos) y luego lo armen.
Operaciones
Se analizarán las operaciones de multiplicación y división, teniendo en
cuenta:
• su naturaleza;
• los tipos de problemas que se resuelven con ellas;
• las propiedades elementales;
• los errores algorítmicos más frecuentes que suelen cometer los alumnos.
La multiplicación
Su naturaleza
La multiplicación debe entenderse, en principio, como una operación aritmética
entre números naturales. El punto de partida de esta operación son dos números
y el punto de llegada otro número distinto (o no) de los anteriores.
Ejemplos: 2 x 5 = 10
2 x 1 = 2
¿La multiplicación es una suma abreviada?
La interpretación de la multiplicación como una suma abreviada en todos los
casos, es un error, ya que la multiplicación no es un caso particular de la suma.
32

Es otra operación que puede definirse a partir de la suma pero no se reduce a
ella. La multiplicación es una operación aritmética que puede interpretarse
como suma abreviada (sin ser lo mismo) cuando se trabaja con números
naturales, por lo menos, en uno de los dos factores. En cambio, no puede
pensarse en suma abreviada cuando debe resolverse por ejemplo 0,2 x 0,3 (este
caso de multiplicación de dos expresiones decimales, será tratado en el Módulo 3).
Otra interpretación de la multiplicación, es considerarla un producto cartesiano.
Un ejemplo práctico de esta interpretación, es el portero eléctrico (para
las zonas urbanas), o un tablero de hotel como el que figura en la actividad
Nº18 (dibujo del tablero).
Hay 5 habitaciones por piso (P.B., 1º y 2º)
O sea que en la P.B. hay: (P.B.1), (P.B.2), (P.B.3), (P.B.4) y (P.B.5);
en el 1º Piso: (1º1), (1º2), (1º3), (1º4) y (1º5);
en el 2º Piso: (2º1), (2º2), (2º3), (2º4) y (2º5).
Estos pares ordenados son el producto de los elementos pisos (PB, 1º y 2º) por
los elementos habitaciones (1, 2, 3, 4 y 5).
Si se quiere averiguar cuántas habitaciones tiene el hotel en total, basta con
multiplicar: 3 (pisos) x 5 (habitaciones) = 15 habitaciones.
Los problemas que se resuelven con la multiplicación
Los solucionables por suma reiterada (actividades Nº11, Nº12, Nº13, Nº14 y
Nº15). Ejemplo:
Un café cuesta $ p1,30, ¿cuánto debe pagarse por 3 cafés?
$ 1,30
+ $ 1,30
$ 1,30
$ 3,90 ó
$ 1,30 x 3 = $ 3,90
33

Los solucionables por producto cartesiano. En el punto a) se propuso como
ejemplo el tablero del hotel.
Otro ejemplo:
Hay 6 estantes y en cada estante hay 5 latas de pintura. ¿Cuántas latas de
pintura hay en total?
6 estantes x 5 latas (por estante) = 30 latas
estantes
El planteo de las dos situaciones multiplicativas son de distinta naturaleza, sin
embargo, ambas se resuelven empleando la multiplicación. Es conveniente trabajarlos
conjuntamente.
Propiedades de la multiplicación
Las propiedades de la multiplicación que se trabajan en el Módulo 2 para
alumnos son: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y de la
resta. El alumno adulto probablemente las aplique intuitivamente. A continuación
se le propone una forma de trabajarlas.
Propiedad conmutativa
6 (6;5)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 latas
Juan quiere saber cuántas latas de aguarrás le quedan después de una venta
importante. Revisa primero las cajas y cuenta 6 latas en cada una. Luego cuenta
las cajas y verifica que hay 5. Después calcula 6 x 5 = 30 latas
Un amigo que lo ayuda comienza contando las cajas (5) y luego continúa con
las latas que hay en cada caja (6). Entonces, calcula:
6 x 5 = 5 x 6
Cuando se piensa en situaciones en las que se puede intercambiar el orden de
las cosas sin que se altere el resultado, se está pensando en operaciones conmutativas.
La multiplicación es una operación conmutativa.
34

Propiedad asociativa
¿De qué otra forma se puede expresar 5 x 8?
Como 8 = 2 x 4, entonces:
5 x 8 = 5 x (2 x 4)
Sin enunciar la propiedad se puede proponer expresar de otra forma las
operaciones:
6 x 4 = 2 x 3 x 4
9 x 7 = 3 x 3 x 7
10 x 8 = 5 x 2 x 4 x 2
5 x 6 = 5 x 3 x 2
Finalmente se puede solicitar a los alumnos que verbalicen los procedimientos,
antes de enunciar la propiedad.
Propiedad distributiva
El planteamiento didáctico de esta actividad es muy similar al anterior; se ha
reservado el uso de esta propiedad para multiplicar números de dos dígitos.
Ejemplo:
Hay 12 estantes y hay 15 libros en cada estante. ¿Cuántos libros hay en total?
La resolución es 15 x 12, pero como
12 = 10 + 2, entonces se puede expresar la operación
anterior así:
15 x (10 + 2) que se resuelve:
15 x 10 + 15 x 2
150 + 30 = 180 ó
como 12 = 6 + 6
15 x 6 + 15 x 6
90 + 90 = 180 ó
como 12 = 8 + 4
15 x 8 + 15 x 4
120 + 60 = 180
Esta propiedad está ligada a la suma abreviada, por ello su tratamiento puede
ser anterior al de la propiedad asociativa, que implica realizar dos multiplicaciones
consecutivas.
35

Los errores más frecuentes
Las equivocaciones están estrechamente relacionadas con dos aspectos; el
primero tiene que ver con el grado de claridad que se tenga del concepto de
multiplicación, y el segundo con la dificultad para relacionar el concepto con
el procedimiento. Esto último también tiene que ver con haber o no haber
construido el algoritmo de la multiplicación.
Cuando los errores son tratados solamente como dificultad en el procedimiento
y la solución que se da, es la repetición infinita del algoritmo para
lograr la mecanización; en realidad, los obstáculos no se superan. Es necesario
tratar de comprender la naturaleza del error. Si el problema está, por ejemplo
en una incorrecta aplicación de la propiedad distributiva, se tratará de
replantear problemas que lleven al uso de esa propiedad, es decir, volver a
trabajar los contenidos conceptuales, ya que seguramente allí se encuentra la
base del error.
Manejar correctamente el algoritmo, significa comprender que, para resolver,
por ejemplo:
2 6
x 4
Al multiplicar 4 x 6 unidades, se obtienen 24 unidades que son 2 decenas y
4 unidades sueltas.
C D U Se escriben las 4 u. sueltas en la
columna de las unidades y se colocan
2
las 2 decenas en la columna de las
2 6 decenas
x 4
Al multiplicar 4 x 2 decenas se obtienen 8 decenas
1 0 4 a las que se suman las 2 decenas
correspondientes a las 24 unidades
Se obtienen 10 decenas = 1 centena y 0
decenas sueltas.
Los errores más frecuentes
• Errores en la aplicación de la propiedad distributiva:
C D U
3 4 2 multiplicando
x 3 multiplicador
34 6
Se realizó el producto del multiplicador por las unidades del multiplicando,
pero, para las siguientes cifras, se optó por repetir sin multiplicar.
36

• Olvido de las decenas del multiplicador:
C D U
34 2
x3 5
1.7 1 0
• Agregar de manera incorrecta las agrupaciones de a diez:
C D U
2 2
3 4 5
x 4
2. 0 4 0
Las decenas (2) y las centenas (2) son sumadas a las cifras correspondientes
(4 y 3) antes de multiplicarla por el 4 (2+ 4 = 6 ; 4 x 6 = 24)
(2 + 3 = 5 ; 4 x 5 = 20).
• Olvidar las decenas o centenas que deben sumarse:
Se omitió:
C D U
1 4 7
x 8
8 2 6
a) Al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas, sumar a este resultado las 5 decenas
correspondientes a las 56 unidades obtenidas al multiplicar 8 x 7 unidades.
b)Al multiplicar 8 x 1 centena, sumar a este resultado las 3 centenas correspondientes
a las 37 decenas obtenidas al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 de-
cenas y 32 decenas + 5 decenas = 37 decenas = 3 centenas y 7 decenas sueltas
UM C D U
3 5
1 4 7
x 8
1.1 7 6
• Realizar el producto del multiplicador sólo por las decenas o centenas que
deben sumarse:
CDU
1
3 6 2
x 7
2. 1 7 4
37

Existen numerosas variantes de errores. Pueden provenir de algún paso,
alguna acción, dentro del algoritmo que el alumno olvida o no ha llegado a
comprender. El aprendizaje meramente instrumental tiene una rigidez que
seguramente generará errores ante algún cambio en la situación original. Es
necesario que el alumno pueda relacionar conceptos y procedimientos, para
que cada uno de los pasos del algoritmo tenga sentido.
Se sugiere partir, entonces, de la revisión de algunos conceptos relacionados
con la multiplicación que son:
Sistema de numeración decimal.
Propiedad asociativa de la multiplicación
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Interpretación de la multiplicación como suma abreviada.
Una estrategia que podría facilitar la comprensión de los algoritmos de la
multiplicación y de la división es la construcción de la tabla pitagórica. En el
Módulo 2 para alumnos se trabaja con tablas de doble entrada, y la pitagórica
es un ejemplo que, además, puede ser utilizado como recurso cuando el alumno
tenga dudas con respecto a las multiplicaciones básicas (tablas de multiplicar),
consultándolas cuando fuere necesario.
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
38

¿Cómo trabajar esta tabla? En primer lugar, sería conveniente que se les diera
a los alumnos para completar. Una vez completada se les puede proponer que
tracen la diagonal que va desde el 0 hasta el 100 y plantear por ejemplo:
• Observen los números a ambos lados de la diagonal. ¿A qué conclusiones se
puede arribar?
• Observe los números de las columnas y las filas. ¿Qué diferencias y qué
similitudes encuentra?
• ¿Hay números repetidos? ¿Cuáles?
• Los números que están en la diagonal, ¿en qué se diferencian de los demás?
Y todas las preguntas que usted considere oportunas. También se podrá pedir
al alumno que registre todas sus observaciones para ser leídas y discutidas en la
reunión presencial.
De las respuestas y reflexiones de los alumnos surgirán las propiedades de la
multiplicación:
• la conmutativa: simetría respecto de la diagonal;
• el cero "absorbe" cualquier número (la columna y la fila que lo contienen,
tienen como resultado del producto, el cero). De aquí se concluye que cual-
quier número multiplicado por cero, da como resultado, cero;
• la fila y la columna correspondiente al producto de los números x 1, da por
resultado el mismo número; de aquí se concluye que cualquier número
multiplicado x 1, da ese mismo número; en matemática se dice que el 1 es
el elemento neutro de la multiplicación;
• los números de la diagonal corresponden todos a cuadrados perfectos.
La división
Su naturaleza
Ej.: 2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
...............................
10 x 10 = 100
En la división se dispone de dos números iniciales (dividendo y divisor) y a
partir de ellos se obtiene otro que recibe el nombre de cociente. Cuando en la
división, el resto es cero, la división se llama exacta. Cuando el resto no es cero,
la división se llama entera.
Se debe tener presente que no siempre el cociente entre dos números
naturales, es otro número natural. Por ejemplo: 3 : 2 = 1,50.
En este caso el cociente (1,50) es una expresión decimal (número racional).
39

Por otro lado:
• 10 : 5 es igual a 2 porque 2 x 5 = 10
• 3 : 2 = 1,50 porque 1,50 x 2 = 3
La división es la operación inversa de la multiplicación. La división no es un
caso especial de la sustracción. Es una operación que, sólo a veces, puede
resolverse por restas reiteradas.
Los problemas que se resuelven con la división
Si bien la división tiene tres significados: como partición, como reparto y
como búsqueda de número de elementos en un conjunto que da lugar a la
formación de pares, en el Módulo 2 para alumnos y en éste se trabaja sólo en
los dos primeros sentidos, ya que en la vida cotidiana se utiliza la división en
situaciones asociadas a “repartir” y “partir”.
• Cada caja de chiclets cuesta $ 1,50. Tengo $ 6. ¿Cuántas cajas puedo comprar?
• Con $ 6, puedo comprar 4 cajas de chiclets. ¿Cuánto cuesta cada una?
El procedimiento multiplicativo correspondiente implica repetir $1,50 cuatro
veces para obtener $ 6 en total.
$ 1,50 $ 1,50 $ 1,50 $ 1,50
1 caja 1 caja 1 caja 1 caja
Las cantidades desconocidas que se deben calcular son distintas para ambos
problemas: en el primero: 4 cajas; en el segundo: $ 1,50.
En el primer problema, se puede llegar a la solución por resta reiterada.
Tengo $ 6
Compro 1 caja $ 6 - $ 1,50 = $ 4,50
Compro la 2da caja $ 4,50 - $ 1,50 = $ 3
Compro la 3ra caja $ 3 - $ 1,50 = $ 1,50
Compro la 4ta caja $ 1,50 - $ 1,50 = $ 0
He comprado 4 cajas de chiclets.
Si quisiéramos resolver el segundo problema de la misma manera, sería
imposible ya que no se pueden restar 4 cajas de $ 6. La división puede resolverse
en algunos casos como resta reiterada pero no siempre. El segundo problema es
40

un ejemplo. Este problema requiere realizar un reparto: los $6 los debo repartir
entre las 4 cajas. Las actividades Nº24 y Nº25 del Módulo 2 para alumnos
plantean situaciones de este tipo de división. En cambio en la actividad Nº26
se plantean situaciones similares a las del primer problema, ya que se pueden
resolver como resta reiterada e implican la idea de partición: se deben "partir"
los $ 6 en x partes de $ 1,50 cada una.
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma
El algoritmo clásico de la división resulta de una aplicación inicial de la propiedad
distributiva a la derecha (ya que solamente en esa dirección es posible la
división respecto de la suma) y de la multiplicación sistemática de la descomposición
de los números. Por ejemplo:
458 : 4 se realiza teniendo en cuenta que:
(400 + 50 + 8) : 4 = 400 : 4 + 50 : 4 + 8 : 4. Además al realizar 50 : 4 resulta
un resto de 1 decena que debe ser convertida en unidades para continuar el
algoritmo (18 : 4).
400 : 4 = 100
50 : 4 = 10 y sobra 1 decena = 10 unidades
18 : 4 = 4 y sobran 2 unidades ( resto).
Los errores más frecuentes
114 cociente
• Aplicación incorrecta del sistema de numeración decimal
En un campo hay 604 manzanos dispuestos en filas de 6 manzanos cada una.
¿Cuántas filas completas tiene el campo?
El mayor problema suele presentarse cuando las centenas se agotan en el
reparto y no hay decenas que repartir. El alumno, entonces, tiene en cuenta las
unidades y olvida las decenas (puesto que no las hay), tanto en el dividendo
como, lo que es peor, en el cociente. Lo expresa así:
6 0 4 6
0 0 4 1 0
En este caso, es conveniente utilizar el material que aparece al final del
Módulo 1 para alumnos: recortar 6 centenas (cuadrados de 100 cuadraditos) y
4 cuadraditos sueltos (unidades) y, realizando los canjes correspondientes,
resolver la división construyendo el algoritmo.
41

Otro procedimiento válido, es la estimación previa a partir de sucesivas
multiplicaciones por la unidad seguida de ceros, por ejemplo:
6 x 10 = 60 < 604
6 x 100 = 600 < 604
6 x 1000 = 6000 > 604
Esto implica un importante trabajo de estimación de resultados, ya que le
permite al alumno saber que va a contar con centenas, decenas y unidades en
el cociente, pues éste va a estar entre 100 y 1.000.
• Suele ocurrir que, llegado el momento de verificar el resultado con la calcu-
ladora, el alumno olvide colocar la coma decimal (en la calculadora, el punto),
por ejemplo, si tiene que resolver: 12,5 : 4. Si previamente el alumno
estimó que el resultado de 12,5 : 4 tiene que ser un poco mayor que 3 (ya
que 12 : 4 = 3), difícilmente podrá aceptar que 12,5 : 4 dé por resultado 31.
• La primera cifra del dividendo es de menor valor absoluto que la cifra del
divisor.
En la actividad Nº30 del Módulo 2 para alumnos, se plantea el algoritmo
376 : 5 en el que el valor absoluto de la cifra de las centenas es menor que 5 y
esto suele ser motivo de errores por la dificultad que presenta.
Lo mismo que en el caso anterior se sugiere trabajar con el material que se
adjunta al final del Módulo 1 para alumnos.
Como las 3 centenas no se pueden "partir" en 5 partes iguales, habrá que
canjearlas por decenas (30 tiritas) y sumarles las 7 decenas sueltas. De esta
manera, hay que resolver 37 : 5. Se le puede sugerir al alumno que consulte la
tabla pitagórica o, como se le propone en la actividad mencionada, que
complete la tabla del 5 para buscar el número que, multiplicado por 5 da un
valor que se aproxima a 37. Este procedimiento es equivalente al inverso del
utilizado para buscar productos en la tabla pitagórica.
x 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 6 8
Se lee: "dos por
tres, es seis".
42

x 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 6 8
Se lee: “seis dividido
tres, es dos”
• Aplicación incorrecta de la propiedad distributiva a la derecha de la división
respecto de la suma.
Rosa cobró este mes $ 405. Si le pagan $ 5 la hora. ¿Cuántas horas trabajó?
Es un ejemplo similar al mencionado en el caso del campo con las manzanas,
ya que también éste tiene 0 en las decenas, pero aquí también se da la otra
dificultad: la cifra de las centenas es menor que 5.
4 0 5 5
0 5 8
No se tienen en cuenta las unidades en el momento de dividir. Si se aplicara
correctamente la propiedad distributiva a la derecha, no podría cometerse ese
error ya que:
4 0 5 : 5 = 4 0 0 : 5 + 0 : 5 + 5 : 5
= 80 + 0 + 1
Rosa trabajó 81 horas.
En general, los errores, obstáculos y dificultades de la división, tienen su
origen en la incorrecta aplicación de:
• las reglas del sistema de numeración decimal;
• la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma;
• no recordar las tablas y tratar de buscar mentalmente los productos.
La actividad Nº27 del Módulo 2 para alumnos, propone el algoritmo
tradicional como procedimiento para resolver la operación 733 : 3. Teniendo
en cuenta las dificultades que, en general, presenta la división, se utilizaron
como recurso visual, tres tonalidades diferentes de un mismo color, con el fin
de establecer con facilidad la relación entre la explicación con palabras y la
simbolización numérica.
43

Como en el caso de la multiplicación, es importante detectar el origen del
error para evitar mecanizaciones tediosas que no solucionan el problema.
Estadística
Tablas de doble entrada
Las tablas de doble entrada son un recurso valioso para la organización de datos
y el posterior análisis de los mismos. El adulto está familiarizado con ellas,
ya que los medios de comunicación las utilizan como ordenadores de la información.
Las actividades Nº19, Nº20 y Nº21, presentan diferentes tipos de tablas,
desde un tablero de un hotel, donde los pisos están en la vertical y el número
de habitación en la horizontal, hasta una tabla de posiciones de equipos
de fútbol. La actividad Nº21, le propone al alumno buscar tablas de doble
entrada en diarios y revistas.
Se sugiere, de ser posible, trabajar con los alumnos los planos de las guías que
se venden en quioscos y librerías o en folletos turísticos de las localidades. Con
el propósito de facilitar la ubicación de zonas, barrios o calles, esos planos,
hechos en escala, tienen en el borde horizontal, números y en el vertical, letras.
Trabajar ubicaciones y recorridos implica no sólo continuar con la propuesta
iniciada en geometría, sino también ejercitar la lectura e interpretación de las
tablas de doble entrada.
Promedio
Es importante favorecer en los alumnos, la comprensión de las informaciones
que a diario reciben de los medios para interpretar, críticamente, algunos datos
cuantitativos. A continuación se presentan algunas definiciones de conceptos
que servirán para interpretar ese tipo de información. El propósito no es que
usted los trabaje con los alumnos, sino que los utilice para aclarar dudas cuando
la situación lo requiera.
Población: conjunto de individuos (de variada naturaleza) sobre el que se
efectúan observaciones. Por ejemplo, los habitantes de la ciudad de La Rioja
forman una población.
Muestra: parte de la población sobre la que se trabaja o se observa. Por
ejemplo, se toma una muestra de 100 habitantes de La Rioja.
Frecuencia: número de veces que se repite un suceso en la muestra observada.
Podría ser la cantidad de mujeres, en la muestra tomada.
Promedio (o media aritmética): es el cociente entre la suma de todos los
valores obtenidos y el número de observaciones realizadas. Por ejemplo, se
podría obtener la edad promedio de la muestra, sumando todas las edades y
dividiendo por el total de las personas de la muestra.
Moda: es el valor de mayor frecuencia de la muestra considerada.
44

Si en la muestra hay:
15 personas hasta 9 años de edad
25 " de entre 10 y 20 " " "
20 " " " 21 y 29 " " "
30 " " " 30 y 40 " " "
10 " de más de 40 " " "
La moda de esa muestra, son las 30 personas de entre 30 y 40 años.
Algunas veces, el promedio no puede considerarse significativo porque está
muy influido por los valores extremos, como en la situación planteada en el
Módulo 2 para alumnos, referida a las calificaciones. Es evidente que los valores
extremos 4 y 8, influyeron en el promedio.
Otro ejemplo de promedio no significativo sería el siguiente:
En abril, el equipo azul ganó 3 partidos
En mayo, " " " " 3 partidos
En junio, " " " " 4 partidos
¿Cuál fue el promedio de partidos ganados en esos tres meses?
3 + 3 + 4 10
= =
3,33...
3 3
Este resultado no es significativo. En este caso el promedio no es útil.
Se sugiere trabajar con ejemplos propuestos por los alumnos que pueden ser
el resultado de una tarea de búsqueda de información en diarios y revistas.
45

EVALUACIÓN
Se presentan tres actividades de evaluación que usted podrá reformular o
modificar según las dificultades y logros de los alumnos durante el desarrollo
del módulo.
En caso de cambiar los valores de la actividad Nº3, tenga presente que la suma
debe tener como resultado un número entero, ya que en el Módulo 2 para
alumnos, no se trabajó la división con expresiones decimales.
1.- El restaurante "La Moderna" ofrece comidas para enviar a domicilio. Éstas
son algunas de las ofertas:
MINUTAS
Milanesa $ 3,50
Milanesa suiza $ 3,90
Milanesa napolitana $ 5,00
Suprema de pollo $ 4,00
Suprema suiza $ 4,70
Suprema napolitana $ 6,00
Bife de chorizo $ 5,80
Entrecot $ 4,40
Ensalada de estación $ 3,00
Papas fritas, naturales o puré $ 3,00
Tortillas (papa o acelga) $ 3,00
SANDWICHERÍA
Hamburguesa sola $ 2,50
Hamburguesa c/queso $ 3,00
Hamburguesa c/jamón y queso $ 4,00
Hamburguesa completa $ 4,50
Lomito solo $ 4,50
Lomito c/queso $ 5,00
Lomito completo $ 6,00
Arabesco simple (jamón y queso) $ 3,00
Arabesco completo(jam.,queso,
tomate y huevo) $ 4,00
Sándwich de milanesa $ 3,00
Sándwich de milanesa completo $ 4,50
Un grupo de ocho amigos decide hacer el siguiente pedido:
5 milanesas
2 supremas de pollo
3 hamburguesas completas
4 porciones de papas fritas
Y deciden dividir el importe por partes iguales entre los ocho, ¿cuánto pagó
cada uno?
46

2.- Este es el plano de la zona de envío del restaurante "La Moderna".
a) Nombre dos calles que sean perpendiculares.
b) ¿Qué clase de ángulo es el que aparece en el plano, limitado por las calles Rivadavia
y Belgrano?
c) ¿Y el que está limitado por las calles Independencia y San Martín?
d) ¿Roca e Independencia son paralelas? ¿Por qué?
Belgrano
3.- Éstos son los gastos diarios de Juan, durante una semana:
Lunes $ 8,75
Martes $ 13,00
Miércoles $ 9,25
Jueves $ 19,00
Viernes $ 11,50
Sábado $ 14,50
Domingo $ 15,00
Rivadavia
Alberdi
Laprida
San Martín
¿Cuál fue el promedio de gastos esa semana?
47
Roca
Independencia

BIBLIOGRAFÍA
Bindstein, Mirta y Hanfling, Mirta: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993,
cap. 2, 7, 8.
Buenos Aires (Provincia). Dirección de Educación Primaria: Matemática para
maestros. Buenos Aires, 1991.
Catalá, Flamarich, Fortuny Aymemmi. Invitación a la didáctica de la
geometría. Madrid, Síntesis, 1989.
Chemello, Graciela; Carozi de Rojo, Mónica y otros: “La matemática y su
didáctica.Nuevos y antiguos debates”, en Didácticas especiales. Buenos Aires,
Aique, 1992.
Maza Gómez, Carlos: Enseñanza de la multiplicación y de la división.
Madrid, Síntesis, 1991.
49

MÓDULO 3
*
7
4
1
2 3
5 6
8 9
0 #
12x5=60

ÍNDICE
Introducción 55
Contenidos y actividades 56
Noción de proporcionalidad 57
Las mediciones 59
La longitud 60
Las escalas 60
Geometría 62
Polígonos 62
Clasificación de los polígonos 63
La superficie de los polígonos 64
Cálculo de superficies 66
Operaciones 67
Evaluación 70
Bibliografía 73

INTRODUCCIÓN
En el Módulo 3 para alumnos se desarrollan contenidos de los ejes
Operaciones, Medida y Geometría. En el eje Operaciones, como ya se procedió
con otros temas, se trabaja la noción de proporcionalidad a partir de situaciones
cotidianas. El propósito es que los alumnos reconozcan si existe o no existe
relación de proporcionalidad entre dos magnitudes; y que utilizando las propiedades
de la proporcionalidad, frente a una directa, puedan calcular valores no
conocidos. Teniendo en cuenta que los adultos hacen este tipo de cálculos utilizando
el sentido común, convendría que analizaran que están utilizando tales
propiedades.
En el eje Medida se comienza diferenciando las magnitudes escalares de las no
escalares. Este concepto no siempre es tratado en forma correcta, generándose
confusión entre qué cosas pueden ser medidas y cómo, y cuáles son las que no
se pueden medir.
A partir de la noción de proporcionalidad y de magnitudes, se desarrolla el
concepto de escala, que también se trata en los módulos 2 y 5 de Ciencias
Sociales.
Es conveniente que los alumnos comprendan no sólo el concepto de escala,
sino que lo apliquen para calcular o representar distancias.
Dentrode las magnitudes escalares, se desarrollarán,principalmente,el concepto
de medir y el de dos de las magnitudes más utilizadas; longitud y superficie.
Al iniciar el tema de medidas de longitud se trabajará con unidades no convencionales
hasta llegar a la necesidad de utilizar una unidad de medida convencional.
Con respecto a la superficie, al igual que en el caso anterior, se comienza con
unidades no convencionales hasta llegar a las convencionales establecidas en el
SIMELA.
En el eje Geometría, a partir de las curvas y los poliláteros se arriba al concepto
de polígonos, su clasificación en regulares y no regulares, en el nombre que
reciben según el número de lados y en el reconocimiento de sus elementos.
Trabajar con la superficie de los rectángulos, se considera propósito central ya
que a partir de su fórmula y del concepto de la superficie se obtienen las fórmulas
de la mayoría de las restantes figuras planas.
Las actividades de cálculo de superficie, son ejemplos de cómo en una misma
actividad, se relacionan todos los ejes, ya que también se debe operar y medir.
En el Módulo 3 los objetivos tienden a que el alumno:
◆ Afiance la comprensión y la correcta utilización de los algoritmos de la multiplicación
y la división, especialmente con la unidad seguida de ceros.
55

◆ Conceptualice la noción de proporcionalidad.
◆ Comprenda los conceptos de medida: perímetro, superficie y volumen.
◆ Aplique adecuadamente las unidades convencionales de longitud y superficie.
◆ Reconozca los elementos de los polígonos.
◆ Utilice correctamente las fórmulas para calcular superficies y volúmenes.
◆ Emplee el concepto de escala para calcular longitudes o para hacer representaciones.
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES
El siguiente esquema sintetiza los contenidos del Módulo 3 para alumnos.
Operaciones
Multiplicación
de una expresión
decimal por un
número de dos
cifras
Multiplicación
y división
de un decimal
por la unidad
seguida de ceros
Noción de
proporcionalidad
Escalas
Magnitudes escalares
Situaciones problemáticas
Medida Geometría
56
Longitud
Superficie
Unidades de
superficie
convencionales y
no convencionales
Formas planas
Polígonos
Cálculo de la superficie
de un rectángulo

Noción de proporcionalidad
Si bien el desarrollo de la proporcionalidad directa e inversa son contenidos
del próximo módulo, en el Módulo 3 para alumnos se presenta la noción de
proporcionalidad en situaciones cotidianas. En general los adultos, no tienen
formalizado este concepto pero lo aplican cuando preparan recetas de cocina,
mezclas de combustible o de albañilería, y realizan interpretación de planos,
mapas u hojas de ruta, etc. En el módulo para alumnos, se han utilizado algunos
de estos casos. Es apropiado en las instancias presenciales proponer otras
situaciones cotidianas para reconocer si existe o no existe proporcionalidad
directa.
Respecto a la proporcionalidad, para que reconozcan cómo se relacionan dos
magnitudes en forma directamente proporcional, usted puede trabajar con los
alumnos a partir del error. Es común que los adultos utilicen criterios para el
reconocimiento de magnitudes directamente proporcionales que son incorrectos,
por ejemplo, suele pensarse que: "Si al aumentar una magnitud, también
aumenta la otra, entonces son directamente proporcionales". Esto no sólo
confunde, sino que origina errores en la resolución de problemas ya que
utilizan las propiedades de proporcionalidad en situaciones en que no
corresponden porque no existe tal relación. Usted podrá dar algunos ejemplos
como las boletas de servicios (electricidad, gas, teléfono, etc.), para demostrar
que esta condición es insuficiente. Es fácil comprobar en estos casos que al
doble de consumo no le corresponde el doble de importe.
Otro de los errores relacionados con proporcionalidad, es considerar la razón
como sinónimo de fracción. Cuando se utiliza una razón, lo que se está haciendo
es indicar la relación que existe entre dos cantidades. Por ejemplo, si decimos
que de cada 3 personas altas hay 5 bajas y escribimos la razón 3 , esta escritu-
5
ra establece que la relación entre bajos y altos, indica, entre otras cosas:
Que hay más bajos que altos.
Que la cantidad de personas bajas es "casi" el doble que la cantidad de
personas altas.
Que en un grupo de 800 personas posiblemente 300 serán altas y 500
bajas, etc.
En las relaciones, decir 3 de cada 5 es igual a decir 6 de cada 10 ó 30 de cada
50, ya que la relación es la misma.
Las fracciones 3 , 6 y 30 son equivalentes, pero no iguales.
5 10 50
Si se tiene en cuenta que se opera del mismo modo con las razones y con las
fracciones, no es necesario establecer esas diferencias ante los alumnos, pero
tampoco deben tratarse del mismo modo. En este sentido, es conveniente que
se remarque la lectura correcta de una razón. Por ejemplo, si resulta 5 , debe
6
leerse "cinco de cada seis" y no "cinco sextos". La lectura correcta permite
marcar la relación entre esas cantidades y no un número, como resulta de leer
"cinco sextos".
57

En las razones, al igual que en las fracciones, se escribe la línea de separación
en forma horizontal y no oblicua.
Sólo después de utilizar correctamente la escritura, la lectura y el concepto de
razón, los alumnos están en condiciones de continuar con proporciones.
Para comprender qué representan, las proporciones también requieren ser
leídas correctamente.
3 6
=
4 8
"3 es a 4 como 6 es a 8" ó
Se lee: "Es igual 3 de cada 4 que 6 de cada 8"
La relación que existe entre 3 y 4 es la misma que
entre 6 y 8
En las proporciones al igual que en las razones, la lectura correcta permite
observar la relación que existe entre las cantidades, de tal manera que, en caso
de conocer tres de las cuatro cantidades, al calcular la cuarta su resultado se
interprete como un resultado lógico y no simplemente como el resultado de
una cuenta.
En el Módulo 4 para alumnos se tratará nuevamente el tema de la proporcionalidad.
En el Módulo 3 se trabaja la proporcionalidad directa porque resulta
más sencillo para los alumnos.
Si se observaran dificultades con este concepto en algunos adultos, convendría
continuar con más ejemplos tratando de que éstos estén de acuerdo con las
actividades cotidianas de los alumnos, como las que se enuncian a continuación.
a) Si para preparar 4 porciones de gelatina se requieren 2 tazas de agua, ¿cuántas
tazas se necesitarán para 8 porciones?
b) Si se gastan 3 panes de jabón en 2 meses, ¿para cuántos meses alcanzarán 9
panes? (Gastando en forma regular el jabón.)
c) Si en 3 hectáreas se obtuvieron 5 toneladas de grano, ¿cuántas toneladas se
obtendrán en 6 hectáreas? (Se entiende que el rendimiento por hectárea se
considera aquí de manera constante.)
d) ¿Cuántos kilos de fruta se espera cosechar, si de los 4 primeros frutales se co-
secharon 80 kilos y en total existen 400 frutales? (Se supone que los frutales
tienen el mismo rendimiento.)
Las aclaraciones entre paréntesis, indican lo que permanece constante en cada
unode los problemas enunciados. Cuandoexiste una relación directamente proporcional,
es conveniente indicar o buscar la constante de proporcionalidad.
Si no se lo explicita, nada garantiza que lo sea. Por ejemplo, en el problema b) es más
lógico pensar que no gasta siempre la misma cantidad de jabón. Al señalar que se gasta
58

en forma constante queda claro que se supone una regularidad en el problema que se
plantea. Esto permitirá decir que existe proporcionalidad directa.
Por intuición o por sentido común hallarán y justificarán las respuestas, lo
que no quita que se llegue también al resultado siguiendo el procedimiento matemático
correspondiente, ya que no siempre el resultado será fácilmente calculable
sin utilizar la proporción escrita. En cuanto al procedimiento matemático
correspondiente, éste se planteará en el Módulo 4.
El cálculo aproximado del resultado, en forma mental o por intuición, debe
ser estimulado; pero es el procedimiento escrito el que permitirá calcular correctamente
en situaciones más complejas.
Otra de las formas de trabajar con proporciones es a través de tablas, éstas
tienen algunas ventajas, por ejemplo permiten interpretar los datos de un
problema en forma más ordenada, reconocer más fácilmente la constante o
calcular varias incógnitas a partir de un sólo enunciado.
Trabajar con el concepto de proporcionalidad es necesario para abordar un
caso particular de las proporciones que es la escala.
Las mediciones
En el mundo físico y sensible, la cantidad se manifiesta de dos modos
distintos, para diferenciarlas, se puede partir de las siguientes preguntas:
• ¿Cuántas hojas tiene este módulo?
• ¿Cuánta agua hay en el vaso?
Para responder a la primera pregunta es suficiente contar y responder con un
número, pero no se puede contestar a la segunda del mismo modo. ¿Se puede
contar la cantidad de agua?
En el primer caso la respuesta es una cantidad discreta o discontinua, y para
cuantificarla basta contar una por una las unidades que la integran.
En el segundo caso, la respuesta es una cantidad continua y para cuantificarla
es necesario utilizar una unidad de la misma especie y determinar cuántas veces
cabe esta unidad en el objeto que se quiere cuantificar.
Las primeras cantidades se cuentan, porque se trata de cantidades
discontinuas; las segundas se miden, porque son cantidades continuas.
Es necesario tener presente este tipo de clasificación porque es común que se
trabaje con ambas clases en forma simultánea.
La primera actividad que se propone a los alumnos, es reconocer qué cosas
pueden ser o no ser medidas con precisión, sin diferenciar entre las cantidades
continuas y discontinuas.
59

La longitud
Para medir una cantidad es necesario establecer una unidad que puede o no
puede ser elegida arbitrariamente. Si se quiere medir una longitud, es lógico
que se piense en unidades tales como el metro o el kilómetro en lugar de pasos,
una ramita o cualquier otro objeto, por ser las primeras de uso frecuente y generalizado.
Pero, para construir estas unidades convencionales, la humanidad
tuvo que recorrer un largo camino. En la antigüedad, sólo se utilizaron
unidades no convencionales (objetos, partes del cuerpo humano, etc.)
Transcurrieron muchos siglos hasta que se obtuvieron sistemas de unidades
convencionales, universalmente aceptadas. Por eso para estudiar las medidas de
longitud, como también las de superficie, el camino lógico es a través de las
unidades arbitrarias en una primera instancia, para llegar después a las convencionales
establecidas en el SIMELA.
El uso de unidades no convencionales en una primera instancia, facilita que
los alumnos comprendan el concepto de medida. Comenzar con unidades como
el metro, que en muchos casos es frecuente, no permite ver por qué existen
unidades convencionales.
El alumno tendrá que comprender la necesidad de utilizar unidades que resulten
comunes a todos. Por ejemplo, sugerir que mida el ancho del aula o la altura
de la puerta, utilizando el largo del borrador o una tiza como unidad de medida
de longitud; o bien que el mismo objeto sea medido con diferentes
unidades, y que compare y analice los resultados.
En los sistemas como el SIMELA, la existencia de múltiplos y submúltiplos,
tiene por finalidad disponer de unidades más grandes o más chicas que la unidad
base, ya que ésta en muchas ocasiones resulta inapropiada. Por ejemplo,
para medir la distancia que existe entre su ciudad y la ciudad de Roma, o para
medir el largo de una hormiga, ¿el metro es una unidad apropiada?
Una vez comenzado el trabajo con unidades convencionales, es importante
que se observe si los alumnos tienen la noción del tamaño de cada unidad; si
usted detectara dificultades, podría proponer actividades como las Nº4, Nº5 y
Nº6 del módulo para alumnos, para que el adulto pueda expresar la equivalencia
entre una unidad y sus múltiplos y submúltiplos.
De nada sirve correr la coma para uno u otro lado, si no se entiende la equivalencia
entre las distintas unidades.
Las escalas
Posiblemente, los alumnos hayan interpretado un plano, un mapa, un molde
de costura o el esquema de algún electrodoméstico, en estos casos han operado
con el concepto de escala, pero quizá no tienen formalizado dicho concepto.
Estas experiencias de vida, resultan útiles para desarrollar el contenido de las
escalas. Por esta razón se utilizaron en el abordaje del tema, mapas, planos, etc.
60

La forma en que se indican las escalas es muy variada, en especial en geografía.
Por eso se incorporaron varias formas de representar o escribir las escalas.
1 300 km
100.000
1 : 50.000
Posiblemente, algún alumno podrá preguntar por alguna de las no utilizadas
en el módulo, en todos los casos, lo importante es remarcar que sólo son
maneras diferentes de expresar lo mismo. El concepto de escala, como ya se
expresó, se trabaja también en los módulos 1, 2 y 5 de Ciencias Sociales.
Fundamentalmente, lo que debe quedar claro es que la escala es la relación
(razón) entre la medida con que se representa una distancia y la medida real de
esa distancia.
Por lo tanto:
1
100.000
indica que por cada cm representado la distancia real
es de 100.000 cm.
1 : 50.000 Indica que cada cm representa 50.000 cm.
En los ejemplos anteriores, no se indican unidades, sino que se podrá medir
en cm, mm u otra unidad para obtener la correspondencia en la misma unidad.
300 km
En Con la longitud del segmento dibujado se representa
300 km de la distancia real.
Esta representación es frecuente en mapas. Muchas veces el segmento está dividido
en segmentos menores para establecer distancias reales más pequeñas.
El uso e interpretación correcta de la escala, permite comprender la relación
entre magnitudes muy grandes o muy pequeñas.
Por ejemplo las dimensiones que tiene el sistema solar y los cuerpos que lo
integran, que se estudian en el Módulo 3 de Ciencias y Tecnología, son imposibles
de comprender si no es a través de una proporción o un gráfico en escala.
La ejercitación adicional se planteará de acuerdo con el tipo de dificultad que
presenten los alumnos. Si el problema radica en que no puede operar con el
concepto, será necesario proponer actividades como la Nº30 del Módulo 3
para alumnos y trabajar con planos, mapas o esquemas, para calcular longitudes
utilizando la escala que se indique en cada caso.
Una actividad para proponer a los alumnos, podría ser dar la medida real de
un objeto, y tomando la de su representación, hallar la escala utilizada.
Una actividad que integre todo lo anterior, sería representar algún objeto con
una escala previamente establecida por los alumnos, por ejemplo la representación
del aula, del patio, de un armario, etc.
61

Geometría
El edificio geométrico fue construido por los seres humanos a lo largo de
muchos siglos. Sobre él se han escrito importantes tratados que generaron
discusiones entre matemáticos ilustres; transcurrieron siglos hasta llegar a
algunos acuerdos.
La enseñanza de la geometría también pasó por períodos críticos. Durante
mucho tiempo se enseñó matemática y especialmente geometría, con un
ordenamiento, una sistematización y un rigor científico que poco tenía que ver
con las posibilidades y los intereses personales de los alumnos para aprender
matemática.
El tratamiento de la geometría en el Módulo 3 para alumnos, va desde la
geometría física (de las representaciones gráficas y materializadas), a la geometría
abstracta (conceptualizaciones matemáticas).
No hay dudas, desde el punto de vista didáctico, de que la geometría del
mundo físico es un modelo excelente para el desarrollo de la geometría matemática.
Se comenzó el estudio de la geometría (en el Módulo 2) presentando
actividades que intentaron poner en contacto a los alumnos con algunos conceptos
geométricos.
A partir del Módulo 3 para alumnos se incorpora el lenguaje de las representaciones
geométricas.
Polígonos
La idea de poligonal surge al considerar segmentos consecutivos no alineados.
Si los segmentos o lados de la poligonal no se cruzan, la poligonal recibe el
nombre de simple. De lo contrario se llama poligonal cruzada. En ambos casos
puede ser abierta o cerrada.
Simples
abierta cerrada
62

cerrada
Dentro de las cuatro posibilidades que se presentan en las poligonales, las
cerradas y simples son las que, matemáticamente, reúnen las propiedades más
interesantes.
Los alumnos deben notar que los puntos del plano quedan divididos en tres
clases; los de la poligonal, los interiores a la poligonal y los exteriores a ella. Esta
clasificación de los puntos, permite construir el concepto de polígono. La
unión entre la poligonal cerrada y simple con su región interior determina un
polígono: es importante que se establezca con claridad que al polígono pertenecen
tanto los puntos del borde o frontera (poligonal), como también los
interiores.
Respecto de la actividad Nº31 es conveniente que sea el alumno quien
compare las dos figuras y establezca las diferencias. Una de las principales, es
que la poligonal es una línea en cambio el polígono no. Por eso en la poligonal
sólo existe una dimensión, la longitud. En un polígono son dos las dimensiones
y, por lo tanto, tienen como propiedad específica la superficie. Esto es tratado
para facilitar al alumno la conceptualización de perímetro y de superficie.
Clasificación de los polígonos
Cruzadas
Generalmente, la primera clasificación que se establece entre los polígonos es:
convexos y no convexos (o cóncavos).
Esta clasificación no fue desarrollada en el Módulo 3 para alumnos, pero si
en el grupo surgiera la necesidad de hacerlo, se sugiere la siguiente actividad:
presentar dos polígonos, uno convexo y otro cóncavo, como los siguientes.
63
abierta

Solicitar que indiquen las diferencias que observan entre uno y otro. Muchas
serán las diferencias que encuentren, y sin lugar a dudas una de ellas será la
propiedad de convexidad de uno de los polígonos. La forma cómo expresen
esta condición podrá variar de un alumno a otro, pero el concepto será el
mismo.
Una figura es cóncava (o no convexa) cuando con un par de puntos pertenecientes
a ella puede determinarse un segmento que no está incluido en dicha
figura.
Es necesario hacer notar que con encontrar al menos un par de puntos que
cumplan con este requisito, es suficiente para que la figura se clasifique en
cóncava. Por lo tanto, para ser convexa no debe existir ningún par de puntos
que determine un segmento que no esté incluido en la figura.
a
La clasificación en cóncavo y convexo, no sólo se aplica a los polígonos. Por
lo tanto es necesario verificar que el concepto sea general y no particular para
los polígonos. Por ejemplo con ángulos, con las lentes, etc.
Los polígonos, puden ser regulares o irregulares. Con respecto a esta clasificación,
es común que se interprete que para que un polígono sea regular "sus
lados deben ser iguales". Si bien es cierto que esta condición es necesaria, no es
suficiente. Un polígono es regular si y, sólo sí, todos sus lados y todos sus
ángulos son iguales.
La clasificación más utilizada, es la que divide a los polígonos según el número
de lados. Algunos de estos figuran permanentemente en nuestro lenguaje,
como el triángulo, el cuadrilátero, etc. En general, esta última clasificación no
presenta dificultades. Es conveniente remarcar que los triángulos y los cuadriláteros
son polígonos, por lo tanto tienen sus mismas propiedades.
La superficie de los polígonos
b
a y b determinan un segmento no incluido
en el polígono. Es cóncavo.
En ningún momento se ha hecho la diferenciación entre superficie y área,
porque se considera innecesaria y sólo contribuiría a confundir a los alumnos,
ya que la gran mayoría de los adultos utiliza el término superficie como
sinónimo de área y no es necesario establecer su diferenciación.
64

Algo semejante ocurre con los términos congruente e igual, los adultos en
general desconocen la palabra congruente, pero utilizan permanentemente la
palabra igual, en algunos casos como sinónimo de congruente. De nada serviría
insistir en la diferencia.
Al igual que en la longitud, para llegar al cálculo de superficie y al uso de
unidades convencionales, se creyó necesario incorporar el concepto de superficie y
el uso de unidades no convencionales. Por eso en la actividad Nº40, se ha intentado
diferenciar el perímetro de la superficie. A diferencia de las líneas cuya
propiedad es la longitud, la propiedad característica de los polígonos es la superficie.
Para medir una longitud se necesita otra longitud, es decir una magnitud de
la misma especie, y, para medir una superficie, es necesario utilizar otra superficie
como unidad. Se pueden utilizar entonces, baldosas (si se trata de un piso),
manzanas (en el caso de un sector de una ciudad), cerámicas o azulejos (en el
caso de una pared), etc. Además, el alumno podrá proponer otras unidades posibles
para medir superficies y medir la misma superficie con distintas unidades
(actividades Nº42 y Nº43).
Si bien se puede tomar cualquier superficie como unidad, es conveniente que
las últimas que se utilicen durante las actividades que se propongan sean cuadrados,
ya que el metro cuadrado es una superficie cuadrada. También en este
caso el alumno debe ver la necesidad de utilizar unidades convencionales
incluidas en el SIMELA.
En el tratamiento de los múltiplos y submúltiplos hay dos aspectos centrales
a tener en cuenta: la relación entre las unidades y la formación de la idea del
tamaño de las unidades de superficie más usuales.
Estos dos aspectos se pueden trabajar simultáneamente como en las actividades
Nº44, Nº45 y Nº46. Ante dificultades se puede llevar un metro y con tiza
o algún objeto que permita marcar, dibujar con los alumnos las unidades
apropiadas. Por ejemplo: medir la superficie del pizarrón, del patio o de una
pared. Dibujar entonces cuadrados de 1m por 1m, o de 1dm por 1dm de 1cm
por 1cm y luego contar los m 2 , dm 2 o cm 2 .
De esta actividad, que puede repetirse con distintos objetos y diferentes unidades,
surgen varias situaciones adicionales: a) elegir la unidad apropiada; b) la
unidad elegida no está contenida un número exacto de veces; c) la equivalencia
(si se eligen dos unidades distintas para medir la misma superficie).
En el caso a), se verifica si tienen noción del tamaño de las unidades para elegir
la apropiada. De no ser así, al intentar resolver la actividad, se darán cuenta
de que es muy pequeña o muy grande la unidad elegida.
La situación b) se dará en casos como el siguiente.
1 m 2 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
65

Sobre el patio se han dibujado cuadrados de 1 m 2 cada uno, en total hay 12,
pero queda superficie del patio sin medir. ¿Cómo se determina la medida de la
superficie restante?
Aquí los alumnos pueden proponer: 1) Estimar lo que quedó (más o menos
4 m 2 dando un total de 16m 2 ). 2) Completar el resto de la medición con dm 2
(en este caso se dibuja en lo que queda del patio, cuadrados de 1 dm por 1 dm).
Finalmente, se podrán comparar las dos respuestas.
En c), se presenta una buena ocasión para mostrar equivalencias. Si por
ejemplo, la superficie de un pupitre es de 18 dm 2 , al medirla con cuadraditos
de 1 cm por 1 cm, se obtendrán 1.800cm 2 .
Para medir superficies también se utilizan las unidades agrarias, fundamentalmente,
la hectárea. Generalmente los hombres y mujeres que trabajan o han
trabajado en el campo, tienen presente esta unidad de medida. Con ellos sólo
será necesario trabajar la equivalencia con el hectómetro cuadrado (1 hectárea).
Con los alumnos que no tengan una noción clara del tamaño de una hectárea,
se la deberá relacionar con el hm 2 , establecer la manzana de algunas ciudades
como una superficie similar (se debe tener presente la irregularidad de
las manzanas).
Cálculo de superficies
En el Módulo 3 se trabajará sólo el cálculo (con fórmula) de la superficie de
rectángulos.
En muchas ocasiones, especialmente en geometría, se presentan las fórmulas
para calcular una superficie, un volumen o alguna medida de la figura
geométrica como una imposición del maestro o el libro y que el alumno, sin
comprenderla, debe aceptar. En tales casos, los alumnos tienen la sensación de
que son el "mandato" de algún matemático que vivió hace mucho tiempo y que
deben ser utilizadas mecánicamente.
Las actividades Nº47, Nº48 y, especialmente, la Nº49, permiten que el
alumno descubra la fórmula para calcular la superficie de los rectángulos. En el
rectángulo de la actividad Nº49, la superficie la obtuvo multiplicando 10 cm
por 6 cm, que son las medidas de ese rectángulo, pero el procedimiento se
puede generalizar, ya que en todos los casos, el producto de la base por la altura
permite hallar la superficie de un rectángulo.
Si el alumno, es quien generaliza, podrá:
• Comprender y recordar fácilmente las fórmulas correspondientes y reconstruirlas
si es necesario.
• Valorar la importancia de analizar situaciones particulares, ya que a partir de
casos individuales se pueden obtener conclusiones generales.
66

La obtención, comprensión y utilización de las fórmulas por parte de los
alumnos, permite ir de lo concreto y particular a lo general, representativo y
abstracto.
La fórmula para calcular superficies de rectángulos es fundamental, ya que las
fórmulas para el resto de las figuras (directa o indirectamente), están relacionadas
con ésta.
De ser necesario, se pueden proponer actividades similares a la Nº49. Si los
alumnos comprenden el concepto de superficie y el de multiplicación, no
tendrán dificultades para aplicar o reconstruir la fórmula para calcular la superficie
del rectángulo; de lo contrario, hay que verificar en cuál de estos dos
conceptos está la dificultad, para poder superarla.
Otras actividades podrían ser las que los alumnos piensen en situaciones
cotidianas en donde necesiten calcular las superficies. Por ejemplo, calcular la
superficie de un vidrio que debe ser reemplazado, la de una huerta que debe ser
abonada o sembrada, la de una pared que se quiere empapelar, etc.
Luego de haber hecho cálculos simples, se pueden proponer actividades como
la Nº51, donde intervienen muchos de los temas desarrollados en el módulo
para alumnos. Ejercicios semejantes, pueden realizarse no sólo a través del gráfico
de las paredes, sino tomando una habitación para graficar sus paredes,
medirlas y luego resolver la actividad.
El aula siempre ofrece posibilidades muy buenas para generar actividades. En
este sentido, es bueno llevar o pedir que los alumnos lleven instrumentos para
medir. En este tipo de actividades, la vivencia que se genera por tener que
obtener los datos para resolver el problema, generalmente, hace que éstos sean
ordenados y utilizados correctamente.
Operaciones
Los algoritmos se olvidan fácilmente cuando no son comprendidos. La comprensión
del algoritmo tanto de la multiplicación como de la división, está
basada, principalmente, en un manejo apropiado del sistema de numeración
decimal.
Los alumnos, en muchas ocasiones operan mal al querer aplicar un mecanismo
que no comprenden o no lo recuerdan por haber sido incorporado sólo en
forma mecánica.
Si en un grupo hay alumnos que cometen errores al multiplicar o dividir, en
especial con dos cifras, no es conveniente insistir con más cuentas, como máximo
se logrará que temporariamente obtengan algunos resultados correctos. En
estos casos, es necesario observar las cuentas realizadas por ellos. Se notará que,
en general, los errores se relacionan con el sistema de numeración decimal, ya
sea porque encolumnan mal o porque transforman unidades de uno a otro orden
en forma incorrecta.
67

Para superar estos errores, es necesario que usted plantee actividades que se
refieran al sistema de numeración decimal y luego rehacer junto con los
alumnos las operaciones resueltas incorrectamente, indicando por qué se opera
de esa manera, para que puedan reconocer la causa de sus errores.
En la historieta que introduce al tema multiplicación y en la actividad Nº12,
se sugiere que en lugar de multiplicar por 12, se multiplique por 2 y por 10 y
que se sumen los resultados, ya que en esto consiste el algoritmo de la multiplicación
por dos cifras.
Hasta que el algoritmo no esté comprendido, es conveniente que se utilicen
las columnas de C, D y U. Los alumnos solos sabrán cuándo no usarlas más.
El mismo tipo de dificultades, presenta la multiplicación de una expresión
decimal por un número natural. Por lo tanto, es necesario insistir en las
multiplicaciones entre números naturales antes de pasar a agregar una mayor
dificultad al utilizar la coma decimal.
En las primeras multiplicaciones, es conveniente mencionar que se está
multiplicando y que se obtiene, por ejemplo, en la actividad Nº15: "2 por 4
centésimos, es igual a 8 centésimos" y ubicarlo en la columna que corresponda.
Las primeras actividades de multiplicación (actividades Nº12 y Nº15) y de
división (actividades Nº23 y Nº24) por dos cifras, es conveniente explicarlas
oralmente para facilitar su comprensión, ya que la secuencia indicada para
resolver las operaciones y sus justificaciones, pueden no ser comprendidas por
todos los alumnos. No se puede agregar más texto a los ejercicios para que no
resulten demasiado extensos.
La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros, permite hacer
cálculos aproximados del resultado de una cuenta sin necesidad de hacerla con
calculadora o escribiéndola.
Hay que estimular a los alumnos para que antes de realizar una operación,
estimen un posible resultado. De esta manera, si al hacer una cuenta por escrito
el cálculo se realiza mal, notarán que el resultado no es correcto y revisarán la
cuenta. Por ejemplo, si se tiene que multiplicar 154 por 13, se puede pensar
que si se multiplica 154 por 10 y se obtiene 1540, entonces por 13 será algo
más, tendrá que dar aproximadamente 2000; si al hacer la cuenta da mucho
más o mucho menos, es evidente que hay un error. Es posible que muchos
adultos utilicen estrategias semejantes, en estos casos conviene que las compartan
con el resto del grupo. Esto los estimulará y permitirá a los otros ir
construyendo sus propios procedimientos.
Las actividades Nº17, Nº20 y Nº22, permiten que los alumnos descubran la
propiedad referida a la multiplicación y la división por la unidad seguida de
ceros. Las tablas de equivalencias que se presentan, muestran que siempre ocurre
lo mismo, descartando lo que en una sola cuenta podría parecer casualidad.
El algoritmo de la división por dos cifras no es distinto al de una cifra, pero
tiene sus particularidades. Por ejemplo:
68

C D U
7 4 8 21 ¿Se puede dividir 7 centenas por 21?
Como la respuesta es no, generalmente se dice: "entonces se toma la cifra que
sigue", esto no tiene la justificación correspondiente y comienza a convertirse
en un mecanismo incomprensible. Lo correcto es utilizar el sistema de numeración
y pensar, "Como no se puede dividir 7 centenas en 21 partes iguales se
transforman las 7 centenas en decenas, o sea 70, más 4 que ya se tenían da 74
decenas".
C D U
7 4 8 21 ¿Se puede dividir 74 decenas por 21?
La respuesta ahora es sí. El problema es cuánto se obtiene.
En la actividad del módulo para alumnos, para poder hallar cada una de las
cifras del cociente, se agregaron todos los productos del dividendo por una
cifra. Ésta es una de las técnicas posibles. Otra forma de hallar la primera cifra
del cociente, es por tanteo. Éste es el procedimiento más utilizado, pero no es
el mejor para iniciar el tema, porque implica muchos cálculos innecesarios que
pueden evitarse si el alumno sabe las tablas, o utiliza la tabla pitagórica
sabiendo lo que busca.
C D U
7 4 8
6 3
1 1 8
21 3
11 decenas se transforman en 110 unidades, más las
8 que ya había, da 118, por eso se escribe el 8 junto
al 11.
Generalmente se dice " se baja el 8". ¿Por qué?, ¿para qué?. Si no se cambia o
justifica este tipo de expresión, se cae en el mecanismo incomprensible.
A partir de este paso, el ciclo se repite, se busca el cociente entre 118 y 21 y
se sigue...
C D U
7 4 8 21
6 3 35 Si el propósito es obtener un cociente decimal, sólo
1 1 8 se necesita mostrar que el 5 obtenido en el cociente
1 0 5 corresponde a las unidades, por lo tanto, para con-
1 3 tinuar, es necesario transformar 13 unidades en 130
décimos (generalmente se dice "se agrega un cero al
resto"), obteniendo en el cociente como próxima cifra 6 décimos, por eso se
coloca la coma decimal en el resultado.
Sintetizando, para los adultos que ya saben este tipo de procedimientos habrá
que justificarlos, mejorarlos y controlarlos. Para los que lo están aprendiendo,
es necesario que justifiquen permanentemente. Esto ayudará a que comprendan
y no olviden los algoritmos.
Recuerde que la calculadora podrá ser utilizada para verificar los resultados.
69

EVALUACIÓN
La siguiente es una actividad de integración propuesta para la evaluación. Es
conveniente tener en cuenta que un error de medición o de cálculo, puede
motivar que las respuestas que dependan de éste no sean correctas, pero esto no
implica necesariamente que el alumno haya procedido mal.
Campo "La luz güena"
En el gráfico se ha hecho el esquema de un campo, el recuadro mayor corresponde
a los límites del campo, el interior al sector destinado a la vivienda.
1) Mida y escriba cuántos cm tiene el ancho (base) del rectángulo,
2) Si la medida real del ancho del campo es de 900m, ¿cuál es la escala utilizada
para la representación?
3) ¿Cuál es el perímetro del campo?
4) Si por cada 25m de alambre perimetral se quiere colocar un cartel, ¿cuántos
carteles podrán ubicarse?
5) Calcule la superficie total del campo
6) ¿Cuál es la superficie del sector destinado a vivienda?
7) Si el resto del campo es utilizado para criar animales. ¿Cuál es la superficie
destinada a esta finalidad?
70

8) Exprese esta superficie en hm 2, o sea, son hectáreas
Si por ejemplo en el punto 1) el alumno mide mal y en lugar de medir 9cm
lee 10cm, la escala ya no será la dada, pero si usando lo que él midió (10cm),
calcula como escala 10cm : 900m o 1cm 90m o como lo exprese,
el punto 2) es correcto.
Este tipo de situaciones, pueden darse en cualquier punto de la evaluación, y
el criterio a adoptar debe ser el mismo.
71

BIBLIOGRAFÍA
Sobre aspectos didácticos
Bandet, J. y otros: Hacia el aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires,
Kapelusz, 1965.
Castelnuovo, Emma: Didáctica de la matemática moderna. México, Trillas,
1972.
Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Buenos Aires, Kapelusz,
1987, Cuaderno pedagógico Nº57.
Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.
Sobre contenidos
Proporcionalidad:
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, Capítulo 4.
Las mediciones:
Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. La medida. Buenos
Aires, Plus Ultra, 1982.
Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 6.
Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 6.
Polígonos:
Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 4.
Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 5.
La superficie, cálculo:
Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 8.
Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 11.
Operaciones, potenciación:
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y 11.
73

MÓDULO 4
*
7
4
1
2 3
5 6
8 9
0 #
12x5=60

Índice
Introducción
Contenidos y actividades
Operaciones
Proporcionalidad
Las posibles dificultades de los alumnos
Porcentaje
Multiplicación y división de expresiones decimales
Medidas de capacidad y peso
Geometría
Medición de ángulos
Evaluación
Anexo I: Problemas
Proporcionalidad
Porcentaje
Bibliografía
Anexo II: Módulo 4 para alumnos

ÍNDICE
Introducción 79
Contenidos y actividades 80
Operaciones 81
Proporcionalidad 81
Las posibles dificultades de los alumnos 86
Porcentaje 88
Multiplicación y división de expresiones decimales 90
Medidas de capacidad y peso 90
Geometría 91
Medición de ángulos 91
Evaluación 92
Anexo I: Problemas 94
Proporcionalidad 94
Porcentaje 96
Bibliografía 99

INTRODUCCIÓN
La organización de este módulo destaca el concepto de proporcionalidad; se
lo considera un tema fundamental por su utilidad en la vida cotidiana y en la
aplicación en otras disciplinas como, por ejemplo, la física. Además, de él
derivan otros temas como los de escala, porcentaje y descuento.
La enseñanza de la matemática está estrechamente ligada a la resolución de
problemas. Por tal motivo, el objetivo central de este módulo es presentar
algunas herramientas que lo orienten a usted en:
• la selección de problemas de proporcionalidad para plantear a los alumnos;
• la elección de procedimientos de resolución de problemas de regla de tres
y de formas de representación de planteos y soluciones;
• la elección de estrategias para superar posibles errores conceptuales y/o de
aplicación de procedimientos por parte de los alumnos.
Un tema no se agota con la resolución de un solo tipo de problemas. Es
conveniente enfrentar al alumno con situaciones que contemplen diferentes
aspectos en relación con un contenido particular, de tal forma que nuevos
problemas den lugar a nuevas reflexiones y reformulaciones. Por tal motivo, se
incorporó al final de este módulo el Anexo I con propuestas de problemas, para
ser utilizado cuando usted lo crea oportuno.
En el eje Operaciones, es prioritario el concepto de proporcionalidad, cuyo
tratamiento se inició en el Módulo 3. Dicho concepto, se fue estructurando a
partir de la formulación de una secuencia de problemas con nivel creciente de
complejidad. El propósito es que el alumno analice y confronte los posibles
procedimientos de resolución de situaciones de proporcionalidad y utilice el
que le resulte más conveniente 1.
Derivado del concepto de proporcionalidad, se plantea el concepto de
porcentaje, que está presente en el quehacer cotidiano del adulto, en
situaciones como: calcular el precio de un producto al que se le practica un
descuento determinado (10%, 20%, etc.), comprender los descuentos que se le
practican en su recibo de sueldo, interpretar noticias periodísticas de actualidad
(resultado de elecciones, aumento en los servicios, etc.). Su tratamiento
permite integrar el eje Estadística a partir del análisis e interpretación de
diagramas de barras, de torta y tablas de doble entrada.
Otro contenido del eje Operaciones es la multiplicación y división de
expresiones decimales. Se trabajan las operaciones mencionadas en situaciones
problemáticas, proponiendo, en primer lugar, la estimación del resultado y, en
segundo lugar, la resolución exacta, aplicando el algoritmo que corresponda;
finalmente, la verificación del resultado con la calculadora.
1 En la segunda impresión del Módulo 4 para alumnos se suprimió la resolución de problemas de proporcionalidad
por función, debido a las dificultades que la misma presentaba (según encuestas para docentes y alumnos
de varias jurisdicciones).
Relacionado con la resolución por función sólo se aclara el significado del término en el lenguaje matemático
y se plantea la representación gráfica de la función. Por tal motivo se mantienen las situaciones que se resuelven
sólo con la observación de dicha representación.
79

En el eje Medida, se presentan las medidas de capacidad y peso en situaciones
de la vida diaria. Esto permite hacer referencia a las unidades convencionales
establecidas por el SIMELA, y plantear la resolución de problemas que integran
los contenidos del Módulo 4: proporcionalidad, porcentaje y operaciones con
expresiones decimales.
Respecto de la medición de ángulos, se comienza comparando las aberturas
de los mismos, con un ángulo patrón (unidad no convencional), para llegar a
la unidad convencional.
No se realizan operaciones con estas unidades, ya que el propósito es que el
alumno conozca el sistema utilizado para medir ángulos, el instrumento que se
utiliza (el transportador) y la forma en que se mide, integrando de esta forma
los ejes Medida y Geometría.
Los objetivos del Módulo 4 para alumnos tienden a que el adulto:
◆ Reconozca problemas de proporcionalidad.
◆ Diferencie la proporcionalidad directa e inversa.
◆ Obtenga la constante de la proporcionalidad directa y de la inversa.
◆ Resuelva problemas de proporcionalidad directa por el procedimiento que más le
convenga.
◆ Resuelva situaciones de porcentaje y descuento, como casos particulares de proporcionalidad.
◆ Resuelva multiplicaciones y divisiones con expresiones decimales, estimando previamente
el resultado, y verificándolo posteriormente con la calculadora.
◆ Aplique sus conocimientos de medidas de peso y capacidad a situaciones de la
vida cotidiana.
◆ Compare y mida ángulos.
◆ Interprete y analice gráficos estadísticos.
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES
Se trabajan contenidos de los cuatro ejes: Operaciones, Medida, Geometría y
Estadística.
Operaciones Estadística Medida Geometría
- Multiplicación - Tablas Capacidad
y división y peso
con expresiones - Gráficos Medición
decimales de ángulos
- Proporcionalidad
- Porcentaje
- Descuento
Situaciones problemáticas
80

Operaciones
Proporcionalidad
El término proporción y sus derivados (proporcionado, proporcional, desproporción,
proporcionalidad, etc.), son utilizados en el lenguaje cotidiano con
diferentes significados. En general, no coinciden con el concepto matemático.
Por esa razón, el Módulo 4 para alumnos, se inicia con tres viñetas que corresponden
a tres situaciones en las que se emplean diferentes acepciones de algún
derivado de la palabra proporción. En las viñetas 1 y 2, se utilizan los términos
“desproporcionada” y “proporcionada” con un sentido estético, que tiene que
ver con la armonía de formas. En la viñeta 3, la palabra “desproporción” remite
a un desequilibrio entre lo que se ofrece en venta (artículo) y el precio que se
le asigna. Las tres situaciones siguientes, si bien plantean situaciones en las que
la palabra proporción y sus derivados tienen sentido matemático, sólo en las
situaciones 2 y 3 los términos se corresponden, estrictamente, con el concepto
de proporcionalidad matemática.
Es probable que los alumnos descubran esto, una vez que hayan resuelto toda
la secuencia de actividades que se les propone, referida al concepto de proporcionalidad
directa e inversa.
Es importante tener en cuenta, al enseñar este contenido, que:
• La proporcionalidad se inscribe en el campo de lo multiplicativo.
Sería significativo comentar con los alumnos en las instancias presenciales
que, en los módulos 2 y 3, ellos ya resolvieron situaciones multiplicativas del
tipo de: "Un kilo de asado cuesta $2,50. Si compro 3 kilos. ¿Cuánto debo
pagar?" Éstos son problemas elementales de proporcionalidad. Las tablas de
multiplicar también son un ejemplo de proporcionalidad, aunque pocas veces
sean explícitamente consideradas como tales.
• El concepto de proporcionalidad se construye a partir de una serie de contenidos
interrelacionados.
Las siguientes afirmaciones, remiten a la relación de proporcionalidad directa.
Por ejemplo si se plantea que:
• un automóvil marcha a 120 km/h;
• el plano está dibujado en escala 1:1000;
• para 10 porciones de torta utilizo 200g de crema;
• una cañería expulsó 50l de agua por minuto;
• la perfumería rebaja sus artículos el 20%;
• con 2kg de fruta se obtiene 1,50kg de dulce.
La variada complejidad de estas situaciones, está dada, entre otras, por los tipos
de números utilizados (naturales, racionales), por la naturaleza de las magnitudes
(peso, capacidad, longitud, velocidad, tiempo), por el concepto de medida
y por los contenidos derivados (porcentaje, escala).
81

Todos estos aspectos se interrelacionan, y así la solución de un problema será
producto de la integración de los mismos.
El Módulo 4 para alumnos plantea la secuencia de problemas propuestos y
considera:
• los procedimientos o estrategias de resolución;
• las diferentes formas de representación de las formulaciones y soluciones;
• las posibles dificultades de los alumnos;
• los contenidos derivados.
Con respecto a los procedimientos o estrategias de resolución, en el Módulo
4 para alumnos se utilizó el ejemplo planteado en el Módulo 3: la proporción
para la mezcla utilizada en la construcción es de "un balde de cal, por 3 baldes
de arena". La actividad Nº4 propone al alumno que complete esta tabla:
arena cal
a) 3 1
b) 6 2
c) 9 3
d) 18 6
e) 45 15
Posiblemente, el alumno, completará en b) la relación 6-2 porque "si la arena
aumenta al doble, la cal también". Y en c) completará 9-3 porque en este caso
la arena aumenta el triple y en d) como es el doble de c) será 18-6 y en e) como
son los datos de c): 9-3 multiplicados por 5, resuelve 3x5 = 15 y 9x5 = 45.
Estas estrategias, dan cuenta de las propiedades de la proporcionalidad que el
adulto conoce por su experiencia personal.
En la instancia presencial, se sugiere que los adultos analicen y confronten los
diferentes procedimientos que utilizan. Este espacio de reflexión e intercambio,
es útil para despejar dudas y aclarar conceptos.
El primer procedimiento de resolución que se propone a los alumnos, para
resolver situaciones de proporcionalidad (directa e inversa), es el que surge de
la propiedad fundamental de las proporciones y que permite calcular un
extremo o un medio desconocidos. La ejercitación de este procedimiento,
podría hacerse con aquellos alumnos que presenten dificultades, proponiendo
otras situaciones que tengan que ver con sus intereses o preferencias. También
usted podría proponer a los alumnos que ubiquen la x (incógnita) en diferentes
lugares (como medio o como extremo), ya que existe una tendencia
generalizada a colocar la x siempre a la derecha y como extremo de la
proporción.
Éstos son algunos ejemplos similares a los presentados en el Módulo 3 para
docentes.
82

a) Si en 2 meses gasté $30 en transporte, ¿para cuántos meses me alcanzarán
$90? (Si gasto siempre lo mismo.)
2
=
x
$30 $90
b) ¿Cuántos kilos de tomates se espera cosechar, si de las 6 primeras plantas se
cosecharon 54 kilos y en total existen 300 plantas iguales? (Suponiendo que
tendrán igual rendimiento.)
x
=
54
300 6
Es probable que los alumnos puedan resolver los problemas intuitivamente o
aproximadamente. Es importante fomentar esa modalidad, pero como ya se
expresó en el Módulo 3 para docentes, es el procedimiento el que permitirá
siempre el cálculo exacto.
Otro procedimiento para resolver problemas de regla de tres, es el de la
resolución por función2. Éste es un camino operatorio muy sintético, ya que
una vez determinada la característica de la proporcionalidad: directa o inversa,
sólo es necesario hallar la constante de proporcionalidad que se obtiene por
cociente ordenado entre y y x, en el caso de proporcionalidad directa:
y
k =
x entonces y = k . x
o por producto de y . x en el caso de proporcionalidad inversa:
k = y x entonces y =
Este camino o procedimiento, tan sintético, abstracto y formal, debe completarse
con la representación gráfica en el sistema de ejes. La ubicación de puntos
en el sistema cartesiano resulta de gran utilidad para interpretar los gráficos
estadísticos que se presentan en el Módulo 4 para alumnos.
k .
x
Desde el Módulo 2, el alumno ha trabajado la tabla de doble entrada aplicada
a diferentes situaciones. Por tal motivo, es probable que la representación
cartesiana no ofrezca dificultad, pero si así fuere, se sugiere trabajar con el grupo,
el tipo de gráfico lineal que se presenta a continuación:
Es habitual ver este gráfico de temperatura en hospitales o sanatorios, al pie
de la cama del enfermo. Si bien no representa proporcionalidad directa será útil
para compararlo con los gráficos de proporcionalidad y determinar diferencias.
2 Ver página 65.
83

Los alumnos podrían responder a estas preguntas:
¿Cuál fue el día que el enfermo tuvo mayor temperatura?
¿Qué día tuvo menos temperatura?
¿Le parece que el gráfico indica una evolución favorable? ¿Por qué?
También se le podría sugerir al adulto que busque en diarios o revistas,
gráficos similares para analizarlos con el grupo.
En el método por funciones, es conveniente el trabajo de representación
gráfica en el sistema de ejes para observar que a cada x le corresponde una y sólo
una y.
Cada perpendicular
corta a la gráfica en
un sólo punto
T
E
M
P
E
R
A
T
U
R
A
40
39
38
37
36
y y
x
36
1 2 3 4 5 6 7
DÍA DE INTERNACIÓN
Corta a la gráfica en
infinitos puntos
A
B
Es función No es función Es función
Recuerde que como se dice en la nota 1 de pág. 65 la resolución de situaciones de
proporcionalidad por función fue exlcuída del módulo para alumnos. Pero depende
de su decisión que este tema sea tratado, ya que sólo usted conoce las características
del grupo a su cargo.
Es probable que los alumnos propongan como procedimiento de resolución
de los problemas de regla de tres, el de reducción a la unidad. Este procedimiento
es largo y tedioso, pero es el adulto quien debe optar por el que le
resulte más conveniente. Se presenta un ejemplo de los ya trabajados y resueltos
por proporciones:
Si en 2 meses gasté 3 panes de jabón, ¿para cuántos meses me alcanzarán 9
panes? (Si gasto la misma cantidad de jabón.)
84
x
Cada perpendicular
corta a la gráfica
en un sólo punto

Por el procedimiento de reducción a la unidad se plantea la situación de la
siguiente manera:
Planteo
Si 3 panes alcanzan para 2 meses
9 panes alcanzan para x meses
y se resuelve así:
Solución
Si 3 panes alcanzan para 2 meses
1 pan alcanzará para 2 meses
3 panes
9 panes alcanzarán para 2 meses x 9 panes =
6 meses
3 panes
¿Cómo se expresa verbalmente esta solución? En general, es expresada así: "si
3 panes de jabón alcanzan para 2 meses, 1 pan alcanzará para 3 veces menos o
sea 2 ". Si bien no es incorrecto, es mejor decir "1 pan alcanzará para dos
3
tercios de mes “...y “9 panes alcanzarán para 2 de mes por 9".
3
Frecuentemente se verbaliza sin razonar, como consecuencia de la mecanización
de los procedimientos.
En el caso de que algún alumno prefiera utilizar el procedimiento de
reducción a la unidad, sería conveniente respetar su elección. En ese momento
su intervención será fundamental para verificar si aplica mecánicamente el
procedimiento. En este caso usted podría orientarlo para que el adulto encuentre
la fundamentación a la estrategia utilizada.
En la formulación de los problemas y en su resolución, se han utilizado
diferentes formas de representación: verbal, por tablas, gráfica, por planteo, etc.
Cada una de ellas resulta más o menos pertinente, según la información que se
considere. Por ejemplo: el gráfico cartesiano permite visualizar globalmente el
comportamiento de la relación, y es útil también para comparar dos o más
relaciones (actividad Nº7). Las tablas de datos son apropiadas para el
reconocimiento de las propiedades de la proporcionalidad (actividades Nº8a),
Nº10, Nº11).
En general, el alumno relaciona cada forma de representación con determinadas
tareas y procedimientos, por tal motivo, la utilización de diferentes formas
de representación, facilita ciertos aspectos particulares de la conceptualización.
Si el alumno es capaz de optar por una forma de representación que le resulte
significativa, se evitará que confunda el concepto con la representación. Éste es
un objetivo fundamental en relación con la construcción del concepto de proporcionalidad.
85

Las posibles dificultades de los alumnos
Ya se planteó en el Módulo 3 para docentes, el error que, frecuentemente,
cometen algunos alumnos al determinar que dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando "a más, más y a menos, menos". Si esto fuera así, todas
las funciones crecientes, representarían una relación de proporcionalidad
directa: el tamaño de los dientes de un ser humano en función de su edad, el
peso de una persona en relación con su altura, el área del cuadrado en función
de la medida del lado, etc.
En el Módulo 4 para alumnos, a continuación de la actividad Nº4, se
presentó la tabla incompleta de evolución del peso del bebé Francisco. Se
destaca la imposibilidad de completarla porque no hay una constante; en
consecuencia, no hay proporcionalidad. También sería oportuno, plantear un
ejemplo como el siguiente: Si un bebé crece 3cm por mes durante los primeros
meses de su vida, ¿cuánto crecerá en 10 años?
Desde el sentido común, se llega a la conclusión de que ésta es una situación
disparatada, ya que si la relación entre tiempo (meses) y talla (cm), fuera directamente
proporcional, en 2 meses aumentaría 6cm, en 4 meses 12cm y en 120
meses (10 años), 360cm (más de 3 metros). Es evidente, que si bien aumenta
el tiempo y el bebé crece (aumenta su talla), las magnitudes tiempo y talla no
son directamente proporcionales.
Sería interesante también que los alumnos propusieran otros ejemplos en los
cuales, si bien aumenta o disminuye una magnitud, y la otra, aumenta o disminuye,
la proporcionalidad no existe.
El trabajo con las tablas -que implica completar datos, buscar la constante de
proporcionalidad, aplicar propiedades de la proporcionalidad- favorece la
conceptualizacion del tema y, es posible, que luego de resolver varias de estas
situaciones, el alumno no reitere el error.
Es importante que usted realice una adecuada selección de los problemas de
proporcionalidad para plantear a los alumnos, especialmente, los que relacionan
magnitudes inversamente proporcionales. Un ejemplo simple, de fácil
comprensión, es la relación velocidad-tiempo (cuando la distancia es
constante). Pero, ¿qué pasa cuando se da como ejemplo de proporcionalidad
inversa la relación "tiempo para finalizar un trabajo-cantidad de obreros"? En
este caso, es necesario aclarar a los alumnos que el resultado de esa situación se
debe considerar estimativo, aunque la vía de resolución sea matemáticamente
correcta. En esa relación (tiempo para finalizar un trabajo-cantidad de obreros),
aparece una variable (el rendimiento individual), que no es posible considerar
que sea el mismo en todos los casos (obreros). A propósito de este tema, se
transcribe un cuento de Conrado Nalé Roxlo que, en una instancia presencial,
podría ser leído y comentado por los alumnos.
Regla de tres
Como todo padre consciente, acostumbro a vigilar los estudios de mis hijos. Lo
hago desde cierta distancia y encerrado en lo que los grandes novelistas llaman un
impenetrable mutismo. Esta actitud mía no responde a exigencias de mi tempera-
86

mento que muy otras son ellas, sino a que mis hijos me lo pidieron con los ojos llenos
de lágrimas y la libreta de clasificaciones llena de insuficientes; mi esposa con amenazas
de divorcio en México y el Juez de menores con un exhorto u otro documento
por el estilo.
Confieso que esta situación no me contraría mucho, pues como no salgo de noche
desde que aumentaron los precios de las consumiciones en los cafés, ayudar a mis
hijitos a hacer sus deberes era para mí no sólo ocasión de grato esparcimiento, sino
también un saludable ejercicio mental. Pero no quiero culpar a nadie: mis hijos
están influenciados por los malos sistemas pedagógicos en vigencia. Mi esposa por el
cinematógrafo, donde se demuestra que los matrimonios no empiezan a llevarse bien
hasta después del divorcio, y el juez debía estar influenciado por los códigos y latines
del ramo.
Las cosas ocurrieron así.
En los tiempos en que gozaba de libertad y podía ofrecer a los ángeles que sin duda
nos contemplaban enternecidos, el cuadro de una cabeza regada ya por venerables
hebras de plata junto a dos cabecitas castañas y rizadas, que a la luz de la lámpara
y de la inteligencia buscaban la solución del mismo problema, se presentó éste: Si
un albañil, trabajando seis horas, levanta una metro de pared, ¿cuántos metros
levantarán tres albañiles en el mismo tiempo?
- ¡Tres metros! -gritó uno de mis hijos.
El otro se quedó chupando el lápiz a ver qué decía yo. Yo dije:
- Eso es una perogrullada, Ponceanito.
- ¿Cómo? -inquirió mi mujer, que siempre está ojo avizor y oído alerta.
- Naturalmente, querida. Es absurdo suponer que el Estado gasta tantos millones
en la instrucción pública, que el magisterio es considerado como un
sacerdocio, que Domingo Faustino Sarmiento iba a la escuela en los días de
lluvia, que yo mismo trabajo horas extras para comprar libros y guardapolvos, que
tú te desvelas planchándolos y que estos ángeles, en lugar de correr y brincar por
la plaza, pasen toda la mañana amarrados al duro banco escolar para que se les
pregunte semejante pavada que todo el mundo sabe. ¡No vamos a caer en la
tontería de responder de qué color era el caballo blanco de Napoleón!... Quizás la
respuesta de Ponceanito estuviera bien en los tiempos del rey que rabió, pero hoy
en día es necesario ahondar más, sutilizar más... No olvides que vivimos en los
tiempos de Freud y de Einstein, ¡qué diablos!
- A ver cómo lo resolverías tú -dijo mi mujer poniéndose de codos en la mesa
y fijando en mí la mirada de las cuentas de fin de mes.
- Razonemos. Un albañil que trabaja solo, en un lugar desagradable como es
una casa en construcción, pronto es invadido por la tristeza; el desaliento de
pensar que tiene tanto trabajo para él solo por delante, lo vence. Su mano cae
floja y sin vigor; se enturbian sus ojos por los recuerdos del pasado que asaltan al
hombre que está solo. Es presumible que interrumpa su trabajo con frecuencia
para secarse una lágrima con el dorso de la mano y suspirar. Quizá el crup le
arrebató un hijo; quizá un golpe de mar a su tierna esposa, allá, en la bella
Italia... ¡Pero no lloren, que es un suponer!... Bien, en esas condiciones el trabajo
es malo y poco. Pero imaginemos a tres albañiles jóvenes, robustos, llenos de
optimismo y de fundadas esperanzas de hacer la América. Se alientan con alegres
87

canciones en que exaltan la dicha del trabajo honesto; se estimulan mutuamente
con gritos de ¡forza!, si son italianos; ¡duro y a la cabeza!, si son españoles; ¡hurra!,
si pertenecen a la rubia Albión. En este último caso lo más seguro es que cambien
apuestas a quién hace más pared. Además se pueden prestar ayuda alcanzándose
el balde, prestándose argamasa, dándose la mano gentilmente para subir al
andamio. Tontos serían si no aprovecharan condiciones tan favorables para
hacerse, por lo menos, dos metros de pared cada uno y aún les sobraría tiempo
para jugar un partido de bochas.
Aquella noche vencieron la elocuencia y el buen sentido y mi hijo escribió: Si un
albañil hace un metro de pared por día llorando, tres albañiles harán seis metros
cantando y jugando a las bochas.
Por poco tiempo pude ayudar a mis hijos de esa manera, pues intervino la incomprensión
de la directora, que arrastró a todos en su caída hacia la vulgaridad del
mundo que cree más en la potencia de los números que en la del alma.
Comprenderá ahora, por qué, cuando se plantean problemas de proporcionalidad
referidos al rendimiento humano, al rendimiento de cosechas, etc. es
necesario explicitar que dichos rendimientos se mantienen constantes.
Cuando se seleccionan problemas de regla de tres simple directa, habrá que
tener en cuenta los que relacionan artículos-precios, ya que esta relación,
aparentemente de proporcionalidad directa, se desvirtúa en el caso de las
ofertas. Es común ver estos carteles en las verdulerías y fruterías:
Uva 1kg $ 1 Papas 1kg $ 0,60
¡Oferta! 2kg $ 1,50 ¡Oferta! 5kg $ 2,50
Es conveniente comentar estos ejemplos con los alumnos, lo que permitirá,
en las instancias presenciales, discutir el tema proporcionalidad desde las dudas
y los errores.
Porcentaje
El tratamiento de este tema, se realiza teniendo en cuenta un propósito del
aprendizaje de la matemática: construir los conocimientos matemáticos aplicándolos
a situaciones de la vida diaria. Por esa razón, se trabajó el tema porcentaje
en diferentes situaciones, que procuran integrar conocimientos de otras
áreas del diseño curricular: Ciencias y Tecnología, Ciencias Sociales y Formación
para el Trabajo.
Las actividades Nº17, Nº18 y Nº19, tienen por finalidad, la comprensión del
concepto de porcentaje, y de las representaciones estadísticas (diagramas de
barras y de torta). Si algunos alumnos tienen dificultades para la comprensión
de estos conceptos, se sugiere plantear actividades de este tipo:
6 partidos jugados, 50% ganados. ¿Cuántos partidos se ganaron?
100 palabras dictadas, 97 bien escritas. ¿Cuál es el porcentaje de palabras
escritas correctamente?
88

8 partidos de fútbol, 4 ganados. ¿Cuál es el porcentaje de partidos ganados?
30 obreros en total, se despidió al 100%. ¿A cuántos obreros se despidió?
O bien trabajar con una representación gráfica de este tipo, para relacionar
porcentaje, fracción y expresión decimal.
Parcela sembrada con soja
1 del campo sembrado de soja
4
0,25 del campo sembrado de soja
25
del campo sembrado de soja
100
25% del campo sembrado de soja
La proporción entre el sembrado de soja y el
total del campo es de 25 a 100.
Si bien se presentó el tema porcentaje como un caso especial de proporcionalidad
y, en consecuencia, la propuesta de resolución es por proporción
porque se la considera la más económica y adecuada para el aprendizaje de los
adultos, recuerde que es fundamental respetar la elección del alumno en cuanto
a los procedimientos de resolución. Con respecto al tema porcentaje, pueden
surgir estrategias de resolución intuitivas. Por ejemplo, para calcular 10% de
$500, generalmente se resuelve dividiendo 500 por 10 (50) o, lo que es igual,
quitándole 1 cero a 500. Aquí su intervención es importante para valorar estas
estrategias que facilitan el cálculo rápido con la subsiguiente economía de
tiempo y esfuerzo, y para posibilitar que el alumno pueda descubrir que esa
simple división proviene de haber simplificado la expresión que resulta de:
10 x x 10 x 500
Multiplicar por 10 y dividir
= =
luego por 100 es lo mismo
100 500 100
que dividir por 10
En la actividad Nº22, se propone una situación en la que la incógnita es el
tanto por ciento. Hasta ese momento, sólo se había trabajado el tanto por ciento
como dato del cual partir. Al tratar el tema proporcionalidad, se recomendó
que en el procedimiento de resolución por proporciones, se trabajara colocando
la x (incógnita) en cualquiera de los medios o extremos (en la forma correcta).
Se tendrán en cuenta estas dos soluciones, ambas correctas.
a) 95 = 100 b) 20 = x
20 x 95 100
Que es conveniente verbalizar así:
a) Sobre 95 millones de personas, murieron 20 millones, sobre un total de 100
personas las muertas serán x:
89

) Si murieron 20 millones de personas sobre un total de 95 millones, habrán
muerto x sobre un total de 100.
Si fuera necesario usted podría proponer actividades que figuran en el Anexo I
u otras que considere conveniente.
En las actividades Nº23 y Nº24, se integran los contenidos del eje Estadística
con el tratamiento del porcentaje. Se han seleccionado informaciones aparecidas
en diarios y revistas, representadas mediante gráficos de barras y de torta.
Sería oportuno trabajar grupalmente estas actividades, solicitando a los alumnos
que antes de poner en práctica procedimientos de resolución, estimen el
resultado. La misma sugerencia vale para la actividad Nº25.
Multiplicación y división de expresiones decimales
En la actividad Nº27, del módulo para alumnos se presentan situaciones
problemáticas simples en las que se requiere multiplicar expresiones decimales.
Se solicita al alumno que estime o calcule, aproximadamente el resultado. El
propósito es que elija uno entre los dos factores (1,25 ó 2,90), aquel que más
convenga y lo aproxime al número natural que se presente más cercano. Si
$2,90 lo convierte en $ 3, le resultará fácil calcular, aproximadamente el resultado.
Posteriormente, se le solicita que averigüe el resultado exacto, para lo cual
debe resolver la operación. Al resolver este tipo de operaciones, es frecuente
olvidarse de colocar la coma decimal en el producto total, o colocarla mal. Por
tal motivo, se propone, en un primer momento, la estimación en relación con
un problema. Es poco probable que el alumno estime que 1,25m de tela a
$2,90 el metro, cueste, aproximadamente, $ 30.000. En cambio, cuando el
alumno sólo se centra en la operación, este error es frecuente, y, al olvidarse de
la coma decimal dé como resultado exacto: $ 36.250.
En el Módulo 3 para alumnos, se trabajaron los algoritmos de la multiplicación
y de la división por dos cifras. En estos casos, sólo se atendió a la
ubicación de la coma decimal. En el caso de la división se plantea la necesidad
de convertir el divisor en número natural, y se resuelve aplicando la multiplicación
por la unidad seguida de ceros trabajada en el Módulo 3 para alumnos.
En este caso se aplica una propiedad de la división: "si se multiplican o
dividen dividendo y divisor por un mismo número, el cociente no se altera".
Las actividades Nº30 y Nº31, requieren que el alumno estime, resuelva con
exactitud y, finalmente, verifique el resultado con la calculadora.
Medidas de capacidad y de peso
En el Módulo 3 para alumnos, a partir de una serie de actividades, se llega al
concepto de medir y a la necesidad de utilizar unidades convencionales de
medición.
En el Módulo 4, a partir de una situación cotidiana, conocida por todos, que
se relaciona con la prevención del cólera, se introduce la unidad de las medidas
de capacidad: el litro, las medidas mayores (múltiplos) y las menores (submúltiplos).
Se trabaja de una manera similar para plantear las medidas de peso.
90

Al respecto es conveniente aclarar que:
Desde el punto de vista físico, masa y peso son magnitudes diferentes. La masa es
una magnitud escalar (para expresarla basta un número), mientras que el peso es
una fuerza con que la Tierra atrae a un objeto, y por tanto una magnitud vectorial
en la que no basta con dar un número, hay que indicar además una dirección y un
sentido. Así, objetos de la misma masa tienen un peso diferente en la Luna; sin
embargo en un mismo lugar de la Tierra la atracción de ésta depende sólo de la
masa de los objetos. Dicho de otro modo, objetos de igual masa situados en un
mismo lugar de la Tierra tienen el mismo peso.
La afirmación anterior permite sin cometer abuso o error tratar en los niveles
elementales la masa-peso de forma indistinguible, pues no parece posible desde el
punto de vista didáctico hacer la separación, ya que los alumnos encontrarían
dificultades para diferenciar ambas magnitudes. El lugar más adecuado para hacer
esta distinción debe ser el Ciclo Superior de la EGB, cuando comienzan las
primeras nociones de física. 1
El tratamiento de las medidas, no tiene como propósito que los alumnos
expresen una cantidad en diferentes unidades de medida (lo que habitualmente
se llama reducir a...), sino que pueda discriminar qué cosas medir con el l, el
cl, el kg, el g o la t. Con este fin se plantean también las actividades Nº32a) y
Nº33a).
El concepto medida, facilita la integración de otros contenidos. Se plantean
situaciones en las que el alumno aplicará nociones de división (actividad Nº32b),
promedio (actividad Nº32c), proporcionalidad (actividad Nº33b).
También pueden plantearse situaciones que sólo requieran del pensamiento
lógico y de la estrategia personal. Tal el caso de las actividades Nº32d) y Nº34.
Una puesta en común de las soluciones a este problema, permitirá el intercambio,
la discusión y la confrontación. Proponer a los alumnos ayudarse con gráficos,
contribuirá a facilitar la resolución. En la instancia presencial, recuerde la
utilidad de la explicitación oral de las estrategias personales utilizadas.
Geometría
Medición de ángulos
Se sugiere destacar la semejanza entre la medición de ángulos y la medición
de segmentos. Para medir ángulos, también pueden utilizarse unidades no
convencionales (ángulo "patrón") como se hizo en la medición de longitudes.
Sin embargo, es importante que el alumno llegue a considerar necesaria la
utilización de unidades convencionales. Por otra parte la comparación entre ángulos,
exige mayores consideraciones que entre segmentos, pues es imprescindible
hacer coincidir los vértices y uno de los lados. Si esto está aprendido por
los alumnos, la adquisición de la habilidad para el uso del transportador, no
debe ser motivo de preocupación ni para usted ni para ellos. Lo importante es
que los adultos reconozcan qué unidades se utilizan para medir ángulos, que
comprenda cómo se los miden y qué instrumento se utiliza para tal fin.
1 Chamorro, C. y Belmonte, J.: El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales.
Madrid, Síntesis, 1991, pág. 82.
91

EVALUACIÓN
Las siguientes actividades de evaluación podrán ser modificadas si usted lo
cree conveniente, teniendo en cuenta el proceso de aprendizaje de los alumnos,
las estrategias que emplean para resolver situaciones y las dificultades que presentaron.
La Sociedad de Fomento de Villa Real organizó un festival con motivo de
cumplirse el 50 aniversario de su fundación
De los 2.000 vecinos que habitan la Villa asistieron 800.
a) ¿Qué porcentaje de vecinos asistió al festival?
Se recaudó la suma de $ 6.000 para repartir entre los ganadores de las
competencias deportivas. Éstos no serían más de 6. Podría ser un solo ganador,
ó 2 ó... Para calcular qué cantidad de dinero le correspondería a cada uno, se
confeccionó una tabla.
b) Complete la tabla
Cantidad de Cantidad de $
ganadores para cada uno
1 6.000
2
3
4
5
6
c) Coloque una x en la respuesta correcta
En la tabla anterior:
a) Hay proporcionalidad directa.
b) No hay proporcionalidad.
c) Hay proporcionalidad inversa.
92

Fue elegida por votación de los presentes, la Reina de Villa Real entre 6
jóvenes postulantes. Votaron 600 personas y el resultado obtenido, traducido
en porcentajes fue el siguiente:
Participante % de votos
Mónica 30
Victoria 15
María Elena 20
Jimena 10
Verónica
d) ¿Cuál fue el porcentaje de votos para Verónica?
e) Del total de votantes ¿cuántos votaron a Mónica? ¿A Victoria? ¿A Jimena?
Se resolvió entregar un banderín de tafeta, a los ganadores de las competencias
deportivas, además del premio en dinero. El diseño del banderín es el siguiente:
Escala : 10cm : 1cm
10 cm 10 cm
f) ¿Cuántos cm 2 de paño se utilizaron para confeccionar los 6 banderines?
g) Si la tafeta tiene 1m de ancho, ¿alcanza 1m de tafeta para hacer los 6 banderines?
¿Por qué?
93
35 cm

Anexo I: Problemas
El propósito de este Anexo es ofrecer una variedad de problemas, de acuerdo
con las dificultades y logros de cada uno de los alumnos, para que usted pueda
elegir la secuencia apropiada.
Los problemas están agrupados en dos temas: proporcionalidad y porcentaje,
aunque muchos de ellos integran otros contenidos como medidas de capacidad
y peso, división y multiplicación de expresiones decimales y estadística.
Proporcionalidad
1) Un motor consume 20 litros de combustible en 4 horas. Completar la tabla
que relaciona tiempo de marcha del motor con cantidad de combustible que
utiliza, suponiendo que el gasto de combustible por hora es siempre el
mismo.
Tiempo de funcionamiento Combustible que consume
horas litros
2
4 20
8
10
100
120
2) Estas listas corresponden al precio del café de la misma marca que se vende
sólo por kilo en cantidades enteras. Complete la columna "precio por kilo"
Lista "A"
Kilos Precio de venta Precio por kilo
2 $ 11,60 $
4 $ 23,20 $
5 $ 29 $
8 $ 46,40 $
10 $ 58 $
Lista "B"
Kilos Precio de venta Precio por kilo
1 $ 6,20 $
4 $ 22,80 $
5 $ 27,50 $
8 $ 47 $
10 $ 58 $
94

En una de estas dos listas, A y B las cantidades son proporcionales. ¿En cuál?
Represente gráficamente en un sistema de ejes cartesianos, la tabla en la que
hay proporcionalidad.
3) El diagrama siguiente representa parte de una red de caminos.
Escala 20km : 1cm
A
22 km
34 km
B
D
110 km
1
¿Hay proporcionalidad entre los tramos de las rutas 1 y 2? ¿Por qué?
4) Un camión que recorre la ruta 2, cubre el tramo Chascomús-Dolores de
88km, en 110 minutos. ¿Cuántos minutos tardará en recorrer los 64km que
separan Dolores de Maipú, suponiendo que la velocidad es constante?
95
170 km
2
C
E

5) El trabajo de una planta industrial requiere un consumo de 12.000kg de
combustible cada 32 horas. ¿Cuántas toneladas se consumen en 24 horas de
funcionamiento?
6) 5 fotocopiadoras iguales, imprimen 2 resmas de papel en 20 minutos. ¿En
qué tiempo imprimirán 10 de esas máquinas la misma cantidad de papel?
Porcentaje
7) El gráfico representa una pared.
a) ¿Qué fracción de la pared está hecha?
b) ¿Qué porcentaje de la pared falta hacer?
;;;;;
;;;;;
;;;;;
;;;;;
8) El 44% de una población de 725 habitantes son adultos. ¿Cuántos adultos
hay?
9) El 90% de la sangre del ser humano es agua. Un adulto tiene 5 litros de
sangre en su cuerpo. ¿Cuánta agua contiene?
Un niño tiene 2,50 litros de sangre. ¿Cuánta agua contiene?
96

10) El gráfico siguiente indica los porcentajes de gastos de la familia Quiroga.
60%
Otros gastos
;;Alimentación
Transporte
;;
Vivienda 15%
20%
a) ¿Qué porcentaje corresponde a otros gastos?
b) ¿Si la familia tiene un ingreso de $600. Indique cuántos $ destina para:
vivienda $
alimentación $
transporte $
otros gastos $
11) Complete la tabla:
Precio Descuento Importe Precio de
descontar venta
$ 10 25% $ 2,50 $ 7,50
$ 5 10% $ 0,50 $
$ 8 20% $ $
$ 12 15% $ $
$ 16 30% $ $
$ 50 $ 20 $
$ 50% $ $ 50
12) Juan dijo: trabajé 10 meses del año. ¿Qué porcentaje del año trabajó Juan?
97

BIBLIOGRAFÍA
Sobre aspectos didácticos
Castelnuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990.
Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.
Sobre contenidos
Cardiello, N.: Elementos de física y química. 3˚ año. Buenos Aires, Kapelusz,
1970, cap. 6.
Chamorro, C. y Belmonte, J.: El problema de la medida. Didáctica de las
magnitudes lineales. Madrid, Síntesis, 1991.
Depau, C., Tonelli, L, y Cavalchino, A.: Elementos de física y química. 1˚ año.
Buenos Aires, Plus Ultra, 1979, cap. 7.
Magnetti, R. C.: Fisico-química. 1˚ año. Buenos Aires, Huemul, 1979, cap. 4.
Sadovsky, P. y otros: La proporcionalidad. Buenos Aires, Flacso, 1992.
99

MÓDULO 5
*
7
4
1
2 3
5 6
8 9
0 #
12x5=60

ÍNDICE
Introducción 105
Contenidos y actividades 106
Superficie de las figuras 107
Volumen de los cuerpos 110
El volumen del cilindro 113
Operaciones 114
Potenciación 114
Radicación 115
Uso de paréntesis 116
La circunferencia y el círculo 117
Números negativos 117
Evaluación 119
Bibliografía 121

INTRODUCCIÓN
En este módulo, se profundizan los conceptos tratados en el Módulo 5 para
alumnos. Asimismo, se proponen algunas actividades y estrategias que complementan
las planteadas en el citado módulo. Se hace referencia, además, a errores
que se observan con mayor frecuencia en los adultos.
La utilización de material concreto, siempre es aconsejable porque facilita el
aprendizaje. Por eso, en este módulo encontrará algunas sugerencias sobre
material concreto para agregar al tratamiento de algunos temas abordados en el
Módulo 5 para alumnos.
En general, las actividades para desarrollar los contenidos del módulo, tienden
tanto a lo conceptual como a lo procedimental. A modo de ejemplo: si el
contenido es potenciación, son conceptos: potencia, exponente y base y son
procedimientos, el reconocimiento de la base y el exponente, cálculos de 2 da , 3 ra ,
4 ta ... potencia. En la comparación de los volúmenes de dos cuerpos y la separación
en términos en un cálculo con varias operaciones, se priorizan contenidos
procedimentales. Ocurre lo contrario con las unidades de volumen, la fórmula
para calcular el volumen del cilindro, la potenciación, la diferencia entre circunferencia
y círculo y los números negativos, donde el énfasis está puesto en
los contenidos conceptuales.
La incorporación de los números negativos, se fundamenta en la necesidad de
su utilización en situaciones tales como el ordenamiento de fechas, temperaturas
y otras donde, sólo utilizando números negativos, es posible representar
sus cantidades.
Los objetivos del Módulo 5 proponen que el alumno:
◆ Comprenda la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro
(el número π).
◆ Comprenda y utilice, según el problema, las fórmulas para calcular la longitud
de una circunferencia y la superficie de un círculo.
◆ Compare el volumen de diferentes cuerpos.
◆ Utilice e interprete el uso de paréntesis, tanto para resolver un cálculo dado, como
en la lectura de un problema cuya comprensión y resolución requiere el uso de
paréntesis.
◆ Escriba y lea números de muchas cifras en su expresión científica.
◆ Comprenda y utilice las fórmulas para el cálculo de superficies de los
cuadriláteros.
◆ Comprenda la necesidad de la existencia de los números negativos.
105

CONTENIDOS Y ACTIVIDADES
A continuación, se presenta el esquema de contenidos del Módulo 5 para
alumnos:
Número Operaciones Medida Geometría
Números
negativos
El volumen
Potenciación de los Circunferencia
cuerpos y
círculo
Uso de paréntesis
Situaciones problemáticas
Longitud de
la circunferencia
El volumen del Superficie
cilindro del círculo
Respecto de la potenciación, se presenta con su definición general, pero el
énfasis se pone en los cuadrados, los cubos y las potencias de base diez, ya que
son las más útiles a los alumnos para la resolución de situaciones problemáticas,
o para escribir de un modo abreviado (notación científica) números de muchas
cifras.
En la radicación, se trata sólo la raíz cuadrada pues, difícilmente, los alumnos
deban operar con una raíz de mayor índice. El nivel de complejidad que tiene
esta operación hace que se tome, principalmente, en su aspecto de operación
inversa de la potenciación de números naturales. A modo de ejemplos pueden
presentarse:
¿Cuál es el lado de un cuadrado cuya superficie es 36m 2 ?
En este ejemplo el alumno puede observar que no se trata de una división sino
de una nueva operación, la radicación (en este caso de índice 2), cuya expresión
matemática es: sup. del cuadrado = l 2 *.
36 m 2 =l 2 *
√ 36 m 2 =l*
6m =l*
* Superficie del cuadrado: lado, l 2 . Se sugiere escribir con manuscrita para que no se
confunda con 1.
106

De forma similar puede pensarse en la raíz cúbica:
¿Qué altura tiene un cubo cuyo volumen es de 8 m 3 ?
Vol. del cubo = a 3
3
8 m 3 = a 3
√ 8 m 3 = a
2 m = a
Si bien la radicación se extiende hasta el índice n, se estima conveniente
utilizar sólo el índice 2 y el índice 3 porque teniendo en cuenta la estimación
se pueden relacionar: lado y superficie del cuadrado, arista y volumen de un
cubo. Aquí nuevamente se cree conveniente el uso de la calculadora como
herramienta de trabajo habitual. En algunas aparece la tecla "√ " para calcular
la raíz cuadrada.
Hay diferentes modelos de calculadoras científicas, pero en todas ellas existe
la posibilidad de calcular raíces de cualquier índice o potencias de cualquier
exponente.
Se explica brevemente cómo se utiliza esta función en las calculadoras. La
tecla que corresponde a potenciación tiene la inscripción x y y la que corresponde
a radicación x1/y o x- y ; en general la radicación es la segunda función de
la misma tecla. Para calcular una potencia, por ejemplo 35 , es suficiente con
oprimir 3, luego la tecla x y y por último 5, al apretar el = en el visor aparecerá
el resultado, 243 (en algunas calculadoras no es necesario apretar el =).
4
Para calcular raíces el procedimiento es muy parecido, por ejemplo √286.
Primero se escribe 286, luego se oprime la tecla x 1/y , después 4 y por último =;
en el visor se lee el resultado 4,1123...(la cantidad de cifras decimales depende de
la calculadora); en muy pocos modelos, ante resultados de muchas cifras, aparece
en el visor la leyenda "error"; la mayoría lo expresa en notación científica.
Superficie de las figuras
Antes de comenzar a desarrollar las actividades que tratan sobre algunas de las
propiedades de los cuadriláteros, usted puede recomendar a los alumnos que
consulten el Módulo 2, en lo referido a los conceptos tales como posiciones de
dos rectas (paralelas, perpendiculares, oblicuas), y clases de ángulos (agudos,
obtusos, rectos, llanos). Esta revisión será de gran utilidad para poder resolver
las actividades propuestas 1 .
1 Es común encontrar en algunos textos de matemática que los puntos están designados con
letras minúsculas y las rectas o conjuntos de puntos con letras mayúsculas. En otros en
cambio, están exactamente al revés.
¿En cuál de los dos casos está mal?.. En ninguno. Las dos formas son correctas, según la
convención que se adopte.
En las décadas de 1960 y 1970, con el auge de la teoría de conjuntos, algunos autores
comenzaron a utilizar letras de imprenta mayúsculas para las rectas y minúsculas para los
puntos. Cambiaron la denominación tradicional por ésta, porque la teoría de conjuntos
considera “elementos” a los puntos de la recta, y por convención establece que los elementos
se designan con minúsculas y los conjuntos con mayúsculas.
107

En las instancias presenciales, se sugiere trabajar con el geoplano para obtener
sin dificultad y con rapidez toda clase de polígonos.
Para construir el geoplano se necesita una madera cuadrada de 30 cm por
30cm y algunos clavos y banditas elásticas (si son de color, mejor).
Sobre la madera (de 30 cm por 30 cm) se marcan 36 cuadrados de 5cm de
lado a los que se les traza las diagonales. En el punto de intersección de las
diagonales de cada cuadrado, se ubica un clavo, si es posible, con cabeza de
bronce. Utilizando banditas elásticas, apoyándolas en los clavos se pueden construir
triángulos, cuadriláteros y polígonos en general.
Cuando usted advierta dificultad en los alumnos para la construcción de
polígonos (especialmente los cuadriláteros que son los que más se trabajan), se
recomienda este recurso para ahorrar tiempo ya que la obtención de los
polígonos no ofrece dificultad, si el geoplano está bien construido. Además una
vez obtenido el polígono, y siempre utilizando las banditas, pueden ubicarse
diagonales y alturas. Esto permite comprobar propiedades y realizar transformaciones
rápidamente.
5 cm
5 cm
30 cm
Partiendo de los conceptos trabajados en el Módulo 3 para alumnos sobre la
superficie del rectángulo y del cuadrado y la característica de los cuadriláteros,
se va guiando al alumno para que arribe a la obtención de las fórmulas para
calcular la superficie de los triángulos, paralelogramos y rombos. El propósito
es que la resolución de situaciones que impliquen la aplicación de fórmulas
para calcular superficies de polígonos, no dependa de la memoria de los alumnos,
por eso, se recomienda trabajar el concepto de superficie con material
concreto y representativo.
Se sugieren actividades que incluyen los contenidos: perímetro (Módulo 3),
proporcionalidad (Módulo 4) y superficie (Módulo 5)
108
30 cm

1) Complete esta tabla teniendo en cuenta que los datos corresponden a un
cuadrado.
Lado
2cm
3cm
4cm
5cm
10cm
Perímetro Superficie
¿El perímetro del cuadrado es proporcional al lado?
¿Por qué?
¿La superficie del cuadrado es proporcional al lado?
¿Por qué?
2) Complete en la tabla las medidas de las bases y de las alturas posibles para
diferentes rectángulos de 32m 2 de superficie.
Base Altura Superficie
8 cm cm 32 cm2 cm 8 cm 32 cm2 cm 2 cm 32 cm2 2 cm cm 32 cm2 1 cm cm 32 cm2 cm 1 cm 32 cm2 Compare las medidas de la base con las de la altura y exprese cómo se relacionan
en cada caso, señalando lo que corresponda.
a) En forma directamente proporcional.
b) En forma inversamente proporcional.
c) Sin proporcionalidad.
109

3) Calcule la superficie de las siguientes figuras.
1
Expréselas en ❑ y en cm 2 . ¿Qué relación observa entre las dos medidas? ¿A qué
se debe?
4) Un trabajador construye su casa en un terreno rectangular de 80m 2 de superficie,
que tiene 10 metros de frente. La casa ocupa el 50% del terreno.
Construye también un galpón de 20m 2 .
a) ¿Cuánto mide el fondo del terreno?
b) ¿Cuántos m 2 cubren la casa?
c) ¿Qué superficie queda para jardín?
5) Escriba la fórmula que permita hallar la superficie de un cuadrado conociendo
su perímetro.
6) Calcule la superficie de un cantero cuadrado del jardín cuyo perímetro es de 10m.
7) ¿Puede calcular la superficie de un triángulo cuyo perímetro es de 40m?
¿Por qué?
Volumen de los cuerpos
3
En el Módulo 3 para alumnos, al trabajar con magnitudes, se hizo mención,
entre otras al volumen. Ésta es una de las magnitudes que junto con la
longitud, la superficie, la capacidad y el peso son de uso frecuente en las
110
2
4

actividades de todos los días. Si se pretende que los alumnos puedan comparar
y medir el volumen de un cuerpo, se recomienda que las primeras mediciones
se hagan utilizando unidades no convencionales, del mismo modo que se hizo
con las otras magnitudes. Para ello se podrían utilizar dados o cajas de forma
cúbica que permitan comparar y hallar cuántas veces está contenida la unidad
en el cuerpo cuyo volumen se quiere medir.
En instancias presenciales, se pueden realizar experiencias que permitan
medir el volumen de distintos cuerpos (como cajas), los alumnos podrán
observar que cuerpos de diferente forma pueden tener el mismo volumen. Esto
también se logra, apilando de diferente forma 6 paquetes de galletitas.
Cuerpo 1 Cuerpo 2 Cuerpo 3
Se pueden comparar cuerpos en los que parezca que uno es de mayor volumen
que el otro, pero al medirlos comprobar que no es así. Se podría preguntar:
¿Cuál de las pilas de paquetes o cajas ocupa mayor volumen?
A B
111

Ante cuerpos como los de la figura A y B, algunos alumnos probablemente
dirán que A tiene mayor volumen por ser más alto que B. Ante esto surgirá la
necesidad de comprobar (contando las cajas o paquetes) que B tiene mayor
volumen.
Se ha hecho referencia a cuerpos con forma de prisma o que pueden subdividirse
en pequeños cubos o prismas. Pero también es posible que algunos alumnos
se pregunten cómo comparar el volumen de cuerpos cuya forma no permite
hacer una subdivisión.
Si se quiere saber cuál de los dos tiene mayor volumen, sería necesario conocer
el volumen de cada uno de ellos. Pero también es posible saberlo por comparación,
sin utilizar la fórmula.
La experiencia para hacer esto último es sencilla, los pasos son:
a) Llevar al aula un recipiente, si es graduado mejor (como los que se utilizan
para medir líquidos o polvos).
b) Colocar agua hasta cierto nivel, marcar el recipiente a la altura del agua (o
anotar dicha altura si está graduado).
c) Introducir uno de los dos cuerpos que se quiere comparar, si flota llenarlo
con arena o agua, y marcar el nuevo nivel alcanzado por el agua.
d) Repetir la experiencia con el otro cuerpo y marcar el nuevo nivel.
El cuerpo que tenga mayor volumen, hará subir más el nivel del agua.
Este tipo de experiencias se puede repetir cuando los alumnos hayan aprendido
a calcular el volumen de un cilindro. Se puede pedir, entonces, que determinen
el volumen de cada uno y posteriormente los comparen.
El cilindro que se determina con los dos niveles del agua (antes y después de
introducir el cuerpo), tiene un volumen igual al del cuerpo sumergido.
Sólo después de comprobar que los alumnos adquirieron el concepto de
volumen se podrá comenzar a medir con unidades convencionales. Se recurre
al SIMELA para utilizar la unidad base, sus múltiplos y submúltiplos.
La unidad base para medir volúmenes es el metro cúbico. En general resulta
difícil imaginar cuál es el volumen que corresponde a 1m 3 , no es suficiente
enunciar que corresponde a un cubo de: 1m x 1m x 1m.
Para que los alumnos tengan noción de 1m 3 , se puede solicitar a los adultos
que den ejemplos de objetos que tengan 1m 3 de volumen (una caja de un
televisor de 28' tiene aproximadamente 1m 3 de volumen).
Más sencillo resulta construir 1dm 3 o 1cm 3 y es conveniente que los alumnos
los construyan, o se encuentren en el aula para compararlos con objetos y
estimar el volumen que éstos tienen; por ejemplo, armarios, cajas, etc.
La relación entre el volumen y la capacidad se pone de manifiesto en la
actividad Nº30. Es común que los adultos comparen dos productos comerciales,
que tengan diferentes envases y el contenido se indique con distintas
unidades para decidir la compra de uno u otro.
112

Por ejemplo:
380 cm 3 0,4 l
Considerando los envases presentados se podrá preguntar si ambos productos
cuestan lo mismo y tienen la misma calidad. ¿Cuál de los dos le convendrá
comprar?
Actividades de este tipo pueden presentarse a los alumnos, llevando los
envases vacíos al aula, para comparar por transvasamiento la capacidad de cada
uno.
Hay que tener presente que no se podrán realizar todas las actividades, en
consecuencia es conveniente seleccionar aquellas que usted considere más
adecuadas, según las dificultades de los alumnos.
Otra posibilidad sería plantear situaciones para que se resuelvan como
actividades complementarias de las que figuran en el módulo para alumnos.
El volumen del cilindro
El prisma y el cilindro son los cuerpos que con mayor frecuencia se presentan
en los objetos que nos rodean.
Ante la necesidad de conocer o comparar volúmenes de tanques de agua,
vasos, baldes, tanques australianos, etc., se presenta la fórmula para determinar
el volumen de un cilindro.
Si los alumnos utilizan correctamente la fórmula para calcular el volumen de
un prisma, es probable que no tengan dificultades en comprender y aplicar la
fórmula para el volumen del cilindro ya que en ambos casos, es:
V = Sup. base x altura
De no ser así, se podrá trabajar con la fórmula para calcular el volumen del
prisma y compararlo con la del cilindro; se observará que la diferencia está sólo
en cómo se calcula la base de uno y de otro, y en ambos casos se multiplica por
la altura.
113

Además se podrán presentar actividades como la de las monedas, que se plantea
en el módulo para alumnos, pero utilizando otros elementos de menor
espesor, como arandelas, fichas de papel, pastillas, etc.
Al comparar dos cilindros como las de la figura siguiente algunos alumnos
podrán llegar a decir que B es de mayor volumen que A, otros podrán pensar
lo contrario. Ante esto surgirá la necesidad de calcular el volumen de cada uno.
Para ello es necesario que usted escriba los datos requeridos, o los alumnos
midan la altura y el radio para calcular sus volúmenes.
Operaciones
A B
En este eje se presentan dos operaciones: la potenciación y la raíz cuadrada.
Potenciación
Es común que los adultos enuncien correctamente la definición de potenciación,
pero al tener que calcular 3 2 muchos se confundan y respondan 6.
Para facilitar en los participantes, la comprensión del concepto de potencia y
el procedimiento para hallar el resultado, es conveniente que las primeras potencias
sean resueltas escribiendo la multiplicación reiterada. Ejemplo:
2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
5 factores 2
Leer correctamente la operación a realizar, por ejemplo:
Tres al cuadrado igual ......
3 2 = Tres elevado a la segunda igual .....
El cuadrado de tres es ............
y no "tres a la dos" que a muchos hace pensar en tres por dos.
114

En el módulo para alumnos, si bien se trabaja la potenciación en general, se
da prioridad a las potenciaciones de uso más frecuente: el cuadrado, el cubo y
la potenciación de base diez. Las dos primeras, se relacionan con el cálculo de
la superficie y el volumen respectivamente.
La base diez permite hacer la descomposición polinómica de números, e incorporar
la notación científica, lo que posibilita escribir números de muchas
cifras en forma aproximada. Un ejemplo de la notación científica es la actividad
Nº12 del módulo para alumnos. Por ejemplo: para abreviar la escritura de la
distancia Tierra-Sol (150 millones de km), es útil la potencia de base diez:
d (Tierra-Sol)= 1,5 . 10 6 km.
Comúnmente, se piensa que el resultado de una potenciación siempre resulta
ser un número mayor que la base. Esto se debe a que, en general, se proponen
actividades donde la base es un número mayor que 1. En la actividad Nº1 del
Módulo 5 se observa cómo aumenta rápidamente el resultado a medida que
aumenta el exponente. Esto no siempre es así, es aconsejable, entonces, presentar
alguna actividad donde la potencia sea menor que la base, por ejemplo:
¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo lado mide 0,5m?
Para contestar esta pregunta habrá que resolver 0,5 3 = 0,125
El resultado 0,125 es menor que la base 0,5. Si el exponente es aún mayor,
menor será el resultado:
Ejemplos: 0,5 5 = 0,03125; 0,5 8 = 0,003906; 0,5 12 = 0,000244
Esto se fundamenta en que si se eleva 1 décimo (0,1) al cuadrado, el resultado
es 1 centésimo
0,1 2 =0,01 y 1 1 .
10 100
En este caso, interesa conocer rápidamente el resultado, conviene usar
calculadora, porque el objetivo es ordenar los resultados, es decir, compararlos.
Radicación
Si se tiene en cuenta la definición de potenciación: a n =b, conocer a y n (base
y exponente) permite hallar el número b. Pero ¿qué ocurre si b es un dato y lo
que no se conoce es a o n? Por ejemplo,
3 n = 81
a 5 = 32
En el primer ejemplo se conoce la base pero no el exponente. ¿3 elevado a que
potencia es igual a 81?
En el segundo ejemplo no se conoce la base, aquí la pregunta es ¿qué número
elevado a la 5 es igual a 32?
En el primer caso la operación matemática que permite hallar n es el logaritmo.
En el ejemplo logaritmo en base 3.
En el segundo caso la operación que permite hallar a es la radicación. En el
5 ejemplo √32.
n
En general, √b = a.
115

En el módulo para alumnos se trabajó radicación en el conjunto de los números
naturales y sólo con la raíz cuadrada, y en especial, en su condición de inversa
de la potenciación de exponente dos.
Al igual que en la potenciación, es conveniente leer correctamente la escritura
de una raíz, y verificar el resultado elevando al cuadrado dicho número, como
en la actividad Nº16.
Dado que la raíz cuadrada de muchos números no es exacta, la estimación en
esta operación cobra importancia. Esto se observa en la actividad Nº11 del módulo
para alumnos, en la cual el resultado se busca por tanteo. Esta dificultad
no existe si los alumnos usan calculadoras, y la búsqueda por tanteo es adecuada
para dar respuesta a lo que se busca. Si los alumnos disponen de una
calculadora, se pueden hacer ambas cosas, buscar la respuesta por tanteo y
luego controlar el resultado obtenido, en este caso, se observará también la ventaja
y rapidez del uso de calculadoras tal como ya se ha dicho en la presentación
del área y en este módulo.
Uso de paréntesis
Si se pregunta cuál es el resultado del siguiente cálculo:
3 + 5 x 2 = es común que los alumnos den como respuesta, 16.
Esto se debe a que en nuestro idioma se lee y se interpreta de izquierda a
derecha, una a una, las palabras o los signos de la escritura. Pero no ocurre lo
mismo con las expresiones matemáticas.
Si se le pide a los alumnos que indiquen en orden las operaciones que
hicieron dirán:
Tres más cinco, por dos
En lugar de
Tres más, cinco por dos
En el primer caso, Tres más cinco, por dos, primero se suma 3 + 5, y al resultado
se lo multiplica por 2, se obtiene 16.
En el segundo, Tres más, cinco por dos, a 3 se le suma el resultado de 5 x 2. En
este caso el resultado final es 13.
Cuando se escribe 3 + 5 x 2 = no se usan comas para indicar cuál de los
caminos es el que se debe seguir. Esto provoca que muchos alumnos erróneamente
contesten 16, eligiendo el primer camino. Pero en matemática hay
operaciones que tienen prioridad en un cálculo. Es necesario indicar que las
multiplicaciones y las divisiones, se resuelven antes que las sumas y las restas, es
decir, que los signos + y - separan términos.
116

Por ejemplo:
1 er t. 2 do t. 3 er término
4 + 6 x 2 - 8 : 4 =
4 + 12 - 2 = 14
Si se quiere modificar el orden en que se deben resolver las operaciones se
deben usar los paréntesis. Si por ejemplo se pretende realizar el cálculo Tres más
cinco, por dos, se debe indicar ese orden usando paréntesis. Por ejemplo:
(3 + 5) x 2 =
8 x 2 = 16
En este caso por tener paréntesis, primero se resuelve la suma y luego se
multiplica.
La prioridad de unas operaciones sobre otras y el uso de los paréntesis, conviene
desarrollarlos simultáneamente.
La circunferencia y el círculo
La actividad Nº22 del módulo para alumnos, propone la búsqueda de la
relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Tal vez algunos
alumnos realicen mal las mediciones necesarias para hallar aproximadamente π
(3,14...). De ser necesario podrá repetirse la experiencia en una instancia
presencial, realizando la actividad en grupo.
Un error frecuente es confundir los términos circunferencia y círculo, usándolos
como si fuesen sinónimos. Para aclarar estos conceptos, además de conocer
la definición de cada uno de ellos, es necesario que el alumno use cada uno
de los términos de manera apropiada y así podrá relacionar la circunferencia
con su longitud y el círculo con su superficie.
En el módulo de alumnos, bajo el título "Superficie del círculo", se desarrolla
una actividad que permite descubrir la fórmula para calcular la superficie de un
círculo. Esta actividad puede ser realizada en la instancia presencial en forma
individual o grupal. Sólo se necesita llevar algunos círculos de cartulina, útiles
geométricos y tijeras.
Números negativos
Existe una variedad de situaciones en las que, para cuantificarlas, se necesita
un número negativo. Las actividades Nº41 y Nº42 del módulo para alumnos,
son un ejemplo de estas situaciones. Los alumnos podrán percibir de esta manera
que los números negativos son una necesidad, ya que no habría una forma
matemática de indicar cantidades que son menores que cero.
117

Es suficiente que los alumnos conozcan la escritura y el ordenamiento de los
números negativos. La operatoria con esta clase de números, no está incluida
en los contenidos de este Proyecto.
Respecto del ordenamiento de números negativos, la actividad Nº44 del
módulo para alumnos es un buen ejemplo que puede utilizarse con situaciones
similares, por ejemplo, con años o con profundidades.
Este tipo de ejercicios permite ordenar los números de un modo significativo,
con un sentido lógico, de menor a mayor o de mayor a menor.
Para poder comparar los números negativos es conveniente en primer lugar,
contextualizar los mismos. Por ejemplo: de 2 temperaturas bajo cero, indicar
cuál es la más baja (o menor).
En Ushuaia se anotaron las temperaturas siguientes:
A las 6 hs -15˚C
A las 8 hs -10˚C
¿A qué hora se registró la menor temperatura?
Sin duda, el alumno responderá: "a las 6", porque -15˚C es menor que -10˚C.
A modo de sugerencia, pueden tenerse en cuenta otros contextos como los
siguientes:
a) Juan debe $100 y José $120.
¿Quién debe más? (Aquí se identifica "debe" con el signo -.)
b) Un buzo se halla a 500 metros de profundidad y otro a 600 metros. ¿Cuál
está más alejado del nivel del mar? (Aquí se identifica "profundidad" con el
signo -.)
Conviene identificar, entonces, ciertas palabras del contexto con el signo del
número negativo.
Es importante observar la existencia del cero para poder comparar números
enteros, en particular los negativos.
Los alumnos deberán concluir que si se comparan dos números negativos, el
menor es el que está más alejado hacia la izquierda del cero.
Ejemplo:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-3 < -1 ; -8 < -4
118

EVALUACIÓN
Las siguientes actividades de evaluación, integran algunos conceptos y procedimientos
tratados en el módulo para alumnos. En la primera actividad, el
gráfico es sólo un elemento auxiliar, en la segunda, en cambio reemplaza al
enunciado. El alumno debe leer e interpretar la información que suministra el
gráfico para dar respuesta a las preguntas de la actividad.
1) Un tanque de agua tiene forma cilíndrica. Sus medidas se indican en el dibujo.
Calcule:
a) ¿Cuál es la superficie de la tapa?
b) ¿Cuál es el volumen del tanque?
d = 1m
c) Si cada dm 3 equivale a 1 litro de agua ¿Cuántas gotas de lavandina hacen falta
para evitar el contagio del cólera? (Recuerde que por cada litro corresponden
2 gotas.)
d) Si la tapa hubiese tenido 5.024cm 2 de superficie, ¿Cuál sería su diámetro?
Recuerde: superficie del círculo = π x r 2 entonces
π x r 2 = 5.024cm 2
Nuevamente aquí es conveniente usar la calculadora.
119
h = 1,6m

2) Observe y resuelva
a) Complete colocando las alturas respectivas:
La cima de la montaña
El barco
El submarino
El árbol
b) Marque en el dibujo otro árbol a 300 m y una ballena a -50m
c) Ordene las 6 alturas desde la más alta a la más baja.
d) Calcule la diferencia de altura entre:
La ballena y la casa
La casa y la cima
El barco y el árbol
El submarino y la ballena
120

BIBLIOGRAFÍA
Referida a aspectos didácticos
Bandet y otros: Hacia el aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires, Kapelusz,
1978.
Castelnuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990.
Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Cuadernos Pedagógicos
Nº57. Buenos Aires, Kapelusz, 1980.
Polya G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.
Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. Buenos Aires, Plus Ultra,
1979.
Referida a contenidos
Potenciación y radicación
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y 11.
Bindstein, M., Hanflig, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap 11.
Tapia, Nelly: Matemática l. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.
Varela, L., Foncuberta, J.: Matemática dinámica 2. Buenos Aires, Kapelusz,
1973, cap. 5.
Cuadriláteros
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 4 y 8.
Tapia, Nelly: Matemática II. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 7.
Circunferencia y círculo
Tapia, Nelly: Matemática I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 14.
Tapia, Nelly: Matemática I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.
El volumen de los cuerpos
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5.
121

Números negativos
Bindstein M., Hanflig M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 6.
Tapia, Nelly: Matemática l. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 13.
Uso de paréntesis
Bindstein, M., Hanflig, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 2.
122

MÓDULO 6
*
7
4
1
2 3
5 6
8 9
0 #
12x5=60

ÍNDICE
Introducción 127
Consideraciones sobre las actividades 128

INTRODUCCIÓN
El camino recorrido por el alumno adulto, desde el inicio del Proyecto a
partir del Módulo 1 hasta la resolución de la actividades del Módulo 6, se
podría sintetizar como un proceso que, a partir de los conocimientos matemáticos
intuitivos, incompletos y a veces erróneos, facilitó en el adulto la formalización
de conceptos y procedimientos matemáticos que se convierten en
instrumento para leer la realidad, comprenderla y/o modificarla.
El Módulo 6 para alumnos tiene como propósito fundamental que el adulto
aplique los conocimientos matemáticos en la resolución de problemas que la
vida plantea cotidianamente.
Pero el interrogante o cuestión por resolver en todo problema no puede ser
solucionado sólo con la aplicación de conocimientos o procedimientos aislados,
sino que requiere que el alumno realice un complejo proceso que implica:
el análisis de la situación, la elaboración de hipótesis y la formulación de
conjeturas (aquí la estimación adquiere singular importancia), la selección de
las posibilidades y la toma de decisiones.
Al elaborar la estructura y los contenidos del Módulo 6 para alumnos, se tuvieron
en cuenta los objetivos generales para el área en el Proyecto de Terminalidad
del Nivel Primario para Adultos a Distancia:
◆ Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones
de la vida cotidiana que requieren su empleo.
◆ Adquirir nuevos conceptos y nuevas estrategias para plantear y resolver
situaciones matematizables vinculadas con lo personal, lo laboral y lo
comunitario.
◆ Valorar la precisión y la utilidad del lenguaje matemático para representar,
comunicar o resolver situaciones.
◆ Utilizar las operaciones fundamentales en la resolución de problemas.
◆ Aplicar el conocimiento de los sistemas de medidas de longitud, peso, superficie,
volumen y tiempo, respecto a problemas del entorno.
◆ Aplicar conceptos elementales de estadística para la interpretación de tablas
y gráficos sencillos.
127

La resolución de las situaciones planteadas en las 18 actividades del Módulo 6 para
alumnos implica la aplicación de los siguientes contenidos trabajados en
módulos anteriores:
Números Operaciones Medida Geometría Estadística
• Racionales
• Naturales
• Fraccionarios
• Expresiones
decimales
• Enteros
• Adición, sustracción,multiplicación
y división.
• Proporcionalidad
• Escala
• Porcentaje
CONSIDERACIONES SOBRE LAS ACTIVIDADES
Luego de una breve introducción, en la actividad Nº1 del Módulo 6 para
alumnos se solicita al adulto que enumere todos los gastos que él considera
necesarios para instalar un quiosco. Esta actividad junto con la Nº2, en la que
debe mencionar las condiciones exigidas por las inmobiliarias para alquilar un
local, tienen como propósito la explicitación de los saberes previos de los adultos
sobre el tema. Es importante que usted promueva el intercambio de información
en las instancias presenciales, ya que en las actividades siguientes se le
propone al alumno que haga un análisis de la situación, lo que le permitirá,
posteriormente, tomar decisiones.
Sería oportuno insistir en que la correcta evaluación de las posibilidades y la
adecuada planificación de acciones influyen decisivamente en el éxito del
negocio. Esta temática se trata en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo.
Por tal motivo, la actividad Nº3 propone analizar los locales que se ofrecen
teniendo en cuenta la variable precio-superficie. Esta actividad requiere que el
alumno aplique sus conocimientos sobre los siguientes contenidos:
◆ Multiplicación y división de números naturales y expresiones decimales.
-Móds. 3 y 4
◆ Medidas de superficie
-Mód. 3
◆ Superficie de rectángulo
-Mód. 3
•SIMELA
Medidas
de:
Longitud
Capacidad
Peso
Superficie
La actividad Nº4 del Módulo 6 facilita ese proceso, ya que requiere el análisis
de las condiciones de cada local (alquiler, dimensiones, ubicación) y la selección
de una posibilidad para tomar una decisión. En consecuencia, tendrá que
analizar: dimensiones, ubicación, monto del alquiler, estado general del local,
etc.
128
• Ubicación en
planos.
• Superficie de
cuadriláteros
• Escalas
• Lectura, análisis
y elaboración
de:
• Diagramas de
barras
• Diagramas lineales
• Porcentaje

Una vez elegido el local y resuelta la actividad Nº5, el alumno habrá llegado
a la conclusión de que con los $3.000 que tenía como capital no le alcanza, y
entonces una alternativa para solucionar el problema es pedir un crédito
bancario.
El propósito de la actividad Nº6 es que el alumno elija el crédito que considere
más conveniente teniendo en cuenta los plazos y los intereses. Una vez que el
alumno haya completado el gráfico lineal, sería importante plantearle si hay o no
una relación de proporcionalidad entre la cantidad de cuotas y el monto de
dinero a devolver, recordándole que, si bien al aumentar la cantidad de cuotas, el
monto de dinero también aumenta, no existe una constante; por lo tanto, la
relación no es de proporcionalidad porque no aumenta en la misma relación. Es
fundamental que sean los alumnos quienes arriben a esta conclusión.
Los contenidos trabajados en esta actividad son:
◆ Operaciones con números naturales
- Móds. 1 y 2
◆ Proporcionalidad
- Mód. 4
◆ Gráfico estadístico
- Mód. 4
El objetivo de la actividad Nº7 es que el alumno pueda simbolizar con un
número negativo (cuando el caso lo requiera) el estado de su economía. El
contenido trabajado:
◆ Números enteros
- Mód. 5
En la actividad Nº8 el alumno debe representar gráficamente en una escala
determinada el local que él eligió. El contenido:
◆ Escala
- Mód. 3
Al resolver las situaciones que se plantean en las actividades Nº9, Nº10, Nº11
y Nº12, el alumno aplicará sus conocimientos acerca de los siguientes
contenidos:
◆ Adición, sustracción, multiplicación y división
- Móds. 1, 2 y 3
◆ Medidas de longitud
- Mód. 3
◆ Medidas de capacidad
- Mód. 4
◆ Medidas de superficie
- Mód. 5
◆ Proporcionalidad
- Mód. 4
◆ Superficie de cuadriláteros
- Mód. 5
129

La actividad Nº13 requiere que el adulto interprete gráficos estadísticos y
arribe a conclusiones. Es el momento oportuno para destacar el carácter
instrumental del área, ya que, de acuerdo con el análisis e interpretación de esos
gráficos, se decidirá seguramente la cantidad de golosinas, chocolates y helados
que es conveniente comprar en determinadas épocas del año.
Es importante recordar con los alumnos lo tratado en el Módulo 3 de Formación
para el Trabajo, referido a la compra de mercadería:
- si se compran más mercaderías de las que se pueden vender, no se podrá recuperar
la inversión y habrá pérdidas;
- si se compran menos mercaderías de las que demandan los clientes, se pierde
la oportunidad de obtener más ganancias y se corre el riesgo de perder
clientela;
- la cantidad de mercadería que se puede vender en cierto tiempo determina en
parte el plazo de recuperación de la inversión: cuánto tiempo hay que esperar
para recuperar todo el capital colocado para que funcione el local.
Los contenidos matemáticos trabajados en esta actividad son:
◆ Análisis e interpretación de diagrama de barras y lineales
- Mód. 4
La actividad Nº14 requiere que el alumno arribe a conclusiones a partir de la
interpretación que haya hecho de los gráficos estadísticos de la actividad Nº13.
Además, se complementa con la actividad Nº15, en la que deberá:
• resolver situaciones sobre cantidad de artículos;
• comparar precios;
• estimar resultados;
• realizar operaciones que le permitan calcular costos.
Todas estas acciones tienen como propósito poder responder a dos cuestiones
básicas en la planificación de una actividad comercial:
- A qué precio vender la mercadería.
- Qué cantidad habrá que vender (traducida en $) para recuperar la inversión.
En la actividad Nº16 se trabaja el tema “porcentaje”. El desarrollo de este
contenido está en el Módulo 4.
La última actividad del Módulo 6 es la Nº18. Para poder responder a la
pregunta que se le plantea, el alumno debe reflexionar sobre algunos temas
tratados en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo.
Con respecto al tema central del Módulo 6: “instalar un quiosco”, será necesario
recordar a los alumnos que el comienzo de cualquier emprendimiento
resulta sumamente difícil y que suele pasar un tiempo antes de obtener ganancias.
Al principio, todo será inversión y trabajo.
130

La planificación para instalar un quiosco requiere, tal como se explicó en el
inicio de este módulo, el análisis de la situación (ventajas y desventajas), la
elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas (calcular costos y
obtención de posibles ganancias), la selección de posibilidades (obtener un
crédito, buscar un socio, un lugar, etc.), para poder tomar la decisión con
relativa posibilidad de no fracasar en el emprendimiento.
131

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