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1.

Sugerencias para la resolución de la Práctica 3

por Fernando Acero y Ada Cammilleri

(a) Q T Q (Q H Q) es una matriz diagonal (con la misma cantidad de columnas que Q, con el mismo

espacio nulo y el mismo rango). El elemento i-ésimo de la diagonal es la norma al cuadrado de la

i-ésima columna de Q.

(b) Pv es la proyección ortogonal de v sobre el subespacio col(P ) pues Pv ∈ col(P )y

v − Pv ∈ col(P ) ⊥ . Para ésto último, observar que ∀x ∈ K n , K = R o C, Px ∈ col(P )y

(Px,v− Pv)=x H P H (v − Pv)=x H (P H − P H P )v = x H (P − P 2 )v = x H (P − P )v =0.

(c) P = wwT es hermítica (P H = P )e idempotente (P 2 = P ) de modo que es matriz de proyección.

Como col(P )=gen{w} (por qué?), su rango es 1 y proyecta sobre gen{w}.

(d) Siendo P de proyección, como (In − P ) H = In − P y(In − P ) 2 = In − P , resulta que

In − P también es de proyección. Para la otra implicación, si In − P es de proyección, como, por

un lado (In − P ) 2 = In − P y por otro (In − P ) 2 = In − 2P + P 2 − In, resulta que P 2 = P . Como

también, P H =(In − (In − P )) H = IH n − (In − P ) H = In − (In − P )=P . De modo que P es de

proyección. Además, In − P proyecta sobre col(P ) ⊥ .

2.

(a) Falso. Contraejemplo: con n = 1 sea Q = (2), tal que QQ T = (4). AsíQQ T no es idempotente y

por lo tanto no puede ser de proyección.

(b) Falso. Se puede considerar el mismo contraejemplo anterior.

(c) Verdadero pues que si llamamos P = QQT entonces P 2 = QQT QQT = Q(QT Q)QT = QIQT =

= P y P T =(QQT ) T = QQT = P .

(d) Verdadero. Para todo v ∈ Kn , de ser Pv = P ′ v resulta que (P − P ′ )v = 0 de donde (por qué ?)

P = P ′ .

(e) Verdadero. Si el rango no fuera a lo sumo (n−1) debería ser n, y por lo tanto, P sería inversible.

En ese caso, como P 2 = P multiplicando a izquierda por P −1 resultaría P = I, contra la hipótesis.

Otra forma de verlo es también considerar que si el rango de P es n, entonces col(P )=K n , con

lo cual P sería la matriz de proyección sobre K n , esto es, P = I.

1


(f) Verdadero (ver comentario en (e))

3.

(a) P = 1

9

(b) P = 1

6

(c) P = 1

7








5 −2 4

−2 8 2

4 2 5



4 2 −2

2 1 −1

−2 −1 1



6 −2 1 −1

−2 3 2 −2

1 2 6 1

−1 −2 1 6




4.

(a) Comprobar que P es simétrica e idempotente.


1/

(b) Q = ⎝

√ 3 0

1/ √ 3 1/ √ 2

1/ √ 3 −1/ √ ⎞


2

5.


(a) Q = ⎣


(b) Q = ⎣

1/ √ 2 −1/ √ 3

0 1/ √ 3

1/ √ 2 1/ √ 3

1/ √ 2 −1/ √ 3 −1/ √ 6

0 1/ √ 3 −2/ √ 6

1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 6


√ √


2 3 2

, R =

0


3



⎦ , R = ⎣

2 3 √ 2 9 √ 2/2

0 √ 3 4 √ 3/3

0 0 1/ √ 6

(c) Sea Ai la i-ésima columna de A, es decir, A = A1


A1 0


A1 A2

An

Q = A1 A2 ... An , R = ⎢ 0 A2

⎣ ... ...

A2

...

...

...


... An . Resultan


0

0 ⎥

... ⎦

0 0 ... An

(d) Q es diagonal con qii =1siaii > 0yqii = −1 siaii < 0. R se obtiene a partir de A multiplicando

la i-ésima fila de A por (-1) si aii < 0.



(e) Q = 1

2




1 −1 1

1 1 −1

1 1 1

1 −1 −1

6.


3

(a) ˆx =

2

⎡ ⎤

−1


(b) ˆx = α ⎣ 1 ⎦ + ⎣

1

7. No.

8.

9.

(a) V

(b) V

(c) F

(d) V

(e) F

(f) V

(g) V


ˆx =

0

1/3





7/3

−1/3

8/3


, R = ⎣


⎦, α ∈ R

2 3 5

0 4 −6

0 0 7



10.

(a) Six ∈ Nul(AHA) debe ser AHAx =0⇒ xHAHAx = Ax2 =0⇒ Ax =0⇒ x ∈ Nul(A). Por

otra parte,si x ∈ Nul(A) ⇒ Ax =0⇒ AHAx =0⇒ x ∈ Nul(AHA). (b) Dado que A y AHA tienen el mismo número de columnas e igual espacio nulo, deben tener el

mismo rango.

(c) Es consecuencia de (b).

(d) La ecuación normal A H Aˆx = A H b tiene solución única si, y solo si, las columnas de A H A son

l.i., y, por lo anterior, esto equivale a que las columnas de A sean l.i.. En tal caso, la solución es

ˆx =(A H A) −1 A H b.


(e) A♯ = 1


0 11 11

11

para la matriz A de 6.(a). No existe A

1 4 7

♯ para la matriz A de 6.(b)

(f) Sea b ∈ Rn . Sabemos que si ˆx es solución por cuadrados mínimos de Ax = b, Ax = Pcol(A)(b). Como el rango de A es m (pues la dimensión de S es m), vale que ˆx =(ATA) −1AT b, con lo cual

Aˆx = A(AT A) −1AT b = Pb. Luego P es la matriz de proyección sobre el subespacio S.

Otra forma de resolver el ejercicio es ver que P es simétrica e idempotente y que col(A) = col(P ).

11.

(a) y = 9 2

10 + 5x (b) La solución por cuadrados mínimos de Ax = b es única si, y solo si, las columnas de A son l.i..

(ver ej. 10 d). En este caso A tiene dos columnas, la primera formada por ”1”, la segunda por las

abscisas. Las columnas de A son l.i. si, y solo si, sus columnas no son proporcionales, esto es, si, y

solo si, no todas las abscisas son iguales.

12.

(a) p(t) =−0.7+5.6040 t con velocidad 5.6040

(b) p(t) =−0.11 + 5.0983 t +0.0843 t2 con aceleración 0.1686 y velocidad inicial 5.0893

(c) La segunda pues, en este caso, la norma del error es la centésima parte de la del primero.

13.

(a) f = −42.4+0.639 p +0.799 s

(b) ˆ f ≈ 74

14. b =0.9184 + 0.7299 h

15. a =13.75, b =0.0911. ˆ L ≈ 26.6862

16. Sabemos que todo b ∈ R3 puede expresarse como b = Pcol(A)(b)+Pcol(A) ⊥(b).


−1

Como A = P

1

col(A)(b), col(A) ⊥ = Nul(AT ⎡ ⎤

2

)=gen{ ⎣ −1 ⎦}, resulta que

−2


−1

b = A


b = ⎣


⎡ ⎤

2

⎡ ⎤

2

1


0

+ α ⎣ −1 ⎦. Como α ⎣ −1 ⎦ = 4 se obtienen dos respuestas:

−2

−2

−2 ⎦ +

1

4

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2

0


3 −1 ⎦ y b = ⎣ −2 ⎦ −

−2

1

4

⎡ ⎤

2


3 −1 ⎦.

−2


17.

(a) La matriz de proyección sobre (Nul(A)) ⊥ es 1

6


(b) ˆx = ⎣

18.


(a) ˆx = ⎣

(b) b =




1

−3

1

1

1

1

1

0

0

0





⎦ + α ⎣

⎤ ⎡

⎥ ⎢


⎦ + α ⎢


1

1

0

1

1

−1

0



⎦ + β ⎣



⎦ ,α ∈ R.

2

0

1


⎦, α, β ∈ R.



1

1

−2


⎦ [1 1 − 2].

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