Clase 19

Flujo Potencial
(Clase I)
Función Funci n potencial:
Campos conservativos
► El movimiento de un fluido se llama irrotacional o
potencial si:
r r r r
ω = rot V = ∇xV
= 0 ∀ x , x , x
( ) ( )
► Esta condición condici n asegura la existencia de una función funci n
potencial tal que
r
r
V = ( v1
; v2;
v3
) = grad φ = ∇φ
∂φ
vi
=
∂x
i
Campos de velocidades
Conservativos y Solenoidales
► Si consideramos campos que son a la vez conservativos
y solenoidales (hip hip. . Flujos incompresibles), la función funci n
potencial debe satisfacer la ecuación ecuaci n de Laplace
∂φ
vi
=
2 2 2
2
∂xi
2 ∂ φ ∂ φ ∂ φ ∂ φ
⇒ ∇ φ = + + = = 0
2 2 2
∂vi
∂x
∂ ∂
1 ∂x2
∂x
x
2 i xi
= 0
∂x
i
► El campo de velocidades responde a una sola ecuación ecuaci n
escalar
1
2
3
Regiones no viscosas de un flujo
► Definición: Definici : Regiones donde las fuerzas viscosas son despreciables si
se las compara a las fuerzas de presión presi y/o inercia
~0 si Re importante
Ecuación de Euler
Los efectos de la viscosidad de los
fluidos reales quedan limitados a las
regiones del espacio (muchas veces
pequeñas) peque as) donde tienen lugar fuertes
gradientes de la velocidad (capas
límite, mite, o regiones donde el flujo es
turbulento)
En el grueso del flujo los efectos de la
viscosidad son despreciables y el fluido
se puede suponer ideal.
Flujos irrotacionales
► La vorticidad permite cuantificar la rotación rotaci n de
las partículas part culas fluidas (es el doble de la
velocidad angular)
► Para que esa rotación rotaci n tome lugar tiene que
haber un torque sobre la partícula part cula fluida.
► Este torque aparece como consecuencia de la
viscosidad del fluido.
► Flujos no viscosos=Flujo irrotacional
► Las regiones inviscidas son también tambi en
general regiones irrotacionales.
irrotacionales.
► En las regiones materiales de flujo ideal no se
crea ni se destruye vorticidad. vorticidad
► La vorticidad en un flujo inviscido es una
propiedad que es transportada por la partícula part cula
fluida.
► Si inicalmente es nula sigue siendo nula en
todo otro momento.
r *
Dω
r * *
r
= ω grad
* *
D t
Re
r * 1 * 2 *
( ω ) + ∇ ( ω )
Condiciones de contorno para flujos
potenciales
► La teoría teor a de la ecuación ecuaci n de Laplace establece que la solución soluci n está est
determinada si se conoce el valor de φ sobre toda una superficie
cerrada.
► Sin embargo, es preferible en el presente contexto imponer
condiciones sobre la velocidad. Esto plantea el problema de averiguar averiguar
qué qu condición condici n sobre la velocidad es equivalente a asignar un valor a φ. .
► Evidentemente, por lo general no se podrá podr especificar u u (es decir,
todas sus componentes), pues serían ser an tres condiciones, y no una sola
como es asignar un valor al escalar φ.
► Se puede demostrar que el campo u u queda unívocamente un vocamente determinado
si se asigna sólo s lo la componente componente normal normal de u u sobre el contorno
cerrado, es decir, una condición condici n escalar.
1

Hipótesis Hip tesis de Flujo irrotacional
► La solución soluci n de un problema de flujo potencial
consiste pues en la determinación determinaci n de dos
magnitudes escalares, φ y pp, , para lo cual
disponemos de dos ecuaciones escalares:
Laplace y Bernoulli
► El proceso es entones
1. Calcular φφ a partir de la ecuación ecuaci de Laplace
2. Calcular el campo de velocidades por la definición definici
de función funci potencial
3. Calcular la presión presi a partir de Bernoulli
Válido lido para flujo 3D o 2D
Expresión Expresi n de las líneas l neas de corriente en
distintos sistemas de coordenadas
► Sistema Cartesiano
► Sistema Polar
(Simetría (Simetr a Esférica) Esf rica)
► Sistema Esférico Esf rico (Áxisim ( xisimétrico trico)
► Sistema de Coordenadas
Cilíndrico Cil ndrico
V r
∂ψ
v1
= ;
∂x
2
1 ∂ψ
= 2
r sen θ ∂θ
1 ∂ψ
Vr = −
r ∂z
1 ∂ψ
Vz =
r ∂r
∂ψ
v2
= −
∂x
1
1 ∂ψ
Vr =
r ∂θ
∂ψ
Vθ
= −
∂r
1 ∂ψ
; Vθ
= −
r sen θ ∂r
Casos simples de flujos Solenoidales
y conservativos
► Soluciones de la ecuación ecuaci n de
Laplace con formas polinómicas
polin micas.
► Movimiento de traslación traslaci n puro
x 2
x 1
φ =
2
a + a x + b x
0 i i j
2
j
U ∞ x1
V∞
x2
+ = φ
r
r
V = ( v1
; v2;
v3)
= grad φ = ∇φ
∂φ
vi
=
∂xi
r ( (
V = U ∞ e1
+ V∞e2
∂ψ
= −v2
= −V∞
∂x1
⇒ψ
= −V∞
x1
+ U x
∂ψ
= v1
= U ∞
∂x
∞ 2
Flujos 2D: Función Funci n corriente
► Supongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para el
conocemos la expresión expresi n de la línea l nea de corriente y que esa expresión expresi n es
∂ψ
∂ψ
ψ ( x 1, x2
) = cte dψ
= dx1
+ dx2
∂x
∂x
Si comparamos con la ecuación ecuaci n diferencial de la línea l nea de corriente
v2
dx1
− v1
dx2
= 0
► De donde podemos asociar
∂ψ
v1
= ;
∂x
► Que va a ser siempre válida v lida si el campo de velocidades es solenoidal
r
div
2
1
∂ψ
v2
= −
∂x
2 2
∂V
∂V
x y ∂ ψ ∂ ψ
( V ) = + = 0 ⇒ − = 0
∂x
∂y
∂x∂y
1
∂y∂x
Entonces Entonces la existencia de la función funci n corriente Ψ(x,y x,y) ) está est
asegurada para campos bidimensionales y solenoidales
Flujos Solenoidales y conservativos
bidimensionales
► En este caso además adem s de
cumplirse la ecuación ecuaci n de
Laplace para la función funci n
potencial se cumple
también tambi n para la función funci n
corriente.
► Por lo que superposición
superposici n
de funciones corriente son
también tambi n solución. soluci n.
φ =
a
2
1
∂ψ
v1
= ;
∂x
∇ × v = 0
2
2
∇ ψ = 0
ψ = ψ1
+ ψ 2
2
∂ψ
v2
= −
∂x
Punto de estancamiento
2 2 ( x − x )
r ( (
V = a x e − a x e
2
1
1
∂ψ
= −v2
= a x2
∂x1
⇒ψ
= a x x
∂ψ
= v1
= a x1
∂x
Para x 1 =x =x2 =0 Punto
de estancamiento
r =
V
Video
0 r
2
2
2
r
r
V = ( v1;
v2
) = grad φ = ∇φ
∂φ
vi
=
∂x
1 2
i
1
2

Soluciones singulares
►Analizamos Analizamos a continuación continuaci n funciones que
satisfacen la ecuación ecuaci n de Laplace a
excepción excepci n de ciertos puntos que llamamos
puntos singulares.
►En En esos puntos en general no se verifica
que la divergencia o el rotor del campo de
velocidades sea nulo
Fuente
Doblete Puntual
y
a a
Sumidero
K = A a
es la intensidad del doblete
Flujo Irrotacional
2D 2D
x
Si la distancia a tiende a cero:
K cosθ
Φ = 2
r
2
Ksen θ
Ψ = −
r
Fuente y
sumidero
► La ecuación ecuaci n de Laplace
admite como solución soluci
A
=
r
e r
2
2 1 ∂ ⎛ 2 ∂φ
⎞ 1 ∂ ⎛ ∂φ
⎞ 1 ∂ φ
∇ φ =
θ +
2 ⎜r
⎟ + 2 ⎜ sen ⎟ 2 2 2
r ∂r
⎝ ∂r
⎠ r senθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠ r sen θ ∂γ
∂φ
( 1 ∂φ
( 1 ∂φ
(
grad( φ ) = er
+ eθ
+ eγ
∂r
r ∂θ
r senθ
∂γ
( γ
θ
∂
r ∂r
1 2
1 ∂
r senθ
∂θ
φ div( V ) = ( r Vr
) + ( Vθ
senθ
)
2
A
∂φ
( 1 ∂φ
( 1 ∂φ
( Vr
= − 2
grad φ = er
eθ
+ eγ
⇒ r
∂r
r ∂θ
r senθ
∂γ
V = 0
► Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a infinito
► Las líneas l neas de corriente se obtienen considerando para este caso
1 ∂ψ
Vr = 2
r senθ
∂θ
⇒ψ
= −A
cosθ
1 ∂ψ
Vθ
= −
r senθ
∂r
► Supongamos una función funci n potencial
que se expresa como
► El rotor de las velocidades presenta
un punto singular en el origen
r
Vórtice rtice Ideal
∂φ
Vr
= = 0
∂φ
( 1 ∂φ
( ∂r
grad ( φ ) = er
+ eθ
⇒
∂r
r ∂θ
1 ∂φ
1 k
Vθ
= =
r ∂θ
r 2π
1 ∂ψ
Vr =
r ∂θ
k
⇒ψ
= − log
∂ψ
2π
Vθ
= −
∂r
() r
θ
k
φ = θ
2π
r 1 ⎛ ∂Vr
∂(
rVθ
) ⎞(
∇×
V = − ⎜ − ⎟eγ
r ⎝ ∂θ
∂r
⎠
Técnicas cnicas de resolución resoluci n de la
Ecuación Ecuaci n de Laplace
► Métodos todos Indirectos: Análisis An lisis de soluciones
Métodos todos de Singularidades
Métodos todos de Variable Compleja
1 ∂Vγ
+
r senθ
∂γ
► Métodos todos Directos: Determinación Determinaci n de soluciones
Métodos todos Analíticos Anal ticos
Métodos todos gráficos gr ficos de redes de flujos
Métdodos tdodos Analógicos Anal gicos
MEFY y MDF
Métdos tdos de Paneles
3

Métodos todos de Singularidades Video Cuerpo Seminfinito de Rankine (de revolución) revoluci n)
► Debido a que la ecuación ecuaci n de Laplace es lineal, las combinaciones lineales
de soluciones son también tambi n soluciones de la misma. Se puede entonces
construir el campo de velocidad de un problema de flujo potencial potencial
superponiendo soluciones simples ya conocidas.
► La base del método m todo de singularidades consiste en disponer fuentes y
sumideros en el fluido de modo tal que la suma de las intensidades intensidades
sea
cero y sobre esta solución soluci n se superpone un flujo de traslación. traslaci n.
► Las líneas l neas de corriente que emanan de las fuentes terminan en los
sumideros
► Existe una línea l nea de corriente frontera que separa las líneas l neas de corriente
que unen fuente-sumidero fuente sumidero de aquellas que vienen del infinito.
► Esta línea l nea frontera es impermeable y se la asocia al contorno de un
cuerpo.
► El escurrimiento que contornea ese cuerpo coincide entonces con aquel
inducido por la superposición superposici n de las funciones potenciales consideradas.
Determinación Determinaci n de la forma del cuerpo
► Función Funci n corriente
(
A
Vr = ∇φ
• ir
= U ∞ cosθ
+ 2
r
(
Vθ
= ∇φ
• iθ
= −U
∞senθ
1 ∂ψ
Vr = 2
r senθ
∂θ
1 ∂ψ
Vθ
= −
r senθ
∂r
► Considerando la componente según seg n r al integrar
► Y según seg n la otra dirección direcci n
2
r 2
ψ = U ∞ sen θ − Acosθ
+ f +
2
r
2
() r cte
2
r 2
ψ = U ∞ sen θ − Acosθ
+ f θ +
2
( ) cte
► Luego
ψ = U ∞
2
sen θ − Acosθ
+ cte
2
► Expresión Expresi n generadora de las dist líneas neas de corriente
2
r 2
ψ = U ∞ sen θ − Acosθ
= K0
− cte = K
2
Cálculo lculo de las presiones
► Para el punto de estancamiento
► En otro punto
► Desarrollando en serie
2 ∞
0
V ∞ + + gz∞
= +
► Despreciando el término t rmino asociado al potencial
gravitatorio
1
2
P
ρ
1
P
2 P∞
1 2
V ∞ + + gz∞
= V + + gz
2 ρ 2 ρ
V
2 ⎛ 2 ⎜
1 ⎛ a ⎞
V 1+ + Θ
⎜
⎜ ⎟ r
⎝
2 ⎝ r ⎠
2
≈ ∞
P
ρ
⎞
4 ( a / ) ⎟
2
r >> a ⇒ V ≈ V ; P ≈ P
2
∞
⎠
∞
gz
0
► Superponemos
Flujo paralelo s/x
φ = x U r cosθ
1
U ∞ = ∞
Fuente en el orígen or gen de
coordenadas
A
φ2
=
r
Sumidero en el infinito
φ = φ + φ + φ
1
A
φ3
= − = 0
r
Cuerpo Semiinfinito de Rankine
► Posición Posici n del punto de estancamiento (ur ( ur=u =uθ=0) =0)
► Línea nea de corriente que pasa por el punto de estancamiento
2
r 2
ψ = U ∞ sen θ − Acosθ
=
2
► Contorno del cuerpo
A
ur = U ∞ cosθ + = 0 ⇒ r =
2
r
A / U ∞ = a
u = −U
senθ
= 0 ⇒ θ = π
θ
∞
r
K
2
a 1+ cosθ
=
senθ
2
3
A 2
K = U∞
sen ( π ) − Acos(
π ) = A
U 2
Tubos de Prandtl (Pitot Pitot)
∞
a
U
∞
=
2Δp
ρ
2a
4

Óvalo valo de Rankine (de revolución) revoluci n)
► Superponemos
Flujo paralelo s/x
φ x U r cosθ
=
1
U ∞ ∞ =
Fuente en r=-d r=
Sumidero en r=d
A
φ3
= −
r
2
2
φ = φ + φ + φ
A
φ2
=
r
2
1
Θ 1
1
y
2
d d
Fuente Sumidero
3
r1 r
r2
Θ2 Esfera en desplazamiento uniforme
El movimiento alrededor de una esfera surge como
superposición superposici n de un movimiento de traslación traslaci n y un doblete
► Las líneas l neas de corriente responden a
► Aquella que define a la esfera es
► La función funci n potencial es
u r
3 ⎛ ⎞
⎜ ⎛ b ⎞
= U
⎟
∞ cosθ
1−
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ ⎝ r ⎠ ⎠
3
1 ⎛ ⎞
⎜ ⎛ b ⎞
u
⎟
θ = − U ∞senθ
2 +
⎜
⎜ ⎟
2
⎟
⎝ ⎝ r ⎠ ⎠
K 2 1 2 2
ψ = sen θ − U ∞r
sen θ
r 2
1
3
⎛ 2K
⎞
r = b = ⎜
⎟
⎝ U ∞ ⎠
3
⎛ K ⎞ ⎛ b ⎞
= cosθ ⎜ + U ⎟ = ⎜ + ⎟
∞r
U cosθ
r
2
2
⎝ r ⎠ ⎝ 2r
⎠
Φ ∞
Flujos Potenciales Planos
► En flujos planos es necesario redefinir las
soluciones singulares o elementales
Fuente o
sumidero
puntual
Doblete
Puntual
Esfera
Línea nea de Fuente
o sumideros
Doblete plano
Cilindro
φ = Aln r
cosθ
φ = K
r
x
Vmx=1.5 Vmx=1.5
U ∞
2 ⎛ a ⎞
φ = U ⎜
⎟
∞ r + cosθ
⎝ r ⎠
Óvalo valo de Rankine
► De manera similar al caso de sólido s lido semiinfinito
de Rankine se alcanza la siguiente expresión expresi n
para la función funci n corriente
1 2 2
ψ = ( cosθ − cosθ
) − U r sen θ
c p
A 1 2 ∞
► En tanto que el cuerpo queda definido por
1 U ∞ 2 2
cosθ 2 − cosθ1
= r sen θ
2 A
⎧
⎪
>> 1
⎪
2
U ⎪ ≈
∞d
1
⎨
A ⎪
⎪
⎪

Energía Energ a cinética cin tica y su variación variaci n de un
cuerpo desplazándose desplaz ndose en un fluido
► Consideramos un sistema solidario con el cuerpo que se
desplaza a velocidad V en un fluido inmóvil. inm vil.
► Las soluciones de la ecuación ecuaci n de Laplace pueden expresarse de
manera general en sistema de coordenadas esf. esf.
como
r
r
r
⎛ 1 ⎞ ( ( ( ⎛ 1 ⎞ B • n Video1
φ = B∇⎜ ⎟ = ( Brir
+ Bθ
iθ
+ Bγ
iγ
) ∇⎜
⎟ = − 2
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠ r Video2
► Donde r es la distancia al origen. origen.
► El vector B depende de la forma del cuerpo y su modulo
depende linealmente de la velocidad del cuerpo .
► Sólo lo puede ser determinado si se resuelve la ecuación ecuaci n de
Laplace con las condiciones de borde correspondientes
Ejemplo: El caso de la esfera
desplazándose desplaz ndose en fluido inmóvil inm vil
3
⎛ K ⎞ ⎛ b ⎞
= cosθ ⎜ + U ⎟ = ⎜ + ⎟
∞r
U cosθ
r
2
2
⎝ r ⎠ ⎝ 2r
⎠
Φ ∞
3 ⎛ b ⎞
Φ = −V
cosθ
⎜
⎟ 2
⎝ 2r
⎠
r ⎛ 1 ⎞
φ = B∇⎜
⎟
⎝ r ⎠
1 1 (
∇ = − e 2 r
r r
Doblete
Sistema de referencia
móvil vil solidario con el
cuerpo
r
r V b
B =
2
3
Traslación
Sistema de
referencia fijo
(esfera quieta y
flujo incidente)
Cantidad de Movimiento impartida al
fluido
r r r r r r
dP
= F dt ⇒ V dP
= F(
V dt)
dE cin
E
cin
r r
= V dP
mikViVk
1 r r r
T
= = V MV
2 2
Pi = mikVk
r r r
P = M V
Trabajo de la fuerza exterior F sobre
el camino V dt
=
r r r
P = 4πρ
B −VolcV
V r
Crecimiento de la energía cinética del
fluido
►El El campo de velocidades
del fluido se expresa
entonces
►Observar Observar que
r
U ≈
1
3
r
r r r r
r 3(
B • n)
• n − B
U = ∇φ
=
3
r
Energía Energ a cinética cin tica Impartida al Fluido
por el movimiento del cuerpo
E
cin
r r
U U dV * ∫ •
ρ
=
ρ
=
2
2
V *
r r
2
( 4π
B V −V
V )
Ecin olc
Como B es lineal con V entonces
V* = V −V
Tensor de masas asociado al
escurrimiento con componentes
Volumen del
fluido +
cuerpo
ol
E
olc
(ver demostración en Landau Lifchitz Fluid
Mechanics)
cin
V olc
mikViVk
1 r r r
T
= = V MV
2 2
r
mik = mik
( B)
Paradoja de D´Alambert Alambert
r
V = ( V , V , V )
► La fuerza que debe entregarse al fluido para que
un cuerpo se desplace es
r r r
dP d(
4πρ
B −VolcV
)
=
dt dt
► Si el cuerpo avanza a velocidad constante
dP = 0
dt
► La paradoja de D’alembert alembert expresa que en estas
condiciones no se debería deber a hacer esfuerzo alguno
para hacer avanzar el cuerpo en el fluido.
r
1
2
3
6

Análisis An lisis de la paradoja
►Si Si hubiera que hacer un esfuerzo, se
transmitiría transmitir a un esfuerzo al fluido, este
cambiaría cambiar a su cantidad de movimiento y su
energía energ a cinética. cin tica.
►No No habiendo disipación disipaci n alguna esta energía energ a
cinética cin tica debería deber a ser transferida por algún alg n
mecanismo al infinito pero las velocidades
decaen con ~1/r 1/r3 por lo que no es posible
Acción Acci n dinámica din mica de la corriente en
flujos reales
► Un sólido s lido que se desplaza
en un fluido real (viscoso)
experimenta en todos los
casos una fuerza en la
dirección direcci n del movimiento
(arrastre) que resiste al
movimiento y otra en
dirección direcci n perpendicular.
Arrastre
► Coeficiente de arrastre
Sustentación
Sustentaci
► Coeficiente de Sustentación
Sustentaci
F
CD
=
1/ 2 A
Re sistencia
ρ U ∞
2
F
CL
=
1/ 2 A
sustentación
2
ρ U ∞
Escurrimiento Real Alrededor de una
esfera
Video 1
Video 2
Video 3
Video 4
Excepciones
►Las Las ondas superficiales permiten vehiculizar
la energía energ a al infinito y aun aplicando la
teoría teor a del flujo potencial en este caso el
cuerpo debe hacer un esfuerzo para
avanzar.
Escurrimiento real alrededor de una
elipse
►Video Video 1
►Video Video 2
►Video Video 3
Escurrimiento real alrededor de un
cilindro
►Video Video 1
►Video Video 2, 2,
2b
►Video Video3
►Video Video 4
7

c p
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
0 1 2 3 4 5 6
Conclusiones
► En esta clase concentramos nuestra atención atenci n en los
métodos todos de resolución resoluci n indirectos.
► Consideramos particularmente el método m todo de singularidades
y como nos podemos servir del mismo para describir flujos
alrededor de cuerpos
► Vimos que el flujo potencial resulta incapaz de predecir
correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerpos
sumergido que avanza a velocidad constante.
► La teoría teor a sin embargo permite predecir fuerzas en otros
casos particulares de interés
inter
θ
Cuerpos aerodinámicos
aerodin micos
►Video Video 1
►Video Video 2
8