Clase 19

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Clase 19

Flujo Potencial

(Clase I)

Función Funci n potencial:

Campos conservativos

► El movimiento de un fluido se llama irrotacional o

potencial si:

r r r r

ω = rot V = ∇xV

= 0 ∀ x , x , x

( ) ( )

► Esta condición condici n asegura la existencia de una función funci n

potencial tal que

r

r

V = ( v1

; v2;

v3

) = grad φ = ∇φ

∂φ

vi

=

∂x

i

Campos de velocidades

Conservativos y Solenoidales

► Si consideramos campos que son a la vez conservativos

y solenoidales (hip hip. . Flujos incompresibles), la función funci n

potencial debe satisfacer la ecuación ecuaci n de Laplace

∂φ

vi

=

2 2 2

2

∂xi

2 ∂ φ ∂ φ ∂ φ ∂ φ

⇒ ∇ φ = + + = = 0

2 2 2

∂vi

∂x

∂ ∂

1 ∂x2

∂x

x

2 i xi

= 0

∂x

i

► El campo de velocidades responde a una sola ecuación ecuaci n

escalar

1

2

3

Regiones no viscosas de un flujo

► Definición: Definici : Regiones donde las fuerzas viscosas son despreciables si

se las compara a las fuerzas de presión presi y/o inercia

~0 si Re importante

Ecuación de Euler

Los efectos de la viscosidad de los

fluidos reales quedan limitados a las

regiones del espacio (muchas veces

pequeñas) peque as) donde tienen lugar fuertes

gradientes de la velocidad (capas

límite, mite, o regiones donde el flujo es

turbulento)

En el grueso del flujo los efectos de la

viscosidad son despreciables y el fluido

se puede suponer ideal.

Flujos irrotacionales

► La vorticidad permite cuantificar la rotación rotaci n de

las partículas part culas fluidas (es el doble de la

velocidad angular)

► Para que esa rotación rotaci n tome lugar tiene que

haber un torque sobre la partícula part cula fluida.

► Este torque aparece como consecuencia de la

viscosidad del fluido.

► Flujos no viscosos=Flujo irrotacional

► Las regiones inviscidas son también tambi en

general regiones irrotacionales.

irrotacionales.

► En las regiones materiales de flujo ideal no se

crea ni se destruye vorticidad. vorticidad

► La vorticidad en un flujo inviscido es una

propiedad que es transportada por la partícula part cula

fluida.

► Si inicalmente es nula sigue siendo nula en

todo otro momento.

r *


r * *

r

= ω grad

* *

D t

Re

r * 1 * 2 *

( ω ) + ∇ ( ω )

Condiciones de contorno para flujos

potenciales

► La teoría teor a de la ecuación ecuaci n de Laplace establece que la solución soluci n está est

determinada si se conoce el valor de φ sobre toda una superficie

cerrada.

► Sin embargo, es preferible en el presente contexto imponer

condiciones sobre la velocidad. Esto plantea el problema de averiguar averiguar

qué qu condición condici n sobre la velocidad es equivalente a asignar un valor a φ. .

► Evidentemente, por lo general no se podrá podr especificar u u (es decir,

todas sus componentes), pues serían ser an tres condiciones, y no una sola

como es asignar un valor al escalar φ.

► Se puede demostrar que el campo u u queda unívocamente un vocamente determinado

si se asigna sólo s lo la componente componente normal normal de u u sobre el contorno

cerrado, es decir, una condición condici n escalar.

1


Hipótesis Hip tesis de Flujo irrotacional

► La solución soluci n de un problema de flujo potencial

consiste pues en la determinación determinaci n de dos

magnitudes escalares, φ y pp, , para lo cual

disponemos de dos ecuaciones escalares:

Laplace y Bernoulli

► El proceso es entones

1. Calcular φφ a partir de la ecuación ecuaci de Laplace

2. Calcular el campo de velocidades por la definición definici

de función funci potencial

3. Calcular la presión presi a partir de Bernoulli

Válido lido para flujo 3D o 2D

Expresión Expresi n de las líneas l neas de corriente en

distintos sistemas de coordenadas

► Sistema Cartesiano

► Sistema Polar

(Simetría (Simetr a Esférica) Esf rica)

► Sistema Esférico Esf rico (Áxisim ( xisimétrico trico)

► Sistema de Coordenadas

Cilíndrico Cil ndrico

V r

∂ψ

v1

= ;

∂x

2

1 ∂ψ

= 2

r sen θ ∂θ

1 ∂ψ

Vr = −

r ∂z

1 ∂ψ

Vz =

r ∂r

∂ψ

v2

= −

∂x

1

1 ∂ψ

Vr =

r ∂θ

∂ψ


= −

∂r

1 ∂ψ

; Vθ

= −

r sen θ ∂r

Casos simples de flujos Solenoidales

y conservativos

► Soluciones de la ecuación ecuaci n de

Laplace con formas polinómicas

polin micas.

► Movimiento de traslación traslaci n puro

x 2

x 1

φ =

2

a + a x + b x

0 i i j

2

j

U ∞ x1

V∞

x2

+ = φ

r

r

V = ( v1

; v2;

v3)

= grad φ = ∇φ

∂φ

vi

=

∂xi

r ( (

V = U ∞ e1

+ V∞e2

∂ψ

= −v2

= −V∞

∂x1

⇒ψ

= −V∞

x1

+ U x

∂ψ

= v1

= U ∞

∂x

∞ 2

Flujos 2D: Función Funci n corriente

► Supongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para el

conocemos la expresión expresi n de la línea l nea de corriente y que esa expresión expresi n es

∂ψ

∂ψ

ψ ( x 1, x2

) = cte dψ

= dx1

+ dx2

∂x

∂x

Si comparamos con la ecuación ecuaci n diferencial de la línea l nea de corriente

v2

dx1

− v1

dx2

= 0

► De donde podemos asociar

∂ψ

v1

= ;

∂x

► Que va a ser siempre válida v lida si el campo de velocidades es solenoidal

r

div

2

1

∂ψ

v2

= −

∂x

2 2

∂V

∂V

x y ∂ ψ ∂ ψ

( V ) = + = 0 ⇒ − = 0

∂x

∂y

∂x∂y

1

∂y∂x

Entonces Entonces la existencia de la función funci n corriente Ψ(x,y x,y) ) está est

asegurada para campos bidimensionales y solenoidales

Flujos Solenoidales y conservativos

bidimensionales

► En este caso además adem s de

cumplirse la ecuación ecuaci n de

Laplace para la función funci n

potencial se cumple

también tambi n para la función funci n

corriente.

► Por lo que superposición

superposici n

de funciones corriente son

también tambi n solución. soluci n.

φ =

a

2

1

∂ψ

v1

= ;

∂x

∇ × v = 0

2

2

∇ ψ = 0

ψ = ψ1

+ ψ 2

2

∂ψ

v2

= −

∂x

Punto de estancamiento

2 2 ( x − x )

r ( (

V = a x e − a x e

2

1

1

∂ψ

= −v2

= a x2

∂x1

⇒ψ

= a x x

∂ψ

= v1

= a x1

∂x

Para x 1 =x =x2 =0 Punto

de estancamiento

r =

V

Video

0 r

2

2

2

r

r

V = ( v1;

v2

) = grad φ = ∇φ

∂φ

vi

=

∂x

1 2

i

1

2


Soluciones singulares

►Analizamos Analizamos a continuación continuaci n funciones que

satisfacen la ecuación ecuaci n de Laplace a

excepción excepci n de ciertos puntos que llamamos

puntos singulares.

►En En esos puntos en general no se verifica

que la divergencia o el rotor del campo de

velocidades sea nulo

Fuente

Doblete Puntual

y

a a

Sumidero

K = A a

es la intensidad del doblete

Flujo Irrotacional

2D 2D

x

Si la distancia a tiende a cero:

K cosθ

Φ = 2

r

2

Ksen θ

Ψ = −

r

Fuente y

sumidero

► La ecuación ecuaci n de Laplace

admite como solución soluci

A

=

r

e r

2

2 1 ∂ ⎛ 2 ∂φ

⎞ 1 ∂ ⎛ ∂φ

⎞ 1 ∂ φ

∇ φ =

θ +

2 ⎜r

⎟ + 2 ⎜ sen ⎟ 2 2 2

r ∂r

⎝ ∂r

⎠ r senθ

∂θ

⎝ ∂θ

⎠ r sen θ ∂γ

∂φ

( 1 ∂φ

( 1 ∂φ

(

grad( φ ) = er

+ eθ

+ eγ

∂r

r ∂θ

r senθ

∂γ

( γ

θ


r ∂r

1 2

1 ∂

r senθ

∂θ

φ div( V ) = ( r Vr

) + ( Vθ

senθ

)

2

A

∂φ

( 1 ∂φ

( 1 ∂φ

( Vr

= − 2

grad φ = er


+ eγ

⇒ r

∂r

r ∂θ

r senθ

∂γ

V = 0

► Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a infinito

► Las líneas l neas de corriente se obtienen considerando para este caso

1 ∂ψ

Vr = 2

r senθ

∂θ

⇒ψ

= −A

cosθ

1 ∂ψ


= −

r senθ

∂r

► Supongamos una función funci n potencial

que se expresa como

► El rotor de las velocidades presenta

un punto singular en el origen

r

Vórtice rtice Ideal

∂φ

Vr

= = 0

∂φ

( 1 ∂φ

( ∂r

grad ( φ ) = er

+ eθ


∂r

r ∂θ

1 ∂φ

1 k


= =

r ∂θ

r 2π

1 ∂ψ

Vr =

r ∂θ

k

⇒ψ

= − log

∂ψ



= −

∂r

() r

θ

k

φ = θ


r 1 ⎛ ∂Vr

∂(

rVθ

) ⎞(

∇×

V = − ⎜ − ⎟eγ

r ⎝ ∂θ

∂r


Técnicas cnicas de resolución resoluci n de la

Ecuación Ecuaci n de Laplace

► Métodos todos Indirectos: Análisis An lisis de soluciones

Métodos todos de Singularidades

Métodos todos de Variable Compleja

1 ∂Vγ

+

r senθ

∂γ

► Métodos todos Directos: Determinación Determinaci n de soluciones

Métodos todos Analíticos Anal ticos

Métodos todos gráficos gr ficos de redes de flujos

Métdodos tdodos Analógicos Anal gicos

MEFY y MDF

Métdos tdos de Paneles

3


Métodos todos de Singularidades Video Cuerpo Seminfinito de Rankine (de revolución) revoluci n)

► Debido a que la ecuación ecuaci n de Laplace es lineal, las combinaciones lineales

de soluciones son también tambi n soluciones de la misma. Se puede entonces

construir el campo de velocidad de un problema de flujo potencial potencial

superponiendo soluciones simples ya conocidas.

► La base del método m todo de singularidades consiste en disponer fuentes y

sumideros en el fluido de modo tal que la suma de las intensidades intensidades

sea

cero y sobre esta solución soluci n se superpone un flujo de traslación. traslaci n.

► Las líneas l neas de corriente que emanan de las fuentes terminan en los

sumideros

► Existe una línea l nea de corriente frontera que separa las líneas l neas de corriente

que unen fuente-sumidero fuente sumidero de aquellas que vienen del infinito.

► Esta línea l nea frontera es impermeable y se la asocia al contorno de un

cuerpo.

► El escurrimiento que contornea ese cuerpo coincide entonces con aquel

inducido por la superposición superposici n de las funciones potenciales consideradas.

Determinación Determinaci n de la forma del cuerpo

► Función Funci n corriente

(

A

Vr = ∇φ

• ir

= U ∞ cosθ

+ 2

r

(


= ∇φ

• iθ

= −U

∞senθ

1 ∂ψ

Vr = 2

r senθ

∂θ

1 ∂ψ


= −

r senθ

∂r

► Considerando la componente según seg n r al integrar

► Y según seg n la otra dirección direcci n

2

r 2

ψ = U ∞ sen θ − Acosθ

+ f +

2

r

2

() r cte

2

r 2

ψ = U ∞ sen θ − Acosθ

+ f θ +

2

( ) cte

► Luego

ψ = U ∞

2

sen θ − Acosθ

+ cte

2

► Expresión Expresi n generadora de las dist líneas neas de corriente

2

r 2

ψ = U ∞ sen θ − Acosθ

= K0

− cte = K

2

Cálculo lculo de las presiones

► Para el punto de estancamiento

► En otro punto

► Desarrollando en serie

2 ∞

0

V ∞ + + gz∞

= +

► Despreciando el término t rmino asociado al potencial

gravitatorio

1

2

P

ρ

1

P

2 P∞

1 2

V ∞ + + gz∞

= V + + gz

2 ρ 2 ρ

V

2 ⎛ 2 ⎜

1 ⎛ a ⎞

V 1+ + Θ


⎜ ⎟ r


2 ⎝ r ⎠

2

≈ ∞

P

ρ


4 ( a / ) ⎟

2

r >> a ⇒ V ≈ V ; P ≈ P

2




gz

0

► Superponemos

Flujo paralelo s/x

φ = x U r cosθ

1

U ∞ = ∞

Fuente en el orígen or gen de

coordenadas

A

φ2

=

r

Sumidero en el infinito

φ = φ + φ + φ

1

A

φ3

= − = 0

r

Cuerpo Semiinfinito de Rankine

► Posición Posici n del punto de estancamiento (ur ( ur=u =uθ=0) =0)

► Línea nea de corriente que pasa por el punto de estancamiento

2

r 2

ψ = U ∞ sen θ − Acosθ

=

2

► Contorno del cuerpo

A

ur = U ∞ cosθ + = 0 ⇒ r =

2

r

A / U ∞ = a

u = −U

senθ

= 0 ⇒ θ = π

θ


r

K

2

a 1+ cosθ

=

senθ

2

3

A 2

K = U∞

sen ( π ) − Acos(

π ) = A

U 2

Tubos de Prandtl (Pitot Pitot)


a

U


=

2Δp

ρ

2a

4


Óvalo valo de Rankine (de revolución) revoluci n)

► Superponemos

Flujo paralelo s/x

φ x U r cosθ

=

1

U ∞ ∞ =

Fuente en r=-d r=

Sumidero en r=d

A

φ3

= −

r

2

2

φ = φ + φ + φ

A

φ2

=

r

2

1

Θ 1

1

y

2

d d

Fuente Sumidero

3

r1 r

r2

Θ2 Esfera en desplazamiento uniforme

El movimiento alrededor de una esfera surge como

superposición superposici n de un movimiento de traslación traslaci n y un doblete

► Las líneas l neas de corriente responden a

► Aquella que define a la esfera es

► La función funci n potencial es

u r

3 ⎛ ⎞

⎜ ⎛ b ⎞

= U


∞ cosθ

1−


⎜ ⎟


⎝ ⎝ r ⎠ ⎠

3

1 ⎛ ⎞

⎜ ⎛ b ⎞

u


θ = − U ∞senθ

2 +


⎜ ⎟

2


⎝ ⎝ r ⎠ ⎠

K 2 1 2 2

ψ = sen θ − U ∞r

sen θ

r 2

1

3

⎛ 2K


r = b = ⎜


⎝ U ∞ ⎠

3

⎛ K ⎞ ⎛ b ⎞

= cosθ ⎜ + U ⎟ = ⎜ + ⎟

∞r

U cosθ

r

2

2

⎝ r ⎠ ⎝ 2r


Φ ∞

Flujos Potenciales Planos

► En flujos planos es necesario redefinir las

soluciones singulares o elementales

Fuente o

sumidero

puntual

Doblete

Puntual

Esfera

Línea nea de Fuente

o sumideros

Doblete plano

Cilindro

φ = Aln r

cosθ

φ = K

r

x

Vmx=1.5 Vmx=1.5

U ∞

2 ⎛ a ⎞

φ = U ⎜


∞ r + cosθ

⎝ r ⎠

Óvalo valo de Rankine

► De manera similar al caso de sólido s lido semiinfinito

de Rankine se alcanza la siguiente expresión expresi n

para la función funci n corriente

1 2 2

ψ = ( cosθ − cosθ

) − U r sen θ

c p

A 1 2 ∞

► En tanto que el cuerpo queda definido por

1 U ∞ 2 2

cosθ 2 − cosθ1

= r sen θ

2 A



>> 1


2

U ⎪ ≈

∞d

1


A ⎪



Energía Energ a cinética cin tica y su variación variaci n de un

cuerpo desplazándose desplaz ndose en un fluido

► Consideramos un sistema solidario con el cuerpo que se

desplaza a velocidad V en un fluido inmóvil. inm vil.

► Las soluciones de la ecuación ecuaci n de Laplace pueden expresarse de

manera general en sistema de coordenadas esf. esf.

como

r

r

r

⎛ 1 ⎞ ( ( ( ⎛ 1 ⎞ B • n Video1

φ = B∇⎜ ⎟ = ( Brir

+ Bθ


+ Bγ


) ∇⎜

⎟ = − 2

⎝ r ⎠

⎝ r ⎠ r Video2

► Donde r es la distancia al origen. origen.

► El vector B depende de la forma del cuerpo y su modulo

depende linealmente de la velocidad del cuerpo .

► Sólo lo puede ser determinado si se resuelve la ecuación ecuaci n de

Laplace con las condiciones de borde correspondientes

Ejemplo: El caso de la esfera

desplazándose desplaz ndose en fluido inmóvil inm vil

3

⎛ K ⎞ ⎛ b ⎞

= cosθ ⎜ + U ⎟ = ⎜ + ⎟

∞r

U cosθ

r

2

2

⎝ r ⎠ ⎝ 2r


Φ ∞

3 ⎛ b ⎞

Φ = −V

cosθ


⎟ 2

⎝ 2r


r ⎛ 1 ⎞

φ = B∇⎜


⎝ r ⎠

1 1 (

∇ = − e 2 r

r r

Doblete

Sistema de referencia

móvil vil solidario con el

cuerpo

r

r V b

B =

2

3

Traslación

Sistema de

referencia fijo

(esfera quieta y

flujo incidente)

Cantidad de Movimiento impartida al

fluido

r r r r r r

dP

= F dt ⇒ V dP

= F(

V dt)

dE cin

E

cin

r r

= V dP

mikViVk

1 r r r

T

= = V MV

2 2

Pi = mikVk

r r r

P = M V

Trabajo de la fuerza exterior F sobre

el camino V dt

=

r r r

P = 4πρ

B −VolcV

V r

Crecimiento de la energía cinética del

fluido

►El El campo de velocidades

del fluido se expresa

entonces

►Observar Observar que

r

U ≈

1

3

r

r r r r

r 3(

B • n)

• n − B

U = ∇φ

=

3

r

Energía Energ a cinética cin tica Impartida al Fluido

por el movimiento del cuerpo

E

cin

r r

U U dV * ∫ •

ρ

=

ρ

=

2

2

V *

r r

2

( 4π

B V −V

V )

Ecin olc

Como B es lineal con V entonces

V* = V −V

Tensor de masas asociado al

escurrimiento con componentes

Volumen del

fluido +

cuerpo

ol

E

olc

(ver demostración en Landau Lifchitz Fluid

Mechanics)

cin

V olc

mikViVk

1 r r r

T

= = V MV

2 2

r

mik = mik

( B)

Paradoja de D´Alambert Alambert

r

V = ( V , V , V )

► La fuerza que debe entregarse al fluido para que

un cuerpo se desplace es

r r r

dP d(

4πρ

B −VolcV

)

=

dt dt

► Si el cuerpo avanza a velocidad constante

dP = 0

dt

► La paradoja de D’alembert alembert expresa que en estas

condiciones no se debería deber a hacer esfuerzo alguno

para hacer avanzar el cuerpo en el fluido.

r

1

2

3

6


Análisis An lisis de la paradoja

►Si Si hubiera que hacer un esfuerzo, se

transmitiría transmitir a un esfuerzo al fluido, este

cambiaría cambiar a su cantidad de movimiento y su

energía energ a cinética. cin tica.

►No No habiendo disipación disipaci n alguna esta energía energ a

cinética cin tica debería deber a ser transferida por algún alg n

mecanismo al infinito pero las velocidades

decaen con ~1/r 1/r3 por lo que no es posible

Acción Acci n dinámica din mica de la corriente en

flujos reales

► Un sólido s lido que se desplaza

en un fluido real (viscoso)

experimenta en todos los

casos una fuerza en la

dirección direcci n del movimiento

(arrastre) que resiste al

movimiento y otra en

dirección direcci n perpendicular.

Arrastre

► Coeficiente de arrastre

Sustentación

Sustentaci

► Coeficiente de Sustentación

Sustentaci

F

CD

=

1/ 2 A

Re sistencia

ρ U ∞

2

F

CL

=

1/ 2 A

sustentación

2

ρ U ∞

Escurrimiento Real Alrededor de una

esfera

Video 1

Video 2

Video 3

Video 4

Excepciones

►Las Las ondas superficiales permiten vehiculizar

la energía energ a al infinito y aun aplicando la

teoría teor a del flujo potencial en este caso el

cuerpo debe hacer un esfuerzo para

avanzar.

Escurrimiento real alrededor de una

elipse

►Video Video 1

►Video Video 2

►Video Video 3

Escurrimiento real alrededor de un

cilindro

►Video Video 1

►Video Video 2, 2,

2b

►Video Video3

►Video Video 4

7


c p

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5

-2,0

-2,5

-3,0

-3,5

0 1 2 3 4 5 6

Conclusiones

► En esta clase concentramos nuestra atención atenci n en los

métodos todos de resolución resoluci n indirectos.

► Consideramos particularmente el método m todo de singularidades

y como nos podemos servir del mismo para describir flujos

alrededor de cuerpos

► Vimos que el flujo potencial resulta incapaz de predecir

correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerpos

sumergido que avanza a velocidad constante.

► La teoría teor a sin embargo permite predecir fuerzas en otros

casos particulares de interés

inter

θ

Cuerpos aerodinámicos

aerodin micos

►Video Video 1

►Video Video 2

8

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