Точные неравенства для дробных производных ...

В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина (Екатеринбург)
Vitalii.Arestov@usu.ru, Polina.Glazyrina@usu.ru
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ 1
Л. В. Тайков [1] доказал, что на множестве Tn вещественных тригонометрических
полиномов fn(t) = a0+ n
(ak cos kt+bk sin kt) порядка n ≥ 1
при q ≥ 1 для любого целого r ≥ 1 имеет место точное неравенство
k=1
f (r)
n q ≤ n r cos ntqfn∞, fn ∈ Tn. (1)
Впрочем, как оказалось, этот результат содержится в более ранней работе
[2]. Довольно продолжительное время авторов интересовал вопрос о
том, справедливо ли неравенство (1) при 0 ≤ q < 1. Один из результатов
сообщения будет состоять в том, что оно действительно имеет место при
0 ≤ q < 1 и не только для целых, но и для дробных производных.
Пусть Φ + = Φ + (0, ∞) есть класс функций ϕ, определенных, неубывающих
и логарифмически выпуклых на (0, +∞), а точнее, представимых
в виде ϕ(u) = ψ(ln u), где функция ψ(v) = ϕ(ev ) непрерывна, не убывает
и выпукла на (−∞, +∞). Функция ϕ ∈ Φ + характеризуется тем, что
она на полуоси (0, ∞) локально абсолютно непрерывна и произведение
uϕ ′ (u) не убывает. Классу Φ + принадлежат, например, все неубывающие
выпуклые функции, функции up при p > 0, ln u. Класс функций Φ + был
введен в работе [3] при изучении неравенства Бернштейна и его обобщений
в пространствах Lp при p ∈ [0, 1) (и более общих пространствах). В
работе [4] была показана естественность этого класса в данной тематике.
Пусть Dαfn(t) = n
kαak cos(kt+απ/2)+bk sin(kt+απ/2) есть опера-
k=1
ция дробного дифференцирования в смысле Вейля порядка α ∈ R полиномов
fn ∈ Tn. При вещественном θ определим на множестве Tn оператор
Λα θ fn(t) = Dαfn(t) cos θ − Dαfn(t) sin θ; этот оператор впервые возник
в исследованиях Г. Сеге [5].
Теорема 1. Пусть n ≥ 1, ϕ ∈ Φ + , α ≥ 1, θ ∈ R. Тогда для всех
fn ∈ Tn справедливо точное неравенство
2π
D α
ϕ fn(t) cos θ − D α
2π
fn(t)
sin θ
dt ≤ ϕ(n α fnC2π| cos t|) dt;
0
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00462) и Министерства
образования и науки РФ в рамках государственного задания вузам на проведение
фундаментальных и прикладных исследований (проект 1.1544.2011).
12
0

на полиномах A cos(nt + a), A, a ∈ R, оно обращается в равенство.
Следствие 1. Для всех n ≥ 1, α ≥ 1, θ ∈ R и q ∈ [0, ∞] имеет
место точное неравенство
D α fn cos θ − D α
fn
sin θ ≤ n α cos tq fn∞ , fn ∈ Tn, (2)
q
и, в частности, точные неравенства
D α fn q ≤ n α cos t q fn ∞ , fn ∈ Tn, (3)
D α
fn
q
≤ n α cos t q fn ∞ , fn ∈ Tn. (4)
Неравенство (2) при q = ∞ для целых α ≥ 1 получил Г. Сеге [5]. Как
уже было сказано ранее, при 1 ≤ q < ∞ для целых α ≥ 1 неравенство (3)
доказал Л. В. Тайков [1]; однако, оно фактически содержалось в более
ранней работе [2]. При q = ∞ для вещественных α ≥ 1 неравенство (3)
обосновал П. И. Лизоркин (1965). Неравенство (2), а значит и (4), при q =
= ∞ для дробных производных порядка α ≥ 1 установил А. И. Козко [5].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тайков Л. В. Одно обобщение неравенства С. Н. Бернштейна // Тр. МИ-
АН СССР. 1965. Т. 78. С. 43–47.
2. Calderon A. P., Klein G. On an extremum problem concerning trigonometrical
polynomials // Studia Math. 1951. Vol. 12. P. 166–169.
3. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических
полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. Т. 45, № 1.
С. 3–22.
4. Glazyrina P. Yu. Necessary conditions for metrics in integral Bernstein-type
inequalities // J. Approx. Theory. 2010. Vol. 162, № 6. P. 1204–1210.
5. Szegö G Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schriften Königsberg.
1928. B. 5. S. 59–70.
6. Kozko A. I. The exact constants in the Bernstein – Zygmund – Szegö
inequalities with fractional derivatives and the Jackson – Nikolskii inequality for
trigonometric polynomials // East J. Approx. 1998. Vol. 4, № 3. P. 391–416.
13