Un problema resonante para un sistema - Universidad de Buenos ...

Un problema resonante
para un sistema
con condiciones periódicas
Pablo Amster - Pablo De Nápoli
pdenapo@dm.uba.ar
Universidad de Buenos Aires y CONICET

Introducción
Estudiamos el sistema de ecuaciones no lineales de
segundo orden para una función vectorial
u : [0, 2π] → R N que satisface
u ′′ + m 2 u + g(u) = p(t) 0 < t < 2π (1)
con condiciones de frontera periódicas:
u(0) = u(2π), u ′ (0) = u ′ (2π). (2)
Aquí m = 0 es un entero, p ∈ L 2 (0, 2π), y la no
linealidad g es continua y acotada. Entonces, (1-2) es
un problema resonante, ya que el núcleo del operador
Lmu := u ′′ + m 2 u actuando en el espacio de
funciones 2π-periodicas es no-trivial.

Esta situación se conoce en la literatura como
resonancia en un auntovalor de orden superior: de
hecho, si consideramos el problema de autovalores
−u ′′ = λu con condiciones períodicas, los autovalores
son λm = m 2 ∈ N0.
Recordemos que en el caso m = 0 para una ecuación
escalar, existe una solución si se asumen las
condiciones de Landesman-Lazer conditions, que
fueron introducidas en el trabajo:
E. Landesman and A. Lazer: Nonlinear perturbations
of linear elliptic boundary value problems at
resonance, J. Math. Mech. 19 (1970), 609-623.
para una ecuación elítpica resonante escalar de
segundo orden, bajo condiciones de Dirichlet.

Un survey sobre condiciones de Landesman-Lazer:
J. Mawhin: Landesman-Lazer conditions for
boundary value problems: A nonlinear version of
resonance. Bol. de la Sociedad Española de
Mat.Aplicada 16 (2000), 45-65.
Grosso modo, las condiciones anteriores dicen que si
p (el promedio de p) se encuentra entre los límites en
±∞ de la nolinealidad g, entonces el problema
admite por lo menos una solución. Esta condición
puede considerarse como una condición de grado
sobre la esfera S0 = {−1, 1}, en el siguiente sentido:
para v = ±1, definimos g±1 = g(±∞), entonces la
función θ : S0 → S0 dada por θ(v) = gv−p
|gv−p| cambia de
signo, y en consecuencia, tiene grado no nulo.

De este modo, el siguiente resultado, que es una
adaptación de un teorema de Nirenberg para sistemas
elípticos, que aparece en el artículo:
L. Nirenberg: Generalized degree and nonlinear
problems, Contributions to nonlinear functional
analysis, Ed. E. H. Zarantonello, Academic Press
New York (1971), 1-9.
puede ser considerado como una extensión natural del
teorema de Landesman y Lazer:

Teorema (Niremberg)
Supongamos que existen los límites radiales
gv := límr→+∞ g(rv) exist uniformly respecto a
v ∈ S N−1 , la esfera unidad de R N . Entonces (1-2) con
m = 0 posee al menos una solución T -periodica, si se
satisfacen las siguientes condiciones:
• gv = p := 1
T
T
0 p(t)dt para todo v ∈ SN−1 .
• El grado de la aplicación θ : S N−1 → S N−1 dada
por
θ(v) = gv − p
|gv − p|
es diferente de 0.

Observamos que el promedio p puede ser visto como
la proyección ortogonal del término forzante p sobre
el núcleo del operador lineal L0, que es el conjunto de
las funciones constantes, que se identifica
naturalmente con R N .

En contraste con el caso anterior, si m = 0 el núcleo
es 2N-dimensional, más precisamente:
Ker(Lm) = cos(mt)α + sin(mt)β : (α,β) ∈ R 2N .
Entonces, uno puede esperar que una condición del
tipo de Landesman-Lazer correspondiente a este caso,
debe poder expresarse en términos de la proyección
ortogonal de p sobre Vm o, equivalentemente, en
términos de los m-ésimos coeficientes de Fourier de
p. Para N = 1, esto fue demostrado en el artículo:
A. Lazer, D. Leach, Bounded perturbations of forced
harmonic oscillators at resonance, Ann. Mat. Pura
Appl. 82 (1969), pp. 49-68.

Teorema (Lazer-Leach)
Sea N = 1 y supongamos que g ∈ C(R) posee
límites en at infinito. Además, sean αp y βp los
coeficientes de Fourier m-ésimos de p. Entonces, si
α2 p + β2 p < 2
|g(+∞) − g(−∞)| , (3)
π
el problema (1-2) admite al menos una solución
2π-periodica.
En esta comunicación, presentaremos una
generalización del teorema de Lazer-Leach para
N > 1. Es conveniente observar que algunas
dificultades son de esperarse cuando uno intenta
extender este resultado a un sistema de ecuaciones.

Por ejemplo, para el caso escalar, no es necesario
suponer que los límites radiales en g(±∞) existan;
Sin embargo, el argumento no se generaliza a un
sitema. Cuando m = 0, un interesante ejemplo fue
dado en el artículo:
R. Ortega and L. Sánchez: Periodic solutions of
forced oscillators with several degrees of freedom,
Bull. London Math. Soc. 34 (2002), 308-318.
mostrando que la existencia de los límites radiales de
g es en algún sentido necesaria. Más presisamente, los
autores presenta un sistema para el cual no existen
soluciones periódicas, aunque las siguientes
condiciones se cumplen para algún R > 0:

• g(u) = p para |u| ≥ R.
• El grado de la aplicación θR : S N−1 → S N−1
dada por
es diferente de 0.
θR(v) =
g(Rv) − p
|g(Rv) − p|
A pesar de este ejemplo, mostraremos que la hipótesis
de la existencia de los límites radiales puede
reemplazarse por una condición más débil (ver la
condición (C1) más adelante).

Aplicando métodos de grado topológico, obtendremos
soluciones de (1-2) bajo condiciones apropiadas de
tipo Lazer-Leach type. En particular, si la nolinealidad
g tiene límites radiales uniformes en infinito, estas
condiciones involucran los m-ésimos coeficientes de
Fourier de una extensión adecuada de g la esfera en
infinito. Sin embargo, a diferencia del resultado de
Nirenberg, nuestra condición (C1) no asume que
todos los límites radiales existan: asumiremos en
cambio la existencia de límites superiores, y sólo en
ciertas direcciones específicas.

Primero necesitamos introducir algunas
notaciones.Sea:
H := u ∈ H 1 ([0, 2π], R N ) : u(0) = u(2π)
equipado con la norma usual u := uH1, y sea
D := u ∈ H ∩ H 2 ([0, 2π], R N ) : u ′ (0) = u ′ (2π) .
El operador Lm : D → L 2 ([0, 2π], R N ) se define
como antes, y su núcleo Vm se puede describir como:
donde
Vm := Ker(Lm) = {uw : w = (α,β) ∈ R 2N },

Los coeficientes de Fourier m-ésimos de
u ∈ L 1 ([0, 2π], R N ) serán denotados respectivamente
por αu and βu, i.e.
αu = 1
π
βu = 1
π
2π
0
2π
0
cos(mt)u(t) dt,
sin(mt)u(t) dt.
Además si w(u) = (αu,βu), entonces la proyección
ortogonal P del espacio L 2 ([0, 2π], R N ) sobre Vm se
puede definir como Pu = J(w(u)) = u w(u). Es
inmediato que el rango de Lm es el complemento
ortogonal de Vm con respecto al producto escalar de

Entonces, podemos definir un inverso a la derecha
(compacto) K : R(L) → H del operador Lm, dado
por Kϕ = u, donde u ∈ D es la única solución del
problema:
u ′′ + m 2 u = ϕ
Pu = 0.
Además, tenemos la siguiente estimación estándar:
Lema 1 Existe una constante c tal que:
para todo u ∈ D.
u − PuH 2 ≤ cLm(u)L2

La condición (C1)
En lo sucesivo, vamos a asumir que se verifica la
siguiente condición:
(C1) Existe un cubrimiento por abiertos {Uj}j=1...,K
de la esfera unidad S 2N−1 ⊂ R 2N , y vectores
wj = (α j ,β j ) ∈ S 2N−1 tales que para cada w ∈ Uj el
límite
gw,j(t) := lím sup〈g(suw(t)),uwj
s→+∞
(t)〉
es semi-continuou superiormente en w para casi todo
t, donde 〈·, ·〉 denota el producto interno usual en R N .

Teorema principal
Supongamos que se verifica la condición (C1) y que:
• (C2) Para cada w ∈ S2N−1 existe j ∈ {1,...,K}
tal que
1
π
2π
0
g w,j(t) dt < 〈αp,α j 〉 + 〈βp,β j 〉.
• (C3) Para cada R ≫ 0 el grado de Brouwer
degB(G,BR(0), 0) es diferente de cero, donde
G : R 2N → R 2N es la aplicación definida por:
G(w) = w(p) − J −1 P(g ◦ uw).
Entonces el problema (1-2) admite al menos una
solución.

Se sigue de las definiciones anteriores que G puede
expresarse en términos de los coeficientes de Fourier
m-ésimos de la función ϕ(t) = g(uw(t)), de hecho:
G(w) = (αp − αg◦uw ,βp − βg◦uw )
El teorema anterior tiene una consecuencia inmediata
si asumimos que los líimites radiales
gv = líms→+∞ g(sv) existen uniformemente para
v ∈ S N−1 . De hecho, en este caso, podemos definir
para cada t ∈ [0, 2π] y cada w ∈ S 2N−1 el limite
gw(t) := lím
s→+∞ g(suw(t)). (4)

Aunque uw(t) podría eventualmente ser 0 para un
conjunto finito de valores de t, este “conjunto
singular” de valores de t no juega ningún rol cuando
usamos el teoremas de convergencia de Lebesgue para
la integral. Por otro lado, si uw(t) = 0, entonces gw(t)
es continua como function de w; thus, entonces es
facil ver que las conditiones (C1) y (C2) del teorema
anterior son satifechas.

En este marco, el teorema anterior puede ser
formulado como el resultado de Nirenberg’s, en
términos de una condición sobre la extensión de g a la
esfera en infinito o, siendo más precisos, en términos
de los m-ésimos coeficientes de Fourier de dicha
extensión. De hecho, para w ∈ S 2N−1
lím
s→+∞ G(sw) = (αp − αgw ,βp − βgw ) = 0,
Entonces, la aplicación θ : S 2N−1 → S 2N−1 dada por
θ(w) = (αp − αgw ,βp − βgw )
|(αp − αgw ,βp − βgw )|
está bien definida. A partir de las propiedades del

Corolario:
Supongamos que los límites radiales gv existen
uniformemente para v ∈ S N−1 , y para cada
w ∈ S 2N−1 definamos la función gw(t) por (4).
Además, supongamos que:
1. (αgw ,βgw ) = (αp,βp) para todo w ∈ S 2N−1 .
2. deg(θ) = 0.
Entonces el problema (1-2) admite al menos una
solución.

En el caso particular N = 1, si w = (α,β) ∈ S 1
tenemos que uw(t) = cos(mt − ω), donde α = cos(ω)
y β = sin(ω). Se sigue que:
donde I + ω
I− ω
g(suw(t)) →
g(+∞) if t ∈ I + ω
g(−∞) if t ∈ I − ω ,
= {t ∈ [0, 2π] : cos(mt − ω) > 0} and
= {t ∈ [0, 2π] : cos(mt − ω) < 0}. En
consecuencia,
gw(t) = g(+∞)χ I + ω (t) + g(−∞)χ I − ω (t),
salvo para finitos valores de t. Se sigue que,

I ± ω
I ± ω
Por lo tanto,
cos(mt) dt = ±2 cos(ω) = ±2α,
sin(mt) dt = ±2 sin(ω) = ±2β.
lím
s→+∞ G(sw) = (αp,βp) − 2
(g(+∞) −g(−∞))(α,β)
π
a partir de lo que se recupera el resultado original
Lazer y Leach.

El corollario anteriror para N = 1 permite una
interpretación natural del teorema de Lazer-Leach en
términos de una integral compleja. De lo anterior
resulta que el grado de la aplicación θ : S 1 → S 1 dada
por líms→+∞ G(sw)
|G(sw)|
es equivalente al ínidice en
z0 = αp + iβp de la curva γ : [0, 2π] → C definida por
γ(t) = 2
π (g(+∞) − g(−∞))eit .
De (3), resulta que |z0| < |γ(t)|, y que
I(γ,z0) = 1
2πi
2π
0
γ ′ (t)
γ(t) − z0
dt = ±1.

Idea de la prueba:
Para λ ∈ [0, 1], definimos el operador de the Fredholm
Fλ : H → H dado por Fλu = u − Tλu, donde el
operador compacto Tλ se define por:
Tλu = Pu+P(p−g(u))+λK p−g(u)−P(p−g(u)) .
Para λ > 0, u es un cero de Fλ si y sólo si u ∈ D, y
Lm(u) = λ(p − g(u)).
En consecuencia, buscamos un cero de F1. Se sigue
de las hipótesis que, para algún R ≫ 0 adecuado, la
función Fλ no se anula en ∂Ω, con Ω = BR(0). Por lo
tanto, el grado de Leray-Schauder de Fλ en 0 está
definido y, degLS(F1, Ω, 0) = degLS(F0, Ω, 0).
Además, utilizando la definición del grado y el hecho
de que

concluimos que:
F0u = u − P(u + p − g(u)),
degLS(F0, Ω, 0) = degB(F0|Vm , Ω ∩ Vm, 0).
Pero, para u ∈ Vm es claro que F0u = −P(p − g(u)).
Escribiendo u = uw con w ∈ R 2N deducimos que
J −1 F0J(w) = − (αp,βp) − J −1 P(g(uw)) = −G(w)
Salvo un factor (−1) N , el grado de F1 en 0 sobre Ω
puede identificarse con el grado de Brouwer de G en 0
para una bola de R 2N de radio grande. Luego, el
resultado se sigue de la hipótesis (C2).

Un sistema débilmente acoplado
Como una aplicación del teorema principal,
consideremos el sistema
u ′′
i + m 2 ui + ˜gi(ui) + hi(u) = pi(t) i = 1,...,N,
donde ˜gi tiene limites en infinito, y hi(u) → 0
uniformemente cuando |ui| → +∞. Conviene
observar que, en este caso, los límites radiales
g = ˜g + h no necesariamente existen para aquellos
v ∈ S N−1 tales que vi = 0 para algún i, pues hi(sv)
no necesariamente converge cuando s → +∞. Sin
embargo, la condición (C1) se verifica, así como la
condición (C1) en el teorema principal.

Luego de algunos cálculos, se sigue que si
(αp) 2 i + (βp) 2 i
< 2
π |˜gi(+∞) − ˜gi(−∞)|
para i = 1,...,N, entonces G es homotopicamente
equivalente a la aplicación
(αp,βp) − 2
π
N
[˜gi(+∞) − ˜gi(−∞)](αiei + βieN+i)
i=1
en ∂BR para algún R ≫ 0. y utilizando las
propiedades del grado vemos que:
degB(G,BR, 0) = degB(T,BR, 0) = ±1.