Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

9 Primos y Factorización
Recordemos que un número p ∈ Z , distinto de 0, 1 y −1 es primo si y solo si tiene únicamente 4
divisores, o equivalentemente 2 divisores positivos. Los números primos juegan un papel fundamental
en el conjunto de los números enteros, empezando porque cumplen la proposición siguiente.
Proposición 9.1 Sea a ∈ Z , a = 0, ±1 . Entonces existe un primo (positivo) p tal que p | a .
Prueba.–
La demostración intuitiva de “si a es primo, ya está pues es divisible por él mismo, y si no, es
compuesto, entonces es divisible por algún b más chico, si ese b es primo, ya está, si no es divisible
por algún c más chico, etc...” se formaliza por inducción en a :
Claramente alcanza probar la proposición para a positivo, es decir para a ≥ 2 (pues a = 0, ±1 ).
La proposición es entonces: p(a) : “ ∃ p primo positivo : p | a ”.
a = 2 : p(2) es verdadera pues p := 2 | 2 .
a > 2 :
• Si a es primo, p(a) es verdadera pues p := a | a .
• Si a no es primo, entonces es compuesto, y por lo tanto existe c con 2 ≤ c ≤ a − 1 tal que
c | a . Por hipotesis inductiva, existe un primo positivo p tal que p | c . Se concluye que p | a
por transitividad.
Así, todo número distinto de 0, ±1 es divisible por algún primo positivo.
Una consecuencia de este hecho es que hay infinitos primos distintos, demostración hecha por
Euclides. (El hecho que haya infinitos números naturales no garantiza de por sí que haya infinitos
primos ya que los infinitos números podrían obtenerse multiplicando de distintas formas y a
distintas potencias finitos primos.)
Consecuencia Existen infinitos primos positivos distintos.
Prueba.– Supongamos que no es así y que hay sólo un número finito N de primos positivos.
O sea que el conjunto P de primos positivos es P = { p1, . . . , pN } . Consideremos el siguiente
número natural M :
M := p1p2 · · · pN + 1.
Dado que M ≥ 2 pues 2 ∈ P , existe por la proposición anterior un primo positivo pi ∈ P que
divide a M . Pero
pi | M y pi | p1p2 · · · pN =⇒ pi | 1,
contradicción que proviene de suponer que hay sólo finitos primos.
Otra consecuencia de este hecho es la famosa Criba de Eratóstenes de Cirene ( ∼ 276– ∼ 194 AC),
que construye recursivamente la lista de todos los primos hasta un número dado. Por ejemplo aquí
la lista de primos hasta 57 :
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