Lógica de Predicados de Primer Orden - Facultad de Ciencias Exactas

Lógica de Predicados: Motivación
Todo natural es entero y 2 es un natural. Luego 2 es entero.
p q r
p, q╞ r es claramente un razonamiento válido pero
no es posible demostrarlo desde la Lógica Proposicional
Lógica proposicional NO es suficientemente expresiva para
captar esta relación
∀x (x ∈ Ν → x ∈ Z)
2 ∈ Ν
Ν
Ν .
. .
.
2 ∈ Z
La validez del razonamiento
depende de la estructura interna de
las proposiciones
debe expresarse usando Lógica de Predicados
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Lógica de Predicados de Primer Orden
LENGUAJE DE PRIMER ORDEN
Símbolos para denotar individuos
- constantes (ej. 2, Juan, bicicleta)
- variables (ej. x, y, z)
- funciones (ej. sucesor, +, *, para definir nuevos individuos
como sucesor(2), (1+1), (2*1) )
Símbolos de relaciones (entero(x), hermano(x, y))
Conectivos
Cuantificadores (existencial, universal)
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Lenguaje de Primer Orden
Alfabeto básico consta de los siguientes símbolos:
Variables: Var = {x, y, z, x 1 , x 2 , ... }
Conectivos ¬, ∧, ∨, →, ↔
Cuantificadores: ∀ (universal) ∃ (existencial)
Símbolos auxiliares (, )
Conjunto de símbolos F,
símbolos de funciones n-arias, n ≥ 1 f, g, h
Conjunto de símbolos C,
símbolos de constantes a, b, c
Conjunto de símbolos R,
símbolos de relaciones o predicados n-arios,
n ≥ 1 P, Q, R
Símbolos comunes
a todo lenguaje
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Lenguaje de Primer Orden
Caracterizado por sus símbolos propios
L = puede ocurrir R = ∅, F = ∅, o C = ∅
Ejemplos
Sea L 1 =
R = {P, Q} P unario, Q binario
F = { f } f unaria
C = ∅
Ejemplos
Sea L 2 =
R = {P} P binario
F = { f, g } f unaria g binaria
C = {a, b}
Símbolos propios
de cada lenguaje
Fórmulas bien definidas en L 1
Q(x, x) ∧ ∃xP(x)
∀x(P(x) → Q(f(x), x))
Fórmulas bien definidas en L 2
P(f(a), b) → ∀xP(x, b)
∃x(P(x, a) ∧ P(g(x, b), x))
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Dado L =
Lenguaje de Primer Orden
Términos de L Ter(L) (representan elementos del dominio)
a) C ⊆ Ter(L)
b)Var ⊆ Ter(L)
c) Si t 1 , t 2 , ..., t n ∈ Ter(L) y f ∈ F es un símbolo de función n-aria,
entonces f(t 1 , t 2 , ..., t n ) ∈ Ter(L)
Ejemplos
Sea L 2 =
R = {P} P binario
F = { f, g } f unaria g binaria
C = {a, b}
Ter(L 2 )
a) a, b (las constantes son términos)
b) x, y, z, ... (las variables son términos)
c) f(a), g(a, b), f(g(a, b)), g(f(a), x), ...
(funciones aplicadas a términos son
términos)
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Dado L =
Lenguaje de Primer Orden
Fórmulas Atómicas de L At(L)
Si t 1 , t 2 , ..., t n ∈ Ter(L) y P ∈ R es un símbolo de relación n-aria,
entonces P(t 1 , t 2 , ..., t n ) ∈ At(L)
Ter(L 2 )
a) a, b
b) x, y, z, ...
c) f(a), g(a, b), f(g(a, b)),
g(f(a), x), ...
At(L 2 )
P(a, b), P(a, a), P(x, y), P(x, b),
P(f(a), g(a, b)), P(z, f(g(a, b))), ...
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Dado L =
Fórmulas de L F m (L)
a) At(L) ⊆ F m (L)
Lenguaje de Primer Orden
b) Si A, B ∈ F m (L) entonces (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) ∈ F m (L)
c) Si A ∈ F m (L) entonces (∀xA), (∃xA) ∈ F m (L) (x ∈ Var)
At(L 2 )
P(a, b), P(a, a), P(x, y), P(x, b),
P(f(a), g(a, b)), P(z, f(g(a, b))),
...
F m (L 2 )
(P(a, b) ∧ P(a, a))
(∃x(P(x, y) ∨ (¬ P(x, b)))),
(P(f(a), g(a, b)) ∧ P(z, f(g(a, b)))),
...
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Lenguaje de Primer Orden
Para simplificar la escritura de las fórmulas, podemos eliminar ciertos
paréntesis, siguiendo las reglas:
• ¬, ∀x, ∃x tienen mayor precedencia que los conectivos binarios
• los conectivos binarios tienen la misma precedencia que en la Lógica
Proposicional: ∧ , ∨, →, ↔ (de mayor a menor)
F m (L 2 )
Eliminando paréntesis
(P(a, b) ∧ P(a, a)) P(a, b) ∧ P(a, a)
(∃x(P(x, y) ∨ (¬ P(x, b)))) ∃x(P(x, y) ∨ ¬ P(x, b))
(P(f(a), g(a, b)) ∧ P(z, f(g(a, b)))) P(f(a), g(a, b)) ∧ P(z, f(g(a, b)))
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Subfórmulas
Lenguaje de Primer Orden
Sea L un lenguaje y A, B ∈ F m (L). El conjunto de subfórmulas de una fórmula se
define como
a) Sf(A) = {A} si A ∈ At(L)
b) Sf(¬A)) = Sf(A) ∪ {¬A}
c) Sf(A * B) = Sf(A) ∪ Sf(B) ∪ { A * B } donde * es cualquiera de los conectivos
binarios ∨, ∧, →, ↔
d) Sf(∀xA) = Sf(A) ∪ {∀xA}
e) Sf(∃xA) = Sf(A) ∪ {∃xA}
Ejemplo
Sf(∃x(P(x, y) ∨ P(x, b))) =
= Sf(P(x, y) ∨ P(x, b)) ∪ {∃x(P(x, y) ∨ P(x, b))}
= Sf(P(x, y)) ∪ Sf(P(x, b)) ∪ {P(x, y) ∨ P(x, b), ∃x(P(x, y) ∨ P(x, b))}
= {P(x, y), P(x, b), P(x, y) ∨ P(x, b), ∃x(P(x, y) ∨ P(x, b))}
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Lenguaje de Primer Orden
Alcance de un cuantificador
Es la fórmula afectada por el cuantificador. Si ∀xA o ∃xA es una fórmula,
el alcance del cuantificador ∀x o ∃x es la fórmula A
Ejemplos
∀x P(x) → ∀y R(x, y)
∀x P(x) → ∀x R(x, y)
∀x ∀y (P(x) → R(x, y))
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Variables libres y ligadas
Lenguaje de Primer Orden
Una ocurrencia de una variable x en una fórmula A se dice ligada si está
dentro del alcance de un cuantificador. En caso contrario se dice libre.
Ejemplos
∀x P(x) → ∀y R(x, y)
Ocurrencia ligada de x
En una fórmula A
Ocurrencia libre de x
Ocurrencia ligada de y
- cada ocurrencia de una variable es o libre o ligada en A.
- una misma variable puede tener ocurrencias libres y ligadas en A
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Lenguaje de Primer Orden
Una variable x ocurre libre en una fórmula A si:
- Si A es atómica, x ocurre libre en A sí y sólo sí x es variable de A
- Si A = ¬B, x ocurre libre en A sí y sólo sí x ocurre libre en B
- Si A = B * C, x ocurre libre en A sí y sólo sí x ocurre libre en B o en C
(siendo * alguno de los conectivos binarios)
- Si A = ∀yB o A = ∃yB, x ocurre libre en A sí y sólo sí x ≠ y y x ocurre
libre en B.
A(x 1 , x 2 , ..., x n ) indica que las variables libres de A están en el conjunto
{x 1 , x 2 , ..., x n }
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Lenguaje de Primer Orden
Una fórmula A se dice cerrada (o sentencia) cuando no tiene variables
libres (cada variable está dentro del alcance de un cuantificador).
∀x ∀y (P(x) → R(x, y)) FORMULA CERRADA
∀x P(x) → ∀x R(x, y) FORMULA NO CERRADA (y es libre)
La clausura universal de una fórmula A(x 1 , x 2 , ..., x n ) es la sentencia
∀x 1 ∀x 2 ... ∀x n A(x 1 , x 2 , ..., x n )
La clausura existencial de una fórmula A(x 1 , x 2 , ..., x n ) es la sentencia
∃x 1 ∃x 2 ... ∃x n A(x 1 , x 2 , ..., x n )
Sustitución
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Lenguaje de Primer Orden
Si A es una fórmula, x una variable libre de A y t un término, la sustitución
de x por t en A, A(x/t), es la fórmula que se obtiene al reemplazar en A
cada ocurrencia libre de x por el término t.
Ejemplo
A = ∀xR(x, y) ∧ B(y) A(y/c) = ∀xR(x, c) ∧ B(c) c constante
A = ∀xP(x) → Q(x) A(x/c) = = ∀xP(x) → Q(c) c constante
Sustitución simultánea
Si A es una fórmula A(x 1 , x 2 , ..., x n ), y t 1 , t 2 , ..., t n son términos entonces la
sustitución simultánea A(x 1 /t 1 , x 2 /t 2 , ..., x n /t n ) es la fórmula que se obtiene
al reemplazar en A cada ocurrencia libre de x i por el término t i .
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Sustitución en términos:
Lenguaje de Primer Orden
Sean t y h términos y x una variable. La sustitución de la variable x por el
término h en t es el término t(x/h) definido como sigue:
a) Si t = x entonces t(x/h) = h
b) Si t = y, y variable distinta de x, entonces t(x/h) = y
c) Si t = c, c constante, entonces t(x/h) = c
d) Si t = f(t 1 , t 2 , ..., t n ), f símbolo de función n-aria y t 1 , t 2 , ..., t n términos,
entonces t(x/h) = f(t 1 /h, t 2 /h, ..., t n /h)
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Sustitución en fórmulas:
Lenguaje de Primer Orden
Sea A una fórmula, h un término y x una variable. La sustitución de la
variable x por el término h en A es la fórmula A(x/h) definida como sigue:
a) Si A = R(t 1 , t 2 , ..., t n ), R símbolo de predicado n-ario,
entonces A(x/h) = R(t 1 /h, t 2 /h, ..., t n /h)
b) Si A = ¬B, entonces A(x/h) = (¬B)(x/h)
c) Si A = B * C, donde * es ∧, ∨, →, ↔, entonces A(x/h) = (B*C)(x/h) =
B(x/h) * C(x/h)
d) Si A = ∃xB, entonces A(x/h) = ∃xB
e) Si A = ∃yB, entonces A(x/h) = ∃yB(x/h) siendo x variable libre en B
f) Si A = ∀xB, entonces A(x/h) = ∀xB
g) Si A = ∀yB, entonces A(x/h) = ∀yB(x/h) siendo x variable libre en B
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Lenguaje de Primer Orden
Un término t se dice libre para una variable x en una fórmula A si
ninguna ocurrencia libre de x está dentro del alcance de un cuantificador
∀y o ∃y donde y es una variable de t.
Si t es libre para x en A entonces t se puede sustituir en todas las
ocurrencias libres de x sin que alguna variable y de t quede dentro del
alcance de un cuantificador.
Resumiendo:
- Sólo sustituiremos ocurrencias libres de las variables
- Las ocurrencias de variables que aporte cada término sustituyente
deben resultar libres en la fórmula final.
Estas restricciones garantizan que la fórmula resultante de la sustitución
será (in)satisfacible si la original lo era.
Ejemplos
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A 1 = ∀x(B(x) → C(y))
Lenguaje de Primer Orden
- El término t = f(x), f símbolo de función unaria, no es libre para y en A 1
- El término t = f(z) es libre para y en A 1
A 1 (y/f(z)) = ∀x(B(x) → C(f(z)))
A 2 = ∀xB(x, y) → ∀zB(z, x)
- El término t = g(x, w), g símbolo de función binaria, no es libre para y en A 2
- El término t = g(y, z) es libre para y en A 2 y pero no es libre para x en A 2
A 2 (y/g(y, z)) = ∀xB(x, g(y, z)) → ∀zB(z, x)
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Lenguaje de Primer Orden
Composición de sustituciones: Dadas e 1 y e 2 sustituciones
e 1 = { x 1/t 1, x 2/t 2, ..., x n/t n} e 2 = { y 1/s 1, y 2/s 2, ..., y k/s k}
e 1.e 2 = { x i/t ie 2 : x i ≠ t ie 2, i = 1, ..., n} ∪ { y j/s j : y j ≠ x i , i = 1, ..., n, j = 1, ..., k}
Ejemplo:
e 1 = { x/g(y, a), y/b, z/f(w), u/w} e 2 = { y/f(b), w/u, t/g(a, f(b))}
e 1.e 2 = { x/g(f(b), a), y/b, z/f(u), w/u, t/g(a, f(b))}
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Semántica de Primer Orden
Modelos o interpretaciones:
Sea L = un lenguaje de primer orden. Un modelo M en L es una
estructura M = donde:
D dominio o universo de interpretación (conjunto no vacío del cual
las variables toman valores)
R D conjunto de relaciones n-arias sobre D tal que para cada
símbolo P ∈ R existe una relación P D ⊆ D n asignada a P
F D conjunto de funciones n-arias sobre D tal que para cada símbolo
f ∈ F existe una función f D : D n → D asignada a f
C D conjunto de elementos distinguidos de D tal que para cada
constante c ∈ C existe un elemento c D ∈ D asignado a c
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Ejemplo:
Semántica de Primer Orden
Sea L = un lenguaje de primer orden con una relación binaria Q,
una función unaria f y una constante c
Dadas F 1 = ∀xQ(x, c) y F 2 = ∃xQ(f(x), c) →∃zQ(z, z) sobre L
Para el modelo M =
D = {1, 2, 3} c D = 2
Q D (x, y) = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} f D (1) = f D (2) = 3 f D (3) = 1
F 1 es falsa en M y F 2 es verdadera en M
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Formalización de Lenguaje Natural
Formalizar frase en lenguaje natural → encontrar expresión en
lenguaje formal que la represente fielmente
No hay procedimientos generales para la formalización
Existen algunas estrategias o heurísticas
- Si la estructura sintáctica de la frase es compleja, se puede reescribir
con una estructura más sencilla que mantenga el mismo significado
- Definir el dominio al cual pertenecen los elementos a utilizar
- Determinar:
Constantes: elementos concretos del dominio
Variables: elementos genéricos
Funciones: representan cómo un elemento queda
determinado por otros
Predicados unarios: representan propiedades de un elem.
Predicados de aridad > 1: representan relaciones entre elem
- Identificar conectivas linguísticas y cuantificadores y sustituir por
conectivos y cuantificadores de la lógica de primer orden
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Formalización de Lenguaje Natural
Patrones más habituales:
• Universal afirmativo ∀x(A(x) →B(x))
Todo A es B - Sólo los B son A – No hay ningún A que no sea B
• Universal negativo ∀x(A(x) →¬ →¬B(x)) →¬
Ningún A es B
• Existencial afirmativo ∃x(A(x) ∧B(x))
Algún A es B – Alguien es a la vez A y B
• Existencial negativo ∃x(A(x) ∧¬ ∧¬B(x)) ∧¬
Algún A no es B – No todos los A son B
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Formalización de Lenguaje Natural
Relación entre cuantificadores:
• Universal/Existencial
¬∀ ¬∀xA(x) ¬∀ ≡ ∃x¬A(x)
“No todos son A” equivale a decir “Algunos no son A”
• Existencial/Universal
¬∃ ¬∃xA(x) ¬∃ ≡ ∀x¬A(x)
“No hay A” equivale a decir “Todos son no A”
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