2º Regla de la cadena y derivación implícita

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El módulo de este vector es 4x 2 0 + y 2 0 + z 2 0. Entonces el vector unitario normal es n = 6. Se considera la ecuación 1 2 4x0 + y2 0 + z2 (2x0, y0, z0). 0 ∂f ∂x = ∂f ∂y . Encontrar la forma que adpota la ecuación en las nuevas varibles u y v, dadas por x = u + v e y = u − v. Nos ayudaremos del esquema siguiente Aplicando la regla de la cadena al esquema anterior, se obtiene ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y . (2.6) A partir de las relaciones x = u + v e y = u − v, se obtienen fácilmente las igualdades x + y x − y u = , v = . 2 2 Entonces las derivadas parciales de u y v respecto de x e y vienen dadas por ∂u ∂x = ∂u ∂y ∂f ∂y = ∂v ∂x 2 ∂u 1 ∂f = 2 ∂u 1 ∂v = . 2 ∂y − ∂f ∂v = −1 2 . Sustituyendo los valores anteriores en las igualdades (2.6), resulta ⎧ ⎨ ∂f 1 ∂f ∂f = + ∂x ∂v ⎩ . Igualando los segundos miembros de las ecuaciones anteriores, se sigue que ∂f ∂v = 0, que es la ecuación que verifica f en las nuevas variables. 65
7. Calcular lím (x,y)→(0,0) f(x, y), siendo f(x, y) = x2 y 2 x+y . Vemos que el dominio de la función es todo el plano menos los puntos de la recta x+y = 0. Empezamos calculando los límites a través de las rectas y = mx (m = −1): lím (x, y) → (0, 0) y = mx x 2 y 2 x + y m 2 x 3 = lím x→0 m 2 x 4 x(1 + m) = = lím = 0. x→0 1 + m Vamos a ver que, sin embargo, no existe el límite doble, considerando el límite direccional a través de una curva de nivel, por ejemplo, la de ecuación f(x, y) = 1. Dicha curva de nivel tiene exactamente la ecuación x 2 y 2 − x − y = 0. Puede comprobarse por métodos elementales que define implícitamente una curva y = y(x) que pasa por el origen (basta despejar y). Pero, para practicar con el Teorema de la función implícita, vamos a recurrir a este Teorema para comprobar que la ecuación anterior define implícitamente a y como función de x en un entorno de (0, 0). Sea F (x, y) = x 2 y 2 − x − y, debemos comprobar los siguientes hechos: a) F (0, 0) = 0. b) F (x, y) es diferenciable con continuidad c) ∂F (0, 0) = 0. ∂y a) y b) se verifican de manera obvia, en cuanto a c), basta calcular ∂F ∂y (x, y) = 2x2y − 1 para comprobar que no se anula en el origen. Por tanto, el Teorema de la función implícita nos asegura que la ecuación x 2 y 2 − x − y = 0 define implícitamente, en un entorno de 0, una función y = y(x). El límite direccional a través de esta curva es obviamente 1. Esto prueba que f(x, y) es oscilante en un entorno del origen. PROBLEMAS PROPUESTOS 66
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