Teoría de la Dimensión en Espacios Lineales Presentación para ...

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Continuamos hasta concluir con x’s o y’s, ¿cómo puede acabar? B Quedó un x k , sin entrar a un conjunto generador porque se agotaron antes los y j . En este caso, en el paso anterior el conjunto B k−1 = {x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 } genera a V y por tanto x k ∈ Gen {x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 } Por tanto, {x k , x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 } es linealmente dependiente. Esto es imposible. Por tanto, esta alternativa no puede acurrir. Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n} Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente dependiente el conjunto J = {v, v 1 , . . . , v n} Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente independiente, entonces: a b ninguno de los vectores v i es el vector cero, y cualquier subconjunto de J es también linealmente independiente.
Definición Un conjunto B = {x 1 , . . . , x n } se dice Base para el espacio lineal V , si genera a V y además es linealmente independiente. Corolario (Al teorema del intercambio) Sean y B 1 = {x 1 , . . . , x n } B 2 = {y 1 , . . . , y m } dos bases para un mismo espacio lineal V . Entonces n = m Es decir, dos bases para un mismo espacio lineal tienen la misma cardinalidad. Ello permite definir la dimensión para un espacio lineal como el número de elementos de una base cualquiera: dim(V ) = Dim(V ) = #(Base cualquiera para V )
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Page 7: Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . ,

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