Formulario - Escuela de Ingeniería Electrónica - Tecnológico de ...

Formulario
EL-4701 Modelos de Sistemas
Escuela de Ingeniería Electrónica
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Prof.: Dr. Pablo Alvarado Moya
M∑
n=0
α n = 1 − αM+1
1 − α
sen(A ± B) = sen(A) cos(B) ± cos(A) sen(B)
cos 2 (A) = 1 (1 + cos(2A))
2 sen2
sen(A) sen(B) = 1 (cos(A − B) − cos(A + B))
2 cos(A)
∞∑
n=0
α n = 1
1 − α , |α| < 1
cos(A ± B) = cos(A) cos(B) ∓ sen(A) sen(B)
(A) = 1 (1 − cos(2A))
2
cos(B) = 1 (cos(A − B) + cos(A + B))
2
sen(A) cos(B) = 1 (sen(A − B) + sen(A + B))
2
( ) √ ( ) √
A 1 A 1
sen =
2 2 (1 − cos(A)) cos = (1 + cos(A))
2 2
e jω = cos(ω) + j sen(ω)
cos(ω) = ejω + e −jω
2
Descomposición en funciones simétricas
sen(ω) = ejω − e −jω
2j
f(t) = f e (t) + f o (t), f e (t) = f e (−t), f o (t) = −f o (−t)
f(t) + f(−t)
f(t) − f(−t)
f e (t) = f o (t) =
2
2
Mapeos
Círculo centrado en z 0 y radio r: |z − z 0 | = r
Recta mediatriz a segmento entre a y b: |z − a| = |z − b|
Mapeo lineal:
w = αz + β
Mapeo de inversión: w = 1/z
Mapeo bilineal:
w = az + b
cz + d = λ + µ
αz + β ,
Derivación compleja
λ = a/c, µ = bc − ad, α = c 2 , β = cd
Para f(z = x + jy) = u(x, y) + jv(x, y).
Ecuaciones de Cauchy Riemann ∃f ′ (z) ⇔ ∂u
∂x = ∂v
∂y , ∂u
∂y = −∂v ∂x
Funciones conjugadas u(x, y) y v(x, y) si cumplen Ec. Cauchy-Riemann.
Función armónica: ∂2 u(x, y)
+ ∂2 u(x, y)
= 0
∂x 2 ∂y 2
Mapeo conforme: ∃f ′ (z), f ′ (z) ≠ 0
c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009 1

Series
Radio de convergencia R y razón de D’Alambert para
∞∑ (z − z 0 ) n
Serie de Taylor: f(z) =
f (n) (z 0 )
n!
n=0
∞∑
Serie de Laurent: f(z) = c n (z − z 0 ) n
Residuo: a −1 =
n=−∞{ }
1 d
m−1
(m − 1)! lím
z→z 0 dz [(z − z 0) m f(z)]
m−1
∞∑
n=0
∣ ∣ ∣∣∣
a n z n a n ∣∣∣
: R = lím
n→∞ a n+1
e z = 1 + z 1! + z2
2! + . . . zn
n! + . . . ; |z| < ∞
sen z = z − z3
3! + z5
5! − . . . + (−1)n z 2n+1
(2n + 1)! + . . . ; |z| < ∞
cos z = 1 − z2
2! + z4
z2n
− . . . + (−1)n
4! (2n)! + . . .
⎧ ∞∑ (a − z 0 ) n−1
1
⎪⎨
para |z − z
(z − z
n=1
0 ) n 0 | > |a − z 0 |
=
z − a
∞∑ (z − z 0 )
⎪⎩
n
−
para |z − z
(a − z 0 ) n+1 0 | < |a − z 0 |
n=0
; |z| < ∞
Integración compleja ∮
Teorema de la integral de Cauchy: f(z) dz = 0 si ∃f ′ (z) dentro y sobre C.
∮C
f(z)
Fórmula de la integral de Cauchy:
C (z − z 0 ) dz = f (n) (z n+1 0 ) 2πj
n!
∮
n∑
Teorema del residuo: f(z) dz = 2πj
Series de Fourier
C
∫ b
Producto interno 〈u k (t), x(t)〉 = u ∗ k (t)x(t) dt
a
∞∑
x(t) = c k u k (t) con {u k | k ∈ Z} una base funcional ortogonal, c k ∈ C.
k=−∞
i=1
a (i)
−1
Generalizada: c k = 〈u k(t), x(t)〉
‖u k (t)‖ 2
Fourier exponencial compleja (para funciones periódicas de periodo T p ).
Fourier cosenoidal
x(t) =
x(t) = c 0 +
∞∑
k=−∞
c k e jω 0kt
c k = 1 ∫ t0 +T p
e −jω0kt x(t) dt
T p
∞∑
˜c k cos(ω 0 kt + θ k ) ˜c k = 2|c k |, θ k = ∠c k , k > 0
k=1
t 0
2 c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009

Fourier senoidal
x(t) = 1 ∞∑
∞∑
2 a 0 + a k cos ω 0 kt + b k sen ω 0 kt
k=1
k=1
a k = 2 ∫ t0 +T p
x(t) cos ω 0 kt dt = 2|c k | cos(θ k ) b k = 2 ∫ t0 +T p
x(t) sen ω 0 kt dt = −2|c k | sen(θ k )
T p t 0
T p t 0
Propiedades de la Serie de Fourier (periodo T p , ω 0 = 2π/T p )
Propiedad Señal en el tiempo Coeficientes
x(t)
x 1 (t)
x 2 (t)
c k
c 1k
c 2k
Linealidad α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) α 1 c 1k + α 2 c 2k
Simetría par x(t) = x(−t) c k = 2 ∫ Tp
2
T p
0
x(t) cos(ω 0 kt) dt
c k ∈ IR
Simetría impar x(t) = −x(−t) c k = − 2j ∫ Tp
2
x(t) sen(ω 0 kt) dt
T p
c k ∈ jIR
Función real x(t) ∈ IR c k = c ∗ −k
Desplazamiento temporal x(t − τ) e −jω0kτ c k
Conjugación x ∗ (t) c ∗ −k
Inversión en el tiempo x(−t) c −k
Escalamiento en el tiempo x(αt), ∫ α > 0 c k
Convolución periódica x 1 (τ)x 2 (t − τ) dτ T p c 1k c 2k
T p
∞∑
Multiplicación
x 1 (t)x 2 (t)
c 1l c 2k−l
Diferenciación
Integración
Relación de Parseval
dx(t)
dt
∫ t
−∞
l=−∞
jkω 0 c k
c k
x(t) dt, c 0 = 0
jkω
∫ 0
1
t0 +T p
|x(t)| 2 dt =
T p t 0
0
∞∑
k=−∞
|c k | 2
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Transformada de Fourier
Transformada directa: X(jω) =
Transformada inversa: x(t) = 1
2π
∫ ∞
Algunas Transformadas de Fourier
∫−∞
∞
−∞
x(t)e −jωt dt
X(jω)e jωt dω
Nombre Señal en el tiempo Transformada
∫ ∞
Transformación x(t) = 1 X(jω)e jωt dω X(jω) = x(t)e −jωt dt
2π −∞
−∞
Impulso unitario δ(t) 1
1
Escalon unitario u(t)
jω + πδ(ω)
1
Impulso rectangular [u(t − t τ 0) − u(t − t 0 − τ)] e −jω(t 0+ τ 2) sa(ωτ/2)
Exponencial e −at 1
u(t), Re{a} > 0
a + jω
Exponencial por rampa e −at 1
tu(t), Re{a} > 0
(a + jω) 2
Laplaciana e −a|t| 2a
, Re{a} > 0
a 2 + ω 2
Exponencial compleja e jω 0t
2πδ(ω − ω 0 )
Constante c 2πcδ(ω)
∞∑
∞∑
Función periódica
c k e jkω 0t
2πc k δ(ω − kω 0 )
k=−∞
k=−∞
1
Impulso gaussiano
σ √ 2( 1 σ) t 2
2π e− e − 1 2 (ωσ)2
π
Seno sen(ω 0 t)
j [δ(ω − ω 0) − δ(ω + ω 0 )]
Coseno cos(ω 0 t) π [δ(ω − ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )]
∫ ∞
4 c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009

Propiedades de la Transformada de Fourier
Propiedad Señal en el tiempo Transformada
x(t)
X(jω)
x 1 (t)
X 1 (jω)
x 2 (t)
X 2 (jω)
Linealidad α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) α 1 X 1 (jω) + α 2 X 2 (jω)
Simetría par x(t) = x(−t) 2
Simetría impar x(t) = −x(−t) −2j
∫ ∞
0
∫ ∞
X(jω) ∈ IR
x(t) cos(ωt) dt
0
x(t) sen(ωt) dt
X(jω) ∈ jIR
Función real x(t) ∈ IR X(jω) = X ∗ (−jω)
Dualidad X(jt) 2πx(−ω)
Desplazamiento temporal x(t − τ) e −jωτ X(jω)
Desplazamiento en frecuencia e jω0t x(t) X(jω − jω 0 )
1
Modulación cos(ω 0 t)x(t) 2 0) + 1X(jω + jω 2 0)
Conjugación x ∗ (t) X ∗ (−jω)
Inversión en el tiempo x(−t) X(−jω)
( )
1 jω
Escalamiento en el tiempo x(at)
|a| X a
Convolución
Multiplicación
Diferenciación
Integración
Relación de Parseval
∫ ∞
−∞ x 1(τ)x 2 (t − τ) dτ
x 1 (t)x 2 (t)
dx(t)
dt
d n x(t)
dt n
tx(t)
∫ t
−∞
x(t) dt
∫ ∞
−∞
X 1 (jω)X 2 (jω)
1
2π X 1(jω) ∗ X 2 (jω)
jωX(jω)
(jω) n X(jω)
j d
dω X(jω)
1
X(jω) + πX(0)δ(ω)
jω
|x(t)| 2 dt = 1 ∫ ∞
|X(jω)| 2 dω
2π
−∞
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Transformada de Laplace
∫ ∞
Bilateral: X(s) = x(t)e −st dt Inversa: x(t) = 1
−∞
2πj
Propiedades de la Transformada Bilateral de Laplace
∫ σ+j∞
σ−j∞
X(s)e st ds
Propiedad Señal en el tiempo Transformada ROC
x(t) X(s) R
x 1 (t) X 1 (s) R 1
x 2 (t) X 2 (s) R 2
Linealidad α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) α 1 X 1 (s) + α 2 X 2 (s) ≥ R 1 ∩ R 2
Función real x(t) ∈ IR X(s) = X ∗ (s ∗ ) R
Desplazamiento temporal x(t − τ) e −sτ X(s) R
Desplazamiento en s e s0t x(t) X(s − s 0 ) R + s 0
Conjugación x ∗ (t) X ∗ (s ∗ ) R
Inversión en el tiempo x(−t) X(−s) −R
1
( s
)
Escalamiento en el tiempo x(at)
|a| X R/a
a
Convolución x 1 (t) ∗ x 2 (t) X 1 (s)X 2 (s) ≥ R 1 ∩ R 2
Diferenciación
dx(t)
dt
sX(s)
≥ R
d n x(t)
s n X(s) ≥ R
dt n d
−tx(t)
ds X(s)
R
Integración
∫ t
−∞
x(τ) dτ
Transformadas Bilaterales de Laplace de funciones elementales
1
X(s) ≥ R ∩ {σ > 0}
s
Señal Transformada ROC Señal Transformada ROC
δ(t) 1 todo s u(t)
1
−u(−t)
s
−
tn−1
(n − 1)! u(−t) 1
−e at u(−t)
tn−1
−
(n − 1)! eat u(−t)
[cos(ω 0 t)]u(t)
[e at cos(ω 0 t)]u(t)
σ < 0
1
s
σ > 0
t n−1
(n − 1)! u(t) 1
s n σ > 0
σ < 0 e at 1
u(t)
s n s − a
σ > a
1
t n−1
1
σ < a
s − a
(n − 1)! eat u(t)
(s − a) n σ > a
1
σ < a δ(t − τ) e −sτ todo s
(s − a) n
s
ω 0
σ > 0 [sen(ω
s 2 + ω0
2 0 t)]u(t)
σ > 0
s 2 + ω0
2
s − a
σ > a [e at ω 0
sen(ω
(s − a) 2 + ω0
2 0 t)]u(t)
σ > a
(s − a) 2 + ω0
2
d n
dt n δ(t) sn todo s
6 c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009

∫ ∞
Transformada Unilateral de Laplace: X(s) = x(t)e −st dt
0 −
Propiedades de la Transformada Unilateral de Laplace
Propiedad Señal en el tiempo Transformada ROC
x(t) = x(t)u(t) X(s) R
x 1 (t) = x 1 (t)u(t) X 1 (s) R 1
x 2 (t) = x 2 (t)u(t) X 2 (s) R 2
Linealidad α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) α 1 X 1 (s) + α 2 X 2 (s) ≥ R 1 ∩ R 2
Función real x(t) ∈ IR X(s) = X ∗ (s ∗ ) R
Desplazamiento temporal x(t − τ), τ > 0 e −sτ X(s) R
Desplazamiento en s e s0t x(t) X(s − s 0 ) R + s 0
Conjugación x ∗ (t) X ∗ (s ∗ ) R
1
( s
)
Escalamiento en el tiempo x(at), a > 0
a X R/a
a
Convolución x 1 (t) ∗ x 2 (t) X 1 (s)X 2 (s) ≥ R 1 ∩ R 2
Diferenciación
dx(t)
dt
sX(s) − x(0 − ) ≥ R
d n
Diferenciación múltiple
dt x(t) n sn X(s)
n∑
− s n−i x (i−1) (0 − )
d
Diferenciación en s −tx(t)
ds X(s)
R
∫ t
1
Integración
x(τ) dτ
X(s) ≥ R ∩ {σ > 0}
0 s −
Teorema de valor inicial x(0 + ) lím sX(s)
s→∞
Teorema de valor final lím x(t)
lím sX(s)
t→∞ s→0
Transformadas Unilaterales de Laplace de funciones elementales
Señal Transformada ROC Señal Transformada ROC
δ(t) 1 todo s 1
t n−1
(n − 1)!
t n−1 1
(n − 1)! eat
cos(ω 0 t)
e at cos(ω 0 t)
i=1
1
σ > 0 e at 1
s n s − a
1
s
σ > 0
σ > a
σ > a δ(t − τ), τ > 0 e −sτ todo s
(s − a) n
s
ω 0
σ > 0 sen(ω
s 2 + ω0
2 0 t)
σ > 0
s 2 + ω0
2
s − a
σ > a e at ω 0
sen(ω
(s − a) 2 + ω0
2 0 t)
σ > a
(s − a) 2 + ω0
2
d n
dt n δ(t) sn todo s
c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009 7

Transformada z
Propiedades de la transformada z bilateral.
Propiedad Dominio n Dominio z ROC
Notación x(n) = 1 ∮
∑
∞
X(z)z n−1 X(z) = x(n)z −n R = {z | r2 < |z| < r1}
2πj
C
n=−∞
x1(n) X1(z) R1
x2(n) X2(z)
R2
Linealidad a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(z) + a2X2(z) por lo menos R1 ∩ R2
Desplazamiento en n x(n − k) z −k X(z) R \{0} si k > 0 y R \{∞} si k < 0
Escalado en z α n x(n) X(α −1 z) |α|r2 < |z| < |α|r1
Reflexión en n x(−n) X(z −1 )
1
< |z| < 1
r1 r2
Conjugación x ∗ (n) X ∗ (z ∗ ) R
Parte real Re{x(n)}
1
(z ∗ )] Incluye R
Parte imaginaria Im{x(n)}
2 [X(z) + X∗ 1
2 [X(z) − X∗ (z ∗ )] Incluye R
Derivación en z nx(n) −z dX(z)
dz
r2 < |z| < r1
Convolución x1(n) ∗ x2(n) X1(z)X2(z) Por lo menos R1 ∩ R2
Teorema del valor inicial Si x(n) es causal x(0) = lím z→∞
Propiedades de la transformada z unilateral.
Notación x(n) = 1 ∮
X(z)z n−1 X(z) = x(n)z −n R = {z | |z| > r2}
2πj
Retardo temporal x(n − k), k > 0 z −k X(z) +
Adelanto temporal x(n + k), k > 0 z k X(z) −
Teorema del valor final lím
n→∞
C
∞ ∑
n=0
∑
k−1
n=0
k ∑
n=1
x(n) = lím
z→1
x(−n)z n−k R \ {0}
x(n)z k−n R
(z − 1)X(z)
8 c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009

Transformada z bilateral de algunas funciones comunes
Señal x(n) Transformada z, X(z) ROC
δ(n) 1 Plano z
u(n)
a n u(n)
na n u(n)
−(a n )u(−n − 1)
−n(a n )u(−n − 1)
cos(ω 0 n)u(n)
sen(ω 0 n)u(n)
a n cos(ω 0 n)u(n)
a n sen(ω 0 n)u(n)
1
1 − z −1 |z| > 1
1
1 − az −1 |z| > |a|
az −1
(1 − az −1 ) 2 |z| > |a|
1
1 − az −1 |z| < |a|
az −1
(1 − az −1 ) 2 |z| < |a|
1 − z −1 cos ω 0
1 − 2z −1 cos ω 0 + z −2 |z| > 1
z −1 sen ω 0
1 − 2z −1 cos ω 0 + z −2 |z| > 1
1 − az −1 cos ω 0
1 − 2az −1 cos ω 0 + a 2 z −2 |z| > a
az −1 sen ω 0
1 − 2az −1 cos ω 0 + a 2 z −2 |z| > a
Transformada z unilateral de algunas funciones comunes
Señal x(n) Transformada z, X(z) ROC
δ(n) 1 Plano z
1
1
1 − z −1 |z| > 1
a n 1
1 − az −1 |z| > |a|
na n
cos(ω 0 n)
sen(ω 0 n)
a n cos(ω 0 n)
a n sen(ω 0 n)
az −1
(1 − az −1 ) 2 |z| > |a|
1 − z −1 cos ω 0
1 − 2z −1 cos ω 0 + z −2 |z| > 1
z −1 sen ω 0
1 − 2z −1 cos ω 0 + z −2 |z| > 1
1 − az −1 cos ω 0
1 − 2az −1 cos ω 0 + a 2 z −2 |z| > 1
az −1 sen ω 0
1 − 2az −1 cos ω 0 + a 2 z −2 |z| > 1
c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR Versión 30 de enero de 2009 9