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Sistema Binario

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<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

EL - 3307<br />

Diseño<br />

Lógico<br />

Ing. José Alberto<br />

Díaz García<br />

Página 1


Historia<br />

<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

EL - 3307<br />

Diseño<br />

Lógico<br />

Ing. José Alberto<br />

Díaz García<br />

Página 2<br />

• George Boole [1815, 1864], fue un<br />

matemático y filósofo ingles.<br />

• Inventor del álgebra de Boole, la base de<br />

la aritmética computacional moderna.<br />

• Boole contribuyó con 22 artículos. A esta<br />

lista se debería añadir un trabajo en la<br />

lógica básica matemática, publicado en<br />

la Mechanic's Magazine de 1848.<br />

• Sólo dos tratados sistemáticos en<br />

materias matemáticas fueron<br />

completados por Boole durante su vida.<br />

– El bien conocido Tratado sobre<br />

Ecuaciones Diferenciales aparecido en<br />

1859, y al año siguiente,<br />

– El Tratado sobre los Cálculos de<br />

Diferenciales Finitas, diseñado como<br />

continuación del anterior.<br />

George Boole<br />

1815-1864


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Diseño<br />

Lógico<br />

Ing. José Alberto<br />

Díaz García<br />

Página 3<br />

Lógica matemática<br />

• La lógica matemática es un campo de las matemáticas que<br />

estudia los sistemas formales (compuesto de símbolos que<br />

se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser<br />

manipuladas según reglas para producir otras cadenas, el<br />

sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la<br />

realidad) en relación con el modo en el que codifican<br />

conceptos intuitivos de objetos matemáticos como<br />

conjuntos, números, demostraciones y cálculos.<br />

• La lógica matemática suele dividirse en cuatro:<br />

– Teoría de modelos<br />

– Teoría de la demostración<br />

– Teoría de conjuntos<br />

– Teoría de la recursión.<br />

• La lógica matemática fue también llamada lógica<br />

simbólica, en oposición a la lógica filosófica, y<br />

metamatemáticas.<br />

• La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas"<br />

sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes<br />

de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas<br />

matemáticamente.


Teoría de Conjuntos<br />

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Díaz García<br />

• La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas<br />

que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el<br />

tema fue realizado por el matemático alemán George<br />

Cantor en el siglo XIX.<br />

• El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo<br />

como una agrupación de cosas hecha con cualquier<br />

criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de<br />

ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay<br />

en un momento dado encima de una mesa.<br />

• Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado<br />

elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los<br />

bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un<br />

bolígrafo podemos saber si es azul o no.<br />

• El conjunto de las personas altas no esta bien definido,<br />

porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si<br />

es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen<br />

si esa persona es alta o no lo es.<br />

Página 4


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Página 5<br />

Diagramas de Venn<br />

• Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos<br />

con su nombre en su trabajo titulado "De la representación<br />

mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos“.<br />

• La publicación provocó un cierto revuelo en el mundo de la lógica<br />

formal.<br />

• Aunque la primera forma de representación geométrica de<br />

silogismos lógicos se atribuye comúnmente a Leibniz, y fue luego<br />

ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de<br />

Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de<br />

representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el<br />

tiempo en un nuevo estándar.<br />

• Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro<br />

"Lógica simbólica", publicado en 1881 con el ánimo de interpretar<br />

y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal.<br />

• Los diagramas de Venn se utilizan para hacer representaciones de<br />

relaciones lógicas.<br />

• Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar<br />

matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de<br />

conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el<br />

aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como<br />

herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar<br />

y contrastar dos o tres de elementos.


<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

Diagramas de Venn<br />

• Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las<br />

matemática conocida como teoría de conjuntos.<br />

• Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación<br />

matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),<br />

representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo.<br />

• La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra<br />

todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que<br />

representan.<br />

• Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la<br />

existencia de subconjuntos con algunas características comunes.<br />

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Diagramas de Venn<br />

• Dependiendo de la cantidad de conjuntos los<br />

diagramas de Venn pueden tomar diferentes<br />

formas entre ellas se muestran las siguientes:<br />

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• Constantes boleanas:<br />

Algebra de Boole<br />

– Se definen dos: ‘0’ (estado FALSO) y ‘1’ (VERDADERO).<br />

• Variables boleanas:<br />

– Se refieren a los diferentes conjuntos que tenga el<br />

problema<br />

– Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en<br />

diferentes momentos.<br />

– Pueden representar señales de entrada o de salida<br />

– Reciben nombres de caracteres alfabéticos como: A, B, X,<br />

Y.<br />

– Sólo pueden tomar los valores ‘0’ o ‘1’.<br />

– Se les llama variables lógicas o boleanas


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Funciones lógicas<br />

• También se les llama funciones boleanas<br />

• Relaciona la entrada con la salida de un<br />

circuito lógico.<br />

• Describen el comportamiento del sistema.<br />

• Relaciona las variables mediante<br />

operadores lógicos.<br />

• Utilizando las variables boleanas se<br />

pueden contruir funciones boleanas<br />

F(x,y,z)<br />

la cual puede asumir dos estados:<br />

– verdadero<br />

– falso


Operadores lógicos<br />

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• Los operadores lógicos que se pueden<br />

utilizar para realizar funciones lógicas son<br />

los operadores de la teoría de conjuntos.<br />

• Estos son:<br />

– Unión (∪), se refiere a la unión de todos los<br />

elementos de los diferentes conjuntos.<br />

– Intersección (∩), se refiere a los elementos en<br />

común de las diferentes variables, o conjuntos<br />

– Complemento (˜), se refiere a los elementos<br />

que le faltan al conjunto en cuestión para ser<br />

igual al conjunto universo.<br />

Página 10


Tablas de verdad<br />

• Las tablas de verdad son un recurso tabular que nos muestra los<br />

posibles estados de las entradas al sistema así como los diferentes<br />

estados de las salidas, tal como se muestra a continuación.<br />

ENTRA<br />

DAS<br />

SALI<br />

DAS<br />

<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

MINTERMINO<br />

0<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

CI<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

A<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

B<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

S<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

CO<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

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Página 11<br />

5<br />

6<br />

7<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1


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Ejemplo<br />

• Cinco barcos (dos franceses, dos holandeses y un alemán)<br />

participan en la limpieza del combustible derramado por el<br />

Prestige.<br />

• De los franceses uno recoge 10 Toneladas/hora y el otro sólo 5<br />

T/h. Cada uno de los holandeses recoge 7 T/h y el barco alemán<br />

13 T/h.<br />

• España, aporta un carguero (que puede transportar hasta 25 T/h)<br />

para llevar el combustible recogido por estos barcos a puerto y<br />

que puedan seguir trabajando sin interrupción.<br />

• Los pescadores de la región se han dado cuenta que si varios de<br />

los barcos van a la vez a descargar el combustible recogido, se<br />

puede superar el limite de absorción del carguero lo que generaría<br />

esperas y retrasos en las labores de limpieza.<br />

• Como no quieren de ninguna manera que estos trabajos se<br />

detengan están dispuestos – mientras el gobierno no aporte mas<br />

medios – a recoger ellos mismos el combustible sobrante, aunque<br />

sea en sus propias barcos.<br />

• Apelando a la solidaridad de todos, solicitan que se les procure el<br />

diseño de una función lógica que avise cuando se vaya a producir<br />

esa situación de atasco y así puedan actuar rápidamente.<br />

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Página 13<br />

Solución<br />

• Paso 1.<br />

– Asignar las variables lógicas. Denotando, por orden, los barcos como<br />

A, B, C, D y E. Entonces con la variable A representaremos uno de los<br />

barcos franceses, B el segundo barco francés, C un barco holandés, D<br />

el otro barco holandés y E el barco alemán. variables de entrada del<br />

problema son 5. Con cinco variables de entrada se pueden<br />

representar 32 diferentes condiciones. Además aquí asignamos cual<br />

de las variables es la más significativa, para este ejemplo la variable<br />

más significativa es A (la de mayor peso) y la de menor peso es E.<br />

• Paso 2<br />

– Análisis. vemos que si se aproximan A y B descargarían 10+5 = 15T/h<br />

y no hay problema<br />

– Mientras que si lo hacen A, C y E (10 + 7 + 13 = 30T/h) si lo hay pues<br />

se superan las 25T/h de capacidad del carguero.<br />

• Paso 3<br />

– Asignación de estados lógicos a las variables de entrada. Usando las<br />

letras de designación como variables lógicas (A= 1 si el primer barco<br />

se acerca a descargar y A = 0 si no lo hace, lo mismo los demás<br />

barcos) podemos modelar esta actividad con una función lógica que<br />

valga 1 cuando se supere la capacidad del carguero y 0 si no se<br />

supera.<br />

• Paso 4<br />

– En una tabla se muestran todas las posibles opciones que se pueden<br />

presentar en el problema. (yo lo hice en Excel)


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Solución<br />

• En la siguiente tabla se muestran todas las posibles<br />

combinaciones entre barcos que se pueden presentar las<br />

cuales atascarán el cargador, por eso si alguna de éstas se<br />

presenta se debe de encender una alarma.<br />

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Modelo<br />

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• El modelo corresponderá a la unión de<br />

todas las posibles combinaciones de<br />

entrada esto es:<br />

F(<br />

A,<br />

B,<br />

C,<br />

D,<br />

E)<br />

= ∑(7,15,19,21,23,25,27,29,30,31)<br />

• El modelo se presenta como la unión de<br />

una cantidad de minterminos.<br />

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Díaz García<br />

Página 16


• El modelo nos queda como:<br />

Modelo<br />

F(<br />

A,<br />

B,<br />

C,<br />

D,<br />

E)<br />

=<br />

ABCDE<br />

+<br />

ABCDE<br />

+<br />

ABCDE<br />

+<br />

ABCDE<br />

+<br />

ABCDE<br />

+<br />

ABCDE<br />

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+ ABCDE +<br />

ABCDE +<br />

ABCDE<br />

ABCDE<br />

• Esta es una función lógica que tomará el valor de 1 una vez que<br />

se presentan las condiciones de entrada que sobrepasarán la<br />

capacidad del carguero.<br />

• La operación de intersección (∩) se presenta con las condiciones<br />

de entrada. Por ejemplo será necesario que no se presente<br />

ningún barco francés pero si los dos holandeses y el alemán para<br />

que el carguero entre en conflicto.<br />

• De igual forma se presenta la unión (∪) cuando para representar<br />

la función de salida se deben unir todas las posibles condiciones<br />

de entrada, en el modelo se representa con un +.<br />

• El operador complemento se presenta cuando en las condiciones<br />

de entrada no se toma en cuenta el barco.<br />

+<br />

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Representación de funciones lógicas<br />

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• Los operadores lógicos se pueden implementar utilizando<br />

circuitos electrónicos.<br />

• Los circuitos electrónicos que funcionan como operadores lógicos<br />

se llaman compuertas (gates).<br />

– Para la intersección (∩) se utilizan la compuertas AND.<br />

– Para la unión (∪) se utilizan las compuertas OR<br />

– Para el complemento (˜) se utilizan las compuertas NOT o inversores<br />

• Existen muchas tecnologías de fabricación de estos circuitos<br />

electrónicos entre ellos:<br />

– Estándar TTL<br />

– LS en tecnología TTL<br />

– ALS<br />

– ALVT<br />

– AHC<br />

– LV<br />

– LVC<br />

– ALVC<br />

– LVT<br />

– Etc.


AND<br />

Compuertas para lógica Booleana<br />

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• La compuerta AND opera como: si cualquiera<br />

de las entradas está apagada la salida se apaga.<br />

• AND es como la intersección<br />

Tabla de<br />

comportamiento<br />

AND 0 1<br />

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0 0 0<br />

1 0 1<br />

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OR<br />

Compuertas para lógica Booleana<br />

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• La compuerta OR opera como: si cualquier<br />

entrada está encendida la salida se<br />

encenderá.<br />

• OR es como la unión<br />

Tabla de<br />

comportameinto<br />

OR 0 1<br />

0 0 1<br />

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1 1 1<br />

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Compuertas para lógica Booleana<br />

NOT (inversor)<br />

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• Una compuerta NOT opera: si la entrada está<br />

encendida, la salida se apaga, y viceversa.<br />

• NOT es lo opuesto a la entrada, es el<br />

complemento<br />

Tabla de<br />

comportamiento<br />

NOT 0 1<br />

1 0<br />

Página 21


NOR<br />

Compuertas para lógica Booleana<br />

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Página 22<br />

• La compuerta NOR es una combinación de las compuertas<br />

OR y NOT y no debe presentarse como una compuerta<br />

primaria. La compuerta NOR opera como: si cualquiera de<br />

las entradas esta encendida, la salida se apaga.<br />

Tabla de verdad<br />

NOR 0 1<br />

0 1 0<br />

1 0 0<br />

Primero realiza<br />

la operación OR,<br />

luego realiza la<br />

operación NOT.


Compuertas básicas<br />

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Otras compuertas<br />

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Más sobre<br />

compuertas<br />

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Estándar par dibujar<br />

compuertas<br />

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Ejemplos<br />

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Ejemplo<br />

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Página 28


Circuitos electrónicos<br />

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Página 29


<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

Representación de variables<br />

• También es necesario representar las variables de entrada<br />

mediante electrónica.<br />

• El estado de los interruptores definen los estados lógicos de las<br />

variables A y B.<br />

DC<br />

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Representación de las funciones de salida<br />

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Página 31<br />

• Para representar los<br />

estados lógicos de las<br />

funciones de salida se<br />

utilizan LEDS o<br />

pantallas luminosas<br />

ya sean de siete<br />

segmentos o<br />

alfanuméricas.<br />

• En el caso de LED<br />

debemos saber si la<br />

función será activa en<br />

nivel alto o nivel bajo.


Representación de funciones lógicas<br />

Vcc<br />

Vcc<br />

Vcc<br />

B B<br />

Vcc<br />

D D<br />

Vcc<br />

A A<br />

C C<br />

E E<br />

<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />

Vcc<br />

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Página 32


Conclusiones<br />

• El circuito es muy complejo, porque tiene<br />

una gran diversidad de circuitos integrados:<br />

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Cantidad<br />

5<br />

10<br />

2<br />

1<br />

Tipo<br />

inversores<br />

Compuertas<br />

AND de 5<br />

entradas<br />

Compuertas OR<br />

de 5 entradas<br />

Compuerta OR<br />

de 2 entradas<br />

Circuito<br />

integrado<br />

7404<br />

AND5<br />

100301<br />

7432<br />

Cantidad<br />

1<br />

10<br />

1<br />

1<br />

Página 33


Más conclusiones<br />

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Lógico<br />

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• La diversidad de CI nos eleva el<br />

costo del circuito.<br />

• Tenemos un problema de área en el<br />

circuito impreso, son muchos los<br />

componentes.<br />

• Tenemos un problema de potencia,<br />

son muchos los circuitos integrados<br />

y estos consumen potencia.<br />

• Es necesario aprender a simplificar.<br />

Página 34


Simplificación de circuitos<br />

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Página 35<br />

• Como los circuitos lógicos son<br />

representaciones de funciones<br />

lógicas se pueden utilizar los<br />

recursos disponibles para simplificar<br />

las funciones lógicas, estas son:<br />

– Diagramas de Venn<br />

– Algebra de Boole<br />

– Mapas de Karnaugh<br />

– Quine McCluskey

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