Sistema Binario
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<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
EL - 3307<br />
Diseño<br />
Lógico<br />
Ing. José Alberto<br />
Díaz García<br />
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Historia<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
Ing. José Alberto<br />
Díaz García<br />
Página 2<br />
• George Boole [1815, 1864], fue un<br />
matemático y filósofo ingles.<br />
• Inventor del álgebra de Boole, la base de<br />
la aritmética computacional moderna.<br />
• Boole contribuyó con 22 artículos. A esta<br />
lista se debería añadir un trabajo en la<br />
lógica básica matemática, publicado en<br />
la Mechanic's Magazine de 1848.<br />
• Sólo dos tratados sistemáticos en<br />
materias matemáticas fueron<br />
completados por Boole durante su vida.<br />
– El bien conocido Tratado sobre<br />
Ecuaciones Diferenciales aparecido en<br />
1859, y al año siguiente,<br />
– El Tratado sobre los Cálculos de<br />
Diferenciales Finitas, diseñado como<br />
continuación del anterior.<br />
George Boole<br />
1815-1864
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
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Lógica matemática<br />
• La lógica matemática es un campo de las matemáticas que<br />
estudia los sistemas formales (compuesto de símbolos que<br />
se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser<br />
manipuladas según reglas para producir otras cadenas, el<br />
sistema formal es capaz de representar cierto aspecto de la<br />
realidad) en relación con el modo en el que codifican<br />
conceptos intuitivos de objetos matemáticos como<br />
conjuntos, números, demostraciones y cálculos.<br />
• La lógica matemática suele dividirse en cuatro:<br />
– Teoría de modelos<br />
– Teoría de la demostración<br />
– Teoría de conjuntos<br />
– Teoría de la recursión.<br />
• La lógica matemática fue también llamada lógica<br />
simbólica, en oposición a la lógica filosófica, y<br />
metamatemáticas.<br />
• La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas"<br />
sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes<br />
de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas<br />
matemáticamente.
Teoría de Conjuntos<br />
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
• La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas<br />
que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el<br />
tema fue realizado por el matemático alemán George<br />
Cantor en el siglo XIX.<br />
• El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo<br />
como una agrupación de cosas hecha con cualquier<br />
criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de<br />
ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay<br />
en un momento dado encima de una mesa.<br />
• Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado<br />
elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los<br />
bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un<br />
bolígrafo podemos saber si es azul o no.<br />
• El conjunto de las personas altas no esta bien definido,<br />
porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si<br />
es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen<br />
si esa persona es alta o no lo es.<br />
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Diagramas de Venn<br />
• Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos<br />
con su nombre en su trabajo titulado "De la representación<br />
mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos“.<br />
• La publicación provocó un cierto revuelo en el mundo de la lógica<br />
formal.<br />
• Aunque la primera forma de representación geométrica de<br />
silogismos lógicos se atribuye comúnmente a Leibniz, y fue luego<br />
ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de<br />
Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de<br />
representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el<br />
tiempo en un nuevo estándar.<br />
• Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro<br />
"Lógica simbólica", publicado en 1881 con el ánimo de interpretar<br />
y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal.<br />
• Los diagramas de Venn se utilizan para hacer representaciones de<br />
relaciones lógicas.<br />
• Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar<br />
matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de<br />
conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el<br />
aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como<br />
herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar<br />
y contrastar dos o tres de elementos.
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
Diagramas de Venn<br />
• Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las<br />
matemática conocida como teoría de conjuntos.<br />
• Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación<br />
matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),<br />
representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo.<br />
• La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra<br />
todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que<br />
representan.<br />
• Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la<br />
existencia de subconjuntos con algunas características comunes.<br />
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Diagramas de Venn<br />
• Dependiendo de la cantidad de conjuntos los<br />
diagramas de Venn pueden tomar diferentes<br />
formas entre ellas se muestran las siguientes:<br />
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• Constantes boleanas:<br />
Algebra de Boole<br />
– Se definen dos: ‘0’ (estado FALSO) y ‘1’ (VERDADERO).<br />
• Variables boleanas:<br />
– Se refieren a los diferentes conjuntos que tenga el<br />
problema<br />
– Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en<br />
diferentes momentos.<br />
– Pueden representar señales de entrada o de salida<br />
– Reciben nombres de caracteres alfabéticos como: A, B, X,<br />
Y.<br />
– Sólo pueden tomar los valores ‘0’ o ‘1’.<br />
– Se les llama variables lógicas o boleanas
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Funciones lógicas<br />
• También se les llama funciones boleanas<br />
• Relaciona la entrada con la salida de un<br />
circuito lógico.<br />
• Describen el comportamiento del sistema.<br />
• Relaciona las variables mediante<br />
operadores lógicos.<br />
• Utilizando las variables boleanas se<br />
pueden contruir funciones boleanas<br />
F(x,y,z)<br />
la cual puede asumir dos estados:<br />
– verdadero<br />
– falso
Operadores lógicos<br />
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• Los operadores lógicos que se pueden<br />
utilizar para realizar funciones lógicas son<br />
los operadores de la teoría de conjuntos.<br />
• Estos son:<br />
– Unión (∪), se refiere a la unión de todos los<br />
elementos de los diferentes conjuntos.<br />
– Intersección (∩), se refiere a los elementos en<br />
común de las diferentes variables, o conjuntos<br />
– Complemento (˜), se refiere a los elementos<br />
que le faltan al conjunto en cuestión para ser<br />
igual al conjunto universo.<br />
Página 10
Tablas de verdad<br />
• Las tablas de verdad son un recurso tabular que nos muestra los<br />
posibles estados de las entradas al sistema así como los diferentes<br />
estados de las salidas, tal como se muestra a continuación.<br />
ENTRA<br />
DAS<br />
SALI<br />
DAS<br />
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MINTERMINO<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
CI<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
A<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
B<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
S<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
CO<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
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5<br />
6<br />
7<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1
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Ejemplo<br />
• Cinco barcos (dos franceses, dos holandeses y un alemán)<br />
participan en la limpieza del combustible derramado por el<br />
Prestige.<br />
• De los franceses uno recoge 10 Toneladas/hora y el otro sólo 5<br />
T/h. Cada uno de los holandeses recoge 7 T/h y el barco alemán<br />
13 T/h.<br />
• España, aporta un carguero (que puede transportar hasta 25 T/h)<br />
para llevar el combustible recogido por estos barcos a puerto y<br />
que puedan seguir trabajando sin interrupción.<br />
• Los pescadores de la región se han dado cuenta que si varios de<br />
los barcos van a la vez a descargar el combustible recogido, se<br />
puede superar el limite de absorción del carguero lo que generaría<br />
esperas y retrasos en las labores de limpieza.<br />
• Como no quieren de ninguna manera que estos trabajos se<br />
detengan están dispuestos – mientras el gobierno no aporte mas<br />
medios – a recoger ellos mismos el combustible sobrante, aunque<br />
sea en sus propias barcos.<br />
• Apelando a la solidaridad de todos, solicitan que se les procure el<br />
diseño de una función lógica que avise cuando se vaya a producir<br />
esa situación de atasco y así puedan actuar rápidamente.<br />
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Solución<br />
• Paso 1.<br />
– Asignar las variables lógicas. Denotando, por orden, los barcos como<br />
A, B, C, D y E. Entonces con la variable A representaremos uno de los<br />
barcos franceses, B el segundo barco francés, C un barco holandés, D<br />
el otro barco holandés y E el barco alemán. variables de entrada del<br />
problema son 5. Con cinco variables de entrada se pueden<br />
representar 32 diferentes condiciones. Además aquí asignamos cual<br />
de las variables es la más significativa, para este ejemplo la variable<br />
más significativa es A (la de mayor peso) y la de menor peso es E.<br />
• Paso 2<br />
– Análisis. vemos que si se aproximan A y B descargarían 10+5 = 15T/h<br />
y no hay problema<br />
– Mientras que si lo hacen A, C y E (10 + 7 + 13 = 30T/h) si lo hay pues<br />
se superan las 25T/h de capacidad del carguero.<br />
• Paso 3<br />
– Asignación de estados lógicos a las variables de entrada. Usando las<br />
letras de designación como variables lógicas (A= 1 si el primer barco<br />
se acerca a descargar y A = 0 si no lo hace, lo mismo los demás<br />
barcos) podemos modelar esta actividad con una función lógica que<br />
valga 1 cuando se supere la capacidad del carguero y 0 si no se<br />
supera.<br />
• Paso 4<br />
– En una tabla se muestran todas las posibles opciones que se pueden<br />
presentar en el problema. (yo lo hice en Excel)
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Solución<br />
• En la siguiente tabla se muestran todas las posibles<br />
combinaciones entre barcos que se pueden presentar las<br />
cuales atascarán el cargador, por eso si alguna de éstas se<br />
presenta se debe de encender una alarma.<br />
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Lógico<br />
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Modelo<br />
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Lógico<br />
• El modelo corresponderá a la unión de<br />
todas las posibles combinaciones de<br />
entrada esto es:<br />
F(<br />
A,<br />
B,<br />
C,<br />
D,<br />
E)<br />
= ∑(7,15,19,21,23,25,27,29,30,31)<br />
• El modelo se presenta como la unión de<br />
una cantidad de minterminos.<br />
Ing. José Alberto<br />
Díaz García<br />
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• El modelo nos queda como:<br />
Modelo<br />
F(<br />
A,<br />
B,<br />
C,<br />
D,<br />
E)<br />
=<br />
ABCDE<br />
+<br />
ABCDE<br />
+<br />
ABCDE<br />
+<br />
ABCDE<br />
+<br />
ABCDE<br />
+<br />
ABCDE<br />
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
+ ABCDE +<br />
ABCDE +<br />
ABCDE<br />
ABCDE<br />
• Esta es una función lógica que tomará el valor de 1 una vez que<br />
se presentan las condiciones de entrada que sobrepasarán la<br />
capacidad del carguero.<br />
• La operación de intersección (∩) se presenta con las condiciones<br />
de entrada. Por ejemplo será necesario que no se presente<br />
ningún barco francés pero si los dos holandeses y el alemán para<br />
que el carguero entre en conflicto.<br />
• De igual forma se presenta la unión (∪) cuando para representar<br />
la función de salida se deben unir todas las posibles condiciones<br />
de entrada, en el modelo se representa con un +.<br />
• El operador complemento se presenta cuando en las condiciones<br />
de entrada no se toma en cuenta el barco.<br />
+<br />
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Representación de funciones lógicas<br />
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Página 18<br />
• Los operadores lógicos se pueden implementar utilizando<br />
circuitos electrónicos.<br />
• Los circuitos electrónicos que funcionan como operadores lógicos<br />
se llaman compuertas (gates).<br />
– Para la intersección (∩) se utilizan la compuertas AND.<br />
– Para la unión (∪) se utilizan las compuertas OR<br />
– Para el complemento (˜) se utilizan las compuertas NOT o inversores<br />
• Existen muchas tecnologías de fabricación de estos circuitos<br />
electrónicos entre ellos:<br />
– Estándar TTL<br />
– LS en tecnología TTL<br />
– ALS<br />
– ALVT<br />
– AHC<br />
– LV<br />
– LVC<br />
– ALVC<br />
– LVT<br />
– Etc.
AND<br />
Compuertas para lógica Booleana<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
• La compuerta AND opera como: si cualquiera<br />
de las entradas está apagada la salida se apaga.<br />
• AND es como la intersección<br />
Tabla de<br />
comportamiento<br />
AND 0 1<br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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0 0 0<br />
1 0 1<br />
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OR<br />
Compuertas para lógica Booleana<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
• La compuerta OR opera como: si cualquier<br />
entrada está encendida la salida se<br />
encenderá.<br />
• OR es como la unión<br />
Tabla de<br />
comportameinto<br />
OR 0 1<br />
0 0 1<br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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Díaz García<br />
1 1 1<br />
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Compuertas para lógica Booleana<br />
NOT (inversor)<br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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Díaz García<br />
• Una compuerta NOT opera: si la entrada está<br />
encendida, la salida se apaga, y viceversa.<br />
• NOT es lo opuesto a la entrada, es el<br />
complemento<br />
Tabla de<br />
comportamiento<br />
NOT 0 1<br />
1 0<br />
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NOR<br />
Compuertas para lógica Booleana<br />
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
Página 22<br />
• La compuerta NOR es una combinación de las compuertas<br />
OR y NOT y no debe presentarse como una compuerta<br />
primaria. La compuerta NOR opera como: si cualquiera de<br />
las entradas esta encendida, la salida se apaga.<br />
Tabla de verdad<br />
NOR 0 1<br />
0 1 0<br />
1 0 0<br />
Primero realiza<br />
la operación OR,<br />
luego realiza la<br />
operación NOT.
Compuertas básicas<br />
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Otras compuertas<br />
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
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Más sobre<br />
compuertas<br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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Estándar par dibujar<br />
compuertas<br />
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
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Ejemplos<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
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Lógico<br />
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Díaz García<br />
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Ejemplo<br />
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Lógico<br />
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Circuitos electrónicos<br />
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Lógico<br />
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<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
Representación de variables<br />
• También es necesario representar las variables de entrada<br />
mediante electrónica.<br />
• El estado de los interruptores definen los estados lógicos de las<br />
variables A y B.<br />
DC<br />
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Lógico<br />
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Representación de las funciones de salida<br />
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Lógico<br />
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Página 31<br />
• Para representar los<br />
estados lógicos de las<br />
funciones de salida se<br />
utilizan LEDS o<br />
pantallas luminosas<br />
ya sean de siete<br />
segmentos o<br />
alfanuméricas.<br />
• En el caso de LED<br />
debemos saber si la<br />
función será activa en<br />
nivel alto o nivel bajo.
Representación de funciones lógicas<br />
Vcc<br />
Vcc<br />
Vcc<br />
B B<br />
Vcc<br />
D D<br />
Vcc<br />
A A<br />
C C<br />
E E<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
Vcc<br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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Página 32
Conclusiones<br />
• El circuito es muy complejo, porque tiene<br />
una gran diversidad de circuitos integrados:<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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Cantidad<br />
5<br />
10<br />
2<br />
1<br />
Tipo<br />
inversores<br />
Compuertas<br />
AND de 5<br />
entradas<br />
Compuertas OR<br />
de 5 entradas<br />
Compuerta OR<br />
de 2 entradas<br />
Circuito<br />
integrado<br />
7404<br />
AND5<br />
100301<br />
7432<br />
Cantidad<br />
1<br />
10<br />
1<br />
1<br />
Página 33
Más conclusiones<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
EL - 3307<br />
Diseño<br />
Lógico<br />
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Díaz García<br />
• La diversidad de CI nos eleva el<br />
costo del circuito.<br />
• Tenemos un problema de área en el<br />
circuito impreso, son muchos los<br />
componentes.<br />
• Tenemos un problema de potencia,<br />
son muchos los circuitos integrados<br />
y estos consumen potencia.<br />
• Es necesario aprender a simplificar.<br />
Página 34
Simplificación de circuitos<br />
<strong>Sistema</strong> <strong>Binario</strong><br />
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Diseño<br />
Lógico<br />
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Díaz García<br />
Página 35<br />
• Como los circuitos lógicos son<br />
representaciones de funciones<br />
lógicas se pueden utilizar los<br />
recursos disponibles para simplificar<br />
las funciones lógicas, estas son:<br />
– Diagramas de Venn<br />
– Algebra de Boole<br />
– Mapas de Karnaugh<br />
– Quine McCluskey