MATERIAL CESAR VALLEJO 01

Preguntas
Propuestas
1

Aritmética
. . .
Teoría de conjuntos
1. Dados los conjuntos
A={8; 9; 14; 2; 6; 16; 20; 5; 4; 37}
⎧⎛
2x
+ 1⎞
+ ⎫
B = ⎨⎩
x
⎝
⎜
⎠
⎟ ∈ Z < 15 ⎬⎭
3
D={x 2 +1/–1 ≤ x ≤ 6 ∧ x ∈ Z}
calcule la suma de los elementos del conjunto
{[(A ∆ B) ∩ D] ∪ (A ∩ D)}.
A) 40 B) 55 C) 70
D) 64 E) 37
2. Sea A={1; 2; 3}. Determine el valor de verdad
(V) o falsedad (F) de las siguientes expresiones.
I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A: x 2 < y+1
II. ∀ x ∈ A; ∃ y ∈ A / x 2 +y 2 < 12
III. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A; ∃ z ∈ A / x 2 +y 2

Aritmética
7. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son
correctos?
• Si A ⊂ U y B ⊂ U, entonces A ∆ B ∈ P(A).
• Si A ∆ B=B ∩ A C , entonces A ⊂ B.
• Sean A, B ⊂ U. Si B ∈ P(A) y A ∈ P(B), entonces
A=B.
• Si C=(A\ B) ∪ B, entonces
[(B\ A) ∪ C] ∪ A=A ∪ B
• Si A ∩ B C =φ, entonces (A ∆ B)\B=A.
A) 3 B) 4 C) 2
D) 5 E) 1
8. En un aula de 78 estudiantes se tomó cuatro
exámenes: Aritmética, Geometría, Química y
Letras.
• Tres no aprobaron ningún examen.
• Todos los que aprobaron Letras aprobaron
Aritmética.
• Ninguno que aprobó Letras aprobó Geometría.
• Todos los que aprobaron Química aprobaron
Geometría, pero no Aritmética.
• Diez aprobaron Geometría y Aritmética.
• Los que aprobaron Aritmética, pero no
Geometría son tres quintos de los que aprobaron
solo Geometría.
¿Cuántos aprobaron Química, pero no Aritmética
si esta cantidad se divide exactamente entre
siete?
A) 35 B) 30 C) 49
D) 7 E) 28
Teoría de numeración
9. Si la cantidad de numerales de la siguiente for-
⎛
ma abc a ⎞
⎝
⎜
b⎠
⎟ ( a + b ) d es xyz, calcule la cantidad
de sistemas de numeración en los que
( 9)
xyz
se pueda expresar con cuatro cifras.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
10. Se sabe que
cn(n+1)=amcm n =aa0d (n+1)
Además, el menor numeral capicúa de
cuatro cifras en base n se escribe en base
decimal como ebb; b y d son pares. Calcule
a+b+c+d+m+n.
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
11. En cierta base b un número N tiene la forma
de 11111 b , en la base b –1 dicho número tiene
la forma 15ABC (b –1) , donde las tres letras son
dígitos. Entonces el valor de b es
A) 6
B) 8
C) 10
D) 11
E) mayor que 11
12. Si
(a –1)(a –1)(a –1)(a –1)(a –1) a =bbb(a –1)
UNI 2001 - I
y cccccc (c+1) =(m –1)(m –1)(m –1) m =eddcc,
además abc n =(a+d)(a+b) m , calcule n.
A) 8 B) 7 C) 9
D) 11 E) 6
13. Si a00a 8 =b0(b – 2)(b –1) 5
ac = aa( d+
1) dab
y d > 0
ac
mn ac
numerales
ac( a+
b)
calcule la suma de valores de mn.
A) 161
B) 172
C) 176
D) 181
E) 186
3

Aritmética
. . .
14. Si ab(a+1)b5 (a+b) =(a –1)01(b+1)8 9
( )( )( ) =
mn pq rt K
2 abbaaaK
además mn+rt=pq –1
calcule m×n+p×q+r×t.
A) 12 B) 15 C) 17
D) 19 E) 21
15. Si se cumple que
( )( ) +
2
a−4 n ( 3a 1) 12 = ( n−3) ( c+
1) ( d+
2) e( n+
3)
1112
9 numerales 12
n
además pqpqpq K =(a+2)1(e+1)(d – 2)
calcule p+q+K.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
( )( )( ) ( ) = ( )( )( )
( )
16. Si ab
ab ... ab c0 c0 c0
... c
64 0
16 ,
20 cifras
30 cifras
¿cuántos numerales impares se pueden expresar
con a y b+c cifras en el sistema cuaternario
y quinario?
A) 61 B) 60 C) 58
D) 29 E) 30
Sucesiones
17. Sea la sucesión definida por a n , tal que
a 4 =15; a (n+1) =2a n +1
Calcule el valor de a 10 .
A) 1024 B) 256 C) 2048
D) 1023 E) 4096
18. Calcule el valor de la expresión
N = 89 + 889 + 8889 + ... + 88 ...
8 9
K cifras
A) 9 K − 1
− 8 K − 9
8
B) 9 K + 1
− 8 K+
8
8
C) 9 K + 1
− 8 K + 9
8
D) 9 K + 1
− 8 K − 9
8
E) 9 K + 1
− 8 K − 8
8
19. En una sucesión lineal se cumple que la suma
de los términos de lugares 15; 25 y 35 es 16 875
y la suma de los términos comprendidos entre
el término de lugar 9 y término 51 es 266 500.
Calcule el término cuyo lugar es de 3 cifras si
la suma de cifras equidistantes de los extremos
es una vez más la cifra central del mismo,
además este es el menor posible e indique la
suma de cifras de su resultado.
A) 17 B) 18 C) 19
D) 25 E) 21
20. Calcule el número de términos de la siguiente
sucesión.
a71ba; a68ba; a65ba; ...; (a –1)93ba
A) 24 B) 25 C) 26
D) 27 E) 28
21. Determine a si en la siguiente P. A. hay un total
de 9 términos.
an m ; ...; mn 7 ; p0 7 ; pm 7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
22. La siguiente sucesión lineal tiene 36 términos.
a5 K ; a7 K ; b1 K ; ...; 1ba K
A) 4402 K B) 4400 K C) 2304 K
D) 2300 K E) 3400 K
23. En la siguiente sucesión de segundo orden
123 n ; 136 n ; 152 n ; 170 n ; ...
determine el término de lugar 25.
A) 1840 B) 1322 C) 1021
D) 942 E) 824
4

Aritmética
24. La suma de los n términos de una sucesión
está dada por
n
S = [ n − n+
]
6 2 2
3 19
Determine la suma de los términos que ocupan
el lugar 11 y lugar 15.
A) 340
B) 302
C) 360
D) 312
E) 384
Operaciones fundamentales en Z +
25. Se cumple que ab7 9 +bcc 9 +aa3 9 =dc3a 9 .
Calcule el valor de a×b+c×d.
A) 22 B) 14 C) 23
D) 13 E) 20
26. Obtenga la suma de los n primeros números
naturales que tengan todas sus cifras iguales
a 7, más la suma de los n primeros números
naturales que tengan todas sus cifras iguales a 1.
( )
A) 8 n
10 + 1
−9n
−10
9
( )
B) 8 n
10 + 1
−9n
−10
81
( )
C) 8 n
10 + 1 n
−10 −9
81
( )
D) 8 81 10 n + 1
− 9 n
( )
E) 8 81 10 n + 1
− 9 n − 9
27. Se cumple que
UNI 2007 - I
abcd n – cdcb n =c(c – 2)(b+1)b n
Además a×b×c=1d0 n . Calcule n+b+c+a.
A) 30 B) 25 C) 24
D) 26 E) 23
28. Calcule la suma de todos los complementos
aritméticos de los numerales de dos cifras impares
y diferentes entre sí de la base n (n es
par y mayor que 3).
A) n 2
( n −1) ( n − 2)
2
B) n 2
( n −1)
8
C) n 2
( n −1) ( n − 2)
4
D) nn ( − 1) ( n + 2)
8
E) n 2
( n − 2) ( n −1)
8
29. Al multiplicar un numeral impar de dos cifras
por un numeral par también de dos cifras,
se obtiene un producto cuya suma de cifras
es 21. Pero si al numeral impar se le sumaran 5
unidades y al otro se le duplicara, el producto
aumentaría en 3906. Calcule la suma de los
numerales de 2 cifras iniciales.
A) 121
B) 129
C) 125
D) 107
E) 103
30. Al multiplicar ab5 7 por ca 7 se obtiene como
suma de los productos parciales ccc3 7 . Calcule
la suma de cifras del producto final que está
expresado en base 7.
A) 30
B) 24
C) 18
D) 27
E) 21
5

Aritmética
. . .
31. Al dividir ab59 entre 92, el residuo que se obtiene
es el C.A. del cociente. ¿Por cuánto, como
mínimo, debemos multiplicar al dividendo
para que al realizar la división se obtenga un
residuo máximo?
A) 7
B) 9
C) 5
D) 11
E) 13
32. En una división inexacta, al residuo le faltan 10
unidades para ser máximo; pero si se triplica al
dividendo y se realiza nuevamente la división,
el cociente aumenta en 51 unidades y se
obtiene un residuo distinto de cero. Calcule
la suma del menor y mayor valor que puede
tomar el dividendo.
A) 1275
B) 1257
C) 1252
D) 1226
E) 1246
Teoría de divisibilidad
º
33. Si abcd = 19+
8, tal que cd=2 · ab, halle cuántos
términos de la siguiente progresión aritmética.
( a+
b); ab; ba; ...
50 términos
dejan como residuo 5 cuando se dividen entre 7.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
34. El producto de tres pares consecutivos termina
en cifra 8; además, al dividirlo entre 17 y 19 se
obtiene 9 y 10 de residuo, respectivamente.
Calcule la suma de dichos números si estos
son los menores posibles.
A) 72 B) 102 C) 78
D) 48 E) 42
35. Roberto puede comprar n polos con S/.145 a
S/.17 cada uno y m bividís, a S/.7 cada uno. Con
S/.(n –1)(m – n)0, ¿cuántos libros de Aritmética
y Álgebra se pueden comprar, como máximo,
si el costo unitario es de 13 y 17 soles, respectivamente,
y se debe usar todo el dinero exactamente?
A) 26
B) 27
C) 22
D) 23
E) 24
36. Si entre 35a y b7c hay 88 números que son
divisibles entre 7, calcule la cantidad de
números múltiplos de 3 o 4, pero no múltiplos
de 9 que hay entre los primeros abc
números, además, a+c=2b –1 y a < c.
A) 320
B) 299
C) 450
D) 350
E) 220
37. Si la suma de todos los números de tres cifras
que terminan en tres que son
º
13 − 1 es abcd,
calcule b+c.
A) 10 B) 9 C) 7
D) 5 E) 8
38. Al dividir A y B entre 11 se obtienen residuos
impares, y cuando dividimos A×B 2 entre 11,
el residuo obtenido es 4; además, al producto
A 2 ×B le faltan tres unidades para ser divisible
entre 11. ¿En qué cifra termina 2A+3B al expresarlo
en el sistema undecimal?
A) 6 B) 5 C) 4
D) 9 E) 8
6

Aritmética
39. En la presentación de un libro de Aritmética se
observó que la séptima parte de los asistentes
varones usaba anteojos y los 3/4 de estos tenían
reloj; la octava parte de las mujeres usaba falda
y la décima parte tenía el cabello corto. Si la
cantidad total de asistentes es un número capicúa
de tres cifras mayor de 300 y cuya suma
de sus cifras es 13, calcule la mínima diferencia
entre los asistentes varones y mujeres.
A) 36 B) 64 C) 72
D) 56 E) 28
40. Consideramos la siguiente expresión.
E(n)=n 2 +(n+1) 2 +(n+2) 2 +...+(n+9) 2 ; n ∈ N
Entonces podemos decir que E( n)= 7 º si
A) no existe n ∈ N/E( n)= 7 º
B) n ∈ {7r – 5/r ∈ N} ∪ {7t – 4/t ∈ R}
C) n ∈ {7t – 2/t ∈ N} ∪ {7s –1/s ∈ N}
D) n ∈ {7r – 3/r ∈ N} ∪ {7r – 4/r ∈ N}
E) n ∈ {7t – 6/t ∈ N} ∪ {7r – 3/r ∈ N}
UNI 2008 - II
Claves
01 - B
06 - C
11 - E
16 - E
21 - A
26 - B
31 - B
36 - D
02 - C
07 - A
12 - A
17 - D
22 - B
27 - B
32 - C
37 - B
03 - C
08 - C
13 - D
18 - D
23 - D
28 - E
33 - C
38 - B
04 - D
09 - A
14 - C
19 - D
24 - B
29 - C
34 - A
39 - D
05 - E
10 - C
15 - B
20 - D
25 - B
30 - C
35 - A
40 - E
7

Álgebra
. . .
1. Dado el complejo
3
Números complejos I
6
3
z= −2 −2 i 1− 2⋅ i ; i = −1
halle el módulo de z.
A) 2 B) 2
6
C) 2
3
D) 2
12
E) 2
2. Se define la expresión f como
⎛1+
i⎞
⎛1−
i⎞
f( n)=
⎝
⎜
⎠
⎟ +
⎝
⎜
⎠
⎟
2 2
n
Determine f fn
( + 4 )
.
( n)
n
5
, n ∈N.
A) 1 B) 2 C) – 1
D) 0 E) 2
3. Dado el número complejo
z=x+yi; x < 0 ∧ y ∈R – {0}
de modo que
(
7
Re (
6
z)− Re( z)
)+ Im ( z)+ Im( z)
i
( )
321x+
11yi
indique z*.
( ) =
A) – 2+2i B) 2 – 2i C) 1+i
D) 2+i E) 1– i
4. Si z ∈ C, de modo que
z 2 +|z| 2 =12i+8
indique el complejo z.
A) 2+3i B) 2 – 3i C) 3+2i
D) 3 – 2i E) 3+3i
5. Si z es un número complejo que verifica
( )
z = mi+ 31+ ( iz) ⋅ z
halle el valor de m; (m ∈R).
A) 3 B) 9 C) 27
D) 81 E) 243
6. Sabiendo que Re(z 1 · z 2 )=– 1, determine el valor
de k+i.
( )
k= z1 · z2 + z1·
z2
i
A) 5 B) 3 C) 2
D) 2 E) 1
7. Halle el modulo del complejo w.
( ) +
2 3
3 + i ( 1 i)
w = ·
i
5
( 1+
3i)
1
A)
B) 8 C)
6
D) 13 E)
1
8
1
2
8. De las siguientes afirmaciones señale verdadero
(V) o falso (F) según corresponda y de
cómo respuesta la secuencia correcta.
I. |z|=|z * |, ∀ z ∈ C
II. |z+w| 2 – |z – w| 2 =4Re(zw), ∀ z, w ∈ C
III. Si |z|>1; |w| 1.
1−
zw
A) VVF B) FVF C) VFF
D) VFV E) VVV
9. Calcule el área de la región que genera todos
los complejos z que satisfacen la desigualdad
3 ≤ |z – 1+i| ≤ 6
A) 9p u 2 B) 27p u 2 C) 36p u 2
D) 20p u 2 E) 3p u 2
10. Sea el conjunto A={z+3i / z ∈ C ∧ |(z)*+2+i|=2}
si w=x+yi ∈ A, señale la alternativa correcta.
A) (x+1) 2 +( y – 2) 2 =2 2
B) (x+1) 2 +( y+2) 2 ≥ 2 2
C) (x – 1) 2 +( y+2) 2 =3 2
D) (x – 2) 2 +( y – 2) 2 =2 2
E) (2– x) 2 –(2– y) 2 =2 2
2

Álgebra
Números complejos II
11. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda
con respecto al número complejo.
⎛ π π⎞
z=− 2 + i
⎝
⎜cos
sen
⎠
⎟
3 3
I. Su módulo es – 2.
II. Su argumento principal es ≠ 3 .
4π
III. Su forma exponencial es z= 2e 3
i
IV. El afijo se ubica en el tercer cuadrante.
A) FFFV B) FFVV C) FVFV
D) VVFF E) VVVF
12. Determine el argumento del complejo w.
5
( 3 + i)
w =
3
( 1+
i)
A) 5 ≠
12
D) 5 ≠
2
B) ≠
12
C) 2 ≠
3
E) ≠ 6
13. Los complejos v, z, w son tales que
⎛
• z = −
⎝
⎜
z
• v =
w
2
2
; −
• Arg(w)=30º
2
2
⎞
⎠
⎟
Determine el valor de Arg(v)
A) 165º B) 175º C) 180º
D) 195º E) 205º
14. Determine el valor reducido del complejo z.
cis( −850º )· cis( −1230º
)
z =
c is ( −860º )·cis( −1250º
)
A) cis60º B) cis30º C) cis20º
D) – 1 E) – 2
15. Halle la forma binómica del complejo z.
[ ]
3 2
( cos 17º + isen 17º ) · 2( sen 62º + icos 62º
)
z =
11
( sen 83º + i cos 83º
)
A) 3 − i B) 3 + i C) 1+ 3i
D) 1− 3i E)
16. Halle el valor reducido de A.
5
cos5x−
cos x
A =
2 2 2
cosxsen x sen x−
2cos
x
( )
sug. utilice el teorema de Moivre.
A) 3 B) 1 C) 5
D) 10 E) 2
3
2
1
+ i
2
17. Siendo z un número complejo cuyo argumento
principal es ϕ, tal que
2
⎛ z ⎞ z
⎝
⎜
z ⎠
⎟ + ⎛ 2
⎝ ⎜
⎞
z ⎠
⎟ = 1
⎛ π π ⎞
Dé como respuesta el valor de ϕ. ϕ ∈< >
⎝
⎜ ;
⎠
⎟.
16 10
A) 13º B) 15º C) 75º
D) 78º E) 82º
18. Dadas las siguientes proposiciones:
I. Las raíces de e in – 1=0, pertenecen a un
polígono regular de n lados ∀ n ∈ R.
II. Si e iq π 3π
=a+bi y θ ∈ ; ,entonces
4 4
a ∈ − 2
2
2
; y b ∈ 2
2
2
; 1
III. Dados a, b ∈ 〈0; 2p〉, tal que b>a, si cosa=cosb,
entonces e i(a+b) =1.
Indique cuáles son correctas.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) II y III
UNI 2010 - I
3

Álgebra
. . .
19. Simplifique
2 3 4
S = 1+ 2w+ 3w+ 4
w + 5w
+ ...
2013 sumandos
donde w es la raíz cúbica de 1, tal que w≠1.
A) 2013 w − 1
D) − 2012
w −1
B) 2012 w −1
C) 2013
1− w
E)
−1
w −1
20. Si z≠±1, es una raíz n-esima de la unidad,
calcule el valor de la siguiente suma.
w=z+z 3 +z 5 +...+z 2n – 1
A) 3 B) 1 C) 0
D) z – 1 E) 2
Ecuaciones polinomiales I
21. Dado el polinomio P (x) =ax 4 +bx 3 +cx 2 +3x – 18
tal que P (– 1) =0 y el conjunto solución de la
ecuación P (x) =0 tiene la forma {a; 3; 3; b},
además a ≠ b ≠ 3, indique el valor numérico
de abc.
A) 91 B) 13 C) 101
D) – 91 E) – 13
2
22. Si la ecuación x − 3x+ 1=
0
tiene CS={a; b}, halle el valor de
(1+a+a 2 +...+a 8 )(1+b+b 2 +...+b 8 )
A) 2− 3 B) 22−
3
( ) C) 2( 2+
3)
D) 2+ 3
E) 2
23. Si las raíces de la ecuación
(2n 2 – 3n – 2)x 2 – 2009x+(6n – 2)=0
son recíprocas, según ello, señale la posible
relación correcta respecto a la ecuación.
(n 5 – 32)x 2 +(2n – 9)x=2009
A) La ecuación es lineal.
B) Tiene dos raíces positivas.
C) Es una ecuación de raíces simétricas.
D) La suma de raíces es – 1.
E) El producto de raíces es – 2009.
24. Si (p+q) y (p – q) son las raíces de la ecuación
x 2 +bx+c=0, halle un polinomio de segundo
grado en x cuyas raíces sean ( p+2q) y (p – 2q)
A) 3x 2 +2bx+c
B) x 2 – 2bx+3c
C) 5x 2 +3bx+c
D) 4x 2 +4bx+16c – 3b 2
E) 2x 2 – 4xc+b
25. Si las ecuaciones cuadráticas
ax 2 +bx=5
2bx 2 +(3a+b)x=15
son equivalentes, según ello, calcule un valor
de a b .
A) 16 B) 4 C) 8
D) 9 E) 25
26. Dada la ecuación polinomial
x 4 – 7x 3 +ax 2 +bx+c=0
cuyo conjunto solución tiene la forma {2; 2; 2; a}
a≠2.
Indique el valor de a+b+c.
A) 0 B) – 18 C) 6
D) 28 E) – 6
27. Si las raíces de la cuadrática
ax 2 – ax+8=0; a≠0
son x 1 y x 2 , indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
I. Si a 2 > 32a → x 1 ≠x 2
II. Si a 2 > 32a → {x 1 ; x 2 } ⊂ R
III. Si a 2 =32a → x 1 =x 2
A) VVV B) VVF C) FFV
D) VFF E) FVV
4

Álgebra
28. Si x 1 , x 2 y x 3 son las raíces de la ecuación
3x 2 +x+1=4x 3 , determine el valor de
( )
1 1 1
2
1 2
+
( )
+
( )
2
1 3
xx xx xx
2
2 3
A) 19 B) 10 C) – 7
D) 17 E) 13
29. Si una raíz de la ecuación de coeficientes
racionales:
2x 3 – 2x 2 – nx+n –1=0 es
1 1 1
α= + +
1 + 3 3 + 5 5 + 7 ,
entonces, ¿cuál es el valor de n?
A) –1/7 B) 8 C) 1/8
D) –1/2 E) 7
30. Dado el polinomio
f (x –1) =2(x+4)(2x+1)(3x –1)+1
determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
I. La suma de raíces de la ecuación en x:
f (x) =0 es − 43
12 .
II. El producto de raíces de la ecuación en x:
f (2x –1) =0 es 5/96.
III. El número de raíces de f 2 (f 3 (x)) es 54.
A) VFF B) VVF C) FVF
D) FFV E) FVV
Ecuaciones polinomiales II
31. Determine la ecuación polinomial mónica de
menor grado posible y de coeficientes racionales
que acepte como una raíz al número
irracional
2+ 3; luego indique el valor de verdad de
las siguientes proposiciones.
I. El producto de todas sus raíces es igual a la
unidad.
II. La suma de sus raíces es 0.
III. La suma de sus productos binarios es 10.
IV. Es una ecuación bicuadrada.
A) FVVF
B) FVFV
C) VVFF
D) FVVV
E) VVFV
32. Se sabe que una raíz de la ecuación
16x 4 +mx 3 +nx 2 +9=0; {m, n} ⊂ Z
es
2 + i . Determine el valor de m+n.
2
A) 16 B) – 10 C) – 8
D) – 6 E) – 17
33. Si una raíz de la ecuación de coeficientes
racionales:
2x 3 – 2x 2 – nx+n –1=0 es
1
α= +
1 + 3
1
+
3 + 5
1
5 + 7 ,
entonces, ¿cuál es el valor de n?
A) – 1/7 B) 8 C) 1/8
D) – 1/2 E) 7
34. Dados los polinomios definidos en Q
f (x) =x 5 +4x 4 +4x 3 – x 2 – 18x+m
g (x) =x 4 +6x 3 +5x 2 +nx – 4
Si el MCD(f, g) acepta como raíz al número
− 1+
5, entonces, ¿cuál es el valor de mn?
A) – 38 B) – 40 C) – 48
D) – 52 E) – 56
5

Álgebra
35. Si x 1 , x 2 , x 3 y x 4 son las raíces de la ecuación
bicuadrada ax 4 +48x 2 +b=0 tal que
(x 1 x 2 ) – 1 +(x 3 x 4 ) – 1 =12, entonces, ¿cuál es el
valor de b? (x 3 +x 4 =0)
A) 1/2 B) 0 C) – 1
D) 1 E) 4
36. Determine los valores de a para que la siguiente
ecuación bicuadrada tenga raíces reales.
x 4 +(a+2)x 2 +a+4=0
A) [– 4; – 1] B) [– 4; – 2] C) [– 4; +∞〉
D) ⎡⎣ −4; − 12⎤ ⎦
E) 〈– ∞; – 2]
37. De la ecuación polinomial
1
4
x x mn m n
m 2
+ 2 + + + ( m−
3) x + x + 1=
0
donde n ∈ Z, de raíces: x 1 , x 2 , x 3 y x 4 ,
determine el valor de
3
( 2k+
1) ( 2k+
1) ( 2k+
1) ( 2k+
1)
∑ ( x1
+ x2
+ x3
+ x4
).
k=
0
A) 2 B) – 1 C) 1
D) 0 E) – 2
38. Se muestra la gráfica del polinomio
f (x) =ax 5 +bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex+f
Y
27
39. Si el conjunto solución de la ecuación
1 1 1
+
1
x x( x+
1) + ( x+
1) ( x + 2) =
es de la forma CS={x 1 ; x 2 }, entonces, halle el
valor de x 1 2 +x 2 2 .
A) 4 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
40. Indique el número de soluciones reales de la
siguiente ecuación.
x
x
5
3
−1
2
x 1 x x 1
− 1
= − − ; ≠
A) 6 B) 5 C) 3
D) 1 E) 0
41. Dados los conjuntos
Desigualdades
A={(2x) ∈R / (3x –1) ∉〈5;+∞〉}
B={(x 2 +1) ∈R / (2x+1) ∉〈– 5; 3〉}
halle el cardinal de C donde
C={x ∈Z / x ∈(A ∩ B)}.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
42. Sean los conjuntos
A={x ∈R / x 0}
B={x ∈Z / (x 2 /16) ∈A}.
Halle el cardinal de B.
. . .
– 1 1
3
X
A) 3 B) 4 C) 6
D) 10 E) 15
determine el valor de f⎛
1
⎝
⎜
2
⎞
⎠
⎟
÷ 27.
43. Determine el máximo valor de M.
M=3x – x 2 +1/2; x ∈R
A) 1/16 B) 5/16 C) 25/32
D) 16/25 E) 5/32
A) 11/4 B) 4 C) 3/2
D) 1/2 E) 4/3
6

Álgebra
44. Si x ∈ [– 5; 3〉 ∧ y ∈[0; 7]
halle la variación de f.
f (x; y) =x 2 +4y 2 +4xy – 2
A) [0; 23〉 B) [0; 23] C) 〈23; 287]
D) [0; 287〉 E) [– 2; 287〉
45. Sean a; b; c ∈R + de modo que
a+9b=1 ∧ c=16ab
indique lo correcto.
A) 1< c < 2 B) 0 < c ≤ 4/9
C) 1/10 < c 9.
A) 23 B) 25 C) 27
D) 31 E) 29
47. Sean a; b; c números reales positivos de modo
que
a+ b b+ c c+
a
+ + ≥ n
c a b
determine la proposición correcta.
A) El máximo valor de n es 8.
B) El máximo valor de n es 6.
C) El mínimo valor de n es 8.
D) El mínimo valor de n es 6.
E) El máximo valor de n es 9.
48. Indique el valor de verdad en las siguientes
proposiciones.
• x 3 >1 → x 3 ≥ 1
• x 4 >1 → x > –1
• x > –1 → x 4 > 1
• x > 2 → x ≥ 0
A) FFFV B) FVFF C) VFFV
D) FFVF E) VFFF
49. Señale la afirmación correcta respecto al polinomio
f (x) =(x 2 +x+1) 2 +8.
A) El mínimo valor es 8.
B) El supremo es 8.
C) El ínfimo es 9/16.
D) El máximo es 8.
E) 137/16 es el mínimo.
50. Sean a, b, x e y números reales tales que
a 2 +b 2 ≤ 1 y x 2 +y 2 ≤ 2
Halle el mínimo valor de M – m si se sabe que
m ≤ ax+by ≤ M.
A) 2 B) 2 C) 0
D) 2 2 E) 4
Claves
01 - B
08 - E
15 - B
22 - C
29 - E
36 - D
43 - A
50 - D
02 - C
09 - B
16 - C
23 - C
30 - D
37 - D
44 - E
03 - B
10 - D
17 - B
24 - D
31 - C
38 - C
45 - B
04 - A
11 - A
18 - C
25 - C
32 - C
39 - B
46 - E
05 - C
12 - B
19 - A
26 - C
33 - E
40 - E
47 - B
06 - E
13 - D
20 - C
27 - C
34 - E
41 - C
48 - C
07 - C
14 - D
21 - D
28 - D
35 - E
42 - C
49 - E
7

Geometría
Triángulos
1. Según el gráfico, calcule x.
A) 30º ω 2ω
B) 45º
C) 37º
D) 60º
E) 30º
α
2α
2. Indique verdadero (V) o falso (F) en los siguientes
enunciados y elija la secuencia correcta.
I. Todo triángulo presenta bisectriz exterior.
II. Si en un triángulo, una bisectriz interior y
una mediana son perpendiculares, entonces,
la longitud de 2 de sus lados están en la
razón de 2 a 1.
III. Si en un triángulo isósceles, los lados laterales
son mayores en longitud que la base, entonces
el máximo valor entero de uno de los
ángulos congruentes es 59º.
A) FFF B) FFV C) FVF
D) VFF E) VVV
3. En el gráfico mostrado,
calcule a+b+q+ω.
α
ω
a
b
β
θ
β
θ
β
θ
x
4. En un triángulo ABC se traza las cevianas AQ y
BD, las cuales se intersecan en P.
Si AP=AD=QC y BD=DC, calcule la diferencia
del máximo y del mínimo valor entero que
puede tomar la medida del ángulo C.
A) 8º B) 18º C) 7º
D) 9º E) 12º
5. En un triángulo ABC, se traza la altura BH, y
las cevianas interiores AS y AR, que trisecan
al ángulo BAC; además, en el triángulo HBC
se traza la bisectriz interior BI, tal que esta
interseca a AR en T. Si BT=BR, calcule
mBAC
mHBC .
A) 9/2 B) 9/4 C) 7/2
D) 8/3 E) 9/8
6. En el gráfico mostrado,
calcule x, si AQ=BC.
A) 2a
B) a
C) 15º
D) 30º
E) 3a
A
7. Del gráfico, calcule x.
x
Q
B
30º+α 90º – α
P
2α
C
. . .
a
40º
b
a
a
α
α
x
b b c
c
d
θ
θ
d
A) 100º B) 120º C) 130º
D) 140º E) 160º
A) 60º B) 120º C) 105º
D) 90º E) 115º
2

Geometría
8. Según el gráfico, ABC es equilátero y
BM=BN, calcule el mínimo valor entero para
la m BAM.
A
A) 30º B) 45º C) 31º
D) 37º E) 29º
B
M
D
N
Congruencia de triángulos
9. Según el gráfico, AD=MN y AM=6, calcule AN.
3x
D
C
A) 15º B) 20º C) 23º
D) 30º E) 45º
11. En un triángulo ABC se trazan las alturas BQ
y AR, las cuales se intersecan en P. Si AC=6
y mABC=45º, calcule la distancia entre los
puntos medios de AB y PC.
A) 2 B) 3 C) 2 2
D) 3 2 E) 7
12. En un triángulo ABC, obtuso en B, se traza la
ceviana BQ, tal que AB=QC. Las mediatrices
de BQ y AC se intersecan en P. Si mPCA=q,
calcule
la
medida del menor ángulo formado
por AB y CP.
A) 90 – q B) 2q C) q
D) 3q E) 180 – q
13. Si AB=BC, AP=2 y QC=1
calcule PQ.
B
60º
A
2x
M
8x
2x
A) 14 B) 8 C) 12
D) 10 E) 6
10. Según el gráfico, AB=PQ. Calcule x.
N
A
30º
P
Q
30º
A) 3 B) 3 C) 2 3
D) 6 E) 1,50
14. En el gráfico mostrado, calcule x
si PC=AB.
B
x
θ
C
A
x
P
α
60º
B
α
Q
90º+θ
2θ
A P C
A) 30º B) 40º C) 50º
D) 60º E) 70º
3

Geometría
15. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en
B. Se ubica un punto P exterior y relativo a AC,
tal que
6mACB=6mACP=3mAPB=2mPBC
Calcule la medida del ángulo ACB.
A) 10º B) 15º C) 16º
D) 18º E) 22º30'
16. En el gráfico mostrado, BM=MC, AB=2,
AC=8 y MT= 17.
Calcule x.
B
θ
M
x
I. Si un trapecio presenta un ángulo recto, entonces
es un trapecio rectángulo.
II. Si un cuadrilátero presenta 3 lados de igual
longitud y, además, sus diagonales son congruentes,
entonces es un cuadrado.
III. Un trapecio puede presentar simetría axial.
IV. Si dos trapecios isósceles presentan diagonales
de igual longitud, entonces, dichos
trapecios son congruentes.
A) VFFF B) VFVF C) VFFV
D) VVFV E) VFVV
19. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD,
mBAD=mABC=90º;
A
C
mCBD = 53 2º , además, la mediatriz de CD
contiene al vértice A. Calcule mBDC.
T
A) 67 º
2
B) 77 º
2
C) 87 º
2
A) q –14º
B) q – 28º
C) q – 76º
D) q – 38º
E) q – 24º
Cuadriláteros
D) 97 º
2
E) 107 º
2
20. En un trapecio ABCD, BC // AD AC=5, BD=13 y
la mBAC=45º. Si la longitud de la base media
es 6, calcule la distancia entre los puntos medios
de las diagonales.
. . .
17. En un cuadrilátero convexo ABCD, se ubican P
y Q puntos medios de BC y AD. Si PQ interseca
perpendicularmente a AB , AB=5 y CD=13,
calcule PQ.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
18. Indique verdadero (V) o falso (F) en los siguientes
enunciados y elija la secuencia correcta.
A) 1 B) 0,5 C) 1,5
D) 2 E) 2,5
21. En un romboide ABCD, AB=5, BC=10. Interiormente
se ubica el punto E, de modo que
ED=DC, mBCD=53º y mEDC=90º. Calcule
la mBAE.
A) 37º B) 15º C) 53º/2
D) 37º/2 E) 30º
4

Geometría
22. Del gráfico que se muestra, ABCD y PQRD son
cuadrados. Si NP=TQ y MP=2, calcule QL.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
B
N
A
M
P
Q
D
C
143º/2
T
23. Según el gráfico, O es el centro del cuadrado
ABCD, además, BM=2(ME) y AM=EL. Calcule
x.
A) 51º
B) 53º
C) 56º
D) 59º
E) 63º
B
M
E
O
Q
R
C
A L D
24. En el gráfico ABCD es un romboide, DM=MC
MN=2(NR) calcule el valor de q.
R
θ
x
L
Circunferencia
25. De las siguientes proposiciones, indique cuáles
son verdaderas.
I. Si un diámetro biseca a una cuerda, entonces
el diámetro es perpendicular a la cuerda.
II. Todos los ángulos inscritos en el mismo arco
con extremos comunes son congruentes.
III. Por tres puntos no colineales pasa una sola
circunferencia y solo una.
IV. La cuerda es el segmento cuyos extremos
son dos puntos de la circunferencia.
A) FVVV B) VVVV C) FFVV
D) FFFV E) FFFF
26. En el gráfico se muestran tres circunferencias
congruentes. Si mACB+ mBCD
=300º,
calcule la m AD.
A) 100º
B) 50º
C) 40º
D) 60º
E) 80º
27. Una circunferencia es tangente a 3 lados de un
A
romboide, cuyas alturas están en la razón de 3
a 4. Calcule la medida del arco menor determinada
en la circunferencia por el cuarto lado.
B
C
D
A
B
θ
N
D
M
C
A) 60º B) 90º C) 45º
D) 120º E) 53º
28. En un cuadrado ABCD, con centro en D y radio
DA, se traza el cuadrante ADC. Desde B se
traza las tangentes BM y BN a la circunferencia
tangente al arco AC y a los lados AD y DC.
Calcule la mMBN (siendo M y N los puntos de
tangencia).
A) 37º B) 53º C) 30º
D) 45º E) 60º
A) 45º B) 53º C) 37º
D) 72º E) 60º
5

Geometría
29. Según el gráfico, M, N, P y Q son puntos de
tangencia. Calcule x.
A) 45º
B) 60º
C) 70º
D) 75º
E) 80º
M
β
Q
30. En el gráfico, las circunferencias Ω 1 y Ω 2 son
tangentes en T. Además, A y B son puntos de
tangencia. Calcule la medida del ángulo que
forman AM y BN.
70º
C
A
Ω 1
M
P
D
T
N
α
x
β
B
N
α
P
Ω 2
32. En un cuadrilátero inscriptible ABCD,
BC=CD=5 y AD – AB=6.
Calcule mABC.
A) 100º B) 135º C) 120º
D) 127º E) 143º
Puntos notables asociados al triángulo
33. Se tiene un triángulo equilátero ABC. En AC
se ubica el punto M, desde el cual se traza
MH perpendicular a AB. Si AH=MC y G es el
baricentro de ABC, calcule la mAGM.
A) 60º B) 75º C) 45º
D) 80º E) 90º
34. En un triángulo rectángulo ABC recto en B de
incentro I, la prolongación de AI interseca a
BC en M. La recta paralela a CI trazada por M
interseca a AB en N. Calcule la mINM.
A) 60º B) 45º C) 37º
D) 53º E) 75º
A) 60º B) 50º C) 45º
D) 55º E) 70º
31. Calcule m ABC , si a+b=80º
35. Si H es ortocentro del triángulo ABC, ¿qué punto
notable es K para el triángulo MAN?
B
A
B
N
H
O r K
C
C
M
A
. . .
α
β
A) 80º B) 60º C) 70º
D) 50º E) 40º
A) circuncentro
B) baricentro
C) ortocentro
D) incentro
E) punto de Fermat
6

Geometría
36. Es un triángulo ABC de circuncentro O, las
rectas AO y CO intersecan a BC y AB en M y N
respectivamente. Si OMBN es un cuadrilátero
inscriptible, calcule la medida del ángulo ABC.
A) 45º B) 60º C) 80º
D) 120º E) 90º
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 3 E) 4
39. Según el gráfico, I es incentro del triángulo
ABC. Si AIQC es un trapecio isósceles, calcule
x/y.
B
37. Si A, B, M y P son puntos de tangencia, ¿qué
punto notable es P del triángulo ABC?
x
I
Q
B
A
y
C
r
A) 1 B) 1,5 C) 3
A
r
P
D) 2 E) 2 3
3
M
C
40. En el gráfico, P y Q son circuncentros de las
regiones sombreadas. Calcule x/y.
A) incentro
B) baricentro
C) ortocentro
D) circuncentro
E) metacentro
x
y
38. Si la distancia del ortocentro de un triángulo ABC
al circuncentro de su triángulo mediano es 3, calcule
la distancia del circuncentro de dicho triángulo
ABC al baricentro de su triángulo mediano.
P
A) 1 B) 1,2 C) 1,5
D) 2 E) 2,4
Q
Claves
01 - D
06 - B
11 - D
16 - C
21 - C
26 - D
31 - A
36 - B
02 - C
07 - D
12 - D
17 - C
22 - D
27 - D
32 - D
37 - D
03 - D
08 - C
13 - B
18 - B
23 - D
28 - E
33 - E
38 - C
04 - C
09 - C
14 - C
19 - D
24 - B
29 - B
34 - B
39 - D
05 - B
10 - D
15 - B
20 - A
25 - A
30 - E
35 - C
40 - A
7

Trigonometría
. . .
1.
Longitud de arco de circunferencia
D) 4 π
2+ 3 u
3
En el gráfico AOB es un sector circular y
AM=MB. Calcule L L L
SN +
QB −
PV .
E) 2 π
2+ 3 u
3
C) 17 π u E) R2 ≠
3
7
A
3. Se tiene una plantilla de cuero en forma de
sector circular, cuyo ángulo central mide 2 rad.
Al rodear el arco con una cinta de 5 cm de longitud
éste no queda cubierto totalmente, faltando
una cierta longitud de cinta. Pero si es
4u
N Q
cubierta con una longitud de 8 cm, sobra una
S
M
longitud igual al doble a la que faltaba anteriormente.
Calcule el radio de la plantilla de cuero.
T
P
A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 5 cm E) 6 cm
O
V
B 4. Si L
= 3 L
AB DE , m BCD=60º, B y D puntos de
tangencia. Determine S 2 – S 1 .
A) p B) 2p C) 3p
D) 4p E) 5p
C
2. Del gráfico mostrado, halle la longitud del
arco PQ. Si ABCD es un cuadrado, AOB es un
triángulo equilátero y AO=2 u. (O; centro)
P
B
R
D
S 2
D
M
S 1
A
A
O
E
C
T
A) R2 ≠
Q
6
B
B) R2 ≠
O
N
12
A) π 3
C) R2 ≠
2−
3 8
B) 2 π
D) R2 ≠
2−
3 u
3
9
2

Trigonometría
5. En el gráfico, se tiene una semicircunferencia
de centro O, en la que M y N son puntos medios
de AO y OB respectivamente. Calcule el área
de la región sombreada.
P
cremallera
E
L
saco de arena
A
a
θ
M
3π
8
O
Q
b
θ
N
B
A
r A
r B
C
D
B
L
jaula
r C
p 1
p 2
A) pab B) ≠
12 ab C) 3 ≠ ab
8
D) 5 ≠ ab
4
E)
≠
16 ab
6. La longitud de una semicircunferencia es L 0 ,
sobre su diámetro se han presentado n=2 5
pequeñas semicircunferencias cuya suma de
longitudes es L. Calcule el área de la región
sombreada.
L 0
A) rr AB
rCro
D) r A·
r o
rB·
rC
B) r B·
r C
rA·
ro
puerta
C) r A·
r C
rB·
ro
E) r A r B
ro
8. En el gráfico, se muestran dos engranajes
unidos por un eje común, sus radios son de
9 u y 5 u. Calcule el ángulo que debe girar
la polea menor, para que los puntos A y B
estén separados 22 u, después de la primera
alineación horizontal. Considere p=22/7.
A) 31 2
L0
64≠
D) 32 2 2
Lo − L
16π
B) L 2 o − L 2
2π
C) 31 2
L o
32≠
E) 32 2
Lo
63≠
L
7. Del dispositivo que se observa en el gráfico,
los radios en P 1 y P 2 son r o . Calcule la relación
entre el ángulos girados por las poleas A y P 2
para que sea abierta la puerta de la jaula, esto
se consigue al caer el saco de arena, cuyo
peso es suficiente para levantar la puerta una
altura L.
44 u
A) prad
B) 3p/2 rad
C) p/2 rad
D) p/8 rad
E) p/3 rad
A
B
3

Trigonometría
Identidades trigonométricas fundamentales
9. Si la siguiente igualdad es una identidad
tan θ cot θ
+ = A·sec( Mθ)·csc( Nθ)
2 2
1−
cot θ 1 − tan θ
Calcule (M+N) A
A) 8 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
14. Si sen 6 x+cos 6 x=b ∧ sen 4 x+cos 4 x=a, π < x <
π ,
4 2
calcule un equivalente para 1– 2cos 2 x en términos
de a y b.
A)
B)
2b+ 3a+
1
2
2b− 3a+
2
2
10. Si se cumple la igualdad
senx− cos y= 1 2
calcule sen 2 x+sen 2 y – senx
A) 3/4 B) ±3/4 C) 3/2
D) – 3/2 E) – 3/4
C)
D)
E)
2b+ a−1
2
b+ a+2
2
b−a−1
4
11. Si cscx=m · cotx+1, m≠0. Calcule
tan
4 x+ tan
2 x+ 1 en términos de m.
4
A) m 4
−1
B) m 4
−1
C) m 2
+ 1
2
m
4m
2m
D) m 4
+ 1
E) m 2
−1
2
4m
m
3 + 7·csc
x
12. Si
= cot x
2
calcule
4 2 4 2
sec x+ 2sec x+ csc x+
2csc
x
15. Si senx=tan 4 k
x; x ≠ π 2 ; k ∈ Z,
calcule tan 5 x · (sec 5 x – sen 2 x · sec 7 x – sec 3 x).
A) 1 B) –1 C) 2
D) – 2 E) 1/2
16. Si cos 2 q+cosq=1,
calcule tan 2 cot 2
θ−
θ
.
2
sec θ−
cosθ
A) 1/2 B) –1/2 C) 1
D) –1 E) 2
. . .
7
A)
2 3
D) 12
49
B) 21
2
C)
E)
21
2
49
12
13. Si la igualdad
sen x( 1+ sen x) + cos x( 1+
cos x)
= (csc x+ a)(sec x+
b)
sen x( 1− sen x) + cos x( 1−
cos x)
representa una identidad, calcule a+b.
A) 1/3 B) 1/2 C) 1
D) 3/2 E) 2
Identidades trigonométricas de arcos
compuestos I
17. Determine una relación entre a, b y c
tanx+tany=a
(I)
cotx+coty=b
(II)
tan(x+y)=c
(III)
A) ab=c(b – a)
B) ab=c(a – b)
C) ab=c(b+a)
D) ac=b(a – c)
E) ac=b(c – a)
4

Trigonometría
18. Calcule el valor de M, si
π π 2 π π π
tan − tan = tan ·tan + M ·sec
5 10 10 5 10
23. Calcule sen 2 a en función de q.
A)
D)
5 + 1
4
5 −1
4
B)
5 −1
2
19. Si cot(a+2b) · cot(a+b)=b,
calcule cos( 2α+
3β
) .
cosβ
A) b +1
b
D) 1− b
b
B) b −1
b + 1
C)
E)
5
4
5 − 2
3
C) b + 1
b −1
E) 1 b
20. De las siguientes condiciones
a. senq · cota=1 – acosq (I)
b. cosa · cotq=1+b · sena (II)
calcule a 2 · sen 2 q+b 2 · sen 2 a
2θ – α
2θ+α
A) tan 3θ
tan θ
sen θ·sen
2θ
B)
sen 3θ
C) sen 3θ
cos2θ
sen θ·cos3θ
D)
sen 2θ
sen θ·sen
3θ
E)
cos2θ
θ
A) a 2 +b 2 B) a 2 · b 2 C) 1
D) a 2 – b 2 E) a 2
2
b
21. Si sen(x+2y)=2senx+3sen(x+y) · cosy,
calcule tan(x+y) · coty
A) 4/3 B) 2/3 C) 1/3
D) 3/4 E) 1
22. Considerando como diámetro el lado BC de
un triángulo ABC, se construye una semicircunferencia
que interseca a los otros lados del
triángulo y desde el vértice A se traza la altura
AH que interseca a la semicircunferencia en
el punto P. Si m BAC=30º y AP=3(PH)= 3,
calcule el radio de dicha circunferencia.
A) 7/8 B) 5/8 C) 7/3
24. Calcule el valor de la siguiente expresión
2⎛
4x+
π⎞
2⎛
2x−
π⎞
cos
sen
⎝
⎜
8 ⎠
⎟ −
⎝
⎜
4 ⎠
⎟
⎛ π ⎞ π
sen 5 − x cos
⎝
⎜ 8 ⎠
⎟ 8
A) 2+ 1 B) 2 C) 2−1
2
D)
2
E) 2
Identidades trigonométricas
de arcos compuestos II
25. Si A+ B+ C = 3 π , calcule
2
cot( 3A+ B+ C)·cot( A+ 3B+ C)·cot( A+ B+
3C)
tan( − 2A) + tan( − 2B) + tan( − 2C)
D) 7 3
2
E) 7 3
4
A) 0 B) 1 C) –1
D) 2 E) 1/2
5

Trigonometría
. . .
26. Reduzca la siguiente expresión
⎛11π
⎞ 33π
sen + sen
⎝
⎜
4 ⎠
⎟ ⎛
⎝
⎜
4
+ ⎞
x y⎟
⎠
⎛ 55π
⎞
− +
⎝
⎜
⎠
⎟ ⎛77π
⎝
⎜ + ⎞
cos x cos y
⎠
⎟
4
4
A) sen(x+y)
B) – sen(x+y)
C) – cos(x+y)
D) cos(x+y)
E) sen(x+y)cos(x+y)
27. Calcule el máximo valor de la siguiente expresión
senx(8cosy –15seny)+cosx(8seny+15cosy)
A) 17 B) 5 2 C) 13
D) 2 E) 5
28. En un triángulo ABC, se cumple que
senA=nsenB senC
(I)
cosA=ncosB cosC
(II)
calcule tanA
A) n B) n 2 C) n –1
D) n 2 +1 E) n+1
29. Calcule una relación entre x e y, si
⎡ o
⎤
⎛ 2x−
3y⎞
24 ( + 3)
+ 3x−
2y
tan
cot
0
⎝
⎜
8 ⎠
⎟ +
⎢ π ⎥
⎣⎢
4 ⎦⎥ =
A) 1/2 B) 4 C) 1
D) 2 E) 1/4
30. Calcule la suma de los siguientes productos
cot542º · cot452º
cot544º · cot454º
cot546º · cot456º
cot584º · cot500º
31. Calcule el valor de la expresión
sen 17º + 3cos 17º −sec 45º·sen 28º
sen 62º
A) 2 B) 2 2 C) 1
D) 2 E) 1/2
32. En un triángulo ABC, su inradio tiene una
3
longitud de u . Calcule el menor valor que
3
puede asumir su perímetro.
A) 2 3 u B) 5 3 C) 5
D) 4 E) 6
Identidades trigonométricas del arco múltiple I
33. Reduzca la expresión
⎛ sen 2x−
3·cos2x⎞
⎛ π ⎞
·csc x
⎝
⎜
senx+
3 cos x ⎠
⎟ −
⎝
⎜
6 ⎠
⎟
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
⎛ π ⎞ 1
34. Si sen x +
⎝
⎜
⎠
⎟ = , calcule sen8x.
16 2 2
A) 1/8 B) 9/16 C) 1/4
D) 63/64 E) 31/32
tanθ−
cot θ
35. Si cos4q=n, calcule
tan2θ−
cot 2θ
A) 1 n
1
D)
1+ n
B) 1+n C) 1+ n
n
n
E)
1+ n
36. De las siguientes condiciones
sen 4 x+sen 6 x=cos 2 y
cos 4 x+cos 6 x=sen 2 y
Calcule tan4x · cot2x
(I)
(II)
A) − 5 3
B) − 8 3
C) − 2 3
A) – 20 B) 20 C) – 22
D) 22 E) 21
D) 2 5
E) 5 3
6

Trigonometría
37. En el gráfico, 3( BD)
= BC.
Determine 2cosx – secx.
A) 1/2 B) 1 C) 3/2
D) 3 E) 2/3
A
2x
D
39. De la igualdad, encuentre una relación entre
a, b y c.
senx
cos x cos2x
= =
a b c
A)
D)
B
3
3
3
2
x
⎛ x ⎞
38. Si tan csc x sen x
⎝
⎜
2 ⎠
⎟ = −
calcule cosx+cos 2 x.
3
B) 3 C) 1 2
E) 1 4
C
A) a 2 +b 2 =(c 2 +a 2 ) 2
B) (b 2 – a 2 ) 2 =c 2 (a 2 +b 2 )
C) (b 2 +a 2 ) 2 =c 2 (b 2 – a 2 )
D) b 2 – a 2 =c 2 (a 2 +b 2 )
E) a 2 +c 2 =b 2 (b 2 +c 2 )
40. Si la igualdad es una identidad, calcule (A+C) B .
8cot 3 2q+6cot2q=cot A (cq) – tan B (cq)
A) 6 B) 1/6 C) 64
D) 8 E) 9
Claves
01 - B
06 - A
11 - D
16 - A
21 - D
26 - D
31 - B
36 - C
02 - E
07 - C
12 - E
17 - A
22 - B
27 - A
32 - E
37 - A
03 - B
08 - B
13 - E
18 - D
23 - E
28 - E
33 - A
38 - B
04 - B
09 - C
14 - C
19 - B
24 - C
29 - E
34 - E
39 - B
05 - E
10 - B
15 - B
20 - B
25 - B
30 - C
35 - C
40 - C
7

Física
Análisis dimensional y vectorial - Cinemática I
1. La siguiente ecuación es representativa del
efecto fotoeléctrico.
( )
hf f
Vfren = − 0
q
V fren : voltaje de frenado
f: frecuencia de la radiación incidente
f 0 : frecuencia umbral
q: cantidad de carga del electrón
Determine cuál de los siguientes alternativas
expresa mejor las unidades de h.
A) eVs – 1
B) eVs 2
C) eVs
D) eV 2 s
E) e 2 Vs
2. La rapidez de una partícula en movimiento viene
dada por la siguiente expresión.
v=Ae – (Ktr+B)
t: tiempo r: radio de la partícula
Determine la ecuación dimensional de la siguiente
expresión.
AK ·
B
A) T – 2
B) LT – 1
C) T 2
D) L 2 T – 2
E) L – 2 T – 2
I. D+ 2B+ C = 0
2
3C
II. A= 2B+
2
III. A+ 2C = D+
4B
A) VVV
B) VFF
C) FFV
D) VFV
E) FFF
4. Se tienen 2 vectores A y B ; el módulo del
vector A es 5 u. S y D representan los vectores
suma y diferencia de A y B . Sabiendo que S y
D son perpendiculares entre si, determine la
resultante de S y D .
A) 5 u
B) 5 2u
C) 10 u
D) 10 2u
E) 5 3u
5. En el siguiente sistema de vectores, se pide
expresar x en función de A y B . m y n son
puntos medios de cn y ab respectivamente.
c
B
3. Se muestra un conjunto de vectores. Indique
las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).
X
m
. . .
D
A
C
B
A
a
A) A + 3 B
4
D) 2 A+
3 B
4
n
B) 3 A+
B
4
b
C) A + 4 B
3
E) 3 A+
B
3
2

Física
6. Se muestra un tubo abierto en posición vertical
una hormiga se encuentra en P y desea llegar
a Q. Si la hormiga se traslada con rapidez
constante de 0,5 cm/s; en cuánto tiempo,
como mínimo, logrará su objetivo. (p ≈ 3)
80 cm
20 cm
Q
9. Una moto pequeña se dirige experimentando
MRU, por una vía paralela al metropolitano,
que inicia su movimiento con una aceleración
constante de módulo 5 m/s 2 . Si en el instante
en que se encuentran el conductor de la moto
frena disminuyendo la rapidez de la moto a
razón de 5 m/s en cada segundo, deteniéndose
la moto cuando termina de cruzarse con el
metropolitano. ¿Qué longitud presenta el metropolitano?
P
10 m/s
a=5 m/s 2
A) 100 s B) 150 s C) 180 s
D) 200 s E) 250 s
7. Un bote puede navegar con una rapidez de
4 m/s respecto de las aguas de un río. La corriente
presenta una rapidez de 5 m/s. Determine
que ángulo debe mantener el bote respecto
a la corriente para que esta lo arrastre lo
menos posible.
A) 16º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º
80 m
A) 20 m
B) 40 m
C) 60 m
D) 70 m
E) 80 m
10. En el instante mostrado el auto B inicia su movimiento
con una aceleración constante de
módulo 2 m/s 2 . Si el auto A experimenta un
MRU con una rapidez de 10 m/s, indique las
proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).
8. Se muestran 2 tramos consecutivos para un
móvil que desarrolla un MRUV. Determine su
recorrido luego de 4 s de iniciado su movimiento.
x: se expresa en metros.
1 s 2 s
x 2x+6
A) 16 m B) 20 m C) 24 m
D) 32 m E) 48 m
10 m/s v=0
A B
d
I. Si d=25 m el auto A alcanza a las justas al
auto B.
II. Si d=35 m la distancia mínima entre los
autos es 10 m.
III. Si d=10 m los autos se cruzan dos veces.
A) FFF B) VFV C) VFF
D) VVF E) VVV
3

Física
. . .
Cinemática II
11. Desde un caño abierto que se encuentra a gran
altura sale un chorro de agua con una rapidez
inicial de 10 m/s. Luego de cierto tiempo t,
repentinamente, se cierra el caño. Si a partir
de ese momento la rapidez con que crece la
longitud del chorro es 20 m/s; determine t y
la longitud del chorro 1 s después de que se
cerró el caño. (g=10 m/s 2 )
A) 2 s; 60 m
B) 3 s; 75 m
C) 2 s; 45 m
D) 2 s; 75 m
E) 3 s; 65 m
12. Un cazador inexperto dispara en forma inclinada
contra un objetivo fijo, asumiendo que el
proyectil seguirá en línea recta. Para su sorpresa,
luego de 1 s el proyectil pasa por debajo del
objetivo sin impactarle.
¿A cuántos metros por debajo del objetivo
pasó el proyectil?
A) 1 m
B) 2 m
C) 5 m
D) 10 m
E) 20 m
13. Una manguera delgada presenta un área de
sección transversal de 0,6 cm 2 y su boquilla
se encuentra fija en el suelo tal y como se
muestra. Si el caudal del agua de la manguera
es de 0,3 /s, determine el volumen de agua en
el aire. ( g=10 m/s 2 )
g
A) 0,06
B) 0,12
C) 0,18
D) 0,24
E) 0,3
14. Se muestra el lanzamiento de un proyectil
sobre un plano inclinado. Determine el mayor
alcance que puede lograr el proyectil sobre el
plano y el valor de a para tal caso. (v=40 m/s;
g=10 m/s 2 )
A) 100 m; 45º
g
v α 37º
B) 50 m; 37º/2
C) 50 m; 53º/2
D) 100 m; 37º/2
E) 100 m, 53º/2
15. Una partícula se encuentra en el instante t=0
en la posición (x; 0) m y desarrolla un MCU
de manera que el centro de su trayectoria
coincide con el origen de coordenadas.
Su aceleración en función del tiempo se
expresa como a = −8cos
2 t ; 8sen2
t m/s 2 .
t: se expresa en segundos.
( )
Determine el radio de giro de la partícula.
37º
A) 0,5 m B) 1 m C) 2 m
D) 2,5 m E) 4 m
4

Física
16. Se muestra un carrete, el cual se encuentra
rotando sin deslizar. Si en el instante que se
muestra el carrete presenta una rapidez de
4 m/s, indique falso (F) o verdadero (V) según
corresponda.
2r
r
P
M
I. La rapidez del punto P es 6 m/s.
II. La rapidez con que desciende el bloque es
12 m/s.
III. La rapidez del punto M es 4 2 m/s.
A) VVV B) VFF C) FVF
D) FFF E) FFV
17. Se tienen tres partículas con MCU respecto de
O, tal como se muestra. Determine el número
de vueltas que da la partícula A, cuando se
encuentran alineados por segunda vez en la
posición que se muestra.
O
r
A
3r
v
2r
2v
3v
A) 6 B) 18 C) 14
D) 4 E) 16
18. Respeto al MCUV, determine la veracidad (V)
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. La velocidad tangencial y angular son coplanares
y perpendiculares entre sí.
II. En el MCUV el módulo de la aceleración
centrípeta es constante.
III. La velocidad angular y aceleración tangencial
son paralelas.
A) VFV
B) FFF
C) FFV
D) VVF
E) VVV
19. Un disco comienza a rotar con una aceleración
angular constante de 3 rad/s 2 . Determine
el ángulo que ha rotado el disco hasta el instante
que la velocidad tangencial de un punto
de la periferia del disco forme 37º con la aceleración.
A) 1/2 rad
B) 2/3 rad
C) 3/8 rad
D) 4/7 rad
E) 5/8 rad
20. El eje de la llanta de una bicicleta, que se traslada
en una pista horizontal sin resbalar, gira
a razón de 6 rad/s. Si el radio de la llanta es
de 0,5 m, ¿con qué rapidez avanza la bicicleta?;
¿que rapidez tiene el punto más alto de la
periferia de la llanta?
A) 3 m/s; 3 m/s
B) 0 m/s; 2 m/s
C) 3 m/s; 6 m/s
D) 6 m/s; 1,5 m/s
E) 5 m/s; 2,5 m/s
5

Física
Estática
21. El gráfico nos muestra a un mismo resorte en 2
situaciones distintas. En ambos casos los bloques
están en reposo. Determine la longitud
natural del resorte.
23. Determine F para que el bloque de 5 kg está
a punto de resbalar sobre la mesa horizontal
rugosa, cuyos bordes son lisos. Considere que
el coeficiente de rozamiento estático entre la
mesa y el bloque es 0,2. (g=10 m/s 2 )
18 cm
12 cm
3 m
F
2 m
A) 17,4 cm
B) 17,2 cm
C) 16,8 cm
D) 16,2 cm
E) 15,6 cm
22. En el sistema mostrado la polea es lisa y de
2 kg. Luego en p se engancha un pequeño bloque
de 4 kg y se deja descender lentamente
hasta que alcanza el equilibrio.
En esta situación final, determine cuánto descendió
el bloque y la deformación del resorte.
(g=10 m/s 2 )
0,6 kg
A) 10 N B) 8 N C) 6 N
D) 12 N E) 16 N
24. En el gráfico mostrado el bloque está en reposo.
Si el módulo de F es el doble de la mínima
necesaria para evitar que caiga el bloque,
determine el módulo de la reacción del piso.
(m=0,5 kg; g=10 m/s 2 )
F
liso
30º
g
K=40 N/cm
A) 5 N B) 2, 5 3 N C) 5 3 N
D) 10 N E) 5 2 N
. . .
A) 2 cm; 2 cm
B) 2 cm; 2,5 cm
C) 4 cm; 4 cm
D) 4 cm; 2 cm
E) 4 cm; 2,5 cm
P
25. El bloque mostrado se mueve respecto del
tablón, tal como se muestra. Indique la verdad
(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
(m A =4 kg; m B =6 kg)
v A
A
B
µ K
=0,25
v B
6

Física
I. La fuerza de rozamiento cinético sobre A
tiene un valor de 10 N.
II. Si V A > V B la fuerza de rozamiento sobre B
es 40 N hacia la derecha.
III. Si V A < V B la fuerza de rozamiento sobre A
es 10 N hacia la derecha.
28. La barra homogénea permanece en la posición
mostrada. Si el bloque A es de 3 kg, determine
el módulo de la fuerza que el piso le
ejerce a la barra en el punto M. Desprecie todo
rozamiento. ( g=10 m/s 2 ; MN=NP)
A) VFV
B) VVF
C) FFV
D) VFF
E) FFF
M
N
g
21º
A
53º P cuerda (2)
26. El bloque cúbico se encuentra en reposo respecto
de una plataforma que va rotando lentamente
en sentido antihorario. Determine que
el valor de a el bloque pierde el equilibrio.
µ S =4/3
B
cuerda (1)
α
A) 12 N
B) 14 N
C) 24 N
D) 35 N
E) 42 N
A) 60º B) 53º C) 45º
D) 37º E) 16º
27. Las barras idénticas y de masa despreciable
están a punto de resbalar, determine el coeficiente
de rozamiento entre ellas y el piso.
29. En el punto medio de la barra homogénea
de 5 kg se encuentra una placa pequeña de
1 kg a punto de deslizar. Si el dinamómetro
indica 80 N, ¿cuál es el módulo de la fuerza de
reacción en la articulación? ( g=10 m/s 2 )
(PQ=5a)
h
M
L
D
3a
P
5a
0,5
0,75
µ= 0,3
0,5
A) L 2 + h 2
2
1
D) hL 2 h
2 2
−
B)
L
2 + h
2
2
1
(
C) L 2 h 2 2
+ )
2 h
( )
( L
E)
2 −
2 )
h
h
1
2
A) 75 N
B) 80 N
C) 65 N
D) 105 N
E) 130 N
Q
7

Física
30. Una barra de 11 kg se encuentra en reposo
apoyada sobre una superficie horizontal y en
una superficie parabólica lisa. Si la barra está a
punto de resbalar sobre la superficie horizontal,
determine el módulo de la fuerza que ejerce
esta superficie sobre la barra. ( g=10 m/s 2 )
32. El coche mostrado desciende sobre un plano
inclinado liso, y la esfera no se mueve respecto
del coche, determine b. (g=10 m/s 2 )
β
Y
x
y=
2
2
. . .
µ S =0,75
A) 60 N
B) 80 N
C) 100 N
D) 110 N
E) 120 N
0 2
Dinámica
x(m)
31. La fuerza de F=100 N actúa sobre una barra
homogénea de 10 m de longitud y de 20 kg de
masa. Indique (V) si es verdad, o (F) si es una
falsedad, la proposición.
B
µ K =1/4
I. La fuerza de tracción a 2 m del extremo B
es 40 N.
II. La fuerza de rozamiento varía linealmente
con la longitud de la barra.
III. El incremento de su velocidad en cada dos
segundos es 5 m/s.
A) FVV
B) VVV
C) FVF
D) VVF
E) VFF
A
F
A) 37º
B) 0º
C) 37º/2
D) 23º
E) 53º
53º
33. La gráfica nos muestra el comportamiento de
la fuerza de rozamiento sobre el bloque conforme
se incrementa el módulo de F . Determine
el módulo de la aceleración del bloque en
el instante t=30 s. ( g=10 m/s 2 )
F = 4 tN + î
( )
t: se expresa en segundos
F
t 0
=0
v 0
=0
µ= 0,8
0,5
A) 2 m/s 2
B) 4 m/s 2
C) 6 m/s 2
D) 7 m/s 2
E) 10 m/s 2
0
F roz
(N)
80
F (N)
8

Física
34. De acuerdo al gráfico mostrado, determine
la máxima aceleración que experimenta el
bloque cúbico homogéneo de 5 kg de masa.
(Considere que el bloque solo desliza)
A) 1 m/s 2
F
37. Cuando el hilo de un carrete que está en el
suelo se jala como se indica en el gráfico,
la aceleración de aquel es 5 m/s 2 , ¿para qué
coeficiente de rozamiento entre el borde del
carrete y el suelo se deslizará sin girar? (R=3r)
B) 2 m/s 2
C) 6 m/s 2
D) 4 m/s 2
E) 5 m/s 2
µ K
=0,2
R
r
F
35. Hasta qué velocidad angular W hay que comunicarle
lentamente al disco horizontal, para
que la esfera de 3 kg se pegue a la periferia
del disco, si se sabe que los resortes iguales se
encuentran comprimidos 1 cm inicialmente.
(K=200 N/cm) (OP es un riel)
Considere superficies lisas.
A) 20 rad/s
B) 30 rad/s
C) 40 rad/s
D) 50 rad/s
E) 25 rad/s
25 cm
O
ω
K
7 cm
P
K
A) 0,5 B) 0,25 C) 0,3
D) 0,75 E) 0,4
38. Para el instante mostrado el collarín y el aro,
de radio 15 cm, se encuentran en reposo. Si el
aro empieza a rotar respecto del eje Y, ¿para
qué valores de la rapidez angular el collarín no
desliza? (m s =tan67º; g=10 m/s 2 ).
g
Y
30º
µ S
36. Un pequeño bloque se encuentra sobre un
disco horizontal que rota uniformemente, tal y
como se muestra. El bloque no desliza sobre
el disco pero se encuentra a punto de hacerlo.
Si de pronto e instantáneamente el disco se
detiene, determine al cabo de qué tiempo el
bloque abandona el disco.
( g=10 m/s 2; r disco =5 m)
O
ω
3 m
µ= 0,3
0,1
A) 0,5 s B) 1 s C) 1,5 s
D) 2 s E) 2,5 s
A) w ≤ 20 rad/s
B) w ≤ 30 rad/s
C) w ≤ 10 rad/s
D) w ≤ 25 rad/s
E) w ≤ 15 rad/s
39. Un pequeño objeto se lanza desde el piso
de tal manera que desarrolla un MPCL su
velocidad inicial es v = ( 10; 40)
m/s. Determine
el menor radio de curvatura de la trayectoria
que describe el móvil. ⎡
⎣g = 10( −î
2
) m/s ⎤
⎦
A) 1 m B) 5 m C) 10 m
D) 20 m E) 40 m
9

Física
40. Por un tubo de goma, doblado en forma de anillo
y apoyado sobre una superficie horizontal,
circula agua con rapidez constante de 20 m/s.
Si el diámetro del tubo es d=1 cm, determine
el módulo de la fuerza de tensión que soporta
el tubo de goma. (Considere d

Física
44. Un disco homogéneo de 1 kg tiene enrollado
en su periferia 120 cm de un hilo ideal. Se
toma el extremo libre del hilo y manteniéndolo
fijo se suelta el disco en el aire, de manera
que conforme desciende el hilo se desarrolla.
Cuando este último terminó de desenrrollarse,
la rapidez que presenta el centro del disco
es 4 m/s. Determine la energía cinética de
rotación del disco en ese instante. (g=10 m/s 2 )
A) 12 J
B) 9 J
C) 8 J
D) 4 J
E) 2 J
45. En el instante mostrado, se sostiene un bloque
de 0,5 kg que está unido a un resorte sin deformar.
Luego de soltar el bloque, ¿cuánto es el
máximo valor de la tensión en la cuerda 1? (Desprecie
todo tipo de rozamiento) (g=10 m/s 2 )
A) 2 L
B) 3 L
C) 4 L
D) 2,5 L
E) L
θ
L
47. Una caja homogénea de 5 kg se encuentra
inicialmente vertical y articulada a un eje que
pasa por A y es perpendicular al plano del papel.
¿Cuál sería el trabajo necesario que debe
desarrollar una persona para lograr que la caja
vuelque?
80 cm
60 cm
A
(1)
A
g
A) 8 N
B) 10 N
C) 9 N
D) 15 N
E) 20 N
46. Una esfera atada a una cuerda se suelta en A
tal como se muestra. Si se desea que la rapidez
en la parte más baja sea el doble, para ello
variamos la longitud de la cuerda manteniendo
el ángulo q, determine la longitud final de la
cuerda. (Desprecie el rozamiento del aire)
A) 4 J
B) 5 J
C) 8 J
D) – 5 J
E) 0
48. Determine la cantidad de trabajo necesario
que se debe desarrollar mediante F para lograr
que el bloque B resbale. Considere entre todas
las superficies m K =0,4 y m S =0,5. Los bloques
están inicialmente en reposo y el resorte sin
deformar (m A =4 kg; m B =5 kg; g=10 m/s 2 )
F
A
K=50 N/m
A) 14,25 J B) 16,5 J C) 15,75 J
D) 12,5 J E) 10,25 J
B
11

Física
49. Un bloque liso de 2 kg es trasladado mediante
la acción de una fuerza cuyo módulo depende
del tiempo de la rapidez del bloque según
F=4v 2 N
v: se expresa en m/s
Determine la cantidad de trabajo desarrollado
mediante esta fuerza hasta el instante en que
su aceleración presenta un módulo de 8 m/s 2 .
v 0
=1 m/s
F
50. Un pequeño objeto de 100 g es lanzado desde
el piso con v = ( 15; 20)
m/s. Determine la
veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones. (g=10 m/s 2 )
I. La potencia de la F g en el instante t=0 tiene
un valor de – 20 W.
II. En el instante t=2 s la potencia de la F g
tiene un valor de 15 W.
III. Para el intervalo (0; 2 s) la potencia media
de la F g tiene un valor de 10 W.
A) 1,5 J B) 1,8 J C) 2 J
D) 2,4 J E) 3 J
A) VFV B) FFV C) FVV
D) FFF E) VVV
Claves
01 - C
08 - A
15 - C
22 - E
29 - B
36 - D
43 - B
50 - A
. . .
02 - A
03 - B
09 - C
10 - E
16 - A
17 - D
23 - B
24 - C
30 - C
31 - A
37 - B
38 - C
44 - D
45 - B
04 - C
11 - A
18 - B
25 - A
32 - B
39 - C
46 - C
05 - A
12 - C
19 - C
26 - C
33 - D
40 - E
47 - B
06 - D
13 - C
20 - C
27 - E
34 - C
41 - C
48 - A
07 - D
14 - E
21 - E
28 - B
35 - C
42 - A
49 - E
12

Química
. . .
Configuración electrónica y tabla periódica
1. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.
I. El principio de aufbau permite realizar la
configuración electrónica del átomo o ion
en estado fundamental.
II. La configuración electrónica permite explicar
principalmente las propiedades físicas
de los átomos.
III. Hay elementos cuya configuración electrónica
no es compatible con el principio de
aufbau.
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FFV
2. Respecto a los números cuánticos, ¿qué proposiciones
son incorrectas?
I. El número cuántico del momento angular
nos indica la forma de orbital.
II. El número cuántico azimutal nos indica el
nivel principal de energía para el electrón.
III. La cantidad de valores que toma el número
cuántico magnético es igual al número de
orbitales que hay en un subnivel.
A) solo III B) solo II C) I y III
D) II y III E) I, II y III
3. Se tienen los siguientes conjuntos de números
cuánticos.
I. n=3; =0; m =0
II. n=4
III. n=5; =3
Indique la alternativa que relacione estos conjuntos
con la máxima cantidad de electrones
que le corresponda en el orden que se presenta.
A) 0; 10 y 14
B) 0; 32 y 2
C) 2; 32 y 14
D) 2; 10 y 32
E) 2; 32 y 2
4. ¿En qué casos no se cumple una de las reglas
de configuraciones electrónica?
I. 20Ca :[ Ar]
4s
II.
III.
14Si :[ Ne ] 3s 3p
26Fe :[ Ar ] 4s 3d
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) II y III
5. Referente a los iones
Ti 4+ (Z=22); Co 2+ (Z=27); S 2 – (Z=16) y Cl –
(Z=17)
indique la secuencia correcta después de determinar
si la proposición es verdadera (V) o
falsa (F).
I. El ion Ti 4+ es diamagnético.
II. El ión Co 2+ es paramagnético.
III. Los iones S 2 – y Cl – son isoelectrónicos.
A) VVV B) VFV C) FFV
D) FVF E) FVV
6. Un catión divalente de un elemento tiene 15
electrones en el tercer nivel y en su núcleo atómico
hay 32 neutrones. Determine el número
de masa.
A) 61 B) 56 C) 58
D) 59 E) 57
7. El último electrón de un átomo tiene un
conjunto de números cuánticos (3, 2, 0, –1/2).
¿En qué periodo y grupo de la tabla se ubica
el átomo?
A) 3 y VIIIB B) 4 y VIIIB C) 4 y IIB
D) 4 y VIB E) 3 y VIIIA
8. Un elemento se encuentra en el mismo periodo
que Xe(Z=54) y en el grupo 15 de la tabla
periódica. ¿Cuál es el número atómico de dicho
elemento?
A) 51 B) 52 C) 53
D) 50 E) 49
2

Química
9. El catión divalente de un elemento E es
isoelectrónico con el ión 15 P 3 – . Indique a qué
grupo de la tabla periódica pertenece dicho
elemento.
A) nitrogenoides
B) gases nobles
C) alcalinos térreos
D) calcógenos
E) halógenos
10. En relación la energía de ionización, señale las
proposiciones correctas.
I. Es una medida del grado de facilidad o
dificultad para que los átomos puedan
perder electrones.
II. Varía en forma directa al radio atómico.
III. La segunda energía de ionización de un
átomo gaseoso es mayor que la primera.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) I y III
Enlace químico
11. Respecto al compuesto formado por X(Z=20) e
Y(Z=17), indique las proposiciones correctas.
I. Posee enlace iónico.
II. Su fórmula es XY 2 .
III. Su estructura de Lewis es X 2+ 2
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) I, II y III
12. Indique la alternativa que presenta notación
de Lewis incorrecta.
A) Na + –
F
Y
1–
.
13. Indique el compuesto que tiene mayor temperatura
de fusión.
A) RbBr B) KBr C) LiBr
D) NaBr E) CsBr
14. ¿Cuáles de las siguientes especies químicas tienen
átomos centrales que cumplen el octeto?
I. AlCl 3
II. SO 3
III. CO 2
A) I y II B) II y III C) I y III
D) I, II y III E) solo I
15. Señale la notación de Lewis que es incorrecta.
H
H
A) H C C
O
B) O O
H
C) H C C H
D) C O
H
H
E) H N N
H
16. Determine el número de enlaces pi y sigma en
la aspirina.
O
O C CH 3
B) Ca 2+ 2 Cl
–
COOH
C) 2Al 3+ 3 O
D) 2K + 2 –
O
E) Al 3+ 3 Br –
2 –
A) 4 y 19
B) 5 y 21
C) 5 y 23
D) 5 y 19
E) 5 y 25
3

Química
. . .
17. Respecto a las moléculas, ¿qué proposiciones
son correctas?
I. Un conjunto finito de átomos está unido por
enlaces covalentes.
II. Son entidades independientes unas de otras
que se mantienen unidas por interacciones
eléctricas.
III. Son especies químicas que pueden estar
formadas por átomos iguales o diferentes.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) I, II y III
18. Respecto a la resonancia, señale la proposición
correcta.
I. Explica la formación de enlaces iguales en
una molécula o ion poliatómico.
II. Es la deslocalización de los electrones
sigma y pi en los orbitales.
III. Las estructuras resonantes difieren en la
disposición de los electrones pi.
A) I B) II C) III
D) I y III E) I, II y III
19. Respecto al enlace metálico, señale la secuencia
correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. Se manifiesta solo en metales puros.
II. Según el modelo del gas electrónico, consiste
en una fuerza eléctrica de atracción.
III. Los metales alcalinos tienen menor punto
de fusión que los alcalinos térreos.
A) FFV
B) FVF
C) FVV
D) VVV
E) VVF
20. Respecto a las siguientes proposiciones, ¿cuáles
son correctas?
I. El benceno, C 6 H 6 , tiene 2 híbridos de resonancia.
II. En el ion carbonato, CO 3 2− , los tres enlaces
carbono - oxígeno tienen la mismas características.
III. El ácido nítrico, HNO 3 , presenta 2 estructuras
resonantes.
A) I, II y III
B) solo III
C) II y III
D) solo II
E) I y III
Hibridación y Geometría molecular
21. Respecto a la hibridación, indique la secuencia
correcta de verdadero (V) o falso (F).
I. Es la combinación de orbitales atómicos no
equivalentes de la capa de valencia
II. Solo se pueden combinar orbitales de los
subniveles s y p.
III. Los orbitales híbridos que se originan tienen
la misma forma y energía.
IV. Explica la formación de los enlaces sigma y pi.
A) VVVV
B) VFVF
C) FFVV
D) VFVV
E) FFVF
22. En la siguiente estructura, determine la secuencia
correcta de verdad (V) o falsedad (F).
CH 3 CH(NH 2 )CH 2 CN
I. El nitrógeno solo presenta hibridación sp 3 .
II. El carbono tiene 12 orbitales híbridos sp 3 .
III. El hidrógeno presenta hibridación sp 3 .
A) FFV B) VVV C) FVF
D) VFF E) FFF
23. ¿Qué proposiciones son incorrectas respecto a
los compuestos N 2 F 2 y N 2 H 4 ?
I. La longitud de enlace N – N en la primera
molécula es mayor que en la segunda molécula.
II. Presenta igual ángulo de enlace.
III. En ambas moléculas, la hibridación del átomo
central es la misma.
A) I B) II C) III
D) I y II E) I, II y III
4

Química
27. Indique cuál es la relación incorrecta
24. Indique el valor aproximado de los ángulos
E)
+
NH 4 N sp 3 D) I y II
mostrados en el orden establecido.
sustancia - geometría molecular.
1–
I
θ
A) BF 3 : plana trigonal
Al
B) H 2 S: angular
I I
C) SnCl 2 : lineal
I.
I
D) CH 4 : tetraédrica
E) PCl 3 : piramidal
θ
II.
S C S
28. Respecto a la geometría molecular espacial,
2–
indique la proposición que no corresponde.
O
A) NBr ; piramidal
θ
C
3
B) BF 3 ; trigonal plana
III.
O O
C) NH + 4 ; tetraédrica
D) BeCl 2 ; lineal
E) CS 2 ; angular
A) 104,5º; 180º; 120º
29. Señale la falsedad (F) o veracidad (V) respecto
B) 109, 5º; 180º; 120º
a las proposiciones.
C) 120º; 108º; 104,5º
I. Una molécula cuyo átomo central tiene 2
D) 104º; 108º; 109,5º
pares de electrones solitarios y dos pares
E) 109,5º; 108º; 120º
de electrones enlazantes tiene geometría
lineal.
25. Respecto a las moléculas de amoniaco (NH 3 ) y
II. Hay casos en la que la geometría electrónica
trifluoruro de nitrógeno (NF 3 ), indique la secuencia
correcta de verdad (V) o falsedad (F).
y molecular coinciden.
III. Si la geometría de la molécula, AY
I. Son sensibles a la acción de un campo eléctrico
externo.
3 , es piramidal,
el átomo central tiene octeto incompleto.
II. La molécula NF 3 es más polar que la molécula
de NH 3 .
A) VVV B) VFV C) VFF
III. Ambas presentan geometría molecular piramidal.
D) FFV E) FVF
30. La determinación de la geometría de una molécula
es más complicada si el átomo central
A) VVF B) VFV C) FVF
D) FFF E) FFV
tiene tantos pares enlazantes como pares libres.
En estas moléculas hay fuerzas de repulsión
entre pares
26. Señale la alternativa incorrecta.
Compuesto Elemento Hibridación
I. enlazantes.
II. libres.
A) NaHCO 3 C sp 2
III. enlazantes y pares libres.
B) CH 3 OH O sp 2
C) CO C sp
A) I
B) II
D) AlBr 3 Al sp 2
C) III
E) I, II y III
5

Química
. . .
Fuerzas intermoleculares
31. Con respecto a las fuerzas intermoleculares,
señale la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F).
I. Principalmente se presenta en el estado
sólido o líquido.
II. Son más fuertes que los enlaces interatómicos.
III. Explican ciertas propiedades físicas de las
sustancias como la temperatura de ebullición
la presión de vapor, etc.
A) VFF
B) VVV
C) VFV
D) FVF
E) FFV
32. Indique la proposición incorrecta.
A) Las fuerzas intermoleculares se debilitan por
el incremento de la temperatura.
B) En una muestra de nitrógeno líquido solo se
presentan fuerzas de dispersión.
C) Por las fuerzas de London el punto de
ebullición del CH 3 I es mayor que el CH 3 F.
D) En el NaCl líquido hay fuerzas dipolo - dipolo.
E) La licuación de moléculas apolares es posible
debido a las fuerzas de dispersión.
33. Respecto al enlace puente de hidrógeno, señale
la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad
(F).
I. Cuando se disuelve el H 2 O 2 en el agua, se
forma estas interacciones.
II. El agua líquida tiene mayor densidad que
el hielo.
III. Debido a estas fuerzas el HCl y el HI se
pueden licuar.
A) VFV
B) FVF
C) VVF
D) FVV
E) VVV
34. Con respecto a las fuerzas de dispersión de
London, señale la proposición incorrecta.
A) Surge entre un dipolo instantáneo y un
dipolo inducido.
B) Son las únicas fuerzas entre moléculas de
una sustancia apolar.
C) Se presentan en todo tipo de moléculas.
D) Permiten la licuación de los gases.
E) Depende solo del tamaño de las moléculas.
35. Respecto a las siguientes proposiciones, ¿cuáles
son correctas?
I. El HI tienen mayor temperatura de ebullición
que el HCl.
II. Cuando el agua se evapora, se rompen las
fuerzas intermoleculares.
III. Las fuerzas de London en el CCl 4 son más
fuertes que en el CBr 4 .
A) solo II
B) I y II
C) I, II y III
D) II y III
E) solo III
36. Con relación a las fuerzas intermoleculares,
indique la secuencia correcta de verdadero (V)
o falso (F).
I. Las moléculas polares solo experimentan
atracción dipolo - dipolo.
II. Las moléculas más polarizables tienen fuerzas
de dispersión más intensas.
III. Las fuerzas de hidrógeno suelen ser el tipo
más intenso.
A) VVV
B) VFV
C) FVV
D) FVF
E) FFF
6

Química
37. Respecto a los compuestos
OH
Cl
CH 3
A) solo I
B) solo II
C) solo III
D) I y III
E) II y III
fenol
clorobenceno
tolueno
39. Se tiene el diagrama de fases del oxígeno (O 2 ).
Señale las proposiciones correctas.
I. El fenol hierve a mayor temperatura que el
clorobenceno.
II. Las fuerzas de london solo se manifiestan
en el tolueno.
III. Las fuerzas intermoleculares en el clorobenceno
es mayor que en el tolueno.
P (mmHg)
C
3,78×10 4
X
1,14
T
54
158
Señale la proposición incorrecta.
T (K)
A) I y III
B) solo III
C) I, II y III
D) I y II
E) II y III
38. De acuerdo al siguiente diagrama de fases, indique
la proposición incorrecta.
P (atm)
22
5,7
D
C
– 20
B
A
30
T (ºC)
I. A – 20 º C y 5,7 atm hay un equilibrio entre
las tres fases.
II. BD es la curva de solidificación.
III. A temperatura mayor de 30 º C es posible
licuar el gas a alta presión si A es el punto
crítico.
A) La temperatura en el punto crítico es 158 K.
B) A 760 mmHg y 54 K, no es un gas.
C) En la curva TC, hay un equilibrio entre el
líquido y el vapor.
D) A 298 K, el oxígeno se puede licuar aumentando
la presión.
E) En el punto X, el oxígeno se halla como
sólido.
40. Si la curva de fusión (sólido- líquido) en un diagrama
de fases está inclinada hacia la izquierda,
indica que
I. la densidad del sólido es mayor que la
densidad del líquido.
II. el líquido al cristalizar presenta expansión.
III. a mayor presión, mayor será la temperatura
de fusión.
A) solo I
B) solo II
C) solo III
D) I y II
E) I, II y III
7

Química
. . .
Estado líquido y sólido
41. Señale la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Las propiedades físicas de los sólidos amorfos
dependen de la dirección en la que son
medidas.
II. Para una misma masa, un sólido cristalino
ocupa mayor volumen que un sólido
amorfo.
III. Un sólido amorfo funde a una misma temperatura.
A) FFV
B) FFF
C) VFF
D) VFV
E) VVV
42. Respecto a los siguientes sólidos, ¿cuántos son
cristalinos?
I. granito IV. vidrio pírex
II. boro
V. cuarzo
III. sacarosa
A) 2
B) 1
C) 5
D) 4
E) 3
43. Respecto a los sólidos cristalinos, señale la
proposición incorrecta.
A) Algunas de sus propiedades físicas son anisotrópicas.
B) La unidad básica que conserva aún sus
propiedades se denomina celda unitaria.
C) Algunos presentan isomorfismo o polimorfismo.
D) Necesariamente son sustancias compuestas.
E) Tienen diferentes sistemas de cristalización.
44. Respecto a las proposiciones
I. El K 2 O tiene mayor temperatura de fusión
que el potasio, K.
II. El diamante funde a mayor temperatura
que el CCl 4 .
III. Los metales mejoran su conductividad
eléctrica al ser calentados.
IV. El hielo seco es un sólido molecular que se
sublima.
¿cuántas son correctas?
A) 3
B) ninguna
C) 2
D) 1
E) 4
45. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.
I. El yeso, CaSO 4 · 2H 2 O, es un sólido molecular.
II. El carburo de silicio, SiC, es un sólido suave.
III. El CaO y el MgCl 2 son sólidos iónicos.
IV. Los sólidos covalentes son solubles en disolventes
orgánicos.
A) VFVF
B) FFFF
C) VVVF
D) FFVV
E) FFVF
46. ¿Qué propiedad no corresponde a los líquidos?
A) Se evaporan en forma espontánea.
B) Adoptan la forma del recipiente que los
contiene.
C) Su volumen es independiente de la forma
del recipiente que lo contiene.
D) Son más densos que los sólidos.
E) Son incomprensibles.
47. Respecto a la presión de vapor de los líquidos,
señale la proposición correcta.
A) Aumenta al reducir la temperatura.
B) Los líquidos que se unen por puentes de
hidrógeno se evaporan con facilidad.
C) El H 2 O 2 tiene mayor presión de vapor que
el H 2 O.
D) Está en relación inversa con la temperatura
de ebullición.
E) La presión de vapor del pentano es mayor
que la del neopentano.
8

Química
48. Respecto a la viscosidad de los líquidos, señale
la proposición incorrecta.
A) Los líquidos que fluyen con facilidad tiene
menor viscosidad.
B) El aceite de cocina fluye con facilidad cuando
se calienta.
C) La miel es más viscosa que el agua.
D) Es una medida de la resistencia interna de
los líquidos a fluir.
E) Solo depende de la intensidad de las fuerzas
intermoleculares y de la temperatura.
49. Respecto a la tensión superficial, indique la secuencia
correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. Disminuye al aumentar la temperatura.
II. Los líquidos volátiles tienen mayor tensión
superficial.
III. Explica el hecho de que un alfiler de
acero colocado en forma horizontal en la
superficie del agua flote.
A) FFF
B) VVV
C) VFV
D) FFV
E) FVF
50. Respecto a los fenómenos capilares, señale las
proposiciones correctas.
I. Está directamente relacionado con la viscosidad.
II. Cuando el diámetro del tubo capilar es menor,
el agua asciende mayor altura.
III. En tubo capilar, el mercurio tiene un menisco
cóncavo.
IV. En un líquido que moja, la fuerza de adherencia
es mayor que la fuerza de cohesión.
A) II y IV
B) I, II y III
C) I, II y IV
D) solo IV
E) solo II
Claves
01 - D
08 - A
15 - B
22 - C
29 - E
36 - C
43 - D
50 - A
02 - B
09 - C
16 - B
23 - E
30 - E
37 - A
44 - A
03 - C
10 - E
17 - E
24 - B
31 - C
38 - E
45 - E
04 - E
11 - E
18 - D
25 - B
32 - D
39 - D
46 - D
05 - A
12 - E
19 - C
26 - B
33 - C
40 - B
47 - D
06 - D
13 - C
20 - C
27 - C
34 - E
41 - B
48 - E
07 - B
14 - B
21 - D
28 - E
35 - B
42 - E
49 - C
9

Razonamiento
Matemático
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES
. . .
Razonamiento lógico I
1. En el siguiente gráfico se muestran 27 cerillos,
todos del mismo tamaño. ¿Cuántos cerillos se
debe cambiar de lugar, como mínimo, para dividir
al rectángulo en cuatro regiones simples
de igual área?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
2. Por lo menos, ¿cuántos fichas numeradas deben
ser cambiadas de posición para que el resultado
sea 2?
[[( 6 + 10 )– 8 ]× 2 ]÷ 4
A) 2 B) 8 C) 3
D) 4 E) 6
3. El gráfico muestra 6 monedas de S/.2 ubicadas
sobre una mesa. ¿Cuántas monedas del mismo
tamaño pueden colocarse, como máximo,
alrededor y tangencialmente a las monedas
mostradas?
A) 11
B) 14
C) 12
D) 13
E) 15
4. Para una de sus recetas culinarias, Doña Rosa
requiere de un litro de agua, para ello cuenta
con un balde lleno de agua de 19 litros de
capacidad y dos jarras vacías de 13 y 7 litros
de capacidad. ¿Cuántos trasvases, como mínimo,
tendrá que realizar? Considere que el
agua no se desperdicia.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
5. Si el peso que puede llevar una canoa no excede
los 100 kg, ¿cuántos viajes, como mínimo,
debe hacerse para que esta canoa logre llevar,
de una orilla a otra de un río, a 4 mujeres que
pesan 50 kg cada una y a 4 varones que pesan
70 kg cada uno?
A) 25 B) 19 C) 17
D) 21 E) 23
6. Se tienen dos frascos de igual capacidad, el
primero contiene una ameba y el segundo
cuatro amebas. Si el primer frasco se llena
al cabo de 3 h, ¿cuánto tiempo demora en
llenarse el segundo frasco? Considere que la
ameba se duplica cada 3 minutos.
A) 45 min
B) 2 h 54 min
C) 1 h 30 min
D) 2 h 50 min
E) 3 h 03 min
7. La siguiente tabla muestra los goles a favor
y los goles en contra de los equipos de 4
universidades que han jugado entre sí. Si en
el partido UNI-Villareal se anotaron 5 goles,
¿cuántos goles se anotaron en el partido San
Marcos-Agraria?
Equipos GF GC
San Marcos 7 6
Agraria 6 5
UNI 4 7
Villarreal 4 3
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
2

Razonamiento
Matemático
8. En el tablero mostrado se debe colocar una
flota conformada por submarinos (una casilla),
destructores (dos casillas) y cruceros (tres
casillas). El número indica cuántas casillas
ocupadas por la flota hay en la correspondiente
fila o columna. Si las naves de un mismo tipo
no ocupan casillas vecinas, por un lado o por
un vértice, ¿cuántas naves, como máximo,
conforman la flota?
6
1
10. Ubique los números del 1 al 9 en los casilleros
del gráfico, teniendo en cuenta lo siguiente:
• 4; 5 y 6 están en la horizontal superior.
• 1; 7 y 8 están en la horizontal inferior.
• La suma de los números de la columna
de la izquierda es mayor que la suma en
cualquiera de las filas.
• La suma de los números de la columna
de la derecha es mayor que la suma de
cualquier otra columna.
5 4 5 0 4 3 1 4
A) 18
B) 15
C) 14
D) 17
E) 16
5
4
1
0
4
5
submarinos
destructores
cruceros
islas
Dé como respuesta la suma de los números
ubicados en los casilleros sombreados.
A) 5
B) 10
C) 12
D) 13
E) 11
Razonamiento lógico II
9. En el siguiente gráfico, ubique uno por casilla y
sin repetir los números 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, de
modo que los números vecinos a estos sumen
18; 3; 17; 1; 9; 10; 12; 13 y 26, respectivamente.
Calcule el valor de (A+B) –(C+D).
En este caso, considere que dos números son
vecinos solo cuando están ubicados en casillas
adyacentes por lado.
11. Elija 9 números del conjunto {1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 8; 9; 10} y con los números elegidos divida
en dos grupos, de modo que se cumplan las
siguientes condiciones:
I. La suma de números de un grupo es igual a
la suma de los números del otro grupo.
II. El producto de números de un grupo es igual
al producto de números del otro grupo.
Calcule la suma de cifras del producto de los
números de uno de los grupos.
A
C
B
D
A) 8 B) 9 C) 4
D) 6 E) 13
A) 9
B) 13
C) 1
D) 4
E) 6
3

Razonamiento
Matemático
12. Distribuya en el triángulo los números del 1 al
12, uno por cada casilla circular, de manera
que la suma de los números ubicados en cada
lado del triángulo sea 29.
x
y
Dé como respuesta el valor x+y+z.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
13. Distribuya los números 1; 1; 2; 3; 4 y 5, uno en
cada casilla circular, de modo que la suma de
los números ubicados en cada lado sea según
lo indicado.
z
A) 12 B) 32 C) 43
D) 31 E) 22
15. Distribuya los números 1; 2; ...; 7 en las casillas
vacías del gráfico de manera que la suma de los
números ubicados en tres casilleros colineales
sea igual a 17. Halle el número que se ubica en la
casilla sombreada.
9 8
8
10
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 3
. . .
6
Dé como respuesta la suma de los números
ubicados en los círculos sombreados.
A) 8 B) 10 C) 6
D) 5 E) 4
14. Ubique los números del 1 al 10 en cada una de
las casillas circulares mostradas, de tal manera
que la suma de cada cuatro números ubicados
en forma colineal sea constante. Calcule dicha
suma.
16. Ubique en cada casillero los números del 1 al
8, con la condición de que la diferencia entre
dos números vecinos no sea menor de 4. Dé
como respuesta la diferencia positiva de los
números ubicados en las casillas sombreadas.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
4

Razonamiento
Matemático
Razonamiento lógico III
17. ¿Qué es de mi hermana la sobrina de la única
cuñada del tío del único tío del hijo de mi
hermana si se sabe que mi abuela paterna
tiene solo dos hijos y mi madre es hija única?
A) su nieta
B) su hija
C) su prima
D) su sobrina
E) su hermana
18. El hijo de Betty está casado con Diana, que es
la hija de Elena y esta es a su vez abuela de
Félix y suegra de Carlos. Si Diana es hija única
y a la vez nuera de Álex, ¿qué proposición es
totalmente falsa?
A) Félix es nieto del padre de Carlos.
B) Carlos es hijo del suegro de Diana.
C) La nuera de Betty es madre de Félix.
D) El padre de Carlos es esposo de Elena.
E) Álex es suegro de la madre de Félix.
19. José comenta: ¿Qué relación existe entre la esposa
del nieto de la hermana de mi hermano,
y la hermana del hijo de la hija de mi único cuñado
si mi única hermana tiene una sola hija
y yo soy soltero?
A) sobrina - tía
B) hermanas
C) madre - hija
D) cuñadas
E) abuela - nieta
20. ¿Qué viene a ser de mí la esposa del padre del
hermano del tío del hijo de la esposa del único
hermano del hijo de mi madre?
A) mi hermana
B) mi abuela
C) mi tía
D) mi madre
E) mi esposa
21. Una extraña sociedad está formada por tres
clases: los ETU, los ETI y los ETE; además, se
sabe que solo pueden casarse si pertenecen
a clases diferentes y que las hijas de una
pareja de esposos pertenecen a la clase del
padre y los hijos a la de la madre. ¿A qué clase
pertenece la abuela paterna de la madre del
hermano de una niña ETI?
A) ETU
B) ETI
C) ETE
D) ETU o ETE
E) no se puede precisar
22. En una reunión están presentes un abuelo, una
abuela, cuatro hijos, una hija, tres padres, dos
madres, una suegra, un suegro, una nuera, dos
nietos, una nieta, tres hermanos, una hermana,
una cuñada, un cuñado, dos primos, una
prima, dos tíos y una tía. ¿Cuántas personas,
como mínimo, hay en dicha reunión?
A) 8 B) 6 C) 10
D) 7 E) 9
23. En una reunión familiar observé que habían
dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres
esposas, un hermano, una hermana, dos hijos,
dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos
suegras, tres madres, tres padres, un yerno y
una nuera. ¿Cuántas personas, como mínimo,
integran dicha familia que observé?
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
5

Razonamiento
Matemático
. . .
24. En una reunión familiar, se encuentran presentes
un abuelo, dos padres, una madre, dos hijos,
una hija, un nieto, una tía, un sobrino, una
esposa, un esposo, una nuera, un suegro y dos
cuñadas. ¿Cuántas personas, como mínimo,
hay en dicha reunión?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
Razonamiento lógico IV
25. Si el día que está seis días después del que
está cinco días antes del que está cuatro días
después del que está tres días antes del que
está dos días después del que está un día antes
de hoy es lunes, ¿qué día es hoy?
A) lunes
B) martes
C) miércoles
D) jueves
E) viernes
26. Si el cumpleaños número 7 de Jorge cayó un
día jueves y hoy 5 de febrero de un año bisiesto
cumple 38 años, ¿en qué día de la semana
nació?
A) jueves
B) miércoles
C) domingo
D) lunes
E) martes
27. El mes pasado tuvo más jueves y viernes que
otros días de la semana. ¿Qué día de la semana
será el 16 del próximo mes?
A) sábado
B) miércoles
C) martes
D) viernes
E) jueves
28. Los días de la semana en que cumplí 5 y 11
años coincidieron con el día en que nací, además,
ninguno de mis primeros nueve cumpleaños
cayeron domingo. ¿Qué día cumpliré
20 años si mi cumpleaños lo celebro en un
mes que tiene el mismo número de días que
el mes siguiente, y ambos del mismo año?
A) jueves B) lunes C) viernes
D) domingo E) sábado
29. Francisco nació el sábado 25 de febrero de
1988 y su hermana Clara nació el 2 de marzo
de 1996. ¿Qué días de la semana Francisco y
Clara cumplirán 30 años, respectivamente?
A) jueves y sábado
B) lunes y miércoles
C) martes y viernes
D) lunes y domingo
E) martes y miércoles
30. En una reunión celebrada en Año Nuevo, cuatro
amigos conversaban sobre sus fechas de nacimiento
y notaron que nacieron en meses distintos,
pero consecutivos. Sobre sus cumpleaños
que ya se acercan, tres de ellos comentan:
Álex: Mi cumpleaños es en un mes que tiene
más domingos y lunes que otros días de la
semana.
Beto: Mi cumpleaños es en un mes que empieza
jueves y termina un día miércoles.
Carlos: Mi cumpleaños es en un mes que tiene
más martes, miércoles y jueves que otros días
de la semana.
¿En qué mes celebra su cumpleaños David, el
cuarto amigo?
A) mayo
B) enero
C) marzo
D) febrero
E) abril
6

Razonamiento
Matemático
31. El primer día de un determinado mes cayó
domingo, el último día del mes siguiente fue
miércoles y el siguiente a este último tuvo 31
días. ¿A qué mes nos referimos inicialmente?
A) abril
B) febrero
C) diciembre
D) enero
E) marzo
32. Si el 28 de febrero del 2008 fue un día martes,
¿qué día de la semana será el 29 de febrero
del 2060?
A) miércoles B) jueves C) sábado
D) martes E) viernes
Razonamiento lógico V
Se sabe que de las informaciones dadas dos
son verdaderas y dos son falsas, y que el culpable
es también mentiroso. ¿Quién es?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) no se puede conocer al culpable
35. Hay tres habitaciones en una de las cuales
hay una dama, en las otras dos hay un tigre,
cada habitación tiene un letrero tal como se
muestra en el gráfico. El letrero de la puerta de la
habitación en donde está la dama es verdadero
y al menos uno de los otros dos letreros es falso.
¿En qué habitación está la dama?
I
II
III
33. Cinco personas son detenidas por un presunto
asesinato. Al ser interrogados, se presentan
sus manifestaciones:
Manuel: Gustavo fue.
Raúl: Yo no fui.
Eduardo: Raúl fue.
Alberto: Eduardo no fue.
Gustavo: Manuel miente.
Si el juez sabe que tres de ellos mienten y los
otros dicen la verdad, además, solo uno es
culpable, ¿quién es el culpable?
A) Manuel B) Gustavo C) Raúl
D) Eduardo E) Alberto
34. Durante el interrogatorio a cuatro sospechosos
de un robo se escuchó lo siguiente:
A: C es culpable
B: Si lo que dice A es verdad, entonces D es
culpable.
C: A está mintiendo.
D: A y B, ambos no son mentirosos.
En la
habitación II
hay un tigre
A) en la I
B) en la II
C) en la III
D) en la I o II
E) en la II o III
En esta
habitación
hay un tigre
En la
habitación I
hay un tigre
36. Un padre interroga a sus cinco hijos sobre
quién rompió el jarrón de la mesa.
Antonio: Fue Bruno o César.
Bruno: Ni Fido ni yo lo hicimos.
César: Ustedes dos están mintiendo.
Daniel: De Antonio y Bruno, uno de ellos está
mintiendo, el otro está diciendo la verdad.
Fido: No, Daniel, eso no es cierto.
Se sabe que tres de ellos siempre dicen la verdad
y dos de ellos siempre mienten. ¿Quién
rompió el jarrón?
A) Bruno B) Daniel C) Antonio
D) César E) Fido
7

Razonamiento
Matemático
37. Cuatro sospechosos de un delito son interrogados
por la policía porque se sabe que uno
de ellos lo cometió. Sus respuestas fueron las
siguientes:
Danilo: Ramiro no fue.
Ramiro: Leoncio fue.
Frank: Danilo miente.
Leoncio: Entre Frank y Ramiro está el culpable.
Si un informante confirmó que solo uno de los
sospechosos decía la verdad, ¿quién es éste y
quién cometió el delito, respectivamente?
A) Leoncio - Ramiro
B) Frank - Leoncio
C) Danilo - Frank
D) Ramiro - Leoncio
E) Danilo - Danilo
38. La tabla mostrada nos indica las respuestas
verdadero (V) o falso (F) a un examen de cuatro
preguntas resuelto por cuatro estudiantes.
Alonso Carmen Julio Susan
1 .a preg. F F F V
2. a preg. V V F F
3 .a preg. F F V V
4 .a preg. V F F F
Se sabe que a cada respuesta correcta se otorga
cinco puntos y a cada incorrecta, cero puntos.
Si todos obtuvieron notas distintas, pero
ninguno la nota máxima, además, Julio no obtuvo
la nota mínima, ¿quién obtuvo la tercera
mejor nota?
A) Susan
B) Carmen
C) Julio
D) Alonso
E) no se puede determinar
39. En la isla de los sueños hay 3 tribus: los kano,
que siempre dicen la verdad; los keron, que
siempre mienten; y los korun, que alternadamente
mienten y luego dicen la verdad o viceversa.
Además, Karen y Kina son personas
que pertenecen a distintas tribus de esta isla y
dicen lo siguiente:
Karen: Yo soy keron.
Kina: Karen no es korun.
¿A qué tribu pertenece Karen?
A) a los kano
B) a los keron
C) a los korun
D) a ninguno de ellos
E) no se puede determinar
40. En un pueblo lejano existen habitantes de dos
tipos: los del tipo Z, quienes siempre mienten
y los de tipo X, que siempre dicen la verdad.
Cierto día se escuchó la siguiente conversación
entre cuatro habitantes de dicho pueblo.
Arturo: Felipe es del tipo Z.
Felipe: Sandro es del tipo X.
Sandro: Ramiro es del tipo Z.
Ramiro: Arturo y Felipe son del mismo tipo.
¿Cuántos de estos habitantes son del tipo X?
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) ninguno
. . .
Claves
01 - C
06 - B
11 - A
16 - C
21 - D
26 - E
31 - D
36 - D
02 - A
07 - D
12 - B
17 - C
22 - A
27 - B
32 - E
37 - E
03 - C
08 - B
13 - A
18 - D
23 - C
28 - C
33 - D
38 - D
04 - B
09 - B
14 - E
19 - D
24 - C
29 - E
34 - D
39 - C
05 - D
10 - C
15 - D
20 - D
25 - E
30 - C
35 - A
40 - C
8