T_S_1

TRIGONOMETRÍA

TEMA 1

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

Y SECTOR CIRCULAR

SNII2T1

DESARROLLO DEL TEMA

I. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Tomando como referencia un plano, el ángulo

trigonométrico es aquella figura que se genera por

rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una

posición inicial hasta una posición final.

Lado final

Nota:

Debes tener en cuenta:

a ° b ' c '' a ° +b ' +c ''

x g y m z s x g +y m +z s

Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos,

estos deberán estar en el mismo sentido.

Se cumple:

Origen

Antihorario (+)

Lado inicial

Horario (–)

–q

q

a

a+(–q) = 180°

a – q = 180°

Lado final

Nota:

Todo ángulo trigonométrico es orientado, es decir, sus

medidas pueden ser positivas o negativas.

II. EXTENSIÓN

Sea q la medida de un ángulo trigonométrico.

L.F.

–∞

L.I.

+∞ L.F.

–∞ < q < ∞

III. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS)

Unidad: Grado sexagesimal (1°)

Equivalentes menores

m]9 = 360°

1° 60' 1' 60" 1° 3600"

L.I.

IV. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS)

Unidad: Grado centesimal (1 g )

Equivalentes menores

m]9 = 400 g

1 g 100 m 1 m 100 s 1 g 10 000 s

V. SISTEMA RADIAL – CIRCULAR – INTER-

NACIONAL

Unidad: Un radián (1 rad)

O

r

q

r

q = 1 rad

El radián se define como la medida de un ángulo central

que subtiene un arco de igual longitud que el radio de la

circunferencia.

r

m]9 = 2prad

PRIMER BIMESTRE 1 TRIGONOMETRÍA TEMA 1

1

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR

Nota:

El valor de (p) no es exacto, es irracional.

Los valores aproximados son:

A.

S

180

= C R

200

= π

= K

S = 180k

C = 200k

R = kπ

p ≈ 3,1416

p ≈ 22 7

p ≈ 3+ 2 p ≈ 10

VI. EQUIVALENCIA ANGULARES NOTABLES

⇒

m]9 = 360° 400 g 2prad

m = 180° 200 g prad

180° prad

200 g prad

9° 10 g

B.

S

90

= C R

10

= π/20

= n

C. Fórmula simplificada:

S

C

S

9

C

=

10

S = 9n

C = 10n

R = nπ

20

VII. FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN

1442443

S: número de grados sexagesimales

C: número de grados centesimales

r: número de radianes

Números

convencionales

Nota:

Para situaciones problemáticas, por lo general,

si se observan los 3 números convencionales, es

conveniente la constante (k), y, si aparece solo S y C,

es conveniente la constante (n).

SECTOR CIRCULAR

I. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

R

Circunferencia

0 < q ≤ 2π

L

q R

Círculo

Longitud de la circunferencia:

L = 2pR

Área de círculo:

A = pR 2

II. LONGITUD DE ARCO

Sea q la medida de un ángulo trigonométrico.

R

qrad L

R

Fórmula básica

L = qR

III. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRA UNA

RUEDA SIN RESBALAR

r

L R

n: N.° de vueltas: n =

L R

2πr

L R : Longitud del recorrido

Nota:

En el sector circular, la medida del ángulo central

siempre debe estar expresada en radianes; entonces,

es importante recordar:

p rad 180° 200 g

r

TEMA 1 TRIGONOMETRÍA 2 PRIMER BIMESTRE

2

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR

IV. ÁREA DE SECTOR CIRCULAR

VI. PROPIEDADES

R

R

S

qrad

L

I.

a

1rad

a

a

L = R ↔ q = 1rad

S=

1

qR 2 S=

1

LR

2

2

S=

L 2

2q

II.

q

b

B

q =

B – b

n

V. ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR

n

q

L 2

A T

L 1

III. S: Área S 3S 5S 7S

J

A T = K

L

L 1

+L 2

2

0 < q ≤ 2p

N

Od

P

d

q=

L 1 –L 2

d

IV. S: Área

K ∈ R

Kq

R

q

R

KS

S

KL

L

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

A O B

De la figura, el área del sector circular

AOT es igual al área del sector circular

OB

MOB. Si OA = , calcule la medida del

2

ángulo BOT.

A) 30° B) 36° C) 94°

D) 38° E) 40°

T

M

Resolución:

Sea m]BOT = q; OA = OB

2

→ 2OA = OB

Sea OA = r → OB = 2r

T

UNMSM 2012–II

M

r

180°–qq

A r O 2r B

r

Dato: S AOT

= S MOB

1

2 (180°– q)r2 = 1 2 (q)(4r2 )

Resolviendo q = 36°

Problema 2

O

D

C

Respuesta: 36°

L 2

A

B

L 1

De la figura AOB y COD son sectores

circulares, además L 1

3 = L 2

y el área

2

del sector circular DOC es 4u 2 . Calcule

el área del trapecio circular ADCB.

A) 7 B) 14 C) 18

D) 12 E) 10

Resolución:

L 1 = 3k

L 1

3 = L 2

2 = k L 2 = 2k

Dato:

O

q

S COD

= (2k)2

2q

Incógnita

S ADCB

= (3k)2

2q

PRE-UNMSM 2012–II

D

C

2k

A

B

3k

= 4 → k2 = 2q

– (2k)2

2q

= 5k2

2q

= 5(2q)

2q

S ADCB = 5u 2 Respuesta: 5u 2

PRIMER BIMESTRE 3 TRIGONOMETRÍA TEMA 1

3

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR

Problema 3

O

5u

2q

q

A

B

5u

Del gráfico mostrado AOB y COD son

sectores circulares. Indique el perímetro

del sector circular COD.

A) 27 u

B) 26 u

C) 25 u

F

C

D

E

D) 28 u

E) 24 u

Resolución:

En el sector circular

AOF → (5) = (2q)(5)

2q = 1

1

q = rad

2

En el sector circular

COD → EC = (1)(8) = 8 u

En el sector circular EOD →

PRE UNMSM 2013–II

ED = J 1 N

K O(8) = 4 u

L 2 P

Graficando el sector COD

C

8

O

12

8

D

Perímetro = 28

Respuesta: 28 u

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. Si se cumple:

(5x+6)° (10x+4) g

calcule el valor de (x)

A) 1/5 B) 2 C) 3/5

D) 3 E) 5

2. En base a los datos de la figura

mostrada AOB y COD son sectores

circulares.

O

y

x

D

C

11

B

J x+y N

Calcule: M = 3

22x

K O–

L x–y P y

A) –1 B) –2 C) –3

D) –4 E) –5

A

14

3. Sabiendo que AOB es un sector

circular, además OA = 8u

A

150 g

O

Calcule el área del sector circular.

A) πu 2 B) 2πu 2 C) 3πu 2

D) 3π 2 u2 E) 2π 3 u2

B

4. Siendo S y C lo convencional para

una medida angular, indique el

valor de:

M=

πS+πC+20R

0,2(πC–πS)

A) 5 B) ±5 C) 10

D) ±10 E) 20

5. El promedio de los números

convencionales de una medida

angular resulta (380+π). Calcule

la medida del ángulo en el sistema

centesimal.

A) 200 g B) 300 g C) 400 g

D) 500 g E) 600 g

PROFUNDIZACIÓN

6. Del gráfico mostrado indique el área

del sector circular AOB.

A

(x–1)rad

O

(3x+1)m

(2x–1)m

A) 24 m 2 B) 25 m 2 C) 20 m 2

D) 26 m 2 E) 23 m 2

7. Calcule el valor de (x) sabiendo que

se cumple:

⎡(x+3)° ⎤

° ⎡(4x–18)° ⎤ g

⎣ 5 g ⎦ ⎣ 15 g ⎦

B

A) 39 B) 40 C) 41

D) 42 E) 43

8. Si (a)rad y (b)rad son complementarios

y se cumple a = π 4 + 2S 3 ;

b = π 5 – C ; S y C son lo convencional.

Calcula la medida del ángulo

2

en radianes.

π

A)

10 rad B) π

20 rad

C) J π N2 J π N

2

K O rad D) K O

L 5 P

L10 rad

P

J N

E)

π

2

K O

L10 rad

P

9. En base a los datos de la figura,

J N g

calcule

10x

K O en radianes.

L 3 P

(2x+10) g (7–7x) °

A) 3π 4 rad B) 2π 3 rad C) π 6 rad

D) π 5 rad E) π 4 rad

SISTEMATIZACIÓN

10. Siendo S, C y R lo convencional para

una medida angular y se cumple:

S+C+R

38R

= 40R C–S

+

π 2(C+S)

TEMA 1 TRIGONOMETRÍA 4 PRIMER BIMESTRE

4

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR

Calcule la medida del ángulo en

radianes.

A) 1 2 rad B) 1 3 rad

C) 1 4 rad D) 1 5 rad

E) 1 6 rad

11. Si el área del trapecio ABCD es

10πu 2 ; BC = 4.

Calcule el perímetro del sector

circular COD.

O 45°

A

B

D

A) 3(π+6) B) 3(π+8)

C) 4(π+6) D) 4(π+8)

E) 5(π+6)

12. Si el área del sector circular AOB y

el área del trapecio circular BCDE

están en la relación de 5 a 3.

C

Calcule el área del sector circular

BOE.

A

O

B

E

C

A) 107

7π u2 B) 103

C)

93

9π u2

E) 89π

101 u2

3

D

5

5π u2

D) 3π

172 u2

PRIMER BIMESTRE 5 TRIGONOMETRÍA TEMA 1

5