N 皇后問題的90 度旋轉不動解個數

The 25th Workshop on Combinatorial Mathematics and Computation Theory
下 的 加 減 法 。
∀ i≠j∈Zn f i ≠ f j
∀ i≠j∈Zn f i + i ≠ f j + j
∀ i≠j∈Zn f i − i ≠ f j − j
中 8 皇 后 問 題 的 解 f 上 所 得 的 另 外 兩 個 解 。
圖 表 3:h = R 90 ° f 為 90 度 旋 轉 運 算 子 作 用 在 解
f 上 所 得 之 另 一 個 解 。
圖 表 1:8 皇 后 問 題 的 一 個 解 。
在 N 皇 后 問 題 中 , 有 8 個 很 自 然 的 對 稱 運 算
子 由 旋 轉 , 翻 轉 所 展 開 ; 意 思 是 說 , 當 我 們 發
現 一 個 解 時 , 可 以 透 過 旋 轉 或 翻 轉 , 可 以 得 到
另 外 7 個 解 ; 這 8 個 解 , 可 能 是 完 全 不 同 的 8
個 解 , 也 有 可 能 只 有 不 同 的 4 個 、2 個 、 或 1 個
解 。
所 謂 解 答 空 間 上 的 一 個 對 稱 運 算 子
(symmetry operator) 係 指 具 有 以 下 特 性 的 函 數 :f
是 一 個 解 答 , 若 且 唯 若 (f) 也 是 一 個 解 答 。 這 8
個 運 算 子 是 由 R 及 R 90 ° 兩 個 運 算 子 所 展 開 的
{Id, R 90 °, R 180 °, R 270 °, R, R。R 90 °,R。R 180 °,R。R 270 °}
, 其 中 R 為 依 左 上 右 下 對 角 線 翻 轉 的 對 稱 運 算
子 , 而 R 90 ° 為 逆 時 針 旋 轉 90 度 的 對 稱 運 算 子 。
假 設 f(x) 為 n 皇 后 問 題 的 一 個 解 ,
R f x 及 R 90 ° f x 定 義 如 下 :
R f x = f −1 (x)
R 90 ° f x = n − 1 − f −1 (x)
除 了 以 上 數 學 定 義 外 ,R 及 R 90 ° 倆 的 運 算 子 也
有 操 作 型 定 義 如 下 : 其 將 棋 盤 上 的 一 點 (x,f(x))
旋 轉 或 翻 轉 對 應 到 棋 盤 上 的 另 外 一 點 去 。
R x, f(x) = (f x , x)
R 90 ° x, f(x) = n − 1 − f x , x
在 n 皇 后 問 題 的 所 有 解 中 , 有 些 解 會 在 對 稱
運 算 子 的 作 用 下 產 生 新 的 解 , 但 有 的 不 會 產 生
任 何 新 的 解 , 我 們 稱 不 會 產 生 新 解 的 解 為 運 算
子 下 的 不 動 解 。 圖 表 5 中 顯 示 5 皇 后 問 題 中 ,
旋 轉 90 度 運 算 子 下 的 一 個 不 動 解 。 我 們 使 用
Q R (n) 及 Q R90 ° (n) 來 表 示 n 皇 后 問 題 在 翻 轉 運 算
子 R 及 旋 轉 90 度 運 算 子 R 90 ° 的 不 動 解 個 數 。
圖 表 4:u = R 90 ° u 為 12 皇 后 問 題 中 ,90 度 旋 轉
運 算 子 的 不 動 解 。
在 圖 表 4 及 圖 表 5 中 顯 示 12 皇 后 問 題 及 13
皇 后 問 題 中 ,90 度 旋 轉 運 算 子 的 不 動 解 。
圖 表 2:g = R f 為 翻 轉 運 算 子 作 用 在 解 f 上 所 得
之 另 一 個 解 。
圖 表 2 及 圖 表 3 展 示 R 及 R 90 ° 作 用 在 圖 表 1
圖 表 5:u = R 90 ° u 為 13 皇 后 問 題 中 ,90 度 旋 轉
運 算 子 的 不 動 解 。
本 文 主 要 專 注 在 Q R90 ° (n) 的 計 算 , 在 Integer
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