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Transformaciones geométricas: movimientos en el plano Raúl Núñez Cabello 1

TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS: MOVIMIENTOS EN
EL PLANO
Raúl Núñez Cabello
Transformaciones geométricas: movimientos en el plano Raúl Núñez Cabello 2

© 2007. Raúl Núñez Cabello
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Índice de contenido
Índice de contenido: ............................................................................................................................................4
Presentación .......................................................................................................................................................5
Capítulo 1: Actividades de introducción sobre movimientos en el plano.............................................................6
a) Maurits Cornelius Escher. (Educación para la utilización del tiempo de ocio)........................................6
b) Arte islámico (Educación para la diversidad cultural). ..........................................................................11
c) Situaciones conocidas donde aparezcan las nociones de simetría y eje de simetría...........................13
Capítulo 2: Actividades de desarrollo sobre movimientos en el plano...............................................................14
1. Giros.....................................................................................................................................................14
a) Simetrías. .............................................................................................................................................15
b) Traslaciones.........................................................................................................................................16
c) Simetría rotacional................................................................................................................................17
d) Mosaicos. .............................................................................................................................................18
e) Más traslaciones, giros y simetrías. ....................................................................................................19
Capítulo 3: Actividades de refuerzo sobre movimientos en el plano. ................................................................20
1. Movimientos. ........................................................................................................................................20
a) Problema sobre trayectorias de bolas de billar.....................................................................................21
b) Movimientos entre dos triángulos.........................................................................................................22
c) Actividades de repaso. .........................................................................................................................23
Capítulo 4: Actividades de ampliación sobre movimientos en el plano. ............................................................24
1. Problemas más complejos. ..................................................................................................................24
a) Frisos y mosaicos más complejos........................................................................................................26
b) Composición de movimientos...............................................................................................................27
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Presentación
La idea de hacer un libro de ejercicios movimientos en el plano surge ante la necesidad de
usar constantemente en clase fichas con actividades suplementarias para los alumnos, actividades de
refuerzo en la mayoría de los casos y de ampliación para la minoría.
Libros sobre movimientos en el plano hay muchos y hoy en día es muy fácil buscar
información en libros o por internet sobre la multitud de trabajos que se pueden realizar. Sin embargo,
a mí me interesaba algo más concreto.
Se me ocurrió la idea de que si se puede disponer esporádicamente de alguna hora con los
alumnos (alternativa a la religión, tutorías, guardias, etc) se aproveche esta hora para introducir
algunos conceptos básicos sobre movimientos en el plano con actividades de distinto tipo. Además,
estos juegos y actividades pueden servir muy bien para introducir algún tema transversal, a veces tan
difíciles de introducir en algunas clases. En este libro se ha puesto entre paréntesis en el título de la
actividad cuando se tocaba algunos de estos temas.
Ésta ha sido la razón de ser de este libro, proporcionarles a las profesoras y profesores que lo
estimen oportuno algunas actividades sobre movimientos en el plano para hacer en clase de vez en
cuando, así como animarles a hacerlo, ya que, hoy por hoy, se antoja como una opción realmente
buena para acercar la geometría a las alumnas y alumnos.
El autor.
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Capítulo 1: Actividades de introducción sobre movimientos en el
plano.
a) Maurits Cornelius Escher. (Educación para la utilización del tiempo de ocio)
El artista gráfico holandés Maurits Cornelius Escher (1898-1972) utilizó en sus obras
simetrías, traslaciones y giros. Son muy conocidas sus obras en las que aplicando estas
transformaciones a determinadas figuras conseguía llenar el plano. Por ejemplo, las siguientes:
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Maurits Cornelis Escher nació en 1898 en Leuuwarden (Países Bajos), siendo el hijo más joven de un
ingeniero hidráulico. Su profesor F.W. van der Haagen le enseñó la técnica de los grabados en linóleo
y fue una gran influencia para el joven Escher.
No fue precisamente un estudiante brillante, y sólo llegó a destacar en las clases de dibujo. En 1919 y
bajo presión paterna empieza los estudios de arquitectura en la Escuela de Arquitectura y Artes
Decorativas de Haarlem, estudios que abandonó poco después para pasar como discípulo de un
profesor de artes gráficas, Jessurum de Mesquitas. Adquirió unos buenos conocimientos básicos de
dibujo, y destacó sobremanera en la técnica de grabado en madera, la cual llegó a dominar con gran
perfección.
Entre 1922 y 1935 se traslada a Italia donde realiza diversos bocetos y grabados principalmente de
temas paisajísticos. Abandona Italia debido al clima político de aquellas fechas, trasladándose a
Suiza, y pasó algunos años en Suiza, cuyo clima le resultó muy desagradable y poco inspirador.
Añora el sur de Italia y lo frecuenta repetidas veces. También viaja a España, y en particular a
Granada. Visita dos veces la Alhambra, la segunda vez de forma más detenida, copiando numerosos
motivos ornamentales.
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Lo que aprendió allí tendría fuertes influencias en muchos de sus trabajos, especialmente en los
relacionados con la partición regular del plano y el uso de patrones que rellenan el espacio sin dejar
ningún hueco.
En 1941 se muda a Baarn (Países Bajos), después de una estancia difícil en Bélgica (estamos en
plena 2ª Guerra Mundial). Parece que debido al habitual mal tiempo de esa región, donde los días
soleados se consideran una bendición, es por lo que abandona los motivos paisajísticos como
modelos y se centra más en su propia mente, encontrando en ella una potentísima fuente de
inspiración. Hasta 1951 vivió básicamente dependiendo económicamente de sus padres. A partir de
entonces fue cuando comenzó a vender sus grabados y obtener un buen dinero por ellos. Esto le
permitió vivir sus últimos años con una economía personal excelente. Generalmente hacía copias de
las litografías y grabados por encargo. También hizo por encargo diseños de sellos, portadas de
libros, y algunas esculturas en marfil y madera. En cierto modo le resulta gratificante y a la vez fácil, y
se admiraba de tener en su taller una especie de «máquina de fabricar billetes» reproduciendo sus
propias obras. Normalmente no usaba elementos de obras anteriores en las nuevas, excepto en los
encargos especiales. Hacía, por ejemplo, esculturas en madera basadas en algunos de sus dibujos, y
para algunas peticiones especiales reciclaba parte de las ideas y elementos de obras anteriores.
Quizás por ello en este período su producción sea tan fructífera y regular, y sólo se verá interrumpida
por la operación que sufrió en 1962, consecuencia de su debilitada salud.
En 1970 se traslada a la Casa Rosa Spier de Laren, al norte de Holanda, donde los artistas podían
tener estudio propio. En esa ciudad fallece dos años más tarde, en 1972.
Son muy famosos sus dibujos de figuras imposibles, cuerpos matemáticos extraños, sus estudios del
infinito y de la perspectiva, etc, como los siguientes:
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En este grabado, los caballos y peces oscuros se van trasladando hacia la derecha, y los blancos
hacia la izquierda, llenando el plano. Observar como las figuras blancas son la imagen invertida de la
negras. Se puede pedir a las alumnas y alumnos q pongan ejemplos como éstos entre la obra de
Escher. (Buscar más obras en los ordenadores)
b) Arte islámico (Educación para la diversidad cultural).
Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y giros en sus manifestaciones
artísticas. Los árabes fueron grandes maestros en utilizar los movimientos para decorar. Un bello y
cercano ejemplo lo encontramos en la Alhambra de Granada, en la que adornaron paredes y suelos
con lozas de colores que se delimitan sin dejar lagunas. Los diseños que se utilizaron en sus azulejos
siempre eran figuras geométricas. Dos ejemplos de estos mosaicos son el polihueso y la pajarita:
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Pedir a los alumnos que intenten encontrar estructuras similares entre mosaicos árabes
(ordenadores)
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c) Situaciones conocidas donde aparezcan las nociones de simetría y eje de simetría.
Se les puede plantear a las alumnas y alumnos las siguientes actividades:
a) Si te colocas frente a un espejo con el brazo izquierdo levantado, ¿qué brazo aparecerá
levantado en la imagen del espejo?, ¿puedes enunciar alguna propiedad sobre figuras reflejadas?
b) Dibuja un rombo. ¿Cuántos ejes de simetría posee? Define con tus palabras el eje de simetría.
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Capítulo 2: Actividades de desarrollo sobre movimientos en el
plano.
1.- Giros.
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a) Simetrías.
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) Traslaciones.
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c) Simetría rotacional.
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d) Mosaicos.
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e) Más traslaciones, giros y simetrías.
2) En una cuadrícula se tiene la circunferencia de centro C=(3,4) y radio 5. Dibuja su
simétrica respecto del eje de ordenadas.
3) Una traslación sucesiva tiene como vector guía w=(4,6). Una de las traslaciones tiene por
vector guía v=(3,1). ¿Cuáles son las coordenadas del vector guía de la otra traslación?
4) Dados dos segmentos PQ y P´Q´ homólogos en un giro, ¿cómo hallarías gráficamente el
centro de giro que transforma un segmento en otro?
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Capítulo 3: Actividades de refuerzo sobre movimientos en el
plano.
Están orientadas a aquellos alumnos que tienen dificultades en alcanzar los objetivos
señalados. Cabría la posibilidad de dar a estos alumnos estas actividades en unas fichas aparte para
que las vayan haciendo. Se pueden proponer las siguientes actividades:
1.- Movimientos.
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a) Problema sobre trayectorias de bolas de billar.
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) Movimientos entre dos triángulos.
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c) Actividades de repaso.
5) Dado el triángulo de vértices A=(1,3), B=(5,6), C=(7,2), halla las coordenadas de los vértices
del triángulo simétrico:
a) En una simetría respecto del origen.
b) En una simetría respecto del eje OX.
c) En una simetría respecto del eje OY.
6) Una traslación viene definida por un par de puntos homólogos A=(1,2) y A´=(3,4). Halla:
a) El vector guía
b) El transformado del punto B=(2,5).
7) Enumera cinco situaciones de tu vida cotidiana en las que se realicen giros, indicando en cada
una de ellas el centro y el ángulo aproximado de giro.
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Capítulo 4: Actividades de ampliación sobre movimientos en el
plano.
Están dirigidas a aquellos alumnos que han alcanzado rápidamente los objetivos propuestos,
que tienen curiosidad por el tema y que les gustaría saber más en algunos aspectos:
1.- Problemas más complejos.
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a) Frisos y mosaicos más complejos.
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) Composición de movimientos.
En matemáticas, muchas veces, para demostrar que una propiedad no se verifica en general, basta
encontrar un caso en que no se cumpla (contraejemplo). A partir de este resultado podemos afirmar
que la propiedad no es cierta. Teniendo en cuenta este modo de demostrar en matemáticas, contesta
razonadamente a esta pregunta: ¿el producto de dos movimientos es siempre conmutativo?
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Sobre el autor
Experiencia docente:
Clases de Matemáticas e Informática de Educación Secundaria Obligatoria en el
IES Francisco Rivero de Los Molares (Sevilla) durante todo el curso 2007/2008.
Raúl Núñez Cabello Clases de Matemáticas y Tecnología de Educación Secundaria Obligatoria en el
colegio concertado Providencia del Sagrado Corazón en La Línea de la
Concepción (Cádiz) durante todo el curso 2006/2007.
Prácticas del Curso de Adaptación Pedagógica (C.A.P.) en el I.E.S. Doménico Scarlatti de Aranjuez (Madrid)
en Diciembre de 2004, impartiendo clases en 2º de bachillerato con el profesor-tutor D. José María Lorenzo
Magam.
Amplia experiencia impartiendo clases en academias y a particulares de matemáticas a distintos niveles
educativos, principalmente a niveles de secundaria obligatoria y bachillerato.
Elaboración de programaciones y unidades didácticas. Conocimiento de la estructura, objetivos y contenidos
del sistema educativo.
Tareas de asesoramiento, orientación y coordinación de estudios matemáticos en el Colegio Mayor Guadaira
(Sevilla).
Impartición de cursos sobre aprendizaje de distintas aplicaciones informáticas a sus usuarios finales en la
Junta de Andalucía.
Teléfonos: 653574158; 605708429;
Correo electrónico: rncabello@gmail.com
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