Cap™tulo 8- Factorizar poli

Factorizar
polinomios
8A Métodos de factorización
8-1 Factores y máximo común divisor
Laboratorio Hacer un modelo: factorizar
8-2 Cómo factorizar mediante el MCD
Laboratorio Hacer un modelo:
factorizar trinomios
8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c
8-4 Cómo factorizar ax 2 + bx + c
Laboratorio Factorizar polinomios
mediante una gráfica
8B Aplicar métodos
de factorización
8-5 Cómo factorizar productos especiales
8-6 Cómo elegir un método
de factorización
CLAVE: MG7 ChProj
Las banderas que han ondeado en
Texas son las de España, Francia,
México, la República de Texas, la
Confederación y Estados Unidos
de América.
520 Capítulo 8

Vocabulario
Elige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.
1. binomio
A. un número cabal mayor que 1 que tiene más de dos factores
que son números cabales
2. número compuesto
B. un polinomio con dos términos
3. factor
C. el producto de cualquier número y un número cabal
4. múltiplo
D. un número que se escribe como el producto de sus
5. número primo
factores primos
E. un número cabal mayor que 1 que tiene exactamente dos
factores, ese número y 1
F. un número que se multiplica por otro número para obtener
un producto
Múltiplos
Escribe los primeros cuatro múltiplos de cada número.
6. 3 7. 4 8. 8 9. 15
Factores
Indica si el segundo número es un factor del primer número.
10. 20, 5 11. 50, 6 12. 120, 8 13. 245, 7
Números primos y compuestos
Indica si cada número es primo o compuesto. Si el número es compuesto, escríbelo como el
producto de dos números.
14. 2 15. 7 16. 10 17. 38
18. 115 19. 147 20. 151 21. 93
Multiplicar monomios y polinomios
Simplifica.
22. 2 (x + 5) 23. 3h (h + 1) 24. xy (x 2 - xy 3 ) 25. 6m(m 2 - 4m - 1)
Multiplicar binomios
Halla cada producto.
26. (x + 3)(x + 8) 27. (b - 7)(b + 1)
28. (2p - 5)(p - 1) 29. (3n + 4)(2n + 3)
Factorizar polinomios 521

Vocabulario/Key Vocabulary
Conexiones de vocabulario
factorización prima
máximo común divisor
prime factorization
greatest common factor
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos de vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas.
1. La palabra factor se refiere a un número o
polinomio que se multiplica por otro número
o polinomio para formar un producto. ¿Qué
crees que significa la palabra factorizar (es
decir, como verbo o palabra que se refiere a
una acción)?
2. Haz una lista de palabras que terminan con
el sufijo –izar o –ización. ¿Qué te parece que
significa la terminación –ización? ¿Qué crees
que significa factorización?
3. Las palabras primo, primer, primario y
primitivo derivan de la misma raíz. ¿Cuál es el
significado de estas palabras? ¿Cómo pueden
ayudarte sus significados a comprender qué es
un factor primo?
4. ¿Qué es un número primo? ¿En qué se
diferencia la factorización prima de un
número de otra factorización?
5. ¿Qué significa la palabra común?
¿Cómo puedes usar este significado
para comprender el término
máximo común divisor?
Álgebra I TEKS
A.1.D Bases de las funciones* representar las relaciones entre
cantidades usando modelos, tablas, gráficas, diagramas,
descripciones con palabras, ecuaciones y desigualdades
A.3.A Bases de las funciones* usar símbolos para representar
incógnitas y variables
A.4.A Bases de las funciones* hallar valores de funciones
específicas, simplificar expresiones polinomiales, transformar
y resolver ecuaciones y factorizar cuando sea necesario para
resolver situaciones dadas
A.4.B Bases de las funciones* usar las propiedades conmutativa,
asociativa y distributiva para simplificar expresiones algebraicas
Lecc.
8-1
8-2
Lab
de
Álg
★
Lecc.
8-2
★
8-3
Lab
de
Álg
Lecc.
8-3
Lecc.
8-4
8-4
Lab
de
Álg
Lecc.
8-5
★
★ ★ ★
★
Lecc.
8-6
* Los conocimientos y destrezas están descritos en detalle en las páginas TX28 a TX35.
522 Capítulo 8

Estrategia de lectura: Lee una lección para comprender
Para comprender nuevos conceptos, debes leer cada lección con un propósito. A medida
que lees una lección, haz anotaciones. Incluye las ideas principales de la lección y todas las
preguntas que tengas. En clase, escucha las explicaciones del vocabulario, la aclaración de los
ejemplos y las respuestas a tus preguntas.
Objetivos
Evaluar y multiplicar por
potencias de 10
Convertir entre
notación estándar y
notación científica
Sugerencias para
la lectura
En los objetivos se indica la idea
principal de la lección.
Si una potencia de 10 tiene un
exponente entero negativo,
¿esto hace al número negativo?
¿Cómo escribo números en notación
científica en mi calculadora?
Escribe las preguntas que tengas
a medida que lees la lección.
EJEMPLO 1 Evaluar potencias de 10
Halla el valor de cada potencia de 10.
A 10 -3
Comienza con 1 y desplaza el
punto decimal tres posiciones
hacia la izquierda.
Sigue la resolución de los
ejemplos y escribe cualquier
pregunta que tengas.
0. 0 0 1
0.001
Practica lo que has aprendido
en las secciones Compruébalo.
Inténtalo
Lee la Lección 8-1 antes de la próxima clase. Luego responde a estas preguntas.
1. ¿Cuáles son los objetivos de la lección?
2. ¿Qué vocabulario, fórmulas y símbolos son nuevos?
3. ¿Qué ejemplos, si los hay, son confusos?
4. ¿Qué preguntas tienes sobre la lección?
Factorizar polinomios 523

8-1
Factores y máximo
común divisor
TEKS A.4.A Bases de las funciones: … factorizar cuando sea necesario para
resolver situaciones dadas.
Objetivos
Escribir la factorización
prima de números
Hallar el MCD
de monomios
Vocabulario
factorización prima
máximo común divisor
¿Quién lo usa?
Los diseñadores de sitios web
que venden tarjetas de saludos
electrónicas pueden usar el máximo
común divisor de los números para
diseñar sus sitios web. (Ver Ejemplo 4)
Los números cabales que se multiplican
para hallar un producto se llaman factores
de ese producto. Un número es divisible
entre sus factores.
Un número primo
tiene exactamente dos
factores, ese número
y 1. El número 1 no
es primo porque sólo
tiene un factor.
Puedes usar los factores de un número para
escribir el número como un producto.
El número 12 se puede factorizar de varias formas.
Factorizaciones de 12
El orden de los factores no cambia el producto, pero hay un solo ejemplo más arriba
que no se puede factorizar más. La factorización encerrada en un círculo es una
factorización prima porque todos los factores son números primos. Los factores
primos se pueden escribir en cualquier orden y, excepto por los cambios en el orden,
hay una sola forma de escribir la factorización prima de un número.
EJEMPLO 1 Escribir factorizaciones primas
Escribe la factorización prima de 60.
Método 1 Árbol de factores
Elige dos factores cualesquiera de 60
para comenzar. Sigue hallando factores
hasta que cada rama termine en un
factor primo.
Método 2 Diagrama en escalera
Elige un factor primo de 60 para
comenzar. Sigue dividiendo entre factores
primos hasta que el cociente sea 1.
60 = 2 · 3 · 2 · 5
60 = 2 · 2 · 5 · 3
La factorización prima de 60 es 2 · 2 · 3 · 5 ó 2 2 · 3 · 5.
Escribe la factorización prima de cada número.
1a. 40 1b. 33 1c. 49 1d. 19
524 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Los factores compartidos por dos o más números cabales son factores comunes.
El mayor de estos factores comunes es el máximo común divisor o MCD.
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Factores comunes: 1, 2, 4
El máximo común divisor es 4.
EJEMPLO 2 Hallar el MCD de números
Halla el MCD de cada par de números.
A 24 y 60
Método 1 Haz una lista de los factores.
factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Haz una lista de todos los factores.
factores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
El MCD de 24 y 60 es 12.
Encierra en un
círculo el MCD.
B 18 y 27
Método 2 Usa la factorización prima.
18 = 2 · 3 · 3 Escribe la factorización prima de cada número.
27 = 3 · 3 · 3 Alinea los factores comunes.
3 · 3 = 9
El MCD de 18 y 27 es 9.
Halla el MCD de cada par de números.
2a. 12 y 16 2b. 15 y 25
También puedes hallar el MCD de monomios que incluyen variables. Para hallar
el MCD de monomios, escribe la factorización prima de cada coeficiente y escribe
todas las potencias de las variables como productos. Luego halla el producto de
los factores comunes.
EJEMPLO 3 Hallar el MCD de monomios
Si dos términos
contienen la misma
variable elevada a
distintas potencias, el
MCD contendrá esa
variable elevada a la
potencia menor.
Halla el MCD de cada par de monomios.
A 3 x 3 y 6 x 2
3x 3 = 3 · x · x · x
Escribe la factorización prima de cada coeficiente
y escribe las potencias como productos.
6x 2 = 2 · 3 · x · x
Alinea los factores comunes.
3 · x · x = 3 x 2 Halla el producto de los factores comunes.
El MCD de 3 x 3 y 6 x 2 es 3 x 2 .
B 4 x 2 y 5 y 3
4x 2 = 2 · 2 · x · x
5y 3 = 5 · y · y · y
El MCD de 4 x 2 y 5 y 3 es 1.
Escribe la factorización prima de cada coeficiente
y escribe las potencias como productos.
Alinea los factores comunes.
No hay factores comunes que no sean 1.
Halla el MCD de cada par de monomios.
3a. 18 g 2 y 27 g 3 3b. 16 a 6 y 9b 3c. 8x y 7 v 2
8-1 Factores y máximo común divisor 525

EJEMPLO 4 Aplicación a la tecnología
Garrison crea una página web
que ofrece tarjetas de saludos
electrónicas. Tiene 24 diseños
para ocasiones especiales y 42
diseños para cumpleaños. Se
mostrará la misma cantidad de
diseños en cada fila. Los diseños
para ocasiones especiales y para
cumpleaños no aparecerán en la
misma fila. ¿Cuántas filas habrá si
Garrison pone la mayor cantidad
posible de diseños en cada fila?
INICIO
Ocasión especial
Cumpleaños
TARJETAS ELECTRÓNICAS
CREAR
DESCARGAR
Buscar tarjetas electrónicas
Amor, amor, amor Disfruta tu día Gracias
Más
Celebración Party Fiesta Time
Deseos de cumpleaños
Los 24 diseños para ocasiones
especiales y los 42 diseños para
cumpleaños deben estar divididos en grupos de igual tamaño. La cantidad
de diseños en cada fila debe ser un factor común de 24 y 42.
Más
factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Halla los factores comunes
de 24 y 42.
El MCD de 24 y 42 es 6.
La mayor cantidad posible de diseños en cada fila es 6. Halla la cantidad
de filas de cada grupo de diseños cuando hay 6 diseños en cada fila.
____
24 diseños para ocasiones especiales
= 4 filas
6 diseños por fila
___
42 diseños para cumpleaños
= 7 filas
6 diseños por fila
Cuando cada fila tiene la mayor cantidad posible de diseños,
hay 11 filas en total.
4. Adrianne quiere comprar una unidad para guardar CD.
Tiene 36 CD de artistas de música pop y 48 CD de artistas de
música country. Quiere poner la misma cantidad de CD en
cada estante sin poner los discos de música pop y los discos
de música country en el mismo estante. Si Adrianne pone
la mayor cantidad posible de CD en cada estante, ¿cuántos
estantes debe tener su unidad para guardar discos?
RAZONAR Y COMENTAR
1. Describe dos formas de hallar la factorización prima de un número.
2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Muestra cómo
escribir la factorización prima de 100 x 2 completando
cada recuadro.
100x 2
Coeficiente
Variable
Factorización prima
del coeficiente
Término variable
como producto
Factorización prima
de 100x 2
526 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-1
Ejercicios
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 3, 10
CLAVE: MA7 8-1
PRÁCTICA GUIADA
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
1. Vocabulario Define el término máximo común divisor con tus propias palabras.
VER EJEMPLO 1
pág. 524
VER EJEMPLO 2
pág. 525
VER EJEMPLO 3
pág. 525
VER EJEMPLO 4
pág. 526
Escribe la factorización prima de cada número.
2. 20 3. 36 4. 27 5. 54
6. 96 7. 7 8. 100 9. 75
Halla el MCD de cada par de números.
10. 12 y 60 11. 14 y 49 12. 55 y 121
Halla el MCD de cada par de monomios.
13. 6x 2 y 5 x 2 14. 15y 3 y -20y 15. 13q 4 y 2 p 2
16. Samantha hace collares de cuentas con 54 cuentas
de vidrio y 18 cuentas de cerámica. Quiere que
cada collar tenga la misma cantidad de cuentas,
pero cada collar tendrá un solo tipo de cuenta.
Si pone la mayor cantidad posible de cuentas en
un collar, ¿cuántos collares puede hacer?
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
17–24 1
25–27 2
28–30 3
31 4
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S18
Práctica de aplicación
pág. S35
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Escribe la factorización prima de cada número.
17. 18 18. 64 19. 12 20. 150
21. 17 22. 226 23. 49 24. 63
Halla el MCD de cada par de números.
25. 36 y 63 26. 14 y 15 27. 30 y 40
Halla el MCD de cada par de monomios.
28. 8a 2 y 11 29. 9s y 63 s 3 30. -64n 4 y 24 n 2
31. José hace tartas rellenas de frutas para una fiesta.
Tiene 72 frambuesas y 108 arándanos azules. Las
tartas tendrán la misma cantidad de cada tipo de
fruta. Las frambuesas y los arándanos no estarán en
la misma tarta. Si pone la mayor cantidad posible de
frutas en cada tarta, ¿cuántas tartas puede hacer?
Halla el MCD de cada par de productos.
32. 3 · 5 · t y 2 · 2 · 5 · t · t 33. -1 · 2 · 2 · x · x y 2 · 2 · 7 · x · x · x
34. 2 · 2 · 2 · 11 · x · x · x y 3 · 11 35. 2 · 5 · n · n · n y -1 · 2 · 3 · n
36. Escríbelo El número 2 es par y primo. Explica por qué todos los otros números
primos son números impares.
8-1 Factores y máximo común divisor 527

37. Razonamiento crítico El MCD de dos números es 1. Explica si esto significa que los
dos números deben ser primos.
Música
38. Varios pasos Angelo hace un piso rectangular con un área de 84 pies cuadrados para
la casa de un club. La longitud de cada lado del piso es un número cabal de pies.
a. ¿Cuáles son las longitudes y los anchos posibles del piso de la casa del club de Angelo?
b. ¿Cuál es el perímetro mínimo del piso de la casa del club?
c. ¿Cuál es el perímetro máximo del piso de la casa del club?
39. Música Los Cavaliers y los Blue Devils son dos bandas
de marcha que forman parte del DCI (Drum Corps
International). Las bandas del DCI están formadas por
jóvenes que tocan instrumentos de percusión y de viento
de metal y portaestandartes que llevan banderas y
otros elementos.
El DCI (Drum Corps
International) es una
organización sin fines
de lucro que supervisa
las interpretaciones y
las competencias de
conjuntos instrumentales
de percusión y de viento
para jóvenes de 14
a 21 años.
En 2004, los Cavaliers tenían 35 portaestandartes
y los Blue Devils tenían 40. Los dos grupos de
portaestandartes marcharán en filas con la misma
cantidad de personas en cada fila sin que se mezclen
los portaestandartes de cada banda. Si en cada fila
hay la mayor cantidad posible de personas, ¿cuántas
filas habrá?
Para cada conjunto de números, determina qué par de
números tiene un MCD mayor que 1 y halla ese MCD.
40. 11, 12, 14 41. 8, 20, 63 42. 16, 21, 27
43. 32, 63, 105 44. 25, 35, 54 45. 35, 54, 72
46. Sentido numérico La factorización prima de 24 es 2 3 · 3. Sin realizar ningún cálculo
o usar un diagrama, escribe la factorización prima de 48. Explica tu razonamiento.
Completa cada diagrama. Luego escribe la factorización prima del número.
47.
48.
49.
50.
53.
51.
54.
52.
55.
528 Capítulo 8 Factorizar polinomios

56. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 556. La ecuación para el movimiento de un objeto con aceleración constante es d
= vt + 1__
2 at 2 , donde d es la distancia recorrida en pies, v es la velocidad inicial en pies/s, a
es la aceleración en pies/s 2 y t es el tiempo en segundos.
a. Un automóvil de juguete comienza con una velocidad de 2 pies/s y acelera a 2 pies/s 2 .
Escribe una expresión para la distancia que el automóvil recorre después de t segundos.
b. ¿Cuál es el MCD de los términos de tu expresión de la parte a?
57. ¿Qué conjunto de números tiene un MCD mayor que 6?
18, 24, 36 30, 35, 40 11, 29, 37 16, 24, 48
58. La pendiente de una línea es el MCD de 48 y 12. La intersección con el eje y es el MCD
de la pendiente y 8. ¿Qué ecuación describe la línea?
y = 12x + 4 y = 6x + 2 y = 4x + 4 y = 3x + 1
59. Respuesta desarrollada Patricia planea hacer un corral para su perro en el patio.
El corral será rectangular y tendrá un área de 24 pies cuadrados. Dibuja y rotula un
diagrama en el que se muestren todas las dimensiones posibles en números cabales
para el corral. Halla el perímetro de cada rectángulo que dibujaste. ¿Qué dimensiones
debe usar Patricia para gastar la menor cantidad de dinero en los materiales de la cerca?
Explica tu razonamiento.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Halla el MCD de cada conjunto.
60. 4n 3 , 16n 2 , 8n 61. 27y 3 , 18y 2 , 81y
62. 100, 25 s 5 , 50s 63. 2p 4 r, 8 p 3 r 2 , 16 p 2 r 3
64. 2x 3 y, 8 x 2 y 2 3
, 17x y
65. 8a 4 b 3 , 4 a 3 b 3 , 12 a 2 b 3
66. Geometría El área de un triángulo es 10 pulg 2 . ¿Cuáles son las dimensiones posibles en
números cabales de la base y la altura del triángulo?
67. Sentido numérico El MCD de tres números distintos es 7. La suma de los tres
números es 105. ¿Cuáles son los tres números?
68. Razonamiento crítico Halla tres números compuestos distintos cuyo MCD sea 1.
(Pista: un número compuesto tiene factores distintos de 1 y ese mismo número).
REPASO EN ESPIRAL
Halla cada valor. Redondea a la décima más cercana si es necesario. (Lección 2-8)
69. 40% de 60 70. 250% de 16 71. ¿Qué porcentaje de 80 es 20?
Determina si cada sucesión puede ser una sucesión aritmética. Si es así, halla la
diferencia común y úsala para hallar los siguientes tres términos. (Lección 4-6)
72. 3, 7, 11, 15, … 73. -4, -8, -16, -32, … 74. 1.5, 1, 0.5, 0, …
75. Escribe una expresión polinomial simplificada para
el perímetro del triángulo. (Lección 7-6)
8-1 Factores y máximo común divisor 529

8-2
Hacer un modelo: factorizar
Puedes usar fichas de álgebra para escribir un polinomio como el producto de
sus factores. Este proceso se llama factorización. La factorización es lo opuesto
de la multiplicación.
Para usar con
la Lección 8-2
TEKS A.1.D Bases de las funciones: representar las relaciones entre
cantidades usando modelos…
CLAVE
Actividad
Usa fichas de álgebra para factorizar 4x + 8.
MODELO
Haz un modelo de 4x + 8.
EN ÁLGEBRA
4x + 8
Organiza las fichas en un rectángulo. El área total
representa 4x + 8. La longitud y el ancho representan
los factores. El rectángulo tiene un ancho de x + 2
y una longitud de 4.
4x + 8 = 4 (x + 2)
Usa fichas de álgebra para factorizar x 2 - 2x.
MODELO
Haz un modelo de x 2 - 2x.
EN ÁLGEBRA
x 2 - 2x
Organiza las fichas en un rectángulo. El área total
representa x 2 - 2x. La longitud y el ancho representan
los factores. El rectángulo tiene un ancho de x - 2
y una longitud de x.
x 2 - 2x = x (x - 2)
Inténtalo
Usa fichas de álgebra para factorizar cada polinomio.
1. 3x + 9 2. 2x + 8 3. 4x - 12 4. 3x - 12
5. 2x 2 + 2x 6. x 2 + 4x 7. x 2 - 3x 8. 2x 2 - 4x
530 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-2
Cómo factorizar
mediante el MCD
TEKS A.4.A Bases de las funciones: … factorizar cuando sea
necesario para resolver situaciones dadas. Ver también A.3.A, A.4.B
Objetivo
Factorizar polinomios
mediante el máximo
común divisor
¿Para qué sirve?
Puedes determinar las dimensiones de
un panel solar mediante la factorización
de una expresión que represente el área
del panel. (Ver Ejemplo 2)
Recuerda que la propiedad distributiva
establece que ab + ac = a(b + c). La propiedad
distributiva te permite sacar el MCD como
factor común de los términos de un polinomio
para escribir una forma factorizada
del polinomio.
En el Desafío Solar de Norteamérica de
2005, los equipos hicieron una carrera desde
Austin, Texas, hasta Calgary, Alberta, Canadá.
Un polinomio está en su forma factorizada cuando se escribe como un
producto de monomios y polinomios que ya no se pueden factorizar más.
El polinomio 2 (3x - 4x) no está completamente factorizado porque los
términos entre paréntesis tienen un factor común, x.
EJEMPLO 1 Factorizar mediante el MCD
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
A 4 x 2 - 3x
Alinear los factores
comunes te puede
ayudar a hallar el
máximo común
divisor de dos o
más términos.
4x 2 = 2 · 2 · x · x Halla el MCD.
3x = 3 · x
4x(x) - 3 (x)
x (4x - 3)
Comprueba x(4x - 3)
4x 2 - 3x ✓
x
El MCD de 4 x 2 y 3x es x.
Escribe los términos como productos usando
el MCD como factor.
Saca el MCD como factor común mediante la
propiedad distributiva.
Multiplica para comprobar tu respuesta.
El producto es el polinomio original.
B 10 y 3 + 20 y 2 - 5y
10y 3 = 2 · 5 · y · y · y
20y 2 = 2 · 2 · 5 · y · y
5y = 5 · y
5 · y = 5y
2y 2 (5y) + 4y(5y) - 1 (5y)
5y(2y 2 + 4y - 1)
Comprueba 5y (2y 2 + 4y - 1)
10 y 3 + 20 y 2 - 5y ✓
Halla el MCD.
El MCD de 10 y 3 , 20 y 2 y 5y es 5y.
Escribe los términos como productos usando
el MCD como factor.
Saca el MCD como factor común mediante la
propiedad distributiva.
Multiplica para comprobar tu respuesta.
El producto es el polinomio original.
8- 2 Cómo factorizar mediante el MCD 531

Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
C -12x - 8 x 2
-1(12x + 8 x 2 )
12x = 2 · 2 · 3 · x
8 x 2 = 2 · 2 · 2 · x · x
Los dos coeficientes son negativos. Saca –1 como
factor común.
Halla el MCD.
2 · 2 · x = 4x
El MCD de 12x y 8 x 2 es 4x.
Cuando saques –1
como factor común
en el primer paso,
asegúrate de incluirlo
en todos los otros
pasos también.
Comprueba
-1 ⎣ ⎡ 3(4x) + 2x(4x) ⎤ ⎦
-1⎡ ⎣ 4x(3 + 2x) ⎦ ⎤
-1(4x)(3x + 2x)
-4x(3 + 2x)
-4x (3 + 2x) =-12x - 8 x 2 ✓
Escribe cada término como producto usando
el MCD.
Saca el MCD como factor común mediante la
propiedad distributiva.
Multiplica para comprobar tu respuesta.
D 5 x 2 + 7
5 x 2 = 5 · x · x
7 = 7
5 x 2 + 7
Halla el MCD.
El polinomio no se puede factorizar más.
No hay factores comunes que no sean 1.
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
1a. 5b + 9 b 3 1b. 9d 2 - 8 2
1c. -18y 3 - 7 y 2 1d. 8 x 4 + 4 x 3 - 2 x 2
Si quieres escribir expresiones para la longitud y el ancho de un rectángulo con
el área expresada por un polinomio, tienes que escribir el polinomio como un
producto. Puedes factorizar un polinomio para escribirlo como un producto.
EJEMPLO 2 Aplicación a las ciencias
La calculadora de Mandy funciona con
energía solar. El área del panel solar es
(7x 2 + x) cm 2 . Factoriza este polinomio
para hallar expresiones posibles para las
dimensiones del panel solar.
A = 7x 2 + x El MCD de 7 x 2 y x es x.
Escribe cada término como producto
= 7x(x) + 1 (x)
usando el MCD como factor.
= x (7x + 1)
Saca el MCD como factor común mediante
la propiedad distributiva.
Las expresiones posibles para las dimensiones del panel solar son x cm y
(7x + 1) cm.
2. ¿Y si...? El área del panel solar de otra calculadora es
(2x 2 + 4x) c m 2 . Factoriza este polinomio para hallar las
expresiones posibles para las dimensiones del panel solar.
532 Capítulo 8 Factorizar polinomios

A veces el MCD de los términos es un binomio. Este MCD se llama factor de binomio
común. Un factor de binomio común se saca como factor común de la misma forma
que un factor de monomio.
EJEMPLO 3 Factorizar para hallar un factor de binomio común
Factoriza cada expresión.
A 7 (x - 3) - 2x(x - 3)
7 (x - 3) - 2x(x - 3)
(x - 3)(7 - 2x)
B -t (t 2 + 4) + (t 2 + 4)
-t(t 2 + 4) + (t 2 + 4)
-t(t 2 + 4) + 1(t 2 + 4)
(t 2 + 4)(-t + 1)
C 9x(x + 4) - 5 (4 + x)
9x(x + 4) - 5 (4 + x)
9x(x + 4) - 5 (x + 4)
(x + 4)(9x - 5)
D -3x 2 (x + 2) + 4 (x - 7)
-3x 2 (x + 2) + 4 (x - 7)
Los términos tienen un factor de binomio común de
(x - 3) .
Saca (x - 3) como factor común.
Los términos tienen un factor de binomio común de
(t 2 + 4) .
(t 2 + 4) = 1 (t 2 + 4)
Saca (t 2 + 4) como factor común.
(x + 4) = (4 + x); por lo tanto, los términos tienen
un factor de binomio común de (x + 4) .
Saca (x + 4) como factor común.
No hay factores comunes.
La expresión no se puede factorizar.
Factoriza cada expresión.
3a. 4s(s + 6) - 5 (s + 6) 3b. 7x(2x + 3) + (2x + 3)
3c. 3x(y + 4) - 2y (x + 4) 3d. 5x(5x - 2) - 2 (5x - 2)
Puedes factorizar un polinomio por agrupación. Cuando un polinomio tiene
cuatro términos, puedes hacer dos grupos y sacar el MCD como factor común
en cada grupo.
EJEMPLO 4 Factorizar por agrupación
Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.
A 12 a 3 - 9 a 2 + 20a - 15
(12a 3 - 9 a 2 ) + (20a - 15) Agrupa los términos que tengan un número o
una variable común como factor.
3 a 2 (4a - 3) + 5(4a - 3) Saca el MCD como factor común en cada grupo.
3 a 2 (4a - 3) + 5 (4a - 3) (4a - 3) es otro factor común.
(4a - 3)(3a 2 + 5)
Saca (4a - 3) como factor común.
Comprueba (4a - 3)(3a 2 + 5)
Multiplica para comprobar tu solución.
4a(3a 2 ) + 4a(5) - 3 (3a 2 ) - 3 (5)
12a 3 + 20a - 9 a 2 - 15
12a 3 - 9 a 2 + 20a - 15 ✓
El producto es el polinomio original.
8- 2 Cómo factorizar mediante el MCD 533

Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.
B 9 x 3 + 18 x 2 + x + 2
(9x 3 + 18 x 2 ) + (x + 2) Agrupa los términos.
9 x 2 (x + 2) + 1(x + 2)
9 x 2 (x + 2) + 1 (x + 2)
(x + 2)(9x 2 + 1)
Comprueba (x + 2)(x 2 + 1)
x (9x 2 ) + x (1) + 2 (9x 2 ) + 2 (1)
9x 3 + x + 18 x 2 + 2
9x 3 + 18 x 2 + x + 2 ✓
Saca el MCD como factor común en cada grupo.
(x + 2) es un factor común.
Saca (x + 2) como factor común.
Multiplica para comprobar tu solución.
El producto es el polinomio original.
Si dos cantidades son
opuestas, la suma es 0.
(5 - x) + (x - 5)
5 - x + x - 5
-x + x + 5 - 5
0 + 0
0
Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.
4a. 6 b 3 + 8 b 2 + 9b + 12 4b. 4 r 3 + 24r + r 2 + 6
Reconocer binomios opuestos te puede ayudar a factorizar polinomios. Los binomios
(5 - x) y (x - 5) son opuestos. Observa que (5 - x) se puede escribir como -1(x - 5) .
-1(x - 5) = (-1)(x) + (-1)(-5)
=-x + 5
= 5 - x
Por lo tanto, (5 - x) =-1(x - 5) .
Propiedad distributiva
Simplifica.
Propiedad conmutativa
de la suma
EJEMPLO 5 Factorizar con opuestos
Factoriza 3 x 3 - 15 x 2 + 10 - 2x.
3x 3 - 15 x 2 + 10 - 2x
(3x 3 - 15 x 2 ) + (10 - 2x) Agrupa los términos.
3x 2 (x - 5) + 2 (5 - x)
Saca el MCD como factor común en cada grupo.
3x 2 (x - 5) + 2 (-1)(x - 5) Escribe (5 - x) como -1(x - 5) .
3x 2 (x - 5) - 2 (x - 5)
Simplifica. (x - 5) es el factor común.
(x - 5)(3x 2 - 2)
Saca (x - 5) como factor común.
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
5a. 15 x 2 - 10 x 3 + 8x - 12 5b. 8y - 8 - x + xy
RAZONAR Y COMENTAR
1. Explica cómo hallar el MCD de monomios te ayuda a factorizar
un polinomio.
2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico.
Factorizar mediante el MCD
1. Halla el ______ ?
común divisor.
2. Escribe cada término
como un(a) ______ ?
usando el MCD.
3. Usa el/la ______ ?
para sacar el MCD
como factor común.
534 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-2
Ejercicios
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 3, 6, 10
CLAVE: MA7 8-2
VER EJEMPLO 1
pág. 531
VER EJEMPLO 2
pág. 532
PRÁCTICA GUIADA
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
1. 15a - 5 a 2 2. 10g 3 - 3g
3. -35x + 42 4. -4x 2 - 6x
5. 12h 4 + 8 h 2 - 6h 6. 3x 2 - 9x + 3
7. 9m 2 + m 8. 14n 3 + 7n + 7 n 2
9. 36f + 18 f 2 + 3 10. -15b 2 + 7b
11. Física Un cohete en miniatura se lanza verticalmente
al aire a 320 pies/s. La expresión -16t 2 + 320t da la
altura del cohete después de t segundos. Factoriza
esta expresión.
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
VER EJEMPLO 3
pág. 533
VER EJEMPLO 4
pág. 533
VER EJEMPLO 5
pág. 534
Factoriza cada expresión.
12. 5(m - 2) - m(m - 2) 13. 2b(b + 3) + 5 (b + 3) 14. 4(x - 3) - x(y + 2)
Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.
15. x 3 + 4 x 2 + 2x + 8 16. 6x 3 + 4 x 2 + 3x + 2 17. 4b 3 - 6 b 2 + 10b - 15
18. 2m 3 + 4 m 2 + 6m + 12 19. 7r 3 - 35 r 2 + 6r - 30 20. 10a 3 + 4 a 2 + 5a + 2
21. 2r 2 - 6r + 12 - 4r 22. 6b 2 - 3b + 4 - 8b 23. 14q 2 - 21q + 6 - 4q
24. 3r - r 2 + 2r - 6 25. 2m 3 - 6 m 2 + 9 - 3m 26. 6a 3 - 9 a 2 - 12 + 8a
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
27–35 1
36 2
37–42 3
43–48 4
49–54 5
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S18
Práctica de aplicación
pág. S35
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
27. 9y 2 + 45y 28. 36d 3 + 24 29. -14x 4 + 5 x 2
30. -15f - 10 f 2 31. -4d 4 + d 3 - 3 d 2 32. 14x 3 + 63 x 2 - 7x
33. 21c 2 + 14c 34. 33d 3 + 22d + 11 35. -5g 3 - 15 g 2
36. Finanzas Después de t años, la cantidad de dinero en una cuenta de ahorros que gana
interés simple es C + Cit, donde C es la cantidad inicial e i es la tasa de interés anual.
Factoriza esta expresión.
Factoriza cada expresión.
37. 6a (a - 2) - 5b (b + 4) 38. -4x (x + 2) + 9 (x + 2) 39. 6y (y - 7) + (y - 7)
40. a (x - 3) + 2b (x - 3) 41. -3(2 + b) + 4b(b + 2) 42. 5(3x - 2) + x(3x - 2)
Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.
43. 2a 3 - 8 a 2 + 3a - 12 44. x 3 + 3x 2 + 5x + 15 45. 6x 3 + 18 x 2 + x + 3
46. 7x 3 + 2 x 2 + 28x + 8 47. n 3 - 2n 2 + 5n - 10 48. 10b 3 - 16 b 2 + 25b - 40
49. 2m 3 - 2 m 2 + 3 - 3m 50. 2d 3 - d 2 - 3 + 6d 51. 6f 3 - 8 f 2 + 20 - 15f
52. 5k 2 - k 3 + 3k - 15 53. b 3 - 2b - 8 + 4 b 2 54. 20 - 15x - 6 x 2 + 8x
8- 2 Cómo factorizar mediante el MCD 535

Completa la parte que falta en cada factorización.
55. 16v + 12 v 2 = 4v (4 + ) 56. 15x - 25 x 2 = 5x (3 - )
57. -16k 3 - 24 k 2 =-8k 2 ( + 3) 58. -x - 10 = -1( + 10)
Copia y completa la tabla.
Polinomio
Cantidad de
términos
Nombre
Forma con la
factorización completa
3y + 3x + 9 3 trinomio 3 (y + x + 3)
59. x 2 + 5x
60. 28c 2 - 49c
61. a 4 + a 3 + a 2
62. 36 + 99r - 40r 2 - 110r 3
63. Finanzas personales La cantidad final de dinero que
un certificado de depósito (CD) da después de n años se
puede representar mediante la expresión Cx n , donde C es
la cantidad inicial depositada y x es la tasa de interés.
La tía de Justin compró certificados de depósito para
ayudarlo a pagar la universidad. En la tabla se muestra la
cantidad de CD que compró cada año. En 2007, pagará
$800.00 directamente a la universidad.
Año
Cantidad del CD
2004 $100.00
2005 $200.00
2006 $400.00
a. Escribe expresiones para el valor de los CD que se compraron en 2004, 2005 y 2006
para cuando Justin empiece la universidad en 2007.
b. Representa con un polinomio el valor total de los CD que se compraron en 2004,
2005 y 2006 más la cantidad que se pagará a la universidad en 2007.
c. Factoriza el polinomio de la parte c por agrupación. Evalúa la forma factorizada del
polinomio cuando la tasa de interés es 1.09.
64. Escríbelo Describe cómo hallar el área de la figura que
se muestra. Muestra cada paso y escribe tu respuesta en
forma factorizada.
65. Razonamiento crítico Muestra dos métodos para
factorizar la expresión 3a - 3b - 4a + 4b.
66. Geometría El área de un triángulo se representa mediante la expresión
1__ (x 3 - 2x + 2 x 2 - 4) . La altura del triángulo es x + 2. Escribe una expresión
2
para la base del triángulo. (Pista: la fórmula del área de un triángulo
es A = 1__
2 bh).
67. Escríbelo Explica cómo sabes que dos binomios son opuestos.
68. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS
de la página 556.
a. La propiedad de multiplicación del cero establece que el producto de cualquier
número y 0 es 0. ¿Qué debe ser verdadero acerca de a o b para que ab = 0?
b. La distancia en pies de un automóvil de juguete desde el punto de partida está
dada por la ecuación d = t (3 - t). Explica por qué t (3 - t) = 0 significa que t = 0
ó (3 - t) = 0.
c. Cuando d = 0, el automóvil está en el punto de partida. Halla los dos momentos en
que el automóvil está en el punto de partida basándote en que t = 0 ó (3 - t) = 0
cuando d = 0.
536 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Completa cada espacio en blanco con una propiedad o definición que justifique el paso.
69. 7x 3 + 2x + 21 x 2 + 6 = 7 x 3 + 21 x 2 + 2x + 6 a. ?
=(7x 3 + 21 x 2 ) + (2x + 6) b. ?
= 7 x 2 (x + 3) + 2 (x + 3) c. ?
= (x + 3)(7x 2 + 2) d. ?
70. /ANÁLISIS DE ERRORES / ¿Qué factorización de 3 n 3 - n 2 es incorrecta? Explica.
71. ¿Qué opción es la factorización completa de 24 x 3 - 12 x 2 ?
6 (4x 3 - 2 x 2 ) 12 (2x 3 - x 2 ) 12x(2x 2 - x) 12 x 2 (2x - 1)
72. ¿Qué opción NO es un factor de 18 x 2 + 36x?
1 4x x + 2 18x
73. El área de un rectángulo se representa mediante el polinomio x 2 + 3x - 6x - 18.
¿Cuál de las siguientes opciones podría representar la longitud y el ancho del rectángulo?
Longitud: x + 3; ancho: x + 6 Longitud: x + 3; ancho: x - 6
Longitud: x - 3; ancho: x - 6 Longitud: x - 3; ancho: x + 6
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Factoriza cada polinomio.
74. 6ab 2 - 24 a 2 75. -72a 2 b 2 - 45ab 76. -18a 2 b 2 + 21ab
77. ab + bc + ad + cd 78. 4y 2 + 8ay - y - 2a 79. x 3 - 4 x 2 + 3x - 12
80. Geometría El área entre dos círculos concéntricos se llama
corona circular. La fórmula del área de una corona circular es
A = πR 2 - πr 2 , donde R es el radio del círculo mayor y r el radio
del círculo menor.
a. Factoriza la fórmula del área de una corona circular
mediante el MCD.
b. Usa la forma factorizada para hallar el área de una corona
circular con R = 12 cm y r = 5 cm.
REPASO EN ESPIRAL
81. Las coordenadas de los vértices de un cuadrilátero son A (-2, 5) , B (6, 5) , C (4, -3)
y D(-4, -3) . Usa la pendiente para mostrar que ABCD es un paralelogramo. (Lección 5-8)
82. Representa gráficamente los datos de la tabla y muestra las tasas de cambio. (Lección 5-3)
Tiempo (años) 1998 1999 2002 2004 2005
Ganancias (millones de $) 0.6 0.8 1.3 1.9 2.4
Escribe la factorización prima de cada número. (Lección 8-1)
83. 52 84. 75 85. 24 86. 28
8- 2 Cómo factorizar mediante el MCD 537

8-3
Hacer un modelo: factorizar
trinomios
Puedes usar fichas de álgebra para escribir un trinomio como un producto
de dos binomios. Esto se llama factorización de un trinomio.
Para usar con
la Lección 8-3
CLAVE
Actividad 1
Usa fichas de álgebra para factorizar x 2 + 7x + 6.
MODELO
Haz un modelo de x 2 + 7x + 6.
EN ÁLGEBRA
x 2 + 7x + 6
Intenta organizar todas las fichas en un
rectángulo. Comienza por colocar la ficha
x 2 en la esquina superior izquierda.
Organiza las fichas de unidades en un
rectángulo de manera que la esquina
superior izquierda de este rectángulo
toque la esquina inferior derecha de la
ficha x 2 .
Organiza las fichas x de manera que todas
las fichas juntas formen un
gran rectángulo.
Esta disposición no sirve porque dos fichas x
quedan afuera
x 2 + 7x + 6 ≠ (x + 2)(x + 3)
Organiza de nuevo las fichas de unidades
para formar otro rectángulo.
Completa los espacios vacíos con fichas x.
Las 7 fichas x encajan. Esta es la
organización correcta.
El área total representa el trinomio.
La longitud y el ancho representan
los factores.
x 2 + 7x + 6 = (x + 1) (x + 6)
El ancho del rectángulo mide x + 1 y la longitud x + 6. Por lo tanto, x 2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6) .
538 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Inténtalo
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 10
Usa fichas de álgebra para factorizar cada trinomio.
1. x 2 + 2x + 1 2. x 2 + 3x + 2 3. x 2 + 6x + 5 4. x 2 + 6x + 9
5. x 2 + 5x + 4 6. x 2 + 6x + 8 7. x 2 + 5x + 6 8. x 2 + 8x + 12
Actividad 2
Usa fichas de álgebra para factorizar x 2 + x - 2.
MODELO
Haz un modelo de x 2 + x - 2.
EN ÁLGEBRA
x 2 + x - 2
Comienza por colocar la ficha x 2 en la esquina
superior izquierda.
Organiza las fichas de unidades en un rectángulo
de manera que la esquina superior izquierda
de este rectángulo toque la esquina inferior
derecha de la ficha x 2 .
Para hacer un rectángulo, debes llenar los
espacios vacíos, pero no hay suficientes fichas x
para llenar los espacios vacíos.
Suma un par nulo. Organiza las fichas x para
completar el rectángulo.
Recuerda que el producto de dos valores
positivos es positivo y que el producto de un
valor positivo y uno negativo es negativo.
El área total representa el trinomio. La longitud y
el ancho representan los factores.
x 2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
El ancho del rectángulo mide x - 1 y la longitud x + 2. Por lo tanto, x 2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) .
Inténtalo
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 10
9. ¿Por qué puedes sumar una ficha -x roja y una ficha x amarilla?
Usa fichas de álgebra para factorizar cada polinomio.
10. x 2 - x + 2 11. x 2 - 2x - 3 12. x 2 - 5x + 4 13. x 2 - 7x + 10
14. x 2 - 2x + 1 15. x 2 - 6x + 5 16. x 2 + 5x - 6 17. x 2 + 3x - 4
18. x 2 - x - 6 19. x 2 + 3x - 10 20. x 2 - 2x - 8 21. x 2 + x - 12
Laboratorio de álgebra 539

8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c
Objetivo
Factorizar trinomios
cuadráticos del tipo
x 2 + bx + c
¿Para qué sirve?
Factorizar polinomios te ayudará
a hallar las dimensiones de
figuras rectangulares, como una
fuente. (Ver Ejercicio 71)
En el Capítulo 7, aprendiste
cómo multiplicar dos binomios
mediante la propiedad distributiva
o el método FOIL. En esta lección,
aprenderás cómo factorizar un
trinomio en dos binomios.
Observa que cuando multiplicas
(x + 2)(x + 5) , el término constante
del trinomio es el producto de las
constantes en los binomios.
Puedes usar esto para factorizar un trinomio en sus factores de binomios. Busca dos
números que sean factores del término constante del trinomio. Escribe dos binomios
con esos números y luego multiplica para ver si es correcto.
EJEMPLO 1 Factorizar trinomios mediante el método de calcular y comprobar
Factoriza x 2 + 19x + 60 mediante el método de calcular y comprobar.
( + )( + ) Escribe dos conjuntos de paréntesis.
(x + )(x + )
El primer término es x 2 ; por lo tanto, los términos
variables tienen un coeficiente 1.
Al multiplicar dos
binomios, multiplica
los términos en
este orden:
primeros
externos
internos
últimos
El término constante del trinomio es 60.
(x + 1)(x + 60) = x 2 + 61x + 60 ✗ Intenta con factores de 60 para
los términos constantes de
(x + 2)(x + 30) = x 2 + 32x + 60 ✗
los binomios.
(x + 3)(x + 20) = x 2 + 23x + 60 ✗
(x + 4)(x + 15) = x 2 + 19x + 60 ✓
Los factores de x 2 + 19x + 60 son (x + 4) y (x + 15) .
x 2 + 19x + 60 = (x + 4)(x + 15)
Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular
y comprobar.
1a. x 2 + 10x + 24 1b. x 2 + 7x + 12
540 Capítulo 8 Factorizar polinomios

El método de calcular y comprobar generalmente no es el método más eficiente para
factorizar trinomios. Observa el producto de (x + 3) y (x + 4) .
x 2 12
3x
4x
El coeficiente del término del medio es la suma de 3 y 4. El tercer témino es el
producto de 3 y 4.
Cómo factorizar x 2 + bx + c
CON PALABRAS
Para factorizar un
trinomio cuadrático
del tipo x 2 + bx + c,
halla dos factores de c
cuya suma sea b.
EJEMPLO
Para factorizar x 2 + 9x + 18, busca los factores de 18 cuya
suma sea 9.
Factores de 18 Suma
1 y 18 19 ✗
2 y 9 11 ✗
3 y 6 9 ✓ x 2 + 9x + 18 = (x + 3) (x + 6)
Cuando c es positivo, sus factores tienen el mismo signo. El signo de b te indica si los
factores son positivos o negativos. Cuando b es positivo, los factores son positivos, y
cuando b es negativo, los factores son negativos.
EJEMPLO 2 Factorizar x 2 + bx + c cuando c es positivo
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
A x 2 + 6x + 8
(x + )(x + ) b = 6 y c = 8; busca los factores de 8 cuya suma sea 6.
Factores de 8 Suma
1 y 8 9
2 y 4 6
(x + 2)(x + 4)
✗
✓ Los factores necesarios son 2 y 4.
Comprueba (x + 2) (x + 4) = x 2 + 4x + 2x + 8
= x 2 + 6x + 8 ✓
Usa el método FOIL.
El producto es el
polinomio original.
B x 2 + 5x + 6
(x + )(x + ) b = 5 y c = 6; busca los factores de 6 cuya suma sea 5.
Factores de 6 Suma
1 y 6 7
2 y 3 5
(x + 2)(x + 3)
✗
✓ Los factores necesarios son 2 y 3.
Comprueba (x + 2) (x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6
= x 2 + 5x + 6 ✓
Usa el método FOIL.
El producto es el
polinomio original.
8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c 541

Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
C x 2 - 10x + 16
(x + )(x + ) b =-10 y c = 16; busca los factores
de 16 cuya suma sea -10.
Factores de 16 Suma
-1 y-16 -17
-2 y -8 -10
-4 y-4 -8
(x - 2)(x - 8)
✗
✓
✗
Los factores necesarios son -2 y -8.
Comprueba (x - 2) (x - 8) = x 2 - 8x - 2x + 16
= x 2 - 10x + 16 ✓
Usa el método FOIL.
El producto es el
polinomio original.
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
2a. x 2 + 8x + 12 2b. x 2 - 5x + 6
2c. x 2 + 13x + 42 2d. x 2 - 13x + 40
Cuando c es negativo, sus factores tienen signos opuestos. El signo de b te indica
qué factor es positivo y qué factor es negativo. El factor con el mayor valor absoluto
tendrá el mismo signo que b.
EJEMPLO 3 Factorizar x 2 + bx + c cuando c es negativo
Si tienes problemas
para recordar las
reglas sobre qué
factor es positivo o
negativo, puedes
probar con todos los
pares de factores y
comprobar las sumas.
Factoriza cada trinomio.
A x 2 + 7x - 18
(x + )(x + ) b = 7 y c = -18; busca los factores de -18
cuya suma sea 7. El factor con el mayor
valor absoluto es positivo.
Factores de -18 Suma
-1 y 18 17 ✗
-2 y 9 7 ✓ Los factores necesarios son -2 y 9.
-3 y 6 3 ✗
(x - 2)(x + 9)
B x 2 - 5x - 24
(x + )(x + ) b =-5 y c = -24; busca los factores de -24 cuya
suma sea -5. El factor con el mayor valor
absoluto es negativo.
Factores de -24 Suma
1 y -24 -23
2 y -12 -10
3 y -8 -5
4 y -6 -2
(x + 3)(x - 8)
✗
✗
✓
✗
Los factores necesarios son 3 y -8.
Factoriza cada trinomio.Comprueba tu respuesta.
3a. x 2 + 2x - 15 3b. x 2 - 6x + 8 3c. x 2 - 8x - 20
542 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Un polinomio y la forma factorizada del polinomio son expresiones equivalentes.
Cuando evalúas estas dos expresiones para el mismo valor de la variable, los
resultados son iguales.
EJEMPLO 4 Evaluar polinomios
Factoriza n 2 + 11n + 24. Muestra que el polinomio original y la forma
factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.
n 2 + 11n + 24
(n + ) (n + ) b = 11 y c = 24; busca los factores de 24
cuya suma sea 11.
Factores de 24 Suma
1 y 24 25
2 y 12 14
3 y 8 11
4 y 6 10
(n + 3)(n + 8)
✗
✗
✓
✗
Los factores necesarios son 3 y 8.
Evalúa el polinomio original y la forma factorizada para
n = 0, 1, 2, 3 y 4.
n n 2 + 11n + 24
0 0 2 + 11 (0) + 24 = 24
1 1 2 + 11 (1) + 24 = 36
2 2 2 + 11 (2) + 24 = 50
3 3 2 + 11 (3) + 24 = 66
4 4 2 + 11 (4) + 24 = 84
n (n + 3)(n + 8)
0 (0 + 3) (0 + 8) = 24
1 (1 + 3) (1 + 8) = 36
2 (2 + 3) (2 + 8) = 50
3 (3 + 3) (3 + 8) = 66
4 (4 + 3) (4 + 8) = 84
El polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para los
valores dados de n.
4. Factoriza n 2 - 7n + 10. Muestra que el polinomio original y la
forma factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.
RAZONAR Y COMENTAR
1. Explica con tus propias palabras cómo factorizar x 2 + 9x + 14. Muestra
cómo comprobar tu respuesta.
2. Explica cómo puedes determinar los signos de los factores de c cuando
factorizas un trinomio del tipo x 2 + bx + c.
3. ORGANÍZATE Copia y
completa el organizador gráfico.
En cada recuadro, escribe un
ejemplo de un trinomio con las
propiedades dadas y factorízalo.
c es positivo y
b es positivo.
Cómo factorizar
x 2 + bx + c
c es negativo
y b es positivo.
c es positivo y
b es negativo.
c es negativo
y b es negativo.
8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c 543

8-3
Ejercicios
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 7, 10
CLAVE: MA7 8-3
VER EJEMPLO 1
pág. 540
VER EJEMPLO 2
pág. 541
VER EJEMPLO 3
pág. 542
VER EJEMPLO 4
pág. 543
PRÁCTICA GUIADA
Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.
1. x 2 + 13x + 36 2. x 2 + 11x + 24 3. x 2 + 14x + 40
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
4. x 2 + 4x + 3 5. x 2 + 10x + 16 6. x 2 + 15x + 44
7. x 2 - 7x + 6 8. x 2 - 9x + 14 9. x 2 - 11x + 24
10. x 2 - 6x - 7 11. x 2 + 6x - 27 12. x 2 + x - 30
13. x 2 - x - 2 14. x 2 - 3x - 18 15. x 2 - 4x - 45
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
16. Factoriza n 2 + 6n - 7. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen el
mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
17–19 1
20–25 2
26–31 3
32 4
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S18
Práctica de aplicación
pág. S35
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.
17. x 2 + 13x + 30 18. x 2 + 11x + 28 19. x 2 + 16x + 48
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
20. x 2 + 12x + 11 21. x 2 + 16x + 28 22. x 2 + 15x + 36
23. x 2 - 6x + 5 24. x 2 - 9x + 18 25. x 2 - 12x + 32
26. x 2 + x - 12 27. x 2 + 4x - 21 28. x 2 + 9x - 36
29. x 2 - 12x - 13 30. x 2 - 10x - 24 31. x 2 - 2x - 35
32. Factoriza n 2 - 12n - 45. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen
el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.
Relaciona cada trinomio con su factorización correcta.
33. x 2 + 3x - 10 A. (x - 2)(x - 5)
34. x 2 - 7x + 10 B. (x + 1)(x + 10)
35. x 2 - 9x - 10 C. (x - 2)(x + 5)
36. x 2 + 11x + 10 D. (x + 1)(x - 10)
37. Escríbelo Compara la multiplicación de binomios con la factorización de polinomios
en factores de binomios.
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
38. x 2 + x - 20 39. x 2 - 11x + 18 40. x 2 - 4x - 21
41. x 2 + 10x + 9 42. x 2 - 12x - 32 43. x 2 + 13x + 42
44. x 2 - 7x + 12 45. x 2 + 11x + 18 46. x 2 - 6x - 27
47. x 2 + 5x - 24 48. x 2 - 10x + 21 49. x 2 + 4x - 45
50. Factoriza n 2 + 11n + 28. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen
el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.
544 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Arte
51. Estimación En la gráfica se muestran las áreas de
rectángulos con dimensiones de (x + 1) yardas y
(x + 2) yardas. Estima el valor de x para un rectángulo
con un área de 9 yardas cuadradas.
52. Geometría El área de un rectángulo en pies cuadrados se
puede representar mediante x 2 + 8x + 12. La longitud es
(x + 6) pies. ¿Cuál es el ancho del rectángulo?
53. Reformas Un propietario quiere agrandar un clóset que
tiene un área de (x 2 + 3x + 2) pies 2 . La longitud es
(x + 2) pies. Después de la construcción, el área será
(x 2 + 8x + 15) pies 2 con una longitud de (x + 3) pies.
a. Halla las dimensiones del clóset antes de la construcción.
b. Halla las dimensiones del clóset después de la construcción.
Área (yd 2 )
40
30
20
10
0
1 2 3 4
Valores de x
c. ¿En cuántos pies aumentarán la longitud y el ancho después de la construcción?
Arte Escribe el polinomio que se representa y luego factoriza.
54.
55. 56.
x 2 2x
x 2 2x
x 2 –2x
El pintor holandés
Theo van Doesburg
(1883–1931) es famoso
por sus pinturas
compuestas de líneas y
rectángulos, como la
que se muestra.
3x 6
Copia y completa la tabla.
4x 8
4x –8
x 2 + bx + c
Signo de c
Factores de
binomio
Signos de números
en binomios
x 2 + 4x + 3 Positivo (x + 1)(x + 3) Ambos positivos
57. x 2 - 4x + 3 (x 1)( x 3 )
58. x 2 + 2x - 3 (x 1)( x 3 )
59. x 2 - 2x - 3 (x 1)( x 3 )
60. Geometría Un rectángulo tiene un área x 2 + 6x + 8. La longitud es x + 4. Halla el
ancho del rectángulo. ¿El rectángulo podría ser un cuadrado? Explica por qué sí o
por qué no.
61. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 556.
La ecuación para el movimiento de un objeto con aceleración constante es d = vt + 1__
2 at 2
donde d es la distancia recorrida en pies, v es la velocidad inicial en pies por segundo, a
es la aceleración en pies por segundo al cuadrado y t es el tiempo en segundos.
a. Janna tiene dos automóviles de carrera de juguete en una pista. Uno arranca a
una velocidad de 0 pies/s y acelera hasta 2 pies/ s 2 . Escribe una ecuación para la
distancia que el automóvil recorre en el tiempo t.
b. El segundo automóvil viaja a una velocidad constante de 4 pies/s. Escribe una
ecuación de la distancia que el segundo automóvil recorre en el tiempo t. (Pista:
cuando la velocidad es constante, la aceleración es 0 pies/ s 2 ).
c. Si igualas las ecuaciones entre sí, puedes determinar el momento en el que los
automóviles han recorrido la misma distancia: t 2 = 4t. Esto se puede escribir como
t 2 - 4t = 0. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c 545

62. Construcción La longitud de una plataforma
es (x + 7) pies. El área de la plataforma es
(x 2 2
+ 9x + 14) pies . Halla el ancho de
la plataforma.
Indica si cada enunciado es verdadero o falso.
Si es falso, explica.
63. El tercer término de un trinomio que se puede
factorizar es igual al producto de las constantes
en sus factores de binomio.
( x + 7 ) pies
64. Las dos constantes de los factores de binomio de x 2 + x - 2 son negativas.
65. La factorización correcta de x 2 - 3x - 4 es (x + 4)(x - 1) .
66. Todos los trinomios del tipo x 2 + bx + c se pueden factorizar.
Completa la parte que falta en cada factorización.
67. x 2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - )
68. x 2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - )
69. x 2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + )
70. x 2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + )
71. Construcción El área de una fuente rectangular es
(x 2 2
+ 12x + 20) pies . El ancho es (x + 2) pies.
a. Halla la longitud de la fuente.
b. Se construye un sendero de 2 pies alrededor de la
fuente. Halla las dimensiones del borde exterior
del sendero.
c. Halla el área total que cubren la fuente y el sendero.
(x + 2) pies
72. Razonamiento crítico Halla todos los valores posibles de b para que x 2 + bx + 6 se
pueda factorizar en factores de binomio.
73. ¿Cuál es la factorización correcta de x 2 - 10x - 24?
(x - 4) (x - 6) (x - 2) (x + 12)
(x + 4) (x - 6) (x + 2) (x - 12)
74. ¿Qué valor de b permitiría factorizar x 2 + bx - 20?
9 12 19 21
75. ¿Qué valor de b NO permitiría factorizar x 2 + bx - 36?
5 9 15 16
76. Respuesta breve ¿Cuáles son los factores de x 2 + 2x - 24? Muestra y explica cada
paso de la factorización del polinomio.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Factoriza cada trinomio.
77. x 4 + 18 x 2 + 81 78. y 4 - 5 y 2 - 24 79. d 4 + 22 d 2 + 21
80. (u + v) 2 + 2 (u + v) - 3 81. (de) 2 - (de) - 20 82. (m - n) 2 - 4 (m - n) - 45
546 Capítulo 8 Factorizar polinomios

83. Halla todos los valores posibles de b para que, al factorizar x 2 + bx + 28, las constantes
de ambos binomios sean positivas.
84. Halla todos los valores posibles de b para que, al factorizar x 2 + bx + 32, las constantes
de ambos binomios sean negativas.
85. El área del jardín rectangular de Beth es
(x 2 + 13x + 42)pies 2 . El ancho es (x + 6) pies.
a. ¿Cuál es la longitud del jardín?
b. Halla el perímetro en función de x.
c. Halla el costo de cercar el jardín cuando x es 5.
d. Halla el costo del fertilizante cuando x es 5.
Artículo
e. Halla el costo total de cercar y fertilizar el jardín de Beth cuando x es 5.
Costo
Fertilizante 0.28 ($/ pies 2 )
Cerca 2.00 ($/ pies 2 )
REPASO EN ESPIRAL
86. Elige la situación que mejor describa la gráfica. (Lección 4-1)
A. Un objeto aumenta la velocidad, se detiene y luego marcha
hacia atrás.
B. Un objeto comienza detenido, aumenta la velocidad
constantemente, mantiene la velocidad constante y luego se
detiene de inmediato.
C. Un objeto aumenta la velocidad rápidamente, luego aumenta
la velocidad lentamente y luego se detiene de inmediato.
Velocidad
Tiempo
Simplifica. (Lección 7-3)
87. x 3 x 2 88. m 8 n 3 m -12 89. (t 4 ) 3 90. (-2xy 3 ) 5
Factoriza cada polinomio por agrupación. (Lección 8-2)
91. x 3 + 2 x 2 + 5x + 10 92. 2n 3 - 8 n 2 - 3n + 12
93. 2p 4 - 4 p 3 + 7p - 14 94. x 3 - 4 x 2 + x - 4
CLAVE: MA7 Career
P: ¿Qué cursos de matemáticas tomaste en la escuela superior?
R: Álgebra 1, álgebra 2 y geometría
P: ¿Qué cursos de matemáticas has tomado en la universidad?
R: Tomé varios cursos de modelos y programación en
computadora y también de estadística y probabilidad.
P: ¿En qué se usan las matemáticas en algunos de tus proyectos?
R: Las aplicaciones de computación me ayudan a analizar los datos
que se reúnen en un sitio local de eliminación de desechos. Usé
mis conocimientos de matemáticas para hacer recomendaciones
sobre cómo preservar el suministro de agua de los alrededores.
Jessica Rubino
Estudiante de
ciencias ambientales
P: ¿Cuáles son tus planes para el futuro?
R: Me interesa estudiar la contaminación del agua. También me
gustaría investigar más sobre los usos más eficientes de los
recursos energéticos naturales.
8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c 547

8-4 Cómo factorizar ax 2 + bx + c
Objetivo
Factorizar trinomios
cuadráticos del tipo
ax 2 + bx + c
¿Para qué sirve?
La altura que alcanza una pelota de
fútbol americano después de patearla
se puede representar mediante un
polinomio factorizado. (Ver Ejercicio 69)
En la lección anterior factorizaste trinomios
del tipo x 2 + bx + c. Ahora factorizarás
trinomios del tipo ax 2 + bx + c, donde a ≠ 0.
Cuando multiplicas (3x + 2)(2x + 5) , el
coeficiente del término x 2 es el producto de
los coeficientes de los términos x. Además, el
término constante del trinomio es el producto
de las constantes de los binomios.
FC Dallas, que antes se llamaba Dallas Burn, es un
importante equipo de fútbol de grandes ligas.
Para factorizar un trinomio como ax 2 + bx + c en sus factores de binomio, escribe
dos conjuntos de paréntesis: ( x + )( x + ) .
Escribe dos números que sean factores de a al lado de las x y dos números que
sean factores de c en los otros espacios en blanco. Multiplica los binomios para
comprobar si es correcto.
EJEMPLO 1 Factorizar ax 2 + bx + c mediante el método de calcular
y poner a prueba
Factoriza 4 x 2 + 16x + 15 mediante el método de calcular y comprobar.
( + )( + ) Escribe dos conjuntos de paréntesis.
( x + )( x + )
El primer término es 4 x 2 , por lo tanto al menos un
término variable tiene un coeficiente distinto de 1.
El coeficiente del término x 2 es 4. El término constante del trinomio es 15.
(1x + 15)(4x + 1) = 4 x 2 + 61x + 15 ✗ Prueba factores de 4
(1x + 5)(4x + 3) = 4 x 2 + 23x + 15 ✗
(1x + 3)(4x + 5) = 4 x 2 + 17x + 15 ✗
(1x + 1)(4x + 15) = 4 x 2 + 19x + 15 ✗
(2x + 15)(2x + 1) = 4 x 2 + 32x + 15 ✗
(2x + 5)(2x + 3) = 4 x 2 + 16x + 15 ✓
Los factores de 4 x 2 + 16x + 15 son (2x + 5) y (2x + 3) .
4x 2 + 16x + 15 = (2x + 5)(2x + 3)
para los coeficientes y
factores de 15 para los
términos constantes.
548 Capítulo 8 Factorizar polinomios
Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular
y comprobar.
1a. 6x 2 + 11x + 3 1b. 3x 2 - 2x - 8

Por lo tanto, para factorizar ax 2 + bx + c, comprueba los factores de a y los factores
de c en los binomios. La suma de los productos de los términos externos e internos
debe ser b.
Producto a
Producto c
Suma de los productos externos e internos b
Como necesitas comprobar todos los factores de a y todos los factores de c, puede ser
útil hacer una tabla. Después comprueba los productos de los términos externos e
internos para ver si la suma es b. Puedes multiplicar los binomios para comprobar
tu respuesta.
EJEMPLO 2 Factorizar ax 2 + bx + c cuando c es positivo
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
A 2x 2 + 11x + 12
( x + )( x + ) a = 2 y c = 12; Externos + Internos = 11
Factores de 2 Factores de12 Externos + Internos
1 y 2
1 y 12
1(12) + 2(1) = 14
✗
1 y 2
12 y 1
1(1) + 2(12) = 25
✗
1 y 2
2 y 6
1(6) + 2(2) = 10
✗
1 y 2
6 y 2
1(2) + 2(6) = 14
✗
1 y 2
3 y 4
1(4) + 2(3) = 10
✗
1 y 2
4 y 3
1(3) + 2(4) = 11
✓
(x + 4)(2x + 3)
Comprueba (x + 4) (2x + 3) = 2 x 2 + 3x + 8x + 12 Usa el método FOIL.
= 2 x 2 + 11x + 12 ✓
Cuando b es negativo
y c es positivo, los
dos factores de c
son negativos.
B 5 x 2 - 14x + 8
( x + )( x + ) a = 5 y c = 8; Externos + Internos = -14
Factores de 5 Factores de 8 Externos + Internos
1 y 5
-1 y -8 1(-8) + 5(-1) = -13
✗
1 y 5
-8 y -1
1(-1) + 5(-8) = -41
✗
1 y 5
-2 y -4
1(-4) + 5(-2) = -14
✓
(x - 2)(5x - 4)
Comprueba (x - 2) (5x - 4) = 5 x 2 - 4x - 10x + 8 Usa el método FOIL.
= 5 x 2 - 14x + 8 ✓
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
2a. 6 x 2 + 17x + 5 2b. 9 x 2 - 15x + 4 2c. 3 x 2 + 13x + 12
Cuando c es negativo, un factor de c será positivo y el otro factor será negativo. Sólo
algunos de los factores se muestran en los ejemplos, pero tal vez necesites comprobar
todas las posibilidades.
8-4 Cómo factorizar a x 2 + bx + c 549

EJEMPLO 3 Factorizar ax 2 + bx + c cuando c es negativo
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
A 4 y 2 + 7y - 2
( y + )( y + ) a = 4 y c = -2; Externos + Internos = 7
Factores de 4 Factores de -2 Externos + Internos
1 y 4
1 y 4
1 y 4
1 y -2
-1 y 2
2 y -1
1(-2) + (4)1 = 2
(1)2 + 4(-1) = -2
1(-1) + (4)2 = 7
✗
✗
✓
(y + 2)(4y - 1)
Comprueba (y + 2) (4y - 1) = 4 y 2 - y + 8y - 2
Usa el método FOIL.
= 4 y 2 + 7y - 2 ✓
B 4 x 2 + 19x - 5
( x + )( x + ) a = 4 y c = -5; Externos + Internos = 19
Factores de 4 Factores de -5 Externos + Internos
1 y 4
1 y 4
1 y 4
1 y -5
-1 y 5
5 y -1
1(-5) + (4)1 = -1
(1)5 + 4(-1) = 1
1(-1) + (4)5 = 19
✗
✗
✓
(x + 5)(4x - 1)
Comprueba (x + 5) (4x - 1) = 4x 2 - x + 20x - 5 Usa el método FOIL.
= 4 x 2 + 19x - 5 ✓
C 2 x 2 - 7x - 15
( x + )( x + ) a = 2 y c = -15; Externos + Internos = -7
Factores de 2 Factores de -15 Externos + Internos
1 y 2
1 y 2
1 y 2
1 y 2
1 y 2
1 y 2
1 y -15
-1 y 15
3 y -5
-3 y 5
5 y -3
-5 y 3
1(- 5) + (2)1 = -13
(1)15 + 2(-1) = 13
1(-5) + (2)3 = 1
(1)5 + 2(-3) = -1
1(- ) + (2)5 = 7
(1)3 + 2(-5) = -7
✗
✗
✗
✗
✗
✓
(x - 5)(2x + 3)
Comprueba (x - 5) (2x + 3) = 2 x 2 + 3x - 10x - 15
Usa el método FOIL.
= 2 x 2 - 7x - 15 ✓
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
3a. 6 x 2 + 7x - 3 3b. 4 n 2 - n - 3
550 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Cómo factorizar a x 2 + bx + c
Me gusta usar un recuadro que me ayude a factorizar trinomios. Busco los factores
de ac que suman b. Luego organizo los términos en un recuadro y factorizo.
Reggie Wilson
Escuela Superior
Franklin
Para factorizar 6 x 2 + 7x + 2, primero
hallo los factores que necesito.
ac = 2 (6) = 12 b = 7
Factores de 12 Suma
1 y 12 13
2 y 6 8
3 y 4 7
Luego vuelvo a escribir el trinomio
como 6 x 2 + 3x + 4x + 2.
Ahora organizo 6 x 2 + 3x + 4x + 2
en un recuadro y saco los factores
comunes de cada fila y columna.
Los factores son (2x + 1) y (3x + 2).
Cuando el coeficiente principal es negativo, saca –1 como factor común de cada
término antes de usar otros métodos de factorización.
EJEMPLO 4 Factorizar ax 2 + bx + c cuando a es negativo
Factoriza -2x 2 - 15x - 7.
-1(2x 2 + 15x + 7)
-1( x + )( x + )
Saca -1 como factor común.
a = 2 y c = 7; Externos + Internos = 15
Cuando sacas –1 como
factor común en uno
de los primeros pasos,
debes mantenerlo en
el resto de los pasos.
Factores de 2 Factores de 7 Externos + Internos
1 y 2
1 y 2
1 y 7
7 y 1
(1)7 + (2)1 = 9
(1)1 + (2)7 = 15
(x + 7)(2x + 1)
-1(x + 7)(2x + 1)
✗
✓
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
4a. -6x 2 - 17x - 12 4b. -3x 2 - 17x - 10
RAZONAR Y COMENTAR
1. Sean a, b y c positivos. Si ax 2 + bx + c es es el producto de dos binomios,
¿qué sabes sobre los signos de los números en los binomios?
2. ORGANÍZATE Copia y completa el
organizador gráfico. Escribe cada uno
delos siguientes trinomios en el recuadro
correspondiente y factoriza cada uno.
3x 2 + 10x - 8 3 x 2 + 10x + 8
3x 2 - 10x + 8 3 x 2 - 10x - 8
8-4 Cómo factorizar a x 2 + bx + c 551

8-4
Ejercicios
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 4, 10
CLAVE: MA7 8-4
VER EJEMPLO 1
pág. 548
VER EJEMPLO 2
pág. 549
VER EJEMPLO 3
pág. 550
VER EJEMPLO 4
pág. 551
PRÁCTICA GUIADA
Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.
1. 2x 2 + 9x + 10 2. 5x 2 + 31x + 6 3. 5x 2 + 7x - 6
4. 6x 2 + 37x + 6 5. 3x 2 - 14x - 24 6. 6x 2 + x - 2
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
7. 5x 2 + 11x + 2 8. 2x 2 + 11x + 5 9. 4x 2 - 9x + 5
10. 2y 2 - 11y + 14 11. 5x 2 + 9x + 4 12. 3x 2 + 7x + 2
13. 4a 2 + 8a - 5 14. 15x 2 + 4x - 3 15. 2x 2 + x - 6
16. 6n 2 - 11n - 10 17. 10x 2 - 9x - 1 18. 7x 2 - 3x - 10
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
19. -2x 2 + 5x + 12 20. -4n 2 - 16n + 9 21. -5x 2 + 7x + 6
22. -6x 2 + 13x - 2 23. -4x 2 - 8x + 5 24. -5x 2 + x + 18
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
25–33 1
34–42 2
43–48 3
49–51 4
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S18
Práctica de aplicación
pág. S35
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.
25. 9x 2 + 9x + 2 26. 2x 2 + 7x + 5 27. 3n 2 + 8n + 4
28. 10d 2 + 17d + 7 29. 4c 2 - 17c + 15 30. 6x 2 + 14x + 4
31. 8 x 2 + 22x + 5 32. 6 x 2 - 13x + 6 33. 5 x 2 + 9x - 18
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
34. 6x 2 + 23x + 7 35. 10n 2 - 17n + 7 36. 3x 2 + 11x + 6
37. 7x 2 + 15x + 2 38. 3n 2 + 4n + 1 39. 3x 2 - 19x + 20
40. 6 x 2 + 11x + 4 41. 4 x 2 - 31x + 21 42. 10 x 2 + 31x + 15
43. 12y 2 + 17y - 5 44. 3x 2 + 10x - 8 45. 4x 2 + 4x - 3
46. 2n 2 - 7n - 4 47. 3x 2 - 4x - 15 48. 3n 2 - n - 4
49. -4x 2 - 4x + 15 50. -3x 2 + 16x - 16 51. -3x 2 - x + 2
Geometría En los Ejercicios del 52 al 54, escribe el polinomio que se representa y
luego factoriza.
52.
53.
54.
Factoriza cada trinomio, si es posible.
55. 9n 2 + 17n + 8 56. 2x 2 - 7x - 4 57. 4x 2 - 12x + 5
58. 5x 2 - 4x + 12 59. 3x 2 + 14x + 16 60. -3x 2 - 11x + 4
61. 6x 2 - x - 12 62. 10a 2 + 11a + 3 63. 4x 2 - 12x + 9
552 Capítulo 8 Factorizar polinomios

64. Geometría El área de un rectángulo es
6x 2 + 11x + 5 cm 2 . El ancho es (x + 1) cm.
¿Cuál es la longitud del rectángulo?
65. Escríbelo Escribe un párrafo en el que describas cómo factorizar 6 x 2 + 13x + 6.
Muestra cada paso que sigas y explícalo.
Completa cada factorización.
66. 8 x 2 - 18x - 5 67. 4 x 2 + 9x + 2
8 x 2 + 20x - 2x - 5 4 x 2 + 8x + x + 2
(8x 2 + 20x) - (2x + 5) (4x 2 + 8x) + (x + 2)
( + ) - (2x + 5) ( + ) + (x + 2)
( - )(2x + 5) ( + )(x + 2)
68. Jardinería La longitud del jardín rectangular
de Rebecca medía dos veces el ancho a. Rebecca
aumentó la longitud y el ancho del jardín
para que el área del nuevo jardín midiera
(2a 2 + 7a + 6) yardas cuadradas. ¿Cuánto aumentó
Rebecca la longitud y el ancho
del jardín?
a
?
2a ?
69. Física La altura de una pelota de fútbol
americano cuando se lanza o patea se puede describir mediante la expresión
-16t 2 + vt + h donde t es el tiempo en segundos, v es la velocidad ascendente inicial
y h es la altura inicial en pies.
a. Escribe una expresión para la altura de una pelota de fútbol americano en el tiempo t
cuando la velocidad ascendente inicial es 20 pies por segundo y la altura inicial es 6 pies.
b. Factoriza tu expresión de la parte a.
c. Halla la altura de la pelota de fútbol americano después de 1 segundo.
70. /ANÁLISIS DE ERRORES / Un estudiante
intentó factorizar 2 x 2 + 11x + 12 como se
muestra. Halla el error y explícalo.
71. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 552. La ecuación d = 2 t 2 da la distancia desde el punto de partida de un barco
de juguete que comienza detenido y acelera a 4 cm/s 2 . La ecuación d = 10t - 8 da la
distancia desde el punto de partida de un segundo barco que comienza detenido 8 cm
detrás del primer barco y que viaja a una velocidad constante de 10 cm/s.
a. Al igualar las ecuaciones entre sí, puedes determinar en qué momento los barcos
están a la misma distancia del punto de partida: 2 t 2 = 10t - 8. Usa las propiedades
de álgebra para reunir todos los términos del lado izquierdo de la ecuación y deja 0
en el lado derecho.
b. Factoriza la expresión del lado izquierdo de la ecuación.
c. Los barcos están a la misma distancia del punto de partida en t = 1 y t = 4. Explica
cómo se usaron los factores que hallaste en la parte b para hallar estos dos tiempos.
8-4 Cómo factorizar a x 2 + bx + c 553

Relaciona cada trinomio con su factorización correcta.
72. 6x 2 - 29x - 5 A. (x + 5)(6x + 1)
73. 6x 2 - 31x + 5 B. (x - 5)(6x - 1)
74. 6x 2 + 31x + 5 C. (x + 5)(6x - 1)
75. 6x 2 + 29x - 5 D. (x - 5)(6x + 1)
76. Razonamiento crítico El trinomio cuadrático ax 2 + bx + c tiene a > 0 y se puede
factorizar en el producto de dos binomios.
a. Explica qué sabes sobre los signos de las constantes de los factores si c > 0.
b. Explica qué sabes sobre los signos de las constantes de los factores si c < 0.
77. ¿Qué valor de b permitiría factorizar 3 x 2 + bx - 8?
3 10 11 25
78. ¿Qué producto de binomios se representa en el modelo?
(x + 4) (3x + 5) (x + 3) (5x + 4)
(x + 4) (5x + 3) (x + 5) (3x + 4)
79. ¿Qué binomio es un factor de 24 x 2 - 49x + 2?
x - 2 x - 1 x + 1 x + 2
80. ¿Qué valor de c haría que 2 x 2 + x + c NO se pudiera factorizar?
-15 -9 -6 -1
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
81. 1 + 4x + 4 x 2 82. 1 - 14x + 49 x 2 83. 1 + 18x + 81 x 2
84. 25 + 30x + 9 x 2 85. 4 + 20x + 25 x 2 86. 4 - 12x + 9 x 2
87. Halla todos los valores posibles de b para que 3 x 2 + bx + 2 se pueda factorizar.
88. Halla todos los valores posibles de b para que 3 x 2 + bx - 2 se pueda factorizar.
89. Halla todos los valores posibles de b para que 5 x 2 + bx + 1 se pueda factorizar.
REPASO EN ESPIRAL
90. Archie gana $12 por hora y le pagan por números cabales de horas. La función
f (x) = 12x da la cantidad de dinero que Archie gana en x horas. Representa
gráficamente esta función y da el dominio y el rango. (Lección 5-1)
Representa gráficamente cada sistema de desigualdades lineales. Da dos pares
ordenados que sean soluciones y dos que no sean soluciones. (Lección 6-6)
⎧ y 3x - 5
⎩ y ≤ x - 3
⎩ y > 2x - 6
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta. (Lección 8-3)
94. x 2 + 6x + 8 95. x 2 - 8x - 9 96. x 2 - 8x + 12
554 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-4
Factorizar polinomios
mediante una gráfica
Puedes usar una calculadora de gráficas para factorizar polinomios.
Para usar con
la Lección 8-4
Actividad
CLAVE: MA7 Lab8
Factoriza x 2 - 3x - 4 en forma algebraica y comprueba tu factorización con una
calculadora de gráficas.
1 x 2 - 3x - 4
(x + )(x + ) b =-3 y c = -4; busca factores de -4 cuya suma sea -3.
(x - 4)(x + 1)
-4(1) = -4; -4 + 1 = -3
2 Oprime y escribe x 2 - 3x - 4 para Y1.
3 Oprime para ver la gráfica de la ecuación.
4 Oprime y usa los botones izquierdo y derecho para mover
el cursor por la gráfica. La gráfica parece cruzar el eje x en
x =-1 y x = 4.
5 Para hallar el valor de y en x =-1, escribe -1 y oprime en
el modo Trace. En la calculadora aparece un valor para y. Luego
escribe 4 para hallar el valor de y en x = 4.
En la calculadora se observa y = 0 en x =-1 y en x = 4.
Observa que para una función con un factor de binomio del tipo
(x - a), a es una intersección con el eje x.
Inténtalo
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2
Representa gráficamente cada trinomio y usa la gráfica para predicir los factores.
Luego factoriza cada trinomio en forma algebraica.
1. x 2 - x - 2 2. x 2 + 5x + 6 3. x 2 + x - 12
4. x 2 + 12x - 64 5. x 2 - 4x - 5 6. 3x 2 + 16x - 12
8-4 Laboratorio de tecnología 555

SECCIÓN 8A
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2
Factorización
Luz roja, luz verde La ecuación para el movimiento de un
objeto con aceleración constante es d = vt + 1__ 2 at 2
, donde d es
la distancia recorrida en metros, v la velocidad inicial en m/s, a
es la aceleración en m/s 2 y t es el tiempo en segundos.
1. Un automóvil se detiene en
un semáforo. La luz cambia
a verde y el conductor
comienza a acelerar a
una velocidad de 4 m/ s 2 .
Escribe una ecuación para la
distancia que el automóvil
recorre en el tiempo t.
Velocidad = 15 m/s
2. Un autobús viaja a una
Aceleración = 4 m/s 2
velocidad de 15 m/s.
El conductor se acerca al mismo semáforo por otro carril. No frena y sigue
avanzando a la misma velocidad. Escribe una ecuación para la distancia
que el autobús recorre en el tiempo t. (Pista: a una velocidad constante, la
aceleración es 0 m/ s 2 ).
3. Iguala las ecuaciones entre sí para determinar en qué momento el
automóvil y el autobús están a la misma distancia de la intersección. Reúne
todos los términos en el lado izquierdo de esta nueva ecuación y deja el 0
en el lado derecho. Factoriza la expresión del lado izquierdo de la ecuación.
4. Sea t = 0 el punto en el que el automóvil comienza la marcha y el autobús
está a la par del automóvil. Halla otro momento en el que los vehículos
estarán a la misma distancia de la intersección.
5. ¿Qué distancia habrán recorrido los dos vehículos cuando estén
nuevamente a la misma distancia de la intersección?
6. Un camión que viaja a 16
m/s está 24 metros detrás del
autobús en t = 0. La ecuación
d =-24 + 16 t da la posición
del camión. ¿En qué momento
el camión estará a la misma
distancia de la intersección
que el autobús? ¿Cuál será
esa distancia?
556 Capítulo 8 Factorizar polinomios

SECCIÓN 8A
Prueba de las Lecciones 8-1 a 8-4
8-1 Factores y máximo común divisor
Escribe la factorización prima de cada número.
1. 54 2. 42 3. 50 4. 120 5. 44 6. 78
Halla el MCD de cada par de monomios.
7. 6p 3 y 2p 8. 12x 3 y 18x 4
9. -15 y 20s 4 10. 3a y 4b 2
11. Brent hace una vitrina de madera para su colección de pelotas de béisbol. Tiene 24
pelotas de los partidos de la Liga de Estados Unidos y 30 pelotas de los partidos de la Liga
Nacional. Quiere poner la misma cantidad de pelotas de béisbol en cada fila y no quiere
poner las pelotas de la Liga de Estados Unidos en la misma fila que las pelotas de la Liga
Nacional. ¿Cuántas filas necesitará Brent en la vitrina para poner la mayor cantidad posible
de pelotas en cada fila?
8-2 Cómo factorizar mediante el MCD
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
12. 2d 3 + 4d 13. m 2 - 8m 5
14. 12x 4 - 8x 3 - 4x 2 15. 3k 2 + 6k - 3
16. El área total de un cono se puede hallar mediante la expresión
iπr + π r 2 , donde i representa la altura inclinada y r representa
el radio de la base.
h
i
r
Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.
17. w 3 - 4w 2 + w - 4 18. 3x 3 + 6x 2 - 4x - 8
19. 2p 3 - 6p 2 + 15 - 5p 20. n 3 - 6 n 2 + 5n - 30
8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
21. n 2 + 9n + 20 22. d 2 - 6d - 7 23. x 2 - 6x + 8
24. y 2 + 7y - 30 25. k 2 - 6k + 5 26. c 2 - 10c + 24
27. Simplifica y factoriza el polinomio n(n + 3) - 4. Muestra que el polinomio original y la
forma factorizada describen la misma sucesión de números para n = 0, 1, 2, 3 y 4.
8-4 Cómo factorizar ax 2 + bx + c
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
28. 2x 2 + 11x + 5 29. 3n 2 + 16n + 21 30. 5y 2 - 7y - 6
31. 4g 2 - 10g + 6 32. 6p 2 - 18p - 24 33. 12d 2 + 7d - 12
34. El área de un rectángulo es (8x 2 + 8x + 2) cm 2 . El ancho es (2x + 1) cm.
¿Cuál es la longitud del rectángulo?
¿Listo para seguir? 557

8-5
Cómo factorizar
productos especiales
TEKS A.4.A Bases de las funciones: … factorizar cuando sea necesario para
resolver situaciones dadas. Ver también A.3.A
Objetivos
Factorizar trinomios
cuadrados perfectos
Factorizar la diferencia
de dos cuadrados
¿Quién lo usa?
Los planificadores urbanos pueden usar el
área de la plaza de un pueblo para hallar
su longitud y su ancho. (Ver Ejemplo 2)
En el Capítulo 7 estudiaste los patrones de
algunos productos especiales de binomios.
Puedes usar esos patrones para factorizar
ciertos polinomios.
Un trinomio es un cuadrado perfecto si:
• El primero y el último término son
cuadrados perfectos.
• El término del medio es dos por un
factor del primer término y un factor
del útimo término.
9x 2 + 12x + 4
3x · 3x 2(3x · 2) 2 · 2
Tribunales de Waxahachie, Waxahachie, Texas
Trinomios cuadrados perfectos
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
EJEMPLOS
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) (a + b) = (a + b) 2 x 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) 2
a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) (a - b) = (a - b) 2 x 2 - 2x + 1 = (x - 1) (x - 1) = (x - 1) 2
EJEMPLO 1 Reconocer y factorizar trinomios cuadrados perfectos
Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza.
Si no, explica.
A x 2 + 12x + 36
x 2 + 12x + 36
x · x 2(x · 6) 6 · 6 El trinomio es un cuadrado pefecto. Factoriza.
Método 1 Factoriza.
Método 2 Usa la regla.
x 2 + 12x + 36 x 2 + 12x + 36 a = x, b = 6
Factores de 36 Suma
1 y 36 37
2 y 18 20
3 y 12 15
4 y 9 13
6 y 6 12
(x + 6)(x + 6)
✗
✗
✗
✗
✓
x 2 + 2 (x)(6) + 6 2
(x + 6) 2
Escribe el trinomio
como a 2 + 2ab + b 2 .
Escribe el trinomio
como (a + b) 2 .
558 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza.
Si no, explica.
B 4 x 2 - 12x + 9
4x 2 - 12x + 9
Puedes comprobar tu
respuesta mediante el
método FOIL.
Para el Ejemplo 1B,
(2x - 3) 2 =
(2x - 3) (2x - 3) =
4x 2 - 6x - 6x + 9 =
4x 2 - 12x + 9
2x · 2x 2(2x · 3) 3 · 3 El trinomio es un cuadrado perfecto.
Factoriza.
4 x 2 - 12x + 9 a = 2x, b = 3
(2x) 2 - 2 (2x)(3) + 3 2 a 2 - 2ab + b 2
C x 2 + 9x + 16
(2x - 3) 2
x 2 + 9x + 16
(a - b) 2
x · x 2(x · 4) 4 · 4 2(x · 4) ≠ 9x
x 2 + 9x + 16 no es un cuadrado perfecto porque 9x ≠ 2 (x · 4) .
Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así,
factoriza. Si no, explica.
1a. x 2 + 4x + 4 1b. x 2 - 14x + 49 1c. 9 x 2 - 6x + 4
EJEMPLO 2 Aplicación a la resolución
de problemas
RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
Muchos juzgados en Texas están en
el centro de una plaza de la ciudad.
El área de la plaza que se muestra es
(25x 2 + 70x + 49) pies 2 . Las dimensiones
de la plaza son aproximadamente
cx + d, donde c y d son números cabales.
Escribe una expresión para el perímetro
de la plaza. Halla el perímetro cuando
x = 60.
1 Comprende el problema
La respuesta será una expresión para
el perímetro de la plaza y el valor de
la expresión cuando x = 8.
Haz una lista de la información importante:
• La plaza es un rectángulo con un área de (25x 2 + 70x + 49) .
• Las dimensiones de la plaza se expresan como cx + d pies 2 ,
donde c y d son números cabales.
2 Haz un plan
La fórmula del área de un rectángulo es área = longitud · ancho.
Factoriza 25 x 2 + 70x + 49 para hallar la longitud y el ancho de la plaza. Escribe
una fórmula para el perímetro de la plaza y evalúa la expresión para x = 60.
8-5 Cómo factorizar productos especiales 559

3 Resuelve
25 x 2 + 70x + 49 a = 5x, b = 7
(5x) 2 + 2 (5x)(7) + 7 2 Escribe el trinomio como a 2 + 2ab + b 2 .
(5x + 7) 2 Escribe el trinomio como (a + b) 2 .
25 x 2 + 70x + 49 = (5x + 7)(5x + 7)
La longitud y el ancho de la plaza son (5x + 7) pies y (5x + 7) pies. Como la
longitud y el ancho son iguales, la plaza es un cuadrado.
Escribe una fórmula para el perímetro de la plaza.
P = 4s
Escribe la fórmula del perímetro de un cuadrado.
= 4(5x + 7)
Sustituye l por la longitud del lado.
= 20x + 28
Distribuye 4.
Una expresión para el perímetro del parque en pies es 20x + 28.
Evalúa la expresión cuando x = 60.
P = 20x + 28
= 20(60) + 28 Sustituye 60 por x.
= 1228
Cuando x = 60 pies, el perímetro de la plaza es 1228 pies.
4 Repasa
Para una plaza con un perímetro de 1228 pies, la longitud del lado es
____ 1228
= 307 pies y el área es 307 2 = 94,249 pies 2 .
4
Evalúa 25 x 2 + 70x + 49 para x = 60:
25 (60) 2 + 70(60) + 49
90,000 + 4,200 + 49
94,249 ✓
2. ¿Y si…? Una empresa produce láminas cuadradas de
aluminio con un área de (9x 2 + 6x + 1) m 2 cada una. La
longitud del lado de cada lámina se expresa como cx + d,
donde c y d son números cabales. Halla una expresión
en función de x para el perímetro de una lámina. Halla el
perímetro cuando x = 3 m.
En el Capítulo 7, aprendiste que la diferencia de dos cuadrados se expresa como
a 2 - b 2 . La diferencia de dos cuadrados se puede escribir como el producto
(a + b)(a - b). Puedes usar este patrón para factorizar algunos polinomios.
Un polinomio es una diferencia de dos cuadrados si:
• Hay dos términos, uno restado del otro.
• Ambos términos son cuadrados perfectos.
4x 2 - 9
2x · 2x 3 · 3
Diferencia de dos cuadrados
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
EJEMPLO
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) x 2 - 9 = (x + 3) (x - 3)
560 Capítulo 8 Factorizar polinomios

EJEMPLO 3 Reconocer y factorizar la diferencia de dos cuadrados
Determina si cada binomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así,
factoriza. Si no, explica.
A x 2 - 81
Reconoce una
diferencia de dos
cuadrados: los
coeficientes de los
términos variables son
cuadrados perfectos,
las potencias en los
términos variables
son pares y las
constantes son
cuadrados perfectos.
x 2 - 81
x · x 9 · 9 El polinomio es una diferencia de dos cuadrados.
x 2 - 9 2
(x + 9)(x - 9)
a = x, b = 9
Escribe el polinomio como (a + b) (a - b).
x 2 - 81 = (x + 9)(x - 9)
B 9 p 4 - 16 q 2
9p 4 - 16 q 2
3p 2 · 3p 2 4q · 4q El polinomio es una diferencia de dos cuadrados.
C
(3p 2 ) 2 - (4q) 2 a = 3 p 2 , b = 4q
(3p 2 + 4q)(3p 2 - 4q) Escribe el polinomio como (a + b) (a - b).
9 p 4 - 16q 2 = (3p 2 + 4q)(3p 2 - 4q)
x 6 - 7 y 2 x
6 - 7y 2
x 3 · x 3
7y 2 no es un cuadrado perfecto.
x 6 - 7 y 2 no es la diferencia de dos cuadrados porque 7 y 2 no es un
cuadrado perfecto.
Determina si el binomio es una diferencia de dos cuadrados. Si
es así, factoriza. Si no, explica.
3a. 1 - 4 x 2 3b. p 8 - 49 q 6 3c. 16 x 2 - 4 y 5
RAZONAR Y COMENTAR
1. El binomio 1 - x 4 es una diferencia de dos cuadrados. Usa la regla para
identificar a y b en 1 - x 4 .
2. El polinomio x 2 + 8x + 16 es un trinomio cuadrado perfecto. Usa la regla
para identificar a y b en x 2 + 8x +16.
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Escribe un
ejemplo de cada tipo de producto especial y factorízalo.
Producto especial
Trinomio cuadrado perfecto con
coeficiente positivo del término del medio
Trinomio cuadrado perfecto con
coeficiente negativo del término del medio
Diferencia de dos cuadrados
Forma factorizada
8-5 Cómo factorizar productos especiales 561

8-5
Ejercicios
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 10
CLAVE: MA7 8-5
VER EJEMPLO 1
pág. 558
VER EJEMPLO 2
pág. 559
VER EJEMPLO 3
pág. 561
PRÁCTICA GUIADA
Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.
1. x 2 - 4x + 4 2. x 2 - 4x - 4 3. 9 x 2 - 12x + 4
4. x 2 + 2x + 1 5. x 2 - 6x + 9 6. x 2 - 6x - 9
7. Planificación de la ciudad Una ciudad compra un terreno rectangular con un área
de ( x 2 + 24x + 144) yd 2 para un parque. Las dimensiones del terreno son del tipo
ax + b, donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro del
parque. Halla el perímetro cuando x = 10 yardas.
Determina si cada binomio es una diferencia de dos cuadrados.. Si es así, factoriza.
Si no, explica.
8. 1 - 4 x 2 9. s 2 - 4 2 10. 81 x 2 - 1
11. 4x 4 - 9 y 2 12. x 8 - 50 13. x 6 - 9
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
14–19 1
20 2
21–26 3
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S19
Práctica de aplicación
pág. S35
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.
14. 4 x 2 - 4x + 1 15. 4 x 2 - 4x - 1 16. 36 x 2 - 12x + 1
17. 25 x 2 + 10x + 4 18. 9 x 2 + 18x + 9 19. 16 x 2 - 40x + 25
20. Medición Te dan una hoja de papel y te piden que cortes un trozo rectangular con
un área de (4 x 2 - 44x + 121) mm 2 . Las dimensiones del rectángulo son del tipo ax - b,
donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro del rectángulo
que cortaste. Halla el perímetro cuando x = 41 mm.
Determina si cada binomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así, factoriza.
Si no, explica.
21. 1 2 - 4 x 2 22. 25m 2 - 16 n 2 23. 4x - 9y
24. 49p 12 - 9 q 6 25. 9 2 - 100 x 4 26. x 3 - y 3
Halla el término que falta en cada trinomio cuadrado perfecto.
27. x 2 + 14x + 28. 9x 2 + + 25 29. - 36y + 81
Factoriza cada polinomio mediante la regla para trinomios cuadrados perfectos o la
regla para la diferencia de dos cuadrados. Indica qué regla usaste.
30. x 2 - 8x + 16 31. 100 x 2 - 81 y 2 32. 36 x 2 + 24x + 4
33. 4r 6 - 25 s 6 34. 49 x 2 - 70x + 25 35. x 14 - 144
36. Escríbelo ¿En qué se parecen y en qué se diferencian un trinomio cuadrado perfecto y
una diferencia de dos cuadrados?
37. Razonamiento crítico Describe dos formas de crear un trinomio cuadrado perfecto.
38. ¿Para qué valor de b sería (x + b)(x + b) la forma factorizada de x 2 - 22x + 121?
39. ¿Para qué valor de c los factores de x 2 + cx + 256 son los mismos?
562 Capítulo 8 Factorizar polinomios

40. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 572.
Juanita diseñó un huerto en forma de cuadrado y compró cerca para ese diseño. Luego
decidió cambiar el diseño por un rectángulo.
a. El huerto cuadrado tenía un área de x 2 2
pies . El área del huerto rectangular es
(x 2 - 25) pies 2 . Factoriza la expresión para el área del huerto rectangular.
b. Como el huerto rectangular debe tener el mismo perímetro que el huerto cuadrado,
Juanita sumó una cantidad de pies a la longitud y restó la misma cantidad de pies
del ancho. Usa tus factores de la parte a para determinar cuántos pies se sumaron
a la longitud y cuántos se restaron del ancho.
c. Si la longitud original del huerto cuadrado era 8 pies, ¿cuáles son la longitud y el
ancho del nuevo huerto?
41. Varios pasos El área de un cuadrado se representa mediante 25 z 2 - 40z + 16.
a. ¿Qué expresión representa la longitud de un lado del cuadrado?
b. ¿Qué expresión representa el perímetro del cuadrado?
c. ¿Cuáles son la longitud de un lado, el perímetro y el área cuando z = 3?
42. Varios pasos Se dibuja un rectángulo pequeño
dentro de un rectángulo más grande como se
muestra en la figura.
a. ¿Cuál es el área de cada rectángulo?
b. ¿Cuál es el área de la región verde?
c. Factoriza la expresión para el área de la región verde.
(Pista: primero saca 3 como factor común y luego factoriza el binomio).
43. Evalúa cada expresión para los valores de x.
a. -5
b. -1
c. 0
d. 1
e. 5
x x 2 + 10x + 25 (x + 5) 2 (x - 5) 2 x 2 - 10x + 25 x 2 - 25
44. En la tabla anterior, ¿qué columnas tienen valores equivalentes? Explica por qué.
45. Geometría A continuación se muestra un modelo para la diferencia de dos cuadrados.
Copia y completa la segunda figura con los rótulos que faltan.
46. /ANÁLISIS DE ERRORES / Dos estudiantes factorizaron 25 x 4 - 9 y 2 . ¿Quién está
equivocado? Explica el error.
8-5 Cómo factorizar productos especiales 563

47. Se evalúa una expresión polinomial para hallar los
valores de x y de y que se muestran en la tabla.
¿Qué expresión se evaluó para obtener los valores
que se muestran en la tercera columna?
x 2 - y 2
x 2 + 2xy + y 2
x 2 - 2xy + y 2
ninguna de las anteriores
x
0
-1
1
1
y
0
-1
1
-1
Valor de la
expresión
0
0
0
4
48. El área de un cuadrado es 4 x 2 + 20x + 25. ¿Qué expresión se puede usar también para
representar el área del cuadrado?
(2x - 5) (5 - 2x) (2x - 5) 2
(2x + 5) (2x - 5) (2x + 5) 2
49. Respuesta gráfica Evalúa la expresión polinomial x 2 - 18x + 81 para x = 10.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
50. El binomio 81 x 4 - 16 se puede factorizar usando la regla para una diferencia
de dos cuadrados.
a. Completa la factorización: 81 x 4 - 16
(9x 2 + )( - )
b. Un binomio de la parte a se puede seguir factorizando. Identifica el binomio
y factorízalo.
c. Escribe tú mismo un binomio que se pueda factorizar dos veces como la diferencia
de dos cuadrados.
51. La expresión 4 - (v + 2) 2 es la diferencia de dos cuadrados porque cumple la regla
a 2 - b 2 .
a. Identifica a y b en la expresión.
b. Factoriza y simplifica 4 - (v + 2) 2 .
La diferencia de cubos es una expresión del tipo a 3 - b 3 . Se puede factorizar de acuerdo
con la regla a 3 - b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ). Para cada binomio, identifica a y b y
factoriza usando la regla.
52. x 3 - 1 53. 27y 3 - 64 54. n 6 - 8
REPASO EN ESPIRAL
Halla el dominio y el rango de cada relación e indica si la relación es una función.
(Lección 4-2)
55. ⎧ ⎨
⎩ (5, 2) , (4, 1) , (3, 0) , (2, -1) ⎫ ⎬
⎧ ⎭
57. ⎨
⎩ (2, -8), (2, -2), (2, 4) , (2, 10) ⎫ ⎬
⎭
Multiplica. (Lección 7-7)
56. ⎧ ⎨
⎩ (-3, 6) , (-1, 6) , (1, 6) , (3, 6) ⎬
⎫ ⎭
58. ⎧ ⎨
⎩ (-2, 4) , (-1, 1) , (0, 0) , (1, 1) ⎬
⎫ ⎭
59. 2a(3a 2 + 7a - 5) 60. (x + 3)(x - 8) 61. (t - 4) 2
Halla el MCD de cada par de monomios. (Lección 8-1)
62. 9m 2 y 3 m 2 63. 8c 2 y 8 d 2 64. -12x 3 y y 16 y 2
564 Capítulo 8 Factorizar polinomios

Cálculo mental
Teoría de los números
Reconocer los patrones de los productos especiales te puede ayudar a realizar
multiplicaciones mentalmente.
Ver Banco de destrezas,
página S52
Recuerda estos productos especiales que estudiaste en los Capítulos 7 y 8.
Patrones de productos especiales
Diferencia de dos cuadrados (a + b)(a - b) = a 2 - b 2
Trinomio cuadrado perfecto
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Ejemplo 1
Simplifica 17 2 - 7
2
.
Esta expresión es una diferencia de dos cuadrados con a = 17 y b = 7.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
17 2 - 7 2 = (17 + 7)(17 - 7)
= (24)(10)
Escribe la regla para una diferencia de dos cuadrados.
Sustituye a por 17 y b por 7.
Simplifica cada grupo.
= 240
Ejemplo 2
Simplifica 14 2 + 2 (14)(6)+ 6
2
.
Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto con a = 14 y b = 6.
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
14 2 + 2 (14)(6) + 6 2 = (14 + 6) 2
= (20) 2
Escribe la regla para un trinomio cuadrado perfecto.
Sustituye a por 14 y b por 6.
Simplifica.
= 400
Inténtalo
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 10
Simplifica cada expresión mediante las reglas para productos especiales.
1. 18 2 2
- 12
4. 38 2 2
- 2 (38)(27) + 27
7. 14 2 2
- 9
2. 11 2 + 2 (11)(14)
2
+ 14
5. 29 2 2
- 2 (29)(17) + 17
8. 13 2 2
- 12
3. 22 2 2
- 18
6. 55 2 2
+ 2 (55)(45) + 45
9. 14 2 2
+ 2 (14)(16) + 16
Rumbo a TAKS 565

8-6
Cómo elegir un método
de factorización
Objetivos
Elegir un método
adecuado para factorizar
un polinomio
Combinar métodos para
factorizar un polinomio
¿Para qué sirve?
Necesitarás factorizar polinomios para
resolver ecuaciones cuadráticas, que
tienen muchas aplicaciones en física.
(Ver Ejercicio 42)
La altura de un salto de un bailarín de ballet
se puede representar mediante un polinomio
cuadrático. Para resolver una ecuación que
incluya a ese polinomio, es posible que necesites
factorizar el polinomio.
Recuerda que un polinomio está completamente
factorizado cuando se escribe como un producto
que no se puede factorizar más.
EJEMPLO 1 Determinar si un polinomio está factorizado completamente
x 2 + 4 es una suma
de cuadrados y no se
puede factorizar.
Indica si cada polinomio está factorizado completamente.
Si no es así, factorízalo.
A 2x(x 2 + 4)
2x(x 2 + 4)
Ni 2x ni x 2 + 4 se puedenseguir factorizando.
2x(x 2 + 4) está factorizado completamente.
B (2x + 6)(x + 5)
(2x + 6)(x + 5)
2 (x + 3)(x + 5)
2x + 6 se puede seguir factorizando.
Saca como factor común 2, el MCD de 2x y 6.
2 (x + 3)(x + 5) está factorizado completamente.
Indica si el polinomio está factorizado completamente.
Si no es así, factorízalo.
1a. 5 x 2 (x - 1) 1b. (4x + 4)(x + 1)
Para factorizar completamente un polinomio, es posible que necesites usar más de
un método de factorización. Usa los siguientes pasos para factorizar completamente
un polinomio.
Paso 1 Halla el máximo común divisor.
Paso 2
Paso 3
Cómo factorizar polinomios
Halla un patrón que se ajuste a la diferencia de dos cuadrados o a un
trinomio cuadrado perfecto.
Para factorizar x 2 + bx + c, busca dos números cuya suma sea b y cuyo
producto sea c.
Para factorizar ax 2 + bx + c, busca los factores de a y los factores de c en los
factores de binomio. La suma de los productos de los términos exteriores e
interiores debe ser b.
Paso 4 Halla los factores comunes.
566 Capítulo 8 Factorizar polinomios

EJEMPLO 2 Factorizar mediante el MCD y reconocer los patrones
Factoriza completamente -2xy 2 + 16xy - 32x. Comprueba tu respuesta.
-2x y 2 + 16xy - 32x
-2x(y 2 - 8y + 16)
-2x (y - 4) 2
Comprueba -2x (y - 4) 2 = -2x ( y 2 - 8y + 16)
=-2xy 2 + 16xy - 32x ✓
Saca el MCD como factor común. y 2 - 8y + 16 es un
trinomio cuadrado perfecto del tipo a 2 - 2ab + b 2 .
a = y, b = 4
Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba
tu respuesta.
2a. 4 x 3 + 16 x 2 + 16x 2b. 2 x 2 y - 2 y 3
Si ninguno de los métodos de factorización funciona, se dice que el polinomio no
es factorizable.
EJEMPLO 3 Factorizar mediante métodos múltiples
Factoriza completamente cada polinomio.
A 2 x 2 + 5x + 4
2 x 2 + 5x + 4 El MCD es 1 y no hay un patrón.
a = 2 y c = 4; Externos + Internos = 5
( x + )( x + )
Para un polinomio
del tipo ax 2 + bx + c,
si no hay números
cuya suma sea b y
cuyo producto sea ac,
entonces el polinomio
no se puede factorizar.
Factores de 2 Factores de 4 Externos + Internos
1 y 2
1 y 2
1 y 2
1 y 4
4 y 1
2 y 2
(1)4 + (2)1 = 6
(1)1 + (2)4 = 9
(1)2 + (2)2 = 6
2 x 2 + 5x + 4 no se puede factorizar.
✗
✗
✗
B 3 n 4 - 15 n 3 + 12 n 2
3 n 2 (n 2 - 5n + 4) Saca el MCD como factor común. No hay
un patrón.
(n + )(n + )
Factores de 4 Suma
-1 y -4 -5 ✓
-2 y -2 -4 ✗
3 n 2 (n - 1)(n - 4)
b =-5 y c = 4; busca los factores de 4 cuya
suma sea -5.
Los factores necesarios son -1 y -4.
C 4 x 3 + 18 x 2 + 20x
2x(2x 2 + 9x + 10)
( x + )( x + )
Saca el MCD como factor común. No hay
un patrón.
a = 2 y c = 10; Externos + Internos = 9
Factores de 2 Factores de 10 Externos + Internos
1 y 2
1 y 2
1 y 2
1 y 10
10 y 1
2 y 5
(1)10 + (2)1 = 12
(1)1 + (2)10 = 21
(1)5 + (2)2 = 9
✗
✗
✓
(x + 2)(2x + 5)
2x(x + 2)(2x + 5)
8- 6 Cómo elegir un método de factorización 567

D
p 5 - p
p(p 4 - 1)
p(p 2 + 1)(p 2 - 1)
p(p 2 + 1)(p + 1)(p - 1)
Saca el MCD como factor común.
p 4 - 1 es una diferencia de dos cuadrados.
p 2 - 1 es una diferencia de dos cuadrados.
Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba
tu respuesta.
3a. 3 x 2 + 7x + 4 3b. 2 p 5 + 10 p 4 - 12 p 3
3c. 9 q 6 + 30 q 5 + 24 q 4 3d. 2 x 4 + 18
Métodos para factorizar polinomios
Cualquier polinomio: Busca el máximo común divisor.
ab - ac = a(b - c) 6x 2 y + 10xy 2 = 2xy(3x + 5y)
Binomios: Busca una diferencia de dos cuadrados.
a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) x 2 - 9 y 2 = (x + 3y) (x - 3y)
Trinomios: Busca trinomios cuadrados perfectos y otros trinomios que se pueden factorizar.
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2
x 2 + bx + c = (x + ) (x + )
ax 2 + bx + c = ( x + ) ( x + )
Polinomios de cuatro o más términos: Factoriza por agrupación.
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y (a + b)
= (x + y) (a + b)
x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2
x 2 + 3x + 2 =(x + 1) (x + 2)
6 x 2 + 7x + 2 = (2x + 1) (3x + 2)
2 x 3 + 4 x 2 + x + 2 = (2x 3 + 4 x 2 ) + (x + 2)
= 2 x 2 (x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(2x 2 + 1)
RAZONAR Y COMENTAR
1. Da una expresión que incluya un polinomio que no esté
factorizado completamente.
2. Da un ejemplo de un binomio y un trinomio que no se puedan factorizar.
3. ORGANÍZATE
Copia el organizador
gráfico. Dibuja una
flecha desde cada
expresión hacia el
método que usarías
para factorizar
esa expresión.
Métodos de factorización
Polinomio
Método
1. 16x 4 - 25y 8 A. Sacar el MCD como
factor común
2. x 2 + 10x + 25
B. Factorizar por agrupación
3. 9t 2 + 27t + 18 t 4
C. No se puede factorizar
4. a 2 + 3a - 7a - 21
D. Diferencia de dos cuadrados
5. 100b 2 + 81
E. Trinomio cuadrado perfecto
568 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-6
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 6
Grados 9 a 11, Obj. 2, 9, 10
CLAVE: MA7 8-6
VER EJEMPLO 1
pág. 566
VER EJEMPLO 2
pág. 567
VER EJEMPLO 3
pág. 567
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
19–24 1
25–30 2
31–36 3
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S19
Práctica de aplicación
pág. S35
PRÁCTICA GUIADA
Indica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.
1. 3x(9x 2 + 1) 2. 2(4x 3 - 3 x 2 - 8x) 3. 2k 2 (4 - k 3 )
4. (2x + 3)(3x - 5) 5. 4(4p 4 - 1) 6. a(a 3 + 2ab + b 2 )
Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
7. 3x 5 - 12 x 3 8. 4x 3 + 8 x 2 + 4x 9. 8pq 2 + 8pq + 2p
10. 18rs 2 - 2r 11. mn 5 - m 3 n 12. 2x 2 y - 20xy + 50y
13. 6x 4 - 3 x 3 - 9 x 2 14. 3y 2 + 14y + 4 15. p 5 + 3 p 3 + p 2 + 3
16. 7x 5 + 21 x 4 - 28 x 3 17. 2z 2 + 11z + 6 18. 9p 2 - q 2 + 3p
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Indica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.
19. 2x(y 3 - 4 y 2 + 5y) 20. 2r (25r 6 - 36) 21. 3n 2 (n 2 - 25)
22. 2m(m + 1)(m + 4) 23. 2y 2 (4x 2 + 9) 24. 4(7g + 9 h 2 )
Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
25. -4x 3 + 24 x 2 - 36x 26. 24r 2 - 6 r 4 27. 5d 2 - 60d + 135
28. 4y 8 + 36 y 7 + 81 y 6 29. 98x 3 2
- 50x y
30. 4x 3 y - 4 x 2 y - 8xy
31. 5x 2 - 10x + 14 32. 121x 2 + 36 y 2 33. p 4 - 16
34. 4m 6 - 30 m 5 + 36 m 4 35. 2k 3 + 3k 2 + 6k + 9 36. ab 4 - 16a
Escribe una expresión para cada situación. Factoriza tu expresión.
37. el cuadrado de la edad de Elsa más 12 por la edad de Elsa más 36
38. el cuadrado de la distancia del punto A al punto B menos 81
39. el cuadrado de la cantidad de segundos que Bob puede retener la respiración menos
16 por la cantidad de segundos más 28
40. tres por el cuadrado de manzanas de un árbol menos 22 por la cantidad de manzanas
más 35
41. el cuadrado del puntaje de Beth menos 49
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
42. Física La altura en metros del centro de masa de una bailarina de ballet cuando
salta puede representarse mediante el polinomio -5t 2 + 30t + 1, donde t es el
tiempo en segundos después del salto. Indica si el polinomio está factorizado
completamente cuando se escribe como -1(5t 2 - 30t -1). Explica.
43. Escríbelo Cuando te piden que factorices completamente un polinomio, lo primero
que haces es determinar si los términos del polinomio no tienen factores comunes.
¿Cuál debe ser tu próximo paso?
Factoriza y simplifica cada expresión.
44. 12(x + 1) 2 + 60 (x + 1) + 75 45. (2x + 3) 2 - (x - 4) 2
46. 45x(x - 2) 2 + 60x(x - 2) + 20x 47. (3x - 5) 2 - (y + 2) 2
8- 6 Cómo elegir un método de factorización 569

48. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS
de la página 568.
a. El área del jardín de flores rectangular de Marci es (x 2 + 2x - 15) pies 2 . Factoriza
esta expresión para hallar el área.
b. Dibuja un diagrama del jardín y rotula la longitud y el ancho con tus factores de la
parte a.
c. Halla la longitud y el ancho del jardín de flores si x = 7 pies.
49. Razonamiento crítico Muestra dos métodos para factorizar 4 x 2 - 100.
50. Estimación Estima el valor de 2 x 2 + 5xy + 3 y 2 cuando x =-10.1 e y = 10.05.
(Pista: factoriza primero la expresión).
51. /ANÁLISIS DE ERRORES / Examina la factorización que se
muestra. Explica por qué la factorización es incorrecta.
Historia de
las matemáticas
Historia de las matemáticas Usa la
siguiente información para los Ejercicios
del 52 al 54.
El triángulo de la derecha se llama triángulo
de Pascal. El triángulo comienza en 1 y cada
uno de los otros números del triángulo es la
suma de los dos números de la fila superior.
El triángulo de Pascal se puede usar para escribir el producto de un binomio elevado a una
potencia entera. Los números de cada fila te dan los coeficientes de cada término del producto.
Blaise Pascal fue un
matemático francés que
vivió en el siglo XVII.
(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + b 3
Los números de la fila 3 son 1, 3, 3, 1. Estos son los coeficientes de los términos
del producto (a + b) 3 . La potencia de a disminuye en cada término y la potencia de
b aumenta en cada término.
Usa los patrones que ves en el triángulo de Pascal para escribir la potencia del binomio a + b
que se da en cada producto.
52. a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 = (a + b)
53. a 8 + 8 a 7 b + 28 a 6 b 2 + 56 a 5 b 3 + 70 a 4 b 4 + 56 a 3 b 5 + 28 a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 = (a + b)
54. a 7 + 7 a 6 b + 21 a 5 b 2 + 35 a 4 b 3 + 35 a 3 b 4 + 21 a 2 b 5 + 7ab 6 + b 7 = (a + b)
55. ¿Qué expresión es igual a 6 x 2 + 7x - 10?
(6x + 2) (x - 5) (x + 2) (6x - 5)
(2x + 5) (3x - 2) (3x + 2) (2x - 5)
56. ¿Qué opción es la factorización completa de 16 x 12 - 256?
16 (x 6 + 4) (x 6 - 4) 16 (x 6 + 4) (x 3 + 2) (x 3 - 2)
(4x 6 + 16) (4x 6 - 16) (4x 6 + 16) (2x 3 + 4) (2x 3 - 4)
570 Capítulo 8 Factorizar polinomios

57. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el quinto paso de la factorización?
Paso 1: 40 a 3 - 60 a 2 - 10a + 15
Paso 2: 5 (8a 3 - 12 a 2 - 2a + 3)
Paso 3: 5 ⎣ ⎡ (8a 3 - 12 a 2 ) - (2a - 3) ⎤ ⎦
Paso 4: 5 ⎣ ⎡ 4a 2 (2a - 3) - 1(2a - 3) ⎤ ⎦
Paso 5:
Paso 6: 5 (2a - 3) (2a + 1) (2a - 1)
5 (2a - 3) (2a + 3) (4a 2 - 1) 5 (2a - 3) (4a 2 - 1)
5 (2a - 3) (4a 2 + 1) 5 (2a - 3) (2a - 3) (4a 2 - 1)
58. Respuesta breve Usa el polinomio 8 x 3 + 24 x 2 + 18x para lo siguiente.
a. Factoriza el polinomio. Explica cada paso e indica si usaste alguna de las reglas
para productos especiales.
b. Explica otro conjunto de pasos que se podrían usar para factorizar el polinomio.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
59. Geometría El volumen del cilindro de la derecha se representa
mediante la expresión 72π p 3 + 48π p 2 + 8πp. La altura del cilindro
es 8p.
a. Factoriza la expresión para el volumen.
b. ¿Qué expresión representa el radio del cilindro?
c. Si el radio mide 4 cm, ¿cuáles son la altura y el volumen del cilindro?
Factoriza.
60. g 7 + g 3 + g 5 + g 4 61. h 2 + h 8 + h 6 + h 4
62. x n+2 + x n+1 + x n 63. x n+5 + x n+4 + x n+3
64. Geometría El prisma rectangular tiene las dimensiones
que se muestran en la figura.
a. Escribe expresiones para la altura y la longitud del
prisma usando a.
b. Escribe un polinomio que represente el volumen del
prisma usando a.
REPASO EN ESPIRAL
Simplifica cada expresión mediante la combinación de términos semejantes. (Lección 1-7)
65. -6n + 4n 66. 5x 2 - 8x + 4 x 2 67. 2.6r + 9.7r
Escribe y resuelve una proporción para responder a cada pregunta. (Lección 2-6)
68. La razón de libros de ficción a libros de no ficción en el estante de Jessika es 3 a 4.
Si Jessika tiene 12 libros de no ficción, ¿cuántos libros de ficción tiene?
69. La escala de un automóvil en miniatura es 23:2. Si el volante de este automóvil tiene un
diámetro de 3 cm, ¿cuál es el diámetro del volante del automóvil real?
Factoriza cada trinomio. (Lección 8-4)
70. 2x 2 + 13x + 15 71. 4x 2 + 4x - 3 72. 6x 2 - 11x - 10
8- 6 Cómo elegir un método de factorización 571

SECCIÓN 8B
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 7, 10
Factorizar
Dar forma al medio ambiente El club de Conciencia ambiental va a
plantar un jardín en el césped frente a la escuela. Henry sugiere un jardín
con forma de cuadrado. Theona sugiere que tenga forma rectangular.
1. Los planes de Henry incluyen un
jardín cuadrado con un área de
(x 2 + 12x + 36) m 2 . Escribe
expresiones para la longitud
y el ancho del jardín cuadrado.
2. En un dibujo del jardín cuadrado
se muestra una longitud de 12 m.
¿Cuál es el ancho del jardín
cuadrado? ¿Cuál es el valor de x?
¿Cuál es el área total del
jardín cuadrado?
3. Los planes de Theona incluyen un
jardín rectangular con un área
de (x 2 + 14x + 24) m 2 . Escribe
expresiones para la longitud y el
ancho del jardín rectangular.
4. En un dibujo del jardín rectangular se
muestra que la longitud es 6 m mayor
que la longitud del jardín cuadrado.
¿Cuál es el ancho del jardín rectangular?
¿Cuánto menor es el ancho del
jardín rectangular que el ancho del
jardín cuadrado?
5. Halla el perímetro de cada jardín en
función de x.
6. ¿Qué plan deben elegir en
el club si quieren el jardín
que cubra la mayor área?
¿Qué plan deben elegir
en el club si quieren
el jardín que tenga la
menor cantidad de cerca
alrededor? Explica
tu razonamiento.
572 Capítulo 8 Factorizar polinomios

SECCIÓN 8B
Prueba de las Lecciones 8-5 a 8-6
8-5 Cómo factorizar productos especiales
Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.
1. x 2 + 8x + 16 2. 4x 2 - 20x + 25 3. x 2 + 3x + 9
4. 2x 2 - 4x + 4 5. 9x 2 - 12x + 4 6. x 2 - 12x - 36
7. Un arquitecto diseña ventanas rectangulares con un área de (x 2 + 20x + 100) pies
2
.
Las dimensiones de las ventanas son del tipo ax + b, donde a y b son números cabales.
Halla una expresión para el perímetro de las ventanas. Halla el perímetro de una ventana
cuando x = 4 pies.
Determina si cada polinomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así, factoriza.
Si no, explica.
8. x 2 - 121 9. 4t 2 - 20 10. 1 - 9y 4
11. 25m 2 - 4m 6 12. 16x 2 + 49 13. r 4 - t 2
14. El área de un cuadrado es (36d 2 - 36d + 9) pulg
2
.
a. ¿Qué expresión representa la longitud de un lado del cuadrado?
b. ¿Qué expresión representa el perímetro del cuadrado?
c. ¿Cuáles son la longitud de un lado, el perímetro y el área del cuadrado cuando d = 2 pulg?
8-6 Cómo elegir un método de factorización
Indica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.
15. 5(x 2 + 3x + 1) 16. 6x(5x 2 - x)
17. 3t(t 4 - 9) 18. 2(m 2 - 10m + 25)
19. 3(2y 2 - 5)(y + 1) 20. (2n + 6)(n - 4)
Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
21. 3x 3 - 12x 2 + 12x 22. 16m 3 - 4m 23. 5x 3 y - 45xy
24. 3t 2 + 5t - 1 25. 3c 2 + 12c - 63 26. x 5 - 81x
Escribe una expresión para cada situación. Luego factoriza tu expresión.
27. la diferencia del cuadrado de la longitud de una tabla y 36
28. el cuadrado de la edad de Michael menos 8 por la edad de Michael más 16
29. dos por el cuadrado de la velocidad de un automóvil más dos por la
velocidad del automóvil menos 12
30. tres por el cubo de la altura de Jessie más 3 por el cuadrado
de la altura de Jessie menos 6 por la altura de Jessie
31. Escribe una expresión para el área de la región sombreada.
Luego factoriza la expresión.
¿Listo para seguir? 573

Vocabulario
factorización prima . . . . . . . . . . 524 máximo común divisor . . . . . . 525
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un número escrito como un producto en el que cada uno de sus factores no tiene otros
factores que no sean 1 y ese número es el/la ? . −−−−−
2. El/La ? de dos monomios es el mayor de los factores que los monomios comparten.
−−−−−
8-1 Factores y máximo común divisor (págs. 524–529)
TEKS A.4.A
EJEMPLOS
■ Escribe la factorización prima de 84.
84
4 21
2 2 3 7
Escribe como producto.
Continúa hasta que todos
los factores sean primos.
■ Escribe la factorización prima de 75.
3 75
5 25
5 5
1
75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 5 2
Continúa dividiendo entre
factores primos hasta
que el cociente sea 1.
■ Halla el MCD de 36 y 90.
36 = 2 · 2 · 3 · 3
Escribe la factorización
90 = 2 · 3 · 3 · 5
prima de
cada número.
2 · 3 · 3 = 18 Halla el producto
El MCD de 36 y 90 es 18.
de los factores
comunes.
■ Halla el MCD de 10 x 5 y 4 x 2 .
10 x 5 = 2 · 5 · x · x · x · x · x Escribe la
4 x 2 = 2 · 2 · x · x
factorización
prima de cada
coeficiente.
2 · x · x = 2 x 2 Escribe las
potencias como
productos.
Halla el producto
El MCD de 10 x 5 y 4 x 2 es 2 x 2 .
de los factores
comunes.
EJERCICIOS
Escribe la factorización prima de cada número.
3. 12 4. 20
5. 32 6. 23
7. 40 8. 64
9. 66 10. 114
Halla el MCD de cada par de números.
11. 15 y 50
12. 36 y 132
13. 29 y 30
14. 54 y 81
15. 20 y 48
Halla el MCD de cada par de monomios.
16. 9m y 3
17. 4x y 2 x 2
18. -18b 4 y 27 b 2
19. 100r y 25 r 5
20. En una ferretería hay 42 tipos de cajas con clavos y
36 tipos de cajas con tornillos. El encargado de la
tienda quiere construir un estante para colocar los
artículos en filas. Quiere poner la misma cantidad
de cajas en cada fila, pero que ninguna fila tenga
clavos y tornillos juntos. ¿Cuál es la mayor cantidad
de cajas que puede colocar en una fila? ¿Cuántas
filas habrá si el encargado pone la mayor cantidad
de cajas en cada fila?
574 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-2 Cómo factorizar mediante el MCD (págs. 531–537)
TEKS A.3.A, A.4.A, A.4.B
EJEMPLOS
■ Factoriza 3 t 3 - 9 t 2 . Comprueba tu respuesta.
3 t 3 = 3 · t · t · t
9 t 2 = 3 · 3 · t · t Halla el MCD.
MCD: 3 · t · t = 3 t 2
3 t 3 - 9 t 2 = 3t 2 (t) - 3t 2 (3)
= 3t 2 (t - 3) Saca el MCD como
factor común.
Comprueba 3 t 2 (t - 3) = 3 t 3 - 9 t 2 ✓
■ Factoriza -12s - 6 s 3 . Comprueba tu respuesta.
-1(12s + 6 s 3 )
Saca –1 como
12s = 2 · 2 · 3 · s
factor común.
6 s 3 = 2 · 3 · s · s · s Halla el MCD.
MCD: 2 · 3 · s = 6s
-1(12s + 6 s 3 )
-1⎡ ⎣ (6s)(2) + (6s)(s 2 )⎤ ⎦
-1⎡ ⎣ (6s)(2 + s 2 )⎤ ⎦
-6s(2 + s 2 )
Saca el MCD como
factor común.
Comprueba -6s(2 + 2 s 2 ) =-12s - 6 s 3 ✓
■ Factoriza 5 (x - 7) + 3x(x - 7) .
5(x - 7) + 3x(x - 7) Los términos tienen
un factor común
de (x - 7) .
(x - 7)(5 + 3x) Saca (x - 7) como
factor común.
■ Factoriza 6 b 3 + 8b + 15 b 2 + 20 por agrupación.
(6b 3 + 8b) + (15b 2 + 20) Agrupa los términos
que tengan un
factor común.
2b(3b 2 + 4) + 5(3b 2 + 4) Factoriza cada grupo.
(3b 2 + 4)(2b + 5) Saca (3b 2 + 4) como
factor común.
■ Factoriza 2 m 3 - 6 m 2 + 15 - 5m. Comprueba
tu respuesta.
(2m 3 - 6 m 2 ) + (15 - 5m) Agrupa los términos.
2 m 2 (m - 3) + 5 (3 - m) Factoriza cada grupo.
2 m 2 (m - 3) + 5(-1)(m - 3) Vuelve a escribir
(3 - m) como
(-1)(m - 3) .
2 m 2 (m - 3) - 5 (m - 3) Simplifica.
(m - 3)(2m 2 - 5) Saca (m - 3) como
factor común.
Comprueba (m - 3)(2m 2 - 5)
2m 3 - 5m - 6 m 2 + 15
2m 3 - 6 m 2 + 15 - 5m ✓
EJERCICIOS
Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.
21. 5x - 15 x 3 22. -16b + 32
23. -14v - 21 24. 4 a 2 - 12a - 8
25. 5 g 5 - 10 g 3 - 15g 26. 40 p 2 - 10p + 30
27. Un ingeniero civil necesita que el área de una
parcela rectangular sea (6x 2 + 5x) pies 2 . Factoriza
este polinomio para hallar expresiones para las
dimensiones de la parcela.
Factoriza cada expresión.
28. 2x(x - 4) + 9 (x - 4)
29. t(3t + 5) - 6 (3t + 5)
30. 5 (6 - n) - 3n(6 - n)
31. b(b + 4) + 2 (b + 4)
32. x 2 (x - 3) + 7 (x - 3)
Factoriza cada polinomio.
33. n 3 + n - 4 n 2 - 4
34. 6 b 2 - 8b + 15b - 20
35. 2 h 3 - 7h + 14 h 2 - 49
36. 3 t 2 + 18t + t + 6
37. 10 m 3 + 15 m 2 - 2m - 3
38. 8 p 3 + 4p - 6 p 2 - 3
39. 5r - 10 + 2r - r 2
40. b 3 - 5b + 15 - 3 b 2
41. 6t - t 3 - 4 t 2 + 24
42. 12h - 3 h 2 + h - 4
43. d - d 2 + d - 1
44. 6b - 5 b 2 + 10b - 12
45. 5t - t 2 - t + 5
46. 8 b 2 - 2 b 3 - 5b + 20
47. 3r - 3 r 2 - 1 + r
48. Escribe una expresión
para el área de cada uno
de los dos rectángulos que
se muestran. Luego escribe
y factoriza una expresión
para el área combinada.
2x + 3
x 2
4x + 6
Guía de estudio: Repaso 575

8-3 Cómo factorizar x 2 + bx + c (págs. 540–547)
EJEMPLOS
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
■ x 2 + 14x + 45
(x + )(x + ) Busca los factores de 45
(x + 9)(x + 5) cuya suma sea 14.
Comprueba (x + 9)(x + 5) = x 2 + 5x + 9x + 45
= x 2 + 14x + 45 ✓
■ x 2 + 6x - 27
(x + )(x - ) Busca los factores de –27
(x + 9)(x - 3) cuya suma sea 6.
Comprueba (x + 9)(x - 3) = x 2 - 3x + 9x - 27
= x 2 + 6x - 27 ✓
EJERCICIOS
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
49. x 2 + 6x + 5 50. x 2 + 6x + 8
51. x 2 + 8x + 15 52. x 2 - 8x + 12
53. x 2 + 10x + 25 54. x 2 - 13x + 22
55. x 2 + 24x + 80 56. x 2 - 26x + 120
57. x 2 + 5x - 84 58. x 2 - 5x - 24
59. x 2 - 3x - 28 60. x 2 + 4x - 5
61. x 2 + x - 6 62. x 2 + x - 20
63. x 2 - 2x - 48 64. x 2 - 5x - 36
65. x 2 - 6x - 72 66. x 2 - 3x - 70
67. x 2 + 14x - 120 68. x 2 + 6x - 7
69. El rectángulo que se muestra
tiene un área de (y 2 + 8y + 15) m 2 .
¿Cuál es el ancho del rectángulo?
8-4 Cómo factorizar ax 2 + bx + c (págs. 548–553)
EJEMPLOS
Factoriza cada trinomio.
■ 6x 2 + 17x + 5
( x + )( x + )
Factores de 6 Factores de 5 Externos + Internos
1 y 6
2 y 3
2 y 3
5 y 1
1 y 5
5 y 1
(1) 1 + (6) 5 = 31
(2) 5 + (3) 1 = 13
(2) 1 + (3) 5 = 17
(2x + 5)(3x + 1)
■ 2n 2 - n - 10
( n + )( n + )
Factores
de 2
1 y 2
1 y 2
1 y 2
Factores
de -10
1 y -10
-1 y 10
2 y -5
a = 6 y c = 5;
Externos + Internos = 17
a = 2 y c =-10;
Externos + Internos =-1
Externos + Internos
1(-10) + 2(1) =-8
1(10) + 2(-1) = 8
1(-5) + 2(2) =-1
EJERCICIOS
Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.
70. 2 x 2 + 11x + 5 71. 3 x 2 + 10x + 7
72. 2 x 2 - 3x + 1 73. 3 x 2 + 8x + 4
74. 5 x 2 + 28x + 15 75. 6 x 2 - 19x + 15
76. 4 x 2 + 13x + 10 77. 3 x 2 + 10x + 8
78. 7 x 2 - 37x + 10 79. 9 x 2 + 18x + 8
80. 2 x 2 - x - 1 81. 3 x 2 - 11x - 4
82. 2 x 2 - 11x + 5 83. 7 x 2 - 19x - 6
84. 5 x 2 - 9x - 2 85. -6x 2 - x + 2
86. 6 x 2 - x - 5 87. 6 x 2 + 17x - 14
88. -4x 2 + 8x + 5 89. -10x 2 + 11x + 6
90. Escribe el polinomio que se
representa y luego factoriza.
12 x 2 4x
-15x
-5
(1n + 2)(2n - 5) = (n + 2)(2n - 5)
576 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-5 Cómo factorizar productos especiales (págs. 558–564)
TEKS A.3.A, A.4.A
EJEMPLOS
■ Determina si x 2 + 18x + 81 es un cuadrado
perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.
x 2 + 18x + 81
x · x 2(x · 9) 9 · 9
x 2 + 18x + 81 = (x + 9) 2
El trinomio es del tipo
a 2 + 2ab + b 2 ; por lo
tanto, es un trinomio
cuadrado perfecto.
■ Determina si 49 x 4 - 25 y 6 es una diferencia de
dos cuadrados. Si es así, factoriza. Si no, explica.
49x 4 - 25y 6
El binomio es una
diferencia de dos
7 x 2 · 7 x 2 5y 3 · 5 y 3 cuadrados.
(7x 2 ) 2 - (5y 3 ) 2 a = 7 x 2 , b = 5 x 3
(7x 2 + 5 y 3 )(7x 2 - 5 y 3 ) Escribe el binomio
como (a + b) (a - b) .
49 x 4 - 25 y 6 = (7x 2 + 5 y 3 )(7x 2 - 5 y 3 )
Determina si cada trinomio es un cuadrado
EJERCICIOS
perfecto.
Si es así, factoriza. Si no, explica.
91. x 2 + 12x + 36 92. x 2 + 5x + 25
93. 4 x 2 - 2x + 1 94. 9 x 2 + 12x + 4
95. 16 x 2 + 8x + 4 96. x 2 + 14x + 49
Determina si cada binomio es una diferencia de dos
cuadrados. Si es así, factoriza. Si no, explica.
97. 100 x 2 - 81 98. x 2 - 2
99. 5 x 4 - 10 y 6 100. (-12) 2 - (x 3 ) 2
101. 121 b 2 + 9 c 8 102. 100 p 2 - 25 q 2
Factoriza cada polinomio mediante el patrón de
trinomios cuadrados perfectos o la diferencia de dos
cuadrados. Indica qué patrón usaste.
103. x 2 - 25 104. x 2 + 20x + 100
105. j 2 - k 4 106. 9x 2 - 42x + 49
107. 81 x 2 + 144x + 64 108. 16 b 4 - 121 c 6
8-6 Cómo elegir un método de factorización (págs. 566–571)
EJEMPLOS
■ Indica si (3x - 9)(x + 4) está completamente
factorizado. Si no es así, factoriza.
(3x - 9)(x + 4) 3x - 9 se puede factorizar.
3 (x - 3)(x + 4) Saca como factor común
3, el MCD de 3x y 9.
■ 3ab 2 - 48a
3a(b 2 - 16)
3a(b + 4)(b - 4)
Saca el MCD como
factor común.
Factoriza la diferencia de
dos cuadrados.
Comprueba 3a(b + 4)(b - 4) = 3a(b 2 - 16)
■ 2m 3 + 4 m 2 - 48m
2m(m 2 + 2m - 24)
2m(m - 4)(m + 6)
Saca el MCD como
factor común.
= 3ab 2 - 48a ✓
Factoriza el trinomio.
Comprueba 2m(m - 4)(m + 6)
2m(m 2 + 2m - 24)
2m 3 + 4 m 2 - 48m ✓
EJERCICIOS
Indica si cada polinomio está factorizado completamente.
Si no es así, factorízalo.
109. 4 x 2 + 10x + 6 = (4x + 6)(x + 1)
110. 3 y 2 + 75 = 3 (y 2 + 25)
111. b 4 - 81 = (b 2 + 9)(b 2 - 9)
112. x 2 - 6x + 9 = (x - 3) 2
Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba
tu respuesta.
113. 4 x 2 - 64 114. 3 b 5 - 6 b 4 - 24 b 3
115. a 4 b 3 - a 2 b 5 116. t 20 - t 4
117. 5 x 2 + 20x + 15 118. 2 x 4 - 50 x 2
119. 8t + 32 + 2st + 8s
120. 25 m 3 - 90 m 2 - 40m
121. 32 x 4 - 48 x 3 + 8 x 2 - 12x
122. 6 s 4 t + 12 s 3 t 2 + 6 s 2 t 3
123. 10 m 3 + 4 m 2 - 90m - 36
Guía de estudio: Repaso 577

Halla el MCD de cada par de monomios.
1. 3 t 4 y 8 t 2 2. 2 y 3 y -12y 3. 15 n 5 y 9 n 4
4. Escribe la factorización prima de 360.
5. Una coleccionista de monedas ordena una exhibición
de tres tipos de monedas de cinco centavos. Los tipos
de monedas y la cantidad de cada tipo se muestran en
la tabla. La coleccionista quiere organizarlas en filas que
tengan la misma cantidad de monedas sin mezclar los
distintos tipos en una misma fila. ¿Cuántas filas necesitará
si pone la mayor cantidad posible de monedas
en cada fila?
Tipo de moneda Cantidad de monedas
Libertad 16
Búfalo 24
Jefferson 40
Factoriza cada expresión.
6. 24 m 2 + 4 m 3 7. 9 x 5 - 12x 8. -2r 4 - 6
9. 3 (c - 5) + 4c(c - 5) 10. 10 x 3 + 4x - 25 x 2 - 10 11. 4 y 3 - 4 y 2 - 3 + 3y
12. Un cohete en miniatura se lanza verticalmente desde una terraza a una velocidad
de 50 m/s. La expresión -5t 2 + 50t + 5 da la altura aproximada del cohete después de
t segundos. Factoriza esta expresión.
Factoriza cada trinomio.
13. x 2 + 6x + 5 14. x 2 - 4x - 21 15. x 2 - 8x + 15
16. 2 x 2 + 9x + 7 17. 2x 2 + 9x - 18 18. -3x 2 - 2x + 8
Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.
19. a 2 + 14a + 49 20. 2 x 2 + 10x + 25 21. 9 t 2 - 6t + 1
Determina si cada binomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así, factoriza.
Si no, explica.
22. b 2 - 16 23. 25 y 2 - 10 24. 9 a 2 - b 10
25. Una empresa produce láminas rectangulares de plástico. Cada una tiene un área de
(9x 2 + 30x + 25) pies
2
. Las dimensiones de cada lámina son del tipo ax + b, donde a y
b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro de una lámina. Halla el
perímetro cuando x = 4 pies.
Indica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.
26. (6x - 3)(x + 5) 27. (v 5 + 10)(v 5 - 10) 28. (2b + 3)(3b - 2)
Factoriza completamente cada polinomio.
29. 8 x 3 + 72 x 2 + 160x 30. 3 x 5 - 27 x 3 31. 8 x 3 + 64 x 2 - 20x - 160
32. cd 4 - c 7 d 6 33. 100 x 2 - 80x + 16 34. 7 m 8 - 7
578 Capítulo 8 Factorizar polinomios

ENFOQUE EN ACT
El cuadernillo del examen de matemáticas ACT
generalmente tiene un espacio para el trabajo en borrador.
Si no es así, el administrador del examen debe entregarte
papel en blanco para que uses. El trabajo en borrador es
sólo para ti. Asegúrate de pasar tu respuesta final a la hoja
de respuestas.
Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen de
práctica. Deberías tardar aproximadamente 6 minutos en terminar.
Si no estás seguro de cómo resolver un
problema, lee las opciones de respuesta.
Pueden darte una pista sobre el método
de solución. Es posible que tardes más al
trabajar en sentido inverso partiendo de las
opciones de respuesta, por eso asegúrate de
controlar el tiempo.
1. ¿Cuál es el valor de c 2 - d 2 si c + d = 7 y
c - d =-2?
(A) -14
(B) -5
(C) 5
(D) 14
(E) 45
4. ¿De cuál de los siguientes trinomios NO es un
factor el binomio x - 3?
(F) 2 x 2 - x - 3
(G) 2 x 2 - 5x - 3
(H) 2 x 2 - 8x + 6
(J) 3 x 2 - 6x - 9
(K) 3 x 2 - 10x + 3
2. ¿Cuál de las siguientes opciones es la
factorización completa de 6 a 3 b + 3 a 2 b 3 ?
(F) 6 a 3 b 3
(G) 9 a 5 b 4
(H) 3ab(2a 2 + ab 2)
(J) 3 a 2 b(2a + b 2 )
(K) (6a 3 b)(3a 2 b 3 )
5. ¿Qué valor de n hace que 4 x 2 + 20x + n 2
= (2x + n) 2 sea verdadera para cualquier
número real x?
(A) 4
(B) 5
(C) 8
(D) 10
(E) 25
3. ¿Cuál de las siguientes opciones es un factor de
x 2 + 3x - 18?
(A) x + 2
(B) x + 3
(C) x + 6
(D) x + 9
(E) x + 18
6. ¿Cuál es la forma factorizada de x 2 + 2x _
3 + x _
2 + 2 _
6 ?
(F)
( x + _
3)( 1 x + _
2)
1
3)
(G) ( x + _
2)( 1 x + _ 2
(H) ( x + _
3)( 2 x + _
6)
1
(J) (x + 2) ( x + _
3)
1
(K) ( x + _
3)( 1 x + _
3)
2
Práctica para el examen de ingreso a la universidad 579

TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 7, 10
Preguntas de cualquier tipo: Convierte las palabras
en matemáticas
Cuando leas el texto de un problema, busca las palabras clave y las pistas del contexto
que te ayuden a convertir las palabras en una ecuación o expresión matemática.
Algunas palabras clave, como las que se muestran en esta tabla,
representan determinadas operaciones matemáticas.
Acción
Combinar, aumentar
Disminuir, reducir
Aumentar o disminuir mediante un factor
Separar
Operación matemática
Suma
Resta
Multiplicación
División
Opción múltiple El polinomio x 2 + 7x + 12 representa el área de un rectángulo en metros
cuadrados. El ancho es (x + 3) metros. Halla la medida combinada de la longitud y el ancho.
(x + 4) m (2x + 7) m (2x + 14) m (4x + 14) m
Usa las palabras que indican acciones y las pistas del contexto para convertir las palabras en ecuaciones.
x 2 + 7x + 12 representa el área de un rectángulo en metros cuadrados.
x 2 + 7x + 12 = A
El ancho es (x + 3) metros.
a = (x + 3)
Halla la medida combinada de la longitud y el ancho.
m = l + a
Ahora usa las ecuaciones para resolver el problema.
A=lw
Escribe la fórmula del área de un rectángulo.
x 2 + 7x + 12 = l(x + 3) Sustituye A por x 2 + 7x + 12 y a por (x + 3) .
(x + ? )(x + 3) Factoriza x 2 + 7x + 12 para hallar una expresión para la longitud.
(x + 4)(x + 3) 3(4) = 12; 3 + 4 = 7
La longitud es (x + 4).
Escribe la ecuación para la medida combinada de la longitud
m = l + a
y el ancho.
m= (x + 4) + (x + 3) Sustituye l por (x + 4) y a por (x + 3) .
m= 2x + 7 Combina los términos semejantes.
La medida combinada de la longitud y el ancho es (2x + 7) metros. La opción B es la respuesta correcta.
580 Capítulo 8 Factorizar polinomios

TAKS
A veces no puedes escribir una expresión o ecuación
en el orden en el que aparecen las palabras clave.
Por ejemplo, la expresión “4 años más joven que
María” se escribe en matemáticas m - 4.
Lee cada recuadro del examen y contesta las
preguntas que le siguen.
A
Respuesta breve El ancho del mural
rectangular de Vocabulario es 6 veces la longitud x.
Alvin planea hacer un nuevo mural con el mismo
ancho y una longitud de (x - 2) metros. ¿Cuánto
deberá Alvin reducir el área del mural?
4 m
12 m
(24x + 24) m
(5x 2 - 4x + 4) m
1. ¿Qué palabras clave o pistas del contexto hay
en el primer enunciado de A? Usa estas pistas
para escribir una expresión que represente el
ancho del rectángulo.
2. Representa con una ecuación el área del
primer mural de Alvin.
3. ¿Qué operación matemática representa la
palabra clave disminuyó?
C
Opción múltiple Una empresa posee dos
plantas de envasado. El polinomio
0.05x 2 + 16x - 9400 representa las ganancias de
una planta, donde x es la cantidad de unidades
envasadas. El polinomio -0.01x 2 + 17x - 5400
representa las ganancias de la otra planta.
Si x es 25,000, ¿cuál es la ganancia total de
ambas plantas?
-$5,830,300
$25,810,200
$31,640,500
$37,471,000
7. ¿Qué símbolo matemático identifica la
palabra representa?
8. Escribe una ecuación que se pueda usar para
determinar las ganacias G de cada planta.
9. ¿Qué operación matemática representa el
término “ganancia total”?
D
Respuesta gráfica Una de las bases de un
trapecio es 12 metros mayor que la altura.
La otra base es 4 metros menor que la altura.
Halla el área del trapecio cuando la altura
es 6 metros.
B
Opción múltiple ¿Qué expresión factorizada
representa la siguiente frase?
el cuadrado de la cantidad de horas que se tarda en
vaciar una cisterna menos 20 por la cantidad de
horas más 64
(h - 16)(h - 4) (h - 8)(h - 8)
(h 2 - 20)(h - 64) (h - 16)(h + 4)
4. ¿Qué palabra de la frase te indica que debes
usar un exponente en tu expresión?
5. ¿Cuál es el valor de la expresión que se
desconoce? Define una variable para
representar ese valor.
6. Identifica otras palabras clave y la frase de
la operación matemática que cada una de
ellas representa.
10. Identifica la dimensión que se desconoce y
asígnale una variable.
11. Un estudiante no está seguro de cuántas bases
tiene un trapecio. Identifica las pistas del
contexto que pueden ayudar a este estudiante.
12. Haz una lista de las palabras clave del
problema y relaciona cada palabra con
su significado matemático.
13. Escribe una expresión para cada base
del trapecio.
Ayuda para TAKS 581

CLAVE: MA7 TestPrep
TAKS Grado 8, Obj. 2
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 4, 8 a 10
EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1–8
Opción múltiple
1. Un rectángulo tiene un área de (x 2 + 5x - 24)
unidades cuadradas. ¿Cuál de las siguientes opciones
contiene expresiones posibles para la longitud y el
ancho del rectángulo?
Longitud: (x - 24) unidades;
ancho: (x + 1) unidades
Longitud: (x - 4) unidades;
ancho: (x + 6) unidades
Longitud: (x - 3) unidades;
ancho: (x + 8) unidades
Longitud: (x + 12) unidades;
ancho: (x - 2) unidades
2. ¿Qué propiedad de los números reales se usa para
transformar la ecuación del Paso 1 en la ecuación
del Paso 2?
Paso 1: 4 (x - 5) + 8 = 88
Paso 2: 4x - 20 + 8 = 88
Paso 3: 4x - 12 = 88
Paso 4: 4x = 100
Paso 5: 4x = 25
propiedad conmutativa de la multiplicación
propiedad asociativa de la multiplicación
propiedad de la multiplicación
propiedad distributiva
3. Si 2__ x - 9 = 3, ¿cuál es el valor de la expresión
3
8x - 3?
-75 61
-35 141
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
x 2 - 8x + 16?
(x + 4) 2 (x + 8) (x + 2)
(x + 4) (x - 4) (x - 4) 2
6. Un parque de diversiones tiene dos atracciones para
saltar, llamadas rebotadores, en forma de cubos
semejantes. El rebotador más grande tiene un
volumen de 4800 pies cúbicos. El más pequeño tiene
la mitad de la longitud del más grande. ¿Cuál es el
volumen del rebotador más pequeño?
300 pies cúbicos
600 pies cúbicos
1200 pies cúbicos
2400 pies cúbicos
7. ¿Cuál es el valor de y si la línea que pasa por (1, -1)
y (2, 2) es paralela a la línea que pasa por (-2, 1)
y (-1, y)?
-8 3
-2 4
8. ¿En cuál de las siguientes opciones se muestra la
factorización completa de 2 x 3 + 4 x 2 - 6x?
(2x 2 - 2x)(x + 3)
2x(x 2 + 2x - 3)
2x(x - 1)(x + 3)
2 (x 3 + 2 x 2 - 3x)
9. ¿En qué gráfica se muestra el conjunto solución de la
desigualdad compuesta -9 ≤ 5 - 2x ≤ 13?
4. Carlos y Bonita acaban de ser contratados en una
fábrica. Carlos ganará $12.50 por hora y recibirá
una bonificación por contratación de $300. Bonita
no recibirá esa bonificación pero ganará $14.50 por
hora. ¿Qué ecuación puedes usar para determinar
la cantidad de horas h luego de las que ambos
empleados habrán ganado la misma cantidad total?
300 + 14.50h = 12.50h
14.50h + 300 = 12.50h
14.50h + 12.50h = 300
300 + 12.50h = 14.50h
582 Capítulo 8 Factorizar polinomios

TAKS
Muchos cuadernillos de exámenes estandarizados
tienen una página en la que se anotan las fórmulas
más usadas y las medidas básicas. Antes de que
comience el examen, pregunta si puedes separar la
página del cuadernillo. Si puedes hacerlo, coloca la
página cerca para que sea fácil consultarla.
PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN
ESTANDARIZADO
Respuesta breve
18. El área de un determinado círculo es
π (9x 2 + 6x + 1) centímetros cuadrados.
Halla una expresión para la longitud del radio
del círculo. Explica cómo hallaste tu respuesta.
10. ¿Qué punto está en la gráfica de ambas funciones?
f(x) = 2x - 10
g (x)= 10 - 2x
(5, 0) (0, 0)
(1, -8) (2, 6)
11. Hayley planea resolver el siguiente sistema
de ecuaciones:
⎧
⎨
⎩
x + 3y = 8
5x - y = 8
¿Cuál de las siguientes opciones NO es una ecuación
que Hayley puede usar para resolver el sistema
de ecuaciones ?
x + 3 (5x - 8) = 8
5 (8 - 3y) - y = 8
x = 8 - 3y
5x - (-x + 8) = 8
12. ¿Qué valor de b permitiría factorizar x 2 + bx - 2?
-2 0
-1 3
19. Un rectángulo tiene un área de (x 2 - 25)
pies cuadrados.
a. Usa la factorización para escribir posibles
expresiones para la longitud y el ancho
del rectángulo.
b. Usa tus expresiones de la parte a para escribir
una expresión para el perímetro del rectángulo.
Simplifica la expresión.
c. Usa tus expresiones de las partes a y b para hallar
el perímetro y el área del rectángulo cuando x =
10 pies. Muestra tu trabajo.
20. Escribe los números 57,000,000,000 y 19,000 en
notación científica. Luego muestra cómo dividir
57,000,000,000 entre 19,000 usando las propiedades
de los exponentes.
21. Muestra dos maneras en las que puedes factorizar la
expresión x 2 y - 12 + 3y - 4 x 2 por agrupación.
Respuesta desarrollada
22. El siguiente diagrama se puede usar para mostrar
que la expresión (a + b) 2 es equivalente a la
expresión a 2 + 2ab + b 2 .
a + b
13. ¿Qué expresión es equivalente a 5 (x - 2) + 4x?
5x - 10 9x - 10
9x - 2 20x - 2
a + b
ab
a 2 b 2
Respuesta gráfica
14. La factorización completa de - 12x 3 + 14x 2 + 6x es
-2x(ax + 1) (2x - 3). ¿Cuál es el valor de a?
15. La expresión x 2 + x + b es un trinomio cuadrado
perfecto. ¿Cuál es el valor de b?
16. Margaret compra un suéter de $35 que está en
oferta con 20% de descuento. ¿Cuál es el precio
total del suéter, en dólares, cuando se suma el
5% del impuesto sobre la venta?
17. Un automóvil viaja a velocidad constante. En 4 horas,
el automóvil recorre 220 millas. ¿Cuántas horas
tardará en recorrer 550 millas?
ab
a. Haz un diagrama similar al anterior para
representar la expresión (a + b + c) 2 .
Rotula cada área.
b. Usa los rótulos de tu diagrama para escribir
una expresión equivalente a (a + b + c) 2 .
c. Muestra que tu expresión de la parte b es
equivalente a (a + b + c) 2 mediante la evaluación
de cada expresión para a = 4,
b = 2 y c = 1.
d. Factoriza x 2 + y 2 + 9 + 2xy + 6x + 6y. Muestra o
explica cómo hallaste tu respuesta.
Evaluación acumulativa, Capítulos 1-8 583

TEXAS
TAKS Grado 8, Obj. 6
Grados 9 a 11, Obj. 10
Reserva Nacional
Silvestre McFaddin
Fort Davis
Reserva nacional silvestre McFaddin
Uno de los mayores pantanos de agua dulce que quedan en Texas se puede
encontrar en la Reserva Nacional Silvestre McFaddin. Ubicada en un precio
de 55,000 acres cerca de la frontera con Luisiana, la reserva es un lugar de
descanso muy importante para las aves migratorias que viajan a través del
Golfo de México. También es el hogar de las nutrias de río, linces rojos,
mofetas y caimanes.
El caimán americano era una especie en peligro en la década del 70,
pero ha sido retirado de la lista. Ahora, los visitantes de la Reserva
Nacional Silvestre McFaddin están casi seguros de que podrán ver
un caimán, porque cuenta con más caimanes por acre que ningún
otro lugar en Texas.
Elige una o más estrategias para resolver cada problema.
1. Cuando nacen, los caimanes miden alrededor de 8 pulgadas. Un macho adulto
puede medir hasta 18 pies de largo. ¿Cuántas veces más que un caimán recién
nacido mide un caimán de 18 pies?
2. Los caimanes construyen sus nidos con tierra, pasto y hojas.
La hembra pone de 40 a 50 huevos en su nido. Supongamos
que hay 40 huevos en un nido y que de estos nace el 80%. Si
cada cría pesa 3 onzas, ¿cuál es el peso total de los caimanes
que nacieron?
3. La mayoría de los caimanes tienen el hocico en forma de U,
mientras que los cocodrilos tienen el hocico en forma de V.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene una gráfica que
podría representar la forma del hocico de un caimán?
Explica.
y = 3x - 4 y = x 2 - 12 y = ⎪x 2 - 4⎥

Observatorio
McDonald
Posado en la cima de los montes Davis al
oeste de Texas, el Observatorio McDonald
está lejos de las luces de la ciudad y a más
de 6000 pies sobre el nivel del mar. El
observatorio recibe la visita de científicos
que trabajan en todos los temas desde radiación estelar hasta la búsqueda
de planetas fuera del sistema solar. Entre sus herramientas está el Telescopio
Hobby-Eberly, el tercer más grande telescopio óptico del mundo, con un
espejo primario de 11.1 por 9.8 metros.
Estrategias
de resolución
de problemas
Dibujar un diagrama
Hacer un modelo
Calcular y comprobar
Trabajar en sentido inverso
Hallar un patrón
Hacer una tabla
Resolver un problema
más sencillo
Usar el razonamiento lógico
Usar un diagrama de Venn
Hacer una lista organizada
El solar tiene también un centro
de visitantes y organiza “fiestas de
estrellas” cuando el público tiene la
oportunidad de mirar a través de
los numerosos telescopios de las
instalaciones. En una fiesta de
estrellas podrías ver planetas,
cometas y asteroides o simplemente
obtener una vista más clara de las
estrellas y las constelaciones. La
tabla muestra algunas de las
estrellas que se pueden ver desde
el Observatorio McDonald.
Un año luz es la distancia a la que
viaja la luz en un año, es decir,
9,500,000,000,000 kilómetros.
Ocho de las estrellas más brillantes que se ven desde la Tierra
Nombre
Posición
Magnitud
aparente
Distancia desde la
Tierra (años luz)
Temperatura
(kelvins)
Sirio 1 -1.46 8.6 9,400
Arturo 4 -0.04 34 4,290
Vega 5 0.03 25 9,600
Proción 8 0.38 11.4 6,500
Altair 12 0.77 16 7,550
Spica 14 0.98 220 22,400
Deneb 20 1.25 1500 8,400
Regulus 25 1.35 69 12,000
Elige una o más estrategias y usa la tabla para resolver cada problema.
1. Escribe 1 año luz como una distancia en kilómetros
en notación científica. Escribe la distancia en
kilómetros desde la Tierra a cada estrella en
notación científica.
2. Ordena las estrellas desde la más cercana a la más
lejana de la Tierra.
3. Identifica qué estrella es la más lejana y qué
estrella es la más cercana a la Tierra. Calcula
por aproximación cuántas veces más lejos que
la estrella más cercana se encuentra la estrella
más lejana.
La magnitud aparente es una medida del brillo con
que se ve una estrella (u otro objeto) desde la Tierra.
Cuanto más baja es la magnitud aparente de una
estrella, más brillante se ve.
4. Describe la correlación entre la magnitud
aparente y la distancia desde la Tierra en
años luz. Haz un diagrama de dispersión
para apoyar tu respuesta.
Resolución de problemas en lugares 585