ley de potencias

Leyes de Potencia
Yalina García Puente.
Carlos Iván Cabrera Perdomo

Ley de potencia.
• La ley de potencia es un miembro de la familia de
distribuciones sesgadas hacia los valores extremos, de tal
forma que describe eventos en los cuales una variable aleatoria
alcanza valores altos con poca frecuencia, mientras que los
valores medianos o bajos son mucho más comunes.
p( x)
Cx
• p(x) - la frecuencia (probabilidad)
• α - exponente de escalamiento
• C - depende del tipo de evento
Ingreso de los hogares
en Colombia (normal)

p( x)
Cx
Tomando logaritmo:
ln p( x) ln C ln x
Recta cuya pendiente
es negativa α .
Ingreso de los hogares en Colombia (logarítmica)
Lo que esta relación significa es que no hay tamaño típico
en un sentido convencional.

¿ Qué tienen en común estas dos fotografías ?
No podemos asegurar el tamaño !!!
...existen muchos cuerpos que no tienen un tamaño o escala
característica...
La distribución es la misma independientemente de donde se
vea.

Distribuciones que no son libres de escala.
Tamaño característico entre
50 cm y 272 cm
La media está alrededor de
180 cm.
Ley de Poisson
k
P( X k) e , k 0,1,2,...
k!

Ley Poisson
k
P( X k) e , k 0,1,2,...
k!
Existe escala característica
Ley Gauss
1
P( X ) e
2
( x
)
2
2
2
0.4
0.3
0.2
0.1
4 2 2 4
No existe escala característica
Ley de potencias ó libres de escalas
Lineal
Log-Log

¿Dónde podemos encontrar leyes de
potencia ?
La ley de potencia es el resultado de la auto-organización o
patrones emergentes que se dan en procesos complejos en los
que los agentes interactúan en un entorno de incertidumbres.
Estos agentes pueden ser moléculas, neuronas, consumidores
o ciudades, pero en todos los casos su interacción produce un
comportamiento colectivo que se representa a través de una
regularidad estadística, conocida como ley de potencia.
Esta clase de distribuciones se pueden encontrar en sistemas
naturales y sociales muy diversos.

.
Terremotos .
La magnitud de los terremotos, en una región dada y en un
intervalo de tiempo razonablemente largo, sigue una distribución
exponencial.
DM ( ) 10 bM
Ley Gutenberg-Richter
• M - magnitud
• D(M)- densidad de probabilidad
• b - próximo a 1
E 10
3M
2
D E D M dE E
1
( ) ( ) dM
Ley de Gutenberg-Richter
expresada en función de la
energía, (ley de potencias)
1
• D(E) es la densidad de
probabilidad de la energía.
•
2b
3
0.7

Terremotos .
D E D M dE E
1
( ) ( ) dM
1
Ley de potencia
DM ( ) 10 bM
Daños producidos por el terremoto del 1906
en San Francisco, Estados Unidos

Ley de Zipf .
Ley de Zipf :un pequeño número de palabras son utilizadas con
mucha frecuencia, mientras que frecuentemente ocurre que un gran
número de palabras son poco empleadas.
De una población de N elementos, la frecuencia de elementos en el
lugar k de la tabla de frecuencia, f(k;s,N) es:
f ( k; s, N)
N
n1
1
s
k
1
s
n
• f (k;s,N) - frecuencia de una palabra en la posición k-
ésima (cuando las palabras se ordenan de mayor a
menor frecuencia).
• s - exponente que caracteriza la distribución.
George Kingsley Zipf (1902-1950) fue un lingüista y filólogo estadounidense que
aplicó el análisis estadístico al estudio de diferentes lenguas.

Ley de Zipf .
Zipf PMF for N = 10 on a log-log scale Zipf CMF for N = 10
Las funciones solo están definidas para valores enteros de k

Redes libres de escala .
Red (G (N, R)): grafo G que consiste en N nodos y R relaciones
entre pares nodos (i , j).
nodos → componentes de un sistema.
enlaces → relación entre componentes.
Red libre de escala: aquella que posee una distribución de
conectividad de tipo ley de potencias.
* Hay muchos nodos con pocos
enlaces.
* Pero también hay algunos nodos
con muchos enlaces (hubs).

WWW
Nodos: WWW documents
Links: URL links
Autoorganizada

Sociedad (redes sociales)
Nodos: individuos
Links: interacciones entre individuos
Autoorganizada
Ejemplos:
- Modelos de votación
- Estudios de propagación de rumores

Redes biológicas
Red metabólica
Nodos: metabólicos
Links: reacciones bioquímicas
Autoorganizada (evolución)
Red trófica
Nodos: especies
Links: interacciones tróficas

Geometria fractal .
Un fractal es un objeto que tiene el mismo aspecto visto desde
cualquier distancia. Tiene el mismo aspecto a todas las escalas.
Zoom
=
Cambio de escala

¿Que significa que una distribución tiene
media infinita?
• Si el número de observaciones es finito, la media se puede
calcular.
• A medida que se añaden mas observaciones, aumenta la
probabilidad de tomar un valor de la cola. El promedio tiende a
crecer, no converge.
Pareto (α = 1)
f( x)
k
1
E[ x]
x dx ln
x
1
2
1
x
x
1

Ley de potencia. Propiedades.
• Una forma muy dispareja de distribución.
• Representadas por curvas de pendiente muy pronunciada y colas
muy largas que decaen más lentamente que una distribución
exponencial.

Ley de potencia. Propiedades.
• El comportamiento medio no es significativo.
•La distribución de probabilidades no se encuentra alrededor de
su valor medio. Esta propiedad la distingue de la distribución
normal.
• En la ley de potencia la probabilidad de ocurrencia de pequeños
eventos es relativamente alta, mientras que la probabilidad de
ocurrencia de grandes eventos es relativamente baja.
• El valor de α está prácticamente limitado de 0 a 2. Si α es
mayor que 2, se trata todavía de una ley de potencia, pero tienen
características menos llamativas (media y varianza definidas).
• Si α ≤ 1, la media no está definida. Si α ≤ 2, la varianza no está
definida.