ley de potencias

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ley de potencias

Leyes de Potencia

Yalina García Puente.

Carlos Iván Cabrera Perdomo


Ley de potencia.

• La ley de potencia es un miembro de la familia de

distribuciones sesgadas hacia los valores extremos, de tal

forma que describe eventos en los cuales una variable aleatoria

alcanza valores altos con poca frecuencia, mientras que los

valores medianos o bajos son mucho más comunes.

p( x)


Cx

• p(x) - la frecuencia (probabilidad)

• α - exponente de escalamiento

• C - depende del tipo de evento

Ingreso de los hogares

en Colombia (normal)


p( x)

Cx

Tomando logaritmo:

ln p( x) ln C ln x

Recta cuya pendiente

es negativa α .

Ingreso de los hogares en Colombia (logarítmica)

Lo que esta relación significa es que no hay tamaño típico

en un sentido convencional.


¿ Qué tienen en común estas dos fotografías ?

No podemos asegurar el tamaño !!!

...existen muchos cuerpos que no tienen un tamaño o escala

característica...

La distribución es la misma independientemente de donde se

vea.


Distribuciones que no son libres de escala.

Tamaño característico entre

50 cm y 272 cm

La media está alrededor de

180 cm.

Ley de Poisson

k


P( X k) e , k 0,1,2,...

k!


Ley Poisson

k


P( X k) e , k 0,1,2,...

k!

Existe escala característica

Ley Gauss

1

P( X ) e

2

( x

)


2

2

2

0.4

0.3

0.2

0.1

4 2 2 4

No existe escala característica

Ley de potencias ó libres de escalas

Lineal

Log-Log


¿Dónde podemos encontrar leyes de

potencia ?

La ley de potencia es el resultado de la auto-organización o

patrones emergentes que se dan en procesos complejos en los

que los agentes interactúan en un entorno de incertidumbres.

Estos agentes pueden ser moléculas, neuronas, consumidores

o ciudades, pero en todos los casos su interacción produce un

comportamiento colectivo que se representa a través de una

regularidad estadística, conocida como ley de potencia.

Esta clase de distribuciones se pueden encontrar en sistemas

naturales y sociales muy diversos.


.

Terremotos .

La magnitud de los terremotos, en una región dada y en un

intervalo de tiempo razonablemente largo, sigue una distribución

exponencial.


DM ( ) 10 bM

Ley Gutenberg-Richter

• M - magnitud

• D(M)- densidad de probabilidad

• b - próximo a 1

E 10

3M

2

D E D M dE E

1

( ) ( ) dM

Ley de Gutenberg-Richter

expresada en función de la

energía, (ley de potencias)

1

• D(E) es la densidad de

probabilidad de la energía.


2b

3

0.7


Terremotos .

D E D M dE E

1

( ) ( ) dM

1

Ley de potencia


DM ( ) 10 bM

Daños producidos por el terremoto del 1906

en San Francisco, Estados Unidos


Ley de Zipf .

Ley de Zipf :un pequeño número de palabras son utilizadas con

mucha frecuencia, mientras que frecuentemente ocurre que un gran

número de palabras son poco empleadas.

De una población de N elementos, la frecuencia de elementos en el

lugar k de la tabla de frecuencia, f(k;s,N) es:

f ( k; s, N)




N


n1

1

s

k

1

s

n




• f (k;s,N) - frecuencia de una palabra en la posición k-

ésima (cuando las palabras se ordenan de mayor a

menor frecuencia).

• s - exponente que caracteriza la distribución.

George Kingsley Zipf (1902-1950) fue un lingüista y filólogo estadounidense que

aplicó el análisis estadístico al estudio de diferentes lenguas.


Ley de Zipf .

Zipf PMF for N = 10 on a log-log scale Zipf CMF for N = 10

Las funciones solo están definidas para valores enteros de k


Redes libres de escala .

Red (G (N, R)): grafo G que consiste en N nodos y R relaciones

entre pares nodos (i , j).

nodos → componentes de un sistema.

enlaces → relación entre componentes.

Red libre de escala: aquella que posee una distribución de

conectividad de tipo ley de potencias.

* Hay muchos nodos con pocos

enlaces.

* Pero también hay algunos nodos

con muchos enlaces (hubs).


WWW

Nodos: WWW documents

Links: URL links

Autoorganizada


Sociedad (redes sociales)

Nodos: individuos

Links: interacciones entre individuos

Autoorganizada

Ejemplos:

- Modelos de votación

- Estudios de propagación de rumores


Redes biológicas

Red metabólica

Nodos: metabólicos

Links: reacciones bioquímicas

Autoorganizada (evolución)

Red trófica

Nodos: especies

Links: interacciones tróficas


Geometria fractal .

Un fractal es un objeto que tiene el mismo aspecto visto desde

cualquier distancia. Tiene el mismo aspecto a todas las escalas.

Zoom

=

Cambio de escala


¿Que significa que una distribución tiene

media infinita?

• Si el número de observaciones es finito, la media se puede

calcular.

• A medida que se añaden mas observaciones, aumenta la

probabilidad de tomar un valor de la cola. El promedio tiende a

crecer, no converge.

Pareto (α = 1)

f( x)



k

1


E[ x]

x dx ln

x

1

2

1

x

x

1


Ley de potencia. Propiedades.

• Una forma muy dispareja de distribución.

• Representadas por curvas de pendiente muy pronunciada y colas

muy largas que decaen más lentamente que una distribución

exponencial.


Ley de potencia. Propiedades.

• El comportamiento medio no es significativo.

•La distribución de probabilidades no se encuentra alrededor de

su valor medio. Esta propiedad la distingue de la distribución

normal.

• En la ley de potencia la probabilidad de ocurrencia de pequeños

eventos es relativamente alta, mientras que la probabilidad de

ocurrencia de grandes eventos es relativamente baja.

• El valor de α está prácticamente limitado de 0 a 2. Si α es

mayor que 2, se trata todavía de una ley de potencia, pero tienen

características menos llamativas (media y varianza definidas).

• Si α ≤ 1, la media no está definida. Si α ≤ 2, la varianza no está

definida.

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