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un esquema de operación de acuíferos basado en el concepto de ...

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J. ALBERTO RODRÍGUEZ

J. ALBERTO RODRÍGUEZ CASTRO, et al. / Esquema de operación de acuíferos. 2 ESQUEMA DE OPERACIÓN El problema tratado aquí, se refiere a la operación de un sistema de aprovechamiento de agua subterránea, compuesto de pozos que extraen agua de un acuífero confinado. Un esquema de operación, basado en el concepto de “abatimiento máximo permisible” define las restricciones para determinar la producción máxima del sistema. Bajo este concepto, la cantidad de agua que puede extraerse es restringida por el abatimiento disponible en cada pozo. Este abatimiento se define como la diferencia entre el nivel estático y un nivel mínimo especificado para cada pozo. Este nivel mínimo puede coincidir con la profundidad de la toma de la bomba ó cualquier nivel considerado seguro para la conservación del acuífero. Una representación gráfica de este concepto se muestra en la figura 1. Nivel estático Abatimiento máximo permisible Nivel dinámico Nivel mínimo de bombeo Figura 1 – Elementos básicos del esquema de operación de acuíferos El nivel estático en la figura se refiere a la elevación del potencial hidráulico cuando no se está bombeando. Conforme el bombeo ocurre, esta situación cambia, es decir, el nivel desciende formando un gradiente hacia el pozo para sustentar el gasto de extracción. Por lo tanto, el gasto máximo de extracción depende del abatimiento máximo permisible y del las características tanto del pozo como del acuífero. 3 MODELO MATEMÁTICO El esquema de operación descrito anteriormente, se puede plantear como un problema de optimización, consistente en una función objetivo y un conjunto de restricciones. La función objetivo representa la producción máxima a lograr en el sistema y las restricciones representan los límites impuestos debido a diferentes factores, tales como: la capacidad de las bombas, el abatimiento disponible y la demanda futura, entre otros. La representación matemática de este problema es la siguiente.

J. ALBERTO RODRÍGUEZ CASTRO, et al. / Esquema de operación de acuíferos. MaxZ = M N ∑∑q l n m= 1 n= 1 , (1) Sujeto a * δ ≤ δ l n (2) l , n l, n ∀ , M ∑ m= 1 q , ≤ Dn ∀m n m n , (3) q * ≤ q m n (4) m , n m ∀ , ( ) ≥ 0 l, m n δ (5) l , n , q m , n ∀ , donde q m , n = gasto de extracción en el pozo m, durante en periodo de operación n. * q m = capacidad máxima de bombeo en el pozo m. δ = abatimiento en la ubicación l, durante el de operación n. l,n * δ = abatimiento disponible en la ubicación l, durante el de operación n. l ,n D n = demanda total, durante el de operación n. L = número total de sitios de interés M = número total de sitios de extracción N = número total de periodos de operación La ecuación 1 representa la función objetivo en la cual se maximiza la suma del gasto de extracción en cada pozo para todo el periodo de operación. Las restricciones sobre el abatimiento total disponible en todos los sitios de extracción, están representadas por la ecuación 2. Asimismo, la ecuación 3 define las restricciones que limitan la extracción a ser menor ó cuando mucho igual a la demanda. Para evitar que el gasto de extracción exceda la capacidad de bombeo en cada pozo, una serie de restricciones representadas por la ecuación 4, son especificadas. Finalmente, la restricción 5 es incluida en la formulación para asegurar valores positivos. El problema de optimización descrito por las expresiones 1 al 5, representa un problema lineal, que puede resolverse con cualquiera de las técnicas de programación lineal, toda vez que las ecuaciones sean expresadas en función del volumen de extracción. Con excepción de la ecuación 2, todas las ecuaciones del problema están definidas en función de este volumen, por lo tanto es necesario transformarla. Esto puede lograrse de dos maneras: (1) incluir directamente la aproximación numérica de la ecuación diferencial que describe el flujo en medios porosos, ya sea por diferencias finitas, elemento finito, etc.; y (2), a través de funciones de respuesta unitaria. El primer método generalmente resulta en un gran número de ecuaciones de restricción, lo que limita severamente su aplicación práctica. En el segundo método, los abatimientos se expresan en función de coeficientes de respuesta unitaria por lo que no es necesario resolver las ecuaciones de flujo al resolver el problema de optimización. Esto, evidentemente resulta en un ahorro de espacio y tiempo de cómputo. Por lo tanto, en este estudio se optó por utilizar el segundo procedimiento. De acuerdo al principio de superposición, el abatimiento que ocurre en un acuífero cuando una extracción unitaria es aplicada durante un periodo de operación, puede expresarse como la convolución de las extracciones y unos coeficientes de respuesta unitaria 1 , de acuerdo a la siguiente expresión.

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