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Los Números p-ádicos y el Teorema de Hasse-Minkowski - IAM

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<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong><br />

<strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong><br />

Ramiro Lafuente<br />

Estructuras Algebraicas<br />

Facultad <strong>de</strong> Ciencias Exactas<br />

Universidad Nacional <strong>de</strong> La Plata<br />

Mayo <strong>de</strong> 2008<br />

1


Índice<br />

1. Introducción 3<br />

2. <strong>Los</strong> Números p-ádicos 4<br />

2.1. La valuación, la norma p-ádica y la métrica p-ádica: Primera <strong>de</strong>finición . . 4<br />

2.2. Segunda <strong>de</strong>finición: Z p y Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />

2.3. Polinomios y ecuaciones p-ádicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

2.4. Unida<strong>de</strong>s y cuadrados en Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />

3. El símbolo <strong>de</strong> Hilbert 14<br />

3.1. Definición, propieda<strong>de</strong>s básicas y cálculo d<strong>el</strong> símbolo . . . . . . . . . . . . 14<br />

3.2. Propieda<strong>de</strong>s globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />

4. Formas cuadráticas 22<br />

4.1. Módulos cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

4.2. Propieda<strong>de</strong>s generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />

4.3. Formas cuadráticas sobre F q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />

4.4. Formas cuadráticas sobre Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

4.5. Formas cuadráticas sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />

5. <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 38<br />

5.1. Demostración d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />

5.2. Algunos comentarios interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />

6. Apéndices 42<br />

6.1. Algunos resultados en Teoría <strong>de</strong> Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />

6.1.1. Ecuaciones sobre cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />

6.1.2. Ley <strong>de</strong> reciprocidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />

6.2. Sistemas y Límites proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />

2


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 3<br />

1. Introducción<br />

Se podría haber incluido en <strong>el</strong> título <strong>de</strong> este trabajo <strong>el</strong> nombre <strong>de</strong> ”formas cuadráticas”,<br />

puesto que nos ocupamos d<strong>el</strong> estudio <strong>de</strong> estos objetos en gran medida. Sin embargo, esto<br />

ha quedado implícito al mencionar <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong>, <strong>el</strong> cual es conocido<br />

por dar una muy buena clasificación <strong>de</strong> las formas cuadráticas sobre Q. Para llegar a este<br />

resultado, uno <strong>de</strong> nuestros objetivos, se <strong>de</strong>berá recorrer un largo camino, a través d<strong>el</strong> cual<br />

serán presentados <strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> los números p-ádicos, <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert, y numerosos resultados<br />

algebráicos (muchos <strong>de</strong> <strong>el</strong>los r<strong>el</strong>acionados directamente con la Teoría <strong>de</strong> Números),<br />

entre otras cosas.<br />

A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> apuntar al ya mencionado <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> y a clasificar las formas<br />

cuadráticas sobre los distintos cuerpos en cuestión, nos interesaremos bastante en los<br />

números p-ádicos y en algunas <strong>de</strong> sus propieda<strong>de</strong>s y aplicaciones para resolver problemas.<br />

Es curiosa la gran diversidad <strong>de</strong> maneras que existen para presentar al cuerpo Q p <strong>de</strong> los<br />

números p-ádicos. Algunas <strong>de</strong> <strong>el</strong>las son mas bien <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>el</strong> punto <strong>de</strong> vista . a nalítico”(como<br />

la completación <strong>de</strong> Q respecto <strong>de</strong> cierta norma, o ciertas series formales <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong><br />

p), otras son puramente algebráicas (”<strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> cocientes d<strong>el</strong> límite proyectivo <strong>de</strong> los<br />

enteros módulo p n ”). Presentaremos dos <strong>de</strong> <strong>el</strong>las en la primer sección, pero a lo largo d<strong>el</strong><br />

trabajo serán <strong>de</strong> mayor utilidad las i<strong>de</strong>as d<strong>el</strong> tipo algebráico (incluso en algunos resultados<br />

en los que aparecen <strong>de</strong>rivadas!).<br />

En la tercer sección se estudiará <strong>el</strong> Símbolo <strong>de</strong> Hilbert, que será una herramienta fundamental<br />

para construir invariantes para las formas cuadráticas tanto en Q p como en Q.<br />

La sección <strong>de</strong> formas cuadráticas se ocupará <strong>de</strong> presentar estos objetos matemáticos, y<br />

finalmente llegar a una minuciosa clasificación <strong>de</strong> <strong>el</strong>las (no sobre las racionales), la cual utilizaremos<br />

en la sección siguiente para probar la r<strong>el</strong>ación global-local que vincula los cuerpos<br />

Q p y R con Q.<br />

Por último, cabe mencionar que gran parte <strong>de</strong> este trabajo ha sido basado en los primeros<br />

capítulos <strong>de</strong> [2]. Es por eso que en general todas las <strong>de</strong>ficiones y resultados que se prueben<br />

tendrán, tar<strong>de</strong> o temprano, su rol importante en <strong>el</strong> trabajo. Sin embargo, en contraposición<br />

con la bibliografía mencionada, intentaremos hacer más hincapié en los <strong>de</strong>talles <strong>de</strong> las<br />

pruebas, para llegar a cada resultado <strong>de</strong> una manera más accesible.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 4<br />

2. <strong>Los</strong> Números p-ádicos<br />

En esta sección se hará una introducción a la teoría <strong>de</strong> los números p-ádicos. Hay varias<br />

formas equivalentes <strong>de</strong> <strong>de</strong>finir este conjunto <strong>de</strong> números; a continuación mostraremos dos <strong>de</strong><br />

<strong>el</strong>las. La primera es más útil para compren<strong>de</strong>r realmente qué estamos haciendo al construir<br />

los números p-ádicos, mientras que la segunda es una presentación más algebráica que, si<br />

bien un tanto más complicada <strong>de</strong> enten<strong>de</strong>r, nos permite manejarlos con mayor simplicidad<br />

y más formalmente.<br />

2.1. La valuación, la norma p-ádica y la métrica p-ádica: Primera<br />

<strong>de</strong>finición<br />

Sea p un número primo fijo. Sabemos, por <strong>el</strong> TFA, que para cada a ∈ Z existe un único<br />

n ∈ Z ≥0 tal que a = p n r, con (r, p) = 1. Esto nos permite, siguiendo las i<strong>de</strong>as en [1], hacer<br />

la siguiente <strong>de</strong>finición:<br />

Definición 2.1. Se <strong>de</strong>fine la valuación p-ádica <strong>de</strong> un número racional como:<br />

v p (x) = máx{n ∈ Z : p n | x} ≥ 0, si x ∈ Z \ {0}<br />

v p (q) = v p (a) − v p (b), si q = a/b ∈ Q.<br />

Por convención se toma v p (0) = ∞.<br />

Notemos que v p : Q → Z, y a<strong>de</strong>más está bien <strong>de</strong>finida, pues si a/b = a ′ /b ′ entonces ab ′ = a ′ b,<br />

y claramente v p (a) + v p (b ′ ) = v p (a ′ ) + v p (b) <strong>de</strong> don<strong>de</strong> v p (a/b) = v p (a ′ /b ′ ).<br />

Proposición 2.2. Sean x, y ∈ Q. Entonces valen:<br />

(a) v p (x) = ∞ ⇐⇒ x = 0<br />

(b) v p (xy) = v p (x) + v p (y)<br />

(c) v p (x + y) ≥ mín{v p (x), v p (y)}, y si v p (x) ≠ v p (y) se da la igualdad.<br />

Demostración: Probaremos únicamente <strong>el</strong> item (c) que es <strong>el</strong> no trivial. Para eso, supongamos<br />

que x, y son no nulos (si alguno <strong>de</strong> <strong>el</strong>los lo fuera, se da la igualdad trivialmente).<br />

Entonces po<strong>de</strong>mos escribir<br />

x = p r a b , y = c ps d<br />

con r, s ∈ Z, y a, b, c, d ∈ Z no divisibles por p. Es claro que v p (x) = r, v p (y) = s.<br />

Supongamos sin pérdida <strong>de</strong> generalidad que s ≥ r, y sea t = s − r ≥ 0. Entonces,<br />

x + y = p r ( a<br />

b + pt c d<br />

)<br />

= p r ( ad + p t bc<br />

bd<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>duce inmediatamente la <strong>de</strong>sigualdad a probar. Si suponemos v p (x) ≠ v p (y),<br />

es equivalente a tomar t ≥ 1 con lo cual se ve claramente que p no divi<strong>de</strong> ni al numerador<br />

ni al <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> la fracción que acompaña a p r (pues por hipótesis p no dividía a<br />

ninguno <strong>de</strong> los enteros a, b, c, d. <br />

Esta valuación p-ádica nos permite <strong>de</strong>finir la norma p-ádica, <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />

)


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 5<br />

Definición 2.3. Si p es un número primo fijo, se <strong>de</strong>fine en Q la norma p-ádica como<br />

‖x‖ p = p −vp(x) .<br />

Obviamente, <strong>de</strong>finimos ‖0‖ p = 0. Es fácil verificar que es efectivamente una norma en<br />

Q. En particular, se ve que ‖ · ‖ p : Q → R ≥0 . Valen las siguientes propieda<strong>de</strong>s, análogas a<br />

las que valían para la valuación:<br />

Proposición 2.4. Si x ∈ Q, entonces se verifican:<br />

(a) ‖x‖ p = 0 ⇐⇒ x = 0<br />

(b) ‖xy‖ p = ‖x‖ p ‖y‖ p<br />

(c) ‖x + y‖ p ≤ máx{‖x‖ p , ‖y‖ p }, y si ‖x‖ p ≠ ‖y‖ p se da la igualdad. 1<br />

La <strong>de</strong>mostración se <strong>de</strong>duce inmediatamente <strong>de</strong> 2.2.<br />

Como bien es sabido, toda norma N en un espacio induce una distancia, mediante la<br />

<strong>de</strong>finición d(x, y) = N(x − y). Así, suena lógico presentar la siguiente <strong>de</strong>finición:<br />

Definición 2.5. Se <strong>de</strong>fine en Q la métrica p-ádica, como d p (x, y) = v p (x − y).<br />

Es usual interpretar a los números reales R como la completación <strong>de</strong> Q <strong>de</strong> acuerdo a la<br />

métrica estandard d(x, y) = |x−y|. Inspirados en esta interpretación, se <strong>de</strong>fine lo siguiente:<br />

Definición 2.6. El cuerpo <strong>de</strong> números p-ádicos Q p es la completación <strong>de</strong> Q con respecto<br />

a la métrica p-ádica.<br />

En Q p se consi<strong>de</strong>ra la topología inducida por la métrica p-ádica, según la cual resulta un<br />

espacio <strong>de</strong> Hausdorf localmente compacto. Obviamente, consi<strong>de</strong>rado como espacio métrico,<br />

Q p resultará completo.<br />

2.2. Segunda <strong>de</strong>finición: Z p y Q p<br />

Como se ha mencionado mas arriba, trabajaremos con una nueva <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los<br />

números p-ádicos, viéndolos ahora <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>el</strong> punto <strong>de</strong> vista algebráico (como son presentados<br />

en [2]).<br />

Para cada n ≥ 1, <strong>de</strong>notemos por A n al anillo <strong>de</strong> enteros módulo p n , es <strong>de</strong>cir, A n := Z/p n Z.<br />

Claramente a cada <strong>el</strong>emento a ∈ A n se le pue<strong>de</strong> asociar uno en A n−1 tomando resto en la<br />

división por p n−1 . De esta forma queda siempre <strong>de</strong>finido un epimorfismo φ n : A n → A n−1 ,<br />

cuyo núcleo es p n−1 A n .<br />

Con estos epimorfismos, resulta evi<strong>de</strong>nte que la sucesión<br />

. . . → A n → A n−1 → . . . → A 2 → A 1<br />

conforma un sistema proyectivo. De esta observación surge la i<strong>de</strong>a para la segunda <strong>de</strong>finición<br />

<strong>de</strong> los números p-ádicos.<br />

Definición 2.7. Se <strong>de</strong>fine <strong>el</strong> anillo <strong>de</strong> enteros p-ádicos Z p como <strong>el</strong> límite proyectivo d<strong>el</strong><br />

sistema (A n , φ n ) <strong>de</strong>finido previamente. Es <strong>de</strong>cir,<br />

Z p := lim ←−<br />

(A n , φ n )<br />

1 Una norma que satisface esta propiedad se dice ”no-arquimediana”


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 6<br />

Por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> límite proyectivo, un <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> Z p es una sucesión x = (. . . , x n , . . . , x 1 )<br />

con x n ∈ A n , y x n ≡ x n−1 mod p n−1 . La suma y <strong>el</strong> producto en este anillo se <strong>de</strong>finen coor<strong>de</strong>nada<br />

∏<br />

a coor<strong>de</strong>nada, es <strong>de</strong>cir, se interpreta a Z p como un subanillo d<strong>el</strong> anillo producto<br />

n≥1 A n.<br />

Antes <strong>de</strong> llegar a la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> Q p , veamos algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los enteros p-ádicos.<br />

Proposición 2.8. Sea ε n : Z p → A n la proyección <strong>de</strong> la n-ésima coor<strong>de</strong>nada x n <strong>de</strong> cada<br />

entero p-ádico x. Entonces, la sucesión <strong>de</strong> grupos ab<strong>el</strong>ianos<br />

es exacta.<br />

p<br />

0 → Z n ε<br />

p −→ Z<br />

n<br />

p −→ An → 0<br />

Demostración: Es claro que ε n es un epimorfismo. Veamos entonces que la multiplicación<br />

por p n es inyectiva en Z p . Para eso, basta con ver que multiplicar por p lo es (luego componemos<br />

esta función n veces). Sea x = (x n ) ∈ Z p tal que px = 0. Mirando coor<strong>de</strong>nada<br />

a coor<strong>de</strong>nada, se tiene que px n+1 = 0 (en A n+1 ) para todo n. Luego, x n+1 = p n y n+1 , para<br />

cierto y n+1 ∈ A n+1 . Pero por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> Z p , x n = φ n+1 (x n+1 ), luego x n también es divisible<br />

por p n , y por estar en A n , x n = 0. Esto vale para todo n, luego x = 0 y entonces<br />

multiplicar por p es una aplicación inyectiva.<br />

Para completar la <strong>de</strong>mostración, resta ver que p n Z p es igual al núcleo <strong>de</strong> ε n . Es claro que<br />

dicho núcleo contiene a p n Z p (ya que todo múltiplo <strong>de</strong> p n tiene en su n-ésima coor<strong>de</strong>nada<br />

un 0). Ahora tomemos un <strong>el</strong>emento x = (x m ) ∈ ker(ε n ). Entonces, x n = 0, y luego por<br />

<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> Z p tenemos que p n | x m para todo m ≥ n. Escribamos x m = p n y m−n , con<br />

y m−n ∈ A m−n (se pue<strong>de</strong> suponer esto puesto que p n A m<br />

∼ = Am−n ). Entonces estos <strong>el</strong>ementos<br />

y i <strong>de</strong>finen en Z p = lim A ←− i un <strong>el</strong>emento y (esto se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong> que x satisface las condiciones<br />

para estar en Z p ), <strong>el</strong> cual verifica claramente (coor<strong>de</strong>nada a coor<strong>de</strong>nada) x = p n y. Luego<br />

x ∈ p n Z p , y en conclusión, la sucesión es exacta. <br />

Notemos que esto nos permite pensar a Z p /p n Z p como A n , que a su vez es igual a Z/p n Z.<br />

Proposición 2.9. Un <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> A n o <strong>de</strong> Z p es una unidad si y sólo si no es divisible por<br />

p. A<strong>de</strong>más, todo <strong>el</strong>emento no nulo <strong>de</strong> Z p se escribe <strong>de</strong> forma única como p n u, con u ∈ U(Z p )<br />

y n ≥ 0.<br />

Demostración: Probemos la tésis primero para A n . Es claro que si x ∈ A n es una unidad<br />

entonces no es divisible por p, pues si así fuera, entonces p | xx −1 = 1 + mp n ⇒ p | 1,<br />

absurdo. Recíprocamente, supongamos que x ∈ A n \ pA n no es múltiplo <strong>de</strong> p. Entonces la<br />

imagen <strong>de</strong> x en A 1 = Z/pZ es no nula, luego es invertible. Tomemos entonces y tal que<br />

xy = 1 − pz, y po<strong>de</strong>mos pensar que y, z ∈ A n . Así,<br />

xy(1 + pz + . . . + p n−1 z n−1 ) = (1 − pz)(1 + pz + . . . + p n−1 z n−1 ) = 1 − p n z n<br />

por lo tanto x es invertible en A n .<br />

Para ver <strong>el</strong> resultado en Z p , basta con observar que si x ∈ Z p no es múltiplo <strong>de</strong> p entonces<br />

su imagen x n en cada A n tampoco lo es, con lo cual es invertible. Y como la multiplicación<br />

en Z p se <strong>de</strong>fine coor<strong>de</strong>nada a coor<strong>de</strong>nada, esto implica que <strong>el</strong> mismo x es invertible en Z p<br />

y listo.<br />

Por otro lado, si tenemos un <strong>el</strong>emento x = (x n ) ∈ Z p no nulo, sea n <strong>el</strong> mayor índice para<br />

<strong>el</strong> cual x n = 0. Entonces p n | x, pero p n+1 ∤ x en Z p , lo cual implica que existe u tal que


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 7<br />

x = p n u y a<strong>de</strong>más p ∤ u. Por <strong>el</strong> resultado anterior, u ∈ U(Z p ), con lo cual queda probada la<br />

existencia <strong>de</strong> la <strong>de</strong>scomposición.<br />

La unicidad se <strong>de</strong>duce d<strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que <strong>el</strong> n fue <strong>el</strong>egido <strong>de</strong> manera única, y la multiplicación<br />

por p n es inyectiva (proposición anterior), o sea que no pue<strong>de</strong>n existir dos u distintos. <br />

De la última parte <strong>de</strong> la proposición se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir, como en 2.1, la valuación p-ádica,<br />

pero esta vez directamente para Z p .<br />

Teniendo en cuenta que Z p resulta un anillo (es incluso un dominio <strong>de</strong> integridad), sabemos<br />

que po<strong>de</strong>mos construir un cuerpo que lo contenga <strong>de</strong> forma “razonable”. Es <strong>de</strong>cir, <strong>el</strong> cuerpo<br />

<strong>de</strong> cocientes d<strong>el</strong> anillo. Y al igual que <strong>de</strong> Z obtenemos <strong>el</strong> cuerpo Q, po<strong>de</strong>mos hacer lo mismo<br />

con Z p para obtener así <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> números en cuestión:<br />

Definición 2.10. El conjunto <strong>de</strong> los números p-ádicos Q p se <strong>de</strong>fine como <strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong><br />

cocientes d<strong>el</strong> anillo Z p .<br />

Po<strong>de</strong>mos pensar que Q p = Z p [p −1 ]. Y al igual que en Z p , todo <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> Q ∗ p pue<strong>de</strong><br />

escribirse <strong>de</strong> forma única como p n u, con u ∈ U = U(Z p ) y n ∈ Z. Esto da lugar a la<br />

generalización <strong>de</strong> la valuación p-ádica para todo Q p , y obviamente se verifica que v p (x) ≥ 0<br />

si y sólo si x ∈ Z p .<br />

Al igual que en la primer <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los números p-ádicos, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir la distancia (o<br />

métrica) p-ádica, basándose en la valuación p-ádica ya <strong>de</strong>finida. 2 Esta distancia <strong>de</strong>fine la<br />

topología en Z p y Q p , según la cual <strong>el</strong> anillo Z p resulta ser un espacio métrico completo, que<br />

contiene como subconjunto <strong>de</strong>nso en él a Z. A<strong>de</strong>más, como ya se ha mencionado, <strong>el</strong> cuerpo<br />

Q p resulta ser localmente compacto con la topología mencionada, y <strong>el</strong> anillo Z p resulta ser<br />

un subanillo abierto. Obviamente, Q es <strong>de</strong>nso en Q p .<br />

A pesar <strong>de</strong> que ya hemos <strong>de</strong>finido a los números p-ádicos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> dos puntos <strong>de</strong> vista<br />

diferentes, aún hay una forma más <strong>de</strong> pensar en <strong>el</strong>los. K. Hens<strong>el</strong>, quien fue <strong>el</strong> primero en<br />

introducir la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> número p-ádico, trabajó mucho con <strong>el</strong>los para resolver problemas <strong>de</strong><br />

la teoría <strong>de</strong> números, y utilizaba en sus trabajos un <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> los números<br />

p-ádicos, conocido como <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> Hens<strong>el</strong>. En [3] se menciona dicho <strong>de</strong>sarrollo, y se<br />

prueba la siguiente proposición:<br />

Proposición 2.11. Todo x ∈ Q p admite un único <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> Hens<strong>el</strong>, es <strong>de</strong>cir, se pue<strong>de</strong><br />

escribir <strong>de</strong> forma única como x = ∑ n≥n o<br />

a n p n , con 0 ≤ a n < p, a n0 ≠ 0 y n 0 ∈ Z.<br />

Claramente, n 0 es lo que nosotros hemos llamado v p (x). En esta forma <strong>de</strong> ver a los<br />

números p-ádicos se ve mucho mejor la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> completación (pues en realidad los <strong>el</strong>ementos<br />

<strong>de</strong> Q son precisamente aqu<strong>el</strong>los cuyo <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> Hens<strong>el</strong> se hace periódico a partir <strong>de</strong><br />

un punto; por ejemplo, que se haga cero a partir <strong>de</strong> n 1 ).<br />

2.3. Polinomios y ecuaciones p-ádicas<br />

En esta sección veremos algunos resultados importantes sobre las raíces <strong>de</strong> polinomios<br />

con coeficientes p-ádicos. A pesar <strong>de</strong> que la mayoria <strong>de</strong> <strong>el</strong>los sólo serán usados para <strong>el</strong> caso <strong>de</strong><br />

2 Vale la pena mencionar que algunos autores utilizan la <strong>de</strong>finición d p (x, y) := e −vp(x−y) , sin embargo<br />

ambas <strong>de</strong>finiciones dan lugar a normas totalmente equivalentes


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 8<br />

grado 2 (formas cuadráticas), vale la pena mencionarlos en general ya que la <strong>de</strong>mostración<br />

es casi idéntica en ambos casos.<br />

Antes que nada, algo <strong>de</strong> notación: Si f ∈ Z p [X 1 , . . . , X m ] es un polinomio con coeficientes<br />

en Z p , llamaremos f n al polinomio obtenido <strong>de</strong> f tomando módulo p n (n ∈ N). Y si<br />

x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ (Z p ) m (resp. en (A n ) m ) , diremos que x es primitivo si alguno <strong>de</strong> los<br />

x i es inverible en Z p (resp. en A n ). O sea, si alguna <strong>de</strong> sus coor<strong>de</strong>nadas no es múltiplo <strong>de</strong><br />

p.<br />

Proposición 2.12. Sean f (i) ∈ Z p [X 1 , . . . , X m ] polinomios con coeficientes enteros p-ádicos.<br />

Son equivalentes:<br />

(i) Todos los f (i) tienen una raíz en común en (Z p ) m .<br />

(ii) Para cada n > 1, los polinomios f (i)<br />

n tienen una raíz en común en (A n ) m .<br />

Demostración: Esto es una consecuencia inmediata d<strong>el</strong> Lema 6.9. En efecto, si se toma<br />

como D n al conjunto <strong>de</strong> raíces en común <strong>de</strong> los f n<br />

(i) , se ve que los D n son finitos y a<strong>de</strong>más<br />

forman un sistema proyectivo (puesto que ser raiz módulo p n+1 implica serlo módulo p n ).<br />

Pero aparte, D := lim D ←− n es <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> raíces d<strong>el</strong> polinomio en Z p , ya que ser raiz<br />

módulo p n para todo n implica que es raiz en Z p . O sea que se pue<strong>de</strong> aplicar <strong>el</strong> Lema,<br />

que nos dice que si los D n son no vacíos entonces D lo es, y esto es precisamente lo que<br />

queríamos probar (<strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que D no vacío implica que los D n lo son sale por reducir la<br />

ecuación módulo p n ). <br />

Proposición 2.13. Sean f (i) ∈ Z p [X 1 , . . . , X m ] polinomios homogéneos con coeficientes<br />

enteros p-ádicos. Son equivalentes:<br />

(a) <strong>Los</strong> f (i) tienen una raíz no trivial en común en (Q p ) m .<br />

(b) <strong>Los</strong> f (i) tienen una raíz primitiva en común (Z p ) m .<br />

(c) Para cada n > 1, los polinomios f (i)<br />

n tienen una raíz primitiva en (A n ) m .<br />

Demostración: Es claro que (b) → (a). Para ver la vu<strong>el</strong>ta, sea x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ (Q p ) m<br />

es una raiz no trivial <strong>de</strong> los f (i) , y llamemos h := inf(v p (x 1 ), . . . , v p (x m )), y = p −h x.<br />

Así <strong>de</strong>finido, resulta que v p (y j ) = v p (x j ) − h ≥ 0 ∀j, y a<strong>de</strong>más en un índice j se da la<br />

igualdad, con lo cual y ∈ Z p y es primitivo. Como los polinomios son homogeneos, al evaluarlos<br />

en y = p −h x <strong>el</strong> factor p −h <strong>de</strong>g(f (i)) sale en común, y lo restante queda 0 por ser x raiz.<br />

Entonces y es raiz primitiva en común <strong>de</strong> los f (i) en Z p .<br />

Para finalizar, vemos que po<strong>de</strong>mos imitar la prueba <strong>de</strong> la proposición anterior (utilizando<br />

<strong>el</strong> mismo Lema) para probar que (b) ↔ (c), poniendo D n como <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> raíces primitivas<br />

en común <strong>de</strong> los f (i) en A n y observando que forman un sistema proyectivo, cuyo<br />

límite es <strong>el</strong> conjunto D <strong>de</strong> raíces en común <strong>de</strong> los polinomios en Z p . <br />

A continuación veremos como están r<strong>el</strong>acionadas las soluciones a ecuaciones polinomiales<br />

módulo p n con soluciones en Z p (es evi<strong>de</strong>nte como obtener las primeras sabiendo las<br />

segundas, <strong>el</strong> problema es conseguir soluciones en Z p a partir <strong>de</strong> soluciones en cada A n ).<br />

Lema 2.14. (Método <strong>de</strong> Newton aplicado a números p-ádicos) Sea f ∈ Z p [X], y sea f ′ su<br />

polonomio <strong>de</strong>rivado. Dados x ∈ Z p , n, k ∈ Z, tales que 0 ≤ 2k < n, f(x) ≡ 0 mod p n y


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 9<br />

v p (f ′ (x)) = k, entonces existe y ∈ Z p tal que<br />

f(y) ≡ 0 mod p n+1 , v p (f ′ (y)) = k, y ≡ x mod p n−k<br />

Demostración: Propongamos un y <strong>de</strong> la forma y = x + p n−k z como solución, z ∈ Z p .<br />

Tomando <strong>el</strong> polinomio <strong>de</strong> Taylor <strong>de</strong> grado 2 para f centrado en x, y evaluandolo en y,<br />

obtenemos que<br />

f(y) = f(x) + (y − x)f ′ (x) + (y − x) 2 a = f(x) + p n−k zf ′ (x) + p 2n−2k za<br />

con a ∈ Z p . Pero por hipótesis, f(x) = p n b, f ′ (x) = p k c con b ∈ Z p y c ∈ U. Sea c −1 <strong>el</strong><br />

inverso <strong>de</strong> c módulo p (pensando que c −1 ∈ Z p ), y consi<strong>de</strong>remos entonces z = −bc −1 . Se ve<br />

que b + zc es múltiplo <strong>de</strong> p, entonces p n (b + zc) es múltiplo <strong>de</strong> p n+1 . Por lo tanto, tenemos<br />

que<br />

f(y) = p n b + p n−k zp k c + p 2n−2k za = p n (b + zc) + p 2n−2k a ≡ 0 mod p n+1<br />

pues 2n − 2k > n por hipótesis.<br />

Finalmente, como <strong>el</strong> y <strong>el</strong>egido satisface y ≡ x (modp n−k ), aplicamos f ′ a ambos lados y<br />

obtenemos f ′ (y) ≡ p k c (modp n−k ), con c no divisible por p. Pero n − k > k, luego la mayor<br />

potencia <strong>de</strong> p que pue<strong>de</strong> dividir a f ′ (y) es p k (pues sino p dividiría a c), y esto es <strong>de</strong>cir que<br />

v p (f ′ (y)) = k. <br />

<strong>Teorema</strong> 2.15. Sean f ∈ Z p [X 1 , . . . , X m ], x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ (Z p ) m , n, k, j ∈ Z tales que<br />

0 ≤ j ≤ m y 0 ≤ 2k < n. Supongamos que<br />

( ) ∂f<br />

f(x) ≡ 0 mod(p n ), v p (x) = k<br />

∂X j<br />

Entonces, existe una raíz y ∈ (Z p ) m <strong>de</strong> f tal que y ≡ x mod(p n−k ) (coor<strong>de</strong>nada a coor<strong>de</strong>nada).<br />

Demostración: Probemos <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> primero para <strong>el</strong> caso m = 1. Según <strong>el</strong> Lema d<strong>el</strong><br />

método <strong>de</strong> Newton po<strong>de</strong>mos encontrar un x (1) ∈ Z p tal que x (1) ≡ x mod(p n−k ) y tal<br />

que f(x (1) ) ≡ 0 mod(p n+1 ) y v p (f ′ (x (1) )) = k. De la misma forma, y en general, po<strong>de</strong>mos<br />

reemplazar n por n + 1 y volver a aplicar <strong>el</strong> Lema, consiguiendo así una sucesión<br />

x, x (1) , . . . , x (q) , . . . tal que para todo q x (q+1) ≡ x (q) mod(p n+q−k ) y f(x (q) ) ≡ 0 mod(p n+q ).<br />

Como n + q − k tien<strong>de</strong> a infinito, la norma p-ádica <strong>de</strong> x (q+r) − x (q) tien<strong>de</strong> a 0, con lo cual<br />

la sucesión construida es <strong>de</strong> Cauchy. Sea y su límite (recordar que Z p es completo). Por<br />

continuidad, la norma <strong>de</strong> f(y) es 0 entonces f(y) = 0. Y al tener que todos los términos <strong>de</strong><br />

la sucesión son congruentes con x módulo p n−k , lo mismo ocurre con y.<br />

Para probar <strong>el</strong> caso m > 1 simplemente fijamos en <strong>el</strong> polinomio todas las variables que<br />

no tengan índice j, y les damos <strong>el</strong> valor x i correspondiente. Así obtenemos un polinomio<br />

˜f ∈ Z p [X j ] que está en las condiciones anteriores, y po<strong>de</strong>mos entonces hallar y j congruente<br />

a x j módulo p n−k tal que ˜f(y j ) = 0. Poniendo y i = x i para i ≠ j, obtenemos <strong>el</strong> <strong>el</strong>emento<br />

y = (y i ) buscado. <br />

Este importante teorema trae como consecuencia numerosos resultados. <strong>Los</strong> que más<br />

nos interesan son los siguientes:


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 10<br />

Corolario 2.16. (Lema <strong>de</strong> Hens<strong>el</strong>) Sea f ∈ Z p [X 1 , . . . , X m ] un polinomio con coeficientes<br />

en Z p , y a = (a 1 , . . . , a m ) ∈ (Z p ) m una raíz simple <strong>de</strong><br />

f(x) ≡ 0 mod(p)<br />

∂f<br />

(i.e.,<br />

∂X i<br />

(a) ≠ 0 mod (p) para algún i, 1 ≤ i ≤ m). Entonces existe y ∈ Z p tal que y ≡ a 0<br />

mod p y f(y) = 0.<br />

(Esto es exactamente <strong>el</strong> teorema para n = 1, k = 0. En efecto, <strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que ∂f<br />

∂X i<br />

(a) ≠ 0<br />

mod (p) implica que v p<br />

( ∂f<br />

∂X i<br />

(a) ) ≠ 0).<br />

Corolario 2.17. Sean a ∈ Z p , y f(X) = ∑ i,j a ijX i X j , con a ij = a ji , una forma cuadrática<br />

con coeficientes en Z p tal que <strong>de</strong>t(a ij ) es invertible. Entonces,<br />

(i) Si p ≠ 2, toda solución primitiva <strong>de</strong> f(X) ≡ a mod(p) da lugar a una solución en Z p .<br />

(ii) Si p = 2, toda solución <strong>de</strong> f(X) ≡ a mod(8) da lugar a una solución en Z 2<br />

Demostración: Sea x una solución primitiva <strong>de</strong> f(X) ≡ a mod(p). Para probar (i) basta<br />

con <strong>de</strong>mostrar que hay alguna <strong>de</strong>rivada parcial que no se anula en x, módulo p (por Lema <strong>de</strong><br />

Hens<strong>el</strong>). Sea A = (a ij ). Vemos que ∂f<br />

∂X i<br />

= 2 ∑ j a ijX j = 2(AX) i (don<strong>de</strong> X = (X 1 , . . . , X n )).<br />

Si todas las <strong>de</strong>rivadas parciales fueran cero, entonces <strong>el</strong> vector AX sería cero módulo p. Y<br />

esto es absurdo puesto que X no es cero módulo p (pues es primitivo), y A es invertible<br />

mod (p). Por lo tanto hay alguna no nula, y se pue<strong>de</strong> aplicar <strong>el</strong> Lema.<br />

Con <strong>el</strong> mismo razonamiento que recien, pero teniendo en cuenta <strong>el</strong> 2 que acompaña a (AX) i<br />

en la fórmula <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada parcial, se ve que en <strong>el</strong> caso p = 2 <strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que A sea invertible<br />

implica que las <strong>de</strong>rivadas parciales no son todas nulas mod(4). Pero entonces <strong>el</strong><br />

resultado a probar no es otra cosa que aplicar <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> con n = 3, k = 1. <br />

2.4. Unida<strong>de</strong>s y cuadrados en Q p<br />

El objetivo <strong>de</strong> esta sección es caracterizar <strong>de</strong> cierta forma los grupos multiplicativos y,<br />

con esta información, los diferentes tipos <strong>de</strong> restos cuadráticos en cada uno <strong>de</strong> los cuerpos<br />

Q p .<br />

Llamaremos U = Z ∗ p al grupo multiplicativo (o <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s) <strong>de</strong> los enteros p-ádicos. Para<br />

cada n ≥ 1, notamos U n = 1 + p n Z p , es <strong>de</strong>cir, <strong>el</strong> núcleo <strong>de</strong> la aplicación ε n : U → (Z/p n Z) ∗<br />

<strong>de</strong>finida en la Proposición 2.8. En particular, como U 1 = ker(ε 1 ) y (Z/pZ) ∗ = Im(ε 1 ), U/U 1<br />

se pue<strong>de</strong> pensar como (Z/pZ) ∗ ∼ = F<br />

∗<br />

p (grupo multiplicativo d<strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> p <strong>el</strong>ementos),<br />

y luego es cíclico y <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n p − 1. A<strong>de</strong>más, es claro que los U n forman una sucesión<br />

”<strong>de</strong>creciente”(según inclusión) <strong>de</strong> subgrupos abiertos <strong>de</strong> U (pues U/U n<br />

∼ = (Z/p n Z) ∗ ), y se<br />

tiene que U = lim U/U ←− n .<br />

Consi<strong>de</strong>remos ahora para cada n ≥ 1 <strong>el</strong> morfismo <strong>de</strong> grupos ab<strong>el</strong>ianos φ : U n → Z/pZ, dado<br />

por (1 + p n x) ↦→ x mod p. Entonces U n /ker(φ) ∼ = Im(φ). Pero ker(φ) = U n+1 , Im(φ) =<br />

Z/pZ, luego U n /U n+1<br />

∼ = Z/pZ. Así, se pue<strong>de</strong> ver por inducción que U1 /U n tiene or<strong>de</strong>n p n−1 .<br />

Veamos ahora <strong>el</strong> siguiente Lema <strong>de</strong> teroría <strong>de</strong> grupos:<br />

Lema 2.18. Sea 0 → A → E → B → 0 una sucesión exacta <strong>de</strong> grupos ab<strong>el</strong>ianos, a, b<br />

los or<strong>de</strong>nes (finitos) <strong>de</strong> A, B resp., y tales que mcd(a, b) = 1. Si B ′ := {x ∈ E : bx = 0},<br />

entonces E ∼ = A ⊕ B ′ , y a<strong>de</strong>más B ′ es <strong>el</strong> único subgrupo <strong>de</strong> E isomorfo a B.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 11<br />

Demostración: Como a y b son coprimos, existen r, s ∈ Z tales que ar + bs = 1. Veamos<br />

primero que A∩B ′ = 0. Sea x ∈ A∩B ′ . Entonces por ser a <strong>el</strong> or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> A, ax = 0. Y bx = 0<br />

por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> B ′ , luego x = (ar + bs)x = r(ax) + s(bx) = 0 y entonces A ∩ B ′ = 0.<br />

Ahora bien, tomemos x ∈ E y escribamoslo como x = arx + bsx. Sean f <strong>el</strong> monomorfismo<br />

<strong>de</strong> A a E y g <strong>el</strong> epimorfismo <strong>de</strong> E a B. Entonces g(bsx) = bg(sx) = 0 ya que g(sx) ∈ B<br />

y b es <strong>el</strong> or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> ese grupo. Luego, bsx ∈ ker g = Imf ∼ = A pues f es mono. Entonces,<br />

bsx ∈ A (abuso <strong>de</strong> notación; en realidad está en un subgrupo <strong>de</strong> E isomorfo a A). Resta<br />

ver que arx ∈ B ′ , pero para esto hacemos b(arx) = a(brx), se ve <strong>de</strong> forma análoga a la<br />

anterior que brx ∈ A, y luego abrx = 0 con lo cual arx ∈ B ′ . Por lo tanto, E ∼ = A ⊕ B ′ .<br />

El epimorfismo g : E ↦→ B <strong>de</strong>fine un isomorfismo entre B y B ′ , puesto que en los <strong>el</strong>ementos<br />

<strong>de</strong> A da 0. Si tuvieramos un B ′′ ⊆ E isomorfo a B entonces por una cuestión <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n (<strong>de</strong><br />

este subgrupo), bB ′′ = 0 luego B ′′ ⊆ B ′ por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> B ′ . Y al tener <strong>el</strong> mismo or<strong>de</strong>n,<br />

resulta que B ′ = B ′′ . <br />

Proposición 2.19. Si V := {x ∈ U : x p−1 = 1}, entonces este es <strong>el</strong> único subgrupo <strong>de</strong> U<br />

isomorfo a F ∗ p , y U = V × U 1<br />

Demostración: Consi<strong>de</strong>remos la sucesión <strong>de</strong> grupos ab<strong>el</strong>ianos<br />

1 → U 1 /U n → U/U n → F ∗ p → 1<br />

Es exacta, ya que U/Un ∼<br />

U 1 /U n = U/U1 por <strong>el</strong> segundo <strong>Teorema</strong> d<strong>el</strong> isomorfismo, y hemos visto<br />

que este último grupo es isomorfo a Fp ∗ . Pero a<strong>de</strong>más, <strong>el</strong> or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> U 1 /U n es p n−1 y <strong>el</strong> <strong>de</strong><br />

Fp ∗ es p − 1: son coprimos. Por lo tanto se aplica <strong>el</strong> Lema anterior, y po<strong>de</strong>mos concluir que<br />

U/U n contiene un único subgrupo V n isomorfo a Fp ∗ . Por <strong>el</strong> mismo Lema, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir<br />

que V n es exactamente {x ∈ U/U n |x p−1 = 1}. Pensando <strong>el</strong> epimorfismo φ n : A n ↦→ A n−1<br />

como φ n : U/U n ↦→ U/U n−1 (se pue<strong>de</strong> porque estos conjuntos son isomorfos) tenemos un<br />

sistema proyectivo cuyo límite es U. Y como cada morfismo lleva V n a V n−1 <strong>de</strong> manera<br />

isomorfa, obtenemos pasando al límite un único subgrupo V <strong>de</strong> U isomorfo a Fp ∗ . El hecho<br />

<strong>de</strong> que V sea <strong>de</strong> la forma explicitada en la Proposición se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong> cómo son los V n , y por<br />

otra parte como U/U 1<br />

∼ = F<br />

∗<br />

p , se <strong>de</strong>duce inmediatamente que U = V × U 1 . 3<br />

Veamos ahora qué ocurre con <strong>el</strong> grupo U 1 :<br />

Lema 2.20. Si x ∈ U n \ U n+1 , con n ≥ 1 (y n ≥ 2 si p = 2), entonces x p ∈ U n+1 \ U n+2 .<br />

Demostración: Por hipótesis, po<strong>de</strong>mos escribir x = 1 + kp n , con k no múltiplo <strong>de</strong> p.<br />

Desarrollando por binomio <strong>de</strong> Newton, tenemos que<br />

x p = 1 + kp n+1 + . . . + k p p np<br />

y en todos los términos que faltan <strong>el</strong> exponente <strong>de</strong> p es al menos 2n + 1 ≥ n + 2. Más aun,<br />

np ≥ n + 2 (para esto se pi<strong>de</strong> la hipótesis <strong>de</strong> que si p = 2 entonces n ≥ 2). Luego<br />

y entonces x ∈ U n+1 \ U n+2 . <br />

x p ≡ 1 + kp n+1 mod p n+2<br />

3 Notar que en <strong>el</strong> Lema se utilizó la notación aditiva, mientras que al aplicarlo a la Proposición se<br />

utilizó la notacion multiplicativa.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 12<br />

Proposición 2.21. El grupo U 1 es isomorfo a...<br />

(i) Z p , si p ≠ 2.<br />

(ii) {±1} × U 2<br />

∼ = {±1} × Z2 , si p = 2.<br />

Demostración: (i) Sea α ∈ U 1 \ U 2 , por ejemplo α = 1 + p. Por <strong>el</strong> Lema anterior,<br />

α pi ∈ U i+1 \ U i+2 . Sea α n la imagen <strong>de</strong> α en U 1 /U n . De lo mencionado anteriormente<br />

(tomando i = n − 2 y i = n − 1) se <strong>de</strong>duce que α pn−2 ∈ U n−1 \ U n y α pn−1 ∈ U n , luego<br />

(α n ) pn−2 ≠ 1 y (α n ) pn−1 = 1 (recordar que los grupos se notan multiplicativamente). Al ser<br />

U 1 /U n un grupo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n p n−1 , resulta que <strong>el</strong> or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> α n es exactamente p n−1 , con lo cual<br />

es un generador. Esto implica que se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir un isomorfismo θ n,α entre Z/p n−1 Z y<br />

U 1 /U n . Es claro, por la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> dichos isomorfimos, que <strong>el</strong> diagrama<br />

Z/p n Z −→ U 1 /U n+1<br />

↓<br />

↓<br />

Z/p n−1 Z −→ U 1 /U n<br />

conmuta. Pasando al límite, queda entonces <strong>de</strong>finido un isomorfismo θ entre Z p =<br />

lim<br />

←− Z/pn−1 Z y U 1 = lim U ←− 1 /U n , con lo cual queda probado <strong>el</strong> caso p ≠ 2.<br />

(ii) Tomando α ∈ U 2 \ U 3 obtenemos <strong>de</strong> la misma forma que antes los isomorfimos θ n,α :<br />

Z/2 n−2 Z → U 2 /U n , y por lo tanto se tiene un isomorfismo θ : Z 2 → U 2 . Por otro lado,<br />

como U 1 /U 2<br />

∼ = Z/2Z ∼ = {±1} se ve inmediatamente que U1<br />

∼ = {±1} × U2 . <br />

Con estos resultados, ya estamos en condiciones <strong>de</strong> caracterizar <strong>el</strong> grupo multiplicativo<br />

<strong>de</strong> Q p <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />

<strong>Teorema</strong> 2.22. El grupo Q ∗ p es isomorfo a Z × Z p × Z/rZ, don<strong>de</strong> r = p − 1 si p ≠ 2, y<br />

r = 2 si p = 2.<br />

Demostración: Sabemos que todo <strong>el</strong>emento x ∈ Q p ∗ se escribe <strong>de</strong> forma única como<br />

x = p n u, con n ∈ Z y u ∈ U. Luego, Q p<br />

∗ ∼ = Z × U. Pero a<strong>de</strong>más, U ∼ = V × U1 por la<br />

Proposición 2.19, y V ∼ = Z/(p − 1)Z si p ≠ 2 (V es trivial si p = 2), luego usando la<br />

estructura para U 1 probada en la Proposición anterior se <strong>de</strong>duce inmediatamente lo que<br />

queremos probar. <br />

Con esta caracterización, y utilizando <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Legendre (ver Apéndice 6.1.2) po<strong>de</strong>mos<br />

conocer mas profundamente los cuadrados perfectos en Q p , mediante los siguientes<br />

resultados, que eran <strong>el</strong> objetivo principal <strong>de</strong> esta sección.<br />

<strong>Teorema</strong> 2.23. Si p ≠ 2, entonces para que un <strong>el</strong>emento x = p n u ∈ Q ∗ p, con n ∈ Z y<br />

u ∈ U 4 , sea un cuadrado perfecto, es necesario y suficiente que n sea par, y que la imagen<br />

<strong>de</strong> u en F ∗ p = U/U 1 sea un cuadrado perfecto (resto cuadrático). 5<br />

Demostración: Escribamos u = vu 1 , con v ∈ V y u 1 ∈ U 1 . Como Q p<br />

∗ ∼ = Z × V × U1 ,<br />

entonces x es cuadrado perfecto si y sólo si n es par, y v y u 1 son cuadrados en sus respectivas<br />

ubicaciones. Pero U 1 es isomorfo a Z p (este último con notación aditiva), y como 2 es<br />

4 Ver comentario posterior a la Definición 2.10<br />

5 Al <strong>de</strong>cir ”la imagen <strong>de</strong> u en F ∗ p nos referimos a su primera componente en la <strong>de</strong>scomposición U = V ×U 1<br />

<strong>de</strong> la Proposición 2.19, ya que V ∼ = F ∗ p .)


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 13<br />

invertible en Z p , todos los <strong>el</strong>ementos son cuadrados, luego u 1 siempre es cuadrado perfecto.<br />

Al ser V isomorfo a F ∗ p , queda probado <strong>el</strong> teorema. 6<br />

Corolario 2.24. Si p ≠ 2, <strong>el</strong> grupo Q ∗ p/Q ∗ p2 es isomorfo a Z 2 × Z 2 , y se pue<strong>de</strong> representar<br />

mediante {1, p, u, up}, siendo u ∈ U un <strong>el</strong>emento tal que su imagen ũ en Fp<br />

∗ verifica ( ) ũ<br />

p =<br />

−1 (es <strong>de</strong>cir, no es un resto cuadrático mod p).<br />

Demostración: Esto es obvio, ya que si cocientamos con <strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> cuadrados Q ∗ p2 entonces<br />

<strong>de</strong> los <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> Q ∗ p, que pue<strong>de</strong>n pensarse como p n u, sólo nos interesa la paridad<br />

<strong>de</strong> n y <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Legendre ( ) ũ<br />

p (<strong>el</strong> cual toma valores en {±1}). Luego tomando 1 = p 0 ,<br />

p = p 1 , u y pu tenemos representantes <strong>de</strong> dicho cociente. <br />

<strong>Teorema</strong> 2.25. Para que un <strong>el</strong>emento x = p n u ∈ Q ∗ 2 sea un cuadrado perfecto, es necesario<br />

y suficiente que n sea par y que u ≡ 1 mod 8.<br />

Demostración: La <strong>de</strong>scomposición d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 2.22 nos dice que x = p n u es cuadrado<br />

perfecto si y sólo si n es par, y u es un cuadrado en U. Pero U = {±1} × U 2 , luego esto<br />

último pasará si y sólo si u ∈ U 2 y a<strong>de</strong>más u es un cuadrado allí. Consi<strong>de</strong>rando <strong>el</strong> isomorfismo<br />

θ <strong>de</strong>finido en la Proposición 2.21, vemos que este envía al conjunto 2 n Z 2 en U n+2 . En<br />

particular, para n = 1, <strong>el</strong> conjunto 2Z 2 es isomorfo a U 3 . Pero 2Z 2 son los cuadrados en Z 2 ,<br />

y Z 2 es isomorfo a U 2 , luego u será un cuadrado en U 2 sii u ∈ U 3 . Es <strong>de</strong>cir, si y sólo si u es<br />

congruente con 1 módulo 8. <br />

Corolario 2.26. El grupo Q ∗ 2/Q ∗ 22 es isomorfo a Z 2 × Z 2 × Z 2 , y se pue<strong>de</strong> representar<br />

mediante {±1, ±5, ±2, ±10}.<br />

Demostración: Este Corolario se <strong>de</strong>duce inmediatamente d<strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que U/U 3 se pue<strong>de</strong><br />

caracterizar mediante <strong>el</strong> conjunto {±1, ±5}. <br />

Nota: <strong>Los</strong> <strong>Teorema</strong>s 2.23 y 2.25 dicen que Q ∗ p2 es un subgrupo abierto <strong>de</strong> Q ∗ p, para todo<br />

p primo.<br />

6 Cabe mencionar que en las estructuras notadas aditivamente también consi<strong>de</strong>ramos los cuadrados<br />

perfectos: son aqu<strong>el</strong>los <strong>el</strong>ementos x para los cuales existe un y tal que y + y = x.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 14<br />

3. El símbolo <strong>de</strong> Hilbert<br />

Para trabajar con formas cuadráticas, y mas precisamente si estamos estudiando cuándo<br />

una ecuación cuadrática tiene solución, es sumamente útil introducir la noción d<strong>el</strong> símbolo<br />

<strong>de</strong> Hilbert. A<strong>de</strong>más éste nos permitirá, en la próxima sección, hacer la clasificación <strong>de</strong><br />

formas cuadráticas.<br />

En [4] se presenta al símbolo <strong>de</strong> Hilbert <strong>de</strong>finido sobre cualquier cuerpo local 7 , lo cual<br />

serviría para <strong>de</strong>mostrar la versión general d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong>. Sin embargo,<br />

para enten<strong>de</strong>r y probar los resultados se requiere un buen manejo <strong>de</strong> la Teoría <strong>de</strong> Cuerpos,<br />

razón por la cual nos limitamos a hacer las cosas en R y Q p .<br />

En general en esta sección cuando se hable <strong>de</strong> cuerpo nos estaremos refiriendo a Q p o a R.<br />

3.1. Definición, propieda<strong>de</strong>s básicas y cálculo d<strong>el</strong> símbolo<br />

Definición 3.1. Sea k un cuerpo. Si a, b ∈ k ∗ , se <strong>de</strong>fine <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert entre a y<br />

b con respecto a k como <strong>el</strong> número (a, b) dado por:<br />

{ 1, si la ecuación z<br />

(a, b) =<br />

2 − ax 2 − by 2 = 0 tiene solución no trivial en k 3 ;<br />

−1, en caso contrario.<br />

Al ser invariante bajo multiplicaciones <strong>de</strong> a y b por cuadrados (i.e., (a, bc 2 ) = (a, b)), <strong>el</strong><br />

símbolo <strong>de</strong> Hilbert <strong>de</strong>fine una aplicación entre k ∗ /k ∗2 × k ∗ /k ∗2 y {±1}.<br />

Proposición 3.2. Sean a, b ∈ k ∗ , y k b := k( √ b). Si Nkb<br />

∗<br />

<strong>el</strong>ementos en kb ∗, entonces (a, b) = 1 sii a ∈ Nk∗ b .<br />

es <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> normas <strong>de</strong><br />

Demostración: Si b = c 2 para cierto c ∈ k ∗ , entonces k b = k y la terna (c, 0, 1) es solución<br />

<strong>de</strong> z 2 − ax 2 − by 2 = 0. Luego (a, b) = 1, pero a<strong>de</strong>más a ∈ Nk ∗ b pues Nk∗ b = Nk∗ = k ∗ , y<br />

entonces vale la Proposición.<br />

Si no ocurriera eso, sea β una raiz cuadrada <strong>de</strong> b. Todo <strong>el</strong>emento ξ ∈ k b se pue<strong>de</strong> escribir<br />

<strong>de</strong> la forma ξ = z + βy, con y, z ∈ k. Se tiene que N(ξ) = z 2 − by 2 . Entonces, si a ∈ Nk ∗ b ,<br />

podremos escribirlo como a = z 2 −by 2 con lo cual (z, 1, y) es raiz <strong>de</strong> la ecuación y (a, b) = 1.<br />

Recíprocamente, si (a, b) = 1, tomemos una raiz (z, x, y) <strong>de</strong> la ecuación. Debe ocurrir que<br />

x ≠ 0 pues si lo fuera entonces b sería un cuadrado y supusimos que no lo era. Entonces,<br />

z/x, 1, y/x) es también solución <strong>de</strong> la ecuación, y <strong>de</strong>ducimos que<br />

a = z2<br />

x 2 − by2 x 2 ∈ Nk∗ b .<br />

Proposición 3.3. El símbolo <strong>de</strong> Hilbert satisface las siguientes propieda<strong>de</strong>s ∀a, b, c ∈ k:<br />

(i) (a, b) = (b, a) y (a, 1) = 1 (luego (a, c 2 ) = 1);<br />

(ii) (a, −a) = (a, 1 − a) = 1;<br />

(iii) Si (a, b) = 1 entonces (ac, b) = (c, b) (más aún, (ac, b) = (a, b)(c, b));<br />

(iv) (a, b) = (a, −ab) = (a, (1 − a)b).<br />

7 <strong>Los</strong> cuerpos locales son aqu<strong>el</strong>los cuerpos que poseen una función valor absoluto no trivial, y son<br />

localmente compactos respecto a dicho valor absoluto. Por ejemplo, todas las extensiones Q p o R


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 15<br />

Demostración: (i) (a, b) = (b, a) es trivial; para ver que (a, 1) = 1 basta notar que (c, 0, c)<br />

es solución <strong>de</strong> la ecuación para cualquier c ∈ k ∗ .<br />

(ii) Si b = −a, (0, 1, 1) es solución. Y si b = 1 − a, (1, 1, 1) lo es.<br />

(iii) Si (a, b) = 1 entonces a ∈ Nkb ∗ por la Proposición anterior. Como Nk∗ b es un subgrupo<br />

<strong>de</strong> k ∗ (multiplicativo), resulta que c ∈ Nkb ∗ sii ac ∈ Nk∗ b , lo cual traducido en términos d<strong>el</strong><br />

símbolo <strong>de</strong> Hilbert es justamente lo que queríamos probar.<br />

(iv) Como (a, −a) = 1, usando (iii) obtenemos que (a, b) = (a, −ab). Y usando que<br />

(a, 1 − a) = 1 y (iii) se llega a que (a, b) = (a, (1 − a)b). <br />

A continuación presentamos un resultado muy importante a los efectos <strong>de</strong> calcular <strong>el</strong><br />

símbolo (a, b). Pero antes, necesitaremos <strong>el</strong> siguiente Lema:<br />

Lema 3.4. Sea v ∈ U. Si la ecuación z 2 − px 2 − vy 2 = 0 tiene solución no trivial en Q p ,<br />

entonces tiene una solución (z, x, y) que verifica z, y ∈ U, x ∈ Z p .<br />

Demostración: Por la Proposición 2.13 sabemos que existe una solución primitiva <strong>de</strong> la<br />

ecuación (z, x, y), en (Z p ) 3 . Si no cumpliera las condiciones que queremos, entonces y o z es<br />

divisible por p. Pero por ser solución, sabemos que z 2 − vy 2 es múltiplo <strong>de</strong> p, y v no, luego<br />

<strong>de</strong>bería ocurrir que ambos (z e y) sean múltiplos <strong>de</strong> p. Entonces, p 2 | (z 2 −vy 2 ) = px 2 luego<br />

p | x, absurdo pues la solución era primitiva. Por lo tanto, (z, x, y) verifica las condiciones<br />

buscadas. <br />

<strong>Teorema</strong> 3.5. Si k = R, se tiene que<br />

{ 1, si a > 0 ó b > 0;<br />

(a, b) =<br />

−1, si a, b < 0.<br />

Si k = Q p y escribimos a a y b en la forma p α u, p β v, con u, v ∈ U, entonces se tiene que<br />

(a, b) =<br />

{<br />

(−1)<br />

αβε(p)( u p )β ( v p )α , si p ≠ 2;<br />

(−1) ε(u)ε(v)+αω(v)+βω(u) , si p = 2.<br />

don<strong>de</strong> ( )<br />

u<br />

p <strong>de</strong>nota <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Legendre <strong>de</strong> u respecto <strong>de</strong> p, y las expresiones ve(x), ω(x),<br />

representan <strong>el</strong> resto módulo dos <strong>de</strong> las expresiones x−1,<br />

x2 −1, respectivamente. 8<br />

2 8<br />

Demostración: El caso k = R es trivial, se <strong>de</strong>duce d<strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que un número es un<br />

cuadrado en R si y sólo si es positivo.<br />

Supongamos ahora k = Q p , p ≠ 2. Es claro que sólo nos interesa <strong>el</strong> resto <strong>de</strong> α, β módulo<br />

2. Pero a<strong>de</strong>más, como <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert es simétrico, basta con consi<strong>de</strong>rar sólo 3 casos:<br />

1) α = 0, β = 0:<br />

Resulta evi<strong>de</strong>nte, por la paridad <strong>de</strong> los exponentes, que (a, b) = (p α u, p β v) = (u, v). Y <strong>el</strong><br />

8 De hecho, una versión más general <strong>de</strong> este <strong>Teorema</strong> vale también: Si k es cualquier cuerpo local, tal<br />

que su cuerpo <strong>de</strong> residuos tiene característica impar, sean a, b ∈ k ∗ . Escribimos a = π m u, b = π n v con<br />

m, n ∈ Z y u, v ∈ O ∗ . Entonces se tiene que<br />

(a, b) = (−1) mn(q−1)/2 χ(ũ)χ(ṽ)<br />

don<strong>de</strong> q es <strong>el</strong> tamaño d<strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> residuos y χ su característica cuadrática.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 16<br />

lado <strong>de</strong>recho <strong>de</strong> la igualdad a probar es claramente 1; veamos entonces que (u, v) = 1. Como<br />

Corolario d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> Chevalley-Warning en 6.1, se obtiene que toda forma cuadrática<br />

sobre 3 o más variables tiene una solución no trivial módulo p. Al ser <strong>el</strong> discriminante <strong>de</strong><br />

esta forma una unidad, por <strong>el</strong> Corolario 2.17 obtenemos a partir <strong>de</strong> dicha solución una en<br />

Q p . Luego (u, v) = 1.<br />

2) α = 1, β = 0:<br />

Reemplazando con estos valores en la fórmula a probar, basta ver que (pu, v) = ( v<br />

p)<br />

. Pero<br />

ya hemos visto que (u, v) = 1, entonces (pu, v) = (p, v) por la propiedad (iii) d<strong>el</strong> símbolo<br />

<strong>de</strong> Hilbert. Debemos probar entonces que<br />

(p, v) = ( v )<br />

p<br />

Recor<strong>de</strong>mos, por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 2.23, que v es un cuadrado sii ( v<br />

p)<br />

= 1. Si v fuera cuadrado<br />

perfecto, entonces (p, v) = 1 por la propiedad (i) d<strong>el</strong> símbolo, y ( v<br />

p)<br />

= 1 por lo recien<br />

mencionado; se da la igualdad. En caso contrario, tenemos que ( v<br />

p)<br />

= −1. Mirando la<br />

ecuación z 2 − px 2 − vy 2 = 0 vemos que si tuviera solución no trivial, entonces por <strong>el</strong> Lema<br />

anterior tendría una con z, y ∈ U. Esto implicaría que v ≡ ( z<br />

y) 2<br />

mod p, absurdo pues v<br />

no era cuadrado. Por lo tanto la ecuación no tiene solución, y luego (p, v) = −1 = ( v<br />

p)<br />

.<br />

3) α = 1, β = 1:<br />

Este caso se reduce a probar la fórmula (pu, pv) = (−1) (p−1)/2( )(<br />

u v<br />

p p)<br />

. Por la propiedad (iv)<br />

d<strong>el</strong> símbolo, tenemos que (pu, pv) = (pu, −pupv) = (pu, −p 2 uv) = (pu, −uv), y −uv ∈ U.<br />

Usando <strong>el</strong> caso 2) llegamos a que (pu, pv) = (pu, −uv) = ( −uv<br />

p<br />

( ) −uv<br />

p<br />

=<br />

( )( )( ( −1 u v u<br />

= (−1)<br />

p p p)<br />

(p−1)/2 p<br />

)<br />

. Finalmente,<br />

)( v<br />

p)<br />

como queríamos ver.<br />

Ahora sea p = 2. Como en <strong>el</strong> caso anterior, sólo consi<strong>de</strong>raremos tres posibilida<strong>de</strong>s:<br />

1) α = 0, β = 0:<br />

v−1<br />

2 . Es <strong>de</strong>cir, que<br />

mod 4, y -1 en caso contrario. Supongamos que<br />

Traduciendo la fórmula a probar, hay que ver que (u, v) = (−1) u−1<br />

2<br />

(u, v) = 1 si u o v es congruente a 1<br />

u ≡ 1 mod 4, entonces u ≡ 1 o 5 mod 8. En <strong>el</strong> primer caso, por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 2.25 tenemos<br />

que u es un cuadrado, luego (u, v) = 1. Si u ≡ 5 mod 8, como v es coprimo con 2<br />

resulta que 4v ≡ 4 mod 8. Entonces u + 4v ≡ 1 mod 8, luego u + 4v es un cuadrado.<br />

Supongamos que w 2 = u + 4v, w ∈ U; se ve en este caso que (w, 1, 2) es solución <strong>de</strong> la<br />

ecuación z 2 − ux 2 − vy 2 = 0, con lo cual (u, v) = 1. Finalmente, si u ≡ v ≡ −1 mod 4,<br />

supongamos que (u, v) = 1. Entonces existe una solución primitiva (z, x, y) <strong>de</strong> la ecuación<br />

z 2 − ux 2 − vy 2 = 0. Reduciendo módulo 4, x 2 + y 2 + z 2 ≡ 0 mod 4, y como los únicos<br />

cuadrados módulo 4 son 0 y 1, esto implica que x 2 , y 2 y z 2 son 0 mod 4. Pero entonces<br />

los 3 <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> la terna (z, x, y) son múltiplos <strong>de</strong> 2, contradiciendo <strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que era<br />

primitiva. Absurdo; por lo tanto (u, v) = −1.<br />

2) α = 1, β = 0:<br />

Dados los valores <strong>de</strong> α y β, hay que probar que (2u, v) = (−1) u−1 v−1<br />

2 2 + v2 −1<br />

8 . Primero probemos<br />

que (2, v) = (−1) v2 −1<br />

8 , es <strong>de</strong>cir, que (2, v) = 1 sii v ≡ ±1 mod 8:<br />

Si (2, v) = 1 entonces por <strong>el</strong> Lema anterior existen x, y, z ∈ Z 2 tales que z 2 − 2x 2 − vy 2 = 0<br />

y y, z no múltiplos <strong>de</strong> 2. Esto implica que y 2 ≡ z 2 ≡ 1 mod 8, y entonces 1 − 2x 2 − v ≡ 0


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 17<br />

mod 8. Pero los únicos cuadrados módulo 8 son 0, 1 y 4; <strong>de</strong>ducimos <strong>de</strong> esto que v ≡ ±1<br />

mod 8. Recíprocamente, si v ≡ 1 mod 8, es un cuadrado y luego (2, v) = 1; y si v ≡ −1<br />

mod 8, la ecuación z 2 − 2x 2 − vy 2 = 0 tiene a (1, 1, 1) como solución módulo 8. Por <strong>el</strong><br />

Corolario 2.17 tenemos que esta solución da lugar a una en Z 2 , entonces (2, v) = 1.<br />

Probemos ahora que (2u, v) = (2, v)(u, v), suficiente para lo que necesitamos puesto que<br />

por <strong>el</strong> caso 1), (u, v) = (−1) u−1<br />

2<br />

v−1<br />

2 . Si (2, v) = 1 o (u, v) = 1, esto vale por la Propiedad<br />

(iii) d<strong>el</strong> símbolo. En caso contrario, supongamos que (2, v) = (u, v) = −1. De los resultados<br />

anteriores, y d<strong>el</strong> caso 1), esto equivale a <strong>de</strong>cir que v ≡ 3 mod 8 y u ≡ 3 o − 1 mod 8.<br />

Luego la ecuación z 2 − 2ux 2 − vy 2 = 0 se lee módulo 8 como<br />

z 2 + 2x 2 − 3y 2 ≡ 0 ó z 2 − 6x 2 + 5y 2 ≡ 0<br />

Ambas tienen como solución a (1, 1, 1); como antes, esta da lugar a una solución en Z 2 , por<br />

lo tanto (2u, v) = 1 = (−1)(−1) como queríamos ver.<br />

3) α = 1, β = 1:<br />

Debemos ver que<br />

(2u, 2v) = (−1) u−1 v−1<br />

2 2 + v2 −1<br />

+ u2 −1<br />

8 8<br />

Por la Propiedad (iv) d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert, sabemos que (2u, 2v) = (2u, −4uv) =<br />

(2u, −uv). Pero a<strong>de</strong>más, por <strong>el</strong> caso anterior sabemos que como −uv ∈ U,<br />

(2u, 2v) = (2u, −uv) = (−1) u−1 −uv−1<br />

+ (−uv)2 −1<br />

2 2 8<br />

Resta observar que, si hacemos las cuentas,<br />

( ) ( (u − 1) (v − 1)<br />

+ v2 − 1<br />

+ u2 − 1 (u − 1)<br />

−<br />

2 2 8 8 2<br />

)<br />

(−uv − 1)<br />

+ (−uv)2 − 1<br />

=<br />

2 8<br />

( u 2 − 1<br />

8<br />

)<br />

(1+2v−v 2 )<br />

lo cual resulta evi<strong>de</strong>ntemente ≡ 0 mod 2 (ya que como v ≡ 1 mod 2, entonces (1 + 2v −<br />

v 2 ) ≡ 0 mod 2 ). Y esto implica la fórmula que se <strong>de</strong>bía probar, pues la resta en la ecuación<br />

<strong>de</strong> arriba es entre los dos exponentes en cuestión (<strong>el</strong> que queríamos probar, y <strong>el</strong> que teníamos<br />

como válido). <br />

Observar que la generalización <strong>de</strong> la propiedad (iii) en la Proposición 3.3 implica que <strong>el</strong><br />

símbolo <strong>de</strong> Hilbert es bilineal. Pero <strong>de</strong> hecho vale lo siguiente:<br />

<strong>Teorema</strong> 3.6. El símbolo <strong>de</strong> Hilbert es una forma bilineal simétrica no <strong>de</strong>generada sobre<br />

<strong>el</strong> F 2 -espacio vectorial k ∗ /k ∗2<br />

Nota: F q representa un cuerpo <strong>de</strong> q <strong>el</strong>ementos.<br />

Demostración: El hecho <strong>de</strong> que sea bilineal se <strong>de</strong>duce inmediatamente <strong>de</strong> la expresión<br />

probada en <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> anterior, y d<strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que las aplicaciones ε, ω : U → Z/2Z dadas<br />

por ε(u) = u−1,<br />

ω(u) = u2 −1<br />

(que son las que aparecen en los exponentes) son morfismos.<br />

2 8<br />

La no <strong>de</strong>generación se prueba tomando un sistema <strong>de</strong> representantes para <strong>el</strong> grupo Q ∗ p/Q ∗ p 2<br />

según los Corolarios 2.24 y 2.26, y encontrando para cada uno <strong>de</strong> los <strong>el</strong>ementos no neutros<br />

a algún otro <strong>el</strong>emento b tal que (a, b) = −1. Esto se pue<strong>de</strong> hacer fácilmente dado que los<br />

grupos en cuestión tienen 4 u 8 <strong>el</strong>ementos (<strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> si p ≠ 2 o p = 2), es por eso<br />

que consi<strong>de</strong>ramos innecesario presentar los <strong>de</strong>talles aquí. .<br />

Este teorema tiene como consecuencia inmediata lo siguiente:


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 18<br />

Corolario 3.7. Si b /∈ k ∗2 entonces Nk ∗ b es un subgrupo <strong>de</strong> índice 2 <strong>de</strong> k∗ .<br />

Demostración: Simplemente <strong>de</strong>finimos <strong>el</strong> morfismo φ b : k ∗ → {±1} mediante φ b (a) =<br />

(a, b), y resulta evi<strong>de</strong>nte que Nk ∗ b = ker φ b. El hecho <strong>de</strong> que <strong>el</strong> símbolo sea no <strong>de</strong>generado implica<br />

que φ b sea suryectiva. Luego por <strong>el</strong> Primer <strong>Teorema</strong> d<strong>el</strong> Isomorfismo, k ∗ /Nk ∗ b ∼ = {±1},<br />

y esto implica lo que queríamos probar. <br />

Si escribimos (a, b) = (−1) [a,b] , entonces [a, b] es una forma bilineal simétrica sobre k ∗ /k ∗2 ,<br />

con valores en Z/2Z, y po<strong>de</strong>mos conocer (mediante <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 3.5) su matriz en cierta base<br />

para k ∗ /k ∗2 :<br />

Si k = R, la matriz es (1).<br />

Si k = Q p , p ≠ 2, y consi<strong>de</strong>ramos la base {p, u} (tal que u no sea resto cuadrático<br />

mod p) entonces la matriz es<br />

⎧ ( ) 0 1 ⎪⎨ , si p ≡ 1 (mod 4);<br />

(<br />

1 0<br />

) 1 1 ⎪⎩ , si p ≡ 3 (mod 4).<br />

1 0<br />

Si k = Q 2 , fijando la base {2, −1, 5} la matriz resulta ser<br />

⎛<br />

0 0<br />

⎞<br />

1<br />

⎝ 0 1 0 ⎠<br />

1 0 0<br />

3.2. Propieda<strong>de</strong>s globales<br />

Como hemos notado anteriormente, <strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> los números racionales Q se pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar<br />

como un subcuerpo <strong>de</strong> todos los Q p y <strong>de</strong> R. Entonces, dados a, b ∈ Q ∗ , <strong>de</strong>notaremos<br />

(a, b) p al símbolo <strong>de</strong> Hilbert respecto <strong>de</strong> Q p <strong>de</strong> sus imágenes allí (y análogamente con (a, b) ∞<br />

para R). Por comodidad <strong>de</strong> notación, <strong>de</strong>finimos también V como <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> números<br />

primos junto con <strong>el</strong> símbolo ∞, llamando naturalmente Q ∞ = R; así notamos a todas las<br />

extensiones <strong>de</strong> Q aquí consi<strong>de</strong>radas como Q v , para algún v ∈ V .<br />

El que sigue es un resultado fundamental d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert que, junto con otro<br />

teorema a continuación conforman lo que hemos llamado Propieda<strong>de</strong>s Globales d<strong>el</strong> símbolo<br />

<strong>de</strong> Hilbert (la palabra globales surge <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar todos los símbolos <strong>de</strong> Hilbert <strong>de</strong> los<br />

distintos cuerpos en cuestión y r<strong>el</strong>acionarlos).<br />

<strong>Teorema</strong> 3.8 (Hilbert). Si a, b ∈ Q ∗ , entonces (a, b) v = 1 ∀v ∈ V salvo finitos, y a<strong>de</strong>más<br />

∏<br />

(a, b) v = 1<br />

v∈V


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 19<br />

Nota: Esta es la llamada fórmula d<strong>el</strong> producto para <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert.<br />

Demostración: 9 Por la bilinealidad d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert (bilinealidad ”multiplicativa”),<br />

basta con probar <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> para <strong>el</strong> caso en <strong>el</strong> que a, b son -1 o un número primo. Entonces,<br />

por simetría, basta con consi<strong>de</strong>rar sólo 3 casos, y en cada uno <strong>de</strong> <strong>el</strong>los podremos calcular<br />

los símbolos <strong>de</strong> Hilbert mediante <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 3.5 (sería util tener presentes las fórmulas que<br />

dicho <strong>Teorema</strong> da para <strong>el</strong> cálculo d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert):<br />

1)a = −1, b = −1: Es claro que (−1, −1) ∞ = −1. Para los <strong>de</strong>más v, vemos que la<br />

escritura <strong>de</strong> a, b en la forma v α u, respectivamente, está dada por α = 0, u = −1. Luego<br />

(−1, −1) v = 1 si v ≠ 2. Y como ε(−1) = 1, resulta que (−1, −1) 2 = −1; se verifica<br />

inmediatamente <strong>el</strong> enunciado d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>.<br />

2) a = −1, b = l, con l primo: Si l = 2, es claro que (−1, 2) v = 1 cuando v ≠ 2 (pues<br />

la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> l en la forma v α u se da con α = 0). Y si v = 2, α = 1 y u = 1, pero<br />

como ω(−1) = 0 y ε(u) = 0 resulta también que (−1, 2 2 = 1.<br />

Para l ≠ 2, si tuviéramos que v ≠ 2, l entonces α = 0 y u = l, luego (−1, l) v = 1. O sea que<br />

son todos 1, salvo tal vez para v = 2 ó v = l. Pero en esos casos uno ve que α = 0, u = l si<br />

v = 2, en cuyo caso (−1, l) 2 = (−1) ε(l) ; o bien α = 1, u = 1 cuando v = l, se tiene entonces<br />

que (−1, l) l = (−1) ε(l) . Se verifica luego que (−1, l) 2 = (−1, l) l , por lo tanto <strong>el</strong> producto<br />

sobre todos los v da efectivamente 1.<br />

3) a = l, b = l ′ , con l, l ′ primos: Si l = l ′ entonces por la Propiedad (iv) d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong><br />

Hilbert se ve que (l, l) v = (l, −l 2 ) = (l, −1), y queda reducido al caso anterior. Supongamos<br />

entonces que l ≠ l ′ . En general escribiremos l = v α u, l = v β u ′ para v ≠ ∞ (es claro<br />

que (l, l ′ ) ∞ = 1), la <strong>de</strong>scomposición usual. Si alguno <strong>de</strong> <strong>el</strong>los fuera 2, por ejemplo l ′ = 2,<br />

entonces pue<strong>de</strong> pasar que:<br />

(i) v ≠ 2, l: En este caso α = β = 0 y luego (l, 2) v = 1 para todos esos v;<br />

(ii) v = 2: Esto implica α = 0, β = 1, u ′ = 1, y tenemos ε(u ′ ) = 0 con lo cual (l, 2) 2 =<br />

(−1) ω(l)<br />

(iii) v = l: Aquí se tiene α = 1, β = 0, u ′ = 2, entonces (l, 2) l = ( )<br />

2<br />

l = (−1) ω(l) (para<br />

justificar la última igualdad, ver Apéndice sobre Teoría <strong>de</strong> números, más especificamente<br />

las propieda<strong>de</strong>s d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Legendre)<br />

Se ve entonces que (l, 2) 2 = (l, 2) l , y <strong>el</strong> producto da 1.<br />

Finalmente, cuando l ≠ l ′ y ninguno <strong>de</strong> <strong>el</strong>los es 2, se tiene para v ≠ 2, l, l ′ que α = β = 0,<br />

luego (l, l ′ ) v = 1. Para v = 2, también vale que α = β = 0, luego (l, l ′ ) 2 = (−1) ε(l)ε(l′) . Y<br />

en los otros casos, resulta evi<strong>de</strong>nte que α = 0, β = 1 o viceversa, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> (l, l ′ ) l = ( )<br />

l ′<br />

l ,<br />

(l, l ′ ) l ′ = ( )<br />

l<br />

l . Utilizando la ley <strong>de</strong> reciprocidad cuadrática <strong>de</strong> Gauss, tenemos que<br />

′<br />

(l, l ′ ) l (l, l ′ ) l ′ = ( l ′<br />

Por lo tanto al multiplicar con (l, l ′ ) 2 da 1. <br />

l<br />

)( l<br />

l ′ )<br />

= (−1)<br />

ε(l)ε(l ′ )<br />

A continuación plantearemos una especie <strong>de</strong> ecuación, cuyos únicos datos son ciertos<br />

símbolos <strong>de</strong> Hilbert, y hallaremos (bajo ciertas hipótesis que son obligadas) condiciones<br />

necesarias y suficientes para su solución. (Notar que <strong>el</strong> resultado siguiente esta muy r<strong>el</strong>a-<br />

9 El único caso realmente interesante <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostración es cuando a y b son primos impares distintos,<br />

<strong>de</strong>mostrado al final. Es por esto que escencialmente este <strong>Teorema</strong> es equivalente a la ley <strong>de</strong> reciprocidad<br />

cuadrática. Y es importante mencionar a<strong>de</strong>más que es posible generalizar <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> para <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong><br />

cuerpos <strong>de</strong> números algebráicos, <strong>de</strong> ahí su importancia.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 20<br />

cionado con hallar una solución en Q para cierta forma cuadrática, dado que existen soluciones<br />

en cada Q v ):<br />

<strong>Teorema</strong> 3.9. Sea (a i ) i∈I una familia finita <strong>de</strong> <strong>el</strong>ementos en Q ∗ , y sea (ε i,v ) i∈I,v∈V una<br />

familia <strong>de</strong> números en {±1}. Entonces existirá un x ∈ Q ∗ tal que (a i , x) v = ε i,v ∀i ∈ I, v ∈<br />

V si y sólo si se satisfacen las siguientes tres condiciones:<br />

(i) <strong>Los</strong> ε i,v son todos iguales a 1, salvo finitos.<br />

(ii) Para todo i ∈ I se tiene que ∏ v∈V ε i,v = 1<br />

(iii) Para todo v ∈ V existe un x v ∈ Q ∗ v tal que (a i , x v ) v = ε i,v para todo i ∈ I.<br />

Para la <strong>de</strong>mostración necesitaremos dos lemas, a saber:<br />

Lema 3.10. (<strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> aproximación) Sea S un subconjunto finito <strong>de</strong> V . Entonces la<br />

imagen <strong>de</strong> Q en ∏ v∈S Q v es <strong>de</strong>nsa en dicho producto.<br />

Lema 3.11 (Dirichlet). Si a, m ∈ N son coprimos, entonces existen infinitos primos p<br />

tales que p ≡ a (mod m).<br />

Demostración: (d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>) Es claro que las condiciones son necesarias: las primeras<br />

dos por la fórmula d<strong>el</strong> producto d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert, la tercera tomando por ejemplo<br />

x v = x. Probemos entonces la vu<strong>el</strong>ta: sean (ε i,v ) que satisfacen las hipótesis d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>,<br />

y supongamos que los a i son todos enteros (se pue<strong>de</strong>, pues po<strong>de</strong>mos multiplicarlos por su<br />

<strong>de</strong>nominador al cuadrado, lo cual <strong>de</strong>ja invariante los símbolos <strong>de</strong> Hilbert). Definamos S<br />

como <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> los factores primos <strong>de</strong> los a i junto con 2 y ∞, y T := {v ∈ V : ∃i ∈<br />

I con ε i,v = −1}.<br />

Caso 1) S ∩ T = ∅<br />

Sean<br />

a =<br />

∏<br />

l<br />

m = 8<br />

l∈T \{∞}<br />

∏<br />

l∈S\{2,∞}<br />

Al ser S y T finitos, estos enteros están bien <strong>de</strong>finidos. Como S ∩ T = ∅ se tiene que a y m<br />

son coprimos. Luego por Dirichlet, existe p primo tal que p ≡ a mod m, tal que p /∈ S ∪ T .<br />

Veamos que x = ap verifica las condiciones requeridas (o sea, que (a i , x) v = ε i,v para todos<br />

i ∈ I, v ∈ V ):<br />

Si v ∈ S ⇒ v /∈ T ⇒ ε i,v = 1; <strong>de</strong>bemos ver que (a i , x) = 1. Para v = ∞, esto es verdad<br />

pues x > 0; si v = l es un número primo, x ≡ ap ≡ a 2 mod m, luego por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> m<br />

tenemos que: cuando l = 2 x ≡ a 2 mod 8; y cuando l ≠ 2 x ≡ a 2 mod l. Notar que x y<br />

a son unida<strong>de</strong>s l-ádicas (ver <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> x, a y m). Pero a<strong>de</strong>más, si escribimos x = l n u<br />

resulta n = 0 y la imagen <strong>de</strong> u = x en F ∗<br />

l es justamente a 2 mod l, un resto cuadrático,<br />

luego por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 2.23 x es un cuadrado en Q ∗ l . Por lo tanto, (a i, x) v = 1 = ε i,v en este<br />

caso.<br />

Cuando v /∈ S (llamemos v = l), se tiene que a i es una unidad l-ádica para cada i ∈ I.<br />

Luego aplicando <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 3.5 se obtiene que<br />

(a i , b) l = ( a i<br />

)v l (b)<br />

l<br />

l


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 21<br />

para cualquier b ∈ Q ∗ l .<br />

Si l /∈ T y l ≠ p entonces también resulta que x es una unidad l-ádica, luego v l (x) = 0 y<br />

entonces utilizando la fórmula anterior llegamos a que (a i , x) l = 1, que es igual a ε i,v ya<br />

que l /∈ T .<br />

Si l ∈ T entonces l | a luego v l (x) = v l (a) + v l (p) = 1 + 0 = 1. Utilizando la hipótesis<br />

(iii) tenemos que ∃x l ∈ Q ∗ l tal que (a i , x l ) l = ε i,l ∀i ∈ I. Al ser que l ∈ T , existirá algún<br />

ε i,l = −1, con lo cual v l (x l ) ≡ 1 mod 2 (<strong>de</strong>bido a la fórmula presentada para <strong>el</strong> cálculo <strong>de</strong><br />

(a i , b) l ). Pero entonces,<br />

( )<br />

ai<br />

(a i , x) l = = (a i , x l ) l = ε i,l para todo i ∈ I<br />

l<br />

como queríamos.<br />

Para l = p, utilizando la fórmula d<strong>el</strong> producto (y la hipótesis (ii)) para <strong>de</strong>spejar los términos<br />

con v = p, obtenemos que:<br />

(a i , x) p = ∏ v≠p<br />

(a i , x) v = ∏ v≠p<br />

ε i,v = ε i,p<br />

Luego queda probado <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> en <strong>el</strong> caso S ∩ T = ∅.<br />

Caso 2) S ∩ T ≠ ∅<br />

Sabemos que Q ∗ v2 es un subgrupo abierto <strong>de</strong> Q ∗ v. Luego por ser S finito, ∏ v∈S Q∗v2 es<br />

abierto en ∏ v∈S Q∗ v. Ahora bien, tenemos x v ∈ Q ∗ v que verifican la hipótesis (iii), luego<br />

por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> Aproximación presentado antes <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostración, como la imagen <strong>de</strong><br />

Q ∗ es <strong>de</strong>nsa en ∏ v∈S Q∗ v, existirá un x ′ ∈ Q ∗ tal que x ′ /x v ∈ Q ∗ v2 ∀v ∈ S. En particular<br />

tenemos que (a i , x ′ ) v = (a i , x v ) v = ε i,v para tovo v ∈ S. Sean η i,v = ε i,v (a i , x ′ ) v . Entonces la<br />

familia <strong>de</strong> números (η i,v ) verifica claramente las tres hipótesis (i), (ii), (iii). Pero más aun,<br />

si v ∈ S entonces η i,v = ε i,v (a i , x ′ ) v = ε 2 i,b = 1. Esto nos dice que si <strong>de</strong>finimos S y T para<br />

esta nueva familia, entonces S queda igual ya que son los mismos a i , y T resulta disjunto<br />

con S (pues para estar en T <strong>de</strong>bía ocurrir que para algún i, η i,v = −1). Luego por <strong>el</strong> caso<br />

anterior, existirá y ∈ Q ∗ tal que (a i , y) v = η i,v para todo i ∈ I y v ∈ V . Definimos entonces<br />

x = yx ′ , y luego<br />

(a i , x) v = (a i , y) v (a i , x ′ ) v = η i,v (a i , x ′ ) v = ε i,v<br />

por lo tanto x verifica las condiciones requeridas.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 22<br />

4. Formas cuadráticas<br />

El objetivo <strong>de</strong> esta sección es estudiar y caracterizar las formas cuadráticas sobre los<br />

cuerpos Q v y Q. Para eso, estudiaremos las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los módulos cuadráticos en general,<br />

y luego las traduciremos al lenguaje corriente <strong>de</strong> formas cuadráticas. Al terminar con<br />

las propieda<strong>de</strong>s básicas y los importantes teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> un número a través<br />

<strong>de</strong> una forma cuadrática, nos <strong>de</strong>dicaremos a estudiar más específicamente las propieda<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> estas sobre Q p y sobre R.<br />

4.1. Módulos cuadráticos<br />

Definición 4.1. Sea V un A-módulo, con A un anillo conmutativo. Una función Q : V →<br />

A es una forma cuadrática sobre V si se satisfacen las siguientes condiciones:<br />

(i) Q(ax) = a 2 Q(x) ∀a ∈ A, x ∈ V ;<br />

(ii) La función B(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) es una forma bilineal.<br />

Un par (V, Q) con dichas propieda<strong>de</strong>s se llama módulo cuadrático.<br />

En esta sección nos limitaremos al caso <strong>de</strong> que A sea un cuerpo k <strong>de</strong> característica<br />

distinta <strong>de</strong> 2. Entonces <strong>el</strong> A-módulo V resulta ser un k-espacio vectorial, que supondremos<br />

que será <strong>de</strong> dimensión finita.<br />

Vale la pena observar que la <strong>de</strong>finición surge <strong>de</strong> la r<strong>el</strong>ación entre la norma y <strong>el</strong> producto<br />

interno en un espacio vectorial: están mutuamente <strong>de</strong>terminados, justamente por la fórmula<br />

(ii) <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición (en realidad multiplicando por 1/2 <strong>el</strong> lado <strong>de</strong>recho). Y aprovechando<br />

esto, <strong>de</strong>finiremos <strong>el</strong> producto escalar asociado a Q mediante<br />

x.y := (Q(x + y) − Q(x) − Q(y))/2<br />

(tiene sentido dividir por 2 pues excluimos a los cuerpos <strong>de</strong> característica 2). Observar<br />

que con esta <strong>de</strong>finición resulta ser efectivamente un producto escalar, ya que al ser + conmutativa,<br />

la forma bilineal <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición es simétrica. Y a<strong>de</strong>más, se tiene que Q(x) = x.x.<br />

Definición 4.2. Si (V, Q) y (V ′ , Q ′ ) son dos módulos cuadráticos, una función f : V →<br />

V ′ es un morfismo <strong>de</strong> módulos cuadráticos (o morfismo métrico, para simplificar) si<br />

Q ′ ◦ f = Q.<br />

Observar que esta condición implica que f(x).f(y) = x.y ∀x, y ∈ V .<br />

Si fijamos una base (e i ) 1≤i≤n para V , llamamos matriz <strong>de</strong> Q respecto <strong>de</strong> esta base a<br />

la matriz A = (a ij ) ∈ k nxn dada por a ij = e i .e j . Es claro que A es simétrica, y a<strong>de</strong>más si<br />

escribimos a x = ∑ n<br />

i=1 x ie i en la base fijada, entonces se tiene que<br />

Q(x) = ∑ i,j<br />

a ij x i x j<br />

y ahora vemos que la <strong>de</strong>finición dada al principio coinci<strong>de</strong> con la i<strong>de</strong>a intuitiva <strong>de</strong> forma<br />

cuadrática que uno tenía.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 23<br />

En este contexto surge <strong>el</strong> primer invariante <strong>de</strong> las formas cuadráticas, al cual llamaremos<br />

discriminante <strong>de</strong> Q y estará dado por<br />

d(Q) := ˜<strong>de</strong>t(A) ∈ k ∗ /k ∗2<br />

don<strong>de</strong> la til<strong>de</strong> <strong>de</strong>nota la imagen <strong>de</strong> <strong>de</strong>t(A) en <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> clases <strong>de</strong> restos cuadráticos<br />

(para la <strong>de</strong>finición estamos suponiendo que <strong>de</strong>t(A) ≠ 0; si esto ocurriera, <strong>de</strong>cimos que<br />

disc(Q) = 0) . La buena <strong>de</strong>finición surge <strong>de</strong> lo siguiente: si cambiáramos la base mediante<br />

la matriz cambio <strong>de</strong> base (invertible) X ∈ Gl k (n), entonces la matriz <strong>de</strong> Q en esta nueva<br />

base no sería otra cosa que A ′ = XAX t . Pero entonces <strong>de</strong>t(A ′ ) = <strong>de</strong>t(A) <strong>de</strong>t(X) 2 , y justamente<br />

<strong>de</strong>t(X) 2 ∈ k ∗2 (es no nulo por ser X es invertible).<br />

Diremos que dos <strong>el</strong>ementos x, y ∈ V son ortogonales (respecto a Q) si x.y = 0. Si<br />

H ⊆ V , <strong>de</strong>finimos su complemento ortogonal H 0 := {y ∈ V : h.y = 0 ∀h ∈ H},<br />

que claramente es un subespacio vectorial <strong>de</strong> V . Diremos que dos subespacios V 1 , V 2 son<br />

ortogonales si V 1 ⊆ V2 0 (i.e., si dados v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 ⇒ v 1 .v 2 = 0). El complemento<br />

ortogonal <strong>de</strong> todo <strong>el</strong> espacio V , V 0 , es llamado radical <strong>de</strong> V , y se <strong>de</strong>nota rad(V ). Definimos<br />

entonces <strong>el</strong> rango <strong>de</strong> Q como<br />

rank(Q) := dim V − dim(rad(V ))<br />

Diremos que Q es no-<strong>de</strong>generada si V 0 = 0, lo cual equivale a <strong>de</strong>cir que d(Q) ≠ 0 (esto se<br />

verá <strong>de</strong>spués).<br />

Definición 4.3. Sean U 1 , . . . , U m subespacios <strong>de</strong> V . Diremos que V es la suma directa<br />

ortogonal <strong>de</strong> <strong>el</strong>los si son todos ortogonales entre sí, y a<strong>de</strong>más V es suma directa <strong>de</strong> <strong>el</strong>los.<br />

Se nota como:<br />

V = U 1 ˆ⊕ . . . ˆ⊕U m<br />

En primer lugar, si escribimos x = ∑ x i , don<strong>de</strong> x i son sus componentes en U i , entonces<br />

se tiene que<br />

Q(x) = Q 1 (x 1 ) + . . . + Q m (x m )<br />

don<strong>de</strong> Q i <strong>de</strong>notan las restricciones <strong>de</strong> Q a cada U i . Pero recíprocamente, si tenemos una<br />

familia <strong>de</strong> módulos cuadráticos (U i , Q i ), po<strong>de</strong>mos construir la forma cuadrática que resulta<br />

suma directa <strong>de</strong> las Q i mediante la fórmula <strong>de</strong> arriba, obteniendo así <strong>el</strong> módulo cuadrático<br />

( ˆ⊕U<br />

i , Q).<br />

Por otro lado, es claro que si U ⊆ V es sumplementario <strong>de</strong> rad(V ), entonces V =<br />

U ˆ⊕rad(V ).<br />

Proposición 4.4. Sea (V, Q) un módulo cuadrático no <strong>de</strong>generado. Entonces,<br />

(i) Todos los morfismos métricos que partan <strong>de</strong> V son inyectivos.<br />

(ii) Para todo subespacio U <strong>de</strong> V se tiene que<br />

U 00 = U, dim U + dim U 0 = dim V, rad(U) = rad(U 0 ) = U ∩ U 0 .<br />

A<strong>de</strong>más, <strong>el</strong> módulo cuadrático U es no-<strong>de</strong>generado si y sólo si U 0 lo es, y si esto pasa se<br />

tiene que V = U ˆ⊕U 0 .<br />

(iii) Si V es suma directa ortogonal <strong>de</strong> dos subespacios, entonces son no-<strong>de</strong>generados.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 24<br />

Demostración:<br />

(i) Sea f : V → V ′ un morfismo métrico, con (V ′ , Q ′ ) un módulo cuadrático. Para ver<br />

que f es inyectiva, supongamos que f(x) = 0. Entonces dado y ∈ V , x.y = f(x).f(y) = 0<br />

por ser f morfismo. Esto es <strong>de</strong>cir que x ∈ rad(V ) (es ortogonal a todos), pero como V era<br />

no <strong>de</strong>generado, x = 0. Luego f es inyectiva.<br />

(ii) Sea U un subespacio <strong>de</strong> V . Definamos <strong>el</strong> morfismo q U : V → U ∗ (don<strong>de</strong> U ∗ es <strong>el</strong> dual<br />

<strong>de</strong> U) que aplica y ∈ U al funcional lineal en U g(x) = x.y. Es claro que <strong>el</strong> núcleo <strong>de</strong> q U es<br />

U 0 . En particular, al ser V no <strong>de</strong>generado, q V : V → V ∗ es un isomorfismo (su núcleo seria<br />

rad(V ) = 0).<br />

Vemos que po<strong>de</strong>mos obtener q U componiendo q V con la proyección canónica <strong>de</strong> V ∗ a U ∗ .<br />

Luego q U : V → U ∗ resulta ser suryectiva. Entonces, consi<strong>de</strong>rando la inclusión <strong>de</strong> U 0 en V<br />

obtenemos la siguiente sucesión exacta<br />

0 → U 0 → V → U ∗ → 0<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong> dim V = dim U 0 + dim U ∗ = dim U 0 + dim U. Aplicando este proceso para <strong>el</strong><br />

subespacio U 0 , se llegaría a la fórmula dim V = dim U 00 + dim U 0 , la cual junto con la<br />

anterior implica que dim U = dim U 00 . Pero por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> U 0 , tenemos que U ⊆ U 00<br />

(los <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> U son ortogonales a los <strong>de</strong> U 0 , luego están en U 00 ), por lo tanto U = U 00 .<br />

Veamos ahora que rad(U) = U ∩ U 0 (lo cual, junto con <strong>el</strong> hecho anterior, nos dirá también<br />

que rad(U 0 ) = U ∩U 0 ): x ∈ rad(U) si y sólo si x ∈ U y x es ortogonal a todos los <strong>el</strong>ementos<br />

<strong>de</strong> U. Es <strong>de</strong>cir, si y sólo si x ∈ U y x ∈ U 0 , y listo.<br />

Un módulo cuadrático es no <strong>de</strong>generado si y sólo si su rad es nulo. Puesto que rad(U) =<br />

rad(U 0 ), la no <strong>de</strong>generación <strong>de</strong> U implica la <strong>de</strong> U 0 y viceversa. En <strong>el</strong> caso en que lo sean,<br />

tenemos que dim U + dim U 0 = dim V , y U ∩ U 0 = rad(U) = 0 luego V = U ⊕ U 0 . Por<br />

<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> U 0 , la suma directa es también ortogonal.<br />

(iii) Si V = U 1 ˆ⊕U 2 entonces U 2 ⊆ U 0 1 por ser la suma ortogonal. Pero dim U 2 =<br />

dim V − dim U 1 = dim U 0 1 luego U 2 = U 0 1 . Ahora bien, vemos que si x ∈ rad(U 1 ) entonces<br />

es ortogonal a todos los <strong>de</strong> U 1 . Pero por estar en U 1 , es ortogonal a todos los <strong>de</strong> U 0 1 . Luego<br />

es ortogonal a todo <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> U 1 ⊕U 0 1 = V , entonces x = 0 ya que V era no <strong>de</strong>generado. <br />

Definición 4.5. Dado un módulo cuadrático (V, Q), diremos que un <strong>el</strong>emento x es isotrópico<br />

si Q(x) = 0. Un subespacio U es isotrópico si todos sus <strong>el</strong>ementos lo son. Finalmente,<br />

diremos que <strong>el</strong> módulo cuadrático es isotrópico si existe algún <strong>el</strong>emento isotrópico no nulo<br />

x ∈ V .<br />

Es claro que U es isotrópico si y sólo si U ⊆ U 0 , lo cual equivale a <strong>de</strong>cir que la restricción<br />

<strong>de</strong> Q a U es la forma cuadrática nula.<br />

Definición 4.6. Un módulo cuadrático que tiene una base formada por dos <strong>el</strong>ementos<br />

isotrópicos x, y no ortogonales es llamado un plano hiperbólico.<br />

Se pue<strong>de</strong> suponer sin pérdida <strong>de</strong> generalidad que x.y = 1, en cuyo caso la matriz d<strong>el</strong><br />

plano hiperbólico en la base x, y resulta ser<br />

( ) 0 1<br />

1 0


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 25<br />

con d(Q) = −1. Observar que es <strong>el</strong> ejemplo más pequeño posible (no trivial) <strong>de</strong> un<br />

módulo cuadrático isotrópico. El siguiente inesperado resultado muestra que todo módulo<br />

cuadrático isotrópico <strong>de</strong>be contener un plano hiperbólico como subespacio:<br />

Proposición 4.7. Sea x ∈ V un <strong>el</strong>emento isotrópico no nulo, don<strong>de</strong> (Q, V ) es no-<strong>de</strong>generado.<br />

Entonces existe un subespacio U <strong>de</strong> V que contiene a x y es un plano hiperbólico.<br />

Demostración: Al ser V no <strong>de</strong>generado, existe z ∈ V tal que x.z ≠ 0. Po<strong>de</strong>mos suponer,<br />

mediante <strong>el</strong> producto por un escalar, que x.z = 1. Sea y = 2z − (z.z)x. Entonces, y es<br />

isotrópico, pues<br />

y.y = 4(z.z) + (z.z) 2 (x.x) − 4(z.z)(z.x) = 4(z.z) + 0 − 4(z.z) = 0<br />

y a<strong>de</strong>más, haciendo las cuentas, x.y = 2. Luego <strong>el</strong> subespacio kx+ky es un plano hiperbólico.<br />

<br />

Corolario 4.8. Si (V, Q) es isotrópico, entonces Q(V ) = k.<br />

Demostración: Por la Proposición anterior, basta con <strong>de</strong>mostrarlo para V un plano<br />

hiperbólico. Supongamos que una base para V es x, y, con x, y isotrópicos y x.y = 1. Entonces<br />

dado a ∈ k, resulta que a = Q(x + a y); por lo tanto Q(V ) = k. <br />

2<br />

<strong>Teorema</strong> 4.9. Todo módulo cuadrático (V, Q) admite una base <strong>de</strong> <strong>el</strong>ementos ortogonales<br />

dos a dos (i.e., base ortogonal).<br />

Demostración: Probemos <strong>el</strong> resultado por inducción en n = dim V . El caso n = 1<br />

es trivial. Ahora supongamos que dim V = n. Si V fuera isotrópico (i.e., todos sus <strong>el</strong>ementos<br />

isotrópicos), entonces cualquier base sería ortogonal ya que Q sería idénticamente<br />

cero. Entonces supongamos que V no es isotrópico, luego existirá un e 1 ∈ V tal que<br />

e 1 .e 1 ≠ 0. El complemento ortogonal H <strong>de</strong> {e 1 } tendrá entonces dimensión n − 1, puesto<br />

que e 1 /∈ H por hipótesis. Al ser <strong>el</strong> subespacio ke 1 no <strong>de</strong>generado, resulta (Proposición<br />

anterior) que V = ke 1 ˆ⊕H. Luego aplicando la hipótesis inductiva, tomamos una base ortogonal<br />

(e 2 , . . . , e n ) para H, y la base (e 1 , e 2 , . . . , e n ) <strong>de</strong> V resulta ser ortogonal. <br />

Este teorema ayuda mucho a compren<strong>de</strong>r qué es lo que realmente pasa con las formas<br />

cuadráticas, puesto que la matriz <strong>de</strong> Q en una base ortogonal no es otra cosa que una<br />

matriz diagonal:<br />

⎛<br />

⎞<br />

a 1 0 . . . 0<br />

0 a 2 . . . 0<br />

⎜<br />

⎝<br />

.<br />

. . ..<br />

⎟ 0 ⎠<br />

0 0 . . . a n<br />

Si escribimos x = ∑ x i e i , entonces Q(x) = a 1 x 2 1 + . . . + a n x 2 n. Po<strong>de</strong>mos reinterpretar la<br />

<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> módulo cuadrático no-<strong>de</strong>generado: lo que se está diciendo realmente es que<br />

a i ≠ 0 ∀i = 1, . . . , n (es <strong>de</strong>cir, que la forma cuadrática sea efectivamente en n variables). Y<br />

ahora resulta evi<strong>de</strong>nte que (V, Q) es no <strong>de</strong>generada sii d(Q) ≠ 0, pues d(Q) = ∏ a i .


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 26<br />

Definición 4.10. Dos bases ortogonales <strong>de</strong> un mismo módulo cuadrático (V, Q) se dicen<br />

contiguas si tienen algún <strong>el</strong>emento en común (i.e., si las bases son (e 1 , . . . , e n ) y<br />

(e ′ 1, . . . , e ′ n), <strong>de</strong>ben existir i, j tal que e i = e ′ j).<br />

<strong>Teorema</strong> 4.11. Sea (V, Q) un módulo cuadrático no <strong>de</strong>generado <strong>de</strong> dimensión n ≥ 3, y<br />

sean e = (e 1 , . . . , e n ) y e’ = (e ′ 1, . . . , e ′ n) dos bases ortogonales <strong>de</strong> V . Entonces existe una<br />

sucesión finita <strong>de</strong> bases ortogonales e (0) , e (1) , . . . , e (m) tales que e (0) = e, e (m) = e’ y e (j) es<br />

contigua a e (j+1) para todo j = 0, . . . , m − 1.<br />

Demostración: Dividiremos la prueba en tres casos:<br />

1) (e 1 .e 1 )(e ′ 1, e ′ 1) − (e 1 .e ′ 1) 2 ≠ 0<br />

Claramente, si llamamos P al plano ke 1 + ke ′ 1, la condición supuesta nos dice que e 1 y e ′ 1<br />

no pertenecen a rad(P ). Pero a<strong>de</strong>más, también nos dice que e 1 no es un múltiplo <strong>de</strong> e ′ 1 y<br />

viceversa. O sea que {e 1 , e ′ 1} es base para P , y como ningun <strong>de</strong> <strong>el</strong>los está en rad(P ), <strong>de</strong>be<br />

ser que rad(P ) = 0. Por lo tanto P es no <strong>de</strong>generado. Luego, <strong>de</strong>ben existir complementos<br />

ortogonales para e 1 y e ′ 1 <strong>de</strong> dimensión 1, es <strong>de</strong>cir, ε 2 , ε ′ 2 tales que<br />

P = ke 1 ˆ⊕kε 2 = ke ′ 1 ˆ⊕kε ′ 2.<br />

Llamemos H al complemento ortogonal <strong>de</strong> P . Como P es no <strong>de</strong>generado, V = H ˆ⊕P por<br />

la Proposición 4.4. Sea (e ′′<br />

3, . . . , e ′′ n) una base ortogonal para H. Entonces, po<strong>de</strong>mos hacer<br />

contiguas a e y e’ mediante la ca<strong>de</strong>na<br />

e → (e 1 , ε 2 , e ′′<br />

3, . . . , e ′′ n) → (e ′ 1, ε ′ 2, e ′′<br />

3, . . . , e ′′ n) → e’<br />

y vale <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>.<br />

2) (e 1 .e 1 )(e ′ 2, e ′ 2) − (e 1 .e ′ 2) 2 ≠ 0<br />

La prueba <strong>de</strong> este caso es exactamente la misma que en <strong>el</strong> 1), cambiando e ′ 1 por e ′ 2.<br />

3) (e 1 .e 1 )(e ′ i, e ′ i) − (e 1 .e ′ i) 2 = 0 para i = 1, 2<br />

Probemos primero que la condición supuesta implica que existe un x ∈ k tal que <strong>el</strong> <strong>el</strong>emento<br />

e x := e ′ 1 + xe ′ 2 es no isotrópico, y genera junto con e 1 un plano no <strong>de</strong>generado:<br />

La condición <strong>de</strong> no isotrópico se cumplirá si y sólo si e x .e x = e ′ 1.e ′ 1 + x 2 (e ′ 2.e ′ 2) ≠ 0, i.e.,<br />

sii x 2 ≠ −(e ′ 1.e ′ 1)/(e ′ 2.e ′ 2). Y para que <strong>el</strong> plano que genera con e 1 sea no <strong>de</strong>generado <strong>de</strong>be<br />

pasar, como antes, que (e 1 .e 1 )(e x , e x ) − (e 1 .e x ) 2 ≠ 0. Desarrollando con la fórmula para<br />

e x , y utilizando la condición supuesta, llegamos a <strong>el</strong> plano generado será no <strong>de</strong>generado sii<br />

−2x(e 1 .e ′ 1)(e 1 .e ′ 2). Pero la hipótesis supuesta implica que (e 1 .e ′ i) ≠ 0 para i = 1, 2. O sea<br />

que basta con que x ≠ 0.<br />

Así, sólo tenemos que lograr que x ≠ 0 y x 2 ≠ −(e ′ 1.e ′ 1)/(e ′ 2.e ′ 2). Esto excluye a lo sumo 3<br />

valores <strong>de</strong> k para <strong>el</strong>egir, luego si k tiene más <strong>de</strong> 4 <strong>el</strong>ementos, ya está. En <strong>el</strong> caso <strong>de</strong> k = F 3 ,<br />

como (e 1 .e ′ i) ≠ 0 no queda otra que (e 1 .e ′ i) 2 = 1. Entonces la hipótesis 3) se reescribe como<br />

(e 1 .e 1 )(e ′ i, e ′ i) = 1, i = 1, 2. Pero entonces la expresión −(e ′ 1.e ′ 1)/(e ′ 2.e ′ 2) es -1, y por lo tanto<br />

basta tomar x = 1 para verificar las propieda<strong>de</strong>s requeridas para e x .<br />

Ahora po<strong>de</strong>mos entonces tomar e x = e ′ 1 + xe ′ 2 no isotrópico, y tal que ke 1 + ke x es no<br />

<strong>de</strong>generado. Como e x es no isotrópico, existirá un e ′′<br />

2 tal que (e x , e ′′<br />

2) es una base ortogonal<br />

para ke ′ ˆ⊕ke 1 ′ 2. Sea<br />

e” = (e x , e ′′<br />

2, e ′ 3, . . . , e ′ n)<br />

base ortogonal <strong>de</strong> V . Al ser ke 1 + ke x un plano no <strong>de</strong>generado, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>ducir <strong>de</strong> los<br />

casos 1) y 2) que e y e” se r<strong>el</strong>acionan mediante una ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong> bases contiguas. Como e”


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 27<br />

es contigua a e’, <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> está probado. <br />

Sean (V, Q), (V ′ , Q ′ ) dos módulos cuadráticos no <strong>de</strong>generados, y sea U un subespacio<br />

<strong>de</strong> V . Supongamos que s : U → V ′ es un morfismo métrico inyectivo. En <strong>el</strong> trabajo por<br />

clasificar las formas cuadráticas surge la pregunta natural ¿cuándo será posible exten<strong>de</strong>r<br />

s a una isometría (isomorfismo métrico) entre V y V ′ ? La respuesta la da precisamente <strong>el</strong><br />

<strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> Witt que se presenta a continuación:<br />

<strong>Teorema</strong> 4.12. Si (V, Q) y (V ′ , Q ′ ) son isomorfos (como módulos cuadráticos) y no <strong>de</strong>generados,<br />

entonces todo morfismo métrico inyectivo s : U → V , <strong>de</strong> cualquier subespacio<br />

U <strong>de</strong> V , pue<strong>de</strong> ser extendido a una isometría <strong>de</strong> V en V ′ .<br />

Demostración: Supondremos en gral que V = V ′ (ya que son isomorfos). Veamos los dos<br />

casos:<br />

Caso (i): U <strong>de</strong>generado<br />

Sea x ≠ 0 un <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> rad(U), y tomemos l ∈ U ∗ tal que l(x) = 1. Al ser V no<br />

<strong>de</strong>generado, existe y ∈ V tal que l(u) = u.y (pues q V : V → V ∗ es isomorfismo). Po<strong>de</strong>mos<br />

suponer que y.y = 0, haciendo un corrimiento <strong>de</strong> y a y−λx con λ = 1 y.y; sigue valiendo que<br />

2<br />

l(u) = u.y <strong>de</strong>bido a que x ∈ rad(U). Entonces tenemos un nuevo subespacio U 1 = U ⊕ ky<br />

(notar que y /∈ U pues si y ∈ U entonces l(x) = x.y = 0 ya que x ∈ rad(U), pero l(x) era<br />

1).<br />

Al ser s morfismo métrico inyectivo, resulta que s(U) es también <strong>de</strong>generado. Luego aplicamos<br />

la misma construcción para U ′ = s(U), x ′ = s(x) y l ′ = l ◦ s −1 , y obtenemos y ′<br />

y U 1 ′ = U ′ ⊕ ky ′ . Extendamos entonces s mediante la asignación s ′ (y) = y ′ , y queda asi<br />

<strong>de</strong>terminado un morfismo métrico inyectivo s ′ : U 1 → V que coinci<strong>de</strong> con s en U. Pero lo<br />

bueno es que dim U 1 = dim U + 1.<br />

Si U 1 fuera <strong>de</strong>generado, repetimos este proceso. Si fuera no <strong>de</strong>generado, pasamos al caso<br />

(ii).<br />

Caso (ii): U no <strong>de</strong>generado<br />

Probemos <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> por inducción en dim U. Si dim U = 1, U = kx con x ∈ V no<br />

isotrópico (para que U sea no <strong>de</strong>generado). Llamemos y = s(x); por ser s morfismo métrico<br />

se tiene que y.y = x.x. Vemos que alguno <strong>de</strong> los <strong>el</strong>ementos x+y, x−y <strong>de</strong>be ser no isotrópico,<br />

pues si ambos lo fueran entonces<br />

0 = Q(x + y) + Q(x − y) = 2(x.x) + 2(y.y) = 4(x.x)<br />

luego x sería isotrópico. Supongamos sin pérdida <strong>de</strong> generalidad entonces que z = x + y<br />

es no isotrópico. Llamemos H al complemento ortogonal <strong>de</strong> z; se tiene que V = kz ˆ⊕H.<br />

A<strong>de</strong>más observar que (x + y).(x − y) = 0, luego x − y ∈ H. Definamos <strong>el</strong> automorfismo σ<br />

como la simetría respecto <strong>de</strong> H, es <strong>de</strong>cir, la i<strong>de</strong>ntidad en H y multiplicar por -1 en la coor<strong>de</strong>nada<br />

<strong>de</strong> kz. Como x − y ∈ H, x + y ∈ kz, entonces σ(x − y) = x − y y σ(x + y) = −x − y.<br />

Luego σ(x) = −y, y por lo tanto <strong>el</strong> automorfismo −σ extien<strong>de</strong> a s a todo V .<br />

Si dim U > 1, <strong>de</strong>scomponemos a U en U 1 ˆ⊕U 2 , con U i ≠ 0. Por hipótesis inductiva, la restricción<br />

s 1 <strong>de</strong> s a U 1 se pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>r a un automorfismo σ 1 <strong>de</strong> V . Si reemplazamos σ por<br />

σ1 −1 ◦ s vemos que se pue<strong>de</strong> suponer que s es la i<strong>de</strong>ntidad en U 1 . Ahora usamos la hipótesis<br />

para la restricción s 2 <strong>de</strong> s a U 2 : claramente, al ser s la i<strong>de</strong>ntidad en U 1 , s 2 : U 2 → V 1 ,<br />

don<strong>de</strong> V 1 es <strong>el</strong> complemento ortogonal <strong>de</strong> U 1 . Luego existirá un automorfismo σ 2 <strong>de</strong> V 1 que<br />

extien<strong>de</strong> a s 2 . Definimos entonces σ como la i<strong>de</strong>ntidad en U 1 , y σ 2 en V 1 . Es claro que σ


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 28<br />

extien<strong>de</strong> a s a todo V y mantiene la condición <strong>de</strong> ser morfismo métrico. <br />

Corolario 4.13. Dos subespacios isomorfos <strong>de</strong> un módulo cuadrático no <strong>de</strong>generado tienen<br />

complementos ortogonales isomorfos.<br />

Demostración: Simplemente exten<strong>de</strong>mos <strong>el</strong> isomorfismo métrico entre dichos subespacios<br />

a un automorfismo d<strong>el</strong> espacio completo, y lo restringimos a los complementos ortogonales.<br />

<br />

4.2. Propieda<strong>de</strong>s generales<br />

En esta sección interpretaremos los resultados presentados para módulos cuadráticos,<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>el</strong> punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> formas cuadráticas (según la noción estandard, i.e. polinomio<br />

homogéneo <strong>de</strong> grado 2 en n variables).<br />

Sea f(X) = ∑ n<br />

i=1 a iiXi 2 + 2 ∑ i


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 29<br />

En ese caso, también se tendría que f ∼ X 1 X 2 .<br />

Y si interpretamos en este contexto la Proposición 4.7 y su Corolario obtenemos los<br />

siguientes resultados, que traducen todos los problemas realtivos a números representables<br />

por cierta forma cuadrática, a enten<strong>de</strong>r cúales son las formas cuadráticas isotrópicas (i.e.,<br />

que representan a 0):<br />

Proposición 4.17. Si f es no-<strong>de</strong>generada y representa a 0, entonces se tiene que f ∼ f 2 +g,<br />

con f 2 hiperbólica. Y a<strong>de</strong>más, f representa a todos los <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> k.<br />

Demostración: Es simplemente pasar a este lenguaje la Proposición 4.7, junto con su<br />

Corolario 4.8. <br />

Corolario 4.18. Si g es una forma cuadrática en n − 1 variables, y a ∈ k ∗ , entonces son<br />

equivalentes:<br />

(i) g representa a a;<br />

(ii) g ∼ h + aZ 2 , don<strong>de</strong> h es una forma cuadrática en n − 2 variables;<br />

(iii) La forma cuadrática f = g − aZ 2 representa a 0.<br />

Demostración:<br />

(i) ⇔ (ii): La vu<strong>el</strong>ta es trivial, pues g(0, . . . , 0, 1) = a. Para ver su recíproca, si suponemos<br />

que g representa a a entonces <strong>el</strong> módulo cuadrático V correspondiente a g tendrá un <strong>el</strong>emento<br />

x tal que x.x = a (ya que x.x = g(x) en dicho módulo cuadrático). Sea H <strong>el</strong> complemento<br />

ortogonal <strong>de</strong> x; tenemos que V = H ˆ⊕kx. O lo que es equivalente, g ∼ h + aZ 2 , don<strong>de</strong> h es<br />

la g restringida a H (es claro, dado que x.x = a, que g restringida a kx es aZ 2 ).<br />

(ii) ⇒ (iii): Por la hipótesis (ii) tenemos que f ∼ h+aY 2 −aZ 2 , luego f(0, . . . , 0, 1, 1) = 0<br />

entonces f representa a 0.<br />

(iii) ⇒ (i): Supongamos que f ∼ g−aZ 2 y f(x 1 , . . . , x n−1 , z) = 0, con (x 1 , . . . , x n−1 , z) ≠<br />

0. Entonces: o bien z = 0, en cuyo caso g(x 1 , . . . , x n−1 ) = 0 con (x 1 , . . . , x n−1 ) ≠ 0, o sea<br />

que g representa a 0 y luego a a (por la Proposición 4.17); o bien z ≠ 0, que implica<br />

g(x 1 /z, . . . , x n−1 /z) = a por lo tanto g representa a a (observar que no es necesario pedir<br />

que algún x j sea no nulo, pues si todos fueran 0 entonces a = 0, absurdo). <br />

Corolario 4.19. Sean g, h dos formas no-<strong>de</strong>generadas <strong>de</strong> rango n ≥ 1, y sea f = g ˙−h.<br />

Entonces son equivalentes:<br />

(i) f representa a 0;<br />

(ii) Existe a ∈ k ∗ que es representado por g y por h;<br />

(iii) Existe a ∈ k ∗ tal que g − aZ 2 y h − aZ 2 representan 0.<br />

Demostración: Es claro que (ii) ⇔ (iii), por <strong>el</strong> Corolario anterior. A<strong>de</strong>más, se ve que (ii)<br />

implica (i) pues si g(x) = h(y) = a con x, y no nulos (en sus correspondientes espacios, por<br />

ej x ∈ k r , y ∈ k s ), entonces f(x, y) = 0 y (x, y) ≠ 0. Para terminar, probemos la recíproca:<br />

supongamos que f representa a 0. Entonces existe (x, y) ≠ 0 tal que f(x, y) = 0, o sea<br />

que g(x) = h(y) = a. Si a ≠ 0, queda probado (ii). Si a = 0, <strong>el</strong> hecho <strong>de</strong> que (x, y) ≠ 0<br />

implica que x ≠ 0 ó y ≠ 0: supongamos sin pérdida <strong>de</strong> generalidad que x ≠ 0. Esto nos<br />

dice que g representa a 0. Pero entonces por la Proposición 4.17, g representa a todos<br />

los <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> k ∗ . En particular, representará a todos los <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> k ∗ representados


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 30<br />

por h (existe alguno <strong>de</strong> tales <strong>el</strong>ementos pues h es no <strong>de</strong>generada), con lo cual se tiene (ii). <br />

Ahora vemos que <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 4.9 <strong>de</strong> diagonalización <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> f nos lleva a la<br />

forma mas característica <strong>de</strong> presentar una forma cuadrática:<br />

<strong>Teorema</strong> 4.20. Si f es una forma cuadrática en n variables, entonces existen a i ∈ k tales<br />

que<br />

f ∼ a 1 X 2 1 + . . . + a n X n<br />

Demostración: Recor<strong>de</strong>mos, en la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> módulo cuadrático, que si <strong>de</strong>finíamos<br />

una<br />

∑<br />

base <strong>de</strong> V para la cual la matriz <strong>de</strong> la forma resultaba A = (a ij ), entonces f(x) =<br />

i,j a ijx i x j don<strong>de</strong> los x i son las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> x en la base en cuestión.<br />

Así, si tomamos f forma cuadrática en n variables, esto equivale a que V = k n , y fijando la<br />

base dada por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 4.9 obtenemos la expresión f(x) = ∑ n<br />

i=1 a iix i , como queríamos<br />

probar. <br />

Así presentada, sabemos que <strong>el</strong> rango <strong>de</strong> f es exactamente la cantidad <strong>de</strong> coeficientes a i<br />

no nulos.<br />

Para concluir con la traducción <strong>de</strong> los resultados d<strong>el</strong> capítulo anterior, presentamos los<br />

equivalentes d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> Witt y su Corolario:<br />

<strong>Teorema</strong> 4.21. Sean f = g + h y f ′ = g ′ + h ′ dos formas cuadráticas no-<strong>de</strong>generadas.<br />

Entonces si f ∼ f ′ y g ∼ g ′ , se tiene que h ∼ h ′ .<br />

Demostración: Lo único que <strong>de</strong>bemos notar es que si V = U ˆ⊕H es isomorfo a V ′ =<br />

U ′ ˆ⊕H ′ y U isomorfo a U ′ , entonces H resulta isomorfo a H ′ , y esto vale por <strong>el</strong> Corolario<br />

4.13. En nuestro contexto, como por hipótesis f restringida a H es h (y lo análogo para f ′ ,<br />

H ′ , h ′ ), entonces h ∼ h ′ . <br />

Corolario 4.22. Si f es una forma cuadrática se tiene que<br />

f ∼ g 0 + g 1 + . . . + g m + h<br />

don<strong>de</strong> g 0 ∼ 0, las g i son formas hiperbólicas para 1 ≤ i ≤ m, y h es no isotrópica. A<strong>de</strong>más,<br />

esta <strong>de</strong>scomposición es única (salvo equivalencias).<br />

Demostración: Por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 4.20, separando los a i nulos <strong>de</strong> los no nulos, obtenemos<br />

inmediatamente una <strong>de</strong>scomposición en la forma f ∼ g 0 + g, con g 0 ∼ 0 (la parte con los<br />

a i = 0), y g no <strong>de</strong>generada. Ahora <strong>de</strong>scomponemos g según la Proposición 4.17, que nos<br />

permite extraer <strong>de</strong> manera iterativa nuevas formas hiperbólicas: en cada paso, mientras<br />

sea posible (es <strong>de</strong>cir, mientras la parte restante siga representando a 0), obtenemos g ∼<br />

g 1 + . . . + g r + h r con g i hiperbólicas. Así hasta llegar al punto en que h r no representa a<br />

0, en cuyo caso se obtiene la forma explcicitada en <strong>el</strong> enunciado d<strong>el</strong> Corolario.<br />

Para ver la unicidad, basta notar primero que la <strong>de</strong>scomposición f ∼ g 0 + g es única<br />

salvo equivalencias, pues está <strong>de</strong>terminada por la forma diagonal <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> f y por<br />

su rango. Y segundo, ver que la parte <strong>de</strong> g 1 + . . . + g m + h es única también, presentamos<br />

dos posibles expresiones y canc<strong>el</strong>amos todos las partes hiperbólicas mediante <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong><br />

4.21.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 31<br />

4.3. Formas cuadráticas sobre F q<br />

Aquí clasificaremos las formas cuadráticas sobre un cuerpo finito, y estudiaremos cuáles<br />

<strong>el</strong>ementos son representadas por <strong>el</strong>las. A continuación, p <strong>de</strong>notará un número primo impar,<br />

y q una potencia <strong>de</strong> p. Como ya mencionamos antes, F q es un cuerpo con q <strong>el</strong>ementos.<br />

Proposición 4.23. Si f es una forma cuadrática sobre F q <strong>de</strong> rango n, entonces:<br />

-Si n ≥ 2, f representa a todos los <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> F ∗ q .<br />

-Si n ≥ 3, f también representa a 0.<br />

Demostración: Debido a la implicación (iii) → (i) d<strong>el</strong> Corolario 4.18, es suficiente probar<br />

la segunda afirmación para n = 3 (tomando como válido esto, si <strong>el</strong> rango <strong>de</strong> g es 2 entonces<br />

<strong>el</strong> <strong>de</strong> f = g − aZ 2 es 3, luego representará a 0, y esto implicaría que g representa a a ∈ F ∗ q ).<br />

Probar que toda forma en 3 variables representa a 0 es equivalente a ver que para todos<br />

a, b, c ∈ F q la ecuación<br />

ax 2 + by 2 = c<br />

tiene solución (esto se ve porque se toma <strong>el</strong> vector no trivial que anula a f, y se divi<strong>de</strong> por<br />

una coor<strong>de</strong>nada no nula, <strong>de</strong>spejando su coeficiente correspondiente). Para ver que dicha<br />

ecuación tiene solución, supongamos que a, b, c ∈ Fq<br />

∗ (si alguno es 0 la ecuación es trivial).<br />

Sean A, B ⊆ F q los conjuntons <strong>de</strong> números <strong>de</strong> la forma r x = ax 2 , s y = c − by 2 respectivamente,<br />

con x, y ∈ F q . Claramente si r x = r x ′ entonces x 2 = (x ′ ) 2 luego o bien x = 0, o bien<br />

x = ±x ′ . Esto nos dice que r x consiste d<strong>el</strong> 0, y q−1 <strong>el</strong>ementos más: es <strong>de</strong>cir, un total <strong>de</strong><br />

2<br />

q+1<br />

q+1<br />

. Análogamente, se ve que B consiste también <strong>de</strong> <strong>el</strong>ementos. Pero en F<br />

2 2 q hay sólo q,<br />

luego A ∩ B ≠ ∅. Esto implica simplemente que la ecuación en cuestión tiene solución. <br />

Sabemos que <strong>el</strong> grupo Fq ∗ /Fq<br />

∗2 tiene exactamente dos <strong>el</strong>ementos. Sea entonces a ∈ F q ,<br />

que no sea un cuadrado. Se tiene <strong>el</strong> siguiente resultado:<br />

Proposición 4.24. Toda forma cuadrática no-<strong>de</strong>generada <strong>de</strong> rango n sobre F q es equivalente<br />

a<br />

X 2 1 + . . . + X 2 n−1 + X 2 n<br />

o a<br />

X 2 1 + . . . + X 2 n−1 + aX 2 n<br />

<strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> que clase le correspon<strong>de</strong> a su discriminante en F ∗ q /F ∗ q<br />

Demostración: Usemos inducción en n. El resultado es claro si n = 1, por <strong>el</strong> hecho <strong>de</strong><br />

que F ∗ q /F ∗ q 2 tiene exactamente dos <strong>el</strong>ementos. Ahora tomemos n ≥ 2. Por la Proposición<br />

anterior, f representa a 1. Luego se podrá escribir, por 4.18, como f = X 2 1 + g, con g en<br />

n − 1 variables. Se aplica entonces la hipótesis inductiva a g, y listo. <br />

2 .<br />

Corolario 4.25. Dos formas cuadráticas no <strong>de</strong>generadas sobre F q<br />

sólo si tienen <strong>el</strong> mismo rango y <strong>el</strong> mismo discriminante.<br />

son equivalentes si y<br />

Demostración: La ida es trivial; para la vu<strong>el</strong>ta, si dos formas cuadráticas tuvieran <strong>el</strong><br />

mismo rango y discriminante, entonces la Proposición anterior dice que son equivalente a<br />

una misma forma, luego por transitividad serán equivalentes entre sí.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 32<br />

4.4. Formas cuadráticas sobre Q p<br />

En esta sección estudiaremos especificamente las formas cuadráticas <strong>de</strong>finidas sobre <strong>el</strong><br />

cuerpo Q p <strong>de</strong> los números p-ádicos, obteniendo una muy buena clasificación <strong>de</strong> <strong>el</strong>las según 3<br />

invariantes (los dos utilizados para clasificar las formas cuadráticas sobre F q , y uno nuevo).<br />

En este capítulo p <strong>de</strong>notará un número primo, k <strong>el</strong> cuerpo Q p , todos los módulos cuadráticos<br />

serán consi<strong>de</strong>rados sobre <strong>el</strong> cuerpo k, <strong>de</strong> rango n, y supondremos que son no <strong>de</strong>generados.<br />

Las mismas suposiciones se tendrán en cuenta para las formas cuadráticas en cuestión.<br />

Recor<strong>de</strong>mos que habíamos <strong>de</strong>finido <strong>el</strong> discriminante d(Q) <strong>de</strong> un módulo cuadrático<br />

(V, Q). Si fijamos una base ortogonal e = {e 1 , . . . , e n } para V y llamamos A i = e i .e i ,<br />

entonces resulta que<br />

d(Q) = a 1 . . . a n<br />

consi<strong>de</strong>rado como un <strong>el</strong>emento d<strong>el</strong> cociente k ∗ /k ∗2 (las formas son no <strong>de</strong>generadas, entonces<br />

la expresión utilizada es no nula). Ya hemos visto que d(Q) es un invariante d<strong>el</strong> módulo<br />

cuadrático (V, Q) (i.e., no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la base e utilizada para <strong>de</strong>finirlo).<br />

En <strong>el</strong> mismo contexto, <strong>de</strong>finamos la función ε por:<br />

ε(e) = ∏ i


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 33<br />

En <strong>el</strong> lenguaje <strong>de</strong> formas cuadráticas, lo que hemos dicho se traduce directamente a que<br />

si f ∼ a 1 X 2 1 + . . . + a n X 2 n es una forma cuadrática en n variables, entonces<br />

d(f) = a 1 . . . a n ∈ k ∗ /k ∗2<br />

ε(f) = ∏ i


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 34<br />

<strong>Teorema</strong> 4.28. Una forma cuadrática f en Q p <strong>de</strong> rango n y discriminante d representa a<br />

0 si y sólo si:<br />

i) n = 2, d = −1<br />

ii) n = 3, ε = (−1, −d)<br />

iii) n = 4, y d ≠ 1, ó d = 1 y ε = (−1, −1)<br />

iv) n ≥ 5<br />

Haciendo un cambio en la forma cuadrática po<strong>de</strong>mos generalizar este resultado para<br />

cualquier a ∈ k ∗ /k ∗2 . Llamando f a = f − aZ 2 (resta entre formas cuadráticas), sabemos<br />

por 4.17 que f a representa a 0 sii f representa a a. Pero a<strong>de</strong>más, se pue<strong>de</strong>n obtener los<br />

invariantes <strong>de</strong> f a en función <strong>de</strong> los <strong>de</strong> f, mediante las fórmulas<br />

Luego, se tiene <strong>el</strong> siguiente corolario:<br />

d(f a ) = −ad, ε(f a ) = (−a, d)ε(f)<br />

Corolario 4.29. Dado a ∈ k ∗ /k ∗2 , se tiene que f representa a a si y sólo si:<br />

i) n = 1, a = d<br />

ii) n = 2, ε = (a, −d)<br />

iii) n = 3, y a ≠ −d, ó a = −d y ε = (−1, −d)<br />

iv) n ≥ 4<br />

Demostración: (d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>) Escribimos f ∼ a 1 X 2 1 + . . . + a n X 2 n.<br />

(i) Tenemos que a 1 X 2 1 + a 2 X 2 2 = 0 ⇔ Y 2 = (X 1 /X 2 ) 2 = −a 1 /a 2 , si y sólo si −a 1 /a 2 (que<br />

es igual a −a 1 a 2 en k ∗ /k ∗2 ) es un cuadrado. Esto es, d = −1 (ya que en este caso k ∗ /k ∗2<br />

tiene sólo dos <strong>el</strong>ementos).<br />

(ii) f representa a 0 sii −a 3 f ∼ −a 3 a 1 X 2 1 − a 3 a 2 X 2 2 − X 2 3 representa a 0. Esto es equivalente,<br />

por <strong>de</strong>finición d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert, que (−a 3 a 1 , −a 3 a 2 ) = 1. Desarrollando d<strong>el</strong><br />

lado izquierdo (por ”linealidad”), obtenemos<br />

(−1, −1)(−1, a 1 )(−1, a 2 )(a 3 , a 3 )(a 1 , a 2 )(a 1 , a 3 )(a 2 , a 3 ) = 1<br />

lo cual, utilizando la propiedad (a 3 , a 3 = (−1, a 3 ) se pue<strong>de</strong> escribir como<br />

(−1, −a 1 a 2 a 3 )(a 1 , a 2 )(a 1 , a 3 )(a 2 , a 3 ) = 1<br />

es <strong>de</strong>cir, (−1, −d)ε = 1. O sea, (−1, −d) = ε.<br />

(iii) Por <strong>el</strong> Corolario 4.19, como f ∼ (a 1 X 2 1 +a 2 X 2 2)−(−a 3 X 2 3 −a 4 X 2 4), f representa a 0 sii<br />

existe un x ∈ k ∗ /k ∗2 representado por las formas g = a 1 X 2 1 + a 2 X 2 2 y h = −a 3 X 2 3 − a 4 X 2 4.<br />

Pero por <strong>el</strong> ítem (ii) d<strong>el</strong> Corolario al <strong>Teorema</strong> (notar que ya hemos probado en <strong>el</strong> caso<br />

anterior la parte correspondiente para po<strong>de</strong>r usarlo), esto equivale a <strong>de</strong>cir que<br />

(x, −a 1 a 2 ) = (a 1 , a 2 ) y (x, −a 3 a 4 ) = (−a 3 , −a 4 )<br />

Sean A, B los conjuntos <strong>de</strong> solución <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong> arriba. Tenemos que<br />

f representa a 0 sii A ∩ B ≠ ∅. Es claro que ambos son no vacíos (pues por ejemplo a 1 ∈ A,<br />

−a 3 ∈ B por fórmulas conocidas d<strong>el</strong> símbolo). Luego aplicando <strong>el</strong> Lema previo, tenemos


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 35<br />

que A∩B = ∅ si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: a 1 a 2 = a 3 a 4 (canc<strong>el</strong>amos<br />

los −), y (a 1 , a 2 ) = −(−a 3 , −a 4 ). Lo primero implica claramente que <strong>el</strong> discriminante es un<br />

cuadrado, i.e., d = 1. Entonces,<br />

ε = (a 1 , a 2 )(a 1 , a 3 )(a 1 , a 4 )(a 2 , a 3 )(a 2 , a 4 )(a 3 , a 4 )<br />

= (a 1 , a 2 )(a 1 , a 3 a 4 )(a 2 , a 3 a 4 )(a 3 , a 4 )<br />

= (a 1 , a 2 )(a 1 a 2 , a 3 a 4 )(a 3 , a 4 )<br />

= (a 1 , a 2 )(a 3 a 4 , a 3 a 4 )(a 3 , a 4 )<br />

Sabemos, por una propiedad d<strong>el</strong> símbolo, que (x, x) = (−1, x); entonces reemplazando, y<br />

utilizando la segunda condición,<br />

ε = (a 1 , a 2 )(a 3 , a 4 )(−1, a 3 a 4 )<br />

= −(−a 3 , −a 4 )(a 3 , a 4 )(−1, a 3 )(−1, a 4 )<br />

= −(−1, −a 4 )(a 3 , −a 4 )(a 3 , a 4 )(a 3 , −1)(−1, a 4 )<br />

= −(−1, −a 2 4)(a 3 , −a 4 ) 2 = −(−1, −1)<br />

En conclusión, tenemos que f no representa a 0 sii A ∩ B = ∅, sii d = 1 y ε = −(−1, −1).<br />

Negando todo, obtenemos lo que se quería probar.<br />

(iv) Supongamos que n = 5. Por <strong>el</strong> Lema, y utilizando la parte (ii) d<strong>el</strong> Corolario (tomando<br />

<strong>el</strong> a d<strong>el</strong> Lema como −d), vemos que existen 2 r−1 a ∈ k ∗ /k ∗2 tales que (a, −d) = ε (para<br />

formas <strong>de</strong> rango ≥ 2; en nuestro caso <strong>el</strong> rango es 5). Esto implica, por <strong>el</strong> Corolario, que<br />

hay por lo menos 2 r−1 <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> k ∗ /k ∗2 que son representados por f. Tomemos un<br />

a ∈ k ∗ /k ∗2 que sea representado por f, y que sea distinto <strong>de</strong> d. Por resultados ya mencionados,<br />

f ∼ aX 2 +g, don<strong>de</strong> g es una forma cuadrática en 4 variables. Pero <strong>el</strong> discriminante<br />

<strong>de</strong> g es justamente d/a ≠ 1 en k ∗ /k ∗2 , luego por <strong>el</strong> caso anterior, g representa a 0. Poniendo<br />

X = 0, vemos que f representa a 0, y listo. <br />

Ahora llegamos a la hora <strong>de</strong> clasificar completamente (salvo isomorfismos) las formas<br />

cuadráticas sobre Q p , mediante los invariantes previamente <strong>de</strong>finidos.<br />

<strong>Teorema</strong> 4.30. Dos formas cuadráticas sobre k son equivalentes si y sólo si tienen <strong>el</strong><br />

mismo rango, <strong>el</strong> mismo discriminante y <strong>el</strong> mismo ε.<br />

Demostración: Es claro que si dos formas son equivalentes, tienen los mismos invariantes<br />

(por la propia <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los mismos, que no <strong>de</strong>pendían <strong>de</strong> ninguna base prefijada). Para<br />

probar la vu<strong>el</strong>ta (que es lo interesante) usaremos inducción en n, <strong>el</strong> rango <strong>de</strong> f (y <strong>de</strong> g). <strong>Los</strong><br />

primeros casos son triviales. Por <strong>el</strong> Corolario 4.29, vemos que f y g representarán los mismos<br />

<strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> k ∗ /k ∗2 . La suposición <strong>de</strong> que son no <strong>de</strong>generadas, permite entonces tomar<br />

a ∈ k ∗ /k ∗2 que sea representado por ambas formas. Entonces, tenemos que f ∼ aZ 2 + f ′ ,<br />

g ∼ aZ 2 + g ′ . Pero justamente<br />

d(f ′ ) = ad(f) = ad(g) = d(g ′ )<br />

ε(f ′ ) = ε(f)(a, d(f ′ )) = ε(g)(a, d(g ′ )) = ε(g ′ )


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 36<br />

Y f ′ , g ′ son <strong>de</strong> rango n − 1, con lo cual por hipótesis inductiva, f ′ ∼ g ′ . Luego, f ∼ g como<br />

queríamos. <br />

Observar que, tomando en cuenta este <strong>Teorema</strong> y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> anterior, 4.28, se ve que<br />

la única forma cuadrática en 4 variables que no representa a 0 es aqu<strong>el</strong>la que cumple<br />

d(f) = 1, ε(f) = −(−1, −1) (es única por lo que acabamos <strong>de</strong> probar). Tomando a, b tales<br />

que (a, b) = −1, esta forma se pue<strong>de</strong> expresar como f ∼ Z 2 − aX 2 − bY 2 + abT 2 .<br />

Para hallar exactamente <strong>el</strong> número total <strong>de</strong> clases <strong>de</strong> formas cuadráticas (para cada<br />

rango n) <strong>de</strong>bemos mencionar <strong>el</strong> siguiente resultado:<br />

Proposición 4.31. Dado n ≥ 1, d ∈ k ∗ /k ∗2 y ε ∈ {±1}, existirá una forma cuadrática<br />

f <strong>de</strong> rango n tal que d(f) = d y ε(f) = ε si y sólo si n = 1, ε = 1; ó n = 2, d ≠ −1;<br />

ó n = 2, ε = 1; ó n ≥ 3.<br />

Demostración: El caso n = 1 es trivial. Para n = 2, escribamos f ∼ aX 2 + bY 2 . Si<br />

d(f) = −1, entonces tenemos que ε(f) = (a, b) = (a, −ab) = (a, 1) = 1, luego cuando<br />

d = −1 no queda otra que tener ε = 1. Para este caso, tomamos f = X 2 − Y 2 , que verifica<br />

lo requerido.<br />

Cuando d ≠ −1, para cualquier ε podremos encontrar a ∈ k ∗ /k ∗2 tal que (a, −d) = ε (ver<br />

Lemma previo al <strong>Teorema</strong> 4.28). Entonces, la forma f = aX 2 + adY 2 tiene las propieda<strong>de</strong>s<br />

requeridas.<br />

Cuando n = 3, se toma un a ∈ k ∗ /k ∗2 tal que a ≠ −d en dicho contexto. Entonces<br />

ad ≠ −1, luego por <strong>el</strong> caso anterior existe una forma g en 2 variables tal que d(g) = ad,<br />

ε(g) = (a, −d)ε. Tomamos luego f = aZ 2 + g, y tiene las propieda<strong>de</strong>s requeridas.<br />

Si n ≥ 4, tomamos la forma g <strong>de</strong> rango 3 que verifique los invariantes requeridos, y <strong>de</strong>finimos<br />

f = g(X 1 , X 2 , X 3 ) + X 4 + . . . + X n , que funciona. <br />

Como consecuencia inmediata, encontramos la cantidad <strong>de</strong> formas cuadráticas (clases)<br />

sobre Q p <strong>de</strong> rango n, que irán <strong>de</strong> acuerdo con <strong>el</strong> siguiente cuadro:<br />

n = 1 n = 2 n ≥ 3<br />

p = 2 8 15 16<br />

p ≠ 2 4 7 8<br />

(po<strong>de</strong>mos hacer ese cuadro pues ya sabemos cuántos valores pue<strong>de</strong> tomar d(f) y ε(f))<br />

4.5. Formas cuadráticas sobre R<br />

En general <strong>el</strong> trabajo que hemos hecho para las formas cuadráticas sobre Q p se aplica<br />

en gran parte a R si n ≤ 3 (n es <strong>el</strong> rango <strong>de</strong> la forma cuadrática en cuestión).<br />

Es claro que si k = R entonces k ∗ /k ∗2 no es otra cosa que {±1}. Luego toda forma<br />

cuadrática no <strong>de</strong>generada sobre R se pue<strong>de</strong> pensar como<br />

f ∼ X1 2 + . . . + Xr 2 − Y1 2 − . . . − Ys<br />

2


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 37<br />

don<strong>de</strong> r + s = n. <strong>Los</strong> números (r, s) <strong>de</strong>terminan totalmente la forma cuadrática, y los<br />

llamaremos signatura <strong>de</strong> f.<br />

Para este caso se pue<strong>de</strong>n conocer, en función <strong>de</strong> s, las invariantes d y ε, puesto que<br />

(−1, −1) = −1. En efecto,<br />

{ 1, si s ≡ 0, 1 mod 4<br />

ε(f) = (−1) s(s−1)/2 =<br />

−1, si s ≡ 2, 3 mod 4<br />

d(f) = (−1) s =<br />

{ 1, si s ≡ 0 mod 2<br />

−1, si s ≡ 1 mod 2


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 38<br />

5. <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong><br />

5.1. Demostración d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong><br />

Basándonos en los resultados previos estudiaremos ahora las formas cuadráticas sobre<br />

Q, para llegar así al resultado principal <strong>de</strong> nuestro trabajo.<br />

Como antes, V <strong>de</strong>notará <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> números primos junto con <strong>el</strong> símbolo ∞, y<br />

<strong>de</strong>notaremos Q ∞ = R. Sea f ∼ a 1 X 2 1 + . . . + a n X 2 n una forma cuadrática en Q <strong>de</strong> rango n.<br />

Consi<strong>de</strong>ramos los siguiente invariantes, llamados invariantes locales <strong>de</strong> f:<br />

a) El discriminante <strong>de</strong> f, d(f) = a 1 . . . a n ∈ Q ∗ /Q ∗2<br />

b) Para cada v ∈ V , consi<strong>de</strong>ramos a f como una forma cuadrática f v en Q v , lo cual nos<br />

permite <strong>de</strong>finir <strong>el</strong> invariante ε v (f) para cada v ∈ V <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />

ε v (f) = ∏ i 0. Escribamos<br />

a = ∏ p<br />

p vp(a)<br />

y como f p representa a 0 para todo p, se tiene que si (x 1 , x 2 ) es una solución no trivial <strong>de</strong><br />

f p = 0 entonces a = (x 1 /x 2 ) 2 , y entonces es un cuadrado en cada Q p . Esto implica que<br />

v p (a) es par, para todo p. Pero entonces a es un cuadrado en Q, con lo cual f representa a<br />

0.<br />

ii) n = 3 (Legendre)<br />

Se tiene f = X 2 1 −aX 2 2 −bX 2 3, y po<strong>de</strong>mos suponer que a y b son enteros libres <strong>de</strong> cuadrados<br />

(si no fueran enteros, multiplicamos por los <strong>de</strong>nominadores al cuadrado, obteniendo una<br />

forma equivalente; luego para que sean libres <strong>de</strong> cuadrados, hacemos que las variables


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 39<br />

”absorban”todos los factores cuadrados <strong>de</strong> a y <strong>de</strong> b). Esto se traduce en que v p (a), v p (b) ∈<br />

{0, 1} para todo p primo. Supongamos sin pérdida <strong>de</strong> generalidad que |a| ≤ |b|. Probemos<br />

<strong>el</strong> resultado por inducción en m := |a| + |b|:<br />

Para m = 2, f = X 2 1 ± X 2 2 ± X 2 3. Pero no pue<strong>de</strong>n ser todos signos positivos por <strong>el</strong> hecho <strong>de</strong><br />

que f ∞ representa a 0. Entonces, es claro que f representa a 0.<br />

Supongamos ahora que m > 2. Esto implica que |b| ≥ 2 (pues es <strong>el</strong> más gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> los dos).<br />

Escribamos a b como<br />

b = ±p 1 . . . p k<br />

don<strong>de</strong> los p i son primos distintos (por la suposición hecha <strong>de</strong> que b es libre <strong>de</strong> cuadrados).<br />

Sea p cualquiera <strong>de</strong> los p i , veamos que a es un cuadrado módulo p (i.e., resto cuadrático<br />

mod p): si a es múltiplo <strong>de</strong> p, esto es trivial. En caso contrario, a es una unidad en Q p .<br />

Por hipótesis, sabemos que existe (x, y, z) ∈ (Q p ) 3 tal que z 2 − ax 2 − by 2 = 0. Po<strong>de</strong>mos<br />

suponer, por la Proposición 2.13, que (x, y, z) es primitiva (i.e., que x, y, z ∈ Z p y hay<br />

alguno no múltiplo <strong>de</strong> p). Se tiene que z 2 − ax 2 ≡ 0 mod p ya que p | b. Si p dividiera a x,<br />

entonces también a z. Pero como v p (b) = 1, p dividiría tambien a y, absurdo. Luego x no<br />

es múltiplo <strong>de</strong> p, entonces multiplicando por su inverso mod p en la ecuación <strong>de</strong> antes, se<br />

ve que a ≡ (zx −1 ) 2 mod p entonces es cuadrado módulo p.<br />

Esto vale para cualquier p i que divi<strong>de</strong> a b, luego como Z/bZ = ∏ Z/p i Z, tenemos que a es<br />

un cuadrado módul b. Es <strong>de</strong>cir, existen t, b ′ tales que<br />

t 2 = a + bb ′<br />

Se pue<strong>de</strong> suponer que |t| ≤ |b|/2. Observar que bb ′ = t 2 − a luego bb ′ es la norma <strong>de</strong><br />

un <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> k( √ a). Entonces por la Proposición 3.2, (a, bb ′ ) = 1. Luego (a, b) = 1 sii<br />

(a, b ′ ) = 1, por linealidad. Así, recordando la <strong>de</strong>finición d<strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Hilbert, tenemos<br />

que nuestra forma f representa a 0 en k (= Q o a Q p ) sii lo hace la forma<br />

f ′ := X 2 1 − aX 2 2 − b‘X 2 3<br />

Por hipótesis, f representa a 0 en cada Q p , entonces f ′ también. Pero observar que<br />

∣ |b ′ | =<br />

t 2 − a<br />

∣∣∣ ∣ b ∣ ≤ t 2 b ∣ + |a|<br />

|b| ≤ |t|2<br />

|b| + 1 ≤ |b|<br />

4 + 1 < |b|<br />

pues |b| ≥ 2. Si escribimos b ′ = ub ′′ , con b ′′ libre <strong>de</strong> cuadrados, entonces es claro que<br />

|b ′′ | < |b|. Por hipótesis inductiva, la forma cuadrática f ′′ = X 2 1 − aX 2 2 − b ′′ X 2 3 representa<br />

a 0. Luego f ′ también, y en consecuencia nuestra f.<br />

iii) n = 4<br />

Por comodidad, escribamos f = aX 2 1 + bX 2 2 − (cX 2 3 + dX 2 4). Sea v ∈ V . Como f v<br />

representa a 0, por <strong>el</strong> Corolario 4.19 se tiene que existe un x v ∈ Q ∗ v representado por las<br />

formas aX 2 1 + bX 2 2 y cX 2 3 + dX 2 4. Esto equivale, utilizando ahora la parte (ii) d<strong>el</strong> Corolario<br />

4.29 (que sigue valiendo, trivialmente, para Q ∞ = R), a <strong>de</strong>cir que<br />

(x v , −ab) v = (a, b) v , y (x v , −cd) v = (c, d) v<br />

Y esto vale para todo v ∈ V . Como ∏ v∈V (a, b) v = ∏ v∈V (c, d) v = 1, po<strong>de</strong>mos aplicar <strong>el</strong><br />

<strong>Teorema</strong> 3.9 y obtenemos así un x ∈ Q ∗ que verifica<br />

(x, −ab) v = (a, b) v , y (x, −cd) v = (c, d) v


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 40<br />

para todo v ∈ V . Esto implica que la forma cuadrática aX 2 1 + bX 2 2 − xZ 2 representa a<br />

0 en cada Q v , y entonces representa a 0 en Q por <strong>el</strong> caso anterior. O sea que x ∈ Q ∗ es<br />

representado por aX 2 1 + bX 2 2. Analogamente, x es representado por cX 2 3 + dX 2 4. Aplicando<br />

ahora otra implicación d<strong>el</strong> Corolario 4.19, <strong>de</strong>ducimos que f representa a 0 en Q.<br />

iv) n ≥ 5<br />

Probaremos <strong>el</strong> resultado por inducción en n. Pensemos a f como f = h − g, don<strong>de</strong><br />

h = a 1 X1 2 + a 2 X2<br />

2 y g = −(a 3 X3 2 + . . . + a n Xn). 2 Sea S <strong>el</strong> subconjunto <strong>de</strong> V dado por<br />

los <strong>el</strong>ementos ∞, 2, y los primos p tales que v p (a i ) ≠ 0 para algún i ≥ 3 (i.e., primos<br />

que divi<strong>de</strong>n a alguno <strong>de</strong> los coeficientes <strong>de</strong> g). Claramente, S es finito. Sea v ∈ S. Como<br />

f v representa a 0, existirá un a v ∈ Q ∗ v representado (en Q v ) por h y g). Esto es, existen<br />

x v i ∈ Q v , i = 1, . . . , n tales que<br />

h(x v 1, x v 2) = g(x v 3, . . . , x v n) = a v<br />

Como los cuadrados <strong>de</strong> Q ∗ v forman un abierto, si utilizamos <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> Aproximación<br />

presentado antes <strong>de</strong> la prueba <strong>de</strong> 3.9 para <strong>el</strong> conjunto S <strong>de</strong>finido previamente, <strong>de</strong>ducimos<br />

que existen x 1 , x 2 ∈ Q tales que si a = h(x 1 , x 2 ), entonces a/a v ∈ Q ∗ v2 para todo v ∈ S.<br />

Consi<strong>de</strong>remos ahora la forma f 1 = aZ 2 − g, <strong>de</strong> rango n − 1. Dado v ∈ S, sabemos que g<br />

representa a a v en Q v , luego también a a (ya que para k ∗ /k ∗2 son lo mismo). Esto implica<br />

que f 1 representa a 0 en cada Q v , v ∈ S. Si v /∈ S, resulta que los coeficientes <strong>de</strong> g son<br />

todos unida<strong>de</strong>s v-ádicas (por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> S). Entonces también d v (g) será una unidad.<br />

Pero a<strong>de</strong>más, observemos que la forma cuadrática g es en 3 o más variables, entonces por<br />

<strong>el</strong> Corolario 6.3 al <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> Chevalley-Warning, la ecuación g ≡ a mod v tiene solución<br />

no trivial. Pero entonces, al ser <strong>el</strong> discriminante <strong>de</strong> g una unidad v-ádica, po<strong>de</strong>mos aplicar<br />

<strong>el</strong> Corolario 2.17 y obtener así la existencia <strong>de</strong> una solución en Q v <strong>de</strong> g = a. Es <strong>de</strong>cir, g<br />

representa a a en Q v . Luego, f 1 representa a 0 en Q v , ahora para los v /∈ S.<br />

En cualquiera <strong>de</strong> los dos casos, vemos que la forma f 1 representa a 0 en Q v , para todo<br />

v. Luego por hipótesis inductiva, como f 1 es <strong>de</strong> rango n − 1, también representa a 0 en<br />

Q. Esto implica que g representa a a en Q. Pero como h también representaba a a en Q<br />

(por construcción <strong>de</strong> a), tenemos que f representa a 0 en Q, y queda probado <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>. <br />

Fácilmente se extien<strong>de</strong> <strong>el</strong> teorema a cualquier a ∈ Q ∗ :<br />

Corolario 5.2. Sea a ∈ Q ∗ . f representa a a en Q si y sólo si lo hace en cada Q v .<br />

Demostración: Se <strong>de</strong>duce inmediatamente d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>, aplicado a la forma cuadrática<br />

aZ 2 − f <br />

Y a<strong>de</strong>más, recordando que todas las formas cuadráticas <strong>de</strong> rango n ≥ 5 representa a 0<br />

en cada Q p , obtenemos <strong>el</strong> siguiente resultado:<br />

Corolario 5.3. Una forma cuadrática f en Q <strong>de</strong> rango n ≥ 5 representa a 0 si y sólo si<br />

representa a 0 en R<br />

Demostración: Sabemos que, por <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> 4.28, una forma <strong>de</strong> rango ≥ 5 siempre<br />

representa a 0 en Q p ; <strong>el</strong> Corolario resulta <strong>de</strong> reescribir <strong>el</strong> enunciado d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<br />

<strong>Minkowski</strong> con esta información.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 41<br />

Es <strong>de</strong>cir, que si f es una forma cuadrática no <strong>de</strong>generada en más <strong>de</strong> 4 variables, entonces<br />

la ecuación f = 0 tiene solución no trivial en Q si y sólo si la tiene en R.<br />

5.2. Algunos comentarios interesantes<br />

Vale la pena mencionar que la versión d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> presentada en este trabajo no es lo<br />

más general que se ha podido probar hasta <strong>el</strong> momento.<br />

La prueba d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> que hemos mostrado a lo largo <strong>de</strong> estas páginas fue <strong>de</strong>sarrollada<br />

por Hermann <strong>Minkowski</strong> a finales d<strong>el</strong> siglo XIX. Posteriormente, H<strong>el</strong>mut <strong>Hasse</strong> probó la<br />

versión más general d<strong>el</strong> mismo, cuya formulación se hace en un cuerpo global F (en <strong>el</strong><br />

lugar <strong>de</strong> Q), y los cuerpos <strong>de</strong> números p-ádicos son reemplazados por las completaciones<br />

<strong>de</strong> F respecto a valuaciones no triviales (<strong>de</strong> la misma manera que la primera <strong>de</strong>finición <strong>de</strong><br />

Q p mostrada aquí). Dichas valuaciones son clasificadas módulo la r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> equivalencia<br />

”generar la misma topología sobre F ”(ya que toda valuación da lugar a una métrica, la cual<br />

genera una topología en <strong>el</strong> cuerpo en cuestión). Se <strong>de</strong>nomina a las clases <strong>de</strong> equivalencia<br />

los primos <strong>de</strong> K (en analogía con <strong>el</strong> caso <strong>de</strong> F = Q). Uno <strong>de</strong> tales primos se dice infinito<br />

si las valuaciones correspondientes a esa clase <strong>de</strong> equivalencia son arquimedianas (i.e., si<br />

no cumple la propiedad (c) <strong>de</strong> la Proposición 2.4 ). En <strong>el</strong> caso en que las valuaciones<br />

correspondientes a un primo sean no-arquimedianas, se dice que es un primo finito.<br />

Esta noción <strong>de</strong> valuaciones primas (las finitas, según la <strong>de</strong>finición previa) generaliza en<br />

cierta manera la noción <strong>de</strong> i<strong>de</strong>al primo. Esto es por la siguiente razón: supongamos que F<br />

es un cuerpo númerico (o <strong>de</strong> números algebraicos, es <strong>de</strong>cir, una extensión finita <strong>de</strong> Q). Si<br />

℘ es un i<strong>de</strong>al primo d<strong>el</strong> anillo <strong>de</strong> enteros <strong>de</strong> F , junto con la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> norma N(℘) <strong>de</strong><br />

un i<strong>de</strong>al, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir una valuación en F asociada a ℘, <strong>de</strong> la siguiente manera. Para<br />

cada x ∈ F no nulo, sea r <strong>el</strong> único número entero tal que x ∈ ℘ r pero x /∈ ℘ r+1 . Entonces<br />

<strong>de</strong>finimos<br />

{ 1/N(℘)<br />

|x| ℘ :=<br />

r , si x ≠ 0;<br />

0, si x = 0.<br />

Así, | · | ℘ es una valuación no-arquimediana en F . Y más aún, se pue<strong>de</strong> ver que toda valuación<br />

no-arquimediana en F es equivalente a | · | ℘ para algún i<strong>de</strong>al primo ℘ d<strong>el</strong> anillo <strong>de</strong><br />

enteros <strong>de</strong> F . He aquí una biyección entre primos finitos <strong>de</strong> F y sus i<strong>de</strong>ales primos.<br />

De manera análoga en <strong>el</strong> caso <strong>de</strong> las valuaciones arquimedianas, se pue<strong>de</strong> ver que son todas<br />

equivalentes a las surgidas <strong>de</strong> hacer un ”embedding”<strong>de</strong> F en R o C (en <strong>el</strong> caso <strong>de</strong> que F<br />

sea un cuerpo <strong>de</strong> números algebráicos). Es por eso que se <strong>de</strong>nomina a los primos infinitos<br />

<strong>de</strong> K reales o complejos, <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> a dón<strong>de</strong> llegue <strong>el</strong> embedding.<br />

Llegado un momento las analogías son cada vez menos visibles, es por eso que se requiere<br />

<strong>de</strong> fuertes resultados en Teoría <strong>de</strong> Cuerpos Globales para <strong>de</strong>mostrar la versión general <strong>de</strong><br />

<strong>Hasse</strong> d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>. Sin embargo, <strong>el</strong> espíritu y las i<strong>de</strong>as principales <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostración no<br />

se alejan <strong>de</strong>masiado <strong>de</strong> los puntos seguidos para probar <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> en Q.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 42<br />

6. Apéndices<br />

6.1. Algunos resultados en Teoría <strong>de</strong> Números<br />

En esta sección adicional veremos algunos resultados básicos <strong>de</strong> la Teoría <strong>de</strong> Números,<br />

que han sido utilizados en partes fundamentales d<strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo previo.<br />

6.1.1. Ecuaciones sobre cuerpos finitos<br />

<strong>Teorema</strong> 6.1 (Chevalley - Warning). Sea p un primo, y K = Z/pZ <strong>el</strong> cuerpo <strong>de</strong> los<br />

enteros módulos p. Sean f α ∈ K[X 1 , . . . , X n ] polinomios tales que la suma <strong>de</strong> sus grados<br />

es menor que n. Si V ⊆ (K) n es <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> raíces en común <strong>de</strong> dichos polinomios,<br />

entonces la cantidad <strong>de</strong> <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> V es múltiplo <strong>de</strong> p.<br />

Para probar <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> utilizaremos <strong>el</strong> siguiente Lema que facilita las cosas:<br />

Lema 6.2. En <strong>el</strong> contexto d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>, sea u un entero positivo. Entonces S(X u ) :=<br />

∑<br />

x∈K xu es igual a -1 si u es no nulo y divisible por q − 1, y es igual a 0 en cualquier otro<br />

caso.<br />

Demostración: Para u = 0, S(X u ) = 1 + . . . + 1 = q,1 = 0 pues K es <strong>de</strong> característica<br />

p, y p divi<strong>de</strong> a q.<br />

Si u ≠ 0 y es divisible por q − 1, tenemos que x u = 1 para x ≠ 0 (por Fermat), y x u = 0<br />

si x = 0. Luego, S(X u ) = (q − 1),1 = −1.<br />

Finalmente, para u ≠ 0 no divisible por q − 1, como K ∗ = K \ {0} es cíclico y <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n<br />

q − 1 (ejercicio 6 <strong>de</strong> la cursada <strong>de</strong> Estructuras Algebraicas 2007), tenemos que existe un<br />

y ∈ K ∗ generador <strong>de</strong> dicho grupo. Luego, valen dos cosas: K ∗ = {yx, x ∈ K ∗ }; y a<strong>de</strong>más<br />

y u ≠ 1 por la hipótesis sobre u. Con lo cual,<br />

S(X u ) = ∑<br />

x u = ∑<br />

y u x u = y u S(X u )<br />

x∈K ∗ x∈K ∗<br />

luego (1 − y u )S(X u ) = 0 y como y u ≠ 1, S(X u ) = 0. <br />

Demostración: (d<strong>el</strong> <strong>Teorema</strong>) Sea P = ∏ q−1<br />

α<br />

(1 − fα<br />

, y tomemos x ∈ K n . Si x ∈ V , es<br />

claro que P (x) = 1. Por otro lado, si x /∈ V entonces existe α tal que f α (x) ≠ 0, y luego para<br />

dicho α se tiene que fα<br />

q−1 (x) = 1. Entonces, P (x) = 0. En conclusión, P = χ V , la función<br />

característica <strong>de</strong> V . Si generalizamos la función S d<strong>el</strong> Lema mediante S(f) = ∑ x∈K<br />

f(x)<br />

n<br />

para cualquier polinomio f, entonces es claro que la cantidad <strong>de</strong> <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> V es igual a<br />

S(P ) mod p. Bastaría entonces con probar que S(P ) = 0.<br />

Como la suma <strong>de</strong> los grados <strong>de</strong> los f α es menor que n, entonces <strong>el</strong> grado <strong>de</strong> P es menor<br />

que n(q − 1). Con lo cual, <strong>el</strong> polinomio P es combinación lineal <strong>de</strong> monomios <strong>de</strong> la forma<br />

X u = X u 1<br />

1 . . . Xn<br />

un , con ∑ u i < n(q − 1). Al ser S lineal, hemos reducido todo a probar que<br />

S(X u ) = 0 para cada uno <strong>de</strong> dichos monomios. Pero al tener que ∑ u i < n(q − 1), existe i<br />

tal que u i < q − 1, es <strong>de</strong>cir, hay algún u i para <strong>el</strong> cual S(X u i<br />

) = 0. Supongamos sin pérdida<br />

<strong>de</strong> generalidad que i = n. Entonces,<br />

S(X u ) = ∑<br />

Y listo. <br />

x∈K n x u 1<br />

1 . . . x un<br />

= ∑ ( ∑<br />

n<br />

x n∈K<br />

y u 1<br />

1 . . . y u n−1<br />

n−1 x un<br />

n<br />

y∈K n−1<br />

)<br />

=<br />

( ∑<br />

x n∈K<br />

)( ∑<br />

x un<br />

n y u 1<br />

1 . . . y u )<br />

n−1<br />

n−1 = 0<br />

y∈K n−1


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 43<br />

Corolario 6.3. Toda forma cuadrática en 3 o más variables sobre K tiene una raiz no<br />

trivial.<br />

Demostración: Una forma cuadrática es un polinomio <strong>de</strong> grado 2 ¡3, luego la cantidad<br />

<strong>de</strong> raíces es múltiplo <strong>de</strong> p. Pero al tener una raíz trivial (<strong>el</strong> vector nulo), entonces tiene al<br />

menos otras p − 1 raíces (y p − 1 > 0). <br />

6.1.2. Ley <strong>de</strong> reciprocidad cuadrática<br />

Introducimos primero <strong>el</strong> Símbolo <strong>de</strong> Legendre:<br />

Definición 6.4. Sea p un primo impar, y x ∈ Fp<br />

∗ (pensar en (Z/pZ) ∗ ). El símbolo <strong>de</strong><br />

Legendre <strong>de</strong> x respecto <strong>de</strong> p se <strong>de</strong>fine como<br />

( ) x<br />

:= x (p−1)/2<br />

p<br />

Claramente, <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Legendre toma valores en {±1} (pues al <strong>el</strong>evarlo al cuadrado<br />

da 1, y estamos en un cuerpo). Pero lo más importante es que da 1 si y sólo si x es un resto<br />

cuadrático módulo p (i.e., existe y ∈ Fp<br />

∗ tal que y 2 = x en Fp ∗ ). A<strong>de</strong>más, sabemos que es<br />

multiplicativo. Es <strong>de</strong>cir, ( )( ( )<br />

x y xy<br />

=<br />

p p)<br />

p<br />

Es sabido cómo calcular rápidamente <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Legendre para cualquier primo impar<br />

p en <strong>el</strong> caso <strong>de</strong> x = 1, −1, 2. Para esto, se introducen las siguientes funciones (utilizadas en<br />

la Sección 3): si n ∈ Z es impar, se <strong>de</strong>finen ε(n), ω(n) mediante<br />

ε(n) := n − 1<br />

2<br />

ω(n) := n2 − 1<br />

8<br />

Se tiene entonces <strong>el</strong> siguiente resultado:<br />

{ 0, sin ≡ 1 mod 4<br />

mod 2 =<br />

1, sin ≡ −1 mod 4<br />

{ 0, sin ≡ ±1 mod 8<br />

mod 2 =<br />

1, sin ≡ ±5 mod 8<br />

<strong>Teorema</strong> 6.5. Para todo primo impar p valen las siguientes fórmulas:<br />

(i) ( 1<br />

p)<br />

= 1<br />

(ii) ( )<br />

−1<br />

p = (−1)<br />

ε(p)<br />

(iii) ( )<br />

2<br />

p = (−1)<br />

ω(p)<br />

Pero más aún, si x es un número primo se tiene <strong>el</strong> siguiente resultado, fundamental a la<br />

hora <strong>de</strong> calcular cualquier símbolo <strong>de</strong> Legendre 10 :<br />

<strong>Teorema</strong> 6.6 (Gauss). Si l, p son dos primos impares distintos, entonces<br />

( ( ) l p<br />

= (−1)<br />

p)<br />

ε(l)ε(p)<br />

l<br />

10 En realidad, para que ayu<strong>de</strong> a calcular cualquier símbolo <strong>de</strong>beríamos introducir <strong>el</strong> símbolo <strong>de</strong> Jacobi,<br />

<strong>el</strong> cual es una generalizacion d<strong>el</strong> <strong>de</strong> Legendre para cuando la base no es un número primo


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 44<br />

Este es uno <strong>de</strong> los resultados más famosos y ”populares”<strong>de</strong> Teoría <strong>de</strong> Números. Fue<br />

conjeturado originalmente por Euler y Legendre, pero probado por primera vez por Gauss<br />

a la edad <strong>de</strong> 19 años. Su fascinación por este <strong>Teorema</strong> hizo que, a lo largo <strong>de</strong> toda su vida,<br />

Gauss diera ocho <strong>de</strong>mostraciones diferentes d<strong>el</strong> mismo. Actualmente, existen más <strong>de</strong> 200<br />

<strong>de</strong>mostraciones diferenes publicadas. 11<br />

6.2. Sistemas y Límites proyectivos<br />

<strong>Los</strong> sistemas y límites proyectivos permiten juntar la información <strong>de</strong> muchos grupos, y<br />

morfismos entre <strong>el</strong>los, mediante un nuevo objeto que <strong>de</strong>finiremos a continuación. Esta es<br />

la herramienta algebráica utilizada en una <strong>de</strong> las <strong>de</strong>finiciones presentadas <strong>de</strong> los enteros<br />

p-ádicos.<br />

Definición 6.7. Dado (I, ≤) un conjunto or<strong>de</strong>nado y dirigido 12 , sea A = (A i ) i∈I una<br />

familia <strong>de</strong> grupos, y supongamos que tenemos <strong>de</strong>finidos una familia <strong>de</strong> morfismos F dados<br />

por f ij : A j → A i para todo i ≤ j que satisfacen las siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />

1. f ii = id Ai<br />

2. f ik = f ij ◦ f jk para todos i ≤ j ≤ k<br />

Entonces, <strong>de</strong>cimos que <strong>el</strong> par (A, F) es un sistema proyectivo.<br />

En general, a lo largo <strong>de</strong> este trabajo sólo han sido utilizado sistemas proyectivos en los<br />

cuales <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> índices tiene un or<strong>de</strong>n total (mucho más que dirigido). En <strong>el</strong> caso en<br />

que <strong>el</strong> conjunto <strong>de</strong> índices sea N <strong>de</strong>notaremos al sistema proyectivo (A) = (A n ) n∈N mediante<br />

. . . → A n → A n−1 → . . . → A 1<br />

don<strong>de</strong> las flechas representan los morfismos que, dados la condición 2. <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición y <strong>el</strong><br />

hecho <strong>de</strong> que <strong>el</strong> or<strong>de</strong>n es total, están completamente <strong>de</strong>terminados por los <strong>el</strong>ementos f n,n+1 .<br />

Definición 6.8. Dado (A, F) un sistema proyectivo, con A = (A i ) i∈I , <strong>de</strong>finimos <strong>el</strong> límite<br />

proyectivo d<strong>el</strong> sistema como <strong>el</strong> subgrupo lim ←−<br />

A i d<strong>el</strong> producto directo ∏ i∈I A i dado por<br />

lim<br />

←− A i := {(a i ) ∈ ∏ A i | a i = f ij (a j ) para todo i ≤ j}<br />

i∈I<br />

Llamemos A = lim ←−<br />

A i . Quedan <strong>de</strong>finidas canónicamente las proyecciones π i : A → A i ,<br />

que son las proyecciones usuales d<strong>el</strong> producto directo restringidas a A.<br />

Vale la pena mencionar que esta construcción pue<strong>de</strong> ser llevada a cabo en anillos, módulos,<br />

álgebras, etc, a<strong>de</strong>cuando los morfismos a la categoría correspondiente. Es más, en<br />

cualquier categoría po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir, dado un sistema proyectivo (X i , f ij ) <strong>de</strong>inifido como<br />

antes pero ahora con los objetos y morfismos en una categoría C, su límite proyectivo es<br />

<strong>el</strong> objeto X en la misma categoría, junto con morfismos π i : X → X i (proyecciones) que<br />

satisfacen π i = f ij ◦ π j . El límite (X, π i ) <strong>de</strong>be verificar la siguiente propiedad universal:<br />

dado cualquier otro par (Y, ψ i ) con estas propieda<strong>de</strong>s, existe un único morfismo u : Y → X<br />

tal que <strong>el</strong> diagrama<br />

11 Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic reciprocity<br />

12 No todos los autores exigen esta condición


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 45<br />

conmuta para todo i, j. (Notar que no necesariamente existe <strong>el</strong> límite proyectivo en<br />

cualquier categoría)<br />

Para concluir, veamos <strong>el</strong> siguiente resultado <strong>de</strong> límites proyectivos, que ha sido utilizado<br />

en la sección <strong>de</strong> ecuaciones y polinomios p-ádicos:<br />

Lema 6.9. Sea . . . → D n → D n−1 → . . . → D 1 un sistema proyectivo, con D = lim ←−<br />

D n su<br />

límite proyectivo. Entonces si los D n son finitos y no vacíos, D es distinto <strong>de</strong> vacío.<br />

Demostración: Si los morfismos son todos suryectivos, entonces se pue<strong>de</strong> construir <strong>de</strong><br />

manera natural un <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> D a partir <strong>de</strong> cualquier <strong>el</strong>emento <strong>de</strong> D 1 (vamos tomando<br />

preimagenes por los morfismos, y en cada paso obtenemos algo no vacío ya que son todos<br />

epimorfismos). Vamos a reducir <strong>el</strong> caso general al recien mencionado:<br />

Sea D n,p = f n,n+p (D n+p ), la imagen <strong>de</strong> D n+p en D n . Fijando n, vemos que como<br />

D n,p+1 = f n,(n+p+1) (D n+p+1 ) = f n,(n+p)<br />

(<br />

f(n+p),(n+p+1) (D n+p+1 ) ) ⊆ f n,(n+p) (D n+p ) = D n,p<br />

entonces (D n,p ) p es una familia <strong>de</strong>creciente <strong>de</strong> conjuntos finitos no vacíos. Luego, a partir <strong>de</strong><br />

un P suficientemente gran<strong>de</strong>, D n,p = D n,P para todo p ≥ P . Sea E n := D n,P . Es inmediato,<br />

nuevamente utilizando la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los morfismos d<strong>el</strong> sistema proyectivo, que <strong>el</strong> morfismo<br />

f (n−1),n : D n → D n−1 se restringe como tal y da un morfismo suryectivo E n → E n−1 (pues<br />

f (n−1),n (D n,p ) = D n−1,p para cualquier p). Ahora bien, como los E n son no vacíos, tenemos<br />

por <strong>el</strong> caso mencionado en <strong>el</strong> comienzo que lim E ←− n ≠ ∅. Luego, como E n ⊆ D n para todo<br />

n, se tiene que lim D ←− n ≠ ∅.


<strong>Los</strong> Números p-ádicos y <strong>el</strong> <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> 46<br />

Referencias<br />

[1] A. J. Baker, “An Introduction to p-adic numbers and p-adic Analysis,” 2006.<br />

[2] J.-P. Serre, “A Course in Arithmetic,” Springer-Verlag, 1996.<br />

[3] Y. Amice, “Les Nombres p-adiques,” Press Univ. <strong>de</strong> France, 1975.<br />

[4] A. Gamzon, “The <strong>Hasse</strong>-<strong>Minkowski</strong> Theorem (Thesis)”, Univ. of Connecticut, 2006.

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