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Revista <strong>de</strong><br />
Ciencias Básicas<br />
UJAT<br />
Volumen 5<br />
Número 2<br />
Diciembre 2006<br />
Contenido<br />
Cableado estructurado: Un estado <strong>de</strong>l arte.<br />
José Manuel Vicente Osorio, Juan R. Hernán<strong>de</strong>z Garibay y<br />
María H. Almaguer Cantús 3<br />
Morfología <strong>de</strong> las perturbaciones <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad: El<br />
orígen <strong>de</strong> las estructuras cósmicas<br />
Alejandro Gonzalez S. 15<br />
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico<br />
Fernando Velasco Luna 20<br />
Cunduacán<br />
<strong>Tabasco</strong><br />
México
DIRECTORIO<br />
M.A. Candita V. Gil Jiménez<br />
Rectora<br />
M.P.E.S. María Isabel Zapata Vásquez<br />
Secretaria <strong>de</strong> Servicios Académicos<br />
Dr. José Manuel Piña Gutiérrez<br />
Secretario <strong>de</strong> Servicios Administrativos<br />
L.C.P. Marina Moreno Tejero<br />
Secretaria <strong>de</strong> Finanzas<br />
M.C. Teresa Ramón Frías<br />
Directora <strong>de</strong> Investigación y Posgrado<br />
M. en C. Carlos Rogelio Beltrán Moha<br />
Director <strong>de</strong> la División Académica <strong>de</strong> Ciencias Básicas
Revista <strong>de</strong><br />
Ciencias Básicas<br />
UJAT<br />
Volumen 5<br />
Número 2<br />
Diciembre 2006<br />
Cunduacán<br />
<strong>Tabasco</strong><br />
México
Contenido<br />
Cableado estructurado: Un estado <strong>de</strong>l arte.<br />
José Manuel Vicente Osorio, Juan R. Hernán<strong>de</strong>z Garibay y<br />
María H. Almaguer Cantús 3<br />
Morfología <strong>de</strong> las perturbaciones <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad: El<br />
orígen <strong>de</strong> las estructuras cósmicas<br />
Alejandro Gonzalez S. 15<br />
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico<br />
Fernando Velasco Luna 20
Cableado estructurado: Un estado <strong>de</strong>l arte<br />
José Manuel Vicente Osorio ∗<br />
<strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong>, DACB<br />
Carr. Cunduacán-Jalpa Km 1, Cunduacán <strong>Tabasco</strong>, México<br />
A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928<br />
Juan R. Hernán<strong>de</strong>z Garibay †<br />
<strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong>, DACB<br />
Carr. Cunduacán-Jalpa Km 1, Cunduacán <strong>Tabasco</strong>, México<br />
A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928<br />
María H. Almaguer Cantú ‡<br />
<strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong>, DACB<br />
Carr. Cunduacán-Jalpa Km 1, Cunduacán <strong>Tabasco</strong>, México<br />
A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928<br />
Los sistemas <strong>de</strong> cableado estructurado constituyen una plataforma universal por don<strong>de</strong><br />
se transmiten tanto voz, como datos e imágenes, ofrecen necesida<strong>de</strong>s integrales a lo que<br />
respecta a la transmisión fiable <strong>de</strong> la información. El cableado estructurado proporciona<br />
una estructura <strong>de</strong> conexión física entre todas las zonas <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> un edificio<br />
y se instala sin tener en cuenta el tipo <strong>de</strong> comunicación al que se va a conectar, con<br />
la capacidad <strong>de</strong> acoplarse a los cambios en los requerimientos conforme se presentan.<br />
The systems of structured wiring constitute an universal platform by where they transmit<br />
as much voice, as data and images, they offers integral necessities to which concerns<br />
to the trustworthy transmission of the information. The structured wiring provi<strong>de</strong>s<br />
a structure of physical connection between all the zones of work of a building and<br />
it settles without consi<strong>de</strong>ring the type of communication to which it is going away<br />
to connect, with the capacity to be reconciled to the changes in the requirements as<br />
appear.<br />
Palabras clave: sistemas <strong>de</strong> cableado, transmisión fiable, conexión física.<br />
Keywords: Wiring system, Trustworthy transmission, Physical conection.<br />
1. Introducción<br />
El cableado estructurado es un servicio <strong>de</strong> red <strong>de</strong> computadoras el cual se emplea para<br />
la interconexión <strong>de</strong> las aplicaciones <strong>de</strong> las tecnologías <strong>de</strong> información, a través <strong>de</strong>l<br />
cableado estructurado po<strong>de</strong>mos obtener diferentes tipos <strong>de</strong> servicios, como la transmisión<br />
<strong>de</strong> datos, vi<strong>de</strong>os, monitoreo, control <strong>de</strong> dispositivos, etc., los cuales pue<strong>de</strong>n<br />
viajar a través <strong>de</strong> un mismo tipo <strong>de</strong> cable.<br />
El cableado estructurado se emplea en todas las instalaciones <strong>de</strong> re<strong>de</strong>s don<strong>de</strong> se<br />
emplean intercomunicaciones <strong>de</strong> red con PCs y diferentes servidores ya que es a través<br />
<strong>de</strong> él por don<strong>de</strong> se transmiten las señales mencionada anteriormente.[1]<br />
Es una forma or<strong>de</strong>nada y planeada <strong>de</strong> realizar cableados que permiten conectar<br />
teléfonos, equipo <strong>de</strong> procesamiento <strong>de</strong> datos, computadoras personales, conmuta-<br />
∗ manvicen82@hotmail.com”<br />
† junr.hernán<strong>de</strong>z@dais.ujat.mx<br />
‡ hortensia.almaguer@basicas.ujat.mx<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 2 (Diciembre 2006) p 3–8
4 José Manuel Vicente Osorio, Juan R. Hernán<strong>de</strong>z Garibay y María H. Almaguer Cantú<br />
dores, re<strong>de</strong>s <strong>de</strong> área local (LAN) y equipo <strong>de</strong> oficina entre sí.<br />
Al mismo tiempo permite conducir señales <strong>de</strong> control como son: sistemas <strong>de</strong> seguridad<br />
y acceso, control <strong>de</strong> iluminación, control ambiental, etc. El objetivo primordial<br />
es proveer <strong>de</strong> un sistema total <strong>de</strong> transporte <strong>de</strong> información a través <strong>de</strong> un medio<br />
común.*Los Sistemas <strong>de</strong> Cableado Estructurado <strong>de</strong>ben emplear una Arquitectura <strong>de</strong><br />
Sistemas Abiertos (OSA por sus siglas en inglés) y soportar aplicaciones basadas en<br />
estándares como el EIA/TIA-568A, EIA/TIA-569, EIA/TIA-606, EIA/TIA-607 (<strong>de</strong> la<br />
Electronic Industries Association / Telecommunications Industry Association). Este<br />
diseño provee un sólo punto para efectuar movimientos y adiciones <strong>de</strong> tal forma que<br />
la administración y mantenimiento se convierten en una labor simplificada.<br />
La gran ventaja <strong>de</strong> los Sistemas <strong>de</strong> Cableado Estructurado es que cuenta con la<br />
capacidad <strong>de</strong> aceptar nuevas tecnologías sólo con cambiar los adaptadores electrónicos<br />
en cada uno <strong>de</strong> los extremos <strong>de</strong>l sistema; luego, los cables, rosetas, patch panels,<br />
blocks, etc, permanecen en el mismo lugar.[2]<br />
2. Cableado estructurado<br />
Un sistema <strong>de</strong> cableado estructurado es la infraestructura <strong>de</strong> cable <strong>de</strong>stinada a transportar,<br />
a lo largo y ancho <strong>de</strong> un edificio, las señales que emite un emisor <strong>de</strong> algún<br />
tipo <strong>de</strong> señal hasta el correspondiente receptor.<br />
Un sistema <strong>de</strong> cableado estructurado es físicamente una red <strong>de</strong> cable única y completa<br />
<strong>de</strong> combinaciones <strong>de</strong> alambre <strong>de</strong> cobre (pares trenzados sin blindar UTP), cables<br />
<strong>de</strong> fibra óptica bloques <strong>de</strong> conexión, cables terminados en diferentes tipos <strong>de</strong> conectores<br />
y adaptadores.<br />
El principal beneficio <strong>de</strong>l cableado estructurado es que permite la administración<br />
sencilla y sistemática <strong>de</strong> las mudanzas y cambios <strong>de</strong> ubicación <strong>de</strong> personas y equipos.<br />
Tales como el sistema <strong>de</strong> cableado <strong>de</strong> telecomunicaciones para edificios que presenta<br />
como característica saliente <strong>de</strong> ser general, es <strong>de</strong>cir, soporta una amplia gama <strong>de</strong><br />
productos <strong>de</strong> telecomunicaciones sin necesidad <strong>de</strong> ser modificado.<br />
3. Elementos principales <strong>de</strong> un cableado estructurado<br />
Cableado horizontal<br />
Cableado <strong>de</strong>l backbone<br />
Cuarto <strong>de</strong> telecomunicaciones<br />
Cuarto <strong>de</strong> entrada <strong>de</strong> servicios<br />
Sistema <strong>de</strong> puesta a tierra<br />
Atenuación<br />
Capacitancia<br />
Impedancia y distorsión por retardo<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 3–8
Cableado estructurado: Un estado <strong>de</strong>l arte 5<br />
4. Administración <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> cableado estructurado<br />
La administración <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> cableado incluye la documentación <strong>de</strong> los cables,<br />
terminaciones <strong>de</strong> los mismos, paneles <strong>de</strong> parcheo, armarios <strong>de</strong> telecomunicaciones y<br />
otros espacios ocupados por los sistemas. La norma TIA/EIA 606 proporciona una<br />
guía que pue<strong>de</strong> ser utilizada para la ejecución <strong>de</strong> la administración <strong>de</strong> los sistemas <strong>de</strong><br />
cableado. Los principales fabricantes <strong>de</strong> equipos para cableados disponen también <strong>de</strong><br />
software específico para administración.[3]<br />
Resulta fundamental para lograr una cotización a<strong>de</strong>cuada suministrar a los oferentes<br />
la mayor cantidad <strong>de</strong> información posible. En particular, es muy importante<br />
proveerlos <strong>de</strong> planos <strong>de</strong> todos los pisos, en los que se <strong>de</strong>tallen:<br />
1. Ubicación <strong>de</strong> los gabinetes <strong>de</strong> telecomunicaciones.<br />
2. Ubicación <strong>de</strong> ductos a utilizar para cableado vertical.<br />
3. Disposición <strong>de</strong>tallada <strong>de</strong> los puestos <strong>de</strong> trabajo.<br />
4. Ubicación <strong>de</strong> los tableros eléctricos en caso <strong>de</strong> ser requeridos.<br />
5. Ubicación <strong>de</strong> pisoductos si existen y pue<strong>de</strong>n ser utilizados.<br />
5. ¿Qué es el 568<br />
En el mundo <strong>de</strong> los sistemas <strong>de</strong> cableado estructurado el número críptico 568 al or<strong>de</strong>n<br />
en que los hilos individuales <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l cable CAT 5 están terminados.<br />
Organizaciones <strong>de</strong> estándares <strong>de</strong> cableado Hay muchas organizaciones involucradas<br />
en el cableado estructurado en el mundo. En Estados Unidos es la ANSI, Internacionalmente<br />
es la ISO (International Standards Organization). El propósito <strong>de</strong> las<br />
organizaciones <strong>de</strong> estándares es formular un conjunto <strong>de</strong> reglas comunes para todos<br />
en la industria, en el caso <strong>de</strong>l cableado estructurado para própositos comerciales es<br />
proveer un conjunto estándar <strong>de</strong> reglas que permitan el soporte <strong>de</strong> múltiples marcas<br />
o fabricantes. Los estándares 568 son actualmente <strong>de</strong>sarrollados por la TIA (Telecommunications<br />
Industry Association) and the EIA (Electronics Industry Association) en<br />
Estados Unidos. Estos estándares han sido adoptados alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l mundo por otras<br />
organizaciones. [4 ]<br />
6. Alcance <strong>de</strong>l estándar TIA/EIA-568A<br />
Requerimientos mínimos para el cableado <strong>de</strong> telecomunicaciones <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un ambiente<br />
<strong>de</strong> oficinas.<br />
Topología recomendada y distancias<br />
Parámetros <strong>de</strong>l medio <strong>de</strong> transmisión el cual <strong>de</strong>termina el <strong>de</strong>sempeño<br />
asignaciones <strong>de</strong> conectores y guía para asegurar la interoperatibilidad<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 3–8
6 José Manuel Vicente Osorio, Juan R. Hernán<strong>de</strong>z Garibay y María H. Almaguer Cantú<br />
7. Mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> networking<br />
El mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> referencia <strong>de</strong> Interconexión <strong>de</strong> Sistemas Abiertos (OSI) lanzado en<br />
1984 fue el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> red <strong>de</strong>scriptivo creado por la Organización Internacional <strong>de</strong><br />
Normalización (ISO). Proporcionó a los fabricantes un conjunto <strong>de</strong> estándares que<br />
aseguraron una mayor compatibilidad e interoperabilidad entre los distintos tipos <strong>de</strong><br />
tecnología <strong>de</strong> red producidos por las empresas a nivel mundial.<br />
El mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> referencia OSI se ha convertido en el mo<strong>de</strong>lo principal para las<br />
comunicaciones por red. Aunque existen otros mo<strong>de</strong>los, la mayoría <strong>de</strong> los fabricantes<br />
<strong>de</strong> re<strong>de</strong>s relacionan sus productos con el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> referencia <strong>de</strong> OSI. Esto es en<br />
particular así cuando lo que buscan es enseñar a los usuarios a utilizar sus productos.<br />
Se consi<strong>de</strong>ra la mejor herramienta disponible para enseñar cómo enviar y recibir datos<br />
a través <strong>de</strong> una red.[5]<br />
8. Capas <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo OSI<br />
El mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> referencia OSI es un marco que se pue<strong>de</strong> utilizar para compren<strong>de</strong>r cómo<br />
viaja la información a través <strong>de</strong> una red. El mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> referencia OSI explica <strong>de</strong> qué<br />
manera los paquetes <strong>de</strong> datos viajan a través <strong>de</strong> varias capas a otro dispositivo <strong>de</strong><br />
una red, aun cuando el remitente y el <strong>de</strong>stinatario poseen diferentes tipos <strong>de</strong> medios<br />
<strong>de</strong> red.<br />
En el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> referencia OSI, hay siete capas numeradas, cada una <strong>de</strong> las cuales<br />
ilustra una función <strong>de</strong> red específica. La división <strong>de</strong> la red en siete capas permite<br />
obtener las siguientes ventajas:<br />
1. Divi<strong>de</strong> la comunicación <strong>de</strong> red en partes más pequeñas y fáciles <strong>de</strong> manejar.<br />
2. Normaliza los componentes <strong>de</strong> red para permitir el <strong>de</strong>sarrollo y el soporte <strong>de</strong> los<br />
productos por diferentes fabricantes.<br />
3. Permite a los distintos tipos <strong>de</strong> hardware y software <strong>de</strong> red comunicarse entre sí.<br />
4. Evita que los cambios en una capa afecten las otras capas.<br />
5. Divi<strong>de</strong> la comunicación <strong>de</strong> red en partes más pequeñas para simplificar el aprendizaje.<br />
Capa 3: la capa <strong>de</strong> red<br />
Capa 2: la capa <strong>de</strong> enlace<br />
<strong>de</strong> datos<br />
Capa 1: la capa física<br />
Proporciona el direccionamiento lógico que los<br />
routers utilizan para <strong>de</strong>terminar la ruta.<br />
Combina bits en byte en tramas.<br />
Acceso a los medios utilizando dirección MAC.<br />
Detección <strong>de</strong> errores sin corrección.<br />
Mueve bits entre dispositivos.<br />
Especifica el voltaje, la velocidad <strong>de</strong>l cable y<br />
la extensión <strong>de</strong> los cables.<br />
Las principales capas <strong>de</strong> estudio en la aplicación <strong>de</strong>l análisis <strong>de</strong>l diseño <strong>de</strong>l cableado<br />
estructurado se enfocara principalmente en las tres primeras capas <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong><br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 3–8
Cableado estructurado: Un estado <strong>de</strong>l arte 7<br />
referencia OSI, dado que estas se encargan <strong>de</strong> la distribución física, enlaces <strong>de</strong> datos<br />
y la capa <strong>de</strong> red; es por ello que se preten<strong>de</strong> abarcar estas tres capas <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo.<br />
9. Internet<br />
Internet es un medio por don<strong>de</strong> viaja gran cantidad <strong>de</strong> información y los usuarios<br />
<strong>de</strong> éste la intercambian con otros, el Internet lo emplean alumnos, maestrosinvestigadores<br />
<strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong> para realizar diferentes<br />
practicas y activida<strong>de</strong>s, es por eso que en el proyecto “Cableado Estructurado<br />
<strong>de</strong> los Centros <strong>de</strong> Computo <strong>de</strong> la DAIS-UJAT; Un Análisis <strong>de</strong> su Diseño”, se hace<br />
presente al ser un medio por don<strong>de</strong> también viaja la red, por lo cual se consi<strong>de</strong>ra la<br />
necesidad <strong>de</strong> conocer mas a fondo sobre su funcionamiento y beneficios que aporta a<br />
los usuarios <strong>de</strong> la red.<br />
De acuerdo con los estudios <strong>de</strong> Contreras Alarcón, la palabra Internet : Inter.<br />
Viene <strong>de</strong>l inglés interconectec, “interconectados”, y net <strong>de</strong> network, “red”. Así que<br />
la Internet es un conjunto <strong>de</strong> unas cuantas miles <strong>de</strong> re<strong>de</strong>s diferentes interconectadas<br />
por el mundo. Internet como su propio nombre lo indica, es una enorme colección <strong>de</strong><br />
re<strong>de</strong>s en todo el mundo interconectadas entre si, una gigantesca red <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nadores<br />
<strong>de</strong> enlace mundial[6]<br />
10. Aplicaciones futuras<br />
El mundo <strong>de</strong>l cableado empresarial evoluciona rápidamente. Los servicios emergentes<br />
<strong>de</strong> un gran ancho <strong>de</strong> banda y la adopción <strong>de</strong> normas Ethernet <strong>de</strong> cada vez mayor velocidad.<br />
De manera creciente, las re<strong>de</strong>s <strong>de</strong> voz, datos y vi<strong>de</strong>o están convergiendo<br />
en una misma infraestructura y la <strong>de</strong>manda <strong>de</strong> confiabilidad y Calidad <strong>de</strong> Servicio<br />
(QoS) nunca había sido mayor. Un sistema <strong>de</strong> cableado estructurado confiable<br />
<strong>de</strong> alto <strong>de</strong>sempeño, construido para manejar estas aplicaciones <strong>de</strong> ancho <strong>de</strong> banda<br />
intensivo, es la pieza fundamental requerida para hacer posible que las empresas actuales<br />
incrementen su productividad y ventas al mismo tiempo que reducen costos<br />
operacionales. Específicamente, un sistema <strong>de</strong> cableado estructurado capaz <strong>de</strong> ofrecer<br />
servicios 10Gb/s es el requisito para asegurar compatibilidad a futuro con servicios<br />
emergentes.<br />
11. Ventajas <strong>de</strong> la aplicación <strong>de</strong> los estándar para cableado estructurado<br />
Aplicar un estándar <strong>de</strong> cableado estructurado a nuestra empresa nos ofrece muchas<br />
ventajas, entre las que <strong>de</strong>stacamos:<br />
Facilita las tareas <strong>de</strong> mantenimiento y supervisión, ya que resulta mas sencillo i<strong>de</strong>ntificar<br />
las estructuras <strong>de</strong> cableado.<br />
Asegura un funcionamiento optimo si se cumplen todos los requisitos <strong>de</strong>l estándar.<br />
Posibilita la inclusión <strong>de</strong> una lata <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> cableado.<br />
Permite la integridad <strong>de</strong> diferentes tecnologías <strong>de</strong> re<strong>de</strong>s.<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 3–8
8 José Manuel Vicente Osorio, Juan R. Hernán<strong>de</strong>z Garibay y María H. Almaguer Cantú<br />
Resulta fácilmente ampliable.<br />
Existen tres estándares internacionales <strong>de</strong> cableado estructurado, que en la practica<br />
tienen diferencias muy pocas significativas:<br />
ISOIEC 11801: Estándar a nivel internacional.<br />
EN-50173: Norma europea basada en la anterior.<br />
ANSIEIATIA-568: Norma utilizada en Estados Unidos.<br />
12. Conclusiones<br />
El cableado estructurado es una forma or<strong>de</strong>nada <strong>de</strong> conectar los cables para una<br />
red, basándonos en normas EIA/TIA, establecidas a lo largo <strong>de</strong> todo el mundo, esto<br />
con el fin <strong>de</strong> establecer un or<strong>de</strong>n en el mundo <strong>de</strong> la computación y las re<strong>de</strong>s. Al<br />
realizar una buena planeación y distribución <strong>de</strong> cableado estructurado nos permite<br />
una administración sencilla y sistemática <strong>de</strong> las mudanzas y cambios <strong>de</strong> ubicación <strong>de</strong><br />
personas y equipos. Tales como el sistema <strong>de</strong> cableado <strong>de</strong> telecomunicaciones para<br />
edificios que presenta como característica saliente <strong>de</strong> ser general, es <strong>de</strong>cir, soporta una<br />
amplia gama <strong>de</strong> productos <strong>de</strong> telecomunicaciones sin necesidad <strong>de</strong> ser modificado.<br />
Si se aplican los estándares <strong>de</strong> cableado estructurado mencionados anteriormente<br />
tendremos un confiable <strong>de</strong>sempeño <strong>de</strong> la red, el cual facilitara las tareas <strong>de</strong> mantenimiento<br />
y supervisión, entre otras ventajas que éste nos ofrece.<br />
Referencias<br />
[1] Aca<strong>de</strong>mia <strong>de</strong> Networking <strong>de</strong> Cisco Systems, 2002. Guía <strong>de</strong>l primer año, 2da edición,<br />
Pearson Educación, S.A. Madrid (España).<br />
[2] http://html.rincon<strong>de</strong>lvago.com/cableado-estructurado-<strong>de</strong>-una-red-local.html<br />
[3] “Normas para cableado estructurado” (documento web) 1990<br />
http:/html.Rincon<strong>de</strong>lvago.com<br />
[4] Ortega Santana, José Juan. “Diseño <strong>de</strong> una red <strong>de</strong> cableado estructurado en oficina”<br />
(documento web) 1993, http://bdigital.ulpgc.es<br />
[5] http:/html.Rincon<strong>de</strong>lvago.com/normas-para-cableadoestraucturado.Html<br />
[6] Contreras Alarcón, José Manuel. Internet, Editorial Paraninfo. Fuenlabrada (Madrid).<br />
[7] Francisco J. Molina. “Re<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Area Local”, editorial.<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 3–8
Morfología <strong>de</strong> las Perturbaciones <strong>de</strong> Densidad: El<br />
Orígen <strong>de</strong> las Estructuras Cósmicas<br />
Alejandro González S. *<br />
División Académica <strong>de</strong> Ciencias Básicas<br />
<strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong>,<br />
Km 1, Carr. Cunduacán-Jalpa, Cunduacán <strong>Tabasco</strong>, México<br />
A.P. 24, C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928<br />
Se calcula la distribución morfológica <strong>de</strong> las fluctuaciones primordiales <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad.<br />
Determinaciones previas, han contradictoriamente concluido que existe una ten<strong>de</strong>ncia<br />
a las las formas prolatas, o a las formas oblatas, respectivamente. Utilizando dos<br />
métodos, el cálculo <strong>de</strong>l Hessiano y el tensor <strong>de</strong> inercia hemos calculado el parámetro <strong>de</strong><br />
triaxialidad <strong>de</strong> las perturbaciones <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad en un campo Gaussiano Estocástico con<br />
un espectro <strong>de</strong> ley <strong>de</strong> potencias, que asemeja el espectro primordial <strong>de</strong> las fluctuaciones<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l Universo. Mostraremos que tal ten<strong>de</strong>ncia no existe y que la distribucin<br />
<strong>de</strong> triaxialidad es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>l índice espectral. Más aun, mostraremos que los<br />
resultados <strong>de</strong> Peacock y Heavens son compatibles con nuestras <strong>de</strong>terminaciones. Estos<br />
resultados están en completo acuerdo con las triaxialida<strong>de</strong>s inferidas para halos <strong>de</strong><br />
materia obscura, la morfología <strong>de</strong> los cúmulos <strong>de</strong> galaxias e incluso la morfología <strong>de</strong><br />
los ”voids”.<br />
We have calculated the morphology distribution of promordial <strong>de</strong>nsity fluctuations.<br />
Previous <strong>de</strong>terminations have reported contradictory results, towards a ten<strong>de</strong>ncy fot<br />
prolate or oblate shapes, respectively. By using two methods, the Hessin matrix and the<br />
inertia tensor we asses the triaxiality parameter of <strong>de</strong>nsity perturbations in a Gaussian<br />
Random Field with a power law spectrum, which mimics the primordial fluctuation<br />
spectrum of the Universe. We will show that there is no prefered ten<strong>de</strong>ncy, and that the<br />
triaxiality is in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt of the spectral in<strong>de</strong>x. Moreover, we show that the Peacock<br />
and Heavens results are compatible with our <strong>de</strong>terminations. These results are in<br />
complete agreement with the triaxiality infered for dark haloes, clusters of galaxies<br />
and even with the morphology of voids.<br />
Palabras Claves: Galaxias, Cúmulos, Morfología, Fluctuaciones <strong>de</strong> Densidad<br />
Keywords: Galaxies, Clusters, Primordial Density Fluctuations, Morphology.<br />
1. Introducción<br />
Basados en un anális exahustivo <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los campos Gaussianos estocásticos<br />
Bar<strong>de</strong>en, Bond, Kaiser y Szaley ([1]; BBKS <strong>de</strong> aquí en a<strong>de</strong>lante)<strong>de</strong>terminaron<br />
que las fluctuaciones primordiales <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad, <strong>de</strong> las que se origina la actual estructura<br />
cósmica son intrinsecamente triaxiales con cierta ten<strong>de</strong>ncia a la oblaticidad. Otros<br />
autores han tratado <strong>de</strong> <strong>de</strong>tectar alguna inter<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia entre la triaxialidad y el<br />
tamao <strong>de</strong> las fluctuaciónes primordiales <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad, con la morfología ovservada <strong>de</strong><br />
galaxias y cúmulos. Por ejemplo, [2] basado en los resultados <strong>de</strong> [3], comparó las distribuciones<br />
<strong>de</strong> triaxialidad <strong>de</strong> las fluctuaciones con la <strong>de</strong> los halos <strong>de</strong> materia obscura<br />
<strong>de</strong> simulaciones cosmológicas. Su estudio se enfocaba a analizar la evolución no lineal<br />
<strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad, ya que la interaccin con otras perturbaciones la morfología<br />
* alegs@basicas.ujat.mx<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 2 (Diciembre 2006) p 9–19
10 Alejandro González S.<br />
final podría o no, reflejar la morfología inicial. La hipótesis <strong>de</strong> partida es que si la<br />
forma <strong>de</strong> las fluctuaciones o picos <strong>de</strong>termina la forma <strong>de</strong> los halos <strong>de</strong> materia obscura,<br />
<strong>de</strong>bería encontrarse un exceso <strong>de</strong> halos obscuros prolatos <strong>de</strong>bido al sesgo natural.<br />
Sin embargo, no se encontró tal sesgo. Más aun, [4, 5] intentarón explicar el esquema<br />
<strong>de</strong> clasificación <strong>de</strong> Hubble, asociando galaxias elípticas con las fluctuaciones más<br />
gran<strong>de</strong>s, y a las galaxias espirales o <strong>de</strong> disco con fluctuaciones pequeas. La relación<br />
<strong>de</strong>nsidad-morfología <strong>de</strong> cúmulos <strong>de</strong> galaxias contradicen esta hipótesis.<br />
Se ha intentado inferir la morfología tridimensioanl <strong>de</strong> galaxias y cúmulos a partir<br />
<strong>de</strong> los ejes principales observados, proyectados en el cielo, y realizando simulaciones<br />
<strong>de</strong> Monte Carlo para reproducirlas. [6] por ejemplo, analizaron 204 galaxias elípticas y<br />
mostraron que la distribución <strong>de</strong> triaxialidad era incompatible tanto con una muestra<br />
pura <strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s oblatos, o <strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s prolatos. Se <strong>de</strong>tectó también una fracción<br />
pequea, <strong>de</strong> ≈ 2 %, <strong>de</strong> galaxias casi esféricas. Por otra parte, [7] estudiaron una muestra<br />
más gran<strong>de</strong>, <strong>de</strong> 20399 galaxias incluyendo galaxias elípticas y espitales. Confirmaron<br />
que el número <strong>de</strong> galaxias con excentricidad cero son extremadamente raras, y que<br />
las galaxias elípticas gigantes y <strong>de</strong> masa intermedia son triaxiales. No obstante, no se<br />
<strong>de</strong>tecta ningúna ten<strong>de</strong>ncia hacia la oblaticidad o prolaticidad.<br />
En cuanto a cúmulos <strong>de</strong> galaxias [8] encontraron que los cúmulos <strong>de</strong> galaxias presentan<br />
la ten<strong>de</strong>ncia a una excentricidad más gran<strong>de</strong> que las galaxias elípticas, pero<br />
a<strong>de</strong>más su distribución morfológica es mejor ajustada por una distribución o bién <strong>de</strong><br />
puros elipsoi<strong>de</strong>s oblatos o puros elipsoi<strong>de</strong>s prolatos. En tanto, [9] analizó la elipcicidad<br />
aparente <strong>de</strong> 44 cúmulos <strong>de</strong> Abell, encontrando que la distribuci”on morfológica es<br />
consistente con formas prolatas. Y empleando una muestra <strong>de</strong> 6000 cúmulos, [10] concluyen<br />
que una distribución <strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s traxiales ajusta mejor los datos observacionales.<br />
Tal ten<strong>de</strong>ncia ha sido ampliamente estudiada también a travs <strong>de</strong> simulaciónes<br />
numéricas en escenarios dominados por materia obscura fría por [11, 12].<br />
Resulta claro que no existe concenso sobre la distribución <strong>de</strong> triaxialidad para las<br />
diferentes estructuras cósmicas observadas. Y mientras que varias propieda<strong>de</strong>s estadísticas<br />
(.e.g. función <strong>de</strong> correlación, espectro, etc.) <strong>de</strong> campos Gaussianos y No<br />
Gaussianos han sido exhaustivamente estudiada, e.g. [13, 14, 15, 16], en referencia a<br />
la morfología se han <strong>de</strong>tectado inconsistencias entre la forma <strong>de</strong> los halos predichas<br />
por las simulaciones numéricas y <strong>de</strong> las observaciones. Determinar la morfología <strong>de</strong><br />
las perturbaciones <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad generadas como un proceso estocstico, es el objetivo<br />
<strong>de</strong>l presente artículo. Una introducción más <strong>de</strong>tallada pue<strong>de</strong> encontrarse en [17]. En<br />
el futuro nos avocaremos a seguir la evolucin morfológica como resultado <strong>de</strong> interacciones<br />
con otras estructuras en el regimen no lineal que se ha vuelto un tema central<br />
en la formación <strong>de</strong> galaxias [18, 19, 20].<br />
2. La Morfología <strong>de</strong> las fluctuaciones: Formulación teórica<br />
Para el presente análisis adoptarémos el procedimiento analítico y la notación <strong>de</strong><br />
BBKS. A primera aproximación uno pue<strong>de</strong> expandir el campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad alre<strong>de</strong>dor<br />
<strong>de</strong> un pico (extremo) como<br />
δ(r) = δ(0) + r i<br />
∂δ(r)<br />
∂r i<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19<br />
+ 1 2 r ir j<br />
∂ 2 δ(r)<br />
∂r i ∂r j<br />
+, (1)
Morfología <strong>de</strong> las Perturbaciones <strong>de</strong> Densidad 11<br />
don<strong>de</strong> el segundo término en el lado <strong>de</strong>recho <strong>de</strong> la ecuación es cero <strong>de</strong>bido a la<br />
condición <strong>de</strong> que es un extremo <strong>de</strong> la función. El término compuesto por las segundas<br />
<strong>de</strong>rivadas es la matriz Hessiana<br />
H = − ∂2 δ<br />
∂r i ∂r j<br />
, (2)<br />
cuyos eigenvalores, or<strong>de</strong>nados sin perdida <strong>de</strong> generalidad <strong>de</strong> la forma λ 1 > λ 2 > λ 3 ,<br />
representan la aproximacin cuadrtica <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad<br />
que <strong>de</strong>fine un elipsoi<strong>de</strong> triaxial con semiejes<br />
δ(r) = δ 0 − ∑ λ i r 2 i /2, (3)<br />
a i = [ 2δ(0) − δ t<br />
λ i<br />
] 1/2 , (4)<br />
con δ t <strong>de</strong>finiendo el valor <strong>de</strong>l contorno <strong>de</strong> iso<strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> la superficie a la que se le<br />
<strong>de</strong>terminar la triaxialidad. La ecuación (4) es la <strong>de</strong>finición adoptada por PH para<br />
analizar la morfología <strong>de</strong> los picos <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad en términos <strong>de</strong> la razón <strong>de</strong> sus ejes<br />
principales.<br />
Adicionalmente, los parámtros <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad son <strong>de</strong>finidos en términos <strong>de</strong> los eigenvalores<br />
<strong>de</strong>l Hessiano,<br />
ɛ = λ1 − λ 3<br />
2 ∑ λ i<br />
, p = λ 1 − 2λ 2 + λ 3<br />
2 ∑ λ i<br />
, (5)<br />
don<strong>de</strong> ɛ mi<strong>de</strong> la elipticidad en el plano λ 1 − λ 3 y p es el grado <strong>de</strong> prolaticidad u<br />
oblaticidad, respectivamente. Si 0 ≥ p ≥ −ɛ, entonces el elipsoi<strong>de</strong> es prolato, mientras<br />
que si ɛ ≥ p ≥ 0 es oblato. Los casos límites son, p = −ɛ para un esferoi<strong>de</strong> prolato<br />
puro y p = ɛ para un eferoi<strong>de</strong> oblato puro.<br />
La distribución condicional, P (ɛ, p‖x), que mi<strong>de</strong> la probabilidad <strong>de</strong> encontrar una<br />
fluctuación <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad con parámetros <strong>de</strong> triaxialidad en el intervalo ɛ y p y ɛ + dɛ<br />
y p + dp, condicionada al valor <strong>de</strong> la curvatura <strong>de</strong>l campo, normalizada x = ∇ 2 δ/σ 2<br />
(ver eq. [7,6] en BBKS) es<br />
x8<br />
P (ɛ, p‖x) = ( 2 π )1/2<br />
f(x) exp(−(5/2)x2 (3ɛ 2 + p 2 ))W (ɛ, p), (6)<br />
don<strong>de</strong> he utilizado x = x ∗ = γν, que es el valor más probable <strong>de</strong> la curvatura, y γ es<br />
<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>l índice espectral γ = [(n+3)/(n+5)] 1/2 . De aquí en a<strong>de</strong>lante, el tamao<br />
o altura <strong>de</strong> una fluctuación ser expresada en unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la raíz cuadrática media σ<br />
<strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> perturbaciones como δ = νσ. Así, dada una probabilidad P y una altura<br />
maxima ν max <strong>de</strong> los picos, la ec.(6) <strong>de</strong>fine una curva <strong>de</strong> isoprobabilidad que encierra<br />
al menos 100(1 − P ) % <strong>de</strong> todos los picos con alturas ν < ν max . La Figura 1 exhibe<br />
algunos <strong>de</strong> los contornos <strong>de</strong> isoprobabilidad como función <strong>de</strong> la probabilidad y la<br />
altura <strong>de</strong> los picos para los índices espectrales n = 1, −2. Solo estos índices espectrales<br />
fueron incluidos a fin <strong>de</strong> realzar cualquier posible <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> la distribución<br />
<strong>de</strong> la triaxialidad con el espectro. Sin embargo, no se observa ninguna <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia<br />
obvia. Nuestros resultados numéricos <strong>de</strong>berán ser comparados con los contornos <strong>de</strong><br />
la Figura 1.<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
12 Alejandro González S.<br />
Figura 1. Contornos <strong>de</strong> isoprobabilidad <strong>de</strong> la distribución <strong>de</strong> triaxialidad <strong>de</strong> las fluctuaciones<br />
<strong>de</strong> altura ν, para n = 1, −2. Los isocontornos <strong>de</strong> probabilidad 0.5 han sido incluidos. Estos<br />
<strong>de</strong>berán contener la mitad <strong>de</strong>l número total <strong>de</strong> flutuaciones<br />
3. Aproximación Numérica<br />
Hemos calculado tanto el Hessiano como el tensor <strong>de</strong> inercia para evaluar la morfología<br />
primordial <strong>de</strong> las fluctuaciones <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad, <strong>de</strong> las que se originan las estructuras<br />
cósmicas a todas las escalas; halos <strong>de</strong> materia obscura, galaxias, cúmulos <strong>de</strong> galaxias<br />
y estructuras filamentarias. El primer cálculo fue usado por PH para llevar a cabo las<br />
primeras <strong>de</strong>terminaciones <strong>de</strong> la morfología <strong>de</strong> los picos, mientras que el segundo fue<br />
hecho por BBKS en su tratamiento analítico <strong>de</strong> los campos Gaussianos estocásticos.<br />
Ya que nuestro objetivo es probar numericamente la compatibilidad <strong>de</strong> estos resultados,<br />
ambos métodos requieren <strong>de</strong> suavisar el campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad discreto, que es<br />
generado con fluctuaciones al azar en una caja <strong>de</strong> 64 3 nodos, y un proceso <strong>de</strong> interpolación<br />
en tres dimensiones. Hemos basado este último en el método triangular-shaped<br />
cloud (ver [21]). Esto nos permite reconstruir el campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad en cualquier<br />
punto <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la red cúbica. Mas aun, para aplicar eficientemente la interpolición<br />
requerimos <strong>de</strong>terminar el número mínimo <strong>de</strong> puntos que contribuirán al momento <strong>de</strong><br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
Morfología <strong>de</strong> las Perturbaciones <strong>de</strong> Densidad 13<br />
inercia. Ello para garantizar la estabilidad numérica <strong>de</strong> la morfología calculada. Para<br />
el tensor <strong>de</strong> inercia hemos asociado una masa unitaria a cada punto <strong>de</strong> la red. Varias<br />
otras formas <strong>de</strong> asignar la masa pue<strong>de</strong>n ser usados, vea e.g. [22, 23]. Una <strong>de</strong>scripción<br />
<strong>de</strong>tallada y completa <strong>de</strong>l uso <strong>de</strong> los métodos así como la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong>l número<br />
mínimo <strong>de</strong> nodos y pasos <strong>de</strong> interpolación pue<strong>de</strong> encontrarse [17]. N s <strong>de</strong>nota el<br />
número <strong>de</strong> subdivisiones <strong>de</strong> cada 1 3 cubo es cruzado por la superficie <strong>de</strong> iso<strong>de</strong>nsidad.<br />
3.1 Metodología<br />
Hemos generado el campo <strong>de</strong> fluctuaciones primordiales con un espectro <strong>de</strong> ley <strong>de</strong><br />
potencias, P (k) = Ak n , con índices espectrales n = 1, 0, −1, −2. Los dos primeros<br />
correspon<strong>de</strong>n a la <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> perturbaciones a pequea escala, <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> kpc y<br />
los sugundos a escalas cosmológicas, <strong>de</strong> Mpc. La caja más gran<strong>de</strong> utilizada tiene una<br />
escala <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> 64h −1 Mpc por lado entonces proce<strong>de</strong>mos como sigue:<br />
1. El campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad es convolucionado con un filtro Gaussiano<br />
don<strong>de</strong> k es el número <strong>de</strong> onda y R es el radio <strong>de</strong> filtrado.<br />
W G = exp(−(k 2 R 2 )/2), (7)<br />
2. Se dtermina la posición (en la red cúbica) <strong>de</strong> los máximos. Estos se <strong>de</strong>finen como<br />
aquellos puntos sobre la red don<strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsidad δ max es mayor que la <strong>de</strong>nsidad en sus<br />
26 vértices vecinos más cercanos. En general, la posición <strong>de</strong> los picos máximos en la<br />
red no coinci<strong>de</strong> con la verda<strong>de</strong>ra posición <strong>de</strong>l máximo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad.<br />
3. El valor <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> iso<strong>de</strong>nsidad δ t, para la cual queremos <strong>de</strong>terminar sus<br />
parámetros <strong>de</strong> triaxialidad, es elegido mediante un factor f<br />
con 0 )(x l − < x l >)], (9)<br />
i=1<br />
que involucra el uso <strong>de</strong> los nodos <strong>de</strong> la red y el código <strong>de</strong> interpolación <strong>de</strong> N s =<br />
14 y don<strong>de</strong> k, l = 1, 2, 3, x 1i, x 2i y x 3i son las coor<strong>de</strong>nadas cartesianas <strong>de</strong>l i-ésimo<br />
punto. Para una f dada, la suma corre sobre todos los nodos <strong>de</strong> la red con δ ≤ δ t.<br />
Los eigenvalores <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> inercia a 2 3 > a 2 2 > a 2 1, son entonces relacionados a los<br />
eigenvalores <strong>de</strong>l Hessiano como<br />
λ 1 = 1/a 2 1, λ 2 = 1/a 2 2 yλ 3 = 1/a 2 3. (10)<br />
4. Para asegurarnos <strong>de</strong> la validéz <strong>de</strong> la aproximación cuadrática, el cálculo <strong>de</strong>l Hessiano<br />
<strong>de</strong>be ser hecho muy cerca <strong>de</strong> la posición <strong>de</strong>l pico real. Por lo tanto, uno <strong>de</strong> los<br />
requerimientos <strong>de</strong>l método <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> inercia es llevar a cabo un primer proceso<br />
<strong>de</strong> interpolación para calcular el máximo real. Después <strong>de</strong> esto, la matriz Hessiana<br />
interpolando la <strong>de</strong>nsidad en puntos separados a distancias d = R/3, R/2, R <strong>de</strong>l centro<br />
<strong>de</strong>l pico. Estas tres distancias fueron utilizadas para probar la estabilidad y constancia<br />
<strong>de</strong> la forma <strong>de</strong> los picos <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad.<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
14 Alejandro González S.<br />
4. Resultados<br />
4.1 Análisis Estadístico<br />
Figura 2. Morfología <strong>de</strong> las fluctuaciones en función <strong>de</strong> su tamao para n = 1. El isocontorno<br />
<strong>de</strong> probabilidad 0.5 contiene 50 % <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> picos. Los valores medios <strong>de</strong> los parámetros<br />
<strong>de</strong> triaxialidad son < ɛ >= 0,174 y < p >= 2,3 × 10 −2 .<br />
La Figura 2 muestra la distribución <strong>de</strong> los parámetros <strong>de</strong> triaxialidad como función<br />
<strong>de</strong> la altura umbral representada por ν. Se confirma que las fluctuaciones mas gran<strong>de</strong>s,<br />
ν > 3,5, tien<strong>de</strong>n a ser más esféricas que las fluctuaciones más pequeas, tal como lo<br />
<strong>de</strong>terminaron BBKS. La mayor dispersión en la morfología <strong>de</strong> los picos en el plano<br />
ɛ − p, proviene <strong>de</strong> los picos con ν < 1,5σ. A<strong>de</strong>más, la distribución <strong>de</strong> los parámetros<br />
<strong>de</strong> triaxialidad para los picos con 1,5 < ν < 3, –don<strong>de</strong> el número <strong>de</strong> fluctuaciones es<br />
mayor–, está más concentrada hacia la esfericidad y al menos un 50 % <strong>de</strong> ellos caen<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l contorno <strong>de</strong> isoprobabilidad. Si analizamos la forma <strong>de</strong> estos contornos<br />
notaremos que la mayor parte <strong>de</strong>l área acotada por ellos está <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la región <strong>de</strong><br />
los esferoi<strong>de</strong>s oblatos, indicando una ten<strong>de</strong>ncia a estas morfologías. Para checar si<br />
esto es correcto, calculamos la razón Γ entre el número <strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s oblatos N o al<br />
<strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s prolatos N p , ambos obtenidos numericamente. Cualquier ten<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong>be<br />
ser reflejada por Γ. En la segunda y tercer colúmna <strong>de</strong> la Tabla 1 mostramos esta<br />
razón para diferentes índices espectrales y en función <strong>de</strong>l tamao <strong>de</strong> las fluctuaciones.<br />
Es fácilmente visible que no hay ninguna ten<strong>de</strong>ncia morfológica. Más aún, cuando solo<br />
consi<strong>de</strong>ramos los picos más altos, tampoco se observó ninguna morfología preferencial,<br />
aun cuando constituyen una población pequea.<br />
El histograma <strong>de</strong> la Figura 3, <strong>de</strong>spliega la distribución <strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s oblatos y<br />
prolatos. Debido a estos resultados, nuestra primer conclusión es que la forma intrinseca<br />
<strong>de</strong> las fluctuaciones primordiales <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad es triaxial. Una inspeción <strong>de</strong><br />
la Figura 3 también confirma que los resultados son in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l índice es-<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
Morfología <strong>de</strong> las Perturbaciones <strong>de</strong> Densidad 15<br />
Cuadro 1. Cociente <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> objetos oblatos a prolatos en función <strong>de</strong>l índice espectral<br />
n y la altura <strong>de</strong> los picos. Se indica el método utilizado<br />
pectral. Sin embargo, la distribución <strong>de</strong> elipticidad y prolaticidad exhibe una débil<br />
ten<strong>de</strong>ncia hacia las morfologías oblatas. Los valores medios < ɛ >= 0,18 ± 0,02 y<br />
< p >= (0,13 ± 0,003) × 10 −3 incluyen a todos los mo<strong>de</strong>los. Estos valores y la distribuciń<br />
<strong>de</strong> puntos en el plano ɛ − p <strong>de</strong>sacuerdan tanto con las predicciones analíticas <strong>de</strong><br />
BBKS, como con el análisis numérico <strong>de</strong> PH. Así, para comparar nuestros resultados<br />
con el <strong>de</strong> estos autores es necesario calcular la morfologá recurriendo al Hessiano,<br />
como se <strong>de</strong>scribio en la sección 3. Una vez que el Hessiano es diagonalizado tomamos<br />
el cociente <strong>de</strong> sus ejes <strong>de</strong>finidos por la Ec. (10)<br />
( λ 3<br />
) 1/2 = a 1 short − axes<br />
= = s, (11)<br />
λ 1 a 3 long − axes<br />
( λ 3<br />
) 1/2 = a 2 middle − axes<br />
= = m. (12)<br />
λ 2 a 3 long − axes<br />
La Figura 4 es un ejemplo <strong>de</strong> la distribución <strong>de</strong> estos cocientes en el plano s − m.<br />
Un simple juicio<br />
o en términos <strong>de</strong>l cociente <strong>de</strong> los ejes<br />
que nos da la ecuación <strong>de</strong> la curva<br />
λ 1 − 2λ 2 + λ 3 = 0, (13)<br />
1<br />
s 2 − 2 + 1 = 0, (14)<br />
m2 s =<br />
m<br />
√<br />
2 − m<br />
2 . (15)<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
16 Alejandro González S.<br />
Figura 3. Distribución <strong>de</strong> formas oblatas y prolatas <strong>de</strong> la Tabla 1. La distribución en línea<br />
punteada correspon<strong>de</strong> a los eigenvalores generados al azar.<br />
Cuando esta función es incluida en el diagrama s−m <strong>de</strong> la Figura 4, se observa que<br />
los resultados <strong>de</strong> Ph son tambin consistentes con que no se <strong>de</strong>tecta ningúna ten<strong>de</strong>ncia<br />
morfológica, i.e. las perturbaciones son intrinsecamente triaxiales como lo muestran<br />
tanto el número <strong>de</strong> elipsoi<strong>de</strong>s oblatos y prolatos <strong>de</strong> la Figura 5, así como la cuarta<br />
columna <strong>de</strong> la Tabla I. Regresando a los resultados <strong>de</strong> BBKS, uno quisera enten<strong>de</strong>r<br />
por qué existiría un sesgo natural hacia las formas oblatas <br />
4.2 Generación Estocástica <strong>de</strong> λ i<br />
El campo primordial <strong>de</strong> fluctuaciones es un campo Gaussiano estocástico ([25, 24]),<br />
i.e. es un campo generado por la superposición <strong>de</strong> una gran número <strong>de</strong> modos <strong>de</strong> Fourier<br />
con fases al azar en un intervalo 0−2π. Bien, observando lo que es una fluctuación<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> la matriz Hessiana, ésta es el resultado <strong>de</strong> la curvatura<br />
<strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad sobre sus ejes principales. Los eigenvalores <strong>de</strong>l Hessiano, por<br />
lo tanto <strong>de</strong>ben ser también números generados al azar; el valor <strong>de</strong> uno no afecta el<br />
valor <strong>de</strong> los otros dos. Bajo esta suposición, no resulta claro por qué o <strong>de</strong> dón<strong>de</strong> <strong>de</strong>ba<br />
surgir una ten<strong>de</strong>ncia hacia las formas oblatas. Es también bajo esta suposición que<br />
hemos generado números al azar para generar tripletes, incluso sin prestar atención a<br />
si reúnen los requerimeintos <strong>de</strong> un campo cosmológico <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad. Son tripletes <strong>de</strong><br />
números generados al azar. Con este procedimiento tenemos el objetivo <strong>de</strong> tratar <strong>de</strong><br />
reproducir nuestra distribución <strong>de</strong> triaxialidad como un proceso estocástico. Si suce<strong>de</strong><br />
tal cosa, sería indicativo <strong>de</strong> que la ten<strong>de</strong>ncia reportada por BBKS resulta más bién<br />
<strong>de</strong> las varias simplificaciones analíticas hechas, que escon<strong>de</strong>n la distribución real <strong>de</strong><br />
triaxialidad.<br />
Llamaremos a nuestros tripletes, eigenvalores, tales que 0 < λ i ≤ 1. Una vez<br />
que los or<strong>de</strong>namos en forma creciente, <strong>de</strong>terminamos los parámetros <strong>de</strong> triaxialidad<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
Morfología <strong>de</strong> las Perturbaciones <strong>de</strong> Densidad 17<br />
Figura 4. Distribución <strong>de</strong> picos <strong>de</strong> acuerdo al cociente <strong>de</strong> sus ejes s y m, como fueron presentados<br />
por PH. Se observa una ten<strong>de</strong>ncia artificial a las formas prolatas.<br />
a través <strong>de</strong> la Ec. (5). Los resultados son <strong>de</strong>splegados en la distribución <strong>de</strong> la Figura<br />
3 (línea punteada), en don<strong>de</strong> no se observa diferencias substanciales con las distribuciónes<br />
obtenidas con el Hessiano ni con el tensor <strong>de</strong> inercia. Incluso po<strong>de</strong>mos proveer<br />
una medida <strong>de</strong> que tan iguales son estas distribuciones recurriendo a los momentos;<br />
la media < p >, la <strong>de</strong>sviación estándard σ, el sesgo s y la curtosis k. Tales momentos<br />
caracterízan la asimetría observada <strong>de</strong> la distribución <strong>de</strong> triaxialidad. Nosotros obtuvimos:<br />
< p >= 1,324 × 10 −2 , σ = 0,1189,s = 0,9091 y k = 0,9364. Mientras que<br />
para la distribución <strong>de</strong>terminada por la generación azarosa <strong>de</strong> tripletes, obtenemos<br />
< p > 8,53 × 10 −3 , σ = 0,1194, s = 0,9251 y k = 0,9635. Y por tanto estas dos<br />
distribuciones son generadas por el mismo proceso estocástico.<br />
5. Conclusiones<br />
Para todos los índices espectrales, confirmamos que los picos <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad más altos<br />
tien<strong>de</strong>n a ser mas esf’ericos. Cundo se consi<strong>de</strong>ra la muestra completa <strong>de</strong> perturbaciones,<br />
se <strong>de</strong>tecta una morfología intrinsecamente triaxial. Este resultado resuelve una<br />
controversia concerniete a sesgo natural inicial hacia la prolaticidad por PH, o hacia<br />
la oblaticidad. Nuestros resultados son in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l índice espectral. Más aun,<br />
las <strong>de</strong>terminaciones <strong>de</strong> las formas intrinsecas <strong>de</strong> galaxias elípticas <strong>de</strong> [6, 7], que fueron<br />
consistentes con una población <strong>de</strong> objetos triaxiales, sugiere que la distribución <strong>de</strong><br />
morfologías sobrevive a la evolución no lineal <strong>de</strong>l campo.<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
18 Alejandro González S.<br />
Figura 5. (a) Distribución <strong>de</strong> triaxialidad <strong>de</strong> los picos en el plano s − m, como fueron presentados<br />
por PH. Se observa una ten<strong>de</strong>ncia artificial a las formas prolatas. En la Figura (b) se<br />
incluye la función s = s(m) que divi<strong>de</strong> correctamente ambas regiones. Se comprueba que no<br />
hay tal sesgo morfológico natural<br />
Referencias<br />
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Morfología <strong>de</strong> las Perturbaciones <strong>de</strong> Densidad 19<br />
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Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 9–19
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico<br />
Fernando Velasco Luna *<br />
Laboratorio <strong>de</strong> Investigación y Asesoría Estadística, LINAE<br />
Facultad <strong>de</strong> Estadística e Informática<br />
<strong>Universidad</strong> Veracruzana<br />
Av. Xalapa Esq. Manuel Avila Camacho s/n.<br />
C.P. 91020. Xalapa Veracruz, México.<br />
La Mo<strong>de</strong>lación Lineal Jerárquica es una técnica <strong>de</strong> regresión la cual toma en cuenta la<br />
estructura jerárquica <strong>de</strong> los datos. Existe gran diversidad <strong>de</strong> situaciones en las cuales<br />
es necesario hacer uso <strong>de</strong> los mo<strong>de</strong>los jerárquicos <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong>l objetivo <strong>de</strong>l estudio<br />
y <strong>de</strong> la naturaleza <strong>de</strong> los datos. En este trabajo se presentan los mo<strong>de</strong>los lineales<br />
jerarquicos <strong>de</strong> mayor aplicación así como el mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico.<br />
Hierarchical mo<strong>de</strong>ling is a regression technique that takes into account the hierarchical<br />
structure of the data. There exist a diversity of situations where there is the need of<br />
the use of hierarchical mo<strong>de</strong>ls, <strong>de</strong>pending on the objectives of the study and the nature<br />
of the data. In this work some the most used hierarchical linear mo<strong>de</strong>ls are presented<br />
as well as the general hierarchical linear mo<strong>de</strong>l.<br />
Palabras clave: Datos con Estructura Jerárquica, Mo<strong>de</strong>los Lineales Jerárquicos, Componentes<br />
<strong>de</strong> la Varianza.<br />
Keywords: Structure Hierarchical, Hierarchical Linear Mo<strong>de</strong>ls, Variance Components.<br />
1. Introducción<br />
Los mo<strong>de</strong>los lineales jerárquicos son una clase general <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los que permiten<br />
la mo<strong>de</strong>lación en una gran variedad <strong>de</strong> situaciones en las cuales se tienen datos que<br />
presentan una estructura jerárquica. Estos mo<strong>de</strong>los tienen una gran variedad <strong>de</strong> aplicaciones<br />
en diversas áreas, tales como: investigación educativa, biología, investigación<br />
social, psicología, medicina, entre otras. Los mo<strong>de</strong>los lineales jerárquicos tienen una<br />
gran historia, pero han recibido especial atención en los últimos años y sus áreas <strong>de</strong><br />
aplicación se han multiplicado consi<strong>de</strong>rablemente [13, 14, 5, 6, 17]. Recientes <strong>de</strong>sarrollos<br />
en computo han hecho que se incremente la atención en el uso <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los<br />
lineales jerárquicos en el análisis <strong>de</strong> datos con estructura jerárquica. En la actualidad<br />
existe software estadístico el cual permite analizar datos con estructura jerárquica <strong>de</strong><br />
acuerdo al mo<strong>de</strong>lo apropiado, MLwiN, [16], S-PLUS [15], SAS [12, 20]. Una revisión<br />
exhaustiva sobre el tema pue<strong>de</strong> encontrarse en [10]. Los mo<strong>de</strong>los lineales jerárquicos<br />
son también conocidos en la literatura bajo una gran variedad <strong>de</strong> nombres, tales<br />
como mo<strong>de</strong>los multinivel [4, 6], mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> coeficientes aleatorios [14], mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong><br />
componentes <strong>de</strong> la varianza y covarianza [18], o como mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> efectos mixtos [11].<br />
* fvelasco@uv.mx<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 2 (Diciembre 2006) p 20–28
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico 21<br />
2. Datos con estructura jerárquica<br />
Los datos con estructura jerárquica surgen en varias situaciones. Por ejemplo:<br />
investigaciones educativas frecuentemente están relacionadas con problemas <strong>de</strong> investigación<br />
<strong>de</strong> relaciones existentes entre alumnos y el grupo <strong>de</strong> clase en el que éstos<br />
se <strong>de</strong>senvuelven. El concepto general es que el alumno interactúa con el grupo al<br />
cual éste pertenece, generalmente los alumnos y los grupos <strong>de</strong> clase son <strong>de</strong>finidos en<br />
niveles separados <strong>de</strong> esta estructura jerárquica; es <strong>de</strong>cir, se tienen J grupos con n j<br />
unida<strong>de</strong>s en el j-ésimo grupo, j = 1, ..., J. A cada grupo se le <strong>de</strong>nomina unidad <strong>de</strong><br />
nivel 2; así se tienen J unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2, y a cada unidad <strong>de</strong> las n j unida<strong>de</strong>s en<br />
cada grupo se les <strong>de</strong>nomina unidad <strong>de</strong> nivel 1; con lo que se tienen n j unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
nivel 1 en la j-ésima unidad <strong>de</strong> nivel 2. El número n j <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 1 no tiene<br />
que ser necesariamente igual en cada unidad <strong>de</strong> nivel 2. En general en un sistema con<br />
estructura jerárquica se pue<strong>de</strong>n presentar varios niveles. Los datos con estructura<br />
jeráquica ocurren <strong>de</strong> manera natural en medicina [3, 19], educación [7, 8], estudios <strong>de</strong><br />
datos longitudinales [22, 1], en psicología [2, 9], entre otros campos.<br />
3. Algunos mo<strong>de</strong>los lineales jerárquicos<br />
Para analizar datos con estructura jerárquica se tiene que emplear técnicas estadísticas<br />
que tomen en cuenta dicha estructura. En esta situación, es razonable postular<br />
un mo<strong>de</strong>lo que consi<strong>de</strong>re una posible diferencia entre las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2, es<br />
<strong>de</strong>cir, plantear un mo<strong>de</strong>lo tal que, para cada unidad en el nivel 2, se tengan diferentes<br />
coeficientes. Bajo esta situación el mo<strong>de</strong>lo lineal jerárquico permite simultáneamente<br />
hacer un estudio en los niveles <strong>de</strong> la estructura jerárquica, tomando en cuenta variables<br />
para las unida<strong>de</strong>s en cada uno <strong>de</strong> los niveles. En los mo<strong>de</strong>los lineales jerárquicos<br />
cada uno <strong>de</strong> los niveles <strong>de</strong> la estructura jerárquica es representado formalmente con su<br />
propio submo<strong>de</strong>lo. Un tratamiento y abundantes referencias acerca <strong>de</strong> estos mo<strong>de</strong>los<br />
se pue<strong>de</strong> encontrar en [5, 6, 13, 14, 10, 21].<br />
A continuación se <strong>de</strong>scriben algunos mo<strong>de</strong>los lineales jerárquicos<br />
3.1 Mo<strong>de</strong>lo con intercepto aleatorio<br />
El caso más simple <strong>de</strong> un mo<strong>de</strong>lo lineal jerárquico es el <strong>de</strong>nominado intercepto<br />
aleatorio, el cual no contiene ni variables explicatorias en el nivel 1, ni variables<br />
explicatorias en el nivel 2. En este mo<strong>de</strong>lo solamente se tiene variabilidad entre las<br />
unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2 y <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2. Este mo<strong>de</strong>lo pue<strong>de</strong> ser<br />
expresado como un mo<strong>de</strong>lo don<strong>de</strong> la variable respuesta, y ij , es la suma <strong>de</strong> una media<br />
general dada por β 00 , un efecto aleatorio a nivel 2 dado por u 0j , y un efecto aleatorio a<br />
nivel 1 dado por e ij . El mo<strong>de</strong>lo para la i-ésima unidad <strong>de</strong> nivel 1, la cual se encuentra<br />
en la j-ésima unidad <strong>de</strong> nivel 2, tiene la forma<br />
y ij = β 00 + u 0j + e ij ,<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e ,<br />
E (u 0j ) = 0, Var (u 0j ) = σ 2 u0. (1)<br />
Los parámetros en el mo<strong>de</strong>lo (1) son tres: El coeficiente β 00 y las varianzas σ 2 e<br />
y<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 20–28
22 Fernando Velasco Luna<br />
σ 2 u0, las cuales se <strong>de</strong>nominan componentes <strong>de</strong> la varianza. En el mo<strong>de</strong>lo intercepto<br />
aleatorio la varianza <strong>de</strong> la variable respuesta es <strong>de</strong>scompuesta como la suma <strong>de</strong> las<br />
varianzas a nivel 1, σ 2 e , y a nivel 2, σ 2 u0,<br />
Var (y ij ) = σ 2 e + σ 2 u0. (2)<br />
El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 1 tienen la forma:<br />
y ij = β 0j + e ij , (3)<br />
y el mo<strong>de</strong>lo para el nivel 2 tiene la forma:<br />
β 0j = β 00 + u 0j . (4)<br />
3.2 Mo<strong>de</strong>lo con intercepto aleatorio con varias explicatorias a nivel 1<br />
En el mo<strong>de</strong>lo intercepto aleatorio el valor esperado <strong>de</strong> la variable respuesta pue<strong>de</strong><br />
ser explicado en términos <strong>de</strong> variables explicatorias a nivel 1. Así la siguiente etapa<br />
es la inclusión <strong>de</strong> variables explicatorias en el nivel 1, esto con el objetivo <strong>de</strong> tratar<br />
<strong>de</strong> explicar el comportamiento <strong>de</strong> la variable respuesta. Con una variable explicatoria<br />
en el nivel 1 el mo<strong>de</strong>lo intercepto aleatorio tiene la forma:<br />
y ij = β 00 + β 1 x ij + u 0j + e ij ,<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e ,<br />
E (u 0j ) = 0, Var (u 0j ) = σ 2 u0. (5)<br />
El mo<strong>de</strong>lo (5) se <strong>de</strong>nomina mo<strong>de</strong>lo intercepto aleatorio con una variable explicatoria<br />
a nivel 1. Los parámetros en el mo<strong>de</strong>lo (5) son cuatro: Los coeficientes <strong>de</strong> regresión<br />
β 00 y β 1 , y los componentes <strong>de</strong> la varianza σ 2 e y σ 2 u0.<br />
En el mo<strong>de</strong>lo intercepto aleatorio con una variable explicatoria a nivel 1 la varianza<br />
<strong>de</strong> la variable respuesta es <strong>de</strong>scompuesta como la suma <strong>de</strong> las varianzas a nivel 1 σ 2 e ,<br />
y a nivel 2, σ 2 u0, <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
Var (y ij ) = σe 2 + σu0. 2 (6)<br />
El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 1 tienen la forma:<br />
y ij = β 0j + β 1 x ij + e ij , (7)<br />
y el mo<strong>de</strong>lo para el nivel 2 tiene la forma:<br />
β 0j = β 00 + u 0j . (8)<br />
Al igual que en el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> regresión múltiple, más <strong>de</strong> una variable explicatoria a<br />
nivel 1 pue<strong>de</strong> ser usada en el mo<strong>de</strong>lo intercepto aleatorio. La generalización <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo<br />
(5) para incluir más variables explicatorias a nivel 1; es <strong>de</strong>cir, el mo<strong>de</strong>lo intercepto<br />
aleatorio con m variables explicatorias a nivel 1 tiene la forma:<br />
y ij = β 00 + β 1 x 1ij + β 2 x 1ij + · · · + β m x mij + u 0j + e ij ,<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e ,<br />
E (u 0j ) = 0, Var (u 0j ) = σ 2 u0. (9)<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 20–28
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico 23<br />
El mo<strong>de</strong>lo (9) se <strong>de</strong>nomina mo<strong>de</strong>lo intercepto aleatorio con m variables explicatorias<br />
a nivel 1. Los parámetros <strong>de</strong> este mo<strong>de</strong>lo son m + 3; los m + 1 coeficientes <strong>de</strong><br />
regresión β 00 ,β 1 ,β 2 ,...,β m y los componentes <strong>de</strong> la varianza σ 2 e y σ 2 u0.<br />
El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 1 tiene la forma:<br />
y ij = β 0j + β 1 x 1ij + β 2 x 2ij + · · · + β m x mij + e ij , (10)<br />
y el mo<strong>de</strong>lo para el nivel 2 tiene la forma:<br />
β 0j = β 00 + u 0j . (11)<br />
3.3 Mo<strong>de</strong>lo con pendientes aleatorias<br />
En el mo<strong>de</strong>lo lineal jerárquico intercepto aleatorio con una o más variables explicatorias<br />
a nivel 1, sólo el intercepto se supone aleatorio, mientras que los <strong>de</strong>más<br />
coeficientes <strong>de</strong> regresión se suponen fijos para todas las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2. En ocasiones<br />
la relación entre las variables explicatorias y la variable respuesta pue<strong>de</strong> ser<br />
diferente en las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2. Lo anterior da surgimiento al mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes<br />
aleatorias. En este mo<strong>de</strong>lo los coeficientes <strong>de</strong> algunas o <strong>de</strong> todas las variables<br />
explicatorias están variando entre las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2, es <strong>de</strong>cir, la relación existente<br />
entre cada una <strong>de</strong> las variables explicatorias y la variable respuesta no es la<br />
misma en todas las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2. Para el caso <strong>de</strong> una variable explicatoria a<br />
nivel 1 lo anterior se expresa en el siguiente mo<strong>de</strong>lo:<br />
y ij = β 00 + β 10 x 1ij + u 0j + u 1j x 1ij + e ij ,<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e ,<br />
E (u 0j ) = 0, Var (u 0j ) = σ 2 u0,<br />
E (u 1j ) = 0, Var (u 1j ) = σ 2 u1,<br />
Cov (u 0j , u 1j ) = 0, Cov (u kj , e ij ) = 0, k = 0, 1. (12)<br />
el cual se <strong>de</strong>nomina mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con una variable explicatoria a<br />
nivel 1.<br />
Los parámetros <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con una variable explicatoria<br />
a nivel 1 son seis: los coeficientes <strong>de</strong> regresión β 00 y β 10 , y los componentes <strong>de</strong> la<br />
varianza σ 2 e , σ 2 u0, σ 2 u1 y σ u01 .<br />
En el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con una variable explicatoria a nivel 1 la<br />
varianza <strong>de</strong> la variable respuesta se <strong>de</strong>scompone <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />
Var (y ij ) = σ 2 u0 + σ 2 u1x 2 ij + 2σ u01x ij + σ 2 e . (13)<br />
De la ecuación (13) se tiene que en el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con una<br />
variable explicatoria nivel 1 la varianza <strong>de</strong> la variable respuesta <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la variable<br />
explicatoria a nivel 1, x ij .<br />
El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 1 tiene la forma:<br />
y ij = β 0j + β 1j x ij + e ij , (14)<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 20–28
24 Fernando Velasco Luna<br />
y el mo<strong>de</strong>lo para el nivel 2 tiene la forma:<br />
β 0j = β 00 + u 0j , β 1j = β 10 + u 1j , (15)<br />
Aquí se observa que los coeficientes β 0j y β 1j son aleatorios, es <strong>de</strong>cir cambian <strong>de</strong><br />
unidad <strong>de</strong> nivel 2 a unidad <strong>de</strong> nivel 2.<br />
El mo<strong>de</strong>lo con pendientes aleatorias con m varias variables explicatorias a nivel 1<br />
tiene la forma:<br />
m∑<br />
m∑<br />
y ij = β 00 + β k0 x kij + u 0j + u kj x kij + e ij ,<br />
k=1<br />
k=1<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e , E (u kj ) = 0, Var (u kj ) = σ 2 uk,<br />
Cov (u kj, u lj ) = σ ukl , Cov (u kj , e ij ) = 0, k, l = 0, ..., m. (16)<br />
el cual se <strong>de</strong>nomina mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con m variables explicatorias a<br />
nivel 1.<br />
Los parámetros <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con m variables explicatorias<br />
a nivel 1 son (m+2)(m+3)<br />
2<br />
; los m + 1 coeficientes <strong>de</strong> regresión β 00 ,β 10 ,β 20 ,...,β m0 y los<br />
(m+2)(m+1)<br />
2<br />
+1 componentes <strong>de</strong> la varianza σe 2 , σuk 2 , y σ ukl, k, l = 0, ..., m.<br />
En el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con m variables explicatorias a nivel 1 la<br />
varianza <strong>de</strong> la variable respuesta se <strong>de</strong>scompone <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />
don<strong>de</strong> x 0ij = 0.<br />
Var (y ij ) =<br />
m∑<br />
σukx 2 2 kij + 2<br />
k=0<br />
m∑<br />
σ ukl x kij x lij + σe 2 . (17)<br />
De la ecuación (17) se tiene que en el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> pendientes aleatorias con m<br />
variables explicatorias a nivel 1 la varianza <strong>de</strong> la variable respuesta <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> las m<br />
variables explicatorias a nivel 1, x 1ij , x 2ij , ..., x mij .<br />
k,l=0<br />
3.4 Mo<strong>de</strong>lo jerárquico con variables explicatorias a nivel 1 y a nivel 2<br />
Se han tratado hasta el momento mo<strong>de</strong>los jerárquicos en los cuales se registraron<br />
mediciones sobre una variable respuesta y y sobre una o más variables explicatorias a<br />
nivel 1, x 1 , x 2 , ..., x m . A<strong>de</strong>más se pue<strong>de</strong> medir otro conjunto <strong>de</strong> variables, w 1 ,w 2 ,...,w q<br />
para cada una <strong>de</strong> las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> nivel 2, las cuales se <strong>de</strong>nominan variables explicatorias<br />
a nivel 2. Lo anterior da surgimiento al mo<strong>de</strong>lo jerárquico con variables<br />
explicatorias a nivel 1 y a nivel 2.<br />
Por facilidad <strong>de</strong> comprensión se comenzara con los mo<strong>de</strong>los para cada uno <strong>de</strong> los<br />
niveles <strong>de</strong> la jerárquia.<br />
Mo<strong>de</strong>lo en el nivel 1: El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 1, con una variable explicatoria a<br />
nivel 1, x 1ij , tiene la forma:<br />
y ij = β 0j + β 1j x 1ij + e ij ,<br />
i = 1, 2, ..., n j ; j = 1, 2, ..., J,<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e , (18)<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 20–28
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico 25<br />
Mo<strong>de</strong>lo en el nivel 2: El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 2, con una variable explicatoria a<br />
nivel 2, w 1j , tiene la forma:<br />
β 0j = β 00 + β 01 w 1j + u 0j ,<br />
β 1j = β 10 + β 11 w 1j + u 1j ,<br />
E (u 0j ) = 0, Var (u 0j ) = σ 2 u0,<br />
E (u 1j ) = 0, Var (u 1j ) = σ 2 u1,<br />
Cov (u 0j , u 1j ) = 0. (19)<br />
El mo<strong>de</strong>lo combinado para la j-ésima unidad <strong>de</strong> nivel 2, <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo nivel 1 con una<br />
variable explicatoria a nivel 1; y <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo nivel 2 con una variable explicatoria a<br />
nivel 2, tiene la forma:<br />
y ij = (β 00 + β 01 w 1j + u 0j ) + (β 10 x 1ij + β 11 w 1j x 1ij + u 1j x 1ij ) + e ij , (20)<br />
reor<strong>de</strong>nando términos se obtiene el mo<strong>de</strong>lo<br />
y ij = β 00 + β 10 x 1ij + β 01 w 1ij + β 11 w 1j x 1ij + u 0j + u 1j x 1ij + e ij . (21)<br />
La generalización <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo (21) para incluir más variables explicatorias a nivel<br />
1 y a nivel 2 se presenta a continuación:<br />
Mo<strong>de</strong>lo en el nivel 1: El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 1, con m variables explicatorias a<br />
nivel 1 x 1j , x 2j ,...,x mj tiene la forma<br />
y ij = β 0j + β 1j x 1ij + β 2j x 2j + · · · + β mj x mij + e ij ,<br />
i = 1, 2, ..., n j ; j = 1, 2, ..., J,<br />
E (e ij ) = 0, Var (e ij ) = σ 2 e . (22)<br />
Mo<strong>de</strong>lo en el nivel 2: El mo<strong>de</strong>lo para el nivel 2, con q variables explicatorias a nivel<br />
2 w 1j , w 2j , ..., w qj , tiene la forma:<br />
β 0j = β 00 + β 01 w 1j + β 02 w 2j + · · · + β 0q w qj + u 0j<br />
β 1j = β 10 + β 11 w 1j + β 12 w 2j + · · · + β 1q w qj + u 1j<br />
.<br />
β mj = β m0 + β m1 w 1j + β m2 w 2j + · · · + β mq w qj + u mj . (23)<br />
El mo<strong>de</strong>lo combinado para la j-ésima unidad <strong>de</strong> nivel 2, <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo nivel 1 con m<br />
variables explicatorias a nivel 1; y <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo nivel 2 con q variables explicatorias a<br />
nivel 2, tiene la forma:<br />
y ij = β 00 + β 01 w 1j + β 02 w 2j + · · · + β 0q w qj + u 0j +<br />
+β 10 x 1ij + β 11 w 1j x 1ij + · · · + β 1q w qj x 1ij + u 1j x 1ij<br />
+ · · · + β m0 x mij + · · · + β mq w qj x mij + u mj x mij + e ij , (24)<br />
reor<strong>de</strong>nando términos se obtiene el mo<strong>de</strong>lo<br />
y ij = β 00 + β 10 x 1j + · · · + β m0 x mij +<br />
+β 01 w 1j + β 11 w 1j x 1ij + · · · + β m1 w 1j x mij +<br />
+ · · · + β 0q w qj + β 1q w qj x 1ij · · · + β mq w qj x mij +<br />
+u 0j + u 1j x 1ij + · · · + u mj x mij + e ij . (25)<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 20–28
26 Fernando Velasco Luna<br />
4. Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico<br />
Existen muchas variantes <strong>de</strong> los mo<strong>de</strong>los anteriores, ya sea teniendo algunas variables<br />
explicatorias a nivel 1, con coeficientes fijos y otras con coeficientes aleatorios, o<br />
más aún añadiendo más niveles a la estructura jerárquica. Todos estos mo<strong>de</strong>los son<br />
casos especiales <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico el cual se presenta a continuación.<br />
Definiendo<br />
⎡<br />
Y j = ⎢<br />
⎣<br />
y 1j<br />
y 2j<br />
.<br />
y njj<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎤<br />
1 x 11j x 21j · · · x m1j<br />
⎥<br />
⎦ ; X 1 x 12j x 22j · · · x m2j<br />
j = ⎢<br />
⎣<br />
.<br />
. . . ..<br />
⎥<br />
. ⎦ ;<br />
1 x 1njj x 2njj · · · x mnjj<br />
⎡<br />
e j = ⎢<br />
⎣<br />
e 1j<br />
e 2j<br />
.<br />
e njj<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ ; β j = ⎢<br />
⎣<br />
β 0j<br />
β 1j<br />
.<br />
β mj<br />
En forma matricial el mo<strong>de</strong>lo nivel 1 (22) toma la forma<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Y j = X j β j + e j ; j = 1, ..., J, (26)<br />
don<strong>de</strong> Y j es el vector respuesta n j x1, X j es la matriz <strong>de</strong> variables explicatorias a nivel<br />
1 <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n n j x(m + 1), β j es el vector <strong>de</strong> parámetros <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n (m + 1)x1 y e j es un<br />
vector <strong>de</strong> errores aleatorios n j x1. Se supone E (e j ) = 0, Var (e j ) = σ 2 e I nj . Definiendo<br />
⎡<br />
⎤<br />
1 w 1j w 2j · · · w qj · · · 0 0 0 · · · 0<br />
0 0 0 · · · 0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
W j = ⎢<br />
⎣<br />
.<br />
. . . .. . . .. . . . . ..<br />
⎥<br />
. ⎦<br />
0 0 0 · · · 0 · · · 1 w 1j w 2j · · · w qj<br />
y<br />
β = [β 00 , β 01 , ..., β 0q , β 10 , β 11 , ..., β 1q , ..., β m0 , β m1 , ..., β mq ] T ;<br />
u j = [u 0j , u 1j , ..., u mj ] T<br />
En forma matricial el mo<strong>de</strong>lo nivel 2 (23) tiene la forma<br />
β j = W j β + u j ; j = 1, ..., J, (27)<br />
don<strong>de</strong> W j es la matriz <strong>de</strong> variables explicatorias a nivel 2, <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n (m + 1)x (q + 1) (m + 1),<br />
β es el vector (q + 1) (m + 1)x1 <strong>de</strong> coeficientes fijos, y u j es el vector <strong>de</strong> errores aleatorios<br />
nivel 2 <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n (m + 1)x1. Supongase E (u j ) = 0 y<br />
⎡<br />
Var (u j ) = Ω = ⎢<br />
⎣<br />
σuo 2 σ u01 · · · σ u0m<br />
σ u01 σu1 2 · · · σ u1m<br />
.<br />
. . .. .<br />
σ u0m σ u1m · · · σum<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ,<br />
Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(2)Diciembre 2006 p 20–28
Mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico 27<br />
En forma matricial el mo<strong>de</strong>lo combinado para la j-ésima unidad <strong>de</strong> nivel 2 tiene<br />
la forma<br />
Y j = X j W j β + X j u j + e j ; j = 1, ..., J,<br />
E (Y j ) = X j W j β, V j = Var (Y j ) = X j ΩX T j + σ 2 e I nj . (28)<br />
Definiendo<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
Y 1<br />
Y 2<br />
Y = ⎢<br />
⎣<br />
⎥<br />
. ⎦ ; u = ⎢<br />
⎣<br />
Y J<br />
u 1<br />
u 2<br />
.<br />
.<br />
u J<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ;<br />
⎡<br />
e = ⎢<br />
⎣<br />
e 1<br />
e 2<br />
.<br />
e J<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ ; X = diag(X j); W = ⎢<br />
⎣<br />
W 1<br />
W 2<br />
.<br />
W J<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
don<strong>de</strong> diag(A j ) representa los términos diagonales por matriz bloque, con A j en el<br />
j-ésimo bloque <strong>de</strong> la diagonal. Del mo<strong>de</strong>lo (28) se tiene<br />
Y = XWβ + Xu + e, (29)<br />
el cual se <strong>de</strong>nomina mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico. La matriz <strong>de</strong> varianzas y covarianzas<br />
tiene la forma<br />
V = Var(Y) = Xdiag(Ω)X T + diag(σ 2 e I nj ) (30)<br />
Definiendo<br />
Var (e) = R = diag(σ 2 e I nj ) y Var (u) = G = diag(Ω) (31)<br />
la matriz <strong>de</strong> varianzas y covarianzas para el mo<strong>de</strong>lo lineal general jerárquico (29)<br />
tiene la forma<br />
V = Var (Y) = XGX T + R. (32)<br />
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<strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong><br />
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La Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT es una publicación semestral, <strong>de</strong>dicada a la difusión <strong>de</strong> las<br />
ciencias básicas. Se dirige a profesores y estudiantes universitarios, y en general a todos los interesados<br />
en las ciencias. Su propósito es ofrecer un espacio que permita informar sobre las investigaciones en el<br />
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