el caso de no alcanzar la temperatura necesaria, resulta re ...

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el caso de no alcanzar la temperatura necesaria, resulta reproducido
el cuarzo: tal es el método de Hautefeuille y
Margottet que hace tiempo he ensayado, modificándolo con
el fin de evitar pérdidas del cloruro de litio, que ya desde
la temperatura de 560°, correspondiente á su punto de fusión,
emite abundantes vapores, y pude notar en los experimentos
llevados á cabo que la transformación de la sílice no
es completa y queda de continuo un residuo que no cristaliza,
aun prolongando mucho las acciones del calor rojo vivo.
XVII.—Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana.
POR JOSÉ A. PÉREZ DEL PULGAR, S. J.
rPRXIVCER-A- HVCEIVCOIRIA.
Bases fundamentales de la Geometría angular de la radiación
de primer orden.
INTRODUCCIÓN
Uno de los obstáculos, quizá el único, que se oponen á la
difusión y desarrollo de las geometrías-noeuclidianas, á pesar
de la autoridad indiscutible de algunos de los matemáticos
que las han cultivado, es la extrañeza paradójica y á
veces casi ridicula de las consecuencias que de ellas se han
sacado. Esta es la causa por que muchos geómetras, sin atreverse
á declararlas falsas, porque á ello parece oponerse el
teorema de Lobatchefsky, rehusan entrar en su terreno, repugnancia
que tiene algo de instintivo, pero que es por otra
parte muy racional. Cuando nos habla la geometría ríemaniana
de rectas cuya longitud total es finita y la lobatchefskiana
de rectas que, teniendo un punto común y formando un

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ángulo nulo, no coinciden, lo primero que se ocurre á cualquiera
es que esas propiedades pueden convenir con la definición
adoptada de línea recta; pero, indudablemente, dicha
definición no contiene todos los elementos necesarios para
caracterizar lo que todos entendemos por línea recta. Esto
nos conduce á una discusión filosófica interminable sobre la
naturaleza metafísica de la línea recta, que ha hecho resucitar
todas las antiguas polémicas sobre la constitución del espacio,
y en que (dado que sean de alguna utilidad), no es
posible entrar á los matemáticos de profesión.
En estas memorias me propongo demostrar que la geometría
noeuclidiana puede ser estudiada sin incurrir en dichas
paradojas, repugnantes á nuestro modo de concebir los elementos
geométricos, y que, sea lo que fuere del problema
filosófico de la constitución del espacio, puede establecerse
una métrica tan racional y tan práctica como la de Euclides,
sin necesidad de apoyarse en la teoría vulgar de las paralelas.
§ 1.°
BASES GEOMÉTRICAS DEL PROBLEMA.
1. Admiteremos que:
a) Dos puntos cualesquiera del espacio determinan la
posición de una línea, á que daremos el nombre de recta.
b) Un punto y una recta determinan la posición de una
superficie, á que llamaremos plano.
c) Dos planos cualesquiera del espacio determinan la posición
de una recta.
De estas tres proposiciones, se deducen las siguientes:
Un plano queda determinado
por dos rectas con un punto común
ó por tres puntos.
Un punto queda determinado
por dos rectas con un plano común
ó por tres planos.
Un plano y una recta cualesquiera determinan la posición
de un punto.

— 342 —
2. Según estas proposiciones, únicas en que vamos á
apoyar toda nuestra teoría geométrica, convenimos con la
geometría riemaniana en que ignoramos por completo la
existencia de los elementos llamados del infinito, y no consideraremos
más que elementos propiamente tales; pero nos
separamos de elia en que no negamos la existencia de los
elementos del infinito, con tal de que ellos satisfagan á las
proposiciones a) ó) c), exactamente como los propios. La
geometría riemaniana se apoya en las proposiciones del número
1.° y además en la negación de los elementos límites
del infinito. Nosotros prescindiremos de esta negación y nos
apoyaremos exclusivamente en dichas proposiciones. Es decir,
prescindiremos de la teoría euclidiana del paralelismo,
sin negarla, ni siquiera prejuzgarla por ahora. Nuestra geometría
no será, pues, euclidiana, porque no nos apoyaremos
para nada en la existencia de las paralelas ni, en general, de
los elementos del infinito, que no distinguiremos en nada de
los elementos propiamente tales; pero tampoco será riemaniana
ni lobatchejskiana 1 , porque no negaremos positivamente
dicha existencia. Por lo demás, establecemos esta
proposición más bien como el enunciado de una tesis, que
quedará demostrada por el desarrollo mismo de las teorías
que como consecuencia inmediata de los principios establecidos
en el primer número.
3. Las definiciones a) b) c) nos permiten establecer las
de multivértice y multilátero planos, multivértice y poliedro
completos en el espacio (que no se diferencian en nada de
los de la geometría vulgar), así como todos los teoremas sujetos
á la ley de correlación que en ellas se funda.
1 Aunque esto es cierto, y por ello he designado esta Geometría
con el nombre de Geometría angular para evitar confusiones, lejos
de negar el mérito de las Geometrías de Riemann y de Lobatchefsky,
y sobre todo de la de Cayley, he tomado de ellas la mayor parte de
los procedimientos, en especial en cuanto á su mecanismo algébrico,
como será fácil reconocerlo al lector.

- 343 —
4. — Si dos triángulos ABC,
A'B'C', no situados en un plano,
están de tal manera relacionados
que cada dos lados homólogos
AC— A'C',BC-B'C',AB—A'B'
cortan á la recta r de intersección
de sus planos en unos mismos
puntos E,F,G, son homoíógicos;
es decir, que los tres pares de
vértices homólogos están en rectas
A A', BB', CC' concurrentes.
Pues los tres pares de lados homólogos
determinan tres planos
(por tener de dos en dos un punto
común), AEA',BFB',BGB',
que forman un triedro O A'B' C',
cuyo vértice O es el centro de
homología.
Si dos triedros de distintos vértices,
O^ABC, O' 2 A'B'C', están
de tal manera relacionados que
cada dos aristas homologas
O¡A — O 2 A', Ojß — O 2 ß',
O¡ C — O 2 C' determinan con la
recta O i O 2 de unión de sus vértices
unos mismos planos, son
homoíógicos; es decir, que los
tres pares de caras homologas se
cortan según rectas de un plano.
Pues los tres pares de aristas
homólogas determinan tres puntos,
vértices de un triángulo,
sección común de los dos triedros,
y cuyo plano es el plano
central de homología.
Los recíprocos son también ciertos y se demuestran lo
mismo.
5. De estos dos teoremas se deducen los dos siguientes:
Dos triedros VA B C, VA'B'C' del mismo vértice y
cuyas
caras homólogas se cortan en
rectas de un plano P, son homológicos;
es decir, que sus pares
de aristas homologas están en
tres planos que pasan por una
misma recta.
En efecto, por una recta / del
plano P tracemos dos planos-, T.'
que corten á los triedros respectivamente
en triángulos ABC,
A'B'C'.— Estos dos triángulos
serán homoíógicos, por tener sus
lados dispuestos de manera que
se cortan de dos en dos en unos
mismos puntos de la recta R, luego
sus pares de vértices AA',
BB', CC' homólogos están sobre
rectas que concurren en un punts
V, y por tanto, los planos dearistas
homólogas están en planos
que pasan por una misma
recta R, son homoíógicos; es decir,
que sus caras homólogas se
cortan en rectas de un plano.
En efecto, en cada uno de los
planos determinados por los pares
de aristas homologas y por
un mismo punto P de su intersección,
tracemos una recta que cortará
á las aristas de los dos triedros
en puntos AA', BB', CC'
respectivamente. Los triángulos
ABC, A'B'C' son homoíógicos
por tener sus vértices sobre
rectas que concurren en un punto;
luego sus pares de lados homólogos
se cortan en puntos de una
misma recta (la intersección de

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terminados por cada par de aristas
homólogas de los dos triedros
pasan por la recta V V.
sus planos), y por consiguiente,
en rectas del plano determinado
por esta recta y el vértice V se
cortan los pares de caras homologas
de los dos triedros.
6. Dos tetraedros radiados completos AB CD, A'B' C'D'
de distinto vértice, que tengan cinco pares de aristas homologas
AB—A'B',A C—A' C', A D—A' D', B C—ff C
y BD—B'D', de tal manera dispuestas que se corten dos
á dos, son homológicos y, por tanto, las otras dos aristas
homologas también se cortarán.
En efecto; aquellos cinco pares de aristas forman dos pares
de triedros ABC—A'B' C', ABD — A'B'D' homológicos
respecto de un plano central de homología K que
es el determinado por las rectas AA' y BB'; luego las rectas
C D y C' D' se cortan en un punto de dicho plano.
Si dos tetraaristas radiados
completos del mismo vértice tienen
cinco pares de caras homólogas
que se cortan en rectas de
un mismo plano, son homológicos,
y por tanto, las otras dos
caras se cortan en una recta del
mismo plano.
Si dos tetraedros completos
del mismo vértice tienen cinco
pares de aristas homologas sobre
planos que concurren en una misma
recta, son homológicos, y por
tanto, las otras dos aristas están
en un plano que pasa por la
misma recta.
De estos teoremas, que sólo hemos recordado para que
el lector pueda convencerse por sí mismo de que se apoyan
directa y exclusivamente sobre los postulados del número
1, se deduce, como en la geometría vulgar, la definición
y propiedades de los haces armónicos de rectas y de
planos. (Véase la obra del Sr. Torroja, Geometría de la posición,
pág. 94 y siguientes.)
7. Llamaremos haces proyectivos dos de rectas, dos de
planos ó uno de rectas y otro de planos que se corresponden
elemento á elemento, de modo que, á cuatro de ellos
que constituyen una forma harmónica en uno de ellos, co-

— 345 —
rresponden cuatro del otro, que forman también un haz harmónico.
Si dos haces proyectivos de la misma base tienen tres elementos
dobles, los tienen todos; y si no son de la misma
base y tienen uno doble, son perspectivas.
Las nociones de eje proyectivo y plano cenital proyectivo
se deducen fácilmente de la última proposición.
8. Lo dicho nos permite establecer toda la teoría de los
conos de segundo orden y clase, como en el cap. XI de la
obra citada, sin otra diferencia que, en nuestro caso, no es
posible hacer extensión de la teoría al caso en que el vértice
de la radiación esté en el infinito. Esta es la condición necesaria
y suficiente para que toda la teoría de la radiación
riemaniana sea idéntica á la euclidiana, á saber: que el vértice
de la radiación sea un punto propio, pues es claro que
todos los demás elementos de ella habrán de serlo también.
9. Recordaremos, en particular, las propiedades siguientes
de que vamos á hacer uso:
Todo cono ó haz radiado de rectas de segundo orden determina
en cada una de las rectas de la radiación una involución
de planos conjugados, cuyos elementos dobles son los
tangentes que por dicha recta pueden trazarse al cono, y,
sobre cada plano, una involución de rectas conjugadas, cuyos
elementos dobles son los que dicho plano tiene comunes
con la superficie del cono.
10. Si designamos con el nombre de elemento imaginario
una involución de rectas ó planos, sin rayos dobles, tomada
en uno de los dos sentidos, positivo ó negativo, es claro que
todo plano de la radiación contiene dos generatrices del cono,
reales, confundidas ó imaginarias conjugadas, y toda recta,
dos planos tangentes, reales, confundidos ó imaginarios conjugados.
11. En virtud de las propiedades (8), los elementos bisectores
de los dobles de una .involución son conjugados y
además rectangulares puesto que dividen al haz en cuatro

— 346 -,
ángulos que pueden hacerse coincidir. Por consiguiente, el
conjunto de las rectas y planos perpendiculares de una radiación,
constituyen una radiación polar, cuya directriz es
un cono de segundo orden imaginario, puesto que todas las
involuciones rectangulares tienen sus rayos dobles imaginarios.
Consideremos dos rectas, A, B, de una radiación y dos
planos T T' que pasen por cada una de ellas. La recta TT'
es la polar del plano A B con respecto á todas las superficies
cónicas de segundo orden que pasan por A y B y tienen
á ios planos TT' por tangentes en ellas. Uno cualquiera de
estos conos diremos que está inscrito en todos los demás,
siendo el plano AB, plano central de inscripción y la recta
T T' eje de inscripción.
Si definimos el cono de revolución como aquel cuyas generatrices
todas equidistan de una recta, que llamaremos eje
del cono, observaremos las siguientes propiedades: Todos
los planos que pasan por el eje contienen involuciones de
rectas polares conjugadas con respecto á la superficie cónica
de revolución, y cuyos elementos rectangulares son los bisectores
de los ángulos formados por los rayos dobles: cada
dos rayos dobles y los bisectores de los ángulos que ellos
forman constituyen un haz armónico.
El ha/ de planos que pasan por el eje y el de rectas contenido
en su plano polar, considerados como involuciones de
elementos polares conjugados con respecto á la superficie
cónica de revolución, son,rectangulares. Designando, pues,
con el nombre de cono absoluto, ó simplemente absoluto de
una radiación el cono director de la radiación polar constituida
por el conjunto de todos los planos y rectas perpendiculares
que pasan por su vértice, todo cono de revolución
tiene con el absoluto dos generatrices comunes, los rayos
dobles de la involución de rectas contenidas en el plano polar
del eje, á que llamaremos plano central del cono de revolución;
y dos planos tangentes comunes, los dobles de la

- 347 —
involución que pasa por el eje. Y por estar las generatrices
comunes en el plano polar de la recta intersección de los
planos tangentes comunes, toda superficie cónica de revolución
está inscrita en el absoluto de la radiación del mismo
vértice que ella. Recíprocamente: el absoluto de una radiación
es la superficie cónica en que se hallan inscritas todas
las superficies cónicas de revolución del mismo vértice.
No difiriendo, por lo demás, esta teoría de la euclidiana
en nada absolutamente, hemos preferido citar, sólo para memoria,
estos enunciados, en que vamos á fundarlas demostraciones
ulteriores, remitiéndonos paia lo demás á la obra,
ya citada, del Sr. Torroja.
§2.°
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LOS ELEMENTOS GEOMÉTRI-
COS EN LA RADIACIÓN
12. El elemento métrico de que vamos á hacer uso exclusivo
es el ángulo, razón por la cual designamos á la métrica
y analítica que en él se funda con el nombre de geometría
angular, á diferencia de la geometría usual, que, por reducir
todas sus medidas á medidas de longitud ó lineales,
podría designarse con el nombre de lineal. Si en un haz de
primer orden escogemos un elemento origen, todo número n
representará un rayo dado por su distancia angular al elemento
origen y referida á un ángulo tomado arbitrariamente
por unidad. Designemos por O, O' los dos semirrayos del
rayo origen y por R, R' los de un rayo cualquiera, dado
por su distancia angular R O = n. A partir de un cierto valor,
que designaremos por -, el semirrayo R comienza á tomar
las posiciones que ocupó el R' durante la primera semirrevolución.
A partir de 2r, hasta 3ir, el rayo RR' vuelve á tomar
las mismas posiciones que en su primera semirrevolución.
También podríamos haber designado por - el valor de
una revolución entera. En el primer caso, representando por «

- 348 —
un ángulo menor que - y por m un nùmero entero, todos los
rayos representados por 2m^-\-y., coinciden invertidos con
los representados por (2m +1) Tt-fa. En realidad, pues,
basta el ángulo « para determinar la posición de un rayo.
Pero conviene tener presente que dos números que se diferencian
en -x representan el mismo rayo invertido. Por el contrario,
en el segundo sistema, dos números que se diferencian
en - representan el mismo semirrayo. Mientras no advirtamos
lo contrario expresamente, adoptamos la primera
convención, de suerte que — representa un ángulo recto referido
á una unidad cualquiera. En cuanto á los signos, representan
los sentidos en que son contados los ángulos. Por lo
que hace al signo y—1 de imaginarismo, puede, en esta
geometría, representar, exactamente como en la geometría
vulgar, ó bien los elementos dobles de involuciones que carecen
de ellos, ó bien puede ser el signo de rectangularidad.
En este segundo sentido, y teniendo en cuenta que los ángulos
diedros tienen la misma medida que los planos correspondientes
(como es fácil deducir de las proposiciones del
párrafo primero), si sobre un plano, á partir de un origen,
representamos por números reales los ángulos planos, un
número imaginario a\—1 representa un ángulo plano perpendicular
al plano dicho, ó también la medida de un ángulo
diedro á partir del mismo plano. Nosotros daremos á los
números imaginarios la misma representación.
Según estas convenciones, todo número menor que T:, positivo,
negativo ó imaginario, representa un rayo de un haz,
dado por su distancia angular, plana ó diédrica, contada con
respecto á una unidad previamente adoptada, y á partir de
un elemento origen. Llamaremos abscisa de un rayo á una
función x de su distancia angular al elemento origen y tal
que, á un sólo valor de x corresponde uno de la distancia
angular y viceversa, dejando por ahora la función x sin otra
determinación.

— 349 —
13. Toda ecuación de grado m representa un conjunto ó
haz de m rayos. Dos haces quedan relacionados elemento á
elemento cuando se conoce la relación/(x, y) = 0, que liga
á las abscisas de cada par de elementos correspondientes. Si
los dos haces son de distinta base, cada par de elementos
correspondientes x 1 jt determina la posición de otro elemento
de distinta especie, de quien x 1 y 1 son las coordenadas.
Dadas por sus abscisas Xiy lt x 2 j> 2 , X 3 y 3 , tres elementos
correspondientes de dos haces, hemos visto en el párrafo primero
que queda geométricamente determinada una homografia,
pudiéndose determinar (geométricamente también)
la posición de otro par de rayos correspondientes cualesquiera
xy. Sujetemos, pues, las funciones x y de las distancias
angulares de dos rayos correspondientes, á la condición
de que las abscisas de los cuatro rayos de un haz harmónico
satisfagan siempre á la relación
Xi — x s _ xi — x s _ yi—j> 2 _ ^4 —j>2 _
• . — — | • ___ — j j j
x t — x 3 x i ~x a " y 1 — y, y í — y 3
ó sus equivalentes. Para convencerse de la posibilidad de
esta condición, basta asignar á tres rayos cualesquiera A ,B,C
tres números cualesquiera Xj x 2 x s ; al conjugado armónico
de B con respecto á A,C, el valor que nos dé [1] para
x 4 y le llamaremos D. Al conjugado armónico de C con
respecto á BD, el valor que nos dé una relación de la forma
[1], sustituyendo !as abscisas de BCD y despejando la
cuarta, y así sucesivamente. Es fácil ver que jamás repetiremos
ni los números ni los rayos; todos los valores de las
abscisas dependerán de los tres primeros valores arbitrarios.
Al primer miembro de [1] llamaremos razón doble de los
cuatro elementos, representados por sus abscisas. Si éstos no
forman un haz armónico
Xj X¡ X 4 X 2
— ^^ /..
Xi Xo XA Xa

- 350 —
Si fijamos tres elementos x lt x 2 ,x s arbitrariamente, á cada
valor de x. t corresponde uno y uno sólo de /..En este caso X
puede ser la abscisa del mismo elemento representado por x 4 .
Los tres elementos fijados arbitrariamente se llamarán elementos
de referencia. Sabemos que las coordenadas X cumcumplen
también con la condición [1], cuando se trata de
cuatro rayos de un haz harmónico.
Además, los cuatro valores de x 4 correspondientes también
cumplen con la condición [1]. Por consiguiente, dos haces
X, Y, cuyos rayos tienen relacionadas sus abscisas de
suerte que las razones dobles de cuatro cualesquiera de los
elementos de uno de ellos sean iguales á las de los cuatro
correspondientes del otro, son proyectivos, en el sentido
geométrico de esta palabra (núm. 7). En efecto, á un rayo
de uno de ellos corresponde uno y sólo uno en el otro, y á
un haz harmónico corresponde otro. Igualando, pues, las razones
dobles de cuatro elementos, los 1res de referencia y
uno variable x,y, verificando operaciones y llamando A, B,
C, D cuatro funciones de las constantes jc t x 2 x a , y t y s y 3 la
condición para que los haces X Y sean proyectivos, es que,
entre las abscisas x y de sus rayos correspondientes exista
una relación bilineal de la forma
Axy + Bx+Cy + D=0. [2]
A esta condición hay que añadir que AD ^ B C para
que haya correspondencia unívoca.
14.—Si X é F son dos haces de j
planos (dados por sus aristas)
proyectivos, en el caso particular
en que eí plano XY común sea
también doble, los dos haces son
perspectives y, por consiguiente,
proyectivos; es decir, que las
abscisas de cada par de rayos
correspondientes deben estar ligadas
por la relación [2], la cua!
Sean U, V dos haces de rectas
planos (dados por sus planos)
proyectivos; en el caso particular
en que la recta U V común
sea también doble, los dos haces
son perspectives y, por consiguiente,
proyectivos; es decir,
que las abscisas de cada par de
rayos correspondientes deben
estar ligadas por una relación de

debe quedar satisfecha para las
soluciones x — m, y — n, siendo
m, n las abscisas del plano doble
X Y. Y recíprocamente una ecuación
bilineal que tiene la solución
x—m, y = n representa un haz
de rectas perspectivo de los dos
de planos, cuyo plano común y
doble tiene las abscisas m, n. Es
decir, que la ecuación [2] representa
un plano, puesto que cada
solución nos da un rayo de un
haz plano de rectas como intersección
de dos planos correspondientes
de los haces X Y perspectives.
Podemos, pues, hacer que un
plano venga dado por una ecuación
de primer grado con sólo
convenir en dar al plano XFlas
abscisas x = co, -y = oo; y si se
verifica esta condición, toda ecuación
de la forma
Ax + By + C = Q [3]
représenta un piano.
- 351 -
la forma [2], la cual debe quedar
satisfecha para los valores u—s,
v=t, siendo s, í las abscisas de
la recta doble uv. Recíprocamente,
una ecuación bilineal que
tiene la solución u = s, v = í representa
un haz de planos perspectivo
de los dos de rectas, cuya
recta común y doble tiene las
abscisas s,t. Es decir, que la
ecuación [2] representa una recta,
puesto que cada solución nos
da un rayo de un haz de planos
como el determinado por dos rectas
correspondientes de los haces
u, v perspectives.
Podemos, pues, hacer que una
recta venga dada por una ecuación
de primer grado con sólo
suponer que las abscisas de la
recta son u =00, i>= oo; y si se
verifica esta condición, toda ecuación
de ¡a forma
au + bv + c = 0 [4]
representa una recta.
Luego una misma ecuación de la forma
ux 4~ vy + wz = O [5]
en coordenadas homogéneas, nos representará un plano ó
una recta, según que tomemos por variables las cantidades
—, —. ó las —, —. A las primeras llamaremos coordenaz
z w w
das de rectas, á las segundas coordenadas de planos ó tarn,
bien tangenciales.
15. Tratemos de hallar ahora las relaciones que enlazan
á las coordenadas de un elemento, referidas á dos haces de
referencia, con las coordenadas del mismo referidas á otros
dos haces, ó sea tratemos de resolver el problema de la
transformación de coordenadas.
REY, ACAD. ClEHCIAS.—V.— Diciembre , 1006. 24

— 352 -
Para esto, observemos que las coordenadas (no homogéneas)
x y de una recta deben ser una función de las nuevas
coordenadas x'y' de la misma recta, tal que, á cada sistema
de valores de estas coordenadas corresponda para aquéllas
un solo sistema de valores, y, portanto, se deben tener
las siguientes relaciones:
x = J(*iLL
•l(x',y')'
v ^ _%('>ZÌ.
7
¿(JOT
pero la ecuación A x -\ By-\ C — O, que representa un
plano, se transforma en
Af(x, y') + %(*', /) + C-if(x, y') = O,
que, por representar el mismo plano en el segundo sistema,
hade ser de primer grado, lo cual exige que las funciones
f( x i'y')> ï( x i y') y ^f( x 'y')> sean lineales; por consiguiente,
las relaciones pedidas son:
x =, ^^hA^ili. y ^ a*- x ' + 6^' + c -' fgi
a*x' + b a y' + c a ' a s x' + 6 3 / + c s
y en coordenadas homogéneas,
x
a i x ' -T b^y + c^z
y
a.,x' -f b,>y' -f- c t z'
_^
z
a. á x + b s y' + c s z' '
[7]
Del mismo modo encontramos para las fórmulas de transformación
en coordenadas tangenciales homogéneas

— 353 —
U
m,w' -f- K]_v -\- PiW'
m -¡u
r
í fi¡v' -\-p-2w'
=
W
ms« 4-flgV' + p : ,w'
. [81
Estas fórmulas encierran todos los casos posibles y contienen
nueve parámetros que, como veremos más adelante,
pueden reducirse á tres en el caso general de una rotación
cualquiera de toda la radiación alrededor de su vértice, mediante
las condiciones que estableceremos entre los elementos
de referencia.
El triedro, que en el segundo sistema x'y' z' tiene por
caras los planos dados por las ecuaciones
íi t jc -f b rf 4 CiZ -O, a.,x -f- b.,y -f c 2 z — O,
CI..X f b s y ¡ c :j z — O,-
recibirá en adelante el nombre de triedro de referencia del
primer sistema. Lo mismo hay que decir en coordenadas
tangenciales. Más adelante determinaremos las propiedades
de estos triedros de referencia.
Una ecuación homogénea de grado m, con tres variables,
representa una superficie cónica, dada como lugar de rectas
ó como envolvente de planos. Según el número anterior, el
grado de la ecuación de una superficie cónica es el mismo,
cualquiera que sea el sistema de haces de referencia á que se
refieren las coordenadas de sus elementos.
16. Lo dicho nos pone en condiciones de resolver todos
los problemas de la radiación en que no intervienen más
que rectas y planos. Como nuestro objeto no es dar un desarrollo
completo á la geometría de la radiación, trabajo hecho
ya con toda la perfección deseable por el Sr. Vegas en
el primer tomo de su excelente obra que acaba de publi-

354 —
carse l , sino exclusivamente mostrar que esta geometría
puede establecerse con absoluta independencia de la teoría
euclidiana de las paralelas, sólo vamos á resolver un problema
que nos ha de servir para las demostraciones que se
siguen, remitiendo, para lo demás, á dicha obra.
La ecuación del plano que pasa
por las rectas x í y 1 z it x 2 y z z 2 es
X
*t
*2
y
y¡
y*.
z
z¡ ~
Z 2
De aquí se sigue que las coordenadas
tangenciales de dicho
plano son
u = y^z 2 — y 2 z t
V= X,Z. —XiZ, 21 -M ^2
w = x t y 2 — x t y,
La ecuación de la recta intersección
de los planos u í v¡w l ,
u 2 v 2 w¡ es
u v w
«1 "l Wl = 0 [9]
U 2 V 2 W 2
De aqui se sigue que las coordenadas
de lineas de dicha intersección
son
x = v, w 2 — v, iv,
y = tí» w,— UjiVj [10]
z = u, v 2 — ü 2 v,
Las ecuaciones [9] dan también la condición para que tres
rectas estén en un mismo plano ó tres planos pasen por una
misma recta.
Siendo u,v,,« 2 v 2 lascoordena-
das no homogéneas de dos pla-
nos, las coordenadas también no-
homogéneas de otro plano que
pasa por la recta común á los dos
primeros son
17.—Siendox^y^x^lascoordenadas
no homogéneas de dos
rectas, las coordenadas de una
tercera recta contenida en el píano
determinado por dichas dos
rectas puede expresarse por
*i—**a „ _ yi—i-Vs
X *~ !_! >>*- i_i
u,—i,u a y,—). v 2
"3- —.-,", - Í—l
[11]
puesto que, substituidas en vez
de xy en
^3 y¡ 1
x t y, 1
*2 yi i
= 0
puesto que substituidas en
U V 1
«1 V, 1
í/, V,_ 1
= 0
Tratado de Geometría Analítica, Madrid, 1906.

- 355 —
Que son idénticos á los [9] para el caso de coordenadas
no homogéneas, quedan satisfechas.
De las [11] resulta:
De las [II] resulta:
_*a - x, )== y 3 -y,
u, — u,
/. —
*3 —* 2 ' ' j; 3 - y 3 u, — í/,
" 3 - Vi.
V, — V,
Por consiguiente, como para cada valor de X corresponde
un elemento en [11 ], dos valores iguales y de signo contrario
de este parámetro determinan la posición de dos elementos
separados harmónicamente por los x ! y ít x 2 y¡, según
la condición [1] (núm. 13).
Todas las demás propiedades de las coordenadas y de las
razones dobles, así como los problemas sujetos á la ley de
de correlación, se resuelven de un modo exactamente igual
al que se emplea para resolver los problemas de puntos y
rectas en la geometría plana euclidiana. (Véase el cap. V,
1.1 de la obra del Sr. Vegas.)
18. Una ecuación de segundo grado en coordenadas no
homogéneas, x, y
F(xy)^Ax ì + By' ì +C+2Hxy-\-2Gx-\-2Fy-=Q [12]
representa un haz de rectas de segundo orden, es decir, un
cono de segundo orden dado por sus generatrices. Un plano
P=0 tiene con él dos generatrices comunes, que son las soluciones
del sistema
\P = 0
ip = 0.
Sean los elementos (x 1 y ¿ ) (x, y 2 ): un rayo cualquiera de
su plano viene dado por las relaciones [11]. Si este rayo ha
de pertenecer al cono [12] poniendo en esta última ecuación
x s y 8 , en vez de x y, debe convertirse en una identidad.

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Haciéndolo y verificando operaciones, la [12] se convierte
en una ecuación de segundo grado en X, cuyo segundo tértérmino
tiene por coeficiente
- x,(2Ax 2 + 2Hy t + 2G) - y,(2Hx z 2By, + 2F)-
-(2Gjc í + 2/=> s + 2C).
Cada una de las dos raíces de X, nos da una de las dos
generatrices comunes al plano determinado por las rectas
( x i Vi) (*2 y) V a l cono [12]. Pero según el núm. 17, si estas
dos generatrices han de formar con los rayos (x 1 y J (x 2 y 2 )
un haz harmónico, las dos raíces de la ecuación de segundo
grado en X han de ser iguales y de signo contrario, lo que
exige que el coeficienie del término de primer grado en X sea
nulo, y, por consiguiente, que las coordenadas (x t y¡) (x 2 j> 2 )
anulen el polinomio anterior. Esta condición, en la hipótesis
de que la [12] esté escrita en coordenadas homogéneas, puede
escribirse
x 1 F' a ,+y 1 F' ft + 2 1 F' 3l = Oi. [13]
Si x 2 y' 4 2g son constantes, x l y í z^ coordenadas generales,
la [13] representa el lugar geométrico de todas las rectas
conjugadas armónicas de la x 2 y 2 z 2 con respecto á la superfìcie
cónica [\ 2] y por ser de primer grado demuestra que
este lugar es un plano, el polar de la recta x 2 j> 2 z.,, como ya
sabíamos.
De una manera correlativa podemos demostrar que el lugar
de todos los planos conjugados del « 3 v 2 w¡, con respecto
á la superficie cónica de segunda clase, dada por el haz
(A )(«viv) 2 =0 [14]
En la notación de Cayley, la [12] puede escribirse:
(a X**)» = Qi Y la [13] (a.....)(x 1 y l r 1 + x 2 y 3 z a ) = 0.

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es el haz de planos cuya arista viene dada por la ecuación
(A )(« 2 v 2 w 2 )(uvw) = 0. [15]
Las ecuaciones [13] y [15] demuestran que
Todo plano de la radiación contiene
una involución de rectas polares
conjugadas con respecto á
una cierta superficie cónica, y cuyos
rayos dobles, reales ó imaginarios,
son generatrices del cono.
Toda recta de una radiación
contiene una involución de planos
polares conjugados con respecto
á una cierta superficie cónica, y
cuyos rayos dobles, reales ó imaginarios,
son tangentes al cono.
El conjunto de todas las rectas y de todos los planos polares
conjugados con respecto á un mismo cono de segundo
orden es un sistema polar radiado, cuya directriz es dicha
superficie cónica.
19. Dada la ecuación de una
superficie cónica de segundo orden
en coordenadas de rectas,
hallar su ecuación en tangenciales.
Dada la ecuación de una superficie
cónica de segunda clase en
coordenadas tangenciales, hallar
su ecuación en coordenadas de
rectas.
Para resolver, por ejemplo, el de la izquierda, basta hallar
como en geometría plana euclidiana,
de donde
(AB )(«vjv) 2 = o u v w
uà hg
v h b f
w g f c
A=bc-f* „ B=ca—g* „ C=flô-/z 2 „ F=gh — af
G=hf-bg „ H=fg-ch
A=o6c - af 2 —bg* — ch* — 2fgh. [16]

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En el caso correlativo hubiéramos encontrado otro valor
A' correlativo del A.
Si A=0, la superficie se reduce á dos planos : Si A' = O,
la superficie se reduce á dos rectas.
20. Fácil sería seguir reconstituyendo la teoría de los conos
de segundo orden y clase calcándolas de la geometría
plana euclidiana.
No es este el objeto de nuestro trabajo, y contentándonos
con las ligeras indicaciones hechas, pasamos, desde luego, á
determinar qué clase de funciones de la distancia angular son
las coordenadas x,y, z, u, v, w, que hemos adoptado. Esto
nos conducirá á una teoría enteramente correlativa de la
cayleyana, y mediante ella podremos hacer extensivo el estudio
analítico de la radiación á todos los problemas no sujetos
á la ley de correlación.
Por ahora haremos notar solamente que si dos conos cuyas
ecuaciones sean t/=0, V== O tienen los mismos planos
tangentes en dos generatrices comunes á ambos, uno de
ellos, v. gr., el V=0, puede representarse por la ecuación
í/+/iP*=0 .[17]
siendo P=0 la ecuación del plano determinado por dichas
dos generatrices. La [17] nos da para cada valor de X un
cono inscrito en el representado por U=0. El plano cuya
ecuación es P=Q es el plano central de inscripción (número
11), y la intersección de los dos planos tangentes comu-
P= O
nes á todos los conos [17] en las generatrices
£7=0' sera
el eje de inscripción.
(Continuará.)