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<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>campos</strong><br />
<strong>electromagnéticos</strong><br />
www.fisicaeingenieria.es<br />
En este documento encontrará gran variedad <strong>de</strong> ejercicios <strong>de</strong> electromagnetismo totalmente <strong>resueltos</strong><br />
paso a paso, sin omitir ningún cálculo.
www.fisicaeingenieria.es<br />
Problema 1.- Calcular la fuerza <strong>de</strong> atracción entre un ión cloruro y un ión sodio a una<br />
distancia <strong>de</strong> 2·10 -8 cm el un <strong>de</strong>l otro, si se encuentran<br />
a) En el vacío b) En la auga (εr = 81)<br />
La representación <strong>de</strong>l problema que tenemos es la siguiente:<br />
Como es un problema bidimensional, po<strong>de</strong>mos prescindir <strong>de</strong>l carácter vectorial <strong>de</strong> la fuerza,<br />
ya que, esta, está situada sobre a linea que une las dos cargas, sendo su valor:<br />
Sustituyendo los valores que nos da el problema obtenemos el siguiente valor para la fuerza:<br />
Don<strong>de</strong> tuvimos en cuenta que la carga <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> estos iones es la carga <strong>de</strong>l<br />
electrón, ya que, son iones con una sola carga y la distancia a la que se encuentran las<br />
cargas la tenemos que expresar en metros.<br />
Como las cargas son <strong>de</strong> signo contrario, tendremos que la fuerza que aparece sobre ellas es<br />
<strong>de</strong><br />
atracción, por lo que la representación <strong>de</strong> la fuerza que sufren las cargas será:<br />
A fuerza que sufre el ion cloro es la misma que sufre el ión sodio, pero <strong>de</strong> signo<br />
contrario.<br />
La segunda parte <strong>de</strong>l problema consiste en hallar la misma fuerza, pero en el caso <strong>de</strong> que<br />
las dos cargas se encuentren inmersas en auga, en este caso, tendremos en cuenta que la<br />
fuerza que sufren dichas cargas es la misma que en el vacío partido por la permitividad<br />
relativa <strong>de</strong>l medio en el que se encuentren las cargas, es <strong>de</strong>cir:<br />
Con que quedaría el problema totalmente resuelto, en este último caso, la fuerza<br />
también sería <strong>de</strong> atracción, ya que el carácter atractivo o repulsivo <strong>de</strong> la fuerza no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>l medio en el que estén inmersas las cargas, si no que solo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l signo positivo o<br />
negativo <strong>de</strong> las mismas.
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Problema 2.- Dos partículas α (He++), están separadas 10 -14 m. Calcular la fuerza<br />
electrostática con la que se repelen, la fuerza gravitatoria con la que se atraen y comparar<br />
ambas entre sí.<br />
(datos m= 6,68·10-27 kg ; qe = - 1,6·10-19 C) (Fe = 9,32 N ; Fg = 4,76 · 10-34 N)<br />
La situación que tenemos en este problema es la misma que en el caso anterior, solo<br />
que, tenemos que calcular la fuerza electrostática y la fuerza gravitatoria para compararlas.<br />
Debido a que solo tenemos dos cargas, po<strong>de</strong>mos asumir que el problema es un problema<br />
adimensional, polo que, calcularemos solamente el módulo <strong>de</strong> la fuerza electrostática.<br />
La situación que tenemos en este problema es la siguiente:<br />
El valor <strong>de</strong> la fuerza electrostática será:<br />
Don<strong>de</strong> tuvimos en cuenta que la carga <strong>de</strong> una partícula alfa es el doble que la carga<br />
<strong>de</strong>l electrón, ya que, el enunciado nos dice que se trata <strong>de</strong> partículas (He++)<br />
Por otro lado, a fuerza gravitatoria vendrá dada por:<br />
Don<strong>de</strong> tuvimos en cuenta que las partículas alfa están formadas por dos electrones y<br />
dos neutrones, por lo que, la masa será cuatro veces la <strong>de</strong>l neutrón.<br />
Como se pue<strong>de</strong> comprobar, la fuerza electrostática tiene una magnitud muy superior a<br />
la gravitatoria, <strong>de</strong> lo que po<strong>de</strong>mos afirmar que en el ámbito molecular se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>spreciar la<br />
fuerza gravitatoria frente a la electrostática.<br />
Problema 3. En cada uno <strong>de</strong> los vértices <strong>de</strong> un cuadrado <strong>de</strong> 1 m <strong>de</strong> lado, tenemos una<br />
carga puntual <strong>de</strong> 2 nC. Calcular la fuerza eléctrica que sufre la partícula situada en el vértice<br />
inferior izquierdo. Haz una representación vectorial <strong>de</strong> dicha fuerza.<br />
El esquema que tenemos <strong>de</strong>l problema es el siguiente:
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Tenemos que calcular la fuerza que sufre la partícula situada en el vértice inferior izquierdo,<br />
para ello, calculamos la fuerza que ejerce cada una <strong>de</strong> las cargas por separado sobre la<br />
carga <strong>de</strong> la que nos están preguntando, en virtud <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> superposición:<br />
Numerando las cargas que ejercen fuerza:<br />
A fuerza que ejerce a partícula 1 vendrá dada por:<br />
El valor <strong>de</strong> esta fuerza será:<br />
O en función <strong>de</strong> los vectores unitarios:<br />
Hacemos lo mismo para a carga 2:<br />
En función <strong>de</strong> los vectores unitarios:
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Hacemos el mismo con la carga 3<br />
En función <strong>de</strong> los vectores unitarios:<br />
La fuerza total que sufre la carga situada en la origen será igual a la suma vectorial <strong>de</strong><br />
las fuerzas que ejerce cada una <strong>de</strong> las cargas por separado, esto es:<br />
Po<strong>de</strong>mos representar gráficamente la situación con la que nos encontramos:<br />
6.- Una carga positiva <strong>de</strong> 2 µ C está en el origen <strong>de</strong> un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas. Calcular:<br />
a) Campo eléctrico en el punto (2,3) m y fuerza electrostática ejercida sobre una partícula<br />
cargada con -2 µ C situada en dicho punto. ( E = 768 i + 1152 j N/C ; Fe = -1,54 ·10 -3 i - 2,3<br />
·10 -4 j N )<br />
La situación que tenemos es la que se representa en el siguiente gráfico:
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Para calcular el campo eléctrico en el punto (2,3), usamos el mismo procedimiento<br />
que para la<br />
fuerza:<br />
En función <strong>de</strong> los vectores unitarios:<br />
La representación gráfica <strong>de</strong> dicho campo será:<br />
La fuerza que sufre una carga <strong>de</strong> -2 µC situada en el punto anterior vendría dada por:<br />
La representación gráfica <strong>de</strong> dicha fuerza sería:
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7.- Dos cargas eléctricas puntuales, una A triple que otra B, están separadas un metro.<br />
Determinar el punto en el que la unidad <strong>de</strong> carga positiva está en equilibrio cuando:<br />
a) A y B tienen el mismo signo ( r A = 0,64 m , r B = 0,37 m)<br />
b) A y B tienen signos opuestos ( r A = 2,37 m , r B = 1,37 m )<br />
El punto en el que la unidad <strong>de</strong> carga está en equilibrio es el punto en el que el campo<br />
eléctrico vale cero, en el caso <strong>de</strong> que las cargas tengan el mismo signo, el punto en el que<br />
se anula el campo eléctrico estará en el medio <strong>de</strong> las cargas, ya que a la izquierda <strong>de</strong> ellas<br />
el campo nunca se pue<strong>de</strong> anular, ya que la dirección y sentido <strong>de</strong> los <strong>campos</strong> que crea cada<br />
una <strong>de</strong> las cargas es el mismo. La misma situación se da a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> las cargas.<br />
La representación gráfica <strong>de</strong>l primer caso será la que sigue a continuación:<br />
En el punto indicado, el módulo <strong>de</strong>l campo eléctrico creado por la carga q tendrá que<br />
ser igual al módulo <strong>de</strong>l campo eléctrico creado por la carga <strong>de</strong> 3q, polo que po<strong>de</strong>mos<br />
plantear la siguiente ecuación:<br />
Esta ecuación se complementará con la que nos dice que la suma <strong>de</strong> las distancias<br />
tiene que ser igual a 1 m:<br />
Con lo que po<strong>de</strong>mos formar el siguiente sistema <strong>de</strong> dos ecuaciones con dos incógnitas:<br />
Esta ecuación <strong>de</strong> segundo grado nos da las siguientes solucioness:<br />
Tomaremos como solución la que nos da 0,59 metros, ya que es la que nos da un<br />
resultado coherente con la suposición inicial <strong>de</strong> que el punto buscado <strong>de</strong>be estar entre las<br />
dos cargas, ahora, la distancia a la primeira carga es inmediata:
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Para el segundo apartado, supondremos que la carga q es positiva y la carga 3q es<br />
negativa, por lo que, el punto buscado <strong>de</strong>be estar a la izquierda <strong>de</strong> la carga positiva q, tal y<br />
como se muestra en el esquema <strong>de</strong>l problema, ya que, <strong>de</strong> esta manera, po<strong>de</strong>mos obtener<br />
campo nulo, ya que, el campo <strong>de</strong> la carga positiva (q) apunta hacia la izquierda, mientras<br />
que el campo <strong>de</strong> la carga negativa apunta hacia la <strong>de</strong>recha en un punto que se encuentre a<br />
la izquierda <strong>de</strong> la carga q.<br />
Las ecuaciones que tenemos ahora serán similares a las <strong>de</strong> antes, solo que cambia la<br />
<strong>de</strong> las distancias, ya que la diferencia entre las mismas es igual a la unidad.<br />
El módulo <strong>de</strong> los dos <strong>campos</strong> <strong>de</strong>be ser el mismo<br />
Ahora el sistema que tenemos es el siguiente:<br />
Tomaremos como solución aquella que nos da una solución coherente con la<br />
suposición inicial <strong>de</strong>l problema, si tomásemos la segunda distancia para la otra carga nos<br />
saldría entre las dos cargas, lo cual iría contra la suposición inicial, la distancia a la que se<br />
encuentra la carga 2 será:<br />
8.- En el punto (0,3), tenemos una carga <strong>de</strong> 4 nC, en el punto (4,0), disponemos <strong>de</strong> otra<br />
carga <strong>de</strong> igual magnitud, pero <strong>de</strong> signo contrario. Calcular el campo eléctrico en el punto<br />
(3,4).<br />
En este problema tendremos que aplicar el principio <strong>de</strong> superposición, según el cual<br />
el campo eléctrico total será la suma <strong>de</strong> los <strong>campos</strong> que crean cada una <strong>de</strong> las cargas por<br />
separado:<br />
El campo eléctrico creado por la carga <strong>de</strong> 4 nC vendrá dado por:
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El campo eléctrico creado por la carga 2 será:<br />
El campo eléctrico total es la suma <strong>de</strong> los <strong>campos</strong> eléctricos que crean cada una <strong>de</strong><br />
las cargas por separado, es <strong>de</strong>cir:<br />
La representación gráfica <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los <strong>campos</strong> y <strong>de</strong>l campo total será la que se<br />
muestra en la figura siguiente:<br />
16.- El potencial creado por una carga puntual a cierta distancia <strong>de</strong> ella es <strong>de</strong> 600 V y el<br />
campo eléctrico en el mismo punto es 200 N/C. ¿Cual es a distancia a la carga <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
punto? ¿Cuál es el valor <strong>de</strong> la carga? (r = 3 m , Q = 2 · 10 -7 C )<br />
Como no nos especifican dirección ni sentido, prescindiremos <strong>de</strong>l carácter vectorial <strong>de</strong>l<br />
campo eléctrico y sustituiremos los datos <strong>de</strong>l problema en las expresiones <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong>l<br />
campo eléctrico y <strong>de</strong>l potencial electrostático:
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Sustituyendo los datos que nos da el problema:<br />
Dividiendo una expresión entre la otra obtenemos:<br />
Sustituyendo este valor en cualquiera <strong>de</strong> las expresiones anteriores, por ejemplo en la <strong>de</strong>l<br />
potencial,<br />
obtenemos el valor <strong>de</strong> la carga:<br />
17.- Dos cargas q 1 = 2 µC y q 2 = 4 µC están situadas, respectivamente, en los puntos (0,2) y<br />
(0,-2) m. Calcular:<br />
a) Campo y potencial electrostáticos en el punto (4,0) m. ( E(4,0) = 2415 i + 402,5 j N/C ;<br />
V(4,0) = 12075 V )<br />
b) Trabajo necesario para trasladar una carga <strong>de</strong> 6 µC <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el infinito hasta el punto (4,0)<br />
m. (W ext = -W e = 0,072 J)<br />
La situación que tenemos en el problema es la siguiente:<br />
El potencial electrostático creado por una carga en un punto viene dado por la expresión:
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Para calcular el potencial electrostático que crea la carga <strong>de</strong> 2 µC tenemos que calcular la<br />
distancia “r” que separa la carga <strong>de</strong>l punto don<strong>de</strong> estamos calculando el potencial, esto lo<br />
po<strong>de</strong>mos hacer resolviendo el triángulo:<br />
También se podría calcular, haciendo el módulo <strong>de</strong>l vector que une el punto fuente con el<br />
punto campo:<br />
Por lo tanto, el potencial electrostático que crea la carga situada en el punto (2,0) será:<br />
La distancia a la que se encuentra la carga situada en el (-2,0) <strong>de</strong>l punto don<strong>de</strong> estamos<br />
calculando el potencial es la misma que la distancia a la que se situaba la carga anterior, por<br />
lo que ya tenemos todos los datos necesarios para resolver el potencial correspondiente a<br />
esta carga:<br />
En virtud <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> superposición, el potencial creado en el punto (4,0) será la suma <strong>de</strong><br />
los potenciales individuales <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las cargas que forman el sistema:<br />
b) Para una carga que se traslada <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto hasta otro, el trabajo se calcula como:<br />
Si uno <strong>de</strong> los puntos es el infinito, su potencial es cero, por lo que:<br />
Sustituyendo el valor <strong>de</strong>l potencial calculado en el apartado anterior y el valor q <strong>de</strong> la carga<br />
que se traslada:
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18. Una carga puntual Q crea un campo electrostático. Al trasladar una carga q <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
punto A al infinito, se realiza un trabajo <strong>de</strong> 5 J. Si se traslada <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el infinito hasta otro<br />
punto C, el trabajo es <strong>de</strong> -10 J.<br />
a) ¿Qué trabajo se realiza al llevar la carga <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto C hasta el A? ¿En qué propiedad<br />
<strong>de</strong>l campo electrostático se basa la respuesta? (W CA = 5 J)<br />
Este problema lo resolveremos usando la expresión general para el traslado <strong>de</strong> una carga <strong>de</strong><br />
un punto a otro en el seno <strong>de</strong> un campo electrostático:<br />
Para el primer caso que nos da el problema, tendremos:<br />
Que si sustituimos los datos <strong>de</strong>l problema nos proporciona la siguiente ecuación:<br />
En el segundo caso que nos dan, la expresión <strong>de</strong>l trabajo queda:<br />
Sustituyendo ahora el potencial por su expresión, tenemos las ecuaciones:<br />
Sabemos los datos <strong>de</strong> las distancias, por lo que las “r” en el problema quedaría:<br />
Que tiene como solución:<br />
5) La energía potencial electrostática <strong>de</strong> una carga inmersa en el interior <strong>de</strong> una <strong>de</strong>terminada<br />
distribución discreta <strong>de</strong> cargas viene dada por la expresión:<br />
1 qq '<br />
F = −∇ U =<br />
4πε<br />
r<br />
La energía total <strong>de</strong> una distribución discreta <strong>de</strong> cargas vendrá dada por la expresión<br />
siguiente, teniendo en cuenta que representa la energía necesaria para trasladar, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
infinito la distribución <strong>de</strong> cargas hasta la configuración en la que se encuentra:<br />
N N<br />
1 qiq<br />
j<br />
UTOT<br />
= ∑∑<br />
4πε<br />
r<br />
i= 1 i=<br />
1 0 ij<br />
i≠<br />
j<br />
21.- Aceleramos un electrón <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo mediante una diferencia <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 10 kV.<br />
a) Analizar energeticamente el proceso, calculando a velocidad que alcanza el electrón.<br />
Realizar un esquema, indicando el movimiento realizado por el electrón, y la disposición <strong>de</strong><br />
los puntos <strong>de</strong> mayor a menor potencial. (v = 5,93 · 10 7 m/s)<br />
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b) Repetir el apartado anterior para un protón, y para un neutrón (protón: v = 1,39 · 106 m/s ;<br />
neutrón: no se acelera)<br />
(Datos: mp ≈ m n = 1,66 · 10 -27 kg ; m e = 9,1 · 10 -31 kg ; y = 1,6 · 10 -19 C)<br />
Si aceleramos una carga mediante una diferencia <strong>de</strong> potencial, la energía que adquiere<br />
vendrá dada por:<br />
Esa energía se convierte en energía cinética, por lo que podremos calcular la velocidad que<br />
adquiere el electrón como:<br />
El electrón, al tener carga negativa, se mueve en la dirección contraria al campo eléctrico,<br />
por lo que, si el campo eléctrico indica la dirección <strong>de</strong> disminución <strong>de</strong>l potencial, la carga se<br />
moverá hacia potenciales crecientes:<br />
En el caso <strong>de</strong> que se tratase <strong>de</strong> un neutrón, no sufriría aceleración, ya que al no estar<br />
cargado no sufre fuerza eléctrica.<br />
22.- Un electrón se lanza con una velocidad <strong>de</strong> 10 7 ms -1 y penetra en la región comprendida<br />
entre dos conductores horizontales, planos y paralelos, <strong>de</strong> 8 cm <strong>de</strong> longitud y separados<br />
entre sí 1 cm, en la que existe un campo eléctrico uniforme. El electrón penetra en la región<br />
por un punto equidistante <strong>de</strong> los dos conductores planos y, a la salida, pasa justamente por<br />
el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong>l conductor superior.<br />
a) Razonar qué tipo <strong>de</strong> movimiento <strong>de</strong>scribirá el electrón<br />
b) Calcular el campo eléctrico que existe entre los conductores y diferencia <strong>de</strong> potencial<br />
entre ellos (E = - 8875 j N/C) (Datos: q e = -1,6·10 -19 C ; m e = 9,1·10 -31 kg)<br />
El movimiento que sufre el electrón es un movimiento parabólico, el esquema <strong>de</strong> dicho<br />
movimiento es el siguiente:
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Teniendo en cuenta el sentido <strong>de</strong> movimiento que pintamos y que la carga es negativa, ya<br />
que se trata <strong>de</strong> un electrón, el campo eléctrico existente entre las placas estará dirigido en<br />
sentido contrario a la fuerza que sufre el electrón, que va hacia arriba, por lo que el campo<br />
eléctrico irá dirigido hacia abajo.<br />
Como se trata <strong>de</strong> un movimiento parabólico tendremos las siguientes ecuaciones, teniendo<br />
en cuenta que centramos nuestro sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas en el punto en el que el electrón<br />
penetra en la región entre las placas:
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Las ecuaciones <strong>de</strong>l movimiento serán:<br />
Por lo tanto la ecuación <strong>de</strong> la trayectoria vendrá dada por:<br />
Si tenemos en cuenta que la aceleración viene dada por el valor <strong>de</strong> la fuerza partido por la<br />
masa y <strong>de</strong>spreciando la fuerza gravitatoria <strong>de</strong> la partícula, que en relación con la fuerza<br />
electrostática es muy pequeña:<br />
Ahora tenemos que tener en cuenta que la partícula pasa por el punto (0’08,0’005), y<br />
tendremos la ecuación:<br />
El valor <strong>de</strong> la diferencia <strong>de</strong> potencial en el espacio creado entre dos placas planas vendrá<br />
dado por:<br />
23. Calcua la energía potencial electrostática <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong>l problema 3.<br />
La distribución <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong>l problema 3 es:
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La expresión para calcular la energía <strong>de</strong> una distribución será<br />
Calcularemos cada una <strong>de</strong> las energías por separado:<br />
La energía total <strong>de</strong> la distribución será:
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Campo magnético<br />
1.- Un protón se mueve con una velocidad <strong>de</strong> 10 5 m/s y entra en una región en la que<br />
existe un campo magnético <strong>de</strong> 5·10 -2 T. Determina el radio <strong>de</strong> la trayectoria seguido,<br />
así como el periodo y la frecuencia <strong>de</strong> revolución.<br />
Como no nos especifican la dirección <strong>de</strong> la velocidad y <strong>de</strong>l campo, pero si que nos dice que<br />
se trata <strong>de</strong> una velocidad perpendicular al campo, po<strong>de</strong>mos prescindir <strong>de</strong>l carácter vectorial<br />
<strong>de</strong>l mismo, por lo que, po<strong>de</strong>mos igualar la fuerza centrípeta con el módulo <strong>de</strong> la fuerza<br />
magnética:<br />
Sustituyendo los datos que nos da el problema, tendremos:<br />
Ahora, pasaremos a calcular otros parámetros <strong>de</strong> la trayectoria circular como la frecuencia o<br />
el periodo, partiendo <strong>de</strong> la expresión en la que igualábamos a fuerza magnética con la fuerza<br />
centrípeta y usando la relación existente entre la velocidad lineal y angular:<br />
Sustituyendo los datos que tenemos no problema:<br />
2.- Un electrón lleva una velocidad <strong>de</strong> 50000i m/s y entra en una región en la que hay<br />
un campo magnético <strong>de</strong> magnitud 0.008 k T y un campo eléctrico <strong>de</strong> magnitud 6500 j<br />
N/C. <strong>de</strong>termina el plano en el que se produce el movimiento, así como el radio <strong>de</strong><br />
curvatura y su periodo. Calcula cual tendría que ser la dirección y magnitud <strong>de</strong>l campo<br />
eléctrico para que la partícula no se <strong>de</strong>sviase.<br />
En este caso, nos proporcionan el valor vectorial tanto <strong>de</strong> la velocidad como <strong>de</strong>l campo<br />
eléctrico y magnético, por lo que, vamos a usar la expresión vectorial <strong>de</strong> la fuerza <strong>de</strong><br />
Lorentz, según la cual:<br />
La fuerza eléctrica vendrá dada por:<br />
La fuerza magnética vendrá dada por:
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La fuerza total será:<br />
El plano en el que se produce el movimiento sería el plano xy, ya que la velocidad está<br />
dirigida en la dirección <strong>de</strong>l eje x y el campo mangético está dirigido en la dirección <strong>de</strong>l eje y,<br />
por lo que el movimiento está confinado al plano xy.<br />
El radio <strong>de</strong> curvatura, lo calcularemos usando la expresión obtenida en el problema anterior:<br />
Para que la partícula no se <strong>de</strong>sviase, la fuerza eléctrica y la fuerza magnética <strong>de</strong>berían ser la<br />
misma, por lo que, la fuerza eléctrica <strong>de</strong>bería llevar la dirección negativa <strong>de</strong>l eje y, como la<br />
carga es negativa, la fuerza y el campo llevan direcciones contrarias, por lo que, el campo<br />
eléctrico tendría que ir dirigido en la dirección positiva <strong>de</strong>l eje y, su módulo lo obtenemos <strong>de</strong><br />
igualar el módulo <strong>de</strong> las fuerzas eléctrica y magnética:<br />
Por lo tanto, la expresión vectorial <strong>de</strong>l campo eléctrico necesario para que se anulasen los<br />
<strong>campos</strong> eléctrico y magnético sería:<br />
5.- Por dos conductores largos rectos y paralelos circulan corrientes I no mismo<br />
sentido. En un punto <strong>de</strong>l plano situado entre los dos conductores el campo magnético<br />
resultante, comparado con el creado por un solo <strong>de</strong> los conductores es : a) mayor; b)<br />
menor; c) el mismo.<br />
Si las corrientes son <strong>de</strong>l mismo sentido, tendremos la siguiente situación:<br />
En un punto en el medio <strong>de</strong> los dos cables, el campo mangético creado por el cable <strong>de</strong> la<br />
izquierda, usando a regla <strong>de</strong> la mano <strong>de</strong>recha estaría dirigido hacia <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l plano <strong>de</strong>l<br />
papel, mientras que el campo magnético creado por el cable <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha estará dirigido<br />
hacia afuera <strong>de</strong>l plano <strong>de</strong>l papel. El campo magnético total en ese punto sería la suma
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VECTORIAL <strong>de</strong> los <strong>campos</strong> magnéticos creados por cada cable por separado, por lo que,<br />
por llevar sentidos contrarios, el valor <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong>l campo magnético en ese punto entre<br />
cables sería menor que el módulo <strong>de</strong>l campo magnético creado por uno solo <strong>de</strong> esos cables,<br />
ya que para calcular el campo magnético total, tendriamos que hacer una resta <strong>de</strong> los<br />
<strong>campos</strong> magnéticos individuales (<strong>campos</strong> en sentido contrario)<br />
6.- Un cable recto <strong>de</strong> longitud l y corriente i está colocado en un campo magnético<br />
uniforme B formando con el un ángulo θ. El módulo <strong>de</strong> la fuerza ejercida sobre dicho<br />
cable es: a) ilBtg θ; b) ilBsen θ; c) ilBcos θ<br />
Tendremos en cuenta que la expresión <strong>de</strong> la fuerza magnética que sufre un cable situado en<br />
una región en la que existe campo magnético vendrá dado por:<br />
EL módulo <strong>de</strong> este campo magnético vendrá dado, usando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l producto<br />
vectorial por:<br />
Por lo tanto, a opción correcta será a opción b)<br />
15.- Determinar la expresión <strong>de</strong> la fuerza <strong>de</strong> interacción entre dos cables paralelos que<br />
llevan corrientes distintas. Explicar en que caso la fuerza es <strong>de</strong> atracción y en que caso es<br />
<strong>de</strong> repulsión.<br />
La situación que tenemos es la siguiente, dos cables infinitos y paralelos que llevan una<br />
corriente en el mismo sentido:<br />
Usando el sentido ordinario <strong>de</strong> los ejes (x horizontal, y vertical y z perpendicular al plano <strong>de</strong>l<br />
papel, saliente positivo y entrante negativo), tenemos que el cable 1 crea un campo<br />
magnético en el punto don<strong>de</strong> está situado el cable 2 <strong>de</strong> la forma:<br />
Don<strong>de</strong> d es a distancia entre cables, <strong>de</strong>bido a esto, el cable 2 sufrirá una fuerza magnética,<br />
que como vimos en problemas anteriores vendrá dada por:<br />
I<strong>de</strong>ntificaremos cada término y realizamos el producto vectorial:
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Por lo tanto a fuerza valdrá:<br />
Es <strong>de</strong>cir, que aparece una fuerza sobre el cable 2 que está dirigida en la dirección negativa<br />
<strong>de</strong>l eje<br />
x, por lo tanto, hacia la izquierda, gráficamente:<br />
Don<strong>de</strong> tuvimos en cuenta que sobre el cable 1 aparecerá una fuerza <strong>de</strong> igual magnitud, pero<br />
<strong>de</strong> signo contrario.<br />
En el caso <strong>de</strong> que las intensida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los cables fuesen antiparalelas, la fuerza que<br />
aparecería tendría la misma expresión, solo que la fuerza entre cables sería <strong>de</strong> repulsión:
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16.- Dos hilos condutores rectos muy largos y paralelos (A y B) con corrientes I A = 5 A<br />
y I B = 3 A en le mismo sentido están separados 0,2 m; calcula: a) el campo magnético<br />
en el punto medio entre los dos condutores (D), b) la fuerza ejercida sobre un tercer<br />
condutor C paralelo a los anteriores, <strong>de</strong> 0,5 m y con I C = 2 A y que pasa por D. (Dato, µ 0<br />
= 4π·10 -7 S.I.)<br />
La situación que tenemos es:<br />
El campo magnético en el punto medio lo calcularemos como la suma vectorial <strong>de</strong> los<br />
<strong>campos</strong> magnéticos que crean cada uno <strong>de</strong> los cables por separado, por lo tanto, el campo<br />
magnético creado por el cable 1, aplicando la regla <strong>de</strong> la mano <strong>de</strong>recha tendrá la dirección<br />
negativa <strong>de</strong>l eje z (entrante) y tendrá un valor <strong>de</strong>:
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Por otro lado, el campo magnético que crea el cable 2, estará dirigido, según la regla <strong>de</strong> la<br />
mano <strong>de</strong>recha, en la dirección positiva <strong>de</strong>l eje z y tendrá un valor <strong>de</strong>:<br />
El campo mangético total será la suma vectorial <strong>de</strong> los dos <strong>campos</strong> magnéticos creados por<br />
cada uno <strong>de</strong> los cables por separado:<br />
La fuerza que sufriría un tercer conductor paralelo a estos y que estuviese colocado en el<br />
punto medio <strong>de</strong> los anteriores, vendría dada por:<br />
La expresión <strong>de</strong> la fuerza que sufre un conductor en el seno <strong>de</strong> un campo magnético viene<br />
dado por:<br />
Por lo tanto, la fuerza será:
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Inducción electromagnética<br />
1.- Determinar el flujo magnético que atraviesa una superficie cuadrada situada en el plano<br />
<br />
XY, en la presencia <strong>de</strong> un campo B = 2,5kɵ<br />
.<br />
El cálculo <strong>de</strong>l flujo magnético viene dado por el tipo <strong>de</strong> superficie y por el tipo <strong>de</strong> campo<br />
(constante<br />
o no constante que tengamos), según se indica en el siguiente esquema:<br />
La situación con la que nos encontramos es un campo magnético constante, por lo tanto,<br />
usaremos la fórmula correspon<strong>de</strong>nte, teniendo en cuenta que el campo y la superficie son<br />
perperndiculares, tal y como se muestra en la figura:<br />
Calcularemos el flujo magnético usando el que nos dice a tabla anterior:
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Problema 2.- ¿Cual es el flujo magnético que atraviesa una superficie cerrada?<br />
Como se indicó en la tabla anterior, en la que obtenemos una fórmula general para calcular<br />
el flujo magnético a través <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong>terminada, el flujo eléctrico a través <strong>de</strong> una<br />
superficie cerrada será cero en cualquier situación. La explicación <strong>de</strong> este hecho radica en<br />
que el campo magnético es un campo solenoidal, esto quiere <strong>de</strong>cir que las lineas <strong>de</strong> campo<br />
se cierran sobre si mismas, tal y como se indica en la figura:<br />
Por lo tanto para una superficie cerrada, una linea que la atraviese hacia afuera, volverá a<br />
atravesarla hacia a<strong>de</strong>ntro para que se cumpla esta propiedad. Esta propiedad es lo mismo<br />
que <strong>de</strong>cir que non existen monopolos magnéticos aislados, esto es, un imán siempre tiene<br />
un polo norte por el que salen las lineas <strong>de</strong> campo y un polo sur por el que entran las lineas<br />
<strong>de</strong> campo y si dividimos el imán, tendremos dos imanes con sus correspondientes polos<br />
norte y sur.<br />
4.-Una bobina cuadrada y plana (S = 25 cm2) construída con 5 espiras está en el plano XY;<br />
a) enuncia la ley <strong>de</strong> Faraday-Lenz, b) calcua la f.e.m. inducida si se aplica un campo<br />
magnético en dirección <strong>de</strong>l eje Z, que varía <strong>de</strong> 0,5 T a 0,2 T en 0,1 s; c) calcula a f.e.m.<br />
media inducida si el campo permanece constante (0,5 T) y la bobina gira hasta colocarse en<br />
el plano XZ en 0,1 s.<br />
La ley <strong>de</strong> Faraday Lenz dice que la fuerza electromotriz que se induce en un circuito es igual<br />
a la variación <strong>de</strong>l flujo magnético respecto <strong>de</strong>l tiempo, oponiéndose dicha fuerza<br />
electromotriz a la variación <strong>de</strong> flujo que se provoque en el circuito.<br />
La situación que tenemos en el problema es la siguiente:<br />
EL campo magnético es <strong>de</strong>creciente, supondremos que el <strong>de</strong>crecimiento que se produce <strong>de</strong>l<br />
mismo es lineal, con los datos que nos da el problema, po<strong>de</strong>mos hallar la forma funcional <strong>de</strong>l<br />
campo magnético en función <strong>de</strong>l tiempo:
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Ahora aplicaremos la ley <strong>de</strong> Faraday Lenz, que formulada matemáticamente es:<br />
El flujo magnético a través <strong>de</strong> la espira será:<br />
La fuerza electromotríz inducida vendrá dada por:<br />
Para <strong>de</strong>terminar el sentido <strong>de</strong> la intensidad inducida, tendremos en cuenta la regla <strong>de</strong> la<br />
mano <strong>de</strong>recha y la ley <strong>de</strong> Lenz, el flujo magnético, <strong>de</strong>bido a que este campo magnético es<br />
<strong>de</strong>creciente, se está haciendo cada vez más pequeño, por lo tanto, el circuito reaccionará<br />
con la finalidad <strong>de</strong> reestablecer la situación inicial, es <strong>de</strong>cir, intentará que el flujo sea el<br />
mismo, y para ello, <strong>de</strong>be crear un campo magnético hacia arriba creciente para compensar<br />
la disminución <strong>de</strong>l campo que nos dan:<br />
El cual nos da una intensidad inducida en sentido antihorario si miramos la espira <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
arriba en virtud <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la mano <strong>de</strong>recha:
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Si ahora la bobina gira hasta colocarse en el plano xz, la situación final que tendremos será<br />
la siguiente:<br />
En este caso, el campo permanece constante, por lo que el que varía es el ángulo,<br />
supondremos que la velocidad angular es constante, y calcularemos dicha velocidad angular<br />
usando que la espira rota 90 º en 0,1 s, por lo tanto:<br />
EL flujo magnético a través <strong>de</strong> esta espira vendrá dado por:<br />
La fuerza electromotriz inducida vendrá dada por:<br />
Que como se observa es una fuerza electromotriz inducida variable.<br />
5.- Suponiendo que en el sistema <strong>de</strong>l problema anterior no hay variaciones <strong>de</strong> la resistencia<br />
<strong>de</strong>l circuito sobre el que se <strong>de</strong>splaza a varilla y que a resistividad <strong>de</strong> MN es 2 ·10 6 W . m y su<br />
sección 0,1 mm 2 , calcular: 1) A intensidad <strong>de</strong> corriente. 2) La fuerza que actúa sobre MN. 3)<br />
EL trabajo realizado en el <strong>de</strong>splazamiento durante 0,2 s. 4) La potencia mecánica para<br />
producir la velocidad.
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Estamos ante el típico problema <strong>de</strong> inducción por movimiento <strong>de</strong> un conductor. El<br />
flujovmagnético a través <strong>de</strong> la espira que forma el cirucuito será:<br />
La fuerza electromotriz inducida, vendrá dada por:<br />
Sustituyendo los datos <strong>de</strong>l problema:<br />
La fuerza magnética que sufre la varilla estará dirigida en sentido contrario a la velocidad y<br />
tendrá<br />
un valor, el módulo <strong>de</strong>l cual es:<br />
Siendo I la intensidad <strong>de</strong> corriente, que vendrá dada por:<br />
El trabajo realizado será igual al producto <strong>de</strong> la fuerza por el <strong>de</strong>splazamiento, si la velocidad<br />
es constante e igual a 2 m/s, durante 0,2 s, recorrerá una distancia <strong>de</strong> 0,4 m. Por lo tanto, el<br />
trabajo será:<br />
Por último la potencia la calcularemos como el producto <strong>de</strong> la fuerza por la velocidad a la<br />
que se <strong>de</strong>splaza la varilla, es <strong>de</strong>cir