Integrales multiples - Escuela de Matemáticas de la UIS

Integrales multiples
Integrales dobles sobre rectángulos
Integrales dobles sobre regiones más generales
Integrales dobles en coordenadas polares
Aplicaciones de las integrales dobles
Gilberto Arenas Díaz
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Segundo semestre de 2011
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos
De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una
variables, se va a considerar una función de dos variables de…nida sobre un
rectángulo cerrado
R = [a; b] [c; d] = (x; y) 2 R 2 j a x b; c y d
y se supone inicialmente que f (x; y) 0.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos
De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una
variables, se va a considerar una función de dos variables de…nida sobre un
rectángulo cerrado
R = [a; b] [c; d] = (x; y) 2 R 2 j a x b; c y d
y se supone inicialmente que f (x; y) 0. La grá…ca de f es una super…cie con
ecuación z = f (x; y).
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Integrales dobles sobre rectángulos
De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una
variables, se va a considerar una función de dos variables de…nida sobre un
rectángulo cerrado
R = [a; b] [c; d] = (x; y) 2 R 2 j a x b; c y d
y se supone inicialmente que f (x; y) 0. La grá…ca de f es una super…cie con
ecuación z = f (x; y).
Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por
S = (x; y; z) 2 R 3 j 0 z f (x; y) ; (x; y) 2 R :
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Integrales dobles sobre rectángulos
De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una
variables, se va a considerar una función de dos variables de…nida sobre un
rectángulo cerrado
R = [a; b] [c; d] = (x; y) 2 R 2 j a x b; c y d
y se supone inicialmente que f (x; y) 0. La grá…ca de f es una super…cie con
ecuación z = f (x; y).
Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por
S = (x; y; z) 2 R 3 j 0 z f (x; y) ; (x; y) 2 R :
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
[a; b] se divide en m subintervalor [x i 1 ; x i ] de longitud x = (b a)=m:
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
[a; b] se divide en m subintervalor [x i 1 ; x i ] de longitud x = (b a)=m:
[c; d] se divide en n subintervalor [y j 1 ; y j ] de longitud y = (d c)=n:
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
[a; b] se divide en m subintervalor [x i 1 ; x i ] de longitud x = (b a)=m:
[c; d] se divide en n subintervalor [y j 1 ; y j ] de longitud y = (d c)=n:
Se forman así subrectángulos R ij = [x i 1 ; x i ] [y j 1 ; y j ] cada uno con área
A = x y.
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
[a; b] se divide en m subintervalor [x i 1 ; x i ] de longitud x = (b a)=m:
[c; d] se divide en n subintervalor [y j 1 ; y j ] de longitud y = (d c)=n:
Se forman así subrectángulos R ij = [x i 1 ; x i ] [y j 1 ; y j ] cada uno con área
A = x y.
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
[a; b] se divide en m subintervalor [x i 1 ; x i ] de longitud x = (b a)=m:
[c; d] se divide en n subintervalor [y j 1 ; y j ] de longitud y = (d c)=n:
Se forman así subrectángulos R ij = [x i 1 ; x i ] [y j 1 ; y j ] cada uno con área
A = x y.
Si se elige un punto muestral x ij ; ij y en cada Rij , entonces el volumen del
prisma o columna de base R ij y altura f x ij ;
y ij
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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.
[a; b] se divide en m subintervalor [x i 1 ; x i ] de longitud x = (b a)=m:
[c; d] se divide en n subintervalor [y j 1 ; y j ] de longitud y = (d c)=n:
Se forman así subrectángulos R ij = [x i 1 ; x i ] [y j 1 ; y j ] cada uno con área
A = x y.
Si se elige un punto muestral x ij ; y ij
en cada Rij , entonces el volumen del
prisma o columna de base R ij y altura f x ij ; y ij
es f x
ij ; y ij
A.
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Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de
mX nX
V f x ij; yij A:
i=1 j=1
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Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de
mX nX
V f x ij; yij A:
i=1 j=1
La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma
de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la
grá…ca de z = f (x; y).
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Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de
mX nX
V f x ij; yij A:
i=1 j=1
La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma
de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la
grá…ca de z = f (x; y).
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Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de
mX nX
V f x ij; yij A:
i=1 j=1
La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma
de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la
grá…ca de z = f (x; y).
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Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de
mX nX
V f x ij; yij A:
i=1 j=1
La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma
de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la
grá…ca de z = f (x; y).
La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximación
es mejor,
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Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de
mX nX
V f x ij; yij A:
i=1 j=1
La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma
de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la
grá…ca de z = f (x; y).
La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximación
es mejor, luego se espera que
mX nX
V = lm f x ij; yij A:
m;n!1
i=1 j=1
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De…nición
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f x ij; yij A
si existe el límite.
R
m;n!1
i=1 j=1
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De…nición
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f x ij; yij A
si existe el límite.
R
m;n!1
i=1 j=1
Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de la
elección de x ij ; y ij
en Rij .
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De…nición
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f x ij; yij A
si existe el límite.
R
m;n!1
i=1 j=1
Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de la
elección de x ij ; y ij
en Rij .
El punto x ij ; y ij
puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede
ser el punto medio (x ij ; y ij ) o el extremo (x ij ; y ij ),
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De…nición
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f x ij; yij A
si existe el límite.
R
m;n!1
i=1 j=1
Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de la
elección de x ij ; y ij
en Rij .
El punto x ij ; ij y puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede
ser el punto medio (x ij ; y ij ) o el extremo (x ij ; y ij ), en dichos casos la
expresión para la integral queda:
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f (x ij ; y ij ) A
R
m;n!1
i=1 j=1
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De…nición
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f x ij; yij A
si existe el límite.
R
m;n!1
i=1 j=1
Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de la
elección de x ij ; y ij
en Rij .
El punto x ij ; ij y puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede
ser el punto medio (x ij ; y ij ) o el extremo (x ij ; y ij ), en dichos casos la
expresión para la integral queda:
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f (x ij ; y ij ) A
o
ZZ
R
R
f (x; y) dA =
m;n!1
i=1 j=1
lm
mX
m;n!1
i=1 j=1
nX
f (x ij ; y ij ) A:
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De…nición
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f x ij; yij A
si existe el límite.
R
m;n!1
i=1 j=1
Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de la
elección de x ij ; y ij
en Rij .
El punto x ij ; ij y puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede
ser el punto medio (x ij ; y ij ) o el extremo (x ij ; y ij ), en dichos casos la
expresión para la integral queda:
ZZ
mX nX
f (x; y) dA = lm f (x ij ; y ij ) A
o
ZZ
R
R
f (x; y) dA =
ZZ
Si f (x; y) 0, entonces
R
m;n!1
i=1 j=1
lm
mX
m;n!1
i=1 j=1
nX
f (x ij ; y ij ) A:
f (x; y) dA representa el volumen de S.
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Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
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Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
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Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0 = 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
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Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA
R
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Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A
R
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Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 4 7 A
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 4 5 A
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5
4 A+f
3
2 ; 4 7 A
R
=
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
R
= 67
16
139
16
51
16
123
16
1
2
A+f
3
2 ; 7 4
A
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
R
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
x
3y 2 dA
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
51
16
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A+f(1; 2)A
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A+f(1; 2)A+f 2;
3
2
A
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A+f(1; 2)A+f 2;
3
2
A+f(2; 2)A
=
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A+f(1; 2)A+f 2;
3
2
A+f(2; 2)A
= 23
4
11
19
4
10 1 2
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A+f(1; 2)A+f 2;
3
2
A+f(2; 2)A
= 23
4
11
19
4
10 1 2 = 63 4 = 15;75:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo
(a). Utilice ZZ la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar
x 3y 2 dA, donde R = [0; 2] [1; 2].
R
(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cada
subrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).
Solución.
(a). x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 1 = 1=2, x 2 = 3=2, x = 1:
y 0
ZZ
= 1, y 1 = 3=2, y 2 = 2, y 1 = 5=4, y 2 = 7=4, y = 1=2:
x 3y 2 dA f 1 2 ; 4 5 A+f
1
2 ; 7
4 A+f
3
2 ; 5 4
(b).
R
ZZ
R
= 67
16
139
16
51
16
A+f
3
2 ; 7 4
A
123
16
1
2 = 95 8 = 11;875:
x 3y 2 dA f 1; 3 2
A+f(1; 2)A+f 2;
3
2
A+f(2; 2)A
= 23
4
11
19
4
10 1 2 = 63 4 = 15;75:
Más
R
adelante encontraremos que el valor exacta de la integral es
2 R 2
x 3y 2 dydx = 12:
0 1
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
Solución.
Observe que z = p 1 x 2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y
altura 4 que yace sobre el rectángulo R.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
Solución.
Observe que z = p 1 x 2 representa la mitad superior ZZ del cilindro de radio 1 y
p
altura 4 que yace sobre el rectángulo R. Luego 1 x2 dA = 1 24 = 2.
Ahora,
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
Solución.
Observe que z = p 1 x 2 representa la mitad superior ZZ del cilindro de radio 1 y
p
altura 4 que yace sobre el rectángulo R. Luego 1 x2 dA = 1 24 = 2.
R
Ahora,
f prom = 1 ZZ p
1 x2 dA
A (R)
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
Solución.
Observe que z = p 1 x 2 representa la mitad superior ZZ del cilindro de radio 1 y
p
altura 4 que yace sobre el rectángulo R. Luego 1 x2 dA = 1 24 = 2.
R
Ahora,
f prom = 1 ZZ p
1 x2 dA = 1 A (R)
8 2
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
Solución.
Observe que z = p 1 x 2 representa la mitad superior ZZ del cilindro de radio 1 y
p
altura 4 que yace sobre el rectángulo R. Luego 1 x2 dA = 1 24 = 2.
R
Ahora,
f prom = 1 ZZ p
1 x2 dA = 1 A (R)
8 2 = 4 :
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA =
R
R
ZZ
f (x; y) dA +
R
g (x; y) dA
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
3 Si f (x; y) g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entonces
ZZ
ZZ
f (x; y) dA g (x; y) dA:
R
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
3 Si f (x; y) g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entonces
ZZ
ZZ
f (x; y) dA g (x; y) dA:
R
R
ZZ
ZZ
En particular,
f (x; y) dA
jf (x; y)j dA.
R
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
3 Si f (x; y) g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entonces
ZZ
ZZ
f (x; y) dA g (x; y) dA:
ZZ
ZZ
En particular,
f (x; y) dA
jf (x; y)j dA.
R
R
S
4 Si R = n R i y A (R i \ R j ) = 0, para i 6= j.
i=1
R
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
3 Si f (x; y) g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entonces
ZZ
ZZ
f (x; y) dA g (x; y) dA:
R
ZZ
ZZ
En particular,
f (x; y) dA
jf (x; y)j dA.
R
R
S
4 Si R = n R i y A (R i \ R j ) = 0, para i 6= j. Entonces
i=1
ZZ
f (x; y) dA =
R
R
nX
ZZ
i=1
R i
f (x; y) dA:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
3 Si f (x; y) g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entonces
ZZ
ZZ
f (x; y) dA g (x; y) dA:
R
ZZ
ZZ
En particular,
f (x; y) dA
jf (x; y)j dA.
R
R
S
4 Si R = n R i y A (R i \ R j ) = 0, para i 6= j. Entonces
i=1
ZZ
f (x; y) dA =
R
R
nX
ZZ
i=1
5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.
R i
f (x; y) dA:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles
1
2
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x; y) + g (x; y)] dA = f (x; y) dA + g (x; y) dA
ZZR
ZZ
R
R
kf (x; y) dA = k f (x; y) dA
R
R
3 Si f (x; y) g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entonces
ZZ
ZZ
f (x; y) dA g (x; y) dA:
R
ZZ
ZZ
En particular,
f (x; y) dA
jf (x; y)j dA.
R
R
S
4 Si R = n R i y A (R i \ R j ) = 0, para i 6= j. Entonces
i=1
ZZ
f (x; y) dA =
R
R
nX
ZZ
i=1
5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.
Esta condición puede ser debilitada por ().
R i
f (x; y) dA:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Integrales iteradas
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas
Z b
A(x) dx =
Z b
a
a c
" Z #
d
f(x; y) dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas
Z b
A(x) dx =
Z b
a
a c
" Z #
d
f(x; y) dy dx
Z d
c
A (y) dy =
Z d
c
" Z #
b
f(x; y) dx dy
a
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas
Z b
a
A(x) dx =
Z b
Teorema (de Fubini)
a
" Z #
d
f(x; y) dy dx
c
Z d
c
A (y) dy =
Z d
c
" Z #
b
f(x; y) dx dy
a
Si f es continua en el rectángulo R = [a; b] [c; d], entonces
ZZ
Z b Z d
Z d Z b
f(x; y) dA = f(x; y) dydx = f(x; y) dxdy:
R
a
c
c
a
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas
Z b
a
A(x) dx =
Z b
Teorema (de Fubini)
a
" Z #
d
f(x; y) dy dx
c
Z d
c
A (y) dy =
Z d
c
" Z #
b
f(x; y) dx dy
a
Si f es continua en el rectángulo R = [a; b] [c; d], entonces
ZZ
Z b Z d
Z d Z b
f(x; y) dA = f(x; y) dydx = f(x; y) dxdy:
R
a
c
() En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,
f es discontinua sólo en un número …nito de curvas uniformes y existen
integrales iteradas.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3
c
a

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
)
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
Z 2
0
Z 2
1
x
3y 2
dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx
1
Z 2
0
Z 2
1
x
3y 2
dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
(x 7) dx
x
3y 2
dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
R = [0; 1]
0; 2
y z = f (x; y) = sen y:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
R = [0; 1]
0; 2
y z = f (x; y) = sen y:
ZZ
V = sen y dA =
R
Z 1 Z =2
0
0
sen y dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
R = [0; 1]
0; 2
y z = f (x; y) = sen y:
ZZ
V = sen y dA =
R
Z 1 Z =2
0
0
sen y dy dx =
Z 1
0
[ cos y] =2
0
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
R = [0; 1]
0; 2
y z = f (x; y) = sen y:
ZZ
V = sen y dA =
R
Z 1 Z =2
0
0
sen y dy dx =
Z 1
0
[ cos y] =2
0
dx =
Z 1
0
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
R = [0; 1]
0; 2
y z = f (x; y) = sen y:
ZZ
V = sen y dA =
R
Z 1 Z =2
0
0
sen y dy dx =
Z 1
0
[ cos y] =2
0
dx =
Z 1
0
dx = 1:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
Encuentre R 2
0
Ejemplo
)
=
R 2
1
x 3y 2 dy dx:
Z 2 Z 2
0
Z 2
0
1
x 3y 2 dy dx =
h
xy y 3i 2
dx =
1
Z 2
0
Z 2
0
Z 2
1
x
x
2
(x 7) dx =
2
3y 2
dy dx
2
7x
0
= 12:
Calcular el volumen del sólido acotado por la super…cie z = sen y, los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = 2
y el plano xy.
R = [0; 1]
0; 2
y z = f (x; y) = sen y:
ZZ
V = sen y dA =
R
Z 1 Z =2
0
0
sen y dy dx =
Z 1
0
[ cos y] =2
0
dx =
Z 1
0
dx = 1:
Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4
0
R 2
0 xp y dx dy:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
0 0
x p y dx dy
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy
0 0
0 2
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p y dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
= 32
3 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
R
ZZ
) y sen (xy) dA =
Z Z 2
R
0 1
y sen (xy) dx dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
R
ZZ
) y sen (xy) dA =
Z Z 2
y sen (xy) dx dy =
Z
R
0 1
0
[ cos (xy)] 2 1 dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
R
ZZ
) y sen (xy) dA =
Z Z 2
y sen (xy) dx dy =
Z
R
0 1
0
Z
= (cos y cos 2y) dy
0
[ cos (xy)] 2 1 dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
)
=
ZZ
R
Z
0
R
y sen (xy) dA =
Z Z 2
(cos y cos 2y) dy =
0
1
y sen (xy) dx dy =
sen y
1
2 sen 2y
0
Z
0
[ cos (xy)] 2 1 dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
)
=
ZZ
R
Z
0
R
y sen (xy) dA =
Z Z 2
(cos y cos 2y) dy =
0
1
y sen (xy) dx dy =
sen y
1
2 sen 2y
0
Z
0
= 0:
[ cos (xy)] 2 1 dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 4 R 2
0 0 xp y dx dy:
Z 4 Z 2
x p Z 4
x
2 2
p
y dx dy = y dy =
0 0
0 2
0
Z 4
0
2 p 4 4
y dy =
3 y3=2 0
Observe que se puede utilizar el otro orden de integración
Z 2 Z 4
x p Z 2
4 Z 2 2
y dy dx =
0 0
0 3 xy3=2 dx =
0 0
16
3 x dx = 8
3 x2 2
0
= 32
3 :
= 32
3 :
Ejemplo
ZZ
Evaluar la integral y sen (xy) dA donde R = [1; 2] [0; ] :
)
=
ZZ
R
Z
0
R
y sen (xy) dA =
Z Z 2
(cos y cos 2y) dy =
0
1
y sen (xy) dx dy =
sen y
1
2 sen 2y
0
Z
0
= 0:
[ cos (xy)] 2 1 dy
Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y),
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx
R
a
c
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
a
c
a
c
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx
c
a
c
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
En conclusión
ZZ
g (x) h (y) dA =
R
a
Z b
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
g (x) dx
Z d
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
h (y) dy, donde R = [a; b] [c; d] :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
En conclusión
ZZ
g (x) h (y) dA =
R
Ejemplo
a
Z b
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
g (x) dx
Z d
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
h (y) dy, donde R = [a; b] [c; d] :
Z 3 Z 2
0 1
x 2 y 3 dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
En conclusión
ZZ
g (x) h (y) dA =
R
Ejemplo
a
Z b
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
g (x) dx
Z d
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
h (y) dy, donde R = [a; b] [c; d] :
Z 3 Z 2
0 1
x 2 y 3 dy dx =
Z 3
0
Z 2
x 2 dx y 3 dy
1
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
En conclusión
ZZ
g (x) h (y) dA =
R
Ejemplo
a
Z b
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
g (x) dx
Z d
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
h (y) dy, donde R = [a; b] [c; d] :
Z 3 Z 2
0 1
x 2 y 3 dy dx =
=
Z 3
0
x
3 3 y
4
0
3
Z 2
x 2 dx
4
2
1
1
y 3 dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
En conclusión
ZZ
g (x) h (y) dA =
R
Ejemplo
a
Z b
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
g (x) dx
Z d
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
h (y) dy, donde R = [a; b] [c; d] :
Z 3 Z 2
0 1
x 2 y 3 dy dx =
=
Z 3
0
x
3 3 y
4
0
3
Z 2
x 2 dx
4
2
1
1
= (9)
y 3 dy
4
1
4
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dos
funciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto es
f (x; y) = g (x) h (y), entonces el teorema de Fubini queda
ZZ
Z b Z d
Z "
b Z #
d
f (x; y) dA = g (x) h (y) dy dx = g (x) h (y) dy dx
R
=
En conclusión
ZZ
g (x) h (y) dA =
R
Ejemplo
a
Z b
a
Z b
a
c
" Z #
d
g (x) h (y) dy dx =
c
g (x) dx
Z d
c
a c
Z d
c
h (y) dy
Z b
a
g (x) dx:
h (y) dy, donde R = [a; b] [c; d] :
Z 3 Z 2
0 1
x 2 y 3 dy dx =
=
Z 3
0
x
3 3 y
4
0
3
Z 2
x 2 dx
4
2
1
1
= (9)
y 3 dy
4
1
= 135
4 4 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales
Sea D una región acotada de R 2 y sea
7
f : D ! R
(x; y) ! z = f (x; y)
una función de dos variables.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales
Sea D una región acotada de R 2 y sea
7
f : D ! R
(x; y) ! z = f (x; y)
una función de dos variables.
Sea R un rectángulo tal que D R y
de…namos la función
7
F : R ! R
(x; y) ! z = F (x; y)
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales
Sea D una región acotada de R 2 y sea
7
f : D ! R
(x; y) ! z = f (x; y)
una función de dos variables.
Sea R un rectángulo tal que D R y
de…namos la función
7
F : R ! R
(x; y) ! z = F (x; y)
F (x; y) =
f (x; y) si (x; y) 2 D
0 si (x; y) 2 RnD
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales
Sea D una región acotada de R 2 y sea
7
f : D ! R
(x; y) ! z = f (x; y)
una función de dos variables.
Sea R un rectángulo tal que D R y
de…namos la función
7
F : R ! R
(x; y) ! z = F (x; y)
F (x; y) =
f (x; y) si (x; y) 2 D
0 si (x; y) 2 RnD
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites de
D.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites de
D. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un “buen
comportamiento”,
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites de
D. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite ZZ de D tiene un “buen
comportamiento”, entonces se puede demostrar que F (x; y) dA existe y,
ZZ
R
por lo tanto, f (x; y) dA existe.
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites de
D. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite ZZ de D tiene un “buen
comportamiento”, entonces se puede demostrar que F (x; y) dA existe y,
ZZ
R
por lo tanto, f (x; y) dA existe.
D
Región del tipo I.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites de
D. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite ZZ de D tiene un “buen
comportamiento”, entonces se puede demostrar que F (x; y) dA existe y,
ZZ
R
por lo tanto, f (x; y) dA existe.
D
Región del tipo I. D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de…ne la integral doble
de f sobre D medienteZZ
ZZ
f (x; y) dA = F (x; y) dA:
D
R
Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites de
D. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite ZZ de D tiene un “buen
comportamiento”, entonces se puede demostrar que F (x; y) dA existe y,
ZZ
R
por lo tanto, f (x; y) dA existe.
D
Región del tipo I. D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g :
Algunos ejemplos de regiones tipo I
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

ZZ
A …n de evaluar
D
f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un
rectángulo R = [a; b] [c; d] que contiene a D, y sea F la función que
concuerda con f en D y que es cero fuera de D.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

ZZ
A …n de evaluar
D
f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un
rectángulo R = [a; b] [c; d] que contiene a D, y sea F la función que
concuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema de
Fubini ZZ
ZZ
Z b Z d
f (x; y) dA = F (x; y) dA = F (x; y) dy dx
D
R
a
c
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

ZZ
A …n de evaluar
D
f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un
rectángulo R = [a; b] [c; d] que contiene a D, y sea F la función que
concuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema de
Fubini ZZ
ZZ
Z b Z d
f (x; y) dA = F (x; y) dA = F (x; y) dy dx
D
R
a
c
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

ZZ
A …n de evaluar
D
f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un
rectángulo R = [a; b] [c; d] que contiene a D, y sea F la función que
concuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema de
Fubini ZZ
ZZ
Z b Z d
f (x; y) dA = F (x; y) dA = F (x; y) dy dx
D
R
a
c
Observe que F (x; y) = 0 si y < g 1 (x) ó y > g 2 (x) porque entonces (x; y) está
fuera de D.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

ZZ
A …n de evaluar
D
f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un
rectángulo R = [a; b] [c; d] que contiene a D, y sea F la función que
concuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema de
Fubini ZZ
ZZ
Z b Z d
f (x; y) dA = F (x; y) dA = F (x; y) dy dx
D
R
a
c
Observe que F (x; y) = 0 si y < g 1 (x) ó y > g 2 (x) porque entonces (x; y) está
fuera de D. Por lo tanto
Z d
F (x; y) dy =
Z g2(x)
F (x; y) dy =
Z g2(x)
c
g 1(x)
g 1(x)
f (x; y) dy:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

En consecuencia se tiene que:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:
Si f es continua en una región D del tipo I tal que
entonces
D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g
ZZ
f (x; y) dA =
D
Z b Z g2(x)
a
g 1(x)
f (x; y) dy dx:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:
Si f es continua en una región D del tipo I tal que
entonces
D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g
ZZ
f (x; y) dA =
D
Z b Z g2(x)
a
g 1(x)
f (x; y) dy dx:
Región del tipo II. D = f(x; y) j c y d; h 1 (y) x h 2 (y)g :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:
Si f es continua en una región D del tipo I tal que
entonces
D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g
ZZ
f (x; y) dA =
D
Z b Z g2(x)
a
g 1(x)
f (x; y) dy dx:
Región del tipo II. D = f(x; y) j c y d; h 1 (y) x h 2 (y)g :
Algunos ejemplos de regiones tipo II
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:
Si f es continua en una región D del tipo I tal que
entonces
D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g
ZZ
f (x; y) dA =
D
Z b Z g2(x)
a
g 1(x)
f (x; y) dy dx:
Región del tipo II. D = f(x; y) j c y d; h 1 (y) x h 2 (y)g :
Algunos ejemplos de regiones tipo II
Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar que
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:
Si f es continua en una región D del tipo I tal que
entonces
D = f(x; y) j a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g
ZZ
f (x; y) dA =
D
Z b Z g2(x)
a
g 1(x)
f (x; y) dy dx:
Región del tipo II. D = f(x; y) j c y d; h 1 (y) x h 2 (y)g :
Algunos ejemplos de regiones tipo II
Si se usan los métodos
ZZ
que se emplearon
Z
antes, se puede demostrar que
d Z h2(y)
f (x; y) dA = f (x; y) dx dy
donde D es una región del tipo II.
D
c h 1(y)
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x
x dA =
x dy dx
D
0 0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
D
0
0
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
D
=
0
Z
0
0
x sen x dx
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
D
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
D
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
R x
x 2 xy dy dx:
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
x 2 xy dy dx: Observe que la región de integración es
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
x 2 xy dy dx: Observe que la región de integración es
)
Z 1 Z x
0
0
x 2 xy dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
xy dy dx: Observe que la región de integración es
x 2 Z 1 Z x
Z 1
x
)
x y2
dx
2
x 2
0
0
x 2 xy dy dx =
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
xy dy dx: Observe que la región de integración es
x 2 Z 1 Z x
Z 1
x
)
x y2
dx
2
x 2
= 1 2
0
Z 1
0
0
x 2 xy dy dx =
x x 2
x 4 dx
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
xy dy dx: Observe que la región de integración es
x 2 Z 1 Z x
Z 1
x
) xy dy dx =
x y2
dx
x 2
2 x 2
= 1 2
0
Z 1
0
0
x x 2 x 4 dx = 1 2
0
Z 1
0
x 3
x 5 dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
xy dy dx: Observe que la región de integración es
x 2 Z 1 Z x
Z 1
x
) xy dy dx =
x y2
dx
x 2
2 x 2
0
Z 1
= 1 x x 2 x 4 dx = 1 2 0
2
= 1 x
4
x 6 1
2 4 6
0
0
0
Z 1
0
x 3
x 5 dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplos
Ejemplo
ZZ
Evalue la integral x dA, donde D = f(x; y) j 0 x ; 0 y sen xg :
D
Solución.
ZZ
Z Z sen x Z
x dA =
x dy dx = [xy] sen x
0
dx
Ejemplo
D
Evalue la integral R 1
0
=
0
Z
0
0
x sen x dx = [sen x x cos x] 0 = :
R x
xy dy dx: Observe que la región de integración es
x 2 Z 1 Z x
Z 1
x
) xy dy dx =
x y2
dx
x 2
2 x 2
0
Z 1
= 1 x x 2 x 4 dx = 1 2 0
2
= 1 x
4
x 6 1
= 1
2 4 6
0
24 :
0
0
Z 1
0
x 3
x 5 dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
0 y
xy dx dy
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8
0
evaluar R e x4 dx.
R 2
3 p y ex4 dx dy, se enfrenta a la tarea de
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g = (x; y) j 0 x 2; 0 y x 3 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g = (x; y) j 0 x 2; 0 y x 3 :
Luego la integral
Z 8 Z 2
0
3p y
e x4 dxdy =
Z 2 Z x
3
0
0
e x4 dydx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g = (x; y) j 0 x 2; 0 y x 3 :
Luego la integral
Z 8 Z 2
0
3p y
e x4 dxdy =
Z 2 Z x
3
0
0
e x4 dydx=
Z 2
0
hye x4i x 3
0 dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g = (x; y) j 0 x 2; 0 y x 3 :
Luego la integral
Z 8 Z 2
0
3p y
e x4 dxdy =
Z 2 Z x
3
0
0
e x4 dydx=
Z 2
0
hye x4i Z
x 3 2
dx= x 3 e x4 dx
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3
0

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g = (x; y) j 0 x 2; 0 y x 3 :
Luego la integral
Z 8 Z 2
0
3p y
e x4 dxdy =
Z 2 Z x
3
0
0
e x4 dydx=
Z 2
0
hye x4i Z
x 3 2
2 1 dx= x 3 e x4 dx=
0 0
4 ex4 0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Observe que la región de integración se puede escribir también como
Z 1 Z p y
xy dx dy =
Z 1
0 y
0
x
2
p y
2 y dy = 1 2
y
Z 1
0
y y y 2 dy = 1 2
y
3
3
y 4 1
= 1 4
0
24 :
Ejemplo
Si se intenta evaluar la integral R 8 R 2
0
p 3 dx dy, se enfrenta a la tarea de
y ex4
evaluar R e x4 dx. Pero es imposible hacerlo en términos …nitos, puesto que no
es una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.
Observe que
D = f(x; y) j 0 y 8;
3 p y x 2g = (x; y) j 0 x 2; 0 y x 3 :
Luego la integral
Z 8 Z 2
0
3p y
e x4 dxdy =
Z 2 Z x
3
0
0
e x4 dydx=
Z 2
0
hye x4i Z
x 3 2
2 1 dx= x 3 e x4 dx= = 1
0 0
4 ex4 0
4 e16 1 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx:
0 x 3
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3
)
Z 1 Z x
2
0
x 3
y dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 2
Z 1
0
x 4
x 6 dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
2
2 5 7
0
1
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
V =
Z 1 Z 1 x
0
0
(1 x y) dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
Z 1 Z 1 x
Z 1
y 2 1 x
V = (1 x y) dy dx = y xy dx
2
0
0
0
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
Z 1 Z 1 x
Z 1
y 2 1 x
V = (1 x y) dy dx = y xy dx
0 0
0
2
0
Z "
#
1
(1 x) 2
= (1 x) x (1 x)
dx
2
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
Z 1 Z 1 x
Z 1
y 2 1 x
V = (1 x y) dy dx = y xy dx
0 0
0
2
0
Z "
#
1
(1 x) 2
= (1 x) x (1 x)
dx
0
2
Z 1
1
=
2 x2 x + 1 dx
2
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
Z 1 Z 1 x
Z 1
y 2 1 x
V = (1 x y) dy dx = y xy dx
0 0
0
2
0
Z "
#
1
(1 x) 2
= (1 x) x (1 x)
dx
=
0
Z 1
0
1
2 x2 x + 1 dx =
2
2
1 1
6 x3 2 x2 + 1 1
2 x 0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Ejemplo
Evaluar la integral iterada R 1R x
2
ydydx: Observe que la región de integración es
0 x 3 Z 1 Z x
2 Z 1
y
2 x
2
) y dy dx =
dx
0 x 3 0 2
x 3
= 1 Z 1
x 4 x 6 dx = 1 x
5
x 7
= 1
2
2 5 7 35 :
0
1
0
Ejemplo
Halle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y
z = 1 x y. Iniciemos dibujando los planos dados
Z 1 Z 1 x
Z 1
y 2 1 x
V = (1 x y) dy dx = y xy dx
0 0
0
2
0
Z "
#
1
(1 x) 2
= (1 x) x (1 x)
dx
=
0
Z 1
0
1
2 x2 x + 1 dx =
2
2
1 1
6 x3 2 x2 + 1 1
2 x 0
= 1 6 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Propiedades en regiones más generales
Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidas
para regiones más generales.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Propiedades en regiones más generales
Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidas
para regiones más generales.
Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, la
integral tiene dos interprestaciones a saber. Si
= f(x; y; z) j 0 z 1; (x; y) 2 Dg, entonces
ZZ
1 dA = V ol () = A (D) :
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Propiedades en regiones más generales
Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidas
para regiones más generales.
Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, la
integral tiene dos interprestaciones a saber. Si
= f(x; y; z) j 0 z 1; (x; y) 2 Dg, entonces
ZZ
1 dA = V ol () = A (D) :
Si D es del tipo I, entonces
ZZ Z b Z g2(x)
1 dA = dy dx =
D
a
D
g 1(x)
Z b
a
(g 2 (x) g 1 (x)) dx = A (D) :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Propiedades en regiones más generales
Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidas
para regiones más generales.
Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, la
integral tiene dos interprestaciones a saber. Si
= f(x; y; z) j 0 z 1; (x; y) 2 Dg, entonces
ZZ
1 dA = V ol () = A (D) :
Si D es del tipo I, entonces
ZZ Z b Z g2(x)
1 dA = dy dx =
D
a
D
g 1(x)
Z b
a
(g 2 (x) g 1 (x)) dx = A (D) :
Si m f (x; y) M para todo punto (x; y) 2 D, entonces
ZZ
m A (D) f (x; y) dA M A (D) :
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
Puede observarse que
1 cos x sen y 1;
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
Puede observarse que
1 cos x sen y 1;
y dado que la función exponencial es creciente,
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
Puede observarse que
1 cos x sen y 1;
y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que
e 1 e cos x sen y e:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
Puede observarse que
1 cos x sen y 1;
y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que
En consecuencia,
ZZ
e 1 A (D)
e 1 e cos x sen y e:
D
e cos x sen y dA e A (D) :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
Puede observarse que
1 cos x sen y 1;
y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que
En consecuencia,
ZZ
e 1 A (D)
Como A (D) = 4,
e 1 e cos x sen y e:
D
e cos x sen y dA e A (D) :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:
Puede observarse que
1 cos x sen y 1;
y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que
En consecuencia,
ZZ
e 1 A (D)
Como A (D) = 4, entonces
e 1 e cos x sen y e:
D
e cos x sen y dA e A (D) :
4
e
ZZD
e cos x sen y dA 4e:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
V =
Z 1
1Z 1
x 2 (1
y) dy dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
V =
Z 1 1
1
(1 y) dy dx =Z
y
1Z
x 2 1
y 2 1
dx
2
x 2
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
V =
=
Z 1 1
1
(1 y) dy dx =Z
y
1Z
x 2 1
1
x 2 + x4
dx
2 2
Z 1
1
y 2 1
dx
2
x 2
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
V =
=
Z 1 1
1
(1 y) dy dx =Z
y
1Z
x 2 1
1
x 2 + x4
dx =
2 2
Z 1
1
y 2 1
dx
2
x 2
1
2 x 1
3 x3 + 1 10 x5 1
1
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Ejemplo
Halle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x 2 y los
planos z = 1 y y z = 0.
Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados
V =
=
Z 1 1
1
(1 y) dy dx =Z
y
1Z
x 2 1
1
x 2 + x4
dx =
2 2
Z 1
1
y 2 1
dx
2
x 2
1
2 x 1
3 x3 + 1 10 x5 1
1
= 8 15 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 3 3

Integrales dobles en coordenadas polares
Si se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, la
descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,
mientras que en coordenadas polares es más sencilla.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 3 3

Integrales dobles en coordenadas polares
Si se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, la
descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,
mientras que en coordenadas polares es más sencilla.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 3 3

Integrales dobles en coordenadas polares
Si se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, la
descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,
mientras que en coordenadas polares es más sencilla.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 3 3

Integrales dobles en coordenadas polares
Si se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, la
descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,
mientras que en coordenadas polares es más sencilla.
R = f(r; ) j 0 r 1; 0 2g
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 3 3

Integrales dobles en coordenadas polares
Si se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, la
descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,
mientras que en coordenadas polares es más sencilla.
R = f(r; ) j 0 r 1; 0 2g
R = f(r; ) j 1 r 2; 0 g
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 3 3

Integrales dobles en coordenadas polares
Si se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, la
descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,
mientras que en coordenadas polares es más sencilla.
R = f(r; ) j 0 r 1; 0 2g
R = f(r; ) j 1 r 2; 0 g
Es de recordar que las coordenadas polares (r; ) de un punto se relacionan
con las coordenadas rectangulares (x; y) mediante las ecuaciones
8
r 2 = x 2 + y 2
><
x = r cos
>:
y = r sen
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 3 3

Las regiones anteriores son casos especiales de rectángulos polares
R = f(r; ) j a r b; g :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 3 3

Las regiones anteriores son casos especiales de rectángulos polares
R = f(r; ) j a r b; g :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 3 3

Las regiones anteriores son casos especiales de rectángulos polares
R = f(r; ) j a r b; g :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 3 3

Las regiones anteriores son casos especiales de rectángulos polares
R = f(r; ) j a r b; g :
Para calcular la integral doble RR f (x; y) dA, donde R es un rectángulo polar,
R
se divide el intervalo [a; b] en m subintervalos [r i 1 ; r i ] de amplitud
r = (b a) =m y se divide el intervalo [; ] en n subintervalos [ j 1 ; j ] de
amplitud = ( ) =n.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 3 3

Las regiones anteriores son casos especiales de rectángulos polares
R = f(r; ) j a r b; g :
Para calcular la integral doble RR f (x; y) dA, donde R es un rectángulo polar,
R
se divide el intervalo [a; b] en m subintervalos [r i 1 ; r i ] de amplitud
r = (b a) =m y se divide el intervalo [; ] en n subintervalos [ j 1 ; j ] de
amplitud = ( ) =n. Como se ve en la …gura, los círculos r = r i y los
rayos = j dividen al rectángulo polar R en pequeños rectángulos polares.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 ,
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 , esto es
A i = 1 2 r2 i
1
2 r2 i 1
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 , esto es
A i = 1 2 r2 i
1
2 r2 i 1 = 1 2 (r i + r i 1 ) (r i r i 1 )
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 , esto es
A i = 1 2 r2 i
1
2 r2 i 1 = 1 2 (r i + r i 1 ) (r i r i 1 ) = r i r:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 , esto es
A i = 1 2 r2 i
1
2 r2 i 1 = 1 2 (r i + r i 1 ) (r i r i 1 ) = r i r:
ZZ
R
f (x; y) dA = lm
mX
m;n!1
i=1 j=1
nX
f ri cos j ; ri sen
j Ai
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 , esto es
A i = 1 2 r2 i
1
2 r2 i 1 = 1 2 (r i + r i 1 ) (r i r i 1 ) = r i r:
ZZ
R
f (x; y) dA = lm
mX
m;n!1
i=1 j=1
= lm
mX
m;n!1
i=1 j=1
nX
f ri cos j ; ri sen
j Ai
nX
f ri cos j ; ri sen
j r
i r
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

El subrectángulo polar R ij = f(r; ) j r i 1 r r i ; j 1 j g tiene
como “centro”el punto
r i = 1 2 (r i 1 + r i ) ; j = 1 2 ( j 1 + j ) :
Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo
es 1 2 r2 , se encuentra que el área de R ij es la restar de dos sectores de esta
clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central = j j 1 , esto es
A i = 1 2 r2 i
1
2 r2 i 1 = 1 2 (r i + r i 1 ) (r i r i 1 ) = r i r:
ZZ
R
f (x; y) dA = lm
mX
m;n!1
i=1 j=1
= lm
=
mX
m;n!1
i=1 j=1
Z Z b
a
nX
f ri cos j ; ri sen
j Ai
nX
f ri cos j ; ri sen
j r
i r
f (r cos ; r sen ) r dr d:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 3 3

Cambio a coordenadas polares en una integral doble
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 3 3

Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 a r b, ,
donde 0
ZZ
2, entonces
Z Z b
f (x; y) dA = f (r cos ; r sen ) r dr d:
R
a
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 3 3

Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 a r b, ,
donde 0
ZZ
2, entonces
Z Z b
f (x; y) dA = f (r cos ; r sen ) r dr d:
R
a
Regiones más generales en coordenadas polares
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 3 3

Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 a r b, ,
donde 0
ZZ
2, entonces
Z Z b
f (x; y) dA = f (r cos ; r sen ) r dr d:
R
a
Regiones más generales en coordenadas polares
Si f es continua en una región polar de la forma
D = f(r; ) j ; h 1 () r h 2 ()g
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 3 3

Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 a r b, ,
donde 0
ZZ
2, entonces
Z Z b
f (x; y) dA = f (r cos ; r sen ) r dr d:
R
a
Regiones más generales en coordenadas polares
Si f es continua en una región polar de la forma
ZZ
entonces
D = f(r; ) j ; h 1 () r h 2 ()g
f (x; y) dA =
Z Z h2()
f (r cos ; r sen ) r dr d:
R
h 1()
G A D ( U I S ) I n t e g r a le s d o b le s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4 = f(r; ) j 0 r 2; 0 2g :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4 = f(r; ) j 0 r 2; 0 2g :
V =
ZZ
D
4 x 2 y 2 dA
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4 = f(r; ) j 0 r 2; 0 2g :
V =
ZZ
D
4 x 2 y 2 dA =
Z 2 Z 2
0
0
4 r 2 r dr d
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4 = f(r; ) j 0 r 2; 0 2g :
V =
=
ZZ
D
Z 2
0
4 x 2 y 2 dA =
2
2r 2 1
4 r4 d
0
Z 2 Z 2
0
0
4 r 2 r dr d
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4 = f(r; ) j 0 r 2; 0 2g :
V =
=
ZZ
D
Z 2
0
4 x 2 y 2 dA =
Z 2 Z 2
2
2r 2 1
4 r4 d = 2 (8 4)
0
0
0
4 r 2 r dr d
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4 x 2 y 2
y arriba del plano z = 0.
Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4 x 2 y 2 = 0, lo que es
equivalente a x 2 + y 2 = 4, y que corresponde a la región de integración
D = (x; y) j x 2 + y 2 4 = f(r; ) j 0 r 2; 0 2g :
V =
=
ZZ
D
Z 2
0
4 x 2 y 2 dA =
Z 2 Z 2
2
2r 2 1
4 r4 d = 2 (8 4) = 8:
0
0
0
4 r 2 r dr d
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
2 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
2 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
ZZ
V = (z M z m ) dA
D
2 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
ZZ
ZZ p p
V = (z M z m ) dA = 1 x
2
y 2 x2 + y 2 dA
D
D
2 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
ZZ
ZZ p p
V = (z M z m ) dA = 1 x
2
y 2 x2 + y 2 dA
=
D
Z 2 Z p 2=2
0 0
D
p
1 r
2
r
r dr d
2 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
ZZ
ZZ p p
V = (z M z m ) dA = 1 x
2
y 2 x2 + y 2 dA
=
D
Z 2 Z p 2=2
0 0
0 0
D
p
1 r
2
r
r dr d =
Z 2 Z p 2=2
2 :
r p 1 r 2 r 2 dr d
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
ZZ
ZZ p p
V = (z M z m ) dA = 1 x
2
y 2 x2 + y 2 dA
=
D
Z 2 Z p 2=2
0
0
1
= 2 1 r 2 3=2
3
D
p
1 r
2
r
r dr d =
r 3p 2=2
Z 2 Z p 2=2
0 0
2 :
r p 1 r 2 r 2 dr d
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a le s d o b le s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del cono
z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene
x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ) x 2 + y 2 = 1 2 ) r2 = 1 2 ) r = p 2
n
La región de integración es D = (r; ) j 0 r p o
2
2 ; 0 2 :
ZZ
ZZ p p
V = (z M z m ) dA = 1 x
2
y 2 x2 + y 2 dA
=
D
Z 2 Z p 2=2
0
0
1
= 2 1 r 2 3=2
3
D
p
1 r
2
r
r dr d =
r 3p 2=2
0
= 3
Z 2 Z p 2=2
0
2
0
2 :
r p 1 r 2 r 2 dr d
p
2
:
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
D = (r; ) j
4 4
; 0 r cos 2; :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
D = (r; ) j
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA
D
4 4
; 0 r cos 2; :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA =
D
D = (r; ) j
Z =4 Z cos 2
=4
0
4 4
; 0 r cos 2; :
r dr d
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA =
D
D = (r; ) j
Z =4 Z cos 2
=4
0
4 4
; 0 r cos 2; :
r dr d =
Z =4
=4
cos 2 1
2 r2 d
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA =
= 1 2
D
Z =4
=4
D = (r; ) j
Z =4 Z cos 2
=4
cos 2 2 d
0
4 4
; 0 r cos 2; :
r dr d =
Z =4
=4
cos 2 1
2 r2 d
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA =
= 1 2
D
Z =4
=4
D = (r; ) j
Z =4 Z cos 2
=4
0
cos 2 2 d = 1 4
4 4
; 0 r cos 2; :
r dr d =
Z =4
=4
Z =4
=4
(1 + cos 4) d
cos 2 1
2 r2 d
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA =
D
Z =4
D = (r; ) j
Z =4 Z cos 2
=4
0
4 4
; 0 r cos 2; :
r dr d =
Z =4
Z =4
=4
cos 2 1
2 r2 d
0
+ 1 4 sen 4 =4
= 1 2
=4
cos 2 2 d = 1 4
=4
(1 + cos 4) d = 1 4
=4
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Ejemplo
Encuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2.
Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región
Así que el área es
ZZ
A (D) = dA =
= 1 2
D
Z =4
=4
D = (r; ) j
Z =4 Z cos 2
=4
0
cos 2 2 d = 1 4
4 4
; 0 r cos 2; :
r dr d =
Z =4
=4
Z =4
=4
cos 2 1
2 r2 d
0
(1 + cos 4) d = 1 + 1 =4
4 4 sen 4 =
=4
8 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 3 3

Aplicaciones de las integrales dobles
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 3 3

Aplicaciones de las integrales dobles
Densidad y masa
Una lámina ocupa una región D del plano xy y (x; y) es la densidad (unidad
de masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 3 3

Aplicaciones de las integrales dobles
Densidad y masa
Una lámina ocupa una región D del plano xy y (x; y) es la densidad (unidad
de masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D. es una función continua,
esto signi…ca que
(x; y) = lm m
A :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 3 3

Aplicaciones de las integrales dobles
Densidad y masa
Una lámina ocupa una región D del plano xy y (x; y) es la densidad (unidad
de masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D. es una función continua,
esto signi…ca que
(x; y) = lm m
A :
La masa total m de la lámina se aproxima por
mX nX
m (x ij ; y ij ) A ij
i=1 j=1
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 3 3

Aplicaciones de las integrales dobles
Densidad y masa
Una lámina ocupa una región D del plano xy y (x; y) es la densidad (unidad
de masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D. es una función continua,
esto signi…ca que
(x; y) = lm m
A :
La masa total m de la lámina se aproxima por
mX nX
m (x ij ; y ij ) A ij
i=1 j=1
y en consecuencia se tiene que
mX nX
ZZ
m = lm (x ij ; y ij ) A ij =
m;n!1
i=1 j=1
D
(x; y) dA;
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y).
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a los
ejes coordenados
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a los
ejes coordenados
ZZ
M y = x (x; y) dA y
D
ZZ
M x = y (x; y) dA:
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a los
ejes coordenados
ZZ
M y = x (x; y) dA y
D
ZZ
M x = y (x; y) dA:
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a los
ejes coordenados
ZZ
M y = x (x; y) dA y
D
ZZ
M x = y (x; y) dA:
D
El centro de masa es (x; y), de…nido por x = M y
m y y = M x
m .
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a los
ejes coordenados
ZZ
M y = x (x; y) dA y
D
ZZ
M x = y (x; y) dA:
D
El centro de masa es (x; y), de…nido por x = M y
m y y = M x
m .
Los momentos de inercia alrededor de los dos ejes coordenados son
ZZ
ZZ
I x = y 2 (x; y) dA y I y = x 2 (x; y) dA:
D
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Análogamente, si (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad de
carga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Q
viene dada por
ZZ
Q = (x; y) dA:
D
Momentos y centros de masa
Busquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del plano
xy, con densidad (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a los
ejes coordenados
ZZ
M y = x (x; y) dA y
D
ZZ
M x = y (x; y) dA:
D
El centro de masa es (x; y), de…nido por x = M y
m y y = M x
m .
Los momentos de inercia alrededor de los dos ejes coordenados son
ZZ
ZZ
I x = y 2 (x; y) dA y I y = x 2 (x; y) dA:
D
D
ZZ
Momento polar de inercia I 0 = x 2 + y 2 (x; y) dA:
D
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ
D
y dA
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ Z 3 9 x
2
y dA = y dy dx
3Z
D
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ Z 3 9 x
2 Z 3
9 x
2
1
y dA = y dy dx =
3Z
3 2 y2 dx
D
0
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ Z 3 9 x
2 Z 3
9 x
2
1
y dA = y dy dx =
3Z
3 2 y2 dx = 1 2
D
0
0
Z 3
3
9 x 2 2
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ Z 3 9 x
2 Z 3
9 x
2
1
y dA = y dy dx =
3Z
3 2 y2 dx = 1 2
D
0
0
Z 3
3
9 x 2 2
dx
= 1 2
Z 3
3
81 18x 2 + x 4 dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ
= 1 2
D
Z 3
3
Z 3 9 x
2 Z 3
9 x
2
1
y dA = y dy dx =
3Z
0
3 2 y2 dx = 1
0
2
81 18x 2 + x 4 dx = 1 81x 6x 3 + x5
2
5
3
3
Z 3
3
9 x 2 2
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región D
limitada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x y cuya densidad en el punto
(x; y) es (x; y) = y.
10
5
­2 2
m =
ZZ
= 1 2
D
Z 3
3
Z 3 9 x
2 Z 3
9 x
2
1
y dA = y dy dx =
3Z
0
3 2 y2 dx = 1
0
2
81 18x 2 + x 4 dx = 1 81x 6x 3 + x5
2
5
3
3
Z 3
3
= 648
5 :
9 x 2 2
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ
D
xy dA
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
xy dA =
xy dy dx
3
D
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9
3
x 2 2
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
D
y 2 dA
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
y 2 dA =
y 2 dy dx
3
D
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
D
0
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
D
0
0
= 1 3
Z 3
3
9 x 2 3
dx
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
= 1 3
D
Z 3
3
Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
0
9 x 2 3
dx =
1
3
Z 3
3
729 243x 2 + 27x 4 x 6 dx
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
= 1 3
= 1 3
D
Z 3
3
Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
0
9 x 2 3
dx =
1
3
Z 3
3
729x 81x 3 + 27 5 x5 1
7 x7 3
3
729 243x 2 + 27x 4 x 6 dx
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
= 1 3
= 1 3
D
Z 3
3
Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
0
9 x 2 3
dx =
1
3
Z 3
3
729x 81x 3 + 27 5 x5 1
7 x7 3
3
729 243x 2 + 27x 4 x 6 dx
=
23 328
35 :
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
= 1 3
= 1 3
D
Z 3
3
Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
0
9 x 2 3
dx =
1
3
Z 3
3
729x 81x 3 + 27 5 x5 1
7 x7 3
3
x = M y
m = 0;
729 243x 2 + 27x 4 x 6 dx
=
23 328
35 :
0
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
= 1 3
= 1 3
D
Z 3
3
Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
0
9 x 2 3
dx =
1
3
Z 3
3
729x 81x 3 + 27 5 x5 1
7 x7 3
3
729 243x 2 + 27x 4 x 6 dx
=
23 328
35 :
0
x = M y
m = 0;
y = M x
m = 5 23 328
648 35
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3

Ejemplo
M y =
ZZ Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
xy dA =
xy dy dx =
3 3 2 xy2 dx
D
0
0
= 1 2
Z 3
x 9 x 2 2
dx = 0:
3
M x =
ZZ
= 1 3
= 1 3
D
Z 3
3
Z 3 Z 9 x
2
Z 3
9 x
2
1
y 2 dA =
y 2 dy dx =
3 3 3 y3 dx
0
9 x 2 3
dx =
1
3
Z 3
3
729x 81x 3 + 27 5 x5 1
7 x7 3
3
729 243x 2 + 27x 4 x 6 dx
=
23 328
35 :
0
x = M y
m = 0;
y = M x
m = 5 23 328
= 36 648 35 7 :
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 3 3