4 La Transformada de Fourier

4 La Transformada de Fourier4.1 ResumenEn la teoría de sistemas lineales es fundamental la representación de una señal en términos desinusoides o exponenciales complejas. Ello es debido a que una exponencial compleja es unaautofunción de cualquier sistema lineal e invariante con el tiempo, mientras que la respuestaa una sinusoide es otra sinusoide de la misma frecuencia, con fase y amplitud determinadaspor el sistema. De este modo, la representación en frecuencia de la señales, a través de laTransformada de Fourier, resulta imprescindible para analizar las señales y los sistemas.Objetivo: Familiarizarse con la Transformada de Fourier: su significado, sus propiedades, ysu manejo. Se introducirán diversas funciones para calcular y visualizar la Transformada deFourier en sus diversos aspectos, que serán de gran utilidad a lo largo del resto del curso.Duración: Dos sesiones de 2 horas4.2 Introducción teóricaAl igual que ocurre en el caso continuo, el concepto del dominio de la frecuencia es fundamentalpara entender las señales discretas y el comportamiento de los sistemas LIT. El espectro de unaseñal nos enseña cómo es esa señal en el dominio frecuencial; la respuesta en frecuencia de unsistema nos aporta el conocimiento de como se comporta ese sistema para diferentes entradas,gracias a la perspectiva que aporta el dominio de la frecuencia.4.2.1 Cálculo de la transformadaLa transformada de Fourier de una señal discreta (DTFT) es una señal periódica de período2π. Así, la ecuación de síntesis de x[n] a partir de su transformada se puede ver como el cálculode los coeficientes de la serie de Fourier de la señal periódica X(e jω ), mientras que la ecuaciónde análisis refleja el desarrollo en serie de la transformada en función de los coeficientes x[n].A la hora de plantear la DTFT computacionalmente cabe hablar de dos problemas: la transformadade señales infinitas, y el hecho de que la transformada es continua, cuando sólo podemostrabajar de forma discreta. Ante el primer problema sólo cabe decir que se podrá evaluar latransformada de señales infinitas cuando esta se pueda representar analíticamente. En cuantoa la naturaleza discreta de los cálculos, aunque la transformada es continua sólo podremos47

PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.2. INTRODUCCIÓN TEÓRICAUtilizando las propiedades de desplazamiento y linealidad de la transformada de Fourier, demuestreque la respuesta en frecuencia de un sistema LIT descrito por una ecuación en diferenciascon coeficientes constantes puede expresarse como:H(e jω ) =M∑b k e −jωkk=0N∑a k e −jωkk=0Si necesitamos representar una respuesta en frecuencia de un filtro expresado de esta forma,haremos:>> H = freqz(b,a,128,"whole");>> plot(2*pi*(0:127)/128,abs(H));>> plot(2*pi*(0:127)/128,angle(H));4.2.2 AutofuncionesEl concepto de autofunción de un sistema LIT es la base para comprender su respuesta enfrecuencia. Así, para un sistema con respuesta impulsional h[n], la salida ante una exponencialcompleja de la forma e jω 0n será∞∑y[n] = h[k]e jω0(n−k) = H(e jω 0)e jω 0nk=−∞(4.1)Un sistema LIT tiene como autofunciones el conjunto de exponenciales complejas de la formaz n 0 , que sólo se ven modificadas a su paso por el sistema por una constante compleja. En el casode z 0 = e jω 0, esa constante es el valor de la respuesta en frecuencia (transformada de Fourierde la respuesta impulsional) a la frecuencia ω 0 .Por tanto, la Transformada de Fourier de una señal nos informa de como responde el sistemadescrito por esa señal para cada frecuencia de entrada, o lo que es lo mismo, nos aporta elcontenido en frecuencia de la señal, ya que con la ecuación de síntesis se puede reconstruir laseñal con exponenciales complejas, tal y como se describe a continuación:X(e jω ) =∞∑n=−∞x[n]e −jωn (4.2)x[n] = 1 ∫ πX(e jω )e jωn dω (4.3)2π −π49

4.2.INTRODUCCIÓN TEÓRICA PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER Ejercicio 20 En este ejercicio se va a identificar la respuesta en frecuencia de un sistema(la Transformada de Fourier de su respuesta al impulso) a determinadas frecuencias. Para ello,sólo podemos introducir señales a su entrada y observar lo que ocurre a su salida.Utilizaremos exponenciales complejas como entradas, dado su carácter de autofunciones. Observandola salida, podremos obtener información sobre como se comporta el sistema para cadafrecuencia de interés. Así, considerar el sistema con respuesta impulsionalh[n] = 0.03δ[n] + 0.4δ[n − 1] +0.54δ[n − 2] + 0.2δ[n − 3] −0.2δ[n − 4]Para definir la respuesta impulsional, basta con efectuar en Matlab>> h=[0.03 0.4 0.54 0.2 -0.2 0.1 0.2]+0.1δ[n − 5] + 0.2δ[n − 6] (4.4)Generar un conjunto de 10 exponenciales complejas con 48 puntos de longitud de la formae jω kn , para las siguientes frecuencias discretas: ω k = 2πk/10, k = 0, · · · , 9:>> omegas =(2*pi*(0:9))/10;>> e1 = exp(j*omegas(1)*(0:47));>> e2 = exp(j*omegas(2)*(0:47));>> ...También se puede realizar un bucle for para la generación de esas diez señales, introduciéndolascomo filas o columnas de un matriz.Calcular la salida del filtro para cada una de las exponenciales, convolucionando cada señalde entrada con el filtro definido al comienzo:>> y1 = conv(e1,h);>> y2 = conv(e2,h);>> ...Superponer en la misma gráfica la entrada e1 y la salida y1:>> plot(e1);>> hold;>> plot(y1);>> hold;Razonar el porqué de la aparición de los efectos en los bordes. Repetir la operación para laspartes reales de e2 y de y2, notando los efectos de borde de nuevo.NOTA: No tratar de representar las exponenciales complejas directamente, sinosus partes reales (o imaginarias).50

PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.2. INTRODUCCIÓN TEÓRICAEn el ejercicio anterior la fase y amplitud de la señal de salida son diferentes a las de la señal deentrada. Esa diferencia viene determinada por la respuesta en frecuencia para ω = omegas(2).Por tanto, sabiendo que la señal de salida es en cada caso la señal de entrada multiplicada porla respuesta en frecuencia evaluada a esa frecuencia:y[n] = H(e jω 0)e jω 0n(4.5)se propone el siguiente ejercicio, consistente en evaluar la respuesta en frecuencia del sistemapara cada una de las diez frecuencias estudiadas anteriormente. Para ello, pensar que el vectorde salida es igual al vector de entrada multiplicado por un escalar complejo para casi todoslos instantes (excepto en los bordes), con lo que una simple división en un instante apropiadonos dará el valor de dicho escalar. (¡¡¡ NO TRATAR DE HACER UNA DIVISIÓN DEVECTORES!!!) Ejercicio 21 Construir un vector Haprox a partir de esos 10 valores, y visualizar un dibujoaproximado de la transformada de Fourier de h de la forma:>> plot(omegas,abs(Haprox));Ese dibujo nos proporciona una aproximación a la magnitud de la respuesta en frecuenciadel sistema. Podemos superponer la respuesta en frecuencia evaluada en muchos más puntos,de la forma:>> hold;>> H=fft(h,128);>> plot(2*pi*(0:127)/128,abs(H));Comprobar que, efectivamente, H es igual a la respuesta en frecuencia a las frecuenciasω k = 2πk/10, k = 0, · · · , 9. Notar la simetría de la representación, dado que estamos visualizandola transformada en el intervalo [0, 2π), y la magnitud es par (h[n] real).4.2.3 SimetríasA la hora de trabajar con simetrías en torno al origen, hay que insistir en que Matlab consideraque las señales comienzan en n = 0 a la hora de evaluar su transformada de Fourier. Ejercicio 22 Considerar el pulso rectangular de anchura L definido como{ 1 0 ≤ n < Lx[n] =0 restoObtener la expresión analítica de su transformada de Fourier a partir de la ecuación (4.2).Observar en la ecuación resultante el término de fase debido a que el pulso está centrado en(L − 1)/2.Utilizando la función fft(), obtener 256 puntos de la transformada de un pulso de longitudL = 16. Dibujar en diagramas separados el módulo y la fase, razonando su forma en base alcálculo analítico de la transformada realizado anteriormente:(4.6)51

4.2.INTRODUCCIÓN TEÓRICA PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER>> pulso = ...>> H = fft(pulso,256);>> plot(2*pi*(0:255)/256,abs(H)); % Para dibujar la magnitud>> figure(1);>> plot(2*pi*(0:255)/256,angle(H)); % Para dibujar la fase• Calcular teóricamente las frecuencias a las cuales se hace 0 la transformada, en funciónde L.• Razonar para qué valores de frecuencia se producen las discontinuidades en la fase.• Para L = 9, pensar qué desplazamiento debería sufrir el pulso definido anteriormentepara que el espectro de la señal resultante fuese real. ¿Es causal el sistema resultanterepresentado por esa respuesta impulsional?Para vectores cuyo primer valor represente un instante de tiempo distinto del cero habrá queintroducir una corrección: Ejercicio 23 Escribir el código de una función que, utilizando la función fft(), calcule latransformada de Fourier de una señal discreta de la siguiente forma:function [H,w] = dtft(h,no,N)% h: vector de entrada% no: instante de tiempo en el cual comienza h% N: numero de puntos a calcular de la transformada de h% H: vector de la transformada de Fourier de H% w: frecuencias en las que se evalua la transformadaPara realizar la función hay que tener en cuenta la propiedad del desplazamiento de la transformadade Fourier, bajo la cual un desplazamiento en el tiempo equivale a un desplazamientoen frecuencia:x[n − n 0 ] −→ e −jωn 0X(e jω ) (4.7)Tener en cuenta que la función fft() considera el instante de comienzo de la señal en n 0 = 0.Recordar además que los valores de las frecuencias en los cuales la función fft() calcula latransformada vienen dados por:ω k = 2πkN , k = 0, · · · , N − 1en donde N es el número de valores que se calculan de la transformada de Fourier, que comose puede apreciar, están equiespaciados entre 0 y 2π. Efectuar el producto punto a punto entredos vectores de tal modo que los dos sean filas o columnas. De lo contrario se obtendrá un errorde no correspondencia entre matrices.52

PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.2. INTRODUCCIÓN TEÓRICAA fin de probar la función, calcular la transformada de Fourier de un pulso rectangular delongitud 9 y centrado en el 0, comprobando que la parte imaginaria de su transformada es0. Representar la parte real de dicha transformada. Razonar la forma de la transformada deFourier del pulso entre −L/2 y L/2 a medida que L tiende a ∞.En general, podemos descomponer una señal compleja en su parte real y su parte imaginaria,y a su vez cada una de ellas en parte par e impar:x[n] = xreal par [n] + xreal impar [n] + j ximag par [n] + j ximag impar [n] (4.8)en donde la parte par de una señal z[n] se define como (z[n] + z[−n])/2, y la parte impar como(z[n] − z[−n])/2. Hay que tener en cuenta que aunque una señal sea la respuesta de un sistemacausal, sus partes par e impar no, debido a la simetría que presentan respecto al origen.□ Cuestión 9 Sea la descomposición vista anteriormente de una señal x[n]x[n] = xreal par [n] + xreal impar [n] + j ximag par [n] + j ximag impar [n] (4.9)y de su transformada X(e jω )X(e jω ) = Xreal par (e jω ) + Xreal impar (e jω ) + j Ximag par (e jω ) + j Ximag impar (e jω ) (4.10)Asociar las componentes temporales con sus respectivas componentes espectrales.Ahora podemos utilizar la función recientemente construida en el ejercicio 4.4 para constatarlas propiedades de simetría de la transformada de Fourier, que de forma resumida son:• La transformada de x ∗ [n] es X ∗ (e −jω ).• La transformada de una señal real es conjugada simétrica, es decir, el módulo es par y lafase impar.• La transformada de una señal imaginaria pura es conjugada antisimétrica, es decir,X(e jω ) = −X ∗ (e −jω ) Ejercicio 24 • Verificar que la transformada de la señal x[n] = (0.5) n sin(2πn/24),para 0 ≤ n < 32 es conjugada simétrica, observando los diagramas de módulo y fase.Para observar el módulo, utilizar la función plot() sobre el módulo de la salida que seobtiene de fft(), mientras que para la fase utilizar simplemente plot() sobre la fase dela transformada, análogamente a lo realizado en el primer ejercicio.• Comprobar que la transformada de la señal chirp x[n] = e j2πn2 /25 para −16 ≤ n ≤ 16 espar, usando la función dtft() desarrollada en el ejercicio anterior.53

4.2.INTRODUCCIÓN TEÓRICA PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER4.2.4 Señales de duración infinitaUn grupo muy útil de transformadas es aquel que procede de los sistemas descritos medianteecuaciones en diferencias , que dan lugar a respuestas impulsionales que son combinaciones deexponenciales, y que se corresponden con transformadas racionales en e jω . Dichas transformadasson de la forma:H(e jω ) =que se corresponden con sistemas de la forma:N∑a k y[n − k] =k=0∑ Mk=0 b ke −jωk∑ Nk=0 a ke −jωk (4.11)M∑b k x[n − k] (4.12)La función freqz nos permite calcular valores de ese tipo de transformadas en una seriede puntos, a través del cálculo de dos transformadas, una para el numerador y otra para eldenominador. Ejercicio 25 Sea el sistema LIT descrito mediante la ecuación en diferencias siguiente:k=0y[n] = 1 y[n − 1] + x[n] + x[n − 1] (4.13)2Utilizar la función freqz() para obtener una representación en frecuencia de la respuestaimpulsional del sistema, en 512 valores entre 0 y 2π:>> b = [... ];>> a = [... ];>> [H,w] = freqz(b,a,512,"whole");Tener en cuenta que b representa los coeficientes de la parte directa del filtro, mientras quea los de la parte realimentada.• Averiguar a qué frecuencia se hace 0 la respuesta en frecuencia del sistema.• A partir de esa frecuencia, deducir para qué señal de entrada se hará 0 la salida (dichaseñal ha de ser una autofunción).• Razonar en el dominio del tiempo, y para dicha señal de entrada, por qué la salida es 0,evaluando manualmente un par de recursiones de la ecuación en diferencias.4.2.5 Otras propiedades de la Transformada de FourierLa propiedad de enventanado explica cuál es la transformada del producto de dos señales enel tiempo:y[n] = x[n] · w[n] −→ Y (e jω ) = 1 ∫ πX(e jθ )W (e j(ω−θ) )dθ (4.14)2π −π54

PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.2. INTRODUCCIÓN TEÓRICAen donde el segundo miembro representa una convolución periódica. En una convolución de esetipo se opera sobre señales periódicas. La integral se lleva a cabo sobre un intervalo de longitudigual al período de las señales, siendo el resultado también periódico con el mismo período. Dealguna forma es la propiedad dual a la propiedad de la convolución , que nos relaciona unaconvolución en el tiempo con un producto en el dominio transformado:y[n] = x[n] ∗ h[n] −→ Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ) (4.15)al igual que ocurre en el caso continuo. Esta última propiedad no es más que una consecuenciadel hecho de que las exponenciales complejas son autofunciones de los sistemas LIT, con lo queel peso que tienen a la salida de un sistema se ve afectado por el valor de la transformada deFourier de la respuesta impulsional del sistema evaluada a esa frecuencia.Volviendo con la propiedad de enventanado, cabe decir que si se particulariza al caso enel que la ventana w[n] es una exponencial compleja nos encontramos con la propiedad de lamodulación :y[n] = x[n] · e jω 0n −→ Y (e jω ) = X(e j(ω−ω 0) ) (4.16)de tan amplio uso en comunicaciones y radar. Esta propiedad es la dual a la propiedad deldesplazamiento temporal, que se traduce en un producto en frecuencia por una exponencial.□ Cuestión 10 Demostrar que la transformada de Fourier de la parte par de una señal realx[n] es la parte real de la transformada de Fourier X(e jω ). Razonar que si x[n] = 0, n < 0,entonces X(e jω ) se puede obtener a partir de Re {X(e jω )}. Ejercicio 26 Sea un pulso x[n] de longitud 21, que podría representar el resultado de muestrearun pulso utilizado en radar (emplear la función ones()). Para enviarlo es necesario modularlo,de modo que el espectro resultante se sitúe en la frecuencia que interese. Dado quela señal a enviar será real, la modulación se lleva a cabo con un coseno, que en este casoserá cos(nπ/2). Representar el espectro de las señales moduladas y sin modular, utilizado paraello las funciones fft() y plot(), comprobando en donde se encuentra el pico de la transformada.Razonar la forma del espectro.Este ejercicio que acabamos de realizar se puede ver también desde la perspectiva del enventanado,en la cual la ventana sería el pulso original, y la señal deseada la exponencial compleja.Entonces, la multiplicación en el tiempo significa que las deltas originales en frecuencia sonensanchadas debido a la convolución con la sinc, transformada del pulso, como se puede apreciaren la siguiente figura, que representa la transformada de un coseno de frecuencia 2π/8 ylongitud 50 muestras. En frecuencia no hay dos deltas sino un par de sincs centradas a lasfrecuencias 2π/8 y 2π − 2π/8. Existen muchísimos tipos de ventanas, cada una de las cualescon propiedades diferentes. Acabamos de ver la más simple, la ventana rectangular, 1 en elintervalo de definición y 0 fuera del mismo. También es posible el uso de otras ventanas queno son constantes, sino que van disminuyendo su amplitud a medida que se alejan del puntocentra. La ventaja principal que ofrecen frente a la rectangular es que los lóbulos laterales desus transformadas son mucho más pequeños que los de una sinc, con lo que esa caída más rápidaen frecuencia hace posible una menor distorsión del espectro original. Como incoveniente hay55

4.2.INTRODUCCIÓN TEÓRICA PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER3025magnitud de la transformada201510500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500512 frecuencias entre 0 y 2pique resaltar que la anchura del lóbulo central es mayor que la correspondiente a una sinc. Amodo de ejemplo ponemos la ecuación de la ventana de Hamming, de uso muy extendido:{ 0.54 − 0.46cos(2πnx[n] =) 0 ≤ n ≤ LL0 resto(4.17) Ejercicio 27 En este ejercicio compararemos la magnitud del espectro de una ventanaHamming y de una ventana rectangular de igual longitud, comentando las principales diferencias.• Para ello, generar un pulso de 32 unos, y calcular con fft() 128 puntos de su transformada.• Utilizando la función hamming(), obtener una ventana de Hamming de 32 muestras,visualizando su forma con plot(). Calcular 128 de su transformada de Fourier.• Representar los espectros superpuestos de ambas señales. Observar las diferencias entérminos de anchura del lóbulo principal y altura de lóbulos laterales.• Razonar qué ventana sería más apropiada si nuestro objetivo es distorsionar lo menosposible el espectro de la señal enventanada.• A modo de ejemplo de empleo de ambas ventanas, visualicemos el espectro de una señalcompuesta de dos tonos, uno de los cuales es mucho más potente que el otro:>> x=cos(0.5*(0:31))+20*cos(1.5*(0:31));>> figure(0)>> plot(2*pi*(0:127)/128,abs(fft(x.*ones(1,32),128)));>> figure(1)>> plot(2*pi*(0:127)/128,abs(fft(x.*hamming(32)’,128)));56

PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.3.Observar que en el caso de la ventana de Hamming resulta mucho más fácil apreciar eltono de menor intensidad en el espectro.La propiedad de enventanado se puede utilizar para analizar el efecto de la toma de registrosfinitos de señales de longitud infinita. Es decir, se puede pensar en considerar la señal originalmultiplicada por una ventana de longitud igual a la duración del intervalo considerado, comose verá en el siguiente ejercicio. Ejercicio 28 Sea la señal h[n] = α n u[n] la respuesta impulsional de un sistema definidopor la ecuación en diferencias y[n] = αy[n − 1] + x[n]. Por lo visto anteriormente podemoscalcular valores de su transformada exacta, utilizando la función freqz(). Obtener 512 de esosvalores para a = 0.5, y compararlos con los valores obtenidos a partir de un registro finito deesa señal, es decir:{ αhtrunc[n] =n u[n] 0 ≤ n < L(4.18)0 restopara L=2, 4, 6, 8.>> [H,w] = freqz(b,a,512,"whole");% a, b representan los coeficientes de la ecuacion en diferencias>> plot(2*pi*(0:511)/512,abs(H));>> Htrunc=fft(htrunc,512);>> hold>> plot(2*pi*(0:511)/512,abs(Htrunc));Comprobar a partir de qué longitud de la señal truncada la diferencia entre los espectros esinapreciable.Obtener la respuesta en frecuencia del resultado de poner en cascada el filtro anterior conel filtro de respuesta al impulso h[n] = δ[n − 1]. Determinar el valor de dicha respuesta enfrecuencia para ω = π/4.4.3 Dudas más comunes• P: Quiero que dejen de superponerse las gráficas en una misma figura.R: Hay que teclear hold off.• P: Matlab no encuentra la función que he creado.R: Hacer ls para comprobar si se encuentra en ese directorio. Si no es así, cambiar aldirectorio correcto.• P: Al representar en pantalla la transformada de Fourier de una señal, aparece una curvamuy rara.R: Seguramente no estáis representando la magnitud de la transformada, sino que estáistratando de representar un vector complejo frente al eje de frecuencias.57

4.4.PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER4.4 Descripción funciones utilizadasA continuación se describen algunas de las funciones utilizadas a lo largo de esta práctica, yque se seguirán empleando en lo que resta de curso.La función fft() evalúa la transformada de una secuencia discreta en un número de puntosequiespaciados entre 0 y 2π:fft (X [, N]): fast fourier transform of a vectorLa función filter() filtra una señal de entrada a través de un sistema definido por unaecuación en diferencias, el cual viene especificado a partir de sus coeficientes de la parte directay de la parte realimentada. Calcula tantas muestras de salida como longitud tenga la entrada:function [y [,sf]] = filter(b,a,x [,si])Filter a vector.y = filter(b,a,x) returns the solution to the following linear,time-invariant difference equation:NMsum a(k+1) y[n-k]= sum b(k+1) x[n-k] = 0k=0 k=0for 1

PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.5.function [H, w] = freqz(b,...)Computes the frequency response of a filter.[H,w] = freqz(b)returns the complex frequency response h of the FIR filter withcoefficients b. The response is evaluated at 512 angular frequenciesbetween 0 and pi. w is a vector containing the 512 frequencies.[H,w] = freqz(b,a)returns the complex frequency response of the rational IIR filterwhose numerator has coefficients b and denominator coefficients a.[H,w] = freqz(b,a,n)returns the response evaluated at n angular frequencies. For fastestcomputation n should factor into a small number of small primes.[H,w] = freqz(b,a,n,"whole")evaluates the response at n frequencies between 0 and 2*pi.4.5 Ejercicios recomendadosAlgunos ejercicios teóricos recomendados del capítulo 2 de [3] son los siguientes: 21, 25, 27, 34,35, 36, 37.59

4.5.PRÁCTICA 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER60