Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

IntroducciónivIntroducciónConsideremos la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik:∫(K) x(t) + d s K(t, s)x(s) = u(t)t ∈ [a, b],[a,t]donde [a, b] ⊂ R es un intervalo compacto, E([a, b]; X) un espacio de Banach,u ∈ E([a, b]; X) una función conocida, x ∈ E([a, b]; X) una función incógnita yK : [a, b] × [a, b] −→ L(X).El objetivo de este trabajo es demostrar la existencia y la unicidad de la solución dela ecuación (K), hallar la resolvente R : [a, b]×[a, b] −→ L(X) para dar la forma explícitade ésta y mostrar algunas de sus aplicaciones.Para esto, definimos el operador de Volterra-Dushnik F K∈ L[E([a, b]; X)] dado por∫F K[x](t) = d s K(t, s)x(s) ∀ x ∈ E([a, b]; X) ∀ t ∈ [a, b],[a,t]con K : [a, b] × [a, b] −→ L(X) que verifica ciertas condiciones que nos permiten asociarleel operador F K.Así, transformamos la ecuación (K), en la ecuación linealx(t) + F K[x](t) = u(t)t ∈ [a, b],y consideramos el operador H : E([a, b]; X) −→ E([a, b]; X)Hx = u − F K[x] ∀ x ∈ E([a, b]; X), (1)que transforma el problema de demostrar la existencia de la solución de (K) en hallarx ∈ E([a, b]; X), solución de la ecuación x = Hx, empleando el teorema de punto fijo deBanach.Utilizamos el método de aproximaciones sucesivas para buscar la solución de (K) :tomamos x 0 ∈ E([a, b]; X) y lo introducimos en el segundo miembro de (1); así obtenemosx 1 (t) = u(t) − F K[x 0 ](t)t ∈ [a, b],donde x 1 ∈ E([a, b]; X). Por lo tanto, lo podemos introducir en el segundo miembro de(1), resultando