Momentos de inercia

Objetivos• Método para determinar el momento de inercia de unárea• Introducor el producto de inercia y cómo determinar elmáx y mín momentos de inercia para un área• Momento de inertia de una distribución de masas

Índice1. Definición de Momentos de Inercia para Áreas2. Teorema del eje-paralelo3. Radio de giro de un área4. Momentos of Inercia para Áreas compuestas5. Producto de Inercia para un Área6. Momento de Inercia para un Área7. Círculo de Mohr para Momentos de Inercia8. Momentos de inercia de una distribución de masas

10.1 Momentos de Inercia para Áreas• El Centroide de un área se determina por el primermomento de un área respecto a un eje• El segundo momento de un área respecto a un eje seconoce como momento de inercia• El Momento de Inercia se origina siempre que unorelaciona la fuerza normal o la presión (fuerza porunidad de área con el momento)

10.1 Momentos de Inercia para ÁreasMomento de Inercia• Consideremos el área A en el plano x-y• Por definición, el momento de inercia del elemento deárea dA respecto a los ejes x, y resultadI x =y 2 dA dI y =x 2 dA• Para el área completa, losmomentos de inercia sonI x=∫ y 2 dAI y=∫ x 2 dA

10.1 Momentos de Inercia para ÁreasMomento de Inercia• También podemos tomar el segundo momento de dArespecto al “polo” O o eje z• Esto se conoce como el momento polar de inerciadJ O =r 2 dAsiendo r la distancia perpendicular desde el polo (ejez) al elemento dA• El momento polar de inercia para todo el área resultaJ O =∫ r 2 dA =I x +I y

10.2 Teorema del eje paralelo para un área• Conocido el momento de inercia de un área respectoa un eje que pasa por su centroide, determine elmomento de inercia respecto a un eje peralelo.• Consideamos el momento de inercia del área• Un elemento diferencial dA se localizaa una distancia arbitraria y’respecto al eje x’ del centroide

10.2 Teorema del eje paralelo para un área• La distancia fija entre el eje x paralelo a x’ es dy• El momento de inercia de dA respecto al eje xdI x=( y'+d y ) 2 dA• Para el área completaI x=∫ ( y'+d y ) 2 dA∫ y' 2 dA +2d y ∫ y'dA +d y2 ∫ dA• La primera integral representa el momento de inerciadel área respecto al eje centroidal

10.3 Radio de Giro de un Área• El radio de giro de un área plama tiene unidades delongitud y es una cantidad que se usa para diseñarcolumnas• Se define como=√k I xxAk y = √ I yAk z = √ J OA• Estas expresiones son a la expresión del momento deiniercia de un elemento de área respecto a un ejeI x =k x 2 A dI x =y 2 dA

SoluciónParte (c)Para el momento polar de inercia respecto al punto C,Ī y' = 1 12 hb3J C= Ī x+Ī y'= 1 12 bh( h2 +b 2 )

10.4 Momentos de Inercia para áreascompuestas• Un área compuesta consiste de una serie de partessimples conectadas• El Momento de inercia del área compuesta = sumaalgebracia de los momentos de inercia de todas suspartesProcedimiento de análisisPartes• Dividir el área en partes y localizar el centroide decada parte respecto al eje de referencia dadoiTeorema del eje paralelo• Determinar el momento de inercia de cada parterespecto a sus ejes centroidales

10.4 Momentos de Inercia para áreascompuestasProcedimiento de análisisTeorema del eje paralelo• Cuando el eje centroidal no coincide con el eje dereferencia, se usa el teorema del eje paraleloSuma• Momento de inercia total resulta de sumar losmomentos de inercia de sus partes

EjemploCalcule el momento de inercia respecto al eje x.

SoluciónPartesEl área compuesta se obtiene sustrayendo el círculo delrectángulo.Localizamos el centroide de cada parte sgún se muestra.

SoluciónTeorema de eje paraleloCírculoI x =Ī x' +Ad y214 π (25 )4 +π (25 ) 2 (75) 2 =11. 4 (10 6 )mm 4RectánguloI x =Ī x' +Ad y2112 (100 ) (150 )3 + (100 ) (150 ) (75 ) 2 =112 .5 (10 6 )mm 4

SoluciónSumaEl momento de inercia del área compuesta resulta,I x =−11 . 4 (10 6 )+112 .5 (10 6 )101 (10 6 )mm 4

10.5 Producto de Inercia para un Área• El Momento de inercia de un área es diferente paracada eje respecto al que se calcula• Calcularemos el producto de inercia para el áreaademás de los momentos de inercia respcto a los ejesx, y dados• El Producto de inercia para un elemento de área dAlocalizado en el punto (x, y) se define comodI xy= xydA• Y resulta para el totalI xy =∫ xydA

10.5 Producto de Inercia para un ÁreaParallel Axis Teorema de eje paralelo• El producto de inercia de dA respecto a los ejes x,y• Para el área total,dI xy =∫ (x'+d x ) ( y'+d y )dAdI xy =∫ (x'+d x ) ( y'+d y )dA∫ x'y'dA+d x ∫ y' dA +d y ∫ x' dA+d xd y ∫ dA• La cuarta integral representa el área total A,I xy=Ī x'y'+Ad xd y

EjemploDetermine el producto de inercia I xydel triángulo.

SoluciónEl elemento diferencial tiene un grosor de dx y de áreadA = y dx. Usando el teorema del eje paralelo,dI xy=dI x'y'+dA { ̃x ̃y ¿( ̃x , ̃y ) localiza el centroide del elemento con origen el delos ejes x’, y’

Solución 1Por simetría,dI x'y'=0 ̃x=x ̃y =y /2dI xy=0+( ydx) x (y2 ) = ( h b xdx ) x ( h2b x ) = h22b 2 x3 dxIntegrando resultaI xy= h2∫ x 3 dx= b2 h 22b 2 8

Solución 2El elemento diferencial tiene un grosor dy, y de áreadA = (b - x) dy.Para el centroide,̃x=x+(b−x)/2=(b+x )/2, ỹ= yPara el producto de inercia del elementodI xy=d Ĩ xy+dA { ̃x ̃y=0+(b−x)dy (b +x2 ) y¿= (b− b h y ) dy [ b+(b/h ) y] 2 y=1 2 y ( b2 − b2) h 2 y2 dy ¿¿

10.6 Momentos de Inercia respecto a ejesinclinados• Es necesario a veces calcular I u, I ve I uvpara un árearespecto a un sisteman de ejes inclinados u, vconocidos los valores de θ, I x, I ye I xy• Usamos ecuaciones de transformación que relacionanlos ejes x, y con los u, vu=x cos θ+y sin θv=y cosθ−x sin θdI u=v 2 dA=( y cosθ−x sin θ ) 2 dAdI v=u 2 dA=( x cosθ+y sin θ ) 2 dAdI uv =uvdA=( xcos θ+y sin θ )( y cos θ− xsin θ )dA

10.6 Momentos de Inercia respecto a ejesinclinados• Integrando,I u =I x cos 2 θ+I y sin 2 θ−2I xy sin θ cos θI v=I xsin 2 θ+I ycos 2 θ+ 2I xysin θ cosθI uv=I xsin θ cosθ−I ysin θ cosθ+2I xy(cos 2 θ−sin 2 θ )• Simplificando mediante identidades trigonométricas,sin2θ=2sin θ cosθcos2θ=cos 2 θ−sin 2 θ

10.6 Momentos de Inercia respecto a ejesinclinados• Podemos simplificar aI u= I x +I y2I v= I x +I y2+ I x −I y2− I x −I y2cos2θ−I xysin2θcos2θ +I xysin2θI uv= I x−I y2sin2θ+2I xycos2θ• El momento polar de inercia respecto al eje z que pasaa través del punto O es,J O=I u+I v=I x+I y

10.6 Momentos de Inercia respecto a ejesinclinadosMomentos principales de Inercia• I u, I v, I uvdependen del ángulo de inclinación θ de losejes u, v• El ángulo θ = θ pdefine la orientación de los ejesprincipales del áreadI udθ =−2 ( I x −I y2 ) sin2θ−2I xy cos2θ=0θ=θ ptan2θ p= −I xy( I x−I y )/2

10.6 Momentos de Inercia respecto a ejesinclinadosMomentos principales de Inercia• Sustituyendo cada una de las razones para el seno yel coseno, tenemosI max min= I x +I y2±√( I x−I y) 2 2+I2 xy• Los resultados dan el momento de inercia máx y mínpara el área• Se puede demostrar que I uv= 0, i.e. el producto deinercia respecto a los ejes principales es cero• Cualquier eje siméetrico representa un eje principal deinercia para el área

EjemploDetermine los momento principales de iniercia para lasección transversal de la viga respecto a un eje que pasapor el centroide.

SoluciónEl momento y el producto de inercia de la sección resulta,I x =2 . 90 (10 9 )mm 4 I y =5 . 60 (10 9 )mm 4 I z =−3 . 00 (10 9 )mm 4Usando los ángulos de inclinación de los ejes principalesu, v=−2 .22[ 2.90 (10 9 )−5 .60 (10 9 )]/22θ p1 =−65 .8 ° ,2θ p2 =114 .2 °tan2θ p= −I xy( I x−I y )/2 =3 .00 (10 9 )⇒ θ p1=−32 .9 ° ,θ p2=57.1 °

SoluciónPara los momento pricipales de inercia respecto a u, v:I max min= I x +I y22 .90 (10 9 )+5 . 60 (10 9 )2±√( I x −I ) 2y 2+I2 xy±√[ 2 . 90 (10 9 )−5.60 (10 9 )]2+[−3 .00 (10 9 )] 22 max =4 . 25 (10 9 )±3 . 29 (10 9 )I min⇒ I max=7 .54 (10 9 )mm 4 ,I min=0 .960 (10 9 ) mm 4

10.7 Círculo de Mohr• Se encuentra que( I u −I x+I y) 2 =(+I 2 I x−I y) 2 22 uv+I2 xy• En un problema, I uy I vson la veriables y I x, I y, I xysonconocidas( I u−a ) 2 +I 2 uv=R 2• Cuando pintamos esta ecuación, sobre ejes querepresentan los momentos y productos de inercia, lagráfica resulta un círculo

10.7 Círculo de Mohr• El círculo construido se conoce como círculo de Mohr,de radioy centro (a, 0) dondeR=√( I x+I y) 2 2+I2 xya= (I x+I y )/2

10.7 Círculo de MohrProcedimiento de análisisDeterminar I x, I y, I xy• Establecer los ejes x, y para el área, con el origenlocalizado en el punto P de interés y determinar I x, I y, I xyConstrucción del Círculo• Construir un sistema de coord rectangular, de maneraque la abscisa representa el momento de inercia I y laordenada el producto de inercia I xy

10.7 Círculo de MohrConstrucción del Círculo• Determine el centro del círculo O, localizado a unadistancia (I x+ I y)/2 del origen, y pintar al punto dereferencia A de corrdenadas (I x, I xy)• Por definición, I xes siempre positivo, mientras que I xypuede ser positivo o negativo.• Conecte el punto de referencia A con el centro delcírculo, y determinsar la distancia OA (el radio delcírculo) por trigonometría• Dibujar al círculo

10.7 Círculo de MohrMomentos of Inercia Principales• Los puntos en donde el círculo intersecta a la abscisadan los valores de los momentos de inercia principalesI miny I max• El producto de inercia será cero en esos puntosEjes principales• Este ángulo representa dos veces el ángulo desde eleje x axis del área en questión al eje del momento deinercia máximo Imax• El eje par ael momento de inercia mín I minesperpendicular al eje del I max

EjemploUsando el círculo de Mohr, determine los momentosprincipales de la sección transversal respecto a un eje qiepasa por el centroide.

SoluciónDetermine Ix, Iy, IxyLos momentos de inercia los hemos determinados en unejercicio anteriorI x =2 . 90 (10 9 )mm 4 I y =5 . 60 (10 9 )mm 4 I xy =−3 .00 (10 9 )mm 4Construimos el CírculoEl centro del círculo, O, desde el origen, está a ladistancia(I x+I y )/2=(2 .90 +5 . 60)/2=4 . 25

SoluciónConstrucción del círculoCon referencia al punto A (2.90, -3.00), el radio OA sedetermina usndo el teorema de PitágorasOA= √(1 . 35 ) 2 +(−3 . 00 ) 2 =3 . 29Momentos principales de InerciaEl Círculo intersecta el eje I axis en (7.54, 0) y (0.960, 0)I max =7 .54 ( 10 9 )mm 4I min=0.960 (10 9 ) mm 4

SoluciónEjes PrincipalesÁngulo 2θ p1determinado midiendo en el círculo en sentidoantihorario desde OA en dirección del eje I positivo2θ p1=180 ° −sin −1 ( ∣BA∣∣OA∣) =180° −sin −1 ( 3 .00 =114 . 2°3 .29)El eje principal para I max= 7.54(10 9 ) mm 4 está orientadocon un ángulo θ p1= 57.1°, medido en sentido antihorariodesde el eje x positivo al eje u positivo. El eje v esperpendicular a este eje.

10.8 Momento de inercia de unadistribución• El momento de inertia se define como la integral delsegundo momento respecto a un eje de todos loselementos de masa que componen un cuerpo• El momento de inercia respecto al eje z resulta• El eje que se elige normalmentepasa a través del centro demasa G del cuerpoI=∫ r 2 dm

10.8 Momento de inercia de unadistribución• Si el cuerpo consiste de un material de densidadvariable ρ = ρ(x, y, z), el elemento de masa se puedeexpresar como dm = ρ dV• Usando el elemento de volumen• Y si ρ es constante,I=∫ r 2 ρdVI=ρ∫ r 2 dV

10.8 Momento de inercia de unadistribución• Si el cuerpo consiste de un material de densidadvariable ρ = ρ(x, y, z), el elemento de masa se puedeexpresar como dm = ρ dV• Usando el elemento de volumen• Y si ρ es constante,I=∫ r 2 ρdVI=ρ∫ r 2 dV

10.8 Momento de inercia de unadistribuciónProcedimiento de análisisElemento de capa• Para una capa de altura z, radio y, espesor dy, elvolumen resulta: dV = (2πy)(z)dyElemento de disco• Para un disco de radio y, espesor dz, el volumenresulta: dV = (πy 2 ) dz

EjemploDetermine el momento de inercia del cilindro respecto aleje z. La densidad del material es constante.

SoluciónElemento de capaEl volumen del elemento,dV= (2πr ) (h )drElemento de masa,dm=ρdV=ρ (2π rh dr )Ya que el elemento está a la misma distancia r del eje z,para el momento de inercia resulta,dI z=r 2 dm=ρ2πhr 3 dr

SoluciónIntegrando sobre toda la región del cilindro,I z =∫ r 2 dm =ρ2πh∫r 3 dr= ρπ 2 R4 hLa masa del cilindrom=∫dm =ρ2πh∫rdr =ρπhR 2Así queI z = 1 2 mR2

10.8 Momento de inercia de unadistribuciónTeorema de eje paralelo• Si el momento de inercia de un cuerpo repecto a uneje que pasa por el centro de masa es conocido, elmomento de inercia respecto a cualquier otro ejeparalelo se determina por el teorema del eje paralelo,r 2 = (d + x’) 2 + y’ 2• Para el momento de inercia respecto al eje z,I=∫ r 2 dm=∫ [ (d+x' ) 2 +y' 2 ] dm∫ ( x' 2 +y' 2 )dm+2d∫ x'dm+d 2 ∫ dm

10.8 Momento de inercia de unadistribuciónTeorema del eje paralelo• Para el momento de inercia respecto al eje z,I = I G+ md 2Radio de giro• Usando el radio de giro k, para expresar el momentode iniercia,I=mk 2 or k=√ I m

EjemploSi la placa tiene una densidad de 8000 kg/m 3 y unespesor de 10 mm, determine el mometo de inerciarespecto a un eje perpendicular a la página y que pasapor el punto O.

SoluciónLa placa consiste 2 partes, el disco de radio de 250 mmmenos el de 125 mm.DiscoI G = 1 2 mr2Para el momento de inercia del disco,El centro de masa del disco está a 0.25 m del punto Om d=ρ dV d=8000 [ π (0.25 ) 2 (0 . 01 ) ]=15 . 71 kg(I O ) d= 1 2 m d r 2 d +m d d 2 = 1 2 ( 15 .71 ) (0.25 ) 2 +(15 .71 ) (0 . 25 ) 2 =1.473 kg . m 2

SoluciónHuecom h=ρ hV h=8000 [ π (0 .125 ) 2 (0 . 01 ) ]=3 .93 kg(I O ) h= 1 2 m h r 2 h+m h d 212 (3 .93 ) (0 . 125 )2 + (3 .93 ) (0 .25 ) 2 =0 .276 kg .m 2Para el momento de inercia de la placa respecto a O,I O=( I O ) d−( I O ) h1. 473−0 . 276=1. 20 kg .m 2

QUIZ1. La definición del momento de inercia de un áreaimplica una integral de la formaA) ∫ x dA. B) ∫ x 2 dA.C) ∫ x 2 dm. D) ∫ m dA.2. ¿Cuáles son la unidaded del SI para el momento deinercia de un área.A) m 3B) m 4C) kg·m 2D) kg·m 3

xQUIZ3. Un tubería está sometida a un momento de flexión.¿Qué característica de la tubería resulta con menostensión? Asuma una sección transversal constante)A aconstant cross-sectional area)?MA) menor Ix B) menor Iy yC) mayor Ix D) mayor IyxPipe section4. En la figura, ¿cuál es el elemento diferencial y para elmomento de inercia respecto al eje y, dIy?A) x 2 ydx B) (1/12)x 3 dyC) y 2 x dy D) (1/3)ydyMy=x 3x,y

QUIZ5. El teorema del eje paralelo se aplica entreA) Un eje que pasa a través de el centroide y un ejecorrespondienta paralelo.B) Dos ejes paralelos.C) Solo dos ejes horizontales.D) Dolo dos ejes verticales.6. El momento de inercia de un área compuesta es iguala ____ de Ios momentos de todas sus partes.A) Suma vectorialB) Suma algebraica (adición o sustracción)C) AdiciónD) Producto

QUIZ7. Para el área A, se conoce la localización delcentroide (C), el área, las distancias entre los 4 ejesparalelos y el momento de inercia respecto al eje 1. Sepuede determinar el MoI respecto al eje 2 aplicando elteorema del eje paralelo___ .A) Directamente entre los ejes 1 y 2.AxisB) Entre los ejes 1 y 3, y entoncesA4entre los ejes 3 y 2.d 3• C 3C) Entre los ejes 1 y 4, y entonces d 22entre los ejes 4 y 2.d 11D) Ninguna de las respuestas interiores.

QUIZ8. Para el mismo caso, considere el MdI respecto a cadaunos de los cuatro ejes. Respecto a cuál será el máspequeño?A) eje 1B) eje 2C) eje 3D) eje 4E) no se puede decirA4d 3d2• C 32d 1Axis1

QUIZA=10 cm 29. El momento de inercia respecto al eje1 is 200 cm 4 . ¿Cuánto vale respecto aleje 3 ?A) 90 cm 4 B) 110 cm 4C) 60 cm 4 D) 40 cm 410. El momento de inercia respecto al eje xes igual aA) 8 cm 4 . B) 56 cm 4 .2cmC) 24 cm 4 . D) 26 cm 4 .2cm•• d C C 322d 1d 1= d 2= 2 cm3cmx1

QUIZ11. La definición del momento de inercia de una masarespecto a un eje es ___________ .A) ∫ r dm B) ∫ r 2 dmC) ∫ m dr D) ∫ m dr12. El terorema del eje paralelo se puede aplicar paradeterminar ________ .A) solo el MoI B) solo el MMIC) el MoI y el MMI D) niguna respuesta valeNota: MoI es el momento de inercia de un área y MMI esel momento de inercia de una distribución de masa

QUIZ13. Considere una partícula de masa 1 kg localizada en pP, cuyas coordenadas están dadas en metros. Determineel MMI de esa partícula respecto al eje z. zA) 9 kg·m 2 B) 16 kg·m 2·P(3,4,C) 25 kg·m 2 D) 36 kg·m 26)yx14. Considere una estructura rectangular hecha de 4barras con cuatro ejes perpendiculares que pasan através de P, Q, R, y S. ¿Respecto a qué eje será el Mmide la estructura mayor?A) zP B) zQ C) zRD) zS E) No es posible determinarloP•S•Q•• R

QUIZ15. Una partícula de masa 2 kg se localiza a 1 m en eleje y. ¿Cuál es el MMI de la partícula respecto a los ejesx, y, z respectivamente?zA) (2, 0, 2) B) (0, 2, 2)C) (0, 2, 2) D) (2, 2, 0)1 mx • y