Ciencias - Universidad de San Buenaventura Cali

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Rayo de LuzTécnica: Oleo espátula sobre lienzo.Dimensiones: 120 ancho x 60 alto.Descripción:Atmósfera cálida que insinúa, por medio de las rocas yla luz, una multitud de formas y elementos que cambiansegún la perspectiva de quien observa.


Modelo matemático yherramienta de simulaciónde exoesqueleto activode cinco segmentosMathematical Model and Simulation Tool for Active Exoskeleton of Five SegmentsJuan Carlos Cruz ArdilaJosé Miguel Ramírez EscarpetaResumenEn este documento se presenta un modeladomatemático y la simulación de un individuo queporta un exoesqueleto en sus miembros inferiores.Se utiliza un modelo de cinco segmentos de unión(piernas, muslos y tronco) accionados con motoreseléctricos. El planteamiento de las ecuaciones demovimiento está soportado en la expresión deLagrange-Euler. Se presentan las ecuaciones matemáticasen una organización de tipo matricial queson simuladas en el software de Matlab ® . De estamanera, se analizan datos de torque en las articulacionesde acuerdo con trayectorias preestablecidas,que se han construido con información tomadade la marcha de individuos, y se comparan losresultados con datos encontrados en la bibliografíaconsultada. La simulación construida en Matlab ®pretende constituirse en una herramienta que le faciliteal fisioterapeuta evaluar los comportamientosde un individuo que presente discapacidad motrizen sus miembros inferiores y porte un exoesqueletopara desarrollar un ciclo de marcha.Palabras clave: Exoesqueleto, modelo marcha,segmentos de enlace, torques articulares.AbstractThis paper presents a mathematical model andsimulation tool for an individual wearing an exoskeletonon his lower limbs. The model presents fiveunion segments (legs, thighs and torso) moved byelectrical motors. The movement equations, presentedin matrix form, are based on Lagrange-Euler andsimulated on Matlab. The data obtained representsthe joint torques according to preset trajectories. Thetrajectories are taken from a gait cycle and the resultsare matched against those found on the bibliography.• Fecha de recepción del artículo: 24-05-2012 • Fecha de aceptación: 24-08-2012JUAN CARLOS CRUZ ARDILA. Ingeniero Electricista, magíster en Educación, magíster en Ingeniería con énfasis en Automática. Docentetiempo completo Universidad de San Buenaventura Cali. Correo electrónico: jccruz@usbcaliedu.co. MIGUEL RAMÍREZ ESCARPETA. IngenieroElectricista, Universidad del Valle; Máster en Ingeniería Eléctrica, Universidad del Valle; Máster en Productiva y Automática, Instituto NacionalPolitécnico de Grenoble. Doctor en Automática, Instituto Nacional Politécnico de Grenoble. Docente tiempo completo, Universidad delValle. Correo electrónico: jose.ramirez@correounivalle.edu.co.* El presente artículo es resultado del trabajo de grado denominado “Modelado y simulación de un exoesqueleto de miembrosinferiores para equilibrio y marcha”, realizado con el apoyo académico del Grupo de Investigación en Control Industrial (GICI)de la Universidad del Valle y desarrollado de febrero 2010 a septiembre de 2011.Revista Científica Guillermo de Ockham. Vol. 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X - pp. 93-105 ‣ 93


Juan Carlos Cruz Ardila - José Miguel Ramírez EscarpetaThe simulation built in Matlab Ò , is a tool that allowsa physiotherapist to evaluate behaviors from asubject, with motor disabilities on his lower limbs,who is wearing an exoskeleton.Keywords: Exoskeleton, joint torques, link segments,motion model.IntroducciónEl exoesqueleto es un mecanismo que se ubicaen la parte externa del cuerpo humano con diferentespropósitos militares, para mejorar el desempeñofísico de los soldados; para aumentar la potenciafísica de un individuo y que pueda, por ejemplo,trasladar grandes cargas por determinado tiempo;y en rehabilitación de pacientes con discapacidadmotora, generalmente asociada con el movimientode las extremidades superiores, de las inferiores ode ambas. La construcción de estos mecanismosvaría en diferentes aspectos: desde los materialesque utilizan que son muy livianos pero con altarigidez mecánica, hasta los sistemas electrónicosque gobiernan cada uno de los movimientos quese desarrollan sincrónicamente con la intenciónneuromuscular del portante (Greene, 2002). Lautilización de exoesqueletos para rehabilitación esuna práctica en aumento en todo el mundo. Enel modelado analítico, el principal inconvenientees la descripción matemática del comportamientodel exoesqueleto con el individuo que lo porta.En general, los exoesqueletos pueden ser desarrolladoscon diferentes estrategias tanto mecánicascomo de control. En lo mecánico, el elementoactuador puede ser un motor rotatorio, lineal, osimplemente un elemento neumático (Bureau yotros, 2007). Con respecto al control, las principalespropuestas se orientan a utilizar las señales electromiográficascomo elementos de realimentacióno de control directo, tomadas de la persona quetiene puesto el exoesqueleto, la cual es autónomapara enviar señales a mecanismos de acuerdo consus necesidades presentes de desplazamiento.El exoesqueleto se considera un proceso multivariable,altamente no lineal y susceptible deser controlado. Su modelado se hace a partir dedinámica inversa, por medio de la cual se expresanlas fuerzas y pares que intervienen en función dela evolución de las coordenadas articulares y susderivadas. Para modelar el comportamiento delmecanismo en la interacción humano/máquina,orientado al desempeño de equilibrio y desplazamiento,es necesario utilizar información deparámetros que harán parte de las expresionesmatemáticas. Esta información está relacionadacon las siguientes variables: datos antropométricos,como longitud de extremidades y ubicación delcentro de gravedad y momentos de inercia respectoal centro de gravedad; datos cinemáticos, los cualesse obtienen a partir del análisis cinematográfico(pasillo de marcha), que permite determinar ángulosde cada articulación, y extraer informaciónde velocidad y aceleración angular, para obtenerdatos de velocidad y aceleración lineal en cualquierpunto de las extremidades inferiores; y lasfuerzas externas, como las de coriolis, centrípetasy gravitacionales que afectan el posicionamientonormal del exoesqueleto, que se calculan a partirde las posiciones angulares de las articulaciones.En este documento se dan unos elementosque permiten construir el modelo matemático deun exoesqueleto de cinco segmentos y el efectoque puede tener sobre la marcha de quien loporte. En la primera parte se aplica la ecuación deLagrange-Euler para conocer el comportamientode la energía del sistema. Se obtiene una representaciónmatricial que facilita expresar las variablesinvolucradas en el modelo teniendo presentesparámetros como centro de masa, momento deinercia y torques de cada uno de los segmentos encuestión. En una segunda parte se utiliza Matlab ®como software de simulación para analizar diferentescomportamientos, de acuerdo con valoresde referencia que se introduzcan en el modelopara conocer tendencias de funcionamiento delproceso modelado matemáticamente. Finalmente,se definen trayectorias de desplazamiento angularcomo datos de entrada para estudiar los torquespresentes en cada una de las articulaciones de losmiembros inferiores.MetodologíaMetodológicamente el proyecto se abordó entres etapas: en la primera se hace el modeladomatemático del exoesqueleto a partir de cincosegmentos de enlace, lo que permite obtener el sistemamatricial que describe el comportamiento del94 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia


Modelo matemático y herramienta de simulación de exoesqueleto activo de cinco segmentos - pp. 93-105conjunto exoesqueleto–individuo; en la segunda,se construyen las trayectorias de marcha definidaspara cada articulación a partir de datos tomados dela bibliografía y que han sido obtenidos de pruebasde pasillo de marcha; y tercero, se desarrollauna simulación en Matlab ® introduciendo datosdel individuo, de los actuadores eléctricos y lastrayectorias angulares, para verificar el comportamientodel modelo estudiando los torques en cadaarticulación –cadera y rodilla–, según el porcentajede marcha realizado por el individuo.Modelado matemáticodel exoesqueletoDesarrollo del modelo de segmento de enlaceLa complejidad del cuerpo humano ha motivadoa diferentes investigadores (Greene, 2002;Bureau et ál., 2007; Dollar y Herr, 2008) a elaborarpropuestas de exoesqueletos para rehabilitaciónde pacientes con cierta discapacidad motora. LaUniversidad del Valle, por medio del Grupo deInvestigación en Control Industrial (GICI) 1 , se hainteresado por estudiar, probar, diseñar y proponerel control de exoesqueletos de rehabilitación,especialmente de la rodilla y la cadera. Para ello sepresenta una propuesta de modelado utilizando laestrategia de segmentos de enlace, para representarlas diferentes estructuras que conforman el cuerpohumano. Este análisis, estudiado por autores comoWinter D. A. (2005), Roa G. (2004) y Contrerasy Roa (2007), permite construir un conjunto deecuaciones que parten de un análisis cinemático delas propiedades biomecánicas de un movimientohumano. Para lograrlo fue necesario acudir a losdatos antropométricos de los individuos con elobjeto de obtener resultados que permitan llegara conclusiones aplicables en exoesqueletos derehabilitación.medidores de fuerza que determinen la tensiónque se produce entre músculos y tendones; sinembargo, es un método que ha sido aplicado enanimales y no es práctico para llevarlo a cabo enseres humanos (Winter D. A., 2005).Lo más conveniente es realizar la descripcióncinemática, las medidas antropométricas exactasy las fuerzas externas para determinar las fuerzasde reacción en las uniones y los momentos de losmúsculos. Esta forma de predecir la informaciónrequerida se denomina solución inversa y se constituyeen una herramienta muy importante paraestudiar la actividad muscular en las diferentesarticulaciones.Modelo de cinco segmentos de uniónLa dinámica de un sistema músculo-esqueletaloperado por control voluntario de los músculos yde manera artificial por un sistema de exoesqueleto,puede ser modelado por el sistema matricial quese presenta en la Ecuación 1, en la cual la dinámicadel movimiento no es restringida y son aplicadasfuerzas externas o fuerzas de restricción. En la Figura1 se muestra el modelo de cinco segmentos,en los cuales se exponen los centros de masa, lalongitud y la posición angular de cada eslabón.Figura 1Esquema de cinco eslabones para modelar la marcha humanaPara calcular las fuerzas de reacción y el momentode los músculos se utiliza un segmento deenlace. Generalmente, esta actividad se podríahacer en forma directa siempre y cuando se realiceuna cirugía de carácter invasivo para implantar1. Actualmente lideran dos proyectos de exoesqueletos orientados a la rehabilitación de pacientes. Uno para articulación de rodillay otro para lograr equilibrio bípedo.Revista Científica Guillermo de Ockham. Vol 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X ‣ 95


Juan Carlos Cruz Ardila - José Miguel Ramírez EscarpetaLa ecuación matricial resultante, de acuerdo conlas variables que se señalan en la Tabla 1, quedaexpresada de la siguiente forma:Ecuación 1[D] q +[C] q +[G]=[T]D es una matriz cuadrada 5X5, que dependedirectamente de un vector q([q 1q 31q 32q 41q 42]),conformado por las posiciones angulares de lossegmentos y contiene los elementos inerciales delmodelo; C es una matriz cuadrada 5X5, que dependede los vectores q y q –velocidades relativas delas uniones–, contiene los elementos relacionadoscon las fuerzas de coriolis y centrípetas; G es unamatriz columna 5X1, que depende del vector q yrepresenta los efectos gravitacionales; y T es unamatriz columna 5X1, que contiene los torquesinternos y externos aplicados en las articulacionesdel exoesqueleto. En la Tabla 1 se presentan cadauna de las variables consideradas en el modelo.Para el desarrollo del modelo se tienen en cuentalos siguientes supuestos:– Cada segmento tiene un valor de masa determinadolocalizado como una masa específica enlo que se conoce como centro de masa 2 (CM).– La ubicación de cada CM permanece fijadurante el movimiento del segmento.– Las articulaciones en la rodilla y la cadera sonaccionadas por motores eléctricos.– Los momentos de inercia de la masa de cadasegmento y el motor permanecen constantesdurante el movimiento.– La longitud de cada segmento permanececonstante durante el movimiento.– Los segmentos permanecen rígidos y no sedeforman con el movimiento.En el modelo, debido a que la masa del actuadoren un caso dado puede ser comparable con la masadel eslabón que une las articulaciones, es necesarioanalizar el efecto que tiene sobre los pares producidosen cada una de las articulaciones. Para estose tuvo presente calcular la ubicación del centrode masa (CM) aplicando la Ecuación 2.Ecuación 2r CM= ∑m i r i∑m ir irepresenta la distancia de la masa m itomandocomo referencia el punto de giro, y r CMla distanciadel CM del segmento.De lo anterior se deduce que:– Si la masa del segmento es equiparable con lamasa de la articulación motorizada, se presentaun aumento de la distancia del CM con respectoa su extremo de giro del segmento.– Si la masa del segmento es significativamentemenor que la masa del actuador, el CM seL 4M 4I z4r cm4q 41q 41Tibia pierna balanceoTabla 1Variables de posición y movimiento del modelo de cinco segmentosSegmento Ángulos Velocidad Longitud Masa Inercia CMI z1Torso q 1q 1L 1M 1Iy1rcm1Muslo piernasoporteq 32q 32Muslo pierna q 31q 31L 3M 3I z3r cm3balanceoTibia pierna soporte q 42q 422. Los términos centro de masa (CM) y centro de gravedad (CG) son a menudo empleados indistintamente; el más general es CM,mientras que el CG se refiere al CM en un solo eje definido por la dirección de la gravedad. Cuando se utilizan los ejes coordenados(x-y) es necesario el uso de CM.96 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia


Modelo matemático y herramienta de simulación de exoesqueleto activo de cinco segmentos - pp. 93-105ubica directamente en el mismo punto dondeestá la articulación motorizada.Por otra parte, hay que señalar que la mayoríade los segmentos del cuerpo no giran alrededorde su centro de masa sino en la articulación encada extremo (Winter D. A., 2005). Esto es unelemento importante, porque en la medida que laubicación del CM se aproxime al centro de giro,su efecto inercial será mínimo sobre el sistemadel exoesqueleto. Con ayuda del teorema de ejesparalelos es posible encontrar una relación entre elmomento de inercia dado en el CM (I o) y el quese presenta en la articulación (I) por medio de laEcuación 3.Ecuación 3I=I o+m(l–r cm) 2En esta ecuación m es la masa del segmento; l,la longitud; y r cmes la distancia entre el centro demasa y el extremo distal.Para aplicar el método de Lagrange-Euler,primero se determina la energía cinética (E k) decada punto como una contribución de una energíatraslacional dada por 1/2 mv 2 , siendo m la masadel segmento en cuestión y v la velocidad; unaenergía rotacional calculada como 1/2 Iω 2 , en lacual I corresponde al momento de inercia y ω esla velocidad angular del segmento respectivo. Segundo,se determina la energía potencial (E p), dadapor la expresión mgh, en la que m corresponde a lamasa del segmento, g es la constante gravitacionaly h, la altura.De esta manera se construye el lagrangiano delsistema dado por la Ecuación 4Ecuación 4L = E k– E pLas ecuaciones de movimiento se obtienena partir de las correspondientes relaciones deEuler-Lagrange mostradas en Dariush B. (2005)y Chevallereau C. et ál. (2003).En esta ecuación es un vector de fuerzas generalizadas3 y torques aplicados.Se construyó un algoritmo en Matlab ® , deacuerdo con la propuesta de Grizzle (2008), quedio lugar a cada una de las matrices que representanel modelo matemático del exoesqueleto de cincosegmentos, en el cual la matriz D (primer términode la Ecuación 1), que contiene los términosinerciales, está dada por:D (1,1)= r cm3– 2I L + 2M L 2+ M L + M L z3 3 3 3 4 3 1 3D (1,2)= – L 3cos(–q 31+ q 32)(M 4L 3+ I z3)D (1,3)= L 4cos(–q 31+ q 41)(2M 3L 3+ M1L 3– I z3+ M 4L3)D (1,4)= –I z4L 3cos(q 42– q 31)D (1,5)= –L 3(I z1cos(q 1– q 31) + I y1sin(q 1– q 31))D (2,1)= –L 3cos(–q 31+ q 32)(M 4L 3+ I z3)D (2,2)= M 4L23+ r cm3D (2,3)= –L 4cos(q 32– q 41)(M 4L 3+ I z3)D (2,4)= L 3I z4cos(q 42– q 32)D (2,5)=0D (3,1)= L 4cos(–q 31+ q 41)(2M 3L 3+ M 1L 3– I z3+ M 4L 3)D (3,2)= –L 4cos(q 32– q 41)(M 4L 3+ I z3)D (3,3)= r cm4+ 2M 3L4 2 2 2+ 2M4L 4– 2L 4I z4+ M 1L 4D (3,4)= –L 4I z4cos(q 42– q 41)D (3,5)= –L 4(I z1cos(q 1– q 41) + I y1sin(q 1– q 41))D (4,1)= –I z4L 3cos(q 42– q 31)D (4,2)= L 3I z4cos(q 42– q 32)D (4,3)= –L 4I z4cos(q 42– q 41)D (4,4)= r cm4D (4,5)=0D (5,1)= –L 3(I z1cos(q 1– q 31) + I y1sin(q 1– q 31))D (5,2)=0D (5,3)= –L 4(I z1cos(q 1– q 41) + I y1sin(q 1– q 41))D (5,4)=0;2 2Ecuación 5dr =∂L–∂qdt ( )∂L∂qD (5,5)= r cm1La matriz C (segundo término de la Ecuación1), que representa los efectos causados por lasfuerzas centrípetas y de coriolis, está dada por:3. Las fuerzas generalizadas son aquellas que hacen trabajo cuando su coordenada asociada varía mientras las otras coordenadas delsistema permanecen constantes.Revista Científica Guillermo de Ockham. Vol 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X ‣ 97


Juan Carlos Cruz Ardila - José Miguel Ramírez EscarpetaC (1,1)=0C (1,2)= L 3sin(– q 31+ q 32)(M 4* L 3+ Iz 3)q 32C (1,3)= (–2M 3L 3– M 1L 3+ I z3– M 4L 3)L 4sin(–q 31+ q 41)q 41C (1,4)= Iz 4L 3sin(q 42– q 31)q 42C (1,5)= (Iz 1sin(q 1– q 31) – Iy 1cos(q 1– q 31))L 3q 1C (2,1)= (–M 4L 3– I z3)L 3sin(–q 31+ q 32)q 31C (2,2)=0C (2,3)= (–M 4L 3– I z3)L 4sin(q 31– q 41)q 41C (2,4)= –L 3I z4sin(q 42– q 31)q 42C (2,5)=0C (3,1)= L 4sin(–q 31+ q 41)(2M 3L 3+ M 1L 3– I z3+M 4L 3)q 31C (3,2)= L 4sin(q 32– q 41)(M 4L 3+ Iz 3)q 32C (3,3)=0C (3,4)= L 4Iz 4sin(q 42– q 41)q 42C (3,5)= (Iz 1sin(q 1– q 41) – Iy 1cos(q 1– q 41))L 4q 1C (4,1)= –Iz 4L 3sin(q 42– q 31)q 31C (4,2)= L 3Iz 4sin(q 42– q 32)q 32C (4,3)= –L 4Iz 4sin(q 42– q 41)q 41C (4,4)=0C (4,5)=0C (5,1)= L 3(– I z1sin(q 1– q 31) + Iy 1cos(q 1– q 31))q 31C (5,2)=0C (5,3)= L 4(–Iz 1sin(q 1– q 41) + Iy 1cos(q 1– q 41))q 41C (5,4)=0C (5,5)=0La matriz G (tercer elemento de la Ecuación1) contiene los efectos gravitacionales dados por:G (1,1)= gsin(q 31)(L 3M 1+ 2L 3M 3– I z3+ L 3M 4)G (2,1)= –gsin(q 32)(Iz 3+ L 3M 4)G (3,1)= gsin(q 41)(L 4M 1+ 2L 4M 3+ 2L 4M 4– I z4)G (4,1)= –gIz 4sin(q 42)G (5,1)= –g(sin(q 1) Iz 1–cos(q 1) Iy 1)Se considera T como:Ecuación 6Siendo τ mlos torques que actúan sobre una junturacomo resultado de la acción voluntaria de losmúsculos y τ alos torques generados por actuadoresartificiales del exoesqueleto (Dariush, 2005).Restricciones presentes en el modeloEl modelo debe ser restringido a valores físicosrazonables de los diferentes desplazamientosangulares de los segmentos, de tal manera quese ajuste al proceso de caminata de un individuonormal (Grizzle, 2008). Para cumplir con estarestricción se definen las coordenadas dadas enla Ecuación 7.Ecuación 71p(q31 2 31+ q 41)p 41π + q= 41– q 31p 32 1(qp 42 2 32+ q 42)π + q 42– q 32La variable es el ángulo entre el eje vertical yuna pierna “virtual” que va de la cadera hasta elpie de la pierna de apoyo; es el ángulo entre laotra pierna “virtual” que va unida a la cadera y elpie de balanceo; la variable es el ángulo relativoentre la pierna de apoyo y la respectiva rodilla; yes el ángulo relativo entre la pierna de balanceo yla respectiva rodilla. Se debe cumplir que:π π 3π 5π– < q2 1< , < p2 4 31< , 0 < p441< π ,3π 5π< p4 32< , 0 < p442< πDe esta forma se garantiza que el torso y laspiernas nunca estarán por debajo de la superficiede desplazamiento (Figura 2).Construcción de trayectoriasCon apoyo en Matlab ® se tomaron los datosdel proceso de marcha presentados por WinterT=τ m+τ a98 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia


Modelo matemático y herramienta de simulación de exoesqueleto activo de cinco segmentos - pp. 93-105Figura 2Representación de los ángulos relativos usados como restriccionesdel exoesqueleto de cinco segmentosFigura 3Movimiento angular de cadera, rodilla y tronco (HAT)(2005) y se realizó un proceso de interpolación 4 ,obteniéndose las ecuaciones de desplazamientoangular de cada una de las articulaciones: cd, caderaderecha (CS, cadera en posición de soporte 5 );rd, articulación de rodilla derecha (RS, rodilla enposición de soporte); ci, articulación de caderaizquierda (CB, cadera en posición de balanceo);ri, articulación de rodilla izquierda (RB, rodillaen posición de balanceo); y tr, desplazamientoangular del segmento señalado como HAT. Losresultados gráficos de las ecuaciones se muestranen secuencia mostrada en la Figura 3.cd (t)= 10 4 (0.5106t 6 – 1.5325t 5 + 1.6201t 4 – 0.6967t 3+ 0.1102t 2 – 0.0120t + 0.0039);rd (t)= 10 4 (-1.6470t 6 + 4.4498t 5 – 4.2073t 4 +1.6109t 3 – 0.2013t 2 – 0.0048t – 0.0006);ci (t)= 10 3 (1.7290t 6 – 5.8806t 5 +8.0174t 4 –5.3308t 3 + 1.4725t 2 – 0.0070t – 0.0046);ri (t)= 10 4 (–1.9403t 6 + 5.5828t 5 – 5.8222t 4 +2.5659t 3 – 0.3724t 2 – 0.0152t – 0.0011);tr (t)= 10 4 (–0.3568t 6 + 1.2304t 5 – 1.5787t 4 +0.9066t 3 – 0.2167t 2 + 0.0140t + 0.0002)4. Se aplicó interpolación lineal usando la función de Matlab® interp1. La abscisa, vector fila conformado por el tiempo; y la ordenada,vector fila con los desplazamientos angulares en grados sexagesimales.5. Durante un ciclo de marcha completo, cada pierna pasa por una fase de soporte –el pie se encuentra en contacto con el suelo– ypor una fase de balanceo –el pie se halla en el aire mientras se desplaza hacia adelante como preparación para el siguiente soporte–.La fase de soporte comienza con el contacto inicial y finaliza con el despegue del antepié. La fase de balanceo transcurre desde elinstante de despegue del antepié hasta el contacto con el suelo (Vaughan, Davis, & O. Connor, 1999).Revista Científica Guillermo de Ockham. Vol 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X ‣ 99


Juan Carlos Cruz Ardila - José Miguel Ramírez EscarpetaFigura 3Movimiento angular de cadera, rodilla y tronco (HAT).(Continuación)Las longitudes de los segmentos se calcularonde acuerdo con el esquema presentado por Winter,en el que expresa la longitud de cada uno de lossegmentos del cuerpo como una fracción de laestatura del individuo (Winter D. A., pp. 59-60).Así mismo, la masa de los eslabones involucra lamasa del segmento del individuo y la masa dela articulación motorizada. La distancia de losCM se calculó usando la Ecuación 3 del presentedocumento. Finalmente, para el cálculo de losmomentos de inercia se acudió a la Tabla 2.Simulación en Matlab ®Determinación de los parámetrosantropométricosEl modelo involucra parámetros antropométricoscomo los que se muestran en la Tabla 2, quepueden ser medidos, directamente del paciente,por un especialista en el área de fisioterapia.Con las ecuaciones que modelan el exoesqueleto,obtenidas en el modelo de cinco segmentosde unión, y las restricciones presentes en él, seconstruyó una simulación en Matlab ® que permiteal usuario del programa introducir el peso yla estatura del individuo, la masa de cada actuadormotorizado y el porcentaje de asistencia delexoesqueleto, relacionado con el aporte de torqueque debe dar cada actuador al proceso de marcha.Adicionalmente, se puede decidir la aplicación detrayectorias preestablecidas (representadas en laFigura 3) para la marcha o simplemente introducirlos datos de posición angular inicial y final paraobservar comportamientos del torque en cadaarticulación.En la Figura 4 se muestra una captura de pantallatomada directamente de la simulación deMatlab ® . Se observan los datos introducidos por elusuario del programa. Adicionalmente, se presentala opción de escoger uno a uno los gráficos de lasdiferentes articulaciones para su respectivo análisis.Tabla 2Relaciones de masa y localización de centros de masa en función de la altura y la masa total de una persona adultaSegmentoPeso desegmentoCM/longitud de segmento Radio de giro/longitud de segmentoProximal Distal CG Proximal DistalPie 0.0145M 0.50 0.50 0.475 0.690 0.690Pantorrilla 0.0465M 0.433 0.567 0.302 0.528 0.643Muslo 0.100M 0.433 0.567 0.323 0.540 0.653Pie y pantorrilla 0.061M 0.606 0.394 0.416 0.735 0.572Total pierna 0.161M 0.447 0.553 0.326 0.560 0.650Fuente: Winter D.A. (2005).100 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia


Modelo matemático y herramienta de simulación de exoesqueleto activo de cinco segmentos - pp. 93-105Figura 4Captura de pantalla de datos de entrada al programa del exoesqueletoEn la Figura 5 se presentan cuatro gráficoscorrespondientes a una misma articulación. Enel primero se muestra el desplazamiento angularaplicado; luego se presenta el torque total que sedebe desarrollar en la articulación; el torque quedebe realizar el actuador motorizado de acuerdocon el nivel de asistencia introducido por el usuariodel programa; y finalmente, el torque que debeejercer el paciente. El usuario puede visualizar cadauno de los resultados de acuerdo con la selecciónhecha en el programa.En la Figura 6, se presentan otras gráficas obtenidasde acuerdo con los datos iniciales. En estecaso se muestra la rodilla asociada a la pierna queestá ejerciendo el soporte.Por otra parte, si el usuario del programa decideintroducir las posiciones angulares de cada una deFigura 5Resultado de la simulación para una articulación seleccionada por el usuarioRevista Científica Guillermo de Ockham. Vol 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X ‣ 101


Juan Carlos Cruz Ardila - José Miguel Ramírez EscarpetaFigura 6Resultados obtenidos del comportamiento de la rodilla de la pierna de soportelas articulaciones, el programa le realiza el cálculoy le entrega los torques presentes de acuerdocon cada uno de los datos ingresados, tal comose muestra en la captura de pantalla (Figura 7)tomada directamente del programa.Los resultados obtenidos se muestran de maneradetallada para cada articulación, donde seespecifica el torque total, el torque asistido por elactuador y el torque que debe aplicar el paciente.ResultadosDe acuerdo con lo encontrado en la literatura(Popović & Sinkjær, 2003), los pares más exigentesdurante los movimientos de la vida cotidianaestán en el plano sagital. Por ello, los grados delibertad en los que se tuvo previsto actuar son dos:extensión-flexión de la cadera y extensión-flexiónde la rodilla. En la Figura 8 se muestran los diferentespatrones de carga en la cadera y la rodillaFigura 7Captura de pantalla de información dada por el usuario al programa del exoesqueleto102 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia


Modelo matemático y herramienta de simulación de exoesqueleto activo de cinco segmentos - pp. 93-105en el plano sagital durante la marcha. Estos datoshan sido obtenidos de experimentos normalizados(Riener, Rabuffett, & Frigo, 2002). Aunque losgráficos muestran resultados de pacientes concretosy los datos antropométricos difieren entre unpaís y otro, presentan una aproximación bastanteacertada para obtener una estimación biomecánicade los pares que se tendrán que soportar con elexoesqueleto.En cada uno de los gráficos se pueden apreciarlos valores máximos de torque para la articulaciónde la cadera y la rodilla realizando actividad demarcha. Es importante señalar que los torquesestán dados en Nm/kg y se han calculado para unciclo de marcha.En la Figura 9 se puede apreciar el torque desarrolladopor la cadera y la rodilla por kilogramoobtenido directamente del modelo matemáticoimplementado. Los datos normalizados partieronde un paciente de 1.30 m de estatura y 30 kg depeso, hasta uno de 1.90 m de estatura y 90 kg depeso. Se aprecia que el comportamiento gráfico ylos resultados obtenidos se aproximan a los mostradosen la Figura 8, en la que no se tiene en cuentala masa de los actuadores asociados al exoesqueleto.Adicionalmente se observa una variación de torqueal finalizar la marcha, que hipotéticamente estáasociada con la rigidez con la que se está llevandoa cabo el movimiento del tronco; es decir, debidoa que el modelo matemático implementado noconsidera los movimientos de los brazos, los cualesgeneran fuerzas de compensación que influyendirectamente en el esfuerzo que debe realizar lacadera para mantener un equilibrio de tipo dinámico.Se observa que la articulación de caderadebe realizar un esfuerzo mayor para mantener alindividuo en equilibrio durante la marcha. Estecomportamiento es más pronunciado al finalizarel ciclo porque intervienen los efectos inerciales decada uno de los segmentos involucrados.Como se mencionó anteriormente, el exosqueletoen el paciente genera un aumento de torqueen cada una de las articulaciones debido a la masaasociada a esos dispositivos. En Figura 10 se muestrala diferencia de los torques para cada una de lasarticulaciones, cuando está con el exoesqueleto ysin él. Se puede percibir en los valores máximos elaumento del torque, que en algunos casos, comoen la articulación de rodilla, puede llegar al 25 %.El porcentaje cambia según la antropometría delFigura 8Torques en Nm/kg, desarrollados por la cadera y la rodilla en el plano sagital durante un ciclo de marchaFigura 9Torques de articulación de rodilla y caderaRevista Científica Guillermo de Ockham. Vol 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X ‣ 103


Juan Carlos Cruz Ardila - José Miguel Ramírez EscarpetaFigura 10Comportamiento de los torques con exoesqueleto y sin él para un individuo de 50 kg y 1.5 m de estaturaindividuo que porte el exoesqueleto, por lo que esmás pronunciado para alguien de proporciones pequeñasy menos para una persona esbelta, debidoa que se afectan los momentos de inercia, segúnlo expresado en el modelo de los cinco segmentos.ConclusionesEste trabajo logra modelar matemáticamenteun exoesqueleto de miembros inferiores de cincosegmentos, al simular la interacción humano/máquina, usando parámetros que pueden serdados por un especialista y es de interés paraestudiar la marcha en individuos con lesionesmotoras parciales o totales. Este modelo relacionavariables susceptibles de ser cambiadas, comoson la antropometría, de acuerdo con el tipo delesión física que tenga el paciente, y el peso delos accionadores ubicados en las articulaciones.Igualmente, el modelo puede ser enriquecido enla medida que las aplicaciones sean más ampliasy se realicen pruebas con una población diversaen la que los datos antropométricos respondan alcaso colombiano.El análisis matemático seleccionado se apoyaen el cálculo energético de Lagrange y el modelodinámico de Euler–Lagrange. El procedimientogenera un desarrollo matemático extenso, pero deacuerdo con los resultados obtenidos, se ajusta a latendencia de modelado encontrada en la revisiónbibliográfica. Sin embargo, pensando en una implementaciónsobre un sistema microprocesado,los cálculos estarán subsumidos a la velocidad deprocesamiento del dispositivo que se seleccione, yafectarán directamente la celeridad con que debenresponder los motores eléctricos presentes en cadauna de las articulaciones.Para construir el modelo matemático del exoesqueletoportado por un individuo de condicionesfísicas y antropométricas normales, estratégicamentese analizó un sistema de tres segmentos conel propósito de estudiar los comportamientos tantocinemáticos como dinámicos de los elementosque intervienen en un proceso de marcha. Luego,aprovechando la simetría del cuerpo humano, seutilizó el análisis alcanzado con tres segmentospara desarrollar el modelo de cinco segmentos(presentado en este artículo) y así obtener cada unade las matrices que lo caracterizan. En el modeloobtenido para el exoesqueleto se evidencia que lamasa de los actuadores y en general del exoesqueletoafecta directamente la marcha del individuo,debido a que el centro de masa natural de la personasufrirá un desplazamiento respecto a su centrode presión, lo cual ocasionará una variación en el104 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia


Modelo matemático y herramienta de simulación de exoesqueleto activo de cinco segmentos - pp. 93-105equilibrio estático y dinámico. Esta situación debeser compensada en la propuesta de control que sedesarrolle para el exoesqueleto.La simulación en Matlab ® permite analizar elcomportamiento de los torques en las articulacionestanto de la cadera como de la rodilla para unexoesqueleto de miembros inferiores. El programale da la opción al usuario de aplicar trayectoriaspredeterminadas para la marcha. Aunque estosparámetros provienen de individuos sanos, esposible enriquecer la simulación con trayectoriasconstruidas pensando en ciertas discapacidadesmotoras derivadas de accidentes cerebrovasculareso de tipo medular. Su comportamiento de marchase puede alterar cambiando los ángulos de lasarticulaciones relacionadas con la lesión, tanto enla cadera como en la rodilla. Esta flexibilidad de introducirmovimientos definidos le da al terapeutala posibilidad de analizar el comportamiento de lostorques para ciertas situaciones concretas, aunquedebe ser cuidadoso con los datos antropométricosdebido a que una persona con dispacidad motorapuede presentar pérdida de la tonificación muscularde la articulación comprometida con la lesión.La toma de decisión se orientará específicamentea seleccionar el porcentaje de ayuda que deba darel exoesqueleto al individuo que lo porte.Se encontró un aumento del torque en lasarticulaciones cuando el paciente porta el exoesqueleto,tal como se mostró en la Figura 10. Enla articulación de rodilla aparecen aumentos quepueden llegar al 25 %. Aunque los datos obtenidospresentaron similitud con los dados porla bibliografía, como trabajo futuro es necesarioconsiderar el aumento de segmentos del modelopara tener presente el efecto del movimiento delos brazos y la influencia que tienen en el ajustede las trayectorias y torques que pueda desarrollarun paciente determinado.Bibliografía––BUREAU, M., EIZMENDI, G., OLAIZ, E., ZABALETA, H., MEDINA, J., & PEREZ, M. (2007). “Diseñode un nuevo exoesqueleto para neurorehabilitación basado en detección de intención”. II congreso internacionalsobre domótica, robótica y teleasistencia para todos DRT4ALL. España: Fundación ONCE para la Cooperacióne Integración Social de las Personas con Discapacidad.––CONTRERAS B. Leonardo y ROA G. Máximo (2007). “Modelado de la marcha humana por medio degráficos de unión”. En Tecnura 16. Bogotá: Con-ciencias.––CHEVALLEREAU C., ABBA G., AOUSTIN Y., PLESTAN F. WESTERVELT E., CANUDAS C., YGRIZZLE J. (2003). “Rabbit: A Testbed for advanced control Theory”. En IEEE Control Systems Magazine.––DARIUSH, B. (2005). Analysis and simulation of an exoskeleton controller that accommodates static and reactiveloads. Proceedings of the 2005 IEEE international conference on robotics and automation. Barcelona: HondaResearch Institute USA.––DOLLAR Aaron M. y HERR Hugh (2008). Design of a quasi-passive knee exoskeleton to assist running. IEEEInternational Conference on Intelligent Robots and Systems. Acropolis Convention Center nice. France.––Greene, P. (2002). A Knee and Ankle Flexing Hybrid Orthosis for Paraplegic Ambulation. Medical engineering& physics 25(7). York: IPEM.––GRIZZLE, J. W. (2008). Stable Walking of 7-DOF Biped Robot. Recuperado el 9 de Diciembre de 2009 dewww.eecs.umich.edu/~grizzle/index.html.––ROA G. Máximo (2004). Modelamiento y simulación de la caminata bípeda. Bogotá: Universidad Nacional.––VAUGHAN, C. L., DAVIS, B. L., & O. CONNOR, J. C. (1999). Dynamics of human gait dynamics of human.South África: Kiboho Publishers.– – WINTER, D. A. (2005). Biomechanics and motor control of human movement. New Jersey: Jhon Wiley &Sons, Inc.Revista Científica Guillermo de Ockham. Vol 10, No. 2. Julio - diciembre de 2012 - ISSN: 1794-192X ‣ 105

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