5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

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MOISES VILLENA Integración Múltiple Como también pueden existir regiones simple- y , sólo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal. 156 d c Ejemplo 1 1 x 3 Calcular 160xy dydx ∫∫ 0 2 x SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 ⎡ x ⎤ 1 1 ⎢ ⎥ ⎡ x 4 ⎤ ⎢ 3 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎡ 4 2 4⎤ 160xy dy dx = ⎢ 160x ⎥ dx = ⎢ 40x( x ) − 40x( x ) ⎥ dx ∫∫ ⎢ ⎥ ∫ 4 2 ⎢ ⎥ ∫ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ x ⎣ ⎦ 0 2 ⎣ x ⎦ 0 0 1 1 ⎛ 4 10 ⎞ 3 9 = [ 40 − 40 ] = ⎜ x x x x dx 40 − 40 ⎟ = 10 − 4 = 6 ⎜ ⎟ ∫ ⎝ 4 10 ⎠ 0 0 Ejemplo 2 1 y ∫∫ 2 xy Calcular y e dxdy y x = g( y) dy R dx 0 0 SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: x = f ( y) x
MOISES VILLENA Integración Múltiple 1 ⎡ y ⎤ 1 1 ⎡ y ⎢ ⎥ xy ⎤ ⎢ 2 xy ⎢ 2 e ⎥ ⎥ yy [ ( 0) y y e dx dy = y dy = ye − ye ] dy ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∫ y ⎢ 0 ⎥ ∫ ⎢ ⎣ ⎦ 0 ⎣ ⎥ 0 ⎦ 0 0 1 1 1 2 2 ⎡ y ⎤ y = ye − y dy = ye dy − ydy ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 1 2 2 2 ⎛ y 2 ⎞ ⎛ 1 2 0 2 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ = ⎜ e y − ⎟ = ⎜ e − ⎟ − ⎜ e − ⎟ e = −1 ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫∫ Ejemplo 3 1 y Calcular e dxdy 1 ∫∫− 0 SOLUCIÓN: 1 y Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y y e dx⎥dy = e ⎢ dx⎥dy = ∫∫ ⎢ ⎥ ∫ ⎢∫ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣1− y ⎦ 0 ⎣1− y ⎦ 1 1 0 = ∫ y e 0 La última integral, se la realiza POR PARTES: � �� 1 u v v �du y y y ye dy = ye − e dy = ∫ u dv ∫ 0 ∫ y [ e x] ∫ 1 dy 1− y y ( 1− ( 1− y) ) dy = ye dy 1 0 1 y y ( ye − e ) = ( e − e) − ( 0 −1) = 1 En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los límites de integración, por tanto no había más que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la región de integración porque los límites no están definidos. Ejemplo 1 Calcular xdA donde R es la región limitada por y = 2x y ∫∫ R SOLUCIÓN: Primero identificamos la región R : 0 2 y = x 157
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