Regulación de temperatura por enganche de fase - Universidad ...

Noviembre de 1982Regulación de temperatura por enganche de fasePatricio Valderrama, Jaime Glaría *Departamento de Electrónica, Universidad Técnica Federico Santa María, Casilla 110-V, Valparaíso, Chile_________________________________________________________________________________________________________ResumenEl enganche de fase ha sido usado durante medio siglo en el área de las telecomunicaciones. Además, ha sido aplicado durante losúltimos tres lustros en el área de los motores eléctricos. Este informe contiene algunos comentarios sobre estas aplicaciones, unasinopsis breve de la evolución los reguladores correspondientes por la vía digital, y un método de análisis para tales reguladores.Pero el enganche de fase tiene horizontes más vastos que los supuestos hasta ahora: cualquier proceso con un sensor que generefrecuencias en vez de niveles, puede regularse mediante lazos de este tipo. El informe presente también contiene algunos comentariossobre esta ampliación de horizontes, un regulador digital que continúa la evolución expuesta anteriormente, y la descripción de unaregulación de temperatura realizada con aquel regulador en un lazo de enganche de fase. La regulación realizada sólo es preliminar;sin embargo, resulta precisa y confiable.Palabras claves – Regulación de temperatura; sensores que generan frecuencias; enganche de fase._________________________________________________________________________________________________________1. EL ENGANCHE DE FASEEn 1932, H. de Bellescize propuso un tipo especial derecepción para señales de radio: la recepción sincrónica; en ellase emplean básicamente un oscilador, un mezclador y unamplificador. Para recibir bien una señal emitida y rechazar lasperturbaciones, es esencial la sincronización de la respuesta deloscilador con la portadora de la señal emitida. No debe habererrores de frecuencia, y la desviación de la fase debe reducirse auna fracción bastante pequeña de un período. Eso se logra porenganche de fase y fue una de las primeras aplicaciones dedicho enganche; pero, por diversos motivos, la recepciónsincrónica no se hizo masiva.En 1943, K. Wendt y G. Fredendall propusieron una forma decontrolar el barrido de la pantalla en los receptores detelevisión. En ella, los receptores utilizan osciladores confrecuencias naturales algo inferiores a las requeridas y entradaspara pulsos que fuerzan el re-inicio de las oscilaciones. La emisiónincluye pulsos destinados a re-iniciar las oscilacionesprematuramente y de acuerdo a las frecuencias requeridas. Paraun barrido adecuado, es esencial la sincronización de los pulsosque entran realmente a los osciladores, con los emitidos. Estasincronización se logra por enganche de fase y fue la primeraaplicación extensa de este enganche (Gardner, 1979).Posteriormente ha surgido una serie de proposiciones queaplican el enganche de fase en el área de las telecomunicaciones(de preferencia, para demodular señales emitidas conportadoras, y para rastrear señales de sincronismo). Muchas deestas aplicaciones tienen en común con las dos expuestas, elhecho de trabajar mientras las frecuencias de referenciapermanecen constantes. Cuando las frecuencias de referenciacambian, y en especial si lo hacen bruscamente, se producenproblemas: los lazos pueden ocasionar desviaciones de frecuenciaque se hacen permanentes en los osciladores.En 1968, R. Millar propuso una forma de regular la velocidadde motores rotatorios. En ella se usan codificadores que generanpulsos al girar los motores, en lugar de tacómetros que generanniveles. Los motores y los codificadores se comportan enconjunto como osciladores controlables; y la regulación se lograpor enganche de fase. Pero las frecuencias de referencia ya noson constantes y el problema anunciado se hace manifiesto. Dehecho, Millar recurrió explícitamente a un reguladorcomplicado para impedir que el lazo se enganche en múltiplos osub-múltiplos de la frecuencia de referencia (Millar, 1968).2. DETECTORES DE FASEEl tema se entiende mejor considerando que el enganche defase es una regulación de fase realizada básicamente en un lazoformado por tres bloques: un regulador (denominadonormalmente detector de fase), un filtro y un osciladorcontrolable. Véase la figura 1.Fig. 1: Lazo de enganche de faseEl detector compara las fases de las señales oscilantes, S 1 y S 2 ,y, según la diferencia obtenida, entrega otra señal, x, destinada aalterar la conducta del oscilador de manera que dicha diferenciase reduzca. El filtro suaviza la señal entregada por el detector,pues suele moverse en forma demasiado abrupta, yocasionalmente proporciona medios para mejorar la dinámicadel lazo. El oscilador genera la señal S 2 cuya fase se quiereenganchar con la de S 1 .Hasta la fecha, se ha usado diversos detectores de fase.Algunos de ellos son: multiplicadores,"ands","flip-flops" SR,Los multiplicadores son los detectores más antiguos.Primitivamente, requieren que S 1 y S 2 sean de tipo sinusoidal, yfuncionan según insinúa el análisis siguiente:

() t = K ⋅ S () t ⋅ S () tx12⎛ 2 ⋅π⎞ ⎛ 2 ⋅π⎞= K ⋅V⋅ sin⎜θ1+ ⋅t⎟ ⋅V⋅ sin⎜θ2+ ⋅t⎟⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠2K ⋅V⎛⎛ 4 ⋅π⎞⎞= ⋅⎜cos( θ1−θ2) − cos⎜θ1+ θ2+ ⋅ t ⎟⎟2 ⎝⎝ T ⎠⎠(1)Mientras el filtro promedie la señal x, el oscilador recibirá:2K ⋅Vx = ⋅ cos( θ1−θ2)(2)2En consecuencia, puede aceptarse como modelo de unmultiplicador a la ecuación (2).Por supuesto, la ecuación (2) se distorsiona fundamentalmentesi las señales empleadas no son sinusoidales. Este problemapuede subsanarse pre-formando esas señales antes de quelleguen al detector, para lo cual se las puede cuadrar en primerainstancia y pasar por un filtro adecuado enseguida. Pero, si seintenta algo así, vale más omitir el filtro, que entraña problemasde sintonía, y quedarse con las puras señales cuadradas.Si se usa multiplicadores con estas señales cuadradas, puedenobservarse dos cosas: primero, que la relación entre θ 1 -θ 2 y u(t)mejora ostensiblemente, perdiendo curvatura; y luego, que seestá incurriendo en un gasto inútil pues, si las señales semueven entre V i y V s , sólo hay 4 productos que hacer: V i ⋅V i ,V i ⋅V s , V s ⋅V i y V s ⋅V s . Cuando V i =0, los "ands" trabajan como losmultiplicadores y cuestan mucho menos.Primitivamente, los "ands" requieren señales S 1 y S 2 de tipocuadrado, con ciclos de trabajo de 50%. Para entender sufuncionamiento, conviene hacer el análisis que sigue, aunqueMoore (1973) sugirió otro más simple: sea t=0 cuando ocurreuna subida de S 1 y t=T 0 cuando ocurre la subida siguiente de S 2 .Obviamente:0 ≤ T 0< T(3)La k-ésima subida de S 1 ocurrirá cuando:La k-ésima bajada de S 1 ocurrirá cuando:t = k ⋅T(4)Tt = k ⋅T+(5)2⎛ T ⎞TT ' = ⎜k⋅T+ ⎟ − ( k ⋅T− T0) = −T(9)0⎝ 2 ⎠2La respuesta del “and” será V s durante, y sólo durante, esoslapsos; por consiguiente, su valor medio será:En cambio, si:xT− T2 ⎛ 1 T ⎞(10)T ⎝ 2 T ⎠00= ⋅Vs = ⎜ − ⎟ ⋅V sT2≤ 0T < T(11)aparecerá periódicamente esto: subida de S 1 , bajada de S 2 ,bajada de S 1 , subida de S 2 . Ambas señales estarán simultáneamenteen V s sólo entre los dos acontecimientos iniciales;vale decir, en lapsos de tiempo que duran:⎛T ⎞TT' = ⎜( k −1)⋅T+ T0+ ⎟ − k ⋅T= T0− (12)⎝2 ⎠2La respuesta del “and” será V s durante, y sólo durante, esoslapsos; por consiguiente, su valor medio será:TT0−x =T⎛T⎝ T1 ⎞2 ⎠2 0⋅Vs = ⎜ − ⎟ ⋅V s(13)Si se quiere la relación entre θ 1 -θ 2 y x , hay que considerartambién la relación entre θ 1 -θ 2 y T 0 /T. Esta es:T0θ1−θ2⎛θ1−θ2⎞= − int⎜⎟ (14)T 2⋅π⎝ 2⋅π⎠donde int(a) es la parte entera de a, definida por:( a) ≤ a ∀areal, int( )enteroa − 1 < inta (15)Combinando las ecuaciones (10), (13) y (14), puede aceptarsecomo modelo de un “and” al gráfico de la figura 2.La k-ésima subida de S 2 ocurrirá cuando:t = k ⋅T+(6)T 0Y la k-ésima bajada de S 2 ocurrirá cuando:Tt = k ⋅T+ T0+(7)2Si:T≤ T

próxima subida de S 2 ; fuera de esos lapsos será –V s . Por tanto,su valor medio será:Fig. 3: Diagrama de estados de un “flip-flop” SRPara entender la conducta de los “flip-flops” SR puedeemplearse un análisis similar al empleado para los “ands”. Si sedefine t=0 y t=T 0 como en esa oportunidad, las ecuaciones (3),(4) y (6) siguen siendo válidas.Los lapsos de tiempo entre una subida de S 1 y la próximasubida de S 2 durarán:T − T0 ⎛ T0⎞x = ⋅ ( −Vs) = ⎜ −1⎟⋅V(18)sT ⎝ T ⎠Combinando las ecuaciones (14), (17) y (18), puede aceptarsecomo modelo de un detector de fase y frecuencia al gráfico de lafigura 6.( k ⋅T+ T0) − k ⋅TT0T ' = =(16)La respuesta del “flip-flop” será V s durante, y sólo durante,esos lapsos; por consiguiente, su valor medio será:Tx = 0 ⋅V (17)sTCombinando las ecuaciones (14) y (17), puede aceptarsecomo modelo del “flip-flop” SR al gráfico de la figura 4.Fig. 4: Conducta de un “flip-flop” SRA estas alturas, el problema de la forma de las señalesempleadas desaparece prácticamente. Sin embargo, existe otroproblema que aparece con claridad si el lazo se usa conreferencia variable: cuando se mueve bruscamente la referencia,los lazos basados en cualquiera de los detectores vistos puedenocasionar desviaciones de frecuencia que se hacen permanentesen el oscilador. En tales casos, ninguno de los detectorespresentados sirve, y la fase de S 2 “resbala” sistemáticamenterespecto a la de S 1 .El regulador empleado por Millar (1968) suele denominarsedetector de fase y frecuencia, y obedece al diagrama de estadosde la figura 5.Fig. 5: Diagrama de estados de un detector de fase y frecuenciaPara entender el funcionamiento de este tipo de detectores,puede emplearse el análisis usado para los “ands” y los “flipflops”SR. Si se define t=0 y t=T 0 como entonces, lasecuaciones (3), (4), (6) y (16) siguen siendo válidas. Pero laecuación (17) requiere ciertas distinciones.Si el detector estaba en 0 o V s cuando t=0, seguirá moviéndoseentre 0 y V s . Su respuesta será V s durante los lapsos detiempo entre una subida de S 1 y la próxima subida de S 2 ; fuerade esos lapsos será 0. Por tanto, su valor medio será el indicadopor la ecuación (17). En cambio, si el detector estaba en -V s o 0cuando t=0, seguirá moviéndose entre -V s y 0. Su respuesta será0 durante los lapsos de tiempo entre una subida de S 1 y laFig. 6: Conducta de un detector de fase y frecuenciaLamentablemente, el análisis presentado supone que lafrecuencia de S 1 y la de S 2 son iguales, de modo que resultainútil para explicar cómo estos detectores corregirían lasdesviaciones de frecuencia. El análisis necesario escapa a lasposibilidades de este escrito; sin embargo, ya lo hemos hecho yla conclusión es que estos detectores no pueden evitar elenganche en frecuencias inapropiadas.Los detectores de fase y frecuencia son ampliaciones de los“flip-flops” SR, como se aprecia comparando las figuras 4 y 6.Ampliaciones nuevas llevan a dispositivos con diagramas deestado como los que muestra la figura 7, los cualescorresponden a lo que pudiera denominarse contadoresascendente-descendentes saturables. (Debe agregarse unasaturación en ambos extremos, porque los contadoresascendente-descendentes habituales cambian de V B a V -A siocurre una subida de S 1 , y de V -A a V B si ocurre una subida deS 2 . Hay algunos detalles constructivos más adelante).Fig. 7: Diagrama de estados de un contador ascendentedescendentesaturablePara entender el funcionamiento de estos contadores, puedeseguirse el análisis hecho para los detectores de fase yfrecuencia. Si se define t=0 y t=T 0 como entonces, lasecuaciones (3), (4), (6) y (16) siguen siendo válidas. Si ademásse considera, generalizando, que el detector estaba en V i cuandot=0, puede concluirse que su respuesta será V i+1 durante loslapsos de tiempo entre una subida de S 1 y la subida próxima deS 2 , y que fuera de esos lapsos será V i . Por tanto, su valor medioserá:xT0 ( V −Vi)(19)T= Vi+ ⋅i+1Combinando las ecuaciones (14) y (19), puede aceptarsecomo modelo de un contador ascendente-descendente saturableal gráfico de la figura 8.

quiere regular. Como su compresor es hermético y no tiene víaspara la actuación, a ese equipo se le ha agregado un calefactorcontrolable y un agitador, como puede verse en la figura 9.Fig. 9: PlantaUn análisis físico simple lleva al siguiente modelo para elinterior del recipiente:Fig. 8: Conducta de un contador ascendente-descendentesaturablePor supuesto, el análisis hecho recién supone también que lafrecuencia de S 1 y la de S 2 son iguales, de modo que no sirvepara explicar cómo los contadores corregirían las desviacionesde frecuencia. Sin embargo, existe un enfoque simplificado quepermite aproximarse a la compresión del fenómeno.Si la frecuencia de S 1 se mantuviese constante en un valor F 1 ,y si la frecuencia de S 2 se mantuviese constante en 0, la cuentaascendería sostenidamente (en forma escalonada) hasta llegar ala saturación. Si la frecuencia de S 2 no fuese 0 pero sí inferior aF 1 , el ascenso sería más lento. Si la frecuencia de S 2 semantuviese constante en el valor F 2 =F 1 , la cuenta se mantendríaoscilando entre dos niveles. Si F 2 fuese superior a F 1 , la cuentadescendería hasta llegar a la otra saturación. Y si F 1 se hiciese0, el descenso sería más pronunciado. Este comportamiento esmuy similar al de la ecuación siguiente:( Vi 1−Vi) ⋅∫( f1− f2)x =+⋅ dt(20)donde f 1 y f 2 son las frecuencias (variables) de S 1 y S 2 , respectivamente.Se está suponiendo V i+1 -V i constante para todo ientre –A y B-1.Por lo que se refiere a este informe, aceptaremos comomodelo aproximado del contador ante señales con frecuenciasdiferentes, mientras no se llegue a saturaciones, a la ecuación(20).Con esto, el horizonte de las aplicaciones para los lazos deenganche de fase resulta mucho más vasto que lo dicho hastaahora.3. UNA PLANTAEl enganche de fase presupone la generación de fases, y esopresupone oscilaciones. Lo esencial para este tipo deregulación, es que la planta sea un oscilador controlable. Ahorabien, cualquier proceso con un sensor que genere frecuencias envez de niveles, puede tomarse como un oscilador controlable; y,por tanto, se lo puede regular mediante un lazo de enganche defase que use, como detector, un contador ascendentedescendentesaturable.Consideramos a continuación un equipo de refrigeraciónNeslab Cryocool CC-60, para laboratorios, cuya temperatura sedTG ⋅ ( Ta− T ) + Pc= C ⋅ + P (21)fdtdonde G es la conductancia térmica entre el recipiente y elambiente, T a es la temperatura del ambiente (perturbación), T esla temperatura del recipiente y su contenido (variable regulada),P ç es el caudal de calor suministrado por el calefactor(actuación), C es la capacidad calórica del recipiente y sucontenido, y P f es el caudal de calor extraído por el compresor(40 [W]).Linealizando (aunque en esta oportunidad no es necesario) yaplicando la transformación de Laplace:G ⋅( T () s − T()s ) + P ( s) = C ⋅ ( s ⋅ T( s) − ( T( 0 ) − T )) + P ( s)ac−f(22)Por lo tanto, considerando en general que A(s) es latransformada de a-a, donde a es el valor nominal de a:T1GC⋅ s + 1G() s = ⋅ P () s − ⋅ P () s+CGc1⋅ Ta⋅ s + 1() s1GfC⋅ s + 1GC⋅−+ GC⋅ s + 1G( T ( 0 ) − T )(23)Este modelo muy simplificado se confirma en buena medidapor el descenso prácticamente exponencial obtenido al enfriar elrecipiente sin hacer uso del calefactor. Observando esedescenso, se lo puede expresar bien así:− to 900[s]oT = 37[ C] ⋅ e − 24,5[ C] (24)Aplicando la transformación de Laplace:T() soo37[ C] 24,5[ C]=−s + 1s900[s](25)De las ecuaciones (23) y (25), y considerando que P c =0[W],P f =40[W], T a =12,5[°C] y T(0 - )=12,5[°C], se deduce que:

o0,925[ C/W]900[s] ⋅ s + 1() s =⋅ P () s −⋅ P () sT+1900[s]c⋅ Ta⋅ s + 1() so0,925[ C]900[s] ⋅ s + 1[ T ( 0 ) − T ]900[s] ⋅−+900[s] ⋅ s + 1f(26)En consecuencia, aceptaremos como modelo de la planta aesta ecuación (26).4. EL SENSORLövborg (1965), Maher (1967), Holm (1968), e Ikeuchi,Furukawa y Matsumoto (1975) han sugerido convertidores detemperatura en frecuencia. Por ahora, sin embargo, el sensorconsiste en el oscilador aestable simple que muestra la figura10. Allí, R 1 =12⋅10 3 [Ω], C 1 =533⋅10 -9 [F] y C 2 =10⋅10 -9 [F]. R t esla resistencia de un termistor UUA33J4, de Omega Engineering.Fig. 11: Esquema del reguladorPara cerrar el lazo, en esta ocasión se emplea la salidaanalógica, cuya variación está comprendida entre 0[V] y 10[V].De acuerdo con el análisis simplificado del capítulo 2:10 [V]= ⋅∫( f1 − f2) ⋅ dt = 0,039[V]⋅∫( f1− f ) ⋅ dt (32)255x2Linealizando y aplicando la transformación de Laplace:0,039[V]s() s⋅ ( F () s − F () s )x+( 0 )−X =1 2− xs(33)Fig. 10: SensorEl tiempo de carga del condensador (con respuesta alta) estádado por:3−9( R + 12 ⋅10[ Ω]) ⋅ 5,33⋅10[ F]t = 0,6931⋅(27)ctEl tiempo de descarga (con respuesta baja) está dado por:−t = 0,6931⋅R ⋅ 5,33⋅109 [ F](28)ctEn consecuencia, aceptaremos como modelo del regulador aesta ecuación (33).6. EL FILTROPara suavizar los movimientos escalonados del contador, nohace falta agregar un filtro: la constante de tiempo de la plantabasta y sobra. De hecho, sobra; y, por eso, resulta aconsejablededicar el filtro, no a sosegar el contador, sino a apurar laplanta. Para ello se ha utilizado el bloque de adelanto quemuestra la figura 12.Y la resistencia del termistor obedece a la temperatura según(Rojas y Glaría, 1982):o4998[ C]o−3 T + 312,6[ CR = 1,118 ⋅10[ Ω]⋅ e] (29)tPor consiguiente, la frecuencia de oscilación es:f2=4,43⋅10−3[ Hz]1+ 8,26 ⋅10−10[ Ω]⋅ e4998T + 312,6o[ C]o[ C](30)Linealizando en torno a T=-12[°C] y aplicando latransformación de Laplace:Fo() s 2,67[ Hz/ C] T()s≈ (31)2⋅En consecuencia, aceptaremos como modelo del sensor a estaecuación (31).5. EL REGULADORSe trata de un contador ascendente-descendente saturable con256 estados posibles. Cada uno de estos estados se expresasimultáneamente en código binario (mediante 8 respuestasbinarias) y en forma analógica (mediante 1 respuesta analógica).La construcción del regulador sigue el esquema de la figura 11(Alegría y Glaría, 1981)Fig. 12: FiltroLa segunda parte del filtro es en realidad un regulador PD(Glaría, 1981). La primera parte, en cambio, es un filtro pasabajoscon una constante de tiempo de apenas 22,4⋅10 -3 [s], lacual resulta despreciable para la dinámica general del lazo, perofundamental para evitar los impulsos desmedidos que generaríael PD solo ante el movimiento escalonado del contador.En vista de lo anterior, el comportamiento del bloque deadelanto puede suponerse concentrado en su segunda parte.Considerando la ganancia grande y las impedancias de entradaaltas del amplificador operacional:1x ≈220 ⋅10−9v − x⋅∫⋅ dt3[F] 100 ⋅10[ Ω]Linealizando y aplicando la transformación de Laplace:( )(34)1x 0 − xX () s ≈ ⋅ ( V( s)− X( s)) + −(35)22[s] ⋅ ssDe ello se deduce:() s ≈ ( 22[s] ⋅ s + 1) ⋅ X( s)− 22[s] ⋅ ( x( 0 ) − x)V (36)−

En consecuencia, aceptaremos como modelo del filtro a estaecuación (36).6. EL ACTUADORSe trata de un seguidor de emisor, según muestra la figura 13.() s() sT17 s ⋅ s(41)≈2T s 2 ⋅ς⋅ sa F1=0 + + 12ω ωNNF2() s tD⋅ s + 1(42)≈2F1() s s 2 ⋅ς⋅ sTa = 0+ + 12ω ωNNF2() s o T[ ]() so≈ 2,67 Hz / C ↔ ≈ 0,37[ C/Hz](43)T sF s()2[]()donde t D =22[s], ω N =8,0⋅10 -3 [rad/s] y ζ=0,16.Fig. 13: ActuadorConviene destacar que el transistor ha sido incluido en elcalefactor, y que la razón para ello radica en un problema delinealidad. En cualquier resistor lineal, el voltaje y la corrienteson interdependientes; así, el calor disipado resulta dependientedel voltaje o de la corriente mediante una relación no-lineal:2v 2P = v ⋅i= = i ⋅ RR(37)En el caso de la figura 14, despreciando lo que ocurre en labase del transistor, el voltaje del conjunto formado por eltransistor y el resistor queda fijo y el caudal de calor disipadoresulta dependiente de la corriente mediante una relación lineal:Ahora bien:de modo que:P ≈ 15 [V] ⋅i≈ 15[V]⋅ i(38)ci ≈ icecv − 0,7[V]≈25[ Ω]e(39)v − 0,7[V]P ≈ 15[V]⋅ ≈ 0,60[W/V] ⋅ ( v − 0,7[V] ) (39)c25[ Ω]Linealizando y aplicando la transformación de Laplace:P c() s 0,60[W/V] ⋅ V()s≈ (40)En consecuencia, aceptaremos como modelo del actuador aesta ecuación (40).7. EL LAZO DE REGULACIÓNRecopilando las ecuaciones 26, 31, 33, 36 y 40, se obtiene eldiagrama de bloques de la figura 14.Fig. 14: Diagrama de bloques del lazoPor tanto, con el lazo cerrado se obtienen las transferenciasque siguen:8. RESULTADOS Y CONCLUSIONESEl lazo construido tiene deficiencias bastante obvias. Porejemplo, utiliza un sensor no-lineal. Además, presenta un factorde amortiguamiento ζ muy pobre. (El PD debió tener untiempo derivativo mayor). Sin embargo, se comportasorprendentemente bien en torno a –12[°C]. El tiempo deasentamiento, 4/(ζ⋅ω N ), es cercano a 3100[s], y, sin embargo, ellazo alcanza a la referencia en unos 300[s]. En esto influye t D , ytambién el carácter digital del contador, que es prácticamente unintegrador carente de fugas, imperturbable y saturable sinenrollamiento.Lo dicho recién merece un espacio para sí mismo en otroinforme, al igual que las conclusiones sobre el enganche de fasecomo forma de regulación en general.Por ahora, puede decirse que: los lazos de enganche de fase pueden usarse para regulacionesen áreas mayores que las consideradas hastaahora; una de esas áreas es la de la temperatura; los contadores ascendente-descendente saturables sonreguladores más completos que los habituales, para elenganche de fase; y la regulación de temperatura con esos contadores enlazos de enganche de fase, aún sin refinamiento, resultaprecisa y confiable.REFERENCIASAlegría, F. y J. Glaría (1981). Un contador ascendentedescendentesaturable. Informe interno, Dep.Electrónica, Univ. Santa María, ValparaísoGardner, F. (1979). Phaselock techniques. Wiley Interscience,Nueva YorkGlaría, J. (1981). Un regulador PD con parámetros independientes.Informe interno, Dep. Electrónica, Univ.Santa María, ValparaísoHolm, K. (1968). Thermistor-thermometer based on an astablemultivibrator. Electronic Eng., Diciembre, 700-702Ikeuchi, M., T. Furukawa y G. Matsumoto (1975). A lineartemperature-to-frequency converter. IEEE Trans.Instrum. & Meas., IM-24, 233-239Lövborg, L. (1965). A linear temperature-to-frequencyconverter. J. Sci. Instr., 42, 611-614.Maher, F. (1967). The multivibrator bridge for temperaturemeasurement. J. Sci. Instrum., 44, 531-534Millar, R. (1968). Digital control of shaft speed and position.IEEE Spectrum, Enero, 90-95Moore, A. (1973). Phase-locked loops for motor-speed control.IEEE Spectrum, Abril, 61-67Rojas, R. y J. Glaría (1982). Modelo para termistores. Informeinterno, Dep. Electrónica, Univ. Santa María,Valparaíso