pdf-file - TUM

wwwold.m4.ma.tum.de

pdf-file - TUM

���������� �� ������ ����� ������ ���� ��

����������� �� ����������� ���� ������

������ ������ ∗

������� ����������� †

������� ��� ����

��������

������ ������ ‡

�� ������� ����������� ���������� ��� ���������� �� ��������������� ����

������� ���������� ����� ��� ������ �� � ������ ���� �������� ���� ���������

��� ���� ������ �� � ��������������� ������ ���������� ������� ���� ���� � �����

��� ��������� �� ��� ������ ���� ���� ������� ��� ������� ��� ���������� ��

� ��������������� ������ �� �� ����������� �� �������� ���� ���� � �������

����� ����������� ������� ���� �� �� � ���������� ����� �� ���� ������ ����

��� ��������� ��� ����������� ������� ��� ������� �� ��� ��������� �� ��������

�� � ���������� ������ ��� ��������������� ��������� ���� �� � ��� �������

����������� ��� ������ ������������

��� ���� ������� ��������������� �������� ����� � ����� � �����

���������� �����

��������� ����� ������ ����������� ������� ���������� �� ����� ������� ������

����� ������ ������ ������������������ �������� ������ ���� ��������

∗ ���������� �� ������������ ���������������� �������

† ������ ��� ������������ ��������� ��� ��������� ��� �������� ������ ���������� �����������

�������� ������� ��������� �������� ������ ��������������� ���� �����������������������

‡ ������ ��� ������������ ��������� ���������� ����������� �������� ������� ��������� ����

����� ������ ������������������ ���� �������������������������������������


� ������������

����� ��� ��������� �� ��� ����� ����� ����������� ��� ���� � ���������� ������ ��

��� ����������� �� ��� �������� ������ �� ���������� � ������� ��������� �� ������

��� �� ����� ��� �� �� ���� �� ������� � ���� ������� ���

�� ������ ������ ����������� ������� ���������� ������ ���� ��������� �������

������� ��� �� �������������� ��� �������� ������������ ��������� ��� �������� ��

����������� �������� ����� ��������� �� ��������� ��� ���� �� ������ ����� �������� ��

���� ��� ������ ��� �������� ����� ��� ������ ������������ ������� ���� ����� �������

���� ��� ������� �� ������������ ��� ������ ���� ��� �� ���������� ��������� �� ���

���� �� ����������� ������������ ��� ������������� ������������ ������ ��� ����� �����

�������� �� ���� ������� �� ������ ���������� ����� ����������� ��� �������� �� ���

���� ��� �� ������� ��� ��������� �� ����� ��������� ���� ������ ��� ���������� ������

�� ������ ��� ������� ��� ����� ���� �������� ������������� �� � ������������

���������� ������������ ��� ���������� ��������� ��� ����� ���� ����������� ����� ������

��������� ����� ��� ���������� ���������� �� ������ ��� ���� �������� � ����� ���

���� �� ������ ������� ����� ����� ����� ��� ��������� ��� � ���������� ���� �����������

� ���� �������������� ��� ����������� �� ��� ���� ������� ������������ �� �� ������

�������� �� ������ ������� ����� ����� �� �������� ��������� �� � ������������ � ������

���� �� ����������� ������ ����� ��� �� � ������� �� � ����� ������ ����� ������� ��

���������� ����� ����� ����� ��� �������� ���������� �� ���� ����������� ��������

����� ��� ������ ����� ������ ��� ��� ������ �� ����������� �������� ���� ���� ��������

������ ��� ����������� �� ��� �������� �������� ������ �� � ��������� ����

���� ������������ ��� ��� ������������ �� ����������� � ��� ��������� ��� �����

������ ������������ ��� �������� ������� ����� ����������� ����� ��� �� ���� ���

������ �� ��������� ������ ���� ��� ����� ����������� �� �������� ������������ ���

������ ��������� ��� ��������� ��������� �� ����� ��� ���� ������� ������ ���� ���

���� ������� ����� ���������� ����� ��������� ���� ������ � ����������� ����� �� ��

������ ��������� ��������������� ��� �������� ������������ ���� ���� ��� ��������

�������� �� ����������� ����� ��������� ��� ������������

�� ����������� ����������� �������� ��� ���������� �� ����������� ���� ������ ��� ��

��������� ����� ���� ������������ �� ������� �� ������ ����������� ��� ���� �������

���� �� ����������� �������� ��� ���� ������� ������� �������� �� ��������� ���� ��

���� �� �������� ����� ��������� �������� ����� ������� ���� ��������� ��������������� ��


����������� ���� ����� ����� ��� ������� �� ����� �� ���������� ����������� ��� ������

������� ��� ��� ����� ����� ���������� ���� ���� ������� ������� ������ ��� �����

������������ �� �������� �� ���� �������� ����� ����������� ���� ������ ��� ����������

������ ������� �� ��� �������� �������� ����������� ���� ������ ���� ���������� ������

��� ������ ����������� ���������� ������ ������ ������� �� ��� ������

�� ������������ ������������� ��� ������� ���� � ������������ ���������������

����� ��� ��������� ��� ����������� ���� ������� ����� ��� ���� ���� ��� ������� ��

����������� ����������� �� ������������� ��� ������ ����� �������� ��� ����� ��������

��� �������� �������� ���� ����� �� �� �������� ���� �� �� �������������� �� ��� �����

����� �� ��������� �� ��� ��� � �������� ���� ������ ���� ����� ��� ���� ����������

����� ���� �������� ��� �������� �������� ���� ����� ���� �� � ������ �������� ������

������ �� ���� �� ��� �������� ��� ������� ����� �� ������� ���� ����� ���� �� �����

�������� ������� �� ���� ��� ����� ������� ����� ��������� �� ��� ������ �� ��� ����

������ �� ��� ����� ����� ���� �������� L 2 ����������� ���������� ��� �� �������

���� �� ���� ������������ ������ ��� ����� ��� ��� ������� �� ��� ���� ��� ����������

��������

�� ��� ������� ����� �� ������ ��� ������ ����� ���� �� ��������� �� ��� ��� �� �

��������������� ������ ��� ���� ���� ������ ���� �� ������� �� ������ ����������� ���

����� � ��������������� ����� �� �����������

��������� ���������� ���� ������� ������ ���� ���� ��������� ������� ��

���� ��� ��� ������������ �� ��������� ���� �� ���� �� ��������� ���������� ������ ��

���� ������ ������������ �� ����� �������� ������� �������� �� ���� ����� �� ���

���� �������������� �� ����� � ����� ������� ��� ����� ����������� ����� ���������

��� ���� ��������� �� ����� ����� ��� ����������� ������� �� �������� ������ ���� ��

��� �� ���������������� �� ���� �� ������� ���� ���������� ��� ��� �� ���� �����

• ������� ����� ����� ���������� ��� ������ ����(p, q) ��������� ��� ����� p, q ≥

1� �����(p, q) ��������� ����� ��� q < p� ��� ��������� ����

• ���������� ������� ������� � �������� �������� ��� ���� ��� ����� ������

����� �� ����� �� ���������� ���������� ������ �������� ��� � ���� ��� ���� �����

��� ������������� ��� ��������� ���� ������� ��

• ��� ���� ������������ �� �� ��������� �� �������� ��� ������� ���� �������� ����

�� ��������� ��� ��� ���������������� ��� ���������� ����� ��� ���� ����


��� ����� �� ��������� �� �������� �� ������� � �� ������� ���� ����������� ���

����� �� ����� ��������� ���� ������� �������� �� ��� ������� ������ ���� ��������

������� � �� ������� �� ��� ����������� ���������� ���������� �� ������� � �� �������

� ���������� ����� �� ����� ��� ���������� ���������� ��� �� ������� � �� �������

��� ��������� ����������� ���� ����� ���� ����� � ������ ����� ������ ������� �

����������

� ������ ����� ���������

���������� �� ���� �� � ������� ����������� ����� ���������� ��� ����� ���������� ��

������������ ��� ����������������� ��� {L(t)}t≥0 �� �� α������� ���� �������� ����

• L(0) = 0 ����

• L ��� ����������� �����������

• ��� ����� 0 ≤ s < t < ∞ ��� ������ ��������

L(t) − L(s) ∼ Sα(c(t − s) 1/α , β, µ)

��� ���� α ∈ (0, 2)� β ∈ [−1, 1]� c > 0� µ ∈ R� ���� ��� �������������� ��������

��� ��� ��� t ≥ 0 ��� �������������� E[e iθL(t) ] = e tξ(θ) ��� θ ∈ R� ����� ����

��������� ����� �� ������������� ��� ����� �����

� α α πα

−c |θ| (1 − iβ(sign θ) tan( )) + iµθ ��� α �= 1,

2 ξ(θ) =

−c|θ|(1 + iβ 2 (sign θ) log |θ|) + iµθ ��� α = 1.

π

�����

��� ���� �������� sign θ = −1, 0, 1 ��������� �� θ < 0� θ = 0 �� θ > 0� �������

�������

�� c = 1 ��� µ = 0� ���� L �� ������ �������������

• L ��� ������ ������ ������

�������� �� ������ µ = 0� ����� �� ������ ���� �������� ��� ��� �� ����������� ��

������� ��� �������� ����� ��� ��������� ����� �� ������������� ��� ����� �����

� ����������� CARMA(p, q) ������� {Y (t)}t≥0 ���� p, q ∈ N0 ���� ���� q < p

��� ���������� a1, . . . , ap, b0, . . . , bq ∈ R �� ������ ��� ��� ����������� ��������������

�� ��� ������ ��������

a(D)Y (t) = b(D)DL(t), t ≥ 0, �����


����� D ������� �������������� ���� ������� �� t ���� ������� {L(t)}t≥0 �� � ������

���� ������� �� ������ ������

a(z) := z p + a1z p−1 + · · · + ap ��� b(z) := b0 + b1z + · · · + bp−1z p−1

��� ��� �������������� ������������ ��� ��� ���������� bj ������� bq = 1 ��� bj = 0

��� q < j < p�

����� ��� ���������� DL(t) ���� ��� ����� �� ��� ����� ������ �� ��������� ����� ��

����� ���������� �� ��� ����������� ��� ����� ���������

�����

Y (t) = b T X(t) , �����

dX(t) = AX(t)dt + 1pdL(t) , �����


X(t)

⎜ X


X(t) = ⎜


(1) (t)

���

X (p−2) ⎞ ⎛

⎟ ⎜

⎟ ⎜

⎟ ⎜

⎟ , b = ⎜

⎟ ⎜

(t) ⎠ ⎝



A = ⎜


X (p−1) (t)

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

���

���

���

���

���

0 0 0 . . . 1

−ap −ap−1 −ap−2 . . . −a1




b0

b1

���

bp−2

bp−1

⎞ ⎛ ⎞

0

⎟ ⎜ ⎟

⎟ ⎜ 0 ⎟

⎟ ⎜

⎟ , 1p = ⎜ ���


⎜ ⎟ ,

⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝ 0 ⎠

��� A = −a1 ��� p = 1.

����� ����� ��������������� �� ��������������� �� ��� ���� ��������� ���� ����

�� ���������� ������� ��� �������� ���� ��� (p, q) = (1, 0) ��� (p, q) = (2, 1)� ���

����������� �� ����� ��� ����������� �� ����������� �� ���� ��� ���� ����� ��� ��������

�������� ����� �� ��� ����� �������� ��� ��� ���������� �������� ��������

X(t) = e A(t−s) �

X(s) + e A(t−u) 1pdL(u), 0 ≤ s < t, �����

(s,t]

����� ��� ������ �������� �� ������ �� �� ������� � �� ������������� ��� ����� �����

���� ������� �������� ������ ���� ������� ���� ��������� �� ��������� ����

������ ���� ��� ����������� �� ��� ������ A� ����� �� ����� ������ �� λ1, λ2, . . . , λp�

��� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� �������������� ���������� a(·)� ����� ��� ������


1


�� ������� �� ��������� ��� ����������� �� λI − A ����� ��� ���� ������ �����

��������� �������� ��� ������������� ����� ������������ ��� (1, λi, λ2 i , . . . , λ p−1

i ) T ���

i = 1, . . . , p� ���� ���� ����� ������� ��� ������ ������������� ���� �� ��� ���� �� ���

�������� �������� ������������

��� ��������� ������ ���������� ��� ��������� �� � �������� ���������� �������� X

�� ������ �� ����� �� ��������� �� �� ���� �� ������ ��� ���������� �������� �� ����� ��

��� �������� ���������� �� ������ ��� ���� ������� L �� ��� ����� ���� ���� �� ����

��� ����������� ������ L1 ��� L2 �� L ��� �����

L(t) = L1(t)I[0,∞)(t) − L2(−t−)I(−∞,0)(t) .

����������� ��� ���� ��������� ��� ������� ���� ������� ���� ��������� �� ��� ����

����������� ���

��� ��� L �� � ���� ������� ������������������� ��� ������ ���� a(·) ��� b(·) ���� ��

������ ������ ���� ��� ����� ��������� ����� ��� ����� ���� � �������� ����������

�������� Y �� R �� ��� ���� �� E log + |L1| < ∞ ��� a(·) �� �������� �� ��� ���������

����� �� ���� ���� ��� �������� {Y (t)}t∈Z �� ������ ��� ��� ������������� ����� ������

������� {X(t)}t∈R ��� �� ������ �� �� �������� �����������

��� ����� ������ � �������� ���������� �������� X �� ����� ���� ��� �������� ���� X(t)

�� ����������� �� {L(s) − L(t), s > t} ��� ��� t ∈ R �� ��� ���� �� ��� ���������� ��

��� ���� ��� ���� ��� ����������� �� A ���� �������� ���� ������

���� �������� ��� ��������������


X(t) =

ℜ(λi) < 0, i = 1, . . . , p. �����

(−∞,t]

e A(t−u) 1pdL(u), t ∈ R , �����

����� ��� ��� ��� t ∈ R ��� ���� ������������ �� � ∞

0 eAu1pdL(u)� ��� ������ ���� ��� ���������� �� ��� ��� ����� ����� ����

Y (t) = b T �

X(t) = g(t − u)dL(u), t ∈ R, �����

(−∞,t]

����� g(h) = b T e Ah 1p ��� h ≥ 0 �� �������� �� �� ��� ������ �� {Y (t)}t∈R� ��� �������

Y �� ������ �� ��� ����� ���� Y (t) �� ����������� ��� {L(s), s > t} ��� ��� t ∈ R�


��� ��������� ������ �������� ��� ����� ����������� ������������� �� ���

CARMA(p, q) �������� �� ��� ���� ������ �� ������� ��� �� ��������� ��� �����

��� ���������� �� ����� ������ �������� ����� ��� ���� ���� �� ��� ������ ��� ����

������ �� ���� � ����� ����� ��� ��� ����������

����������� ����

�� {L(t)}t∈R �� � ���� ������� ���� �������������� �������� ����� ��� E |L(1)| r < ∞

��� ���� r > 0� ���� ��� ������ �����(p, q) ������� Y �� �������� �� ����� �������

�� ��������� ����� �� ��������� ���� ��� ���� 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn ��� ��������

���������� �������� �� (Y (t1), Y (t2), . . . , Y (tn)) �� ����� ��

ln E � e iθ1Y (t1)+...+iθnY (tn) �

=

� ∞

0

ξ

� t2

+

t1

� n�

ξ

j=1

� n�

j=2

θjb T e A(tj+u) 1p


θjb T e A(tj−u) 1p

du +


� t1

0

ξ

du + · · · +

� n�

j=1

� tn

tn−1

�� ����������� ��� �������� �������� ���������� �������� ��

ln E[e iθY (t) � ∞

] =

0

θjb T e A(tj−u) 1p

ξ(θb T e Au 1p) du , t ≥ 0 .

������ ��� j = 1, . . . , n� ��� ����� ��� ����� �� �����

Y (tj) = b T X(tj) = b T

��

����������

θ1Y (t1) + · · · + θnY (tn)

� n�

=

e

(−∞,0]

A(tj−u)

1p dL(u) +

θjb

(−∞,0] j=1

T e A(tj−u)

1p dL(u) +


+

(t1,t2]

n�

j=2

θjb T e A(tj−u) 1p dL(u) + · · · +





+ · · · +

n�


du

ξ � θnb T e A(tn−u) �

1p du.

e

(0,t1]

A(tj−u)

1p dL(u)

e

(tj−1,tj]

A(tj−u)

1p dL(u)

θjb

(0,t1] j=1

T e A(tj−u)

1p dL(u)


θnb

(tn−1,tn]

T e A(tn−u) 1p dL(u).

�����


.


����� � ���� ������� ��� ��� �������� ������� �� ������� �������� ����� ������� ���

�� ����������� ����� �� ������������� ��� ����� �����

����������� �� ���� ������ ��� ����������

���������� ����

��� ��� ������� ���� ������� L �� α������� ��� α ∈ (0, 2)�

��� ��� �������������� ����������� a(·) ��� b(·) ���� �� ������ �������� a(·) �� ����

���� �� ��� ��������� ���� ��� �������� ��������� ������ ��� ����� �� a(·) ��� ���������

��� ��� ��������� ��������� �� X ��� ��� ����� ������� Y ��� ������ ��� ��������

���������� ������ �� ���������� �� ����������� �����

����������� ��� ���� ��������� �� ��� ���� ����������� ���

����� ���������� ���� ��� ������ CARMA(p, q) ������� Y ��� �� ����������� �� �

��� �� ��������� ��� �������� �������������� CAR(1) ����������

�����

Y (i) (t) = κi


(−∞,t]

Y (t) =

p�

Y (i) (t) , t ≥ 0 , ������

i=1

��� a ′ (·) ������� ��� ���������� �� a(·)�

e λi(t−u)

dL(u) ��� κi = b(λi)

a ′ , i = 1, . . . , p , ������

(λi)

���� ���� ��� ��������� �� ����������� ��� ��� �� �������� ��� ��� ���� �� ���������

��� �� ��������� ������������ ������� ���� �� ��� ��������� ������� �� ���� ��� ���� �����

������ ���� ��������� �� ��� ��� ���� ����� � ������ ���� ������� �� ��� ���������

����������� ���� ����� ����� �������� ����� ��������� �������� ��������� ��� ��� �� ��

��������� �� �� ��������� ������ ������������� � ���������� ����� ������

���� � ���� �� �� ����� ����� �� ���� �� ��� ������� ������� ���������� ��� ������

������� ���� ������� CARMA(2, 1) ��������

�� �������� ��� ���������� ���� �� � ������ CARMA(2, 1) �������� ����� �� �����

���������� ��� ��� �������� ���������� ��� ������ �������� �� ��� ���������

����

(D 2 + a1D + a2)Y (t) = (b0 + D)DL(t) , t ∈ R ,

b(z) = b0 + z ��� a(z) = z 2 + a1z + a2 = (z − λ1)(z − λ2) ,


����� λ1 �= λ2 ��� ���� ���� �������� ���� ������ ��� ������ �� Y ��

g(h) = κ1e λ1h + κ2e λ2h = b0 + λ1

λ1 − λ2

�� ������������ Y ��� ��� ��������������


Y (t) = κ1

e

(−∞,t]

λ1(t−u)

dL(u) + κ2

e λ1h b0 + λ2

+ e

λ2 − λ1

λ2h


(−∞,t]

��� h ≥ 0�

e λ2(t−u) dL(u) , t ∈ R.

� ���������� �� ��� ������ ����� �����

��� �� ����������� ��� ���������� �� ������ ����� ������� ����� �������� ����

����������� ���������� �� ��� ������� ������� �� ������� ���� �� ������� ��� ����������

�� ��� ����� ���������� ��� ��� �������� �� ��� ������� ���� ������� �� �������� ���

��� ���� ������������� �� ������ ���������� ���� ���������� ��� ������

��� ���������� �� ��� ������� �������

�� ��� ��������� �� ������ ���� ��� ������ ����� ������� �� �������� �� ��� �������

��� ��������� ������ ����� 0, h, 2h, . . . , Nh� ����� h > 0 �� ����������� ��� N =

[T/h] �� ��� ������� ���� �� T/h� ����� ��������� ���� �� ����� �� ��� ������������

{Y (nh), n = 0, . . . , [T/h]} �� ��� ������� �������� ��� ��������� ������ �� �� ������

������� �� ����� ��� �� ��������� ��� ������� ���� ��� ���� ����������� � �� ���������

�� ��� ���

����������� ���� ��� ��� ����� h > 0 ��� ������� ������� {Y (h)

n }n∈Z := {Y (nh)}n∈Z

�� ����� ��

Y (h)

n

=

p�

i=1

Y (i,h)

n , n ∈ Z , �����

����� ��� ������������� ��������� {Y (i,h)

n }n∈Z ��� i = 1, . . . , p ��� �������� �� ��������

��� ��������� CAR(1) ������� {Y (i) (t)}t∈R �� ������ �� ������ �� ������� h� �����

�� ���� ���� � �������� ���������� ������� �� Y �� ��������

���� �����

Z (i,h)

n

Y (i,h)

n

= κi

= e λih Y (i,h)

n−1 + Z (i,h)

n , n ∈ Z , �����


((n−1)h,nh]

e λi(nh−u) dL(u) , n ∈ Z . �����


��� ���� Z (i,h)

n

��� Sα(c|κi|[ � h

0 eαλi(h−u) du] 1/α , β sign(κi), 0)������������� ��� ���� h, i�

��� ������� n� ���� ��� ���� ��� ���� h, n� ��� ������� i� ���� ��� ����������

��� ��� ������� ������� {Y (h)

n }n∈Z �������� ��� ���������

φ(B)Y (h)

n

=

p�

i=1

(1 − e λih B)Y (h)

n

����� � ������� ��� ��������� �������� ���

φ(z) =

p�

i=1

��� ������� {U (h)

n }n∈Z ��� ��������������

�����

��� ��� Z (i,h)

n−j

(1 − e λih z) = 1 − φ1z − · · · − φpz p .

= U (h)

n , n ∈ Z , �����

U (h)

n = W (h)

n,0 + W (h)

n,1 + · · · + W (h)

n,p−1 , n ∈ Z , �����

W (h)

n,j =

p�

i=1

η (i,h)

j Z(i,h) n−j

�����

��� �� �� ������ ��� ��� n ∈ Z ��� ������ (W (h)

n,0 , . . . , W (h)

n,p−1) ��� �����

������� ����������� ����� ��� j = 0, . . . , p − 1 ��� Sα(σ (h)

j , β (h)

j , 0)������������ ����

��� f (h)

j (u) := � p

σ (h)

j

β (h)

j

i=1 η(i,h) j

= c

=

�� h �


�f

0

(h)



j (u) � α

�1/α

du

� h (h)

|f 0 j (u)| αsign(f (h)

, �����

j (u))β du

� h (h)

|f 0 j (u)| α , �����

du

κie λi(h−u) ��� 0 ≤ u ≤ h� ��� η (i,h)

j

��� ����� �� �������

��� ��� ������� {U (h)

n }n∈Z �� (p − 1)����������� ��� ��� ��� n ∈ Z ��� �� U (h)

n

Sα(σ (h)

∗ , β (h)

∗ , 0) ������������ �����

��� σ (h)

j

��� β (h)

j

σ (h)


β (h)


=

=

��p−1 j=0 (σ(h) j )α

�1/α , �����

�p−1 j=0 β(h) j (σ (h)

j )α

�p−1 j=0 (σ(h) j )α

��� ����� �� ����� ��� ������ �������������

��

��

, ������


������ ��� ��������� ����� ��� ����� ��� �������� �� ������� t = nh �� ������ ��� �������

��� ������������ �� Z (i,h)

n

������� ���� ������������� ��� ����� ����� �������� ������

��� �������� ��� �������� �p r=1 (1 − eλrhB) �� ���� ����� �� �������� ������ �� ������

��� ���� ���� ���� �� �������� ������ ���� ��� ��� ����� ���� ����� ������� ����

⎡⎛

⎞ ⎤

���� �� ������������

U (h)

n

=

U (h)

n

p� �

i=1

=

η (i,h)

0

p� p�

⎢⎜

⎣⎝

(1 − e λrh ⎟

B) ⎠ Z (i,h) ⎥


i=1

Z (i,h)

n

r=1

r�=i

n

+ η (i,h)

1 Z (i,h)

n−1 + · · · + η (i,h)

p−1 Z (i,h)


n−p+1 , ������

����� ��� ������ �� � ′ � ��� ����� ���� �������� ������� �����

η (i,h)

0

η (i,h)

1

η (i,h)

2

η (i,h)

3

���

= 1

= − �

e λrh

= �

r�=i

r,k�=i

= − �


e (λr+λk)h

r,k,j�=i


e (λr+λk+λj)h

η (i,h)

p−1 = (−1) p−1 e P

r�=i λrh .

������

���� ������ ���� ��� ��� j = 0, . . . , p − 1� �� ������ �� ��������� ��� ��� ���� ���� L

��� ���������� ����������� ��� ��� n ∈ Z�


Z (i,h)

n

d

= κi

(0,h]

e λi(h−u) dL(u) ������

���� ������������ �� ����������� �� n� ��� ��� ����������� �� i ���� p ≥ 2�� �����

����� ������� �� ���������� ������ �� ���� b(λi) �= 0� ����� κi �= 0� �� ���� ���

������ ��������� Z (i,h)

n−j ��� i = 1, . . . , p ��� �������� ���������� ��� �������������

��� ����� ����� ������� ������ ���� ������� ������ ��

p�

p�

p�

U (h)

n

=

i=1

η (i,h)

0 Z (i,h)

n +

i=1

η (i,h)

1 Z (i,h)

n−1 + · · · +

��

i=1

η (i,h)

p−1 Z (i,h)

n−p+1. ������


����� W (h)

n,j := �p i=1 η(i,h) j Z(i,h) n−j ��� j = 0, . . . , p − 1 ��� ���� ���� ���� ��� ��������

����� ����� ������� ���� ����� ����� ���� ��������� �� ������������� ��� ����� �����

�������� ������ �� ������� ���� W (h)

n,j

(h)

∼ Sα(σ j , β (h)

j , 0)� ����� σ (h)

j

��� β (h)

j

��� �� ��

����� ��� ������

��� ��� (p − 1)����������� �� {U (h)

n }n∈Z �� �������� ������� ��� �������� ����� ���

������ ������ ���� ����� �������� ������

������ ���� ����������� �� ��� ������ Z (h)

n := (Z (1,h)

n

, . . . , Z (p,h)

) T �

��� ��������� ������������� ��� ����� ����� ����� ������ ��� ������ Z (h)

n �� α�

������� ��� �� ����� ��������� ����� ��� ���������� �� Z (h)

n ��� �������� ����������

���������� ��� ������ ������� �� ����� �� ��� �������� ������� � � ������� �� ���

���� ������ Sp := {x : �x� = 1} ⊆ R p �� R p ��� � · � �� �� ��������� ���� �� R d � ���

������ ��� u ∈ [0, h]� ��� ������ ˜g(u) := (κ1e λ1(h−u) , . . . , κpe λp(h−u) ) ��� ��� �������

�������

m1(du) = �˜g(u)� α du .

���� ����� ����� ������ �� ��� ������ ���� ��� α �= 1 ��� �������� ������� Γ �� ���

����� ����� ��� A ⊆ Sp ����� ��

���

Γ(A) =

1 + β

2 m1(g −1 1 − β

(A)) +

2 m1(g −1 (−A)), ,

g −1 (A) =


u ∈ [0, h] : ˜g(u)

�˜g(u)�


∈ A .

����������� ��� ����� ˜g([0, h]) ��� h > 0 ��� ��������� ���� λi �= λj ��� i �= j� �� ���

���� à �� ��� ������������ �� � ����� ������ �� ������ �� Sp ���� ����� Z (h)

n ������

�� ��������� �� � ������ �������������� �� � ������ �� ����������� ������ ������

���������� ��� ����� ����� �������

��� ��� α �= 1 ��� �������������� �������� �� ��� ������ Z (h)

n �� ����� ��

φ(θ1, . . . , θp) =

� � �

h � p�


exp − � θjκje


λj(h−u)






0

j=1

α �


d�

1 − iβ sign θjκje λj(h−u)


tan πα

� �

du ,

2

��

j=1

n


��� ����� ����� ������ �� β = 0� �� ��������� ����

� � �

h � p�


φ(θ1, . . . , θp) = exp − � θjκje


λj(h−u)








= exp

⎩ −

0

� h

0






j=1

p�

i=1

α

du


p�

θiθjκiκje (λi+λj)(h−u)






��� ���������� �� ��� ����� ����������

j=1

α/2



du

⎭ .

��� ���� ����������� ���� �� �� ������ � ���� ��������� � ∆ �� ��� ����� ���������

������ ∆ := (a1, . . . , ap, b0, . . . , bq−1)� �� ��� L 2 ������ ��������� �� ��� ��� ���� �����

����� ��� ���� h� ��� ���� ��������� ������� ������� {Y ∗(h)

n

:= Y (h)

n

− EY (h)

n }n∈Z

�������� ��� ����(p, q) ���������� ����� ��� ���������� ������� �� ��� �����������

������ ���� ����������� ����� ��� ����� �� ����� �� ��� ���� ���� ����� q����������

������� �� L 2 ��� � ��(q) ��������������� ��� ����������� ����� �� ��������� ���

����� ���� ��� ��� ������������ �� ��� ������������� ����� ����� ������� ��� ����

����������� �� L 2 � ����� ��� ��������� ������ ��������� ��� ���������� �� ��� ����

�� ���� ��� �������������

�������� ��� α < 2 ���� �������� �� ������������� ���� ���� ���������� ����

��� ����� ������������� �� ������ �� ������������� ��� ����� ����� ������� ���� ��

�������� �� ����������� ����� �� ��������� ��� ����� ��� ���� ��� ������ ���������

��� ��� ��������� �� �� ���� ������� ���� ������� �������� ������������ ��� �����

����� ��������� ��� �������� �� �� ������������ ������������� �� �� ��� ����� ��� ��

���� ���� ��� (p − 1)���������� �� ���� �� ������

���������� ��� ���������� �� ��� ����������� �� ��� �� ���� �������� �� �����

��� ���� ������� ����� �� ��� ���� ����� ���� ��������� ���������� �� �������

�������� ���� ������ ��� �� ������� ��� ���������� ���� �� � �������� ����

������ ��� ����� ��� ��� ������� �� ��� ���� ��� ���������� �������� ������� ��� ���� ��

����������� �� ��� ��� ������������ ������ ���� ������ ���� �� ��� L 2 ������

��������� �� ����� �� ���� ����� ��� ����� α < 2 ���� ���� ��� �������� ���� α = 2�

�� ���� �� ��������� ����� �������� ����������� ������ �� ������ ������� �� ���

������ ����� ��������� ������������ ��� ������������� �� �� ��������� ����� �� ���

��������� ��� ��������� �����������

�������� �� ��������� ��� ���� ���������� �� �� ��� L 2 ����� ���� �� ��������

��


��� ���� ���������� � β = ( � φ1, . . . , � φp, � θ1, . . . , � θq) �� � �������������� ����������

������ �������������� ��� ����� ���� ��� � ����� ������� �������� ���� ������� ��

��������� ��� ���� ���������� ���� ��� ����� ���������� � ∆ = (�a1, . . . , �ap, � b0, . . . , � bq−1)�

�� ����� ���� ��� ��������� ���� �� ����� ��� ������ ���� ��� ������������� ���

�������� φ1, . . . , φp ������ �� ��� ����������� λr ��� r = 1, . . . , p ��� �� ��� ����

h ������� ��� ���������� ������������� ��� ��� ���������� ���� �� ����� �� ����

������ � ������ ������� �������������� ��� U (h)

n � �������� ��� (p − 1)�����������

��� ��� ���� ���� �� ��� ��� �� L 2 � ��� �� �������� ��� ���� ���������� � β =

( � φ1, . . . , � φp, � θ1, . . . , � θq) �� ������� �����������

�� ������ ��� ����� ���������� �� ����� ��� ��������� ���� �� ����� ���� ���

��������� ���� �� ������ ����� ����� ��� ��������� ��� (a1, . . . , ap) ���� ��� ���������

��� (φ1, . . . , φp)� ��� ��������� ��� (b0, . . . , bq−1) ������ ���� � �������� �������� ��

��� ����������� ��������������� �������� �� ��������

���� ���� ��� ���������������� �� U (h)

n ��� �� ���������� ����� ��� ����������������

�� ��� �������� ����� �������� �� ����������� ��� ���������������� �� ��� �������

φ(B)Y (h)

n � ���� ���������� ��� �� ����� �� ��� ����� ��� ��������������� ��

γU(k) = cov(φ(B)Y (h)

n , φ(B)Y (h)

n−k ), k ∈ Z. ������

���� ��� ��� ���� ���� ������ ��� ����� ������� ��� γY (·) ����� �� ������� � �� ������

���� �� ��� ��� ��

γY (k) = 2c 2 b ′ e A|k| Σb, k ∈ Z, ������

����� c �� ��� ������� ��������� �� ��� ������ ���� �������� A ��� b ��� �� �� ���

����� ����� ��������� ����� ��� ������ ��� Σ = � ∞

0 eAy ee ′ e A′ y dy� �� ������� �� ���

(b0, . . . , bq−1) �� �������� γU(k)/γU(0) ��� ���������� ���� k ���� ��� ������������

����� �� � ��(q) �������� ����� ��� ���������� ���� �� ������� ����� �� ���� �������

�� ��� ���� ����������

�� ������� ���� �� ������ ��� ��� �������� �������� �� ��������� ����� ���� ���

��������� ������ ������ ���� �� ������� ���������� �� ���� ������� ����� �� ���� �����

������� ���� ������������� �� ����������� ��� ������ ��� ������� �� ��� �������������

��������� �� � ���������� ����� �� ������� ��

������� ���� ������� CARMA(2, 1) �������� ������������ �� ������� ����

������ ���� �� ���� �������� � ������� ������� �� ��� ���������� ������� {Y (t), 0 ≤

��


t ≤ T } ���� ���������� ∆ = (a1, a2, b0) �� � ���� ���� ���� ���� h > 0 ���� ����� ��

����� �� ���� ��������� ��� ��������� ���������� β = (φ1, φ2, θ)� �� �����������

��� ���� ��� ��������� ���� �� �����

φ1 = e λ1h + e λ2h , φ2 = −e (λ1+λ2)h . ������

���� � φ1, � φ2 �� ��� � λ1, � λ2 ������ �a1 = −( � λ1 + � λ2) ��� �a2 = � λ1 � λ2� �� ������ ��

��������� ��� b0 �� ������� �� ��������� ������ �� ��������� �������� ����������� ���

γU(0) ��� γU(1)� ������ ��� ��������������� �������� �� {Y (h)

n }n∈Z �� γY � �� ������

������ �� ��������� γU(0) ��� γU(1) ��

γU(0) = (1 + φ 2 1 + φ 2 2)γY (0) + (2φ1φ2 − 2φ1)γY (1) − 2φ2γY (2), ������

γU(1) = −φ2γY (3) + φ1(φ2 − 1)γY (2) + (φ 2 2 + φ 2 1 + 1 − φ2)γY (1) + φ1(φ2 − 1)γY (0).

������ ���� ������� ����� �� ��������� ��� ����� ��� ���� ��� ��������������� ��������

�� ��� � �� �� ��������� ����� ������� ���� ��������� θ �� ����� ��

γU(1)

γU(0)

θ

= . ������

1 + θ2 ��� ������ ���� ������ ��� ����� �������� ��� γY (·)� ����� ������ �� ��� �����

���������� a1� a2 ��� b0� �� ��������� ��� ��������� ����� ��������� b0 �� ����

�� ��� ��������� �a1, �a2 ���� ��� ���������� ���� ����������� �� ������� ��� ���������

��������� ����������� ������ ��� �� b0 ����� ��� �� ���� ���� ���� ��� ���������

���� �� ������� �� ������� �� ����� ���� ���������� �������� ��� b0 ������������ �

�� �������� ��������� ������� ��� ��� ��������� ������

∆ = (a1, . . . , ap, b0, . . . , bq−1) =: (δ1, . . . , δp+q)

�� ��� ����������� � ��� ������ � �� ��������� �� ��� ���� ����� ��� ����� �� �������

�� ���� ����� ������ ��� ������� ���� ��� ��������� ��� ������� ���� ��� ��� L 2 ������

������ �� ����� ����� ��������� ������� �� ��� ������ ����� �������� �� ����������� �

�� ��������� �� ��� ��� ������ � ������ ������ ����������� � ∆ �� �������� ����������

��� ����� h > 0 �� T → ∞� ��������� � ���� ������������� �� ��� ���������� ������

�� � ∆ ������ �� ��� ���������� ������������ �� ��� ����� ������� �� [0, T ]� �� �����

�� V := M −1 /T � ����� M = (Mkj)j,k=1,...,p+q ���

Mjk = 1

� ∞ � � � � � �

∂ a(iω) ∂ a(−iω) ��� b(iω) �


2π ∂δj b(iω) ∂δk b(−iω) a(iω) �

−∞

��

2

dω.


���� �� ��� �� ��� ���� ����������� �� √ T ( � ∆ ��� − ∆) �� � ������ ���������

���� ���� ���� ������ 0 ��� ���������� ������ M −1 ������ ��� ������ ���������

E|L(1)| 4+δ < ∞�� ����� � ∆ ��� ������� � ������������� ������� ���������� �����

����� �� ��� �������� ������

������� ���� ������� CARMA(2, 1) �������� ������������ �� ������� ����

�� ��� ���������� ����� �� ���� δ1 = a1� δ2 = a2� δ3 = b0� �� ��� ��������� ���

�������� �� M ��

�����

M11 = 1/( √ 2(C+ + C−)), M12 = M21 = 0,

M22 = 1/(2 √ 2a 2 2(1/C+ + 1/C−)), M13 = M31 = −b0/(a2 + a1b0 + b 2 0),

M33 = 1/(2b0), M23 = M32 = 1/(a2 + a1b0 + b 2 0),

C+ :=


a2 �

1 + a1C0 − 2a2, C− := a2 �

1 − a1C0 − 2a2, C0 := a2 1 − 4a2.

�� ���� ������ �� ������� ��� �������� ����� ���������� ����� ��� �����������

��� ������ V = M −1 /T �� ��� ���������� ������ �� � ∆� ��� ��� ������ ����������

��������� ������� ��� ∆� ����� ��� ����� ��� � �������� ����� ������� ��������

����� �������� �� [0, T ]� ��������� �� ��� ��� ���� ����� �� ����������� ���� ��� �������

����������� ����� ��������� �� L 2 ���� ����� �� � ����� �������������� ������� ���

������ �� √ Vii ��� i = 1, . . . , p + q ����� ��� ���������� �������� ���������� �� ��� ���

������� �� � ∆� ��� ��� ������ �������� ���������� s(δi) �� ��������� ���� ����������

���� ����������� ��� h ���� ����� �� � ���� ��������� �� ��� ���� ������ ���

��� α������� ����� ��������� �α < 2� �� ������ � ������� �������������� ���

����� ��� ��������� �������� ���������� �� ��� ��������� ��� � ����� ������� ���

������ �� � ��� ���� �� 0, h, 2h, . . . , ⌊T/h⌋h ��� ��� ������ �������� ���������� s(δi)

���� ��������� ���� ���� �������� �� 0, h, 2h, . . . , ⌊T/h⌋h� ������������ ��� ��� ���

���� ������������ ���� ����� ������ �������� ���������� �������� ���� h� �� ���� ��� �

���������� �������� ������� ��� ��������� ������� ������� ���� V ����� �� �� ��������

������������� ������� ���� �� ��� ����� ���� �� ������������ ��� ��� ���������� ���

����������� ����� ��� ��������� ���������� ������ ��� h ��� �� ����� �� �� �� �����

��� ������ V �� ����� �� ������� ���� �������� ��������� �������� �� ���� ��� ��

����� � �������� ������ D := ����(s(δi)/ √ Vii, i = 1, . . . , p + q) ��� ����� V �� ����

���� W := DV D� ���� ��� ������ W �� � ���������� ������� ����� ��� ������������

������� ��� ���������� ��� ��� ���� �� �� V � ��� ��� �������� ���������� �� ���

��


���������� ��� ������� s(δi)� ������ ���� �� ��� ����� ����� h �� ������ s(δi) �� ����

����� �� √ Vii� ���� ������ W ≈ V �

�� ����� ���� ���� ������ �� ���� �� ������� ����

��� ���������� ��� ���������� ������� ���� �������

�� ����� �� ������� � ���������� ����� ��� ��� ���������� ������� ���� �������� ��

���� �� ������� ��� ����������� �� L ���� ��� ������������� ����� ����� �� ���������

������ �� (a1, . . . , ap) ��� (b0, . . . , bq−1)� ��������� ��������� �� ��� ��� ��� ��� ��� ���

����������� �������������� �� ��� ����� ������� ��� ���� ���� ��� ����� ������ X

��� ��� ��������� ����� ������ Y� ��������� ��� ���� �������� �� ���� ��� ��� �� ���

������ ������� �� ������ ����� ��

dY (i) (t) + λiY (i) (t) = κidL(t) ������

��� i = 1, . . . , p ��� � �������� ��������� ������� ���� ��� ���� ��������� �� ��� ���

�������������� �� ���� ��� �������� �������� ������ ���������� ��� ������ ���������

��� ��������� ��� ���� ����� �� �������� ��� ������ �����

����������� ���� ��� L �� �� α������� ���� ������� ��� α ∈ (0, 2)� ������ ���� L

���� ��� ���� � ����� ��� α < 1 ��� ���� ��� ���� ������� �� ��������� ��� α = 1�

���� L ��� ����� p���������� ��� p > α ��� ������� p���������� ��� p ≤ α�

�� ��� ���� ����� �� ����� ���� ���� ��� ���� ��������� � �������� ���������

���������� �������� ������ ��� ����������� ����������� ��������� � ������� �����������

���� ��� ���� ������� ������� ��� ������������� ����������� ��� ����������� ���� �����

����� �������� p ���������� ������� ������� ������

������� ���� ������� CARMA(2, 1) �������� ������������ �� ������� ����

�� ��� ���������� ����� �� ���� X(t) = (X (0) (t), X (1) (t)) ��� Y(t) = (Y (1) (t), Y (2) (t))

��� t ≥ 0� ��� ��������� ��������� ������ ��� ����������� �� ��������� �� ��� ��� �� ���

��


��� t ≥ 0

X (0) (t) = X (0) (0)e −b0t +

� t

0

e −b0(t−u) Y (u) du,

X (1) (t) = −b0X (0) (t) + Y (t),


Y (1) (t)

Y (2) �


� �

1 λ2(b0 + λ1) −(b0 + λ1) X

=

(t) λ1 − λ2 −λ1(b0 + λ2) b0 + λ2

(0) (t)

X (1) �

,

(t)

L(t) = 2λr


+ a1

Y

b0 + λr

(r) (t) − Y (r) � t

(0) − λr Y (r) �

(s) ds , r = 1, 2.

��� ���� �������� ���������� ��� �������� ������������� �� ������� ��� ������� ����

�������� �� ��� �������� ������������ �� ���� ���� r� ����� λr ��� ��� �������� ��������

����� ���� � ��������� �� ���� ������ ��� ��������� �� ��� ���� ������� ���

� ���������� �����

�� ������� � ���������� ����� �� ���� ��� ���������� ��������� ��� ��� �����

���������� ��� �� ������ ��� ������� �� ��� ���������� �� ���� ���� �� �������� ������

����� �� α������� ���������� ��������� ��� ������� ������ �� α� ��� ���� �����

���������� a1 = 1.9647� a2 = 0.0893 ��� b0 = 0.1761� ����� ��� ������� ��� ������

�� ����� ��� ��� ��������� ����������� ����� ��� ������� ��

����� ��� ���������� ��� ��������� �� �� ��� ������� ���� ������� ��� � ��������

������ ������ ����������� �� ��� ���� α = 2�� �� �� ������������ ����������� �� ����

��� ��� ��������� ������ ��� �������� ������ �� α� ���������� �� ������ ��� ����� ���

��� �������� ���������� ���� α ������ �� ��� ������ 2.0� 1.8� 1.6� 1.4 ��� 1.2302 ����

������� ��� ������������� ��� ����� ���������� �� ��� ������ ������������ �� ��� �������

���� ������� ��� ������ �� β = 0.1719� c = 16.8713� ��� µ = −4.5388� �� ���� ����

���������� �� ��� ��������� �� ��� ��������� ����������� �����

�� ���� �� ��� ��� ���������� �� �������� ���� ���� ������� ���������� �� ����

������������ ���� ����� ���� ��� ���� ��� �� ������� � �������� �� ���� ��������

������� �� ������ h = 1� �� ���� ��� ����������� ����� ��� t = 1, 2, . . . , 1369� ���

����� �������� �������� �� ������� ��� ���� ������� �������� �� 0.01� ���� �� �����

0.01, 0.02, 0.03, . . . , 1369� ����� �� ����� ������������� �� ��� ������������� ����������

��� ���� ����������� �� �������� ��������� �� ��� ����� ���������� a1� a2 ���

b0 �� ��������� �� ������� ��� ��� ����� ������������ ��� ��� ��� �������� ����������

��

0


���������� ��� ����� ���� ��� ��� ������ �������� ��������� ��� ��� ���� ���������

����� ��� ������� ��� �������� �� ����� ����

�� �������� ���� ������ ���� ����� ��� ��� ������� �� ��� ������ ��� ���������

�� a1 ��� a2 ��� ������� �� ����� �� ��� ������ ���� ��� �������� ���������� ����

α ���������� ���� ����� �� ���� ������ ��� b0� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� ����

��� (p − 1)���������� ������� {U (h)

n }n∈Z ��� � ������ ��(1) �������������� ���� ��

��� ���� α = 2� ������� ��� α < 2� ��� ��������� �� ��� ������� {U (h)

n }n∈Z �� ����

����������� �� �������� �� ����������� ����

a1 a2 b0

���� ������ ������ ������

α = 2.0 ���� ������ ������ ������

���� ������ ������ ������

���� ���� ������ ������ ������

α = 1.8 ���� ������ ������ ������

���� ������ ������ ������

���� ���� ������ ������ ������

α = 1.6 ���� ������ ������ ������

���� ������ ������ ������

���� ���� ������ ������ ������

α = 1.4 ���� ������ ������ ������

���� ������ ������ ������

���� ���� ������ ������ ������

α = 1.2302 ���� ������ ������ ������

���� ������ ������ ������

���� ���� ������ ������ ������

����� ���� ���������� ����� ��� �������� ������ �� α� ����� �� ���� ���� ���� �����

����� ����� ��� ������ �������� ��������� �� ��������� ��� ��� ����� ����������

a1� a2� ��� b0�

��


SGD/MWh

� ��������� ����������� ����

�� ���� ������� �� �� � ������ ���������� ����� �� ���� ���� ��� ��������� ���

����������� ������� ��� ���� ��� �� ���������� �� ��������������� �� �������� ��

���� ����� ���� ������ �������� �� ��������� ������� ��� ������������ ���������

��� ������ ��� ������ ���� ������� �� ���� �� ��������� ��� �����

������ ���� ��������� �� ��� ��� ����� � ������ ���� ������� �� ��� ���� ���� ���

����� ��� ��������� ���� ����� ���� ��� ������� ���� ��� ������ ���� ������� �� ����

�� ����� ��� ������ ����� ����� ������ ��� ����� �� ��� ���� ��� ��� �������� ���

������ ������� ���� ������ �� ��������� �� �� ��������� ����� ������ �� �����

����� ������ �� ����� ��� �� � ���� ������ ���� ��� ��� ������ ������������� ��

������ ���� � ���������� ����� ������ ���� � ���� �� �� ����� ����� ������ ������

��� ���������� ������ �� ���� ������ ����� ��� �������� ����������� ����� ���

��������� ������� �� ��� �����

��� �������� ����� ��� �������� ����������

��� �������� ���� ����� ���� ���� ��� ��������� ��� ����������� ������ �� ����� ��

������ �� �������� ���� � ����� �������� ��� ��� ����������� ����� � ������ ��� ���

�� ���������� ��� ��� ���� ���� �� ����� ����� ������ ������ ��� ������� ������� �� ���

������� �������� ����� �� ������� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ����������� �������� ����

100 300 500

01/01/2005 01/01/2006 01/01/2007 01/01/2008

������ �� ��������� ��� ����������� ������� ����� ���� ������ ���� ������� �� ����

�� ��������� ��� ����� �������� �� ��� ��������� ����� ��� �������� ������

��


t �� ��������� ���� ��� ��������� �� ��� ���� ������ �� �� ���� t �� �� ���������

�������� ��� ��� ����� ��������� ������������� �� �� ��� ��������

� � � �

τ1 + 2πt

τ2 + 2πt

Λt = β0 + β1 cos

+ β2 cos

365

7

+ β3rt

�� ��� ����� ���������� �� � ������ ����� ������� ������ ����� �� ��� ���������

��������� ����������

�β0

�β1 �τ1

�β2 �τ2

�β3

����� ����� ������� ���� ������ �����

������ � �������� ��� ��������� ����� ��� �������� ������ ���� �� ���������� ����

��� �������� ���� ��� ��� ��������� ���� ������ ����� �� ����� �� ������ � �� ��������

�� ��� ��������� �� � ���������� ������� ������ �� � ������ ���� �������� ���� ����

���� �� ������ ��� ����������� �� ���� ������� ���� ������� �� �� ���������� �������

�� ������ � ��� ��� ��� ��� ��������� ��������������� ��������� �� ��� ��������� ���

�������������� ������ ��� �� ��� �������� ������� ����� ��� ���������� ����������������

�� �� ����� ��� �� ������� �� ��� ��������� ��� �������������� ����� ��� ���� ���

��� ��� ��������������� �� ��� ������� �������

��������� � �������� �� ��� �� ��� ��������� ��� ��� ��������� ��� ��������������

����� �� �������� ��� ����� �������� � H = 0.8209 ���� � �������� ����� �� �������

����� ��������� ���� ������� ������������ �� ����������� ��������� ��� ���������

0 100 300 500

01/01/2005 01/01/2006 01/01/2007 01/01/2008

������ �� ��������� ��� ����������� ������� ����� ���� ������ ���� ������� �� ����

�� ��������� ��� ����� ����� �������� ����� ��� �������� �����������

��


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ACorrF of detrended & deseas. data

0 10 20 30 40 50

Lag

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ACorrF of squares

0 10 20 30 40 50

������ �� ��������� ��������������� ��������� �� ��������� ��� �������������� ������

��� ��� ��������

�������� ��� H �� ����� �� [0.7637, 0.8781]� ��� � ����� �������� ���� ������� ���� �����

�������� ���� � ���� ����� ���������� �� ������� �� ��� ����� ����� � H > 0.5� ��������

���� �� ���� ���� �� ������� �������� ���� ������� ��� ��������� �� �������������

��� ����� ����� ������� �� � ���� ����� ���������� ����� �� ������� �� ��� ������

������ �� H − 1/α > 0� �� �� ���� ��� ������ �� ��� ���� �� ��� �α = 1.2302� �� ����

�� ���� 1/�α = 1/1.2302 = 0.8129� ������ ������ ��� ����� ��������� �������� ��� H

���� �������� � H − 1/�α �� ��� ������������ �������� ���� �� ��� �� �������� ���� ��

���� ����� ���������� �� ������� �� ��� ��������� ��� �������������� �����

��� ������� ��� ���������� �������

�� ���� �������� ��� ����� ���������� a1� a2� ��� b0� ��� ���� ��� �� ������� ���

������� ���� �������� ��� ��� ���������� �� ��� ����� ���������� �� ������� ��

��������� �� ������� ��� ���� �������� �� ������� ���� ����� ����� �� ��� ���������

����������

����� ��� ����� ���������� ����� ��

� b0

�a1 �a2

������ ������ ������

(D 2 + 1.9647D + 0.0893)Y (t) = (0.1761 + D)DL(t), t ∈ [0, 1369],

��

Lag


���� ��������� �������������� ����� � λ1 = −0.0465 ��� � λ2 = −1.9181� ���� ���� ���

��������� ����� �� ���������� �� ����������� ���� �� ��� �������� ��������� �������

��� ��� ��������� ��������� �� ����� ��� ������ �� ������� ���� ��� ����������

���������� ������ V = M −1 /1369 ��� �� ���������� �� �������� ��� ��������� �a1� �a2�

��� � b0 ���� ��� �������� ��� Mjk �� ���������� �� ������� ���� ���� ������

V = 10 −4 ⎡


52.8907 12.2657 16.2995



× ⎣ 12.2657 8.7831 8.2655 ⎦ ,

16.2995 8.2655 10.9837

��� ��� ����������� �������� ���������� √ V11 = 0.07273� √ V22 = 0.02964� √ V33 =

0.03314� ��� ��� ��������� �a1� �a2� ��� � b0� ������������� �� ������ �� ������� ���� ���

��������� ������� ������� ���� V ��� �� ��� ����� ��� �� ��� ��������������� ��

��� ����� ����� �� ���� �� ��������� ���� ��������� ������� �� ������ �������� ����

������ ������ ��� ������� ���� �� ��� L 2 ������ ������������ �� �� �� ��� ���� ����� ��

��� ��� ��������� ������ �������� ���������� ���� ��� ���������� ����� �� ������� �

��� ����������� ����� �� ������ ��� α = 1.2302 ���� ������ ��� ������ ��������

���������� �s(a1) = 0.1038� �s(a2) = 0.0323� �s(b0) = 0.0442� ��� �a1� �a2� ��� � b0 �������

������� �� ������� D = ����(0.1038/0.07273, 0.0323/0.02964, 0.0442/0.02964) �� ���

��� W = DV D

W = 10 −4 ⎡


107.7325 19.0766 34.6899



× ⎣ 19.0766 10.4302 13.4318 ⎦ .

34.6899 13.4318 24.4252

������ ���� �� ��� ��������� ���������� ������� �� ��� ��� ������ �� �����������

��� ��������� ������� ������ � ����� ����� �������� ������� � ������������� ���

��������� ��������� ����� ��� �� ��� ���������� �� ���� �� ��� ��������� ����� �����

���� ���� � �� ��� ��������� �� ������ ���������� ���� ��� ���������� ��� �����������

�� ��� � �������� ����� ������������ �� ��� ���� �������� ��� ���� ����������

�� ��������� �� ������� ��� �� ����� �� ������� �� ����������� ������� ���� ��������

��� ��������� �� ��� ���� ���������� L(n) − L(n − 1) ���� �������� �� ����������

��� � ����������� �� ��� ��������� ������ ������� ������������� �� ��� ���������

�������������� ���� � λ1� ����� ���� ���� ��� � ������� �������� ����� ���� � λ2� ��� �����

��� ���� ��� ��������� ���� ���������� ��� ����� �� ��� ���� ���� �� ������ �� ���

��� ��� ��� �������� �������� �� ��� ������������ ��� ������ ��� �� ���� ���� ��������

��������� ��������������� ��������� �� ��� ���������� ��� ����� �������� ����������

��


a2

−0.1 0.0 0.1 0.2 0.3


1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

a1

b0


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4


1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

a1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

● −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

������ �� �������� ������� � ��� ��������� ��������� ���� b0 = 0.1761 ���� �������

a2 = 0.0893 ���� ��������� ��� a1 = 1.9647 ���� �������� ��� ���� �������� ���

�������� �� ��� �������� (�a1, �a2, � b0)�

��� ���������� ��������� �� ��� ���� �� ���� ��������� �� ��� ���������� ������

��������� �� ��� ������ ��� ��������� ������������ �������� ��� ��� ���� ����������

��� � ��������� ��� ��� ��������� ������������ �������� ��� ����� �� ��� ���� ����

�� ������ � �� ����� ����� ������� �� �� � ������ ������������ �� ��� ���� ����������

����� ��� ������� ������� ���� �������� �� ��������� ���� �� �� ������� �������

�����������������������∼�������� ��� ��� ��������� ���� ������������ �� ����� ���

��������� ��������� ��������� �� ��� ������ �������������

�α � β �c �µ

b0

������ ������ ������� �������

����� ����� ���� ��� �������� �� ��� �������� ��������� µ �� ����� ����� ��������

�� ��� �������� �� ��� ����� ��������� c� �� ��������� ��� �������� � β �� ��� �����

���� ��������� �� ��������� ��������� ��� ������ �������� �������� ��������� ���

��������� ��������� ��� α ��� β� �� ��� ����� ����� ��� ����� �� [1.1522, 1.3082] ���

[0.0595, 0.2843]� ������������� ����� ���� ������ ���� ��� ����������� ��� ��� ����

����� ��������� ��� ���� ����� �������� �� ������������ �������� ���� �� ��� ������

���� �� ��� ������ ����� �� ������ � ����������� �� ��� ���������� ������ ������������

�������� ���� ����� ����������� ���������� ��� ��������� �� �� ��� ������ ������������

�� ��� ���� �����������

��


a2


� ������� ��� ����������

�� ���� ����� �� ������������ ����� ���������� ����� ��� ������ �� � ������ ����

�������� ���� �������� �� ����������� �� ��������� ��� ��������� �� �������� ����������

��� ������ ��������� ��� ������� ��� �������� ���������� ��������� ����� � ���������

������ �� ��� ������ �����(p, q) ������� �� ��� �� ��������� ���(1) ��������� ��

��� �������� ��� ������� ����� ������� �� �� ��������� ����� ��� ��������� ����

����������� �� �� ��(p) ������� ��� ��� ���������� ���� �� � (p − 1)���������� ����

����� ��������� ��� � ������ ����� �������� ����� �� �� ���� �� �������������� ��

���� (p − 1)���������� �������� �� ���� ���� �� � ���������� ������ ���� �� ��� �����

��� ���� ��������� �� �� ��� ����� ����� ��� ����������� �� ��� ������� ���� �������

���� ����� ������ ������� ��� �������� ���������� �� ��� ��������� ���� �������� ��

��� ������ ��������� α ���������� �������� �� �� ������������ �� ����� � ����������

����� �� ���� ������ ���� ��� ��������� ��� ����������� �������

��� �� ��� ���������� �� ��������������� ��������� �� ���� �� ������ �� �����������

������� ��������� ������ �� ��� �� ����������� ������ ������� �� ����� ��� ���������

�� ������ ����� ��������� �� ������� ���������� ��� ������� ������ ������������

���������������

���� ������� ��� �������� ���� ��� ���� ������ ��� ������� �� ��� ���������� ����

�������� �������� ���� ����� ��� ��������� �� ��� ������� ������������ �������

��� ������� �������� ����� ������ ���� ���� ��� �������� ������� �����������

��� �������� ��� ���� ����� ��� ���� ��� ������� ��� � ���� �������� ����� �� ���

�������� ����� ��������� �� �������

����������

��� ���������� ��� ����������� �� ��� �������������� �� ������ ���������� ����

��������� ��� ����������� ������ �� ������ ������ ������� �� ������ ������� �� ��� ��

�����

��� ���������� �� �� ������ ����������� ��������������� ���� ���������� ��� ���

������� ����� ������ ����� ������� ����� ��� �������� �� ������ �������� ��

��������� ���� ������� ��������� ����������� ��� ��������

��


��� ���������� �� �� ������ ����������� ����� ���������� ���� ����� ��������

����� ��� ��� �� ��������

��� ���������� �� �� ��� ������ �� �� ������ ���� ������� ������ ��� �������� ���

��� ��������� ��� �����

��� ���������� �� ��� ����� �� �� ��� ����� �� ������ ���������� ��� ������������

����������� ����� ���������� ��������� ��� ������������

��� ���������� �� ��� �������� �� �� ��� ��������� �� �� ������ ���������� ����

��������� �������������� ������� ����� ������ �� ��� �� ��������

��� ���������� ���� ��� �������� �� ������ ��������� ��� ���������� �� ����������

����������� ����� ���������� ��������� ���������� ����������� �������������

��� ������ �� �� ������ ������������ ��� ������������ ��� ���� ��������� ����

������� ��������� ������ ����� ����� ��� ������

��� ����� �� �� ������ ��� ���������� �������� ���������� ���� ����� �������� ���

��������

���� ������� �� ��� �������� ����� ������ ���������� ������ ��������������� �� ����

������ ���������� �� ����� ����� ��������� ��� ��������

���� ��������� �� ��� ������� ���� ������ ������ ��������� ��� ��� ������ ��������� ��

� ������ �������� ���� ����� �� ��� ��������

���� �������� �� ������ �������� �� �� ��������� ���� ������ �� ��� ����� �� ��� �������

������� ������� � ��� ��������

���� ������������ ��� �������������� �� ��� �������� �� ������ ����������� ���� �����

��������� ���� � ���� ������� ������� ����� ����� ������������ �������� �� ���

�����

���� ���������� �� ��� �������� �� ������ ������������ ����� ���������� ������

����� ����� ���� �������

���� �������������� �� ��� ������� �� ������ ������������ ������������� ������ ��

����������� ������� ����� ��� ��� �� ��������

��


���� �������� ��� �������� ��� ������������ �� ��� ������ �� �� ������ ���������

���������� ��� ���� ������ ���� ������� �������� ������������ ���� ����� ���

��������

���� ����� �� �� ������ ���������� �� ���������� �� � ��������������� ��������

���������� ������� ���� �������� �������� ������� ��������� ���������� ��� ����

����

���� �������������� �� ��� ������ �� �� ������ ������ ������������ ������ ����

������� ������� ��� ����� �������

���� ����� �� ��� ����� �� �� ������ �������� ����������� �� ���������� ��� ����

���������� ��������������� ���������� ������ �� ����� ��� ��������

���� ����� �� ��� ����� �� �� ������ � ���� �� ��� �������������� �� ���������������

���� ��� ����� ���������� ����� ������� ��� ��������

���� ������ ���� ������ �� ���������� �� ������ ����� ��������� ���� ��������� �����

�������� ���� ����������� ��� ��������

���� ������ �� ������ �������� ��� ����������� ����������� ����� ��� ������� � ����

�������� ��������� ������ �����������

��


−500 0 500 1000

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.000 0.010 0.020

01/01/2005 01/01/2006 01/01/2007 01/01/2008

ACorrF of Levy increments

0 10 20 30 40 50

Lag

normalized histogram

−300 −200 −100 0 100 200 300

Levy increments

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ACorrF of squared increments

0 10 20 30 40 50

cdf

Lag

−300 −200 −100 0 100 200 300

Levy increments

������ �� ���� ��������� ���� ����������� ������� ��������� ��������������� �����

����� �� ��������� ���� ���������� ��� ������� ����������� ������� ��������� ���

��������� ������������ �������� �� ��������� ���� ���������� ������ ����� ��� �����

������ ������������ �������� �� ����� ������ ������������ ������� ������

��

More magazines by this user
Similar magazines