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meneses

Diego montaña Cuellar

GRADO

ONCE

DIRIGIDO

GRADO SEXTO

MATEMATICAS


Tabla de contenidos

1 ORDEN EN LOS NÚMEROS NATURALES

2 SECUENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES

4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

6 BIBLIOGRAFÍA


OBJETIVO GENERAL

-DAR A CONOCER ALGUNOS DE LOS TEMAS DE LOS QUE SE VEN EN

GRADO SEXTO

-IDENTIFICAR CADA TEMA Y DAR EJEMPLOS


Orden en los números naturales

Los números naturales son aquellos que sirven para contar objetos.

Ν es un conjunto ordenado, esto quiere decir, que hay números

naturales menores y mayores que otros.

¿Cuándo es menor?

Un número natural es menor que otro, si está colocado a la izquierda

de él en la recta numérica.

Ejemplo:

El número 6 está a la izquierda del número 9, lo que quiere decir, que 6

es menor que 9.


El símbolo que nos indica menor que es: (


El símbolo que nos indica mayor

que es: (>)

Por lo tanto, podemos decir que

4 > 3

Las columnas de posición también

sirven para comparar numerales.

Así:

Es mayor el número que tiene más

columnas de posición:

Si los numerales tienen la misma

cantidad de columnas, es necesario

revisar los dígitos que las forman

desde la que tiene mayor valor, es

decir, la que está más a la izquierda.

Es mayor el numeral que tiene el

dígito de más valor en esa columna.

Si tienen el mismo dígito, se

compara con la columna que sigue.


Antecesor y sucesor

Todo número natural, a excepción del 1,

lo antecede siempre un número natural

más pequeño, al que

denominaremos antecesor.

Ejemplo:

8 es el antecesor de 9.

Además, dado cualquier número natural,

le sigue siempre otro número natural

más grande, al cual

denominaremos sucesor. Como

consecuencia de esto, el conjunto de los

números naturales es infinito.

Ejemplo:

5 es el sucesor de 4.


Secuencias de números naturales

Las secuencias son sucesiones de

números que

van avanzando o retrocediendo en

la recta numérica, la misma cantidad

de espacios. Así, hay secuencias de 1

en 1, de 6 en 6, de 100 en 100,

etcétera.

Ejemplo:

1) 30 402 - 30 502 - 30 602 - 30 702 - ...

En la primera secuencia cambia

la centena, 1 cada vez; entonces va

avanzando de 100 en 100.

En la segunda secuencia cambia

la unidad, 2 cada vez; entonces va

retrocediendo de 2 en 2

2) 54 – 52 – 50 -48 – 46 – 44 – 42 - ...


Números naturales y cardinales

Números naturales

N = Conjunto de los números naturales

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los

números naturales surgió de la

necesidad de contar, lo cual se

manifiesta en el ser humano desde sus

inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

* Tiene un número infinito de elementos

* Cada elemento tiene un sucesor y

todos, excepto el 1, un antecesor

El sucesor de un número natural se

obtiene sumando uno (+1); el

antecesor se obtiene restando uno

(-1).

Números cardinales

N* = N 0 = Conjunto de los

números cardinales

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al conjunto de los números naturales se

le agrega el 0 (cero) y se forma el

conjunto de los números cardinales.


Adición y sustracción de números

naturales

Adición

Términos como juntar, agregar, buscar

totales, son claves para aplicar esta

importante operación matemática. En

ella distinguimos: los sumandos, que

son numerales separados por el signo

más (+), y la suma, que es el resultado

de la operación:


Un dato curioso de la adición, es

la suma que se obtiene de

números pares e impares:


Y cuándo la suma es impar?

Observa:

Cuando aplicas la adición en forma

vertical, debes hacer coincidir las

columnas de posición de todos los

sumandos. Recuerda que en cada

columna las cifras tienen diferente valor:


Resolvamos el siguiente ejemplo:

375 560 + 28 481

En forma vertical quedaría:

Luego sumaremos las decenas: 6 D + 8

D = 14 D = 1 C + 4 D, por lo que

dejaremos un 4 bajo las decenas y

reservaremos 1 centena.

Seguiremos sumando las centenas: 5 C

+ 4 C = 9 C + 1 C que habíamos

reservado es igual a 10 C = 1 UM + 0 C,

por lo que pondremos un 0 bajo las

centenas y reservaremos 1 UM.

Partiremos sumando primero las unidades: 0

U + 1 U = 1 U, por lo que pondremos un 1

bajo las unidades

Continuamos entonces con unidades de

mil: 5 UM + 8 UM = 13 UM + 1 UM que

habíamos reservado es igual a 14 UM =

1 DM + 4 UM, por lo dejaremos un 4 bajo

las UM y reservaremos 1 DM.


:

Sumaremos ahora las decenas de

mil: 7 DM + 2 DM = 9 DM + 1 DM que

habíamos reservado es igual a 10 DM

= 1 CM + 0 DM, dejaremos entonces

un 0 bajo las decenas de mil y

reservaremos 1 CM.

Y por último sumaremos las centenas

de mil: 3 CM + 0 CM = 3 CM + 1 CM

que habíamos reservado es igual a 4

CM, pondremos entonces un 4 bajo

las CM, lo que nos da una suma de

404 041.

Viste que fácil es sumar!!!

Sustracción

¡Cuántas veces decimos: me queda,

me falta, la diferencia...! Ahí nos

referimos a la sustracción, una

operación que tiene como

elementos:


La sustracción no es cerrada, porque

no siempre tiene solución en los

números cardinales:

3 - 12 = ?

Sólo se puede resolver cuando

el minuendo es mayor o igual que

el sustraendo.

Tenemos la siguiente sustracción: 12 -

3 = 9. Pero, ¿por qué es 9? Porque 9 +

3 = 12.

Entonces, la sustracción es la

operación inversa a la adición. Por

eso, para comprobar si la diferencia

está correcta, sumamos la resta, más

el sustraendo y debemos obtener el

minuendo.


Veamos el siguiente ejemplo:

425 - 55 = 370

Si esta sustracción es correcta, debe

darse lo siguiente:

370 + 55 = 425

Como la suma es correcta, entonces

el resultado de la sustracción

también es correcto.

Cuando aplicas la sustracción en

forma vertical, debes hacer coincidir

las columnas de posición del

minuendo y el sustraendo. Recuerda

que en cada columna las cifras

tienen diferente valor:


Resolvamos el siguiente ejemplo:

425 672 - 15 392

En forma vertical quedaría:

Luego seguiremos con las decenas: 7 D - 9

D, como esto no lo podemos resolver, le

pediremos prestada 1 C a las 6 C, por lo

que nos quedaría ahora 17 D - 9 D = 8 D,

por lo que pondré Luego seguiremos con

las decenas: 7 D - 9 D, como esto no lo

podemos resolver, le pediremos prestada

1 C a las 6 C, por lo que nos quedaría

ahora 17 D - 9 D = 8 D, por lo que

pondremos un 8 bajo las decenas.

Seguimos entonces con las centenas: 5 C

(6 C - 1 C, recuerda que le prestamos una

C a las 7 D) - 3 C = 2 C, por lo que

pondremos un 2 bajo las centenas.

. Partiremos restando primero

las unidades: 2 U - 2 U = 0 U, por lo que

pondremos un 0 bajo las unidades.

Continuamos con las unidades de mil: 5

UM - 5 UM = 0 UM, por lo que pondremos

un 0 bajo las unidades de mil.

Restaremos ahora las decenas de mil: 2

DM - 1 DM = 1 DM, por lo que pondremos

un 1 bajo las decenas de mil.


Multiplicación y división de

números naturales

En esta oportunidad, revisaremos otra

operación matemática:

la multiplicación.

La multiplicación es una suma abreviada

de sumandos iguales, que pueden

repetirse muchas veces.

Entonces:

Podemos graficarlo a través de

conjuntos.

Utilizaremos estrellas

Por ejemplo, según esto, 2 x 5 significa

5 veces el 2.

:


También se puede relacionar la

multiplicación con los pares

ordenados, que se obtienen del

producto cartesiano de 2 conjuntos.

Los pares se forman con un elemento

de cada conjunto, en el orden que

se dan.

Analizaremos el ejemplo anterior en

base al producto cartesiano de

División

¡Cuantas veces hemos deseado

repartir cierto número de elementos

entre determinado número de

personas! En este caso debemos

hacer uso de esta operación

matemática: la división.

La división nos permite averiguar

cuantas veces una cantidad está

contenida en otra.

Los términos presentes en una división

se denominan de la siguiente

manera:


Ejemplo:

Si deseamos repartir 15 bolitas entre 5

personas, ¿cuántas bolitas recibirá

cada una?

La operación que debemos hacer es la

siguiente:

15 : 5 = 3

Cada persona recibirá 3 bolitas como

muestra la figura:

En este caso, se trató de una división

exacta, ya que, las 15 bolitas se

repartieron por completo y cada

persona recibió la misma cantidad: 3

bolitas.

Ahora Qué pasaría si en vez de 15

bolitas tenemos 14 y debemos

repartirlas entre las mismas 5 personas?

La operación que debemos hacer es la

siguiente:

14 : 5 = 2 y nos sobran 4 bolitas.

Cada persona recibirá 2 bolitas y nos

sobrarán 4 bolitas, que no son

suficientes para repartirlas entre las 5

personas. Lo que nos sobra lo

denominaremos resto o residuo.


Pero, ¿qué sucede si la división es

inexacta y tenemos un resto o residuo?

En este caso, multiplicamos el cociente

por el resto y al producto debemos

sumarle el resto para obtener el

dividendo.

Ejemplo:

32 : 5 = 6 y el resto es 2.

Por lo tanto, para verificar que es

correcto, 6 x 5 = 30 y 30 + 2 = 32, por lo

tanto el cociente es el correcto.

Veamos ahora como dividir números más

grandes. Resolvamos el siguiente ejemplo:

84 500 : 26 =

Partiremos viendo cuantas veces está

contenido el 26 en el 8 del dividendo: el

26 no está contenido en el 8. Veremos

entonces cuantas veces está contenido

en el 84.

El 26 está contenido 3 veces en el 84, ya

que, 26 x 3 = 78 y nos sobran 6 unidades.

Luego, bajaremos la cifra de las centenas (5) como

muestra la figura y veremos cuantas veces está

contenido el 26 en el 65. El 26 está contenido 2

veces en el 65, ya que, 26 x 2 = 52 y nos sobran 13

unidades.

Bajaremos ahora la cifra de las decenas (0), como

muestra la figura y veremos cuantas veces está

contenido el 26 en el 130. El 26 está contenido 5

veces exactas en el 130, ya que, 26 x 5 = 130.

Por último bajamos la cifra de las unidades (0) y

como el 26 no está contenido en el 0, ponemos un

0 en el cociente y tenemos un resto de 0, como

muestra la figura.


BIBLIOGRAFIA

HTTP://WWW.ICARITO.CL/ENCICLOPEDIA/ARTICULO/SEGUNDO-CICLO-

BASICO/MATEMATICA/NUMEROS/2010/03/103-8690-9-5-NUMEROS-

NATURALES-CONJUNTO-N.SHTML


PABLO ANDRES

PINTO MENESES

11-2 /J.T

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