matematicas

marioalberto8a

LECCIÓN 3

TRADUCCIÓN DEL

LENGUAJE COMÚN AL

LENGUAJE MATEMÁTICO

Las matemáticas son como cualquier otro idioma con el

‣ Por costumbre, las primeras letras del alfabeto se

determinan por regla general como constantes, pero

esto puede variar.

‣ Casi siempre se utilizan a las letras x, y, z como las

incógnitas o variables de la función o expresión

algebraica, pero no existe problema de cambiar esto,

ya que el problema o ecuación no cambiará.

que nos podemos comunicar.

El lenguaje algebraico es la traducción del lenguaje común

al lenguaje matemático.

La principal función del lenguaje algebraico es estructurar

un idioma que ayude a generalizar las diferentes

operaciones desarrolladas dentro de la aritmética. La

aritmética, en lugar de utilizar solo números (casos

ALGUNOS EJEMPLOS BÁSICOS

a = un número cualquiera.

x = un número cualquiera.

p = un número cualquiera… todas las letras del alfabeto.

particulares), hace uso de símbolos y variables (casos

generales): puede describir fenómenos físicos, químicos,

biológicos, sociales.

Es muy importante saber que en el lenguaje algebraico:

‣ Es posible usar todas las letras del alfabeto que

conoces (literales) a, b, c, d, e…

q + p = la suma de dos números cualesquiera.

x + y = la suma de dos números cualesquiera.

a - b = la resta de dos números cualesquiera.

m - n = la resta de dos números cualesquiera.

página 3


a + b - c = la suma de dos números cualesquiera menos

otro número cualquiera.

x + y - z = la suma de dos números cualesquiera menos

otro número cualquiera.

ab = el producto de dos números cualesquiera.

pq = el producto de dos números cualesquiera.

a / b = el cociente de dos números cualesquiera.

‣ Un número cualquiera.

‣ El doble de mi edad.

‣ La mitad del dinero que gasto.

‣ Mi edad es igual al triple de la edad de mi tío más

cinco años.

‣ Mi ahorro anual es igual a…

‣ El crecimiento poblacional es…

‣ La cantidad de medicina que se suministra…

j / k = el cociente de dos números cualesquiera.

( a + b ) / 2 = la semisuma de dos números cualesquiera.

( i + j ) / 2 = la semisuma de dos números cualesquiera.

( a b ) / 2 = el semiproducto de dos números cualesquiera.

Para realizar una traducción del lenguaje común al

lenguaje matemático es necesario ser consientes que,

dentro de nuestra vida cotidiana, muchas veces vamos

repitiendo frases sencillas sin saber que muchas de ellas

pueden tener una traducción en el lenguaje algebraico.

Algunas de estas frases serían:

página 4


LECCIÓN 4

ECUACIONES DE

PRIMER GRADO

FORMA Y PLANTEAMIENTO DE

UNA ECUACIÓN

Es muy importante darnos cuenta que en diversas

situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de

vida, donde intervienen ciencias como la biología, la

química y en otras disciplinas como la economía, finanzas

etc.

Las relaciones de ecuaciones lineales se dan por la

presencia de cantidades que varían una en función de otra;

podemos encontrarlas a través de relatos, tablas o

expresiones algebraicas.

la

Todas estas ecuaciones son ecuaciones de primer

grado con una variable.

7(x+8)=x+2 360i+.5(360i+1)=0 34000k+600=32880

A+5=15 3.5t+7=0 9.8 m+ ½

Veamos por qué son ecuaciones de primer grado con una

incógnita.

Cumple con ser una ecuación porque hay un signo de

igualdad entre dos expresiones, donde por lo menos hay

un número desconocido, llamado incógnita o variable.

También es lineal o de primer grado porque sus

incógnitas o incógnita tienen exponente igual a 1 (elevadas

a uno, que no se escribe).

En seguida se estudiarán métodos, procedimientos y

ejemplos de cómo resolver ecuaciones lineales de una sola

variable.

Por lo común, una ecuación lineal está dada por la

siguiente forma, la cual debes de saber identificar:

En su forma simplificada y = ax + b (a un número real

diferente de cero)

página 7


MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

CON UNA INCÓGNITA

Como procedimiento general para resolver ecuaciones de

primer grado con una incógnita, se deben seguir los

siguientes pasos:

1. Tienes que reducir la ecuación, si es posible, realizando

operaciones posteriores al despeje y uniendo términos

semejantes.

2. Se realizan las operaciones inversas, se hace la

transposición de términos (aplicando inverso aditivo o

multiplicativo). Los que contengan a la incógnita

comúnmente se ubican en el miembro izquierdo de la

igualdad, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen nuevamente términos semejantes, hasta

donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de

la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso

multiplicativo), en caso de que esta sea igual a 1 y se

simplifica.

Ejemplo 1

3x-[2x-(x+3)]= -2(x+1) -3x

3x-[2x-x-3]= -2x-2 -3x

3x-[x-3]= -5x-2

3x-x+3=-5x-2

2x+3=-5x-2

2x+5x=-2-3

7x= -5

Se tiene la ecuación.

Debemos realizar las operaciones para

simplificar: primero debemos quitar los

paréntesis, que es lo que se muestra en

esta fila.

Seguimos reduciendo, para eso unimos

términos semejantes.

Ahora quitamos los corchetes cuadrados,

observando las operaciones o signos que

se utilizan.

Unimos términos semejantes en cada

miembro de la igualdad.

Transponemos los términos, empleando el

criterio de operaciones inversas.

Nota: Los pasos de realizar la misma

operación en ambos lados de la igualdad

para ir simplificando no es muy utilizada en

este nivel.

Por tanto, siguen utilizándose más el pasar

al otro lado del igual los términos con

operaciones inversas.

Que comúnmente o en la práctica se dice

Si está sumando, del otro lado del igual

pasa restando.

Si está restando del otro lado del igual pasa

sumando

Si está multiplicando del otro lado del igual

pasa dividiendo

Si está dividiendo del otro lado del igual

pasa multiplicando

Nuevamente reducimos términos

semejantes.

-5 5

X= --- = ----

= -.71428

7 7

Despejamos x pasando a dividir a 7, luego

simplificamos, haciendo uso de las leyes de

los signos en la división o también se

puede dejar indicado el resultado como

fracción.

página 8


Ejemplo 2

Ejemplo 3

5m+15=m+43

Se tiene la ecuación.

9p+18=0

Se tiene la ecuación.

Transponemos los términos,

empleando el criterio de operaciones

inversas.

Transponemos los términos,

empleando el criterio de operaciones

inversas.

Nota: Los pasos de realizar la misma

operación en ambos lados de la

igualdad para ir simplificando no es

muy utilizada en este nivel.

Nota: Los pasos de realizar la misma

operación en ambos lados de la

igualdad para ir simplificando no es

muy utilizada en este nivel.

5m-m=43-15

Por tanto sigue utilizándose más el

pasar al otro lado del igual los

términos con operaciones inversas.

Que comúnmente o en la práctica se

dice

9p=-18

Por tanto sigue utilizándose más el

pasar al otro lado del igual los

términos con operaciones inversas.

Que comúnmente o en la práctica se

dice

Si está sumando, del otro lado del

igual pasa restando.

Si está sumando, del otro lado del

igual pasa restando.

Si está restando del otro lado del igual

pasa sumando

Si está restando, del otro lado del

igual pasa sumando

Si está multiplicando del otro lado del

igual pasa dividiendo

Si está multiplicando, del otro lado del

igual pasa dividiendo

Si está dividiendo del otro lado del

igual pasa multiplicando

Si está dividiendo, del otro lado del

igual pasa multiplicando

4m=28

28

m= ---- = 7

4

Reducimos uniendo términos

semejantes.

Despejamos m pasando a dividir a 4,

luego simplificamos, haciendo uso de

las leyes de los signos en la división y

al realizar la división de 28/4 da un

resultado entero, entonces este ya no

quedará indicado por la fracción, sino

por el número entero positivo 7.

-18

p= ---- = -2

9

Despejamos m pasando a dividir a 9,

luego simplificamos, haciendo uso de

las leyes de los signos en la división y,

al realizar la división de -18/9, da un

resultado entero; entonces este ya no

quedará indicado por la fracción, s no

por el número entero negativo -2.

página 9


Ejemplo 4

Se tiene la ecuación lineal de dos variables, pero se da

a conocer que

5c+17k+2(5k+8)=301

Sabiendo que k=3c+1

k=3c+1, lo que quiere decir que k está dada en relación

a la otra variable que se encuentra en la ecuación “ c”;

por tanto, al sustituir el valor de k en la ecuación, esta

quedará respecto a una única variable (toda la ecuación

solamente tendrá como variable a c).

5c+17k+10k+16=301

Primero debemos realizar las operaciones para simplificar. Lo primero que

debemos hacer es quitar los paréntesis, lo que se muestra en esta fila, al

multiplicar el 2 por (5k+8).

5c+17(3c+1)+10(3c+1)+16=301

5c+51c+17+30c+10+16=301

En este paso se sustituye en la ecuación el valor de k, el cual es igual a

3c+1

(en donde aparecía k escribimos 3c+1).

Ahora quitamos los paréntesis, haciendo las operaciones de multiplicar

17 por (3c+1) y 10 por (3c+1).

86c+43=301

Unimos términos semejantes en cada miembro de la igualdad:

sumamos (5c+51c+30c) y (17+10+16).

86c=301-43

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones

inversas.

El 43 que está sumando pasará restando.

86c=258

Nuevamente reducimos términos semejantes,

restando 301-43.

258

c= ---- , c=3

86

Despejamos c pasando a dividir a 86, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de

los signos en la división dando como resultado c=3

página 10


Un problema aplicado.

Andrea es administradora de una pastelería muy grande y sabe que sus ganancias por mes son igual al quíntuple de la

cantidad de pastel vendido más mil ochocientos pesos. Si en total ganó 3600 pesos, ¿cuántos pasteles logró vender al mes?

a) Se forma la ecuación de acuerdo a la información que se da

5p+1800=3600

b) Despejas la incógnita como ya se mostró en los ejemplos anteriores

5p+1800=3600

5 p= 3600-1800

5 p=1800

p=1800/5

p=360

c) Contesta lo que se te pide:

R= La cantidad de pasteles vendidos al mes que generaron 3600 pesos de ganancia fueron 360.

página 11


TABULACIÓN Y GRAFICADO DE

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

CON UNA VARIABLE.

Al tener una ecuación de la forma

debemos hacer es despejar a la y

Ax+By+C=0 lo que

para así tener una

ecuación simplificada con respecto a una sola variable, para

poder tabular.

resultado la siguiente ecuación simplificada con respecto

a la variable x:

y = 2x+4 ya que se tiene la ecuación simplificada,

pasaremos a la tabulación (calcular los valores parciales de

la ecuación a través de la sustitución de datos).

Ejemplo.

-4x+2y-8=0

Formamos la tabla, dando valores a la x, ya que la ecuación

está dada respecto a esta variable.

Al despejar o realizar las operaciones inversas:

Tenemos 2y=4x+8 (todo término con diferente variable a

la y la pasamos del otro lado del igual con operaciones

inversas: si el -4x está restando, pasa sumando como 4x;

el -8 que está restando, pasa sumando como 8).

X -­‐2 -­‐1 0 1 2

Y

Sustituimos los valores de la x en la ecuación para así

obtener los valores de y.

Aún no tenemos totalmente despejada a la variable y, ya

que tiene consigo el coeficiente igual a 2.

Este coeficiente está multiplicando a la literal, por tanto,

bajo la operación inversa pasa dividiendo, dando como

página 12


(Reemplazar la x en la ecuación, por los valores dados en

la tabla).

y =2x+4

y1=2(-2)+4=0

y2=2(-1)+4=2

y3=2(0)+4=4

y4=2(1)+4=6

y5=2(2)+4=8

Llenamos la tabla:

X -­‐2 -­‐1 0 1 2

Y 0 2 4 6 8

Al llenar esta tabla tenemos la finalidad de encontrar los

pares ordenados.

(x, y) que representan los puntos en el plano cartesiano

para poder trazar la gráfica correspondiente a la ecuación

y=2x+4.

Formando el plano cartesiano, recordamos que el eje x

corresponde al eje de las abscisas, y que el eje y

corresponde al eje de las ordenadas.

página 13


LECCIÓN 5

SISTEMA DE DOS

ECUACIONES LINEALES

CON DOS INCÓGNITAS

FORMA Y PLANTEAMIENTO DE UN

SISTEMA LINEAL DE DOS

ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS.

Antes de hablar de sistema de ecuaciones, debemos

comenzar por saber el significado de la palabra sistema.

Se dice que un sistema es un grupo de elementos con una

relación, interacción y organización llevada bajo

reglamento a un fin común. Entonces, al escuchar la frase

de “Sistemas de ecuaciones” podemos intuir que es un

grupo formado por dos o más ecuaciones relacionadas

entre sí que admiten un tratamiento lógico para la

obtención de su solución.

particularmente simple para su resolución, empleando

técnicas básicas del álgebra.

El planteamiento general de un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas que es determinado y compatible, está

dado por:

ax + by =c

dx + ey =f

Donde a, b, c , d, f pertenecen a los números reales.

Resolver el sistema de ecuaciones consiste en encontrar

los valores de x y de y que logran satisfacer las dos

ecuaciones simultáneamente.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

es un sistema lineal de ecuaciones bien determinado y

compatible, ya que está formado por solo dos ecuaciones

con dos incógnitas, admitiendo un tratamiento

página 16


CASOS DE SISTEMAS LINEALES

DE DOS ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS.

En seguida se muestran los posibles casos de sistemas de

dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Veamos a que se refiere cada caso.

Compatible determinado: Dos ecuaciones lineales con

dos incógnitas forman un sistema compatible

determinado, si este solo tendrá una solución. Su

representación gráfica consiste en dos rectas que se

cortan en un punto; los valores de “x” e “y” de ese punto

son la solución al sistema. Comúnmente se dice que el

sistema tiene solución única.

Este tipo de sistema cumple que

Dado que el sistema está dado por la forma general:

página 17


Ejemplo.

2x+5y=4

3x+y=10

De donde se tiene que a=2, b=5, d=3 y e=1 verificamos que se cumple que

( ≠ Signo que denota diferencia).

Lo que es lo mismo al hacer las divisiones, vemos que .4 si es diferente a 3

Su gráfica estará representada por dos rectas que se cortan en un solo punto; por tanto, el sistema tiene solución única.

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Ejemplo.

2x+3y=12

4x+6y=24

De donde se tiene que a=2, b=3, d=4, e=6, c=12 y f=24 verificamos que se cumple lo mismo que ,

al efectuar las divisiones .5 = .5 = .5

Por tanto se cumple que el sistema es consistente indeterminado y su gráfica será representada por dos rectas que

coinciden en todos los puntos (dos rectas sobrepuestas).

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SISTEMA INCOMPATIBLE

El sistema no tiene solución. En este caso, su

representación gráfica son dos rectas paralelas; esto es, no

se cortan en ningún punto. Si se cumple de una de las

ecuaciones, obligatoriamente se incumpliría la otra y por lo

tanto no tienen ninguna solución.

Este tipo de sistema cumple que

Ejemplo

2x+3y=12

2x+3y=24

De donde se tiene que a=2,

b=3, d=2, e=3, c=12 y

f=24 verificamos que se cumple

, lo mismo que al efectuar

las divisiones

Por tanto, el sistema es incompatible y su gráfica está

representada por dos rectas paralelas indicando que no

existe solución.

página 20


MÉTODO DE SOLUCIÓN

Los métodos básicos más utilizados para la solución de

sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas son:

reducción, igualación y sustitución. Estos métodos son

utilizados en sistemas compatibles determinados; en caso

de no ser así, estos tres métodos no conducirían a la

solución.

Para la solución de sistemas no compatibles

indeterminados encontramos métodos más avanzados

como lo son Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-

Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos

métodos son más sofisticados que los básicos y son

necesarios conocimientos de Álgebra lineal; es por eso

que en nivel bachillerato solo se estudia hasta el método

de la regla de Cramer de sistemas, máximo de tres

ecuaciones con tres incógnitas.

Método de reducción.

Este método es uno de los más simples y consiste en

multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores

necesarios, de forma que los coeficientes de una de las

incógnitas sean iguales pero con signo contrario.

Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la

incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina,

consiguiendo así una ecuación con una incógnita. Esta se

resuelve haciendo las operaciones necesarias, como las

que ya has aprendido en la solución de ecuaciones lineales

de una variable. Una vez ya encontrado el valor de

una de las incógnitas, se sustituye en una de las

ecuaciones originales y

calculamos rápidamente la

segunda incógnita. Veamos

el siguiente ejemplo:

página 21


2x+y=5

3x+3y=12

Sistema de dos ecuaciones lineales de dos incógnitas; a este tipo de sistemas se

les llama sistemas de 2x2.

-3(2x+y=5)

2(3x+3y=12)

-6x-3y=-15

6x+6y=24

-6x-3y=-15

6x+6y=24

3y=9

En este ejemplo la variable que queremos eliminar es la x, por tanto, a la primera

ecuación la multiplicamos por el coeficiente 3, que es el que acompaña a la variable

x en la segunda ecuación. A la segunda ecuación la multiplicamos por el coeficiente 2,

que es el coeficiente que acompaña a la x en la primera ecuación (invertimos los

coeficientes) y elegimos tomar uno de los números negativo para más adelante hacer

la eliminación de la variable x; en este caso se tomó al 3 como negativo (-3).

Multiplicamos la primera ecuación término a término por el -3.

Multiplicamos la segunda ecuación término a término por el 2.

Observamos que utilizamos bien los signos, porque los términos de x son iguales pero

con signo contrario -6x y 6x.

Sumamos las ecuaciones -6x-3y=-15 y 6x+6y=24 donde la parte en x se elimina ya que

-6x+6x=0.

Obteniendo entonces como resultado una ecuación lineal de una variable la cual es

3y=9.

y=9/3

y=3

2x+y=5 ecuación 1

Sustituimos y

Despejamos la incógnita; el 3 que estaba multiplicando pasará del otro lado dividiendo,

operamos y obtenemos que y=3.

Ya que encontramos el valor de una de las incógnitas podemos sustituirla en

cualquiera de las ecuaciones; en este caso se tomó la primera 2x+y=5.

2x+3=5

2x+3=5

2x=5-3

Despejamos la incógnita x

2x=2

x=2/2

y=3 , x=1 Finalmente, tenemos los resultados de “x , y” que eran las incógnitas de mi sistema.

página 22


Método de reducción.

El método de igualación para dar solución a un sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar

una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Por tanto,

podemos igualar las dos expresiones obteniendo una

ecuación con una incógnita, que se puede resolver

fácilmente. Una vez obtenido el valor de una de las dos

incógnitas, lo sustituimos en una de las ecuaciones

iniciales ya despejadas y calculamos la segunda incógnita.

x+3 y = 14

2x+2y =12

1 despeje

x+3y=14

x = 14-3y

2 despeje

2 x = 12 - 2y

x= = 6 – y

x = 6-y

Se tiene el sistema

Despejamos una de las variables (la de nuestra

preferencia). Es necesario despejar la misma variable

en ambas ecuaciones.

Como x=x

entonces 14-3y=6-y

-3y+y=6-14

- 2y=-8

y=-8/-2

y=4

Igualamos las ecuaciones.

Llevamos las “y” al primer miembro de la ecuación y

los números al segundo miembro de la ecuación,

haciendo uso de las operaciones inversas en un

despeje. Unimos términos semejantes y respetamos

leyes de los signos; recordamos que la división de un

número negativo entre otro número negativo da como

resultado un número positivo.

x=6-y

sustituimos el valor

de y=4

x=6-4

x=2

Ya que tenemos el valor de una de las incógnitas, las

sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya

despejadas, la que te resulte más sencilla; en este

caso elegimos x=6-y donde solo se debía de hacer la

resta, dando como resultado que x=2.

y=4 , x=2

Da por terminado este ejemplo, ya que hemos logrado

encontrar el valor de las variables o las incógnitas.

página 23


Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las

incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituirlo en la

otra, convirtiendo a una ecuación con una incógnita, la cual

se resuelve de manera sencilla como ya lo has estudiado.

Ya realizado esto, sustituimos su valor en la ecuación

despejada y calculamos la segunda incógnita.

x+y=5

-x+2y=1

x=5-y

-x+2y=1

-(5-y)+2y=1

-5+y+2y=1

-5+3y=1

3y=1+5

3y=6

y=6/3

y=2

x=5-y

x=5-(2)

x=3

y=2, x=3

El sistema

Despejamos la variable x, en la primera

ecuación.

Sustituimos x=5-y en la segunda ecuación.

Hacemos operaciones para simplificar la

ecuación.

Unimos términos semejantes.

Despejamos la variable y, como tú ya lo

sabes hacer.

Tomamos la primera ecuación ya despejada y

sustituimos el valor de y=2 en ella;

resolvemos haciendo las operaciones y

obtenemos el valor de la segunda incógnita

x=3.

Se tiene ya el resultado final.

Método de graficacion

Este método consiste en despejar la incógnita “y” en

ambas ecuaciones; esto usando sistemas con variables

x,y.

Se construye, para cada una de las dos ecuaciones ya

despejadas, la tabulación correspondiente para

representar gráficamente ambas rectas en los ejes

coordenados (mismo plano cartesiano).

Al graficar las ecuaciones existen las siguientes

posibilidades de solución:

a. Si ambas rectas se cortan en un punto, entonces el

sistema tiene solución única. Esto sucede cuando el

sistema es compatible determinado.

b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene

infinitas soluciones. Esto cuando el sistema es compatible

indeterminado.

c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene

solución. Esto cuando el sistema es incompatible.

Veamos un ejemplo compatible determinado:

página 24


Método de la Regla de Cramer

La Regla de Cramer es un método de orígenes en el estudio del álgebra lineal con la utilidad de resolver sistemas de

ecuaciones. Este método utiliza cálculos de los determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa

matemática sencilla y fácil de recordar, siempre y cuando el sistema sea 2x2.

Veamos un ejemplo

sistema.

2x+5y=24

3x+y=10

Está formada por los coeficientes de cada una de las variables que conforman al

Se tiene el sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas, lo mismo que decir: se tiene

un sistema 2x2

La columna uno está formada por los coeficientes de x

La columna dos está formada por los coeficientes de y

= (2*1)-(5*3)= 2-15= -13

Se multiplican cruzados los valores de la matriz y se restan (2x1) –(5x3)

En ∆x la columna uno está formada por el resultado de la primera y la segunda ecuación

que conforma el sistema.

La columna dos está formada por los coeficientes que acompañan a la y en ambas

ecuaciones del sistema.

Se forman las matrices del sistema y se

obtienen sus determinantes

∆ determinante general

∆x del sistema con respecto a la variable x

∆y del sistema con respecto a la variable y

= (24*1)-(5*10)= 24-50=-26

En ∆x la columna 1 está formada por los coeficientes de la variable x.

Y la columna dos está formada por el resultado de la primera y la segunda ecuación.

= (2*10)-(24*3)=20-72=-52

página 26


2x+5y=24

3x+y=10

Se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas, lo mismo que decir: se tiene un

sistema 2x2

Para obtener el valor de x se dividió

∆x/∆

Para obtener el valor de y se dividió

∆y/∆

La solución del sistema es

x=2, y=4

página 27


LECCIÓN 6

MÉTODO ALGEBRAICO

DE IGUALACIÓN

PARA SISTEMAS DE TRES

ECUACIONES LINEALES CON

TRES INCÓGNITAS.

Este es un ejemplo de cómo llevar a cabo el método

algebraico de igualación paso a paso.

4-y-z +3y+3z=8

4+2y+2z=8

2y+2z=8-4

2y+2z=4

-3y+2z=9

-3y=9-2z

y= (9-2z) / (-3)

2y+2z=4

2y=4-2z

y= (4-2z) / 2

y=2-z

y=y

2-z= (9-2z) / (-3)

Ahora sustituimos la expresión del

despeje de x en la tercera

ecuación; agrupamos términos

para simplificar.

Despejamos y de las ecuaciones

resultantes anteriores.

x+y+z=4

x-2y+3z=13

x+3y+3z=8

Se tiene el sistema de tres ecuaciones

con tres incógnitas

-3(2-z)=9-2z

-6+3z=9-2z

3z+2z=9+6

5z=15

z=3

Igualamos los dos despejes de y.

Realizamos operaciones y

despejamos z obteniendo su valor.

x+y+z=4

x=4-y-z

Se despeja una variable de una de

las ecuaciones, si es posible una

que tenga coeficiente unidad para

evitar denominadores. Despejamos

la x de la primera ecuación.

y=2-z

y=2-3

y= -1

Sustituimos el valor de z en la

ecuación

y=2-z obteniendo así a y

4-y-z -2y+3z=13

4-3y+2z=13

-3y+2z=13-4

-3y+2z=9

Sustituimos la expresión en la

segunda ecuación; agrupamos

términos para simplificar.

x=4-y-z

x=4-(-1)-3

x=5-3

x=2

Sustituimos el valor de z , y en la

ecuación x=4-y-z

obteniendo así a x

y se termina el proceso al

encontrar los valores de las tres

incógnitas.

página 30


MÉTODO DE ÁLGEBRA LINEAL

POR DETERMINANTES

La segunda matriz de la que obtenemos ∆x

(delta x ) determinante de x.

Se construye de la siguiente manera:

*La primer columna está formada por los

miembros del resultado de las ecuaciones del

sistema.

2x+3y-z=4

x-2y+z=-7

x+y+2z=3

Se tiene el sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas.

La primera matriz que se forma es para obtener el

determinante general ∆ (delta); esta matriz se

compone por los coeficientes del sistema en

general, sin tomar en cuenta los miembros que

forman los resultados de las ecuaciones del

sistema. La matriz se debe de completar para

obtener diagonales completas, agregando al final

nuevamente las dos primeras filas.

Para obtener ∆ determinante general:

* La segunda columna está formadas por los

coeficientes de la variable y de las ecuaciones

del sistema inicial.

* La tercera columna está formada por los

coeficientes de la variable z de las ecuaciones

del sistema inicial.

Esta matriz, al igual que la primera, se debe de

completar con las dos primeras filas.

Para obtener ∆x se realiza exactamente el mismo

proceso que en ∆ y ∆x.

1.- se multiplican los elementos que forman las

tres diagonales (ejemplo de la primera diagonal

2x-2x2=-8) de izquierda a derecha (las tres

marcadas en color rojo), dando así tres resultados

que posteriormente se sumarán dando en este

caso -6.

∆x = -0 - (-32) = 0 + 32 = 32

La tercera matriz de la que obtenemos ∆y

determinante de y.

Se construye de la siguiente manera:

∆ = - 6 - (10) = -6 – 10 = -16

2.- se multiplican los elementos que forman las

tres diagonales (ejemplo de la primera diagonal

1x2x1=2) de derecha a izquierda (las tres

marcadas en color azul), dando así tres resultados

que posteriormente se sumarán dando en este

caso 10.

3.- Por último, al resultado de la suma de las

diagonales de izquierda a derecha se restará el

resultado de la suma de las diagonales de

derecha a izquierda -6-10 obteniendo a ∆=-16.

*La primer columna está formada por los

coeficientes en el sistema de la variable x.

*La segunda columna está formada por los

miembros del resultado de las ecuaciones del

sistema.

* La tercera columna está formada por los

coeficientes de la variable z de las ecuaciones

del sistema inicial.

Esta matriz, al igual que las anteriores, se debe

de completar con las dos primeras filas.

página 31


LECCIÓN 7

PRODUCTO INTEGRADOR

Forro de tableta

Luis, un alumno de la preparatoria, trabaja,

durante las vacaciones de verano, en una

industria donde se elaboran forros para

tabletas electrónicas y cajas para los

cargadores de tabletas. Su trabajo consta de

saber las medidas exactas para realizar los

forros y el total de material que se utiliza en la

elaboración de los productos.

LO ÚNICO QUE ÉL CONOCE ES:

- El material para elaborar cada forro de

tableta es un pliego de goma.

- El volumen del forro de la tableta debe de

ser de 1000 cm3

página 35


- Para formar el forro, primero se deben cortar,

de cada esquina, cuadrados de medida igual

a dos cm por lado y doblar hacia arriba los

lados para obtenerlo.

- El largo del forro de la tableta es 5cm mayor

al ancho del forro.

Caja del cargador

- El material para elaborar cada caja de

cargador es un pliego de cartón.

- El volumen de la caja debe ser igual a

48cm3

- Para formar la caja, primero se deben cortar,

de cada esquina, cuadrados de medida

igual a tres cm por lado y doblar hacia arriba

los lados para obtenerla.

- La base de la caja es cuadrada.

página 36


1.-ELABORACION DEL FORRO DE LA

TABLETA

Recordando lo único que conoce acerca del

forro de la tableta

Forro de tableta

- Para formar el forro, primero se deben cortar,

de cada esquina, cuadrados de medida igual

a dos cm por lado y doblar hacia arriba los

lados para obtenerlo.

- El largo del forro de la tableta es 5cm mayor

al ancho del forro.

Realiza un esbozo de lo que Luis debe

marcar en los pliegos de goma para

elaborar el forro de la tableta.

- El material para elaborar cada forro de

tableta es un pliego de goma.

- El volumen del forro de la tableta debe de

ser de 1000 cm3

página 37


Forro de tableta

¿Cuáles son las medidas de la altura,

ancho y largo del forro de la tableta?

Explica cómo las encontraste.

¿Cuál es la expresión algebraica que

determina el volumen del forro de la

tableta?

¿Qué tamaño debe tener el pliego de goma

para que el forro tenga un volumen de

1000cm3?

página 38


¿Cuál es la expresión algebraica que

determina el área total del pliego de goma,

para elaborar el forro de la tableta?

Elabora de cartulina o foamy el forro para

la tableta. Es necesario tomar fotos a cada

proceso que realizaste para lograr armarlo;

es muy importante que, en una de las fotos,

muestres cómo las medidas coinciden con

las obtenidas.

2.- ELABORACIÓN DE LA CAJA DEL

CARGADOR

¿A qué tipo de producto notable

corresponde la expresión matemática

anterior?

Recordando lo único que conoce de la caja

del cargador

- El material para elaborar cada caja de

cargador es un pliego de cartón.

- El volumen de la caja debe ser igual a

48cm3

- Para formar la caja, primero se deben cortar,

de cada esquina, cuadrados de medida igual

página 39


a tres cm por lado y doblar hacia arriba los

lados para obtenerla.

- La base de la caja es cuadrada.

¿Cuál es la expresión algebraica que

determina el volumen de la caja del

cargador?

Realiza un esbozo de lo que Luis debe

marcar en los pliegos de cartulina para

elaborar la caja del cargador.

Caja del cargador

¿Cuáles son las medidas de la altura,

ancho y largo de la caja del cargador?

Explica cómo las encontraste.

página 40


¿Qué tamaño debe tener el pliego de

cartulina para que la caja tenga un volumen

de 48 cm3?

¿A qué tipo de producto notable

corresponde la expresión matemática

anterior?

¿Cuál es la expresión algebraica que

determina el área total del pliego de

cartulina para elaborar la caja del

cargador?

Elabora, de cartulina, la caja para el

cargador. Es necesario tomar fotos a cada

proceso que realizaste para lograr armarla;

es muy importante que, en una de las fotos,

muestres cómo las medidas coinciden con

las obtenidas.

página 41


LECCIÓN 11

FACTORIZACIÓN DE UNA

DIFERENCIA DE CUBOS

La factorización de una diferencia de cubos,

a3 – b3 , es el producto de un binomio y un

trinomio.

a3 – b3 = (a – b ) ( a2 + ab + b2 )

El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de

cada término de la diferencia de cubos.

El trinomio no es un trinomio cuadrado perfecto, ya

que el término cruzado (a+b) no está multiplicado

por dos.

¿Qué proceso sigo para factorizar una diferencia

de cubos?

Vamos a descubrirlo a través de la observación de

un ejemplo (observa cuidadosamente cada parte

del proceso para llegar a la factorización de una

diferencia de cubos).

página 45


página 47


LECCIÓN 11

FACTORIZACIÓN DE UN

TRINOMIO CUADRADO

PERFECTO

Primero tenemos qué recordar lo que es un trinomio

cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto

es una expresión algebraica de la forma:

a 2 +2ab+b 2

¿Cómo podemos determinar que un trinomio es

cuadrado perfecto?

1.- Identifica los dos términos (1° y 3°) que son

cuadrados perfectos, obteniéndoles su raíz

cuadrada.

2.- Verificar que el segundo término corresponde al

doble producto de la raíz cuadrada de los dos

términos cuadrados perfectos.

La regla de factorización de un trinomio cuadrado

perfecto es:

a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2

página 48


BLOQUE II

LECCIÓN 12

FACTORIZACIÓN DE UN

TRINOMIO CUADRADO

NO PERFECTO

Factorización de un trinomio de la

forma ax 2 + bx + c con a ≠ 0 y a = 1

Para factorizar un trinomio de la forma:

x 2 +bx+c

1. Se obtiene la raíz cuadrada del término que se

encuentra elevado al cuadrado:

x 2 = x

2.- Se buscan dos números tales que su suma sea

igual al coeficiente b:

p+q=b

y su producto sea igual a c:

(p)(q)=c

Se forman los factores:

(x+p)(x+q)

página 51


Ejemplo

Factorizar:

¿Dos términos que al multiplicarlos den como

resultado x 2 ?

x 2 +13x+40

Esto es (x)(x)=x 2

Buscamos dos números p y q tales que:

p+q=13

8+ 5=13

(p)(q)=40

(8)(5)=-40

Son el segundo elemento de cada factor:

( + 8) ( +5)

O se obtiene la raíz

cuadrada de x 2 que es igual

a x

Formando así la

factorización:

x 2 + bx + c = (x + p) (x + q)

Para encontrar el primer elemento de cada

factor:

x 2 + 13x + 40 = (x+8)(x+5)

Teniendo en cuenta que el primer elemento de la

ecuación cuadrática es x 2 , nos preguntamos,

página 52


Factorización de un trinomio de la forma

ax2+bx+c (método1).

4. La factorización del trinomio es:

ax 2 + bx + c =(dx + f)(ex + g)

Para factorizar un trinomio de la forma:

ax 2 +bx+c

Factorizar 25x 2 + 30x + 8

1. Se eligen dos números d y e que multiplicados

den como resultado “a”:

(d)(e)=a

Se eligen dos números d y e que multiplicados den

como resultado “a”:

(d)(e)=a

(5)(5)=25

2. Se eligen dos números f y g que multiplicados

den como resultado “c”:

(f)(g)=c

3. El coeficiente b es igual a la suma de los

productos (ef) y (dg) como se indica:

Se eligen dos números f y g que multiplicados den

como resultado “c”:

(f)(g)=c

(4)(2)=8

ax 2 + bx + c

página 53


El coeficiente b es igual a la suma de los productos

(ef) y (dg) como se indica:

( e)(f)=(5)(4)=20

(d)(g)=(5)(2)=10

Factorización de un trinomio de la forma

ax 2 +bx+c (método2).

Ejemplo.

Se tiene la ecuación:

Sumando 20+10=30, que es igual al

coeficiente “b”.

La factorización del trinomio es:

ax 2 + bx + c =(dx + f)(ex + g)

25x 2 + 30x + 8 = (5x + 4)

(5x + 2)

25x 2 +30x+8 = 0

Para realizar su factorización:

Debemos multiplicar el coeficiente principal por el

término independiente:

( 25 )x 2 +30x+8

Esto es 8*25 =200

página 54


LECCIÓN 15

SIMPLIFICACIÓN

Una fracción algebraica, que incluye monomios, es una

expresión fraccionaria donde el denominador y

numerador son monomios; por ejemplo:

La simplificación de fracciones, que incluyen monomios,

es semejante a la simplificación de fracciones

numéricas: se tiene que dividir el numerador y

denominador por factores comunes; por lo tanto, la

clave es obtener el factor común.

Se puede decir que la simplificación, de una fracción

algebraica que incluye monomios, consiste en

transformar la fracción a otra equivalente, cuya

característica principal es que es irreductible.

Pasos para simplificar fracciones que incluyen

monomios.

página 59


Paso 1.

Se simplifican los coeficientes del numerador y del

denominador de la fracción. Para simplificarlos, se debe

encontrar el factor común entre ellos. Encontrar el factor

divida a ambos. Por el momento, las variables se

mantienen igual.

común es hallar un número que divida, tanto al

coeficiente del numerador como al coeficiente del

Si una variable aparece, tanto en el numerador y

denominador con el mismo exponente, esa variable se

denominador, hasta que ya no exista un número que

Paso 2.

Luego de simplificar los coeficientes del numerador y

denominador de la fracción, se deben simplificar las

variables de la siguiente manera:

Cuando una variable aparece en el numerador y

denominador de la fracción algebraica con distinto

exponente, para simplificarla se resta el exponente que

tenga en el numerador, menos el exponente que tenga

en el denominador; ese resultado de la resta será el

valor del exponente que tenga la variable. Si el

exponente resulta positivo, la variable se escribe en el

numerador de la fracción algebraica, ya simplificada, y

cuando el exponente resulte negativo, la variable se

escribirá en el denominador de la fracción, ya

simplificada.

Cuando una variable aparece solamente en el

numerador de la fracción algebraica, pasará

exactamente igual al numerador de la fracción

simplificada.

página 60


Cuando una variable aparece solamente en el denominador de la

fracción algebraica, pasará exactamente igual al denominador de

la fracción simplificada.

Si una variable aparece, tanto en el

numerador y denominador con el

exponente, esa variable se

mismo

coeficientes de numerador y del denominador. El coeficiente del

numerador es 8 y el coeficiente del denominador es 6. Para

simplificarlos debemos encontrar el factor común entre 8 y 6.

Ejemplo 1. Simplificar la fracción algebraica:

Encontrar el factor común es hallar un número que divida tanto al

número 8 como al número 6; ese factor común es el 2. Así que

dividamos el 8 y el 6 entre dos; por el momento las variables se

mantienen igual.

Lo primero que

se hace es

simplificar los

página 61


Ahora continuemos

simplificando las

variables, restando los

exponentes de los

coeficientes de las

variables del numerador

con los exponentes de

los coeficientes de las

variables semejantes del denominador

Quedando la fracción simplificada como:

Paso 1.

Simplificar los coeficientes del numerador y denominador. El

coeficiente del numerador es 3 y el coeficiente del

denominador es 9. Encontremos un número que divida tanto al

3 como al 9, es decir, un factor común; ese número es 3. Las

variables se mantienen igual.

Nota:

Siempre se

menos el de

resta el exponente de arriba

abajo.

Ejemplo 2.

Simplificar

la fracción algebraica:

página 62


Paso 2.

Ahora continuemos simplificando las variables, restando

los exponentes

de los coeficientes de las

variables del

numerador con los

exponentes de

los coeficientes de las

variables

semejantes del

denominador.

Quedando la fracción simplificada como:

Ejemplo 3.Simplificar la fracción algebraica:

página 63


Paso 1.

Simplificar los coeficientes del numerador y

denominador de la fracción. El coeficiente del

numerador es 4 y el coeficiente del denominador es 7.

Como no existe un número que divida tanto al número 4

como al número 7, no tienen un factor común; por lo

tanto, no se pueden simplificar y pasan exactamente

igual a la fracción simplificada.

Paso 2.

Simplifiquemos ahora las variables, restando los

exponentes de los coeficientes de las variables del

numerador con los exponentes de los coeficientes de las

variables semejantes del denominador.

página 64


LECCIÓN 16

PRODUCTO

El producto de dos fracciones algebraicas, que incluyen

monomios, es otra fracción algebraica donde el numerador

es el producto de los numeradores y el denominador es el

producto de los denominadores. El producto de fracciones

algebraicas se puede denotar por o por un

Ejemplo 1: Multiplicar las fracciones algebraicas

y

x

página 67


Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

Nota: Los términos semejantes tienen las mismas

variables elevadas a los mismos exponentes, sin

importar sus coeficientes.

page 72


4 6 2 Si al menos un número de los que están colocados en el segundo renglón puede dividirse

2 3 2

1 3

todavía entre dos, se realiza la división. Como los números del segundo renglón son los

números 2 y 3, solamente el 2 puede dividirse entre 2; así que solamente se realizará esta

división; el 3 pasará igual al siguiente renglón.

Tenemos que , por lo tanto este resultado se coloca en el tercer renglón de la tabla junto con

el 3 que no se dividió.

Nota: Si los números que están en el segundo renglón ya no se pueden dividir entre 2, se

tratan de dividir entre el siguiente número primo que es 3.

4 6 2

2 3 2

1 3 3

1 1

Como en el tercer renglón ya no quedaron números

divisibles entre 2, ahora seguiremos dividiendo entre el

siguiente número primo que es 3. Los números que se

encuentran en el tercer renglón son el número 1 y el

número 3; de esos dos números, solo se puede dividir

entre 3 el número 3; el número 1 pasará igual al siguiente

renglón.

4 6 2

2 3 2

1 3 3

1 1

Cuando tengamos solamente

números uno, paramos de

hacer divisiones.

page 76


Sacar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de los monomios; en nuestro ejemplo, el coeficiente del primer monomio es 6

y el coeficiente del segundo monomio es 8; por lo tanto, se debe sacar el mínimo común múltiplo entre 6 y 8.

Para obtener el múltiplo de 6 y 8 se realiza una tabla como la siguiente:

6 8

En la parte superior de la

tabla, se colocan los números

a los que se les va a obtener

el m.c.m

Ahora, los números se van a descomponer en factores primos, siempre

empezando a dividirlos, si es posible, entre 2.

6 8 2

3 4

Tenemos que y ; estos resultados se colocan en el segundo renglón de

la tabla.

Nota: Si no fuera posible dividirlos entre 2, se

trata de dividirlos entre el siguiente número primo

que es 3; si tampoco fuera posible, se trata de

dividirlos entre el siguiente número, 5, y así

sucesivamente.

Ojo: La división solo se hace con números

primos.

page 78


6 8 2

3 4 2

3 2

Si al menos un número de los que están colocados en el segundo renglón puede

dividirse todavía entre dos, se realiza la división. Como los números del segundo

renglón son los números 3 y 4, solamente el 4 puede dividirse entre 2; así que

solamente se realizará esta división; el 3 pasará igual al siguiente renglón.

Tenemos que ; por lo tanto, este resultado se coloca en el tercer renglón de la tabla

junto con el 3 que no se dividió.

Nota: Si los números que están en el segundo renglón ya no se pueden dividir entre

2, se tratan de dividir entre el siguiente número primo que es 3.

6 8 2

3 4 2

3 2 2

Como los números del cuarto renglón ya no se

pueden dividir entre 2, se prosigue a dividir entre 3.

Cuando tengamos solamente números uno, paramos de hacer divisiones.

3 1 3

1 1

6 8

3 4

3 2

3 1

1 1

2

2

2

3

Por último, se van a multiplicar los

números que se encuentran a la

derecha de la tabla para obtener

el mínimo común múltiplo.

Tenemos que 2x2x2x3 = 24

page 79


Ahora, factoricemos el denominador.

Denominador:

Ejemplo 2

Observa que el denominador se puede factorizar con factor común, el

cual es 2x.

Simplificar la fracción algebraica

La factorización del denominador es la siguiente:

Numerador de la fracción a simplificar:

Reescribiendo la fracción a simplificar, con las respectivas

factorizaciones del numerador y denominador, se tiene:

Denominador de la fracción a simplificar:

Lo primero que se hace para

simplificar la fracción, es

factorizar tanto numerador

como denominador.

Luego se eliminan los factores comunes, que son aquellos que

aparecen tanto en el denominador como en el numerador. Como

Numerador:

(x + 1) aparece en el numerador y en el denominador de la

fracción, se simplifica a 1 y ya no se escribe en la fracción resultante.

Por lo tanto, la simplificación es:

página 86


LECCIÓN 18

PRODUCTO

Primera Fracción

2

Numerador = X -6X + 5=

(X - 1) (X - 5)

2

Denominador= X - 15x +

56 = (x - 7)(x - 8)

Segunda Fracción

2

Numerador = X - 5x - 24

= (x - 8) (x + 3)

2

Denominador= X + 2x - 35

(x + 7) (x - 5)

Reescribiendo la multiplicación con las factorizaciones que se

hicieron, tenemos que:

Para efectuar la multiplicación entre dos fracciones algebraicas,

que incluyen polinomios, se multiplica numerador por

numerador y denominador por denominador. Para facilitar las

multiplicaciones, se factorizan los numeradores y

denominadores de las fracciones que se van a multiplicar.

Ejemplo 1.

Multiplicar las fracciones algebraicas

Vamos a multiplicar numerador por numerador y denominador

por denominador. Para facilitar las operaciones, se factorizan

los numeradores y denominadores de las fracciones:

página 91


LECCIÓN 17

DIVISIÓN

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción

algebraica donde:

• El numerador es igual al producto del numerador de

la primera fracción a dividir por el denominador de la

segunda fracción a dividir.

• El denominador es igual al producto del denominador

de la primera fracción a dividir por el numerador de la

segunda fracción a dividir.

Para facilitar las multiplicaciones que se deben realizar

para dividir las fracciones algebraicas, se factorizan los

numeradores y denominadores de las fracciones que se

van a dividir.

Ejemplo 1.

Dividir la fracción algebraica

página 93


LECCIÓN 19

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

ALGEBRAICAS QUE INCLUYEN

MONOMIOS CON DENOMINADOR

IGUAL.

La suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo

denominador es otra fracción algebraica con el mismo

denominador y cuyo denominador es la suma o resta,

según sea el caso, de los numeradores de las fracciones a

sumar o restar.

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

página 98


Quitando paréntesis y simplificando al máximo el

numerador (reduciendo términos semejantes), tenemos:

Suma y resta de fracciones algebraicas

que incluyen monomios con

denominador igual.

El resultado de la suma:

Ejemplo 2.

Restar la fracción algebraica

Para sumar o restar fracciones algebraicas con distinto

denominador, se reducen las fracciones a un común

denominador, el cual será el mínimo común múltiplo de los

denominadores de las fracciones a sumar o restar, y, a

continuación, se obtiene el nuevo denominador mediante la

división del mínimo común múltiplo, primero entre el

denominador de la primera fracción a sumar o restar y el

resultado se multiplica por el numerador. Lo mismo con la

segunda fracción. Y luego se trabaja con el numerador

para llegar a la mínima expresión; es decir, simplificar

todos los términos semejantes que existan.

página 99


La suma y la resta de fracciones algebraicas con diferente

denominador se resume en los siguientes pasos.

comunes y no comunes de mayor exponente y se expresan

como producto.

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los

polinomios

Los polinomios se encuentran ya factorizados.

Escogemos los factores comunes y no comunes de mayor

exponente.

Los factores comunes son (x - 3) y (x + 2) y el factor no

común es (x - 4) . Como debemos escoger los de mayor

exponente, el mínimo común múltiplo de los polinomios es:

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los

polinomios x 2 - 5x + 6 Y x 2 - 7x + 12

A continuación se te presentará el proceso para obtener el

mínimo común múltiplo entre polinomios.

Cálculo del mínimo común múltiplo de polinomios.

Lo primero que se debe tener son los polinomios

factorizados; si no se tienen, lo primero que se debe hacer

es factorizarlos. Después, se escogen los factores

Escogemos los factores comunes y no comunes de mayor

exponente.

página 100


El factor común es (x - 3) y los factores no comunes son

(x - 2) y (x - 4) . Como debemos escoger los de mayor

exponente, el mínimo común múltiplo de los polinomios es:

(x - 3) (x - 2) (x - 4)

Ahora que ya conoces cómo obtener el mínimo común

múltiplo de dos polinomios, puedes efectuar sumas y

restas de polinomios.

A continuación se te presenta un ejemplo de cómo sumar

dos fracciones algebraicas que incluyen polinomios.

Como el denominador de la segunda fracción es una

diferencia de cuadrados, se factoriza:

b 2 - 4 = (b + 2) (b - 2)

Luego, escogemos los factores comunes y no comunes de

mayor exponente de los denominadores.

El factor común es (b - 2) y los factores no comunes son (b

+ 2) y 4 Como debemos escoger los de mayor exponente,

pero todos tienen exponente 1, el mínimo común múltiplo

de los denominadores es:

4(b - 2) (b + 2)

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

Reescribiendo la suma con los denominadores

factorizados, tenemos que:

Denominador de la primera fracción: 4b - 8

Denominador de la segunda fracción: b 2 - 4

Lo primero que debemos hacer es factorizar, si no lo están,

los denominadores.

Factorizando el denominador de la primera fracción con

factor común 4: 4b - 8 = 4(b - 2)

Paso 2. Ahora sí, efectuar la suma.

El mínimo común múltiplo será el denominador de la

fracción resultante de la suma. A continuación, se obtiene

el nuevo denominador mediante la división del mínimo

común múltiplo, primero entre el denominador de la

página 101


primera fracción a sumar y el resultado se multiplica por el

numerador. Lo mismo con la segunda fracción.

El resultado de la suma es:

Ejemplo 2.

Restar la fracción algebraica

Y luego se trabaja con el numerador para llegar a la mínima

expresión; es decir, quitar paréntesis y simplificar todos los

términos semejantes que existan.

Paso 1. Obtener el mínimo común múltiplo de los

denominadores.

Denominador de la primera fracción: x 2 + x - 6

Denominador de la segunda fracción: x 2 - 9x + 14

Lo primero que debemos hacer es factorizar, si no lo están,

los denominadores.

página 102


Factorizando el denominador de la primera fracción:

x 2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

Factorizando el denominador de la segunda fracción:

el nuevo denominador mediante la división del mínimo

común múltiplo, primero entre el denominador de la

primera fracción de la resta y el resultado se multiplica por

el numerador. Lo mismo con la segunda fracción.

x 2 - 9x + 14 = (x - 7) (x - 2)

Luego, escogemos los factores comunes y no comunes de

mayor exponente de los denominadores.

El factor común es (x - 2) y los factores no comunes son

(x + 3) y (x - 7) Como debemos escoger los de mayor

exponente, pero todos tienen exponente 1, el mínimo

común múltiplo de los denominadores es:

(x - 2) (x + 3) (x - 7)

Reescribiendo la suma con los denominadores

factorizados, tenemos que:

Quitando paréntesis:

Paso 2. Ahora sí, efectuar la suma.

El mínimo común múltiplo será el denominador de la

fracción resultante de la suma. A continuación, se obtiene

página 103


LECCIÓN 23

CONCEPTO DE

EXPONENTE

Al proceso de elevar un número o una variable a

cualquier exponente se le llama potenciación.

página 106


LECCIÓN 23

LEY DE LOS EXPONENTES

FRACCIONARIOS

Los exponentes fraccionarios también son llamados

radicales. Todas las leyes vistas en el subtema

anterior son válidas también para los exponentes

fraccionarios.

Ahora empecemos preguntando, ¿qué es x 1/2 ?

Y la respuesta es

x

Te preguntarás por qué la respuesta es x y la

razón es la siguiente:

Porque si calculas el cuadrado de x 1/2 tienes que:

(x 1/2 ) 2 = x, aplicando la quinta ley de los

exponentes vista en el subtema anterior.

A continuación, te presentaremos la ley del

exponente fraccionario.

Ley del exponente fraccionario:

Donde x es

ede ser un número o

cualquier variable) y m/n es el exponente

fraccionario al cual está elevada la base.

página 108


LECCIÓN 24

L E Y E S D E L O S

RADICALES

Ahora que ya sabemos qué es un radical, podemos

presentarte las leyes o propiedades de los

radicales. En la siguiente tabla aparecen las leyes

de los radicales y dos ejemplos de cada una de

ellas.

página 114


página 115


LECCIÓN 24

SIMPLIFICACIÓN DE

EXPRESIONES CON

RADICALES

Aplicando correctamente las leyes anteriores de los

radicales y, cuando sea necesario, las leyes de los

exponentes, podemos simplificar diversas

expresiones. Veamos los siguientes ejemplos.

página 117


LECCIÓN 25

PRODUCTO DE

EXPRESIONES CON

RADICALES

El producto de expresiones con radicales con el

mismo índice, es igual a otra expresión con radical

cuyo coeficiente y radicando son iguales,

respectivamente, a los productos de los

coeficientes y radicandos de las expresiones a

multiplicar.

página 121


n n n

a x . b y = (a . b) x . y

Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos

que:

Dicho de otra manera, los coeficientes y los

radicandos se multiplican y se mantiene el índice

de las expresiones a multiplicar.

Por ejemplo: Multipliquemos

4 4

3 p y 5 q

Estas dos expresiones sí se pueden multiplicar

porque tienen el mismo índice, que es 4.

La expresión tiene como coeficiente 3 y radicando

p . 4

La expresión 3 p tienen como coeficiente 3 y

radicando p.

La expresión 5 q tienen como coeficiente 3

y radicando q.

4

4

Otro ejemplo: multipliquemos las expresiones

3 3

-2 x 2 y 6 z 6 ; como ambas tienen el mismo

índice 3 en la raíz, sí se pueden multiplicar.

La expresión -2 x 2 tiene como coeficiente -2 y

radicando x 2 .

La expresión 6 z 6 tiene como coeficiente 6 y

radicando .

3

3

página 122


Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos

que:

Un ejemplo más: multiplicar las expresiones 5 3

9

y 6 6 es posible, porque tienen el mismo

índice en la raíz, que es 9.

La expresión 5 3 tiene como coeficiente 5 y

radicando 3.

9

9

La expresión 6 6 tiene como coeficiente 6 y

radicando 6.

Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos

que:

9

página 123


LECCIÓN 25

DIVISIÓN DE

E X P R E S I O N E S

CON RADICALES

El cociente de dos expresiones con radicales con el

mismo índice, es igual a otra expresión con radical

cuyo coeficiente y radicando son iguales,

respectivamente, al cociente de los coeficientes y

radicandos de las expresiones a dividir.

página 125


Otro ejemplo: dividir las expresiones

5 5

10 a 3 y 5 b 6

4 4

Por ejemplo: dividir las expresiones 3 5 y 5 9

; como tienen el mismo índice, que en este caso es

4, sí podemos seguir el procedimiento anterior.

4

La expresión 3 5 tiene como coeficiente 3 y

radicando 5.

4

La expresión 5 9 tiene como coeficiente 5 y

radicando 9.

y ; sí es posible, ya que tienen el mismo índice que

es 5.

5

La expresión 10 a 3 tiene como coeficiente 10 y

radicando .

5

La expresión 5 b 6 tiene como coeficiente 5 y

radicando .

Para dividir esas dos expresiones, tenemos que:

Para dividir esas dos expresiones, tenemos que:

página 126


LECCIÓN 25

RACIONALIZACIÓN DE

E X P R E S I O N E S C O N

RADICALES

Cuando una fracción tiene en su denominador

alguna expresión con radical, conviene obtener

fracciones equivalentes que no tengan expresiones

con radicales en el denominador. A este proceso se

le llama racionalización de radicales de los

denominadores.

Según el tipo de expresión con radical que aparece

en el denominador de la fracción, el proceso es

diferente.

• Cuando el denominador es un monomio.

Es cuando el denominador contiene una sola

expresión con índice y radicando cualesquiera.

Donde x e y son variables o números cualesquiera,

m es el exponente del radicando y es el índice del

radical.

Lo que se hace para racionalizar es lo siguiente: se

multiplica tanto numerador como denominador por

página 132


En el recuadro anterior tenemos una fracción con

una expresión radical en el denominador; por lo

tanto, se racionaliza la fracción en los pasos 1, 2, 3

y 4.

En el paso número 1, se multiplica numerador y

denominador por .

En el paso número 2, se aplica la ley de raíz de un

producto de los radicales en el denominador.

En el paso número 3, se aplica la primera ley de los

exponentes al radicando del denominador.

En el paso número 4, se aplica la ley de conversión

de un radical a exponente fraccionario.

página 133


• Cuando el denominador es un polinomio.

Es cuando el denominador contiene más de una

expresión en el denominador y al menos una de

ellas es una expresión con radical. Por ejemplo:

En este caso debemos tomar en cuenta dos

aspectos importantes: conocer lo que es una

expresión conjugada y productos notables.

Para racionalizar el primer ejemplo: siempre que

aparezca una raíz cuadrada en el denominador, se

multiplica numerador y denominador por el

conjugado del denominador. En este caso, el

denominador es un binomio y el conjugado de un

binomio es igual al binomio con el signo central

cambiado.

Algunos ejemplos de binomios y sus conjugados.

Ahora te preguntarás, ¿por qué hay que multiplicar

por el conjugado del denominador?

El objetivo de racionalizar es quitar la raíz del

denominador y si, nosotros, multiplicamos el

denominador de la fracción por su conjugado,

observa lo que pasa:

El denominador de la fracción es:

Su conjugado es:

Multipliquemos el denominador por su conjugado:

¿Esta multiplicación te parece familiar? Recuerda la

lección de productos notables y, efectivamente,

esta multiplicación recibe el nombre de: producto

de la suma por la diferencia de dos cantidades.

Por lo tanto el resultado es:

a + b → Su conjugado es a - b

- z - y → Su conjugado es - z + y

página 134


Y ya logramos quitar las raíces del denominador.

Tomando este producto notable:

Regresando a la fracción a racionalizar:

Siempre que observes en el denominador de una

fracción un binomio con al menos una raíz

cuadrada, multiplica el denominador por su

conjugado para racionalizarla.

es fácil quitar las raíces cúbicas del denominador;

así que multipliquemos numerador y denominador

de la fracción por el segundo factor

Pasemos ahora a racionalizar el segundo ejemplo.

Como pue ar, en el denominador de la

fracción ya no aparecen raíces cuadradas, sino

raíces cúbicas, ¿cómo quitaremos las raíces del

denominador? ¿Ahora por quien multiplicaremos el

numerador y denominador de la fracción para

poder racionalizarla? Vuelve a recordar tus

lecciones de productos notables.

Y así logramos racionalizar la fracción. Como te has

dado cuenta, los productos notables son de mucha

utilidad para racionalizar fracciones.

Veamos otro ejemplo.

Observa la siguiente fracción:

página 135


Tenemos que racionalizarla, porque en el

denominador aparece al menos una expresión con

radical

Lo que debes hacer es multiplicar numerador y

denominador por el conjugado del denominador.

El Denominador es:

Por lo tanto el conjugado del denominador es:

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