EASY GRADES ÁLGEBRA

ÍNDICE
Matemáticas
Tema: Álgebra
Números Reales pág. 02
Conjuntos de intervalos pág. 05
Valor Absoluto pág. 07
Exponentes y Radicales pág. 08
Exponentes Racionales pág. 10
Expresiones Algebraicas pág. 11
Productos Notables pág. 13
Factorización pág. 14
Expresiones racionales pág. 15
Ecuaciones pág. 18
Desigualdades pág. 20
Ecuaciones simultáneas pág. 23
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NÚMEROS REALES
Matemáticas
Tema: Álgebra
Aún cuando usamos la palabra número, sin calificativo, nos
referimos a los números reales, a cuyo conjunto se le
expresa con la letra R . Sus distintos tipos se inventaron para
cumplir con necesidades específicas.
*Todos los números reales tiene una representación decimal.
Si el número es RACIONAL, su decimal es periódico.
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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES:
Propiedad Conmutativa
a + b = b + a
b x a = a x b
Matemáticas
Tema: Álgebra
El orden de los factores no
altera el producto.
Propiedad Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
Propiedad Distributiva
a x (b + c) = ab + ac
(b + c) x a = ab + ac
Cuando se suman o multiplican
tres números, no importa
cuáles dos se suman o
multiplican primero.
Cuando se multiplica un
número por una suma de dos,
se obtiene el mismo resultado
que al multiplicar el número
de cada uno de los términos
y luego sumar los resultados.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
● IDENTIDAD ADITIVA: El CERO . Porque 0+a = a. Aplica para
cualquier número Real.
● NEGATIVO: Todo número Real tiene un negativo, que
satisface: (-a)+a=0
● SUSTRACCIÓN: Operación que deshace la adición. Para
hacerlo, solo se sustrae un número de otro. (a-b)=a+(-b)
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Matemáticas
Tema: Álgebra
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
● IDENTIDAD MULTIPLICATIVA: Es el número 1 UNO, porque
a x 1 = a
● RECIPROCO : Todo número real lo tiene, siempre y cuando
sea diferente a 0, porque = ( a1
× ) a = 1
1
a
● DIVISIÓN: Operación que deshace la multiplicación, siempre
y cuando los números sean distintos a cero.
PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES
●
●
a c b d = ac ×
bd
a c b d = a
×
d
b
÷ c
● c a + c b =
● b a + c d =
a+b
c
ad+bc
bd
● ac
bd = a
b
● Si
a b
= c d
entonces ad = bc
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Matemáticas
Tema: Álgebra
CONJUNTOS DE INTERVALOS
➔ CONJUNTO: Colección de objetos, que son los elementos
del conjunto. Pueden describirse si se colocan dentro de
llaves { }
◆ Ejemplo: Conjunto A, formado por todos los enteros
positivos menores que 7 . A= { 1, 2, 3, 4, 5,
6}
Existe la Notación Constructiva de Conjuntos donde
podemos representar a A como:
A = { x|x es un entero & 0 ≺ x ≺ 7}
que se lee como “A es un conjunto de todas las
X tales que X es un entero y se encuentra entre los
valores de cero y siete”
❖ TIPOS DE CONJUNTOS: (Se usarán las letras S y T
para denotar conjuntos)
➢ UNIÓN
S ∪ T
Conjunto formado por todos los elementos de S
ó T (o ambos)
➢ INTERSECCIÓN S ∩ T
Conjunto formado por todos los elementos de S
y T (Su parte en común)
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Matemáticas
Tema: Álgebra
➢ CONJUNTO ⊘ VACÍO
Conjunto que NO tiene elementos
EJEMPLO:
S = { 1, 2, 3, 4,
5} , T = { 4, 5, 6,
7} y V = { 6, 7,
8}
∪ S T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7}
∩ S T = { 4, 5}
∩ S V ⊘ = { }
➔ INTERVALOS : Ciertos conjuntos de números reales se
llaman así, y se presentan con frecuencia en cálculo.
Corresponde geométricamente a segmentos de la recta.
◆ INTERVALO ABIERTO : Si b>a, entonces el Intervalo
Abierto (I.A.) de b a a, está formado por los
números entre a y b, y se denota como (a,b)
◆ INTERVALO CERRADO: De a a b, incluye los puntos
extremos, y se denota como [a,b]
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Matemáticas
Tema: Álgebra
VALOR ABSOLUTO |a|
El Valor Absoluto (V.A.) de un número tal, denotado para
ejemplos representativos como |a| , es la DISTANCIA de
hacia 0, en la recta de números reales.
a
|a| ≥ 0 , para todo número a
Recordando que -a, es positivo cuando el valor de a, es
negativo.
NOTA:
Si a es un número real, entonces su V.A. de a es:
|a| =
{
a
si a ≥ 0
si − a a ≺ 0
PROPIEDADES:
|a| ≥ 0
|a| |− = a |
El V.A. siempre es positivo o cero
Un número y su negativo tienen el
mismo Valores Absolutos
|ab| = |a| × |b|
El V.A. de un producto, es el
producto de los V.A.
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| a |
| b | = | a |
| b |
Matemáticas
Tema: Álgebra
El V.A. de un cociente, es el cociente
de los V.A.
EXPONENTES Y RADICALES
Un producto de números idénticos, se escribe en notación
exponencial.
● Si a es cualquier número real y n es un entero positivo,
la n-ésima potencia de a es: a n = × a × a × a × ...
a
(multiplicado n veces)
En este caso, el número a es la base , y el número n es
el exponente .
● Si a = / 0 es cualquier número real y n es un entero
positivo, entonces
a o = 1
y
a −n = 1 a n
LEYES DE LOS EXPONENTES:
❏
a m × a n = a m+n
❏
a m
a
n
= a m−n
❏
(
a
b )n a
= n
b
n
❏
( a
m ) n = a m×n
❏
( b
a )−n = ( a
b )n
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Matemáticas
Tema: Álgebra
❏
( × a b) n = a n b n ❏ a−n
×
b −m
= b m
a n
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se dice que un número positivo X, está escrito en notación
científica, si está expresado como sigue:
× X = a 10 n donde 1 ≤ a ≤ 10
y n es entero.
RADICALES
Para dar significado a una potencia, cuyo componente sea
racional, es necesario usar RADICALES.
√
”La raíz positiva de”
→
● Si √a = b , significa que b 2 = a y b ≥ 0
● Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz n
principal de a, se define como:
○ √ n a = b significa que b n = a .
Si n es par, debemos tener que a ≥ 0 , b ≥ 0
PROPIEDADES DE LOS RADICALES:
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Matemáticas
Tema: Álgebra
❖
√ n ab = √ n a × √ n b
❖
√ m √ n a = √ mn a
❖
√ n a ÷ b = √ n a ÷ √ n b
❖ √ n a n = a si n es impar
❖ √ n a n = |a| si n es par
EXPONENTES RACIONALES
Para cualquier exponente racional
m
n
en sus términos más
elementales, donde m y n son enteros y
n ≥ 0 , definimos
a
m
n
→
= (√ n a) m m
o lo que es equivalente a n
= √ n a m
Si n es par, requerimos que a ≥ 0
*Las leyes de los exponentes también se aplican aquí.
RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR:
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Matemáticas
Tema: Álgebra
1
√a = 1 √a 1 = 1 √a √a
=
√a √a a × ×
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una VARIABLE , es una letra que puede representar
cualquier número tomado de un conjunto dado. Si combinamos
las variables con ,÷,+,−, etc. ×
obtenemos una EXPRESIÓN
ALGEBRAICA.
TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
● MONOMIO: Expresión ax
k , siendo a un número real, k es
un entero no negativo, x es la variable.
● BINOMIO: La suma de dos monomios
● TRINOMIO : Suma de tres monomios
● POLINOMIO : Suma de varios monomios
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Matemáticas
Tema: Álgebra
○ Un polinomio en la variable X, es una expresión de la
forma:
a x n n + a x n−1 n−1
+ ... + a 1
x + a 0
Donde a 0
, a 1
, ...,
son números reales y los
a n
coeficientes del polinomio:
a n
a 0
es el término constante;
es el coeficiente principal, porque es el
coeficiente de la potencia más alta y n es un entero
no negativo. Si a n = / 0 , el polinomio tiene grado n.
Los monomios, ahora son términos de un polinomio.
○ DIVISIÓN DE POLINOMIOS
El algoritmo de la división de polinomio es:
■ DIVISIÓN LARGA
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Matemáticas
Tema: Álgebra
1. Divida los términos principales
■ DIVISIÓN SINTÉTICA
(6x 2 / x) = 6 x
2. Multiplicar 6x(x ) − 4 . El resultado
se coloca en posición, se resta y
se baja el siguiente término.
3. Repetir el proceso
4. El número que queda sin variable,
es el residuo
Método que se usa cuando dividimos un
polinomio entre un factor lineal de la
forma x-c.
Ejemplo:
6x 2 − 26x + 12
entre
x − 4
Siendo la respuesta correcta:
6x 2 6x 2 − 2 + 1 = ( − x − 4)(6x 2 ) + 4
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se suma y resta combinando los términos semejantes,
usando la propiedad Distributiva.
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para hallar el producto de polinomios, es necesario utilizar
la propiedad Distributiva. Ejemplo:
( a + b ) (c d) (c ) b(c ) × + = a + d + + d = ac + ad + bc + bd
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Matemáticas
Tema: Álgebra
PRODUCTOS NOTABLES
Si A y B son números reales o expresiones algebraicas:
Suma y producto
de términos iguales ( A + B × ) − ( A B ) = A 2 B 2 −
Cuadrado de una
suma ( A + B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2
Cuadrado de una
diferencia ( − A B) 2 = A 2 2 AB + B − 2
Cubo de una suma
( A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB
2 + B 3
Cubo de una
diferencia ( A − B) 3 = A 3 − 3A 2 B + 3AB
2 − B 3
La idea para utilizar estas fórmulas, es el PRINCIPIO DE LA
SUSTITUCIÓN: Reemplazar cualquier expresión algebraica por
cualquier letra en la fórmula.
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FACTORIZACIÓN
Matemáticas
Tema: Álgebra
Se aplica la propiedad Distributiva para expandir las
expresiones algebraicas. Para reinvertir el proceso, utilizando
la propiedad Distributiva, se factoriza la expresión en
productos de términos más simples.
El tipo más sencillo de factorización, es cuando los
términos tienen un factor común.
x 2 x − 4 = ( − 2 ∙ ) − ( x 2 )
Un trinomio es un cuadrado perfecto, si es de la forma:
El término medio
A 2 + 2 AB + B 2 o bien A 2 2 AB + B − 2
2 AB
es más o menos el doble del
producto de las raíces cuadradas de los otros dos términos.
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Matemáticas
Tema: Álgebra
EXPRESIONES RACIONALES
Expresión fraccionaria donde el numerador y denominador son
polinomios. Ejemplo: 2X
X−1
Existen las expresiones fraccionarias, que es el cociente
de dos expresiones algebraicas.
El DOMINIO, de una expresión algebraica, es el conjunto de los
números reales que se les permite tener a la variable.
NOTA:
El denominador no puede ser igual a CERO, porque la división
entre cero no está definida. Es necesario encontrar que
valores de las variables en la expresión harían el denominador
igual a cero. Estos valores NO pueden incluirse en el dominio,
por lo que se les llama VALORES EXCLUIDOS.
➔ Determinando el Dominio de una expresión
EXPRESIÓN
DOMINIO
1/ X
D : { X | X = / 0}
√X D : { X | X ≥ 0}
1/√X D : { X | X ≻ 0}
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Matemáticas
Tema: Álgebra
EJEMPLOS PARA DOMINIO:
A. 2x 2 + − 3x
1
D: Todos los números reales
B.
X
2
X +5X+6
→
→
Para ello, debemos de factorizar el
denominador, que es el que nos da el
dominio.
X
(X−2)(X−3)
por lo que X=2 y X=3
siendo D = { X | X = / 2 y X = / 3}
SIMPLIFICANDO LAS EXPRESIONES RACIONALES
Se eliminan los factores comunes del numerador y del
denominador.
AC
KC = A K
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXP. RACIONALES
K P KP
×
R Q
= RQ
K P Q
÷
R Q
= RK
× P
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Matemáticas
Tema: Álgebra
SUMA Y RESTA DE EXP. RACIONALES
Primero se determina un denominador común, después se
aplica las propiedades de las fracciones, aunque se
recomienda mejor usar el Mínimo Común Denominador.
K
P
+ C P
=
K+C
P
FRACCIONES COMPUESTAS
Expresión en la cual el numerador, el denominador o ambos son
expresiones fraccionarias.
Para simplificar, se utiliza la LEY DE LA TORTILLA!
a
b
c
d
=
ad
bc
Ejemplo:
x+1
5
x +3x−2
x+2
(x+1)×(x+2) (x
2+3x+2)
=
5(x 2 +3x−2)
2 = 5(x 2 +3x−2)
Los valores de la incógnita se llaman SOLUCIONES o RAÍCES
DE LA ECUACIÓN, y el proceso para determinar las soluciones
se llaman RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN .
Dos ecuaciones con las mismas soluciones, son soluciones
equivalentes o simultáneas.
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Matemáticas
Tema: Álgebra
ECUACIONES
Es un enunciado en el que se establece que las expresiones
matemáticas son iguales, ejemplo: 8+4+2=14
Generalmente contienen variables, considerándose la
variable como INCÓGNITA, pues determinar la variable, hace
que la ecuación sea cierta.
ECUACIONES LINEALES de primer grado
Es la ecuación más sencilla:
reales, X es la variable.
a x + b = 0
, donde a, b son números
ECUACIONES CUADRÁTICAS de segundo grado
ax 2 + b x + c = 0 , donde a, b y c son números reales, a = / 0
Se pueden resolver mediante factorización, utilizando:
● LA PROPIEDAD DEL PRODUCTO NULO
A A × B = 0 ⇐⇒ = 0 ó B = 0
*Sólo funciona cuando el segundo miembro de la ecuación es
igual a cero.
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Matemáticas
Tema: Álgebra
● COMPLETAR AL CUADRADO
Para hacer que
x 2 + b x
sea un cuadrado perfecto, se suma
b
( )
2 2
, que es el cuadrado de la mitad del coeficiente de X,
dando así, al cuadrado perfecto.
x 2 b
+ b x + ( ) 2 b
2
= ( x + 2
)
2
LA FÓRMULA DE LA CHICHARRONERA
Utilizada para obtener fácilmente los valores de las
variables de la ecuación cuadrática de segundo grado
ax 2 + b x + c = 0 , donde a = / 0 .
x i
=
2
−b±√b −4ac
2a
EL DISCRIMINANTE de la ecuación general
D = b 2 − 4 ac
ax 2 + b x + c = 0
es
● Si
● Si
D ≻ 0 , la ecuación tiene DOS soluciones reales distintas.
D = 0 , la ecuación sólo tiene UNA solución real.
● Si
D ≺ 0 ,
la ecuación no tiene solución real.
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Matemáticas
Tema: Álgebra
DESIGUALDADES
Parecido a una ecuación, sólo que en vez de utilizar el signo de
igualdad ( =) , utiliza ≺, ≻ , ≤,
≥ .
Resolver la desigualdad, permite determinar todos los
valores de la variable que hacen a la desigualdad verdadera.
Se utiliza ampliamente para describir intervalos. Siendo
utilizados ≺,
≻ para Intervalos Abiertos, y ≤,
≥ para Intervalos
Cerrados.
REGLAS:
● A ≤ B ⇔ A
+ C ≤ B + C
●
A ≤ B ⇔ A − C ≤ B − C
● Si
C ≥ 0,
entonces A ≤ B ⇔ CA ≤ C B
● Si A ≻ 0 y B ≻ 0 , entonces
● Si
A ≤ B ⇔ 1 A ≥ 1 B
C ≺ 0 , entonces A ≤ B ⇔ CA ≥ C B
● Si A ≤ B y C ≤ D , entonces
A + C ≤ B + D
*Una desigualdad es LINEAL, si cada término es constante o es
un múltiplo de la variable.
Para resolver DESIGUALDADES NO LINEALES, que contienen
la variable al cuadrado o a otras potencias, se aplica la
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Matemáticas
Tema: Álgebra
factorización y otros principios. El proceso se describe a
continuación, con el ejemplo de resolver X 2 − 5 X + 6 ≤ 0
1. Pasar todos los término al lado derecho o izquierdo
(Igualar a cero)
X 2 − 5 X + 6 ≤ 0
2. Factorizar
( X − 2 − )(X 3)
≤ 0
3. Determinar los intervalos (valores para los cuales cada
factor es igual a cero). Estos números dividirán la recta
númerica.
X = 2 y X = 3 , son las soluciones que dividen la recta en
tres intervalos:
− ,
( 2, ), ∞ 2) , ( 3 ( ∞ 3, )
4. Elaborar la TABLA DE SIGNOS
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5. Resolver.
Matemáticas
Tema: Álgebra
La solución de
X 2 − 5 X + 6 ≤ 0
sería:
X| 2
{ ≥ X ≥ 3} = ( ∞, ∪ 2 ∞ ) ( 3, )
−
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO.
PROPIEDADES:
Desigualdad Forma Equivalente Gráfica
|X| ≺ C
− C ≺ X ≺ C
|X| ≤ C
− C ≤ X ≤ C
|X| − ≻ C X ≺ C ó C ≺ X
|X| − ≥ C X ≤ C ó C ≤ X
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Matemáticas
Tema: Álgebra
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Ecuaciones en las que el valor de las incógnitas es el
mismo en ambas ecuaciones, el valor de la incógnita “X” en la
primera ecuación será el mismo que en la segunda y con la
otra incógnita, en este caso “Y” sucederá lo mismo, y en ambos
casos, una vez que se realice la sustitución con el valor real
de las incógnitas, las igualdades deben cumplirse.
El método más simple para resolverlas, es el siguiente:
*Ejemplo: {
X
− 3 + 4 Y = 2 ( α)
X − − 2 Y = 4 ( β)
1. Elegimos qué variable queremos eliminar, generalmente
elegimos alguna que tenga un signo negativo. En este caso,
será la variable Y.
Multiplicamos por 2, la ecuación β
X − 3 + 4 Y = 2 ( α)
2X − − 4 Y = 8 ( β)
2. Cómo queremos encontrar el valor de X, y en ambas
ocasiones es igual, sumamos ambas ecuaciones ( α + β) ,
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Matemáticas
Tema: Álgebra
que nos da como resultado el valor de X y la eliminación
de la incógnita Y.
− ( α + β) = 5X = 10
→
Despejamos X
X = 2 −
3. Encontrado el valor de una incógnita, en este caso de la
variable X, sustituimos su valor en la ecuación para
encontrar el valor de la variable Y.
) −
3 2 + 4 Y = 2 ( α)
(−
− Y − 6 + 4 = 2 (α)
4 Y = 4
(α)
Y = 1
) − 2 − 4 Y = 8 ( β)
2(−
− Y − 4 − 4 = 8 (β)
− Y − 4 = 4
(β)
Y = 1
4. Comprobamos los resultados, sustituyendo los valores
encontrados de las incógnitas X y Y en las ecuaciones.
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